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  Capítulo 10 Gráficos de controle avançados: Gráfico padronizado, CUSUM, EWMA, deméritos.

 10.1 Introdução10.2 Gráfico de controle padronizado10.3 Gráfico de controle CUSUM10.4 Gráfico de controle EWMA

(exponentially weighted moving average) – suavização exponencial simples.

10.5 Gráfico de controle de deméritos 10.6 Conclusões10.7 Questões e exercícios10.8 Referências

2

Neste capítulo, vamos ver 4 gráficos de controle avançados desenvolvidos para situações específicas que no mesmo tempo minimizam a ocorrência de alarmes falsos e alarmes não dados. O gráfico padronizado de seção 10.2 é aplicado para famílias de peças onde as peças individuais produzidas em lotes relativamente pequenos têm características levemente diferentes. Numa fábrica de confecções por exemple um único gráfico de controle padronizado serviria para lotes de camisas de tamanhos diferentes. Os gráficos de CUSUM e EWMA são aprimoramentos do gráfico de Shewhart. Eles levam em conta a

historia dos dados, característica ausente dos gráficos mais simples, e são capazes de reconhecer pequenas alterações nos processos muito antes dos alarmes dos gráficos

10.1 Introdução

X

X

O gráfico de deméritos é apresentado. É um gráfico que envolve várias melhorias em relação ao gráfico de defeitos (c). Este último gráfico é ainda pouco utilizado na indústria brasileira, embora tenha sido testado e aprovado em situações diversas, com repercussão sempre positiva pela acurácia e simplicidade de uso.

3

10.2 Gráfico de controle padronizado

• Pode ser utilizado um único gráfico de controle para o monitoramento de qualidade para produtos distintos da mesma família, por exemplo, calças de tamanho diferente, pistões e cilindros também de tamanhos diferentes.

• Este gráfico é especialmente útil para produções pequenas e faltando dados em número suficiente para montar diversos gráficos de controle tradicional de Shewhart para cada espécie de item.

4

Tabela 10.1 Resultados de levantamento amostral dos dois tipos de

blocos de motor

AMOSTRA DE BLOCOS DE MOTOR HORA EM HORA

1 2 3 4 5AUTO 1 99,977 99,982 99,990 100,000 100,007VALOR NOMINAL = 100 2 99,997 99,988 99,981 100,005 99,993

3 99,993 100,001 100,001 99,984 100,00399,989 99,990 99,991 99,996 100,001

S 0,011 0,009 0,010 0,011 0,007Z -1,030 -1,038 -0,928 -0,340 0,129

6 7 8 9 10MOTOCICLETA 1 69,977 69,982 69,990 70,000 70,007VALOR NOMINAL = 70 2 70,006 70,024 70,002 70,000 69,996

3 69,999 69,992 70,000 69,991 69,98969,994 69,999 69,997 69,997 69,997

S 0,015 0,022 0,006 0,005 0,009Z -0,382 -0,024 -0,403 -0,543 -0,312

11 12 13 14 15AUTO 1 99,996 100,007 99,984 100,005 99,991VALOR NOMINAL = 100 2 99,999 99,992 100,000 99,991 99,989

3 100,003 100,025 99,989 99,996 100,00299,999 100,008 99,991 99,998 99,994

S 0,003 0,017 0,008 0,007 0,007Z -0,188 0,489 -1,145 -0,317 -0,881

16 17 18 19 20MOTOCICLETA 1 69,996 70,007 69,984 70,005 70,000VALOR NOMINAL = 70 2 69,997 69,988 69,981 70,005 69,993

3 70,008 70,013 69,996 70,008 69,99170,000 70,003 69,987 70,006 69,995

S 0,007 0,013 0,008 0,002 0,004Z 0,071 0,209 -1,636 3,305 -1,246

21 22 23 24 25AUTO 1 100,006 100,024 100,002 100,000 99,996VALOR NOMINAL = 100 2 100,008 100,013 99,996 100,008 99,991

3 99,997 100,012 99,995 100,001 99,999100,004 100,016 99,998 100,003 99,996

S 0,006 0,007 0,004 0,004 0,004Z 0,593 2,490 -0,519 0,673 -1,095

XXXX

X

X

X

X

X

X

5

Figura 10.1 – Gráfico de controle padronizado Z

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Z

LCS

MËDIA ZERO

LCI

O gráfico representa um processo emitindo alarme para o subgrupo 19 dos blocos para motocicletas onde o valor de Z é 3,305. Este valor deve chamar atenção a engenharia e a linha inspecionada.

6

10.3 Gráfico de controle CUSUM

É conhecido na literatura especializada e na prática do chão da fábrica que o gráfico de Shewhart é lento com altos valores de NMA para detectar alterações no processo.

Isso ocorre porque a análise dos dados segue uma suposição das mais simples imagináveis, concentrando todos os esforços de diagnostico no posicionamento de apenas um único ponto em relação aos limites de controle.

Para incluir mais pontos na análise, já vimos no capitulo 7 o diagnostico dos padrões de pontos da Western Electric, quando cuidadosamente utilizado pode revelar mais rapidamente alterações no processo.

No entanto, o gráfico de controle mais apropriado para reconhecer o histórico dos dados é o de somas acumuladas CUSUM. É de uma riqueza e sofisticação conceitual de alto nível e no final não tão difícil a sua aplicação na fábrica. Considerando as qualidades do CUSUM, é infeliz a sua ausência na indústria nos dias de hoje. Nesta seção será apresentado o conceito de soma acumulada utilizada como ponto no gráfico de controle.

7

Cálculo da CUSUMCUSUM é a soma acumulada dos desvios das mensurações ao redor da média ou valor nominal do processo como ponto de referência.

No caso de usar dados individuais, o desvio entre o valor observado Xi e a

media 0 (ou alvo) da variável é calculado para cada observação, e a

seqüência de desvios é acumulada numa soma contínua.

CUSUMi = (Xi - 0).

Se os Xi desviam muito do alvo, levando valores altos para os desvios, então

a soma acumulada vai rapidamente somar para valores cada vez maiores, alertando o engenheiro do deslocamento do processo.

Em termos mais simples para calcular:

CUSUMi = CUSUMi-1 + (Xi - 0).

Na expressão, vejamos que a última CUSUMi é a soma da penúltima

CUSUMi-1 e o último desvio.

8

Cálculo da CUSUM

Para ilustrar este cálculo melhor, vamos voltar para os dados da tabela 8.5 das temperaturas em graus Celsius de uma composição química. Foram acrescentadas à tabela 8.5 duas colunas para os cálculos das somas acumuladas, CUSUM e a CUSUM padronizada para formar tabela 10.2. Por exemplo, na linha leitura número 5, a entrada para CUSUM é 3,73. É o resultado do CUSUM anterior e o desvio associado à leitura 5:

3,73 = 0,66 + (102,18 - 99,11).

Na tabela, o valor da CUSUM é relativamente estável até a vizinhança da leitura número 11 onde uma série de desvios negativos (observados menores que a média) aumenta rapidamente o valor da CUSUM e pode servir de alarme necessitando investigação. No entanto, isso não é ainda o gráfico de controle. Diferente do gráfico básico de Shewhart, a CUSUM é mais flexível teoricamente e passou por vários aprimoramentos para facilitar o uso.

Nota-se que a unidade de mensuração na tabela é grau Celsius. Para o gráfico de controle CUSUM, é mais fácil trabalhar com os dados padronizados, divididos pelo desvio padrão do processo. Então a CUSUM padronizada é a soma acumulada de desvios padronizados. Veja a última coluna da tabela.

9

Tabela 10.2 – Temperaturas

em graus Celsius de

uma composição química e a

CUSUM. Fonte: tabela

8.5

Leitura TemperaturaAmplitude

Móvel CUSUM CUSUM padronizada1 95,43 4,42 -3,68 -1,3302 99,85 0,24 -2,94 -1,0633 100,09 1,65 -1,96 -0,7094 101,73 0,45 0,66 0,2395 102,18 3,81 3,73 1,3486 98,37 2,84 2,99 1,0817 101,21 4,96 5,09 1,8408 96,26 2,64 2,24 0,8109 98,9 1,98 2,03 0,734

10 96,92 1,23 -0,16 -0,05811 95,7 0,65 -3,57 -1,29112 95,05 2,76 -7,63 -2,75813 97,81 0,03 -8,93 -3,22814 97,84 5,25 -10,2 -3,68715 103,09 7,91 -6,22 -2,24916 95,18 2,42 -10,15 -3,66917 97,61 0,39 -11,65 -4,21218 97,22 4,56 -13,54 -4,89519 101,78 1,54 -10,87 -3,93020 103,32 1,29 -6,66 -2,40821 102,03 1,98 -3,74 -1,35222 104,02 5,34 1,17 0,42323 98,68 0,3 0,74 0,26824 98,38 0,01 0,004

Média 99,11 2,55Desvio padrão 2,77  

10

CUSUM positiva e negativa.

S

XCUSUMCUSUM i

ii0

1;0min

S

XCUSUMCUSUM i

ii0

1;0max

No chão da fábrica é importante enxergar a distinção entre a soma acumulada positiva

e a negativa

e, por conseguinte a direção do deslocamento do processo.

Uma série de somas acumuladas de desvios negativos, por exemplo, significa que as leituras observadas Xi são

inferiores aos valores nominais µ0 mostrando um

deslocamento do processo para baixo.

11

k valor de referência

Finalmente, há um último aprimoramento para considerar no cálculo do valor da CUSUM, a inclusão de valor de referência k. Na prática no chão da fábrica o engenheiro não se preocupa com toda e qualquer variação no processo. Ele já sabe que todo processo possui algum grau de variabilidade e, se for de repercussão menor, uma alteração pequena é tolerada e ignorada à luz da presença de outros problemas maiores e que exigem esforços mais concentrados.

Logo, a tolerância do engenheiro em deixar de se preocupar com pequenas modificações no processo pode ser formalizada explicitamente nas equações de CUSUM com o valor de referência k. Este valor é diminuído dos desvios positivos e acrescentado aos desvios negativos.

k

S

XCUSUMCUSUM i

ii0

1;0max

k

S

XCUSUMCUSUM i

ii0

1;0min

12

Tabela 10.3 – CUSUM positiva e negativa. k = 0,5

Leitura Temperatura CUSUM(-) CUSUM(+) CUSUM(-)k CUSUM(+)k

1 95,43 -1,33 0,00 -0,83 0,00

2 99,85 -1,06 0,27 -0,06 0,00

3 100,09 -0,71 0,62 0,00 0,00

4 101,73 0,00 1,57 0,00 0,45

5 102,18 0,00 2,68 0,00 1,06

6 98,37 -0,27 2,41 0,00 0,29

7 101,21 0,00 3,17 0,00 0,55

8 96,26 -1,03 2,14 -0,53 0,00

9 98,90 -1,11 2,06 -0,11 0,00

10 96,92 -1,90 1,27 -0,40 0,00

11 95,70 -3,13 0,04 -1,13 0,00

12 95,05 -4,60 0,00 -2,10 0,00

13 97,81 -5,07 0,00 -2,07 0,00

14 97,84 -5,53 0,00 -2,03 0,00

15 103,09 -4,09 1,44 -0,09 0,94

16 95,18 -5,51 0,02 -1,01 0,00

17 97,61 -6,05 0,00 -1,05 0,00

18 97,22 -6,73 0,00 -1,23 0,00

19 101,78 -5,77 0,97 0,00 0,47

20 103,32 -4,25 2,49 0,00 1,49

21 102,03 -3,19 3,54 0,00 2,04

22 104,02 -1,42 5,32 0,00 3,32

23 98,68 -1,57 5,16 0,00 2,66

24 98,38 -1,84 4,90 0,00 1,90

Média 99,11

Desvio padrão 2,77

A força da expressão min() e max() nas formulas da CUSUM é para garantir que a CUSUM negativa nunca se torna positiva e que a CUSUM positiva jamais tornará negativa.

13

10.4 Os limites de controle (h) para o gráfico CUSUM e a aproximação de Siegmund - NMAo

Para calcular os parâmetros do gráfico CUSUM, vamos usar uma equação desenvolvida pelo Siegmund (1985), facilmente programada em planilha eletrônica. A equação para o NMA0 é a seguinte:

20 k2

1166,1hk2166,1hk2expNMA

O NMA0 depende diretamente nos valores de referência k e dos limites de controle h, sempre padronizados em desvio padrão. Na tabela 10.4 na primeira linha, onde o deslocamento da média do processo é nulo e o processo por definição está sob controle, encontra-se o valor de NMA0 igual a 370 para várias configurações de k e h.

14

Para medir a eficiência do gráfico CUSUM para detectar variações na média do processo temos que calcular o NMA1, o número de subgrupos que vai passar sem perceber a variação do processo.

A equação para NMA1 leva em conta o tamanho do deslocamento da média do processo (d).

21

kd2

1166,1hkd2166,1hkd2expNMA

10.4 Os limites de controle (h) para o gráfico CUSUM e a aproximação de Siegmund – NMA1

15

Tabela 10.4 – NMA: comparando Shewhart com várias configurações do gráfico CUSUM

deslocamento em dp

NMA Shewhart

k=0; h=18,07

k=0,25; h=8,01

k=0,5; h=4,77

k=0,75; h=3,32

k=1; h=2,49

0 370,38 370,00 370,00 370,00 370,00 370,00

0,25 281,14 68,94 84,12 121,28 167,11 207,23

0,5 155,22 36,47 28,77 35,19 49,53 67,85

0,75 81,22 24,76 16,34 16,14 20,15 27,08

1 43,89 18,74 11,34 9,87 10,80 13,34

1,25 24,96 15,07 8,67 7,02 7,00 7,90

1,5 14,97 12,60 7,02 5,43 5,10 5,36

1,75 9,47 10,83 5,89 4,43 3,99 3,99

2 6,30 9,49 5,08 3,73 3,27 3,15

2,25 4,41 8,45 4,46 3,23 2,77 2,60

2,5 3,24 7,61 3,98 2,84 2,40 2,21

2,75 2,49 6,93 3,59 2,54 2,12 1,92

3 2,00 6,36 3,27 2,29 1,90 1,70

16

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Deslocamento do processo em dp

NM

A

NMA Shewhart

k=0; h=18,07

k=0,25; h=8,01

k=0,5; h=4,77

k=0,75; h=3,32

k=1; h=2,49

Figura 10.2 – NMA comparação entre várias configurações do gráfico CUSUM e Shewhart.

NMA0 igual a 370 para todos. Fonte: tabela 10.4

17

• Nas últimas duas colunas de tabela 10.3, são apresentados os valores dos cálculos da CUSUM positivo e negativo no caso de k = 0,5.

• A escolha para o valor de h (o limite de controle) pela tabela 10.4 e figura 10.2, e respeitando o valor de NMA0 de Shewhart de 370, pode ficar com h = 4,77.

• Na figura, esta configuração proporciona valores de NMA1 entre os menores, reforçando a idéia da sua eficiência relativa. Finalmente, o gráfico de controle

se encontra na figura 10.3.

Figura 10.3 – Gráfico de controle CUSUM, k = 0,5; h = 4,77

18

Figura 10.3 – Gráfico de controle CUSUM, k = 0,5; h = 4,77

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Leituras

CU

SU

M p

adro

niza

da

CUSUM(-)k

CUSUM(+)k

h(+)

h(-)

19

10.4 Gráfico de controle EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) – suavização

exponencial simples.

• Há grande discussão sobre os benefícios e desvantagens dos gráficos de CUSUM e de EWMA.

• Os dois gráficos servem aos mesmos propósitos, eles são caracterizados por mais eficiência para a detecção de pequenas mudanças no processo do que os de Shewhart.

• Os dois em maneiras diferentes utilizam toda a série de dados para calcular os limites de controle e os pontos no gráfico. No entanto, entre os dois não há consenso sobre os méritos relativos

20

Média EWMA A média calculada por suavização exponencial simples é definida como uma combinação entre a média do período passado Zi-1 e

o valor observado mais recentemente Xi; o parâmetro que

pondera a combinação será discutido em seguida:

Zi = Xi + (1-)Zi-1

Nota-se que no período anterior, Zi-1 foi calculado usando Xi-1 e Zi-2.

Nesse sentido, se for feita uma série de substituições seqüenciais para todos os Z no passado, é possível demonstrar que a média EWMA usa todos os dados da série e que a ponderação da média declina geometricamente no passado até um valor teórico de 0,00.

Em outras palavras, o gráfico EWMA possui uma base conceitual muito intuitiva, dados mais velhos pesam menos no cálculo da média, enquanto dados mais recentes valem mais.

21

Desvio padrão - EWMA

O desvio padrão de Zi de EWMA é o seguinte:

2iXZ λ11

λ2

λσσ

i

A determinação dos limites de controle depende exclusivamente de uma criteriosa avaliação dos conceitos de alarme falso e alarme não dado na formulação de NMA0 e NMA1, muito semelhante ao diagnostico feito para gráficos de controle CUSUM.

22

Limites de controle - EWMAO distanciamento (L) dos limites de controle da linha do meio (alvo ou média, 0 ) depende diretamente dos valores de . Os conceitos atrás da

escolha entre pares de valores (, L) não será explorada aqui pela sua complexidade matemática fora do alcance do livro, mas recomendamos os artigos de Hunter(1989) e Lucas e Saccucci (1990).

Os limites de controle são, LSC = + LZi

LC = 0

LSC = 0 - LZi

Vamos montar o gráfico de controle EWMA para os dados da tabela 10.2, com = 0,25 e L = 3. Esta configuração dos parâmetros significa NMA0 = 500. É muito parecido com os NMA do esquema do CUSUM

para k = 0,75 e h = 3,32. O resultado dos cálculos se encontra na tabela 10.5.

23

Tabela 10.5 – Limites de controle e

pontos para o gráfico

EWMA. Fonte dos dados originais,

tabela 10.2

Leitura Temperatura EWMA LCS LCI1 95,43 98,19 101,18 97,042 99,85 98,61 101,70 96,523 100,09 98,98 101,95 96,274 101,73 99,66 102,09 96,135 102,18 100,29 102,16 96,066 98,37 99,81 102,20 96,027 101,21 100,16 102,22 96,008 96,26 99,19 102,23 95,999 98,90 99,11 102,24 95,98

10 96,92 98,57 102,24 95,9811 95,70 97,85 102,24 95,9812 95,05 97,15 102,24 95,9813 97,81 97,31 102,25 95,9714 97,84 97,45 102,25 95,9715 103,09 98,86 102,25 95,9716 95,18 97,94 102,25 95,9717 97,61 97,86 102,25 95,9718 97,22 97,70 102,25 95,9719 101,78 98,72 102,25 95,9720 103,32 99,87 102,25 95,9721 102,03 100,41 102,25 95,9722 104,02 101,31 102,25 95,9723 98,68 100,65 102,25 95,9724 98,38 100,09 102,25 95,97

Média 99,11

Desvio padrão 2,77

24

Figura 10.4 – Gráfico de controle EWMA, = 0,25; L = 3.

92,00

93,00

94,00

95,00

96,00

97,00

98,00

99,00

100,00

101,00

102,00

103,00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

Leituras

EW

MA

EWMA

LCS

LCI

Fonte: Tabela 10.5

25

10.5 Gráfico de controle de deméritos

Na seção 9.5, encontra-se a discussão sobre os gráficos de controle para a contagem de defeitos na peça ou no subgrupo. Lá foi discutido um exemplo de controle de defeitos em geladeiras, e nesta seção vamos elaborar um pouco mais a história.

Infelizmente, o gerente da linha de produção de geladeiras não ficou muito satisfeito com o gráfico de defeitos (c) porque no final há uma grande diferença entre a severidade dos próprios defeitos, alguns pesando muito mais que outros.

Alguns são apenas superficiais e não afetam a utilização do produto enquanto outros são fatais e tem que ser evitados a qualquer custo. Há diferenças de graus de severidade em termos de funcionalidade e aparências. Juntar todos os defeitos no mesmo saco não é procedimento cabível.

26

Limites de controle

Os limites seguem a norma de três desvios padrão de distância da média.

 

Calcula-se os limites de controle como se fossem os limites do gráfico c, apresentado na seção 9.5 no capítulo sobre gráficos de

controle de atributos.

 

limites de controle =

 

LCS: 2,62 + 3*√(2,62) = 7,5 → 8

 

LCI: 2,62 - 3* √(2,62) = - 2,2 → 0,00

c / 3 c

27

Tabela 10.6 – Defeitos com

pesos diferenciados e Deméritos.

Fonte dos dados

originais, tabela 9.2

Geladeira no.

Defeitos leves

Defeitos médios

Defeitos severos      

  peso peso peso 7,5 -2,2  1 3 6 Deméritos LCS LCI1 0 0 0 0 8,0 0,02 1 1 1 10 8,0 0,03 1 0 0 1 8,0 0,04 0 0 0 0 8,0 0,05 0 0 0 0 8,0 0,06 0 0 0 0 8,0 0,07 0 0 0 0 8,0 0,08 0 0 0 0 8,0 0,09 0 0 0 0 8,0 0,0

10 1 0 0 1 8,0 0,0

41 1 1 0 4 8,0 0,042 1 0 0 1 8,0 0,043 1 0 0 1 8,0 0,044 0 0 0 0 8,0 0,045 0 0 0 0 8,0 0,046 1 1 0 4 8,0 0,047 1 1 1 10 8,0 0,048 1 0 0 1 8,0 0,049 1 1 1 10 8,0 0,050 1 1 1 10 8,0 0,0

Total 32 15 9 131Média 0,64 0,3 0,18 2,62

28

Figura 10.5 – Gráfico de controle para Deméritos.

0

2

4

6

8

10

12

14

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

Deméritos

LCS

LCI

Existem vários pontos fora dos limites de controle

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10.6 Conclusões• Neste capítulo apresentou quatro gráficos de controle de uso raro

na indústria brasileira, mas que guardam grandes possibilidades.

• Não é possível apresentar todos os gráficos de controle interessantes e disponíveis na literatura, mas pelo menos é importante mencionar os gráficos de controle multivariados. Produtos e processos são cada vez mais dependentes de múltiplas características. Por exemplo, um furo num bloco de motor tem apenas duas características relevantes, diâmetro e posição, mas a folha de papel poderia ter dezenas de peculiaridades e cada uma essencial para garantir a qualidade do papel.

• O controle de múltiplas características é considerado a área mais fértil pelas fábricas de classe mundial para aumentar a eficiência da linha de produção e melhorar resultado financeira na área de custos.

30

10.8 Referências Cunha Alves, Custodio. (2009) O método de equação integral e quadratura gaussiana para aproximar as propriedades estatísticas do gráfico de controle multivariado MCUSUM. Tese de doutorado, Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina.

Montgomery, D. C. (1996). Introduction to statistical quality control. New York: Wiley.

Rocha, Rubson (2004) Implementação de sistema gerencial, com avanços em controle estatístico, em laboratório de nutrição animal. Tese de Doutorado, Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina

Vargas, V, Lopes, L. F., Souza, A. M. (2004) Comparative study of the performance of the CuSum and EWMA control charts. Computers & Industrial Engineering, 46, 707–724

Hunter, JS (1989). "A One Point Plot Equivalent to the Shewhart Chart with Western Electric Rules," Quality Engineering, 2, pp. 13-19.

LUCAS, JM and SACCUCCI, MS (1990). Exponentially weighted moving average control schemes: properties and enhancements. Technometrics, 32, 1-29.