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UNESP Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá
Guaratinguetá
2010
VALÉRIO ANTONIO PAMPLONA SALOMON
CONTRIBUIÇÕES PARA VALIDAÇÃO DE TOMADA DE
DECISÃO COM MÚLTIPLOS CRITÉRIOS
Tese apresentada ao Departamento de
Produção, Faculdade de Engenharia,
Campus de Guaratinguetá, Universidade
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho,
para a obtenção do título de Livre-Docente
em Engenharia de Produção.
Guaratinguetá
2010
S174c
Salomon, Valério Antonio Pamplona
Contribuições para validação de tomada de decisão com múltiplos
critérios / Valério Antonio Pamplona Salomon.- Guaratinguetá : [s.n.],
2010.
68f.: il.
Bibliografia: f. 65
Tese (Livre-Docência) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de
Engenharia de Guaratinguetá, 2010.
1. Processo decisório I. Título
CDU 65.012.4
À Sandra.
Por tornar a sua vida compatível com a minha.
E a minha vida válida por isso.
Agradecimentos
Esta tese resulta de pesquisas que desenvolvi após, e durante, meu estágio de
pós-doutorado no exterior. Expresso aqui minha gratidão às pessoas e instituições
que contribuíram para a concepção e elaboração da tese:
Prof. Fernando Augusto Silva Marins, Sra. Margarida Corrêa Leite,
Profs. Jorge Muniz Junior, Maurício César Delamaro, Messias Borges
Silva, Ubirajara Rocha Ferreira e demais colegas do Departamento de
Produção. Reconheço no Marins, mais que um colega, um verdadeiro
amigo, pelo seu incentivo e pela sua orientação no início da elaboração
desta tese.
Prof. Thomas L. Saaty, Universidade de Pittsburgh, e Sra. Rozann
Whitaker Saaty, Creative Decisions Foundation. Tom criou o método
AHP, sem o qual este tese não existiria, ou seria muito diferente. Além
disso, tenho Tom e Rozann como amigos e colaboradores de pesquisas.
Eng. Claudio Garuti Anderlini, Fulcrum Ingeniería, Santiago, Chile.
Um entusiasta de aplicações de AHP e do trabalho em equipe. Claudio
Garuti também deu muitas contribuições teóricas à MCDM, com
destaque para seus estudos sobre a compatibilidade entre vetores de
decisão.
Alunos Angelo José Castro Alves Ferreira Filho, Dimas Campos de
Aguiar, Deborah Campos de Paula, Eduardo Gomes Salgado, Lucio
Garcia Veraldo Junior, Marco Aurélio Reis dos Santos, e Maria Stella
de Alvarenga Lazarini, et al., cujas pesquisas contribuíram para meu
conhecimento no método AHP e na MCDM.
Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, Fundação
para o Desenvolvimento Científico e Tecnológico e Fundação para o
Desenvolvimento da UNESP, pelo apoio financeiro às minhas viagens
e estadas durante o estágio de pós-doutorado no exterior e em
congressos científicos.
Resumo
A tomada de decisão considerando mais de um critério, às vezes conflitantes
entre si, como custos e qualidade, é conhecida como tomada de decisão com
múltiplos critérios, ou MCDM, sigla da expressão em inglês. Existem diversos
métodos para esta tomada de decisão. Estes métodos são, geralmente, identificados
pela sigla de seu nome: AHP, ELECTRE, MACBETH, MAUT, etc. O método mais
aplicado, no Brasil e no mundo, é o AHP. Contudo, alguns poucos, mas
importantes, pesquisadores brasileiros possuem um estranho preconceito com
relação a este método. Esta tese ajuda a provar que isto se trata de um equívoco.
Mais do que isto, a tese apresenta contribuições para a análise de aplicações de
MCDM. Compatibilidade entre vetores de decisão e validação de uma aplicação são
temas recentes incluídos no estudo apresentado nesta tese. Como consequência do
estudo, e contribuição original da tese apresenta-se um índice de compatibilidade
ordinal. Para se atender o objetivo de apresentar contribuições para a análise de
aplicações de métodos de MCDM, a elaboração da tese seguiu uma estratégia
qualitativa-quantitativa. Ou seja, a Modelagem Matemática foi o método de
pesquisa adotado. No entanto, não se apresentou um número exaustivo de exemplos
destas contribuições. Aplicações ex-ante, ex-post e sine solutio de métodos de
MCDM estão apresentadas e índices de compatibilidade estão calculados para a
validação destas aplicações.
Palavras-chave: AHP. Compatibilidade. MACBETH. MCDM. Validação.
Abstract
The decision making considering two or more criteria, sometimes conflicting
as costs and quality, is known as multiple criteria decision making, or MCDM.
There are several methods to make this decision, usually, identified by their
acronym: AHP, ELECTRE, MACBETH, MAUT, etc. AHP is the most applied
MCDM method, in Brazil and all over the world. However, a few of important
Brazilian researchers have a strange prejudice against this method. This thesis
helps to prove that this is a mistake. Moreover, this thesis presents contribution for
the analysis of MCDM application. Compatibility between decision vectors and
validation of an application are new research themes included in the study this
thesis reports. As a consequence from the study, and an original contribution, it is
presented an ordinal compatibility index. In order to satisfy the objective of present
contributions for the analysis of MCDM methods application , this thesis’s
conception followed a qualitative-quantitative strategy. Or else, the research
method adopted was Mathematical Modeling. However, it is not presented an
exhausting number of examples from these contributions. Ex-ante, ex-post e sine
solutio applications of MCDM methods are presented and compatibility indices are
computed to validate these applications.
Keywords: AHP. Compatibility. MACBETH. MCDM. Validation.
Conteúdo
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 15
1.1. Apresentação do Tema .............................................................................................................. 15
1.1.1. Metodologia da tomada de decisão com múltiplos critérios ........................................ 15
1.1.2. Generalidades: matrizes e vetores de decisão .............................................................. 17
1.2. Aspectos Metodológicos da Tese .............................................................................................. 21
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS ......................................................................................................... 23
2.1. Considerações Iniciais ............................................................................................................... 23
2.2. Fases de Medição e Síntese ....................................................................................................... 23
2.2.1. ELECTRE .................................................................................................................... 23
2.2.2. MAUT.......................................................................................................................... 27
2.2.3. AHP ............................................................................................................................. 28
2.2.4. MACBETH .................................................................................................................. 32
2.3. Validade da Aplicação de um Método de MCDM .................................................................... 36
2.3.1. Exemplos de aplicações válidas de AHP ..................................................................... 36
2.3.2. Exemplo de aplicação válida de AHP e inválida de MACBETH ................................ 37
2.3.3. Questionamentos sobre a validade do método AHP .................................................... 42
2.4. Compatibilidade entre Vetores de Decisão ................................................................................ 46
2.4.1. Índice de compatibilidade ............................................................................................ 46
2.4.2. Exemplos da utilização de índice de compatibilidade ................................................. 47
3. CONTRIBUIÇÕES PARA A VALIDAÇÃO DE APLICAÇÕES DE MÉTODOS DE MCDM ..... 50
3.1. Considerações Iniciais ............................................................................................................... 50
3.2. Um Estudo Aprofundado do Índice de Compatibilidade ........................................................... 50
3.2.1. Domínio da função índice de compatibilidade ............................................................. 50
3.2.2. Índice de compatibilidade ordinal ................................................................................ 52
3.2.3. Comportamento do índice de compatibilidade ordinal ................................................ 54
3.3. Validação de Aplicações de Método de MCDM ....................................................................... 57
3.3.1. Aplicações ex-ante, ex-post ou sine solutio ................................................................. 57
3.3.2. Exemplo de aplicação sine solutio de AHP, MACBETH e MAUT ............................ 59
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................. 63
4.1. Atendimento de Objetivos e Contribuições da Tese .................................................................. 63
4.2. Temas para Futuras Pesquisas ................................................................................................... 64
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................................... 65
Lista de figuras
Figura 1. Número de artigos publicados em periódicos científicos ................................................. 17
Figura 2. Grafo orientado obtido com aplicação de ELECTRE I .................................................... 18
Figura 3. Resultados obtidos com aplicações de três métodos de MCDM ...................................... 20
Figura 4. Exemplo de dados iniciais para aplicação de um método de MCDM .............................. 23
Figura 5. Grafo orientado, com aplicação de ELECTRE I .............................................................. 26
Figura 6. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade, com aplicação de MAUT ................... 28
Figura 7. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade com aplicação de AHP ....................... 32
Figura 8. Categorias semânticas para comparações ........................................................................ 33
Figura 9. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade, com aplicação de MACBETH ........... 35
Figura 10. Hierarquia para estimativa da fatia de mercado de lojas de departamento norte-
americanas .................................................................................................................................................. 48
Figura 11. Votação final para escolha da cidade sede dos jogos olímpicos de verão de 2016 ........ 58
Lista de siglas
AHP Analytic Hierarchy Process
AMD Apoio multicritério à decisão
COP condition of order preference
ELECTRE Elimination et Choix Traduisant la Réalité
IOC International Olympic Committee
ISO International Organization for Standardization
MACBETH Measuring Attractiveness by a Categorical Based Evaluation Technique
MAUT Multiple Attribute Utility Theory
MCDA Multiple criteria decision aid
MCDA Multiple criteria decision analysis
MCDM Multiple criteria decision making
RR Ranking reversal
mpg milhas por galão
Lista de símbolos
Autovalor máximo de uma matriz
H Índice de consistência de uma hierarquia
ij Índice de consistência de uma matriz
S Índice de compatibilidade cardinal, ou índice de compatibilidade
V Índice de compatibilidade ordinal
A = [aij] Matriz de comparações
D = [dij] Matriz de decisão
e = [ej = 1] Matriz-coluna com todos os componentes iguais a 1
S = [dij] Matriz de superação
o = [oi] Vetor ordinal de decisão
v = [vi] Autovetor direito de uma matriz
w = [wj] Vetor de pesos dos critérios
x = [xi] Vetor cardinal de decisão, ou vetor de decisão
Cij Conjunto de concordância
Dij Conjunto de discordância
Lista de tabelas
Tabela 1. Matriz de decisão com m alternativas e n critérios .......................................................... 17
Tabela 2. Exemplos de vetores cardinal e ordinal ........................................................................... 18
Tabela 3. Vetores de decisão com aplicações de três métodos de MCDM ..................................... 19
Tabela 4. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de ELECTRE I ....................................... 24
Tabela 5. Exemplo de matriz de concordância, com aplicação de ELECTRE I ............................. 25
Tabela 6. Exemplo de matriz de discordância, com aplicação de ELECTRE I............................... 25
Tabela 7. Exemplo de matriz de superação, com aplicação de ELECTRE I ................................... 25
Tabela 8. Exemplo de nova matriz de superação, com aplicação de ELECTRE I .......................... 26
Tabela 9. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de MAUT ............................................... 27
Tabela 10. Exemplo de vetor de decisão com a aplicação de MAUT ............................................. 27
Tabela 11. Exemplo de comparações entre critérios, com aplicação de AHP ................................. 29
Tabela 12. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de AHP ................................................ 29
Tabela 13. Exemplo de índices de consistência, com aplicação de AHP ........................................ 30
Tabela 14. Exemplo de vetor de decisão, com aplicação de AHP .................................................. 31
Tabela 15. Exemplo de comparações entre níveis de desempenho, com aplicação de MACBETH33
Tabela 16. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de MACBETH ..................................... 34
Tabela 17. Exemplo de comparações entre critérios, com aplicação de MACBETH ..................... 34
Tabela 18. Exemplo de vetor de decisão, com aplicação de MACBETH ....................................... 35
Tabela 19. Distância a Filadélfia ..................................................................................................... 36
Tabela 20. Custos de se possuir um automóvel ............................................................................... 37
Tabela 21. Pesos dos critérios, com aplicação de AHP ................................................................... 38
Tabela 22. Matriz de decisão, com aplicação de AHP .................................................................... 38
Tabela 23. Vetor de decisão, com aplicação de AHP ...................................................................... 38
Tabela 24. Limites de desempenho para os critérios, com aplicação de MACBETH ..................... 39
Tabela 25. Matriz de decisão, com aplicação de MACBETH ......................................................... 39
Tabela 26. Pesos dos critérios, com aplicação de MACBETH ....................................................... 39
Tabela 27. Vetor de decisão, com aplicação de MACBETH .......................................................... 39
Tabela 28. Novos pesos dos critérios, com aplicação de MACBETH ............................................ 40
Tabela 29. Novo vetor de decisão, com aplicação de MACBETH ................................................. 40
Tabela 30. Custos com um automóvel, em dólares ......................................................................... 41
Tabela 31. Vetores de decisão com aplicações de AHP, MACBETH e soma de custos ................. 41
Tabela 32. Preferência entre quatro modelos disponíveis para um produto .................................... 43
Tabela 33. Preferência entre três modelos disponíveis para um produto ........................................ 43
Tabela 34. Exemplos de vetores compatíveis e incompatíveis ........................................................ 46
Tabela 35. Fatia de mercado de lojas de departamento norte-americanas ....................................... 48
Tabela 36. Exemplos de vetores de decisão, com aplicações de AHP, MACBETH e MAUT ....... 49
Tabela 37. Três vetores compatíveis, mas com alto índice de compatibilidade .............................. 51
Tabela 38. Vetores ordinais de decisão com aplicações de AHP, MACBETH e soma de custos ... 53
Tabela 39. Índice de compatibilidade ordinal entre vetores com dois componentes ....................... 54
Tabela 40. Índice de compatibilidade ordinal entre vetores com três componentes........................ 55
Tabela 41. Exemplos de vetores cardinais com cinco componentes ............................................... 55
Tabela 42. Dados de simulação de um sistema de produção ........................................................... 59
Tabela 43. Matriz de decisão, com aplicação sine solutio de MAUT ............................................. 59
Tabela 44. Pesos dos critérios, com aplicação sine solutio de AHP ................................................ 60
Tabela 45. Comparações entre alternativas para tempo de fluxo, com aplicação sine solutio de
AHP ............................................................................................................................................................ 60
Tabela 46. Comparações entre alternativas para reprogramações, com aplicação sine solutio de
AHP ............................................................................................................................................................ 60
Tabela 47. Matriz e vetor de decisão, com aplicação sine solutio de AHP ..................................... 61
Tabela 48. Comparações entre alternativas para tempo de fluxo, com aplicação sine solutio de
MACBETH ................................................................................................................................................ 61
Tabela 49. Comparações entre alternativas, para reprogramações, com aplicação sine solutio de
MACBETH ................................................................................................................................................ 61
Tabela 50. Pesos dos critérios, com aplicação sine solutio de MACBETH .................................... 62
Tabela 51. Matriz e vetor de decisão, com aplicação sine solutio de MACBETH .......................... 62
15
1. INTRODUÇÃO
1.1. Apresentação do Tema
1.1.1. Metodologia da tomada de decisão com múltiplos critérios
Decisão é a “ação de decidir” (PRIBERAM INFORMÁTICA S.A., 2009). Decidir
é “determinar”, “resolver”, ou “emitir opção, preferência, ou voto”. Num entendimento
prático, quando um problema possuir apenas uma solução, então, uma ação é
necessária. Quando houver mais de uma solução então, antes da ação, será necessário
tomar-se uma decisão: ou seja, por exemplo, escolher uma entre as soluções
alternativas.
A tomada de decisão com múltiplos critérios (MCDM, do inglês, multiple criteria
decision making) é o estudo da inclusão de critérios conflitantes na tomada de decisão
(INTERNATIONAL SOCIETY ON MCDM, 2009). É uma disciplina em que se produz
uma grande quantidade de artigos e livros, desde a década de 1960 (ROY, 2005).
Existem dois tipos de problemas que podem ser solucionados com a MCDM: os
problemas discretos e os problemas de otimização. Os problemas discretos ocorrem
quando há um número pequeno de soluções alternativas factíveis. Nos problemas de
otimização, há um número elevado de alternativas, geralmente, identificadas por meio
de equações (DOUMPOS, et al., 2002).
Os problemas discretos são objetos de estudo desta tese. Há quatro tipos de
problemas discretos (ROY, 1996): Classificação, Descrição, Escolha e Ordenação
(MIRANDA, et al., 2003). O Problema de Classificação é distribuir as soluções
alternativas em categorias predefinidas. No Problema de Descrição descrevem-se as
soluções alternativas, formalmente, com suas consequências. O Problema de Escolha é
identificar um subconjunto, o menor possível, com as soluções alternativas mais
satisfatórias para o problema. O Problema de Ordenação é estabelecer uma ordem de
preferência do conjunto de alternativas.
Dentre os vários métodos de MCDM, para solução de problemas discretos, podem
ser citados, entre outros:
Analytic Hierarchy Process (AHP).
Elimination et Choix Traduisant la Réalité (ELECTRE).
Measuring Attractiveness by a Categorical Based Evaluation Technique
(MACBETH).
Multi-Attribute Utility Theory (MAUT).
16
Devido à grande variedade de métodos de MCDM, algumas classificações foram
propostas e adotadas. Acadêmicos europeus, como o francês Prof. Bernard Roy e o
belga Prof. Philippe Vincke, propuseram uma divisão do conjunto de métodos de
MCDM em duas escolas de abordagens (ROY, et al., 1996) (VINCKE, 1992):
Escola Europeia, com métodos de subordinação e síntese.
Escola Norte-americana, com métodos baseados na função utilidade.
Os métodos da Escola Norte-americana, como AHP e MAUT, são,
tradicionalmente, referenciados como métodos de MCDM (BELTON, 1986)
(VAIDYA, et al., 2006). Já os da Escola Europeia, por exemplo, os métodos da família
ELECTRE, também são denominados de métodos de auxílio à decisão com múltiplos
critérios (MCDA, multiple criteria decision aid) (BRASIL F., et al., 2009). A sigla
MCDA também é utilizada para a análise da decisão com múltiplos critérios (em inglês,
multiple criteria decision analysis) (FIGUEIRA, et al., 2005). No Brasil, alguns
pesquisadores (GOMES, et al., 2009), preferem o uso da expressão “apoio multicritério
à decisão” (AMD), embora esta última contenha um neologismo. Portanto, AMD,
MCDA e MCDM podem ser entendidos como sinônimos.
A classificação por nacionalidade é controversa com relação ao método
MACBETH, proposto por europeus, mas, conceitualmente, inserido na Escola Norte-
americana. Esta classificação também dificulta a classificação de contribuições por
equipes internacionais (OLSON, 1996). Mas, a principal inconveniêcia gerada pela
classificação foi o surgimento de uma rivalidade entre as escolas. Isto ocorreu, de facto,
na década de 2000, em nosso país.
Os métodos da Escola Europeia foram considerados superiores, por permitirem o
novo Paradigma Construtivista (ENSSLIN, et al., 2001). No Paradigma Racionalista
dos métodos da Escola Norte-americana, busca-se “a solução ótima do problema
decisório”; no Paradigma Construtivista busca-se “gerar conhecimento”. Embora a
discussão pareça interessante, ela não obteve repercussão nos meios acadêmico e
empresarial. Conforme apresentado na Figura 1, recente pesquisa bibliográfica no banco
de dados do Institute for Scientific Information apontou que, desde a década de 1980, os
métodos AHP e MAUT possuem bem mais artigos publicados do que todos os métodos
da Escola Europeia (WALLENIUS, et al., 2008).
17
Figura 1. Número de artigos publicados em periódicos científicos
(Adaptada de WALLENIUS, et al., 2008)
1.1.2. Generalidades: matrizes e vetores de decisão
Matriz de decisão, D, é a ferramenta principal na aplicação de qualquer método de
MCDM. Conforme apresentado na Tabela 1, os componentes da matriz de decisão
indicam o desempenho, possibilidade, preferência, ou utilidade das alternativas com
relação a cada critério. O que distingue um método de MCDM dos demais é a maneira
com que os componentes da matriz de decisão são obtidos e processados.
Tabela 1. Matriz de decisão com m alternativas e n critérios
Alternativa Critério 1 Critério 2 ... Critério j ... Critério n
1 d11 d12 ... d1j ... d1n
2 d21 d22 ... d2j ... d2n
i di1 di2 ... dij ... din
m dm1 dm2 ... dmj ... dmn
A aplicação de ELECTRE I, em um problema com quatro alternativas, poderá
gerar o grafo orientado apresentado na Figura 2. Se for um Problema de Escolha, a
escolha da Alternativa 3 será a melhor solução do problema. Caso esta alternativa não
esteja mais disponível, então as Alternativas 2 ou 4 podem ser escolhidas, pois, estão
empatadas. Neste exemplo genérico, a pior solução seria a escolha da Alternativa 1.
18
Figura 2. Grafo orientado obtido com aplicação de ELECTRE I
Em aplicações de ELECTRE I, o quanto uma alternativa supera outra não é
quantificado. Nas aplicações de métodos da Escola Norte-americana, e dalguns métodos
da Escola Europeia, esta quantificação é possível. Isto porque a matriz de decisão gera
um vetor de decisão, x. Os componentes do vetor de decisão representam o desempenho
global, pontuação global, preferência global, ou utilidade média das alternativas. Para
esta síntese, um vetor de pesos dos critérios, w, pode ser necessário. O vetor de decisão
pode ser obtido conforme a Equação (1), ou seja, com a multiplicação entre a matriz de
decisão, uma matriz m×n, e o vetor de pesos dos critérios, uma matriz n×1.
x = D w (1)
A solução de um Problema de Escolha, então, será a alternativa com o maior valor
de xi. Se for um Problema de Ordenação, a solução do problema se dará com a obtenção
do vetor ordinal de decisão, o, conforme a Equação (2), onde a função “ordem” associa
um número inteiro de 1 a m, baseando-se na ordem decrescente dos componentes do
vetor cardinal de decisão, x.
)(ordem1
i
m
ii xo
(2)
A Tabela 2 apresenta exemplos de vetores de decisão, cardinais e ordinais. A
solução do Problema de Escolha seria a escolha da Alternativa 3, para a qual se observa
x3 = 0,9 e o3 = 1.
Tabela 2. Exemplos de vetores cardinal e ordinal
i xi oi
1 0,6 4
2 0,8 2
3 0,9 1
4 0,8 2
Alternativa 3
Alternativa 1
Alternativa 2 Alternativa 4
19
Em aplicações de AHP, a matriz de decisão é, geralmente, estocástica quanto às
colunas, ou seja, os componentes de suas colunas são normalizados, conforme a
Equação (3). O vetor de pesos dos critérios e o vetor de decisão também são
normalizados, conforme as Equações (4) e (5).
mjdm
i
ij ...2,111
(3)
1
1
n
j
jw (4)
1
1
m
i
ix (5)
Em aplicações de MAUT, a matriz de decisão não é uma matriz estocástica. Os
componentes das colunas desta matriz são idealizados, conforme a Equação (6).
njdij
m
i
...2,11)(max1
(6)
AHP, MAUT e MACBETH foram aplicados ao mesmo problema de decisão:
terceirizar ou não um serviço interno em uma fábrica (FERREIRA F., et al., 2006).
Critérios como custo e qualidade foram considerados. A Tabela 3 apresenta os vetores
de decisão obtidos com aplicações destes métodos nos mesmos dados iniciais.
Tabela 3. Vetores de decisão com aplicações de três métodos de MCDM
(Fonte: FERREIRA F., et al., 2006)
Alternativa AHP MACBETH MAUT
Contratar pessoal 0,15 24 0,22
Manter o efetivo 0,37 64 0,61
Terceirizar 0,48 71 0,72
Observa-se na Tabela 3, que as aplicações de diferentes métodos de MCDM
geraram vetores de decisão diferentes entre si. Mas, os respectivos vetores ordinais são
iguais: (1, 2, 3). Ou seja, com qualquer uma das aplicações, a solução de um Problema
de Escolha ou de um Problema de Ordenação seria a mesma. No caso, a solução
indicada pelas aplicações foi, de facto, a que a empresa decidiu: Terceirizar.
20
A coincidência relatada anteriormente era esperada, uma vez que os mesmos
dados iniciais foram utilizados. Mas, isto não ocorreu em uma aplicação teórica de
AHP, ELECTRE I e MACBETH em um problema de seleção de fornecedores
(SALOMON, et al., 2006). Os mesmos dados iniciais foram utilizados. Os resultados
das aplicações estão apresentados na Figura 3.
Método Resultados
AHP Selecionar o Fornecedor B.
Se o peso do Critério Preço for maior que 80%, então selecionar o Fornecedor C.
ELECTRE I Selecionar os Fornecedores B ou C.
Evitar selecionar o Fornecedor A.
MACBETH Selecionar o Fornecedor B.
Se o peso do Critério Preço for maior que 40%, então selecionar o Fornecedor A.
Figura 3. Resultados obtidos com aplicações de três métodos de MCDM
(Fonte: SALOMON, et al., 2006)
Embora todas as aplicações resultem na seleção do Fornecedor B, há certa
divergência entre elas. Do exposto na Figura 3, surgem duas questões:
1. Os resultados podem ser considerados compatíveis ou não?
2. Se os resultados forem incompatíveis, qual deles é o correto?
Ao se tentar responder a estas questões, temas de recentes pesquisas sobre
MCDM podem ser abordados. Entres estes temas, incluem-se validade de uma
aplicação (WHITAKER, 2007) e compatibilidade entre vetores de decisão (GARUTI,
2007), objetos de estudo desta tese.
Compatibilidade e validade de aplicações de métodos de MCDM são temas de
publicações recentes. Mas, o questionamento de resultados de aplicações de métodos de
MCDM não é uma novidade. Um exemplo é a questão de inversão de ordem (RR,
ranking reversal). RR ocorre quando há inversão de ordem, ou prioridades, das
alternativas, quando, por exemplo, se inclui ou exclui uma alternativa. RR é
apresentada, frequentemente, como sendo uma “fragilidade do método AHP”
(MORITA, 2003). Porém, existem exemplos da ocorrência de RR em aplicações de
métodos ELECTRE (HORA, et al., 2009) (WANG, et al., 2008). Além disso, conforme
detalhado no Capítulo 2, em algumas situações a RR pode ser considerada legítima. Ou
seja, há casos de decisões reais em que a RR ocorreu. Assim, nestas situações,
aplicações de métodos que permitem a RR seriam mais adequadas, ou válidas, do que as
de outros métodos que buscam robustez à RR.
21
1.2. Aspectos Metodológicos da Tese
Ainda existem, no Brasil, pesquisadores que alimentam a rivalidade entre as
Escolas Europeia e Norte-americana de MCDM. Infelizmente, estes pesquisadores
desempenham funções importantes como revisores de artigos, em congressos e
periódicos, ou assessores de órgãos de fomento a pesquisa. Estas pessoas tem uma
equivocada convicção da superioridade da Escola Europeia. Mais do que isto,
consideram que o AHP, o método de MCDM mais utilizado no mundo é um método
falho.
Uma das pretensões desta tese é contribuir para o fim deste preconceito. Espera-se
contribuir para que os pesquisadores brasileiros continuem a aplicar o AHP,
sistematicamente, em suas tomadas de decisões, assim como ocorre em todo o mundo.
O objetivo geral desta tese é apresentar contribuições para a análise de aplicações
de métodos de MCDM. Entre os objetivos específicos destacam-se:
Incluir, no estudo, temas recentes ou pouco abordados como compatibilidade e
validade de aplicações de métodos de MCDM em problemas discretos.
Identificar situações ou fragilidades em aplicações de métodos de MCDM, de
modo a evitar aplicações inválidas por usuários inexperientes.
Propor um procedimento para que uma aplicação possa ser considerada válida
ou não.
Espera-se atender aos objetivos e pretensões da tese utilizando-se um método de
pesquisa de estratégia quantitativa: Modelagem Matemática (BERTRAND, et al.,
2002). A estratégia quantitativa é impulsionada por considerações prévias; na
estratégia qualitativa, busca-se o que é importante para aqueles que atuam no universo
pesquisado (BRYMAN, 2008). Outra clara diferenciação entre as duas estratégias de
pesquisa é a quantidade de objetos pesquisados. Na estratégia qualitativa, apenas um
objeto de pesquisa pode ser suficiente, como em um estudo de caso. Na estratégia
quantitativa, o número de objetos pesquisados pode ser tão grande que estes nem
existam ainda, como no caso de uma Simulação.
Estratégias mistas de pesquisa também podem ser adotadas. Pois, aspectos
qualitativos podem auxiliar pesquisas com estratégia quantitativa e vice-versa
(BRYMAN, et al., 2007). Assim, a elaboração desta tese seguiu uma estratégia
qualitativa-quantitativa. Ou seja, pretendeu-se atender os objetivos e apresentar as
contribuições, com um número não exaustivo de exemplos.
22
A Modelagem Matemática da aplicação de um método de MCDM consiste,
basicamente, de três fases:
1. Identificação do objetivo da decisão (ou seja, do tipo de problema), dos
critérios e das alternativas.
2. Atribuição de valores de importância para os critérios e valores de
desempenho para alternativas.
3. Síntese dos resultados
A Fase 1 da modelagem pode ser denominada de Estruturação; a Fase 2 é a
Medição, ou coleta de dados; e a Fase 3 é a Síntese dos Resultados. As duas últimas
fases são o foco desta tese. Há duas justificativas para o uso da palavra Fase ao invés de
Passo, na divisão da modelagem. A primeira é que as fases podem ser executadas com
simultaneidade ou iterações. Ao contrário disso, de acordo com o ditado popular, “um
passo de cada vez”. Por exemplo, em Problema de Escolha, após se medir o
desempenho das alternativas, pode haver dominância, o que implicaria na eliminação de
alguma alternativa. Assim, a Fase de Medição interage com a Fase de Estruturação. A
segunda justificativa é para que passo seja associado aos métodos. Ou seja, um passo
em uma aplicação de um método de MCDM é como está sendo realizado um
procedimento necessário para uma fase da modelagem do problema. Assim, se
estabelece a distinção conceitual entre Modelagem Matemática e aplicação de um
método de MCDM.
Esta tese está dividida em mais três capítulos, além deste introdutório. No
Capítulo 2 estão detalhados os conceitos teóricos para aplicação de métodos de MCDM
na solução de problemas discretos. Também estão apresentados conceitos como
compatibilidade entre vetores de decisão e validade da aplicação de um método de
MCDM. No Capítulo 3 apresentam-se a contribuições para a análise de aplicações de
métodos de MCDM. No Capítulo 4 estão as considerações finais da tese.
Após o último capítulo, encontram-se as Referências Bibliográficas. As citações
na tese e as fontes bibliográficas após o texto foram inseridas com utilização do
software Microsoft Word no padrão da Organização Internacional para Padronização
(ISO, do inglês, International Organization for Standardization), a norma ISO
690:1987. De acordo com este padrão, a expressão “e outros” (do latim, “et al.”) é
utilizada nas citações de obras com mais de um autor e nas referências bibliográficas
com mais de três autores.
23
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1. Considerações Iniciais
Neste capítulo, conceitos de MCDM são apresentados. Inicialmente, na Seção 2.2
estão apresentados como, na aplicação de alguns métodos de MCDM, são realizadas as
Fases de Medição e Síntese. Nas Seções 2.3 e 2.4, respectivamente, a validade e a
compatibilidade de aplicações de métodos de MCDM são apresentadas em detalhe.
Ainda nesta seção inicial do capítulo é introduzido um exemplo teórico de um problema
discreto de MCDM. Este exemplo será utilizado em toda a Seção 2.2, com aplicações de
quatro métodos de MCDM: AHP, ELECTRE I, MAUT e MACBETH.
Na Figura 4, observam-se exemplos de dados iniciais de um problema discreto de
MCDM: a qualificação do desempenho das alternativas com relação a cada critério.
Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 Excelente Razoável Razoável
2 Razoável Excelente Excelente
3 Muito bom Muito bom Ruim
4 Bom Bom Ruim
Figura 4. Exemplo de dados iniciais para aplicação de um método de MCDM
Em se tratando de um Problema de Escolha, a Alternativa 4 deve ser eliminada.
Pois, seu desempenho é no máximo igual ao da Alternativa 3, às vezes pior. Assim,
pode-se dizer que o desempenho da Alternativa 3 domina o da Alternativa 4. Não há
nenhuma outra relação de dominância evidente. Mas, em se tratando de um Problema de
Ordenação, então a Alternativa 4 não pode ser eliminada. Pois, mesmo sendo dominada
pela Alternativa 3, seu desempenho global pode ser superior ao de outra alternativa.
Além do desempenho das alternativas, o peso dos critérios pode ser necessário,
dependendo do método de MCDM que será aplicado. A título de exemplo, considere-se
que: o Critério 2 é o mais importante; os Critérios 1 e 3 são igualmente importantes.
2.2. Fases de Medição e Síntese
2.2.1. ELECTRE
Em aplicações de alguns métodos de MCDM, a matriz de decisão é obtida com a
atribuição direta de valores. Em aplicações de métodos ELECTRE adota-se, geralmente,
uma escala linear de 1 a 5 (COSTA, et al., 2004). Assim, a matriz de decisão
apresentada na Tabela 4 pode ser obtida a partir dos dados apresentados na Figura 4.
24
Tabela 4. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de ELECTRE I
Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 5 2 2
2 2 5 5
3 4 4 1
4 3 3 1
A atribuição de valores numéricos para o desempenho qualitativo pode depender
de opiniões pessoais. Ou seja, os valores da Tabela 4 podem variar, dependendo de
quem fez o julgamento, e de quais são seus objetivos e preferências (SAATY, 2005).
Ao contrário de invalidar a aplicação, esta dependência a torna legítima para a solução
do problema, conforme discutido no Capítulo 3.
Com exceção de ELECTRE IV, os pesos dos critérios são necessários para
aplicação de métodos ELECTRE (GOMES, 2007). Estes pesos podem ser obtidos com
vários procedimentos. A atribuição direta de valores é, geralmente, adotada. Assim,
como o Critério 2 é o mais importante, pode-se atribuir w2 = 1. Como os Critérios 1 e 3,
são igualmente menos importantes, pode-se atribuir w1 = w3 = 0,5. Então, obtém-se o
vetor de pesos dos critérios, w = (0,5; 1; 0,5). Este vetor pode ser normalizado, de
acordo com a Equação (4), resultando em w = (0,25; 0,5; 0,25).
Na Etapa de Síntese, em aplicações de ELECTRE, trabalha-se com o conceito de
superação entre as alternativas. Procura-se identificar se o risco de considerar uma
alternativa tão boa quanto outra é aceitável (GOMES, et al., 2003). Para se chegar a esta
aceitação são utilizados os conceitos de concordância e discordância.
A partir de uma matriz de decisão podem ser obtidos conjuntos de concordância,
Cij, e conjuntos de discordância, Dij. Um conjunto de concordância é composto pelos
critérios em que o desempenho da Alternativa i é melhor ou igual ao da Alternativa j. Já
no conjunto de discordância estão os critérios em que o desempenho da Alternativa i
não é melhor que o da Alternativa j.
A cada conjunto de concordância se atribui um índice, obtido com a soma dos
pesos dos critérios que compõem o respectivo conjunto. Os vários índices de
concordância compõem a matriz de concordância. A cada conjunto de discordância se
atribui um índice, obtido com a razão entre a maior diferença entre djk e dik (k = 1, 2... n)
e a maior diferença entre dois componentes de uma coluna da matriz de decisão.
25
As Tabela 5 e Tabela 6 apresentam as matrizes de concordância e discordância,
respectivamente, obtidas com a matriz de decisão apresentada na tabela 4 e com o vetor
de pesos dos critérios normalizado.
Tabela 5. Exemplo de matriz de concordância, com aplicação de ELECTRE I
Alternativa 1 2 3 4
1 0,25 0,50 0,50
2 0,75 0,75 0,75
3 0,50 0,25 0,75
4 0,50 0,25 0,25
Tabela 6. Exemplo de matriz de discordância, com aplicação de ELECTRE I
Alternativa 1 2 3 4
1 0,75 0,50 0,25
2 0,75 0,50 0,25
3 0,25 1 0
4 0,50 1 0,25
O passo seguinte é a obtenção de limites de concordância e discordância.
Inicialmente, as médias aritméticas dos componentes das matrizes podem ser adotadas
como limites. Neste caso, para os valores das Tabela 5 e Tabela 6, ambos os limites de
concordância e discordância seriam iguais a 0,50.
A matriz de superação, S, pode ser obtida da seguinte maneira: quando o índice de
concordância for maior ou igual ao seu limite e quando o índice de discordância for
menor ou igual ao seu limite, então, sij = 1. Caso contrário, sij = 0. A Tabela 7 apresenta
a matriz de superação para o exemplo em questão.
Tabela 7. Exemplo de matriz de superação, com aplicação de ELECTRE I
Alternativa 1 2 3 4
1 0 1 1
2 0 1 1
3 1 0 1
4 1 0 0
Da Tabela 7 pode-se obter o grafo orientado apresentado na Figura 5.
26
Figura 5. Grafo orientado, com aplicação de ELECTRE I
A interpretação do grafo é a seguinte: não há preferência entre as Alternativa 1 e 3
e entre 1 e 4; as Alternativas 1 e 2 são incomparáveis; a Alternativa 2 supera as
Alternativas 3 e 4; A Alternativa 3 supera a Alternativa 4.
Se os limites de concordância e discordância variarem em 10 pontos percentuais
(aumentando o de concordância para 0,60 e diminuindo o de discordância para 0,40), as
relações de superação também se alteram. A Tabela 8 apresenta uma nova matriz de
superação obtida com os novos limites.
Tabela 8. Exemplo de nova matriz de superação, com aplicação de ELECTRE I
Alternativa 1 2 3 4
1 0 0 0
2 0 0 1
3 0 0 1
4 0 0 0
A interpretação da nova matriz de superação é: as Alternativas 2 e superam a
Alternativa 4; as demais alternativas não são comparáveis entre si. Um grafo orientado
também pode ser obtido a partir da nova matriz. Mas, como são poucas as relações de
superação (ao contrário da Tabela 7), esta figura não será tão útil.
Das matrizes de superação obtidas, conclui-se que, se o problema em questão for
um Problema de Escolha, a aplicação de ELECTRE I apresentada nesta seção não pode
ser considerada eficaz. Pois, a aplicação não indica uma solução para o problema. O
mesmo pode ser considerado para um Problema de Ordenação. Ou seja, neste exemplo,
a aplicação de ELECTRE I seria mais adequada para Problemas de Classificação ou
Descrição.
A adequação de um método a um tipo de problema é discutida no Capítulo 3. Nas
Seções 2.2.2 a 2.2.4 apresenta-se como o problema poderia ser solucionado com
aplicação de outros métodos de MCDM.
Alternativa 1 Alternativa 3
Alternativa 2
Alternativa 4
27
2.2.2. MAUT
Em aplicações de MAUT, os componentes da matriz de decisão devem ser
idealizados, conforme a Equação (6). Contudo, desta equação apenas pode-se obter
d11 = d22 = d23 = 1. Os demais componentes da matriz são obtidos com a Equação (7),
ou com interpolação linear entre 0 e 1.
njdij
m
i
...2,10)(min1
(7)
Assim, a matriz apresentada na Tabela 9 pode ser obtida.
Tabela 9. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de MAUT
Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 1 0 1/4
2 0 1 1
3 2/3 2/3 0
4 1/3 1/3 0
Em aplicações de MAUT, o vetor de pesos dos critérios também deve ser
normalizado. Ou seja, pode-se utilizar o mesmo w obtido para aplicação de ELECTRE,
apresentado na Seção 2.2.1. Substituindo valores na Equação (1), obtém-se o vetor de
decisão apresentado na Tabela 10. Este vetor é também um vetor de utilidade média, ou
vetor da utilidade esperada com a escolha de cada alternativa.
Tabela 10. Exemplo de vetor de decisão com a aplicação de MAUT
Alternativa Utilidade esperada
1 0,31
2 0,75
3 0,50
4 0,25
Se o problema em questão for um Problema de Escolha, então a aplicação de
MAUT indica a escolha da Alternativa 2. Se o problema for de ordenação, o vetor de
decisão ordinal obtido com a aplicação da MAUT é o = (3, 1, 2, 4).
Um procedimento interessante na Fase de Síntese dos Resultados é a Análise de
Sensibilidade. Nota-se na Tabela 10, que a Alternativa 2 possui utilidade nula de acordo
com o Critério 1. Assim, a Figura 6apresenta como a utilidade esperada das alternativas
variaria se o peso do Critério 1 fosse aumentado.
28
Figura 6. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade, com aplicação de MAUT
O gráfico apresentado na Figura 6, ás vezes é, erroneamente, denominado de
Análise de Sensibilidade. O gráfico em si é apenas uma ferramenta. A análise será a
interpretação dos elementos do gráfico. Por exemplo, nota-se que caso o peso do
Critério 1 seja dobrado, ou seja, aumente de 25% para 50%, a Alternativa 2 deixará de
ser a alternativa com maior utilidade esperada, sendo ultrapassada por duas Alternativas
1 e 3. Julgar se este aumento é viável pode depender de opiniões de especialistas ou de
pessoas envolvidas com a solução do problema.
2.2.3. AHP
Em aplicações de AHP, os pesos dos critérios são obtidos com um procedimento
mais sofisticado do que a simples atribuição direta de valores. Uma matriz de
comparações entre os critérios, dois a dois, deve ser preenchida. Para as comparações,
geralmente, se adota uma escala linear de 1 a 9, a Escala Fundamental de Números
Absolutos (SAATY, 2005), ou, simplesmente, Escala Fundamental. Os pesos dos
critérios são obtidos baseando-se em uma teoria bem conhecida da Álgebra Linear.
Dada uma matriz de comparações, A, os pesos dos elementos comparados podem
ser obtidos como o autovetor direito da matriz, v, conforme a Equação (8), onde é o
maior autovalor da matriz.
A v = v (8)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Utilidade esperada
Peso do Critério 1
Alternativa 1
Alternativa 2
Alternativa 3
Alternativa 4
29
A Equação (8) gera um sistema com n equações lineares e n+1 variáveis. Existem
diversas marcas de software comercial que realizam este cálculo. O serviço online
Wolfram Alpha (WOLFRAM RESEARCH COMPANY, 2010), também realiza o
cálculo, instantânea e gratuitamente. Além disso, devido às características da Escala
Fundamental, os componentes do autovetor podem ser facilmente estimados com
planilhas eletrônicas. Assim, ao contrário do que ocorre com alguns métodos de
MCDM, aplicações de AHP não necessitam de um software proprietário. Esta abertura
no conhecimento é uma das justificativas para o maior número de aplicações do AHP.
A Tabela 11 apresenta um exemplo de matriz de comparações entre os critérios,
utilizando a Escala Fundamental. Observa-se que o Critério 2 foi julgado “um pouco
mais importante” que o Critério 1. A este julgamento corresponde o valor 3 na Escala
Fundamental. Os pesos dos critérios foram obtidos com a normalização dos
componentes do autovetor direito. Para esta matriz obtém-se = 3.
Tabela 11. Exemplo de comparações entre critérios, com aplicação de AHP
Critério 1 2 3 Peso
1 1 1/3 1 20%
2 3 1 3 60%
3 1 1/3 1 20%
O mesmo procedimento adotado para a obtenção de pesos dos critérios pode ser
utilizado para os valores de desempenho das alternativas. Ou seja, as alternativas podem
ser comparar duas a duas, para cada critério. Do autovetor direito normalizado de cada
matriz de comparações obtém-se o vetor de desempenho, ou de prioridades das
alternativas, para o critério em questão. Assim, a Tabela 12 apresenta a matriz de
decisão. Na linha inferior da tabela está apresentado o maior autovalor obtido para cada
matriz de comparações.
Tabela 12. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de AHP
Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 0,57 0,06 0,18
2 0,06 0,56 0,69
3 0,24 0,26 0,07
4 0,14 0,12 0,07
4,39 4,11 4,04
30
Observa-se que as matrizes de comparações que originaram os componentes da
matriz de decisão possuem autovalores próximos de 4, ou seja, n. Isto é um
indicador da qualidade das comparações: as comparações possuem coerência entre si.
De acordo com a Equação (9), o índice de consistência, , mede o afastamento
entre e n. Este índice não deve ficar próximo de 0,10 (SAATY, 2006).
1
n
n (9)
A Tabela 13 apresenta os índices de consistência das matrizes de comparações
que geraram o vetor de pesos dos critérios (Tabela 11) e a matriz de decisão (Tabela
12).
Tabela 13. Exemplo de índices de consistência, com aplicação de AHP
Variável Tabela 11 Tabela 12
Critério 1 Critério 2 Critério 3
3 4,39 4,11 4,04
0 0,13 0,04 0,01
Observa-se que as matrizes de comparações entre as alternativas não podem ser
consideradas 100% consistentes como a matriz de comparações entre os critérios. Uma
das justificativas é o aumento no número de itens comparados. A questão que surge é se
as comparações com relação ao Critério 1 precisam ser revisadas. Estas comparações
geraram um valor de desempenho superior a 0,5 para a Alternativa 1 e outro valor
inferior a 0,1 para a Alternativa 2. Este deve ser o primeiro foco do tomador de decisão,
caso, não esteja contente com este resultado, ele deve alterar as comparações. A mesma
revisão deve ser feita com relação aos demais critérios. Caso ele esteja satisfeito com o
resultado, isto é com a matriz de decisão, ele pode, sim, aceitar a matriz de decisão, isto
não será um “grande pecado”1.
Caso se opte pela revisão da matriz de comparações, o uso de software específico
para o AHP, como Expert Choice (EXPERT CHOICE, INC., 2009) ou Super Decisions
(CREATIVE DECISIONS FOUNDATION, 2009), pode ser útil. Pois, o software
1 “This is not a big sin” foi uma frase proferida pelo Prof. Thomas Saaty, durante o 6º Simpósio
Internacional sobre o AHP, em referência a = 0,15.
31
realiza cálculos, como a diferença entre as matrizes aij e vi/vj, que indicam rapidamente
qual comparação está mais incoerente com as demais.
O índice de consistência da hierarquia, H, pode ser calculado conforme a
Equação (10) (SAATY, 2006 p. 127):
h
j
n
i
jiijH
ji
w1 1
1,
1,
(10)
Substituindo valores das Tabela 11 e Tabela 13, na Equação (10):
H = 1×0 + 0,20×0,13 + 0,60×0,04 + 0,20×0,01 = 0 + 0,026 + 0,024 + 0,002 = 0,052
Assim, as matrizes de comparações podem ser consideradas consistentes.
Substituindo valores na Equação (1), obtém-se o vetor de decisão apresentado na Tabela
14.
Tabela 14. Exemplo de vetor de decisão, com aplicação de AHP
Alternativa Desempenho global
1 0,18
2 0,49
3 0,22
4 0,11
Os resultados obtidos com a aplicação de AHP são os mesmos da aplicação de
MAUT. Se o problema em questão for um Problema de Escolha, então, a aplicação de
AHP indica a escolha da Alternativa 2. Se for um Problema de Ordenação, o vetor de
decisão ordinal obtido com a aplicação da AHP é o = (3, 1, 2, 4).
A Figura 7 apresenta um gráfico da variação do desempenho global das
alternativas com relação ao peso do Critério 1. Novamente, a opinião de especialista e
do tomador de decisão definirá a Análise de Sensibilidade. Contudo, percebe-se do
gráfico que o desempenho da Alternativa 2 foi um pouco superior na aplicação de AHP,
comparada com a aplicação de MAUT.
32
Figura 7. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade com aplicação de AHP
2.2.4. MACBETH
AHP e MACBETH estão entre os métodos mais aplicados para a solução de
problemas discretos de MCDM, no Brasil, durante a década de 2000 (SALOMON, et
al., 2006). Uma fraca justificativa apresentada por alguns adeptos do MACBETH é que
ele se trata de um método mais recente que o AHP. De facto, o 1º artigo sobre
MACBETH (BANA C., et al., 1994) é 20 anos mais novo que 1º o sobre AHP
(SAATY, 1974). No entanto, AHP e MACBETH têm tantos elementos em comum, que
se pode dizer que o segundo não é muito mais do que uma nova versão do primeiro.
Tanto nas aplicações de AHP, quanto nas de MACBETH, se mede atributos intangíveis
das alternativas com julgamentos inseridos em matrizes de comparações. A qualidade
dos julgamentos, em aplicações de ambos os métodos, é verificada com a coerência
entre as comparações. As principais diferenças entre os métodos incluem a escala
utilizada para as comparações e o procedimento de se obter prioridades através dos
julgamentos.
Em aplicações do MACBETH as comparações entre as alternativas devem
preceder as comparações entre os critérios. As comparações também são inseridas em
uma matriz de comparações. Mas, a escala adotada para as comparações não é uma
escala de números absolutos. Adota-se uma escala de categorias: seis [sic] categorias
semânticas de diferença de atratividade são oferecidas como possíveis respostas para as
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Desempenho global
Peso do Critério 1
Alternativa 1
Alternativa 2
Alternativa 3
Alternativa 4
33
comparações (BANA C., et al., 2005). De facto, conforme apresentado na Figura 8, são
sete categorias.
Categoria Descrição
0 Sem diferença de atratividade
1 Diferença de atratividade muito fraca
2 Fraca diferença de atratividade
3 Moderada diferença de atratividade
4 Forte diferença de atratividade
5 Muito forte diferença de atratividade
6 Extrema diferença de atratividade
Figura 8. Categorias semânticas para comparações
Os vetores de desempenho, possibilidade ou prioridades, das alternativas com
relação aos critérios são obtidos com um modelo de programação linear (PL). No
entanto, muitos usuários do método desconhecem os elementos do modelo como a
função objetivo, variáveis e restrições. As comparações são, geralmente, inseridas no
único software disponível para aplicação do método: M-MACBETH (BANA
CONSULTING LDA., 2007).
Um procedimento, geralmente, adotado nas aplicações de MACBETH é o
estabelecimento de níveis de desempenho para cada critério. Realizam-se comparações
entre estes níveis e o modelo de PL retorna valores de desempenho para cada nível,
conforme a Tabela 15. De acordo com o software M-MACBETH, esta matriz de
comparações pode ser aceita, ou seja, os julgamentos podem ser considerados coerentes
entre si.
Tabela 15. Exemplo de comparações entre níveis de desempenho, com aplicação de MACBETH
Nível N1 N2 N3 N4 N5 Desempenho
Excelente (N1) 0 2 4 5 6 100
Muito Bom (N2) 0 3 4 6 80
Bom (N3) 0 2 4 50
Razoável (N4) 0 3 30
Ruim (N5) 0 0
A matriz de decisão apresentada na Tabela 16 pode ser obtida associando os
dados qualitativos de desempenho apresentados na Figura 4, com os níveis de
desempenho apresentados na Tabela 15. Para todos os critérios foram considerados os
mesmos níveis desempenho.
34
Tabela 16. Exemplo de matriz de decisão, com aplicação de MACBETH
Alternativa Critério 1 Critério 2 Critério 3
1 100 30 30
2 30 100 100
3 80 80 0
4 50 50 0
Após a obtenção da matriz de decisão, o passo seguinte em aplicações de
MACBETH é a obtenção de pesos para os critérios. Assim como no AHP o vetor de
pesos dos critérios é obtido de uma matriz de comparações. As comparações, no
entanto, não são entre os critérios, mas, sim entre a diferença de atratividade entre duas
alternativas virtuais. Ou seja, aij representa qual a diferença de atratividade entre a
escolha de uma alternativa com o melhor desempenho no Critério i ao invés da
alternativa com o melhor desempenho no Critério j.
Devido ao modelo de PL utilizado no software M-MACBETH, um critério
fictício, Inferior, deve ser inserido na matriz de comparações. Trata-se de uma
alternativa com o pior desempenho em todos os critérios. Assim, esta alternativa terá o
peso nulo, e o critério menos importante terá um peso não nulo, sendo também
considerado na tomada de decisão. A Tabela 17 apresenta um exemplo de matriz de
comparações com aplicação de MACBETH. De acordo com o software M-MACBETH,
os julgamentos podem ser considerados coerentes.
Tabela 17. Exemplo de comparações entre critérios, com aplicação de MACBETH
Critério 1 2 3 Inferior Peso
1 0 4 6 26%
2 4 0 0 5 48%
3 0 5 26%
Inferior 0 0
Nota-se que, se o Critério Inferior não fosse inserido, os pesos dos Critérios 1 e 3
seriam iguais a zero. Ou seja, a tomada de decisão seria baseada apenas no Critério 2.
Assim, a inserção do Critério Inferior, mais do que um artifício é um procedimento
necessário nas aplicações de MACBETH.
35
Substituindo-se a matriz de decisão (Tabela 16) e o vetor de pesos dos critérios
(Tabela 17) na Equação (1), obtém-se o vetor de decisão apresentado na Tabela 18.
Tabela 18. Exemplo de vetor de decisão, com aplicação de MACBETH
Alternativa Pontuação global
1 48,4
2 81,6
3 58,4
4 36,8
Os resultados obtidos com a aplicação de MACBETH são os mesmos da
aplicação de AHP e MAUT. Se o problema em questão for um Problema de Escolha,
então, a aplicação de MACBETH indica a escolha da Alternativa 2. Se for um Problema
de Ordenação, o vetor de decisão ordinal obtido com a aplicação da MACBETH é
o = (3, 1, 2, 4).
A Figura 9 apresenta um gráfico da variação do desempenho global das
alternativas com relação ao peso do Critério 1. Percebe-se que o gráfico obtido com
aplicação de MACBETH está mais parecido com o gráfico da aplicação de AHP, do que
o do gráfico obtido com a aplicação de MAUT.
Figura 9. Exemplo de gráfico de Análise de Sensibilidade, com aplicação de MACBETH
(Software M-MACBETH)
36
2.3. Validade da Aplicação de um Método de MCDM
2.3.1. Exemplos de aplicações válidas de AHP
A scaling method for priorities in hierarchical structures (SAATY, 1977) é um
dos primeiros artigos sobre o AHP. Neste artigo são apresentadas duas tabelas,
reproduzidas na Tabela 19. Os componentes da matriz de comparações são respostas à
pergunta: o quanto a cidade i é mais distante de Filadélfia do que a cidade j é? Filadélfia
foi a cidade onde o Prof. Thomas Saaty residiu na década de 1970. Suas respostas foram
dadas com base no cansaço durante voos entre as cidades.
Tabela 19. Distância a Filadélfia
(Fonte: SAATY, 1977)
Cidade CAI TYO ORD SFO LGW YMX Autovetor Distância
[milha]
Distância
normalizada
Cairo (CAI) 1 1/3 8 3 3 7 0,263 5.729 0,278
Tóquio (TYO) 3 1 9 3 3 9 0,397 7.449 0,361
Chicago (ORD) 1/8 1/9 1 1/6 1/5 2 0,033 660 0,032
São Francisco (SFO) 1/3 1/3 6 1 1/3 6 0,116 2.732 0,132
Londres (LGW) 1/3 1/3 5 3 1 6 0,164 3.658 0,177
Montreal (YMX) 1/7 1/9 1/2 1/6 1/6 1 0,027 400 0,019
O índice de consistência da matriz de comparações é = 0,09. Portanto, abaixo do
limite de 0,10. A maior diferença absoluta entre um elemento do autovetor e o vetor de
distâncias normalizadas é igual a 0,036, para Tóquio. Um índice de consistência abaixo
de 0,10 e a pequena diferença entre os componentes dos dois vetores permitem que a
matriz de comparações seja aceita. Ou seja, estes indicadores validam a matriz.
Portanto, este é um exemplo de validação de uma aplicação de AHP.
A validação foi possível porque existe uma solução real para o problema. Como a
solução já existia antes da aplicação de AHP, esta foi uma aplicação ex-post. Outros
exemplos de validação de aplicações ex-post de AHP incluem estimativa de áreas de
figuras geométricas, pesos de objetos em um escritório, e consumo relativo de energia
elétrica de eletrodomésticos (WHITAKER, 2007). Na Seção 2.3.2 apresentam-se
aplicações ex-post de AHP e MACBETH no mesmo problema.
A validação de uma aplicação pode ocorrer também quando se realiza uma
aplicação ex-ante, ou seja, antes que exista uma solução real para o problema. Eventos
econômicos, esportivos, políticos etc. podem ser estudados e o resultado da aplicação
pode ser verificada, posteriormente. Um exemplo ocorreu na previsão do resultado do
37
campeonato mundial de xadrez em 1980 (SAATY, et al., 1991). Foram considerados 2
grupos de critérios (comportamental e técnico), totalizando 18 critérios, como
capacidade de cálculo, ego, experiência etc. A previsão com aplicação de AHP foi que
Anatoly Karpov venceria seis jogos contra Viktor Korchnoi. E foi o que aconteceu.
Assim, quando existir uma solução real para um problema, a validade da
aplicação de um método de MCDM pode ser verificada. Caso os resultados coincidam,
ou pelo menos possam ser considerados próximos, a aplicação pode ser validada; caso
os resultados sejam muito diferentes, a aplicação deve ser invalidada. Com o índice de
compatibilidade apresentado na Seção 2.4.1, pode-se estimar se os resultados estão
próximos ou distantes.
2.3.2. Exemplo de aplicação válida de AHP e inválida de MACBETH
Esta seção apresenta um Problema de Escolha real relacionado com uma decisão
pessoal: a compra de um automóvel. Os métodos AHP e MACBETH seriam aplicados.
Foram consideradas três alternativas. Mas, seus desempenhos foram muito similares em
critérios como beleza, conforto, segurança, status etc. Assim, seria uma decisão
baseada em um único critério financeiro: custos. Mas, há vários tipos de custos
envolvidos com a propriedade de um automóvel, conforme apresentado na Tabela 20.
Os valores foram obtidos de informações de fabricantes ou revendedores.
Tabela 20. Custos de se possuir um automóvel
(Fonte: SALOMON, 2008)
Alternativa Preço
[dólar]
Consumo de combustível
[mpg]
Manutenção anual
[dólar] Depreciação em 3 anos
1 26.000 20 1.200 70%
2 27.000 27 1.320 60%
3 28.000 25 840 50%
O comprador enfrenta alguns trade-offs. Se escolher a Alternativa 1, irá gastar
menos com o custo inicial, preço. Mas, se escolher a Alternativa 2 gastará menos com
combustível, já que este automóvel possui o melhor desempenho em consumo de
combustível, medido em milhas por galão (mpg). Há ainda a Alternativa 3, que se for
escolhida, fará o comprador gastar menos com manutenção anual e recuperar mais
dinheiro com uma revenda após 3 anos, já que este automóvel se depreciará menos.
Assim, não há uma alternativa dominante.
38
A Tabela 21 apresenta comparações entre os critérios, com aplicação de AHP. O
índice de consistência da matriz de comparações é = 0,04. Assim, a matriz pode ser
considerada consistente.
Tabela 21. Pesos dos critérios, com aplicação de AHP
Critério P C M D Pesos
Preço (P) 1 3 5 7 56%
Consumo de combustível (C) 1/3 1 3 5 26%
Manutenção anual (M) 1/5 1/3 1 3 12%
Depreciação (D) 1/7 1/5 1/3 1 6%
Os dados da Tabela 20 podem ser aproveitados para se obter o desempenho das
alternativas com relação a cada critério. Primeiramente, deve ser observado que os
dados de consumo de combustível foram medidos proporcionalmente ao desempenho da
alternativa: ou seja, quanto mais alto for o valor, em mpg, mais preferível será a
alternativa. Para os outros critérios, os dados foram medidos de maneira inversa. Ou
seja, para o preço, por exemplo, quanto maior o valor, pior o desempenho da alternativa.
A Tabela 22 apresenta os valores de desempenho obtidos para as alternativas com a
normalização dos dados de consumo de combustível e com a harmonização dos dados
para os outros critérios. O procedimento de harmonização consiste na soma dos dados,
seguida pela divisão da soma pelo dado inicial e, finalmente, pela normalização.
Tabela 22. Matriz de decisão, com aplicação de AHP
Alternativa Preço Consumo de combustível Manutenção anual Depreciação em 3 anos
1 81/26 → 0,346 20/72 → 0,278 3,36/1,20 → 0,298 180/70 → 0,280
2 81/27 → 0,333 27/72 → 0,375 3,36/1,32 → 0,275 180/60 → 0,327
3 81/28 → 0,321 25/72 → 0,347 3,36/0,84 → 0,426 180/50 → 0,393
A Tabela 23 apresenta o vetor de decisão, obtido substituindo-se a matriz de
decisão e o vetor de pesos dos critérios na Equação (1). O resultado da aplicação de
AHP é a seleção da Alternativa 3.
Tabela 23. Vetor de decisão, com aplicação de AHP
Alternativa Desempenho global
1 0,319
2 0,337
3 0,345
39
Os dados apresentados na Tabela 20 também podem ser aproveitados em uma
aplicação de MACBETH. Primeiramente, devem ser estabelecidos intervalos de
desempenho aceitáveis para cada critério, conforme apresentado na Tabela 24.
Tabela 24. Limites de desempenho para os critérios, com aplicação de MACBETH
Desempenho Preço
[dólar]
Consumo de
combustível [mpg]
Manutenção
anual [dólar]
Depreciação
em 3 anos
Melhor 25.000 30 600 50%
Pior 29.000 20 1.800 90%
A Tabela 25 apresenta as pontuações das alternativas de acordo com cada critério.
Para o melhor valor da Tabela 24 atribuiu-se 100 pontos; para o pior valor foi atribuído
zero. Os demais valores da Tabela 20 foram interpolados linearmente.
Tabela 25. Matriz de decisão, com aplicação de MACBETH
Alternativa Preço Consumo de combustível Manutenção anual Depreciação em 3 anos
1 75 0 50 50
2 50 70 40 75
3 25 50 80 100
A Tabela 26 apresenta comparações entre os critérios. O vetor de pesos dos
critérios foi obtido com utilização do software M-MACBETH. De acordo com este
software a matriz de comparações pode ser considerada consistente.
Tabela 26. Pesos dos critérios, com aplicação de MACBETH
Critério P C M D I Pesos
Preço (P) 0 1 2 3 4 40%
Consumo de combustível (C) 0 1 2 3 30%
Manutenção anual (M) 0 1 2 20%
Depreciação (D) 0 1 10%
Inferior (I) 0 0%
A Tabela 27 apresenta o vetor de decisão obtido com a aplicação de MACBETH.
Tabela 27. Vetor de decisão, com aplicação de MACBETH
Alternativa Pontuação global
1 45,0
2 56,5
3 51,0
40
A Alternativa 2 é a que possui maior pontuação global, devendo ser a escolhida.
Este resultado diverge do obtido com a aplicação de AHP. É importante salientar que a
aplicação de MACBETH foi revista por duas pessoas experientes na utilização do
software M-MACBETH.
A grande dificuldade encontrada pelo tomador de decisão, neste exemplo, foi
realizar as comparações com relação à última coluna. Por exemplo, a comparação entre
Preço e Inferior é uma resposta à pergunta: qual a perda de atratividade entre a escolha
de uma alternativa com o melhor preço e outra com o pior preço? Na Tabela 26 a
resposta é “forte”, ou seja, categoria 4. Mas, o tomador de decisão ficou em dúvida
achando que todas as comparações da coluna Inferior deveriam ser “extrema”, conforme
apresentado na Tabela 28.
Tabela 28. Novos pesos dos critérios, com aplicação de MACBETH
Critério P C M D I Pesos
Preço (P) 0 1 2 3 6 30%
Consumo de combustível (C) 0 1 2 6 27%
Manutenção anual (M) 0 1 6 23%
Depreciação (D) 0 6 20%
Inferior (I) 0 0%
De acordo com o software M-MACBETH a matriz de comparações apresentada
na Tabela 28 pode ser considerada consistente. A Tabela 29 apresenta o novo vetor de
decisão obtido com o novo vetor de pesos.
Tabela 29. Novo vetor de decisão, com aplicação de MACBETH
Alternativa Pontuação global
1 44,2
2 58,0
3 59,5
Observa-se que a Alternativa 3 passa a ser de maior pontuação global. Os dois
usuários experientes no software M-MACBETH foram, novamente, contatados. Um
deles não viu problemas na nova ordenação das alternativas. Considerou ainda que o
preenchimento de todos os componentes de uma coluna da matriz de comparações, com
valores iguais a 6, faz sentido. Mas, não é usual. O segundo especialista não entendeu a
alteração e preferiu não comentar os novos resultados.
41
Os resultados da Tabela 27 devem ser mantidos como resultado da aplicação de
MACBETH nesta seção. Afinal, a aplicação que gerou estes resultados foi validada por
dois especialistas no software M-MACBETH.
Apesar da divergência entre os resultados das aplicações de AHP e MACBETH, o
Problema de Escolha apresentado nesta seção possui uma resposta correta. Ou seja, o
problema pode ser resolvido com Matemática Financeira. Deste modo as aplicações de
AHP e MACBETH podem ser consideradas aplicações ex-post. No entanto, todas as
comparações realizadas com AHP e MACBETH precederam a aplicação de Matemática
Financeira para não enviesar os julgamentos.
Considerando 15 mil milhas dirigidas por ano (a média dos Estados Unidos), dois
dólares por galão de combustível e uma taxa anual de juros de 5%, a Tabela 30
apresenta os custos para cada alternativa ao final de três anos.
Tabela 30. Custos com um automóvel, em dólares
Alternativa Preço de compra Consumo de combustível Manutenção anual Preço de revenda
1 30.098 4.729 3.783 (7.800)
2 31.256 3.503 4.161 (10.800)
3 32.414 3.783 2.648 (14.000)
A Tabela 31 apresenta o vetor de custos totais obtidos com a soma dos custos. É
importante observar que os componentes deste vetor são inversamente proporcionais à
preferência relativa a cada alternativa. Assim, a Alternativa 3 deve ser preferida, pois
possui o menor custo total.
Tabela 31. Vetores de decisão com aplicações de AHP, MACBETH e soma de custos
Alternativa Custo total [dólar] AHP MACBETH
1 30.810 0,319 45,0
2 28.120 0,337 56,5
3 24.845 0,345 51,0
Além do vetor de custos totais, os vetores de decisão com a aplicação de AHP e
MACBETH estão reapresentados na Tabela 31. Em se tratando de um Problema de
Escolha, a aplicação de AHP é válida, pois, indica a seleção da Alternativa 3. A
aplicação de MACBETH deve ser considerada inválida, pois, indica a seleção da
Alternativa 2.
A divergência entre os resultados da aplicação de MACBETH com os de AHP, e,
consequentemente, com os dados reais de custo total, tem duas causas prováveis. Estas
42
causas são características intrínsecas do método. Ou seja, elas podem estar presentes em
qualquer aplicação de MACBETH. A primeira característica é o uso da escala de 0 a 6.
A segunda característica é a inclusão de um elemento virtual nas comparações entre os
critérios. No Capítulo 3 discute-se se estas características podem invalidar mais
aplicações de MACBETH.
2.3.3. Questionamentos sobre a validade do método AHP
AHP é o método de MCDM com maior quantidade de publicações científicas
(WALLENIUS, et al., 2008). Também é um método bastante utilizado no ambiente
corporativo, em parte, devido à disponibilidade de empresas de consultoria e de
software para facilitar a sua aplicação (CREATIVE DECISIONS FOUNDATION,
2009) (EXPERT CHOICE, INC., 2009). Contudo, este método tem sido alvo de criticas
no meio acadêmico. Boa parte destas críticas é totalmente indevida e já foi refutada
(GARUTI A., et al., 2008) (SAATY, et al., 2009). As principais críticas podem ser
generalizadas em seis tipos (GOMES, 2007):
Dificuldades na conversão de comparações linguísticas em numéricas.
Inconsistências impostas pela escala linear de 1 a 9.
Entendimento das questões por quem faz as comparações.
Inversão na ordem de prioridade das alternativas existentes, com a exclusão ou
inclusão de alternativas ou critérios.
O número de comparações necessárias pode ser alto.
Os axiomas do método.
As três primeiras críticas referem-se, principalmente, à Escala Fundamental. De
facto, existem outras escalas que já foram adotadas para a aplicação do AHP
(TRIANTAPHYLLOU, et al., 1994). Assim, este conjunto de críticas logo se tornou um
tema para pesquisas.
Variantes do AHP original chegaram a ser desenvolvidas a partir de contestações
da Escala Fundamental. Dois exemplos são o AHP Multiplicativo (LOOTSMA, 1993) e
o AHP Revisado (TRIANTAPHYLLOU, 2000). Contudo, por meio de vários
experimentos e pela utilização do AHP na prática, a habilidade da Escala Fundamental
para capturar informação e retratar, precisamente, a intensidade de preferência de um
indivíduo está demonstrada (HARKER, et al., 1987).
43
A inversão na ordem de prioridade das alternativas, com a exclusão ou inclusão de
alternativas ou critérios, é um tema recorrente entre os críticos do AHP. Esta crítica é
denominada de ranking reversal (RR). A seguir, apresenta-se um exemplo de RR.
Suponha-se que se deseja comprar um produto. Um fornecedor já foi escolhido e
este informa que pode oferecer quatro modelos diferentes para este produto: A, B, C ou
D. Assim, trata-se de um Problema de Escolha. As condições de preço, de entrega e
pós-venda (no caso, pós-compra) são as mesmas para os quatro modelos. Então, apenas
um critério é utilizado nas comparações: a qualidade do produto.
A Tabela 32 apresenta comparações da preferência pessoal do comprador entre
os modelos. Baseou-se na Escala Fundamental para se realizar as comparações. Para a
matriz de comparações obtém-se um índice de consistência, = 0,06. Ou seja, as
comparações podem ser consideradas coerentes entre si. O vetor de preferências, obtido
com o autovetor, indica a escolha do Modelo B.
Tabela 32. Preferência entre quatro modelos disponíveis para um produto
Modelo A B C D Preferência
A 1 1 3 7 0,37
B 1 1 7 5 0,45
C 1/3 1/7 1 3 0,11
D 1/7 1/5 1/3 1 0,06
Suponha-se que, antes de ser informado da preferência pelo Modelo B, o
fornecedor comunique que o Modelo C se esgotou. Esta é uma informação irrelevante,
pois se trata de um modelo que não seria escolhido, nem em segundo lugar. Ou seja, a
priori, esta informação não alteraria a decisão. A Tabela 33 apresenta as preferências
obtidas apenas com a exclusão das comparações envolvendo o Modelo C.
Tabela 33. Preferência entre três modelos disponíveis para um produto
Modelo A B D Preferência
A 1 1 7 0,49
B 1 1 5 0,44
D 1/7 1/5 1 0,08
O índice de consistência da nova matriz de comparações é < 0,01. Ou seja, as
comparações são mais coerentes entre si de que as apresentadas na Tabela 32. Mas, na
Tabela 33 ocorre uma inversão na ordem de preferência das alternativas, com o Modelo
A passando o Modelo B, e assumindo o primeiro lugar. Esta inversão é um RR.
44
As Tabela 32 e Tabela 33 apresentam violações a um axioma da MCDM: a
condição de preferência ordinal (COP, do inglês, condition of order preference). Ambas
as matrizes de comparações ferem a este axioma. Observa-se que a comparação entre os
Modelos A e B feriu a COP, ao se considerar que a comparação entre ambos os modelos
possuem a mesma preferência (número 1 na Escala Fundamental). Mas, há uma
diferença de preferências no autovetor obtido com as comparações. No entanto, AHP
não é um método concebido com o intuito de atender a este axioma. Isto porque não
existe uma comparação mais importante do que as outras. Assim, não se pode dizer que
a comparação entre os Modelos A e D e a entre os Modelos B e D são menos
importantes do que a entre os Modelos A e B. Aliás, o cálculo do autovetor considera-
as, igualmente (GARUTI A., et al., 2008).
A exclusão de uma alternativa ou de um critério pode ferir a outro axioma da
MCDM: as alternativas e critérios devem ser mutuamente exaustivos. Ou seja, assim,
por exemplo, ao se excluir uma alternativa, a decisão não estará sendo tomada levando-
se em consideração todas as informações necessárias.
Existem vários exemplos de decisões reais em que situações de RR ocorrem. A
eleição para presidente dos EUA, no ano 2000, é um exemplo clássico. Com a saída do
candidato do Partido Verde, a disputa que, estava, claramente, a favor do candidato do
Partido Republicano ficou, tecnicamente, empatada; pois, os candidatos dos Partidos
Democrata e Verde disputavam eleitores com perfil muito parecido. Assim, a discussão
inicial sobre RR deve ser se a inversão é legítima ou não. A seguir apresenta-se um
exemplo mais simples de situação em que RR é legítima (CORBIN, et al., 1974):
Em uma pequena cidade, uma senhora deseja comprar um chapéu para usá-lo
em um evento noturno. Ao entrar na única loja da cidade especializada em
chapéus, ela encontra dois modelos, A e B, que atendem à sua necessidade.
Embora goste dos dois, o chapéu A lhe agrada mais. Entretanto, o vendedor
descobre mais uma caixa e ao apresentar-lhe, percebem que se trata de outro
chapéu, mas, idêntico ao A. Assim, para evitar o constrangimento de ver
outra pessoa usando o mesmo chapéu que o dela, a senhora escolhe o chapéu
B.
O Prof. James Dyer, da Universidade do Texas, em Austin, argumenta que os
axiomas do AHP não estão, suficientemente, fundamentados. Trata-se de uma crítica
não apenas ao método AHP, mas, a todos os métodos de MCDM que se baseiam em
matrizes de comparações, como por exemplo, MACBETH.
45
Em Remarks on the Analytic Hierarchy Process, o procedimento para obtenção
dos pesos das alternativas é considerado arbitrário. E a solução para o problema seria a
síntese do AHP com os conceitos da MAUT (DYER, 1990). Crítica tão polêmica foi
discutida (HARKER, et al., 1990) (SAATY, 1990) logo no mesmo exemplar de
periódico em que foi publicada. As comparações aos pares são, de facto, baseadas no
comportamento racional. Trabalhos em diversas áreas como Ciência Política,
Neurologia e Psicologia (SAATY et al., 2008) comprovam com esta afirmação.
Outra crítica ao método AHP diz respeito ao esforço para a tomada de decisão,
que pode ser medido pelo número de comparações necessárias. Para uma decisão com
nove alternativas e cinco critérios, uma aplicação de AHP necessitará de 190
comparações. Em princípio, esta não é uma critica direta à validade de uma aplicação.
Mas, um maior esforço na tomada de decisão pode gerar impactos na qualidade das
comparações. Assim, dois comentários são pertinentes com relação a esta critica. O
primeiro é que a aplicação de outros métodos, como MACBETH, por exemplo, pode
necessitar de uma maior quantidade de comparações. A inserção de um critério virtual
contribui para isto. O segundo comentário é que esta critica se tornou um tema de
pesquisa. Com o propósito de reduzir o número de comparações necessárias, “o que
permitirá ao grupo focar-se no debate e não na trabalhosa tarefa de preencher, por
completo, cada matriz de comparações” o algoritmo Incomplete Pairwise Comparisons
foi proposto (HARKER, 1987). Este algoritmo apresenta uma maneira científica para
redução do número de comparações necessárias. Contudo, talvez devido à sua
complexidade de cálculo, o algoritmo foi pouco utilizado na prática: existem apenas três
aplicações no Brasil, registradas em uma única tese de doutorado (SALOMON, 2004).
Com o uso de software, como Expert Choice e Super Decisions, é possível se obter o
autovetor a partir de matrizes de comparações incompletas. Porém, o algoritmo vai
além, informando se as comparações já podem ser encerradas ou, se não, qual a próxima
comparação irá trazer mais impacto de acordo com a derivada do autovetor.
Na Seção 2.4 apresenta-se o conceito de compatibilidade entre vetores de decisão.
Este conceito contribui para a validação de aplicações de métodos de MCDM. O
assunto validação também está discutido no Capítulo 3.
46
2.4. Compatibilidade entre Vetores de Decisão
2.4.1. Índice de compatibilidade
Quando os componentes de dois vetores estão próximos, então, os vetores são
compatíveis (GARUTI, 2007). Para medir a compatibilidade entre vetores, de maneira
significativa, o índice de compatibilidade, S, foi proposto (SAATY, 2005). O uso do
índice de compatibilidade é um assunto recente. O artigo Utilização de indicadores na
análise da aplicação de métodos de tomada de decisão com múltiplos critérios
(SALOMON, et al., 2008) é o primeiro e único artigo em português.
O índice de compatibilidade mede o distanciamento entre dois vetores, x e y. S é
obtido da Equação (11), onde e é uma matriz-coluna com todos componentes iguais a 1,
A e B são matrizes obtidas a partir dos vetores (aij = xi/xj, bij = yi/yj) e A • B é o Produto
Hadamard entre as matrizes, ou seja, aij • bij = aij bij.
eBAeTT
2
1
nS (11)
Quanto mais compatíveis são dois vetores, mais próximo S está de 1. Para
vetores idênticos, S = 1. Ou seja, para x = y, tem-se A = B. Assim, A • BT = A • A
T, ou
seja, aij • bT
ij =aij • aT
ij = aij aji. Então, aij • bT
ij = xi/xj xj/xi = 1. Assim, para x = y, A•BT
será uma matriz com todos os componentes iguais a 1. Substituindo na Equação (11):
11
1
1
1
111
111
111
1111 2
22
n
nnS
Tal qual para o índice de consistência, , o índice de compatibilidade deve estar
próximo de 1. O limite 1,1 foi, inicialmente, estabelecido (SAATY, 2005). Assim,
vetores com índice de compatibilidade S > 1,1 não devem ser considerados compatíveis.
A Tabela 34 apresenta três vetores normalizados. Os componentes dos Vetores 1
e 2 estão próximos. Os componentes dos Vetores 1 e 3, não.
Tabela 34. Exemplos de vetores compatíveis e incompatíveis
Alternativa Vetor 1 Vetor 2 Vetor 3
1 0,50 0,52 0,10
2 0,40 0,41 0,60
3 0,10 0,07 0,30
47
Para os Vetores 1 e 2, o índice de compatibilidade é S = 1,03. Como S < 1,1,
estes vetores são compatíveis. Este resultado era esperado. Pois, os componentes dos
vetores estão próximos e, inclusive, possuem o mesmo vetor ordinal: (1, 2, 3). Para os
Vetores 1 e 3, S = 3,13. Assim, estes vetores são incompatíveis. Este resultado também
era esperado. Pois, os componentes destes vetores não estão próximos e eles possuem
vetores ordinais distintos: (1, 2, 3) e (3, 1, 2), respectivamente.
Um aspecto conceitual interessante no índice de compatibilidade é a não
exigência de que os vetores possuam características semelhantes, como idealização ou
normalização. Isto se deve ao fato de que, no cálculo do índice, os componentes dos
vetores não entram, diretamente. Apenas a proporção entre os componentes dos vetores
é considerada nas matrizes A e B. Este aspecto possibilita a utilização do índice para
vetores obtidos por métodos diferentes como AHP e MAUT.
Conforme apresentado na Seção 2.4.2, o índice de compatibilidade pode ser
utilizado até para medir a compatibilidade de vetores cujos componentes possuam
unidades de medida diferentes, como, por exemplo, porcentagem e unidades monetárias.
Assim, o autovetor apresentado na Tabela 19 (Distância a Filadélfia) pode ser
comparado diretamente com o vetor de distância em milhas. Ou seja, para o autovetor e
o vetor de distância em milhas tem-se S = 1,02. Para o autovetor e o vetor de distâncias
normalizadas, tem-se o mesmo S = 1,02.
2.4.2. Exemplos da utilização de índice de compatibilidade
O índice de compatibilidade é, sistematicamente, utilizado no livro The
Encyclicon (SAATY, et al., 2005). Este livro traz cerca de 100 aplicações diferentes de
AHP, em áreas como educação, energia, governo, medicina e saúde, indústria etc. Para
várias aplicações, o índice de compatibilidade é apresentado logo após os resultados. É
uma forma de expressar, numericamente, a validade da decisão. A seguir, apresenta-se
uma das aplicações: a determinação das fatias de mercado entre grandes lojas de
departamentos norte-americanas. As redes de lojas Kmart, Target e Wal-Mart foram
consideradas.
A Figura 10 apresenta uma estrutura hierárquica para este problema, obtida com
aplicação de AHP (ADAMS, 2005). Observam-se cinco grupos de critérios:
características da loja, clientela, localização, merchandise e propaganda. Em cada
grupo há de três a cinco subcritérios: por exemplo, para propaganda tem-se e-mail,
material impresso, rádio e TV.
48
Figura 10. Hierarquia para estimativa da fatia de mercado de lojas de departamento norte-americanas
(Adaptada de ADAMS, 2005)
A Tabela 35 apresenta o vetor de decisão obtido com a aplicação do AHP e
valores reais, obtidos com a normalização das vendas de 1998 (SAATY, et al., 2005).
Não há relatos se a aplicação de AHP ocorreu antes das vendas ocorrerem ou depois.
Assim, esta pode ter sido uma aplicação de AHP, ex-ante ou ex-post.
Tabela 35. Fatia de mercado de lojas de departamento norte-americanas
(Fontes: ADAMS, 2005; SAATY, et al., 2005)
Alternativas AHP Real
Kmart 0,18 0,26
Target 0,18 0,19
Wal-Mart 0,64 0,55
Os vetores apresentados na Tabela 35 possuem um índice de compatibilidade,
S = 1,05. Como S < 1,1, os vetores podem ser considerados compatíveis. Entretanto
observa-se uma pequena diferença entre os componentes dos vetores ordinais: (2, 2, 1),
para a aplicação do AHP, e (2, 3, 1), para os valores reais. Este exemplo indica que o
índice de compatibilidade deve ser estudado com mais aplicações, para se concluir se é
realmente um indicador confiável da validade de uma aplicação.
A Tabela 36 reapresenta os vetores de decisão apresentados nas Seções 2.2.2 a
2.2.4. Observa-se que os vetores possuem características diferentes: o vetor obtido com
aplicação de AHP é normalizado; o obtido com aplicação de MACBETH é idealizado
para 100; e o obtido com aplicação de MAUT é idealizado para 1.
▪ Urbana ▪ Suburbana
▪ Rural
Características da loja
▪ Iluminação ▪ Organização ▪ Limpeza ▪ Empregados
▪ Estacionamento
Propaganda
▪ Material impresso ▪ Radio
▪ TV
Merchandise
▪ Preço baixo ▪ Qualidade
▪ Variedade
Clientes
▪ Colarinho branco ▪ Colarinho azul ▪ Famílias
▪ Adolescentes
Alternativas
▪ Walmart ▪ Kmart
▪ Target
Estimativa da fatia de mercado das lojas de departamentos norte-americanas
Localização
49
Tabela 36. Exemplos de vetores de decisão, com aplicações de AHP, MACBETH e MAUT
Alternativa AHP MACBETH MAUT
1 0,18 48,4 0,31
2 0,49 81,6 0,75
3 0,22 58,4 0,50
4 0,11 36,8 0,25
Para os vetores de decisão obtidos com as aplicações de AHP e MACBETH, o
índice de compatibilidade é S = 1,07; entre AHP e MAUT, S = 1,03; e entre MACBETH
e MAUT, S = 1,02. Assim, todos os vetores podem ser considerados compatíveis. Este
resultado era esperado, uma vez que as aplicações tiveram o mesmo resultado: a escolha
da Alternativa 2. Além disso, os vetores ordinais de todos os vetores de decisão são
idênticos: (3, 1, 2, 4).
A Tabela 31, reapresentada a seguir, apresenta os vetores de decisão com
aplicações de AHP, MACBETH. Há também um vetor de decisão não adimensional, ou
seja, a soma de custos em dólares.
Tabela 31. Vetores de decisão, com aplicações de AHP, MACBETH e soma de custos
Alternativa Custo total [dólar] AHP MACBETH
1 30.810 0,319 45,0
2 28.120 0,337 56,5
3 24.845 0,345 51,0
Para os vetores de decisão obtidos com a aplicação de AHP e com a soma dos
custos, o índice de compatibilidade é S = 1,01. Assim, estes vetores são compatíveis, o
que era esperado, pois, a aplicação de AHP foi considerada válida. O índice de
compatibilidade entre os vetores de decisão obtidos com a aplicação de MACBETH e
com a soma dos custos é S = 1,02. Assim, os vetores também podem ser considerados
compatíveis. Este último resultado não era esperado. Pois, conforme a Seção 2.3.2, esta
aplicação de MACBETH pode ser considerada inválida.
A conclusão desta Seção 2.4 é que o índice de compatibilidade, S, possui vários
aspectos interessantes. Mas, este índice não pode ser o único indicador da validade da
aplicação de um método de MCDM. No Capítulo 3 propõe-se uma contribuição inédita
para utilização do índice de compatibilidade.
50
3. CONTRIBUIÇÕES PARA A VALIDAÇÃO DE APLICAÇÕES DE
MÉTODOS DE MCDM
3.1. Considerações Iniciais
Validar é “tornar válido” (PRIBERAM INFORMÁTICA S.A., 2009). E válido
pode ser entendido como “adequado”, “bom” ou “correto”. Assim, uma aplicação
inválida de um método é entendida como uma aplicação que gerou resultados
incorretos, ou como uma aplicação executada de maneira incorreta.
Quando existir uma solução real para um problema, a aplicação de um método de
MCDM pode ser facilmente validada. Basta se comparar a solução real e o resultado
obtido com a aplicação do método. O índice de compatibilidade pode ser utilizado para
esta validação. No entanto, como se trata de um tema recente, este índice foi pouco
estudado. Ou seja, sua teoria ainda não foi consolidada. Assim, na Seção 3.2 apresenta-
se um estudo mais aprofundado da utilização do índice. Também nesta seção é proposta
um novo procedimento para se calcular o índice de compatibilidade.
Existem, contudo, casos em que não há uma solução real. Ou seja, após aplicar-se
um método de MCDM, não se tem como saber se, caso outra solução fosse seguida, as
consequências da decisão seriam melhores, iguais, ou piores. Neste caso, a decisão pode
ainda ser validada, conforme as considerações apresentadas na Seção 3.3.
3.2. Um Estudo Aprofundado do Índice de Compatibilidade
3.2.1. Domínio da função índice de compatibilidade
A utilização do índice de compatibilidade, S, relatada nesta tese, é a análise da
compatibilidade entre vetores de decisão. Mas, este é o seu propósito e não o seu ser.
Ou seja, antes de ser um índice que pode ser utilizado na análise da aplicação de um
método, S deve ser entendido como um número. Ao longo desta Seção 3.2, o índice de
compatibilidade é, primeiramente, estudado como um número obtido a partir de dois
vetores. Em seguida, o seu uso para vetores de decisão é comentado.
Conforme a Equação (11), o cálculo de S envolve três matrizes: A, B, e e. Uma
das matrizes, e, é constante; as matrizes A e B dependem dos vetores, x e y, que se
deseja analisar a compatibilidade. A primeira questão respondida nesta seção é: qual é o
domínio da função índice de compatibilidade, S = f (A, B, e)? Ou seja, existe alguma
condição em que o índice de compatibilidade não possa ser obtido? A resposta é Sim.
Como aij = xi/xj e bij = yi/yj, então, nenhum componente de x e y pode ser nulo.
51
Em se tratando de vetores de decisão, o domínio xi ≠ 0 e yi ≠ 0, significa que uma
alternativa não pode possuir desempenho global, pontuação global ou utilidade
esperada nula. No entanto, este é um caso raro na prática. Pois, por exemplo, em
aplicações de AHP, esta alternativa precisaria ter desempenho nulo em todos os
critérios. Assim, esta alternativa não precisava ser considerada.
Na Seção 2.4 apresentam-se vários exemplos de utilização de índice de
compatibilidade. Em alguns desses exemplos obtém-se S < 1,1 para vetores que
conduzem a resultados diferentes. Mas, em nenhum desses exemplos, se obtém S > 1,1
para dois vetores compatíveis. Assim, a segunda questão a ser respondida nesta seção é:
existe a possibilidade de se obter um índice de compatibilidade S > 1,1 para dois vetores
compatíveis? Sim, conforme apresentado na Tabela 37.
Tabela 37. Três vetores compatíveis, mas com alto índice de compatibilidade
i xi yi zi
1 0,450 0,490 0,499
2 0,300 0,300 0,300
3 0,200 0,200 0,200
4 0,050 0,010 0,001
Os vetores x e y são, em princípio, bem compatíveis: possuem o mesmo vetor
ordinal, (1, 2, 3, 4), e a máxima diferença absoluta entre dois componentes dos vetores é
0,040. Mas, para estes vetores tem-se S = 1,63. Os vetores y e z parecem ser mais
compatíveis entre si do que x e y, pois a máxima diferença absoluta entre dois
componentes de y e z é 0,009. Mas, para y e z, o índice de compatibilidade é ainda
maior: S = 2,53.
Os vetores da Tabela 37 mostram, portanto, que o índice de compatibilidade
apresenta uma sensibilidade a componentes de valor pequeno. Salienta-se que esta
sensibilidade não é com relação ao valor absoluto do componente, mas, sim, seu valor
relativo. Por exemplo, para vetores idealizados em 100, como em aplicações de
MACBETH, um componente de valor 10 já pode impactar o índice de compatibilidade.
Em princípio, a sensibilidade a componentes, relativamente, pequenos pode não
ser um problema na prática. Mas, para um número grande de alternativas, esta
sensibilidade pode gerar resultados incorretos, como a incompatibilidade entre os
vetores x, y e z, do exemplo anterior.
52
As respostas das duas primeiras questões estão, de certo modo, relacionadas. Ou
seja, se algum componente de um vetor for nulo, então, o índice de compatibilidade não
pode ser calculado. Se algum componente for relativamente pequeno, então o índice de
consistência obtido pode indicar incompatibilidade entre vetores compatíveis. Assim,
surge outra questão: existe uma maneira de se utilizar índice de compatibilidade, sem as
dificuldades apontadas nas duas questões anteriores? Isto é respondido na Seção 3.2.2
3.2.2. Índice de compatibilidade ordinal
Nesta tese propõe-se o índice de compatibilidade ordinal, V, entre vetores x e y,
calculado pela Equação (12). Trata-se da mesma equação utilizada no cálculo do índice
S. Porém, as matrizes C e D, utilizam os vetores ordinais o e p, dos vetores, x e y,
conforme as Equações (13) e (14). Assim, cij = oi/oj, dij = pi/pj.
eDCeTT
2
1
nV (12)
)(ordem1
i
n
ii xo
(13)
)(ordem1
i
n
ii yp
(14)
Para dois vetores idênticos, x = y → S = 1. Este comportamento também é
observado com o novo índice de compatibilidade. Pois, x = y → o = p → V = 1. Assim,
propõe-se V ≤ 1,1 como limite para a compatibilidade ordinal.
O domínio da função V é mais abrangente que S. Pois, não há possibilidade de um
vetor ordinal possuir um componente nulo. Então, mesmo que algum dos vetores que se
deseja obter o índice de compatibilidade tenha um componente nulo, o índice de
compatibilidade ordinal poderá ser obtido. Por exemplo, para x = (0,6; 0,3; 0,1) e y =
= (0,6; 0,4; 0), tem-se o = p = (1, 2, 3) e V =1.
Para os vetores x, y e z apresentados na Tabela 37, tem-se o mesmo vetor ordinal,
então, para estes vetores tem-se V = 1. O que significa que eles são ordinalmente
compatíveis, de acordo com o novo índice.
Para os vetores cardinais da Tabela 36, tem-se os vetores ordinais apresentados na
Tabela 38. Os vetores ordinais da aplicação de AHP e da soma de custos são idênticos,
portanto, tem-se V = 1. Para os vetores ordinais da aplicação de MACBETH e da soma
dos custos, tem-se V = 1,36.
53
Tabela 38. Vetores ordinais de decisão com aplicações de AHP, MACBETH e soma de custos
Alternativa Custo total AHP MACBETH
1 3 3 3
2 2 2 1
3 1 1 2
De acordo com o índice de compatibilidade ordinal, o resultado da aplicação de
AHP é compatível com a soma dos custos, pois, V = 1. Mas, o resultado da aplicação de
MACBETH é incompatível com a soma dos custos, pois, V = 1,36. Ou seja, neste
exemplo, V indica incompatibilidade entre dois vetores cardinais que apresentam
diferença de ordem na 1ª posição. Devido à proximidade dos componentes dos vetores
cardinais, tem-se S < 1,1. Assim, S e V apresentam resultados contraditórios sobre a
compatibilidade entre a solução real e os resultados da aplicação de MACBETH.
A Tabela 36 (Exemplos de vetores de decisão com aplicações de AHP,
MACBETH e MAUT) reapresenta os vetores de decisão do exemplo apresentado nas
Seções 2.2.2 a 2.2.4. Estes vetores possuem vetores ordinais idênticos: (3, 1, 2, 4).
Assim, qualquer combinação destes vetores, dois a dois, resulta em V = 1. Contudo,
para nenhuma destas combinações se obtém S = 1. Assim, pode-se dizer que, neste
exemplo, o índice de compatibilidade S possui um poder discriminatório superior a V.
Por exemplo, S indica que os resultados entre MACBETH e MAUT são mais
compatíveis entre si do que os de AHP e MACBETH.
A Tabela 35 (Fatia de mercado de lojas de departamento norte-americanas)
apresenta dois vetores cardinais relativamente, próximos, para os quais se obtém
S = 1,05. Há uma pequena diferença entre os componentes dos vetores ordinais:
(2, 2, 1), para a aplicação do AHP, e (2, 3, 1), para os valores reais. Para estes vetores
ordinais, se obtém V = 1,04. Assim, como, neste exemplo, os vetores não são idênticos,
S apresenta, novamente, um poder discriminatório superior a V, porque S > V.
Conforme Seção 2.4.1, para o autovetor apresentado na Tabela 19 (Distância a
Filadélfia) e para o vetor de distâncias reais, S = 1,02. Mas, como ambos os vetores geram
o mesmo vetor ordinal, o = (2, 1, 5, 4, 3, 6), então, tem-se V = 1. Novamente, o poder
discriminatório de S é superior a V.
Na Seção 3.2.3 com análise combinatória em planilhas eletrônicas, o
comportamento de V é analisado. As diferenças entre os valores de S e V, nos exemplos
apresentados nesta seção e uma análise sobre o maior poder discriminatório de S é
apresentada na Seção 3.2.4.
54
3.2.3. Comportamento do índice de compatibilidade ordinal
Existem apenas três vetores ordinais possíveis, com dois componentes: o1 = (1, 1),
o2 = (1, 2) e o3 = (2, 1). A Tabela 39 apresenta o índice de compatibilidade ordinal
obtido para todas as combinações possíveis, sem repetições de ok e oh.
Tabela 39. Índice de compatibilidade ordinal entre vetores com dois componentes
o1 e o2 o1 e o3 o2 e o3
1ko 1 1 1
2ko 1 1 2
1ho 1 2 2
2ho 2 1 1
V 1,13 1,13 1,56
Os dados da Tabela 39 apresentam um aspecto interessante do comportamento do
índice de compatibilidade ordinal. Para vetores ordinais com dois componentes, o e p,
se o = p, então, V = 1; senão, ou seja, se o ≠ p, então V > 1,1. Assim, vetores com dois
componentes só podem ser considerados compatíveis, ordinalmente, se gerarem vetores
ordinais idênticos.
Vetores de decisão com apenas dois componentes são frequentes. Exemplos de
decisões com apenas duas alternativas incluem eleições políticas, em segundo turno;
finais de campeonatos esportivos; na Engenharia de Produção, há a famosa decisão de
make or buy; e no dia-a-dia, uma decisão simples, e nem sempre fácil: sim ou não.
Resumindo o comportamento do índice de compatibilidade ordinal, para vetores
de decisão com dois componentes, é o seguinte. Caso os vetores de decisão apresentem
a mesma ordem, então há compatibilidade ordinal entre os vetores. Caso contrário, não
há compatibilidade.
Por exemplo, para os vetores de decisão (0,6; 0,4) e (0,5; 0,5) tem-se S = 1,04 e
V = 1,13. Assim, estes vetores são compatíveis, cardinalmente, e incompatíveis,
ordinalmente. Esta divergência pode ser legítima a favor de V, se o primeiro vetor for,
por exemplo, o resultado real de uma partida de futebol, e o segundo vetor for uma
previsão com aplicação de um método de MCDM. A diferença entre um empate e uma
derrota, pode ser decisiva, e, portanto, estes resultados não são compatíveis. Assim, este
é um exemplo em que V possui um maior poder discriminatório do que S.
Existem treze vetores ordinais possíveis com três componentes: o1 = (1, 1, 1),
o2 = (1, 1, 3), o3 = (1, 2, 2), o4 = (1, 2, 3), o5 = (1, 3, 1), o6 = (1, 3, 2), o7 = (2, 1, 2),
55
o8 = (2, 1, 3), o9 = (2, 2, 1), o10 = (2, 3, 1), o11 = (3, 1, 1), o12 = (3, 1, 2), o13 = (3, 2, 1).
Portanto, há 78 combinações possíveis, sem repetição, destes vetores, dois a dois.
Conforme comentado na Seção 1.2, a elaboração desta tese seguiu uma
abordagem qualitativa-quantitativa. Ou seja, pretendeu-se atender aos objetivos e
apresentar as contribuições, com um número não exaustivo de exemplos. Assim, das 78
combinações possíveis 12 foram analisadas. Ou seja, todas as combinações envolvendo
um vetor. Escolheu-se o vetor o4 = (1, 2, 3). A Tabela 40 apresenta o índice de
compatibilidade ordinal obtido para os vetores o4 e ok (k = 1, 2, 3, 5, 6... 13).
Tabela 40. Índice de compatibilidade ordinal entre vetores com três componentes
o1 e o4 o2 e o4 o3 e o4 o4 e o5 o4 e o6 o4 e o7 o4 e o8 o4 e o9 o4 e o10 o4 e o11 o4 e o12 o4 e o13
1ko 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3
2ko 1 1 2 3 3 1 1 2 3 1 1 2
3ko 1 3 2 1 2 2 3 1 1 1 2 1
V 1,22 1,11 1,04 1,47 1,11 1,41 1,36 1,67 1,77 2,27 1,77 2,09
Observa-se da Tabela 40 que apenas para um caso, o3 e o4, se têm V < 1,1. Este é
o mesmo caso dos vetores da Tabela 35 (Fatia de mercado de lojas de departamento
norte-americanas), conforme apresentado na Seção 3.2.2. No entanto, os vetores da
Tabela 35 são o9 e o10, para os quais se obtém o mesmo V = 1,04. Nestes dois casos, o
maior componente do vetor x corresponde ao maior componente do vetor y.
A Tabela 41 apresenta exemplos de três vetores cardinais com cinco
componentes, yk (k = 1, 2, 3). Índices de compatibilidade cardinal e ordinal, S e V, para
os vetores x = (0,40; 0,30; 0,15; 0,10; 0,05) e yk também são apresentados nesta tabela.
Tabela 41. Exemplos de vetores cardinais com cinco componentes
x e y1 x e y2 x e y3
1ky 0,40 0,40 0,30
2ky 0,30 0,30 0,40
3ky 0,15 0,05 0,15
4ky 0,05 0,10 0,10
5ky 0,10 0,15 0,05
S 1,21 1,60 1,03
V 1,02 1,11 1,21
56
Entre os vetores x e y1, os três maiores componentes são, exatamente, os mesmos.
Ou seja, apenas há uma inversão entre os dois menores componentes dos dois vetores.
Mas, com os índices de compatibilidade obtidos, S > 1,1 e V < 1,1, os vetores podem ser
considerados incompatíveis, cardinalmente, e compatíveis, ordinalmente. Em se
tratando de vetores de decisão, uma troca entre a quarta e a quinta alternativa não
justifica considerar incompatíveis. Assim, o menor poder de discriminação de V torna-
se irrelevante, neste caso.
Entre os vetores x e y2, os dois maiores componentes permanecem os mesmos. Ou
seja, há uma permutação entre os terceiro maior e o menor componente dos dois
vetores. Mas, com os índices de compatibilidade obtidos, S e V < 1,1, os vetores podem
ser considerados incompatíveis, cardinalmente e ordinalmente. Em se tratando de
vetores de decisão, é uma situação dúbia. Maioria das alternativas teve sua ordem
trocada. Mas, as duas alternativas mais preferíveis, não. O índice V = 1,11 não deve ser
entendido como uma obrigação de se considerar x e y2 incompatíveis. Ao invés disso,
este indicador deve servir como um alerta. Em uma situação menos rigorosa ou em um
problema de escolha os vetores podem ser considerados compatíveis. Em uma situação
mais rígida, como num Problema de Ordenação, a terceira posição pode ser importante,
o que justificaria a incompatibilidade entre os vetores.
Entre os vetores x e y3, os dois maiores componentes se permutaram. No entanto,
os três menores componentes dos dois vetores mantiveram-se os mesmos. Mas, com os
índices de compatibilidade obtidos, S < 1,1 e V > 1,1, os vetores podem ser
considerados compatíveis, cardinalmente, e incompatíveis, ordinalmente. Para vetores
de decisão a incompatibilidade está clara, uma vez que os vetores indicariam
alternativas diferentes na primeira posição. Tanto um Problema de Escolha quanto um
Problema de Ordenação teriam soluções diferentes com cada vetor.
O exemplo apresentado na Tabela 41 não tem o propósito de evidenciar a
superioridade do índice de compatibilidade V sobre S. Até porque, mesmo quando se
segue uma abordagem qualitativa-quantitativa de pesquisa, um exemplo não evidencia,
teoricamente, nada. O propósito destes exemplos, desta seção e desta tese é recomendar
que os índices S e V sejam utilizados conjuntamente, pois, apresentam resultados,
conceitualmente, distintos: compatibilidade cardinal e ordinal. O fato de se obter valores
diferentes, numéricos e conceituais, para S e V, em vários exemplos, evidencia a
necessidade de utilizá-los em conjunto. Pois, se fosse obtido o mesmo resultado em
todos os exemplos, bastaria um índice.
57
Outro destaque do exemplo apresentado na Tabela 41, é que o poder de
discriminação de um índice não deve ser considerado sua característica mais importante.
Afinal, um índice com alto poder de discriminação, no caso extremo, gera vários
alarmes falsos. As principais características que um índice de compatibilidade deve
apresentar são as suas capacidades de indicar compatibilidade entre vetores compatíveis
e incompatibilidade entre vetores incompatíveis.
3.3. Validação de Aplicações de Método de MCDM
3.3.1. Aplicações ex-ante, ex-post ou sine solutio
Na Seção 2.3, exemplos de validação de aplicações ex-ante e ex-post de AHP são
apresentados. Uma aplicação ex-ante ocorre quando a aplicação antecede o
conhecimento de uma solução real, ou oficial, para o problema. Uma aplicação ex-post
ocorre quando a solução para um problema já existe no momento em que se aplica um
método para a tomada de decisão. Há ainda um terceiro tipo aplicação, sine solutio,
quando uma solução real não existe ou não será conhecida. Para os dois primeiro tipos
de decisão, os índices de compatibilidade podem ser utilizados. Assim, a validação de
uma aplicação de um método.
Uma aplicação ex-post de um método de MCDM pode parecer inútil. Afinal, para
que aplicar um método em um problema que já se conhece a solução? Existem muitas
justificativas. A primeira é que pode se tratar de um Problema de Descrição. Assim, o
que se deseja é conhecer as alternativas e critérios. A segunda justificativa é que um
problema que já se conhece a reposta pode ser utilizado para validar um método de
MCDM, para validar um modelo (isto é, os conjuntos de critérios e alternativas) e até
mesmo validar um instrumento, um método, ou um procedimento de validação. As
primeiras três justificativas podem justificar uma quarta, e mais importante: um
problema de decisão similar pode ser ocorrer no futuro.
A primeira justificativa, o entendimento de uma tomada de decisão tem um
exemplo recente, importante e, metodologicamente, interessante. O Problema da
Escolha da cidade sede dos jogos olímpicos de verão de 2016. A Figura 11 apresenta o
número de votos obtidos pelas cidades candidatas. A maior quantidade de voto em cada
rodada está destacada em negrito.
58
Cidade candidata 1ª rodada 2ª rodada 3ª rodada
Rio de Janeiro 26 46 66
Madri 28 29 32
Tóquio 22 20 0
Chicago 18 0 0
Total 94 95 98
Figura 11. Votação final para escolha da cidade sede dos jogos olímpicos de verão de 2016
(Fonte: INTERNATIONAL OLYMPIC COMMITTEE, 2009)
O processo de escolha do Rio de Janeiro se iniciou em maio de 2007 e só
terminou em outubro de 2009, durante Sessão do Comitê Olímpico Internacional (IOC,
do inglês, International Olympic Committee). A escolha se dá por meio de votação
eletrônica. Todos os membros do IOC votam, com exceção dos membros cujo país
possui cidade candidata na disputa. A cidade com menos votos é eliminada da rodada
seguinte. Assim, os membros do IOC deste país passam a votar na rodada seguinte.
Observa-se na Figura 11 uma situação de RR. Ou seja, na 1ª rodada, Madri foi a
cidade com mais votos. Na 2ª, com a saída de Chicago, o Rio de Janeiro passou Madri,
e se manteve na frente também na 3ª rodada, que foi a decisiva. Um estudo aprofundado
deste processo decisório é, particularmente, interessante para cidades que pretendem
concorrer à sede de jogos olímpicos futuros. Assim, podem entender o que determinou a
vitória da candidatura do Rio de Janeiro.
Na Seção 2.3.2 está apresentada uma aplicação ex-post válida de AHP e inválida
de MACBETH para o mesmo Problema de Escolha. Duas justificativas para a invalidez
da aplicação foram a escala de 0 a 6 e a inclusão do Critério Inferior na matriz de
comparações entre critérios. Porém, existe outra diferença entre as aplicações de AHP e
MACBETH apresentadas naquela seção. Os dados da Tabela 20 (Custos de se possuir
um automóvel) foram utilizados em cada aplicação de maneira distinta. Assim, a Seção
3.3.2 apresenta outra aplicação de AHP, MACBETH e MAUT para outro problema de
escolha. Estas são aplicações sine solutio, pois, não existe uma solução conhecida para
o problema.
59
3.3.2. Exemplo de aplicação sine solutio de AHP, MACBETH e MAUT
Este exemplo é baseado em um estudo preliminar sobre a análise do desempenho
de alternativas de controle da produção em um ambiente com muitas interrupções
(BRENNAN, et al., 2004). Foi desenvolvida simulação de um sistema de produção
composto por quatro estações de trabalho.
No caso de uma interrupção havia quatro alternativas possíveis:
1. Ignoram-se as listas de programação e inicia-se a processar os pedidos com
maior tempo de processamento.
2. O sistema de produção pede, imediatamente, uma reprogramação.
3. O sistema apenas espera a interrupção acabar.
4. Quando ocorre uma interrupção, espera-se por um intervalo de tempo, em
seguida solicita uma reprogramação.
A Tabela 42 apresenta os dados obtidos com a simulação. A única afirmação do
estudo preliminar é que embora a Alternativa 3 não gere nenhuma reprogramação, seu
desempenho em tempo de fluxo foi muito ruim. Assim, esta é a pior alternativa.
Tabela 42. Dados de simulação de um sistema de produção
(BRENNAN, et al., 2004)
Alternativa Tempo de fluxo [min] Reprogramações
1 154,5 57
2 158,5 57
3 175,0 0
4 155,0 32
A Tabela 43 apresenta a utilidade obtida para cada alternativa. Conforme
observado no estudo, o tempo de fluxo é o atributo mais importante do desempenho de
uma alternativa de controle da produção. Assim, adotou-se w = (0,67; 0,33).
Tabela 43. Matriz de decisão, com aplicação sine solutio de MAUT
Alternativa Tempo de fluxo Reprogramações Utilidade esperada
1 1 0 0,67
2 0,80 0 0,54
3 0 1 0,33
4 0,98 0,44 0,80
Conforme apresentado na Tabela 43, a Alternativa 3 é a de menor utilidade
esperada. Este resultado está compatível com a conclusão do estudo preliminar. A
60
Alternativa 4 é a de maior utilidade esperada. Este resultado vai além das conclusões do
estudo preliminar.
A Tabela 44 apresenta as comparações entre os critérios, considerando
observações do estudo preliminar.
Tabela 44. Pesos dos critérios, com aplicação sine solutio de AHP
Critério Tempo de fluxo Reprogramações Peso
Tempo de fluxo 1 5 83%
Reprogramações 1/5 1 17%
Ambos os critérios da Tabela 42 são medidos de maneira inversamente
proporcional ao desempenho da alternativa. Assim, os dados desta tabela podem ser
aproveitados, sendo harmonizados. Mas, os números de reprogramação não podem ser
harmonizados porque, para a Alternativa 3, este valor é zero. A harmonização dos
números de reprogramação resultaria em um desempenho infinito para a Alternativa 3 e
desempenhos nulos para as demais. Com relação ao tempo de fluxo, a harmonização
também não retornaria valores adequados, pois os valores de tempo estão na mesma
ordem de grandeza. Mas, no chão-de-fábrica, 20min são uma eternidade.
As Tabela 45 e Tabela 46 apresentam comparações entre as alternativas de acordo
com tempo de fluxo e número de reprogramações, respectivamente. Observa-se na
Tabela 46 que nas comparações envolvendo a Alternativa 3 usou-se o valor máximo da
Escala Fundamental, 9. Ambas as matrizes possuem < 0,1, podendo, então, serem
consideradas consistentes.
Tabela 45. Comparações entre alternativas para tempo de fluxo, com aplicação sine solutio de AHP
Alternativa 1 2 3 4 Desempenho
1 1 1 7 1 0,31
2 1 1 7 1/3 0,24
3 1/7 1/7 1 1/7 0,04
4 1 3 7 1 0,41
Tabela 46. Comparações entre alternativas para reprogramações, com aplicação sine solutio de AHP
Alternativa 1 2 3 4 Desempenho
1 1 1 1/9 1/3 0,06
2 1 1 1/9 1/3 0,06
3 9 9 1 9 0,74
4 3 3 1/9 1 0,14
61
A Tabela 47 apresenta a matriz e o vetor de decisão, com aplicação de AHP.
Assim como na aplicação de MAUT, a Alternativa 3 é a de pior desempenho global e a
Alternativa 4 é a de melhor.
Tabela 47. Matriz e vetor de decisão, com aplicação sine solutio de AHP
Alternativa Tempo de fluxo Reprogramações Desempenho global
1 0,31 0,06 0,27
2 0,24 0,06 0,21
3 0,04 0,74 0,17
4 0,41 0,14 0,36
As Tabela 48 e Tabela 49 apresentam as comparações entre as alternativas, de
acordo com tempo de fluxo e reprogramações, respectivamente. As pontuações foram
fornecidas pelo software M-MACBETH. Observa-se que em ambas as matrizes foram
inseridas duas alternativas: Superior e Inferior. Estas são alternativas de referência e
suas pontuações são 100 e zero, respectivamente. Observa-se na Tabela 49 que como a
Alternativa 3 foi julgada preferível à Alternativa Superior, então, sua pontuação é maior
do que 100. De acordo com o software, ambas as matrizes podem ser consideradas
consistentes.
Tabela 48. Comparações entre alternativas para tempo de fluxo, com aplicação sine solutio de
MACBETH
Alternativa Superior 1 2 3 4 Inferior Pontuação
Superior 0 1 1 6 1 6 100
1 0 0 5 0 5 78
2 0 5 0 5 78
3 0 1 78
4 5 0 5 11
Inferior 0 0
Tabela 49. Comparações entre alternativas, para reprogramações, com aplicação sine solutio de
MACBETH
Alternativa Superior 1 2 3 4 Inferior Pontuação
Superior 0 1 2 2 5 100
1 0 1 1 3 67
2 0 0 2 50
3 5 6 6 0 6 6 200
4 0 2 50
Inferior 0 0
62
A Tabela 50 apresenta as comparações entre os critérios, com o software M-
MACBETH.
Tabela 50. Pesos dos critérios, com aplicação sine solutio de MACBETH
Critério Tempo de fluxo Reprogramações Inferior Peso
Tempo de fluxo 0 4 6 64%
Reprogramações 0 5 36%
Inferior 0 0%
A Tabela 51 apresenta a matriz e o vetor de decisão, com aplicação de
MACBETH. Observa-se que a aplicação de MACBETH resula na Alternativa 3 com a
maior pontuação global. Este resultado é o único que contradiz à análise dos estudos
preliminares.
Tabela 51. Matriz e vetor de decisão, com aplicação sine solutio de MACBETH
Alternativa Tempo de fluxo Reprogramações Pontuação global
1 78 67 74
2 78 50 68
3 11 200 79
4 78 50 68
Para os vetores de decisão da Tabela 47 e da Tabela 51, tem-se S = 1,11 e
V = 2,08. Ou seja, os vetores são um pouco incompatíveis cardinalmente e muito
incompatíveis ordinalmente. Assim, este é mais um exemplo de resultados
incompatíveis com aplicações de AHP e MACBETH. Também é mais um exemplo de
aplicação inválida de MACBETH, pois a aplicação do método resultou na Escolha da
Alternativa 3, julgada como a pior das quatro, em estudo preliminar que gerou os dados
do problema.
Portanto nesta tese apresentam-se duas aplicações inválidas de MACBETH
quando se dispõe de dados numéricos para a solução do problema. No Capítulo 4
apresentam-se as considerações finais da tese.
63
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
4.1. Atendimento de Objetivos e Contribuições da Tese
O objetivo geral desta tese é apresentar contribuições para a análise de aplicações
de métodos de MCDM. A hipótese relacionada com este objetivo é que é possível
analisar aplicações de métodos de MCDM. Com a apresentação de diversos exemplos
de validação, ou invalidação, de aplicações de métodos de MCDM, nos Capítulos 2 e 3,
esta hipótese foi demonstrada.
No Capítulo 2 apresentam-se alguns exemplos de aplicações ex-ante e ex-post de
AHP que podem ser consideradas válidas. Com a utilização dos índices de
compatibilidade cardinal e ordinal esta validação se torna, matematicamente, mais forte.
Contudo, a utilização do índice de compatibilidade cardinal pode não ser adequada.
Assim, um estudo aprofundado sobre este índice está apresentado no Capítulo 3. Nesta
mesma seção, apresenta-se o índice de compatibilidade ordinal, a principal contribuição
inédita da tese.
O índice de compatibilidade cardinal mostrou-se em vários exemplos, com um
maior poder de discriminação que o índice ordinal. Contudo, coforme discutido no
Capítulo 3, as principais características que um índice de compatibilidade deve
apresentar são as suas capacidades de indicar compatibilidade entre vetores compatíveis
e incompatibilidade entre vetores incompatíveis. O comportamento do índice de
compatibilidade ordinal com relação a estas características se mostrou adequado nos
exemplos apresentados.
Uma importante pretensão desta tese é contribuir para o fim do preconceito contra
o AHP entre pesquisadores brasileiros. Não há dúvidas de que esta contribuição está
apresentada na tese. Não só pelos dois exemplos em que aplicações de MACBETH
geraram resultados incorretos. Mas, principalmente, porque se apresentou que, nestes
mesmos exemplos, os resultados de aplicações de AHP são válidos. No Capítulo 3, uma
discussão sobre criticas ao método AHP é apresentada. Do exposto, entende-se que a
aceitação destas críticas como verdadeiras não tem mais embasamento cientifico.
Finalmente, a estratégia qualitativa-quantitativa da pesquisa se mostrou eficaz
com o atendimento do objetivo e com a apresentação de exemplos não exaustivos.
Contudo, os exemplos apresentados cobrem boa parte do assunto estudado. A utilização
de exemplos de aplicações ex-ante e ex-post se tornou, qualitativamente, exaustiva com
uma nova categoria de aplicações: sine solutio.
64
4.2. Temas para Futuras Pesquisas
O estudo do comportamento do índice de compatibilidade ordinal é o primeiro
tema destacado para estudos posteriores. Como este índice é contribuição inédita da
tese, carece de estudos. Um tema sugerido no Capítulo 3 é a extensão da análise das
combinações apresentadas na Tabela 40, para todas as combinações possíveis.
Simulação matemática, e o uso de software como ExpertChoice ou SuperDecisions,
podem contribuir nestes estudos.
O estudo da aplicabilidade dos índices para aplicações de outros métodos de
MCDM, como PROMETHEE e TOPSIS é um tema interessante para pesquisas em
nível de iniciação científica. Aliás, um dos relevantes usos do método AHP, em
faculdades de engenharia norte-americanas, é o ensino de Álgebra Linear.
Outra oportunidade de pesquisas futuras é a realização de aplicações ex-ante de
métodos de MCDM. Existem vários eventos em que se pode realizar este tipo de
aplicação. Particularmente, este ano eleitoral de 2010 oferece inúmeras oportunidades,
em vários níveis: do municipal ao federal; do executivo ao legislativo.
Aplicações ex-post também podem ser utilizadas para validar os índices de
compatibilidade. Do exposto nesta tese há duas grandes oportunidades:
1. Modelar matematicamente o resultado da escolha do Rio de Janeiro como
sede dos jogos olímpicos de 2016 (Figura 11).
2. Mais aplicações com dados numéricos do método MACBETH, pois os
dois únicos exemplos de aplicações invalidas do método nesta situação
sugerem uma possível fragilidade.
Aplicações sine solutio de métodos de MCDM podem ser conduzidas seguindo
conceitos apresentados nesta tese. Os benefícios da estratégia qualitativa-quantitava de
pesquisa adotada na elaboração desta tese pode ser buscados na condução de pesquisas
de vários níveis.
65
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