02 - questões de provas antigas de torção

7/25/2019 02 - Questes de Provas Antigas de Toro

1/12

Problemas resolvidos de Toro

ENG1007turmas 3PA e 3PB Prof. Ney Augusto Dumont

1 - [P22005a_1, P22008b_2] Um eixo est submetido a um torque que varia trecho a trecho ao longo de seu

comprimento, conforme representado na figura abaixo. O eixo se compe de trs tubos concntricos: o mais longo

feito de um material A (mdulo de elasticidade GA) e tem raio r1; o tubo intermedirio feito de um material B(mdulo de elasticidade GB), tem raio r1e espessura t


2/12

Soluo:

Diagrama de esforo de toro que age sobre o eixo composto (ver figura da prova):

Verificao do ngulo mximo de rotao da extremidade livre:

ad m

ieaoieaoialeao

AD

rrG

TL

rrGrG

TL

rG

TL

444444

22

2

2

3

1,0

08,01,02

84

101

08,01,08408,0282

1012

1,02

84

1013

44

9

444

9

4

9

TTT 177,227kNm T

Verificao da mxima tenso de cisalhamento do ao no trecho AB:

aoad me

eaomx

r

Tr

4

2

3 MPaT 4001,0

2

1,034

209,439kNm T

Verificao da mxima tenso de cisalhamento do ao no trecho BC:

ao

ad m

ieaoial

eaoao

mx

rrGrG

rTG

444

2

2

MPa

T400

08,01,08408,0282

1,0842

444 228,372kNm T

Verificao da mxima tenso de cisalhamento do alumnio no trecho BC:

al

adm

ieaoial

ialal

mx

rrGrG

rTG

444

2

2

MPa

T200

08,01,08408,0282

08,0282

444 428,199kNm T

Verificao da mxima tenso de cisalhamento do ao no trecho CD:

ao

ad m

ie

eao

mx

rr

Tr

44

2

MPaT

400

08,01,02

1,0

44

370,959kNm T

O torque mximo admissvel o menor dos valores acima: 177,227kNm mxT

3 - [P22007b_2] Calcular o valor mximo de torque T que o eixo composto de ao e alumnio pode suportar,

sabendo que a tenso mxima admissvel do ao admao = 400 MPa, a tenso mxima admissvel do alumnio adm

al

= 200 MPa e o ngulo mximo de rotao da extremidade livre adm = 0,1 radianos. Os mdulos de elasticidadetransversal do ao e do alumnio so, respectivamente, Gao = 84 GPa e Gal = 28 GPa. O eixo consiste em um

segmento AB todo de ao, acoplado a outro segmento BC com ncleo de alumnio encamisado por um tubo vazado

de ao, que por sua vez se acopla ao tubo de parede fina de ao CD. O comprimento de cada segmento L = 1 m , os

raios so r1= 10 cm e r2= 8 cm e a espessura t = 4 mm.

A DCBL = 1 m L = 1 mL = 1 m

T2T

3T

L = 1 mA

D

C

B

L = 1 mL = 1 m

T

alumnioao

T

r1= 10 cm t = 4 mmr2= 8 cm

3T

( )

3

0

( )

2

r x

d T x

dxG d

( )

3

0

( )( , )

2

r x

T x Gx

G d

4

2J r


3/12

Soluo:

Tenso mxima considerando rotao admissvel

mKNTrad

trG

TL

rG

rrG

TL

rG

TL

alaoalal

AD .34,371,02

22

4

2

33

1

4

2

4

2

4

1

4

1

Tenses mximas considerando tenses admissveis

Tenses mximas no alumnio:

mkNTMPatrG

rTG

mkNTMPa

rGaorr

Gal

rTG

mkNTMPa

rGal

rTG

BC

al

al

alCD

al

BC

alalBC

al

AB

al

alAB

al

.51,5022002

.85,142200

22

(

4

.33,93200

2

3

3

1

1

4

2

4

2

4

1

1

4

1

1

Tenso mxima no ao:

mkNTMPa

rGaorr

Gal

rTGBC

ao

aoBC

ao .05,119400

22

(

4

4

2

4

2

4

1

2

Resposta: Tmax = 37,34 kNm

4 - [P22007b_1] Um eixo est submetido aos torques indicados na figura. Considerando o eixo com dimetro

externo de 0,014m e dimetro interno de 0,007m, composto de ao (Gao = 80GPa) e ncleo de alumnio (Gal =

30GPa), determine o ngulo de toro emAe a tenso cisalhante mxima no meio da barra no ao e no alumnio.

dxdG2

)x(TL

0

)x(r

0

30L

dG2G)x(T

),x()x(r

0

3

Soluo:

Torque interno na seoAB: 0M NmTAB 75 Torque interno na seo BC: 0M NmTBC 75140 Torque interno na seo CD: 0M NmTCD 7520140

4104

1036,22

0035,0m

mJal

4944 1054,3

2

0035,0007,0m

mmJao

2

949

2

9410

10801054,310301036,2

0,1856,0658,075

m

Nmm

Nm

mNmmNmmNm

GJGJ

LTLTLT

aoaoalal

CDCDBCBCABAB

A

radA 22,0

(gira no sentido contrario a conveno de sinais)

alumnio

75Nm 140Nm 20Nm

ao

0,8m 0,6m 1,0m

A B C D

x

negativo


4/12

x= 1,2m: GPaNm

mm

NNm

GJGJ

rGT

aoaoalal

ialBCal 0235,028,290

0035,0103065

2

2

9

max

x= 1,2m: GPaNm

mm

NNm

GJGJ

rGT

aoaoalal

eaoBCao 125,028,290

007,0108065

2

2

9

max

5 - [P22007a_1] dada uma barra engastada

constituda de dois materiais (ao e alumnio), com

G1= 120 GPa e G2= 80 GPa

a)Determine Tmximopara que o giro mximo seja

0,005 rad.

b)Na mesma barra aplicado um momento adicional de

5kNm, como mostrado na figura ao lado.Determine Tmximoconsiderando que:

max ao = 70 MPa

max alumnio = 50 MPa

Frmulas:

d2

0

3

r

G

dxTd

d20

3

r

G

GT

Soluo:

Item (a):

A rotao mxima acontece, neste caso, no local onde est aplicado o torque. Assim sendo, temos:

9 4 12 4 9 4 12 4

2 2

0,4 0,80,005

80 10 25 10 120 10 25 102 2

T m T m

N Nm m

m m

Fazendo as contas: 0,262T KN m Item (b):

Considerando a tenso mxima no alumnio:3

3

4 12 4

25 1050 10

25 102

Al

mx

T mKN m

m

1,227T KN m Considerando a tenso mxima no ao:

3 34 12 4

5 25 1070 10

25 102

6,712

Ao

mx

T KNm mKN m

m

T KNm

Assim sendo, o valor de Tmx 1,227 KNm.


5/12

6 - [P22006a_1]Um eixo est submetido a toro, conforme mostrado na Figura, para T= 10 kNm. O trecho AB tem

seo transversal quadrada cheia, de lado d = 0,1 m. O trecho BC tem seo transversal quadrada de parede fina, de

lado d = 0,1 me espessura t = 0,001 m. O mdulo de elasticidade transversal do material G = 80GPa. Calcular:

a) a rotao da seo C em relao seo A;

b) a mxima tenso de cisalhamento no tubo.

Frmulas para eixo de seo transversal retangular:

2ab

Tmx

G3ab

L

T

Tabela para obteno dos coeficientes e

a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0

0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333

0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333

Frmulas para eixo de seo transversal de parede fina:

t2Am

T dx

t

ds

G4Ad

mC2

m

T

Soluo:

Tem-se por equilbrio um torque de 6Taplicado ao trecho AB e de Taplicado ao trecho BC. O trecho AB tem seo

transversal quadrada cheia, portanto de lados a = b = d. Obtm-se para a/b = 1 na tabela que 208,0 e141,0 . O trecho BC tem seo transversal quadrada de parede fina, de lado d = 0,1 m, espessura t = 0,001 m,

permetro mdCm 4,04 e rea compreendida pelo permetro22 01,0 mdA

m .

a) Rotao da seo C em relao seo A:t

d

GdGBCABAC

4

4

3

d

644

TT

radAC 42819,0375,005319,0001,0

1,04

10801,04

131010

10801,0,1410

11010694

3

94

3

b) Tenso mxima no trecho AB: MPa462,2881,0,2080

10106

d

63

3

3

T

Tenso no trecho BC: MPat

500001,01,02

1010

d2 2

3

2

T MPamx 500

m1 m33 CBA

TT5

mt 001,0

md 1,0

mx

TT

a

b


6/12

7 - [P22005b_2]O tubo abaixo tem trs segmentos, todos eles feitos do mesmo material (mdulo de elasticidade

transversal G), de mesmo comprimento e mesma seo transversal circular de raio r e parede de espessura

20/rt , ou seja, rt . O segmento BC tem um corte longitudinal, conforme indicado, no podendo serclassificado topologicamente como de seo transversal circular, embora a rea da seo transversal seja

numericamente igual da dos outros segmentos. Nos anis de reforo das sees A, B, C e D so aplicados

momentos de toro auto-equilibrados, conforme indicado na figura. Calcular:

a) a rotao da seo D em relao seo A;

b) a mxima tenso de cisalhamento no tubo.Frmulas para eixo de seo

transversal circular:

dG2)x(T

dx

d)x(r

0

3

d2

)()(

0

3

xr

G

GxT

Frmulas para eixo de seo transversal retangular:

2max ab

T

G3ab

TL

Tabela para obteno dos coeficientes e

a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0 0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333

0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333

Soluo:

Segmentos AB e CD: Torque atuante , seo transversal circular de parede fina.

Segmento BC: Torque atuante 2095,0 , seo transversal aberta com largura ra 2 e altura20rtb .

Como rt , tem-se na tabela dada, para ba , 31333,0 .

a) Rotao relativa entre as sees A e D:GrttGr

AD 3

313 2

202

2

Sendo 20/rt ,GrGrGr

AD 44

2

4

620

2

20320

b) Tenso em qualquer ponto dos segmentos AB e CD:332, r

10

r2

20

tr2

CDAB

Tenso em qualquer ponto do segmento BC:332

31 r

30

r2

203

rt2

20

BC

3r30

mx

max

TT

a

b

950,

AB

CD

950,


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8 - [P22005a_2] Um eixo est submetido a torques que variam trecho a trecho ao longo de seu comprimento,

conforme representado na figura abaixo. O eixo se compe de trs tubos, de sees transversais circulares:

h um tubo de raio r2e espessura t


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9 - [P22002_1, P22004a_1] Calcular o valor mximo de torque T que o eixo composto de ao e alumnio pode

suportar, sabendo que a tenso mxima admissvel do ao admao = 400 MPa, a tenso mxima admissvel do

alumnio admal = 200 MPa e o ngulo mximo de rotao da extremidade livre adm = 0,1 radianos. Os mdulos

de elasticidade transversal do ao e do alumnio so, respectivamente, Gao= 84 GPa e Gal= 28 GPa. O eixo consiste

em um segmento AB com ncleo de alumnio encamisado por um tubo vazado de ao, que por sua vez se acopla ao

segmento macio de alumnio BC. Os segmentos tm comprimentos LAB= 1 m e LBC= 2 m; os raios so re= 10 cm e ri

= 8 cm

dx

dG2

)x(TL

0

)x(r

0

30L

dG2G)x(T

),x()x(r

0

3

Soluo:

Diagrama de esforo de toro que age sobre o eixo composto (ver figura da prova):

Verificao do ngulo mximo de rotao da extremidade livre:

ad m

ealieaoial

AD

rG

LT

rrGrG

TL

44442

2

2

2

1,0

1,02

28

102

08,01,08408,0282

1012

4

9

444

9

TT 150,774kNm T

Verificao da mxima tenso de cisalhamento do ao no trecho AB:

ao

ad m

ieaoial

eaoao

mx

rrGrG

rTG

444

2

2

MPa

T400

08,01,08408,0282

1,0842

444 228,372kNm T

Verificao da mxima tenso de cisalhamento do alumnio no trecho AB:

al

adm

ieaoial

ialal

mx

rrGrG

rTG

444

2

2

MPa

T200

08,01,08408,0282

08,0282

444 428,199kNm T

Verificao da mxima tenso de cisalhamento do alumnio no trecho BC:

al

ad m

e

eal

mx

r

Tr

4

2

MPaT

200

1,02

1,0

4

314,159kNm T

O torque mximo admissvel o menor dos valores acima: 150,774kNm mxT

L = 1 m

ao alumnio

TT

re= 10 cmri= 8 cm

A CBL = 2 m

T

A CBL = 1 m L = 2 m

T

2T


9/12

10 - [P22003b_1]As engrenagens solidrias a um eixo esto sujeitas aos torques indicados na figura. Considerando o

eixo, com dimetro externo de 0,014m e dimetro interno de 0,007m, composto de ao (Gao= 80Gpa) e ncleo de

alumnio (Gal = 30Gpa) determine o ngulo de toro em A e a tenso cisalhante mxima no meio da barra (x =

0,60m) no ao e no alumnio.

0M 2

4r

J

442

ie rrJ

GJ

LT

GJ

rGTmax

Soluo:

Torque interno na seoAB: 0M NmTAB 150

Torque interno na seo BC: 0M NmTBC 150280 Torque interno na seo CD: 0M NmTCD 15040280

4104

1036,22

0035,0m

mJal

4944 1054,3

2

0035,0007,0m

mmJao

2

949

2

9410 10801054,310301036,2

05170031304,0150

m

Nm

m

Nm

mNmmNmmNmGJGJ

LTLTLT

aoaoalal

CDCDBCBCABAB

A

radA 22,0

(gira no sentido contrario a conveno de sinais)

x= 0,60m: GPaNm

mm

NNm

GJGJ

rGT

aoaoalal

ialBCal 047,028,290

0035,01030130

2

2

9

max

x= 0,60m: GPa

Nm

mm

NNm

GJGJ

rGT

aoaoalal

eaoBCao 25,0

28,290

007,01080130

2

2

9

max

11 - [P2199_1]Calcular o valor mximo do torque T que o eixo composto de ao e alumnio pode suportar, sabendo

que a tenso mxima admissvel do ao admao = 300 MPa, a tenso mxima admissvel do alumnio adm

al = 200

MPa e o ngulo mximo de rotao da extremidade livre adm = 0,1 radianos. Os mdulos de elasticidadetransversal do ao e do alumnio so, respectivamente, Gao= 84 GPa e Gal= 28 GPa.

Soluo:

Pede-se determinar T de tal modo que:

alumnio

150Nm 280Nm 40Nm

ao

0,4m 0,3m 0,5m

A B C D

x

negativo

d2= 10 mmd1= 8 mm(alumnio) (ao)T

a = 400 mm b = 500 mm d

dx

T

G dAA

z 2

zTG

G dAA

2

Jd4

32


10/12

Tenso mxima no ao:

mxao ao

al ao

adm

aoTG

d

G d

Gd d

2

1

42

4

1

4

2

32 32

c h

Tenso mxima no alumnio:

mx

al al

al ao

adm

alTG

d

G d

Gd d

1

1

42

4

1

4

2

32 32

c h

Rotao da extremidade livre:

Ta

G d

Gd d

Tb

G d

al ao ao

adm

14

2

4

1

42

4

32 32 32

c h

Tem-se: d1:= 0,008 m; d2:= 0,01 m; a= 0,4 m; b= 0.5 m; admao = 300 MPa; adm

al = 200 MPa; adm = 0,1 radianos; Gao= 84.000 MPa e Gal= 28.000 MPa.

Substituindo todos estes valores nas desigualdades acima, encontra-se:

Tenso mxima no ao: mxao 7.006.087 T MPa MPa300

Tenso mxima no alumnio: mxal 1.868.289 T MPa MPa200

Rotao da extremidade livre: 12735 T radianos radianos0 1, Ou seja, T deve satisfazer as seguintes desigualdades:

T. .

MNm 0,0428 kNm= 42,8 Nm 300

7 006087

T. .

MNm 0 kNm = 107 Nm 200

18682891070,

T12735

MNm = 0,00785 kNm = 7,85 Nm 0 1,

Portanto, Tmx= 7,85 Nm.

12 - [P22000a_2] O eixo propulsor de um navio vazado e transmite 8000 cv a 100 rpm. Para uma tenso decisalhamento mxima de 31,5 MPa, achar o dimetro externo ddo eixo, se o dimetro interno for d/2. Um cavalo

vapor equivale a 735,5 W.n

PT

2 para o torque T em Nm, a potncia P em watt (Nm/s) e nrotaes por segundo.

Resposta: d = 460 mm.

13 - [P2199_2, P22001_1] Calcular o valor mximo do torque T que o eixo composto de ao e alumnio pode

suportar, sabendo que a tenso mxima admissvel do ao admao = 400 MPa, a tenso mxima admissvel do

alumnio admal = 200 MPa e o ngulo mximo de rotao da extremidade livre adm = 0,1 radianos. Os mdulos

de elasticidade transversal do ao e do alumnio so, respectivamente, Gao= 84 GPa e Gal= 28 GPa. O eixo consisteem um segmento de alumnio de comprimento L = 1m e seo transversal quadrada de lado d = 20 cm, acoplado a

outro segmento tambm de alumnio de comprimento L = 1m e seo transversal circular de raio r i = 9 cm. O

segmento circular de alumnio est encamisado por um tubo vazado de ao de raio interno r i= 9 cm e raio externo re

= 10 cm.

Para a obteno do torque mximo admissvel T, deve-se considerar a rotao da extremidade livre do tubo, alm

das tenses mximas que ocorrem no segmento de seo circular de alumnio, no segmento de seo quadrada de

alumnio e no segmento de seo vazada de ao. Os anis de reforo indicados no so considerados nos clculos.

anel de reforo

T

L L

alumnio alumnio

seo

quadradade ladod

seo circular

de raio ri

seo circular de aode raio

interno rie raio externo reanel de reforo


11/12

Barra de seo transversal circular:

dxdG2

)x(TL

0

)x(r

0

30L

dG2G)x(T

),x()x(r

0

3

Barra de seo transversal retangular:

a/b 1,0 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 10,0

0,208 0,219 0,231 0,246 0,258 0,267 0,282 0,291 0,312 0,333

0,141 0,166 0,196 0,229 0,249 0,263 0,281 0,291 0,312 0,333

Soluo:

Rotao da extremidade livre:3

al4i

4eao

4ial abG

TL

)r(r2

Gr2

G

TL

ou (rad)T10293,02,00,1411082

1T

)09,0-1,(02

108409,02

1082

1T 649

44949

Tenso mxima no tubo circular de alumnio:

)r(r2

Gr2

G

rTG

4

i

4

eao

4

ial

ialal

c

T(Pa)339

)09,0-1,(02

108409,02

1082

09,01082T

44949

9

Tenso mxima no tubo circular vazado de ao:

)r(r2

Gr2

G

rTG

4

i

4

eao

4

ial

eaoao

T(Pa)1131

)09,0-1,(02

108409,02

1082

1,01084T

44949

9

Tenso mxima no segmento de alumnio de seo quadrada:

(Pa)T6012,0208,0

T

ab

T

32

al

q

Comparao com os valores mximos admissveis:

kNm341Trad0,1T10293,0 6

kNm589TMPa200T339alc al

ad m

kNm353TMPa400T1131 ao aoad m

kNm333TMPa200T601alq al

ad m

Portanto, kNm333T

max

TT

a

b2max ab

T

Gab

TL30L


12/12

14 - [P22002a_2] Calcular o valor mximo do torque T que o eixo composto de ao e alumnio pode suportar,

sabendo que a tenso mxima admissvel do ao admao = 400 MPa, a tenso mxima admissvel do alumnio adm

al

= 200 MPa e o ngulo mximo de rotao da extremidade livre adm = 0,1 radianos. Os mdulos de elasticidadetransversal do ao e do alumnio so, respectivamente, Gao = 84 GPa e Gal = 28 GPa. O eixo consiste em um

segmento de alumnio de comprimento L = 1m e seo transversal quadrada de lado d = 20 cm, acoplado a outro

segmento tambm de alumnio de comprimento L = 1m e seo transversal circular de raio r i= 9 cm. O segmento

circular de alumnio est encamisado por um tubo vazado de ao de raio interno ri= 9 cm e raio externo r

e= 10 cm.

Para a obteno do torque mximo admissvel T, deve-se considerar a rotao da extremidade livre do tubo, alm

das tenses mximas que ocorrem no segmento de seo circular de alumnio, no segmento de seo quadrada de

alumnio e no segmento de seo vazada de ao. Os anis de reforo indicados no precisam ser considerados nos

clculos.

dG2G)x(T

),x()x(r

0

3

dxdG2

)x(TL

0

)x(r

0

30L

Soluo:

Rotao da extremidade livre:3

al4

i

4

eao

4

ial

abG

TL

)r(r2

Gr2

G

2TL

ou (rad)T104277,02,00,1411082

1T

)09,0-1,(02

108409,02

1082

1T2 649

44949

Tenso mxima no tubo circular de alumnio:

)r(r2

Gr2

G

r2TG

4

i

4

eao

4

ial

ialal

c

T(Pa)9,678

)09,0-1,(02

108409,02

1082

09,01082T2

44949

9

Tenso mxima no tubo circular vazado de ao:

)r(r2

Gr2

G

r2TG

4

i

4

eao

4

ial

eaoao

T(Pa)2263

)09,0-1,(02

108409,02

1082

1,01084T2

44949

9

Tenso mxima no segmento de alumnio de seo quadrada:

(Pa)T6012,0208,0

TabT 32alq

Comparao com os valores mximos admissveis:

kNm8,332Trad0,1T104277,0 6

kNm6,942TPa10200T9,678 6alc al

ad m

kNm7,761TPa10400T2263 6ao aoadm

kNm333TPa10200T601 6alq al

ad m

Portanto, kNm7,761T

T

L L

alumnio alumnio

seo

quadrada

de lado d

seo circular de

raio ri

seo circular de aode raio

interno rie raio externo re

anel de reforo

T

02 - questões de provas antigas de torção

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