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Resultados recentes relativos à Conjectura Fraca de Markus -Yamabe

Daniela Paula Demuner

Orientador: Prof. Dr. Carlos Teobaldo Gutierrez Vidalon

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.

"VERSÃO REVISADA APÓS A DEFESA"

USP - São Carlos agosto/2005

Aos meus pais.

Agradecimentos

Agradeço acima de tudo a Deus, pelo dom da vida e por estar constantemente me

provando que é possível crescer diante das dificuldades e também pela felicidade de poder

compartilhar com todos a conquista de mais essa etapa importante em minha vida.

Ao professor Gutierrez, pela sugestão do tema da dissertação, orientando-rrie de modo

objetivo e correto, permitindo-me trabalhar com liberdade e tranquilidade.

Aos meus pais Benito e Lauclir, por me darem a vida, por serem pessoas maravilhosas

nas quais me espelhei para criar meus valores e me tornar a pessoa que hoje; sou, por me

darem todo o apoio moral e financeiro c por me orientarem e me encorajarem em todos

os momentos da minha vida. Minha eterna gratidão!

Ao meu namorado e amigo Alancardek, por sempre me incentivar a seguir erri frente

e sempre estar ao meu lado como toda sua paciência, compreensão e amor.

Aos meus amigos, aqueles que me acompanharam e me ajudaram de perto e aqueles

que torceram por mim de longe, meus mais profundos agradecimentos.

A todos os professores e funcionários do 1CMC, que de muitas formas contribuíram

para a realização deste trabalho, em especial aos professores Ali Tahzibi. Carlos Biasi.

Daniel Levcovitz, Marcelo Saia e Valdir Menegatto.

Aos professores cio Departamento de Matemática da UFES, especialmente o professor

Milton Cobo, pelas valiosas sugestões dadas neste trabalho.

Ao professor Carlos Gustavo Moreira (Gugu), pela atenção dispensada em alguns

resultados.

À Fapesp, pelo suporte financeiro.

Enfim, a todos aqueles que colaboraram de alguma forma para a realização deste

trabalho.

Muito Obrigada!

Resumo

C. Olech |28] provou que os problemas de estabilidade assintótica global de cam-

pos de vetores no R n e injetividade global de aplicações do R n nele próprio estão inter-

relacionados. Neste contexto, deparamo-nos com a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe,

cujo enunciado é o seguinte: Se F : R" —• R n é uma aplicação de classe Cl tal que para

todo ponto p e IR", todos os autovalores da derivada DF(p) têm parte real negativa, en-

tão F é uma aplicação injetiva. O objetivo deste trabalho 6 apresentar alguns resultados

referentes a esta conjectura.

Abstract

It has bocn shown by C. Olech [28] that global asyniptotic stability of vector fielcls of

M" and global injectivity of maps from R n into itself are interrelated problems. In this

context we have the Weak Markus-Yamabe Conjecture whose statement is as follows: If

F : IR" —> IR" be a C1 map such that for ali p E IR'1, ali the eigenvalues of the derivativo

DF(p) have negativo real part, then F is an injectivo map. In this work we present, some

results related to this conjecture.

Sumário

Introdução vii

1 Preliminares 1

1.1 Folheações 1

1.2 Medida e integração 3

1.3 Topologia algébrica 8

1.4 Resultados clássicos da teoria qualitativa das equações diferenciais 10

1.4.1 Campos vetoriais 10

1.4.2 O Teorema de Poincaré-Bendixson 12

1.4.3 Estabilidade assintótica 13

2 Injetividade de aplicações diferenciáveis do plano 15

2.1 Semi-componentes de Reeb 15

2.2 Relação entre semi-componentes de Reeb e injetividade 18

2.3 Sobre a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe bidimensional 25

3 Injetividade de aplicações polinomiais do plano 31

3.1 Semi-componentes de Reeb alinhadas e adjacentes 31

3.2 Sobre a Conjectura Jacobiana forte 35

4 Difeomorfismos locais de IR" que são injetivos 46

4.1 Sobre a Conjectura Fraca de Markus -Yamabe e a Conjectura de Chainberland 46

4.2 Afirmações equivalentes 50

5 Estabilidade assintótica global 54

5.1 Uma solução para a Conjectura de Markus-Yamabe bidimensional 54

5.2 Um contra-exemplo polinomial para a Conjectura de Markus-Yamabe para

n > 3 59

Introdução viii

O estudo da injetividade de aplicações de classe C1 motivou C. Cliamberland a enun-ciar em |10| a seguinte conjectura: "Se F : Rn —> Rn é uma aplicação de classe Cl tal que o conjunto dos autovalores (complexos) da derivada DF(p), p e Rn, não intercepta uma pequena vizinhança da origem, então F é injetiva". Esta conjectura implica a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe (vide [15]). Veremos neste trabalho que as técnicas utilizadas por C. Gutierrez em [18j levam naturalmente à resolução da Conjectura de Chamberland bidimensional.

Os resultados de injetividade para aplicações polinomiais em R'1 se relacionam com a Conjectura Jacobiana de Keller, que em uma de suas formulações estabelece: "Se P : Rn Rn é uma aplicação polinomial tal que d e t ( D P ( p ) ) — 1 para todo p E R'\ então P é injetiva". Esta formulação surgiu depois que S. Pinchuck [301 em 1994 exibiu uma aplicação polinomial P : IR2 —> R2 não injetiva com d e t ( D P ( p ) ) ^ 0 para todo p E R2. Como consequência dos trabalhos de H. Bass, E. Conell e D. Wright [2] e A. Yagzhev [40], sabe-se que se as aplicações polinomiais P : R" —> R" de grau menor ou igual a 3, tal que o conjunto dos autovalores da derivada DF{p), p G R", é igual a { — 1}, são injetivas, então a Conjectura Jacobiana de Keller é verdadeira (vide [38], prova da Pro-posição 8.1.8). Decorre disto que se a Conjectura de Chamberland ou a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe for verdadeira para todas as aplicações polinomiais P : Rn —• R" de grau menor ou igual a 3, então a Conjectura Jacobiana de Keller será verdadeira.

Apresentamos neste trabalho resultados recentes relativos as conjecturas citadas acima. No Capítulo 1 apresentamos definições e resultados básicos concernentes a folheações,

medida e integração, topologia algébrica e teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias, necessários para o desenvolvimento deste trabalho. Deixamos de provar vários dos resultados apresentados a fim de tornar a leitura mais dinâmica.

No Capítulo 2 apresentamos alguns resultados referentes à Conjectura Fraca de Markus-Yamabe bidimensional. O principal resultado demonstrado afirma que se F : R2 —> R2

é uma aplicação diferenciável (não necessariamente de classe C1) e se para algum e > 0, o conjunto dos autovalores da derivada DF(p), p 6 R2, não intercepta [0, e), então F é injetiva. A ferramenta utilizada na prova deste resultado é o conceito de semi-componente de Reeb introduzido em [14].

No capítulo 3 utilizando os conceitos de semi-componentes de Reeb alinhadas e de semi-componentes de Reeb adjacentes introduzidos em [12], obtemos resultados mais finos e elegantes para o caso polinomial da Conjectura Fraca de Markus-Yamabe bidimensional.

No Capítulo 4 resolvemos alguns casos particulares da Conjectura Fraca de Markus-Yamabe e da Conjectura de Chamberland em Rn. Provamos, por exemplo, a validade destas conjecturas para aplicações Lipschitzianas. Além disso, mostramos que a Conjec-tura de Chamberland implica a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe. Finalmente, para

Introdução IX

uma certa família de aplicações, provamos uma equivalência para cada conjectura.

No Capítulo 5 demonstramos o seguinte resultado: Se X : IR2 —> R2 é um campo vetorial diferenciável com uma singularidade na origem tal que, para todo p <G R2 , todos os autovalores da derivada DX(p) têm parte real negativa, então existe uma única semi-trajetória positiva começando em cada ponto do plano e além disso, o seu conjunto w-limito é igual a {0}. Neste capítulo também apresentamos um contra-exemplo polinomial para a Conjectura de Markus-Yamabe em R n , para todo n > 3.

Capí tu lo

1

Preliminares

Neste capítulo apresentamos definições e resultados básicos concernentes a folheações, medida e integração, topologia algébrica e teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias, que serão utilizados 110 decorrer deste trabalho. A maioria das demonstrações são omitidas, mas fornecemos referências de textos onde estas podem ser encontradas, bem como resultados adicionais sobre o assunto. As referências para este capítulo são [5], [6], 121], |22], [25j, 135] e [39],

1.1 Folheações

Neste trabalho tomamos como definição de folheação aquela apresentada em [6] por

C. Camacho e A. Lins Neto. A ideia intuitiva de folheação corresponde à decomposição de uma variedade numa

união de subvariedades conexas, disjuntas, de mesma dimensão chamadas folhas, as quais se acumulam localmente como as folhas de um livro. Mais precisamente, temos a seguinte definição:

Definição 1.1.1 Seja M uma variedade de dimensão m e classe C°°. Uma folheação de classe C e dimensão n de M é um atlas máximo J~ de classe CT em M com as seguintes propriedades:

(a) se {U, 0) G T, então <j>(U) = UíxU2C Rn x Rm-" ; onde Ux e U2 são discos abertos de R" e de respectivamente;

(b) se {U,(j)), (V,'íJj) e F são tais que U fl V ^ 0, então a mudança de coordenadas $ = -ijj O (jrl : (j){U n V) -> i/j(U n V) é da forma <J>(.t,y) = (®i(x,y), $2{y)) , onde (x, y) G R n x Rm- ? l .

1.1 Folheações 2

Dizemos, também, que M é folheada por• T, ou ainda que T é uma estrutura folheada de dimensão n e classe Cr sobre M.

Na Figura 1.1 ilustramos o aspecto de uma variedade de dimensão 2 folheada por uma folheação de dimensão 1.

•tp 0 0 1

Seja T uma folheação de classe Cr e dimensão n > 0 de uma variedade M. Conside-remos uma carta local (U, 0) de T tal que 4>(U) = U\ x U2 C JRn x Rm~". Os conjuntos (jf'l{U\ x c), c £ U-2, são chamados placas de T. Um caminho de placas de J~ é uma sequência OÍ\.; ... , <XK de placas de T tal cjue OÍJ H a J + i ^ 0 para todo j G {1,... ,k — 1}. As folhas de T são as classes de equivalência da relação de equivalência em M dada por:

"jD ~ q, se existe um caminho de placas OL\ , . . . , <xk. corri p G (Xi e q G afc".

Observemos que se T é uma folheação de classe Cr, r > 1, então as placas são subvaxiedades conexas de dimensão n e classe Cr de M. Deste modo, uma folha de T ó um subconjunto de M conexo por caminhos.

Definição 1.1.2 Dizemos que duas folheações T e J~' de uma variedade M são topolo-gicamente equivalentes quando existe um homeomorfismo H : M —• M que leva folhas de T em folhas de T'. O homeomorfismo H é chamado de equivalência topológica entre T e r .

1.2 Medida e integraçao

Nesta seção apresentamos alguns resultados da teoria de medida e integração que serão utilizados no Capítulo 2. Esta seção é também dedicada a demonstrar a Proposi-ção 1.2.8, que será usada para provar o Teorema 2.3.1. Ressaltamos que a demonstração da Proposição 1.2.8 é devida ao professor Gugu.

Neste trabalho consideraremos mensurabilidade com relação a a-álgebra de Lebesgue e m(E) denotará a medida de Lebesgue do conjunto E C IR".

Sejam / : E —> M uma função definida num conjunto E C IR" e x0 £ IR" um ponto de acumulação de E. Recordemos que o limite superior e o limite inferior de / em x0 são definidos, respectivamente, por

limsup f ( x ) = inf{M(6) : 5 > 0} e l iminf/(a;) = sup{?«(6) : 5 > 0}, X—+XQ X—*Xo

onde

M(b) = s u p { f ( x ) : 0 < \x - x0 | < b, x G E}

e

rri(b) — i n f { f ( x ) : 0 < \x — x0\ < b,x G E}.

Seja XQ £ E um ponto de acumulação de E, dizemos que / é semi-contínua superior-mente em x0, se

limsup f ( x ) < f(xo), x—>xo

Notemos que se f(x0) = +oo, então / é automaticamente semi-contínua superiormente

em x0; caso contrário, dado M > f(x0) existe 5 > 0 tal que f ( x ) < M, para todo x G E com \x — xo\ < b. Analogamente, dizemos que / é semi-contínua inferiormente em x0, se

l iminf/(2;) > f(x0). x—>xo

A função / é dita semi-contínua superiormente (resp. inferiormente) em E se é semi-contínua superiormente (resp. inferiormente) em todo ponto de acumulação de E perten-cente a E.

O resultado seguinte é o Corolário 4.16 de [39].

Proposição 1.2.1 Seja E C IR" um conjunto mensurável. Se f : E —> IR é semi-contínua superiormente (resp. inferiormente) em E, então f é mensurável.

Nosso próximo resultado, Teorema de Lusin, nos dá unia propriedade de continuidade

que caracteriza funções mensuráveis. Sua demonstração pode ser encontrada em [221.

Teorema 1.2.2 (Teorema de Lusin) Seja f \ E C I " ^ I uma função mensurável, onde rri(E) < oo. Então, para cada e > 0, existe um, conjunto fechado F C E com m(E \ F) < e e tal que f\F é contínua.

Seja / : E —> R uma função definida num conjunto E c l . Usaremos as notações

f(xo) = lim f i x ) « f{xõ) = lim f ( x ) X —- xo X —> Xo x > xo x < xo

para os limites à direita e à esquerda de f em x0, respectivamente, caso eles existam. O próximo resultado refere-se à diferenciabilidade de funções monótonas sobre R. Sua

demonstração pode ser encontrada em [39].

Teorema 1.2.3 Seja f : (a,b) —> R uma função monótona crescente. Entã,o f tem deri-va,da mensurável f não-negativa em quase todo ponto de (a,b). Além disso,

o < r / < / ( b - ) - / ( o + ) , J a

onde f denota, a, integral de Lebesgue de f .

Para funções diferenciáveis / : U C R" —> R", n > 1, denotaremos a derivada de / no ponto x 6 U por Df(x), assim como sua matriz jacobiana. Quando x G U for tal que Df(x) : R" —> R n não é uma transformação linear sobrejetiva, diremos que x é um ponto crítico de / .

O resultado seguinte é uma versão mais forte do Teorema de Sard, pois não supõe diferenciabilidade em todo ponto, mas somente no conjunto de pontos críticos sob consi-deração. Este resultado é o Teorema 3.3 de 125].

Teorema 1.2.4 Sejam f : U C R" —» R n uma função e S o conjunto dos pontos x G U para os quais Df(x) existe e é não sobrejetora. Então f(S) é um conjunto de medida, nula

Apresentamos a seguir alguns lemas que auxiliarão na prova da Proposição 1.2.8.

Lema 1.2.5 Sejam I C l um intervalo e H : I —> R urna função mensurável. Seja A o conjunto dos pontos x G / tais que

v \H(x + h)-H(x)\ lim : : = OO. h^O \h\

Então A é um conjunto mensurável.

Demonstração: Dados n,k G N. Consideremos o conjunto

Xn,k = < X G I : 3 y G 1, 0 < \y - x\ < n H(y) - H(x)

y ~ x < k> .

Afirmamos que X n fc é um conjunto mensurável. De fato, seja

Un,k = <(t, s) G R2 : 3 y G / , 0 < \y - t\ < n

H(y) - s y-t

< k )• .

Sendo Unik um subconjunto aberto de R2, podemos escrevê-lo como uma união enumerável oc

de retângulos abertos, UUik — \^Jia j)bj) x (cj,dj). Claramente j=i

oo xntk = {x G I : (x,H(x)) G Un>k} = | J [(a^b,) n H^dc^d,))} .

Logo, U,hk é mensurável. E nossa afirmação está demonstrada. oo oo

Notemos que A — I \ XnDaí, usando o fato de que / é mensurável e a k=1n=1 afirmação anterior, concluímos que A c mensurável. •

Sejam K um subconjunto de IR e H : K uma função. Para cada n, r G N, denotemos por C(n, r, K, H) o conjunto dos pontos x G K para os quais existe uma

sequência (xj)i<j<w em H~](H(x)) satisfazendo xJ+i —Xj > - . Vale o seguinte resultado:

Lema 1.2.6 Sejam K C R compacto e H \ K R uma função contínua. Então C(n, r, K, H) é um subconjunto fechado de K.

Demonstração: Seja (xm )m e N uma sequência em C(n , r , K, H) e suponhamos que xm —> x quando m —> oo. Vamos mostrar que x G C(n,r, K, H). Pela definição de C(n,r, K, H), associamos a cada xm uma sequência (xj

rn)i<j<n em H~1(H(xm)) satisfa-zendo xj^1 — xJ

m > K I ] M x} < X| < • • • < Xj

X2 I—> x\ < x\ < • • • < X'2

XM 1 '' XM <:' XRN <C • • • XRN

Observemos que a sequência (xw)meN u o s fornece n sequências (xJm)meN, 1 < J < n.

Afirmamos que existem infinitos índices li < l2 < • • • < h. < • • 1 tais que> P a r a t Qdo j G {1, 2 , . . . , n}, a seqiiência (xj )fceN é convergente, isto é, lim xj = xy De fato, como k k—>oo

xm)meN c uma seqiiência em K e sendo K compacto, então existem infinitos índices rri\ < m 2 < < m k < tais que a seqiiência (•Tr

1„fc)fce^ converge para Xj E K .

Consideremos agora a seqiiência (x^ Da mesma forma, mostramos que existem

infinitos índices rnkí < rrifo < • • • < mki < • • • tais que a seqiiência (x2nik )ieíi converge

para x2 E K. Pela construção da sequência (x2m temos ainda que lim x]n = Xi. kí Í—iOQ ki

Prosseguindo, indutivamente, obteremos infinitos índices l\ < l2 < • • • < 4 < • • • tais

que lim xj = Xj, 1 < j < n . Isso demonstra nossa afirmação. k r̂ OO

Mostremos agora que {xi)x2,--- ,xn} C H~~1(H(x)) e x J + 1 — Xj > 1 < j < n.

Como H(x]lk) — H(xik), 1 < j < n, k E N, segue, da continuidade de H, que

H(xj) = H{x). Logo, (./.../•, /',,} C H~\H{x)). Fixemos.? e {1, 2 , . . . , n - 1}.

Notemos que x ^ 1 > ^ > 0, k E N. Daí, fazendo k —> oo, obtemos que Xj+ Í — Xj >

Logo x E C(n, r, K, H) e, portanto, C(n, r, K, H) é um subconjunto fechado de K. •

L e m a 1.2.7 Sejam / C l um intervalo, H : / —> R uma função e A como no Lema 1.2.5.

Suponhamos que exista um conjunto L C A tal que H\L : L —> H(L) seja um homeomor-

fismo. Então {H\l)-1 : H(L) —> L tem derivada, nula em todos os pontos de H{L).

Demons tração : Escrevamos g = (H\ Sejam y0 E H(L) e x0 E L tais que

H(xo) = y0. Como x0 E A, dado e > 0, existe 6 > 0 tal que

H(x) - y0

x — Xo > x E L1 0 < \x — xQ\ 0 tal que se y E H(L) e 0 < |y — y0\ < p,

então 0 < | g ( y ) — x0 | < 5. Daí,

ít(y) - xo y - yo

< e, y E H(L), 0 < \ y - yQ\ < p.

Logo, g'(yo) — 0. Como y0 E H(L) é qualquer, isso conclui a demonstração do lema. •

Propos i ção 1.2.8 Sejam / C R um intervalo limitado e II : I —> R uma, função mensu-

rável. Seja A o conjunto dos pontos x E I tais que

\H(x + h) - H(x)\ lim — = oo. h-> o \h\

Então A é um conjunto de medida nula.

Demonstração: Suponhamos, por contradição, que A tenha medida positiva. Pelo Teorema de Lusin, existe um conjunto compacto K C A de medida positiva tal que H\K : K K é contínua.

Afirmamos que, para todo y G H(K), (H\K)~1(y) é urn conjunto discreto e, portanto, um conjunto finito. De fato, suponhamos que para algum y G H(K), exista um ponto de acumulação x0 em (H\K)~l(y). Seja (xn)?iepj uma sequência em (H\K)^1(y) convergindo para x0. A compacidade d e K e a continuidade de H em K implicam que x0 G (H\K)~l(y), isto 6, x0 G K e H(XQ) = y.

Seja oín = xn — Xo, n G N. Como lim <xn = 0 e x0 -f <xn G (H\r)~l(y), concluímos que n—»oo

\H(XQ + (Xn) - H(X0)\ lim : : = (J, n—>oo | Oín |

mas isto contradiz o fato de XQ pertencer a K C A. E, portanto, nossa afirmação está demonstrada.

O Lema 1.2.6 implica que o conjunto

oo A(n) = {x G K : é(H\K)-\H(x)) > n} = | J C(n, r, K, H\K)

é mensurável. Assim,

B(n) = A(n) \ A{n + 1) = {x G K : #{H\K)-] (H(x)) = n}

oo também é mensurável. Como K = D{N) é um conjunto de medida positiva e

n= 1 oo

B(n) = [ J \B(n)^C(n,r,K,H\K)\, segue que existem m, r G N tais que o conjunto r=l

B(rn) fl C(m,f, K, H\K) tem medida positiva. Sendo B(M) n C(m,r, K, H\K) um con-junto mensurável e limitado, podemos escrevê-lo como uma união finita de conjuntos mensuráveis tendo diâmetro menor que - . Daí, um desses conjuntos tem medida po-

r sitiva e a restrição da função H a este conjunto é injetora (por definição de B(m) e C(rn,f,K,H\K)). Segue, do Teorema de Lusin, que este conjunto contém um conjunto compacto L de medida positiva tal que H\L : L —H(L) é uma bijeção contínua e, por-tanto, um homeomorfismo. Logo, pelo Lema 1.2.7, (H\ L )~ l : H(L) L tem derivada nula em todos os pontos de H{L). Assim, usando o Teorema 1.2.4 concluímos que L tem medida nula. Esta contradição mostra que A é um conjunto de medida nula. •

1.3 Topologia algébrica

Nesta seção apresentamos a definição de grau local de uma aplicação contínua entre

variedades topológicas conexas e orientadas de mesma dimensão e alguns resultados rela-

cionados a este conceito, a fim de demonstrarmos a Proposição 1.3.7, que será utilizada

no Capítulo 2. A referência para esta seção é [5].

Def in ição 1.3.1 Sejam M e N variedades topológicas conexas e orientadas de dimensão

n > 1 e / : M —» N uma aplicação contínua. Seja y G N tal que Ly = f~l{y) é um

subconjunto compacto de M. Suponhamos que <xLy G Hn(M, M\Ly) e [3y e Hn(N, N\{y})

sejam as classes de orientação ao longo de Ly e em y, respectivamente, e que

/* : Hn(M, M\Ly) —> Hn(N, N\ {?/}) seja o homomorfismo induzido por f . Dizemos que

o número inteiro d e g ( f , y ) satisfazendo /*(<X/ ) = deg(/,?/) • (3:y é o grau local de f em y.

Observação 1.3.2 Se d e g ( f , y ) 0, então

P r o p o s i ç ã o 1.3.3 Sejam M e N variedades topológicas conexas e orientadas de dimen-

são n > 1, f : M N urna aplicação contínua e W um subconjunto compacto e conexo

de Y tal que f~](W) é compacto. Então d e g ( f , y ) independe de y G W.

Sejam M e N espaços topológicos e f,g : M —> N aplicações contínuas. Dizemos que

/ e g são hornotópicas, se existe uma aplicação contínua

H :M x [0,1] N,

tal que H(x, 0) = f ( x ) e H(x, 1) = g(x), para todo x G M . A aplicação H é chamada

uma hornotopia entre / e g.

P r o p o s i ç ã o 1.3.4 Sejam M e N variedades topológicas conexas e orientadas de di-

mensão n > 1, f,g \ M N aplicações contínuas e W um subconjunto compacto e

conexo de N. Se H~l{W) é compacto, onde H é uma hornotopia entre f e g, então

d e g ( f , y ) = d e g ( g , y ) para todo yeW.

Uma vizinhança de um subconjunto L de um espaço métrico M é um conjunto V C M o o

tal que L CV, onde V é o interior de V em M. Em outras palavras, existe um aberto A

de M tal que L C A C V.

Afim de demonstrarmos a Proposição 1.3.7, provaremos dois lemas relacionados à

teoria de espaços métricos.

Lema 1.3.5 Sejam M e N espaços métricos com M compacto, f : M N uma aplica-ção contínua e y0 £ N. Então dada uma vizinhança aberta V de /_1(yo) em M, existe uma vizinhança aberta W de yo em N tal que C V.

Demonstração: Suponhamos que, para cada n £ N , exista um ponto xn tal que xu $ V e f(xn) £ B(y0, l/n) = {x £ M : d(x, y0) < l /n} . Como M \ V é compacto, passando a uma subseqíiência se necessário, podemos supor que lim xn = xq £ M\V. A continuidade n^oo de / implica que lim f(xn) = /(x'o)- Por outro lado, sendo d(f(xn),yo) < l/n, temos que lim f(xn) — r/o. Logo, y0 = f(x0) e, portanto, x() G ,/'"1(yo) C V. Esta contradição prova TL—*0O ' '

o lema. •

Lema 1.3.6 Sejam M e N espaços métricos com M compacto, f : M —> TV uma apli-cação contínua e W um subconjunto fechado de N. Dada uma vizinhança aberta V de f-\W) em M, existe e > 0 tal que se g : M —> N é uma aplicação contínua com d(f(x),g(x)) < e, para todo x £ M, então g~A{W) C V.

Demonstração: Negar a validez do lema significa admitir, para cada n £ N, a existên-cia de uma aplicação contínua gn : M —> iV, com d(f(x), gn(x)) < l/n para todo x £ M, c um ponto xn ^ V tais que gn(xn) £ W. Passando a uma subseqíiência se necessário, podemos supor, em virtude da compacidade de M\V, que lim xn = x0 £ M\V. Como n—too d(f{xn),gn(xn)) < l/n e lim d(f(xn),f(x0)) = 0, segue da desigualdade triangular que

U—too

lim d(g(xn)J(x0)) = 0, n—> oo

ou seja, lim g(xn) = f(x0). Daí, sendo W um conjunto fechado e, para todo n £ N, n—»oo gn{xn) £ W, concluímos que x0 £ f~l(W) C V• Mas isto contradiz o fato de x0 pertencer

a M \ V. O lema está demonstrado. •

Proposição 1.3.7 Sejam U um subconjunto aberto e conexo de Mre; f : U —K"' urna

aplicação contínua e y0 £ Rn tal que y0) é compacto. Suponhamos, também, que d e g ( f , y o ) ̂ 0- Dada uma vizinhança compacta K de / - 1 (yo) em U, existem e > 0 e uma vizinhança compacta e conexa W de y0 tais que se g : U Wl é uma aplicação

o

contínua com d{f(x),g(x)) < e, para todo x £ K, então {g\K)~l{W) C/v. Além disso, O

deg(g\^/y) = deg(/, ?/o) para todo y £ W. Em particular, W C g(K).

Demonstração: Segue do Lema 1.3.5, que existe uma vizinhança compacta e conexa o W de y0 tal que ( / |A-) - 1(W0 CK- Deste modo, aplicando o Lema 1.3.6, obtemos e > 0

tal que se g : U —>• IRn é uma aplicação contínua com d(f(x),g(x)) < e, para todo x £ A",

então (.q\K)~l{W) CK-

Mostremos agora que deg(g|^, y) = deg(/ , y0) para todo y £ W. Pela Proposição 1.3.3,

temos que d e g ( / | o , y ) = deg( / , y0) para todo y £ IU. Notemos que f\ o e g |o são apli-o

cações hornotópicas e H~l(W) é um subconjunto compacto de K x[0,1], onde H é uma

homotopia entre / | o e Logo, pela Proposição 1.3.6, deg(g\0,y) — d e g ( / , y 0 ) , para K ' K K todo y £ W, completando a demonstração da proposição. •

1.4 Resultados clássicos da teoria qualitativa das equa-ções diferenciais

Nesta seção apresentamos alguns resultados da teoria qualitativa das equações dife-

renciais ordinárias.

1.4.1 C a m p o s vetoriais

Nesta subseção, U denotará um subconjunto aberto de IR'1.

Um campo vetorial de classe Cr, r > 0, cm U é uma aplicação X : U —> R™ de classe

Cr. Ao campo vetorial X associamos a equação diferencial

x' = X(x). (1.1)

As soluções desta equação, isto é, as aplicações diferenciáveis : I C K — U tais que

= (1-2)

para todo t £ / , são chamadas curvas integrais de X ou curvas integrais da equação

diferencial (1.1).

Observemos que se U é uma curva integral de X e q = (p(t0), tQ £ / , então

ip : J —> U definida por ijj(t) = tp(t + t0) é também uma curva integral de X, onde

J = { r - t 0 : r e l } .

Um ponto p £ U é dito ponto singular (ou ponto de equilíbrio) de X se X(p) — 0; caso

contrário, p c dito ponto regular de X.

Dizemos que uma curva integral tf : I U de X é máxima, se para toda curva integral

ip : J —> U com I C J e (p = •ip\[ implica que / = J . Em outras palavras, <p é máxima se

não admite nenhuma extensão que também é solução de (1.1). O intervalo I é chamado

intervalo rriaxirnal de existência de ip.

O próximo teorema nos garante a existência de curvas integrais de um campo vetorial

contínuo. Este resultado segue do Teorema 2.1 de [21], página 10.

Teorema 1.4.1 Sejam X : U —> Rn um campo vetorial contínuo e p G U. Então (1.1) tem pelo menos uma solução tp \ I U tal que 0 G I C R e (0) = p.

O próximo resultado e o Teorema 3.1 de [21], página 12.

Teorema 1.4.2 Sejam X : U —> Rn um campo vetorial contínuo e ip uma solução de (1.1) sobre algum intervalo. Então p> pode ser estendida sobre um intervalo maximal de existência (u;_,u+). Se (w_,u;+) é um intervalo maximal de existência, então (p(t) tende à fronteira de U quando t —> lo+ (resp. t — i s t o é, u+ = oo (resp. U- = oo) ou uj+ < oo (resp. cu_ > —oc) c, para todo compacto K C U existe e = e(K) > 0 tal que se t G [u+ — e,u/+) (resp. t G + e]); então <p(t) ^ K.

Observação 1.4.3 A extensão de ip não necessita ser única e, correspondentemente, u^ e u)+ dependem da extensão.

Sejam X : U —> IR" urn campo vetorial contínuo e ip : (a)-,ui+) —» U uma curva integral máxima de X pelo ponto p £ U (</?(0) = p). Dizemos que <pp = {<p(t) : t G (u;_,a;+)} c uma órbita ou trajetória do campo X pelo ponto p e <pp = {ip(t) : t G [0,u;+)} (resp. oÇ — {p>(t) : t G (w_,0]}) é uma semi-órbita positiva ou semi-trajetória positiva (resp. negativa) do campo X pelo ponto p.

Se tu+ = oo, definimos o conjunto

u((pp) ~ {q G Rn : 3 (tn)neN com tn —> oo e ip(tn) —> q, quando n —> oo}.

Analogamente, se c = —oo, definimos

<x(ipp) = {q G R" : 3 (tn)neN com tn —> - o o c <p(tn) —> q, quando n —> oo}.

Os conjuntos acima, U>(ipp) e <x(y?p), são chamados de conjunto UJ-limite e conjunto

oc-lirnite da órbita (pp respectivamente.

Observação 1.4.4 Se condições iniciais determinarem soluções únicas de x' = X(x), então denotaremos por u(p) e a(p) o conjunto w-limite e o conjunto a-limite da órbita de

X que contém p. Neste caso, u(p) e a(p) serão chamados de conjunto cu-limite e conjunto

a-limite de p respectivamente.

O resultado seguinte é o Teorema 1.1 de [21], página 145.

Teorema 1.4.5 Sejam X : U —> Rn um campo vetorial contínuo e ip : [0, oo) —> U uma curva integral de X pelo ponto p. Então u(ipp) é fechado. Se está contida num subconjunto compacto de U, então u(ipp) é não vazio e conexo.

1.4.2 O Teorema de Po inca ré -Bend ixson

Nesta subseção, U denotará um subconjunto aberto de R2 e X um campo vetorial contínuo em U.


Teorema 1.4.6 Seja ip : R —> U uma curva integral de X de período r > 0 tal que X(íp(t)) 0, 0 < t < r. Se o interior da órbita periódica {(p(t) : 0 < t < r} está contido em U, então existe um ponto singular de X no interior da órbita periódica.

O próximo resultado é o Teorema 4.2 de [21], página 154.

Teorema 1.4.7 (Teorema de Poincaré-Bendixson) Seja : [0, oo) —> U urna curva integral do campo X pelo ponto p E U tal que ipp esteja contida num compacto K C U. Suponhamos que </?(ii) ^ pifo), para 0 < t\ < < oo, e que o campo X possua um número finito de singularidades em u(ipp). Então as seguintes afirmações são verdadeiras:

(i) se uj(tpp) contém somente pontos regulares, então uj(<pv) é urna órbita periódica;

(ii) se uj(ipp) não contém pontos regulares, então uj(ipp) é um ponto singular;

(iii) se Lo(tpp) contém pontos regulares e singidares, então uj(ipp) consiste de pontos sin-gulares pi, P2, pn g uma sequência finita ou infinita de serni-órbitas

{'(p(t) : — oo < < t < a + < oo} de X, onde ip : R —» U e estas serni-órbitas não contém pontos singulares, mas ip{(x+) = lim ip(t) (resp. ) = l i m VK^)) existe t — t — > c t -e pertence ao conjunto {pi,p2, • • • ,Pn}-

Observação 1.4.8 Quando condições iniciais determinam soluções únicas de x' = X(x), temos que a_ = —oo e a + = oo, pois <p{t) = pk é a única solução de x' = X(x) passando pelo ponto singular pk.

No próximo teorema, a hipótese ^ pifo) P a r a 0 < íi < t2 < oo" é omitida. Este resultado é o Teorema 4.3 de [21], página 155.

Teorema 1.4.9 Seja y? : [0, oo) —> U urna curva integral do campo X pelo ponto p E U e suponhamos que esteja contida num compacto K C U. Então uj(ipp) contém urna órbita periódica, podendo ser um ponto singular.


Teorema 1.4.10 Seja U uma curva integral máxima do campo X. Se U é simplesmente conexo e X(p) ^ 0, para todo p E U, então ip{t) escapa de qualquer subconjunto compacto de U quando t ui+ (ou t —> cj_).

1.4.3 Es tabi l idade assintót ica

Seja X : IR" — M " um campo vetorial contínuo com AA(0) = 0. Consideremos a equação diferencial

x' = X(x). (1.3)

Dizemos que a origem é localmente assintoticarriente estável ou que 0 é um atrator local de (1.3), se toda solução de (1.3) começando suficientemente próxima de 0 está definida para todo t > 0 e tende a 0 quando t tende para infinito. Mais precisamente, para todo e > 0 existe 5 > 0 tal que se <p{t) é solução de (1.3) e |<^(0)| < 6, então < e para todo t > 0 e lim <p(t) = 0. O conjunto

t—»oo

{p G R n : para cada solução p(t) de (1.3) com y?(0) = p tenha-se lim ip(t) = 0}, t—> oo

é chamado de bacia de atração. Se este conjunto é todo o Rn , dizemos que a origem é

globalmente assintoticarriente estável ou que 0 é um atrator global de (1.3).

O teorema seguinte estabelece uma condição suficiente para que a origem seja local-

mente assintoticamente estável.

Teorema 1.4.11 Seja X : Rn —> Wl um campo vetorial diferenciável com X(0) = 0. Se todos os autovalores da derivada DX(0) têm parte real negativa, então 0 é um atrator local da equação

x' = X{x). (1.4)

Demonstração: A diferenciabilidade de A no ponto 0 nos permite escrever, para todo x G Rn, X(x) = DX(0)x + r(x),

T{CC) onde r : Wl —> Mn é uma função contínua com lim —— = 0.

Denotemos por A a matriz jacobiana de DX(0). Como todos os autovalores de A têm parte real negativa, existem / j > 0 e f c > l tais que \etAx\ < ke~>Jt\x\ para todo x G Mn

T (x) e t > 0 (veja [35]). Ainda, corno l i m ^ p = 0, existe 5 > 0 para o qual \x\ < 8 implica

I ( M ^ P I I < 2V^' Seja ip(t) uma solução de (1.4) com |</?(0)| < - e intervalo maxirnal (u_,cj+) . Sabemos K

que

<p(t) = etAp(0) + I e^Ar(p(s))ds J o

para todo t G Seja a = sup{£ G [0,w+) : \p{t)\ < 5}, então para todo t G [0,<r),

temos

ou seja,

efJtMt)\<8 + ^ I e^(s)\ds. £ J o

Aplicando a desigualdade de Gronwall (veja [35]), obtemos

e^Mt)\<be-f°2ds, t £ [0, cr).

Portanto, |<^(í)| < t4 para todo t £ [0, a). Isto mostra que a = u + , também |y?(i)| < ô

para todo í £ [0,cj+). Logo, pelo Teorema 1.4.2, u + = oo, e é imediato concluir que 0 é

um atrator local, a partir da desigualdade

Mt)\<8er^, t> 0, s e | ^ ( 0 ) | < £ .

Capí tu lo

2

Injetividade de aplicações diferenciáveis do plano

Neste capítulo apresentamos alguns resultados referentes à Conjectura Fraca de Markus-Yamabe bidimensional. A ferramenta utilizada na prova desses resultados é o conceito de semi-componente de Reeb introduzido por A. Fernandes, C. Gutierrez e R. Rabanal em

[14].

2.1 Semi-componentes de Reeb

Nesta seção introduzimos o conceito de semi-componente de Reeb. Para tanto, neces-

sitamos de alguns resultados auxiliares.

Definição 2.1.1 Sejam a > 0 e y , a : [—a,a] —> R2 curvas contínuas e injetivas tais que y(0) = c(0). Dizemos que y([—a, a]) é transversal (resp. tangente) a c([—a, a]) no ponto y(0) = a(0) se existem e > 0, vizinhanças V de y(0) e U de (0,0), em R2, e um homeomorfismo H : V —> U tais que, para | £| < e, H(a(t)) = (£, 0) e H(y(t)) = (M) (resp. H(y(t)) = (t,<£(í)), onde 0(t) > 0 e 0(0) = 0). Se y ( [ -a ,a] ) é tangente a a([—a, a]) no ponto y(0) = a(0) e H e <p (corno acima) podem ser toma-dos de modo que 0(í) = \t\, dizemos que y([—a, a]) tem uma tangencia genérica com cr([—a, a}) no ponto y(0) = er(0).

Esta definição é ilustrada na Figura 2.1.


H o y H o y

Hoa Hoa

tangente transversal

Figura 2.1:

Observemos que se as curvas y e a são também diferenciáveis e os vetores y'(0) e o"'(0) são linearmente independentes, então y([—a, a}) é transversal a a([—a, a]) no ponto

Exemplo 2.1.2 Sejam y, a : M — R2 definidas por y(t) = (t,t3) e a(t) = (t, 0). Um cálculo direto, a partir da definição, mostra que y(R) é transversal a CT(R) no ponto (0, 0), embora os vetores y'(0) e a'(0) não sejam linearmente independentes.

Definição 2.1.3 Para cada aplicação diferenciável F : U C R n —> R™, definimos o seu espectro como o conjunto de todos os autovalores da derivada DF(p) quando p € U. Este conjunto será denotado por Spec(F).

O teorema seguinte, devido a A. V. Cernavskii [8], [9] (veja também [5), [32] e [37]), é uma versão do Teorema da Aplicação Inversa, na qual a aplicação é suposta apenas diferenciável e sem pontos críticos.

Teorema 2.1.4 Sejam U um subconjunto aberto de Wl e F : U —> R™ uma aplicação diferenciável tal que 0 ^ Spec(F). Então F é um homeomorfismo local diferenciável com inversa diferenciável, isto é, F é um difeomorfismo local.

Corolário 2.1.5 Seja F = ( f , g ) : R2 —> R2 uma aplicação diferenciável tal que 0 ^ Spec(F). Então as componentes conexas das curvas de nível de f (resp. g), f~1(c) (resp. g~l(c)), c 6 l , definem as folhas de uma folheação !F(f) (resp. F(g)) de classe C° e dimensão um em M2.

Observemos que as folhas de F ( f ) (resp. F(g)) são subvariedades diferenciáveis de

Sejam L uma folha de T ( f ) e p, q G L. Denotemos por [p,q]j (resp. (p,q)f) o arco

fechado (resp. aberto) de L conectando os pontos p e q.

7(0) =

R: 2

Corolário 2.1.6 Sejam F corno rio Corolário 2.1.5, L C f~l(c), c G R, um,a folha de E ( f ) e p, q G L com p q. Então existem e > 0 e um conjunto fechado B CM.2 contendo [p,q\j tais que F\B : B —> [c — e, c + e] x [g(p),g(q)] é um difeomorfismo. Dizemos neste caso que B é uma caixa de fluxo de J - ( f ) contendo \p,q]f.

Demonstração: Segue do Teorema 2.1.4 que, para cada x G [p,q]j, existem ex > 0 e uma vizinhança aberta Vx de x em R2 tais que F\v : Vx —» (c — ex,c -f ex) x (g(x) — ex,g(x) + ex) é um difeomorfismo. Como (KOieb,?]/ é uma cobertura aberta de [p,q]j e sendo \p,q]f um subconjunto compacto de R2, temos que esta cobertura admite uma subcobertura finita, {VXl, VX2,..., VXn}. Reordenando os Xi's e diminuindo os VX l , se necessário, podemos supor que VXi intercepta apenas VXt_1 e VXi+1.

Sejam e < min{eXi, « = 1, 2 , . . . , n} e D = [c — e, c + e] x [g(p):g{q)}- Tomemos B = F _ 1 ( D ) fl ( U L ^ ) . Observemos que [p,q]/ C B. Definimos h : D —^ B por h(x) = (F\v )_1(2;) se x G D fl F(VXi), í G { 1 , 2 , . . . , n } . Notemos que h está bem xi

definida e é a inversa de F\B : B D. Isso conclui a demonstração do corolário. •

Observações 2.1.7

1. Se L é uma folha de E ( f ) (resp. J-(g)), então g\L (resp. f\L) é estritamente monótona. Em particular, E ( f ) e E(g) são transversais, rio seguinte sentido, cada folha de J~{f) é transversal a todas as folhas de J-{g) que a intercepta.

2. A aplicação f (resp. g) é estritamente monótona em segmentos compactos e conexos transversais a folheação E(f ) (resp E(g)).

3. As folhas de J~(f) (resp. J-(g)) são difeomorfas a R e se acumulam no infinito.

Definição 2.1.8 A orientação de T ( f ) (resp. ^(g)) é definida de modo que se L é uma folha orientada de F ( f ) (resp. F(g)), então g\L (resp. f\L) é crescente em conformidade com a orientação de L.

O termo trajetória da teoria clássica dos campos de vetores será usada sem maiores

comentários para as folhas de T ( f ) c de J~(g).

A definição a seguir é fundamental ao nosso estudo. Seja h0 : R2 —> R dada por

ho(x,y) — xy e consideremos o conjunto

® = {(x,y) G [0,2] x [0,2] : 0 < x + y < 2}.

Definição 2.1.9 Seja F = ( f , g ) • R2 —> R2 urna aplicação diferenciável tal que 0 £ Spec(F). Dado h G {/, g}, dizemos que A C R2 é uma semi-componente de Reeb para E(h) (ou simplesmente urna scR para, E(h)) se existe um homeomorfismo H : 93 —> A o qual é uma equivalência topológica entre ^(ho)]^ e E(h)\A e tal que


(1) o segmento H({(x,y) £ : x + y = 2}) é transversal a folheação T(h) exceto no ponto H( 1,1). Este segmento é chamado de eixo compacto de A;

(2) os segmentos H({(x,y) £ 05 : x — 0}) e H({(x,y) £ 03 : y — 0}) são semi-traj etárias completas de T(h). Estas duas semi-trajetórias são chamadas de eixos não-cornpactos de A.

Figura 2.2: Uma semi-componente de Reeb.

Seja A uma semi-componente de Reeb de J~(f). Segue da definição de A que f\A

é limitada. Como T ( f ) e T(g) são transversais, temos que todas as folhas de F(g)\A

interceptam o eixo compacto de A• Isto mostra que g\A também é limitada.

2.2 Relação entre semi-componentes de Reeb e injetivi-dade

Nesta seção, F = ( f , g ) : R2 —> R2 será uma aplicação diferenciável sem pontos críticos.

Sejam p, q £ R2. No que segue, denotaremos por [p,q] um segmento não necessaria-mente orientado conectando p e q. Se y : [a, ò] —> M2 é uma curva e p, q £ y([a, ò]), [p, q]y

(resp. (p, q)y) denotará o subintervalo fechado (resp. aberto) de y([a, b]) com extremos p e q. As notações [p, q]f (resp. [p, q]g) e (p, q) j (resp. (p, q)g) referirão a arcos de trajetórias de T { f ) (resp. jF(g)).

Definição 2.2.1 Seja y • [0,1] —> R2 um mergulho suave e denotamos C = y([0,1]). Dizemos que F ( f ) está em posição geral com C se existe um subconjunto G de C finito tal que

(1) F ( f ) é transversal a C\G;

( 2 ) J - ( f ) tem uma tangencia genérica com C em cada ponto de G;

(3) uma trajetória de J~(f) pode interceptar tangencialmente C no máximo em um ponto.

Lema 2.2.2 Suponhamos que J - ( f ) esteja em posição geral com C — y([0,1]), onde y : [0,1] —» R2 é um mergulho suave. Suponhamos também que uma trajetória <x de J~(f) intercepta C tangencialmente num ponto p e transversalmente em algum outro ponto de C. Então a trajetória oc contém um arco [r,p}f que intercepta C exatamente em {r,p} (.fazendo isto transversalmente em r) e as seguintes afirmações são satisfeitas:

(i) se D(T) C R2 denota o disco compacto limitado por T = [r,p)Y U [r,p]f, então os pontos de OÍ\ [r,p]J próximos de p não pertencem a D(T);

(ii) sejam f e p pertencentes a C satisfazendo [r,p]y C ( f , p ) y . Se f e p estão sufi-cientemente próximos de r e p, respectivamente., então podemos deformar C em C\ = P([0,1]); (3 : [0,1] —> R2 mergulho suave, de tal forma que esta deformação fixa C \ (r,p)Y e leva [r,p}y em um subintervalo [f,p]p de Ci que está próximo de [r,p]f C a. Além disso, ^ ( f ) está em posição geral com Ci e o número de pontos de tangências de J~(f) corri Ci é menor que o de J - ( f ) com C.

Demonstração: Claramente, a contém um arco de trajetória [r,p]y que intercepta C exatamente em {r,p}. Como T ( f ) está em posição geral com C, oc intercepta C trans-versalmente em r. Seja D(T) C R2 o disco compacto limitado por V = [r,p]y U [r,p]j. Se [r,p]f não satisfaz (i), então os pontos de a \ [r,p)f próximos de p pertencem a D(T). Daí, como T ( f ) é uma folheação de R2, existe um intervalo fechado [p,q]f C a Pi D(T) (veja Figura 2.3) tal que

(ai) a união Ti dos intervalos fechados [q,p]y C [r,p}y e [p, q]f limita um disco compacto

D(Ti) contido em R2 D D(T);

(«2) [p,q]f intercepta C exatamente em {p,q}, fazendo isto transversalmente em q (com uma tangência em p); também, os pontos de a \ [p, q]j próximos de p não pertencem a D(Ti).

Logo, [r,p]f ou \p, q]f satisfaz (z). Denotemos, então, o arco de trajetória de a satisfazendo (i) por [r,p]f. Afirmamos que (i) implica (íí). Com efeito, escolhemos uma pequena caixa de fluxo B de T ( f ) cujo interior contém [r,p)f. Por hipóteses, podemos supor que f , p £ B DC. Observemos que existem um intervalo fechado [f,p] C B transversal a J-{f) (representado por uma linha pontilhada com extremos f e p na Figura 2.4) e um mergulho suave (3 : [0,1] —> R2 tais que C\ = (C \ [f,p]T) U [r,p] = |3([0,1]). Além disso, o número de pontos de tangências de J - ( f ) com Ci é menor que o de J - ( f ) com C. O restante das conclusões de (ii) seguem imediatamente da construção de C\. Portanto, (i) implica (ii) e o lema está demonstrado. •

Figura 2.3: Figura 2.4:

A relação entre semi-componentes de Reeb e injetividade é dada pelo seguinte resul-

tado:

Proposição 2.2.3 Seja F = ( / , g) : R2 —> R2 uma aplicação diferenciável tal que 0 ^ Spec (F) . Se F é não injetiva, então F ( f ) e T(g) possuem semi-componentes de Reeb.

Demonstração: Sendo F não injetiva, existem p\,p2 G R2 com p\ ^ p2 tais que F(pi) = F(p2). Para i — 1,2, seja <Xj a trajetória de ^ ( f ) passando por pt. Como g]^ é estritamente monótona e g{pi) = g(p2), segue que a i n ot2 = 0 .

Seja íl(pl,p2) o conjunto dos arcos compactos C = y([0,1]) que interceptam transver-salmente F ( f ) em {pi,p2}, onde y : [0,1] R2 é um mergulho suave com y(0) = pi e Y(l) - p2. Utilizando o Teorema 2.1.4 e o Lema 2.2.2 é fácil ver que existe E e íl(pi,p2) satisfazendo:

(oq) ^F(f) está em posição geral com E;

(a2) E n oq =pi, i = 1,2;

(a3) E minimiza o número de pontos de tangências com T ( f ) .

Desde que f ( p , ) = /(p^), o íterri 2 da Observação 2.1.7 garante a existência de

q G E \ {p 1,^2}, uma tangencia genérica de F ( f ) com o arco compacto E. Portanto,

observando as trajetórias de F ( f ) ao redor de q, podemos ver que existem subintervalos

fechados [p, q], [q, r] de E com [p, q] n [q, r] — {g}, e um homeomorfismo T : [p, q] —> [q, r]

tal que

(bi) T(p) = r, T(q) = q e, para todo x G (p,ç], existe um arco de t rajetória {x,T(x)]j de F { f ) , começando em x, terminando em T(x) e interceptando E exatarnente e

transversalmente cm {x,T(x)};

(b-2) a família {[x, T{x)]j : x G (p, g]} depende continuamente de x e tende a {q} quando

x tende a q.

Suponhamos agora que

(c) [p, q] seja o subintervalo maximal de E satisfazendo as propriedades (òi) e (62).

Como g(pi) — g(p2), 3~{f) e ^ ( f j ) s ã ° transversais e g restrita às folhas de J - ( f ) é

estritamente monótona, segue que {p,T(p)} f~l {pi,p2} = <2?- Afirmamos que

(d) não existe arco de trajetória [p, T(p)]j de T ( f ) conectando p e T(p) tal que a família

{[x,T(x)]f : x G (p, q}} aproxima continuamente de [p,T(p)]/ quando x tende a p.

De fato, suponhamos que (d) é falsa. Por (c) e pelo fato de que trajetórias de J~(f)

podem interceptar tangencialmente E no máximo em um ponto, então ou [p,T(p)]j é

tangente a E em p ou [p,T(p)]f é tangente a E em T(p) ou existe s G E \ (p ,T(p)} tal

que [p, T(p)}j é tangente a E em s. Em todos os casos, usando o Lema 2.2.2, obtemos um

novo arco compacto E j G 0 (p i , p 2 ) tal que o número de pontos de tangências de T ( f )

com Ei é menor que o de T ( f ) com E. Esta contradição com (a3) prova (d). Portanto,

o subintervalo fechado [p, T(p)J de E é o eixo compacto de uma semi-componente de

Reeb de JF(f) constituída de duas semi-trajetórias de T ( f ) começando em p e T(p),

respectivamente, junto com a união dos arcos [x,T(x)]f, x G (p, q). Logo, F i j ) tem

pelo menos uma semi-componente de Reeb. Analogamente mostramos que F(g) tem pelo

menos uma semi-componente de Reeb. Isso conclui a demonstração da proposição. •

O exemplo a seguir mostra que a recíproca da proposição anterior é verdadeira para

aplicações polinomiais.

E x e m p l o 2 .2 .4 Seja F = ( f , g ) : M2 M2 uma aplicação polinomial preservando orien-

tação. Se F é injetiva, segue, do principal resultado de [4], que F é um difeomorfismo.

Portanto, T ( f ) e T(g) não têm semi-componentes de Reeb. De fato, se T { f ) tiver uma semi-componente de Reeb, digamos A, então F(A) será um subconjunto limitado de R2. Isto não é possível, pois A é ilimitado e F é um difeomorfismo. Analogamente mostramos que J~(g) não tem semi-componentes de Reeb.

Dado 9 G R, denotemos por RE a rotação linear

(cos8 —sen0 \

n '

sen9 coso J

No que segue, Fe = Re o F o R_e = (fe,ge), 9 G M.

Observação 2.2.5 Observemos que F0 é injetiva se, e somente se, F é injetiva. Além disso, para todo 9 G R, Spec(Fe) = Spec(F), isto segue imediatamente da igualdade

DFq(X, y) = REO DF(R^e(x, y)) o R_E.

Proposição 2.2.6 Sejam F — ( / , g) : R2 —> R2 uma aplicação diferenciável não injetiva, tal que 0 ^ Spec(F) e A uma scR de E ( f ) . Se 11(̂ 4) é limitado, onde II : R2 —> R é a projeção ortogonal sobre a primeira coordenada, então existe e > 0 tal que, para, todo 9 G ( — e,0) U (0, e) ; ^ ( f e ) tem uma, scR com o intervalo n(^4e) ilimitado.

A prova desta proposição, precisa do seguinte lema.

Lema 2.2.7 Seja A uma semi-componente de Reeb de T ( f ) . Então existe uma sernt-

componente de Reeb V de E ( f ) a qual coincide com A fora, de um subconjunto limitado

deR2 e o seu eixo compacto, próximo dos extremos, é constituído de arcos de trajetárias

de Ho)-

Demonstração: Se próximo de seus extremos o eixo compacto de A é constituído de arcos de trajetórias de E(g), não há o que demonstrar. Podemos então supor que isto não ocorra.

Sejam pi,p2 £ A os pontos extremos do eixo compacto de A. Para i = 1,2, denotemos por (3i a trajetória de !F(g) passando por pi- Usando a definição de A e o fato de que F ( f ) e E(g) são transversais, garantimos a existência de um arco de trajetória [<?i, Ç2]/ de T ( f ) com extremos q1 G |3i e q2 G (32 e tal que [çi, q2}f í)A^0. Notemos que g(qx) ^ g(q2).

Uma vez que /([<?i, <&]/) = c G R, pelo Corolário 2.1.6, existem e > 0 e um conjunto fechado B C R2 contendo [91,92]/ tais que F | B : D [c - e, c + e] x [.<7(91), <?(ç2)] é um difeomorfismo.

Seja d = ^ ^ > o. Consideremos os conjuntos

íh = {(x,y) £ R2 : y ~ g{qi) = { d ^ (x - c)}

e

«2 = {(x,y) eR2 :y- g(g2) = _ c)}.

Seja íl — í ^ U Observemos que (F| i3)~1(í2) é transversal a folheação T ( f ) exceto no ponto (F\B)~l(c+e,d). Com isso, é fácil ver que existe uma semi-componente de R.eeb T> de T ( f ) cujo eixo compacto é o segmento \pi,q\]g U U [q2,P2\g

e coincide

com A fora de um subconjunto limitado de R2. O lema está demonstrado. •

Demonstração da Proposição 2.2.6: Mostremos inicialmente que

(a) se 0 ^ rJY, para todo m E Z, então J-(fe) e J-(g&) são ambos transversais a i?g(jF(/))

e Re(r(g)).

Com efeito, provaremos somente o caso cm que J-(fe) é transversal a jRe(^r(/)), já que os outros casos seguem de forma análoga a este. Seja oc: [0,1] —> R2 uma curva contínua e injetiva tal que <x([0,1]) é um arco de trajetória de J~{f)- E fácil ver que, para todo

t e [0,1], fe(Re(*(t))) = (cos9)/(a(í)) - (senQ)g(oc(t)). (2.1)

Como sen9 0, g o oc é estritamente monótona e, para todo t E [0,1], f(<x(t)) = c £ R, segue de (2.1) que fdoRdoaé estritamente monótona. Isto mostra que ^ ( / e ) é transversal

a Re(F(f))-Pelo Lema 2.2.7 podemos assumir que, próximo de seus extremos, o eixo compacto de

A é constituído de arcos de trajetórias de T(g). Deste modo, existem 0 < a, < \ e uma curva contínua e injetiva y • (—a, 1 + a) ^ R2 satisfazendo:

(bi) y([0,1]) é o eixo compacto de A;

(b'2) y ( (~« j a ) ) e y ( ( l - a, 1 + a)) são arcos de trajetórias limitados de T(g).

Afirmamos que,

(ò3) para algum 0 < 6 < a, existe uma função contínua e estritamente decrescente ip0 : [—6, 5] (1 - a, 1 + a) com <p0(0) = 1 e f{y(s)) = f(y(<p0(s))); também, se s E (0,5), então existe um arco de trajetória T0(s) C A de T ( f ) conectando y(s) com y(ip0(s)) (veja Figura 2.5).

De fato, sejam : ( - a , a) —> R2 e q2 : (1 - a, 1 + a) —> R2 definidas por i]1(s) — F(y(s)),

s G (-a, a), e rj2(s) = F(y(s)), s e (1 - a, 1 + a). Uma vez que g(y(s)) = c\ G R, para

todo s G (—a, a), e g(y(s)) — c2 G R, para todo s G (1 — a, 1 + a), temos que 771 e r/2 são

homeomorfismos sobre ?/i((—a, a)) e ,72((1 — a, 1 + a)) respectivamente.

Consideremos a aplicação contínua II : R2 —> R2 dada por T[(x,y) = (x,c2), onde c2

é definido acima. Desde que / ( y ( 0 ) ) = / ( y ( l ) ) , existe 0 < 5 < a tal que se s G [—6,5],

então r i f o ( s ) ) C rj2(( 1 — a, 1 + a)). Com isso, definimos <p0 : [—6, 5] — ( 1 — a, 1 + a)

por <po(s) = ?7j1(n(?7i(s))). Notemos que cp0 é uma função contínua, injetiva e, para todo

s G [ -6 ,6 ] , 772(^0(5)) = n(7]i(s)), isto 6, f(y(tf0(s))) = f(y(s)). Logo, pela definição

de A, (fio é estritamente decrescente, <yCo(0) = 1 e, para todo s G (0,5), existe um arco

de t rajetória T0(s) C A de J - ( f ) conectando y(s ) com y (vo( s ) ) - E nossa afirmação está

demonstrada.

Seja 0 G R como 110 item (a). É fácil ver que existe uma família de arcos de trajetórias

de ^ ( / e ) começando e terminando em pontos de i?0(y((—A, 1 + A))) e próxima de RQ(A).

Assim, de maneira semelhante a (bi) — (63), temos que se e > 0 é suficientemente pequeno

então, para cada |0| < e, existem a e G [—6, | ) e uma função contínua e estritamente

decrescente <pe : [—6, 6] —> (1 — a, 1 + a) satisfazendo:

(ci) fe(Re(y(s))) = fe(Re(y(Ms)))), s G [ -5 ,6 ] ;

(c2) para todo s G (cr0, | ] , existe um arco de trajetória Te(s) de J^(/e) que intercepta

J R 0 ( y ( [ - 6 , l + a))) exatamente e transversalmente em seus extremos: Re(y(s)) e

Re(y(Ms)))-,

(C;i) íje é o ínfimo do conjunto dos a G [ - 5 , | ) tais que os arcos da família

{7e(s) : a < s < | } estão bem definidos e dependem continuamente de s;

(c4) T e ( | ) C RE(A) e ^ ( - 6 ) > 1.

2.3 Sobre a Conjectura Fraca de Markus -Yamabe bidimensional 25

A família ( íe(s) : <t0 < s < | } não pode ser continuamente estendida a s = — õ. Suponhamos que isto não ocorra. Como cpe(—8) > 1 e pela definição de Rq(A), segue que existem uma trajetória a C A de F(f)\A e pi,p% G i?e(a)nTe(—6). Sendo /e(pi) = fe(p2) e RQ(<X) um subconjunto conexo de R2, concluímos que J-(fo) é tangente a RQ(OÍ) em um ponto p £ RE(oc), mas isto contradiz (a).

Portanto, o conjunto U<r0<s<£ contém uma semi-componente de Reeb B de ^( /e ) -Também não é difícil ver que um dos eixos não compactos de B está contido em Rg(A). Isto implica que II(£>) é um intervalo de comprimento infinito. A demonstração da proposição está concluída. •

2.3 Sobre a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe bidi-mensional

Nesta seção demonstramos um resultado mais forte que uma resposta positiva à Con-jectura Fraca de Markus-Yamabe bidimensional, o qual afirma que se F : R2 —> M2 é uma aplicação diferenciável tal que, para algum e > 0, Spec(F) H [0, e) = 0 , então F é injetiva. Para tanto, necessitamos de alguns resultados auxiliares.

Sob a hipótese de F ser de classe C1 , o teorema a seguir foi demonstrado por M. Cobo,

C. Gutierrez e J. Llibre em [12].

Teorema 2.3.1 Seja F — ( f , g ) : R2 — R 2 uma aplicação diferenciável. Se para algum e > 0, Spec(F) D ( —e, e) = 0 , então F é injetiva.

Demonstração: Suponhamos, por contradição, que F não seja injetiva. Pela Propo-sição 2.2.3, F ( f ) tem uma semi-componente de Reeb A. Seja II : R2 —> R a projeção ortogonal sobre a primeira coordenada. Fazendo uso da Observação 2.2.5 e da Proposi-ção 2.2.6, se necessário, podemos assumir que 11(^4) é um intervalo ilimitado. Para fixar as idéias, suponhamos que [6, oo) C TI(^4). Então, se a > b é suficientemente grande,

(a) para qualquer x > a, a reta vertical n~ :(:r) intercepta exatamente uma trajetória

ocx C A de F(f)\A tal que n ( a x ) fl (x, oo) = 0 . Em outras palavras, x c o máximo

da restrição n| a ; c .

Desde que <xx é um subconjunto compacto de R2, então

(b) se x > a, ax íl n~'(rr) é um subconjunto compacto de A.

Seja H : (a, oo) —> R definida por

H(x) = sup{y : (x, y)£ctxn n ^ 1 ^ ) } .

Notemos que H restrita a qualquer subintervalo limitado de (a, oo) é limitada. Utilizando

o Teorema 2.1.6 o a definição de A, obtemos que a função

(c) (p : (a, oo) —> M definida por cp(x) = f ( x , H(x)) é contínua e estritamente monótona.

Assim, pelo Teorema 1.2.3, é diferenciável em quase todo ponto de (a, oo).

Afirmamos que

(d) H é uma função mensurável.

De fato, pela Proposição 1.2.1, basta mostrar que H é semi-contínua superiormente em

(a, oo). Suponhamos, por contradição, que H não seja semi-contínua superiormente

em z'o > a. Então existem r G M e uma seqiiência (xn)n eN em (a, xo + 1) tais que

lim xn = xo, H(xn) > r e H(xo) < r. Como H restrita a (a,xo + 1) é limitada, existe n—nx> uma subseqúência (xnk)k€^ de (x n)„ 6 N tal que lim H(xnk) = s G ®L Observemos que

k^oo s > r. Da continuidade de / e tp temos que

f(x0,s) = lim f(xnk,H(xnJ) = lim <p(xnk) = ip(x0) = f(x0,H{x0)). k ^ o o fc—»oo

Daí, (x0, 6') G <xXo fl II-1(a;o) c o m H(x0) < s. Esta contradição com a definição de H(x0)

prova (d).

Para prosseguir com a demonstração do teorema, vamos considerar o caso em que é

estritamente crescente, pois o caso em que ip é estritamente decrescente é análogo. Como

(x, H(x)) G A para todo x G (a, oo) e f\A é limitada, segue que (p é uma função limitada.

Seja K > 0 tal que, para todo x > a, <p(a+) < <p(x) < K. Tomemos c > a satisfazendo

(c — a)e > K — (p(a+). Pela Proposição 1.2.8 e por (c), existe um conjunto M C (a, c]

com m((a, c] \ M) = 0 e tal que

(e) se x G M , então e.

De fato, se x G M, então existe uma seqiiência ( h n ) n e ^ de números reais com lim hn = 0 n—>oo

k e lim — = a G M, onde kn = H(x + hn) - H(x). Notemos que lim kn = 0.

7l->00 fln

Pela estrutura das curvas de nível de f\A e a suposição de que ip é estritamente

crescente, temos que

f(x,H(x)) = i n f { f ( x , y ) : (x,y) G n " 1 ^ ) D^l}.

Isto implica que fy(x,H(x)) = 0. Desde que / é diferenciávcl em (x,H(x)), existem funções a valores reais ei, e2 definidas em uma vizinhança do ponto (0,0) tal que

f(x + hn, H(x) + kn) = f(x, H(x)) + fx(x, H(x))hn + ei{hn, kn)hn + e2{hn, kn)kn

e lim e1(hn,kn) = lim e2(hn,kn) = 0. Daí,

+ y — ^ ^ = fx{x, H(x)) + ex(hn, kn) + e2{hn, kn)~-

Fazendo n —> oo, temos que

// \ r <p(x + h„,) - ip(x) tp (x) = lim = Jx(x,H(x)). n^co tlr.

n

bn

Como

DF(x,H(x))=( ^ ° \gx(x,H(x)) gy(x,H(x))

segue que (p'(x) é um autovalor de DF(x, H(x)). Isto e a hipótese feita sobre o Spec(F) implicam que tp'(x) > e, demonstrando ( / ) .

Segue do Teorema 1.2.3 e de ( / ) que

PC pc K — (p(a+) < (c — a)e = / edx< cp'(x)dx < íp(c) — cp(a+) < K - Lp(a+).

J a J a

Esta contradição prova o teorema. •

Observemos que o Teorema 2.3.1 prova a Conjectura de Chamberland bidimensional no caso em que F é apenas diferenciável.

Os exemplos seguintes mostram que se a hipótese do Teorema 2.3.1 for enfraquecida para 0 ^ Spec(i r) a sua conclusão, ainda que para uma aplicação polinomial, não é verdadeira.

Exemplo 2.3.2 Seja F : K2 R2 definida por

F(x,y) = ( \ /2e^ cos(ye~x), \Í2 e^sen(ye~x)).

Para todo k e Z temos que F(0, y + 2&7r) = F(0, y), o que implica que F não é injetiva.

Além disso, d e t ( D F ( x , y ) ) = 1 para todo (x,y) G R2, logo 0 ^ Spec(F).

O próximo exemplo foi construído por S. Pinchuck em [30].

Exemplo 2.3.3 (A aplicação polinomial de Pinchuk) A aplicação polinomial de Pin-chuk P = (p, q) : R2 —> IR2 é definida, para todo (x, y) G R2, pelas equações:

t:=xy- 1, h := t(xt + 1)

f:= {(h+l)(xt+lf]/x Q -1 2 - 6th(h + 1)

u := 1 7 0 f h + 91 h2 + 195 f h 2 + 69/t3 + 75h3 f + (75/4)h4

P(x,y) := f + h q{x,y) := Q — u.

A aplicação de Pinchuk satisfaz d e t ( D P ( x , y ) ) = [t2 + (t + (13 + 1 5 h ) f ) 2 + / 2 ] > 0 para todo (x,y) G R2, mas não é nem injetiva e nem sobrejetiva. De fato, P(1,0) = (0, —1) = P ( - 1 , - 2 ) e P(R 2 ) = R2 \ {dois pontos}.

Seja F : R" —R r a uma aplicação diferenciável tal que 0 ^ Spec,(F). Para cada t G R, definimos Ft :Rn por

Ft{x) = F(x)-tx, x G R n .

Observação 2.3.4 Sejam / : Wl —> R" a aplicação identidade de Rn e x E Rn . Uma vez que D(Ft)(x) = DF(x) — í / , temos que À e um autovalor de DF(x) se e, somente se, X — t é um autovalor de D(Ft)(x).

Lema 2.3.5 Seja F : R" —> R n uma aplicação diferenciável tal que 0 ^ Spec(F). Supo-nhamos que exista uma sequência (tm)men de números reais convergindo para 0 tal que, para cada m eN, Ftm seja injetiva. Então F é injetiva.

Demonstração: Suponhamos que a conclusão do lema não seja verdadeira. Então exis-tem X] ^ x2 tais que F(xj) = y = F(x2). Pelo Teorema 2.1.4, encontramos vizinhanças abertas e conexas U\, U2 e V de xi, x2 e y, respectivamente, tais que Ui fl U2 = 0 c, para % — 1,2, F : í/j V é um difeomorfismo.

Afirmamos que existe m0 G N tal que FtrnQ(Ui) n FLmQ(U2) contém uma vizinhança compacta e conexa W de y. Supondo que nossa afirmação seja válida, concluímos que F tmo não é injetiva. Esta contradição prova o lema. Portanto, basta mostrar que nossa afirmação é verdadeira.

Sejam K C U\ uma vizinhança compacta de e > 0 como na Proposição 1.3.7 e M > 0 tal que, para todo x E K, \x\ < M. Como | F ( x ) - Fm(x)| < M\tm\, x E K, e tm 0 quando m —> oo, temos que existe mi G N tal que \F(x) - Fm(x)\ < e, para todo

x <E K e m > mi. Assim, aplicando o Teorema 1.3.7 à Ft , obtemos uma vizinhança compacta e conexa W\ de y satisfazendo W\ C Ft ([/]).

Analogamente mostramos que existem rn2 > 0 e uma vizinhança compacta e conexa W2 de í / ta l que W2 C Ftm2 (U2).

Tomando m0 = max{m 1 ,m 2} e W = I f i íl l f 2 , concluímos a demonstração da afir-mação. •

Mesmo que n = 1 e as aplicações Fíjn do Lema 2.3.5 sejam difeomorfismos suaves, não podemos concluir que F é um difeomorfismo. Isto será ilustrado no exemplo abaixo.

Exemplo 2.3.6 Seja F : R —> (0,1) um difeomorfismo suave tal que, para todo x G R, F'(x) < 0 ( por exemplo, F(x) = ( ^ ) a r c t a n x + | )• Para todo t > 0, temos que F't(x) = F'(x) - t < 0, lim Ft(x) = -oo e lim Ft(x) = oo. Portanto, Ft : R ^ R é um

x—>oo X—f—OO

difeomorfismo.

De posse desses resultados, podemos provar o principal resultado deste capítulo.

Teorema 2.3.7 Seja F : R2 —» R2 uma aplicação diferenciável. Se para algum e > 0, Spec(jF) D [0, e) = 0 , então F é injetiva.

Demonstração: Fixemos 0 < t < e. Afirmamos que Ft : R2 —>• R2 é injetiva. De fato,

segue da Observação 2.3.4 e da hipótese feita sobre o Spec(F) que

Spec(Fí) n [-t,e- t) = 0 .

Daí, se 0 < a < min{í, e — í}, então Spee(F t) fl(—a, a) = 0 . Portanto, pelo Teorema 2.3.1, Ft é injetiva. Seja (trn)neN urna sequência em (0, e) convergindo para 0. A afirmação demonstrada implica que cada Flm é uma aplicação injetiva. Logo, pelo Lema 2.3.5, F é injetiva e o teorema está provado. •

Observação 2.3.8 B. Smyth e F. Xavier em [34] provaram que existem inteiros n > 2 e aplicações polinomiais P : R" —> R™ não injetivas com Spec(P) fl [0, oo) = 0 .

Corolário 2.3.9 Seja F : R2 —M2 uma aplicação diferenciável. Se para algum e > 0, Spec(F) n [1,1 + e) = 0 , então F tem no máximo um, ponto fixo.

Demonstração: Basta notar que a aplicação Fi(x) = F(x) — x, x E R2, é injetiva. •

O próximo resultado apresenta uma condição suficiente para que uma certa aplicação diferenciável F : R2 —• R2 sem pontos críticos seja injetiva. Este resultado foi demons-trado por M. Cobo, C. Gutierrez e J. Llibre em [12] no caso em que F é de classe C1.

Teorema 2.3.10 Sejam p, q : R —> R aplicações polinomiais e g : R2 —> R uma aplicação diferenciável. Suponhamos que F : R2 —> R2 seja definida por

F(x,y) = (p{x)q(y),g(x,y)).

Então se 0 ^ Spec(F), F é injetiva.

Demonstração: Denotemos f(x,y) = p(x)q(y), (x,y) G R2, e suponhamos, por con-tradição, que F não seja injetiva. Então, pela Proposição 2.2.3, E ( f ) tem uma semi-componente de Reeb A. Como os eixos não-compactos de A se acumulam no infinito, temos que a projeção ortogonal de A em pelo menos em um dos eixos coordenados tem comprimento infinito. Vamos considerar somente o caso em que isto acontece no eixo x, pois quando acontece no eixo y, prova-se analogamente.

Como 0 ft Spec(F) e

segue-se que

(а) para todo y € R, q(y) ^ 0 ou q'(y) ^ 0.

Seja T = {(x,y) G R2 : fy(x,y) = 0}. Pela prova do Teorema 2.3.1 vemos que a

projeção de T fl A sobre o eixo x contém um intervalo de comprimento infinito, digamos

(a, oo).

Sejam Y = {y1; y2,..., ym} e X = {xi, x2,. •., xn} todas as raízes reais dos polinómios q'(y) e p(x) respectivamente. Por (a) e pelo fato de que fy(x, y) = p{x)q'(y), obtemos que

(б) se (x, y) G T D A e x £ X, então y G ¥ e q(y) ± 0.

Como / restrita a A é limitada, existe uma constante M > 0 tal que, para todo (x,y) G A, | f(x,y) = p{x)q(y) | < M. Assim, por (6), se (x, y) G T D A e x £ X, então

Isto implica que uma função polinomial identicamente constante. Logo, para

todo (x, y) G R x ¥ , fx(x, y) = fy(x, y) = 0, e assim 0 G Spec(F). Esta contradição prova

que F é injetiva. •

b(z)l < M

minyieY |g(yi)|'

Capí tu lo

3

Injetividade de aplicações polinomiais do plano

Nosso objetivo neste capítulo é provar alguns resultados referentes à Conjectura

Jacobiana forte bidimensional a qual afirma que se P : R2 —> R2 é uma aplicação po-

linomial tal que 0 0 Spec(P), então P é injetiva. Para isto, apresentamos os conceitos de

semi-componentes de Reeb alinhadas e de semi-componentes de Reeb adjacentes introdu-

zidos por M. Cobo, C. Gutierrez e J. Llibre erri [12].

3.1 Semi-componentes de Reeb alinhadas e adjacentes

Nesta seção apresentamos os conceitos de semi-componentes de Reeb alinhadas e de

semi-componentes de Reeb adjacentes. Antes porém, introduzimos algumas notações.

No decorrer desta seção, / : R2 —> R será uma submersão de classe Cl.

Pela forma local das submersões (ver [6], página 13), as componentes conexas das

curvas de nível de / , / _ 1 ( c ) , c G R, definem as folhas de uma folheação J~(f) de classe

C1 e dimensão um em R2.

Denotemos por Xf : R2 —> R2 o campo vetorial Hamiltoniano planar de / , isto é,

X f ( p ) = (—fy(p),fx(p)), P £ Seja cp : I C R —> R2 uma curva integral máxima do

campo Xf pelo ponto p G R2. Para todo t G / , temos

= V / M O ) •*/(¥>(*)) = O-

Daí, a t rajetória {</?(£) : t G 1} está contida na folha de ^ ( f ) que passa por p. Logo, ip

é a única curva integral do campo X j pelo ponto p. Portanto, dado p G R2, existe uma

única curva integral do campo Xf passando por p. Como X j é um campo vetorial sem singularidades temos, pelo Teorema 1.4.10, que as

trajetórias de Xf coincidem com as folhas de F ( f ) . Desta forma, consideraremos indife-rentemente as folhas de J - ( f ) ou as trajetórias do campo X f . Assim, todas as definições e resultados apresentados no Capítulo 2, são válidos para o campo X f .

Definição 3.1.1 Seja y = (Yi,Y2) : {a,b] —IR2 um mergulho suave. Suponhamos que y([a, b]) seja o eixo compacto de uma semi-componente de Reeb A de Xf e y(ío) seía 0

único ponto de y([a,b\) tangente a X f . Consideremos o vetor y'(t0)1~ = (—'Y^o), Yi(^o)) e a reta r(s) = sy^ío)1" + y(ío),s £ passando por y(tQ) com direção y^ío)"1- Dizemos que A está à esquerda (resp. à direita) de y, se existe 6 > 0 tal que r([0, 5)) C A ('resp. r ( ( - 6 , 0 ] ) c . A ) .

No que segue, denotaremos por ctp a trajetória do campo Xf passando por p G R2. Também, ocp e ot~ denotarão as semi-trajetórias positiva e negativa de X f , respectiva-mente, começando em p.

Definição 3.1.2 Sejam A e B semi-componentes de Reeb de X f . Dizemos que A e B estão alinhadas e denotamos por {A, B}, se existe um mergulho suave y : [1,2] —> R2

satisfazendo as seguintes propriedades:

(1) para algum 1 < r0 < SQ < 2, y([to ,so]) é transversal a X f ;

(2) y([ l , r0]) e y([s0,2]) são os eixos compactos de A e B respectivamente;

(3) A e B estão ambas à direita ou ambas à esquerda de y.

Neste caso, dizem,os que y é um caminho alinhador para o par {A, B} com intervalo de conexão [r0, s0] - Veja Figura 3.1.

Figura 3.1: Um par de semi-componentes de Reeb alinhadas

Se c^(ro) e ay(So) (resP- ay(r0) 6 °Ç(s0)) 06 e'lxos não-compactos de A e B, respec-tivamente, então dizemos que y é um caminho alinhador positivo (resp. negativo) para o par {A, B}.

Recordemos que F0 = Re o F o R__e = ( f Q , g d ) , 0 G I , onde F : M2 —> R2 é uma aplicação diferenciável e RQ é a rotação linear.

O resultado seguinte, provado por C. Gutierrez em [18] (Teorema D), será utilizado na próxima seção.

Proposição 3.1.3 Seja F : R2 —> R2 uma aplicação de classe C1 tal que 0 £ Spec(F). Suponhamos que, para todo 0 £ R, Xje não tenha um par de semi-componentes de Reeb alinhadas. Então F é injetiva.

Para introduzir o conceito de semi-componentes de Reeb adjacentes consideremos a seguinte compactificação do plano.

Sejam S2 = {(x, y, z) G R3 : x2 + y2 + (z - l)2 = 1}, S2 = {(x, y, z) G § 2 : 0 < z < 1} e S1 = {(x, y, 1) G §2}. Definimos 0 : §2 R2 por

Notemos que (f) é um homeomorfismo. Geometricamente, 4>(x, y, z) é o ponto em que a reta determinada por (0,0,1) e (x,y,z) intercepta o plano z = 0, o qual identificamos com R2.

Denotemos por C1(R2) a união de R2 e S1 e seja $ : § 2 U S1 C1(R2) a bijeção dada

por

\ í <p{x,y,z), se ( x , y , z ) G § 2

®{x,y,z) = < (3.2) [ (x,y,z), se (x,y,z) G a .

Consideremos a topologia em C1(R2) definida por: U é aberto em C1(R2) se, c so-

mente se, -

] (U) 6 aberto em §2 U S1. Então a aplicação $ é automaticamente um

homeomorfismo e l 2 é um subespaço de C1(R2). Assim sendo, o espaço compacto C1(R2) é a compactificação de R2 induzida por </>. Dado 0 G R, usaremos a notação eld para representar o ponto (cos0,sen0,1) G S1. Seja a uma semi-trajetória do campo XF. Segue do Teorema de Poincaré-Bendixson

e do fato de que Xf não tem singularidades que o conjunto limite C(oc) := cc \ <x

de OÍ, como subconjunto de C1(R2), é S1 ou um subintervalo fechado nao vazio de S1.

Também, se A é uma semi-componente de Reeb de X f , o conjunto limite

de A, em C1(R2), é um subconjunto compacto e conexo de C1(R2) que não necessaria-mente está propriamente contido em S1. Identificando R2 com o conjunto C dos números complexos, a definição de £{Â) toma a seguinte forma:

Lema 3.1.4 Sejam A uma semi-componente de Reeb de Xf e 9 E R. Então elQ 6 C(A) se, e somente se, para todo e > 0 e R > 0 dados, A intercepta o conjunto

{z £ C : |,z| > R e 9 - e < argz < 6 + e}.

Observemos que se <x e (3 são semi-trajetórias do campo Xf e se existe M > 0 tal que, para todo p E a,

d(p,(3) : = i n f { | p - ç | : q E |3} < M,

então C(oC) — £{$)• Seja y : [1,2] —> R2 um mergulho suave e suponhamos que Xf seja transversal a

y([l,2]). Para l<h<t2< 2, denotemos

^ + W [ í i , í 2 ] ) ) = U «VM ti<s<t2

e n^{y([t1,t2}))= U o ç w .

t l<s<t 2

Definição 3.1.5 Sejam A e B semi-componentes de Reeb de X f . Suponhamos que A e B estejam alinhadas e y : [1,2] — R 2 seja um caminho alinhador positivo (resp. negativo) para o par {A,B} com intervalo de conexão [r0,s0]. Dizemos que A e B são semi-componentes de Reeb adjacentes para X f , se o conjunto limite

c(^(y([r0,s0})))-.= 1J < ( s ) \ | J < ( s )

ro<s<so ro<s<so

(resp. £ ( ^ - ( y ( [ r 0 , s 0 ] ) ) ) := | J o c ^ \ | J oÇ(s) J ,

em C1(R2), está contido em S1.

Com as notações da definição acima, seja Q = A U TZ+ (y[r0, s0]) U B (resp. Í1 = A U TZ~~ (y[r0, so]) U E). Notemos que A e B são adjacentes se, e somente se, o subconjunto Q, U £(f i ) de C1(R2) é homeomorfo a um disco compacto bidimensional.

Exemplo 3.1.6 Sejam

f(x,y) = \ /2e^cos {ye~x)

g(x,y) = V2eisen(ye~x), (x,y) eR2.

Pelo Exemplo 2.3.2, sabemos que F = ( f , g ) : R2 —> R2 é uma aplicação não injetiva tal que 0 ^ Spec(F). Temos que Xf e Xg têm infinitas semi-componentes de Reeb adjacentes. De fato, notemos que / se anula ao longo de todas as curvas da forma

Ck{t) = {(x, y) G R2 : x = t, y = (tt/2 + nk) • e4}, te R, k G Z,

sen(y) se anula uma única vez no segmento

Sk = {(x, y) G R2 : x = 0, tt/2 + nk < y < tt/2 + n(k + 1)}

que conecta Ck(0) e Cfc+i(0). Notemos também que / é limitada no semi-plano {{x,y) G R2 : x < 0} e ilimitada em {(x,y) G R2 : x > 0}. Desta forma, para todo k G Z, Xf tem uma semi-componente de Reeb Ak cujo eixo compacto é Sk e os eixos não-compactos são {Ck(t) : t < 0} c {Ck+Í(t) : t < 0}. Como Ck(t) se aproxima do eixo x quando t —» —oo, segue que os pares consecutivos {Ak, Ak+\} são adjacentes. Ana-logamente, Xg tem uma semi-componente de Reeb Bk entre as curvas consecutivas da forma

Dk(t) = {(x, y) G R2 : x = t, y = (tt + nk) -é}, t, G R, k G Z,

e o segmento Tk = {(x, y) G R2 : x = 0, n{k + 1) < y < n{k + 2)},

e todos os pares consecutivos {Bk)Bk+1} são adjacentes. Observemos que a curva Dk(t,), t < 0, é a única semi-trajetória de Xg que está inteiramente contida na semi-componente de Reeb Ak de X f .

3.2 Sobre a Conjectura Jacobiana forte

Dizemos que uma submersão / : R2 —> R é uma submersão polinomial, se f é uma aplicação polinomial.

Proposição 3.2.1 Sejam f : R2 —> R uma submersão polinomial e A uma semi-componente de Reeb de X f . Então existe um conjunto finito Sf — {zi,... , zk} de pontos de S1 tal que S1 fi C(A) C S f . Também, se a é uma semi-trajetória do campo X f , então C(oC) = zt

para algum i G { ! , . . . ,&} . Cada ponto Zi G Sf é chamado de ponto limite do campo X f .

D e m o n s t r a ç ã o : Para fixar as ideias, suponhamos que f(x,y) = ^ a^-xy,

al3 E R. Fazendo y = tx, t E R, obtemos i+j<n

f ( x , tx) = (fn(t))xn + (U-iit)^-1 + . . . + fo(t),

onde fk são polinómios na variável t, 0 < k < n, e fn é um polinómio não nulo.

Seja zQ = el0° £ S1 tal que t0 = t a n 9 0 não é uma raiz do polinómio /„ , isto é,

fn{to) ^ 0. Mostraremos que zQ ^ S1 fl C(A). Desta forma, S1 D C(A) só pode conter

números da fornia e10, onde 0 é tal que te = tan 0 é raiz do polinómio fn.

A continuidade das funções tan 0 e fn implicam que existem e > 0 e ô > 0 tais que se

então to E [to — s, to e] não é uma raiz do polinómio fn.

Sejam

a = mm{\fn(t)\ : t E [í0 - e , í 0 + e]} > 0

e

c = max{ | / j ( í ) | : t E [t0 - e , í 0 + e] e 0 < j < n - 1}.

Desde que |x| > 1, temos que

f n - } ( t ) , f n — 2 ( t ) , , f o { t ) . TIC

X* X" <

XI

para todo t E [to — e, t0 + e]. Então existe A > 0 tal que se \x\ > A e t E [t0 — e, í0 + e],

/ r a_i(t) fn.2(t) m I o I I

ar x"

a

Com isto, para t E [to — e, tQ + e] e |x| > A,

\f{x,tx)\ = \xr fn(t) + / n - l ( í ) , f n - 2 ( t ) + • • • +

> \rn\\fn(t)\~ fn-lit) , / n _ 2 ( í )

> x a 2

> I x ' ^ .

m

+ • • • +

xn

m X'1

(3.3)

Seja M > 0 tal que | / (x , y)\ < M, (x, y) E A. A desigualdade (3.3) implica que existe

D > A tal que / ( x , í x ) > M para todo |x| > D e t E [í0 — e , í 0 + e]. Consequentemente,

A não intercepta o conjunto {z E C : \z\ > D e 0O - 5 < argz < 0O + 6}. Portanto, pelo

Lema 3.1.4, z0 g S1 fl C(A). Isso demonstra a primeira parte da proposição. A segunda

parte segue analogamente, observando que JC(OÍ) é um subconjunto conexo de S1. •


Corolário 3.2.2 Sejam F — ( / , g) : R2 —> R uma aplicação polinomial com 0 ^ Spec(F) e A uma semi-componente de Reeb de X f . Se el9 G S1 fl C(A), 0 G R, então fn(Le) = 0 (•resp. gk(Le) = 0), onde fn (resp. g^) é o polinómio homogéneo de maior grau de f (resp. g) e LQ denota a reta passando pela origem com inclinação t an0 .

Proposição 3.2.3 Sejam f : R2 —»• R uma submersão polinomial e {A,B} um par de semi-componentes de Reeb adjacentes de X f . Suponhamos que y : [1,2] —• M2 seja um caminho alinhador positivo para o par {A,B} com intervalo de conexão [r0,so]. Então £( f t + (y ( [ r 0 , s 0 ] ) ) ) é um ponto de S1 (veja Figura 3.2).

Demonstração: Segue da Proposição 3.2.1 e do fato de que C(JZ+ (y([r0, s0]))) é um

subconjunto conexo de C1(M2). •

Dada uma curva y : [a,b} —> R2 e sejam p, q G y([a,b]). Como no Capítulo 2, \p,q]y

denota o arco fechado de y([a, b]) com extremos p e q. Seja / : R2 —> E uma submersão polinomial. Analisando a compactificação do campo

vetorial Xf (através de 0 definida em (3.1)), podemos concluir, usando o trabalho de Dumortier [13], que Xf tem finitas semi-componentes de Reeb. Este fato é utilizado para demonstrar o seguinte resultado:

Proposição 3.2.4 Seja F = ( f , g ) : E2 —> R2 uma aplicação polinomial não injetiva tal que 0 ^ Spcc(F). Então existe 0 G R tal que Xfe tem um par {A, B} de semi-componentes de Reeb adjacentes com e ^ £{A) U £(B).

Demonstração: Pela Proposição 3.1.3, existe p, G R tal que Xfii tem um par de semi-componentes de Reeb alinhadas. Como F e F^ tem o mesmo espectro e (F^e = F(,1+e), para todo 0 G M, podemos então assumir que / = e g — g^.

y([i,2])

Figura 3.2: Um par de semi-componentes de Reeb adjacentes

Pelo lema 2.5 em [18], podemos achar 6 > 0 tal que se 0 G (—6,6), então XÍQ tem

um par , /50} de semi-componentes de Reeb alinhadas. Mostremos inicialmente que é

sempre possível escolher 0 G ( - 6 , 6 ) de tal forma que e ± f í ^ C(AQ) U JC(BQ). Para isto

nos propomos a mostrar a seguinte afirmação.

(a) Se o conjunto limite de uma das semi-componentes de Reeb alinhadas de Xje contém

o ponto e ± 2 l) então existe 0 < e < 6 tal que, para todo 0 G ( — e, 0) U (0, e),

De fato, sejam fn e gk os polinómios homogéneos de maior grau de / e g respectivamente.

Denotemos por LQ a reta passando pela origem com inclinação tan(7r/2 + 0). Pelo Coro-

lário 3.2.2, fN(L0) = gK(L0) = 0. Como zeros de polinómios são isolados, podemos tomar

0 < e < 6 suficientemente pequeno tal que

(b) se 0 G ( - e , 0 ) U (0, e), fn(Le \ {(0,0)}) e gk(Le \ {(0,0)}) não interceptam {0}.

Para fixar as ideias, suponhamos que n > k. Desta forma, se ( / e ) n e (<?e)n são os

polinómios homogéneos de maior grau de /e e respectivamente, então

(/e)n = (cos 0) fn o - [k/n] (sen9) gk o R__e

(ge)n = (senG) /„ o R_e + [k/n] (cos 0) gk o i?_0, (3.4)

onde [ k / n ] denota a parte inteira de k/n.

Suponhamos, por contradição, que para algum 0 G (—e,0) U (0,e), e ± 2 l g C(AQ) U

C(BQ). Novamente, segue do Corolário 3.2.2 que ( /0)n(Lo) = (ge)n(L0) = 0. Como o

determinante do sistema (3.4) é não nulo, obtemos

fn(L-e) = fn° R-e{L0) = 0.

Esta contradição corn (b) prova (a).

Seja 0 G ( —e,e) tal que Xfo tem um par {Ai,A2} de semi-componentes de Reeb

alinhadas com ^ C{A\) U£(^ l 2 ) . Sem perda de generalidade, podemos assumir que

y : [1,2] —> R2 é um caminho alinhador positivo para o par {A\ ,A2 \ corri intervalo de

conexão [r0,í>'o]- Afirmamos que se AI e A2 são não adjacentes, então podemos construir

um novo par {BI,B2} de semi-componentes de Reeb alinhadas para Xj0 tal que BI é

igual a AI ou igual & A2 e o interior de B2 está contido em R+(y[r0, s0]). Supondo que

nossa afirmação seja válida e usando o fato de que Xf& tem finitas semi-componentes de

Reeb, obtemos um par {A,B} de semi-componentes de Reeb adjacentes para Xfo com

£ £(A) U C(B). Assim, para completar a prova da proposição, basta mostrar que

nossa afirmação é verdadeira.

Sejam p G R2 flC{TZ+ (y([r0, s0]))) e V [ -1 ,1] —• R2 um mergulho suave satisfazendo

VÍ.0 )=P e 7/(0) = V/ e (p) .

Podemos assumir que fe o rj é estritamente monótona e que 7^+(y[r0 , s0]) intercepta rj([—l, 1]), mas a ^ M e ay(s0) i n t e r c e P t a m !])• Sejam r0 < t\ < t2 < Sq números

reais tais que as semi-trajetórias c ^ ^ e oc*^ interceptam o arco 77([ — 1,1]) em pontos pi e p2 respectivamente. Da continuidade do fluxo de XjQ e do fato de que fQ restrita aos ar-cos [pi,p2]r; e [y(íi),y(í2)]y é estritamente monótona, temos que [p\,p2]r, C 7^+(y[r0, s0]) e todas as semi-trajetórias a ^ com s G [íi, t2) interceptam uma única vez o arco [pi,p2}v-Portanto, p ^ [pi,^]??- Consideraremos somente o caso em que pi G [p,p2]j?; P°is o caso em que p2 G [p,pi}ri é análogo.

Notemos que existe um mergulho suave i]0 : [1, 2] —> R2 com 770(1) = y( t i ) , = Pi e tendo somente uma tangencia (genérica) com o fluxo de X f e . Além disso, 7]0 pode ser escolhida de tal forma que £ = [y(l), y(£i)]y U [y(ti),pi]Vo U [p,pi}v seja um mergulho suave e as trajetórias cty(ro) e <Xp não interceptam o arco [y(íi),Pi]rí0 ( v e j a Figura 3.3). Observemos que ( tem exatamente dois pontos de tangência (genérica) com o fluxo de X f e , um no interior do arco [y(l) ,y(r0)]y , correspondendo a Ai, e outro no interior do arco [y(í i) ,Pi]w . O mesmo raciocínio que utilizamos para demonstrar a Proposição 2.2.3 nos permite concluir que existe uma semi-componente de Reeb B2 para Xf e cujo interior está contido em TZ+(y [r0, s0])- Claramente Ai c B2 estão alinhadas e a demonstração está completa. •

Figura 3.3: A curva r]0

A Proposição 3.2.4 será usada para demonstrar os principais resultados deste capítulo, a saber, o Teorema 3.2.10 e o Teorema 3.2.15. Também vamos precisar de algumas propriedades de curvas algébricas planas que enunciamos a seguir.

Seja f(x, y) um polinómio não constante com coeficientes em R. Sabemos que f(x, y) pode ser escrito de modo único, a menos da ordem dos fatores, sob a forma

f(x,y) = (f1(x,y))kK..(fr(x/y))kr,

onde fi(x,y),..., fr(x,y) são polinómios irredutíveis distintos com coeficientes em R e ki £ N, 1 2, dizemos que /„• é um fator irredutível múltiplo de / .

Denotemos por V ( f ) o conjunto dos pontos em R2 da curva algébrica plana determi-nada por f(x,y), isto é,

V ( f ) = {(x,y)eR2:f(x,y) = Q}.

r

Observemos que V ( f ) = V(fi). i=i

O resultado seguinte, cuja demonstração pode ser encontrada em [17], nos dá in-formações sobre a cardinalidade da interseção de duas curvas algébricas planas. Mais precisamente:

Teorema 3.2.5 (Teorema de Bezout) Sejam f(x,y) e g(x,y) polinómios com coefi-cientes em R de graus n,m > 1 respectivamente. Se f(x,y) e g{x,y) não têm fator irredutível comum, então

W ( f ) n V(g) < nm.

Definição 3.2.6 Seja f(x,y) um polinómio não constante com coeficientes em R. Dize-mos que p E R2 é um ponto singular de V ( f ) se f(p) = fx(p) = fy(p) = 0.

O Resultado seguinte é a Proposição 6 de [36], página 39.

Proposição 3.2.7 Se f(x, y) é um polinómio não constante com coeficientes em R e sem fatores irredutíveis múltiplos, então o conjunto dos pontos singulares de V ( f ) é finito.

Definição 3.2.8 Dizemos que um conjunto C C R2 é uma curva regular quando C é

localmente gráfico de uma função regular.

Teorema 3.2.9 Seja f(x,y) um polinómio não constante com coeficientes em Re sem fatores irredutíveis múltiplos. Então V ( f ) é vazio ou é constituído de

i) finitos pontos singulares, ou

ii) finitos pontos isolados, ou

iii) finitas curvas regulares, ou

iv) combinação finita dos itens i), ii) e iii).

Demonstração: Segue do Teorema 3.2.9 e da Proposição 3.2.7. •

Estamos em condições de enunciar e demonstrar um dos principais resultados deste capítulo, que é uma versão do Teorema 2.3.7 no caso de aplicações polinomiais.

Teorema 3.2.10 Seja F : R2 —> R2 uma aplicação polinomial. Se para algum e > 0, Spec(F) fl (—e, 0] = 0 ou Spec(F) fl [0, e) = 0, então F é injetiva.

Demonstração: Suponhamos, por contradição, que F não seja injetiva. Então, pela Proposição 3.2.4, existe 0 G R tal que X f e tem um par { A i , A 2 } de semi-componentes de Reeb adjacentes com e±%1 ^ C(Ai) U C(A-2). Sendo fe uma aplicação polinomial, a Proposição 3.2.3 implica que £(*4i) fl C(A2) = {w} C S1, w ^ Portanto,

) fl n ( ^ 2 ) contém um intervalo de comprimento infinito, onde II : R2 —> R é a projeção ortogonal sobre a primeira coordenada. Para fixar as idéias, suponhamos que [b, 00) C n ( A ) n n ( ^ 2 ) . Veja Figura 3.4.

Analogamente à demonstração do Teorema 2.3.1, se a > b é suficientemente grande,

(«) para qualquer x > a, a reta vertical I R 1 ^ ) intercepta exatamente uma trajetória oâx C Ai de Xje\A tal que F^oÇj fl (x, 00) = 0 , % = 1, 2. Em outras palavras, x é o máximo da restrição II i = 1,2.

Segue-se que

(6) se x > a e pt £ oâx n n _ 1 ( x ) , i = 1,2, então [fe)y{pi) = 0.

Como estamos supondo F0 não injetiva, pelo Teorema 2.3.10, temos que (/0)y(a;,y) é um polinómio não constante. Assim, podemos escrevê-lo de modo único, a menos da ordem dos fatores, sob a forma

(fe)y(x, y) = (qi(x, y))kl ... (qr(x, y))k\

onde qi(x, y),..., qr(x, y) são polinómios irredutíveis distintos com coeficientes em R c

k.j G N, 1 < j < r. Pelo Teorema de Bezout, para cada j G {1, 2, • • • , r}, o sistema

Qj(x,y) = 0

(Qj)y(x^y) = 0

tem finitas soluções em R2. Portanto, pelo Teorema da Aplicação Implícita,

(c) as componentes conexas de V(qj), j E {1,2, . . . , r } , podem ser vistas localmente como gráficos de funções de classe C°°, com respeito ao eixo x, exceto por um número finitos pontos.

Consideremos o polinómio Q(x, y) = q\(x, y)... qr(x, y). Segue do Teorema 3.2.9 e de (ò) que existem curvas regulares Cj C Ai, i = 1,2, de V(Q) tais que II(Cj) é um intervalo

r de comprimento infinito. Daí, usando (c) e o fato de que V(Q) = ^J V(qj), concluímos

que existem d > a e funções rji : [d, oo) —IR, % = 1, 2, de classe C°° tais que, para

todo x > d, (x,r]i(x)) E Ai e {fe)y{x,rjl(x)) = 0. Observemos que, para todo x > d,

(fe)x(x,Vi(x)) G Spec(Fe). Como o fluxo de X f e é contínuo (veja Figura 3.4),

(d) os vetores colineares V/e(x, r]i(x)) e V/e(x, rj2(x)) tem orientações opostas, isto é,

(fe)x(x,Vi(x)) • (fe)x(x,m(x)) < 0, x E [d, oo).

Sendo limitada, obtemos

oo > I ^-fB(s,i]i(s))ds = í (fe)x(s,Vi(s))ds, i = 1,2. J[d, oo)

(ls J[d, oo)

Isto e o fato de que (fe)x{%,Vi{x)), i — 1, 2, tem o mesmo sinal para todo x E [d, oo) implicam que existem sequências (xn)ne^ e (yn)nen de números reais tais que xn —> oo, yn oo, (fe)x{xn,rh(xn)) 0 e (fe)x{yn,V2{yn)) 0, quando n ^ oo. Assim, usando (d), concluímos que para todo e > 0, ( - e , 0 ) fl Spec(i?

0) ^ 0 e Spec(F0) n (0, e) ^ 0 . Esta contradição com as hipóteses feitas sobre o Spec(F0) (= Spec(F)) mostra que F é injetiva. •

Figura 3.4: [b, oo) C n ( A ) n H(A2)


Corolário 3.2.11 Seja F : R2 —> R2 uma aplicação polinomial. Se para algum e > 0, Spec (F) fl (1 — e, 1] = 0 ou Spec (F) H [1,1 + e) = 0, então F tem um único ponto fixo.

Demonstração: Basta notar que G(x) = F(x) — x,x£ R2, é unia aplicação polinomial bijetiva (veja o principal resultado de [4]). •

Exemplo 3.2.12 Seja / : R2 —> R uma aplicação polinomial. Consideremos F : R2 —> R2

definida por

F(x,y) = (fx(x,y),fy(x,y)).

Se F é uma aplicação que preserva orientação, então F é injetiva. Com efeito, notemos que a matriz DF(x,y) é não-singular e simétrica para todo (x,y) G R2. Assim, seus autovalores são reais e não nulos. Como F preserva orientação, Spec (F) C (—oo,0) ou Spec(F) C (0,+oo). Portanto, pelo Teorema 3.2.10, F c injetiva.

Definição 3.2.13 Dizemos que uma aplicação contínua f : R" —> R m é própria quando para todo compacto K c R"\ f~l(K) é compacto.

A proposição seguinte é um resultado de Hadamard encontrado em [38].

Proposição 3.2.14 Seja F = ( f , g ) : R2 —> R2 uma aplicação polinomial tal que Spec(F) n {0} = 0 . Então F é um difeomorfismo se, e somente se, f2 + g2 : R2 —> R é uma aplicação própria.

O próximo resultado, que é um dos mais importantes deste capítulo, nos dá um critério

melhor que esse da Proposição 3.2.14 para descobrir quando uma aplicação polinomial que

preserva orientação é injetiva.

Teorema 3.2.15 Seja F - ( f , g ) : R2 —> R2 uma aplicação polinomial que preserva

orientação e denotamos

F = {(x, y) G R2 : Traço{DF{x, y)) = 0}.

Então as seguintes afirmações são verdadeiras:

i) Se /|r ou g\T é uma aplicação própria, então F é injetiva.

ii) F é injetiva se, e somente se, (/2 + g2)|r é uma aplicação própria.


Demonstração: Suponhamos que F não seja injetiva. Até o item (d) da demonstração do Teorema 3.2.10, esta prova procede da mesma forma.

Sendo F uma aplicação que preserva orientação, temos que F0 também preserva. As-sim, o item (d) implica que o sinal do Traço(DF0(x, e do Traço(DF0(x, ^ (x ) ) ) são opostos. Portanto, para cada x > d, existe um ponto (x,r(x)) no segmento de reta que une os pontos (x,i]i(x)) e (x, 772(0;)) o qual pertence ao conjunto

Te = {(x,y) G R2 : T r a ç o ( D F e ) ( x , y ) = 0}.

Sem perda de generalidade, podemos assumir que y : [1,2] —> R2 é um caminho alinhador positivo para o par { A i , Á 2 } com intervalo de conexão ['r0,s0]. Desse modo, o conjunto

E0 = {(x,r(x)) : x > d} C P6

está contido na região Q = A\ UlZ+(y[r0, s0])U^2- Sendo / 0 | n , ge|n e ( / 0 a p l i c a ç õ e s limitadas, temos que F0(E0) = (/0(E0) , g0(E0)) é um subconjunto limitado de R2.

Por outro lado, a relação DFd(x,y) = Re o DF(R^e(x,y)) o i£_e, (x,y) G R2, implica que

R0 = RQ(T), onde T = {(x, y) G R2 : Traço(DF(x, y)) = 0}.

Seja E = fí__0(E0) C F. Notemos que E é um subconjunto não compacto de R2, já que E0 C R2 é não limitado. Como F(E) = i?_0(F0(E0)) é um subconjunto limitado de R2 e E C T , segue que / | r , g\r e { f 2 + g2)|r não são aplicações próprias. Portanto, se /'|p ou (/|r é uma aplicação própria, F é injetiva. A demonstração de i) está concluída.

Mostremos vi). Suponhamos que F seja injetiva. A hipótese feita sobre o Spec(F) e o principal resultado de [4] implicam que F é um difeomorfismo. Assim, pela Propo-sição 3.2.14 e usando o fato de que T é um subconjunto fechado de R2, obtemos que (/2 + g2)|r é uma aplicação própria. A recíproca segue diretamente da demonstração do item i). •

O resultado seguinte é uma versão do teorema anterior para aplicações polinomiais

que revertem orientação.

Corolário 3.2.16 Seja F = ( f , g ) • R2 —> R2 uma, aplicação polinomial que reverte orientação e denotamos

A = {(x, y) G R2 : fx{x, y) - gy(x, y) = 0}.

Então as seguintes afirmações são verdadeiras:

i) Se f |A ou g|A é uma aplicação própria, então F é injetiva.

ii) F é injetiva se, e somente se, (/2 + g2) |A é uma aplicação própria.

Exemplo 3.2.17 Sejam

f(x,y) = x-2 y + yn

g(x,y) = x-y + yn, (x,y) e c2

onde n > 1 é um número natural. Então F = ( / , <?) : IR2 M2 é uma aplicação injetiva.

De fato, como ' 1 - 2 + nyn~1

1 — 1 + mf F>F(x, y) = , 1 i , n_J

temos que d e t ( D F ( x , y ) ) = 1, para todo (x,'í/) G E2 , e

T = {(x,y) e M2 : T r a ç o ( D F ( x , y ) ) = 0} = {{x,y) G M2 : y = 0}.

Notemos que / | r e g | r são aplicações próprias. Portanto, pelo Teorema 3.2.15, F é injetiva.

Capí tu lo

4

Difeomorfismos locais de Mn que são injetivos

Neste capítulo resolvemos afirmativamente a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe e a Conjectura de Chamberland cm alguns casos particulares de aplicações no Rn. Provamos, por exemplo, a validade destas conjecturas para aplicações Lipschitzianas. Além disso, mostramos que a Conjectura de Chamberland implica a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe. Mostramos também, para uma certa família de aplicações, uma equivalência para cada conjectura. A principal referência para este capítulo é [15].

4.1 Sobre a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe e a Conjectura de Chamberland

Dentre outros resultados, nesta seção vamos mostrar que a Conjectura Fraca de Mar-kus-Yamabe e a Conjectura de Chamberland são válidas para aplicações Lipschitzianas.

Recordemos, como definido no Capítulo 2, que se F : Rn —> Rn é uma aplicação diferenciável e t € R, então Ft : R" —> Rn é a aplicação diferenciável dada por

Ft{x) = F(x) - tx, xeRn.

No contexto de inversas globais, o Teorema de Hadamard na forma original está pro-vado em [20]. Hoje, a referência a este teorema está geralmente associada a uma variante puramente topológica dada pelo resultado a seguir.

Teorema 4.1.1 (Teorema de Hadamard) Seja F : Rn —> Rn um horneomorfismo lo-cal. Então F é um horneomorfismo se, e somente se, F é uma aplicação própria.

4.1 Sobre a Conjectura Fraca de Markus -Yamabe e a Conjectura de Chamberland 47

Em uma direção alternativa ao Teorema de Hadamard , provaremos um resultado de injetividade que é válido para aplicações que não precisam ser próprias. Mais precisa-mente:

Teorema 4.1.2 Seja F : R™ —> R n um difeomorfisrno local tal que Spec(F) é disjunto de uma sequência (tm)me^ de números reais convergindo para 0. Se existem R > 0 e 0 < et < 1 tais que, para todo x G R n com |x| > R satisfaz |F(x) | < |x | a

; então F é injetiva.

Demonstração: Como para todo x G Rn , D(Ftm)(x) = DF(x) — tmI (onde / é a aplicação identidade de R") e trn ^ Spec(F), segue que 0 ^ Spec(F ím). Logo, pelo Teorema 2.1.4, cada Flm é um difeomorfismo local.

Para todo \x\ > R temos que

\Ftm(x)\ > \tmx\ — |F(.x)|

> \trn\\x\-\x\a

> ( I ^ H x l 1 ^ - ! ) ^ ! "

Como 1 — a > 0, obtemos que |F t m(x)| — o o quando |x| —oo . Isto implica que Ftm é uma aplicação própria. Logo, pelo Teorema de Hadamard, cada Ftrn é injetiva. Portanto, usando o Lema 2.3.5, concluímos que F é injetiva. O teorema está demonstrado. •

Seja Jzf(R") o espaço vetorial formado pela transformações lineares T : R n —> Rn . Consideraremos em J?f(Rn) a norma || • || definida por

| | T | | = s u p { | 7 » | : M = l},

onde | • | é a norma euclidiana de R í l. O resultado seguinte, Teorema de Plastock, desempenha um papel importante neste

capítulo. Sua demonstração pode ser encontrada em [31].

Teorema 4.1.3 (Teorema de Plastock) Um difeomorfismo local F : R n —• R n de classe C1 é um difeomorfismo se

roo

/ inf {{[DFix^W^dr = oo. J o N=r

O próximo resultado prova a Conjectura de Chamberland para aplicações Lipschitzia-

nas.

Teorema 4 .1 .4 Seja, F : Rn —> Rn uma aplicação Lipschitziana de classe C1. Supo-

nhamos que para algum e > 0, Spec(F) n { ^ G C : | z | < e } = 0 . Então F é um,

difeomorfismo.

D e m o n s t r a ç ã o : Seja K > 0 tal que, para todo x, y G Rn , \F(x) — F(y)\ < K\x — y\.

Dados x, w G R™ com |-u| = 1, para todo t ^ 0 suficientemente pequeno temos

\F{x + tv)-F(x)\

1*1 " '

Fazendo t —>• 0, obtemos que

\DF{x)v\ < K.

Portanto, | |DF(a;)| | < K para todo x G R".

Seja || • ||m a norma do espaço das matrizes reais n x n dada por

\\A\\m = sup{|aij | : 1 <i,j < n},

onde A = [a,^]. Como as normas || • || e || • \\M são equivalentes, existe K\ > 0 tal que,

para todo x G R n , \\DF(x)\\M < Kx. Segue da definição da matriz adjunta clássica de

DF(x), a d j ( D F ( x ) ) , que existe K2 > 0 tal que, para todo x G Rre,

| | ad j (DF(x) ) | | M < K2.

Pela hipótese feita sobre o Spec(F), temos que para todo x G Rn , | det(DF(x))\ > en.

Daí, usando o fato de que [DF(x)}~] = ^ ^ ' tldí(DF(x)), obtemos que para todo

x G Rn ,

II[DFix)}-1^ < K3,

onde Kj, — — > 0. Novamente, como as normas || • || e || • ||M são equivalentes, existe en

K^ > 0 tal que, para todo x G Rn ,

llfDF(x)]"11| < K4.

Com isto, roo roo 1

/ inf W i D F i x ^ W ^ d r y / — dr = 00. J o M=r J 0 A4

Portanto, pelo Teorema de Plastock, F é um difeomorfismo. A demonstração do teorema

está concluída. •

Uma adaptação das técnicas usadas na demonstração do teorema anterior nos permite

provar o seguinte teorema:

Teorema 4.1.5 Seja F : R n —> R n uma aplicação Lipschitziana de classe C1 tal que 0 ^ Spcc(F). Suponhamos que para algum e > 0,

liminf (|x| • | det(DF(x))\) > e. \x\-+oo

Então F é um difeomorfismo.

Demonstração: Procedendo como na demonstração do Teorema 4.1.4, existe K2 > 0 tal que, para todo x E R",

\\ud}(DF(x))\\M < K2.

Por hipótese, existe N > 0 tal que, para todo |x| > N, (|x| • | det(DF(x))\) > e. Portanto, para todo |x| > N,

| |[DF(x)]_1 ||M < E-s\x\,

K2 onde — — > 0 . Como as normas || • || e || • \\M são equivalentes, existe /Q > 0 tal que, e

para todo |x| > N, H^F^)]-1!! < K4\X\.

Com isto,

/'oo roo roo ^

/ inf ||[DF(.x)]~1||~1dr > / inf H ^ F ^ ) ] - 1 ! ! " 1 ^ > / ——-dr = oo. J o M = r JN M = r JN KI\R\

Portanto, pelo Teorema de Plastock, F é um difeomorfismo. •

O resultado seguinte implica que a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe é válida para

aplicações Lipschitzianas.

Teorema 4.1.6 Seja F : R n —• Rre uma aplicação Lipschitziana de classe C1. Supo-nhamos que exista uma sequência (Dm)meN de discos compactos de C, (com interior não vazio), centrados em pontos tm do eixo real satisfazendo:

i) lim tm = 0 e m—*oo

oo

vi) Spec(F) n ( | J Drn) = 0 . m=1

Então F é injetiva.

Demonstração: Pelo Lenia 2.3.5, basta mostrar que cada Ftm é injetiva. Sendo F uma

aplicação Lipschitziana de classe C1 , existe K > 0 tal que, para todo x ê l " ,

\\DF(x)\\<K.

Como D(Ftm)(x) = DF(x) — tmI, ( / : R n —> Rn é a aplicação identidade), obtemos que,

para todo x E R",

WDiF^WW < KU

onde Ki = K + \tm\. A desigualdade do valor médio implica que cada Ftm é uma aplicação Lipschitziana de classe Cl.

Pelas hipóteses feitas sobre o Spec (F) e a sequência (Dm)me^, temos

Spec(Ft J n (Dm - tm) = 0 ,

onde Dm — tm — {z E C \ z + tm E Dm} é um disco compacto de centro na origem (com

interior não vazio). Pelo Teorema 4.1.4, segue-se que cada Ftm é injetiva. Isso demonstra

o teorema. •

Corolário 4.1.7 Seja F : R n —> Rn uma aplicação Lipschitziana de classe C1. Suponha-mos que Spec (F) D {z E C : -ft(z) > 0} = 0 . Então F é injetiva.

Observação 4.1.8 O mesmo raciocínio que utilizamos para demonstrar o Teorema 4.1.6 nos permite concluir que a Conjectura de Chamberland implica a Conjectura Fraca de Markus -Yamabe.

4.2 Afirmações equivalentes

Na seção anterior mostramos que a Conjectura Fraca de Markus-Yamabe e a Conjec-tura de Chamberland são verdadeiras para aplicações Lipschitzianas. Nesta seção vamos mostrar que estas conjecturas são verdadeiras para outras classes de aplicações. Tam-bém vamos provar, para uma certa família de aplicações, uma equivalência para cada conjectura.

Denotemos por C o subconjunto das aplicações de classe C 1 de R n em R n que con-tém a aplicação identidade, I : R n —> R n , e tal que, para todo (F,s,t) E £ x R x R, sF + tl E C.

Seja A > 0. Consideremos as seguintes conjecturas:

1. Conjectura A-Fraca de Markus - Yamabe para £: Se F <E £ satisfaz

Spec(F) c{zeC: 5R(z) < -A},

então F é injetiva.

2. Conjectura Forte de Chamberland para £: Se F £ £ é um homeomorfismo local tal que exista uma sequência de discos compactos (D m ) m e N de C, (com interior não vazio), centrados em pontos tm do eixo real satisfazendo

oo

lim tm = 0 c Spec(F) n (I \ Drn) = 0 , m—>oo m=1

então F é injetiva.

Proposição 4.2.1 A Conjectura Fraca de Markus - Yamabe para £ é verdadeira se, e somente se, a Conjectura A-Fraca de Markus - Yamabe para £ é verdadeira.

Demonstração: Suponhamos que a Conjectura A-Fraca de Markus-Yamabe para £ seja verdadeira. Seja F £ £ satisfazendo Spec(F) c { z G C : !ft(z) < 0}. Afirmamos que para todo t > 0, Ft é injetiva. De fato, como F £ £ , segue que G = (y) Ft £ £. Pela hipótese feita sobre o Spec(F), obtemos que Spec(G) C {z £ C : < —A}. Como estamos supondo que a Conjectura A-Fraca de Markus-Yamabe para £ é verdadeira, segue que G é injetiva e, portanto, Ft é injetiva. A afirmação está demonstrada.

A nossa afirmação e o Lema 2.3.5 implicam que F é injetiva. Isto mostra que a

Conjectura Fraca de Markus-Yamabe para £ é verdadeira. A recíproca é óbvia. •

Seja F £ £ satisfazendo Spec(F) C {z £ C : 3 < -A}. Uma vez que

{z £ C : Sft(z) < -A} C {z £ C : |z| > A],

obtemos que a Conjectura de Chamberland para £ implica a Conjectura A-Fraca de

Markus -Yamabe para £. Este fato juntamente com a Proposição 4.2.1 demonstra o

seguinte resultado:

Corolário 4.2.2 A Conjectura de Chamberland para £ implica a Conjectura Fraca de

Markus - Yamabe para £.

Proposição 4.2.3 A Conjectura de Chamberland para £ e a Conjectura Forte de Cham-

berland para £ são equivalentes.

Demonstração: O mesmo raciocínio que utilizamos para demonstrar o Teorema 4.1.6 nos permite concluir que a Conjectura de Chamberland para £ implica a Conjectura Forte de Chamberland para £ . A recíproca é óbvia. •

No que segue, vamos mostrar que existem subconjuntos de £ para os quais a Conjec-tura Fraca de Markus-Yamabe e a Conjectura de Chamberland são válidas.

Denotaremos por C\ o conjunto das aplicações F : R n —> R n de classe C1 que satisfa-zem a seguinte propriedade: se n > 2, existem K > 0 e um subconjunto compacto D de RN tais que, para todo x G R n \ B,

\\DF(x)\\ < K\x\^.

Observação 4.2.4 Se F G £ i , então para todo s,t G R, sF + ti G £ i , isto é, £ i é um subconjunto de £ . Corri efeito, sejam K > 0 e B um subconjunto compacto de R n tais que, para todo x G R" \ B, | |DF(x)| | < K\x\^=l. Segue da desigualdade triangular que

||D(sF + tl)(x)\\ < K\s\\x\^ + |í|,

para todo x G K" \ B. Seja R > 1 tal que B C {z G C : \z\ < R}. Daí, se x G Mn \ {z G C : \z\ < R},

obtemos

\\D(sF + tI)(x)\\ < Kx\x\^,

onde Ki = K\s\ + |t|. Isto mostra que sF + ti G C\. Portanto, £ C £ i .

Teorema 4.2.5 Seja F G £ i e suponhamos que exista e > 0 tal que, para todo x G Rn, | det(DF(x'))| > e. Então F é um difeomorfismo.

Demonstração: Sejam K > 0 e B um subconjunto compacto de RN tais que, para

todo x G R n \ B , | |DF(x)| | < K | x | ^ .

Um raciocínio totalmente análogo ao utilizado no Teorema 4.1.4 nos permite concluir que

existe Ka > 0 tal que, para todo x G R" \ B,

(([^^(x)]"1!! < K4|X|^.

Seja R > 0 tal que B C {z G C : \z\ < R}. Então,

r oo roo roo |

/ inf | |[.DF(x)]~1 | | -1dr > / inf || [ ^ ( x ) ] " 1 f d r > / —dr = oo. Jo JR JR K^R]71-1

Portanto, pelo Teorema de Plastock, F é um difeomorfismo. •

Corolário 4.2.6 A Conjectura de Chamberland é verdadeira para aplicações de C\ .

Corolário 4.2.7 A Conjectura Fraca de Markus-Yamabe é verdadeira para aplicações de

A .

Demonstração: Segue dos Corolários 4.2.6 e 4.2.2. •

Observando que uma aplicação F : R n —> R n de classe C1 é Lipschitziana se, e somente se, existe K > 0 tal que, para todo x E Rn , || DF(x) || < K, concluímos que o Corolário 4.2.6 é mais forte que o Teorema 4.1.4.

Denotaremos por L2 o conjunto das aplicações F : R™ — M n de classe Cl tal que existe um subconjunto compacto de R n fora do qual a matriz jacobiana DF(x) comuta com sua transposta.

Observamos que C2 é um subconjunto de C. O próximo resultado resolve afirmativamente a Conjectura de Chamberland para apli-

cações de C2- Este resultado foi demonstrado por L. A. Campbell em [7],

Teorema 4.2.8 Seja F E C2 e suponhamos que exista e > 0 tal que

Spec(F) c { z e C : > e}.

Então F é um difeomorfismo.

Com o teorema anterior e o Corolário 4.2.2, mostramos a Conjectura Fraca de Markus-

Yamabe para aplicações de C2. Mais precisamente:

Teorema 4.2.9 Se F £ C2 e Spec(F) c j z G C : 3?(z) < 0}, então F é injetiva.

Capí tu lo

5 Estabilidade assintótica global

Neste capítulo mostramos que a Conjectura de Markus-Yamabe é verdadeira para campos vetoriais diferenciáveis de dimensão dois e falsa para dimensão maior ou igual a três. As principais referências para este capítulo são [11] e [14].

5.1 Uma solução para a Conjectura de Markus-Yamabe bidimensional

Nosso objetivo nesta seção é mostrar que a Conjectura de Markus-Yamabe é verda-

deira para campos vetoriais diferenciáveis de R2. Mais precisamente:

Teorema 5.1.1 Seja X — (f,g) : R2 —> R2 um campo vetorial diferenciável tal que X(0) = 0 e Spec(X) C {z G C : ^(z) < 0}. Então, para todo p G R2

; existe uma única semi-trajetória positiva começando em p; além disso, o conjxmto u-limite de p é igual a {0}.

Sob a forte suposição de X ser injetivo e de classe C1 , o teorema acima foi provado por C. Olech em 1963 (veja [28]). Em virtude do Teorema 2.3.7 e da teoria de campos vetoriais contínuos, as principais idéias para demonstrar o Teorema 5.1.1 são as mesmas utilizadas por C. Olech. Em toda esta seção, assumiremos que as hipóteses do Teorema 5.1.1 estejam satisfeitas.

Denotaremos por X* : R2 —> R2 o campo vetorial ortogonal de X, isto é,

X*(x,y) = (-g(x,y),f(x,y)), (x,y) G R2 .

No que segue, a mesma notação que aquela usada para intervalos de R será também usada para arcos orientados de trajetórias \p,q], [p, q), . . . ( resp. \p,q\*, \p,q)*, •••) de X (resp. X*) conectando os pontos p,q G R2. Para arcos de trajetórias \p,q]* de X*, denotemos

L(p,q)= [ \X\ds, J\PM*

onde ds é o elemento de comprimento de arco e | • | é a norma euclidiana de R2. Observemos que se p ^ q, L(p, <7) > 0.

Apresentamos a seguir alguns lemas que auxiliarão na prova do Teorema 5.1.1.

Lema 5.1.2 Seja R o retângulo compacto cuja fronteira é constituída dos seguintes arcos de trajetórias: [pi,qi], \p2,q2] de X e [pi,p2]*, [Qi,Q2\* de X* (veja Figura 5.1). Então

L(q1,q2) - L(pi,p2) < 0.

Demonstração: Segue da fórmula de Green apresentada em [29] (Corolário 5.7), que

Traço(DX) é Lebesgue integrável em R e

LÍQuQz) - L{p1,p2) = / T r a ç o ( D X ) d x d y . (5.1) JR

Como Spec(AT) C {z e C : HR(z) < 0}, temos que T r a ç o ( D X ( x , y ) ) < 0 para todo (x, y) G R2. Isto juntamente com a igualdade (5.1) mostra que

L(qi,q2) - L(pi,p2) < 0.

O lema está demonstrado. •

Figura 5.1:

Com ajuda do Lema 5.1.2 demonstraremos o seguinte:

Lema 5.1.3 Para todo p G R2, existe uma imica semi-trajetória positiva de X começando

em p.

Demonstração: Suponhamos, por contradição, que existam duas semi-trajetórias po-sitivas e crp+ de I começando em p. Como 0 é um atrator local de x' = X(x), temos que p ^ 0. Logo, pelo Teorema 2.3.7, X(p) ^ 0. Assim, podemos construir um triângulo cuja fronteira é constituída de dois arcos de trajetórias [p, q\) C a | e [p, q2] C cr+ de X e um arco de trajetória [<?i, <72]* de X*.

Figura 5.2:

Aplicando o Lema 5.1.2, obtemos

L{qi,q2) < O-

Esta contradição prova o lema. •

Lema 5.1.4 O campo vetorial X não tem trajetórias fechadas. Além disso, dado p G R2, o conjunto ui-limite de p é {0} ou é o conjunto vazio.

Demonstração: Suponhamos, por contradição, que o campo X possua uma trajetória fechada, digamos a. Se D denota a região de R2 limitada por a, então pela fórmula de Green apresentada em [29] e pela hipótese feita sobre o Spec(X) concluímos

0= {fdy - gdx) = / T r a ç o [ D X ) d x d y < 0. Ja JD

Esta contradição mostra que o campo X não tem trajetórias fechadas. Este fato junta-mente com o Teorema de Poincaré-Bendixson implicam que o conjunto w-limite de p é {0} ou é o conjunto vazio. O lema está demonstrado. •

Agora vamos estabelecer mais notações. Sejam A e B subconjuntos de R2. Recordemos que a distância entre A e B, d(A,B),

c definida por d(A, B) = inf{|p - q\ : p G A, q G B}.

Dado o arco [p, q]* (resp. [q,p]*) de X*, denotaremos por £(p, q)* seu comprimento de

arco.

O próximo lema nos diz até que ponto o comportamento de fluxo persiste quando a unicidade deixa de existir.

L e m a 5.1.5 Sejam W uma vizinhança aberta e limitada de 0 G R2 e p\ G R2 \ W. Se e > 0 é suficientemente pequeno, existe 5 > 0 tal que se [pl5 qi] é um arco de trajetória de X, com [pi,çi] fl W — 0, e [p\,p2\* {resp. \p2,pi]*) é um arco de trajetória de X*, com £{Pi, P2)* < então existem arcos de trajetórias [p2, ^2] de X e [91,92]* {resp. [92,91]*) de X* tais que £(91,92)* < £•

D e m o n s t r a ç ã o : Nesta demonstração, usaremos a notação R(pi, 91, 92,P2) para repre-sentar o retângulo cuja fronteira é constituída pelos seguintes arcos de trajetórias: [p], 91], [p2,92] de X e [pi,p2]*, [91,92]* de X*, onde [pi,9i] D W = 0 e £(pi,p2)* < à (veja Figura 5.1).

Sejam U C M2 \ W a bola aberta de centro p\ e raio r e A = sup{|X(p)| : p € U}. Seja V uma vizinhança aberta de 0 G R2 tal que V C W. Afirmamos que

(a) existe p > 0 tal que, para todo p G R2 \ V, \X{p)\ > p.

De fato, pelo Teorema 2.1.4 temos que X é um horneomorfismo local e pelo Teorema 2.3.7 temos que X é injctivo. Assim, X(V) é um conjunto aberto. Como 0 G X{V), existe p > 0 tal que a bola de centro 0 e raio p está contida em X{V). Logo, pela injetividade de X, |X(p)| > p para todo p G R2 \ V. Isto prova {a).

Notemos que d(V, R2 \ W) > 0, já que V C V C W é limitado e R2 \ W é fechado. Sejam 0 < e < d(V, R2 \ W) e 0 < 5 < min{r, e, (ep)/A}.

Assumindo que o retângulo R(p1 ,qi,q2 ,p2) exista, provemos que ^(91,92)* < e. Mos-tremos inicialmente que [91, 92]* flV = 0. Suponhamos que isto não ocorra. Então existe 9 € [9i, 92]* H V \ V. Usando o Lema 5.1.3, obtemos p G \pi,p2}* tal que [p, 9] é um arco de trajetória de Como £{qi,q)* > e e L(quq) < £ (p i ,p) (veja Lema 5.1.2), segue que

pe < p%! ,9 )* < L(qi,q) < L(p1,p) < M(px,pY < A5 < ep.

Esta contradição mostra que [91,92]* f\ V = 0. Desta forma, usando novamente o

Lema 5.1.2, temos que

P^(9i,92)* < L{qi,q2) < L{pup2) < Ae(pup2)*.

Consequentemente, £(91,92)* < —t{Pi,P2)* <

Mostremos agora a existência do retângulo R{pi, 91, 92, p2). Seja m o supremo do

conjunto

A = {x G [pi,9i] : V j / e b i ,x ] , 3 i?(pi,2/,g2(í/),p2)}.

Afirmamos que rn = q\. De fato, denotemos por a semi-trajetória positiva do campo X começando em p2. Pelo que foi visto acima e por (a), temos que

(6) se (p(p, t) é uma curva integral de AT* com <p(p, 0) = p E [p\,q\] e <p(p, t0) = q E ct+, £

então l{p,q)* < £ e t0 < -. P

£

Tomemos T > - e p E [pi^qi]- O Teorema 5 em [33] implica que o conjunto

F(p, T) := {w E R n : w = cp(p, T) para alguma curva integral de X* com <p{p, 0) = p}.

é compacto e conexo em R2. Como uma trajetória de X* só pode interceptar a?|2 uma única vez, concluímos que F(p,T) n « ^ = 0 c portanto d(ot+2, F(p,T)) > 0. Usando o Corolário 3.1 em [33], obtemos que A é um conjunto aberto e não vazio. Para completar a demonstração da afirmação e portanto do Lema, basta mostrar que rn E A. Suponhamos, por contradição, que m 0 A. Então d(oíp2, F(m,T)) > a > 0. Usando novamente o Corolário 3.1 em [33], obtemos r E [p\,qi) tal que, para todo x E (r, m],

F(x, T) C {w E R2 : d(w, F(rn, T)) < a}.

Isto implica que (r, m] E A, contradizendo a definição de rn. Logo m E A e o lema esta

demonstrado. •

Denotemos por W s o conjunto dos pontos de R2 cujo conjunto a>-limite é a origem,

isto é, W s = {PE R2 : u(jp) = {0}}.

Como vimos no Teorema 1.4.11, a origem é um atrator local de x' = X(x). Deste fato

e usando o Lema 5.1.5 temos o seguinte resultado:

Corolário 5.1.6 VVS é um subconjunto aberto e não vazio de R2 .

Utilizando os resultados anteriores, podemos demonstrar o Teorema 5.1.1.

Demonstração do Teorema 5.1.1: Pelo Lema 5.1.3, temos que para todo p E R2, existe uma única semi-trajetória positiva de X começando em p. Resta mostrarmos agora que W s = R2 . O Corolário 5.1.6 garante que W s é um subconjunto aberto e não vazio de R2. Deste rnodo, pela conexidade de R2, é suficiente provar que R2 \ W s é um subconjunto aberto de R2. Se R2 \ W s = 0 , não há o que demonstrar. Caso contrário, seja pi E R2 \ YVS. Denotemos por ct+ a semi-trajetória positiva do campo X começando em pi. Segue do Lema 5.1.4 que é ilimitada. Tomemos uma vizinhança aberta e

5.2 Um contra-exemplo polinomial para a Conjectura de Markus-Yamabe para n > 3 59

limitada V de 0 G R2 tal que V C Ws. Observemos que fl V = 0. Pelo Lema 5.1.5 temos que, para 0 < e < g^cx^U) suficientemente pequeno, existe 8 > 0 tal que se [Pi7 P2]* (resp. [p2,pi]*) é um arco de trajetória de X* com l(pi,p2)* < 5, então para todo ç/i G (Xpj existem arcos de trajetórias ; Ç2] de X e [qi,q2]* (resp. [f/2, Ç/i]*) de X*, onde ^(íi >^2)* < Isto mostra que R2 \ W s é aberto. O teorema está demonstrado. •

5.2 Um contra-exemplo polinomial para a Conjectura de Markus -Yamabe para n > 3

O resultado seguinte é urn contra-exemplo polinomial para a Conjectura de Markus-Yamabe em R", para todo n > 3. Esse contra-exemplo foi construído por A. Cima, A. van den Essen, A. Gasull, E. Hubbers e F. Mafiosas em [11].

Teorema 5.2.1 Sejam n > 3 e X : Rn R n dado por

X(xi,x2, ...,xn) = {-x1 + x3(x1 + x3x2)2, x2 - {xi + x3x2)2, -x3,..., -xn).

Então X é um contra-exemplo para a Conjectura de Markus-Yamabe. Mais precisamente, existe uma solução de x! = X(x) que tende para infinito quando t tende para infinito.

Demonstração: Facilmente verifica-se que, para todo x G R ' \ todos os autovalores de

DX(x) são iguais a - 1 e x(t) = (xi(t),x2(t),..., xn(t)), t G R, onde

x^t) = l&e1

x2(t) = — 12e2t

x3(t) = e~l

xn{t) = e t

é uma solução de x' = X(x) que obviamente tende para infinito quando t tende para

infinito. ®

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agradecimentos agradeço acim dae tud ao deus pel, doo m da vid ea por esta constantementr me e...

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