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E L E M E N T O S F I N I T O S T A Y L O R I A N O S

Ihor Dionísio Kotchergenko

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÕS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA NEIRO COMO PARTE DOS Rt:JQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CitNCIA (M.Sc.)

Aprovado por:

RIO DE JANEIRO - BRASIL

JANE IRO DE 19 76

AGRADECIMENTOS

Ao professor FERNANDO VENÂNCIO FILHO, pioneiro da análise

matricial de estruturas a quem devo a iniciação nesta ci~ncia há qtii~

ze anos, pela orientação dada a este trabalho.

Ao professor FERNANDO LOBO CARNEIRO, pelo estímulo

que eu, já nao tão jovem, enfrentasse o curso de mestrado.

A direção da Companhia Paranaense de Energia Elétrica

COPEL por me franquear o uso de seu computador.

para

SUMÁRIO

f apresentado um modelo matemático o qual faz emprego das -

séries de Taylor para representar o campo de deslocamentos.

Neste modelo as funções de interpolação, para um domínio na

periferia da origem da expansão em série, são definidas em função de

alguns pontos na periferia da referida origem.

A forma do elemento é de livre escolha, permitindo acompa­

nhar contornos curvilíneos.

O elemento apresenta boas características de acompanhamento

do encurvamento do campo dos deslocamentos e demonstra melhores quali

dades de convergência que os modelos que empregam outras séries poli­

nomiais.

ABSTRACT

A finite element model wnich makes use of the Taylor series

to represent the displacement field, is presented.

This way the interpolation functions for a domain in the p~

riphery of the origin of the expansion in series are defined in res­

pect to some points in the periphery of that origin.

The form of the element can be chosen freely, permiting to

easily fallow curvilinear boundaries.

The element present good characteristics to attend curvatu­

res of the field of displacements and show beter convergence characte

ristics when compared with other polynomial series representation.

- 1 -

INTRODUÇÃO

A maioria dos modelos matemáticos de elementos finitos faz

emprego de funções de interpolação para definir o campo de desloca­mentos dos pontos materiais do domínio de cada elemento. Necessaria

mente estes campos de deslocamentos nao representam uma solução do

problema do continuum no domínio do elemento, para as condições de

contorno resultantes para este elemento, vis.to nao satisfazerem as

equaçoes diferenciais que regem o fenômeno. No caso particular do

continuum elástico, estes campos de deslocamentos apresentam a defi

ciência de imporem excessivo trabalho de cizalhamento em razão de

não apresentarem boas propriedades para acompanhar encurvamentos do

campo dos deslocamentos.

O modelo matemático de elemento finito ora apresentado faz

uso das séries de Taylor para representar o campo de deslocamentos -

no domínio dos elementos. Sendo os parâmetros desse desenvolvimento

polinomial, derivadas do campo de deslocamentos, elimina-se alguns destes parâmetros pela aplicação das equações diferenciais que regem

o fenômeno de deformação do continuum. A nova série assim obtida pa~ sa a ser formada exclusivamente por parâmetros de deformações gener~ lizadas independentes. Esta série pode portanto representar soluções daquelas equações diferenciais, no ponto de origem da. expansao em se rie. Por meio destas séries pode-se calcular de forma aproximada os deslocamentos de pontos da periferia da referida origem. Limitando se a um numero de pontos da periferia igual ao número de parâmetros de deformações generalizadas independentes, para qualquer conjunto

de deslocamentos destes pontos existe um e somente um conjunto de p~ râmetros que o satisfaz. Desta forma ficam definidos os polinomios de interpolação dos deslocamentos, referidos aos pontos da periferia

acima citados.

Algumas propriedades do modelo acima sao: a) A forma do elemento é de livre escolha, sendo limitada,

apenas por questões de precisão e facilidade dos cálcu-

los numéricos. A curva entre dois pontos nodais conti

- 2 -

guos pode ser qualquer, desde que integrável, permitindo

acompanhar facilmente contornos curvilíneos. b) Apresentam boas características para atender a deforma

ções de encurvamento dos elementos pois que dentre os p~ râmetros da expansão estão incluídas as derivadas segu_g

das, e até de ordem superior, dos campos de deslocamentos.

c) O campo de deslocamentos satisfaz, na origem da expansao, as equaçoes diferenciais que regem o f·enômeno, garantindo

desta forma a convergência da solução para uma solução e

xata, quando o tamanho dos elementos tende a zero, d) O elemento satisfaz as condições de completidade, isto e:

o campo de deslocamentos inclui os modos de deformação

correspondentes ao movimento do corpo rígido bem como e

xiste um conjunto de modos de deformação capaz de prod~

zir uma distensão constante em virtude de estarem prese_g

tes na expansao polinomial todos os termos de primeiro

grau, e) O modelo é geometricamente linear, de modo que, existindo

linearidade física, o sistema é conservativo. Em outras -palavras: uma sequência de modos de deformação que resul­

te num deslocamento de corpo rígido do elemento, resulta

num trabalho nulo neste elemento. f) Os elementos não apresentam continuidade dos deslocamento

nas fronteiras comuns. Todavia seus campos de deformação sao de tal forma definidos que um razoável encaixe é con seguido entre os elementos deformados,

A seguir é apresentado um elemento tayloriano no qual se em

prega as equaçoes de equilíbrio homogêneas de Lamé de modo que o campo de deslocamentos resultante no domínio do.elemento é compatf

vel com condições de solicitação por forças puramente nodais, Como o campo de deslocamentos não é uma solução das equações de Lamé no

domínio do elemento mas tão somente no ponto de origem da expansao de Taylor, nenhum conflito existe em se calcular as forças nodais

consistêntes às forças de massa, empregando-se o Princípio da Ener

gia Potencial Mínima com os polinomios de interpolação obtidos.

- 3 -

O ELEMENTO TAYLORIANO

O campo de deslocamentos num sub-domínio do domínio do

problema, é aproximado por uma série de Taylor com origem num po~

to arbitrário, de preferência interior ao sub-domínio citado. Pa

ra facilitar a inteligência do assunto, a formulação se fará aco~

panhada de uma aplicação à teoria da elasticidade plana. Seja po~

tanto x=O e y=O a origem acima referida; o campo de deslocamentos

poderá ser expandido pelas séries de Taylor.

x2 v2 u=u 0 +u x+u y+u ~-2-+u xy+u __L__2 + ...

X y XX xy yy (1)

x2 v2 v=v 0 +v x+v y+v ~-2-+v xy+v __L__2 + ...

X y XX xy yy

sendo as derivadas ux' e y=O e num sistema de

u, u , etc ... , calculadas na origem x=O y xy coordenadas cartezianas local do elemento.

Alguns dos parâmetros das expansões acima nao sao inde

pendentes por estarem relacionados pelas equaçoes diferenciais

que regem o fenômeno no continuum contemplado. No caso em foco,

sao as equaçoes de Lamé que devem ser satisfeitas.

onde v

do por

u +u +(~À-+l)(u +v )=O XX yy µ XX XY

v +v +(~À-+l)(u +v )=U XX yy µ xy yy

Destas equações pode-se tirar por exemplo:

-v =2(1-v)u +(l-2v)u xy XX yy -u =2(1-v)v +(l-2v)v xy yy XX

À 2(À+µ)

(2)

O campo de deslocamentos ficaria, portanto, represent~ (3)

. 2

u=u +u x+u y+u -2__2 -[2(1-v)v +(1-Zv)v ]xy+u --2:'..:_+ ... O X y XX yy XX yy 2

x2 v2 v=v +v x+v y+v ~-2--[2(1-v)u +(1-Zv)u ]xy+v __L__2 + ...

O X y XX XX yy yy

- 4 -

Limitando a expansao de Taylor as derivadas de segunda

ordem, pode-se obter a seguinte relação entre os deslocamentos ab

solutos de cinco pontos nodais e os parâmetros da expansão, referi

dos ao sistema de coordenadas local:

1 xf Y1 o o o PX1Y1 qx,y, Uo u, X1 Y1 -2- -2-

V1 o o o qx1Y1 px,y, 1 x, Y1 A_ Y1 Ux 2 -2-

. x2 y~ o o o U2 l X2 Y2 ~ PX2Y2 qX2Y2 Uy 2 -2-

x2 ..LL V2 o o o qx2Y2 PX2Y2 1 X2 Y2 __ 2_

uxx 2 2

U3 1 X3 Y3 X~ y~ o o o px3y3 qx3y3 Uyy = -2- -2- (4)

V3 o o o qx3y3 px3y3 1 X3 Y3 X~ y~ Vo -2- -2-

u, 1 x, Y4 X~ y~ o o o px4y4 qx,y4 Vx -2- -2-

v, o o o qx4y4 px4y4 1 X4 Y, X~ y~ Vy -2- -2-

Uo 1 o o o o o o o o o Vxx

Vo o o o o o 1 o o o o Vyy

onde p=-(1-Zv) e q=-2 (1-v) (5)

O ponto nodal coincidente com a origem do sistema de co -

ordenadas local e que sofre o deslocamento (uo , Vo) e, de preferê~

eia tomado no interior do elemento e os pontos restantes no seu con

torno (fig.l).

.2 ,1

o

~

o

?' 3 fie 1

- 5 -

Seguindo a notação utilizada em Ili a equaçao (4)será es crita da seguinte forma:

(6)

{etmE} é, portanto, um conjunto de parâmetros de deformações gener~

lizadas independentes incluindo deslocamentos de corpo rígido.

Para o campo de extensões

Ux l

Yxyj

Vy

uy+vx obtém-se de (1), por de.rivação

Ux

Uy

uxx &x 1 o X y o o o o o o Uxy ( 7) &y o o o o o o 1 o X y Uyy

Yxy o 1 o X y 1 o X y o VX

Vy

Vxx\ Vxy

Vyyj

ou em notação compacta

(8)

Tem-se ainda

(9)

- 6 -

onde:

o 1 o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o o o o o o o o p q

[Tda] = o o o o o o o o o o (10)

o o o o o o 1 o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o o o o 1 o o o o q p o o o o o o o o o o o o o o 1

de modo que, pela ( 8) , o campo de extensões e dado em função dos

parãmetros de deformação independentes por

Para o problema da elasticidade plana isótropa e linear

as relações tensões- extensões sao:

sendo para o estado plano de tensões

1

V

V

1

o o

O O 1-v 2

e para o estado plano de extensões

E (l+v) (1-Zv)

1-v

V

o

V

1-v

o

o o

1-Zv -z-

(12)

( 13)

(14)

onde v e o coeficiente de Poisson e E o módulo de elasticidade.

- 7 -

GRANDEZAS NA BASE NATURAL

Aplicando o princípio das deformações virtuais a j-ésima

deformação generalizada independente ªmEj tem-se

ãmEj PmEj=J{qE}3{a}dV

\

onde - indica grandeza virtual;

(15)

PmEj a força generalizada corresponde à deformação generalizada

ªmEj; {&E}j = o campo de extensões correspondentes ã deformação genera

lizada ªmEj; {a} = o campo de tensões existente por ocasião da deformação vir

tual;

V = volume do elemento.

Existindo n deformações generalizadas independentes, tem

-se n equações lineares da forma da equação (15), podendo-se, por

tanto, constituir o seguinte sistema de equações: . ÍêimEJ {PmE}=Jv[&E]T{a}dv (16)

onderêimEJ é uma matriz diagonal das deformações generalizadas Vir tuais e [&E] uma matriz que se poderia também obter de (11) atra

vés da seguinte operação:

e 1 7)

e na qual a j-ésima coluna é o campo de extensões referida a base

cartesiana local, correspondente à j~ésima deformação generalizada.

Substituindo (17) em (16) e tendo em conta

[Tda] T não são funções do ponto, tem-se

rêimd {PmE}=ÍêimEJ [Tda]TJV[TEd]T{a}dV

donde . {PmE}=[TdaJTJV[TEcLlT{a}dV

(18)

- 8.-

A equaçao (18) define uma força generalizada,referida ao

sistema de coordenadas cartezianas local e tal que o produto esca

lar

mede o trabalho realizado pela deformação generalizada {amE} refe

rida ao mesmo sistema de referencia.

Substituindo a (11) na (12) tem-se

(19)

e substituindo esta na (18)

ou

( 21)

onde

( 2 2)

e a matriz de rigidez generalizada natural do elemento, e

{PmEo}=[Tda]TJV[TEd]T[ToE]{&o}dV (23)

é a força generalizada inicial referida ao sistema de coordenadas

cartezianas local.

FORÇAS NODAIS

Resolvendo (6) para {amE}

{amE} =[Toa] -1

{ ºmE} (24)

A relação entre as forças generalizadas e as forças nodais {qmE},

todas referidas ao sistema de coordenadas local, incluindo as for

ças nodais dependentes (vinculação estática), pode ser obtida pelo

princípio dos deslocamentos virtuais. Para cada deslocamento vir

tual ÕmEj, obtém-se um conjunto correspondente de variáveis de de

formação generalizada {ãmEj}. Pela (24) pode-se formar o sistema

- 9 -

(25)

Aplicando, então, o princípio dos deslocamentos virtu-

ais, vem (26)

De (25), obtém-se

-- ] T f- j -1 T LamE = ºmE C [Toa] )

que, substituída em (26), fornece

{ [ --1 T

qmE}=( ToaJ ) {PmE} e 2 7)

que sao as forças nodais procuradas.

MATRIZ DE RIGIDEZ NA BASE NODAL

A matriz de rigidez do elemento, referida à base dos de~

locamentos nodais, que será abaixo definida, é inconsistente por

causa da vinculação estática das forças nodais correspondentes.

Substituindo (24) em (19), tem-se

( 2 8)

Substituindo (27) e (28) em (18), tem-se

[ToaJT {qmE}= [Tda]T f v(TE:d]T [ToE:J [TE:d] dV[Tda] [Toa]-1

{omE}+

-[ToaJTJv[TE:d] T[ToE] {&o }dV

donde se obtém

{ qmE} = ( [To a] T) -1

[T da] T f V [TE d] T [To E] [TE d] dV [T da] [To a] -1

{ o mE} +

-([Tc5a]T)-1 [Tda]Tfv[TEd]T[ToE]{&o}dV (29)

ou, em notação compacta

(30)

- 10 -

onde

[KoJ=C[Tda] [Toa]-1

)Tfv[TE:d]T[TcrE:J [TE:d]dV[Tda] [Toa]-! (31)

e a matriz de rigidez do elemento referida à base dos deslocamen

tos nodais {omE} orientados segundo o sistema de coordenadas carte

zianas local.

{P0} é o vetor das forças nodais iniciais.

{qmE:} as forças nodais definidas anteriormente.

CARGAS NODAIS CONSISTENTES

As cargas de massa {X}T={X Y} e as cargas superficiais

{f}T={fx Ty} são transformadas em cargas nodais consistentes com

o auxílio do Princípio da Energia Potencial Mínima.

A energia potencial é dada por 121

v)-JV(Xu+Yv)dv-JS (Txu+Tyv)dS 1

1

(32)

onde S 1 é a parte da superfície do corpo onde as cargas sao dadas.

dU(u, v) é a densidade de energia elástica e as duas Últimas inte

grais representam o trabalho realizado pelas forças de massa e p~

las cargas superficiais especificadas.

A equação (3) será escrita na seguinte forma:

(3 3)

e considerando a (24), os ~eslocamentos dos pontos do continuum vi

rão dados em função dos deslocamentos nodais, por

(34)

A densidade de energia elástica e escrita matricialmente

como: (35)

Substituindo a (24) na (11) tem-se o campo de extensões

em função dos deslocamentos nodais

(36)

- 11 -

Substituindo as (36) e (28) na (35), a (32) sera escrita

matricialmente, da seguinte forma:

1 T . - 1 Tf T -1 Il=z{omE} ([Tda] [Toaj ) V[TEd] ( [TaEJ [TEd} [Tda] [Toa] {omE}+

Tf [ J [ - I T - TI [ ] l- J -1 T --[TaE] {&o}) dV-{omE}. e $ Toa] ) {X}dV-{omE} (_$ _ _Toa ) {T}dSI V S1

O Princípio da Energia Potencial Mínima, da

onde as matrizes do primeiro membro sao as definidas em (31), (6)

e (29), e

sao as cargas nodais consistentes.

SISTEMA DE REFERJ:lNCIA GLOBAL

Para montagem dos elementos 131, assunto que nao sera a

bordado em detalhes neste trabalho por não implicar em nenhuma ino

vação, as forças nodais e os deslocamentos nodais de cada elemento

sao referidos a um sistema de referência global.

Empregando uma simples matriz de transformação de coorde

nadas cartezianas [Te], tem-se para o vetor das forças nodais gl2_

bais de um elemento

(39)

e para o vetor dos deslocamentos nodais globais

A matriz [rc] e ortogonal, isto e:

-1 T [T cJ = [T c 1 ( 41)

Para possibilitar uma ampla intercambiabilidade de tipos

de elementos na mesma montagem, é conveniente obter-se a matriz de

rigidez e o vetpr das forças de cada elemento em seu _sistema de co

- 12 -

ordenadas naturais e somente por ocasiao da montagem referi-los ao

sistema de coordenadas cartezianas global. Aplicando -(40) em (24),

vem

onde

[ 1 ·[ ] - r 1· ] T ~E-;' Toa.. _T C .

e a matriz de montagem des deslocamentos

( 2 7) , vem

( 4 2)

( 4 3)

nodais. Aplicando (39) em

( 44)

d [ ] T · d d d . sen o, portanto, ªmE: a matriz e montagem e forças no ais.

SISTEMA DE COORDENADAS LOCAL PRINCIPAL

Admitindo-se a matriz constitutiva ITcrEI constante no dQ_

mínio de cada elemento, as integrações que aparecem nas expressões

da matriz de rigidez (22) e (31), reduzem-se, para o caso da elas

ticidade plana, aos primeiro e segundo momentos da figura geométri

ca do elemento. Elegendo um sistema de coordenadas tal que a base

(1, x, y) seja ortogonal no domínio do elemento, ter-se-á

(45)

ficando os elementos da matriz de rigidez formada apenas pelos prQ_ dutos dos momentos de inércia da figura geométrica do elemento,por

elementos da matriz constitutiva.

CÁLCULO DAS TENSOES

A resolução do sistema de equaçoes no sistema de coorde

nadas global, fornece os deslocamentos nodais nesta base. Transfor

mados estes deslocamentos para o sistema de coordenadas local uti

lizado em cada elemento, obtém-se {omE}. Pelas equações (28)são ob tidos os campos de tensões no elemento referidos ao sistema de co

ordenadas local. Note-se que a matriz [TEd] é uma matriz função li near de ponto, resultando, portanto, campos de tensões dados por

funções lineares.

- 13 -

ELEMENTOS TAYLORIANOS DE ORDEM SUPERIOR

Dados os campos de deslocamentos u(x, y) e v(x, y) fica determinada a rotação do ponto (x, y) pela fórmula:

Existe, todavia, uma infinidade de campos capazes de sa

tisfazerem deslocamentos dos pontos nodais especificados, resultan

do para cada campo rotações diferentes destes pontos.

Poderemos, pois, expandir as séries de Taylor de modo a

"amarrar" também estas rotações, as quais passarão então a consti

tuir condições de compatibilidade adicionais.

Expandindo os deslocamentos em série de Taylor, até os termos de terceiro grau tem-se

x' u y2v+u xv2+u v' u; . . . + u --+ ----"-'------L _;;:;_,__ -L-xxx 6 xx_y 6 xyy 6 yyy 6 e 4 1)

Como sera demonstrado abaixo, alguns parâmetros da expa~ sao acima apresentam dependência em relação aos restantes

Tome-se as equaçoes gerais da elasticidade plana [4]

µ(u +u )+p+µ)(u +v )+X;pü (48) XX yy XX XY

µ(v +v )+(À+µ)(u +v .)+Y;pv (49) XX yy xy yy

Derivando a primeira em relação a y e a segunda em rela

çao a x e, em seguida, subtraindo a primeira da segunda, resulta:

- 14 -

ou em notação compacta

(50)

Se o corpo nao está sujeito a aceleração angular e o cam

pode forças F e irrotacional, tem-se:

devendo, portanto, o campo das rotações ser uma função harmônica.

Derivando agora a equação (48) em relação a x e a (49)

em relação a y, somando os resultados, e supondo que as forças de

inercia sejam nulas e que as cargas sejam distribuídas uniformemen

te, isto e

ax aY ax = ay = 0 ·

obtem-se a chamada condição de M. Lévy 141

v2 e = o (52)

onde é a dilatação.

Limitando-se aos elementos finitos com distenções axiais

lineares tem-se:

u =O XXX

e V =O yyy (5 3)

o que satisfaz a equação (52).

soes

ma:

T xy

Finalmente limitando-se aos elementos com o campo de ten

linear, tem-se:

(u +v ) =O y X XX (u +v ) =O y X yy

(54)

As equações (51) e (54) reunidas formam o seguinte siste

- 15 -

v -u ;-v +u xyy yyy xxx yxx

u +v ;Q yxx XXX

u +v ;Q yyy xyy

dos quais resulta que

vxyy; uyxx

V ;-U XXX yxx

( 5 5)

As expansões (47) apresentarão então apenas quatro novos

parãmetros, digamos

vxxx' uxyy' vxxy e

apresentando então a seguinte forma:

u; ... -v x62Y+u -22:'...:.6, +u L xxx xyy yyy 6

Como w=-.!_(v -u) e lembrando que sao constantes os par~ 2 X y

metros da expansão, tem-se (veja eq. 1)

2 2 w;icv +v .x+v .y+v _2S__+v -2Y-u __y_)+

2 X XX xy XXX 2 xxy 3 yyy 6

x 2 xv v 2

-icu +u .x+u .y-v ~-+u ----'.:L.+u -'-) 2 y xy yy XXX 6 xyy 3 yyy 2

(56)

Após as substituições

v ;qu +pu xy XX yy

uxy;q vyy+p vxx

- 16 -

tem-se

w=f{v -u +[v (1-p)-qv Jx-[u (1-p)-qu lY+ X y XX yy YY XX_

+v zx2+v .252'..-u .252'..-u l2'..2} xxx 3 xxy 3 xyy 3 yyy 3

A equaçao (4) aumentada de modo a relacionar as rota

çoes de quatro pontos nodais (nenhum coincidente com a origem)

com os quatro novos parâmetros, fica:

xt yt 2 2 yl Ir )

Ui 1 x, y, o o o px,y, qx,y, _!12'..1 ~l o 2 2 6 6 6 uo

xt yt .!S_ i 2 2 v, o o o qx,y, px,y, 1 x, Y1 o !12'..l -~' "Z 2 6 6 6 ux

w, o o 1 _qy, (l-fl)}'1 o l o (l-f')X1 -~' xt -~' ~l _yt -2 2 2 2 2 3 j 6 6 3

u y

U2 u XX

V2 u yy

W2 repete-se mudando os Índices VO

...... U3 V __,

X

V3 V y

W3 vxx

u vyy y

V vxxx y

w u y xyy

u 1 o o o o o o o o o o o o o V o xxy

V t o ~ o o o o 1 o o o o o o o o u

t yyy

- 18 -

A rotação da origem . - está definida por w ;f(v -u) Ja O X y

A matriz {TE d} ficará

1 o X y o o o o o o _ _!9'. }'._ 2 o o 3 6

o o o o o o 1 o o o x2 _.!9'. (59) X y 6 3 2

Y.2 o 1 o 1 o o X .!9'. .!9'. X y X y 3 3 3 3

devendo o vetor {omE} mostrado em (7) ser aumentado dos compone~

tes vxxx' V xxy

e

Os campos de tensões serão então dados por funções qu~

dráticas das coordenadas locais (x,y)

Este fato aplicado à tensão, contraria xy

contida nas expressões (54). Os cálculos numéricos

a hipótese

todavia mos

tram que esta condição é satisfeita.

Os passos seguintes são idênticos aos descritos para o

elemento tayloriano de segunda ordem. Convém apenas notar que as

forças nodais associadas às rotações serão momentos aplicados aos

nos.

PROGRAMA TESTE

Foi elaborado um programa para computador, em linguagem

FORTRAN, estritamente com o fim de testar o modelo matemático ac1

O programa adota apenas o elemento de segunda or ma apresentado.

dem. O elemento de ordem superior foi concebido após a

do programa. Os resultados surpreenderam pela precisão

elaboração

alcançada

tanto em termos de deformações com de tensões. O elemento de se

gunda ordem, por conter desenvolvimentos do campo dos deslocamen

tos até derivados de segunda ordem, apresenta encurvamento cons

tante em cada uma das direções dos eixos de coordenadas locais.

- 19 -

Devido a isto obtem-se distribuição linear de cada tensão apenas

na direção normal

buido linearmente

ao plano das tensões normais,

segundo o eixo y (tal como na

ou seja o distri X

flexão de vigas)

e ºy distribuido linearmente na direção do eixo x. A tensão de ci

zalhamento apresenta-se praticamente constante no elemento. Foi

este fato que levou o autor a estudar elementos de ordem superior.

Utilizou-se o teste da viga em balanço, mostrado na

fig. 2 e que já havia sido empregado para comparar as qualidades

de convergência de diversos modelos de elementos finitos ISI. A

comparação com o elemento retangular tradicional, com oito graus

de liberdade, mostra a grande superioridade do elemento ora apr~

sentado. Enquanto o elemento retangular simples apresenta, numa

discretização de 42 graus de liberdade, uma precisão de 88,8% o

elemento tayloriano nas mesmas condições alcança a precisão de

98,2% no deslocamento da extremidade da viga em balanço. Para uma

discretização de 70 graus de liberdade, o elemento tayloriano a

presenta uma precisão de praticamente 100%.

de distenções sao dados Para este elemento,

pelas expressoes (7), logo os

os campos

campos de tensões são calculadospor

E Ev ºx=~(u +u .x+u .y)+~1 2 (v +v .x+v .y) -V X XX yy -V y XY yy

1 Ev Oy=~1 2 (vy+v .x+v .y)+~1 2 (u +u .x+u .y) -v xy yy -V X XX xy (60)

T E(l-v) 2 (1 2 )(u +v +u .x+u .y+v .x+v .y) -v y X xy yy XX xy

sendo as derivadas, valores constantes calculados na origem do

sistema de coordenadas local.

Para o elemento número 5 da fig. 2, obteve-se:

- 20 -

u 2,55 X

uy -6,13

uxx -0,0302

uxy -1,57

u -0,147 yy

vx = 6,44

V -0,568 y

vxx 1,58

vxy 0,137

vyy 0,385

·-

,

• , ,_ o/

,

X

·-, "Z 1

Substituindo estes valores na (60) resulta, com E=l e V = 0,2

a = 2,539 - 0,00294x - l,556y (61) X

Pela teoria da flexão simples, tem-se:

M - 1(9-x) (1,5 y) a = I y = -X I

ou a =

X 2,531 - 0,2813x - 1, 6 8 Sy + 0,1875xy

Para o plano vertical passando pelo centro do elemento tem

-se x=O e

ªx = 2,531 - l,688y (6 2)

- 21 -

.que comparada com a dada pela (61) indica bom grau de precisão.N~

te-se que parte do erro pode ainda ser atribuída à teoria da fle

xão simples, visto que é alto o grau de precisão alcançado para

os deslocamentos.

,.., COMPARAÇAO DE RESULTADOS PARA DIVERSOS TIPOS

DE ELEMENTOS

V"

o(

PLANOS

h

o< Ehv p

v=0,2

120 ..--------------..------------.......

/ /

80 l-----------1'-----+---------------1

70 .__ __ __,_ _ __J.____.______._____._......_..__.'-'-___ _.___..L..__,_......_..__..__._ ......... 10 ,ri- 101

Grous de Liberdade C RETÁNGI.R..O

. .Õ "TRIÂNGULO

o • +

RETÂNGULO TRIÂNGULO TRIÂNGULD ...

SOLUÇAO

TAYLORIANO DE SEGUNDA ORDEM DE EXTENSÃO CONSTANTE

POLINOMIAL DE PRIMEIRA ORDEM DE EXTENSÃO. LINEAR

DE EXTENSÃO QUADRÁTICA EXATA

BIBLIOGRAFIA

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John Wiley & Sons, 1973.

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Me Graw-Hill Book Co., 1956.

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versity of Southampton, 1970.

õN IV 360N-F0-479 3-8 t'AINPGM DATE 05/06/75 TIME

1 '

DIMENSION X(25(H,Y(250l,NELC2íHl,51,THl20(ll,XE(5.,2l, * SE( 10, 10 l ,NA{ 50), Pl(3 l ,P( 500) ,S ( 5()0.,601 ,.C(6) .,IA(50,3.J

CCMMCN JD,KD DEFINE FILE 1(250,100,U,KDI DEFINE FILE 8(250, 10,U,JDI

L 1= l L2=3

C LARGURA DA BANDA CONFCRME Ol~ENSICN OE S LB=6U

REAO(Ll,lOO)NN,NE,NNCP,NGLN,NNPE,IG,NEPL,NEPC,~PU,R,H 100 FORl'ATISl5,2Fl0.1J

WR ITEI L2, 200) 200 FORMAT(// 1 NN NE NNOP ~GLN NNPE IG NEPL NEPC NPU LAOC A

* LADO e•,//1 WRITEIL2,100)NN,NE,~~CP,NGLN,NNPE,IG,~EPL,NEPC,NPU,R,H

300 FORMAT(//,' C COR D EN A O AS D C S N C s•,//l 400 FORMAT( 15,2Fl0,2J 500 FORMAT(//,' INCIDENCIAS DCS ELEME~TCS',//1

50 REAC(Ll,400) 11,Xlll,Ylll,J=l,NNI WRITEIL2,300) WRITE(L2,400)11,X1Il,Y(11,I=l,NN) WR ITEIL2, 500) CG 60 I=l,NE R E A D ( L 1 , 600 ) 1 , 1 N E l ( I , J 1 , J = 1 , N N P E l , T H ( 1 1

600 FORMATCél5,Fl0.2l 60 WRITE(l2,éOOlI,INEL(I,Jl,J=l,NNPEl,TH(ll 70 WR IT E ( L 2,700 l

00 80 I=l,NNDP READCLl,800) NA(ll,IIA(I,Jl,J=l,NGLN)

70D FORMAT(//,' CE F I NICA G OE A PC I C S',//1 80 WRITE(L2,800)NA!Il,IIA(l,Jl,J=l,NGLNJ

800 FORMA TI 715 l C DJMAX CONFORME CJMENSJC~ DE SE P

C!MAX=500 NN2=t'\~*í\GLN IFCOIMAX-NN2l2100,104,104

104 CD 105 I=l,NN2 P ( I l =O • DC 10: J=l,LB

Hl 5 S C I ., J l =O • JBf'AX=O REAC(Ll.lOOlNNC,NCO ff,(NNCl95.<f5, 90

90 W R 1T E ( l 2, 900 l 900 FORMATl//, 1 CARGAS N e S N e S1 ,//)

DC 92 I=l,NNC REAC(Ll.10001 K,(Pl(L>,L=l,NGLNl

1000 FORMATII5,4Fl0,2) WRITE(L2,1000l K, (Pl(Ll ,L=l,/\GL~) DO 91 l=l,NGLN IE=NGLN*(K-l>+L

91 P(JBl=Pllll 92 CONTINUE 95 CONTINUE

WRJTEIL2,1100l 1100 FORMAT!//,' PROPRIECACE CCS ELEf'E~TCS',/l

CALL CGNSTIC,Ll,L2,Tl,EEl KC=l

22.24.01

0001 0001

0003 0004

OOOi

003(

;,fPA-D-ACONVER.SAo-·oo-CADASTR"O co-N5-U-tiCJDm:fE-ç·.,;, "F"ATÜRAMENto· E$"PftIAC COPEl --. ------·

r-T-NOVA-bi:MANDA- - LI:! T. "KwH- "L;- KVARH --- -coNSUMO-KWH- - -,;;-~--CDN5TA"NTES;,;-;..· CARG INATJV. r-n:o:--CALC.·- ANT.- AT. ANr.-···Ar;--- Rl:AL- FATUR: -KwH--r<W-KVAl<R"TNST

:-623000 00059 OooõO - ll44-f3l8-lT51-1229 0001134()00"'7134 00040 00080 00040 ·0090-· * E:NE-t,,"ÇMARQUES otco-11 ___ *_ ---- •. -MEOICAõ=Bf-POf:KVA=0075-KT=O'i41r"K ----------~----• r ••

tmo 3~ llnfl'!"~-1w1"ll-1"443-1B11·-~ s23·- mn 331 s-im 133 is- 1ffl1'!3N 0006ff"lm"lf3!Jl)~4ç· .--BEL.A VI STA EN-EAS MARQUES * - -*- .. MfbICAb=B·t POT .KVA=0045 "Kf=M:3.ll-K

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1 ·r. IV 360N-F0-479 3-8

DG 170 KJ=l,NE WRITEIL2,1500)KJ FORMATllHl,' ELEM DO 102 I=l,NNPE

MA!NPGM DATE

1500

102

J=NEU KJ ,,I l XE( I,ll=X(J) XE!I,2l=Y(Jl

JD = KJ . WRITH8'J03XE

• ' I ; l

CALL SAU(XE,C,TU,SE,Ll,L2,KJJ DO 140 L=l,NNPE DO 140 K=l,NNPE DG 140 J=l,NGLN Jl=NGLN*INEL(KJ,Ll-ll+J JE=NGLN*(L-U+J DC 140 l=l,NGLN IB=NGLN~(NELIKJ,Kl-11+1 1 E=NGLN* ( K-1) + l JE=Jl-IB+l 1F(JB1l40,140,ll0

110 IF(JB-JBMAXll30,130,120 120 JBMAX=JB

IF(LB-JBMAX)2000,130,130 130 Sl!B,JBl=S(IB,JBl+SEIIE,JEl 140 CCNTINUE 170 CONTINUE

DG 250 l=l,NNCP DO 250 J=l,NGLN l F ( 1 A ( l, J l l 250,210,250

210 I B=NGLN* 1 NA ( 11-1 l +J DO 220 KJ=2,JBMAX

220 SIIB,KJl=O. DO 240 KAREN=l,18 Jl=IB-KAREN+l IFIJL-JBMAXl230,23U,24U

230 SIKAREN,JLl=O, 240 CONTINUE

SI IB, ll=l. P ( 1 B l =O ,

250 CONTINUE CALL Sll831S,P,NN2,J8MAX) WR!TE( L2,12001

1200 FORMAT(lOX,' DESLOCAMENTOS NCOAIS',/0 WR !TE( L2, 1300 l

1300 FORMATllX,' NO X Y',/1 WRITEIL2,1400)11,P(2*1-ll,Pl2*Il,l=l,NNI

1400 FGRMAT(2X,13,2El0.3,/l WRITE(L2,150ll

1501 FORMATI 48H ELEMENTO SIGMA-X SIG~A-Y C CALCULO DAS TENSOES

CD 270 KJ=l,NE 00 260 I=l,NNPE J=NELC KJ, I)

XE(I,ll=X{Jl 260 XE(I,21=Y(Jl

CALL STRES1P,KJ,NEL,C,~NPE,~GLN,XE,L21 270 CONTINUE

CALL EX!T

05/06/75 T IM E 22.24.01

SIGMA-XV l

-------- ·----- ---- ----------

MAPA DA CDNVERSAODOCADASTR-D CONSUMIDORES - FATURAMENTO ESPECIAL COPEL

AT NOVA DEMANDA - L-EI r-: KWH -- L. KVARH CONSUMO KWH - ---=CONS°tANTES--- CARG 1~1'--'N-A~T-=-1-'--v.CC..-M-E"-'o"'.-'-'-'-c-"A'-'-L-'-cC-. - AN~ AT • ANT • AT. REAL FATUR-. - KWH KW K IÍ!\RHINST-

~~~- -- -- --- - - -· ---- ---- ---·- ---- - --

16 23'ml) 00031 O(••'lt,"} 0991 1039 9556 9523 fl'\'11968 i'l"ll[H968 0"1040 l'.lf\1'!81'1 fJOft40 0082 •

1 ____ * __ Ac_.:V_SAN}"_~ CA_TARINA 24 º-._912_•!• . _ _ *- MFDICAO=BT _POT .KVA=0075 KT=0040 K

16 23000 OOOÓOOOÕ37 1oõÇ if31 -1132 1°260- -(H)03818!Hl04626 0003l:l-Mllll_n-00031)-01f4T' * ESTRADA _BB.Q. _J_B_ JE_5lJS_ * _ ~- MED~CAO=BT POT.KVA=004~_KT-=0030 K

00. Ol'l 2 _e; ótj~lJ'i_I DQ_P. E s::- ------ -------------

- -· ----- - - - --------------- ---- -- --

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-------- -·· -· ··---- -----------1

N IV 360N-F0-479 3-8 MAINPGM DATE 05/06/75 TIME

2000 WR!TEIL2,2200lLB,JBMAX 2200 FCR1"AT(//,5X,• l·ARGURA DA BAI\OA II\SUFIC!El\TE,•,1ox, 1 LB= 1,,I3,

*'JBMAX=', I3l CALL EX 11

2100 WRITE(L2,2300)0IMAX,/\N2 2 300 F DR MA T ( / / , 5 X , ' D I ME/\ S I O N I /\ 5 L F ! C I ENTE ' , Hl X , ' L B = ' , 13 , ' /\ N 2 = ' ,

*13) CALL EX IT, E 1\0

22.24.01

------ --- --~·----

í1T-NOVA--DEMliNDA ___ LEtT~ KWA --l~ KVAPH--CON"SDM(JKWH- - -..;;....;:;:ccomTANTEs=-- -CAP( lNAT rv-. - .Ml:IY.-CA LC. ·aNT. AT~ ANi .-Ar. PE1."[ -FA TUR;---:,{l,fl1 -KW--i< VfiRRTJ\1ST

0002ê<ffl"õijfj -1318-1405 - Of96024T ·mrn-1n-,;~7y34·no1JBO"lJ008gljOOZílJ fflf6T ------r--oPEDRO "TI --- .- ----- -- *- Mt'-DfCAO="Bi-PoT;KVA=Oõ1S-Ki=Ol'l41>-~

16 23000 0001s 00000 0623 0641 01·13·-õ1e·3- -oco1torooo1101 0001,o-001201rcHrw-'lT54-s * SALGADOF.ILHO-ÜfACARA 94 * * MEOICAO=BT ·poT.KV1í=lH12 kT=~-~

· 00046 00000 - 0451 os21- 02es õ3:i7 000467"4 rffi04-rt,------o-nl>61'.fim120 00060 012z-* -SANTO- ANTONIC:f 00- suoo1:str•- L -23 __ * ___ M"E-DICA"ú="Bi-Pó"T:--KirA"~()Tf2Kí=m'r6õl<

---- ----·-----mr;(.!03 CbNSÜMibORES - -

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N IV 36!1N-F0-479 3-8 . CONST

SUBRCUTINE CONST(C,Ll,L2,TL,EEl OIMENSICN C{6l

C MATRIZ CONSTITUTIVA REIDCLl,llOOJEE,TU,IND

1100 FORMAT('Fl(l'.0,Fl0.2, l~.J 1 F I I N C-1 .19 é, 9 é, S 7

96 WRITE{L2,1200l 1200 FORMATC/, 1 ESTADO PLANO OE TE~SOES',/l

WRJTE(L2,13001EE,TU 1300 FORMATC/,' E• 1 ,ElG.3,4X,'NL=',F5.3/)

Ctll•EE/{l.-TU**21 CC21•C( ll*TU Cl3l•C(ll C C 4 l =O. e! 5 l =O. Cl6l=EE/(2.+2*TUl GC TO se

97 WRITE(L2,1400)

DATE

1400 FORMAT(/,' ESTADO PLANO CE OEFORMACAO',/l WRITE(l2,1300lEE,TU F.<IT=EE/1 ( l.+TUl*l l...;;,*TUl .1 C(l!=FAT*(l.-TUI Ct2l=FAT*TU C(4l=O. Cl3l=C(ll C(5)•0. C(6l•C l.-2*TUJ/2. 'JC FAT

98 RETURN END

05/06/75 TIME 22.24.23

' 1 2

j

-----·----- -- --MAPA DA CCNVERSAO_DO CA_D_t1STRO __(ONSUMIDORES - FATURAMfNTO__§__SPECIAL COPEL

.AT NÕ~-OE-"1-ANDA- LEI T. KWH L. KVARH CONSUMO .KWH -===CONSTANTES=== CAR( I_N_~V_._MEO. CA_Lç_. __ fNT-. -AT.-A_N_f;- AT. REAL F-,ffO~.-- _KWH _ ~-- KVARH INST-

16 23000 000.37-00ÕÓO - 143716Ô5Õ627-0673 0006787 00067Sr 00040 0!'080 00040 0065 ----"'-ªº-~ESPE_RA_N_CA _DO IGU~BJ___ -~ ·__ * MEDICAO=BT. POT .KVA=0075 KT~40 1

00.001 CONSUMIDORES

1

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- - - ~- --- --- --· --·-------

-------------~ -· ---------

N IV 3601\-F0-479 3-8 SAU DATE 05/06/75

SUBROUTINE SAU(XE,C,TU,SA,Ll,L2,KJl ·OI ME I\' SI OI\' X E ( 5, 2 l , A 1 100 l', X L í l O l , X M 1 10 ), , C ( é 1 , G (100 ) , H 1100 1 ,

*B1100l,SA(l0,l0l CCMMCN JO,KC

TIME 22.25.06

C GER~ 6 MATRIZ OE 'RIGIDES 00 ELEMENTC FINITO TAYLCRIANG RETANGULAR C X Y METADE CDS LACOS DO ELEMENTO e

L1=2 L2=3 X=0.5*S0Rl( {XE( 2, ll-XE ( l, l l 1+•2+1XEl2,21-XE (1,21 l**2l Y =O. 5* S Q R T ( ( X E ( 4 , l .l- X E ( l, l l l ** 2 + ( X E ( 4 , 2 l- X E (l , 2 l l ** 2 1 DO 10 I=l,lôO

lOAUl=O. X2=(). 5*X**2 Y2=0.5*Y**2 P=-l.+2*TU C=-2.+Z+TU XY=X*Y O C 20 I = 1, S, 2

20 A ( l l = l • A( lU=X A(l3)=-X A (15 l =-X All7l=X Al2ll=Y A(23l=Y A{ 25 l =-Y A(27l=-Y A(3ll=X2 A 132 l =O*XY A(331=X2 A ( 34 l =-Q*XY A(35l=X2 A(36l=Q*XY At37l=X2 A ( 38 l =-Q*XY A14ll=Y2 A{42)=P*XY A(43l=Y2 A(44 l=-P*XY A{451=Y2 A(46l=P*XY Al47l=Y2 A(48l=-P*XY DO 30 !=52,60,2

30 A (I J = 1. A(62l=X A(64l=-X A(66l=-X A(68l=X A(724=Y Al74l=Y Al76l=-Y A<78J=-Y A(8ll=P*XY AC82l=X2 A(83l=-P*XY A(84)=X2

------'

DA CONVERSAO DO CADASTRO CONSUMIDORES F arLiffAMENrõEsP Ec I AC- coPEL- ·-··-- ------------ ~- ~-----· -AT NOVA DEMANDA LEIT. --------- ------- -----

IN ATIV. MEO. CALC. ANT. -- -- ------- ---KWH l\ T •

----i::~t<VARH - CONSUMO KWH ANT. AT. REAL FATUR.

----CONSiANTES---KWH KW KVARH

-06 2060-000034 0000()0296038_0_ 04560529 0002~45 0002866 00030 00060 00030 0062 , ____ ___!_ BAR~ GRI\ND_E _ ___l'L~N_Al TO_ * "' MEDICAO=BT POT .KVA~S KT~31Jl

-- --º-º. 001 CONSUMIDORES --- ---

--------------'

-------- ------

-------------

----- ---- ---

--------------------------------------

- ---- - -------- -------

------------------

N IV 3601\-F0-4 79 3-8 GTCG

SUBROUTINE GTCGCXE,C,Gl o·JMENSICI\ C(61,Gll001,XEl~,2l DO 10 I=l, 100

10 G! U=O.

DATE 05106 /75

X =O • 5* SQ RT ( ( X E ( 2, l'l- X E I l, I l 1 ** 2 + 1 X E ( 2 , 2 )- X E O, 2 ) l * * 2 l Y =O • 5*S QR T 1 1 X E 1 4, l l- X E ( 1 , l l l ** 2 + C X E ! 4 , 2 l- X E 11 , 2 l l * * 2 ) XY=X*Y*4 ' X3Y=X**3*Y*l,333333 Y3X=Y**3*X*l,333333 GCll=C(ll*XY G(2l=C(4l*XY ' G13l=C(61*XY G(6l=C( ll*X3Y G(9l=Cl4l*X3Y

' '

GllOl=Cl ll*Y3X+C(él*X3Y Gll4l=C(41*Y3X G(l51=C!él*Y3X G-ll6l=C!4l*XY G(l71=C(él*XY Gl2Il=Cl6l*XY G(22l=CI 2l*XY G{23l=Cl4l*XY G(27l=CC5l*XY Gl28l=C13l*XY GC3Il=C14l>l<X3Y Gl32l=C(él*X3Y Gl36l=Clél*X3Y G(39l=C(2l*X3Y G{40l=Cl5l*X3Y+Cl4l*Y3X Gl4ll=Cié)>!tY3X Gl44J=C!5l*X3Y G!451=Cl31*X3Y+Clél*Y3X G{49!=C(2l*Y3X G( 50 l=CI 5}*Y3X Gl54l=C(5l*Y3X G(55l=C(3l*Y3X RETURN END

TIME 22,24.38

•

.Ã-T- Nd\iA--0-El•fANOA- - Ll:TT; KWff- -c--K11Ar:rn- -coNSUMO-'KWH _;;,;; .. coNSTANTFS;..,.,~ tAR( ·rff·-A-·nv.-'t'-1'E1r. -CALc-: 'J.iNT •.. A'T~ AºNT.-AT~--- Rrn-~FATtJR:- -KWH--~KVAF'R1NST"

06 20600 00091 00000 · 1996 -2153 16s5-r10roOõ96'5·6---im-to6es- OM6o1IDr2tí-01Hr6omn-z;­___ -* ADHEMAR ·s/N Q- 75-E -76 ·-- * *--M!:DiCAD;:-ffr-PoT:K\f'll=f'lTf2r<T=fflf61JI<

ITT>20601l 0Õff74 N'i'lf'f . I175 ·t23/\í l3-53-l°39-l-~676-5"1fffi616S- ll012000T200ll1)60 0084. --- *-PIOGR-ANDE oo·sui.: o·"[ D-(f'* 1 Aos-*-· -MEóf~AO=B·T POT .KVA=OlTT-iCT=UITT>i:J'~

---- 01)025 00000 --0324 0404 0188 0246 - 0003280 0003444 (lmf4lllfflõsõ 00040 ryl}79· ANE'1A··.-----E-STifA.OA PLO/PEO - - . ·- --,..--- -- .--- ME-DICAO='BT POT;-KVA:0075 KT=004lr~ - - . - - - - _, _____ --- - . - ·--------

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N IV 360N-F0-479 3-8 ·sAU DATE 05/06/75

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1--:MAPA DA CONI/ERSAO DO -CADASTRO CONSÜMJOORES-.;;- FATURAl!ENTO ESPECIAC COl>EL --,--- - -- - - -- ·- -- -:-A!N0\171---UEMANrfA - --LE rr. KllH ___ C::-K-vllRH- TCJNSURO-KWH- - -=-=coNSTANTEs=- CA"Rl -rN--A-Tiv-. -M"E=-1:f~ orce ~-ANf~ A,. -Al\iT .-Ar.- --RtAl- FA,UR .-- K'ifR- -KW KVAlrtrnrsT

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N IV 360N-F0-479 3-8 "SLL 83

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DATE 05/06/75 T H' E 22.25.54

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~ IV 360N-F0-479 3-ff. 'STRES '· DA TE 05/06/75

1

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05/06/75 T !ME 22.26.51

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