Considere a, b e c algarismos que fazem comque a conta a seguir, realizada com númerosde três algarismos, esteja correta.

4 a 5− 1 5 b

c 7 7

Nas condições dadas, b c a⋅ − é igual a

a) 0. b) 116

. c) 14

. d) 1. e) 16.

alternativa D

A partir da conta apresentada obtemos:405 10a (150 b) 100c 77+ − + = + ⇔⇔ + = +10a 178 100c b ( )∗Como a, b e c são algarismos, o dígito das unida-des de 10a 178+ é 8 e o dígito das unidades de100c + b é b. Portanto b = 8 e (∗) ⇔ + =10a 178= + ⇔ + =100c 8 a 17 10c.Novamente, considerando o dígito das unidades,concluímos que a = 3 e, conseqüentemente, c = 2.

Logo b c 8 2 818

1a 3⋅ = ⋅ = ⋅ =− − .

Uma loja vende três tipos de lâmpada(x, y e z). Ana comprou 3 lâmpadas tipo x,7 tipo y e 1 tipo z, pagando R$ 42,10 pelacompra. Beto comprou 4 lâmpadas tipo x,10 tipo y e 1 tipo z, o que totalizou R$ 47,30.Nas condições dadas, a compra de três lâmpa-das, sendo uma de cada tipo, custa nessa lojaa) R$ 30,50.d) R$ 32,30.

b) R$ 31,40.e) R$ 33,20.

c) R$ 31,70.

alternativa C

Sendo x, y e z os preços, em reais, de cada tipode lâmpada, pelo enunciado:3x 7y z 42,10

4x 10y z 47,30

+ + =+ + =

⇔

⇔+ + =

− − − = −⇒

9x 21y 3z 126,30

8x 20y 2z 94,60

⇒ + + =x y z R$ 31,70

Seja f: N → Q uma função definida por

f(x)x 1, se x é ímparx2

, se x é par=

+⎧⎨⎪

⎩⎪

Se n é ímpar e f(f(f(n))) = 5, a soma dos alga-rismos de n é igual aa) 10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6.

alternativa A

Se n é ímpar, n 1+ é par e, assim,

f(f(f(n))) 5 f(f(n 1)) 5 fn 1

25= ⇔ + = ⇔ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ = .

Há dois casos a considerar:

• Sen 1

2+

for par, então

n 122

5 n 19

+

= ⇔ = ;

• Sen 1

2+

for ímpar, entãon 1

21 5

+ + = ⇔

⇔ =n 7, o que contradiz a hipótese den 1

2+

ser

ímpar, pois7 1

24

+ = .

Logo a soma dos algarismos de n é1 9 10+ = .

Adotando-se log 2 = a e log 3 = b, o valor delog ,1 5 135 é igual a

a) 3abb a−

. b) 2b a 12b a

− +−

. c) 3b ab a

−−

.

d) 3b ab a

+−

. e) 3b a 1b a− +

−.

alternativa E

log 135log135log1,5

log (3 5)

log32

1,5

3= = ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

=

⋅⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= + −log

3 102

log32

log 3 log10 log 2log 3

3

3

−=

log 2

= + −−

= + −−

=3 log 3 log10 log 2log 3 log 2

3b 1 ab a

= − +−

3b a 1b a

Questão 11

Questão 12

Questão 13

Questão 14

Sejam as seqüências (75, a , a , a , . . . .)2 3 4 e(25, b , b , b , . . .)2 3 4 duas progressões aritméti-cas de mesma razão. Se a b100 100+ = 496,

entãoab

100

100é igual a

a) 273223

. b) 269219

. c) 247187

.

d) 258191

. e) 236171

.

alternativa A

Sendo r a razão das duas progressões, temos:a b 496100 100+ = ⇔⇔ + + + =75 99r 25 99r 496 ⇔ =r 2

Logoab

75 99 225 99 2

273223

100

100= + ⋅

+ ⋅= .

Considere o conjunto C = {2, 8, 18, 20, 53,124, 157, 224, 286, 345, 419, 527}.O número de subconjuntos de três elementosde C que possuem a propriedade “soma dostrês elementos é um número ímpar” éa) 94.d) 132.

b) 108.e) 146.

c) 115.

alternativa C

No conjunto C há 7 números pares e 5 númerosímpares. É possível escolher 3 elementos de Ccuja soma é ímpar de duas formas:• 2 números pares e 1 número ímpar, de7

2

5

121 5 105

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ×

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅ = maneiras;

• 3 números ímpares, de5

310

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = maneiras.

Portanto o número de subconjuntos com a referi-da propriedade é105 10 115+ = .

A figura representa três semicírculos, mutua-mente tangentes dois a dois, de diâmetrosAD, AC e CD.

Sendo CB perpendicular a AD, e sabendo-seque AB = 4 cm e DB = 3 cm, a medida da áreada região sombreada na figura, em cm2, éigual aa) 1,21 π.d) 1,44 π.

b) 1,25 π.e) 1,69 π.

c) 1,36 π.

alternativa D

O triângulo ABD é retângulo em B. Logo AD =

= + = + =AB DB 4 3 52 2 2 2 .Sejam BC h= a altura relativa ao lado AD,CD r= 2 e AC 2R 5 2r= = − , conforme a figura aseguir.

Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulosACB e DCB temos:

h (5 2r) 4

h (2r) 3

2 2 2

2 2 2

+ − =

+ =⇒

⇒ − − = − ⇔ =16 (5 2r) 9 (2r) r9

102 2

Logo 2R 5 2r 2R 5 29

10R

85

= − ⇔ = − ⋅ ⇔ =

e, assim, a área sombreada na figura, emcm2 , é:

12

52

12

910

12

85

2 2 2⋅ ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − ⋅ ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − ⋅ ⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =π π π

= − − = =258

81200

3225

288200

1,44π π π π π.

A figura indica um paralelepípedo reto-retân-gulo de dimensões 2 x 2 x 7 , sendo A, B,C e D quatro de seus vértices.

matemática 2

Questão 15

Questão 16

Questão 17 Questão 18

B

A C D

B

A C D

4 3h

5 _ 2r 2r

A distância de B até o plano que contém A, De C é igual a

a) 114

. b) 144

. c) 112

.

d) 132

. e) 3 72

.

alternativa B

A base BCED do paralelepípedo é um quadra-do e CD, uma de suas diagonais. Assim,CD 2 2 2= ⋅ = e, sendo M o ponto médio de

CD, CM = DM = 1.

Como AC e AD são diagonais de faces congruen-tes do paralelepípedo, o triângulo ACD é isósce-les de base CD e altura AM.Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulosABC e ACM, respectivamente,

AC AB BC AC ( 7 ) ( 2 )2 2 2 2 2 2= + ⇔ = + ⇔

⇔ =AC 3 e AC AM C2 2 2= + ⇔M

⇔ = − ⇔ =AM 3 1 AM 2 22 2 2 .Logo, a distância d do vértice B ao plano que con-tém A, D e C, que é a altura relativa ao lado AMdo triângulo retângulo ABM, é tal que AM d⋅ =

= ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ =BM AB 2 2 d 1 7 d144

.

As coordenadas dos vértices do triângulo ABCnum plano cartesiano são A(−4, 0), B(5, 0) eC(sen θ, cos θ). Sendo θ um arco do primeiroquadrante da circunferência trigonométrica,e sendo a área do triângulo ABC maior que94

, o domínio de validade de θ é o conjunto

a) π π3 2

,⎤⎦⎥

⎡⎣⎢. b) π π

6 3,⎤

⎦⎥⎡⎣⎢. c) 0

6,

π⎡⎣⎢

⎡⎣⎢.

d) 04

,π⎡

⎣⎢⎡⎣⎢. e) 0

3,

π⎡⎣⎢

⎡⎣⎢.

alternativa E

Como os pontos A e B estão sobre o eixo Ox e oângulo θ encontra-se no primeiro quadrante, ouseja, cos 0θ > , a área do triângulo ABC é[5 ( 4)] cos

29 cos

2− − ⋅ = ⋅θ θ

.

Assim,9 cos

294

cos12

03

⋅ > ⇔ > ⇔ ≤ <θ θ θ π,

admitindo que (0; 1) pertence ao primeiro qua-drante.

A figura indica a representação gráfica, noplano cartesiano ortogonal xOy, das funçõesy x 2x 52= + − e xy 6= .

Sendo P, Q e R os pontos de intersecção dascurvas, e p, q e r as respectivas abscissas dospares ordenados que representam esses pon-tos, então p + q + r é igual a

a) − 23

. b) −1. c) − 32

. d) −2. e) −3.

matemática 3

A

B

C

D

7

2

2

A

B

C

D

7

2

2

22 22

M

3

11

E

1

Questão 19

Questão 20

y

R

r

qp

0

P

x

Q

alternativa D

y x 2x 5

xy 6

y x 2x 5

y6x

22

= + −=

⇔= + −

=⇔

⇔=

+ − − = ∗

y6x

x 2x 5x 6 0 ( )3 2

Podemos verificar que −1 é raiz da equação ( )∗ e,como

−1 1 2 −5 −6,

1 1 −6 0

( ) x = 1∗ ⇔ − ou x x 6 02 + − = ⇔x 1= − ou x 3= − ou x 2= .Portanto p q r+ + = − − + = −3 1 2 2.

matemática 4

Observe o padrão de formação das figurasnumeradas.

a) Sabendo-se que as figuras 1, 2 e 3 são for-madas, respectivamente, por 5, 13 e 25 qua-drados de área 1 cm2, calcule a área da figu-ra 10 da seqüência indicada.b) Seja x o número da figura x, e f(x) o núme-ro de quadrados de 1 cm2 que compõem essamesma figura. Em relação à função f, deter-mine sua lei de formação e seus conjuntos do-mínio e imagem.

Resposta

a) Note que o número de quadrados da linha cen-tral de cada figura forma uma PA de primeiro ter-mo a 31 = e razão r 21 = . Portanto, a linhacentral da figura k, k Z∈ +

∗ , é formada pora 3 (k 1) 2 2k 1k = + − ⋅ = + quadrados.Além disso, acima e abaixo da linha central da fi-gura 1 há 1 quadrado, da figura 2, há 1 3+ qua-drados, da figura 3,1 3 5+ + quadrados, e assimpor diante. Logo na figura k, acima e abaixo da li-nha central, há 1 3 ... (2k 1)+ + + − , k Z∈ +

∗ , queé a soma de uma PA de primeiro termo b 11 = erazão r 22 = . A soma do número de quadrados

acima e abaixo é, então, 2 s 2(1 b ) k

2kk⋅ = ⋅

+ ⋅=

= + + − ⋅ ⋅ =(1 1 (k 1) 2) k 2k 2 .Dessa forma, o número de quadrados da figura10 é a 2 s 2 10 1 2 10 22110 10

2+ ⋅ = ⋅ + + ⋅ = e

sua área é 221 1 221cm2⋅ = .b) Fazendo k x= no item a, temos que o númerode quadrados da figura x é dado pela funçãof(x) = ax + 2 ⋅ sx ⇔ f(x) = 2x 2 + 2x + 1, com

f : Z+∗ → Z+

∗ e imagem I ym 2x 2x 1f2= + + com

x Z∈ +∗ .

Em uma urna foram colocadas cem bolas,numeradas de 1 a 100. Para um sorteio alea-tório de uma bola, o jogador A apostou nonúmero 35, o jogador B no número 63 e o jo-gador C no número 72. A, B e C foram osúnicos jogadores da partida. Depois de esco-lhidos os números apostados, o organizadordo evento divulgou a seguinte regra:

Ganhará o prêmio quem acertar o númerosorteado e, não havendo acertador, ganharáaquele que mais se aproximar do número sor-teado. Se houver empate entre dois jogadores,ganhará aquele que vencer uma partida decara ou coroa realizada com uma moeda ho-nesta.

a) Qual é a probabilidade de que A seja o ga-nhador do prêmio?b) Qual é a probabilidade de que B seja o ga-nhador do prêmio?

Resposta

Como35 63

249

+ = e63 72

267,5

+ = , sendo n

o número sorteado:• para1 n 48≤ ≤ , A vence;• para n = 49, A e B disputam uma partida decara ou coroa;• para 50 n 67≤ ≤ , B vence;• para68 n 100≤ ≤ , C vence.Assim:

a)48

1001

10012

97200

48,5%+ ⋅ = =

b)1

10012

67 50 1100

37200

18,5%⋅ + − + = =

Admita que a matriz cuja inversa seja forma-da apenas por elementos inteiros pares rece-ba o nome de EVEN.Seja M uma matriz 2x2, com elementos reais,

tal que M2 3x

x 1 x=

+⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥.

Questão 36

figura 1 figura 2 figura 3

Questão 37

Questão 38

Admita que M seja EVEN, e que sua inversatenha o elemento da primeira linha e primei-ra coluna igual a 2.a) Determine o valor de x nas condições da-das.b) Determine a inversa de M nas condiçõesdadas.

Resposta

A matriz M é inversível se, e somente se,det M 0≠ ⇔⇔ − + ≠ ⇔ − − ≠ ⇔2x 3x(x 1) 0 3x x 02

⇔ ≠x 0 e x ≠ − 13

.

Assim, sua inversa M 1− é dada por

1det M

adj M1

3x x

x 3x

(x 1) 22⋅ =− −

⋅−

− +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ .

a) Sendo o elemento da primeira linha e primeiracoluna de M 1− igual a 2, temos

x

3x x2 6x 3x 0 x

122

2

− −= ⇔ + = ⇔ = − , pois

x ≠ 0.

b) A inversa de M é M 1− =− ⋅ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⋅1

312

12

2

⋅− − ⋅ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=−

12

312

12

1 2

2 6

2 8−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥.

Sejam f e g funções modulares reais definidaspor f (x) |x 2|= + e g(x) |x 2|= −2 .a) Resolva a equação f(x) g(x)= .b) Construa o gráfico da função real h, defini-da por h(x) |x 2| |x 2|= + − −2 .

Resposta

a) f(x) g(x) x 2 2 x 2= ⇔ + = − ⇔| | | |⇔ + = −x 2 2(x 2) ou x 2 2(x 2)+ = − − ⇔

⇔ =x 6 ou x23

=

LogoV23

,6= ⎧⎨⎩

⎫⎬⎭.

b) h(x) x 2 2 x 2= + − − ⇔| | | |

⇔ =− − − − + ≤ −

+ − − + − ≤ ≤+ −

h(x)

x 2 2( x 2), se x 2

x 2 2( x 2), se 2 x 2

x 2 2(x 2), se x 2− ≥⇔

⇔ =− ≤ −

− − ≤ ≤− + ≥

h(x)

x 6, se x 2

3 2, se 2 x 2

6, se x 2

x

x

• y x 6= − é uma equação da reta que passapor ( 3; 9)− − e ( 2; 8)− − ;• y 3x 2= − é uma equação da reta que passapor ( 2; 8)− − e (2; 4);• y x 6= − + é uma equação da reta que passapor (2; 4) e (3; 3).Um esboço do gráfico de h(x) é apresentado a se-guir:

Admita os pontos A(2, 2) e B(−3, 4) comosendo vértices opostos de um losango ACBD.a) Determine a equação geral de cada umadas retas suportes das diagonais do losangoACBD.b) Calcule o comprimento do lado do losangoACBD, admitindo-se que um de seus vérticesesteja no eixo das abscissas.

Resposta

a) A reta suporte da diagonal que passa pelosvértices A (2; 2) e B (−3; 4) tem coeficiente an-

gular igual a a4 23 2

25AB = −

− −= − e equação

y 2− = − − ⇔ + − =25

(x 2) 2x 5y 14 0.

matemática 2

Questão 39

Questão 40

y

x

43

32

_2

_3

_8

_9

A diagonal que passa pelos vértices C e D éperpendicular à diagonal AB pelo seu ponto

médio M de coordenadas x2 ( 3)

212M = + − = − e

y2 4

23M = + = e seu coeficiente angular é

a125

52CD = −

−= . Logo uma equação de CD é

y 352

x12

10x 4y 17 0− = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇔ − + = .

b) Sendo (x; y) as coordenadas do vértice na

diagonal CD que está sobre o eixo das abscis-

sas, 10x 4 0 17 0 x1710

− ⋅ + = ⇔ = − e y 0= .

Portanto a medida do lado do losango é

21710

(2 0)1 769100

22− −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − = =

=1 76910

.

matemática 3