02 estatisticae probabilidade

1. ESTATSTICA E PROBABILIDADE 1a Edio - 2.007

2. SOMESB SOCIEDADE MANTENEDORA DE EDUCAO SUPERIOR DA BAHIA S/C LTDA. GERVSIO MENESES DE OLIVEIRA PRESIDENTE WILLIAM OLIVEIRA VICE-PRESIDENTE SAMUEL SOARES SUPERINTENDENTE ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO GERMANO TABACOF SUPERINTENDENTE DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSO PEDRO DALTRO GUSMO DA SILVA SUPERINTENDENTE DE DESENVOLVIMENTO E PLANEJAMENTO ACADMICO FTC-EAD FACULDADE DE TECNOLOGIA E CINCIAS ENSINO A DISTNCIA REINALDO DE OLIVEIRA BORBA DIRETOR GERAL ROBERTO FREDERICO MERHY DIRETOR ACADMICO JEAN CARLO NERONE DIRETOR DE TECNOLOGIA ANDR PORTNOI DIRETOR ADMINISTRATIVO E FINANCEIRO RONALDO COSTA GERENTE ACADMICO JANE FREIRE GERENTE DE ENSINO LUS CARLOS NOGUEIRA ABBEHUSEN GERENTE DE SUPORTE TECNOLGICO ROMULO AUGUSTO MERHY COORD. DE SOFTWARES E SISTEMAS OSMANE CHAVES COORD. DE TELECOMUNICAES E HARDWARE JOO JACOMEL COORD. DE PRODUO DE MATERIAL DIDTICO MATERIAL DIDTICO PRODUO ACADMICA PRODUO TCNICA JANE FREIRE JOO JACOMEL GERENTE DE ENSINO COORDENAO ANA PAULA AMORIM CARLOS MAGNO BRITO ALMEIDA SANTOS SUPERVISO REVISO DE TEXTO GECIARA DA SILVA CARVALHO JONES GARCIA DA MATA COORDENADOR DE CURSO REVISO DE CONTEDO ADRIANO PEDREIRA CATTAI PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO PAULO HENRIQUE RIBEIRO DO NASCIMENTO AUTOR(A) EDIO EM LATEX2 EQUIPE ALEXANDRE RIBEIRO, ANGLICA JORGE, CEFAS GOMES, CLAUDER FILHO, DELMARA BRITO, DIEGO DORIA ARAGO, FBIO GONALVES, FRANCISCO FRANA JNIOR, HERMNIO FILHO, ISRAEL DANTAS, LUCAS DO VALE, MARCIO SERAFIM, MARIUCHA PONTE, RUBERVAL FONSECA E TATIANA COUTINHO. Copyright c 2.007 FTC-EAD Todos os direitos reservados e protegidos pela lei 9.610 de 19/02/98. proibida a reproduo total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorizao prvia, por escrito, da FTC-EAD - Faculdade de Tecnologia e Cincias - Ensino a distncia. www.ead.ftc.br 3. Sumrio Bloco 1: Estatstica Descritiva 8 Tema 1: Sries Estatsticas, Medidas de Tendncia Central e Moda 8 1.1 Mtodo Estatstico .................................................................................. 9 1.1.1 Fases do Mtodo Estatstico ................................................................... 10 1.2 Divises da Estatstica .............................................................................. 11 1.3 Populao e Amostra ............................................................................... 11 1.4 Variveis Estatsticas ............................................................................... 13 1.5 Sries Estatsticas .................................................................................. 14 Dados Brutos e Rol.................................................................................... 14 Classicao das Sries Estatsticas ................................................................. 14 1.6 Apresentao de uma Srie Estatstica ............................................................ 15 1.6.1 Apresentao Tabular .......................................................................... 15 Apresentao do Tempo .............................................................................. 16 Arredondamento de Dados Numricos ............................................................... 17 1.6.2 Exerccio Proposto ............................................................................. 18 1.6.3 Exemplos de Tabelas de Algumas Sries Estatsticas ........................................ 18 1.6.4 Exerccios Propostos ........................................................................... 18 1.7 Distribuio de Freqncias ........................................................................ 21 1.7.1 Tipos de Freqncias .......................................................................... 22 1.7.2 1a - Variveis Qualitativas ...................................................................... 22 1.7.3 2a - Variveis Quantitativas Discretas ......................................................... 23 1.7.4 3a - Variveis Quantitativas CFontnuas ....................................................... 24 1.7.5 Determinao do Nmero de Classes e Amplitude do Intervalo de Classes ................. 25 1.7.6 A Regra de Sturges ............................................................................ 25 1.7.7 A Regra do Quadrado .......................................................................... 26 1.7.8 Amplitude do Intervalo de Classes............................................................. 26 1.7.9 Ponto Mdio da Classe ........................................................................ 27 1.7.10 Exerccios Propostos ........................................................................... 27 1.8 Apresentao Grca ............................................................................... 31 1.8.1 Cuidados na Representao Grca .......................................................... 36 1.8.2 Exerccios Propostos ........................................................................... 36 1.9 Medidas de Posio................................................................................. 38 1.9.1 Mdia Aritmtica ............................................................................... 38 Propriedades da Mdia Aritmtica .................................................................... 39 Mdia Aritmtica para Valores Agrupados em Classes............................................... 39 1.9.2 Exerccios Propostos ........................................................................... 40 1.9.3 Mdia Geomtrica.............................................................................. 41 Mdia Geomtrica Ponderada ........................................................................ 41 Propriedades da Mdia Geomtrica .................................................................. 42 1.9.4 Mdia Harmnica .............................................................................. 42 Mdia Harmnica Ponderada ......................................................................... 43 Propriedades da Mdia Harmnica ................................................................... 43 1.9.5 Mdia Quadrtica .............................................................................. 43 1.9.6 Relao entre as Mdias....................................................................... 45 ESTATSTICA E PROBABILIDADE 3 4. 1.9.7 Exerccios Propostos ........................................................................... 45 1.9.8 Mediana ........................................................................................ 45 Mediana em um Conjunto com Valores No-Tabulveis.............................................. 46 Mediana em um Conjunto com Valores Tabulveis . .................................................. 46 1.9.9 Moda ........................................................................................... 48 Mtodo de King ........................................................................................ 49 Mtodo de Czuber ..................................................................................... 49 Frmula de Pearson ................................................................................... 49 Relao entre a Mdia Aritmtica, a Moda e a Mediana ............................................. 50 1.9.10 Exerccios Propostos ........................................................................... 51 Tema 2: Medidas 53 2.1 Medidas de Posio II............................................................................... 53 2.1.1 Separatrizes .................................................................................... 53 2.1.2 Quartis, Decis e Centis......................................................................... 53 2.1.3 Exerccios Propostos ........................................................................... 54 2.1.4 Amplitude Total ................................................................................. 56 2.1.5 Desvio .......................................................................................... 56 Propriedades do Desvio ............................................................................... 56 2.1.6 Desvio Quartil .................................................................................. 57 2.1.7 Desvio Mdio Absoluto......................................................................... 57 2.1.8 Varincia ....................................................................................... 57 Propriedades da Varincia ............................................................................ 58 2.1.9 Desvio Padro.................................................................................. 58 Propriedades do Desvio Padro ...................................................................... 59 2.1.10 Relaes Importantes para o Desvio Padro.................................................. 59 2.1.11 Exerccio Proposto ............................................................................. 60 2.1.12 Varincia Relativa .............................................................................. 60 2.1.13 Coeciente de Variao de Pearson ........................................................... 60 2.2 Medidas de Assimetria . ............................................................................. 61 2.2.1 Coecientes de Assimetria de Pearson........................................................ 61 2.2.2 Exerccio Proposto ............................................................................. 62 2.3 Medidas de Curtose ................................................................................ 62 2.3.1 Exerccio Proposto ............................................................................. 62 2.4 Gabarito ............................................................................................. 62 Bloco 2: Probabilidade, Regresso e Correlao. 63 Tema 3: Probabilidade 63 3.1 Apresentao ....................................................................................... 63 3.2 Consideraes Iniciais .............................................................................. 63 3.2.1 Exerccios Propostos ........................................................................... 65 3.3 Operaes com Eventos ............................................................................ 65 3.3.1 Exerccios Propostos ........................................................................... 66 3.4 Um Pouco de Histria ............................................................................... 67 3.5 Clculos Probabilsticos............................................................................. 67 3.5.1 A Probabilidade de um Evento ................................................................. 67 Exerccios Propostos .................................................................................. 70 FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA4 5. 3.5.2 Probabilidade Condicional ..................................................................... 71 3.5.3 Exerccios Propostos ........................................................................... 71 3.5.4 Probabilidade da Ocorrncia Simultnea de Eventos ......................................... 72 3.5.5 Independncia de Eventos ..................................................................... 72 Exerccios Propostos .................................................................................. 74 3.5.6 O Teorema da Probabilidade Total ............................................................. 76 Exerccios Propostos .................................................................................. 77 3.5.7 O Teorema de Bayes ........................................................................... 78 Exerccios Propostos .................................................................................. 79 3.6 Gabarito ............................................................................................. 80 Tema 4: Principais Modelos Probabilsticos, Regresso e Correlao Linear 81 4.1 Varivel Aleatria ................................................................................... 81 4.1.1 Tipos de Variveis Aleatrias .................................................................. 81 4.2 Funes de Probabilidades . ........................................................................ 82 4.2.1 Distribuio de Probabilidades. ................................................................ 82 4.2.2 Densidade de Probabilidade ................................................................... 82 4.3 Funo de Repartio .............................................................................. 83 Exerccios Propostos .................................................................................. 84 4.4 Variveis Aleatrias Bidimensionais ................................................................ 84 4.5 Distribuio de Probabilidade Conjunta ............................................................ 85 4.6 Funo de Repartio Conjunta .................................................................... 85 4.7 Funes de Probabilidade Marginais ............................................................... 85 4.8 Distribuio de Probabilidade Marginal ............................................................. 85 4.9 Variveis Aleatrias Discretas Independentes ..................................................... 86 4.9.1 Exerccios Propostos ........................................................................... 86 4.10 Probabilidade Condicional .......................................................................... 87 4.11 Esperana de uma Varivel Aleatria .............................................................. 87 4.11.1 Esperana de uma Varivel Aleatria Discreta ................................................ 87 4.11.2 Esperana de uma Varivel Aleatria Contnua ............................................... 88 4.11.3 Propriedades da Esperana ................................................................... 88 4.12 Mediana ............................................................................................. 90 4.13 Moda ................................................................................................ 90 4.14 Varincia ............................................................................................ 90 4.14.1 Varincia de uma Varivel Aleatria Discreta.................................................. 91 4.14.2 Varincia de uma Varivel Aleatria Contnua................................................. 91 4.14.3 Propriedades da Varincia de uma Varivel Aleatria. ........................................ 92 4.15 Desvio Padro ...................................................................................... 92 4.16 Covarincia entre duas Variveis Aleatrias ....................................................... 93 4.17 Exerccios Propostos................................................................................ 95 Alguns Modelos Probabilsticos para Variveis Aleatrias 96 4.18 Modelos Probabilsticos para Variveis Aleatrias Discretas ...................................... 97 4.18.1 Distribuio de Bernoulli ....................................................................... 97 Probabilidade numa Distribuio de Bernoulli ........................................................ 97 A Esperana e a Varincia numa Distribuio de Bernoulli .......................................... 97 4.18.2 Distribuio Binomial . .......................................................................... 98 Esperana e Varincia em uma Distribuio Binomial. ............................................... 99 Exerccios Propostos .................................................................................. 100 ESTATSTICA E PROBABILIDADE 5 6. 4.18.3 Distribuio de Poisson ........................................................................ 101 A Probabilidade numa Distribuio de Poisson ....................................................... 102 A Esperana e a Varincia numa Distribuio de Poisson ........................................... 102 4.18.4 Distribuio Binomial Distribuio de Poisson .............................................. 105 4.18.5 Exerccios Propostos ........................................................................... 106 4.19 Modelos Probabilsticos para Variveis Aleatrias Contnuas ..................................... 107 4.19.1 Distribuio Uniforme .......................................................................... 107 4.19.2 A Esperana e a Varincia de uma Distribuio Uniforme .................................... 108 4.19.3 Exerccios Propostos ........................................................................... 108 4.19.4 Distribuio Normal ............................................................................ 109 4.19.5 Principais Caractersticas ...................................................................... 110 O Clculo da Probabilidade pela Distribuio Normal ................................................ 110 A Curva Normal Padro ou Reduzida................................................................. 111 Exerccios Propostos .................................................................................. 113 Regresso e Correlao 113 4.20 Ajustamento de Curvas ............................................................................. 114 4.21 Equaes Normais (Mtodo dos Mnimos Quadrados) ............................................ 115 4.21.1 Processo Alternativo ........................................................................... 116 4.21.2 Exerccio Proposto ............................................................................. 118 4.22 Correlao .......................................................................................... 118 4.22.1 O Coeciente de Correlao ................................................................... 118 4.22.2 Interpretao Grca........................................................................... 119 4.23 Erro Padro ......................................................................................... 120 4.24 Limites de Conana para Coecientes de Regresso ............................................ 120 4.25 Gabarito ............................................................................................. 122 Referncias Bibliogrcas 123 Atividade Orientada 1 5.1 Etapa 1 .............................................................................................. 1 5.2 Etapa 2 .............................................................................................. 3 5.3 Etapa 3 .............................................................................................. 7 7. Caro aluno, Este material foi produzido com o objetivo de dar suporte aos graduandos do curso de Licen- ciatura em Matemtica na disciplina Estatstica e Probabilidades. Dois grandes blocos so apresentados: a Estatstica Descritiva e a Teoria de Probabilidades. A primeira utiliza-se de mtodos para organizar, resumir e descrever os aspectos importantes de um conjunto de caractersticas observadas ou comparar tais caractersticas entre dois ou mais conjuntos. Os blocos so divididos em quatro temas. No Tema 1, apresentamos alguns conceitos introdutrios. As sries estatsticas e as represen- taes tabular e grca. Alm disso, abordaremos o clculo das mdias, da moda e da mediana de uma distribuio de freqncias. No Tema 2, trabalharemos as separatrizes e as medidas de disperso, assimetria e curtose. No Tema 3, veremos os principais resultados na teoria de probabilidades. No Tema 4, expande-se o conceito de probabilidade com a insero do conceito de varivel aleatria. Os eventos que possuem determinadas caractersticas so associadas a determinadas funes de probabilidade. O grau de dependncia entre duas variveis aleatrias inserido e tambm apresentado o conceito de Regresso Linear. Aqui, observar-se- como a Estatstica essencial para a compreenso dos resultados de uma pesquisa. Prof. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento APRESENTAO DA DISCIPLINA 8. BLOCO 01 Estatstica Descritiva TEMA 01 Sries Estatsticas, Medidas de Tendncia Central e Moda Apresentao Desde remota antigidade, os governos tm se interessado por informaes sobre suas populaes e riquezas, tendo em vista, principalmente, ns militares e tributrios. Confcio relatou levantamentos feitos na China, h mais de 2.000 anos antes da era crist. No antigo Egito, os faras zeram uso sistemtico de informaes de carter estatstico, conforme evidenciaram pesquisas arqueolgicas. Desses registros tambm se utilizaram as civilizaes pr-colombianas dos maias, astecas e incas. conhecido de todos os cristos o recenseamento dos judeus, ordenado pelo Imperador Augusto. Os balancetes do imprio romano, o inventrio das posses de Carlos Magno, o Doomsday Book, registro que Guilherme, o Conquistador, invasor normando da Inglaterra, no sculo XI, mandou levantar das propriedades rurais dos conquistados anglo-saxes para se inteirar de suas riquezas, so alguns exemplos anteriores emergncia da estatstica descritiva no sculo XVI, na Itlia. Essa prtica tem sido continuada nos tempos modernos, por meio dos recenseamentos, dos quais temos um exemplo naquele que se efetua a cada decnio, em nosso Pas, pela Fundao IBGE, rgo responsvel por nossas estatsticas (dados estatsticos) ociais. Com o Renascimento, foi despertado o interesse pela coleta de dados estatsticos, principalmente por suas aplicaes na administrao pblica. A palavra estatstica, derivada do termo latino status (estado), parece ter sido introduzida na Alemanha, em 1.748, por Achenwall. A Estatstica encarada, atualmente, como uma cincia capaz de obter, sintetizar, prever e tirar inferncias sobre dados. Porm, no sculo XVII, na Inglaterra, a estatstica era a Aritmtica do Estado (Political Arithmetic), consistindo, basicamente, na anlise dos registros de nascimentos e mortes, originando, mais tarde, as primeiras tbuas de mortalidade. Ao longo da Idade Mdia e at ao sculo XVIII, a estatstica foi puramente descritiva, coexistindo duas escolas: a escola descritiva alem, cujo representante mais conhecido o economista G. Achenwall (1.719-1.772), professor na Universidade de Gottingen, considerado pelos alemes como o pai da estatstica, e a escola dos matemticos sociais, que procuravam traduzir por leis a regu- laridade observada de certos fenmenos, de carter econmico e sociolgico. Embora esta escola procurasse fundamentar a formulao de previses com base em leis sugeridas pela experincia, a estatstica confundia- se, praticamente, com a demograa qual fornecia mtodos sistemticos de enumerao e organizao. Na realidade, a necessidade sentida, em todas as pocas, de conhecer, numrica e quantitativamente, a realidade poltica e social tornou a anlise demogrca uma preocupao constante. John Graunt (1620-1674), juntamente com William Petty (1.623-1.687), autor de Political Arithmetic, e o astrnomo Edmond Halley (1.656-1.742) so os principais representantes da escola inglesa, que d um novo impulso estatstica, fazendo-a ultrapassar um estado puramente descritivo: analisam-se os dados na procura de certas regularidades, permitindo enunciar leis e fazer previses. No entanto, a estatstica, para adquirir o estatuto de disciplina cientca, e no puramente ideogrca ou descritiva, teve que esperar pelo desenvolvimento do clculo das probabilidades, que lhe viria a fornecer a linguagem e o aparelho conceptual permitindo a formulao de concluses com base em regras indutivas. Data do sculo XVII o incio do estudo sistemtico dos problemas ligados aos fenmenos aleatrios, comeando FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA8 9. a ser manifestada a necessidade de instrumentos matemticos, aptos a analisar este tipo de fenmenos, em todas as cincias que pem o problema do tratamento e interpretao de um grande nmero de dados. Pode- se datar dos ns do sculo XIX, o desenvolvimento da estatstica matemtica e suas aplicaes, com F. Galton (1.822-1.911), K. Pearson (1.857-1.936) e mtodos estatsticos na investigao experimental se ca a dever, fundamentalmente, aos trabalhos de K. Pearson e R. A. Fisher (1.890-1.962). A partir de Pearson e Fisher o desenvolvimento da estatstica matemtica, por um lado, e dos mtodos estatsticos aplicados, por outro, tm sido tal que praticamente impossvel referir nomes. Em todas as reas da cincia, a coleta de dados se faz necessria e com isso a Estatstica tem crescido muito nos ltimos anos, especialmente com o advento dos computadores e surgimento de softwares cada vez mais sosticados. Observar uma extensa listagem de dados coletados no nos permite chegar a uma concluso concisa. Este fato se agrava se esse conjunto de dados, possui muitas caractersticas que devam ser investigadas. Os mtodos descritivos so utilizados, portanto, para organizar, resumir e descrever aspectos importantes de um conjunto de caractersticas observadas ou comparar tais caractersticas entre dois ou mais conjuntos. Ao se resumir ou condensar um conjunto de dados, informaes so perdidas, visto que, no estamos mais trabalhando com as observaes originais. Entretanto, esta perda de informao pequena se compararmos ao ganho que se tem com a clareza da interpretao proporcionada. A descrio dos dados tambm tem como objetivo identicar anomalias, at mesmo resultante do registro incorreto de valores, e dados dispersos, aqueles que no seguem a tendncia geral do restante do conjunto. No s nos artigos tcnicos direcionados para pesquisadores, mas tambm, nos artigos de jornais e re- vistas escritos para o pblico leigo, cada vez mais freqente a utilizao dos recursos de descrio para complementar a apresentao de um fato, justicar ou referendar um argumento. As ferramentas descritivas so os muitos tipos de grcos e tabelas e as medidas de sntese, como os ndices e as mdias. 1.1 Mtodo Estatstico A Estatstica originou-se da coleta e construo de tabelas de dados para o governo. A situao foi evoluindo e esta coleta de dados representa somente um dos aspectos da Estatstica. Hoje em dia podemos adotar a seguinte denio para a Estatstica: Cincia que se baseia na Teoria das Probabilidades e cujo objetivo principal nos auxiliar a tomar decises ou tirar concluses em situaes de incerteza, a partir de informaes numricas. 1.1 Denio. Mtodo um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um determinado objetivo. Dos mtodos cientcos podemos destacar os mtodos: Experimental - consiste em manter constantes todas as causas (fatores), menos uma, e variar esta causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam. o mtodo preferido no estudo da Fsica e da Qumica. Estatstico - diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variaes e procurando determinar, no resultado nal, que inuncias cabem a cada uma delas. Como exemplo, podemos citar a determinao das causas que denem o preo de uma mercadoria. Para aplicarmos o mtodo experimental, teramos de fazer variar a quantidade da mercadoria e vericar se tal fato iria inuenciar seu preo. Porm, seria necessrio que no houvesse ESTATSTICA E PROBABILIDADE 9 10. alterao nos outros fatores. Assim, deveria existir, no momento da pesquisa, uma uniformidade dos salrios, o gosto dos consumidores deveria permanecer constante, seria necessria a xao do nvel geral dos preos das outras necessidades e etc. Mas, isso tudo impossvel. Da a necessidade de utilizao do mtodo estatstico. 1.1.1 Fases do Mtodo Estatstico 1. DEFINIO DO PROBLEMA: Consiste em uma apreciao ou formulao correta do problema a ser estudado, e levando em considerao os valores: o que, onde, como e quando. 2. PLANEJAMENTO: Nesta fase temos a considerar o procedimento necessrio para o desenvolvimento dos trabalhos ou seja: como levantar informaes, que dados devero seus obtidos, qual ser a maneira mais correta para formular as perguntas, construir o cronograma das atividades, determinar os custos operacionais e determinar o tamanho da pesquisa. 3. COLETA DE DADOS: a fase que consiste em adquirir as informaes necessrias e feita atravs de um questionrio ou boletim. A coleta pode ser direta ou indireta. A coleta direta quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatrio (nascimentos, casamentos e bitos, importao e exportao) elementos pertinentes aos pronturios dos alunos de uma escola, ou ainda, quando os dados so coletados pelo prprio pesquisador atravs de inquritos e questionrios, a exemplo de notas de vericao e de exames, do censo demogrco, etc. A coleta direta pode ser classicada relativamente ao fator tempo em permanente: aquelas onde as informaes so sempre atualizadas e so comunicadas por terceiros, por exemplo o registro civil; contnua: feita continuamente, por exemplo, a freqncia dos alunos s aulas; peridica: feita em intervalos constantes de tempo, realizada em poca certa e em tempo determinado, por exemplo, censo (a cada ano); ocasional: aquela que feita em dado momento com a nalidade de atingir um objetivo imediato, por exemplo, uma pesquisa do IBOPE. A coleta indireta quando inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do conhecimento de outros fenmenos relacionados com o fenmeno estudado. Ex.: Pesquisa sobre a mortalidade infantil, feita a partir de dados colhidos por uma coleta direta. A coleta pode ser adquirida de duas maneiras: Por vias internas: so aquelas obtidas dentro da organizao; Por vias externas: so aquelas que podem ser obtidas por via primria (informao obtida diretamente pela pessoa), ou por via secundria(obtida atravs de publicaes). 4. CRTICA DOS DADOS - Pode ser externa, quando visa s causas dos erros por parte do informante; ou interna quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta. 5. APURAO DOS DADOS: a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposio mediante critrios de classicao. Pode ser manual, eletromecnica ou eletrnica e os clculos. 6. EXPOSIO OU APRESENTAO DOS DADOS: a maneira de mostrar as informaes a terceiros, podendo ser: a) Expositiva (descrio ou narrao); b) Aritmtica (apresentada atravs de tabelas); c) Geomtrica (atravs de grcos); d) Pictrica (o fenmeno ilustrado atravs de guras representativas). 7. ANLISE DOS RESULTADOS: Concludas as fases anteriores (Estatstica Descritiva), fazemos uma anlise dos resultados obtidos, atravs dos mtodos da Estatstica Indutiva ou Inferencial, e tiramos desses resultados concluses e previses. a etapa mais delicada e importante, pois ai temos que tirar as concluses que serviro para auxiliar o pesquisador a resolver o seu problema. Atualmente a empresa uma das vigas mestras da Economia dos povos. A direo de qualquer tipo de empresa, exige de FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA10 11. seu administrador a importante tarefa de tomar decises, e o conhecimento e uso da Estatstica facilitar seu trplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. 1.2 Divises da Estatstica A Teoria Estatstica moderna se divide em dois grandes campos: Estatstica Descritiva ou Dedutiva - consiste num conjunto de mtodos que ensinam a reduzir uma quantidade de dados bastante numerosa por um nmero pequeno de medidas (dados numricos, tabelas, grcos ou curvas), substitutas e representantes daquela massa de dados. A disponibilidade de uma grande quantidade de dados e de mtodos computacionais muito ecientes revig- orou a rea da Estatstica denominada Estatstica Descritiva. Estatstica Inferencial ou Indutiva - consiste em deduzir ou tirar concluses (inferir) a respeito das propriedades de um universo a partir de uma amostra. O processo de generalizao, que caracterstico do mtodo indutivo, est associado a uma margem de incerteza. A medida da incerteza tratada mediante tcnicas e mtodos que se fundamentam na Teoria das Probabilidades. A inferncia estatstica procura com base nos dados amostrais tirar concluses sobre a populao. Con- sidere o exemplo abaixo para ilustrar as denies dadas. 1.3 Populao e Amostra 1.2 Denio. [Populao, Censo ou Universo Estatstico] Conjunto de indivduos, objetos ou informaes que apresentam pelo menos uma caracterstica comum, cujo comportamento interessa analisar. Ou, em outras palavras, conjunto de todas as medidas, observaes relativas ao estudo de determinado fenmeno. Seja = {xi } uma populao, onde i representa a ordem do elemento populacional e = {Yk } um conjunto de caractersticas da populao as quais no interessa estudar. Ento, a cada elemento de podemos associar a uma caracterstica Yk . Exemplo 1.1. i) O Ministrio da Sade pretende estudar o nvel da glucose no sangue das crianas brasileiras com 7 anos de idade em 2.001. Populao: = {o conjunto formado por todas as crianas portuguesas com 7 anos}. Caracterstica: = {nvel de glucose no sangue}. ii) Deseja-se saber se nas indstrias situadas no Estado da Bahia, em 1997, existia algum tipo de controle ambiental. Populao: = {indstrias situadas no Estado da Bahia em 1997}. Caracterstica: = {existncia ou no de algum tipo de controle ambiental na indstria}. iii) Estudo sobre a precipitao pluviomtrica na Regio Nordeste no ano 1997. Populao ou universo: = {rea referente Regio Nordeste}. Caracterstica: = {precipitao pluviomtrica}. ESTATSTICA E PROBABILIDADE 11 12. iv) Deseja-se conhecer o patrimnio lquido, faturamento, nmero de empregados, tempo de existncia, das empresas situadas no Plo Petroqumico de Camaari neste ano. Populao ou universo: = {empresas existentes no Plo Petroqumico de Camaari no ano em estudo}. Caractersticas: = {patrimnio lquido, faturamento, nmero de empregados, tempo de existncia}. v) Deseja-se conhecer a idade, o peso, a estatura, a classe social e o tipo de dieta alimentar das crianas at dois anos de idade residentes no bairro Cabula, Salvador, em 2000. Populao ou universo: = {crianas at dois anos de idade residentes no Cabula em 2000}. Caracterstica: = {idade, peso, estatura, classe social, tipo de dieta alimentar}. vi) O Servio de Meteorologia pretende estudar a temperatura ambiente na cidade de Salvador s 8h de hoje. Populao ou universo: = {Salvador}. Caracterstica: = {a temperatura ambiente s 8h de hoje}. Devemos considerar ainda que as populaes podem ser homogneas (cujas partes todas so da mesma natureza) ou heterogneas (pelo menos uma das partes possui natureza distinta) Em geral, como os universos so grandes, investigar todos os elementos populacionais para determinarmos a caracterstica necessita muito tempo, e/ou o custo elevado, e/ou o processo de investigao leva a destru- io do elemento observado, ou, como no caso de populaes innitas, impossvel observar a totalidade da populao. Assim, para minimizar a inuncia dessas diculdades, estudar parte da populao constitui-se um aspecto fundamental da Estatstica. 1.3 Denio. [Amostra] Chamamos de amostra um subconjunto prprio e nito da populao. A seleo da amostra baseada em caractersticas da populao. Populao caracterstica Tcnicas de amostragem Amostra Anlise descritiva Concluses sobre as caractersticas da populao Inferncia Estatstica Informaes contidas nos dados Figura 1.1: Notas de Aula da Disciplina MAT116 - USP A estatstica, portanto, muito se baseia em fatos deduzidos pela teoria da amostragem. Por exemplo: Seja a razo que expressa a inteno de voto a cada 10 eleitores indagados que o candidato a Prefeito Alberto Magalhes receberia se fosse analisada toda a populao de uma cidade que est para realizar eleies brevemente. Como um resultado difcil de se obter, vamos trabalhar com amostras. Seja x1,x2, . . . ,xk , as razes que expressam a inteno de voto a cada 10 eleitores indagados, obtidas das amostras de tamanho n de determinadas regies da cidade. Sabemos que estas medidas s tero algum signicado se um nmero razovel destas estiverem sucientemente prximas da medida . Cada erro absoluto calculado por |xi | = i . Se torna interessante para a Estatstica analisar o comportamento dos erros nas diversas amostras referidas. Como o tamanho da amostra inuencia na magnitude do erro, quanto maior for a amostra, mais provvel ser que se tenha uma melhor estimativa. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA12 13. Desta forma, analisaremos quais i so menores que um valor xo aceitvel para o erro. Claro que, quanto maior a quantidade de valores i menores ou iguais que , mais convel ser a estimativa, ou seja, quando trabalhamos com amostras, visando conhecer a populao, necessrio conhecer a probabilidade de que o erro obtido no seja maior do que : P(|xi | ) = 1 . Assim, dizemos que cada amostra representativa da populao e que a medida xi , de uma amostra previamente selecionada, pode ser utilizada como estimativa para a medida . Uma medida, obtida com clculos baseados em informaes de uma amostra, chamada de estatstica enquanto que a medida, obtida com clculos baseados em informaes de uma populao, chamada de parmetro. A parte da Estatstica responsvel pela determinao do tamanho da amostra e da forma de seleo dos seus elementos chamada Amostragem. 1.4 Variveis Estatsticas A Estatstica ocupa-se, fundamentalmente, das propriedades das populaes cujas caractersticas so passveis de representao numrica como resultado de medies e contagens. Essas caractersticas da populao so comumente chamadas de variveis. As variveis podem ser divididas em dois grupos: qualitativas e quantitativas. QUALITATIVA NOMINAL (sexo, estado civil, cor dos olhos, etc.) ORDINAL (classe social, grau de instruo, etc.) QUANTITATIVA CONTNUA (peso, altura, salrio mensal, etc.) DISCRETA (nmero de lhos, nmero de carros, idade, etc.) Variveis qualitativas - quando o resultado da observao apresentado na forma de qualidade ou atributo. Exemplos: setor de atividade econmica; estado civil; porte da empresa; etc. - Varivel qualitativa nominal - quando no existe qualquer ordenao para os resultados obtidos do processo de observao. Como exemplo, temos, entre as variveis acima citadas: setor de atividade econmica (industrial, comercial, servios, etc.); estado civil (solteiro, casado, vivo, etc.). - Varivel qualitativa ordinal - quando existe uma certa ordenao nos possveis resultados das observaes efetuadas. Exemplo: porte de uma empresa (micro, pequena, mdia e grande). Outro exemplo seria a classe social (alta, mdia e baixa); ou, ainda, o grau de escolaridade do empregado (1 grau; 2 grau; e 3 grau). Variveis quantitativas - quando o resultado da observao um nmero, decorrente de um processo de mensurao ou contagem. Exemplos: nmero de empregados; salrio mensal; faturamento anual; idade; tamanho da famlia; etc. - Varivel quantitativa discreta - quando os resultados possveis da observao formam um conjunto nito ou enumervel de nmeros e que resultam, freqentemente, de uma contagem. Exemplos: nmero de empregados; tamanho da famlia. - Varivel quantitativa contnua - quando os possveis valores formam um intervalo ou uma unio de intervalos de nmeros reais e que resultam, normalmente, de uma mensurao. Exemplos: salrio mensal; faturamento anual, altura; peso. Para resumir as informaes levantadas durante uma pesquisa usaremos a tcnica e a representao mais apropriada, a depender do tipo de varivel que estamos analisando. ESTATSTICA E PROBABILIDADE 13 14. 1.5 Sries Estatsticas Uma srie estatstica toda e qualquer coleo de dados estatsticos referidos a uma mesma ordem de classicao quantitativa. Genericamente podemos dizer que uma sucesso de nmeros que se relacionam com qualquer varivel do fenmeno em estudo. A palavra srie usada normalmente para designar um conjunto de dados dispostos de acordo com um carter varivel. Assim, ao realizarmos um levantamento de dados sobre um fenmeno ou varivel, o que obtemos uma srie estatstica. Dados Brutos e Rol Quando fazemos um levantamento de dados, se faz necessrio o registro das informaes coletadas (questionrios, formulrios, etc.). Estas informaes, apresentadas de forma desorganizada so chamados de dados brutos. Por exemplo, 4, 3, 4, 5, 7, 4, 6, 6, 7, 7, 4, 6, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 2, 3, 6. Quando os valores para cada varivel investigada esto dispostos em uma determinada ordem, crescente ou decrescente, chamamos cada listagem de rol. Por exemplo, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8. Podemos tambm caracterizar os dados estatsticos sua espcie ou tipo caracterstico: discretos (podemos contar os tens); contnuos (no podemos contar); nominais ou categricos; por postos. Classicao das Sries Estatsticas As sries estatsticas so diferenciadas umas das outras pelos seguintes fatores dos elementos que a compe: - A poca (fator temporal ou cronolgico) a que se refere o fenmeno observado; - O local (fator espacial ou geogrco) onde o fenmeno acontece; - O fenmeno (espcie do fato ou fator especicativo) que descrito. O fator de diferenciao das sries estatsticas podem ser divididos em dois grandes grupos: Srie Homgrada: a varivel apresenta variao descontnua: 1a . Srie temporal, cronolgica, histrica ou marchas- quando os resultados da observao do fenmeno so registrados ao longo do tempo. 2a . Srie geogrca ou espacial - o local varia, permanecendo xos o tempo e o fenmeno. 3a . Srie especicativa, especca ou categrica - quando o fenmeno observado segundo algumas categorias, permanecendo xos o tempo e o local. Srie Hetergrada: o fenmeno apresenta subdivises. Embora xo, o fenmeno varia em intensidade. 4a . Distribuio de freqncias - neste tipo de srie estatstica o tempo, o local e o fenmeno per- manecem xos. O fenmeno considerado uma varivel quantitativa (discreta ou contnua) e seus valores observados so descritos considerando o nmero de vezes que ocorreram na srie (freqncia). FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA14 15. 1.6 Apresentao de uma Srie Estatstica O modo de condensao ou apresentao das informaes so dadas por tabelas ou grcos que facilitam a visualizao do fenmeno, permitem a comparao com outros elementos ou, ainda, fazer previses. Os principais tipos de grcos sero apresentados, porm, antecedendo-os, sero apresentadas as normas de apresentao tabular e as tabelas das sries estatsticas que deram origem aos grcos. 1.6.1 Apresentao Tabular A representao tabular (tabela) uma das modalidades mais utilizadas para a apresentao dos dados estatsticos coleta dos na amostragem. NORMAS DE APRESENTAO TABULAR DE DADOS As normas a seguir foram retiradas do documento: Normas de apresentao tabular do Centro de Documen- tao e Disseminao de Informao 3a edio IBGE, Rio de Janeiro, 1.993. Tm como objetivo xar conceitos e procedimentos aplicveis a elaborao de tabelas de dados numricos, de modo a garantir a clareza das informaes apresentadas. Apresentemos o esboo de uma tabela onde a seguir conceituaremos os elementos que a compe. Topo : Espao superior de uma tabela destinado ao seu ttulo; Ttulo: Conjunto de termos indicadores do contedo de uma tabela. Toda tabela deve ter ttulo, inscrito no topo, para indicar a natureza e as abrangncias geogrca e temporal dos dados numricos. As indicaes da natureza e da abrangncia geogrca dos dados numricos devem ser feitas sem abreviaes, por extenso, de forma clara e concisa; TOPO Cabealho das colunas Coluna Linha Clula RODAP Centro : Espao central de uma tabela destinado a moldura, aos dados numricos e aos termos necessrios a sua compresso. No centro identicam-se quatro espaos menores: o espao do cabealho, a coluna, a linha e a clula. Espao do cabealho: espao superior do centro de uma tabela destinado a indicao do contedo das colunas. Toda tabela deve ter cabealho, escrito no espao do cabealho, para indicar, complementarmente ao ttulo, o contedo das colunas. O contedo das colunas deve ser feito com palavras ou com notaes, de forma clara e concisa. Recomenda-se que a indicao com palavras seja feita por extenso, sem abreviaes; Coluna: Espao vertical do centro de uma tabela destinado aos dados numricos (coluna de dados numricos) ou aos indicadores de linha (colunas indicadoras); Linha: Espao horizontal do centro de uma tabela destinado aos dados numricos. Toda tabela deve ter indicadores de linha, inscritos nas colunas indicadoras, para indicar, complementarmente ao ttulo, o contedo as linhas. O contedo das linhas deve ser feito com palavras ou com notaes, de forma clara e concisa. Recomenda-se que a indicao com palavras seja feita por extenso, sem abreviaes; Dado numrico : Quanticador de um fato especico observado. A estrutura dos dados numricos e dos termos necessrios a compreenso de uma tabela deve ser feita com, no mnimo, trs traos horizontais paralelos. O primeiro para separar o topo, o segundo para separar o espao do cabealho. O terceiro para separar o rodap; ESTATSTICA E PROBABILIDADE 15 16. Clula : espao mnimo do centro de uma tabela, resultante do cruzamento de uma linha com uma coluna, destinado ao dado numrico ou ao sinal convencional. Sinal convencional: Representao grca que substitui um dado numrico. A substituio de um dado numrico deve ser feita por um dos sinais abaixo, conforme o caso: zero no resultante de arredondamento; No se aplica a um dado numrico; Dado numrico no disponvel; x Dado omitido ; 0 0, 0 0, 00 etc. zero aproximado de um dado numrico originalmente positivo. 0 0, 0 0, 00 etc. zero aproximado de um dado numrico originalmente negativo. Quando uma tabela contiver sinais convencionais, estes devero ser apresentados em nota geral com seus respectivos signicados. No caso de publicao que contenha tabelas com sinais convencionais, na qual a apresentao dos sinais e de seus signicados gure em destaque, e dispensvel a nota geral em cada tabela. Rodap : Espao inferior de uma tabela destinado a fonte, a nota geral e a nota especica. Fonte: Identicador do responsvel (pessoa fsica ou jurdica) ou responsveis pelos dados numricos. Toda tabela deve ter fonte, inscrita a partir da primeira linha de seu rodap. A identicao do responsvel ou responsveis pelos dados numricos deve ser feita com palavras, por extenso, e precedida da palavra Fonte ou Fontes. Quando os dados sao extrados de algum documento, recomenda-se a indicao da referencia bibliogrca do documento e quando a tabela contiver dados numricos resul- tantes de transformao dos dados numricos obtidos na fonte, o responsvel pela operao deve ser identicado em nota geral ou nota especica. Nota geral: Texto esclarecedor do contedo geral de uma tabela, quando necessrio. Deve ser inscrito logo aps o rodap da tabela e ser precedido do termo Nota ou Notas. Nota especca: Texto esclarecedor de algum elemento especico de uma tabela, quando necessrio. Deve ser inscrito no rodap, logo aps a nota geral (quando esta existir). Quando uma tabela contiver mais de uma nota especica, estas devem ser distribudas obedecendo a ordem de numerao das chamadas, separando-se uma das outras por um ponto. Chamada : Smbolo remissivo atribudo a algum elemento de uma tabela que necessita uma nota especca. A remissiva atribuda a algum elemento deve ser feita em algarismos arbicos em destaque: entre parnteses, entre colchetes, exponencial. Quando uma tabela contiver mais de uma chamada, estas devem ser distribudas sucessivamente, de cima para baixo e da esquerda para a direita, em ordem crescente de numerao. Unidade de medida : Termo indicador da expresso quantitativa ou metrolgica dos dados numricos. Uma tabela deve ter unidade de medida, inscrita no espao do cabealho ou nas colunas indicadoras, sempre que houver necessidade de se indicar, complementarmente ao ttulo, a expresso quantitativa ou metrolgica dos dados numricos. A unidade de medida deve ser feita com smbolos ou palavras entre parnteses. Apresentao do Tempo 1o . Toda srie temporal consecutiva deve ser apresentada, em uma tabela, por seus pontos, inicial e nal, ligados por hfen (-). FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA16 17. Exemplo 1.2. 2001-2004: apresenta dados numricos para os anos de 2001, 2002, 2003 e 2004. SET 2000-FEV 2001: apresenta dados numricos para os meses de Setembro, Outubro, Novembro, Dezembro de 20001 e Janeiro, Fevereiro e Maro de 2001. 30.05.2001-06.06.2001: dados referentes aos dias 30 e 31 de Maio de 2001 e 1, 2, 3, 4, 5, e 6 de Junho de 2001. 2o . Toda srie temporal no consecutiva deve ser apresentada, em uma tabela, por seus pontos, inicial e nal, ligados por barra (/). Exemplo 1.3. 2001/2004: apresenta dados numricos para os anos de 2001 e 2004, no sendo apresentados dados numricos de pelo menos um dos anos desta serie temporal. OUT 2001/MAR 2002: dados referentes aos meses de Outubro de 2001 e Maro de 2002, no sendo apresentados dados numricos de pelo menos um dos meses desta serie temporal. 30.05.2001/06.06.2001: dados referentes aos dias 30 de Maio de 2001 e 6 de junho de 2001, no sendo apresentados dados numricos de pelo menos um dos dias desta serie temporal. 3o . No caso de uma serie temporal no consecutiva que contenha um numero reduzido de pontos, a serie temporal pode ser apresentada por todos os seus pontos, separados por vrgula, dispensando-se proceder conforme o item (ii). 4o . Quando uma tabela contiver dados numricos de uma safra, abrangendo dois anos, a apresentao do ponto no tempo deve ser feita com os dois ltimos algarismos de cada um dos anos ligados por barra (/) e precedida da palavra Safra. Exemplo 1.4. Safra 01/02: apresenta dados numricos de uma safra iniciada em 2001 e terminada em 2002. 5o . Quando uma tabela contiver dados numricos de um perodo anual diferente do ano civil, isto deve ser indicado no ttulo, em nota geral ou nota especca Arredondamento de Dados Numricos Os dados numricos em uma tabela devem ser arredondados sempre que houver necessidade de apresent- los com um nmero menor de algarismos. Isto deve ser indicado em nota geral ou nota especca. 1o . O arredondamento dos dados numricos deve respeitar as diferenas signicativas (absolutas e relativas) existentes entre eles. 2o . No arredondamento do dado numrico, quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 0, 1, 2, 3 ou 4, deve car inalterado o ultimo algarismo a permanecer. Exemplo 1.5. Arredondar o nmero 9, 2317 para um nmero com duas casas decimais. O valor arredondado ser 9, 23. 3o . No arredondamento de dado numrico, quando o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, 6, 7, 8 ou 9, deve-se aumentar de uma unidade o ltimo algarismo a permanecer. Exemplo 1.6. Arredondar o nmero 9, 2317 para um nmero com trs casas decimais. O valor arredondado ser 9, 232. ESTATSTICA E PROBABILIDADE 17 18. 1.6.2 Exerccio Proposto EP 1.1. Arredondar cada um dos seguintes valores para a aproximao pedida: (a) 48, 6 para o inteiro mais prximo (g) 5, 781 para dcimos (b) 2, 484 para centsimos (h) 23, 350 para uma casa decimal (c) 0, 0045 para milsimos (i) 4, 99 para dcimos (d) 22, 250 para dcimos (j) 25, 351 para dcimos (e) 1.001, 39 para o inteiro mais prximo (k) 324 para a dezena mais prxima (f) 6.498 para a centena mais prxima (l) 5.872 para o milhar mais prximo 1.6.3 Exemplos de Tabelas de Algumas Sries Estatsticas A seguir, exemplicaremos, atravs de tabelas, algumas sries estatsticas. Exemplo 1.7. Srie temporal ndice de Produto Industrial Brasil - 1979 Meses IPI Janeiro 18.633 Fevereiro 17.497 Maro 19.470 Abril 18.884 Maio 20.308 Junho 20.146 Julho 20.258 Agosto 21.614 Setembro 19.717 Outubro 22.133 Novembro 20.503 Dezempbro 12.721 Tabela 1.1: FONTE: IBGE Exemplo 1.8. Srie geogrca Populao residente segundo os municpios da regio metropolitana de salvador 1991 Municpios Populao (em 1.000 habitantes) Camaari 114 Candeias 68 Dias DAvila 31 Itaparica 15 Lauro de Freitas 69 Madre de Deus 9 Salvador 2.075 So Francisco do Conde 20 Simes Filho 73 Vera Cruz 22 Total 2.496 Tabela 1.2: FONTE: IBGE, Censo Demogrco, Bahia. 1991. Exemplo 1.9. Srie especca Rebanhos brasileiros 1992 Rebanho Quantidade Bovinos 154.441 Eqinos 550 Ovinos 19.956 Sunos 34.532 Caprinos 12.160 FONTE: Revista Isto . Exemplo 1.10. Srie conjugada Terminais telefnicos em servio1991 1993 Regio 1991 1992 1993 Sudeste 6.234.501 6.729.467 7.231.634 Sul 1.497.315 1.608.989 1.746.232 Nordeste 1.287.813 1.379.101 1.486.649 Centro-Oeste 713.357 778.925 884.822 Norte 342.938 375.658 403.494 FONTE: Revista Isto . 1.6.4 Exerccios Propostos EP 1.2. Assinale a alternativa correta. Populao ou universo um: (a) conjunto de pessoas; FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA18 19. (b) conjunto de indivduos apresentando uma caracterstica especial; (c) conjunto de todos os indivduos apresentando uma caracterstica comum objeto de estudo. (d) conjunto de objetos; (e) n.d.a. EP 1.3. Estabelecer quais dados so discretos e quais so contnuos: (a) nmero de aes vendidas diariamente na Bolsa de Valores; (b) temperaturas registradas em um posto de meteorologia; (c) vida mdia das vlvulas de televiso produzidas por uma determinada companhia; (d) salrios anuais de professores do colgio; (e) comprimentos de 1000 parafusos produzidos por uma fbrica. EP 1.4. Entre as alternativas seguintes, assinale aquela que contiver uma armao verdadeira. (a) Dados Brutos so aqueles que estiverem numericamente organizados; (b) Rol um arranjo de dados numricos brutos; (c) O conjunto das alturas de 100 estudantes, do sexo masculino, de uma universidade, arranjados em ordem crescente ou decrescente de grandeza, um exemplo de rol de dados. EP 1.5. Entre as alternativas seguintes, assinale aquela que corresponder a uma armao falsa. (a) Faz-se um levantamento por censo quando todos os elementos da populao so pesquisados. (b) Faz-se levantamento por amostragem quando se pesquisa parte dessa populao e, com base no subconjunto pesquisado, pode-se tirar concluso acerca da populao. (c) A deciso entre os tipos de levantamento a serem realizados, censo e amostragem, depende de prazo para a realizao da pesquisa e recursos nanceiros disponveis, entre outras variveis que possam implicar em vantagens ou desvantagens do censo e da amostragem. (d) As armaes contidas nas alternativas a e c so falsas. (e) n.d.a. EP 1.6. As fases principais do mtodo estatstico so: (a) coleta de dados, amostragem, apresentao tabular, apresentao grca e denio do problema; (b) coleta de dados, amostragem, apresentao tabular, apresentao grca e denio do problema; (c) amostragem, apresentao tabular, apurao dos dados, interpretao dos dados e planejamento; (d) denio do problema, planejamento, coleta dos dados, apurao, apresentao dos dados, anlise e interpretao dos dados; (e) coleta de dados; apurao dos dados, anlise e interpretao dos dados, apresentao dos dados. EP 1.7. [TCU-94] Assinale a opo correta. (a) Estatstica Inferencial compreende um conjunto de tcnicas destinadas sntese de dados numricos. ESTATSTICA E PROBABILIDADE 19 20. (b) O processo utilizado para se medir as caractersticas de todos os membros de uma dada populao recebe o nome de censo. (c) A Estatstica Descritiva compreende as tcnicas por meio das quais so tomadas decises sobre uma populao com base na observao de uma amostra. (d) Uma populao pode ser caracterizada se forem observados todos os seus componentes. (e) Parmetros so medidas caractersticas de grupos, determinadas por meio de uma amostra aleatria. EP 1.8. [TTN-94] Marque a opo correta. (a) Um evento tem, no mnimo, dois elementos do espao-amostra de um experimento aleatrio. (b) Em um experimento aleatrio uniforme todos os elementos do espao-amostra so iguais. (c) Dois experimentos aleatrios distintos tm, necessariamente, espaos-amostra distintos. (d) Uma parte no-nula do espao-amostra de um experimento aleatrio dene um evento. (e) Um experimento aleatrio pode ser repetido indenidamente, mantidas as condies iniciais. EP 1.9. [AFC-94] A tabela ao lado apresenta a distribuio de um grupo de 200 estudantes segundo o curso que fazem (Estatstica ou Matemtica) e o sexo (homem ou mulher). A nica armao errada : Homem Mulher Estatstica 40 20 Matemtica 80 60 (a) 40% dos homens estudam Matemtica. (b) 75% das mulheres fazem o curso de Matemtica. (c) Dois em cada trs estudantes de Estatstica so homens. (d) Um em cada trs homens faz o curso de Estatstica. (e) 60% dos estudantes so homens. EP 1.10. [AFC-94] A tabela abaixo apresenta a esperana de vida ao nascer para o Brasil (mdia nacional) e a Regio Nordeste (mdia regional) no perodo de 1940 a 1980. Esperana de vida ao nascer (em anos) Anos Brasil Regio Nordeste 1940 41, 5 38, 7 1950 45, 5 38, 9 1960 51, 6 41, 0 1970 53, 5 45, 5 1980 60, 0 51, 0 Tabela 1.3: Fonte: IBGE, Perl estatstico de crianas e mes no Brasil, 1984. Da anlise da tabela podemos concluir que a nica armao errada : (a) a esperana de vida do cidado brasileiro cresceu no perodo 1940/1980. (b) a esperana de vida de um cidado do nordeste brasileiro cresceu no perodo 1940/1980. (c) a tabela aponta uma diminuio na diferena entre a esperana de vida na Regio Nordeste e a mdia nacional; FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA20 21. (d) a tabela indica uma defasagem de 20 anos entre os valores observados na Regio Nordeste e a mdia nacional; (e) no perodo 1940/1980, a esperana de vida de um cidado do Nordeste brasileiro cresceu a uma taxa inferior taxa mdia no Brasil. EP 1.11. [TCDF-95] Assinale a opo correta. (a) Em Estatstica, entende-se por populao um conjunto de pessoas. (b) A varivel discreta quando pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. (c) Freqncia relativa de uma varivel aleatria o nmero de repeties dessa varivel. (d) A srie estatstica cronolgica quando o elemento varivel o tempo. (e) Amplitude total a diferena entre dois valores quaisquer do atributo. EP 1.12. [TTN] Assinale a opo correta: (a) Uma amostra aleatria extrada de uma populao deve ser superior, no tamanho, a 5% do nmero de elementos populacionais. (b) Em um experimento aleatrio, cada elemento do espao amostral tem a mesma probabilidade de ser selecionado, em uma realizao do experimento. (c) Em um experimento aleatrio impossvel garantir a ocorrncia de um evento em uma particular realizao do experimento, se ele no for um evento certo. (d) Um plano de amostragem corretamente elaborado garante a dedignidade dos dados da populao. (e) A opo pela amostragem em relao ao censo, garante a reduo de tempo, mas conduz sempre ao incremento de custo e perda de preciso. EP 1.13. [TTN] Marque a opo correta: (a) Dois experimentos aleatrios distintos tm, necessariamente, espao-amostra distintos. (b) Uma parte no nula de um experimento aleatrio dene um evento. (c) Um experimento aleatrio pode ser repetido indenidamente, mantidas as condies iniciais. (d) Um evento, tem, no mnimo, dois elementos do espao-amostra de um experimento aleatrio. (e) Em um experimento aleatrio uniforme, todos os elementos do espao-amostra so iguais. 1.7 Distribuio de Freqncias Aps a coleta de informaes relativamente a uma varivel dispomos dos dados de uma forma desarru- mada e, naturalmente, devemos organiz-los. Essa organizao facilita a interpretao dos dados e condensa o nmero de informaes. No rara as situaes onde existem vrios valores repetidos. Denominamos freqncia absoluta, ou simplesmente freqncia, o nmero de vezes que um determinado valor da varivel aparece. Somos capazes de observar muito mais facilmente estes valores ordenados se os dispusermos em uma coluna e, ao lado de cada valor, a sua respectiva freqncia. Esta tabela, portanto, denominada distribuio de freqncia ou dados agrupados. ESTATSTICA E PROBABILIDADE 21 22. 1.7.1 Tipos de Freqncias Freqncia Simples Absoluta Relativa Acumulada crescente Absoluta Relativa decrescente Absoluta Relativa A freqncia simples se divide em freqncia simples absoluta (fi ): nmero de ocorrncias ou repeties de um valor individual ou um intervalo de valores. freqncia simples relativa (f ri ): razo entre a freqncia simples absoluta e o nmero total de dados (soma de todas as freqncias simples absolutas). f ri = fi i fi . Claro que i f ri = 1. As freqncias simples absoluta e relativa so simplesmente chamadas de freqncia absoluta e freqncia relativa. A freqncia relativa pode tambm ser apresentada na forma de percentagem, bastando para isso multiplic-la por 100 - freqncia simples relativa percentual. As freqncias relativas e relativas percentuais so teis quando necessitamos comparar dois conjuntos de dados com o total de observao diferentes. A freqncia acumulada, absoluta ou relativa, se divide em freqncia acumulada crescente ou abaixo de: corresponde soma das freqncias simples (absolutas ou relativas) das classes ou dos valores anteriores. Notao: Fci freqncia absoluta crescente e Frci freqncia relativa crescente. A expresso abaixo de refere-se ao fato de que as freqncias a serem acumuladas correspondem aos valores menores ou anteriores ao valor ou classe cuja freqncia acumulada se deseja obter, ou seja, as observaes existentes at uma determinada classe ou valor individual. freqncia acumulada decrescente ou acima de: corresponde soma das freqncias a partir de uma determinada classe ou valor individual. Notao: Fdi freqncia absoluta decrescente e Frdi freqncia relativa decrescente. Agora exemplicaremos as distribuies de freqncias e suas respectivas tabelas para cada tipo de varivel. 1.7.2 1a - Variveis Qualitativas As variveis qualitativas obtidas em uma pesquisa podem ser organizadas em formas de tabelas para facilitar a visualizao e anlise dos dados. Por exemplo, considere as respostas de 30 pessoas que foram entrevistadas sobre as bebidas preferidas durante a refeio. Os resultados foram os seguintes: FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA22 23. gua Suco Refrigerante Suco Suco Cerveja Suco Refrigerante Suco gua Refrigerante gua gua Refrigerante Outras Suco Suco Suco Suco Outras Refrigerante Suco Refrigerante Outras Refrigerante Suco Refrigerante Cerveja Refrigerante Suco TABELA DE FREQNCIAS Bebida preferida Freqncia simples absoluta Freqncia acumulada absoluta Freqncia simples relativa Freqncia acumulada relativa gua 4 4 0, 13 0, 13 Cerveja 2 6 0, 07 0, 20 Refrigerante 9 15 0, 30 0, 50 Suco 12 27 0, 40 0, 90 Outras 3 30 0, 10 1, 00 Total 30 1, 00 Fonte: Dados ctcios 1.7.3 2a - Variveis Quantitativas Discretas No exemplo a seguir, as informaes foram obtidas atravs de um processo de contagem. Portanto, trata-se de uma varivel discreta. Um outro exemplo envolve o nmero de defeitos apresentados por uma mquina industrial durante o perodo de 30 dias. Os resultados foram os seguintes: 1 1 1 0 1 1 0 2 1 3 1 0 2 2 1 1 1 1 2 0 1 1 1 4 1 0 3 1 0 1 TABELA DE FREQNCIAS Nmero de defeitos Freqncia simples absoluta Freqncia acumulada absoluta Freqncia simples relativa Freqncia acumulada relativa 0 6 6 0, 20 0, 20 1 17 23 0, 57 0, 77 2 4 27 0, 13 0, 90 3 2 29 0, 07 0, 97 4 1 30 0, 03 1, 00 Total 30 1, 0 Fonte: Dados ctcios Nota 1. A tabela de freqncias para uma varivel qualitativa ou uma varivel quantitativa discreta tambm chamada de distribuio de freqncias para dados no-agrupados em classes. ER 1. Preencher a tabela que indica o nmero de salrios mnimos dos alunos da turma de estatstica com ESTATSTICA E PROBABILIDADE 23 24. os valores de freqncias correspondentes a cada uma das colunas. Valor fi f ri Fci Fdi Fcri Fdri 3 1 4 3 5 4 6 7 7 4 8 1 (a) Qual a probabilidade de sortearmos, nesta turma, uma pessoa que possui vencimentos igual a 7 salrios mnimos? (b) Qual a probabilidade de sortearmos, nesta sala, uma pessoa que recebe no mximo 7 salrios mnimos? (c) Qual a probabilidade de sortearmos, nesta turma, uma pessoa que recebe no mnimo 5 salrios mnimos? Soluo: Valor fi f ri Fci Fdi Fcri Fdri 3 1 0, 05 1 20 0, 05 1, 00 4 3 0, 15 4 17 0, 20 0, 95 5 4 0, 20 8 13 0, 40 0, 80 6 7 0, 35 15 6 0, 75 0, 60 7 4 0, 20 19 2 0, 95 0, 25 8 1 0, 05 20 1 1, 00 0, 05 20 (a) 0, 20, pois, justamente a freqncia relativa correspondente freqncia absoluta de sete salrios mnimos (b) Quando se diz no mximo sete salrios mnimos, deve-se considerar o conjunto de pessoas que ganham at sete salrios. Assim, a probabilidade 0, 95 que a freqncia acumulada crescente correspondente. (c) Quando se diz no mnimo cinco salrios mnimos, deve-se considerar o conjunto de pessoas que ganham cinco salrios ou mais. Assim, a probabilidade 0, 80 que a freqncia acumulada decrescente correspondente. 1.7.4 3a - Variveis Quantitativas CFontnuas No caso em que a srie estatstica apresenta variveis quantitativas contnuas, existe a necessidade de organizar os dados originais em uma distribuio de freqncias na qual os valores observados so agrupados em classes de valores. Portanto, adotemos a seguinte nomenclatura: 1. Mximo (max): maior valor pertencente ao conjunto. 2. Mnimo (min): menor valor pertencente ao conjunto. 3. Amplitude total (AT): a diferena entre o valor mximo e mnimo AT = max min . FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA24 25. 4. Classe: cada um dos intervalos em que se subdivide a amplitude total. 5. O nmero de classes (k): Quantidade de classes existentes. 6. Limite superior (ls): a cota superior para os valores da classe. 7. Limite inferior (li ): a cota inferior para os valores da classe. 8. Tipos de intervalos: li ls: Aberto esquerda e direita; li ls: Fechado esquerda e aberto direita; li ls: Aberto esquerda e fechado direita; li ls: Fechado esquerda e direita; 9. Amplitude do intervalo de classe (h): o comprimento da classe, denida como a diferena entre o limite superior e inferior. 1.7.5 Determinao do Nmero de Classes e Amplitude do Intervalo de Classes No existem regras gerais para a determinao do nmero de classes em uma distribuio. No entanto, algumas regras so propostas por autores que nos do uma idia aproximada do nmero de classes em funo do nmero de dados. A determinao do tamanho e da quantidade de classes deve observar as seguintes normas: 1. As classes devem abranger todos os dados; 2. No deve existir classe com freqncia nula; 3. Cada dado deve enquadrar-se em apenas uma classe; 4. Para variveis contnuas, o limite superior de uma classe o limite inferior da classe subseqente. Em geral, na denio das classes, o limite inferior includo e o superior excludo. 5. A quantidade de classes, de um modo geral, no deve inferior a 5 ou superior a 25. 6. Quando no for um srio inconveniente, a amplitude dos intervalos de classe deve ser constante. 1.7.6 A Regra de Sturges Um dos mtodos mais utilizados o chamado de regra de Sturges ou regra do logaritmo. Ele estabelece que o nmero de classes k ser o inteiro imediatamente superior ou igual a log2(2n), em que n o nmero de dados, isto , log2(2n) k < log2(2n) + 1, k Z. Aplicando-se as propriedades concernes aos logaritmos log2(2) + 1 log(2) log(n) k k 1 + 3, 32 log(n), ESTATSTICA E PROBABILIDADE 25 26. Nota 2. Podemos encontrar o valor de k sem, necessariamente, ter que utilizar uma calculadora ou uma tbua de logaritmos. Para isso, considere as seguintes potncias de base dois 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096. Seja n um valor que representa a quantidade de dados. Como k o inteiro imediatamente superior ou igual a log2(2n), podemos escrever que k 1 < log2(2n) k. Logo, 2k1 < 2n 2k e, em seqncia, 2k2 < n 2k1 . 1.7.7 A Regra do Quadrado Outra maneira para se obter o nmero de classes k n, k Z. A prtica recomenda 5 k 16. Mesmo conhecendo alguns mtodos para a determinao do k, deve-se saber que a escolha depender antes da natureza dos dados, da unidade de medida e da experincia e do bom senso de quem far a organizao dos dados da pesquisa. 1.7.8 Amplitude do Intervalo de Classes Sendo k o nmero de classes, determina-se a amplitude do intervalo de classes h, como sendo um valor ligeiramente superior a AT k , pois, desta forma, haver uma pequena folga na ltima classe. Com este procedimento aumentamos a amplitude total que os dados nos permitiram obter, mas, claro que quanto menor for este aumento, mais expressivos sero os resultados obtidos. Para montar a tabela (distribuio de freqncias) devemos denir as classes: a partir do valor mnimo da amostra e a amplitude de classe h temos a primeira classe. O primeiro elemento das classes seguintes sempre sero formadas pelo ltimo elemento da classe anterior. ER 2. Antes de enviar um lote de aparelhos eltricos para venda, o Departamento de Inspeo da empresa produtora selecionou uma amostra casual de 32 aparelhos avaliando o desempenho atravs de uma medida especca, obtendo os seguintes resultados: 154 165 175 180 190 195 202 211 155 170 176 180 190 198 205 212 156 172 178 180 190 200 205 215 164 175 178 184 192 200 210 218 Construir uma tabela de distribuio de freqncias com intervalos de classes. Soluo: Neste caso, n = 32 e pela regra de Sturges 24 < 32 25 k 1 = 5 k = 6. A amplitude total ser dada por AT = 218 154 = 64. Assim, a amplitude de cada intervalo de classe ser: h = AT k = 64 6 10, 67. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA26 27. Aproximando para o inteiro mais prximo, temos que h = 11. Dessa forma, a tabela de distribuio de freqncias para dados agrupados em classes ca da seguinte maneira: Tabela de Freqncias Medida Freqncia simples absoluta Freqncia simples acumulada Freqncia simples relativa 154 165 4 4 0, 13 165 176 5 9 0, 16 176 187 7 16 0, 22 187 198 5 21 0, 16 198 209 6 27 0, 19 209 220 5 32 0, 16 Total 32 1, 00 Fonte: Dados ctcios 1.7.9 Ponto Mdio da Classe Informaes relativas aos verdadeiros valores das sries estatsticas so perdidas ao efetuarmos uma distribuio de freqncias por classes j que uma uma simplicao da realidade ocorre. Alm disso, esse processo de classicao dos dados no nos permite um tratamento estatstico adequado para a descrio dos dados. Contornarmos esse problema se adotarmos a hiptese de que todos os valores de uma classe so iguais ao valor que se encontra no centro da classe. chamamos esse valor representativo de uma classe de ponto mdio ou ponto central. No caso da varivel contnua o ponto mdio da classe, que representaremos por xm, denido por: xm = lm + 1 2 hm; m = 1, 2, . . . , k , onde, xm : o ponto mdio da classe m lm : o limite inferior da classe i; hm : a amplitude do intervalo da classe i; k : o nmero de classe da distribuio de freqncias. ER 3. Para a tabela de distribuio de freqncias do exerccio 2, determine o ponto mdio da 3a classe. Soluo: Pela denio de ponto mdio de classe, temos x3 = 176 + 1 2 11 = 181, 5. 1.7.10 Exerccios Propostos EP 1.14. A tabela abaixo mostra a distribuio de freqncia dos salrios anuais, em reais, de 65 empregados de uma rma. Determine: ESTATSTICA E PROBABILIDADE 27 28. (a) o limite inferior da sexta classe; (b) o limite superior da quarta classe; (c) o ponto mdio da terceira classe; (d) os limites reais da quinta classe; (e) a amplitude do quinto intervalo de classe; (f) a freqncia da terceira classe; (g) a freqncia relativa da terceira classe; (h) o intervalo de classe que tem maior freqncia; Salrios Empregados 5.000 5.999 8 6.000 6.999 10 7.000 7.999 16 8.000 8.999 14 9.000 9.999 10 10.000 10.999 5 11.000 11.999 2 Total 65 (i) a porcentagem de empregados que ganham menos de R$8.000, 00 por ano; (j) a porcentagem de empregados que ganham menos que R$10.000, 00 e pelo menos R$6.000, 00 por ano. EP 1.15. Considerando as notas de 40 alunos de uma turma do Colgio Ajax, listadas abaixo, apresente a distribuio de freqncia, sendo 30 o limite inferior da primeira classe e 10 para o intervalo de classe: 74 71 81 91 65 55 57 35 85 88 59 80 41 50 53 65 76 85 73 60 67 41 78 56 94 35 45 55 64 74 65 94 66 48 39 69 89 98 42 54 EP 1.16. Os nmeros abaixo foram obtidos com o lanamento de um dado 50 vezes. Obtenha a distribuio de freqncia sem intervalos de classe: 6 5 2 6 4 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3 5 4 4 2 6 3 6 2 6 5 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 EP 1.17. Forme a distribuio de freqncia em intervalos de classes, a partir das seguintes notas de um teste de inteligncia: 64 78 66 82 74 65 78 86 83 87 73 95 82 89 73 92 85 80 81 90 78 86 78 61 85 98 75 73 90 86 86 84 86 76 76 83 73 86 84 85 76 80 92 62 73 87 70 85 79 93 82 90 83 81 85 72 81 96 81 85 68 96 86 70 72 74 84 99 81 89 71 73 63 55 74 98 78 78 83 96 95 94 88 62 91 83 98 93 83 76 94 75 67 95 80 98 71 92 72 73 EP 1.18. Obtenha a distribuio de freqncia dos dados abaixo, que representam a quantidade vendida de automveis no decorrer de um ms: 14 12 11 13 14 13 12 14 13 14 11 12 12 14 10 13 15 11 15 13 16 17 14 14 EP 1.19. [TTN] Considere a distribuio de freqncias abaixo e identique a armativa correta: (a) 65% das observaes tm peso no inferior a 4 kg e inferior a 10kg. (b) Mais de 65% das observaes tm peso maior ou igual a 4kg. (c) Menos de 20 observaes tm peso igual ou superior a 4kg. (d) A soma dos pontos mdios dos intervalos de classe inferior ao tamanho da populao. (e) 8% das observaes tm peso no intervalo de classe 8 10. Peso (kg) fi 2 4 9 4 6 12 6 8 6 8 10 2 10 12 1 Total EP 1.20. A tabela abaixo representa os salrios pagos a 100 operrios de uma empresa. Pede-se: FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA28 29. (a) no de operrios que ganham at dois salrios mnimos; (b) no de operrios que ganham at seis salrios mnimos; (c) porcentagem de operrios com salrio entre 6 e 8 salrios mnimos; (d) porcentagem de operrios com salrio igual ou inferior a 4 salrios mnimos. Salrios Operrios mnimos 0 2 40 2 4 30 4 6 10 6 8 15 8 10 5 Total EP 1.21. Assinale, entre as alternativas, aquela que contiver uma armao verdadeira. (a) Reunindo-se dados brutos em classes pode-se obter o nmero de indivduos pertencentes a cada uma das classes, que denominado freqncia da classe. (b) Os intervalos de classe precisam ser necessariamente iguais, na elaborao de uma tabela que apresente uma distribuio de freqncia. (c) O limite superior real da classe 150 155 155. (d) O limite inferior real da classe 150 155 150. (e) n.d.a. EP 1.22. Assinale, entre as alternativas, aquela que contiver uma armao verdadeira. (a) A amplitude do intervalo de classe calculada pela soma entre os limites reais inferior e superior de uma classe. (b) Obtm-se o ponto mdio de uma classe pela mdia aritmtica dos limites inferior e superior reais de uma classe. (c) Um intervalo de classe aberto em seus dois limites inclui ambos os nmeros extremos. (d) Intervalos de classe fechados tm seus limites superior e inferior reais excludos dos nmeros que os compem. (e) n.d.a. EP 1.23. [TTN] Os intervalos de classe podem ser apresentados de vrias maneiras. Dentre as situaes abaixo a correta : (a) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, inclusive os extremos; (b) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, exclusive os extremos; (c) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, exclusive 2 e inclusive 6; (d) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, inclusive 2 e exclusive 6; (e) 2 6 compreende todos os valores entre 2 e 6, exclusive os extremos. ESTATSTICA E PROBABILIDADE 29 30. EP 1.24. Considere a distribuio de freqncias abaixo, da durao de 400 vlvulas de rdio, ensaiadas pela Companhia tima S/A. Os limites superiores reais da quinta e oitava classes e a amplitude do intervalo de classe so, respectivamente: (a) 799, 5; 1.199, 5 e 100 horas; (b) 799; 1.099 e 99 horas; (c) 799, 5; 1.099, 5 e 100 horas; (d) 799; 1.199 e 99 horas; (e) 799; 1.099, 5 e 100 horas; DURAO NMERO (HORAS) VLVULAS 300 399 14 400 499 46 500 599 58 600 699 76 700 799 68 800 899 62 900 999 48 1.000 1.099 22 1.100 1.199 6 Total 400 EP 1.25. Com respeito a questo 1.24, a porcentagem das vlvulas, cuja durao de 500 horas, no mnimo, mas inferior a 1.000 horas: (a) 78% (b) 77% (c) 79% (d) 80% (e) 85% EP 1.26. Ouvindo-se 300 pessoas sobre o tema reforma da previdncia, contra ou a favor?, foram obtidas 123 respostas a favor, 72 contra, 51 pessoas no quiseram opinar, e o restante no tinha opinio formada sobre o assunto. Distribuindo-se esses dados numa tabela, obtm-se: OPINIO fi fr Favorvel 123 x Contra 72 y Omissos 51 0, 17 Sem Opinio 54 0, 18 Total 400 1, 00 Na coluna freqncia relativa, os valores de x e y so, respectivamente: (a) 0, 41 e 0, 24; (b) 0, 38 e 0, 27; (c) 0, 37 e 0, 28; (d) 0, 35 e 0, 30; (e) 0, 30 e 0, 35; (FT/MG) responda s questes 1.27 e 1.28 com base na seguinte situao: a distribuio a seguir indica o nmero de acidentes ocorridos com 40 motoristas de uma empresa de nibus. Acidentes 0 1 2 3 4 5 6 Motoristas 13 7 10 4 3 2 1 EP 1.27. O nmero de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes : (a) 3 (b) 6 (c) 10 (d) 27 (e) 304 EP 1.28. A porcentagem de motoristas que sofreram no mximo 2 acidentes : (a) 25% (b) 32, 5% (c) 42, 5% (d) 57, 5% (e) 75% EP 1.29. [TTN] Assinale a alternativa correta dada a distribuio de freqncias: (a) Mais de 85% das observaes tm dimetro no inferior a 6cm. (b) 75% das observaes esto no intervalo de 2 12. (c) 28% das observaes esto no quarto intervalo de classe. (d) Menos de 25 das observaes tm dimetro abaixo de 10cm. (e) A soma dos pontos mdios dos intervalos de classe inferior soma das freqncias absolutas simples. Dimetro(cm) fi 4 6 6 6 8 8 8 10 12 10 12 10 12 14 4 FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA30 31. 1.8 Apresentao Grca A representao grca de sries estatsticas constitui-se num fator importante em apresentaes de trabalhos. Esta representao pode ser dividida em trs grandes grupos: os diagramas; os cartogramas; e os estereogramas. Diagramas - so guras geomtricas dispostas em duas dimenses. So os mais usados na representao de sries estatsticas. Cartogramas - as sries estatsticas so representadas em cartas geogrcas. Estereogramas - representam volumes e so apresentados em trs dimenses sendo, portanto, necessrio algum conhecimento de perspectiva. Apresentaremos, aqui, apenas os principais diagramas, que podem ser utilizados para qualquer representao de uma srie estatstica. So eles: o grco em barras; o grco em colunas; o grco em curvas; o grco em setores; e os Histogramas. Recomenda-se a seguinte utilizao de correspondncia entre as sries estatsticas e a sua representao grca. TIPO DE SRIE ESTATSTICA FATOR VARIANTE GRFICO MAIS INDICADO Temporal poca Curvas, excepcionalmente Colunas Especicativas Fenmeno Barras, Colunas ou Setores Geogrcas Local Cartogramas, Colunas, Barras ou Setores Distribuio de freqncias Intensidade do fenmeno Histograma (contnua), Basto (discreta), Barras, Colunas ou Setores (qualitativa) 1o . Grco em Colunas Exemplo 1.11. Srie Geogrca o grco que corresponde ao Histograma, porm, utilizado na representao de dados nominais (ou categorias) ou em sries temporais. Pode-se, tambm, usar barras horizontais. Nmero de crianas de baixa renda, segundo o bairro de residncia, que participaram do ensino de msica na Escola XYZ, Salvador-1998 Bairro Nmero de crianas Paripe 11 Periperi 39 Plataforma 45 Praia Grande 25 Total 120 Fonte: Escola de Msica XYZ, Salvador. 10 20 30 40 50 Paripe Periperi Plataforma Praia Grande Nmero de crianas de baixa renda, segundo o bairro de residncia, que participaram do ensino de msica na escola XYZ, Salvador - 1998 ESTATSTICA E PROBABILIDADE 31 32. Exemplo 1.12. Srie Especicativa-Temporal Ingressantes da Universidade XYZ segundo rea de estudo e ano rea / Ano 1.998 1.999 2.000 Exatas 120 156 68 Humanas 72 85 112 Biolgicas 169 145 73 Fonte: Dados Fictcios Ingressantes da Universidade XYZ segundo rea de estudo e ano 0 50 100 150 200 1.998 1.999 2.000 Exatas Humanas Biolgicas 2o . Grco em Barras Exemplo 1.13. Srie Especicativa Tipo de fraude nos cartes de crdito da Mastercard Internacional no Brasil - 2.000 Tipo de fraude Quantidade Carto roubado 243 Carto falsicado 85 Pedido por correio/telefone 52 Outros 46 Fonte: Triola, Mario F. Quantidade Tipo de fraude nos cartes de crdito da Mastercard Internacional do Brasil - 2000 Carto Roubado Carto Falsicado Pedido por correio/telefone Outros 0 50 100 150 200 250 300 3o . Grco de Pareto O grco de Pareto composto por barras verticais e por uma curva representado a percentagem acumulada. As barras esto disponveis em ordem decrescente, tornando evidente a priorizao de temas. Este grco muito utilizado na rea de Controle de Qualidade. Exemplo 1.14 (Werkema, volume 2). Uma indstria fabricante de lentes tem como objetivo resolver o seguinte problema: aumento do nmero de lentes defeituosas produzidas pela empresa a partir de fevereiro de 1995. A empresa classicou uma amostra de lentes fabricadas durante uma semana de produo de acordo com os tipos de defeitos detectados. O resultado est na tabela abaixo: DEFEITOS ENCONTRADOS EM UMA AMOSTRA DE LENTES FABRICADAS DURANTE UMA SEMANA DE PRODUO DE UMA INDSTRIA Tipo de defeito Quantidade Arranho 12 Trinca 41 Revestimento inadequado 55 Muito na ou muito grossa 11 No acabada 05 Outros 03 Total 127 Nmero total de lentes inspecionadas: 1.200 FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA32 33. Uma maneira de representarmos gracamente estes dados atravs do grco de Pareto. Para constru- irmos o grco de Pareto necessrio obtermos a planilha de dados mostrada na tabela a seguir. PLANILHA DE DADOS PARA CONSTRUO DO GRFICO DE PARETOS Tipo de defeito Quantidade de defeito Total Acumulado Percentagem do Total Geral(%) Percentagem Acumulada Revest. Inadeq. 55 55 43, 3 43, 3 Trinca 41 96 32, 3 75, 6 Arranho 12 108 9, 4 85, 0 Fina ou Grossa 11 119 8, 7 93, 7 No-Acabada 5 124 3, 9 97, 6 Outros 3 127 2, 4 100, 0 Total 127 100, 0 Nesta tabela, os tipos de defeitos foram listados em ordem decrescente de quantidade na coluna 1, a quantidade de defeitos aparece na coluna 2 e o total acumulado est na coluna 3. Nas colunas 4 e 5 esto as percentagens totais e as percentagens acumuladas respectivamente. As barras do grco de Pareto foram construdas a partir dos dados da coluna 2 e a curva acumulada conhecida como curva de Pareto, foi traada a partir dos nmeros da coluna 5. Grco de Pareto para defeito das lentes Defeitos Revestimento Inadequado Trinca Arranho Fina ou Grossa No acabada Outros 0 50 100 0 20 40 60 80 100 Observando o grco acima, foi imediato para indstria perceber que os dois tipos de defeitos mais fre- qentes, Revestimento inadequado e trinca , representavam 75, 6% dos defeitos detectados nas lentes produzidas pela empresa. Portanto, Revestimento inadequado e Trinca foram considerados os defeitos mais importantes, que devem ser eliminados em primeira lugar esse tipo de defeito chamado de poucos defeitos vitais, enquanto que os outros representam apenas os muitos defeitos triviais, pois, representam a minoria das observaes. 4o . Grco em Linhas ou Curvas muito utilizado na representao grca de dados no agrupados em classes, ao lado do grco de hastes ou bastes e tambm para a representao de sries temporais (cotao de aes, vendas, etc). Exemplo 1.15. Srie Temporal ESTATSTICA E PROBABILIDADE 33 34. IPI, BRASIL-1979 Meses IPI JAN 18.633 FEV 17.497 MAR 19.470 ABR 18.884 MAI 20.308 JUN 20.146 JUL 20.258 AGO 21.614 SET 19.717 OUT 22.133 NOV 20.503 Fonte: IBGE NDICE DE PRODUTO INDUSTRIAL - BRASIL - 1.979 0 5.000 10.000 15.000 20.000 25.000 JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV 5o . Grco em Setores Exemplo 1.16. Srie Geogrca Percentual de funcionrios dos coletivos de Salvador segundo rea de residncia rea de residncia Percentual Centro 17, 2 Subrbio 39, 1 Periferia 43, 7 Fonte: Dados Fictcios 17, 2% 39, 1% 43, 7% Centro Subrbio Periferia 6o . Grcos de Hastes, Bastes ou Diagrama de Traos muito utilizado na representao grca de dados no agrupados em classes, o que ocorre normalmente com dados discretos. Nestes casos no h perda de informao, pois, os valores da varivel aparecem indi- vidualmente, como constam da amostra. Exemplo 1.17. xi fi 0 10 1 20 2 30 3 25 4 10 5 5 xi fi 0 10 20 30 40 1 2 3 4 5 7o . Histograma muito utilizado na representao grca de dados agrupados em intervalos de classes, o que ocorre normalmente com dados contnuos e, conseqentemente, h perda de informao. O seu uso recomendado quando - existem valores no inteiros para a varivel; - a quantidade de valores da varivel grande, no caso de valores inteiros (discretos); - no importante a perda de informao ocasionada pelos dados apresentados. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA34 35. No caso de classes com a mesma amplitude, construdo um retngulo para cada classe com base igual amplitude do intervalo de classe e altura proporcional a freqncia da classe. Quando temos classes com amplitudes diferentes, devemos construir um retngulo para cada classe, com base igual amplitude do intervalo de classe e altura dada por: h = freqncia amplitude ( 1.1) Note que a rea do retngulo igual a freqncia da classe. A altura h em ( 1.1) chamada de densidade de freqncia. Exemplo 1.18. Histograma para a distribuio de freqncia do exemplo 2. TABELA DE FREQNCIAS Medida fi Fci f ri 154 165 4 4 0, 13 165 176 5 9 0, 16 176 187 7 16 0, 22 187 198 5 21 0, 16 198 209 6 27 0, 19 209 220 5 32 0, 16 Total 32 1, 00 0 2 4 6 8 154165 165176 176187 187198 198209 209220 Medida fi Medida especca de um aparelho eltrico Exemplo 1.19. Histograma para a distribuio de freqncias com amplitudes diferentes. TABELA DE FREQNCIAS Medida fi Fci f ri 150 155 3 3 0, 09375 155 161 4 7 0, 125 161 173 5 12 0, 15625 173 177 3 15 0, 09375 177 184 10 25 0, 3125 184 198 1 26 0, 03125 198 206 3 29 0, 09375 206 220 3 32 0, 09375 Total 32 1, 00000 150155 155161 161173 173177 177184 184198 198206 206220 8o . Polgono de Freqncias a representao grca de uma distribuio por meio de um polgono e obtido ao se unir por um segmento de reta dois pontos mdios consecutivos das bases superiores dos retngulos de um histograma. Idade fi Fci 2 4 4 4 6 6 6 8 10 8 10 7 10 12 3 Total Limites das classes fi 0 2 4 6 8 10 12 3 4 6 7 10 9o . Polgono de Freqncias Acumuladas construdo a partir das freqncias acumuladas. Os segmentos possuem extremidades de abscissas nos limites inferior e superior referente a cada classe. A abscissa que representa o limite inferior da classe se relaciona com a freqncia acumulada da classe anterior. J a abscissa que representa o limite superior da classe se relaciona com a freqncia acumulada da mesma. ESTATSTICA E PROBABILIDADE 35 36. Exemplo 1.20. A representao atravs de um grco de polgono de freqncias da distribuio Notas fi 0 2 2 2 4 7 4 6 3 6 8 1 8 10 3 Total Notas fi 0 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 12 14 16 1.8.1 Cuidados na Representao Grca H vrios problemas com este grco. Ele impressiona mais pela tecnologia utilizada do que pela informao que passa para o leitor. Os dados no so tridimensionais. As grades do fundo mais o efeito tridimen- sional distraem a viso e dicultam comparaes entre trimestre e regies. Uma forma de melhorar o grco dar-lhe a dimenso correta. Pode-se eliminar as linhas de grade. No utilize faixas horizontais, verticais ou similares, que s atrapalham a viso do leitor. Faa mais de um grco at encontrar um que seja informativo, claro, e que no possua objetos desnecessrios. No apresente grcos supruos. Se retirarmos a gura abaixo, toda a informao poder ser transmitida textualmente, com uma simples frase: 80% das respostas foram positivas e 20% negativas. O grco abaixo tem alguns problemas. Primeiro, o efeito 3-D diculta o julgamento das porcentagens relativas de cada categoria da varivel. A retirada do efeito 3-D ajudar o leitor a julgar melhor as propores relativas observadas em cada amostra. 1.8.2 Exerccios Propostos EP 1.30. [TCU] Grcos so instrumentos teis na anlise estatstica. Assinale a armao incorreta. (a) Um histograma representa uma distribuio de freqncias para variveis do tipo contnuo. (b) O grco de barras representa, por meio de uma srie de barras, quantidades ou freqncias para variveis categricas. (c) O grco de setores apropriado, quando se quer representar as divises de um montante total. (d) Um histograma pode ser construdo utilizando-se, indistintamente, as freqncias absolutas ou relativas de um intervalo de classe. (e) Uma ogiva pode ser obtida ligando-se os pontos mdios dos topos dos retngulos de um histograma. EP 1.31. [AFTN] Analise a opo correta. (a) A utilizao de grcos da barra ou de colunas exige amplitude de classe constante na distribuio de freqncia. (b) O histograma um grco construdo com freqncias de uma distribuio de freqncias ou de uma srie temporal. (c) O polgono de freqncia um indicador grco da distribuio de probabilidade que se ajusta distribuio emprica a que ele se refere. (d) O histograma pode ser construdo para a distribuio de uma varivel discreta ou contnua. FTC EaD | LICENCIATURA EM MATEMTICA36 37. (e) O polgono de freqncia construdo unido-se os pontos correspondentes aos limites inferiores dos intervalos de classe da distribuio de freqncia. EP 1.32. [TCDF] Em relao aos tipos de grcos, assinale a opo correta. (a) Uma srie categrica representada por um grco de linha. (b) Uma srie cronolgica melhor representada por um grco de setores. (c) Se uma distribuio de freqncias apresenta intervalos de tamanhos desiguais, o melhor grco para represent-la um polgono de freqncias. (d) O grco de barras usado somente para sries geogrcas. (e) O grco de setores usado para comparar propores. EP 1.33. O grco formado por um conjunto de retngulos justapostos, de forma que a rea de cada retngulo seja proporcional freqncia da classe que ele representa chamado de: (a) Polgono de Freqncias (b) Grco de Barras (c) Grco de Colunas (d) Histograma (e) Ogivograma EP 1.34. [AFE] Indique a alternativa correta: (a) A freqncia relativa nos fornece o nmero de observaes dentro de cada intervalo de classe. (b) Ao falarmos em distribuio de freqncias estamos nos referindo a uma populao. Quando tratamos com amostra, nos referimos a distribuio de probabilidade. (c) Curvas de freqncias simtricas so aquelas em que as observaes equidistantes do ponto central tm a mesma freqncia. (d) Um polgono de freqncias um conjunto de retngulos, cujas reas so proporcionais s freqncias das classes. (e) A amplitude de um intervalo de classe a diferena entre o limite superior e o ponto mdio do intervalo. A Estatstica Descritiva consiste em um conjunto de mtodos que ensinam a reduzir uma quantidade de dados, bastante numerosa, em um nmero pequeno de medidas que substituem e representam aquela massa de dados. Quatro tipos fundamentais de medidas descritivas so estudadas: (i) medidas de posio (ou de locao ou de localizao); (ii) medidas de disperso (ou de variabilidade); (iii) medidas de assimetria; (iv) medidas de curtose. Entre as medidas de posio, aquelas que tendem a estar no centro da distribuio so chamadas de m

02 estatisticae probabilidade

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