SIMETRIAMotivo:Um parte, quando repetido num desenho simtrico, representa o desenho inteiro1. motivo2. operao de simetria3. elemento de simetriaOperaode simetria:O ato para repitir o motivoElementode simetria:Uma operao localizada no espao (do cristalp.e. eixo rotacionalEixo rotacional ?Espelho (reflexo) ?.Eixo rotacional ?Espelho (reflexo) ?.Eixo rotacional ?Espelho (reflexo) ?.www.mcescher.comMaurits Cornelis Escher(1898-1972)O universo infinito mas limitadoCad o motivo ?Qual a operao de simetria ?Qual o elemento de simetria ?Elementos de simetriarotao em torno de um eixoinverso: rotao em torno de um eixo, combinada com inverso (inverso rotatria)reflexo sobre um plano (igual espelho)Rotao: eixo binrio6MotivoElemento:eixo de simetria de rotaoOperao Operao6OPERAO: ROTAO EM TORNO DE UM EIXOSmbolo para eixo binrio360o/2rotaoDuas dimensesSmbolo para eixo ternrioRotao: eixo ternrioOperao Operao360o/3rotaoSmbolo para eixo quarternrioRotao: eixo quarternrioOperao Operao360o/4rotaoSmbolo para eixo senrioRotao: eixo senrioOperao Operao360o/6rotao66666666unriobinrioternrio quarternriosenrio

ZasemsimetriaExemplossmboloRotaes em 2DEixos simples de rotao e as figuras resultantes66OPERAO: INVERSO (i)= rotao em torno de um eixo, combinada com inverso (inverso rotatria)= igual rotao binria em 2 D (no existe em 2D, mas nico em 3 D)Smbolo para inverso iOPERAO: REFLEXO (m)Smbolo para reflexo m (mirror)Reflexo sobre um plano (igual espelho)Em duas dimenses: H seis operaes possveis1 2 3 4 6 m (i = 2 em 2D)Rotaes socongruentes(reprodues soidnticos)Inverses e refleesso enantiomrficos(reprodues soopostos)= Smbolos Hermann-MauguinCarl Hermann Charles MauguinCOMBINAO DE OPERAES(em 2 D)Passo 1:reflexoPasso 2:Rotao (tudo !)Mais ?! preciso maisuma reflexo ! duas reflexes m um eixo binrio 2mmPasso 1:reflexoPasso 2:rotao (3 vezes):eixo quarternrio Tem mais ?8 facesEm fim: 4mmTem !Mais dois espelhos(duas reflexes)6mm12 facesTemos agora seis 6 operaes originaismais 4 combinaes:1 2 3 4 6 m2mm 3m 4mm 6mmTodos os outros combinaes so ou: incompatveis redundantesOPERAES EM 2DOPERAES EM 3DInverso rotatria (Rotoinverso)1. Rotoinverso unria 1Rotao 360/1> identidade= Rotao em torno de um eixo, combinada com inversopelo centroSmbolo: X1. Rotoinverso unria 1Rotao 360/1identidadeInverso, igualinverso i, portantono uma operaonovaInverso rotatria (Rotoinverso)2. Rotoinverso binria 2Rotao 360/2Inverso2. Rotoinverso binria 2Rotao 360/2Inverso2. Rotoinverso binria 2Rotao 360/2Resultado, mas igual m, portanto noe operao nova3. Rotoinverso ternria 31Rotao 360/3 (1)3. Rotoinverso ternria 3Inverso pelo centroRotao 360/33. Rotoinverso ternria 312Inverso pelo centroRotao 360/3 (1)Resultado do primeiro passo (2)3. Rotoinverso ternria 3Rotao 360/3 (2)3. Rotoinverso ternria 3Inverso pelo centroRotao 360/33. Rotoinverso ternria 3Inverso pelo centroRotao 360/3 (2)Resultado do segundo passo (3)1233. Rotoinverso ternria 31234Inverso pelo centro (1)Rotao 360/3 (3)Resultado do terceiro passo (4)3. Rotoinverso ternria 3Inverso pelo centro (2)Rotao 360/3 (4)Resultado do quarto passo (5)12543. Rotoinverso ternria 3165Inverso pelo centro (3)Rotao 360/3 (5)Resultado do quinto passo (6)3Sexto passo chega no incio:6 > (4) > 1)3. Rotoinverso ternria 344. Rotoinversoquarternria 4Rotao 360/44. Rotoinversoquarternria 4Inverso pelo centroRotao 360/44. Rotoinversoquarternria 4Inverso pelo centroRotao 360/4Resultado do primeiro passo4. Rotoinversoquarternria 44. Rotoinversoquarternria 44. Rotoinversoquarternria 4... Continuando assim4. Rotoinversoquarternria 4Top ViewSomente a medade da figura, mas mais uma operao para completar5. Rotoinversosenria 615. Rotoinversosenria 615. Rotoinversosenria 612Completado oprimeiro passo5. Rotoinversosenria 6125. Rotoinversosenria 6132Completado osegundo passo5. Rotoinversosenria 65. Rotoinversosenria 6Top ViewSomente a medade da figura, mas mais uma operao para completar1 2346im34 6Combinaes so possveis:S h 22 combinaes (2m, 4/m, 6mm, 6m2, 2/m3, ...),as outras so ou impossveis ou redundantes22 combinaes + 10 operaes originais = 32 operaes= 32 grupos de ponto possveis= 32 grupos pontuaisOPERAES EM 3DDez possibilidades= 32 grupos de ponto possveis(grupos pontuais)= 32 classes de simetria= 32 classes cristalinasTodos os cristais conformam a um desses grupos de pontos (classes)Visualizao de grupos de pontos em 3D, grupado com os tipos de operaesEixo de rotao 1 2 3 4 6Eixo de rotoinverso 1(= i ) 2(= m) 3 4 6(= 3/m)Combinao de eixos rotacionais 222 32 422 622Um eixo rotacional 1 espelho 2/m 3/m(= 6) 4/m 6/mUm eixo rotacional || espelho 2mm 3m 4mm 6mmRotoinverso com rotao e espelho 3 2/m 4 2/m 6 2/mTrs eixos rotacionais e1 espelhos 2/m 2/m 2/m 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/mOutras formas isomtricas 23 432 4/m 3 2/m 2/m 3 43mSimetria rotacional aumentandoArrumado com simetria rotacional aumentando= 32 classes de simetria= 32 classes cristalinas, grupos pontuaisDeterminao da classe cristalinacubo32grupos pontuaisEsses 32 grupos de pontos dividem-se emseis (6) categorias:Com simetria decrescendo ! Isomtrico (cbico)Hexagonal +Rombodrico TetragonalOrtormbico Monoclnico Triclnico6 sistemas cristalinos(geometricamente possveis)++cc++aa++bb Regra da mo direitaLgica: (comprimento) dos eixos cristalinos e os ngulos Quanto menos ngulos oblcos, tanto maior a simetria Quanto mais eixos com comprimentos iguais, tanto maior a simetriaNome (sistema cristalino) eixos ngulostriclnico a {b {c { { {90omonoclnico a {b {c = = 90o { 90oortormbico a {b {c = = = 90otetragonal a1= a2{c = = = 90ohexagonala1= a2= a3{c= 90o = 120orombodricoa1= a2= a3 = = { 90oisomtrico (cbico)a1= a2= a3 = = = 90oTipos de 3D redesSimetria aumentando para baixo1. Sistema triclnicoabc = = 90 = = =tudo tortoSIMPLESSistema triclnico cristais caracterizam-se pela ausncia de eixos ou planos de simetria possuem trs eixos cristalogrficos com comprimentos desiguais e oblquos entre siSIMPLES2. Sistema monoclnicoabc = === 90, 90 = apenas um eixo de simetria (binrio), ou um nico plano de simetria, ou a combinao de ambos 3 eixos cristalogrficos, todos com comprimentos diferentes dois eixos formam um ngulo oblquo entre si, e o terceiro eixo perpendicular ao plano formado pelos dois anterioresMonoclnicosimplesMonoclnicode base centrado3. Sistema ortormbicoabc = == == 90 apresentam, ao menos, um eixo binrio de simetria 3 eixos cristalogrficos perpendiculares entre si, todos com comprimentos diferentesOrtormbico simples (p.e. idio)Ortormbicode base centradoOrtormbicode corpo centradoOrtormbicode face centrado4. Sistema tetragonala1 = a2 c == == 90Tetragonal simples , p.e. protactinium possuem um eixo quaternrio de simetria 3 eixos cristalogrficos perpendiculares entre si, sendo os dois horizontais de comprimentos iguais e o vertical de comprimento diferenteTetragonalde corpo centrado5a. Sistema hexagonala1 = a2= a3 c = aa= 120, ac= 90Hexagonal simples,p.e. lantnium todos os cristais possuem: ou um eixo ternrio de simetria, ou um eixo senrio de simetria 4 eixos cristalogrficos, sendo 3 horizontais, comcomprimentos iguais, cruzando-se em ngulos de 120; o quarto eixo cristalogrfico o vertical, cujo comprimento diferente dos demais5b. Sistemarombodrico(= trigonal)a1 = a2= a3 c =aa= 120, ac= 906 classesRombodrico simples,p.e. mercrio6. Sistema isomtrico (cbico)Cbico simples,p.e. nitrognio 3 eixos cristalogrficosperpendiculares, com comprimentos iguaisCbico de face centrado,p.e.cobreCbico de corpo centrado,p.e. cloreto de CsProporo dos minerais conhecidos,nos sistemas cristalinosEm homenagem a Auguste Bravais, que descobriu em 1848 as configuraes bsicas das 6 sistemas cristalinos 6 sistemas cristalinos com 14 redes de Bravaisretculos de BravaisPara estabelecer as posies na clula dos tomos, ons ou molculas que formam o slido cristalino.Auguste Bravais1811 - 1863base simples corpo facesabcSimplesMonoclnico = = 70o{ a{ b{ cabccorpoabSimples SimplesTriclnico { { a{ b{ cccasimplesOrtormbico = = = 70oa{ b{ cbase faces corpoba1csimplesTetragonal = = = 70oa1= a2{ ccorpoa2a1a3PIsomtrico - cbico = = = 70oa1= a2= a3a2F Ibase simplessimples facescorpoa1ca2HexagonalRombodrico = = 70o = l20oa1 =a2{ c = = { 70oa1= a2= a3Acknowledgements (agradecimentos):http://phycomp.technion.ac.il/~sshaharr/intro.htmlhttp://www.whitman.edu/geology/winter (John D. Winter)http://www.geo.uel.br/geodoc.htm(Edison Archela)... and various other internet sites