000931438

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMTICA

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA PURA E APLICADA

Priscila Aliardi Soares

RESOLUO DE PROBLEMAS: UM ESTUDO SOBRE MATEMTICA FINANCEIRA NO ENSINO MDIO

Porto Alegre 2014



Trabalho de Concluso de curso de Graduao apresentado ao Departamento de Matemtica Pura e Aplicada do Instituto de Matemtica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como requisito parcial para obteno de grau de Licenciada em Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Vinicius de Azevedo Basso

Porto Alegre 2014



Trabalho de Concluso de curso de Graduao apresentado ao Departamento de Matemtica Pura e Aplicada do Instituto de Matemtica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como requisito parcial para obteno de grau de Licenciado em Matemtica.

Orientador: Prof. Dr. Marcus Vinicius de Azevedo Basso

Banca Examinadora

______________________________________

Prof. Dr. Marcus Vinicius de Azevedo Basso Orientador Instituto de Matemtica UFRGS

______________________________________

Profa. Dra. Fernanda Wanderer Faculdade de Educao UFRGS

_____________________________________

Profa. Dra. Leandra Anversa Fioreze Instituto de Matemtica UFRGS Departamento de Matemtica - UFSM

Dedico esse trabalho minha me

Vera por ser a maior incentivadora

em meus estudos e sem sua fora

esse sonho no teria se realizado.

AGRADECIMENTOS

A Deus pr tr m dado sade fora pr superar s dificuldades.

Aos meus pais Sergio e Vera que foram os primeiros acreditar na minha

capacidade.

E o que dizer a voc, Roger? Obrigada pela pacincia, pelo incentivo,

pela fora e principalmente pelo carinho. Obrigada pela compreenso de

minha ausncia dedicada ao estudo. E obrigada pela sabedoria de me

acolher e me fazer feliz durante todos esses anos. Eu te amo.

minha irm e melhor amiga do mundo Fabiana que sempre esteve ao

meu lado me apoiando, sendo a minha parceira e confidente. Tenho

certeza que nunca deixaremos de estar prximas uma da outra.

minha sobrinha Nathalia que nunca mediu esforos para me ajudar e

me ouvir.

minha afilhada Julia que sempre esteve presente em minha vida.

Ao meu irmo Rafael que me ajudou durante essa trajetria.

minha amiga Ana que me aconselhou com suas sbias palavras.

minha amiga Juliana que fez a universidade um lugar mais

aconchegante.

minha amiga Kellen que me incentivou quando eu mais precisei.

minha amiga e professora Sara da escola a qual foi realizada essa

pesquisa e aos alunos da turma 311 do turno da manh.

Ao meu querido professor e orientador Marcus que ao longo do curso

esteve presente e me ajudou na concluso desse trabalho. Alm de

tudo, demonstrou ser um grande amigo.

professora Leandra Fioreze por seus ensinamentos e entusiasmo

durante as aulas. um prazer t-la na participao da minha banca.

professora Fernanda Wanderer por todos os momentos que esteve

presente durante a minha trajetria na graduao contribuindo para

minha formao. um prazer t-la na participao da minha banca.

Meu muito obrigada a todos.

RESUMO Este trabalho consiste em uma pesquisa qualitativa que buscou analisar a resoluo de problemas de Matemtica Financeira por alunos do Ensino Mdio. Para tanto, tal estudo foi construdo a partir de um trabalho de campo, onde foram aplicados problemas de Matemtica Financeira e realizadas entrevistas a alunos no terceiro ano do Ensino Mdio. Foi feita uma pesquisa onde se buscou aproximar a realidade cotidiana rotina escolar, bem como a aprendizagem e apropriao de conceitos matemticos juro simples e juro composto. A partir de produes dos estudantes e entrevistas realizadas em sala de aula foi possvel compreender diante das narrativas dos alunos participantes da pesquisa, quais etapas da Heurstica de resolues de problemas de George Polya (1995) so efetivamente significativas na perspectiva terica e prtica. O respectivo trabalho no limitou-se em buscar respostas definitivas, mas sim, compreender de que forma se d o processo de aprendizagem de alunos matriculados em uma escola da Rede Estadual de Porto Alegre, tendo como referncia as experincias dos prprios alunos diante da resoluo de problemas matemticos.

Palavras chaves: resoluo de problemas; Matemtica Financeira; educao Matemtica.

ABSTRACT

This work consists of a qualitative research to examine problem solving Financial Mathematics in High School classrooms. The methods used in this study were fieldwork, interviews with students of the Third Year of High School and Financial Mathematics problems. The research took into consideration the everyday life and class routine of the students. Furthermore, the practical aspect and formal concepts of simple and compound interests were also considered. With the results, it was possible to see which Heuristics steps for problem's resolutions by George Polya (1995) were effective in both theorical and practical aspects. The purpose of this study is to demonstrate the learning process of Financial Mathematics in a school in Porto Alegre, acknowledging students' experiences on resolutions of Mathematics' problems.

Key words: problems resolutions; Financial Mathematics; Mathematical education.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1- Extrato da pgina 319 do livro Matemtica contexto & aplicaes ............22

Figura 2 - Extrato da pgina 320 do Matemtica contexto & aplicaes...................23

Figura 3 - Extrato da pgina 321 do livro Matemtica contexto & aplicaes ...........24

Figura 4 - Extrato pgina 322 do livro Matemtica contexto & aplicaes ................24





Figura 9 - Extrato da pgina 156 do livro Curso de Matemtica................................28

Figura 10 - Extrato da pgina 157 do livro Curso de Matemtica..............................28

Figura 11 - Extrato da pgina 160 do livro Curso de Matemtica Volume nico ...29 Figura 12 - Extrato pgina 161 do livro Curso de Matemtica Volume nico ........30 Figura 13 - Extrato pgina 164 do livro Curso de Matemtica Volume nico .......31 Figura 14 - Extrato da pgina 167 do livro Curso de Matemtica Volume nico ...32 Figura 15 - Mensagem aos alunos ............................................................................42

Figura 16 - Baixar arquivo .........................................................................................42

Figura 17 - Interao com o aluno.............................................................................43

Figura 18 - Soluo do aluno da figura 17 ................................................................43

Figura 19 - Valor de venda do carro Celta ................................................................52

Figura 20 - Soluo do aluno A.................................................................................55

Figura 21 - Soluo do aluno N.................................................................................55

Figura 22 - Soluo do aluno R.................................................................................55

Figura 23 - Soluo do aluno M ................................................................................58



Figura 26 - Soluo aluno N......................................................................................59

Figura 27 - Soluo aluno R......................................................................................60





Figura 32 - Soluo do aluno L .................................................................................63

Figura 33 - Soluo aluno M .....................................................................................64


Figura 35 - Soluo aluno P......................................................................................66

Figura 36 - Soluo aluno M .....................................................................................66


Figura 38 - Resoluo aluno N..................................................................................69

Figura 39 - Resoluo do aluno R.............................................................................69

Figura 40 - Resoluo do aluno N.............................................................................70

Figura 41 - Resoluo do aluno R.............................................................................71

Figura 42 - Resoluo do aluno M ............................................................................71

Figura 43 - Resoluo do aluno N.............................................................................73

Figura 44 - Respostas dos alunos.............................................................................74









LISTA DE TABELAS Tabela 1 As quatro etapas de Resoluo de Problemas (Polya, p. XIII)................37 Tabela 2 -Clculo do juro Simples.............................................................................46 Tabela 3 - Clculo do juro composto.........................................................................48 Tabela 4 - Comparao entre juro simples e juro composto .....................................48

SUMRIO 1 INTRODUO .......................................................................................................11

2 REFLEXES SOBRE O ENSINO DE MATEMTICA FINANCEIRA ...................15 2.1 Analisando os Ps: PCN e PPP..........................................................................15

2.2 Por que Educao Financeira? ...........................................................................18

2.3 Um breve estudo sobre livros didticos...............................................................21

2.4 Anlise dos livros didticos .................................................................................33

3 FUNDAMENTAO TERICA.............................................................................34 3.1 Dialogando sobre a prtica..................................................................................34

3.2 Exerccios e Problemas: suas principais caractersticas .....................................35

3.3 Resoluo de problemas sob perspectiva de George Polya...............................36

3.4 Resolvendo um problema....................................................................................39

4 METODOLOGIA DE TRABALHO ........................................................................42

5 ANLISE DE DADOS............................................................................................54 5.1 Problemas: analisando caso a caso....................................................................54

5.2 Questionrios ......................................................................................................73 5.2.1 Questionrio inicial ...........................................................................................73 5.2.2 Questionrio Final ............................................................................................75

6 CONSIDERAES FINAIS ...................................................................................79 REFERNCIAS.........................................................................................................82 ANEXO .....................................................................................................................85

APNDICE A- REPORTAGEM SOBRE IMVEIS..................................................86 APNDICE B- REPORTAGEM SOBRE CARROS ..................................................90

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1 INTRODUO

Meu interesse pela rea da Matemtica Financeira surgiu a partir de minhas experincias como docente nas disciplinas de Laboratrio de ensino-aprendizagem (I, II e III) e Estgio em Educao Matemtica (I, II e III). Percebi a inquietao dos alunos quando era questionada a utilidade dos contedos e aprendizados na aula de Matemtica. A partir desse questionamento dos estudantes, refleti sobre minha trajetria como aluna ou professora e, no decorrer da graduao busquei aproximar a Matemtica desenvolvida em sala de aula realidade dos alunos, com inteno de romper com a separao entre a teoria e a prtica, demonstrando que possvel aplicar o que se aprende ao cotidiano.

A Matemtica est presente em minha vida desde muito cedo. Ainda quando aluna do ensino bsico buscava uma relao entre o que aprendia na escola e onde poderia aplicar esse conhecimento. No decorrer de minhas prticas docentes passei a construir, junto dos alunos, mtodos que possivelmente auxiliassem na compreenso da Matemtica.

No ltimo ano da graduao tive uma aproximao significativa do ensino da Matemtica Financeira e tal vivncia despertou uma curiosidade: Como a Matemtica Financeira na escola pode facilitar o controle pessoal financeiro?. Esse questionamento me incentivou a pesquisar o que os autores da rea dizem e tratam a respeito do assunto, assim como examinar o olhar dos alunos em relao ao uso desse contedo.

Este trabalho fundamenta-se a partir dessa questo norteadora, buscando maneiras de solucionar problemas matemticos que envolvam situao de juro simples e juro composto, considerando que uma atividade rotineira em nossas vidas: compras em supermercado, financiamentos de imveis ou de carros, faturas de carto de crdito, contas de gua e luz, compras vista ou a prazo, etc.

Porm, mesmo sendo uma atividade rotineira em nosso dia a dia, nem sempre percebemos ou fazemos uso das noes de porcentagem, juro simples e juro composto. Reflito se de fato as pessoas que possuem uma base prvia de

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Matemtica realmente conseguem compreender o significado das aes matemticas existentes no cotidiano.

Atualmente, temos que conviver com uma publicidade de incentivo ao consumo; o que resulta, na maioria das vezes, em desvantagem ao bolso do consumidor e, neste sentido, penso que os conhecimentos matemticos podem propiciar uma compra mais consciente. Assim, possvel afirmar que as pessoas capazes de compreender a inteno do anncio, os juros includos, ainda que sutilmente, so consideradas pessoas privilegiadas, pois diante de situaes que estejam relacionadas com a Matemtica Financeira possuem discernimento ao optar por uma opo mais adequada.

Considerando a hiptese de que um grande percentual de pessoas possui nvel baixo de conhecimento em Matemtica, esses por sua vez podem ser ingenuamente seduzidos por esse tipo de propaganda. Logo, deixam de pesquisar em outros estabelecimentos e, diante dessa situao acabam por pagar um valor absurdo na compra de um produto.

Assim, cabe ao educador alertar seus alunos sobre as consequncias de atos impensados ao adquirir algum bem. medida que os alunos estiverem aptos em discernir entre o vantajoso e desvantajoso, mais facilmente podero optar por aes que lhes d um retorno positivo financeiramente.

Remeto a minha experincia como pesquisadora no momento em que solicitei professora regente da turma de terceiro ano do ensino mdio onde eu realizei essa pesquisa, as indicaes a respeito do ensino da Matemtica Financeira junto ao Projeto Poltico Pedaggico e, segundo esta no haveria interesse prprio, to pouco a necessidade que fosse trabalhado esse contedo durante o ano letivo. Portanto, pode-se pensar que a falta de tempo e o desinteresse dos professores e da escola podem ser um dos motivos para a ausncia desse contedo dentro da sala de aula.

Mesmo que na escola onde foi realizada a pesquisa a Matemtica Financeira seja trabalhada, visvel que este contedo superficialmente abordado no decorrer da formao do aluno, detendo o docente a apresentar aos estudantes

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apenas as noes bsicas de juro simples e juro composto, pois os professores no se sentem vontade em trabalhar com o contedo.

Tal condio no est limitada apenas ao ensino bsico, uma vez que o curso superior dependendo da Universidade tambm no oferece suporte necessrio para que o aluno em formao e, futuro formador, possa ministrar seguramente uma aula sobre Matemtica Financeira, o que obriga os professores interessados na rea a se especializarem sobre o assunto. Assim, cabe ao professor/facilitador incorporar a Matemtica s situaes cotidianas, diminuindo a distncia entre a teoria trabalhada nos livros didticos e o mundo real, desmitificando a errnea ideia de que a Matemtica uma cincia esttica, pois, ela sofre modificaes constantemente. Nesse sentido a autora Sadovsky (2007) esclarece que:

A Matemtica, no s no Brasil, apresentada sem vnculos com os problemas que fazem sentido na vida das crianas e dos adolescentes. Os aspectos mais interessantes da disciplina, como resolver problemas, discutir idias, checar informaes e ser desafiado, so pouco explorados na escola. O ensino se resume a regras mecnicas que ningum sabe, nem o professor, para que servem. (Grifo da autora)1

Diante de tais ideias, o presente trabalho intitulado Resoluo de problemas: um estudo sobre Matemtica Financeira no Ensino Mdio trata de uma pesquisa de cunho qualitativo realizado em uma escola da rede estadual, localizada no municpio de Porto Alegre/RS. O objetivo da pesquisa analisar resoluo de problemas de Matemtica Financeira por alunos limitando-se a juro simples e juro composto sem a utilizao de frmulas. Assim, o trabalho est dividido em cinco captulos, sendo estes:

No segundo captulo, so abordados aspectos sobre o contedo de Matemtica Financeira nos Parmetros Curriculares Nacionais e no Projeto Poltico-Pedaggico da escola onde foi realizada a pesquisa de campo. Realizou-se breve anlise sobre a importncia do ensino da Matemtica Financeira.

1 Matria publicada no site da revista Escola Brasil. Disponvel em:

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No terceiro captulo, apresentada a fundamentao terica, apoiando-se principalmente nas ideias do autor George Polya (1995), em relao a certas particularidades sobre a resoluo de problemas matemticos.

No quarto captulo est descrita a metodologia do trabalho, sendo exposta a sequncia didtica aplicada aos alunos.

No quinto captulo feita uma anlise de cada caso inserido na pesquisa e das entrevistas realizadas com os alunos.

Por fim, o sexto captulo ser destinado concluso do presente trabalho.

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2 REFLEXES SOBRE O ENSINO DE MATEMTICA FINANCEIRA 2.1 Analisando os Ps: PCN e PPP

Neste captulo apresentada uma breve reflexo a partir dos Parmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e do Projeto Poltico-Pedaggico (PPP) apresentado pela Escola, sobre o contedo de matemtica financeira. No presente trabalho tomarei como referncia a definio para os PCNs conforme est publicado no site do Ministrio da Educao,

Entendemos sua construo como um processo contnuo: no s desejamos que influenciem positivamente a prtica do professor, como esperamos poder, com base nessa prtica e no processo de aprendizagem dos alunos, rev-los e aperfeio-los. (2000, p. 4)

Seguindo essa lgica possvel afirmar que o Ministrio da Educao, sugere que os PCNs deveriam ser um norteador para formulao do Projeto Poltico-Pedaggico nas escolas e um estmulo ao plano de aula do educador.

Mesmo assim, a criao do Projeto Poltico-Pedaggico da escola uma tarefa exigente que envolve tempo para discusses a fim de promover a progresso do desempenho dos envolvidos diretamente: alunos e professores. Considerando a relevncia de tal processo, a produo e aplicao do PPP, cabe aos responsveis por este feito, analisar para quem e para qu esse projeto serve, ponderando a realidade do sujeito. Assim, Mendes nos diz que:

Ao planejarmos uma disciplina devemos sempre levar em considerao alguns aspectos como: conhecimento da realidade do aluno, da escola e da comunidade; definio dos objetivos a serem alcanados pelos alunos em relao a disciplina; (2009, p. 154)

Nesse sentido, durante o ano letivo, devem ser selecionados criteriosamente, em cada rea (matemtica, portugus, histria), os contedos a serem desenvolvidos, objetivando uma possvel maneira pela qual os estudantes tenham um ensino proveitoso dos assuntos a serem construdos juntamente com professor em sala de aula, atendendo ao critrio de aproveitamento, ou seja, fazer uso e associaes dos conhecimentos dentro e fora do ambiente escolar.

No caso da disciplina de Matemtica, ela est dividida em reas, como por exemplo: geometria analtica, geometria espacial, funes de primeiro e segundo

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grau, etc. Assim, cada uma dessas reas da Matemtica tem suas peculiaridades de regras e funcionamentos prprios, estabelecendo uma singularidade de ensino em cada contedo construdo no processo de ensino-aprendizagem. Desse modo, promove-se assim, um ensino caracterizado com diversos arranjos, que variam conforme a diversidade dos contedos a serem trabalhados e/ou explorados, podendo cada um fazer uso de um princpio pedaggico que viabilize a promoo no Ensino de Matemtica.

Nesse contexto, a leitura do PCN pode motivar professores a pensar sobre suas prticas realizadas com os alunos, buscando reflexes para melhorias no ensino. A busca pela aproximao da realidade passou a ser uma alternativa para execuo das prticas pedaggicas com um maior aproveitamento. ntida a insistncia do PCN na importncia da funo social de ensino e, de modo particular, do ensino da matemtica, quando aponta que:

[...] contribuindo para desenvolver as capacidades que deles sero exigidas em sua vida social e profissional. Em um mundo onde as necessidades sociais, culturais e profissionais ganham novos contornos, todas as reas requerem alguma competncia em Matemtica e a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemticos necessria tanto para tirar concluses e fazer argumentaes, quanto para o cidado agir como consumidor prudente ou tomar decises em sua vida pessoal e profissional.(2000, p. 40)

O intuito estimular o estudante a um estgio de percepo de sua capacidade de utilizar as ferramentas trabalhadas em aula fora do contexto escolar, capacitando-o a tomar decises com mais cautela e confiana, seja no mbito profissional ou pessoal. De acordo com o PCN:

[...] os alunos devem ter se aproximado de vrios campos do conhecimento matemtico e agora esto em condies de utiliz-los e ampli-los e desenvolver de modo mais amplo capacidades to importantes quanto as de abstrao, raciocnio em todas as suas vertentes, resoluo de problemas de qualquer tipo, investigao, anlise e compreenso de fatos matemticos e de interpretao da prpria realidade.(2000, p. 41)

Aquele aluno que tiver compreendido os conceitos matemticos poder desfrutar do que a Matemtica nos oferece em termos de possibilidades de raciocnio lgico, tcnicas de resoluo de problemas, capacidade de pensar em termos abstratos, de compreenso e transformao do mundo. No Projeto Poltico-Pedaggico da escola consta que:

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O ensino se restringe ao bsico, ou seja, aos contedos mnimos. Estes no relacionam com a atualidade. H uma minoria que se preocupa com o seu fazer pedaggico, proporcionando aos alunos situaes de anlise, questionamento e reflexo, fazendo-os vivenciar fatos reais. (2000, p. 33)

Nesse sentido, a escola reflete que so poucos educadores que se preocupam em trazer a realidade para dentro da sala de aula. Com decorrncia desse fato, mesmo aqueles alunos capazes de analisar, investigar e compreender determinado contedo, muitas vezes no consegue amadurecer essas ideias ao ponto de relacionar os contedos estudados em sala de aula com a realidade. Para corrigir essa falha, o PPP da escola sugere que algumas medidas sejam tomadas.

Que o fazer pedaggico voltado para a realidade favorea a compreenso do contexto global e da teia de relaes que se estabelece, aprofundando assim a capacidade dos envolvidos de serem sujeitos de sua histria e agentes de transformao: relacionando os contedos com situaes da vida prtica; (2000, p. 41)

Assim, possvel perceber que a direo da escola demonstra preocupao com a insero da realidade na vida escolar, propondo uma mudana de atitudes dos educadores no processo de ensino. Devido ao fato do ensino nas escolas no estar baseado em projetos inovadores, acaba por vezes no alterando a dinmica de professores atuantes em sala de aula, uma vez que, em grande escala transformam resumem sua atuao a aulas tericas e provas, sem o aproveitamento de aulas participativas. Por exemplo, para tornar mais dinmicas essas aulas, os docentes poderiam utilizar ambientes informatizados, promovendo aulas prticas e conectando a aprendizagem ao dia a dia vivido fora da escola.

Como exemplo a Matemtica Financeira uma das matrias mais aplicveis no cotidiano, mesmo que no programa de contedo da escola no conste esta como um contedo obrigatrio do currculo. Logo, cabe ao professor devido a sua autonomia no planejamento de suas aulas o interesse de querer ensinar esse contedo, fato este pouco recorrente na rotina escolar. Muitos professores alegam que no trabalham questes de Matemtica Financeira por se tratar de um contedo irrelevante para a preparao do vestibular.

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2.2 Por que Educao Financeira?

A Educao Financeira no se limita apenas aos estudos do contedo de Matemtica Financeira, ela abrange a ampla escala de atividades que envolvam dinheiro e tambm situaes que impliquem atitudes necessrias ao entendimento e funcionamento de tarefas tais como oramento mensal, faturas de carto de crdito, investimentos.

Escutar ou ler sobre assuntos que envolvam a Matemtica Financeira muito comum, no entanto estar habilitado e seguro realizao das atividades que envolvam esse contedo no algo comum maioria da populao.

Um dos motivos da resistncia em aprender a Matemtica Financeira pode estar relacionado ao fato de que nas instituies de ensino, este contedo pouco trabalhado; seja por falta de tempo, pela ausncia nos livros didticos ou at mesmo pelo prprio desinteresse do educador - que no se sente seguro a ponto de trabalhar com seus alunos. Cser (2008) em sua dissertao, diz que:

So poucos, praticamente, inexistentes, os referenciais tericos nesse campo voltados especificamente para o Ensino Mdio. Como conseqncia, pode-se esperar um desconforto dos professores em abordar esse campo, visto que eles tambm no possuem uma formao adequada para discuti-lo. Ou seja, a Matemtica Financeira acaba no sendo estudada no Ensino Mdio e, dependendo da formao profissional escolhida pelo aluno, no ser estudada em algum momento. (2008, p. 12)

H um conjunto de fatores que contribuem com a ausncia da Educao Financeira no currculo escolar. Remeto-me ao Projeto Poltico-Pedaggico de ensino de Matemtica da escola. Dentre os contedos a serem estudados, percebi que no consta a Matemtica Financeira em quaisquer dos nveis do ensino bsico. Aqui no limito os nveis de aprendizagem ou idade dos alunos, pois, havendo o interesse de ensinar, o professor poderia introduzir esse contedo mesmo na Educao Infantil ao trabalhar questes monetrias: identificao de troco e cdulas. Em sua dissertao, Jover afirma que:

Particularmente, no mbito da prpria Matemtica, os clculos financeiros favorecem a aprendizagem das operaes no universo dos nmeros reais, a saber, potenciao, radiciao, porcentagem, propores e regra de trs. Nesse contexto, tambm se encontram os exemplos simples de aplicao da teoria, modelados por sequncias numricas e por funes polinomiais,

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racionais, logartmicas e exponenciais, que propiciam a familiarizao com o traado e a anlise de grficos de funes de varivel contnua ou de varivel discreta. (2014, p. 16)

Nesse sentido, os educadores poderiam trabalhar esse contedo de outras formas sem ser apenas utilizao de frmulas como a maioria dos livros didticos prope. Dificilmente essa situao acontece, devido ao fato de que esse contedo, quando sugerido, na maioria das vezes para que seja trabalhado no 3 ano do Ensino Mdio e inmeras vezes acontecem dos professores no conseguirem finalizar todos os contedos previstos para o ano letivo. Gerando um atraso ou at mesmo a abdicao de desenvolver os contedos que envolvem a Matemtica Financeira.

A matemtica financeira cada vez mais est tornando-se indispensvel em nossas vidas, visto que quando precisamos comprar algo imprescindvel dominarmos o contedo para no cairmos nas armadilhas das propagandas e do Marketing. Segundo Bergamini,

Consumidores tm sua frente uma srie de incentivos ao consumo, e o apelo do marketing cada vez maior. Sob este aspecto, importante observar que existe a perspectiva de influenciar as decises dos consumidores apresentando no apenas as vantagens de um produto, mas divulgando facilidades de pagamentos ou promoes. (2012, p. 5)

No possuir conhecimento o suficiente para poder interpretar e calcular o que poderia ser vantajoso e desvantajoso financeiramente, pode ter consequncias desastrosas do ponto de vista econmico, como por exemplo, uma compra necessita de uma anlise: se no vamos ultrapassar o oramento do ms, qual a melhor forma de pagamento e se realmente o produto necessrio. Caso no analisemos esses itens, podemos tomar atitudes inadequadas que podem nos levar a endividamentos desnecessrios, ou seja, tendo o conhecimento necessrio, possvel que o sujeito possa prever custos e gastos dentro de seu oramento.

Diante das situaes que envolvam a Matemtica Financeira importante a insero da Educao Financeira ao longo do Ensino Fundamental e, principalmente no Ensino Mdio, pois o estudo desse contedo proporciona a construo de estratgias que nos do segurana e clareza para tomar decises adequadas do ponto de vista financeiro. Contudo, no esperado que a formao matemtica do

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sujeito garanta o conhecimento e a familiarizao com todas as movimentaes financeiras, espera-se que lhe d cincia das opes diversas e fornea meios para administr-las. Segundo Rech,

A abordagem de contedos sobre a matemtica financeira propicia aos alunos entenderem como funciona o mundo em que vivem. Eles teriam a capacidade de elaborar um oramento domstico, analisar se ou no vantajoso comprar determinado produto vista ou a prazo, programar a sua poupana para um curso superior ou para velhice, j que a expectativa de vida aumentou consideravelmente nos ltimos anos. (2011, p. 14)

Pensando nessa abordagem da Matemtica Financeira para nosso cotidiano, a contextualizao uma forma que poder contribuir no entendimento do contedo. Visando melhorias para ensino-aprendizagem da Matemtica, podemos fazer uma conexo do que foi aprendido na escola com situaes que possivelmente podero ocorrer em nossas vidas, j que esse contedo se faz presente em diversas situaes, sejam esses financiamentos, faturas de carto de crdito, poupanas e etc. Dessa maneira, temos a possibilidade de colocarmos em prtica o que vimos na teoria para o nosso cotidiano. Barbosa diz que:

Talvez, no fundo, resida a o pressuposto de que a matemtica pertena a um mundo exterior e quando conectamos com situaes do dia-a-dia ou de outras cincias estabelecemos a tal contextualizao. (2004, p. 2)

A contextualizao do contedo uma maneira de contribuir para melhorias no ensino. De um modo geral, o ensino de matemtica trabalhado nas escolas de forma mecanizada, aprendendo apenas exerccios repetitivos o que gera respostas automticas. A partir dessa situao, os educadores podem chegar concluso equivocadamente que seus alunos aprenderam o conceito.

Porm, quando exigido aos alunos que saiam do lugar comum de aprendizado, eles ficam limitados ao ponto de no conseguirem estabelecer analogias com contedos que aprenderam. Consequentemente, no conseguem resolver simples exerccios e, devido a essa falha, os alunos ficam limitados ao conhecimento mecnico. Assim, cabe ao educador convidar seus alunos a construrem e contextualizarem os contedos em sala de aula com o intuito de se tornarem indivduos com autonomia e conhecimento, deixando de ser apenas alunos doutrinados a resolver exerccios propostos nas aulas ou em provas, ratificando

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assim que os alunos so capazes de aplicar seus conhecimentos diante de qualquer situao, dentro ou fora do contexto escolar.

Tendo como base essas ideias aqui apresentadas, foi elaborada uma sequncia de atividades envolvendo situaes reais as quais os estudantes provavelmente vivenciaro. importante salientar que nessa pesquisa todas as pessoas, inclusive as que no so dessa rea das exatas, possuem algum tipo de envolvimento, seja ele direta ou indiretamente com dinheiro e, por esse motivo, todos devem ter o mnimo de conhecimento em Matemtica Financeira, para lidar com situaes cotidianas.

2.3 Um breve estudo sobre livros didticos

Considerando a rotina escolar, o processo de ensino-aprendizagem e a atuao docente, busco nessa seo, analisar livros destinados Educao Financeira, direcionadas ao Ensino Mdio, priorizando a abordagem dos autores e as possveis conexes entre a teoria e a prtica.

Livro 1: Matemtica contexto & aplicaes Ensino Mdio 1- Luiz Roberto Dante 2003

O livro estruturado em captulos e est subdividido em sees.

Captulo 09 Matemtica Financeira

Seo 01, o autor demonstra a busca da conexo da realidade com o Ensino de Financeira, exemplificando que a Matemtica Financeira pode ser encontrada no cotidiano dos alunos.

Seo 02, Nmero Proporcionais; Seo 03, Porcentagem; Nessas duas sees, o autor trabalha com assuntos pertinentes que so do Ensino Fundamental, buscando uma reviso para dar base para os contedos de Matemtica Financeira.

Seo 04, Termos importantes da Matemtica Financeira: uma seo pequena, chamando a ateno do leitor aos termos presentes usualmente da Matemtica Financeira: montante, taxa de juros, capital, juros.

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Seo 05, Juros Simples: Uma breve explicao, chamando a ateno de que taxa e o tempo devem se referir uma mesma unidade de tempo. Aps esse comentrio, segue uma srie de cinco exerccios com resoluo. Aqui, o autor resolve dois exerccios utilizando de nmeros proporcionais e de porcentagem. J no terceiro exemplo, ele introduz a frmula J=C.i.t (J corresponde a juros, C corresponde a capital, i corresponde a taxa de juros, t corresponde ao perodo). A partir do terceiro exemplo, a resoluo est descrita com a primeira2 estratgia, ou seja, nmeros proporcionais e porcentagem; segunda* estratgia, ou seja, utilizao da forma generalizada. Sugere que os alunos retomem os exemplos 1 e 2 e refaam com o uso de frmulas.

Figura 1- Extrato da pgina 319 do livro Matemtica contexto & aplicaes

2 Nota explicativa: de acordo com o autor a primeira estratgia corresponde a no utilizao de frmulas e a

segunda estratgia a utilizao de frmulas.

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Figura 2 - Extrato da pgina 320 do Matemtica contexto & aplicaes

Note que na resoluo de exerccios o autor no se restringe apenas em aplicao de frmulas.

Seo 06, Juros Compostos: O primeiro exemplo sobre juros compostos. O autor mostra como seria a resoluo se resolvssemos com juro simples e com juro composto, salientando que juros compostos chamado de juros sobre juros. Aps essa apresentao, faz uma tabela generalizando a frmula do juro simples e a partir dela chega-se a frmula de juro composto.

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Figura 3 - Extrato da pgina 321 do livro Matemtica contexto & aplicaes

De forma generalizada, o autor apresenta a resoluo do montante gerado. No chama a ateno apenas da frmula normalmente usada. H uma tentativa de facilitar a visualizao da movimentao financeira para o aluno.

Figura 4 - Extrato pgina 322 do livro Matemtica contexto & aplicaes

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Depois que o autor trabalha com a movimentao financeira, ele apresenta um exemplo utilizando somente frmulas. Para refletir o autor comenta sobre a sequncia de PG com os termos (c, M1, M2, ...) com a razo de 1+i.


Nesse exerccio, o autor prope uma situao relevante para quem no profissional da rea que poder resolver com conhecimentos bsicos de Matemtica.

Seo 07, Juros e Funes:


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destacado nessa seo associao de funes com juros e uma breve reflexo sobre:


A figura 8 remete a equivalncia de capitais, ou seja, o valor de uma quantia depende da poca qual ela est referida; Fator de atualizao, chamado de f, a razo entre dois valores de uma grandeza em tempo diferente (passado, presente ou futuro);

- Aumentos e descontos, na comparao de dois valores diferentes de uma mesma grandeza, f>1 corresponde ao aumento, f

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variao. Aumentos e descontos sucessivos, ou seja, basta multiplicar os vrios fatores individuais e assim obter fator acumulado. F acumulado = f1.f2.f3.....

Livro 2: Curso de Matemtica Volume nico- Edwaldo Bianchini e Herval Paccola 2003

O livro estruturado em captulos e ele est subdividido em sees.

Captulo 10 Noes de Matemtica Financeira

Inicialmente, os autores apresentam um pequeno texto sobre a histria da Matemtica Financeira.

Seo 1, Taxa de porcentagem: Apresentada em alguns meios de comunicao conforme a figura 09, que comum aparecer o uso de porcentagem e do termo taxa. Chama a ateno que se a razo 4/5 for multiplicada por 20/20 obtemos uma razo centesimal.

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Figura 9 - Extrato da pgina 156 do livro Curso de Matemtica

No segundo exemplo, mostra dois modos de resoluo de problema: taxa porcentual e proporo.

]

Figura 10 - Extrato da pgina 157 do livro Curso de Matemtica

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Seo 2, Lucros e prejuzos: De modo direto, os autores falam de alguns problemas de porcentagem que esto presentes em transaes comerciais.

Os autores apresentam as frmulas do lucro e do prejuzo, L = V C 3 e P = C V. Chamando a ateno sobre o significado de lucro e prejuzo: V>C temos lucro e V

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Figura 12 - Extrato pgina 161 do livro Curso de Matemtica Volume nico

Os autores apresentam a frmula do juro ( j =c.i.t) e em seguida resolvem um problema ilustrando com uma tabela, salientando a movimentao financeira. Nos exerccios resolvidos os autores no utilizam a primeira estratgia, apenas da segunda estratgia demonstrando a preferncia pelo uso de frmulas. Ainda nessa seo, o leitor pode estudar funo de 1 grau com juro simples.

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Seo 4, Juro composto:

Figura 13 - Extrato pgina 164 do livro Curso de Matemtica Volume nico

Aqui os autores da mesma maneira do captulo anterior, trabalham novamente atravs da tabela para mostrar a movimentao financeira. Em seguida, nos exerccios resolvidos da primeira estratgia com tabela e da segunda estratgia atravs da frmula do juro composto, os autores no mencionam que a frmula poderia ser generalizada com progresso geomtrica com razo 1+i. Mesmo sendo abordada a tabela na explicao, os autores preferem resolver os exerccios

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utilizando apenas frmulas. Incluem o estudo de funo exponencial, exemplificando que possvel fazer um grfico do montante por perodo.

Seo 5, Compras com pagamento parcelado:

Figura 14 - Extrato da pgina 167 do livro Curso de Matemtica Volume nico

Podemos constatar a limitao terica desse captulo, pois os autores no mencionaram as Progresses Geomtricas. Ficando evidente a opo de mostrar aos alunos apenas as frmulas, o que no possibilita aos alunos conseguirem

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compreender as transaes financeiras ms a ms. Com esse tipo de abordagem, os alunos podero conseguir chegar ao resultado final. No entanto, os estudantes no compreendero o processo de resoluo.

2.4 Anlise dos livros didticos

Ao analisar os livros didticos o objetivo era verificar o tipo de abordagem do contedo de Matemtica Financeira com o intuito de obter uma base para elaborao dos problemas. Alguns exerccios foram considerados interessantes devidos suas aproximaes com a realidade o que consideramos com a utilizao desses uma prtica que propicia ao aluno refletir sobre o problema proposto.

Analisando o primeiro livro do professor Dante, podemos notar sua preocupao em fazer uma breve reviso sobre contedos pertinentes a Educao Financeira. Um diferencial desse livro que alm de trazer essa reviso, procura vincular o tema aos estudos de funes matemticas, anlises de grficos. E por fim, as atividades indicadas problematizam situaes cotidianas o que possivelmente pode ampliar o pensamento matemtico do aluno, pois o estudante poder transmitir seus conhecimentos obtidos dentro de sala de aula para uma situao real.

Aps a realizao da segunda anlise bibliogrfica, podemos perceber que mesmo que a Matemtica Financeira esteja presente em nosso cotidiano, aborda o tema basicamente de forma tradicional, com exemplos e exerccios pouco criativos, pois os problemas propostos aos estudantes assemelham-se com os exemplos resolvidos pelos autores. Dessa maneira, o processo de aprendizagem caracterizado de forma mecanizada. Salientamos que os autores demonstram a sua preferncia pela a aplicao de frmulas, pois eles apenas apresentam as frmulas sem dar explicaes ou fazer demonstraes. Desse modo, o significado da Matemtica Financeira no explorado com a preocupao necessria, o que pode acarretar um baixo entendimento de situaes prticas que envolvam esse contedo.

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3 FUNDAMENTAO TERICA 3.1 Dialogando sobre a prtica

Uma das motivaes para (re) construir e adaptar as prticas educacionais a constante busca pelo desenvolvimento da compreenso e do aprendizado do aluno. Nesse trabalho, buscou-se elaborar uma prtica que inserisse o aluno em situaes cotidianas que estejam relacionadas com os contedos de juro simples e juro composto.

Durante o percurso do trabalho foram encontrados alguns obstculos, contudo, diante das adversidades, tambm foi possvel adquirir experincias das quais se pode recriar estratgias para situaes futuras. Em sala de aula, uma das situaes a qual sempre temos que estar dispostos a mudana constante de nossa prtica pedaggica, pois comum nos depararmos com o modelo educacional tradicional. Carraher classifica o modelo tradicional como:

O modelo tradicional da educao trata o conhecimento como um contedo, como informaes, coisas e fatos a serem transmitidos ao aluno. O aluno, segundo esta viso, vai para a escola para receber uma educao. Dizer que ele aprender significa que saber dizer ou mostrar o que lhe foi ensinado. Segundo este modelo, o ensino a transmisso de informaes. A aprendizagem a recepo de informaes e seu armazenamento na memria. (1998, p. 7)

Refletindo a partir das caractersticas desse modelo apresentado, penso que o ensino tradicional no seja uma das melhores formas de abordagem educacional, pois o ensino deve estar baseado na construo do conhecimento a partir da evoluo e da participao ativa dos alunos. Na elaborao da prtica dessa pesquisa, procurei explicar o contedo de Matemtica Financeira buscando conexes com o cotidiano dos alunos. Fato este que marcou a evoluo dos mesmos, pois o contedo era avanado a partir da efetiva participao dos alunos e, estes apresentavam uma compreenso cada vez maior diante do contedo. Justificando, assim, que a aprendizagem construda aos poucos e, para que possamos compreender um contedo necessrio que tenhamos aprendido o anterior.

As aulas no focaram no carter expositivo e informativo, tal modelo que trabalha um aprendizado mecanizado. A inteno no era somente de que os alunos soubessem os termos e o mtodo de resolver os problemas, mas sim, o foco do

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trabalho era que os estudantes conseguissem interpretar os dados, criassem suas prprias estratgias de resolues e valorizassem o pensar do aluno.

Esse modelo de ensino possibilita estimular o raciocnio do aluno com a exposio de suas ideias com momentos de debates para a assimilao e criao de mtodos. Partindo dessa experincia em sala de aula, podemos perceber que o desafio para o educador proporcionar condies de aprendizagem e de pensar aos seus alunos, respeitando a trajetria de cada aluno. A seguir, esto expostas as peculiaridades referentes ao conceito de exerccios e problemas.

3.2 Exerccios e Problemas: suas principais caractersticas

O exerccio, para Dante (1988), ..serve para exercitar, praticar um determinado algoritmo ou processo. Echeverria e Pozo (1998) citam a respeito de um exerccio o seguinte:

Quando a prtica nos proporcionar a soluo direta e eficaz para a soluo de um problema, escolar ou pessoal, acabaremos aplicando essa soluo rotineiramente, e a tarefa servir, simplesmente, para exercitar habilidades j adquiridas. (1998, p. 17)

Assim, exerccio aquilo que no exige reflexo, apenas serve para aplicarmos o que aprendemos; caracterizado por ser uma reproduo da explicao dada pelo educador ou pelo livro didtico. Somente o exerccio, rotineiramente apresentado como efetue ou d a resposta, no faz com que o aluno evolua a ponto de compreender a definio e as aplicaes de tais contedos matemticos.

relevante a importncia de o ensino estar baseado em problemas. Segundo Echeverria e Pozo (1998), um problema [...] exige o uso de estratgias, a tomada de decises sobre o processo de resoluo que deve ser seguido, etc. Para o Dante (1988, p. 86), um problema a descrio de uma situao onde se procura algo desconhecido e no temos previamente nenhum algoritmo que garanta a sua soluo.

A Resoluo de Problemas estimula o aluno a poder colocar em prtica seu conhecimento na linguagem Matemtica. Em muitos casos, o problema no tem resposta imediata e exige que o aluno faa uma investigao antes que se possa chegar na resposta correta. Segundo Echeverria e Pozo (1998),

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[...]existe outra importante e sutil relao entre exerccios e problemas. Se um problema repetidamente resolvido acaba por tomar-se um exerccio, a soluo de um problema novo requer a utilizao estratgica de tcnicas ou habilidades previamente exercitadas. (1998, p. 17)

Significa que se o aluno se depara pela primeira vez com um problema do qual no sabe a resposta instantaneamente, ele deve recorrer a alguma estratgia anteriormente trabalhada, ou pode elaborar uma resoluo baseada em seu prprio raciocnio. Se, por acaso, o aluno no tiver conhecimento de alguma tcnica bsica a fim de estabelecer ligaes com o novo problema, dificilmente ter condies de chegar a alguma concluso.

3.3 Resoluo de problemas sob perspectiva de George Polya

As ideias de George Polya sobre Resoluo de Problemas foram conhecidas a partir da publicao do livro How to Solve it no de 1945 traduzido pela primeira vez para o portugus por A Arte de Resolver Problemas, no ano de 1977. Esse tema tem ganhado fora em constantes discusses de autores da rea do Ensino de Matemtica. Talvez as discusses estejam diretamente ligadas ao enfoque desse procedimento, pois est baseado na participao ativa do aluno em exercitar o seu pensar. Quando o aluno torna-se pea fundamental em sua prpria aprendizagem o autor chama essa situao de princpio da aprendizagem ativa, ou seja, o aluno tem a responsabilidade de construir e formular suas prprias respostas. Nesse momento, o professor tem a funo de auxiliar o aluno a chegar ao resultado final, evitando dar a resposta pronta.

O trabalho de Polya (1995) pode ser considerado primeira vista um trabalho simples. Deve-se ao fato de que ele no utiliza truques ou frmulas milagrosas. O autor objetivo e simplifica suas ideias com clareza e simplicidade, sistematizando os procedimentos para soluo de problemas. O prprio autor classifica suas escritas como to simples quanto possvel, e fundamentam-se num longo e srio estudo dos mtodos de resoluo. Esse estudo denominado pelo autor como heurstica.

De acordo com Polya (1995), a heurstica de resoluo de problemas est dividido em 4 etapas principais:

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Como resolver um problema

COMPREENSO DO PROBLEMA 1 - preciso compreender o problema: Qual a incgnita? Quais so os dados? Qual a condicionante? possvel satisfazer a condicionante? A condicionante suficiente para determinar a incgnita? Ou insuficiente? Ou redundante? Ou contraditria? Trace uma figura. Adote uma conotao adequada Separe as diversas partes da condicionante. possvel anot-las?

ESTABELECIMENTO DE UM PLANO

2 - Encontre a conexo entre os dados e a incgnita. possvel que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se no puder encontrar uma conexo imediata. preciso chegar afinal a um plano para a resoluo.J viu antes? Ou j viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente? Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser til?Considere a incgnita! E procura pensar num problema conhecido que tenha a mesma incgnita ou outra semelhante.Eis um problema correlato e j antes resolvido. possvel utiliz-lo? possvel utilizar o seu resultado? possvel utilizar o seu mtodo? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para trnar possvel a sua utilizao? possvel reformular o problema? possvel reformul-los ainda de outra maneira? Volte s definies. Se no puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema correlato. possvel imaginar um problema correlato mais acessvel? Um problema mais genrico? Um problema mais especfico? Um problema anlogo? possvel resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte de condicionante, deixe a outra do lado: At que ponto fica assim determinada a incgnita? Como pode ela variar? possvel obter os dados alguma coisa de til? possvel pensar em outros dados apropriados para determinar a incgnita? possvel variar a incgnita, ou os dados, ou todos eles, se necessrio, de tal maneira que fiquem mais prximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noes essenciais implicadas no problema?

EXECUO DO PLANO 3 - Execute o seu plano:Ao executar a seu plano de resoluo, verifique cada passo. possvel verificar claramente que o passo est correto? possvel demonstrar que ele est correto?

RETROSPECTO

4 - Examine a soluo obtida: possvel verificar o resultado? possvel verificar o argumento? possvel chegar ao resultado por um caminho diferente? possvel perceber isto num lance? possvel utilizar o resultado, ou o mtodo, em algum outro problema?

Tabela 1 As quatro etapas de Resoluo de Problemas (Polya, p. XIII)

Para Polya (1995) importante saber distinguir as quatro etapas.

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Primeira etapa, a compreenso do problema: Para Polya (1995), o aluno deve ser tocado a ponto de querer entender o problema, pois se no despertar esse interesse dificilmente ser capaz de respond-lo. Nesta etapa busca-se compreender o problema encontrando a incgnita a partir dos dados, dos objetivos, das condies impostas, percebendo o que necessrio para solucionar o problema em questo;

Segunda etapa, elaborao do plano: Segundo Polya (1995), essa etapa possivelmente considerada a mais desafiadora, pois precisamos ter as ideias para formularmos estratgias buscando a soluo do problema. Nessa etapa o professor tem um papel fundamental para conduzir as perguntas com objetivo de que os alunos possam desenvolver suas idias. Polya (1995, p. 1995) fala sobre o papel do professor o seguinte [...] auxiliando-os por meio de indagaes estimulantes, poder incutir-lhes o gosto pelo raciocnio independente e proporcionar-lhes alguns meios para alcanar este objetivo.

Com essas indagaes pode ser que indiretamente o professor faa com que o aluno chegue a uma ideia luminosa como o prprio Polya (1995) nomeia, em outras palavras, aquela que se encaixa para resolver o problema.

Terceira etapa, execuo do plano: Para Polya (1995) a terceira etapa, possivelmente ser a etapa mais fcil, pois j temos a planificao. Precisamos ento por em prtica os dados conferindo a veracidade das etapas anteriores. Caso no seja o suficiente volta-se a primeira etapa.

Quarta etapa, reflexo: Nesta etapa, busca-se fazer uma reviso crtica do trabalho realizado. Segundo o autor,

Se fizerem uma reflexo da resoluo completa, reconsiderando e reexaminando o resultado final e o caminho que levou at este, podero consolidar o seu conhecimento e aperfeioar a sua capacidade de resolver problemas. (p. 10, 1995)

Aps a passagem das trs etapas, se o aluno se dispor a fazer o retrospecto poder encontrar possveis erros ou novas maneiras de solucionar os problemas. A partir do momento em que os alunos tomam conhecimento dessas quatro etapas so colocados diante de situaes que permitem reflexes sobre os problemas e, o principal, isso contribui para a organizao do pensamento.

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Haver situaes de alunos que no precisaro das quatro etapas, porque podero ter a compreenso do problema e chegar a soluo final sem precisar dessa sistematizao. Em outras palavras, o sucesso no est intimamente ligado na realizao das quatro etapas, pois possvel chegar ao resultado esperado com a excluso de etapas.

3.4 Resolvendo um problema

Para resoluo de um problema, essencial que desperte no aluno o interesse de solucion-lo. Polya (1995, p. 5) O aluno precisa compreender o problema, mas no s isto: deve tambm desejar resolv-lo. Para Echeverria e Pozo,

[...] compreender um problema no significa somente compreender as palavras, a linguagem e os smbolos com os quais ele apresentado, mas tambm assumir a situao desse problema e adquirir uma disposio para buscar a soluo.[...] Dito de outra forma, compreender um problema implica dar-se conta das dificuldades e obstculos apresentados por uma tarefa e ter vontade de tentar super-las. Para que essa compreenso ocorra, logicamente necessrio que, alm do elemento novo, o problema contenha problemas j conhecidos que nos permitam guiar a nossa busca de soluo. (1998, p. 22)

Nesse sentido, imprescindvel para chegarmos soluo que saibamos identificar as informaes e o que se pede no problema. A soluo consiste em que o aluno seja capaz de fazer conexes aos dados e no que se est buscando como resposta. Para Echeverria e Pozo (1998) importante que o aluno compreenda o enunciado, pois se no ocorrer esse entendimento, os problemas se transformam em exerccios de aplicao de rotinas aprendidas por repetio e automatizadas. Por esse motivo os alunos nem sempre esto aptos de entender o porqu encontraram a resposta e a consequncia desse fato a no generalizao para situaes futuras.

Juntamente com a etapa da compreenso para Polya (1995, p. 5) surgem as ideias podendo ser provocadas ou no pelo professor, pois temos alunos que so capazes de criar suas prprias ideias. Talvez, algumas ideias no incio possam parecer sem ligao com o problema, pois a resoluo de problemas exige do aluno a interpretao dos dados e no somente aplicaes diretas de frmulas. Para Polya (1995, p. 5) [...]aps tentativas infrutferas e um pequeno perodo de hesitao, aparecer repentinamente, num lampejo, como uma idia brilhante. Algumas vezes,

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as ideias que menos apostamos no decorrer do pensamento se mostram as mais qualificadas.

As ideias para muitas vezes contribuem para dar partida correta sequncia de ideias, mas nem sempre conseguem ajudar.... Caso acontea das ideias no serem teis aconselhvel que se busque ligaes com outros problemas. [...] precisamos procurar, em torno, algum outro ponto de contato apropriado e examinar os diversos aspectos... Polya (1995, p. 6). Nessa situao, devemos tomar cuidado, pois com essa busca de conexes com problemas conhecidos corremos o risco de nos distanciar do nosso problema original. E se ocorrer esse distanciamento retomamos para o problema original fazendo a seguinte pergunta que Polya (1995, p. 6) salientou: utilizamos todos os dados envolvidos no problema?.

Diante das ideias previamente selecionadas que estabelecemos o nosso plano de criaes de estratgias. Polya (1995) traz em seu livro,

Temos um plano quando conhecemos, pelo menos de modo geral, quais as contas, os clculos ou desenhos que precisamos executar para obter qualquer incgnita. O caminho que vai da compreenso do problema at o estabelecimento de um plano, pode ser longo e tortuoso. (p. 05, 1995)

Essas estratgias serviro para diminuir a distncia entre a situao que inicialmente partimos e o objetivo que traamos. Mesmo sendo uma forma generalizada, podemos utilizar a heurstica de resoluo de problemas de Polya (1995) para nos guiarmos a uma soluo do problema. Nesse momento, j passamos pela parte mais trabalhosa, a de mobilizao dos conhecimentos e de criao das estratgias, bastando agora executarmos o nosso planejamento com pacincia. O plano nos indica apenas uma generalizao, ento Polya (1995) adverte,

Precisamos ficar convictos que os pormenores se inserem nesse roteiro e, para isto, temos de examin-los, um aps outro, pacientemente, at que tudo fique perfeitamente claro e no reste nenhum recanto obscuro no qual possa ocultar-se um erro. (1995, p. 10)

Fazendo a verificao de cada etapa do pesquisador Polya (1995), o aluno tem a necessidade de estar convicto que suas resolues esto corretas. E procedendo dessa forma, a ltima atitude a ser realizada ser a de verificao. E em muitos casos os alunos no chegam a refletirem em suas respostas, apenas finalizam o problema e partem para outros. Segundo Polya (1995),

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[...] uma vez chegados soluo do problema e escrita a demonstrao, fecham os livros e passam a outro assunto. Assim fazendo, eles perdem uma fase importante e instrutiva do trabalho da resoluo. (1995, p. 10)

Quando ocorre essa situao os alunos deixam de reexaminarem os resultados e, por conseqncia podem desperdiar a oportunidade de aperfeioarem suas habilidades de resoluo de problemas e consolidarem seus conhecimentos. O professor deve deixar claro que problema algum fica completamente esgotado, sempre h o que se melhorar na nossa compreenso. Polya (1995, p. 10) ...o estudante cumpriu o seu plano [...] Assim, tem boas razes para crer que resolveu corretamente o seu problema.

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4 METODOLOGIA DE TRABALHO

Sabendo que a Matemtica Financeira tem sua presena constante em nossas vidas e que as escolas muitas vezes trabalham esse contedo de forma superficial e mecanizada, este trabalho visa apresentar uma alternativa de ensino nesta questo. Desta forma, ser desmistificada a premissa de que o estudo desse tema feito apenas com uso de frmulas. Destacamos que o aluno deve ser o descobridor do conhecimento, levando em conta a sua capacidade de perceber as aplicaes do contedo da sala de aula em inmeras situaes presentes em sua vida.

A sequncia de atividades referente ao ensino de Matemtica Financeira foi desenvolvida em sala de aula em trs encontros, com a durao de 1h30min cada encontro. importante salientar, ainda, o uso da pgina de relacionamento Facebook, a qual foi utilizada para eventuais dvidas e discusses entre os alunos e a professora. Nessa ocasio, foi criado um grupo fechado chamado Matemtica Financeira no MLH. Abaixo, seguem algumas figuras retiradas do grupo:

Figura 15 - Mensagem aos alunos

Figura 16 - Baixar arquivo

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Figura 17 - Interao com o aluno

Figura 18 - Soluo do aluno da figura 17

As aulas seguiam dois momentos. Primeiro momento: a professora explicava o contedo e discutia um problema juntamente com a turma. Segundo momento: os alunos eram convidados a trabalhar com problemas juntamente com o auxlio da professora quando julgavam necessrio. Esses momentos foram registrados com filmadora, contando com o auxlio de dirio de campo.

Nos trs encontros, os alunos foram orientados a resolver os problemas, registrando as suas anotaes e respostas para serem entregues na aula seguinte, com a exceo do ltimo encontro, no qual os alunos puderam entregar aps uma semana.

O material analisado consiste nos registros de atividades pelos alunos e das observaes da professora durantes as aulas , sendo elas por vdeo ou anotaes.

O registro das observaes obtidas no decorrer desses encontros foi feito de forma a contemplar os aspectos relativos resoluo de problemas. Dessa forma, as aulas foram observadas sob os seguintes aspectos:

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- Quais as estratgias utilizadas pelos alunos;

- Qual o raciocnio utilizado ao resolver o problema;

- As dificuldades encontradas;

- Verificar a tomada de deciso;

- Verificar a possibilidade de conexo com a realidade e os estudos em sala de aula do contedo de Matemtica Financeira;

O trabalho desenvolvido foi dividido da seguinte forma:

1 encontro: Reviso de porcentagem, apresentao do contedo de juros simples e problemas:

Na turma, estavam matriculados 32 alunos, porm desses apenas 20 compareciam as aulas efetivamente. Segundo relatos da professora regente, essa turma era considerada a melhor dentre as turmas do 3 ano do ensino mdio, pois os alunos eram interessados, receptivos e participativos. Quase 50% da turma era composta por alunos repetentes dos anos anteriores, principalmente no ensino bsico. Uma grande parte dos alunos trabalhava tarde e alguns eram casados. A mdia de idade dos alunos era de 20 anos.

Na primeira etapa do encontro, aplicamos o questionrio no qual os alunos deveriam entregar ao final do encontro. Quando realizamos a reviso do contedo de porcentagem a turma demonstrou clareza e compreenso. medida que a professora conduzia a aula, os alunos respondiam demonstrando domnio sobre o assunto. No momento que foi apresentando o juro simples a turma estava interessada e participativa. Foi chamada a ateno de termos bsicos da Matemtica Financeira, como montante e taxa de juros. O exemplo 2 apresentado turma foi respondido sem utilizao de frmula, apenas porcentagem com o auxlio da tabela. Propomos a resoluo de problemas durante a aula, tendo como objetivo que os alunos pudessem exercitar, compreender e se familiarizar com os termos da financeira.

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1 Momento: Questionrio

a. O que voc entende sobre a Matemtica Financeira?

b. A matemtica pode nos ajudar no cotidiano? Explique o porqu.

2 Momento: Reviso de Porcentagem e a Apresentao do contedo de Matemtica Financeira

Porcentagem: A razo que apresenta denominador igual a 100 uma razo centesimal e recebe o nome de taxa de porcentagem, ou taxa percentual, ou taxa porcentual.

Exemplo 01: 50% podemos reescrever como 50/100 ou 1/2 ou 0,5.

Problema 01: Reescreva em forma de frao e nmero decimal.

a) 35% =

b) 70% =

c) 130% =

d) 0,15% =

Problema 02:

a) Qual o valor de 45% de R$80,00?

b) A quantia de R$67,50 corresponde a quanto por cento de R$150,00?

Matemtica Financeira

Alguns termos que so usados na Matemtica Financeira:

- Capital/ Principal corresponde quantia de dinheiro

- Perodo corresponde a tempo

- Juros correspondem quantia a ser acrescida no valor do capital/principal.

-Taxa de juros corresponde usualmente na representao da forma de porcentagem ou nmero

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- Montante corresponde soma do capital e juros

- a.a. corresponde taxa de juros ao ano

- a.m. corresponde taxa de juros ao ms

- a.d. corresponde taxa de juros ao dia

Juro Simples

Juro o prmio que se paga ou se recebe por uma quantia emprestada ou aplicada a uma taxa combinada por um perodo de tempo determinado.

Exemplo 02: Fabiana pediu emprstimo ao seu amigo a uma taxa de juro simples de 12% a.m. A quantia foi de R$450,00. Quanto ser o valor a ser pago por Fabiana depois de 3 meses?

Ms Capital Taxa de Juros Juros Montante

01 450,00 12% 54 504,00

02 450,00 12% 54 558,00

03 450,00 12% 54 612,00

Tabela 2 - Clculo do juro Simples

Problema 03: Renato quer muito comprar uma bicicleta no valor R$780,00, mas ele conseguiu economizar apenas R$650,00. Seu pai fez a proposta que se o Renato guardasse esse dinheiro, ele acrescentaria a juros simples 4,5% ao ms durante 5 meses. Ao final de 5 meses Renato ter o dinheiro para comprar a bicicleta? Qual ser esse valor?

Problema 04: A Maria Eduarda tomou um emprstimo de R$1.350,00 com a empresa na qual trabalha. Dois meses depois do emprstimo, ela quitou a dvida, pagando R$1.674,00. A empresa cobrou uma taxa de juro simples ao ms. Qual essa taxa?

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Problema 05: Uma dvida de R$550,00 foi paga aps 6 meses de contrada e o valor total foi de R$814,00 . Sabendo que o clculo foi feito usando juros simples ao ms, qual foi a taxa de juros?

2 encontro: Apresentao do contedo de juros compostos e problemas sobre o mesmo.

Inicialmente, os alunos foram questionados sobre dvidas em relao aos problemas relacionados a juro simples que ainda no haviam sido esclarecidas, sendo que ningum se manifestou. Ento introduzimos o contedo de juro composto e em seguida foi resolvido o exemplo 3. Aps a resoluo desse exemplo, fizemos a comparao com uma situao envolvendo juro simples. A tabela 3 traz a comparao entre juro simples e juro composto, encontrada na pgina 49. A tabela 3 foi construda com o objetivo dos alunos enxergarem as movimentaes financeiras ms a ms. Julgamos que essa comparao tenha sido produtiva, pois os alunos se manifestavam no momento que entendiam, agora entendi quando a primeira coluna o juro fixo, e na segunda coluna vai aumentando.

Esse aluno, quando comenta sobre a primeira coluna, refere-se a de juro simples e a segunda coluna ele se refere a de juro composto. Com as suas palavras, percebemos que ele conseguiu compreender e se sentiu vontade em compartilhar com o grupo sua interpretao. Aps momento de discusso com a turma, propomos a resoluo de alguns problemas envolvendo juro composto.

Quando o juro vai sendo incorporado ao capital aps cada perodo de tempo, ele chamado juro composto. A taxa aplicada sempre em relao ao montante de cada perodo. o chamado de juros sobre juros.

Exemplo 03: Um capital de R$6.000,00 foi aplicado em uma empresa de investimentos a uma taxa de 3% a.m. por um perodo de 3 meses. Qual foi o montante no fim desse perodo?(use apenas duas casas decimais aps a vrgula e arredonde sempre que possvel).

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Ms Capital Taxa Montante

01 6.000,00 3% 6180,00

02 6.180,00 3% 6365,40

03 6.365,40 3% 6556,36

Tabela 3 - Clculo do juro composto

Se o clculo fosse realizado dessa maneira 6000*1,03*1,03*1,03?

Estaria correto multiplicarmos por 1,03 ?

Faamos, com o exemplo 03, uma tabela de comparao calculando juros simples e juros compostos no perodo de 6 meses:

MS JURO SIMPLES

MONTANTE JURO COMPOSTOS

MONTANTE

01 180,00 6.180,00 180,00 6.180,00

02 180,00 6.360,00 365,40 6.365,40

03 180,00 6.540,00 556,36 6.556,36

04 180,00 6.720,00 753,05 6.753,05

05 180,00 6.900,00 955,64 6.955,64

06 180,00 7.080,00 1.164,31 7.164,31

Tabela 4 - Comparao entre juro simples e juro composto

Analisando a tabela qual das aplicaes mais vantajosa no perodo de 6 meses? Juro compostos.

Problema 6: Uma pessoa realizou um emprstimo de R$ 5.000,00 a juros compostos de 15% a.m. e a quitao da dvida ser realizada em apenas uma parcela aps 90 dias do emprstimo. Qual ser o valor da dvida?

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Problema 7: Em qual situao a aplicao de R$ 5.500,00 ter maior rendimento:

1. Taxa de juros simples a 24% a.a., durante 3 meses? Indique o clculo feito. 2. Taxa de juros compostos a 2% a.m., durante 3 meses? Indique o clculo feito.

Problema 8: Uma pessoa pede a sua ajuda, pois no sabe o que fazer na seguinte situao.

Ela tem o valor total de R$4.000,00 depositado na poupana e o rendimento da poupana de 0,5% a.m. Ela quer comprar um computador no valor de R$4.000,00. A loja ofereceu essas duas opes de pagamento:

- Pagamento vista, sendo que tem desconto de 7% sobre o valor total do produto;

- Pagamento em 4 parcelas iguais a R$1.000,00 (Entrada + 3 parcelas).

Qual a forma de pagamento, do ponto de vista financeiro, ser mais vantajoso a ela?

3 encontro: Resoluo de problemas e questionrio final

Nesse terceiro encontro, buscamos proporcionar situaes que estimulem o pensar e o aprender dos alunos, seguido da busca por solues consistentes que no envolvam apenas respostas finais. Para tal, vamos tomar como suporte o ensino de resoluo de problemas.

Tal prtica tem como seu principal objetivo desenvolver no aluno a capacidade de elaborar seu prprio raciocnio. Para a valorizao do processo de ensino-aprendizagem em sala de aula, julgamos fundamental a participao do aluno. Dessa maneira, os alunos tm a oportunidade de discutir tanto com os colegas como com o professor suas dvidas, crticas, argumentos e ideias. Possivelmente com suas participaes em aula, eles podero desenvolver habilidades, tais como relacionar os conceitos, generalizar os contedos e aprimorar o pensamento matemtico.

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Nesse encontro, acreditamos que tenha sido o mais desafiador, tendo conscincia de que trazer uma atividade seria algo inovador, pois o conhecimento obtido em sala de aula deveria ser transferido para o cotidiano.

Nos dois encontros anteriores, os alunos demonstravam segurana ao realizar as tarefas propostas, mas no terceiro encontro, quando propusemos uma atividade que fugia do padro at o momento apresentado, os alunos no souberam como iniciar as suas solues. Um aluno comentou eu no sei nem como comear, outro aluno mas a gente no fez nenhum parecido com esses. Percebemos aqui a necessidade dos alunos de executarem tarefas conhecidas, de forma mecanizada, remetendo-nos a situaes as quais os estudantes aprendem com incgnita x e quando o professor muda para incgnita z, o estudante diz que no sabe resolver, pois nunca realizou um exerccio dessa maneira.

Foi nesse momento que a professora conversou com a turma, incentivando-os que eles eram capazes, pois j tinham resolvido questes de juro simples e juro composto. Para tanto, os alunos deveriam, a partir dos problemas anteriores, estabelecer um plano na tentativa de encontrarem uma conexo entre os problemas: anteriores e os atuais.

Solicitamos que todos lessem o primeiro problema e extrassem os dados. Aps a leitura, os alunos demonstravam melhor entendimento e essa etapa que surgiam as dvidas e as ideias. Pedimos que essa ltima atividade fosse feita em grupos de no mximo 5 alunos, pois queramos promover a discusso de idias no grupo. A professora monitorou os alunos pelo Facebook, pois marcou dois dias com a turma, das 20:00 s 22:00, em que ela estaria online. Se no fosse possvel essa interao nesse horrio, os alunos tinham liberdade em enviar via pgina de relacionamento suas dvidas e suas resolues tambm.

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Exerccios em grupo de no mximo 5 alunos.

Problema 01: Voc gastou em uma loja de roupas R$ 300,00. As opes de pagamento so as seguintes:

1 opo de pagamento: Voc parcelou em 5 vezes sem juros no valor de R$60,00. No entanto, voc pagar atrasada todas as parcelas em 15 dias. A multa pelo atraso um acrscimo de 17% sobre o valor da parcela.

2 opo de pagamento: Voc parcelou em 8 vezes com parcelas fixas de R$ 58,13 mensais e comear a pagar a primeira parcela em 90 dias. Como voc pagar as sete primeiras parcelas sem atraso, no precisar pagar a oitava parcela.

a) Qual das situaes mais vantajosa financeiramente?

Problema 02: Voc est interessado em adquirir um apartamento no bairro Protsio Alves no valor de R$ 289.000,00. Aps a leitura da reportagem, voc acha que vai valorizar ou desvalorizar o imvel? Qual o valor que eu poderei vender em um ano?

(Fonte: http://zh.clicrbs.com.br/rs/noticias/economia/noticia/2014/01/preco-dos-imoveis-em-porto-alegre-no-ano-de-2013-sobe-mais-do-que-a-inflacao-4384018.html)

Problema 03: Voc adquiriu um Celta zero e aps um ano voc quer vender. Aps voc ter lido a reportagem, qual ser o valor de venda desse veculo?

(Fonte: http://exame.abril.com.br/seu-dinheiro/noticias/por-que-preferir-um-carro-seminovo-a-um-zero-quilometro)

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Figura 19 - Valor de venda do carro Celta

(Fonte: http://www.chevrolet.com.br/carros/celta-5-portas.html)

Problema Final: Voc possui o carto de crdito Mastercard cedido pelo banco Ita. No ms de fevereiro, voc teve despesas superiores ao seu salrio e no tem o valor do pagamento total da fatura do seu carto que de R$1.240,48.

1 opo: Voc decide efetuar o pagamento mnimo de R$ 194,16. A taxa de juro 14,36% a.m. sob o valor restante da fatura, nesse caso, R$1.240,48 R$194,16) e tem o valor do IOF fixo de R$ 5,25.

a) Qual a porcentagem do pagamento mnimo em relao ao pagamento total?

b) Qual ser o valor da fatura do ms de maro levando em considerao que voc no efetuar nenhuma compra at maro com esse carto?

c) Qual o juro total que voc ir pagar por esse financiamento considerando os meses de fevereiro e de maro?

2 opo: Voc ir pagar somente no ms que vem, ou seja, voc atrasar em um ms o pagamento.

d) Calcule o valor da fatura ( Juro de mora: 1% sob o pagamento total; Multa por Atraso 2% sob o pagamento total; Juro do Financiamento 9,24% a.m. sob o pagamento total)

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e) Qual ser o juro total a ser pago?

f) Analisando as duas opes, qual a opo ser mais vantajosa financeiramente?

Para responder individualmente.

1. Voc acha que foi produtivo nossos encontros? E a assistncia com o Facebook?

2. Voc acha importante o aprendizado de Matemtica Financeira na escola?

3. A Matemtica Financeira na escola pode facilitar o controle pessoal financeiro? Como?

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5 ANLISE DE DADOS

Neste captulo sero abordados os casos relativos resoluo dos problemas matemticos propostos aos alunos da pesquisa, realizando uma anlise dos dados obtidos.

5.1 Problemas: analisando caso a caso

1 Encontro Juros Simples Anlise do problema 3:

A dificuldade encontrada nesse primeiro problema foi a distncia entre a terminologia e o vocabulrio habitual dos alunos, conforme relato em dirio de campo:

Excerto de dirio de campo Maio de 2014

A seguinte resoluo respectivo ao aluno A que utilizou-se da regra de trs que a professora no mencionou durante o decorrer da aula.

Em dilogo com aluno A, ele me relatou que ao ler o enunciado do problema que se referia a um valor ligado ao

montante e ele to pouco sabia o que significava a palavra

montante.

Em seguida, o mesmo menino confundiu a taxa de juros com o valor de juros; Na mesma manh os alunos no souberam qual era a

representao que eles deveriam utilizar 4,5% ou 0,045.

De maneira geral, os estudantes conseguiram resolver esse

problema individualmente e utilizaram como estratgia de resoluo a regra de trs (conforme os alunos chamavam) para chegar o total de juros no perodo pedido.

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Figura 20 - Soluo do aluno A

Ao refletir sobre esses exemplos, remeto minhas anlises aos estudos de Polya (1995) no que diz respeito a aproximao dos conhecimentos previamente estudados s estratgias de resoluo do problema. Outras formas de resoluo.

Figura 21 - Soluo do aluno N

Figura 22 - Soluo do aluno R

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possvel analisar sobre a teoria de Polya (1995) quando se refere que necessrio que o aluno desperte interesse para resolver um problema. Para o autor Polya (1995, p. 5) aluno diante de um problema deve desejar tambm resolv-lo.

Anlise do problema 4:

De maneira geral, os alunos estavam interessados em encontrar solues dos problemas. Nesse problema, demonstraram facilidade em descobrir o valor de juro simples, a taxa de juro referente a dois meses e de identificar o valor do montante. As dvidas surgiram em funo da maneira a qual eles poderiam descobrir a taxa mensal, pois no estavam seguros se ao dividir a taxa total pelo nmero meses do emprstimo, encontrariam a taxa mensal.

Durante a aula, foi observado que apenas um aluno no tinha

conseguido chegar ao resultado final. Questionei o porqu ainda estava em branco e ele me respondeu hoje eu no t a fim, ento sugeri que ele lesse novamente, sem pensar a

resposta veio imediata: mas eu no entendi o que pede.

Tambm observei que nenhum aluno fez a reviso de suas respostas e, to pouco, tentaram resolver o problema de

outra forma, a qual identificada na etapa 04.

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Conforme a teoria de Polya, o educador no pode apenas dizer a resposta final, deve conduzir ao aluno questes que o faam ter ideias de como resolver. Polya (1995, p.4) escreveu: O professor deve auxiliar, nem de mais nem de menos, mas de tal modo que ao estudante caiba uma parcela razovel do trabalho

Para o autor Polya (1995), um dos deveres do professor auxiliar os alunos, salientando que esse dever no uma tarefa fcil, pois exige do educador tempo e prtica. O estudante deve adquirir habilidade de construir de forma independente sua resposta, mas se o estudante encontrar dificuldades e no ter suporte do educador, ele possivelmente no ir progredir em seus estudos. Porque sem o auxilio do professor, dificilmente o aluno avanar em seu conhecimento, porm, caso o aluno obtenha a resposta sem dedicao ou raciocnio, apenas pelo simples fato de cumprir a atividade, tambm no haver retorno do processo educativo posto em questo.

Conversei com esses alunos que estavam com dvidas sobre como eles haviam conseguido resolver o problema trs com

facilidade e uma aluna respondeu diferente da outra questo. Esse argumento se remetia em relao que no

problema anterior era o montante que deveria ser descoberto.

Pedi que ela me mostrasse sua resoluo trs e indaguei, por

que no primeiro clculo (R$650,00*0,045=R$29,25) ela tinha feito com a taxa de mensal e depois(R$29,25 * 5 = R$ 146,25) multiplicou por 5? Ela me respondeu, nesse eu multipliquei

porque eram cinco meses que o pai dele iria ajudar. Pedi que ela tentasse fazer conexes entre os problemas 03 e 04.

Em seguida, a mesma aluna me chamou mostrando que tinha chegado resoluo correta.

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Figura 23 - Soluo do aluno M

Praticamente toda a turma resolveu conforme a resoluo do aluno M.


Apenas um aluno na turma tentou encontrar uma maneira de confirmar sua resposta representada aqui na figura 24.

Anlise do problema 5: Nesse problema, os alunos estavam familiarizados porque o problema

anterior o qual abordava o basicamente a mesma problematizao. Os alunos demonstraram facilidade em solucionar o problema 5.


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Figura 26 - Soluo aluno N

Analisando as respostas obtidas, podemos perceber que o aluno possui domnio sobre o contedo. Alm de sua resposta estar certa, ele teve maturidade e pacincia em revisar seus passos e descobrir uma nova maneira de resolver o mesmo. Segundo Polya (1995), quando o aluno desenvolve a etapa quatro que diz respeito reflexo sobre as etapas anteriores, o aluno poder consolidar os conhecimentos e obter melhorias ao desenvolver estratgias de resoluo de problemas.

Fiquei surpresa com um aluno que me chamou em sua classe e

disse consegui achar a prova real. Questionei por que ele tinha buscado esse outro caminho, professora, eu entendi e

tentei fazer um novo jeito. Ele me comentou que se sentia a vontade em discutir mais sobre o assunto que ele dominava o

que aconteceu nesse caso.

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Figura 27 - Soluo aluno R

A partir de suas anotaes, foi observado que o aluno no interpretou o enunciado do problema, devido extrao dos dados incorretos. Considerando que o aluno fez a proporo entre o montante e o capital, concluiu que a resposta seria a taxa de juros semestral. Em seus estudos de resoluo de problema, Polya (1995) nos chama ateno da necessidade de compreender o problema e extrair os dados corretos para se conseguir xito na resoluo.

2 Encontro Juro Composto

Anlise do problema 06: No primeiro momento, os alunos estavam presos s resolues referentes a

juro simples, tal fato demonstrado no momento em que percebiam a variao do juro conforme o perodo.

Na totalidade de respostas, os alunos apresentaram a resoluo conforme as figuras abaixo. Excerto de dirio de campo Maio de 2014


A princpio os alunos no souberam como iniciar, pois

estavam confusos sobre a movimentao financeira como, por

exemplo, sabiam calcular o juro do primeiro ms, mas no sabiam qual o valor a ser utilizado para o acrscimo de juro do ms seguinte, ou seja, se era do montante ou do juro obtido do ms anterior. Notei que as conversas com os

colegas eram produtivas, pois medida que o estudante entendia explicava ao seu colega. Em alguns casos, somente a

ajuda do colega era suficiente no sendo necessria a interveno da professora.

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Ao analisarmos as resolues dos alunos, percebemos que os alunos utilizaram a mesma estratgia de resoluo.

O aluno R teve uma tentativa que no permitiu chegar soluo correta. 1 tentativa: 5.000*0,15*0,15*0,15 = 16, 875 ele mesmo relatou que estava errada a resposta porque no poderia de um valor to pequeno aps 3 meses ter apenas R$16,875 de rendimento. A 2 tentativa:


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Refletindo a respeito desse excerto do dirio de campo possvel entrelaar esse ocorrido aos estudos de Polya (1995, p. 11) ao descrever que quando os estudantes chegam a soluo do problema fecham os livros e partem para outro assunto, dessa maneira o aluno perde a oportunidade de consolidar os seus conhecimentos.

Aps as tentativas eu questionei o aluno R por que resolveu por tabela, o aluno respondeu a tabela eu sei que d certo. Pedi a ele pensar sobre o erro cometido na primeira

tentativa, de imediato o aluno no soube responder. Ento

resolvi com a ajuda do aluno as etapas separadamente, 1 ms: 5000*0,105 = 750;

2 ms: 750*0,15 = 112,50;

3 ms: 112,50*0,15 = 16,875;

Sem eu precisar explicar essa estratgia o aluno respondeu estava fazendo s juro em cima do rendimento e no do capital mais o rendimento. Achei interessante o aluno

perceber o seu erro apenas com uma nova forma de fazer a

soluo.

Nesse encontro, percebi que mesmo esclarecendo que o mais

importante era o raciocnio matemtico e o desenvolvimento dos problemas, os alunos estavam preocupados em chegar na

resposta certa. Observei essa preocupao, pois a medida que

terminavam as suas resolues perguntavam o resultado final

para ver se estavam certos. Quando ocorria a situao da resposta estar correta, procurava desafiar os alunos

perguntando se havia outro caminho a seguir para resolver o

problema, um aluno respondeu, se achar uma resposta difcil imagina achar duas. Em dilogos com a turma, grande parte do grupo de alunos respondia que quando chegavam a

resposta final no tinham pacincia de pensar em uma nova

resoluo.

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Anlise do problema 07:

Esse problema tinha como principal objetivo proporcionar aos alunos a reflexo e a conscientizao sobre qual aplicao seria mais vantajosa, do ponto de vista financeiro.


Apesar do procedimento de resoluo de juros simples e juros compostos estar correto, foi possvel perceber que a resoluo desse aluno demonstra que ele no soube coletar os dados corretos do enunciado. Para Polya (1995), uma etapa importante a coleta de dados, pois para se obter sucesso na resoluo de problemas preciso saber identificar os dados e fazer a conexo com a incgnita. Depois de realizada essa conexo com os dados trazidos no problema, assim o aluno poder estabelecer um plano de execuo.

Figura 32 - Soluo do aluno L

Essa soluo demonstra mais de um erro. Primeiro erro: o aluno no considerou que o problema pedia rendimento mensal; Segundo erro: utilizou o juro mensal e multiplicou por 90 dias, pois o perodo era de 3 meses; Terceiro erro: ao achar a resposta final, considerou o juro como anual.

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Feitas as devidas anlises, fica evidente que o aluno estabeleceu um plano de execuo e no refletiu e to pouco revisou as etapas. Segundo Polya (1995, p. 08), o plano apenas um roteiro a ser seguido, precisamos revisar para que no reste nenhum recanto obscuro no qual possa ocultar-se um erro.

As prximas duas figuras mostram duas solues corretas que foram formuladas de formas diferentes.

Figura 33 - Soluo aluno M


Anlise do problema 08: A dificuldade encontrada nesse problema foi a compreenso devido a falta de

habilidade em situaes as quais envolvessem poupana.

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No geral, os alunos no entendiam a situao do rendimento

da poupana mesmo retirando determinado valor ao ms. Um

dilogo entre um grupo, faz o primeiro ms e depois multiplica por 3 um colega argumentou no multiplicado por 3 por 4. O primeiro aluno se referia que o rendimento deveria ser igual nos 3 meses e o segundo no tinha

compreendido que a entrada j tinha rendido naquele ms. Nesse momento, fiz uma interveno chamando a ateno da

turma e fiz alguns questionamentos: o que significa dar

entrada em uma compra? O que eles entendiam de rendimento na

poupana? A maioria respondeu corretamente que a entrada fe

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