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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁCAMPUS ITAJUBÁ
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
UM ESTUDO SOBRE AS CONTRIBUIÇÕES DE DIFERENTES REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA NA ABORDAGEM
DO CONTEÚDO DE SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES
Giovana da Silva Julião
Orientadora: Profª Dra. Eliane Matesco Cristovão
UNIFEI – ItajubáDezembro/2017
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁCAMPUS ITAJUBÁ
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
UM ESTUDO SOBRE AS CONTRIBUIÇÕES DE DIFERENTES REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA NA ABORDAGEM
DO CONTEÚDO DE SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES
GIOVANA DA SILVA JULIÃO
Orientadora: Profª Dra. Eliane Matesco Cristovão
Trabalho de Conclusão de Curso submetido à banca identificada na página seguinte como parte dos requisitos para a conclusão do Curso de Matemática Licenciatura da UNIFEI.
Área de Concentração: Educação Matemática
UNIFEI - ItajubáDezembro/2017
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁCAMPUS ITAJUBÁ
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
UM ESTUDO SOBRE AS CONTRIBUIÇÕES DE DIFERENTES REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA NA ABORDAGEM
DO CONTEÚDO DE SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES
Trabalho de Conclusão de Curso aprovado pela banca examinadora abaixo especificada na data de 04 de dezembro de 2017.
Banca examinadora: UNIFEI – Profª Dra. Eliane Matesco CristovãoUNIFEI – Profª Dra. Mariana Feiteiro CavalariUFSCar - Prof. Dr. Paulo César Oliveira
UNIFEI - ItajubáDezembro/2017
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DEDICATÓRIA
Aos meus pais, Osvaldo e Solange, por sonharem esse sonho junto comigo.
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AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais, Osvaldo e Solange, por apoiarem a minha decisão de cursar
Matemática, por fazerem o possível e o impossível durante todo esse tempo. Essa vitória é
nossa.
Agradeço ao meu irmão, minhas irmãs e minhas sobrinhas por todo amor.
Agradeço ao Bruno por todo incentivo, sendo meu ombro amigo nos momentos
difíceis, entendendo minhas ausências e compartilhando minhas vitórias.
Agradeço meus amigos pela parceria, carinho e por terem feito minha vivência na
faculdade ser tão incrível, em especial as meninas da minha república.
Agradeço ao Pibid Matemática pelo aprendizado, amizade e colaboração durante
praticamente toda a minha graduação. Em especial, agradeço ao professor Paulo por todo
apoio durante o tempo em que fui pibidiana e estagiária, cedendo suas aulas para que eu
desenvolvesse projetos e melhorasse a minha formação.
Agradeço aos meus professores, especialmente as professoras da Licenciatura por me
encorajar e mostrar que a Educação é sempre o melhor caminho.
Agradeço a minha orientadora Eliane pelo aprendizado, paciência e cuidado durante
toda graduação.
Agradeço a Deus por mais essa conquista e que seja apenas o início.
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“Gosto de ser gente porque, inacabado, sei que sou um ser condicionado
mas, consciente do inacabamento, sei que posso ir mais além.”
Paulo Freire
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RESUMO
Esta pesquisa de abordagem qualitativa tem por objetivo compreender a importância de promover atividades que propiciem o trânsito entre diferentes Registros de Representação Semiótica (RRS) no ensino do conteúdo de Sequências e Progressões. Para isso, foi feita uma análise para compreender como o conteúdo tem sido abordado em duas coleções de livros didáticos de Ensino Médio, disponíveis na rede pública de ensino. Como produto desta análise, foi elaborado e desenvolvido um plano de aula sobre a temática a ser levado à campo. Para analisar as diferenças entre as coleções e também as dificuldades e aprendizagens dos alunos na realização das atividades propostas, foi utilizado como referencial teórico a teoria dos RRS. O interesse da análise de livros e na elaboração e desenvolvimento do plano de aula se deu a partir da vivência como bolsista do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação a Docência (Pibid) e também nas disciplinas de Estágio Supervisionado. O plano de aula foi desenvolvido com os alunos do 1º ano do Ensino Médio de uma Escola Estadual, localizada na cidade de Itajubá, Minas Gerais, no âmbito da regência do Estágio Supervisionado. A análise apontou que a aprendizagem dos alunos se mostra mais significativa quanto maior o contato deles com diferentes registros de representação e que suas maiores dificuldades se apresentam na transição de registro que não possuem congruência semântica, o que reforça a necessidade de intensificar o trabalho com estes registros ao planejarmos uma aula de matemática.
Palavras-chave: Sequências, Progressões, Registros de Representação Semiótica.
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SUMÁRIO
RESUMO...................................................................................................................................7
SUMÁRIO.................................................................................................................................8
LISTA DE FIGURAS...............................................................................................................9
LISTA DE TABELAS............................................................................................................10
LISTA DE QUADROS...........................................................................................................11
1. INTRODUÇÃO.....................................................................................................................1
2. A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA........................7
3. PERCURSO METODOLÓGICO.....................................................................................13
4. A PRESENÇA DOS RRS NOS LIVROS DIDÁTICOS..................................................16
4.1. ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS A PARTIR DA TEORIA DOS RRS..........................17
4.1.1. Matemática ciência e aplicação (vol. 1)...............................................................................17
4.1.2. Novo olhar matemática - versão com progressões (vol. 1)..................................................21
5. BREVE PANORAMA DE PESQUISAS SOBRE SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES...................................................................................................................................................25
6. ANALISANDO O DESENVOLVIMENTO DE UM PLANO DE AULA ELABORADO A PARTIR DOS RRS..................................................................................28
6.1. SEQUÊNCIAS...........................................................................................................................28
6.1.1. Sequências e suas representações.........................................................................................28
6.2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA).........................................................................................37
6.2.1. Introduzindo a ideia do termo geral de uma PA...................................................................37
6.2.2. Formalizando o termo geral de uma PA...............................................................................44
6.3. AVALIAÇÃO.............................................................................................................................55
CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................................65
REFERÊNCIAS......................................................................................................................67
APÊNDICE A..........................................................................................................................69
9
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Item 1 da atividade I..............................................................................................................29Figura 2: Resolução dos alunos F. S. e A. M........................................................................................31Figura 3: Elaboração correta dos alunos F. S. e A. M...........................................................................32Figura 4: Elaboração, com erro de cálculo na linha 3 da 2ª sequência elaborada, dos alunos T. V., C. S. e T. F....................................................................................................................................................33Figura 5: Resolução dos alunos T. V., C. S. e T. F...............................................................................35Figura 6: Resolução dos alunos G. A. e C. N.......................................................................................35Figura 7: Resolução dos alunos P. L. e P. G.........................................................................................35Figura 8: Resolução dos alunos T. V., C. S. e T. F...............................................................................37Figura 9: Resolução dos alunos R. B. e P. A........................................................................................37Figura 10: Resolução dos alunos F. S...................................................................................................38Figura 11: Resolução dos alunos Y. L..................................................................................................38Figura 12: Resolução dos alunos R. B. e P. A......................................................................................39Figura 13: Resolução dos alunos C. N. e G. A.....................................................................................39Figura 14: Resolução dos alunos T. V., C. S. e T. F.............................................................................40Figura 15: Resolução dos alunos C. B. e H..........................................................................................40Figura 16: Gráfico desenhado na lousa.................................................................................................44Figura 17: Gráfico corrigido do item 1 da atividade III........................................................................45Figura 18: Resolução correta dos alunos B. O. e A. S..........................................................................47Figura 19: Resolução com erro dos alunos B. S., F. S. e T. S...............................................................48Figura 20: Resolução dos alunos F. S., J. C. e M. S.............................................................................49Figura 21: Resolução dos alunos B. S. e M. G.....................................................................................49Figura 22: Resolução dos alunos C. B. e F. S.......................................................................................49Figura 23: Resolução dos alunos L.P. e Y. L........................................................................................50Figura 24: Resolução correta do aluno E. M........................................................................................55Figura 25: Resolução do aluno J. B......................................................................................................55Figura 26: Resolução com erro no item b do aluno A. S......................................................................56Figura 27: Resolução com erros do aluno Y. L....................................................................................56Figura 28: Resolução do aluno A. M....................................................................................................57Figura 29: Resolução do aluno F. S......................................................................................................58Figura 30: Resolução do aluno H. A....................................................................................................58Figura 31: Resolução do aluno I. R......................................................................................................59Figura 32: Resolução do aluno J. B......................................................................................................59Figura 33: Resolução do aluno B. S.....................................................................................................60Figura 34: Resolução do aluno H. A....................................................................................................60Figura 35: Resolução do aluno L. P......................................................................................................60Figura 36: Resolução correta do aluno Y. L.........................................................................................62Figura 37: Resolução com erros do aluno A. M...................................................................................62Figura 38: Resolução do aluno E. M....................................................................................................62
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LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Respostas encontradas nas atividades dos alunos.................................................................30
11
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático (fazer matemático, atividade matemática)........................................................................................................7Quadro 2: Exemplo de variação de congruência ou de não-congruência de uma conversão..................9Quadro 3: Pesquisas selecionadas a partir da revisão bibliográfica......................................................24Quadro 4: Atividade I...........................................................................................................................28Quadro 5: Item 3 da atividade I............................................................................................................31Quadro 6: Item 4 da atividade I............................................................................................................33Quadro 7: Formalização do conteúdo de sequências............................................................................36Quadro 8: Item 1 da atividade II...........................................................................................................37Quadro 9: Item 2 da atividade II...........................................................................................................38Quadro 10: Item 1 da atividade III.......................................................................................................44Quadro 11: Item 2 da atividade III.......................................................................................................46Quadro 12: Item 3 da atividade III.......................................................................................................48Quadro 13: formalização da soma dos n primeiros termos de uma PA.................................................51Quadro 14: Exercício 1 da prova realizada pelos alunos......................................................................54Quadro 15: Exercício 2 da prova realizada pelos alunos......................................................................57Quadro 16: Exercício 3 da prova realizada pelos alunos......................................................................59Quadro 17: Exercício 4 da prova realizada pelos alunos......................................................................61
1. INTRODUÇÃO
Do segundo ao quinto ano da graduação em Matemática Licenciatura fui bolsista de
iniciação à docência do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (Pibid),
além de cumprir as 400 horas obrigatórias de Estágio Supervisionado da matriz curricular.
Nestes dois espaços da formação, notei o pouco uso do livro didático por parte do professor,
e, como aluna da rede pública estadual de São Paulo, também tive pouco contato com os
livros didáticos na maior parte da minha vida escolar.
No estado de São Paulo isto se deve também à implantação do material intitulado
Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2008). Em minha experiência de aluna recordo-me que a
maior parte dos professores adotava este material, fazendo com que o livro didático servisse
apenas para que os alunos realizassem os exercícios propostos, não sendo explorado de forma
mais aprofundada.
As vivências destacadas acima me fazem crer que o livro didático, embora seja um
recurso básico oferecido pelo governo federal e, portanto, direito do aluno, é subutilizado
pelos professores. Muitos são os fatores que contribuem para que isso ocorra. Como destaca
Romanatto (2004),
O livro didático no Brasil, com honrosas exceções, sempre foi considerado de qualidade duvidosa e não cumpre seu papel de apoio ao processo educacional. Muitos são autoritários e fechados, com propostas de exercícios que pedem respostas padronizadas, apresentam conceitos como verdades indiscutíveis e não permitem a alunos e professores, um debate crítico e criativo que é uma das finalidades do processo educacional. (ROMANATTO, 2004, p. 1)
O mesmo autor destaca que os livros se destinam a atender uma proposta de ensino
massificadora, que pressupõe lacunas de conhecimentos e de formação, em suas palavras,
As críticas de pesquisadores da educação que consideram a produção imprópria, de modo geral, surgem de concepções que pretendem um modelo ideal. Mas os livros são produzidos dentro de realidades concretas, pois eles destinam-se a uma proposta de ensino massificadora, a alunos com lacunas de conhecimentos e a professores com uma inadequada formação (inicial ou continuada) e submetidos a precárias condições de trabalho docente. (ROMANATTO, 2004, p. 2).
Com o passar dos anos, o cenário dos livros didáticos no país está se modificando,
principalmente porque o Ministério da Educação (MEC) vem sendo mais rigoroso com a
escolha de livros didáticos, impondo que os livros atendam a todas as exigências presentes no
1
Plano Nacional do Livro Didático (PNLD). O MEC lança, a cada ano, um edital para que
autores inscrevam suas coleções de livros didáticos nos diversos graus de ensino, no qual
estão presentes critérios a serem cumpridos, para que deste modo possam ser contempladas no
Guia do PNLD. O Guia do PNLD de Matemática (BRASIL, 2015), em específico, destaca
que
O livro didático traz para o processo de ensino e aprendizagem um terceiro personagem, o seu autor, que passa a dialogar com o professor e com o aluno. Nesse diálogo, o livro é portador de escolhas sobre: o saber a ser estudado; os métodos adotados para que o aluno consiga aprendê-lo mais eficazmente; e a organização dos conteúdos ao longo dos anos de escolaridade (BRASIL, 2015, p. 9)
Entretanto, é importante ressaltar que o livro é uma escolha do professor que, ao optar
por determinada coleção, deve se identificar com a proposta, pois ela servirá de apoio ao seu
trabalho nos próximos três anos. Ainda assim, corre-se o risco da coleção que chega à escola
não ser a escolhida pelo professor, devido à decisão do Governo.
O próprio Guia ressalta que o livro didático não deve ser o protagonista, mas sim um
auxiliar das aulas de matemática, pois “valorizar o papel do livro didático não significa,
contudo, que ele seja dominante no processo de ensino e aprendizagem, em detrimento da
atuação do professor” (BRASIL, 2015, p. 10).
Para isso, se faz necessário que ele seja utilizado de modo mais adequado, instigando o
senso crítico dos alunos, ou seja, fazendo-os pensar e não apenas orientando a realização de
exercícios repetitivos. “Isso porque, além das tarefas inerentes à condução das atividades da
sala de aula, o professor sempre pode ampliar o seu repertório profissional com a busca de
fontes bibliográficas complementares.” (BRASIL, 2015, p. 10).
Importante destacar que diferente da minha vivência há pesquisas que mostram como
o livro didático é muito utilizado pelos professores, como afirma Díaz (2011)
[...] é fato, suficientemente constatado, que os professores utilizam este material como um recurso central do trabalho cotidiano em sala de aula. Na verdade, o relatório final do estudo do uso de livros didáticos (MINEDUC, 2010) afirma que, em nível geral, 81% dos professores utilizam o texto apresentado pelo Ministério e 58% declaram seu uso de maneira freqüente, pode-se dizer que em quase todas as aulas. (DÍAZ, 20110, p. 615)
No âmbito do Pibid, assim como nas Práticas de Ensino e no Estágio Supervisionado,
que vivenciamos durante a graduação, temos estudado sobre o uso de diferentes abordagens
para o ensino da matemática. Um destes estudos abordou a teoria dos Registros de
Representação Semiótica (RRS), que tem como precursor nessa área de estudo o filósofo e
2
psicólogo de formação Raymond Duval. A teoria dos RRS estuda como o trânsito entre
diversos registros contribui para que a aprendizagem matemática ocorra de forma mais
significativa. Segundo Duval (1999),
As representações diferentes de um mesmo objeto, não têm evidentemente o mesmo conteúdo. Cada conteúdo é comandado por um sistema pelo qual a representação foi produzida. Daí a conseqüência de que cada representação não apresenta as mesmas propriedades ou as mesmas caraterísticas do objeto. Nenhum sistema de representação pode produzir uma representação cujo conteúdo seja completo e adequado ao objeto representado. (DUVAL, 1999, p. 18).
Logo, segundo Duval (1999), partindo do princípio que nenhum sistema de
representação pode produzir uma representação completa do objeto a ser estudado, devemos
fazer uso de diversos registros ao abordar qualquer assunto da matemática. Como Moretti
(2002) exemplifica:
[...] para efetuar 1+ 14
, podemos fazê-lo da forma seguinte: 44+ 4
4=5
4. Esta mesma
operação poderia ser feita ainda de outra forma, mantendo-se a mesma referência:
1+ 14=1+0,25=1,25. Na primeira solução nos mantivemos na mesma rede
semiótica de representação, enquanto que no segundo caso, há uma mudança de sistema de representação (MORETTI, 2002, p. 345).
Segundo Moretti (2002), o trânsito entre estes diferentes registros faz com que o aluno
compreenda que determinado objeto pode ser representado de maneiras diferentes, permitindo
que seu aprendizado seja mais significativo e não fragmentado.
Considerando a importância do uso do livro didático, tendo como referencial teórico
os RRS, e partindo da minha vivência escolar e acadêmica, defini que iniciaria meu Trabalho
de Conclusão de Curso a partir da análise de duas coleções de livros didáticos que foram
contempladas no PNLD de 2015, para a aquisição de livros para o ensino médio. Esta escolha
tem a ver com o meu interesse em compreender se há realmente motivos para que o livro
didático seja tão pouco utilizado.
Tendo em vista que para esta pesquisa eu desejava ir além de um estudo bibliográfico,
em diálogo com o professor supervisor do Pibid, programa que frequentei até julho de 2017,
quando já realizava meu TCC, definimos que eu poderia fazer uma intervenção que abordasse
um assunto a ser trabalhado com a turma de 1º ano do ensino médio que eu acompanhava, e o
escolhido foi sequências e progressões.
Minha afinidade com esse conteúdo também foi um fator importante nessa escolha,
pois me senti a vontade para desenvolver uma pesquisa de campo a partir de uma proposta 3
inovadora para um tema que eu dominava melhor por já ter desenvolvido atividades sobre ele
durante o Pibid. Cabe destacar que, enquanto pibidiana,, em 2016 ajudei a desenvolver uma
intervenção em sala de aula sobre esse tema, e nessa oportunidade já pude notar que a
abordagem trazida pelo livro didático adotado na escola não era suficiente.
Deste modo, busquei verificar, tanto na coleção adotada pela escola quanto em outra
coleção, apontada por colegas mais experientes do Pibid como muito boa, quais RRS eram
privilegiados nas atividades propostas ao abordarem o conteúdo de Sequências e Progressões.
Busquei comparar as duas coleções para compreender suas lacunas e avanços, analisando-as a
partir dos referenciais dos RRS, os quais pressupõem que o trânsito entre diversos registros
contribui para que a aprendizagem matemática ocorra de forma mais significativa.
Supondo que nenhum livro apresentaria uma abordagem totalmente adequada aos
pressupostos da teoria dos RRS, assumi o compromisso de desenvolver um plano de aula
(Apêndice A) que me permitisse analisar as potencialidades dos RRS e compreender se as
dificuldades dos alunos em matemática pode ser resultado da falta de trânsito por diversos
registros. Para complementar o trabalho de elaboração do plano, busquei subsídios também
em diferentes propostas curriculares e em pesquisas já desenvolvidas que tomassem a prática
de sala de aula como objeto de estudos, especialmente em relação ao ensino de Sequências e
Progressões.
O plano foi desenvolvido na turma do 1º ano do Ensino Médio da Escola Estadual da
cidade de Itajubá, estado de Minas Gerais, na qual eu realizava o Pibid. Essa turma era
acompanhada por mim desde o início de 2017, até julho quando ainda estava inserida no
Pibid. Com a minha saída do programa, em agosto, optei por desenvolver a regência do
Estágio Supervisionado IV nessa mesma turma, por já conhecer a realidade dos alunos,
compreender melhor suas dificuldades e poder contar com o apoio dos pibidianos e do
professor regente durante as aulas. Como afirmam Fiorentini e Miorim (1990)
Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. Não um 'aprender' mecânico, repetitivo, de fazer sem saber o que faz e por que faz. Muito menos um 'aprender' que se esvazia em brincadeiras. Mas um aprender significativo do qual o aluno participe raciocinando, compreendendo, reelaborando o saber historicamente produzido e superando, assim, sua visão ingênua, fragmentada e parcial da realidade (FIORENTINI e MIORIM, 1990, p. 6)
Assim, eu esperava que o plano de aula propiciasse aos alunos este aprender
significativo, que instigasse o seu raciocínio, a compreensão e a reelaboração do saber
historicamente produzido.
4
Diante do exposto, foi definido como objetivo geral desta pesquisa “Compreender a
importância de promover atividades que propiciem o trânsito entre diferentes Registros
de Representação Semiótica (RRS) no ensino do conteúdo de Sequências e Progressões”.
Para atingir a este objetivo, foram delineados os seguintes objetivos específicos, relacionados
a duas fases dessa pesquisa:
- Analisar quais RRS têm sido privilegiados nas atividades que abordam o conteúdo de
Sequências e Progressões em duas coleções de livros didáticos para o Ensino Médio
aprovadas pelo PNLD 2015.
- Elaborar, com base nas análises destes livros e em diferentes propostas curriculares,
um plano de aula que privilegie o trânsito entre diferentes RRS para o ensino de Sequências e
Progressões.
- Analisar o desenvolvimento e resultados deste plano de aula em uma turma do 1º ano
do Ensino Médio de uma Escola Estadual que privilegie o trânsito entre diferentes RRS para o
ensino de Sequências e Progressões.
Assim, o trabalho foi estruturado em sete capítulos. O capítulo um refere-se a esta
introdução do trabalho, apresentando os objetivos e as justificativas desta pesquisa. No
capítulo dois é apresentada a teoria dos RRS (MORETTI, 2002; DUVAL, 2012), adotada
como aporte teórico da pesquisa. O capítulo três apresenta uma descrição dos procedimentos
metodológicos, complementada pela apresentação do contexto em que a pesquisa de campo
foi desenvolvida. O capítulo quatro traz a análise das coleções dos livros didáticos, à luz da
teoria dos RRS. No capítulo cinco é descrita a breve revisão bibliográfica de teses e
dissertações, defendidas entre os anos de 2006 a 2017, as quais consistem em trabalhos que
abordam o conteúdo de Sequências e Progressões, assumindo ou não a teoria dos RRS. O
capítulo 6 está organizado de forma a apresentar cada atividade do plano de aula, detalhando
o desenvolvimento das atividades e as produções dos alunos, e dessa forma, tecendo a análise.
Por fim, o capítulo sete é dedicado às considerações finais sobre o trabalho.
Finalizando, cabe destacar que, neste trabalho, adoto a primeira pessoa do singular
porque, na condição de pibidiana desde o segundo ano do curso, a escrita narrativa fez parte
de meu processo de formação. No âmbito do programa, fui incentivada, desde o início, a
escrever portfólios reflexivos e também narrativas reflexivas sobre os projetos desenvolvidos
e as aprendizagens deles resultantes, tanto para mim como licencianda, quanto para os alunos.
5
Estas narrativas foram apresentadas em diversos eventos e publicadas em anais e em um
ebook do Pibid Unifei.
Dessa forma, como tenho utilizado o modo narrativo para, de forma reflexiva, escrever
sobre minhas experiências nas aulas de matemática do Pibid, embora um trabalho de
conclusão de curso deva atender às exigências acadêmicas, seguindo um processo metódico e
sistemático de coleta e de análise e interpretação das informações de campo, continuarei a
optar pela escrita narrativa. Me apoio, para esta decisão, no que defendem Connely e
Clandinin (1999, apud FIORENTINI, 2006, p. 29) ao afirmarem que “as narrativas
representam um modo bastante fecundo e apropriado de os professores produzirem e
comunicarem significados e saberes ligados à experiência.[...] e de atribuírem sentido,
importância e propósito às práticas”.
6
2. A TEORIA DOS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA
A teoria dos Registros de Representação Semiótica (RRS) é o principal
referencial desta pesquisa e tem como fundador Raymond Duval, psicólogo de
formação e filósofo, nascido na França, onde trabalhou no Instituto de Pesquisa em
Educação Matemática de Estrasburgo de 1970 a 1995. Foi nesta instituição que o
autor, desenvolvendo seus estudos relativos à Psicologia Cognitiva, ficou reconhecido
pela teoria dos RRS, a qual discute a complexidade da aprendizagem em matemática.
Segundo Duval (2003), a aprendizagem da matemática está diretamente ligada à forma
como os RRS são apresentados aos alunos, implicando na maneira como o aluno vai
desenvolver o seu raciocínio. Para o autor, o trânsito por diferentes registros pode facilitar tal
compreensão, sendo que o funcionamento cognitivo é muito importante nesse processo. Duval
(2003) coloca duas questões preliminares e fundamentais para dar início aos problemas de
aprendizagem em matemática:
1. Quais sistemas cognitivos são necessários mobilizar para aceder aos objetos matemáticos e para efetuar múltiplas transformações que constituem os tratamentos matemáticos?
2. Esses sistemas cognitivos são os únicos a ser mobilizados por qualquer processo de conhecimento em outros domínios científicos (geologia, astronomia, física, biologia...) e práticos, ou, ao contrário, trata-se de sistemas específicos, cujo desenvolvimento e cuja aquisição são próprios da atividade matemática? (DUVAL, 2003, p. 12)
Ao investigar estas questões, Raymond Duval diferencia que a atividade cognitiva
requerida pela matemática e aquela requerida em outros domínios do conhecimento não deve
ser procurada nos conceitos, mas alerta que a importância primordial das representações
semióticas se deve a duas razões fundamentais:1. Primeiramente, há o fato de que as possibilidades de tratamento matemático –
por exemplo, as operações de cálculo – dependem do sistema de representação utilizado. Por exemplo, o sistema de numeração decimal de posição oferece mais possibilidade que os sistemas grego ou romano de numeração e, no entanto, a aquisição desse sistema de numeração pelos alunos não é simples.
2. A grande variedade de representações semióticas utilizadas em matemática – Além dos sistemas de numeração, existem as figuras geométricas, as escritas algébricas e formais, as representações gráficas e a língua natural, mesmo se ela é utilizada de outra maneira que não a da linguagem corrente. (DUVAL, 2003, p. 13-14)
Para designar os diferentes tipos de representações semióticas utilizados em
matemática, parodiando Descartes, Duval fala de “registro” de representação, e os
classifica em quatro tipos muito diferentes, conforme o quadro 1.7
Quadro 1: Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático (fazer matemático, atividade matemática)
REPRESENTAÇÃO DISCURSIVA
REPRESENTAÇÃO NÃO-DISCURSIVA
REGISTROS MULTIFUNCIONAIS:
Os tratamentos não são algoritmizáveis.
Língua naturalAssociações verbais (conceituais).Forma de raciocinar:
Argumentação a partir de observações, de crenças, ...;
Dedução válida a partir de definição ou de teoremas.
Figuras geométricas planas ou em perspectivas (configurações em dimensão 0, 1, 2 ou 3).
Apreensão operatória e não somente perceptiva;
Construção com instrumentos.
REGISTROS MONOFUNCIONAIS: Os tratamentos são
principalmente algoritmos.
Sistemas de escritas:
Numéricas (binária, decimal, fracionária, ...);
Algébricas; Simbólicas (línguas
formais).
Cálculo
Gráficos cartesianos.
Mudanças de sistema de coordenadas;
Interpolação, extrapolação.
Fonte: Extraído de Duval (2003)Além disso, Duval (2003) afirma que existem dois tipos de transformação de
representações semiótica que são muito diferentes: os tratamentos e as conversões, descritas
no esquema a seguir (DUVAL, 2003, p. 15):
Transformação de uma representação semiótica em uma outra representação semiótica
Permanecendo no mesmo sistema:
Tratamento
Quase sempre, é somente este tipo de transformação que chama a atenção porque ele corresponde a procedimentos de justificação.
De um ponto de vista “pedagógico”, tenta-se algumas vezes procurar o melhor registro de representação a ser utilizado para que os alunos possam compreender.
Mudando de sistema, mas conservando a referência aos mesmos objetos: Conversão
Este tipo de transformação enfrenta os fenômenos de não-congruência. Isso se traduz pelo fato de os alunos não reconhecerem o
mesmo objeto através de duas representações diferentes.
A capacidade de converter implica a coordenação de registros mobilizados. Os fatores de não-congruência mudam conforme os tipos de registro entre os quais a conversão é, ou deve ser, efetuada.
8
Logo, Duval (2003) explica que os tratamentos são transformações de representação
dentro de um mesmo registro, ou seja, se é necessário efetuar um cálculo com frações e
números inteiros e para isso transformo os números inteiros em frações equivalentes para
realizar a operação. Já a conversão é quando transformamos as representações que consistem
em mudar de registro conservando os mesmos objetos denotados, como fazemos ao
interpretar um problema escrito, depois escrevê-lo na forma de uma função e depois
representá-lo graficamente.
Duval (2003) afirma que, matematicamente, o tratamento pode auxiliar na obtenção de
um novo registro sobre determinado assunto, mas não chama tanto a atenção. Já a conversão é
que “aparece como a atividade de transformação representacional fundamental, aquela que
conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão” (DUVAL, 2003, p. 16). Para facilitar a
compreensão desta diferença, Moretti (2012) apresenta o seguinte exemplo:
Alunos podem, muito bem, efetuar a adição de dois números com sua expressão decimal e com sua expressão fracionária e podem não pensar em converter, se isto for necessário, a expressão decimal de um número em sua expressão fracionária (e reciprocamente), ou mesmo não conseguir efetuar a conversão. (MORETTI, 2012, p. 273)
Moretti (2012) ressalta que não devemos confundir a conversão de registros com a
interpretação e a codificação. Segundo o autor, na interpretação nem sempre é necessário
realizar a mudança de registro. O que importa é a compreensão do que foi dito. Por sua vez, a
codificação é a
“transcrição” de uma representação em outro sistema semiótico diferente daquele em que é dado inicialmente. Esta transcrição é efetuada “em meio a uma série de substituições”, aplicando regras de correspondência ou utilizando listas de substituições inicialmente estabelecidas (ECO, 1998, p. 249-252 apud MORETTI, 2012, p. 273, grifos do autor)
Duval (2003) exemplifica que “passar de uma expressão em português* - como o
conjunto dos pontos cuja ordenada é superior à abscissa – à escrita simbólica – no caso,
“x>y” – seria uma codificação (...)” (p. 17).
Além disso, há ainda a preocupação com a congruência semântica. Duval (1999) alerta
que ao invés de buscarmos uma boa representação sobre determinado conteúdo devemos ir
atrás da busca pela compreensão de uma congruência semântica e do trânsito entre os diversos
RRS. Para realizarmos o trânsito entre diversos registros devemos nos preocupar como o
faremos, pois para Duval apud Moretti (2002), em “um certo tipo de transformação o custo
cognitivo pode ser maior ou menor, dependendo em muito do que Duval chama de
9
congruência semântica entre as duas expressões ou objetos matemáticos, com a mesma
referência, a serem transformados” (p. 346)
Duval (2003) discute os “dois tipos de fenômenos que se podem observar a respeito de
qualquer operação de conversão: a) as variações de congruência e não-congruência; b) a
heterogeneidade dos dois sentidos de conversão.” (p. 19). Segundo o autor, para
[...] analisar a atividade de conversão, é suficiente comparar a representação de partida com a representação terminal no registro de chegada. Esquematicamente, duas situações podem ocorrer. Ou a representação terminal transparece na representação de saída e a conversão está próxima de uma situação de simples codificação – diz-se então que há congruência -, ou ela não transparece absolutamente e se dirá que ocorre a não-congruência. (DUVAL, 2003, p. 19)
Retomando o exemplo de Duval (2003) temos o Quadro 2.
Quadro 2: Exemplo de variação de congruência ou de não-congruência de uma conversão1.
Correspondência semântica das unidades de significado
A unicidade semântica terminal
Conservação da ordem das unidades
O conjunto dos pontos cuja ordenada é superior à abscissa
y>x
Sim Sim Sim
O conjunto dos pontos que tem uma
abscissa positiva
x>0
Não
“Maior que zero” é uma perífrase (um só significado
para várias palavras)
Sim Sim
O conjunto dos pontos cuja abscissa e cuja ordenada tem o
mesmo sinal
x.y>0
O produto da abscissa e da ordenada é maior
que zero
Não NãoNão
Globalização descritiva (dois casos)
Fonte: Extraído de Duval (2003)
Ciente dessa diferenciação, o professor tomará mais cuidado ao avaliar seus alunos,
procurando distinguir as transformações semióticas exigidas, pois a partir da compreensão das
diferenças nessas representações podemos compreender melhor o porquê da dificuldade dos
1 Segundo o autor, a tomada em conta desses três fatores permite determinar os graus de congruência ou não-congruência que são geralmente correlacionados às variações de sucesso ou fracasso nas operações de conversão.
10
alunos em alguns problemas propostos e não em outros, às vezes, da mesma temática, e
envolvendo o mesmo assunto. Como destaca Duval (2003)
É necessário distinguir cuidadosamente o que sobressalta o tratamento em um registro e aquilo que sobressalta em uma conversão, esta consistindo em uma simples mudança de registros ou em uma mobilização em paralelo de dois registros diferentes. (DUVAL, 2003, p. 24)
Duval (2003), reforça ainda que “essa distinção raramente é feita na análise das
produções dos alunos, mesmo em problemas de geometria” (p. 24), e reforça que “se se quer
analisar as dificuldades de aprendizagens em matemática, é preciso estudar prioritariamente a
conversão das representações e não os tratamentos” (p. 30).
Assim, se faz necessário saber distinguir esses tipos de transformações das
representações, mas isso raramente é feito, pois “se estima que a conversão é somente uma
forma particular de tratamento, isto é, de uma atividade “puramente mental”, quer dizer, a-
semiótica.” (DUVAL, 2003, p. 30).
Além disso, é necessário levar em conta a natureza dos diferentes registros, pois “os
registros monofuncionais foram desenvolvidos com finalidades específicas de tratamento e os
registros plurifuncionais, que foram desenvolvidos como a língua natural” (DUVAL, 2003, p.
25), no caso língua natural seriam as associações verbais e formas de racionar, presentes no
Quadro 1. Logo, a dificuldade na aprendizagem de matemática é diferente, dependendo da
natureza dos registros.
Duval (1999) destaca também que “não se deve confundir o conteúdo explícito da
representação e o objeto representado: uma vez que este conteúdo depende em um primeiro
momento do sistema que permite produzir a representação e não do objeto.” (p. 16). Por
exemplo, o aluno ao aprender o que é um triângulo tem que entender que o objeto matemático
é representado através da representação de uma figura (com lados, tamanhos, etc), mas aquela
representação possui uma definição formal por trás (com propriedades do que a definem) e
por isso o aluno deve saber distinguir as duas coisas: pois não vemos o triângulo, apenas o
representamos, assim como os demais objetos matemáticos. Por isso há a dificuldade em
distinguir o objeto matemático da sua representação, o que pode resultar numa maior
dificuldade do conteúdo que está sendo ensinado.
Com isso, percebe-se a importância de trabalhar com uma diversidade de registros de
representação semiótica, propiciando a articulação dos diversos tipos de representação de um
11
mesmo objeto na hora de ensinar, pois articular essas representações por si só é uma condição
da compreensão da matemática. Deste modo, Duval (2003) afirma queÉ enganosa a idéia de que todos os registros de representações de um mesmo objeto tenham igual conteúdo ou que se deixem perceber uns nos outros. Nessa perspectiva, a oposição muitas vezes feita entre a compreensão que seria conceitual ou puramente mental e as representações semióticas que seriam externas aparece como enganadora. (DUVAL, 2003, p. 31)
É importante compreender, ainda, as representações mentais, que são as
representações semióticas interiorizadas. Segundo Duval (2003), as representações úteis ou
pertinentes em matemática são “sempre representações semióticas interiorizadas em interação
com um tratamento de produção externa de representações semióticas” (p. 31). O autor afirma
ainda que na produção externa, pode-se tratar de um número mais elevado de informação do
que na produção interna.
Diante do exposto, a análise das dificuldades dos alunos em realizar tratamentos e
conversões, especialmente das atividades que exigem conversões entre registros não
congruentes, serão norteadoras desse processo de compreender a importância de promover
atividades que propiciem o trânsito entre diferentes Registros de Representação Semiótica
(RRS) no ensino do conteúdo de Sequências e Progressões.
12
3. PERCURSO METODOLÓGICO
Para compreender a importância de promover atividades que propiciem o trânsito
entre diferentes Registros de Representação Semiótica (RRS) no ensino do conteúdo de
Sequências e Progressões, optei por realizar uma pesquisa qualitativa do tipo naturalista ou de
campo, entendida como uma “modalidade de investigação na qual a coleta de dados é
realizada diretamente no local em que o problema ou fenômeno acontece e pode se dar por
amostragem, entrevista, observação participante, pesquisa-ação, aplicação de questionário,
teste, entre outros” (FIORENTINI e LORENZATO, 2006, p. 106).
A pesquisa de campo consistiu em elaborar, desenvolver e analisar os resultados de
um plano de aula que privilegiava o trânsito entre diferentes RRS para o ensino de Sequências
e Progressões. As aulas de matemática da turma aconteciam na segunda-feira (uma aula),
terça-feira (uma aula) e quinta feira (duas aulas, não consecutivas), tendo duração de 50
minutos, sendo que utilizei 12 aulas para desenvolver o que será relatado aqui. A turma tem
37 alunos, todos eles oriundos de outras escolas da cidade, sendo que muitos deles possuem
dificuldade na escrita e em matemática, inclusive nas operações básicas, além de alguns
alunos terem problemas de indisciplina, o que provavelmente se deve também ao fato de
ainda estarem se adaptando a nova escola, novas regras, novos professores.
Buscando subsidiar a elaboração do plano de aula, era crucial analisar diferentes
propostas curriculares, além do livro didático adotado pela escola para a turma do 1º ano do
Ensino Médio da Escola Estadual na qual seria desenvolvido esse plano. Assim, além desse
livro, optei por analisar outra coleção contemplada no Plano Nacional do Livro Didático
(PNLD) de 2015, para verificar quais RRS tem sido privilegiados nas atividades propostas ao
abordarem o conteúdo de Sequências e Progressões. Assim, foram analisados os livros: (1)
“Matemática Ciência e Aplicações” dos autores Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David
Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida e (2) “Novo Olhar Matemática (versão com
progressões)” do autor Joamir Souza. A escolha da coleção (1) se deve ao fato de que a turma
em que o plano de aula foi desenvolvido na segunda parte da pesquisa utiliza esta coleção e a
(2) foi escolhida inicialmente, conforme apontado na introdução, por indicação de colegas
experientes do Pibid, mas esta escolha se confirmou, efetivamente, após uma primeira análise
das coleções contempladas no PNLD, na qual verificou-se que esta coleção apresentava uma
variedade de registros de representação semiótica. 13
Buscando conhecer um pouco da produção na área, movimento que poderia também
contribuir com subsídios para a elaboração do plano de aula a ser desenvolvido, foi realizada
uma revisão bibliográfica de pesquisas já realizadas, as quais foram encontrados a partir de
uma busca no Banco de Teses e Dissertações da Capes. Como critério de busca foram
utilizadas as palavras “progressões” e “representação semiótica”, dos anos 2002 até 2017, na
grande área do conhecimento “Ciências exatas e da terra”, na área do conhecimento de
Matemática e área de concentração Ensino de Matemática. O período de 2002 até 2017 foi
escolhido pelo fato do ano de 2002 ter sido publicado o primeiro trabalho de Raymond Duval
em português, o que poderia impactar as pesquisas realizadas a partir desta data.
Como o desenvolvimento do plano de aula ocorreria no âmbito da regência do Estágio
Supervisionado IV, uma primeira versão foi apresentada numa aula presencial do Estágio, na
Universidade, e contou com o olhar crítico e a contribuição de colegas e da professora da
disciplina, que além de orientadora desse trabalho é também coordenadora de área do Pibid.
Após as alterações solicitadas o plano de aula foi apresentado também em uma das reuniões
semanais de área do subprojeto do Pibid Matemática.
Mesmo eu já tendo deixado de ser bolsista, este espaço foi aberto pela coordenadora
para que os bolsistas que acompanham essa turma conhecessem o plano e também pudessem
contribuir com ideias para sua melhoria, principalmente porque estariam na sala de aula
ajudando a desenvolvê-lo e precisariam se apropriar do formato proposto e estar cientes das
atividades que seriam desenvolvidas.
O plano de aula elaborado contava com os seguintes conteúdos: (1) Sequências
(numéricas, geométricas, figurais); (2) Progressão Aritmética (termo geral e soma dos n
termos de uma PA) e (3) Progressão Geométricas (termo geral e soma de uma PG infinita)
Como previsto, por mim e pela minha orientadora, a 3ª parte não chegou a ser
desenvolvida, pois devido ao início tardio do desenvolvimento do plano, que precisava
respeitar o planejamento do professor, não haveria tempo hábil para proceder a análise de
tudo o que seria produzido pelos alunos. Assim, optei por descrever e analisar o processo de
aprendizagem dos alunos e os resultados obtidos apenas nas partes 1 e 2. A terceira parte foi
elaborada por mim, mas foi desenvolvida posteriormente apenas pelo professor supervisor,
não se tornando objeto de análise.
A coleta de dados na pesquisa de campo foi subsidiada por um diário de campo, no
qual “[...] o pesquisador registra observações de fenômenos, faz descrições de pessoas e
14
cenários, descreve episódios ou retrata diálogos.” (FIORENTINI e LORENZATO, 2006,
p.118-119). Também foram utilizadas as folhas de atividades realizadas pelos alunos, o
portfólio de Estágio (material obrigatório a ser entregue ao final da realização da disciplina
Estágio Supervisionado) e o relato dos demais colegas pibidianos que estavam presentes nas
aulas.
Ciente de que, para a escrita de um bom diário de campo é preciso analisar com
profundidade os diálogos produzidos, sempre que possível as aulas foram gravadas ou
filmadas e tanto para analisar as diferenças entre as coleções quanto o desempenho dos alunos
mediante o desenvolvimento do plano de aula, foi utilizado como referencial teórico a teoria
dos registros de representação semiótica (MORETTI, 2002; DUVAL, 1999-2012).
15
4. A PRESENÇA DOS RRS NOS LIVROS DIDÁTICOS
O livro didático tem um papel muito importante, tendo em vista que ele pode ser o
único (ou melhor) recurso do professor em face a realidade dos alunos e a falta de
infraestrutura das escolas públicas. [...] para uma boa parcela dos professores brasileiros, o livro didático se apresenta como uma insubstituível muleta. Na sua falta ou ausência, não se caminha cognitivamente na medida em que não há substância para ensinar. Coxos por formação e/ou mutilados pelo ingrato dia-a-dia do magistério, resta a esses professores engolir e reproduzir a idéia de que sem a adoção do livro didático não há como orientar a aprendizagem. Muletadas e muleteiros se misturam no processo... (SILVA,1996)
Desde sempre o livro didático sofre muitas críticas, principalmente por não promover
um debate crítico acerca dos conteúdos, mas apresentá-los como uma verdade absoluta.
Romanatto (2004), em uma análise mais atual, ressalta que os livrosAbusam das ilustrações para desviar a atenção do conteúdo, são mal dosados, jogam a matéria, muitas vezes, sem método, bem como contêm imprecisões. Alguns têm vários autores. Muitas vezes a pessoa citada nem participou da elaboração do livro, nunca deu aula, não conhece o aluno. Apenas entrou na parceria. (ROMANATTO, 2004, p. 1)
Ainda assim, Romanatto (2004) destaca que a má qualidade dos livros não é culpa das
editoras, pois elas cumprem aquilo que foi solicitado, mas que na verdade ao invés de
decidirmos de quem é “a culpa” devemos tentar melhorar esse material, que está presente nas
salas de aulas de todo o país.
Uma das medidas adotadas pelo governo para a melhoria dos livros didáticos foi a
criação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), desenvolvido pela Secretaria de
Educação Básica (SEB) e executado pelo Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação
(FNDE), todos vinculados ao MEC. Como destacam Carlini e Cavalari (2017) “o PNLD tem
como objetivo avaliar e distribuir, aos alunos e professores da educação Básica das escolas
públicas federais, estaduais, municipais e do Distrito Federal, materiais didáticos, dentre os
quais destacamos os livros didáticos” (p. 45)
O processo de escolha dos livros acontece com a abertura de um edital que possui
diversos pré-requisitos sobre o que deve conter nas coleções de livros que vão ser escolhidos.
Com isso, os autores se inscrevem e suas obras passam por uma avaliação de especialistas. A
partir dessa avaliação é elaborado o Guia do Livro Didático, que contém resenha das coleções
que foram aprovadas no edital por seguir as exigências solicitadas. Uma das exigências do
16
PNLD é avaliar a contextualização presente nos livros, nas quais estão inseridas a utilização
da História da Matemática (HM), a resolução de problemas, entre outras, além de avaliar se os
conteúdos matemáticos estão relacionados às práticas sociais e às outras áreas do
conhecimento. Neste trabalho entende-se por contextualização “elementos do domínio
vivencial dos educandos, das escolas e de sua comunidade imediata” (BRASIL, 1999a, p.
208). Além disso, é avaliada também “[...] em que medida na obra, são propostos temas e
atividades que incentivam o desenvolvimento de posturas e de valores importantes para o
exercício da cidadania” (BRASIL, 2014, p. 18-19)
Embora tenha clareza de que o livro didático não deve ser o único material a ser
utilizado pelo professor, cabe reconhecer a importância de avaliar sua qualidade, tendo em
vista a sua presença nas salas de aula de todo país.
4.1. ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS A PARTIR DA TEORIA DOS RRS
Os livros escolhidos para serem analisados foram o volume 1 da coleção “Matemática
Ciência e Aplicações” (IEZZI et al, 2013) e o volume 1 da coleção “Novo Olhar Matemática”
(SOUZA, 2011) que serão realizadas a seguir. Esses livros foram analisados a luz da teoria
dos RRS, evidenciando como os autores das coleções abordam o conteúdo de Sequências e
Progressões.
Moretti (2002) coloca a seguinte questão e a responde: “[...] para um determinado
conceito em matemática, existe uma boa representação que leve de forma suficiente à sua
compreensão? A resposta para esta questão é não” (p. 344). Por isso, analisamos quais
coleções utilizaram mais registros de representação semiótica na tentativa de que o aluno
tivesse uma maior compreensão do assunto que estava sendo abordado.
4.1.1. Matemática ciência e aplicação (vol. 1)
Nessa obra é o capítulo 10 que aborda o conteúdo de “Progressões” e conta com 26
páginas e 104 exercícios propostos para os alunos. Os autores introduzem o assunto de
sequência a partir de uma situação contextualizada, que relaciona o número de funcionários
de uma fábrica e os seus respectivos anos, organizados em tabela. Considerando que a
descrição da situação é um registro de representação semiótica (RRS), a tabela é o segundo
tipo de registro abordado. A tentativa de contextualização se apresenta problemática, no
17
sentido de estar distante da prática social, pois enumera os anos de 1 a 10, ao invés de trazer o
ano em si.
Em seguida, outro registro é utilizado: a linguagem algébrica para representar a ideia
de função. Eles relacionam o domínio da função (ano) com o número de funcionários
(imagem). Nesse momento o autor destaca o fato de o domínio de uma sequência ser o
conjunto dos números naturais.
Os autores não definem ou explicam como ocorrem as passagens entre os RRS e
apresentam o exemplo de forma estanque, sem oportunizar aos alunos pensar por si próprios
em uma situação problema proposta, para começarem a transitar entre os registros. Tudo é
apresentado pronto, sem mostrar como se dá o trânsito entre os diversos registros.
Ao definir Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG) os autores
utilizam novamente uma contextualização, novamente com uma característica bastante
“forçada”, que não traz uma situação do dia a dia. Os autores iniciam o conteúdo de PA
abordando sobre como latas são empilhadas no supermercado, de modo que forme uma PA de
razão três. Ao introduzirem o conceito de PG eles abordam metas que uma empresa de
telecomunicações tem que cumprir na venda de pacotes de programas de TV, de modo que
resulta no PG de razão dois. Esse tipo de contextualização parece não ser adequada para
envolver o aluno. Os registros de representações utilizados não favorecem e nem ajudam a
entender melhor o conceito, eles servem apenas para ilustrar.
Após a definição de PA e PG, os autores mostram como se encontra a razão, sem
abordar questões que ofereçam ao aluno a chance de pensar, ou seja, não promovem um
diálogo entre os alunos e nem deles com o professor, e não oferece qualquer chance para que
eles analisem e encontrem padrões, o que seria essencial para uma aprendizagem mais
significativa da ideia de sequência.
Numa abordagem bastante tecnicista. para deduzirem o termo geral da PA os autores
utilizam apenas a linguagem algébrica, e novamente não é utilizada uma real contextualização
para ensinar o conteúdo. O termo geral da PA é deduzido da seguinte forma:
a2−a1=r (onde a1 é o primeiro termo da PA, a2 o segundo termo e r a razão)Resultando em: a2=a1+ra3−a2=r (onde a3 é o primeiro termo da PA, a2 o segundo termo e r a razão)Segue que: a3=a2+r a3=a1+2 r (IEZZI et al, 2011, p. 203)
E assim sucessivamente, até que deduzem a fórmula do termo geral da PA que é:
18
an=a1+(n−1 ) r
Esse tipo de tratamento do registro de representação é pouco favorável para a
compreensão do que está acontecendo, pois é necessária uma grande abstração matemática
por parte do aluno, que está lidando apenas com a linguagem algébrica, sem recorrer a
nenhum outro tipo de RRS e a nenhum exemplo real que o permita fazer a “conexão” com o
conceito abstrato que o autor apresenta. Ao deduzirem o termo geral da PG os autores
utilizam esse mesmo tratamento.
A soma dos n primeiros termos de uma PA tem uma abordagem com foco na História
da Matemática (HM), falando sobre a vida de Gauss e a soma dos 100 primeiros termos de
uma PA, porém os registros são todos algébricos, e rapidamente os autores generalizam o
raciocínio para uma PA qualquer e deduzem a fórmula, sem contextualizar e utilizar
quaisquer outros recursos.
A falta de uma verdadeira contextualização e de propiciar o trânsito entre diferentes
registros pode dificultar a compreensão do conteúdo abordado. O foco voltado apenas para a
abstração pode dificultar a percepção dos alunos em relação ao raciocínio que está por trás de
tantas fórmulas. Neste trabalho a contextualização é entendida como
No tratamento dos n primeiros termos de uma PG os autores demonstram
matematicamente a fórmula, o que é muito rico para que os alunos tenham contato com esse
tipo de matemática, mas não é tão fácil de compreender como a soma dos n primeiros termos
da PA. Assim, a demonstração pode contribuir para que os alunos fiquem mais confusos em
relação ao que está sendo ensinado, sem entender o raciocínio matemático por trás daquilo
que está sendo demonstrado. Não há, no livro, qualquer explicação sobre o que significa
demonstrar.
Um ponto positivo a ser destacado é o modo como os autores relacionaram PA com
função afim, ressaltando novamente que o domínio de uma PA é o conjunto dos números
naturais, enquanto a função afim tem o seu domínio no conjunto dos números reais. Os
autores, então, justificam o fato de, no gráfico da PA, não podermos “ligar” os pontos como
fazemos no gráfico da função afim. Essa relação entre progressões e funções volta a ser
abordada no estudo da PG, quando os autores relacionam o gráfico da PG com a função
exponencial, enfatizando a diferença de domínios, como fizeram com a PA.
Os autores utilizaram dois registros de representações ao tratarem da soma dos termos
uma PG infinita. Além do recurso algébrico e do tratamento que eles realizam nesse registro,
19
eles também abordaram uma representação geométrica, com a soma da área de um quadrado
de lado 1, que vai se dividindo em diversas partes infinitamente até formar a espiral. Esse tipo
de registro favorece que os alunos tenham uma ideia mais clara sobre o infinito, que mesmo
sendo algo intuitivo para eles ainda está muito associado a um “infinitamente grande”, e não a
um “infinitamente pequeno”, além de poder associar a forma algébrica com a forma
geométrica de representar esse tipo de soma, por isso aproveitei esse tipo de registro e
abordagem no plano de aula que desenvolvi.
Trazer esse tipo de abordagem pode favorecer a compreensão, por parte dos alunos, da
ideia de limite que aparece nesse momento, porém os autores não definem o que é limite. A
palavra limite simplesmente “surge do nada”, e os autores perdem a chance de contextualizar
o registro geométrico com o conceito e a abstração matemática, o que seria riquíssimo.
Olhando para os exercícios que são propostos pelos autores, é possível verificar que a
maior parte trabalha com o pensamento algébrico ou interpretando os problemas e resolvendo,
dando ao aluno a sensação de que basta apenas utilizar a fórmula certa. Não há muita
utilização de contextualização com situações reais, o que favoreceria pensamentos e
resoluções diferentes por partes dos alunos. Há também poucas imagens, figuras e registros
que auxiliem os alunos a pensarem e se envolverem com as situações propostas. Registros
como tabelas e figuras de sequências para representar a PA e PG não são utilizadas, ou seja, o
registro de representação privilegiado é a linguagem algébrica, puramente matemática e
ligada ao uso de fórmulas de maneira tecnicista.
Ao encerrarem o capítulo, os autores abordam a história de Fibonacci. Mas como ficou
“por último”, acredito que tenha se tornado apenas um adendo, que dificilmente será utilizado
pelos professores. A situação poderia ser o ponto de partida para se discutir sequências, pois
explora diferentes registros como a história, a representação numérica da sequência e a
possibilidade d solicitar aos alunos algum tipo de generalização.
Seria mais interessante se tivesse sido utilizado para iniciar o conteúdo, e não como
uma “curiosidade”, pois como por fica por último a HM é subutilizada. Como afirma Fossa
(2008) “[...] numa caixa, separada do texto básico, ou na margem da página, ou no final de um
capítulo (ou seção de capítulo), e geralmente composta de um retrato ou desenho
acompanhado por algum texto explicativo” (p.8). Percebe-se que a abordagens que acontecem
com uma falsa contextualização poderia ter sido mais rica caso tivesse utilizado a HM como
motivador para aprendizagem.
20
4.1.2. Novo olhar matemática - versão com progressões (vol. 1)
Nessa obra o conteúdo de progressões é abordado no capítulo 3, com 41 páginas e 171
exercícios propostos para os alunos resolverem. O autor introduz o conteúdo de progressões
tratando sobre como os filmes animados são feitos: como uma sequência de imagens.
Percebe-se uma contextualização real, pois é um tema do cotidiano, e muitos alunos gostam,
assistem e se interessam pelo assunto. Esse tipo de contextualização contribui para despertar o
interesse dos alunos, por estar ligado à sua realidade.
Ao abordar o conteúdo de sequências ele traz uma situação real: como poltronas no
teatro estão dispostas em 20 filas. Além disso, o modo como o texto é apresentado difere
muito da abordagem tradicional, que apresenta definições e exemplos. O autor propõe
questões para o aluno pensar, instigando a descobrir os padrões que são encontrados numa
sequência.
Em seguida, o autor aborda as sequências de forma geral: como meses do ano, nome
dos alunos escrito em ordem alfabética, mostrando que existem sequências de diversos tipos,
não só as matemáticas. Diferencia ainda as sequências finitas e infinitas, e como obter
elementos de uma sequência. Também é abordado o fato do domínio das sequências ser o
conjunto dos naturais, mas não é feita uma relação com a função afim, que tem o domínio no
conjunto dos números reais. Além disso, o autor não traz o gráfico da sequência, apenas fala
sobre ele, deixando de trazer esse registro de representação semiótica
O conteúdo de PA é introduzido através de uma tabela que relaciona o tempo de uso
(horas) e o valor cobrado (R$) por um cybercafé pelo uso da internet e em seguida utiliza
linguagem algébrica, fazendo uso de dois tipos de RRS. Além disso, também explora o uso do
gráfico para falar sobre a internet no Brasil. O conteúdo de PG também é introduzido com
uma tabela de um experimento que relaciona os dias com a quantidade de bactérias de uma
amostra duplicada a cada dia, junto com uma curiosidade sobre bactérias que são úteis aos
homens. Nota-se mais uma vez uma contextualização real, que possibilita despertar mais o
interesse dos alunos. Porém, além da contextualização que se faz importante por ser tão
cobrada nos editais do PNLD nota-se a presença de três registros de representação: tabela,
linguagem escrita e o gráfico.
21
Em seguida aborda como achar a razão e a fórmula de recorrência, e como ocorre a
dedução de uma PA constante, crescente e decrescente, mostrando que se a razão é igual a
zero ela é constante, se é maior que zero é crescente e se é menor que zero é decrescente,
exemplificando cada um deles. O mesmo tratamento é realizado com a PG, mostrando que se
a razão q é igual a 1 a PG é constante, se q é maior que 1 e a1 é maior que zero ou 0<q<1 e a1 é
menor que zero a PG é crescente, se q é maior que 1 e a 1 é menor que zero ou 0<q<1 e a1 é
maior que zero então a PG é decrescente, e por fim se q<0 então a PG é alternante.
Percebe-se um maior cuidado ao explicar cada tópico do assunto de PA e PG, para que
o conteúdo seja melhor compreendido por parte dos alunos. Diferente da outra coleção, o
autor deduz o termo geral da PA a partir das expressões dos termos:
a2=a1+r
a3=a2+r
a3=a1+r+r,
a3=a1+2 r
E assim por diante. Esse tipo de tratamento favorece a aprendizagem do aluno, pois o
raciocínio lógico utilizado tem uma “congruência semântica”, ou seja, o aluno vai
acompanhando o raciocínio por trás da fórmula e compreendendo o que esta por trás dele a
cada passo, ao notar que o a1vai aparecendo em todos os outros termos, e como a razão está
relacionada com a posição que o termo está na sequência. Esse mesmo raciocínio é utilizado
ao tratar do termo geral de uma PG.
É apresentada a relação entre a PA e a função afim, mas novamente só ressalta que o
domínio da PA é restrito aos naturais, assim como ao relacionar PA e a função quadrática,
deixando de trazer o gráfico como um registro que podia auxiliar na compreensão do aluno.
Ao relacionar a função quadrática com a PA o autor traz o seguinte exemplo: Considerar a PA
(1,2,3,4,5,6 , …) de razão 1 e a função f ( x )=2x ². Logo, ( f (1 ) , f (2 ) , f (3 ) , …) não é uma PA,
mas f (2 )−f (1 )=8−2=6, f (3 )−f (2 )=18−8=10, f ( 4 )−f (3 )=32−18=32, e assim por diante.
Após feito isso, fala que a função f será uma função quadrática se, e somente se para todoa
PA (x1 , x2 , x3 ,..) formam uma nova PA. Assim, a razão dessa nova PA será 2ar ², onde a é
coeficiente de f e r a razão da PA inicial.
Não pareceu válido trazer esse tipo de abordagem ao meu plano de aula, pois a partir
de um tratamento o autor conseguiu chegar à uma nova PA e o meu interesse era que os
22
alunos vissem que a PA pode ser vista como um gráfico da função afim, mas “sem ligar os
pontos”.
O tratamento algébrico se torna mais presente do que nas atividades anteriores,
mostrando que o autor buscou ir introduzindo aos poucos a linguagem algébrica. Ao tratar da
PG o autor relaciona à função exponencial, utilizando o mesmo procedimento adotado
anteriormente com a PA. Porém, em uma das atividades resolvidas, que aborda a relação do
gráfico da exponencial com a PG, o autor fazum tracejado sobre os valores da PG que são
inseridos no gráfico, o que dá a impressão de que se pode “unir os pontos”. Isso pode gerar
confusão para os alunos, que tenderão a achar que podem traçar o gráfico da PG de forma
contínua, assim como faziam durante o estudo de funções.
A soma dos n primeiros termos de uma PA é relacionada ao exemplo dado
anteriormente: a quantidade de poltronas de certo teatro. O autor utiliza o recurso de pegar o
primeiro termo da PA com o último e somar, e o segundo lugar com o penúltimo lugar e
assim sucessivamente. Em seguida é feita uma relação com o método utilizado por Gauss para
somar os cem primeiros números naturais, trazendo a HM como motivador da aprendizagem.
Ao realizar um tratamento com a linguagem algébrica, até que a fórmula dos n primeiros
termos da PA seja deduzida, o autor favorece a compreensão dos alunos ao relacionar a
generalização feita com a situação real, mostrada anteriormente.
Já a soma dos n primeiros termos de uma PG é demonstrada sem relacionar com
alguma situação ou contextualização, apoiando-se apenas na linguagem algébrica que vem
sendo trabalhada com os alunos. Em seguida o autor aborda o conceito de séries geométricas
convergentes, introduzindo a noção de limite. Diferente da outra coleção analisada, nesta há a
preocupação em definir o que é o limite.
Ao final do capítulo o autor traz situações envolvendo PA e PG, com atividades
resolvidas que tratam sobre juros, mostrando como resolvemos esse tipo de problema que
encontramos em nosso dia a dia através do conhecimento aprendido no capítulo. Em seguida,
há os exercícios propostos e é incluída a lenda da torre de Hanói, de forma que novamente a
História da Matemática é privilegiada como um motivador para instigar os alunos. Esses
exercícios exploram o trânsito entre diferentes registros, partindo da linguagem algébrica para
sua representação gráfica ou tabular, assim como da linguagem formal para a linguagem
algébrica ou geométrica.
23
O autor demonstra preocupação em relacionar a PA e a PG, apontando as diferenças
entre elas, mas por esta análise ser apresentada apenas ao final do capítulo, há o risco de não
ser trabalhada. Nota-se que o autor utiliza diversas representações ao abordar todos os
conteúdos, desta forma nenhum registro sai privilegiado, todos tem um espaço. Talvez o
registro menos contemplado foi a representação gráfica, que poderia ter sido mais explorado.
24
5. BREVE PANORAMA DE PESQUISAS SOBRE SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES
A revisão bibliográfica foi realizada no Banco de Teses e Dissertações da Capes dos
resultados encontrados foram selecionados quatro trabalhos, descritos no Quadro 3, que
tomaram como foco de estudos práticas envolvendo o ensino de sequências e/ou progressões e
que podiam contribuir para a elaboração do plano de aula que seria desenvolvido na segunda
parte dessa pesquisa, tendo em vista que apresentavam atividades realizadas por alunos da
educação básica. Talvez por ter optado por este refinamento, os trabalhos analisados se
concentraram em pesquisas bastante recentes.
Quadro 3: Pesquisas selecionadas a partir da revisão bibliográficaAutor(es) Título Instituição Natureza Ano
MARTINS, David Pinto
Sequências, Progressões e Séries: Uma abordagem para o Ensino Médio
Universidade
Federal da
Bahia
Dissertação 2013
FARIAS, Jean
Duarte
Inter-relação entre progressão aritmética e função: uma nova visão para o Ensino Médio.
Universidade
Federal do
Paraná
Dissertação 2015
MANTOVANI,
Haroldo
Atividades sobre progressões aritméticas através do reconhecimento de padrões
Universidade
Federal de São
Carlos
Dissertação 2015
QUINA, Caio
Moura
Uma proposta duvaliana para a educação básica
Universidade de
São Paulo
Dissertação 2015
Fonte: elaborado pela autora
Deste modo, destaco inicialmente o trabalho de Martins (2013), “Sequências,
Progressões e Séries: Uma abordagem para o Ensino Médio” que estudou alguns dos
conteúdos tradicionais da matemática do ensino médio: sequências, progressões e séries.
Além disso, ele se aprofundou nos assuntos e tratou a PA e PG em ordem superiores, além das
séries harmônicas, aritmético-geométricas e geométrico-aritméticas. Em seu trabalho o
25
pesquisador utilizou a Historia da Matemática com um agente estimulador, e problemas
clássicos também foram abordados, a nível de olimpíada matemática. Houve nesse trabalho o
cuidado de utilizar uma matemática elementar, para facilitar o acesso ao estudo do Ensino
Médio.
O trabalho de Farias (2015), “Inter-relação entre progressão aritmética e função: uma
nova visão para o Ensino Médio” buscou uma inter-relação entre progressão aritmética e
função, de forma contextualizada e objetiva, abordando também a História da Matemática,
exemplos do cotidiano, curiosidades, além de trabalhar com alguns tipos de interpretações
geométricas do tema. O pesquisador buscou mostrar a relevância do assunto, além de estudar
formas de buscar padrões nas sequências utilizando-se a sequência de Fibonacci e o número
de Euler. E por fim, relaciona PA com funções, utilizando divisibilidade, quadrado mágico,
função quadrática, juros simples e o estudo da posição em função do tempo onde se
relacionam as disciplinas de Matemática e Física.
Mantovani (2015) no trabalho “Atividades sobre progressões aritméticas através do
reconhecimento de padrões” explorou o ensino de progressões aritméticas por meio do
reconhecimento de padrões. O trabalho foi desenvolvido no ensino fundamental, observando
situações de aprendizagens nas quais os alunos investigaram e identificaram padrões em
sequências numéricas e geométricas, transformando em linguagem algébrica posteriormente.
Logo, o trabalho foi desenvolvido com foco em um dos conteúdos propostos pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCNs) para o ensino fundamental, pois os alunos construíram a
linguagem algébrica para descrever a identificação de padrões presentes nas séries que eles
analisaram. Para verificar o aprendizado o autor elaborou folhas de atividades que levaram os
estudantes do 9º ano a encontrar os padrões numéricos ou geométricos, compreendendo o
conceito de progressões aritméticas.
Em seguida o autor analisou os resultados obtidos, tendo por base as hipóteses
levantadas durante a elaboração das folhas de atividades. A metodologia utilizada foi a
Engenharia Didática. Segundo o autor, o material elaborado é útil para outros professores, que
podem adaptar as suas realidades.
Por fim, o trabalho de Quina (2015), “Uma proposta duvaliana para a educação
básica” versa sobre o ensino de sequências e séries na educação básica, utilizando ideias da
Teoria dos Registros de Representação Semiótica para elaborar dez atividades, sendo quatro
delas aplicadas a alunos do 1º ano do Ensino Médio. Por meio da aplicação o autor buscou
26
evidências de que o uso da teoria de RRS favorece o aprendizado em matemática. Além disso,
também investigou a concepção de infinito que os alunos manifestaram, através da História da
Matemática. Como o ensino de sequências e séries é um conteúdo do ensino superior, foram
retratadas as dificuldades encontradas na transição ensino básico/ensino superior
Embora Quina (2015) tenha sido o único trabalho localizado que abordava a teoria dos
RRS, todos abordaram atividades que pressupunham o trânsito entre diversos tipos de
registros de representação, evidenciando os benefícios para aprendizagem ao abordar o
conteúdo de forma menos fragmentada, fazendo com que o aluno tenha ideia sobre o todo e
deste modo possa compreender melhor o objeto matemático que está sendo ensinado. Assim,
esta revisão contribuiu para a elaboração de um plano de aula que pudesse levar a uma
aprendizagem mais significativa por parte dos alunos. Não houve nenhuma atividade utilizada
no plano de aula que foi retirada desta revisão, mas ideias surgiram a partir dela.
As atividades envolvendo sequências e suas diversas representações sofreram uma
forte influência das representações utilizadas nesses trabalhos. A ideia de utilizar também a
História da Matemática ao abordar o conteúdo de Progressão Aritmética foi reforçada pela
forma como muitos autores também o fizeram. Ao tratar sobre o infinito, os trabalhos de
Farias (2015) e Quina (2015) contribuíram com a ideia da soma de uma PG infinita, fazendo
com que eu trouxesse a visão geométrica na tentativa de mostrar ao aluno a ideia do que seria
esse “infinito”. Os trabalhos da revisão bibliográfica serviram também para que eu pudesse
repensar o modo como formalizaria o conteúdo.
27
6. ANALISANDO O DESENVOLVIMENTO DE UM PLANO DE AULA ELABORADO A PARTIR DOS RRS
As atividades propostas e a formalização do conteúdo do plano de aula foram
elaboradas a partir da análise dos livros didáticos, da revisão bibliográfica e também
do Caderno do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2014), e todas foram levadas
impressas, para facilitar a análise de dados e ganhar tempo durante as aulas.
As etapas do plano de aula estão separadas em:
1) Sequências (numéricas, geométricas, figurais)
2) Progressão Aritmética (termo geral e soma dos n termos de uma PA)
3) Avaliação
A partir dessa separação será realizada a análise dos resultados, de acordo com
a ordem em que as atividades foram sendo realizadas. Os alunos serão tratados no
masculino e através de suas iniciais, preservando assim as suas identidades.
6.1. SEQUÊNCIAS
6.1.1. Sequências e suas representações
Como já conhecia a turma, expliquei que o conteúdo que eles iriam aprender
agora seria abordado por mim, que assumiria as aulas por um período. Logo em
seguida, perguntei aos alunos o que eles pensavam quando ouviam a palavra
sequência. As respostas que obtive foram “em ordem”, “uma depois da outra”,
“fileira”, e exemplos como as cartas do baralho (às, um, dois e três ou valete, dama e
rei).
Respondi que todas essas respostas estavam corretas, e que em especial em
matemática existiam diversos tipos de sequências e que iríamos estudar algumas delas
dali pra frente. Expliquei também que nas sequências os termos são representados por
uma letra e um índice, como (a1, a2 , a3 ,…¿, e essas sequências podiam ser finitas ou
infinitas.
Em seguida falei que seria entregue uma atividade, que eles realizariam em
duplas, mas também autorizem que alguns fizessem em trios. Com isso feito, expliquei
28
a primeira atividade, composta por várias sequências. Os alunos deveriam escrever
mais três termos de cada sequência, seguindo a lógica encontrada por eles.
Quadro 4: Atividade I1) Observem as sequências a seguir e escrevam mais três termos, seguindo o mesmo padrão observado por vocês.
a) 0, 0, 0, 0, 0, __, __, __.
b) _____ _____ _____c) 50, 51, 5², 5³, 54, ___, ___.___,d) 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, ___, ___, ___.e) √1 ,√4, √9 ,√16 ,√25 ,√36 ,√4 9 ,___, ___, ___.f) 1, -2, -3, -4, -5, -6, ___, ___, ___.g) 1, 5, 25, 125, 625, ___, ___, ___.h) 0,1 ; 0,01 ; 0,001; ___, ___, ___,
i)
j)
k)
l) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, __, __, __.
m) 1², 2², 3², 4², 5², __, __, __.
n) 1
10 , 1
100 , 1
1000 , ___, ___, ___.
Fonte: elaborado pela autora
Após entregar a folha de questões para que eles vissem a primeira atividade, já
expliquei que a atividade 2 estava relacionada com a primeira e que eles teriam que
analisar se na primeira atividade havia pares de sequências iguais. Esclareci que
sequências iguais são aquelas que possuem os mesmos termos e na mesma ordem,
mesmo que não estejam escritos da mesma forma. Ou seja, se as sequências a e b são
29
iguais o primeiro termo da sequência a teria que ser igual ao primeiro termo da
sequência b, e assim sucessivamente.
Acreditava que na primeira atividade os alunos não teriam dificuldades, mas
me surpreendi quando um grupo, ao se deparar com a sequência (e), não soube como
continuar: e) √1 ,√4, √9 ,√16 ,√25 ,√36 ,√4 9 ,___, ___, ___. Percebi que essa dúvida
era comum a outros grupos, então fui à frente da sala e expliquei que eles deveriam
pensar quanto valia √1 ,√4, √9 e assim sucessivamente. Depois disso os alunos
conseguiram realizar este item da atividade.
A dificuldade dos alunos consiste em enxergar os números representados como
raízes, pois eles não estão habituados com esse tipo de representação. Assim, parece
que o trânsito entre diferentes representações de números já se apresenta como
empecilho para os alunos, corroborando o que afirma Moretti (2002)[...] 1, 3-2, 4/4 e 50 referem-se ao mesmo número, ao mesmo objeto matemático, a mesma referência. No entanto, os objetos nestas distintas representações, não possuem o mesmo significado operatório. Um aluno, por exemplo, pode reconhecê-lo em 3-2, mas pode não fazer o mesmo em 50 ou em 4/4. (MORETTI, 2002, p. 345)
Diante disso, achei pertinente explicar que existem diversas formas de
representar um número, dando exemplo a sequência 1, 1, 1, 1, ... . Comentei que tinha
o mesmo significado que a sequência 10, 10, 10, ... ou 1/1, 2/2, 3/3, ... ou , , ... .
Neste último exemplo, a intenção foi exemplificar a mesma sequência em que cada
termo vale uma unidade por meio de figuras.
Nessa mesma atividade outra sequência em que eles apresentaram dificuldade
foi a que envolvia o raciocínio lógico, em uma representação figural, a qual também
era pouco explorada nas aulas de matemática que eu observava, tanto no Pibid quanto
no período do estágio:
Figura 1: Item 1 da atividade I
Fonte: Extraído de São Paulo (2014)
Muitos alunos me chamaram perguntando como deveriam continuar a
sequência. Eles se atentavam as letras e números presentes na figura e não ao que 30
estava acontecendo no desenho como um todo. Assim, fui à frente da turma
novamente e orientei que eles verificassem o que estava acontecendo em cada figura,
solicitando que, ao invés de fazerem mais três termos dessa sequência, eles fizessem
apenas dois (me atentei a este fato, pois eles não teriam como saber se a sequência
seria cíclica e voltaria ao primeiro termo ou se o padrão seria outro, sendo possível
apenas prever os próximos dois termos). Essa dificuldade encontrada dá indícios de
que eles não estão habituados a encontrar padrões em figuras.
Na atividade 2 os alunos deveriam encontrar as seguintes igualdades:
(c) (50, 51, 5², 5³, 54, ...) e (g) ( 1, 5, 25, 125, 625,...)
(e) (√1 ,√4, √9 ,√16 ,√25 ,√36 ,√4 9 ,...) e (l) (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)
(h) (0,1 ; 0,01 ; 0,001; ...) e (n) ( 110 ,
1100 ,
11000 ,...)
(i) ( ... ) e (m) ( 1², 2², 3², 4², 5², ...).
Por eu ter tirado a dúvida deles enquanto eles realizavam a atividade, das 12
duplas e 3 trios, 5 responderam que a sequencia (e) e (l) eram iguais, justamente por
terem verificado que dava para representar o número de outra forma, mesmo assim,
nem todos indicaram esta igualdade. Acreditava que eles conseguiriam perceber sem
muito esforço a igualdade entre as sequências (i) e (m), pois imaginava que quando
eles aprendiam a identificar o quadrado de um número esse tipo de visualização seria
trabalhada, porém não foi o que aconteceu. Na tabela 1, estão representadas as
comparações feitas pelos alunos.
Tabela 1: Respostas encontradas nas atividades dos alunos
Sequências Vezes que foi citada
(c) e (g) 3
(e) e (l) 5
(h) e (n) 5
(i) e (m) 1
Não existem sequências iguais 3
Citou pares de sequências diferentes como iguais 5
Fonte: elaborado pela autora
31
Diferente do que eu previa, apenas uma dupla conseguiu perceber que as sequências
(i) e (m) são iguais. Assim, percebo que a dificuldade dos alunos pode estar relacionada ao
que Duval (2003) chama de conversão, pois “as conversões são transformações de
representações que consistem em mudar de registro conservando os mesmo objetos
denotados: por exemplo, passar da escrita algébrica de uma equação à sua representação
gráfica” (p. 16). Duval (2003) afirma ainda que “este tipo de transformação enfrenta os
fenômenos de não-congruência. Isso se traduz pelo fato de os alunos não reconhecerem o
mesmo objeto através de duas representações diferentes.” (grifos do autor) (p. 15).
Outro ponto que vale destacar foi a dificuldade na compreensão do conceito
matemático de igualdade, pois alguns alunos afirmaram que as sequências (e) e (m) são
iguais, entretanto o que se pode observar é que uma é o inverso da outra. Ou seja, ao
pensarem na justificativa para, por exemplo, 2 ser a raiz quadrada de 4, pois 2² = 4, eles
associaram esta operação inversa com o resultado da raiz, como se fosse uma igualdade, como
se pode ver na figura 2.
Figura 2: Resolução dos alunos F. S. e A. M.Fonte: Produção dos alunos
Ao fazer a socialização na lousa, para fechar a correção, chamei atenção para o
exemplo das sequências (a)(−1 , 0,1,2) e (b)(2,1,0 ,−1), explicando que elas não eram
iguais, pois, mesmo contendo os mesmos termos, o primeiro termo da sequência a era
-1 e o primeiro termo da sequência b era o 2, logo essas sequencias eram diferentes.
No item 3, os alunos precisavam criar uma nova sequência a partir de outra
existente, a qual era contextualizada a partir de um episódio da História da
Matemática.
Quadro 5: Item 3 da atividade I3) Atribui-se ao matemático grego Hipsicles (240 a.C.-170 a.C.) uma regra para criar uma nova sequência numérica a partir de outra. O método consiste em tomar uma sequência numérica (por exemplo 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) e criar outra em que cada termo seja igual à soma dos anteriores. Isto é:
32
Pela regra de Hipsicles, a sequência (1, 2, 3, 4, ...) gerou a sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...).
Aplique a regra de Hipsicles e encontre os oito primeiros termos de duas novas sequências
numéricas geradas a partir da sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...).
Fonte: Extraído de São Paulo (2014)
O objetivo desse item era que os alunos percebessem a existência de sequências que
podem ser obtidas a partir de outras, e como previ, eles não tiveram dificuldades para
encontrar estas novas sequências, mas alguns alunos erraram operações básicas em alguma
linha da sequência e como eles utilizavam o resultado anterior para prosseguir, o erro se
repetia em vários termos.
Figura 3: Elaboração correta dos alunos F. S. e A. M.Fonte: Produção dos alunos
33
Figura 4: Elaboração, com erro de cálculo na linha 3 da 2ª sequência elaborada, dos alunos T. V., C. S. e T. F.
Fonte: Produção dos alunos
A facilidade encontrada pelos alunos ao realizar esse item também é justificada
porque o tratamento é mais simples do que a conversão, pois os tratamentos são
realizados na mesma rede semiótica, enquanto a conversão não, por isso seu custo
cognitivo é maior (DUVAL, 2003).
O último item da primeira atividade consistia em encontrar regularidades em
uma representação figural. Assim, foi proposto que eles utilizassem o recurso da
tabela, outra forma de registro, para organizar as observações e facilitar a descoberta
dessas regularidades.
Quadro 6: Item 4 da atividade I4) Observe a sequência de figuras.
Construa uma fórmula que possa ser utilizada para determinar um termo qualquer dessa sequência.
Para auxiliá-lo nessa tarefa, a tabela a seguir organiza os dados, a fim de que as regularidades sejam
mais facilmente observadas, elemento necessário à construção da fórmula:
34
Teria outra maneira de representar a sequência encontrada? Se sim, qual?
Fonte: Adaptado de São Paulo (2014)
Fui à lousa explicar que, no item 4, eles tinham que encontrar uma fórmula
geral que permitisse encontrar qualquer termo da sequência apresentada e que para
auxiliá-los era importante que preenchessem a tabela.
Desenhei a tabela na lousa e expliquei para a turma que era importante eles
perceberem o que estava acontecendo e que na hora de preencher a terceira linha da
tabela eles deveriam pensar qual seria a quantidade de quadradinhos na terceira
posição. Logo, eles me responderam que seriam 12 quadradinhos. Com isso, perguntei
como o 12 poderia ser representado, seguindo o padrão que estava presente na tabela,
e eles responderam 12=6.2. Novamente indaguei como poderíamos escrever o
número 6, e eles responderam que 6=3.2. Com isso, substitui os valores e então ficaou
12=3.2 .2=3. 22, e assim eles fizeram. Com isso, os grupos conseguiram chegar, sem
muita dificuldade na fórmula: n=3.2n−1.
Nesse item, embora haja a necessidade de uma conversão entre a representação
figural e a tabela e, posteriormente, entre os dados da tabela e a representação
algébrica da generalização, os alunos não apresentaram tanta dificuldade para chegar a
essa fórmula porque há pouco tempo haviam vivenciado uma atividade envolvendo a
Torre de Hanói2, desenvolvida por outro pibidiano nesta mesma sala. Naquela
atividade, eles deduziram uma fórmula a partir da observação de regularidades,
também com os dados organizados em forma de tabela, o que permite deduzir que, ao
vivenciar, mesmo em outros contextos, o trânsito entre diferentes registros, os alunos
desenvolvem esta habilidade. Na mesmo sentido, Moretti (2002) afirma que, ao
2 Torre de Hanói é um jogo matemático que contribui para o desenvolvimento do raciocínio lógico e que permite explorar uma atividade que relaciona a quantidade de movimentos com uma função exponencial.
35
explorarem diferentes formas de representação de um mesmo objeto matemático, os
alunos aumentam a sua capacidade de resolver problemas.
Ao perguntar se existiria alguma outra maneira de representar a sequência, eu
esperava que eles respondessem que sim, como através de bolinhas, números e etc,
mas apenas um trio sugeriu esse tipo de representação.
Figura 5: Resolução dos alunos T. V., C. S. e T. F.Fonte: Produções dos alunos
Outros grupos de alunos, tentam explicar a fórmula, em vez de apresentar outras
maneiras, provavelmente porque essa explicação havia sido solicitada na atividade da Torre
de Hanói.
Figura 6: Resolução dos alunos G. A. e C. N.Fonte: Produção dos alunos
Outros conseguiram responder que podíamos representar essa sequência
através da sua fórmula:
Figura 7: Resolução dos alunos P. L. e P. G.Fonte: Produção dos alunos
Dessa forma, é possível perceber que as experiências com o trânsito entre
diferentes registros precisam ser mais frequentes para que eles realmente se apropriem
da existência dos mesmos. Assim, não é uma tarefa simples, e rápida, ensinar que um
objeto matemático pode ser representado de diversas formas, isso exige uma
diversidade de experiências com esse objetivo. 36
Ao final da atividade I entreguei aos alunos um texto impresso com a
formalização do conteúdo, para ganhar tempo. Realizamos a leitura em conjunto e
pedi que eles colassem em seus cadernos.
Quadro 7: Formalização do conteúdo de sequênciasSEQUÊNCIAS
Em Matemática os termos de uma sequência são representados por uma letra e um índice. Por exemplo, primeiro termo da sequência pode ser representado por a1, o segundo termo por a2 e assim sucessivamente.Para que duas sequências sejam iguais, além de possuírem os mesmos termos, elas devem estar na mesma ordem. Portanto, as sequências (-1, 0, 1, 2) e (2, 1, 0, -1) são diferentes, pois seus termos, apesar de serem iguais, não estão na mesma ordem. Para obtenção dos termos de uma sequência normalmente os elementos de uma sequência são determinados por meio do termo geral da sequência ou por recorrência. O termo geral determina o valor de cada termo an da sequência em função da posição n que ele ocupa. Exemplos: 1) Quando o termo geral an=2n-3, com n∈N.n=1: a1 = 2 . 1 – 3 = -1n=2: a2 = 2 . 2 – 3 = 1n=3: a3 = 2 . 3 – 3 = 3n=4: a4 = 2 . 4 – 3 = 5 ...
2) Qual o vigésimo termo da sequência (3, 1, -1, -3, -5, ...)?
n = 1: a1 = 3 = 5 – 2 = 5 – 2 . 1n
n = 2: a2 = 1 = 5 – 4 = 5 – 2 . 2n
n = 3 : a3 = -1 = 5 – 6 = 5- 2 . 3n ...
Note que a sequência do exemplo 1 é crescente e a sequência do exemplo 2 é decrescente. Fonte: Extraído de Souza (2011)
6.2. PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
6.2.1. Introduzindo a ideia do termo geral de uma PA
A atividade II continua abordando sequências, porém, com o objetivo de avançar nos
estudos da PA, com foco na busca da representação do termo geral, ainda sem fazer uma
generalização da fórmula. Assim, no primeiro item os alunos deveriam encontrar as figuras
que iam ocupar as posições 38ª e 149ª da sequência dada, justificando a resposta.
Quadro 8: Item 1 da atividade II
37
1) Observe a sequência de figuras:
Supondo que a lei de formação continue a mesma, desenhe as figuras que deverão ocupar as posições 38ª e 149ª nessa sequência. Justifique sua resposta.
Fonte: Extraído de São Paulo (2014)
A maior parte dos alunos encontrou as posições contando manualmente as
figuras. As figuras 8 e 9 apresentam a produção de um grupo de alunos que representa
o padrão mais comum de resposta encontrado quando contavam de 4 em 4.
Figura 8: Resolução dos alunos T. V., C. S. e T. F.Fonte: Produção dos alunos
Figura 9: Resolução dos alunos R. B. e P. A.Fonte: Produção dos alunos
Alguns alunos notaram que a sequência se repetia a cada 4 termos e realizaram
a divisão de 38 por 4, porém não notaram que o resto representaria qual seria a posição
do termo na sequência e adotaram o resultado 9,5 como solução do problema. Isso
mostra que mesmo interpretando corretamente a linguagem figural, e percebendo que
as figuras obedecem a um ciclo, o uso de cálculos associados a posição que cada
figura ocupa requer mais do que um pensamento aritmético, pois é preciso interpretar
o resultado numérico e retornar à representação figural. Ainda assim alguns alunos
conseguiram realizar a divisão de 38 e 149 por 4, e notaram que o resto resultaria na
figura que ocuparia a posição, como se pode observar nas figuras 10 e 11.
38
Figura 10: Resolução dos alunos F. S.Fonte: Produção dos alunos
Figura 11: Resolução dos alunos Y. L.Fonte: Produção dos alunos
Novamente, o trânsito entre registros não-congruentes, se mostra desafiador. O
grupo que conta de figura em figura, mantém-se no mesmo registro de representação,
enquanto o grupo que opta pela divisão, perde a referência direta deste registro.
No item 2 os alunos tinham que completar um quadro como este do Quadro 8.
Quadro 9: Item 2 da atividade IIAdição Descrição
1 + 3 = 4 = 2² A soma dos dois primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 2.
1 + 3 + 5 = 9 = 3² A soma dos três primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 3.
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
A soma dos cinco primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 5.
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2.n - 1 = n²
Fonte: Extraído de São Paulo (2014)
Com essa atividade eu pretendia analisar se os alunos conseguiriam realizar a
conversão da representação algébrica para a representação escrita e vice-versa.
Esperava-se que os alunos conseguissem responder essa questão sem muita
dificuldade, por terem exemplos preenchidos na tabela, apresentando alguma
dificuldade somente ao generalizarem a última linha do quadro, por não possuir
39
congruência e foi o que aconteceu. A maioria dos alunos teve dificuldades ao
preencher a última linha, que equivale à frase “a soma dos n primeiros números
impares é igual ao quadrado de n”, generalizando n como “qualquer número” ou “um
número”, sem perceber que se tratava de uma sequência somente de números ímpares,
o que pode significar que eles não tenham entendido que 2n−1 é uma maneira de
representarmos um número ímpar qualquer.
Na figura 12 os alunos não relacionam o n com a posição na sequência, mas
com um número, mostrando a falta de compreensão ao generalizar a regra.
Figura 12: Resolução dos alunos R. B. e P. A.Fonte: Produção dos alunos
Na figura 13 não fica claro quem são esses “n primeiros números”, deixando a
generalização confusa.
Figura 13: Resolução dos alunos C. N. e G. A.Fonte: Produção dos alunos
Na figura 14 podemos notar que os alunos compreenderam a lógica, porém não
conseguiram generalizar. Ao invés disso, deram um exemplo para quando n = 6. 40
Figura 14: Resolução dos alunos T. V., C. S. e T. F.Fonte: Produção dos alunos
Na figura 15 o aluno não compreende que um número ímpar pode ser
representado como 2n−1, e isso fica evidente na sua tentativa de generalizar a regra.
Figura 15: Resolução dos alunos C. B. e H.Fonte: Produção dos alunos
Nota-se a dificuldade dos alunos em converter o registro da linguagem
algébrica para a linguagem escrita, e vice-versa, mostrando novamente que como
afirma Duval (2012), por mais que a
conversão de uma representação possa, muitas vezes, parecer ser estreitamente ligada a uma interpretação ou a um código, ela lhe é irredutível, porque, por um lado, ela não se funda sobre alguma analogia, como no caso da interpretação e, por
41
outro lado, a conversão não pode ser obtida pela aplicação de regras de codificação. (DUVAL, 2012, p. 273).
Isso reforça, ainda mais, a importância de promover atividades que solicitem
este trânsito, pois não há regras a serem ensinadas nesse casso, e somente a
experiência com o trânsito, fará com que os alunos tenham uma visão mais ampla do
objeto matemático estudado. Além disso, como afirma Duval (1999), “[...] Nenhum
sistema de representação pode produzir uma representação cujo conteúdo seja
completo e adequado ao objeto representado.” (p. 18).
No último item da atividade os alunos tinham que encontrar a 20º posição da
sequência (4,7,10,13 , …). Novamente, a maior parte dos alunos realizou a atividade
contando de um em um, manualmente. Ao perceber isso, solicitei que eles calculassem
o 100º termo também. Nesse momento, alguns alunos disseram que o 100º termo seria
305, pois eles tinham visto que o 20º era 61, logo deduziram que para chegar à 100º
posição era só multiplicar 61 por 5. Falei que essa não era a resposta correta e,
novamente fui à lousa para discutir com todos.
Escrevi a sequência (4,7,10,13 , …) na lousa e perguntei a eles o que estava
acontecendo de um número para outro, e eles disseram que estava “somando 3”.
Então, fiz setas de um número para o outro com “+3”. Em seguida perguntei qual era o
primeiro termo da sequência e eles responderam 4, então escrevi: a1=4. Logo após,
perguntei quem era o segundo termo da sequência, e eles responderam 7. Então
escrevi: a2=7 e expliquei que ele poderia ser escrito também como a2=7=4+3.
Depois escrevi o terceiro termo como a3=10=7+3=4+3+3=4+2.3 .
Por meio deste procedimento, tentei generalizar, a partir de um exemplo, a
fórmula para se chegar ao termo geral da PA. Então, fui repetindo esse processo até o
a6, e então perguntei a eles o que estava acontecendo. Esperava que eles notassem o
que acontecia com o número de vezes que o 3 era repetido. Então, sem dificuldade
eles viram que estava “subtraindo um” do numero da posição que o termo estava na
sequência, ou seja, o a6 seria a6=4+5.3. Com isso, os alunos disseram que na 100ª
posição seria 4+(100−1 ).3.
O aluno S. S. chegou em outra resposta, que a princípio parecia diferente, mas
que também levava à resposta correta. Ela percebe uma relação entre cada termo e sua
posição, ou seja, percebe que cada termo é o triplo da sua posição, acrescentado de
uma unidade e assim representa sua descoberta: an=3 n+1. Expliquei que não estava
42
errado o modo como ela fez, e que aquela fórmula também representava a lei de
formação daquela sequência, porém, esta não era uma fórmula geral, que se aplicaria a
qualquer sequência desse tipo.
Optei por desenvolver a generalização das progressões aritméticas somente a
partir do termo geral, deixando outros tipos de generalizações de lado, tendo em vista
o pouco tempo para desenvolver as atividades previstas. Porém, uma vez que um
aluno utilizou esse outro tipo de raciocínio aos responder uma das questões vejo que
poderia ter explorado mais esse tipo de resposta, perdendo a oportunidade de mostrar
que a generalização da fórmula deduzida na lousa com os demais poderia ser reduzida
a esta.
Após eles realizarem essas atividades, achei pertinente solicitar que
realizassem alguns exercícios de fixação3 em seus cadernos, para ver se eles
conseguiriam notar que nem sempre somaremos de três em três a partir do segundo
termo, sem ter ainda formalizado que o que eles estavam calculando era o termo geral
da Progressão Aritmética. Para isso, solicitei que eles fizessem em seus cadernos e
encontrassem o 100º termo das sequências:
a) (1,3,5,7 , …)
b) (1000 , 900 , 800 ,700 , …)
Alguns alunos tentaram utilizar o cálculo encontrado na atividade anterior, mas
não conseguiram chegar a resposta correta porque não percebiam quais números
representavam a variável a ser substituída. No caso, o 1 e o 100 se manteriam, pois
também buscavam a 100 posição, e o 1 é fixo. Mas o 4 mudaria, por ser o primeiro
termo de cada sequência e o 3 também, por ser a razão. A aluna S. S. tentou utilizar a
expressão que havia encontrado, mas não obteve sucesso também, tendo em vista que
se refere a um caso particular.
Então, passando de carteira em carteira, orientei alguns alunos a observarem o
que haviam feito na sequência (4,7,10,13 ,…) e como poderiam aproveitar aquele
mesmo raciocínio com a nova sequência, atentando-se ao que deveria variar. Eles
responderam que 4 era o primeiro termo e 3 era o número que somava de um número
para o seu sucessor na sequencia. Então, perguntei: “E na sequência (1,3,5,7 , …)
quem é o primeiro termo? E quanto soma de um número para o outro?” Eles 3 Adotamos, nesta pesquisa, os termos problemas/atividades e exercícios, de forma diferenciada, deixando este último apenas para o que entendemos não serem desafios para os alunos, mas um momento de fixação dos conceitos já trabalhados. Assim, os termos atividade ou problema são utilizados em momentos iniciais de aproximação dos conceitos.
43
responderam que na sequência (1,3,5,7 , … ) o primeiro termo era o 1 e que estava
somando de dois em dois. Repetindo o mesmo padrão, eles conseguiram chegar a
resposta correta sem dificuldade. Além disso, três grupos conseguiram chegar a
resposta correta sem pedir ajuda ou tirar quaisquer dúvidas.
Duval (2002) defende que os tratamentos não devem ser o foco principal,
porém eles auxiliam o processo de compreensão da fórmula, permitindo que os alunos
percebam o significado de cada termo que aparecerá na fórmula generalizada.
Posteriormente foi possível notar que alguns alunos ainda apresentavam dificuldade
nessa compreensão, mas no geral uma boa porcentagem dos alunos conseguiu realizar
a tarefa proposta, mostrando que alguma compreensão foi alcançada, mesmo sem ter
sido apresentada a formalização.
6.2.2. Formalizando o termo geral de uma PA
No início da aula seguinte formalizei o termo geral da PA. Levei o conteúdo
impresso, entreguei aos alunos e pedi que eles acompanhassem a leitura. Expliquei o
que era uma PA, dei exemplos na lousa de PA constante, crescente e decrescente
(utilizando as próprias sequências abordadas nas atividades anteriores). Expliquei
formas utilizadas para encontrarmos a razão e solicitei que, a partir do pensamento
utilizado no exercício de fixação da aula anterior, eles deveriam encontrar o 20º termo
da sequência (4,7,10,13 , … ) . A partir dessa atividade, deduzi a formula do termo geral
da PA, retomando o que fizemos juntos e generalizando para an.
Em seguida dei exemplos de como encontrar o 100º, 5º e 6º termos da
sequência (1000 ,900 , 800 ,700 , …) a pedido dos alunos, pois uma das alunas ainda
não havia entendido, e pediu mais exemplos. Além disso, falei que podíamos
representar uma PA de diversas maneiras, como por meio de números, de uma
fórmula, de desenhos (quadrados, bolinhas, etc) e também na forma gráfica.
Nesta mesma aula entreguei a atividade III e o primeiro item exigia que os
alunos classificassem quais sequências representavam uma PA. Em caso afirmativo
precisavam analisar se ela era crescente, decrescente ou constante e encontrar a sua
razão.
Embora eu tivesse comentado que esta seria uma possível forma de registro,
era a primeira vez que eu apresentava uma sequência representada na forma de
44
gráfico, por isso, eles não estavam compreendendo muito bem. Voltei então à lousa e
desenhei o gráfico:
Figura 16: Gráfico desenhado na lousaFonte: elaborado pela autora
Em seguida expliquei que o primeiro termo da sequência era o 1 e que
podíamos observar sua posição no eixo x e o valor do termo no eixo y. Dei exemplo
também da sequência (0, 2, 0, 2, ...) e perguntei a eles se era uma PA. Logo, eles
disseram que não e eu falei que eles estavam corretos, perguntei a eles o porquê e um
dos alunos respondeu que “uma hora era “somado” 2 e em seguida “subtraído” 2, e
ficava alternando”. Com isso feito, os alunos conseguiram finalizar o item 1 sem
dificuldade.
Quadro 10: Item 1 da atividade III1) Observe alguns exemplos de representação de uma sequência e responda: É uma Progressão Aritmética? Se sim, ela é crescente, decrescente ou constante? E qual é a sua razão?
a) b)
c) (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) d)
45
e) (-61,-52,-43,-34, ...) f) (√1, √1, √1, √1, ...)
g) h)
Fonte: elaborado pela autora
Note que na letra (b) houve um erro e os números decimais no eixo x deveriam
ser inteiros, pois representam a posição. Pedi para que os alunos corrigissem, mas
ainda assim a atividade ficou prejudicada, por isso resolvi desconsiderar as respostas
dos alunos. O gráfico correto deveria ser:
Figura 17: Gráfico corrigido do item 1 da atividade IIIFonte: elaborado pela autora
Na hora de corrigir a atividade notei que os alunos confundiram a razão quando
a PA é constante, pois muitos colocaram que a razão seria 1 ao invés de 0. Além disso,
alguns alunos não conseguiram notar que a sequência (e) era crescente, pois os
números eram negativos, mas estavam ficando cada vez mais próximos do zero.
Retomei esses conceitos quando corrigi a atividade na lousa.
Dos resultados temos que das 15 folhas de atividades que foram resolvidas em
duplas/trios, 9 acertaram ao falar que a sequência (e) era crescente, outros 5 erraram
46
ao afirmar que era decrescente e 1 disse que não era PA. Além disso, 7 acertaram que
a razão da sequência (f) era zero, 6 erraram por falarem que a razão era 1 e 2 disseram
que a sequência não era uma PA.
Na hora da socialização da atividade coloquei a função f ( x )=xna lousa e
esbocei o gráfico. Em seguida, coloquei o gráfico de uma PA. Falei aos alunos que
muitos haviam “ligado” os pontos do gráfico. Perguntei a eles se eu poderia ou não
ligar realmente os pontos e a resposta que obtive foi um “sim” coletivo. Logo, falei
que quando tínhamos o gráfico f ( x )=xo x podia assumir qualquer valor: -1, 1/3, 21/2,
etc e que deste modo o domínio era o conjunto dos números Reais (ou seja, x podia
assumir qualquer valor). Mas que quando olhávamos para o gráfico da PA
associávamos os termos a um valor. Ou seja, a1 seria o 1 no eixo x e assim
sucessivamente, e que não teríamos como ter a1/2 nem a−1, e por isso o domínio do
gráfico da PA era o conjunto dos números Naturais, logo por esse motivo não
podíamos “ligar os pontos”.
Novamente, identificar uma PA de formas diferentes das habituais é difícil
para eles, além disso na sequência (e) devido a não-congruência (DUVAL, 2003) o
custo cognitivo para que os alunos enxerguem a sequência como crescente é maior,
pois além da compreensão do que é uma PA eles tem que entender que -61 é menor
que -52, que é o inverso do que acontece nos números naturais. Por isso, tantos
grupos erraram afirmando que a PA era decrescente.
No item 2 os alunos tinham que ler e resolver o problema apresentado no Quadro
11.
Quadro 11: Item 2 da atividade III2) O computador de Marcela foi comprado em 1º de março de 2008 e sofreu depreciação de R$ 25,00 a cada mês. Sabendo que em 1º de março de 2010 esse computador foi avaliado em R$ 800,00, escreva o termo geral de uma PA que expresse seu valor a cada mês. Depois, determine o valor desse computador em 1º de julho de 2008.
Fonte: Extraído de São Paulo (2014)
Como nesse problema os alunos teriam que interpretar e fazer a conversão da
linguagem para linguagem algébrica, por isso algumas equipes tiveram muita
dificuldade. Orientei que eles vissem qual é a fórmula do termo geral da PA e se
conseguiam substituir as informações encontradas no texto na fórmula. Uma das
equipes conseguiu realizar essa tarefa com sucesso, sem pedir meu auxílio, enquanto
auxiliei outras equipes que tiveram muita dificuldade em interpretar os dados,
substituí-los na fórmula e encontrar o que estava sendo pedido no problema.
47
Além disso, orientei que os alunos resolvessem do seu próprio modo, sem
utilizar a fórmula, mas acredito que deveria ter reforçado essa informação, pois talvez
se não tivesse falado da fórmula num primeiro momento eles poderiam ter tomado
caminhos diferentes.
Ainda assim, nessa atividade ficou claro a enorme dificuldade em traduzir um
problema apresentado por meio da linguagem escrita para a linguagem algébrica,
principalmente porque o texto não possuía uma congruência semântica com a
expressão algébrica. Ou seja, os dados não foram sendo apresentados na sequência que
eles deveriam ocupar na fórmula. Importante ressaltar que Quando há congruência entre a representação de partida e a representação de chegada, a conversão é trivial e poderia quase ser considerada, intuitivamente, como um simples código. Quando não há congruência, não somente a conversão torna-se custosa em termos de tempo de tratamento, mas pode criar um problema diante do qual o sujeito se sente desarmado e a possibilidade de conversão não vem mais à mente. (DUVAL, 2012, p.283-284)
Notando a grande dificuldade dos alunos no item 2 fui à lousa e li o problema
junto com os alunos, organizando os dados na lousa. Eu perguntava, eles iam
respondendo e a partir da resposta deles fui substituindo os valores na fórmula do
termo geral da PA. Ainda assim, alguns alunos erraram as contas, mostrando que eles
não dominam as 4 operações, como já havia sido notado anteriormente.
Figura 18: Resolução correta dos alunos B. O. e A. S.Fonte: Produção dos alunos
Na figura 19 os alunos organizaram os dados do mesmo modo que eu fiz ao
resolver os outros itens na lousa. São alunos com dificuldades e por isso organizar os
dados dessa maneira contribui, mas note que mesmo assim eles têm dificuldade ao
substituir os dados na fórmula e o resultado que eles chegaram estava errado, pois eles
não se atentaram ao sinal.
48
Figura 19: Resolução com erro dos alunos B. S., F. S. e T. S.Fonte: Produção dos alunos
No item 3 os alunos tinham que resolver a questão apresentada no Quadro 11.
Tentei relacionar esse item com o primeiro da atividade II. Com isso, alguns alunos
conseguiram resolver e outros ainda estavam pensando como fariam para encontrar o
resultado utilizando o termo geral da PA, mostrando que os alunos estão acostumados
a mecanização do conteúdo. Ou seja, foi ensinado o termo geral da PA e eles
pensavam que tudo seria resolvido a partir dele.
Quadro 12: Item 3 da atividade III3) Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do Mundo e os Jogos Pan-americanos ocorrem de quatro em quatro anos. Se essas competições ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, respectivamente, e considerando que continuem a acontecer, segundo essa regra, por muito tempo, responda: Qual competição ocorrerá em 2118? E em 2079 e 2021?
Fonte: Extraído de São Paulo (2014)
Fica claro também que relacionar esse item com o resolvido anteriormente fez
com que eles compreendessem melhor, atribuindo a cada evento uma representação
figural. Por exemplo, nos anos da Copa do Mundo eles podiam associar a figura de um
quadrado, ao ano do Pan Americano eles poderiam associar ao círculo, e assim por
diante. Essa relação contribui com a atividade cognitiva do pensamento, como afirma
Duval (2012) Consideram-se, geralmente, as representações semióticas como um simples meio de exteriorização de representações mentais para fins de comunicação, quer dizer para torná-las visíveis ou acessíveis a outrem. Ora, este ponto de vista é enganoso. As representações não são somente necessárias para fins de comunicação, elas são igualmente essenciais à atividade cognitiva do pensamento (DUVAL, 2012, p. 269)
Expliquei aos alunos que percebessem com que frequência os jogos
aconteciam, e quando eles dividiam o ano que tinha algum dos eventos (Olimpíada,
Copa e Pan) qual resto ficava da divisão. Comecei a indagá-los, e os alunos foram
percebendo aos poucos o que teriam que realizar. Nesse momento eu contei com o
auxílio de mais 3 pibidianos em sala de aula, que ajudaram os alunos que também
tinham dúvidas e dificuldades. 49
Nas figuras a seguir são apresentadas algumas das respostas dos alunos, na
quais percebe-se que alguns deles se habituaram a justifica-las.
Figura 20: Resolução dos alunos F. S., J. C. e M. S.Fonte: Produção dos alunos
Figura 21: Resolução dos alunos B. S. e M. G.Fonte: Produção dos alunos
Figura 22: Resolução dos alunos C. B. e F. S.Fonte: Produção dos alunos
50
Note que a figura 22 apresenta erro ao efetuar a divisão, mostrando novamente
o pouco domínio das operações básicas que alguns alunos possuem. Como eles já
haviam realizado uma atividade na qual notaram que o resto seria importante para
determinar qual seria um termo na sequência, todos conseguiram realizar essa
atividade com menos dificuldade, percebendo que não fazia sentindo ter respostas das
divisões com números decimais.
No item quatro os alunos deveriam descobrir se a sequência dada pelo termo
geral an=2n−1 era uma PA e justificar a resposta. Percebi que os alunos tinham
dificuldade em enxergar a necessidade de substituir os valores de n e encontrar a
sequência dada. Logo, expliquei o que teriam que fazer. Ao final da aula apenas uma
aluna não tinha conseguido terminar o item quatro, mas todos os demais conseguiram.
Das 15 respostas das folhas de atividade, dois defenderam que a sequência
encontrada era uma PA, dois não fizeram e 11 argumentaram de forma correta que não
era uma PA e o porquê. Esse resultado positivo mostra que os alunos estavam
conseguindo definir o que era uma PA, e enxergá-la de diversas maneiras.
Figura 23: Resolução dos alunos L.P. e Y. L.Fonte: Produção dos alunos
Notei que alguns alunos tinham dúvidas sobre como encontrar a razão e como
encontrar uma sequência a partir do termo geral, então expliquei novamente na lousa e
propus alguns exercícios de fixação para que eles resolvessem no caderno.
Feito isso propus o seguinte desafio: Que os alunos somassem de 1 até 10. Um
aluno disse que era só usar a fórmula do termo geral, então eu expliquei que não
queria saber qual era o 10º termo (porque eu sabia que era 10), mas quanto valeria a
soma.
Sem muita demora eles realizaram a soma de 1 até 10 e chegaram no resultado
55. Então, propus que agora eles somassem de 1 até 100. Após as reclamações dos
alunos que seria muito trabalhoso, instiguei-os falando para encontrar padrões, se tinha
algo em comum, etc. 51
Alguns alunos falaram que a resposta seria 550 e outros falaram que seria 5500
(pois multiplicaram por 10 e por 100, respectivamente), então falei que o resultado não
seria esse.
Resolvi voltar na soma de 1 até 10. Fui à lousa e mostrei que ao somarmos o
primeiro número com o último a soma resultava em 11, e ao somar o segundo termo
com o penúltimo a soma também dava 11 e isso se repetia para todos os termos.
Então, chegamos juntos ao resultado de que seriam necessário 5 somas de 11 (ou 5 . 11
).
Perguntei aos alunos como ficaria na soma de 1 até 100. As respostas que
obtive foram: 5 .101, 50 .11 e por fim 50. 101=5050. Com isso feito, entreguei aos
alunos a folha com a história por trás da soma dos n primeiros termos de uma PA.
Quadro 13: formalização da soma dos n primeiros termos de uma PADe acordo com o que encontrou-se na História da Matemática, certo professor
pensou em uma atividade aritmética para a sua classe, que em sua mente, demandaria de muito tempo de trabalho pelos alunos, na sua resolução. Este professor então pediu a eles que fizessem a soma de todos os números naturais entre 1 e 100: 1+2+3...+98+99+100. Surpreendentemente, o menino Gauss (Johann Friederich Carl Gauss, nascido em Brunscwick, Alemanha em 30/04/1777), com apenas 6 anos de idade na época, conseguiu concluir tal atividade proposta em poucos minutos. Surpreso com a façanha do menino, o professor conferiu os cálculos e verificou que Gauss havia acertado a sua resposta, porém, o professor gastou boa parte do tempo da aula efetuando as somas para a certificação do resultado do garoto. O professor pediu a Gauss que explicasse como havia feito as operações de forma tão rápida. Prontamente o menino foi à lousa e mostrou a todos os presentes a sua ideia.
Gauss observou que, ao somar o primeiro número da sequência com o último, obtinha o resultado 101, e que, somando o segundo número com o penúltimo, o terceiro com o antepenúltimo, etc., também obtinha 101 como resultado, e assim sucessivamente. Cada número que iria se associar a outro na soma, está em posição oposta a ele, e a soma de todos esses pares de números dava sempre 101. Repetindo esse processo, Gauss explicou que o par central da soma sequencial seria 50 + 51 que também dava 101 e que a sequência então teria 50 pares de soma 101. Professor e colegas ficaram extasiados com tal observação. Não obstante, Gauss explicou que ao invés de somar os cem números da sequência, um a um, como os colegas estavam fazendo, ele transformou a soma num produto dos 50 pares de soma 101 e escreveu na lousa da seguinte maneira: 101 + 101 + ... + 101 = 50 x 101 = 5050.
Ao final, muito aplaudido pelos colegas e pelo professor, Gauss ficou muito feliz e orgulhoso. Mais tarde, Gauss conseguiu equacionar essa ideia de soma de sequências para quaisquer intervalos de números naturais. A fórmula encontrada por Gauss é dada por:
Sn= n(a1+an)
2 , que é a soma dos n primeiros termos de uma PA.
Fonte: adaptado de SOUZA (2011) e Iezzi et al (2013)
52
Solicitei aos alunos que acompanhassem a leitura e pedi que um colega de
classe lesse em voz alta, sendo substituído por outra aluna posteriormente. Todos os
alunos ficaram bem encantados com a história e a partir disso deduzi na lousa a
fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA. Associei a demonstração com o
exemplo anterior (soma de 1 até 100).
Alguns alunos não haviam entendido a parte em que afirmo que todos os
termos resultantes ficam iguais a (a1+an ¿ então expliquei novamente que se
somássemos o primeiro e o ultimo termo daria o mesmo resultado que somar o
segundo termo e o penúltimo, e assim sucessivamente, então poderia escrever todos os
termos como se fosse a soma do primeiro e último termo. Feito isso ouvi um “ahhh!”,
mostrando que agora eles haviam entendido e que fazia sentido a substituição feita por
mim.
Nesse momento do conteúdo optei por trabalhar com a História da Matemática,
que foi trabalhada nos livros didáticos analisados e que pode ser um agente motivador,
mas ainda assim como ressalta Miguel (1993) “[...] a história, podendo motivar, não
necessariamente motiva, e não motiva a todos igualmente e da mesma forma” (p. 69-
70).
Com esse tipo de abordagem optei por realizar tratamento, que segundo Duval
(2003) “tenta-se algumas vezes procurar o melhor registro de representação a ser
utilizado para que os alunos possam compreender” (p. 15), ou seja, tentando
generalizar o que havia sido feito para a soma de 1 até 100 para qualquer que fosse a
soma.
Passei alguns exercícios de fixação na lousa, sobre soma dos n primeiros
termos de uma PA, e as dúvidas começaram a surgir. O que aconteceu foi que os
alunos não sabiam qual fórmula deveriam utilizar, mostrando que ao introduzir uma
nova fórmula eles não conseguiam interpretar o que o exercício estava pedindo. O
auxílio dado aos alunos durante as aulas, por mim e pelos demais pibidianos, se tornou
fundamental para que eles pudessem ter uma aprendizagem mais significativa, por
terem com quem sanar suas dúvidas.
No meio da aula a professora Eliane (orientadora deste trabalho e professora de
Estágio Supervisionado IV) chegou para acompanhar uma das aulas. Ela notou a
dificuldade dos alunos em compreender o uso das fórmulas, então perguntou se podia
resolver um exercício na lousa sem ser pela fórmula e falei que sim.
53
Ela resolveu o primeiro exercício que pedia para encontrar o 31º termo da
sequência (5, 2, -1, ...) e explicou aos alunos que não era necessário usar a fórmula se
eles haviam entendido o que estava acontecendo. Ela resgatou o que foi feito quando
deduzi a fórmula do termo geral de uma PA, e os alunos reagiram positivamente
quando entenderam, participando da explicação e perguntando se podia resolver desse
modo na prova. Respondi que sim, desde que eles explicassem o que estava
acontecendo.
A professora Eliane sugeriu que eu trouxesse mais situações como essa, para
que eles compreendessem melhor a fórmula. Falei que tentaria fazer isso na próxima
aula, e ressaltei que eles estavam tendo dificuldade em qual fórmula usar porque até
agora eles trabalharam com uma fórmula só e quando acrescentei mais uma eles
acabaram fazendo confusão. Ela afirmou que é normal isso acontecer, por isso é
importante estar atento ao significado e não presos a fórmula. A aula seguinte era a
última antes da prova e por isso aproveitei para resgatar os conceitos, fazendo uma
breve retomada de todo o conteúdo.
Iniciei corrigindo os exercícios na lousa e reexpliquei como fazia para
encontrar o 31º termo sem usar a fórmula diretamente (como a professora Eliane tinha
feito na aula anterior). Deste modo, fui à lousa e mostrei novamente como
relacionávamos o índice do termo de uma PA para encontrar o termo geral. Além
disso, retomei o que era uma PA crescente, decrescente e constante, além de realizar
em conjunto a correção dos exercícios que haviam sido propostos na aula anterior.
Ficou claro, na hora de realizar os exercícios, que alguns alunos não haviam
entendido muito bem a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, por isso
tentei retomar a atividade em que eles tinham que somar de 1 até 100. Reescrevi na
lousa aquele esquema mostrando que os extremos correspondentes resultavam em 50
somas 101, e com isso tentei resgatar a fórmula. Notando a dificuldade de alguns
alunos em compreenderem o professor regente da turma falou para que eu continuasse
resolvendo os exercícios, que talvez ficasse mais claro para os alunos e foi o que eu
fiz.
Ao final, perguntei se eles tinham alguma dúvida ou se não tinham entendido
como chegar à fórmula da soma. Então, um dos alunos respondeu: entendemos sim.
Pedi que ele explicasse, e ele realmente explicou que precisávamos saber o primeiro e
ultimo termo, pois a soma dos outros (o segundo com o penúltimo e assim por diante)
54
seria igual, e sabendo a quantidade de números que queremos somar é só dividir por
dois, porque para somar 18 números isso resulta em 9 somas, por exemplo. Outros
alunos se manifestaram falando que haviam entendido também, e mesmo que não
tenha atingido 100% da turma, muitos se manifestaram positivamente quanto a
compreensão do conteúdo.
6.3. AVALIAÇÃO
Para analisar se os alunos haviam compreendido o conteúdo abordado, apliquei
uma prova no último dia da regência. Eles tinham 50 minutos para realizar a prova,
que foi elaborada por mim e revisada pelo professor regente da sala, que também
corrigiu todas as atividades elaboradas e desenvolvidas por mim junto a minha
orientadora.
Fiquei com receio da prova ser muita curta, muito longa, muito fácil ou muito
difícil, mas os colegas pibidianos que acompanharam as aulas me falaram que estava
coerente com o modo como trabalhei o conteúdo. A prova era composta por quatro
questões, sendo três delas com itens (a) e (b) e o tempo foi suficiente, pois todos os
alunos conseguiram entregar a prova dentro do prazo de 50 minutos. Ressaltei que não
era obrigatório o uso das fórmulas, mas que eles tinham que explicar como chegaram
aos resultados.
No quadro 13, é apresentada a primeira questão.
Quadro 14: Exercício 1 da prova realizada pelos alunos1) Em relação à Progressão Aritmética (10, 17, 24, …), determine:
a) o seu 15° termob) a soma a10 + a 20.
Fonte: elaborado pela autora
Com essa questão queria verificar se os alunos resolveriam pela fórmula ou
realizando a contagem, e ambos aconteceram. Muitos utilizaram corretamente o uso da
fórmula, mas erraram na hora de realizar as contas, mostrando novamente a
dificuldade em realizar contas com as operações básicas.
Alguns alunos também não utilizaram a fórmula correta na questão b. Ao invés
de encontrar o décimo e vigésimo termo e somá-los, os alunos utilizaram a fórmula da
soma, o que mostra uma má compreensão da fórmula.
Note que na figura 24 o aluno utiliza a fórmula sem dificuldade e consegue
chegar nos resultados corretos.
55
Figura 24: Resolução correta do aluno E. M.Fonte: Produção do aluno
Na figura 25 o aluno contou até chegar no 15º termo, mas não compreendeu o que
tinha que fazer para responder a letra (b).
Figura 25: Resolução do aluno J. B.Fonte: Produção do aluno
Na figura 26 o aluno não consegue responder corretamente a letra (b), pois
utiliza a fórmula da soma ao invés da fórmula do termo geral. Nota-se dificuldade em
compreender o que o exercício pede.
56
Figura 26: Resolução com erro no item b do aluno A. S.Fonte: Produção do aluno
Na figura 27 o aluno primeiro realiza a soma e depois a multiplicação na hora
de resolver, mas mesmo errando a operação e consequentemente o resultado, ele
substitui os valores corretamente na fórmula, mostrando que ele compreendeu o que o
exercício pedia.
Figura 27: Resolução com erros do aluno Y. L.
Fonte: Produção do aluno
57
No geral os alunos conseguiram responder corretamente o item 1, pois não era
necessário realizar a conversão (que é mais trabalhosa), mas sim mostrar se eles
tinham aprendido a resolver esse tipo de questão, pela fórmula ou não.
No exercício 2 esperava-se que os alunos conseguissem interpretar que os
dados na tabelas formavam uma PA de razão 4, e que após o desenvolvimento das
atividades em sala de aula eles conseguissem dar exemplos com outras formas de
representar esses dados.
Os alunos tiveram que resolver as seguintes questões:
Quadro 15: Exercício 2 da prova realizada pelos alunos2) Observe no quadro os preços cobrados por um cibercafé.
Tempo de uso (horas) Valor cobrado (R$)1 42 83 124 165 20... ...
a) Quanto será cobrado após 10 horas de uso de internet? b) Existe outra forma de representar os dados da tabela? Se sim, quais?
Fonte: Extraído de São Paulo (2014)
Todos os alunos conseguiram responder a questão 4, seja pela fórmula ou
contando um por um e houve poucos erros. Na figura 28 o aluno traz o registro através
da representação de uma sequência, como havia sido trabalho nas aulas.
Figura 28: Resolução do aluno A. M.Fonte: Produção do aluno
Na figura 29 o aluno faz um paralelo da PA com a tabuada do 4, o que mostra
que para esse aluno está claro os diferentes modos de enxergar um mesmo objeto
58
matemático. Ele conseguiu associar a PA com a tabuada, sendo que em nenhum
momento isso foi citado por mim ou por qualquer colega durante as aulas. Essa
semelhança conseguiu ser identificada após ele ter tido uma compreensão do que faz
um sequência ser uma PA e compreender que ela pode ser encontrada também na
tabuada do 4.
Figura 29: Resolução do aluno F. S.Fonte: Produção do aluno
Nas figuras 30, 31 e 32 os alunos respondem a letra (b) com tipos de
representação trabalhadas durante as aulas. Isso mostra que eles conseguiram
compreender que um objeto matemático não é representado apenas de uma única
maneira. Ainda assim, nem todos deram exemplos de que outras formas podemos
representar os dados da tabela, mostrando que as atividades não atingiram a todos da
mesma forma, e que ainda é necessário que se faça um trabalho contínuo com o uso
dos diferentes registros de representação semiótica.
Figura 30: Resolução do aluno H. A.Fonte: Produção do aluno
59
Figura 31: Resolução do aluno I. R.Fonte: Produção do aluno
Figura 32: Resolução do aluno J. B.Fonte: Produção do aluno
No exercício 3 os alunos tinham que ler o problema, interpretá-lo e resolvê-lo.
Se tratava da soma de n termos de uma PA, ou seja, os alunos tinham que realizar a
conversão (da linguagem escrita para a linguagem algébrica), o que Duval (2003)
afirma ser o mais importante.
Quadro 16: Exercício 3 da prova realizada pelos alunos3) Um técnico recebeu a tarefa de organizar todos os documentos de um departamento em apenas uma semana. Se ele começou no domingo organizando 15, na segunda-feira 23 e assim por diante, no mesmo ritmo, até terminar. Quantos documentos ele organizou no total da semana?
Fonte: Extraído de Souza (2011)
Os alunos tiveram dificuldade em entender que precisavam somar todos os
documentos que foram organizados em cada dia, mas a maioria encontrou apenas
quantos documentos organizou no sétimo dia.
60
Figura 33: Resolução do aluno B. S.Fonte: Produção do aluno
Figura 34: Resolução do aluno H. A.Fonte: Produção do aluno
Note que na figura 35 o aluno L tentou realizar a soma usando o raciocínio que
foi utilizado para demonstrar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA,
porém não foi bem sucedido pois não conseguiu enxergar que deveria multiplicar 110
por 3,5 (que é a metade de 7). Com isso, não chegou no resultado certo, mas sua
resolução mostra que ele tentou resolver o problema através do tratamento que foi
realizado durante as aulas.
Figura 35: Resolução do aluno L. P.61
Fonte: Produção do alunoO custo cognitivo para interpretar e solucionar o problema é muito mais alto do
que pedir para que os alunos somem os 7 primeiros termos de uma PA de razão 8,
sendo que o primeiro termo é 15. Duval (2012) afirma que “Não existe e não pode
existir regras de conversão como existe regras de conformidade e regras de
tratamento.” (p. 273). Por isso, as conversões são tão importantes e precisam ser
trabalhadas.
Por fim, no último exercício os alunos tinham que identificar se a sequência
dada era uma PA. Muitos alunos se confundiram nessa questão, pois ao invés de
contarem o número de palitos (como estava no enunciado e eu reforcei em sala de
aula) eles contaram a quantidade de quadradinhos. Com isso, muitos alunos não
chegaram a resposta correta, por também terem encontrado uma razão diferente da que
de fato era, mas fica claro que mesmo contando os quadradinhos e não os palitos, o
raciocínio estava correto, evidenciando mais uma vez que eles haviam compreendido
o que fazia com que uma sequência fosse uma PA.
Quadro 17: Exercício 4 da prova realizada pelos alunos4) Nesta figura, cada quadradinho é formado por quatro palitos de comprimentos iguais.
a) A sequência formada pelas quantidades de palitos necessários para a construção das figuras resulta em uma PA? Se sim, justifique o porquê, diga qual é a razão e se é uma PA crescente, decrescente ou constante. b) Quantos palitos serão necessários para a construção da sexta figura? E da sétima figura?
Fonte: Adaptado de São Paulo (2014)
Note que na figura 38 o aluno E. M. conseguiu explicar o porquê a sequência
era uma PA, mas não fica claro a utilização do raciocínio explicado por ele para
encontrar a sexta e sétima figura da sequência como fez o aluno A. M. na figura 37.
62
Figura 36: Resolução correta do aluno Y. L.Fonte: Produção do aluno
Figura 37: Resolução com erros do aluno A. M.Fonte: Produção do aluno
Figura 38: Resolução do aluno E. M.Fonte: Produção do aluno
63
Os resultados dos alunos na prova foram muito satisfatórios, pois dos 31 alunos
que realizaram a prova apenas 3 não atingiram média. Levei em consideração que os
alunos utilizassem a fórmula do modo correto, mesmo errando as operações. Além
disso, considerei as justificativas escritas, nas quais eles explicavam o raciocínio sem
necessariamente utilizar fórmulas.
Ao final da sequência de atividades e da avaliação, fica claro que os alunos
possuem maior dificuldade em realizar as conversões e a compreender as questões que
não possuem congruência semântica, pois o custo cognitivo é mais alto, como afirma
Duval (2003).
Importante perceber que De fato, o ensino de matemática é em geral organizado como se a coordenação de diferentes registros de representações introduzidas ou utilizadas fossem efetuadas rapidamente e espontaneamente, como se os problemas e custos ligados a não congruência não existissem. (DUVAL, 2012, p. 284)
Trabalhar com diversos registros demanda tempo e é necessário um trabalho
contínuo, pois não é fácil para os alunos começarem a enxergar os objetos
matemáticos por meio de diferentes registros de representação.
64
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Um dos objetivos da pesquisa era o de analisar dois livros didáticos de diferentes
coleções, contempladas no Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) de 2015, para verificar
quais RRS têm sido privilegiados nas atividades propostas ao abordarem o conteúdo de
Sequências e Progressões. Com a análise pôde-se notar que o registro que ainda é privilegiado
nas coleções é a linguagem algébrica, mas algumas contextualizações utilizadas pelos autores
utilizam diferentes registros, e o professor pode partir daí para fazer com que o aluno
enxergue o assunto abordado de diferentes maneiras.
No desenvolvimento das atividades pôde-se notar que os alunos se apropriam dos
registros, transferindo as experiências que tiveram em outros contextos para resolver uma
atividade havia sido proposta (como eles fizeram ao resgatar o que aprenderam com a torre de
Hanói e ao realizar a avaliação).
Ao final do trabalho pude confirmar a importância do aluno enxergar um objeto
matemático de diversas maneiras, pois isso pode contribuir na compreensão e resolução de
problemas, ajudando no desenvolvimento do raciocínio lógico matemático.
A turma na qual o plano de aula foi desenvolvido possuía alguns alunos que não se
envolviam muito durante as aulas do professor regente, mas destaco que durante o
desenvolvimento do plano de aula os alunos participaram das atividades, realizando o que foi
solicitado. Como toda metodologia, o plano de aula não atingiu todos os alunos, mas apenas 3
alunos não realizaram as atividades propostas. Deste modo, foi possível realizar a análise dos
resultados a partir da produção deles.
Identificar uma PA de formar diferentes não foi uma tarefa fácil para os alunos, pois
eles não estão habituados a situações como essa, mas ao analisar a avaliação pôde-se notar
que os alunos conseguiram soltar suas amarras e conseguir identificar a PA em diferentes
situações, através de diversos registros. As questões que exigiam conversões e não-
congruência tiveram mais erros, o que mostra como o professor deve compreender esses
processos, pois elas possuem um custo cognitivo maior para o aluno, pois não há regras a
serem ensinadas nesses cassos.
A partir da compreensão dessas questões podemos procurar compreender as suas
dificuldades para intervir e buscar melhores resultados. Somente a experiência com o trânsito 65
fará com que os alunos tenham uma visão mais ampla do objeto matemático estudado, e isso
demanda tempo e um trabalho contínuo.
Além disso, mesmo que os tratamentos não devam ser o foco principal, eles podem
auxiliar no processo de compreensão do conteúdo, por isso os professores também devem
utilizá-lo.
É importante destacar a contribuição que o Pibid Matemática teve na minha formação
e na realização desse trabalho, possibilitando que eu planejasse e regesse as aulas dessa
pesquisa com mais confiança e segurança por ter tido essa vivência durante praticamente toda
a graduação.
Finalizo essa pesquisa com a certeza de que trabalhar com diferentes registros é
importante, enriquecedor e ainda pode ser mais uma motivação durante as aulas, pois os
alunos se envolveram nas atividades propostas, atingindo o objetivo principal dessa pesquisa.
66
REFERÊNCIAS
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC, 1999a.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de educação Básica. Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação. Guia de livros didáticos: PNLD 2015. Matemática: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEB, 2014.
CARLINI, Elisângela Miranda Pereira; CAVALARI, Mariana Feiteiro. A história da Matemática em livros didáticos de matemática do Ensino Médio. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2017.
DA SILVA, Ezequiel Theodoro. Livro didático: do ritual de passagem à ultrapassagem. Em aberto, v. 16, n. 69, 2008.
DÍAZ, Omar Rolando Turra. A atualidade do livro didático como recurso curricular. Tradução: Maria Susley Pereira. Linhas Críticas, Brasília: DF, v. 17, n. 34, p. 609-626, set/dez 2011. Disponível em: <http://periodicos.unb.br/index.php/linhascriticas/article/view/6248/5121>. Acesso em: 15 fev. 2018.
DUVAL, Raymond. Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. (Org.). Aprendizagem em Matemática: Registros de representação semiótica. Campinas, SP: Editora Papirus, 2003.
DUVAL, Raymond. Semiósis e pensamento humano: registro semiótico e aprendizagens intelectuais (Sémiosis et Pensée Humaine: Registres Sémiotiques et Apprentissages Intellectuels). Tradução de Lênio Fernandes Levy e Marisa Rosâni Abreu da Silveira. São Paulo: Editora Livraria da Física, fascículo I, 2009.
DUVAL, Raymond. Registros de representação semiótica e funcionamento cognitivo do pensamento. Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Tradução Méricles Thadeu Moretti. Revemat: Revista Eletrônica de Educação Matemática, v. 7, n. 2, p. 266-297, 2012.
FARIAS, Jean Dias. Inter-relação entre progressão aritmética e função: uma nova visão para o Ensino Médio. 2015. Dissertação (Mestrado), Universidade Federal do Paraná. 2015.
67
FIORENTINI, Dario et al. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no Ensino da Matemática. Boletim da SBEM-SP, v. 4, n. 7, 1990.
FIORENTINI, Dario; LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática percursos teóricos e metodológicos. Autores Associados, 2006.
FOSSA, John Andrew. Matemática, história e compreensão. Revista Cocar, Belém, v. 2, n. 4, p. 7-16, 2008. Disponível em <http://paginas.uepa.br/seer/index.php/cocar/article/view/77>. Acesso em: 4 mar. 2016.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. Editora Saraia, v. 1, 2013.
MACHADO, Silvia Dias Alcântara. Aprendizagem em matemática. Papirus Editora, 2008.
MANTOVANI, Haroldo. Atividades sobre progressões aritméticas através do reconhecimento de padrões. 2015.
MARTINS, David Pinto. Sequências, Progressões e Séries: Uma abordagem para o Ensino Médio. 2013. 112 f. Dissertação (Mestrado), Universidade Federal da Bahia. 2013.
MIGUEL, Antonio. Três estudos sobre história e educação matemática. 1993. 346 f. Tese (Doutorado em Educação)-Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1993.
MORETTI, Méricles Thadeu. O papel dos registros de representação na aprendizagem de matemática. Revista Contrapontos, v. 2, n. 3, p. 343-362, 2002.
QUINA, Caio Moura. Sequências e séries: uma proposta duvaliana para a educação básica. 2015. Tese de Doutorado. Universidade de São Paulo.
ROMANATTO, Mauro Carlos. O livro didático: alcances e limites. Encontro paulista de matemática, v. 7, 2004.
SÃO PAULO. Governo do Estado de São Paulo. Caderno do Aluno, Ensino Médio 1º ano. Volume I. Matemática. São Paulo: 2014.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática. São Paulo: FTD, v. 2, 2011.
68
APÊNDICE A
Plano de aula: Sequências e Progressões
Introdução
As sequências e progressões estão presentes em diversas áreas do cotidiano e ao ensiná-las
muitas vezes os professores não propiciam ao aluno uma visão do que elas realmente são,
produzindo apenas uma visão fragmentada, a partir de fórmulas e algoritmos. Esse plano de
aula tem o objetivo de fazer com que os alunos aprendam sobre o conteúdo de sequências e
progressões de forma mais completa, através do trânsito entre diversos registros de
representação semiótica (RRS).
A teoria dos RRS tem como precursor o filósofo e psicólogo de formação Raymon
Duval e estuda como o trânsito entre diversos registros contribui para que a aprendizagem
matemática ocorra de forma mais significativa.
Segundo Duval (1999),
As representações diferentes de um mesmo objeto, não têm evidentemente o mesmo conteúdo. Cada conteúdo é comandado por um sistema pelo qual a representação foi produzida. Daí a conseqüência de que cada representação não apresenta as mesmas propriedades ou as mesmas caraterísticas do objeto. Nenhum sistema de representação pode produzir uma representação cujo conteúdo seja completo e adequado ao objeto representado. (p. 18).
Por isso é tão importante transitar entre diversos registros, em vez de optar por um
deles de forma isolada. Dessa forma, esse plano de aula apresenta uma abordagem que
transita entre diversos registros buscando propiciar uma aprendizagem mais significativa aos
alunos.
69
1. Ano: 1º ano do Ensino Médio.
2. Conteúdo: Sequências, Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.
3. Recursos didáticos: Lousa, giz, folha de atividades impressa.
4. Previsão do Número de Aulas: 12 aulas de 50 minutos.
5. Objetivo Geral: Promover o trânsito entre diferentes registros de representação semiótica ao
ensinar o conteúdo de sequências e progressões.
6. Objetivos específicos:
- Perceber o que é uma sequência e uma sequência numérica;
- Identificar regularidades em sequências;
- Conceituar e identificar uma Progressão Aritmética (PA);
- Expressar e calcular o termo geral de uma PA e a soma dos seus termos;
- Conceituar e identificar uma Progressão Geométrica (PG);
- Expressar e calcular o termo geral de uma PG e a soma dos seus termos.
7. Procedimento Didático: O conteúdo será iniciado pelo estudo de diversas sequências, em
seguida serão abordadas como casos especiais de sequências as progressões Aritméticas (PA)
e as Progressões Geométricas (PG). Os alunos entregarão folhas de atividades ao final de cada
aula, as quais servirão como instrumentos de avaliação da aprendizagem.
SEQUÊNCIAS
Primeiramente perguntar aos alunos: o que vocês entendem por sequência?
70
Após a resposta dos alunos dizer que em Matemática os termos de uma sequência são
representados por uma letra e um índice. Por exemplo, primeiro termo da sequência pode ser
representado por a1, o segundo termo por a2 e assim sucessivamente. Em seguida, entregar a
atividade a seguir para que eles façam.
Atividade I
1) Observem as sequências a seguir e escrevam mais três termos, seguindo o mesmo padrão observado por vocês.
a) 0, 0, 0, 0, 0, __, __, __.
b) _____ _____ _____
c) 50, 51, 5², 5³, 54, ___, ___.___,
d) 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, ___, ___, ___.
e) √1 ,√4, √9 ,√16 ,√25 ,√36 ,√4 9 ,___, ___, ___.
f) 1, -2, -3, -4, -5, -6, ___, ___, ___.
g) 1, 5, 25, 125, 625, ___, ___, ___.
h) 0,1 ; 0,01 ; 0,001; ___, ___, ___,
i)
j)
k)
l) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, __, __, __.
m) 1², 2², 3², 4², 5², __, __, __.
n) 1
10 , 1
100 , 1
1000 , ___, ___, ___.
71
2) No exercício anterior há sequências iguais? Se sim, quais? Justifique.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_____________________________________________________________
3) Atribui-se ao matemático grego Hipsicles (240 a.C.-170 a.C.) uma regra para criar uma nova sequência numérica a partir de outra. O método consiste em tomar uma sequência numérica (por exemplo 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) e criar outra em que cada termo seja igual à soma dos anteriores. Isto é:
Pela regra de Hipsicles, a sequência (1, 2, 3, 4, ...) gerou a sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...).
Aplique a regra de Hipsicles e encontre os oito primeiros termos de duas novas sequências
numéricas geradas a partir da sequência (1, 3, 6, 10, 15, 21, ...).
4) Observe a sequência de figuras.
Construa uma fórmula que possa ser utilizada para determinar um termo qualquer dessa
sequência. Para auxiliá-lo nessa tarefa, a tabela a seguir organiza os dados, a fim de que as
regularidades sejam mais facilmente observadas, elemento necessário à construção da
fórmula:
72
Teria outra maneira de representar a sequência encontrada?
A partir do resultado das atividades formalizar o conteúdo, mostrando que para
obtenção dos termos de uma sequência normalmente os elementos de um sequência são
determinados por meio do termo geral da sequência ou por recorrência.
O termo geral determina o valor de cada termo an da sequência em função da posição n
que ele ocupa.
Exemplo: Quando o termo geral an=2n-3, com n∈N.
n=1: a1 = 2 . 1 – 3 = -1
n=2: a2 = 2 . 2 – 3 = 1
n=3: a3 = 2 . 3 – 3 = 3
n=4: a4 = 2 . 4 – 3 = 5
Além disso, para que duas sequências sejam iguais, além de possuírem os mesmo
termos, elas devem estar em uma mesma ordem.
Sabendo como se obtêm os elementos de uma sequência os alunos resolverão as atividades a
seguir:
Atividade II
1) Observe a sequência de figuras:
73
Supondo que a lei de formação continue a mesma, desenhe as figuras que deverão ocupar as
posições 38ª e 149ª nessa sequência. Justifique sua resposta.
2) Observe as linhas completas da tabela e complete as que estiverem em branco:
Adição Descrição
1 + 3 = 4 = 2² A soma dos dois primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 2.
1 + 3 + 5 = 9 = 3²
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
A soma dos cinco primeiros números ímpares é igual ao quadrado de 5.
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2 . n-1 = n²
3) Determinar o 20º termo da sequência: (4, 7, 10, 13, ...).
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
A partir do item 3 serão socializados os resultados em conjunto com a turma, e a partir
daí formalizaremos o conteúdo falando que a sequência encontrada é uma Progressão
Aritmética (PA), que é toda sequência numérica em que a partir do 2º termo, a diferença entre
um termo e seu antecessor é igual a uma constante, chamada razão de progressão, indicada
por r.
Logo,
Se r=0 a PA é constante.
74
Se r>0 a PA é crescente
Se r<0 a PA é decrescente.
Além disso, será comentado sobre como o gráfico da PA se apresenta, tendo uma
relação com a função afim, mas ressaltar que não devemos “ligar os pontos”, como fazíamos
na função afim, pois agora estamos no conjunto dos números naturais, e não mais dos reais.
Sabendo como fazemos para encontrar a razão de uma PA e identificando se ela é crescente,
decrescente ou constante os alunos resolverão a atividade IV, a seguir:
Atividade III
1) Observe alguns exemplos de representação de uma sequência e responda: É uma Progressão Aritmética? Se sim, ela é crescente, decrescente ou constante? E qual é a sua razão?
a) b)
c) (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...) d)
e) (-61,-52,-43,-34, ...) f) (√1, √1, √1, √1, ...)
2) O computador de Marcela foi comprado em 1º de março de 2008 e sofreu depreciação de R$ 25,00 a cada mês. Sabendo que em 1º de março de 2010 esse computador foi avaliado em R$ 800,00, escreva o termo geral de uma PA que expresse seu valor a cada mês. Depois,
75
determine o valor desse computador em 1º de julho de 2008.
3) Sabe-se que as Olimpíadas, a Copa do Mundo e os Jogos Pan-americanos ocorrem de quatro em quatro anos. Se essas competições ocorreram nos anos de 2004, 2006 e 2007, respectivamente, e considerando que continuem a acontecer, segundo essa regra, por muito tempo, responda:
Qual competição ocorrerá em 2118? E em 2079 e 2017?
4) Sabendo que a lei de recorrência é an = 2n-1 responda:
a) Qual é a sequência encontrada? b) Ela é uma PA? Justifique.
Ao abordar a soma dos n termos de uma PA será pedido que os alunos realizem a
seguinte atividade:
Atividade IV
1) Somar de 1 até 10. Caso encontrem uma maneira mais prática para somar de 1 a 10, sem
ser somando termo a termo, explique.
2) Desafio: somar de 1 até 100.
Após a socialização dos resultados encontrados pelos alunos trazer o método de soma
utilizado por Gauss ainda em sua infância. A saber:
De acordo com o que encontrou-se na História da Matemática, certo professor pensou
em uma atividade aritmética para a sua classe, que em sua mente, demandaria de muito tempo
de trabalho pelos alunos,na sua resolução. Este professor então pediu a eles que fizessem a
soma de todos os números naturais entre 1 e 100: 1+2+3...+98+99+100. Surpreendentemente,
o menino Gauss (Johann Friederich Carl Gauss, nascido em Brunscwick, Alemanha em
30/04/1777), com apenas 6 anos de idade na época, conseguiu concluir tal atividade proposta
em poucos minutos. Surpreso com a façanha do menino, o professor conferiu os cálculos e
verificou que Gauss havia acertado a sua resposta, porém, o professor gastou boa parte do 76
tempo da aula efetuando as somas para a certificação do resultado do garoto. Ainda em sua
mesa, o professor pediu a Gauss que explicasse como havia feito as operações de forma tão
rápida. Prontamente o menino foi à lousa e mostrou a todos os presentes a sua ideia.
Gauss observou que, ao somar o primeiro número da sequência com o último, obtinha
o resultado 101, e que, somando o segundo número com o penúltimo, o terceiro com o
antepenúltimo, etc., também obtinha 101 como resultado, e assim sucessivamente.
Cada número que iria se associar a outro na soma, está em posição oposta a ele, e a
soma de todos esses pares de números dava sempre 101. Repetindo esse processo, Gauss
explicou que o par central da soma sequencial seria 50 + 51 que também dava 101e que a
sequência então teria 50 pares de soma 101. Professor e colegas ficaram extasiados com tal
observação.
Não obstante, Gauss explicou que ao invés de somar os cem números da sequência,
um a um, como os colegas estavam fazendo, ele transformou a soma num produto dos 50
pares de soma 101 e escreveu na lousa da seguinte maneira:
101 + 101 + 101 + ... + 101 = 50 x 101 = 5050.
(50 somas de valor 101)
Ao final, muito aplaudido pelos colegas e pelo professor, Gauss ficou muito feliz e
orgulhoso, dizendo ainda: “Nossa, mas isso era tão óbvio!”. Mais tarde, Gauss conseguiu
equacionar essa ideia de soma de sequências para quaisquer intervalos de números naturais.
A partir daí será deduzida a fórmula dos n primeiros termos de uma PA: Sn=n¿¿
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Para introduzir o conteúdo de Progressão Geométrica (PG) será proposta a seguinte
atividade:
Atividade VI
1) Observe as 5 primeiras figuras de uma sequência infinita e suas respectivas posições.
Cada figura é formada por quadradinhos.
77
a) Como fica a próxima figura dessa sequência?
b) Organize a quantidade de número de quadradinhos em cada posição em uma tabela.
c) A partir dos dados da tabela, construa um gráfico.
d) Como podemos expressar, algebricamente, a quantidade de quadradinhos da figura
dessa sequência que ocupa a posição p?
e) Relacione graficamente a posição e a quantidade de quadradinhos de cada figura da
sequência. O que você observa, comparando com os gráficos que fizemos no estudo
de PA?
2) Na Antiguidade, era muito comum associar adivinhações a problemas matemáticos. Veja
este exemplo:
“Quando ia a Bagdá
Encontrei um homem com 7 mulheres
Cada mulher tinha 7 sacos
Cada saco, 7 gatos
Cada gato, 7 gatinhos.
Gatinhos, gatos, sacos e mulheres
Quantos iam a Bagdá?”
Escreva uma sequência com os elementos da charada e responda: qual é o padrão
encontrado?
3) Olhe para as progressões geométricas, explique o que está acontecendo e a represente
graficamente.
a) -3, 3, -3, 3, -3, ...
b) 10, 10, 10, 10, 10, ...
c) 10; 0,1; 0,01; ...
78
d) 2, 4, 8, 16, ...
Depois da socialização dos resultados será dito que a sequência encontrada por eles é
uma PG, que é toda sequência numérica em que, a partir do 2º termo, o quociente entre um
termo e seu antecessor é igual a uma constante, chamada razão da progressão e indicada por
q. Logo,
Se q=1 a PG é constante.
Se q>1 e a1>0 ou 0<q<1 e a1<0, então a PG é crescente.
Se q>1 e a1<0 ou 0<q<1 e a1>0, então a PG é decrescente.
Se q<0, então a PG é alternante.
Além disso, os alunos serão questionados se o gráfico da PG lembra algum outro tipo
de gráfico já estudado por eles, e depois disso será abordado que não devemos “ligar os
pontos” como fazíamos na função exponencial devido a diferença de domínio (que já
explicamos ao estudarem a PA).
Para formalizar o termo geral de uma PG os alunos deverão realizar a atividade VII:
Atividade VII
1) Suponha que a população de uma cidade tenha uma taxa de crescimento constante e igual a
20% ao ano. No fim do ano 2007, a população era de 50 mil habitantes.
a) Calcule a população da cidade ao fim de cada um dos quatro anos seguintes e escreva os
resultados obtidos em forma de sequência.
b) A sequência obtida é uma PG? Em caso afirmativo, qual é a razão?
c) Encontre uma fórmula que permita calcular a população dessa cidade daqui a n anos,
contados a partir de 2007.
2) Determine a razão da PG de cinco termos, tal que a1 + a5 = 500,5.
3) Observe a representação gráfica das progressões geométricas (a1, a2, ... , an, ...) e (b1, b2, ... ,
bn, ...) e responda:
79
a) Qual PG cresce mais rapidamente?
b) A partir de qual posição an> bn?
Em seguida haverá uma nova socialização dos resultados e a formalização o termo
geral de uma PG, deduzindo a fórmula que é dada por: an = a1 . qn-1
Para abordarmos a soma dos n primeiros termos de uma PG o seguinte problema será
proposto aos alunos:
Atividade VIII
1) Eduardo recebeu um e-mail dizendo “Ganhe dinheiro fácil”, com a seguinte proposta: ele
deveria ser vendedor de uma empresa e recrutar 10 novos vendedores (1º nível), sendo que
cada um desses recrutaria mais 10 vendedores (2º nível), e assim sucessivamente. Ao atingir
o 10º nível, Eduardo ganharia uma grande quantia em dinheiro. Sabendo que cada vendedor
pode ser recrutado uma única vez e que a população mundial é menor que 7 bilhões, é
possível que Eduardo ganhe esse dinheiro?
Em seguida deduziremos a fórmula: Sn = a1¿¿.
Para abordarmos a soma dos termos de uma PG infinita será proposto o seguinte
problema:
Atividade IX
1) O quadrado maior tem lado medindo 1 metro e está dividido internamente em retângulos
e quadrados menores. Observe a figura e responda:
80
a) Quanto vale a área vermelha em relação à área do quadrado maior?
b) Quanto vale a área amarela em relação à área do quadrado maior?
c) Quanto vale a área laranja em relação à área do quadrado maior?
d) E as áreas azul e roxa em relação à área do quadrado maior?
e) Com isso, responda: qual a área total do quadrado?
f) Forme uma sequência com estas áreas.
g) Que tipo de sequência é essa?
h) E qual a razão dessa sequência?
i) Como você calcularia a soma dos termos dessa sequência?
Após a atividade formalizaremos, fazendo-os notar que q = 12 e -1<
12 <1.
Assim, 12 +
14 +
18 + ... =
a1
1−q =
12
1−12
=
1212
= 1.
Logo, podemos dizer que a medida que n cresce indefinidamente, an aproxima-se de 0,
ou seja, tende a 0.
Então, limn → ∞ ( 1
2 )n−1
= 0 , com n∈N.
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8. Forma de avaliação: Através da produção verificada nas folhas de atividades entregue
pelos alunos e de uma avaliação final.
Referências do Plano
Governo do Estado de São Paulo. Caderno do Aluno, Ensino Médio 1º ano. Volume I. Matemática. São Paulo: 2014.
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. Editora Saraia, v. 1, 2013.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar matemática. São Paulo: FTD, v. 2, 2011.
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