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Cálculo I - 1 Capítulo 2- Funções 1 Conceitos O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra ,,,... Definição: Dado dois conjuntos não vazios e e uma lei que associa a cada elemento de um único elemento de , dizemos que é uma função de em . Indica-se que é uma função de em pela notação :→ O conjunto é denominado domínio da função e é formado pelos elementos que possuem correspondência em pela função , ou seja, existe pertencente a tal que . Denota-se ,) O conjunto de é chamado de contradomínio da função . Denota-se ,) O elemento de , associado ao elemento de é chamado de imagem de pela função . Indica-se que é imagem de pela notação . O conjunto de todos os elementos de que são imagens dos elementos de é chamado conjunto imagem ou simplesmente imagem da função . Denota-se ,. Para toda função ⊂. Um elemento típico do é chamado variável independente e um elemento típico da é chamado variável dependente. O conceito de função tem grande generalidade, pois os elementos do domínio e da imagem podem ser de qualquer natureza. As variáveis e podem representar quantidades numéricas. Porém não representa uma quantidade, estabelece uma lei de associação entre e . Quando a função é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos e , convenciona-se que e são subconjuntos de e diz-se que a função é uma função real de variável real.

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Cálculo I - ���������� �� 1

Capítulo 2- Funções

1 Conceitos

O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra �,�,�,... Definição: Dado dois conjuntos não vazios � e � e uma lei � que associa a cada elemento � de � um único elemento � de �, dizemos que � é uma funçãode � em �.

• Indica-se que �é uma função de � em � pela notação �: � → �

• O conjunto � é denominado domínio da função � e é formado pelos elementos � que possuem correspondência em� pela função �, ou seja, existe �pertencente a � tal que � � ����. Denota-se �,�����)

• O conjunto de � é chamado de contradomínio da função � . Denota-se ��,�������)

• O elemento� de �, associado ao elemento � de � é chamado de imagem de � pela função�. Indica-se que � é imagem de �pela notação � � ����.

• O conjunto de todos os elementos � de � que são imagens dos elementos � de � é chamado conjunto imagem ou simplesmente imagem da função � . Denota-se ��, �����. Para toda função ����� ⊂ �.

• Um elemento típico � do ������ é chamado variável independente e um elemento típico � da ����� é chamado variável dependente.

• O conceito de função tem grande generalidade, pois os elementos do domínio e da imagem podem ser de qualquer natureza.

• As variáveis � e �podem representar quantidades numéricas. Porém � não representa uma quantidade, � estabelece uma lei de associação entre � e �.

• Quando a função � é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos � e �, convenciona-se que � e � são subconjuntos de ! e diz-se que a função �é uma função real de variável real.

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Cálculo I - ���������� �� 2

Exemplos 1) Seja � uma função que calcula a área de um círculo:

a) Encontre a equação que representa a função � Sabemos que a área de um círculo depende do tamanho do raio do círculo. Para cada valor de raio arbitrado obteremos um resultado para a área. Assim a área “é uma função do raio”. Se chamarmos o raio do círculo de "�" e a área de "�", a área do círculo pode ser expressa em função de um raio genérico � pela equação:

� � ���� � #�$

b) Identifique a variável independente e a variável dependente da função�. A área do círculo, variável �, depende do valor arbitrado para o raio, variável �. Então A é a variável dependente e � a variável independente.

c) Calcule a área do círculo quando � � 2, � = 3'� = 4. Estamos querendo saber o valor da variável dependente � para valores específicos de �. Basta substituir � na equação pelo valor desejado.

� = ���� = #�$ → )*+,�� = 2, � = ��2� = #�2�$ = 4#*. . �*+�,,'-,'á�'� � = ���� = #�$ → )*+,�� = 3,� = ��3� = #�3�$ = 9#*. . �*+�,,'-,'á�'� � = ���� = #�$ → )*+,�� = 4,� = ��4� = #�4�$ = 16#*. . �*+�,,'-,'á�'�

d) Encontre o domínio da função�. O domínio da função é o conjunto de todos os valores possíveis de serem atribuidos para a variável independente (raio �) de tal forma que seja possível calcular através da função � a variável dependente (área do círculo �). Como não é possível traçar um círculo de raio igual a zero ou negativo, os valores possíveis de serem atribuídos para o raio só poderão ser números reais maiores do que zero, assim:

������ = 2� ∈ ℜ|� > 0}

e) Encontre o conjunto imagem da função�. O conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores que a variável dependente (área do círculo) pode ter quando a função for aplicada a todos os elementos do domínio (raio �). Como � > 0, então � = #�$ sempre será um número real maior do que zero.

����� = 2� ∈ ℜ|� > 0}

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Cálculo I - ���������� ℎ� 3

2) Dada a função �:ℜ → ℜ , definida pela equação � = 3�$ − 4 . Identifique as variáveis dependente e independente e calcule os itens abaixo:

Para obtermos o valor de � temos que arbitrar valores para �. Ou seja, � depende de �. Isto significa que � é uma função de � e o nome desta função é �. Assim, � é a variável dependente e � é a variável independente:

� = ���� = 3�$ − 4

� � = ��−4� ��−4� significa que queremos saber o valor da variável dependente � quando � é igual a -4. Temos que substituir � por -4. � = ���� = 3�$− 4 ∴ ��−4� = 3�−4�$ − 4 = 48 − 4 = 44

;���1� ��1� = 3�1�$ − 4 = 3 − 4 = −1

<�� =13>

� =13> = 3 =13>$− 4 = 1

3 − 4 = −113

,���∆� ��∆� = 3�∆�$ − 4 = 3∆$ − 4

'���∎� ��∎� = 3�∎�$ − 4 = 3∎$− 4

�� ��A$� ��A$� = 3�A$�$ − 4 = 3AB− 4

�� ��� − ℎ� ��� − ℎ� = 3�� − ℎ�$ − 4 = 3��$ − 2�ℎ + ℎ$� − 4 = 3�$− 6�ℎ + 3ℎ$ − 4

ℎ� ��1� − ��0� ��1� − ��0� = �3�1�$ − 4� − �3�0�$ − 4� = 3 − 4 − 0 + 4 = 3

��������� ������� =

3�$− 43$− 4

D�� E�F

� E�F = 3 E�F$− 4 = 3�$

$ − 4 = 3�$− 4$$

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Cálculo I - ���������� ℎ� 4

3) Dado o conjunto � = 2−2,−1, 0, 1, 2} , determinar o conjunto-imagem da função �: � → ℜ, definida pela equação � = �G

Para cada valor � do domínio, ������ = H−2, −1, 0, 1, 2I,foram determinados os valores correspondentes � pela função �, � = ����. A imagem da função é o conjunto dos valores que � assume para todos os valores � do domínio, então ����� = 2−8,−1, 0, 1, 8}

4) Seja � uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, Gabriela, Mário, Marlene e Vítor e determine o Domínio, o Contradomínio e a Imagem da função.

������ = 2J�-é, L;��' ,Má���,M� '+', N���} ����� = 2J,L, M, N}

5) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula o quadrado de um número.

Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função � como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de � e a variável dependente de�, a função � pode ser representada pela equação:

� = �$. Como para qualquer valor de � ∈ ℜ, (negativo, zero, positivo) é possível calcular o valor de �, tem-se: ������ = 2ℜ}

Se � < 0 então � = �$ > 0; se � = 0 então � = 0 e se � > 0 então � > 0. Portanto, � poderá ser zero ou um número positivo, assim:

����� = 2�Pℜ|� ≥ 0} = [0,+∞�

� = −2� − 1 � = 0� = 1� = 2

� = ��−2� = −8� = ��−1� = −1� = ��0� = 0� = ��1� = 1� = ��2� = 8

x3

x3

x3

x3

x3

� = J�-é � = L;��' � = Má��� � = M� '+' � = Ní��

� = ��J�-é� = J � = ��L;��' � = L � = ��Má���� = M � = ��M� '+'� = M � = ��Ní��� = N

� � �

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Cálculo I - ���������� ℎ� 5

6) Encontre o Domínio e a Imagem da função � que calcula a área de um quadrado.

Chamando o comprimento do lado do quadrado de � e sua área de �, podemos calcular a área de uma seção quadrada como �. � = �$. Assim, a função � pode ser representada pela equação � = ���� = �$.

Só é possível calcular a área � de um quadrado se o tamanho de seus lados for maior do que zero

������ = 2�Pℜ|� > 0} = �0,+∞� Como � é sempre maior do que zero, a área �calculada pela equação � = �$ será sempre um número maior do que zero

����� = 2�Pℜ|� > 0} = �0,+∞� Observe que a função �, que calcula o quadrado de um número, e a função � , que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma equação � = �$ , porém não são funções iguais, pois seus domínios são diferentes.

OBS: Duas funções �e U são iguais se elas têm o mesmo domínio e se ��V� = U�V� para todo V do domínio.

7) Dada a função �:ℜ → ℜ, definida pela equação ���� =�$ − 8� + 15. Pede-se: �Os valores da imagem da função quando � = 0.

Queremos saber o valor que será encontrado pela função � (valor da variável dependente) quando for atribuído o valor zero para a variável independente �, ou seja, queremos saber o valor de ��0�.

��0� = 0$ − 8.0 + 15 = 15 ;�Os valores de � para os quais a imagem da função é nula

Queremos saber qual o valor de � quando ���� = 0 ���� = �$− 8� + 15 = 0

� = −�−8�±Y�−8�$− 4.1.152 = 8 ± √64 − 60

2 = 8 ± 22

� = 5�*� = 3

<�Os valores de � para os quais a imagem da função é igual a 3, ou seja, ���� = 3 � = ���� = �$ − 8� + 15 = 3 → �$− 8� + 12 = 0 � = −�−8� ±Y�−8�$ − 4.1.12

2 = 8 ± √64 − 482 = 8 ± √16

2 = 8 ± 42

� = 6�*� = 2

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Cálculo I - ���������� ℎ� 6

8) Encontre o domínio das funções reais indicadas abaixo:

����� = √3� − 2 +√−� + 4

Devemos ter simultaneamente:

3� − 2 ≥ 0 ∴ � ≥ 23�[1� −� + 4 ≥ 0 ∴ � ≤ 4�[2� ������ = [1 ∩ [2 ∴ ������ = ^� ∈ ℜ| $G ≤ � ≤ 4_

;����� � √� + 2√−� + 4

Devemos ter simultaneamente:

� + 2 ≥ 0 ∴ � ≥ −2�[1� −� + 4 > 0 ∴ � < 4�[2� ������ � [1 ∩ [2 ∴ ������ � 2� ∈ !| − 2 ≤ � < 47

<�� � 2* +*

* + 2

Devemos ter simultaneamente:

* ≠ 0�[1� * + 2 ≠ 0 ∴ * ≠ −2�[2� ������ � [1 ∩ [2 ∴ ������ � ! − 207 − 2−27

,���� � √3 + 2G + √2 − 5 Como o argumento da raiz cúbica pode ser qualquer número real, temos apenas a restrição do argumento da raiz quadrada, ou seja:

2 − 5 ≥ 0 ∴ 5 ≤ 2 ∴ ≤ 25

������ � ^ ∈ !| ≤ $a_

'���A� � √A − 1+ A + 1A − 2

Devemos ter simultaneamente:

A − 1 ≥ 0 ∴ A ≥ 1�[1� A − 2 ≠ 0 ∴ A ≠ 2�[2� ������ � [1 ∩ [2 ∴ ������ � 2A ∈ !|A ≥ 1'A ≠ 27

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Cálculo I - ���������� ℎ� 7

9) Encontre o domínio e a imagem das funções reais indicadas abaixo.

�� = �$ + 3�

Substituindo � por qualquer número real obteremos para � um valor real. Portanto, ������ = ℜ'����� = ℜ

;����� = �� − 2

A expressão bbc$ somente terá sentido se � − 2 ≠ 0, ou seja, � ≠ 2

Logo ������ = ℜ− 22} ou ������ = 2� ∈ ℜ|� ≠ 2} Para determinar a imagem a função, devemos investigar quais os valores que a imagem � pode ter. Isolando � tem-se:

� = �� − 2 ∴ �� − 2� = � ∴ �� − � = 2� ∴ � = 2�

� − 1

A expressão $ddce somente terá sentido se � − 1 ≠ 0, ou, � ≠ 1. Portanto, não existe � ∈ ������|� = 1. Logo, ����� = ℜ− 21} ou ����� = 2� ∈ ℜ|� ≠ 1}

<�� = 1�

A expressão eb somente terá sentido se � ≠ 0, logo ������ = ℜ∗, �*,������ = ℜ − 20} Como não existe � ∈ ℜ tal que a expressão eb se anule, ����� = ℜ∗.

,����� = √3� − 2

A expressão √3� − 2 somente terá sentido se 3� − 2 ≥ 0, ou seja, � ≥$G. Logo, ������ = ^� ∈ ℜ|� ≥ $

G_ Como a raiz quadrada de um número é sempre maior ou igual a zero,

����� = ℜg

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Cálculo I - ���������� ℎ� 8

2 Gráfico de Funções

O gráfico de uma função � é o conjunto de todos os pares ordenados ��, �� no plano �� tal que �pertence ao ������ e� pertence a �����. Assim, o gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados ��, �����, pois � = ����. Costuma-se dizer que uma função real a uma variável real gera uma curva em ℜ2. Como não é possível a representação de todos os pontos ��, �����, podemos escolher alguns valores de � pertencentes ao ������ para calcular as correspondentes imagens ����. Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o chamado gráfico de dispersão. Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de dispersão com uma curva, obtendo o gráfico da função.

Análise de gráficos

Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem.

O domínio de uma função é o conjunto das abscissas � dos pontos do gráfico. A imagem da função é o conjunto das ordenadas � dos pontos do gráfico.

Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do domínio encontra a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em mais de um ponto não é função. Os valores de � para os quais ���� = 0 chamam-se zeros da função f ou raízes da equação ���� = 0. Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Exemplos: 1) Esboce o gráfico da função � dada pela equação � = �G Inicialmente, construímos uma tabela na qual arbitramos alguns valores para � ∈ ������ e calculamos os valores correspondentes de � = ����. Como ������ = ℜ podemos escolher valores positivos, negativos e o valor nulo para �. A seguir, localizamos os pares ordenados ��, ����� no sistema cartesiano bi-dimensional, obtendo o gráfico de dispersão. Quanto mais pontos forem calculados, melhor será a representação da função. Finalmente, unimos estes pontos, com retas ou curvas suaves, obtendo o esboço do gráfico da função. Devemos também observar o comportamento da função quando a variável independente é muito pequena ou muito grande. No exemplo � = �G, se � tender a um número muito pequeno, � → −∞, � = �G assume valores bem pequenos, � → −∞. Se � tender a um número muito grande, � → +∞, � = �G assume valores muito grandes, � → +∞. Essas informações permitem a representação do comportamento da função em pontos distantes dos pontos da tabela.

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Cálculo I - ���������� ℎ� 9

Tabela Gráfico de Dispersão Gráfico da Função

2) Esboce o gráfico das funções indicadas �� = √� ������ = [0,C∞�, ����� � R0,C∞�, se � → C∞então � � √� → C∞.

Tabela Gráfico de Dispersão Gráfico da Função

;���*� � 2*$ ���� � �8∞,C∞������ � R0,C∞�

* 2*$

-2 8

-1 2

0 0

1 2

2 8

� � � ���� -2 f(-2)=-8

-1 f(-1)=-1

0 f(0)=0

1 f(1)=1

2 f(2)=8

� � � ���� 0 g(0)=0

1 g(1)=1

4 g(0)=2

9 g(9)=3

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Cálculo I - ���������� �� 10

<����� � �� 8 1�$

���� � �8∞,C∞������ � R0,C∞� � �� 8 1�$ -2 9

-1 4

0 1

1 0

2 1

3 4

,�h��� � √9 8 � 9 8 � Q 0 ∴ � \ 9

��h� � �8∞, 9i���h� � R0,C∞� � √9 8 �

-16 5

-7 4

0 3

5 2

9 0

'���� � Y4 8 $ 4 8 $ Q 0 ∴ $ \ 4 ∴ Y$ \ √4 ∴ || \ 2 ∴ 82 \ \ 2

���� � R82,2i����� � R0,2i √4 8 $ -2 0.00

-1.7 1.05

-1 1.73

0 2.00

1 1.73

1.7 1.05

2 0.00

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Cálculo I - ���������� �� 11

������ � ^� C 1-'� Q 01-'� O 0 ���� � �8∞,C∞������ � R1,C∞�

� O 0 ���� � 1

� Q 0 ���� � � C 1

-3 1

0 1

-2 1

1 2

-1 1

2 3

������ � Y�$ 8 1

�$8 1 Q 0 ∴ �$ Q 1 ∴ |�| Q 1 ∴ � Q 1�*� \ 81 ���� � �8∞, 1i ∪ R1,C∞������ � R0,C∞� � Y�$ 8 1 -3 2.83

-2 1.73

-1 0.00

1 0.00

2 1.73

3 2.83

������ � ^2� 8 1-'� ` 20-'� � 2

���� � !����� � ! 8 237

� ` 2 ���� � 2� 81

� � 2 ���� � 0

-2 -5

2 0

-1 -3

0 -1

1 1

1.99 2.98

2.01 3.02

3 5

����A� � YA$ 8 9 A$ 8 9 Q 0 ∴ A$ Q 9 ∴ YA$ Q √9 |A| Q 3 ∴ A Q 3�*A \ 83 ���� � �8∞,83i ∪ R3,C∞������ � R0,C∞�

-5-4

-3-2

-101

234

5

-3 -2 -1 0 1 2 3

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Cálculo I - ���������� �� 12

3 Operações com Funções

Tais como os números, que podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos para produzir outros números, assim também acontece com as funções. Dadas as funções �e � podemos ter as seguintes operações:

a) Soma : ���� � �� C ����� � ���� C ���������� � ������⋂ ������ b) Subtração: ���� � �� 8 ����� � ���� 8 ���������� � ������⋂ ������ c) Multiplicação: ���� � ��.����� � ����. ���������� � ������⋂ ������ d) Divisão: ���� � ��/����� � m�b�n�b� ������ � ������⋂ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 e) Divisão: ���� � ��/����� � n�b�m�b� ������ � ������⋂ ������ 8 2� ∈ !|���� � 07 Graficamente, as ordenadas ���� são obtidas pela soma, diferença, multiplicação ou divisão das ordenadas���� e ����. Exemplos Dadas duas funções � e �, encontre as funções: �� C �; ;�� 8 �; <��. �; ,��/�; '��/� e determine seus domínios. 1) ���� � √5 8 �'���� � √� 8 3 Domínio de �: 5 8 � Q 0 ∴ � \ 5 ∴ ������ � �8∞, 5i Domínio de � : � 8 3 Q 0 ∴ � Q 3 ∴ ������ � R3,C∞� a) ���� � ���� C ���� � √5 8 � C √� 8 3

������ � ������ ∩ ������ � R3,5i

b) ���� � ���� 8 ���� � √5 8 � 8 √� 8 3 ������ � ������ ∩ ������ � R3,5i

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Cálculo I - ���������� �� 13

c) ���� � ����. ���� � √5 8 �.√� 8 3 � Y�5 8 ���� 8 3� ������ � ������ ∩ ������ � R3,5i

d����� � ����/���� � √5 8 �√� 8 3 � q�5 8 ��� 8 3

������ � ������ ∩ ������ 82� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ � 8 3 � 0 ∴ � � 3 ������ � ������ ∩ ������ 8237 � �3, 5i

'����� � �������� � √� 8 3√5 8 � � q�� 8 3�5 8 � ������ � ������ ∩ ������ 82� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ 5 8 � � 0 ∴ � � 5 ������ � ������ ∩ ������ 8257 � R3, 5�

2����� � √� 8 4���� � 12 � C 4 � 8 4 Q 0 ∴ � Q 4 ������ � R4,C∞������� � !

����� � √� 8 4 C e$� C 4 ������ � ������ ∩ ������ � R4,C∞�

b����� � √� 8 4 8 e$� 8 4 ������ � ������ ∩ ������ � R4,C∞�

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Cálculo I - ���������� �� 14

c����� � r√� 8 4s Ee$� − 4F ������ = ������ ∩ ������ = [4,+∞�

,����� = �������� =

√� − 412 � + 4

������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � 0 ∴ 0.5� + 4 = 0 ∴ � = −8 ������ = [4,+∞� − 2−8} = [4,+∞�, pois -8 não está no intervalo [4,+∞�

'����� = �������� =

0.5� + 4√� − 4

������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � 0 ∴ √� − 4 � 0 ∴ � � 4

������ � ������ ∩ ������ − 247 � R4, +∞� − 24} = �4,+∞� 3����� = � − 5���� = �$− 1 ������ = ℜ������ = ℜ ����� = ���� + ���� = � − 5 + �$ − 1 = �$+ � − 6

������ = ������ ∩ ������ = ℜ

;����� = ���� − ���� = � − 5 − �$+ 1 = −�$+ � − 4 ������ = ������ ∩ ������ = ℜ

<����� = ����. ���� = �� − 5���$ − 1� = �G−5�$− � + 5 ������ = ������ ∩ ������ = ℜ

,����� = ����/���� = �� − 5�/��$ − 1� ������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � 0 ∴ �$ − 1 � 0 ∴ Y�$ � 1 ∴ |�| � 1 ∴ � � ±1 ������ � ������ ∩ ������ − 2±17 � ! − 2−17− 217

'����� � ����/���� � ��$ − 1�/�� − 5�

������ � ������ ∩ ������ −2� ∈ !|���� � 07 ���� � 0 ∴ � − 5 � 0 ∴ � � 5

������ � ������ ∩ ������ − 257 � ! − 257

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Cálculo I - ���������� �� 15

4����� = � + 1� − 1 ���� =

1�

������:� − 1 ≠ 0 ∴ � ≠ 1 ∴ ������ = ℜ− 21} ������:� ≠ 0 ∴ � ≠ 0 ∴ ������ = ℜ − 20}

����� = ���� + ���� = � + 1� − 1 +

1� =

�$ + 2� − 1�$− �

������ = ������ ∩ ������ = ℜ − 20} − 21}

;����� = ���� − ���� = � + 1� − 1 −

1� =

�$+ 1�$− �

������ = ������ ∩ ������ = ℜ − 20} − 21}

<����� = ����. ���� = =� + 1� − 1>=1�> =

� + 1�$− �

������ = ������ ∩ ������ = ℜ − 20} − 21}

,����� = �������� =

E� + 1� − 1FE1�F

= =� + 1� − 1> . E

�1F =

�$ + �� − 1

������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � 1� � 0 → � = ±∞ ������ = ������ ∩ ������ = ℜ − 20} − 21}

'����� = �������� =

1�� + 1

� − 1==1�> =

� − 1� + 1> =

� − 1�$ + �

������ = ������ ∩ ������ −2� ∈ ℜ|���� � 07 ���� � � + 1� − 1 � 0 →

� + 1� − 1 = 0 → � + 1 = 0� = −1

������ = ������ ∩ ������ − 2−1} = ℜ − 20} − 21} − 2−1}

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Cálculo I - ���������� �� 16

4 Função Composta

Sejam três conjuntos distintos �, � e � que entre eles existam as seguintes funções: �: � → �'�: � → � Irá existir uma outra função ℎ ∶ � → � tal que ℎ��� = ������� que é chamada de função composta de � e � denotada por �� ∘ �����.

Exemplo:

Sejam três conjuntos � = 2−3, 0, 1, 3},� = 2−5, 1, 3, 7}'� = 225,1, 9, 49}e as funções �: � → � tal que ���� = 2� + 1 e �: � → � tal que ���� = �$ , conforme indicado no esquema abaixo.

Para cada elemento de � existe um elemento em � tal que ���� = 2� + 1 e para cada elemento de � existe um elemento de � tal que ���� = �$. Podemos concluir que existe uma função ℎ: � → � definina por ℎ��� = �������, ou seja: ℎ��� = �r����s = r����s$ = �2� + 1�$ ou ℎ��� = �r����s = ��2� + 1� = �2� + 1�$

ℎ�3� = �r��−3�s = ��−5� = 25 ℎ�0� = �r��0�s = ��1� = 1 ℎ�1� = �r��1�s = ��3� = 9 ℎ�3� = �r��3�s = ��7� = 49

-3

0

1

3

-5

1

3

7

� -5

1

3

7

25

1

9

49

� � � �

-3

0

1

3

-5

1

3

7

25

1

9

49

� � � � �

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Cálculo I - ���������� �� 17

Na função composta � ∘ �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à imagem de � aplicamos a função � . Assim, o domínio de �� ∘ ����� é o conjunto de todos os elementos � no domínio da função � tal que ���� esteja no domínio da função �. ����� ∘ �� � 2� ∈ ������|���� ∈ ������} Na função � ∘ �, resolvemos primeiro a função interna �, ao resultado, ou seja, à imagem de � aplicamos a função �. Assim, o domínio de �� ∘ ����� é o conjunto de todos os elementos � no domínio de � tal que ���� esteja no domínio de �.

����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} É importante lembrar que as função � ∘ � e � ∘ � são geralmente diferentes.

Exemplos:

1) Dadas as funções ���� = �$ e ���� = √�, encontre a função indicada e seu domínio.

������ = ℜ; ������ = ℜg = [0,+∞� ��� ∘ �����

�� ∘ ����� = �r����s = Y���� = Y�$ ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|�2 ∈ [0,+∞�} Como para todo� ∈ ℜ, �$ ∈ [0,+∞� ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ} = ℜ

;��� ∘ ����� �� ∘ ����� = �r����s = ������$ = r√�s$ ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�|√� ∈ ℜ} Como para todo � ≥ 0, √� ∈ ℜ

����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�}= ℜ+

<��� ∘ ����� = �r����s = r����s$ = ��$�$ = �B ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|�$ ∈ ℜ} Como para todo � ∈ ℜ, �$ ∈ ℜ

����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ} = ℜ ,��� ∘ ����� = �r����s = Y���� = w√�

����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�|√� ∈ [0,+∞�} Como para todo� ≥ 0, √� ≥ 0 ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�} = ℜg

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Cálculo I - ���������� �� 18

2) Dadas as funções ���� � √� e���� � �$ 8 1, encontre a função indicada e seu domínio.

������ = ℜg = [0,+∞�; ������ = ℜ

�� ∘ � = �r����s = Y���� = Y�$− 1 ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|��$− 1� ∈ [0,+∞�} O domínio é todo � ∈ ℜ com a restrição de (�$ − 1� ≥ 0

�$− 1 ≥ 0 ∴ �$ ≥ 1 ∴ Y�$ ≥ 1 ∴ |�| ≥ 1 ∴ � ≥ 1�*� ≤ −1

����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|� ≥ 1�*� ≤ −1} = �−∞, −1i∪ [1,+∞�

;�� ∘ � = �r����s = ������$ − 1 = r√�s$ − 1 ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�|√� ∈ ℜ} Como para todo� ≥ 0, √� ≥ 0 ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�} = ℜg

<�� ∘ � = �r����s = Y���� = w√�

����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�|√� ∈ [0,+∞�} Como para todo� ≥ 0, √� ≥ 0 ����� ∘ �� = 2� ∈ [0,+∞�} = ℜg

,�� ∘ � = �r����s = ������$ − 1 = ��$− 1�$ − 1

����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|��$− 1� ∈ ℜ} Como para todo� ∈ ℜ, ��$ − 1� ∈ ℜ

����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ} = ℜ

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Cálculo I - ���������� �� 19

3) Dadas as funções ���� � √� 8 2 e���� = �$− 2, encontre a função indicada e seu domínio.

������ = [2,+∞�; ������ = ℜ

�� ∘ � = �r����s = Y���� − 2 = Y�$− 2− 2 = Y�$− 4

����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|��$− 2� ∈ [2,+∞�} O domínio é todo � ∈ ℜ com a restrição de (�$ − 2� ≥ 2 �$− 2 ≥ 2 ∴ �$− 2 − 2 ≥ 0 ∴ �$ ≥ 4 ∴ |�| ≥ 2 ∴ � ≥ 2�*� ≤ −2

����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|� ≥ 2�*� ≤ −2}= �−∞,−2i ∪ [2,+∞�

;�� ∘ � = �r����s = r����s$ − 2 = r√� − 2s$ − 2

����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�|√� − 2 ∈ ℜ} O domínio é todo � ≥ 2 com a restrição de √� − 2 ∈ ℜ

Para √� − 2 ser número real, devemos ter:� − 2 ≥ 0 ∴ � ≥ 2 ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�|� ∈ [2,+∞�} ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�}

<�� ∘ � = �r����s = Y���� − 2 = w√� − 2 − 2 ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�|√� − 2 ∈ [2,+∞�} O domínio é todo � ≥ 2 com a restrição de √� − 2 ≥ 2 √� − 2 ≥ 2 ∴ � − 2 ≥ 4 ∴ � ≥ 6 ����� ∘ �� = 2� ∈ [2,+∞�|� ∈ [6,+∞�} ����� ∘ �� = [2,+∞�⋂[6,+∞� ����� ∘ �� = [6,+∞�

,�� ∘ � = �r����s = r����s$− 2 = ��$− 2�$ − 2

����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|��$− 2� ∈ ℜ} Como para todo� ∈ ℜ, ��$ − 2� ∈ ℜ

����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ} = ℜ

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Cálculo I - ���������� �� 20

4) Dadas as funções ���� � 1 − �G e���� = eb encontre a função indicada e seu

domínio.

������ = ℜ; ������ = ℜ− 20} = ℜ∗ �� ∘ � = �r����s = 1

���� =1

1 − �G ����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|�1− �G� ∈ ℜ∗} O domínio é todo � ∈ ℜ com a restrição de �1− �3� ∈ ℜ∗ r1 − �3s ∈ ℜ∗ ∴ 1 − �3 ≠ 0 ∴ �G ≠ 1 ∴ � ≠ 1 ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ|� ≠ 1} = ℜ − 21}

;�� ∘ � = �r����s = 1���� =

11�= �

����� ∘ �� = 2� ∈ ������|���� ∈ ������} ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ∗| 1� ∈ ℜ∗} Como para todo � ≠ 0, 1/� ≠ 0 ����� ∘ �� = 2� ∈ ℜ∗} = ℜ − 20}

5) Considere uma placa metálica de seção quadrada que, devido à variação térmica, os comprimentos de seus lados aumentam com a temperatura de acordo com a equação x = 0,1 + 10, onde x é o comprimento do lado do quadrado (em <�) e é a temperatura (em �y ). Qual a área da placa quando a temperatura for de 0 �y , 10 �y , 20 �y e 30 �y ? O comprimento x dos lados da placa depende da temperatura de acordo com a equação:

x = 0,1 + 10 ∴ x = ���, o comprimento do lado é função da temperatura

A área da placa � depende do comprimento de seus lados de acordo com a equação:

� = x$ ∴ � = ��x�, a área é função do comprimento.

� = ��x� = �r���s = �� ∘ ���� � = x$ = �����$ = �0,1 + 10�$ Quando = 0 �y → � = �0,1. 0 + 10�$ = �10�$ = 100<�$ Quando = 10 �y → � =�0,1.10 + 10�$ = �11�$ = 121<�$ Quando = 20 �y → � =�0,1.20 + 10�$ = �12�$ = 144<�$ Quando = 30 �y → � =�0,1.30 + 10�$ = �13�$ = 169<�$