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Yuri Percy Molina Rodriguez

Alocação das Cargas e das Perdas Complexas via Teoria dos Jogos e de Circuitos

Tese de Doutorado

Tese apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica da PUC-Rio como parte dos requisitos parciais para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Ricardo B. Prada Co-orientador: Prof. Osvaldo Saavedra Mendez

Rio de Janeiro

Junho de 2009

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Alocação das Cargas e das Perdas Complexas via Teoria dos Jogos e de Circuitos

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção

do grau de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica do Departamento de Engenharia Elétrica do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Dr. Ricardo Bernardo Prada

Orientador Departamento de Engenharia Elétrica – PUC-

Rio

Dr. Osvaldo Saavedra Mendez Co-orientador

UFMA

Dr. Luiz Guilherme Barbosa Marzano

CEPEL

Dr. Alberto Vargas

Universidad Nacional de San Juan

Dr. Miguel Arias Albornoz Universidad de Santiago de Chile

Dr. Delberis Araújo Lima

Departamento de Engenharia Elétrica – PUC-Rio

Prof. José Eugenio Leal

Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico

Rio de Janeiro, 19 de junho de 2009

Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.


Graduou-se em Engenharia Elétrica na Universidade Nacional de Engenharia (Lima, Peru) em 2003. Mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Maranhão (São Luis, Brasil) em 2005.

Ficha Catalográfica

CDD: 621.3

Rodriguez, Yuri Percy Molina Alocação das cargas e das perdas complexas via

teoria dos jogos e de circuitos / Yuri Percy Molina Rodriguez ; orientador: Ricardo B. Prada ; co-orientador: Osvaldo Saavedra Mendez. – 2009.

171 f. ; 30 cm Tese (Doutorado em Engenharia Elétrica) –

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2009.

Inclui bibliografia 1. Engenharia elétrica – Teses. 2. Alocação das

perdas complexas. 3. Alocação das cargas. 4. Teoria dos jogos. 5. Método de Aumann-Shapley. 6. Leis de circuitos. 7. Contra-fluxos. 8. Subsídios cruzados. 9. Alocação negativa. I. Prada, Ricardo B. II. Mendez, Osvaldo Saavedra. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Elétrica. IV. Título.

Aos meus pais, Santiago Molina e Julia Rodriguez

Agradecimentos

Aos professores Ricardo Prada e Osvaldo Saavedra pelo apoio e

orientação no desenvolvimento deste trabalho.

Ao CNPQ pelo suporte financeiro concedido, sem o qual este trabalho

não se realizaria.

A todos os companheiros do curso de Pós-Graduação em Engenharia

Elétrica, pelo estímulo e pela saudável convivência.

Aos professores e funcionários do Departamento de Engenharia Elétrica

da PUC-Rio pela atenção e presteza.

Resumo

Rodriguez, Yuri Percy Molina; Prada, Ricardo Bernardo (Orientador); Mendez, Osvaldo Saavedra (Co-orientador). Alocação das Cargas e das Perdas Complexas via Teoria dos Jogos e de Circuitos. Rio de Janeiro, 2009. 171p. Tese de Doutorado – Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do rio de Janeiro.

Devido à introdução da competição na indústria de energia elétrica,

tornou-se importante determinar e identificar, nas perdas da rede de

transmissão, a parcela de responsabilidade para cada agente do sistema

(fornecedores e consumidores), assim como determinar a participação de cada

gerador no consumo das cargas. Nesta tese, através do uso da teoria dos jogos,

método de Aumann-Shapley, e da teoria de circuitos propõem-se métodos que

fornecem atribuições de responsabilidade consistentes para estes problemas. As

alocações refletem a localização dos geradores e das cargas na rede em

conformidade com as leis de circuitos. Considera-se a influência da componente

real da corrente nas perdas e cargas reativas, assim como a influência da

componente imaginária da corrente nas perdas e cargas ativas. Contra-fluxos, e

alocações negativas são tópicos apresentados e discutidos. Com a finalidade de

demonstrar a aplicabilidade dos métodos propostos, exemplos numéricos são

apresentados e discutidos.

Palavras–chave

Alocação das perdas complexas, alocação das cargas, teoria dos jogos,

método de Aumann-Shapley, leis de circuitos, contra-fluxos, subsídios cruzados,

alocação negativa.

Abstract Rodriguez, Yuri Percy Molina; Prada, Ricardo Bernardo (Advisor); Mendez, Osvaldo Saavedra (Co-advisor). Allocation of Loads and Complex Losses through Game and Circuit Theory. Rio de Janeiro, 2009. 171p. Rio de Janeiro, 2009. 173p. Doctorate Thesis – Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do rio de Janeiro.

Due to the introduction of competition in the energy industry, it has

become very important to determine and quantify the responsibility of each agent

in transmission system losses, as well as to determine the participation of each

generator to the loads. In this thesis, through the use of game theory, Aumann-

Shapley method, and circuit theory are proposed methods that determine

responsibilities consistent to these problems, reflecting the position of generators

and loads on network in accordance with the circuit laws. The influence of active

current component on reactive losses and demand, as well as the influence of

reactive current component on active losses and demand are considered.

Counter-flow and negative allocation issues are discussed. Numerical examples

are presented and discussed in order to demonstrate the applicability of the

proposed methods.

Keywords

Complex losses allocation, loads allocation, game theory, Aumann-

Shapley theory, circuit theory, counter-flow, cross-subsidy, negative allocation.

Sumário

1 Introdução ................................................................................................ 15

1.1 Considerações Iniciais..................................................................... 15 1.2 Objetivo ........................................................................................... 16

1.2.1 Motivação............................................................................... 17 1.3 Estado da Arte................................................................................. 20

1.3.1 Alocação de Perdas do Sistema de Transmissão.................. 20 1.3.2 Contribuição dos Geradores às Cargas ................................. 23

1.4 Estrutura da Tese ............................................................................ 24 2 Métodos de Repartição de Custos........................................................... 26

2.1 Introdução........................................................................................ 26 2.2 Conceitos Básicos ........................................................................... 27 2.3 Exemplo Ilustrativo .......................................................................... 30 2.4 Método Nucleolus ............................................................................ 34 2.5 Método dos Custos Marginais ......................................................... 37 2.6 Método dos Custos Incrementais .................................................... 41 2.7 Método de Shapley.......................................................................... 43 2.8 Método de Aumann-Shapley ........................................................... 46 2.9 Conclusões...................................................................................... 50

3 Métodos de Alocação de Perdas e Demandas Elétricas ......................... 52 3.1 Introdução........................................................................................ 52 3.2 Métodos de Alocação de Perdas Elétricas ...................................... 52

3.2.1 Método Pro Rata (Selo).......................................................... 54 3.2.2 Métodos Baseados no Princípio da Divisão Proporcional ...... 55 3.2.3 Métodos Baseados em Teoria de Circuitos............................ 60 3.2.4 Métodos Baseados em Teoria dos Jogos .............................. 65

3.3 Métodos de Alocação de Demanda Elétrica.................................... 73 3.3.1 Métodos Baseados no Princípio da Divisão Proporcional ...... 74 3.3.2 Método Baseado em Teoria de Circuitos ............................... 80

3.4 Conclusões...................................................................................... 84 4 Teoria de Circuitos Elétricos .................................................................... 85

4.1 Introdução........................................................................................ 85 4.2 Cálculo de Corrente na Carga ......................................................... 85 4.3 Cálculo da Potência Consumida pelas Cargas................................ 88 4.4 Cálculo da Potência Fornecida pelos Geradores ............................ 89 4.5 Conclusões...................................................................................... 90

5 Método Proposto para Alocar as Cargas e Perdas Complexas ............... 91 5.1 Introdução........................................................................................ 91

5.1.1 Cálculo da Corrente na Carga................................................ 93 5.1.2 Cálculo da Potência Consumida por uma Carga ................... 94

5.2 Alocação de Potência dos Geradores para as Cargas.................... 94 5.3 Alocação de Perdas do Sistema...................................................... 96

5.3.1 Alocação de Perdas aos Geradores....................................... 97 5.3.2 Alocação de Perdas às Cargas............................................ 102

5.4 Alocação de Perdas nas Linhas de Transmissão.......................... 109 5.4.1 Contra-Fluxos e Alocações Negativas ................................. 115

5.5 Efeito Capacitivo das Linhas de Transmissão nas Perdas do Sistema.......................................................................................... 118

5.6 Conclusões.................................................................................... 121 6 Aplicação do Método Proposto para Alocação de Cargas e Perdas

Complexas ............................................................................................. 122 6.1 Introdução...................................................................................... 122 6.2 Alocação de Carga Complexa ....................................................... 123

6.2.1 Cálculo da Corrente na Carga.............................................. 123 6.2.2 Cálculo de Potência Consumida por uma Carga ................. 124

6.3 Alocação de Perdas aos Geradores e Cargas .............................. 129 6.3.1 Alocação de Perdas aos Geradores..................................... 129 6.3.2 Alocação de Perdas para as Cargas.................................... 134 6.3.3 Alocação de Perdas nas Linhas de Transmissão ................ 136 6.3.4 Comparação de Métodos de Alocação em Cenários

Diferentes............................................................................. 142 6.3.5 Alocação de Perdas no Sistema IEEE 30 Barras................. 152

6.4 Conclusões.................................................................................... 157 7 Conclusões ............................................................................................ 158 8 Referências Bibliográficas...................................................................... 161 Apêndice A - Método de Aumann-Shapley .................................................. 166

Lista de Figuras Figura 1.1 - Sistema de Duas Barras ............................................................. 18

Figura 2.1 - Representação Geométrica do Núcleo ....................................... 33

Figura 2.2 - Representação Gráfica dos Custos Marginais............................ 38

Figura 2.3 - Sobre-Remuneração do Método de Custos Marginais ............... 40

Figura 3.1 - Princípio da Divisão Proporcional do Fluxo de Potência Ativa.... 56

Figura 3.2 - Modelo π da Linha de Transmissão entre as Barras m e n ......... 67

Figura 3.3 - Representação do Sistema de Potência ..................................... 70

Figura 3.4 - Sistema de 6 Barras Usado para Ilustrar o Conceito .................. 75

Figura 3.5 - Gráfico de Estado do Sistema de 6 Barras ................................. 77

Figura 3.6 - Gráfico de Estado do Sistema de 6 Barras ................................. 79

Figura 4.1 - Circuito de 3 Barras .................................................................... 86

Figura 5.1 - Representação do Sistema de Potência ..................................... 92

Figura 5.2 - Sistema de Potência Remodelado (Geradores como Fontes

de Corrente) .............................................................................. 93

Figura 5.3 - Sistema de Potência Remodelado (Cargas como Fontes de

Corrente) ................................................................................. 103

Figura 5.4 - Linha que Dissipa Potência Elétrica Decorrente da

Contribuição de Duas Fontes de Corrente Equivalentes de

Geração .................................................................................. 109


Contribuição de Duas Fontes de Corrente Equivalentes de

Carga ...................................................................................... 111


Contribuição de Duas Fontes de Corrente .............................. 116

Figura 5.7 - Alocação de Perdas às Fontes A e B....................................... 118

Figura 6.1 - Sistema-Teste de 4 Barras ....................................................... 122



Figura 6.4 - Sistema-Teste Equivalente de 3 Barras.................................... 145

Figura 6.5 - Diagrama Unifilar do Sistema IEEE 30 Barras.......................... 153

Figura A.1 - Caminho ABA ........................................................................... 167

Lista de Tabelas Tabela 2.1 - Resultado da Repartição de Custos (milhões) ........................... 32

Tabela 2.2 - Alocação de Custos pelo Método de Custos Marginais ............. 39

Tabela 2.3 – Alocação de Custos pelo Método de Custos Marginais com

Fator de Ajuste φ....................................................................... 40

Tabela 2.4 – Alocação de Custos pelo Método de Custos Incrementais –

Seqüência 1-2-3........................................................................ 42

Tabela 2.5 – Alocação de Custos pelo Método de Custos Incrementais –

Seqüência 1-3-2........................................................................ 43

Tabela 2.6 – Alocação de Custos pelo Método de Shapley ........................... 44

Tabela 2.7 – Alocação de Custos pelo Método de Shapley – Custos

Unitários .................................................................................... 44

Tabela 2.8 - Alocação de Custos pelo Método de Aumann-Shapley ............. 49

Tabela 2.9 - Vantagens e Desvantagens dos Métodos de Repartição de

Custos ....................................................................................... 51

Tabela 5.1 - Dados das Barras do Sistema-Teste de 2 Barras .................... 117

Tabela 6.1 - Dados das Barras do Sistema-Teste de 4 Barras .................... 123

Tabela 6.2 - Dados dos Fluxos das Linhas do Sistema-Teste de 4 Barras.. 123

Tabela 6.3 - Participação das Componentes Reais das Fontes de

Corrente Equivalentes dos Geradores na Potência

Consumida pelas Cargas do Sistema-Teste de 4 Barras........ 126

Tabela 6.4 - Participação das Componentes Imaginárias das Fontes de

Corrente Equivalentes dos Geradores na Potência

Consumida pelas Cargas do Sistema-Teste de 4 Barras........ 127

Tabela 6.5 - Participação das Fontes de Corrente Equivalentes dos

Geradores na Potência Consumida pelas Cargas do

Sistema-Teste de 4 Barras...................................................... 127

Tabela 6.6 - Comparação das Contribuições dos Geradores nas Potências

Consumidas pelas Cargas do Sistema-Teste de 4 Barras...... 129

Tabela 6.7 - Participação das Componentes Reais das Fontes de

Corrente Equivalentes dos Geradores nas Perdas ................. 132


Corrente Equivalentes dos Geradores nas Perdas ................. 133


Geradores nas Perdas ............................................................ 134

Tabela 6.10 - Participação nas Perdas das Componentes Reais das

Fontes de Corrente Equivalentes das Cargas......................... 134


Corrente Equivalentes das Cargas nas Perdas ...................... 134

Tabela 6.12 - Participação nas Perdas das Fontes de Corrente

Equivalentes das Cargas ........................................................ 135


Geradores nas Perdas do Sistema ......................................... 135

Tabela 6.14 - Alocação de Perdas às Componentes Reais das Correntes

dos Geradores e Cargas em Cada Linha de Transmissão no

Sistema-Teste de 4 Barras...................................................... 138

Tabela 6.15 - Alocação de Perdas às Componentes Imaginárias das

Correntes dos Geradores e Cargas em Cada Linha de

Transmissão no Sistema-Teste de 4 Barras ........................... 138

Tabela 6.16 - Alocação de Perdas às Correntes dos Geradores e Cargas

em Cada Linha de Transmissão no Sistema-Teste de 4

Barras...................................................................................... 139

Tabela 6.17 - Alocação de Perdas Complexas às Cargas em Cada Linha

de Transmissão no Sistema-Teste de 4 Barras ...................... 142

Tabela 6.18 - Sistema-Teste de 5 Barras - Estado de Operação do Caso-

Base ........................................................................................ 143

Tabela 6.19 - Sistema-Teste de 5 Barras: Fluxos de Potência e Perdas

nas Linhas de Transmissão para o Caso-Base....................... 143

Tabela 6.20 - Alocação de Perdas entre Geradores e Cargas do Sistema-

Teste de 3 Barras.................................................................... 146

Tabela 6.21 – Alocação de Perdas para o Cenário 1: Potência Ativa

Gerada na Barra 3 = 74,95 MW .............................................. 149

Tabela 6.22 - Alocação de Perdas para o Cenário 2: Potência Ativa

Gerada na Barra 3 =155 MW .................................................. 150

Tabela 6.23 - Alocação de Perdas para o Cenário 3: Potência Ativa

Gerada na Barra 3 = 237,425 MW .......................................... 151

Tabela 6.24 – Dados das Barras do Sistema IEEE 30 barras...................... 153

Tabela 6.25 – Dados dos Fluxos das Linhas do Sistema IEEE 30 barras ... 154

Tabela 6.26 - Alocação de Perdas Complexas às Cargas e Geradores no

Sistema IEEE 30 Barras.......................................................... 156

1 Introdução

1.1 Considerações Iniciais

O setor de energia elétrica em diferentes países do mundo, assim como

no Brasil, está passando por grandes mudanças estruturais e de

regulamentação. Os sistemas elétricos estão migrando de uma estrutura onde as

empresas eram integradas verticalmente para uma estrutura empresarial

“desverticalizada”. É essencial para o desenvolvimento de qualquer país uma

indústria elétrica competitiva e eficiente, e possíveis limitações na cobertura e

qualidade do serviço de energia representarão um obstáculo em longo prazo.

Portanto, não é de surpreender que transformações estruturais profundas na

indústria elétrica sejam feitas para lograr sua modernização, fortalecer sua

competitividade e brindar melhores serviços aos usuários [BANCOMER, 2002].

O processo de reestruturação tem-se mostrado de maneira particular em

cada país, com diferente grau de competição e de participação do Estado. A

reestruturação do setor elétrico envolve basicamente a separação de serviços

de eletricidade, acesso aberto à rede de transmissão e abertura de

mercados de energia elétrica [Huneault, 1999].

A separação de serviços de eletricidade refere-se à atribuição de distintas

funções da indústria elétrica para as diferentes entidades corporativas

(concessionárias). Isto é, a separação do setor elétrico em concessionárias de

geração, transmissão e de distribuição, que serão tratados como negócios

diferentes, as quais devem ser gerenciadas por empresas distintas (estrutura

desverticalizada). Além disso, deveria haver forte competição em alguns pontos

da cadeia fornecedora de energia elétrica (geração e comercialização de energia

elétrica). Assim sendo, o agente comercializador foi criado para intermediar

negociações de compra e venda de energia elétrica até chegar ao consumidor

final, sendo a transmissão e distribuição consideradas monopólios naturais.

O sistema de transmissão deixou de ser propriedade de um único agente

e passou a ser uma via de acesso para efetuar as transações ocorridas no

16

mercado. O acesso aberto à rede de transmissão tem um papel importante

porque viabiliza a competição entre as empresas de geração, as quais não têm

que se preocupar com a questão de “como a energia vai ser transportada até o

consumidor final”. Por isso, o sistema de transmissão não pode estar sujeito ao

controle de uma empresa ou um grupo de empresas que poderiam exercer este

controle de forma discriminatória. Desta forma, as empresas de transmissão são

tratadas como um monopólio, sujeitas à regulação de tarifas de transmissão que

são usadas para cobrar o acesso à rede [Rudnick, 1996].

Em muitas partes do mundo, há competição no fornecimento da energia

elétrica, o que traz como conseqüência a diminuição dos preços ao consumidor.

Devido a isso, tornou-se importante determinar quanto do fornecimento dos

geradores chega a uma determinada carga, e quanto deste fornecimento é

perdido no sistema de transmissão [Thukaram, 2006].

Outros desafios são a determinação das capacidades ótimas de

transferência, alocação de custos de congestionamento, determinação da

responsabilidade das perdas elétricas para geradores e cargas, e a alocação de

custos de vários serviços de uma forma justa e transparente.

1.2 Objetivo

Nos últimos anos, poucos trabalhos têm sido propostos objetivando a

determinação da responsabilidade pelas perdas ativas e reativas (perdas

complexas) de uma maneira conjunta, e um número superior de trabalhos para

determinar a responsabilidade pelas perdas ativas entre os agentes. Contudo,

apesar de haver muitos métodos que poderiam ser considerados como “exatos”,

a questão da equidade ainda continua em aberto, sendo, portanto, um problema

ainda sem solução amplamente aceita. Do mesmo modo, a determinação das

contribuições dos geradores para as cargas tem sido abordada de diferentes

formas, apresentando diferentes fórmulas e mecanismos, sendo a maioria dos

trabalhos baseada no método de seguimento dos fluxos (flow tracing).

A questão da influência das potências ativa e reativa na determinação

das contribuições de cada um dos geradores para as perdas, fluxos e cargas, é

um problema difícil, porque o fluxo de potência ativa (reativa) pode causar não

apenas perda ativa (reativa), mas também perda reativa (ativa). Portanto, a

17

influência mútua entre os fluxos de potência ativa e reativa vem a ser um fator

importante a ser levado em conta para determinar as contribuições de cada um

dos geradores nas perdas, fluxo e demanda da carga [Peng, 2002].

O objetivo desta tese é propor dois métodos: um para a alocação de

perdas de potência ativa e reativa (perdas complexas) e outro para determinar

as contribuições dos geradores às cargas, procurando um tratamento

semelhante para ambos os problemas. A chave para resolver estes problemas

está em revelar a relação entre as perdas complexas da linha, o fluxo na linha, o

consumo da carga e uma fonte qualquer. Para determinar essas relações, esta

tese formula um método que permite uma análise separada dos efeitos de

correntes reais e imaginárias (chamados também de componentes de correntes)

nas perdas do sistema, enquanto fluem dos geradores até as cargas. Em

seguida, a teoria de Aumann-Shapley é usada para resolver o problema da

responsabilidade pelas perdas elétricas.

1.2.1 Motivação

O problema de alocação consiste, basicamente, em determinar a

responsabilidade dos agentes (participantes) em cada um dos serviços

oferecidos ou requeridos por eles. Todos, sem exceção, são responsáveis em

maior ou menor grau pelos custos adicionais decorrentes de oferecer ou

requerer um serviço. Por exemplo, considere-se o sistema simples de duas

barras apresentado na Figura 1.1, composto de um gerador, uma linha e uma

carga. O gerador oferece o serviço de fornecimento de energia e a carga requer

energia. É evidente que a energia requerida pela carga será fornecida pelo

gerador, mas para isso é necessária uma linha de transmissão que fará o papel

intermediário, transmitindo a energia do gerador até a carga.

Depois de realizada a transmissão de energia elétrica surge um novo

desafio. O gerador que fornece uma potência de 100 MW durante uma hora

exige que a carga pague por seus serviços. Por outro lado, a carga argumenta

que somente recebeu 95 MW na mesma hora e não é responsável pela

diferença. Então, surge uma pergunta. Quem é responsável pelas perdas na

linha de transmissão? A resposta mais aceita pelos agentes do sistema é que

tanto os geradores quanto as cargas são responsáveis pelas perdas (binômio

gerador-carga), coexistindo numa espécie de cooperação elétrica mutuamente

18

vantajosa, implicando uma inter-relação que os torna mutuamente

indispensáveis. Isto se baseia no princípio de que sem carga não há perdas,

assim como sem geração também não há.

Figura 1.1 - Sistema de Duas Barras

Estendendo a análise para um sistema maior, onde se tem um sistema

com (NG +NC) barras, dos quais NG barras são de geração e NC barras de

carga, metade da responsabilidade pelas perdas do sistema é atribuída às NG

barras de geração e a outra metade às NC barras de cargas. Assim sendo,

aparece um novo desafio, que é a determinação da responsabilidade de cada

gerador e carga nas perdas atribuídas a cada categoria.

Outro desafio a ser abordado nesta tese é a determinação da

contribuição da potência fornecida pelos geradores para as cargas. Isto é,

determinar quanto da potência consumida por uma carga provêm de cada

gerador. Nos sistemas elétricos atuais, os consumidores podem escolher seus

fornecedores de energia. Assim, é importante saber a parcela de potência que

um gerador fornece para uma determinada carga. A carga pode optar por outro

gerador que possa ajudá-la a reduzir outros custos, tal como o custo pela

utilização do sistema de transmissão.

Para o sistema apresentado na Figura 1.1 a solução é simples, já que

toda a potência consumida pela carga foi fornecida pelo gerador. Num sistema

maior, onde a rede de transmissão é malhada, esta tarefa não é simples, devido

à relação não-linear existente entre a potência fornecida por um gerador e a

consumida por uma carga.

19

Para sistemas maiores é necessário um método para distribuir entre os

agentes envolvidos a responsabilidade pelos custos adicionais decorrentes dos

serviços oferecidos ou requeridos, de uma forma justa. Embora existam vários

métodos de alocação propostos na literatura para resolver estes problemas,

ainda não existe um consenso sobre o melhor critério a ser seguido, sendo que

atualmente cada país utiliza um método diferente com maior ou menor grau de

aproximação.

Outra questão importante a ser considerada é a alocação de perdas de

potência reativa porque tem recebido uma maior atenção nos tempos atuais.

Embora o custo de produção de potência reativa é muito pequeno comparado

com o da potência ativa, a hipótese de custo zero não é aceitável em um

mercado competitivo. No entanto, ainda não existem métodos de aquisição e

pagamento de potência reativa, que sejam amplamente aceitos. Em vez disso,

cada mercado elétrico usa estratégia de aquisição com base em suas próprias

regras. Nos mercados emergentes as cargas pagam pela potência reativa

consumida e assim, é de se esperar um pagamento pelas perdas de potência

reativa porque as impedâncias das linhas têm características similares às

cargas. É preciso recuperar os custos de suporte de potência reativa do sistema.

Por outro lado, devido ao efeito capacitivo das linhas, existe uma diminuição nas

perdas reativas do sistema. Esta compensação reativa deve ser considerada no

processo de alocação, o que permite uma alocação de perdas reativas menor

nas linhas.

A natureza não-linear da demanda de potência e das perdas elétricas é o

principal problema. Ou seja, trata-se de grandezas que não estão relacionadas

linearmente a nenhuma outra grandeza física (por exemplo: potências, tensões,

correntes, etc.) do sistema elétrico. Entretanto, sabe-se que a localização de

geradores e cargas na rede pode contribuir, de forma significativa, para o

aumento ou diminuição das perdas elétricas do sistema. Além disso, a influência

desses agentes (geradores e cargas), no aumento ou diminuição das perdas

elétricas pode variar de acordo com sua potência gerada ou consumida. A partir

dessas afirmações, formula-se um conjunto de características visando uma

adequada alocação, mas não a ideal, o qual é apresentado em [Conejo, 2001] e

[Fang, 2002], descritos com maior detalhe na Seção 3.1.

20

1.3 Estado da Arte

Determinar a responsabilidade pelas perdas elétricas do sistema de

transmissão e as contribuições dos geradores para as cargas são temas que

estão sendo estudados por diversos autores, na procura de soluções para

determinar a responsabilidade dos agentes do sistema nestes dois problemas.

Na seqüência, serão descritos os trabalhos mais relevantes voltados para a

determinação da responsabilidade das perdas do sistema de transmissão e

determinação da contribuição dos geradores para as cargas.

1.3.1 Alocação de Perdas do Sistema de Transmissão

Na literatura técnica, muitos trabalhos têm sido dedicados ao problema

de alocação de perdas ativas de transmissão e um número menor às perdas

reativas e complexas. No entanto, em geral, os métodos propostos são

dependentes do tipo ou modelo operacional do mercado elétrico. Nas

referências, podem ser encontrados interessantes estudos comparativos,

contendo breves revisões de métodos de alocação de perdas nos mercados

elétricos [Lima, 2007] [Lima, 2004] [Conejo, 2002].

Em [Ilic, 1998] [Conejo, 2002] é tratado um dos métodos clássicos,

simples de entender e fácil de implementar, denominado método Pro Rata.

Caracteriza-se por alocar perdas elétricas proporcionalmente à potência de cada

gerador ou de cada carga. Mas, para fazer a alocação de perdas deve-se arbitrar

a proporção de perdas elétricas que serão alocadas aos geradores e às cargas,

geralmente, 50% para cada categoria. Apesar de todos estes aspectos positivos,

sua principal desvantagem é que “ignora” a rede. Isto é, duas demandas

idênticas localizadas em pontos diferentes do sistema, por exemplo, uma

próxima às barras geradoras e a outra distante delas, são tratadas da mesma

forma.

Em [Bialek, 1998] e [Kirschen, 1997] são propostos métodos baseados

em seguimento de fluxo de potência para alocar perdas na rede. Estes métodos,

em geral, usam resultados do fluxo de potência, em combinação com o princípio

da divisão proporcional. Adicionalmente, são requeridas técnicas de circuitos e

21

técnicas recursivas de rastreamento. Com isso, torna-se possível a alocação de

perdas para geradores e consumidores, numa proporção de 50% das perdas

para cada um deles. Os métodos para alocação de perdas e fluxos baseados no

princípio da divisão proporcional usam diversas suposições e esquemas

recursivos. Por exemplo, consideram linhas e barras fictícias, entre outros. Com

isso, o resultado das alocações pode ser considerado inconsistente.

Os métodos baseados na teoria de circuitos elétricos apresentam uma

característica peculiar. O fato de explorar as leis de circuitos elétricos, simples e

de fácil entendimento, torna-os interessantes [Conejo, 2001], [Lo, 2006], [Reta,

2001], [Costa, 2004], [Daniel, 2005], [Unsihuay, 2006]. Embora se explorem as

leis de circuito, há dificuldades em alocar as perdas para as cargas e geradores

porque as funções das perdas são não-lineares. Várias suposições e

aproximações foram feitas com a finalidade de alocar a parcela das perdas

associadas aos termos cruzados. Na Seção 3.2 esta discussão é descrita com

mais detalhes.

Aplicações de métodos de alocação de perdas em submercados podem

ser encontradas em [Lima, 2006] e [Leite da Silva, 2003a]. Métodos baseados

em fatores incrementais de perdas podem ser encontrados em [Galiana, 2002] e

[Leite da Silva, 2003b], entre outros. No Brasil, o método utilizado para a

alocação das perdas baseia-se no método de Pro-Rata. Entretanto, ouve uma

tentativa de aplicar um método baseado na definição de fatores de perda tanto

para a carga quanto para a geração. Esses fatores são calculados por meio de

fluxo de carga CC, que considera algumas aproximações nas equações do fluxo

de potência convencional. Acredita-se que este método possa fornecer uma

alocação de perdas injusta aos participantes do mercado. Em [Menezes, 2006] é

proposta uma metodologia para o cálculo dos fatores de perda, também baseada

em métodos incrementais, mas considerando a não-linearidade das equações do

fluxo de carga, utilizando para isso um modelo de fluxo de carga CA. Uma

comparação entre o cálculo dos fatores incrementais de perdas usando o

modelo CA e CC também é apresentada.

Em [Shih-Chieh, 2006], [Peng, 2007], o conceito de teoria dos jogos

cooperativos (valor de Shapley) é usado para determinar uma alocação de

perdas, onde as potências geradas são modeladas como fontes de corrente e as

cargas são modeladas por seu equivalente de impedância constante. Assim,

cada fonte de corrente é tratada como um jogador individual do jogo de alocação

22

de perdas. Este procedimento de alocação, embora tenha várias características

atraentes, apresenta duas limitações importantes: a) o processo de alocação é

afetado pela agregação de agentes; b) o esforço computacional, devido ao

aspecto combinatório, cresce muito rapidamente com o número de agentes.

Para superar estas limitações da teoria de Shapley, surge a teoria de

Aumann-Shapley, que é mais completa, conforme descrito na Seção 2.8. Em

[Vieira Filho, 1999] [Tan, 2001], [Molina, 2007], é aplicada a teoria de Aumann-

Shapley para o problema de alocação de perdas; Em [Vieira Filho, 1999] o custo

de perdas de transmissão é definido como a diferença entre a quantidade paga

aos geradores na operação do sistema com e sem perdas, isto é, primeiro é

determinada o custo da operação do sistema com as resistências das linhas

originais, seguidamente calcula-se o custo da operação do sistema considerando

as resistências das linhas nulas, entretanto o custo unitário de Aumann-Shapley

é feito através de métodos numéricos; em [Tan, 2001], a equação para as

perdas de sistema é função das potências ativas dos geradores e o cálculo do

custo unitário de Aumann-Shapley também é feito através de métodos

numéricos de integração; enquanto em [Molina, 2007], a equação de perdas é

uma função das injeções de corrente equivalentes dos geradores e o cálculo do

custo unitário é feito de forma analítica.

Em [Abdelkader, 2007], apresenta-se um método que aloca as perdas

complexas de cada linha de maneira proporcional aos fluxos de potência

complexa. Isto significa que, um fluxo de potência ativa (reativa) não somente

causa perda ativa (reativa), mas também perda reativa (ativa). Portanto, a

influência mútua entre as perdas e os fluxos de potência ativa e reativa é levada

em consideração.

Outro método baseado em fluxo de potência é apresentado em

[Macqueen, 1996]. Utiliza-se um método visual da rede com a finalidade de

determinar as perdas em cada barra. Desse modo, uma fórmula de alocação de

perdas específica é aplicada. Porém, esta fórmula se mostrou inadequada, já

que aloca a totalidade das perdas somente aos consumidores.

23

1.3.2 Contribuição dos Geradores às Cargas

Na literatura são propostos diversos métodos de partição de

responsabilidades dos geradores para o atendimento das demandas de

potência. Muitas abordagens se baseiam no seguimento de fluxos, apresentando

soluções práticas para o problema, utilizando adicionalmente os princípios da

superposição e divisão proporcional. Existe também um método que usa

basicamente a teoria de circuitos, considerando hipóteses e suposições para

determinar tais responsabilidades. A seguir, uma breve descrição destes

métodos.

Em [Bialek, 1996] apresenta-se um método baseado no seguimento de

fluxos para calcular as participações dos geradores no atendimento das cargas e

nos fluxos de potência dos ramos de transmissão. O princípio fundamental

utilizado para determinar as alocações de fluxos e demandas é o princípio da

divisão proporcional, o que permite assumir que as barras em uma rede de

transmissão são distribuidores perfeitos de potência. Por este princípio, é

possível identificar qual a proporção de fluxo por linha que chega a uma barra e

segue por outra linha que deixa esta barra.

Em [Kirschen, 1997], descreve-se um método baseado em seguimento

de potência ativa, no qual se determina quais geradores alimentam uma carga

particular, isto é, quanto da potência produzida pelo gerador é usada pela carga.

Esta proposta, embora seja aplicada somente para determinar a contribuição de

potência ativa dos geradores para as cargas, pode também ser generalizada

para potência reativa. O método inicia-se de uma solução de fluxo de carga,

onde são identificadas as barras que são atingidas pela potência produzida por

cada gerador, isto é, faz um seguimento da potência fornecida pelos geradores

até as cargas. Logo, agrupam-se as barras que são alimentadas pelo mesmo

gerador, sendo possível calcular a contribuição de cada gerador para as cargas,

supondo-se uma divisão proporcional.

Em [Wu, 2000], apresenta-se um método que calcula a contribuição de

potência dos geradores para as cargas, usando a teoria de grafos e seguimento

de fluxos de potência. Este método, da mesma maneira que em [Bialek, 1996] e

[Kirschen, 1997], supõe uma divisão proporcional dos fluxos; considerando esta

24

suposição, conseguiu-se obter as potências das cargas como uma função das

potências fornecidas pelos geradores.

Em [When, 2004], propõe-se a alocação do fornecimento de potência

reativa levando em conta uma consideração básica da teoria de circuitos: a

tensão em uma barra de carga é resultado das contribuições de todas as fontes

do sistema. Neste contexto, é então deduzida a relação funcional entre as

tensões de carga ( LE ) e as tensões de fonte ( GE ), de maneira a serem

decompostas as tensões de todas as barras de carga em parcelas LEΔ ,

resultantes da atuação de apenas um gerador por vez. Então, estas

contribuições de tensão são utilizadas juntamente com as injeções de corrente

nas barras de carga, obtidas a partir de um resultado de fluxo de carga, para se

determinar o valor de potência reativa que cada carga recebe individualmente de

cada gerador. Posteriormente, os custos para produção de potência reativa para

os diversos tipos de fontes são alocados para as cargas segundo a lógica

proposta para a partição da potência reativa.

1.4 Estrutura da Tese

Este trabalho está estruturado em 7 capítulos. A seguir será apresentada

uma breve descrição de cada um deles.

No Capítulo 2 são apresentados vários métodos utilizados para

repartição de custos em ambientes competitivos. Será verificado que o problema

de alocação de perdas e demanda pode ser fortemente relacionado com a teoria

dos jogos.

No Capítulo 3 são apresentados alguns trabalhos que tratam da alocação

de perdas e demandas de potência. Alguns destes métodos serviram como

embasamento teórico para o desenvolvimento do método proposto e serão mais

enfatizados.

No Capítulo 4 é apresentada a teoria básica de circuitos, estabelecendo

as bases para a análise de circuitos em sistemas de potência. Desenvolvem-se

25

algumas ferramentas básicas que compreendem conceitos fundamentais,

definições e procedimentos necessários para o desenvolvimento deste trabalho.

No Capítulo 5 descreve-se o método proposto para determinar a

transferência de potência dos geradores para as cargas e para alocar as perdas

de potência ativa e reativa simultaneamente entre geradores e cargas,

apresentando-se inicialmente os conceitos necessários para o entendimento do

método e posterior desenvolvimento da proposta.

No Capítulo 6 são reportados os resultados numéricos obtidos para 3

sistemas-teste, de 4 barras, de 5 barras e o IEEE de 30 barras. Utiliza-se um

programa computacional, no qual é desenvolvido e implementado o método

proposto, para determinar a transferência de potência dos geradores para as

cargas e a alocação de perdas para geradores e cargas.

Finalmente, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões e

considerações finais do trabalho, acompanhadas de sugestões para trabalhos

futuros.

2 Métodos de Repartição de Custos

2.1 Introdução

Neste capítulo apresenta-se uma revisão de conceitos e métodos de

repartição de custos que serviram de embasamento teórico para o

desenvolvimento dos métodos propostos nesta tese. Deve-se mencionar que a

teoria apresentada neste capítulo foi extraída de [Ribeiro, 2005].

Quando um determinado serviço é contratado por um único agente, seja

uma pessoa física ou empresa, este deve arcar com os custos do serviço de

forma integral. Entretanto, os custos individuais dos agentes podem ser

reduzidos quando estes realizam parcerias, devido à economia de escala obtida

na utilização do serviço.

A partir da idéia de se obter vantagens econômicas por meio da

realização de parcerias para utilização de um determinado serviço, surgiu o

conceito de repartição de custos. A repartição de custos consiste na solução de

um problema onde os agentes buscam repartir seus custos de forma eficiente e

justa, isto é, sem que determinados agentes sejam beneficiados em detrimento

dos demais.

A noção de repartição de custos será utilizada neste trabalho para

determinar as participações dos agentes (geradores e cargas) nas perdas do

sistema de transmissão, assim como determinar que parcela da potência

fornecida pelos geradores efetivamente chega às cargas. A determinação de

métodos justos e eficientes para o cálculo destas participações é de suma

importância para a alocação de custos nestes problemas.

Os conceitos básicos a respeito do problema de repartição de custos, tais

como a formação de coalizões entre agentes e a noção de núcleo, são descritos

na Seção 2.2. Na Seção 2.3 é apresentado um exemplo ilustrativo de um

problema de repartição de custos, ressaltando os conceitos apresentados na

seção anterior.

27

Nas Seções 2.4 a 2.8, são descritos os principais métodos utilizados no

problema de repartição de custos: Nucleolus, Custos Marginais, Custos

Incrementais, Shapley e Aumman-Shapley. Finalmente, na Seção 2.9 apresenta-

se as principais conclusões obtidas neste capítulo.

2.2 Conceitos Básicos

Quando agentes se unem com o objetivo de maximizar ou minimizar uma

função característica, como o custo (ou benefício) de um serviço, por exemplo,

diz-se que estes agentes estão realizando coalizões ou agrupamentos entre si.

Matematicamente, uma coalizão é um subconjunto S do conjunto original

de N agentes. Os agentes podem se agrupar de diferentes maneiras, de acordo

com seus interesses e conveniências. Para formar uma coalizão é necessário

que todos os jogadores envolvidos firmem acordos entre si e, uma vez que todos

concordem, a coalizão é estabelecida. As coalizões são mutuamente exclusivas,

ou seja, formar uma coalizão S implica que não há possibilidade de seus

participantes fazerem acordos com participantes fora dela.

Para um conjunto de N agentes existem 2N diferentes coalizões

possíveis. A coalizão formada por todos os N agentes é chamada de grande

coalizão ou coalizão N. A coalizão vazia (φ ) é aquela onde nenhum agente

participa.

A maneira pela qual todos os agentes formam m coalizões pode ser

descrita pelo conjunto S = S1, S2, ..., Sm, conhecido como o conjunto das

configurações das possíveis coalizões. Este conjunto S satisfaz três condições:

i=1,2, ... , miS ≠ ∅ (2.1)

para todo i ji jS S∩ =∅ ≠ (2.2)

1

m

ii

S N=

=∪ (2.3)

28

Von Neumann e Morgenstern [Neumann, 1947] introduziram pela

primeira vez, em 1947, o termo função característica, que calcula para cada

coalizão (argumento da função) o menor custo associado a ela. Em outras

palavras, a função característica fornece o valor do mínimo custo que os agentes

pertencentes a uma determinada coalizão conseguem obter por meio de uma

ação cooperativa entre eles. A definição formal da função característica é:

Definição: Para cada subconjunto S de N, a função característica fornece

o menor valor c(s) que os agentes de S podem obter se formarem uma coalizão

e agirem juntos, cooperando entre si, sem a ajuda de qualquer agente externo.

Esta definição leva em conta uma restrição que requer que o valor da função

característica da coalizão vazia seja zero, ou seja, c(φ ) = 0.

Outro requisito a ser atendido pela função característica é a

subaditividade, determinante para que o custo associado a qualquer coalizão

seja sempre menor que a soma dos custos associados às subcoalizões que a

fragmentam. A subaditividade pode ser expressa da seguinte forma:

( ) ( ) ( ) , ,c S T c S c T S T N tal que S T φ∪ ≤ + ∀ ⊆ ∩ = (2.4)

Como a subaditividade deve ser atendida para quaisquer subconjuntos S

e T, uma simples manipulação permite generalizar a expressão (2.4), cuja soma

dos custos de qualquer conjunto de coalizões que particiona S ∪ T equivale a:

1 2

1

( ) ( ) ( ) ... ( )

mm

i j ii

c s c S c S c S S

Tal que S S e S S=

≤ + + + ∀

∩ = ∅ =∪ (2.5)

A subaditividade garante, portanto, que a cooperação entre os jogadores

sempre gera uma redução do custo global: a cooperação entre os agentes

produz uma “sinergia”, que implica na redução do custo total.

Note que em (2.4) não é requerido que S ∪ T seja igual a N, e, portanto, a

subaditividade deve ser válida não somente para a grande coalizão, mas para

qualquer outra coalizão possível.

29

Assumindo que a função característica do problema de repartição de

custos apresenta subaditividade, a grande coalizão será sempre formada ao final

do problema. Portanto, a pergunta natural que surge, após o cálculo do custo

total, é como dividi-lo de modo justo e eficiente entre os agentes que formam

esta grande coalizão. A divisão do custo c(N) entre eles, representada pelo vetor

de repartições ( )1 2, ,..., nφ φ φ φ= , não é evidente.

Um vetor de repartições φ só é considerado “justo” quando satisfaz às

três expressões abaixo:

1( )

n

ii

c Nφ=

=∑ (Racionalidade de grupo) (2.6)

φ ≤ ∀ ∈( ),i c i i N (Racionalidade Individual) (2.7)

φ ≤ ∀ ∈ ∀ ⊂∑ ( ), e i c S i S S N (Racionalidade das Coalizões) (2.8)

A equação (2.6) determina que a soma dos custos que cabe a cada um

dos agentes ( iφ ) deve ser igual ao custo da grande coalizão c(N), ou seja, o

custo total do serviço deve ser repartido entre os agentes. Por sua vez, em (2.7)

determina-se que cada agente deve pagar no máximo um custo igual ao que ele

obteria agindo individualmente (ci), o que garante o incentivo aos agentes que

participam da coalizão.

A inequação (2.8) determina que a soma dos custos que cabe aos

agentes ( iφ ) de qualquer subcoalizão S deve ser menor ou igual ao custo obtido

se estes agentes formassem um “consórcio” independente c(S). Vale notar que

(2.7) é apenas um caso particular de (2.8).

Quando uma repartição atende a (2.6) e (2.8), diz-se que ela pertence ao

núcleo do problema de repartição de custos. O núcleo formaliza a idéia de justiça

em uma repartição de custos. Se uma determinada repartição pertence ao

núcleo, pode-se dizer que o custo atribuído a qualquer agente não é superior ao

que estes agentes conseguiriam obter se formassem um “consórcio” separado

ou se atuassem “individualmente” (fora da coalizão). Deste modo, uma

30

repartição de custos é justa se todos os participantes recebem mais benefícios

por estarem no “grande consórcio” do que fora dele.

2.3 Exemplo Ilustrativo

Para ilustrar a aplicação do conceito de repartição de custos, considere

que duas cidades vizinhas desejam construir um sistema de distribuição de água

[Young, 1994] [Ribeiro, 2005]. A cidade A poderia construir o seu sistema de

distribuição por um custo de $11 milhões, enquanto que a cidade B poderia

construí-lo por $7 milhões. Entretanto, o custo seria de $15 milhões se o sistema

de distribuição fosse construído em conjunto pelas duas cidades, o que

representaria uma economia de $3 milhões. Observa-se, portanto, que a

cooperação entre as cidades é vantajosa e que o custo do empreendimento

deve ser repartido de forma justa e eficiente entre elas, de forma que as duas

cidades sejam beneficiadas.

Uma solução seria dividir o custo do empreendimento igualmente entre

as cidades, onde cada cidade pagaria $7,5 milhões. Porém, esta solução seria

rejeitada pela cidade B, que poderia construir seu próprio sistema de distribuição

por $7 milhões. Outra solução seria repartir o custo do empreendimento de

forma proporcional ao número de habitantes de cada cidade. Assim,

considerando que a cidade A possua 36 mil habitantes e a cidade B possua 12

mil habitantes, o custo por habitante seria igual a $312,50 ($15 milhões/48 mil

habitantes). Logo, a cidade A pagaria $11,25 milhões e a cidade B pagaria $3,75

milhões. Neste caso a solução seria rejeitada pela cidade A, que poderia

construir o seu sistema de distribuição por um custo de $11 milhões sem a

participação da cidade B.

Nas duas soluções apresentadas, a construção do sistema de

distribuição de água torna-se mais econômico quando realizado de forma isolada

pelas cidades do que em conjunto. Isto ocorre porque a repartição de custos não

é eficiente, isto é, não cria incentivos para que a cooperação entre as cidades

ocorra de forma espontânea.

31

Uma alternativa para incentivar as cidades a construir o empreendimento

em conjunto é aplicar as duas alternativas anteriores ao montante economizado

pelas cidades, em lugar do montante pago.

Na primeira alternativa, o montante economizado ($3 milhões) seria

dividido igualmente entre as duas cidades. Assim, cada cidade pagaria:

Cidade A:

$3$11 $9,52

milhões milhões milhões⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦

Cidade B:

$3$7 $5,52

milhões milhões milhões⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦

Na segunda alternativa, o custo economizado por habitante seria igual a

$ 62,50 ($3 milhões/48 mil habitantes) e cada cidade pagaria:

Cidade A:

$3$11 36000 $8,7548000milhõesmilhões milhões⎡ ⎤− × =⎢ ⎥⎣ ⎦

Cidade B:

$3$7 12000 $6,2548000milhõesmilhões milhões⎡ ⎤− × =⎢ ⎥⎣ ⎦

Uma terceira solução seria repartir o montante economizado

proporcionalmente ao custo de oportunidade da cidade, ou seja, ao ganho obtido

pela cidade ao construir o empreendimento em parceria. Assim:

Cidade A:

11$11 $3 $9,1718

milhões milhões milhões⎡ ⎤− × =⎢ ⎥⎣ ⎦

32

Cidade B:

7$7 $3 $5,8318

milhões milhões milhões⎡ ⎤− × =⎢ ⎥⎣ ⎦

Na Tabela 2.1 são apresentados os resultados obtidos pelas alternativas

propostas para repartir o custo de construção do sistema de distribuição de água

entre as duas cidades:

Tabela 2.1 - Resultado da Repartição de Custos (milhões)

Critério Cidade A ($) Cidade B ($)

I Divisão igualitária do custo entre as cidades 7,50 7,50

II Divisão igualitária do custo entre os habitantes 11,25 3,75

III Divisão igualitária do montante economizado entre

as cidades 9,50 5,50

IV Divisão igualitária do montante economizado entre

os habitantes 8,75 6,25

V Divisão do montante economizado proporcional ao

custo de oportunidade 9,17 5,83

As três últimas soluções propostas criam incentivos à cooperação, pois

possibilitam que as duas cidades construam um sistema de distribuição de água

em parceria, visando um custo inferior do que seria pago se cada cidade

construísse o seu próprio sistema de distribuição. Estas três soluções são

consideradas justas e eficientes, pois garantem a redução do custo individual

dos agentes que participam da coalizão (ou agrupamento), sem que sejam

criados subsídios cruzados entre eles.

Conforme visto na Seção 2.2, o conjunto de soluções que atende às

restrições (2.6) a (2.8), ou seja, que fornece um incentivo à cooperação entre os

agentes, pertence ao núcleo do problema de repartição de custos. O núcleo do

33

problema de repartição do custo do sistema de distribuição de água entre as

cidades A e B é ilustrado na Figura 2.1, juntamente com as cinco soluções

propostas.

Observa-se, portanto, que as soluções III, IV e V pertencem ao núcleo,

pois atendem as restrições (2.6) a (2.8); por outro lado, as soluções I e II não

pertencem ao núcleo, pois violam a restrição (2.8). Isto é coerente com os

conceitos apresentados na Seção 2.2, já que as repartições pertencentes ao

núcleo fornecem incentivos à cooperação.

Figura 2.1 - Representação Geométrica do Núcleo

Desta forma, um dos desafios do problema de repartição de custos é a

definição de repartições que pertençam ao núcleo do problema, ou seja, que

garantam os critérios de justiça e eficiência quando aplicados aos mais diversos

agentes. Nas seções a seguir serão apresentados alguns dos principais métodos

utilizados no problema de repartição de custos, ressaltando suas vantagens e

desvantagens.

34

2.4 Método Nucleolus

Foi visto que repartições pertencentes ao núcleo fornecem incentivos à

cooperação. São também justas, no sentido de que não há subsídio cruzado.

Mas se o núcleo existir poderá haver uma infinidade de soluções. Qual delas

será então a mais justa? Esta questão pode ser resolvida pelo método nucleolus,

que fornece uma solução única e pertencente ao núcleo.

No exemplo, apresentado em [Faria, 2004], onde se determina a

repartição de energia firme de um sistema hidroelétrico, assuma-se que foi

escolhida uma solução ( )1 2 3, ,p p pφ φ φ φ= pertencente ao núcleo. Suponha-se

agora que um subconjunto de agentes 1; 3, propõe uma solução alternativa

( )1 2 3, ,q q qφ φ φ φ= que também pertence ao núcleo, mas que reduz o custo que

cabe a este subconjunto, ou seja:

φ φ φ φ+ < +1 3 1 3q q p p (2.9)

Contudo, esta nova solução proposta eleva o custo do agente 2, isto é:

φ φ>2 2q p (2.10)

Neste caso, o agente 2 vai preferir a alocação original, pois não

concordaria com a proposta do subconjunto 1;3.

O método nucleolus resolve este tipo de problema fornecendo uma

solução para o problema de repartição de custos por meio da maximização

lexicográfica (conforme explicado adiante) da menor “vantagem” que cada

subconjunto possui ao pertencer à coalizão, comparado com o custo que o

mesmo subconjunto possuiria fora da coalizão. Este método, além de forçar que

a solução pertença ao núcleo, garante que a repartição obtida seja única.

O método nucleolus é calculado por meio da resolução de uma

seqüência de subproblemas de programação linear. O primeiro problema a ser

35

resolvido é mostrado a seguir para um caso com três agentes, onde δ e os φs

são variáveis, e os f(.)s são constantes:

Max δ

s.a.

1 2 3 1 2 3

1 1

2 2

3 3

1 2 1 2

1 3 1 3

2 3 2 3

( , , )( )( )( )( , )( , )( , )

0

f H H Hf Hf Hf Hf H Hf H Hf H H

φ φ φδ φδ φδ φδ φ φδ φ φδ φ φδ

+ + =

≤ −

≤ −

≤ −

≤ − −

≤ − −

≤ − −

≥

(2.11)

Observa-se que o lado direito das desigualdades representa a

“vantagem” que os subconjuntos possuem por pertencer à coalizão menos o

“benefício” que possuiriam fora da coalizão. Por exemplo, a diferença

1 3 1 3( , )f H H φ φ− − representa o custo economizado (“vantagem”) pelo

subconjunto 1 3,H H ao participar da coalizão, comparado ao custo economizado

se o subconjunto estivesse isolado, 1 3( , )f H H .

O escalar δ representa a maximização da menor “vantagem”. A

restrição δ ≥ 0 garante que a “vantagem” seja sempre positiva para

qualquer subconjunto, o que corresponde a pertencer ao núcleo do

jogo.

Note que se o procedimento fosse apenas resolver este primeiro

problema, ainda assim poderia haver duas repartições diferentes e ambas com

menores “vantagens” iguais. Portanto, para que a repartição de custos obtida

pelo método seja única, deve haver um critério para decidir qual das duas

escolher. Isto é feito por meio da maximização lexicográfica das “vantagens”

[Young, 1994] [Ribeiro, 2005].

Esta maximização é feita da seguinte forma: suponha que todas as

“vantagens” de cada coalizão são ordenadas, da menor para a maior, em um

36

vetor θ(x) de dimensão (2n-2). O nucleolus é a alocação x que maximiza θ(x)

lexicograficamente, caso a seguinte expressão seja satisfeita: se y é qualquer

outra alocação e k é o primeiro índice tal que θk(x) ≠ θk(y), então θ(x) > θk(y)

[Schmeider, 1969].

Outra forma de se entender a ordem lexicográfica entre repartições é

fazer analogia com a ordenação das palavras em um dicionário. Esta ordem se

baseia na ordenação das menores “vantagens”, da mesma forma que a ordem

das palavras em um dicionário se baseia na ordenação das letras no alfabeto.

Para comparar duas repartições x e y, por exemplo, procura-se a primeira

posição, digamos k, onde as duas repartições diferem. Se θk(x) > θk(y), então x é

lexicograficamente maior que y.

Quando se resolve o primeiro problema (2.11), acha-se uma repartição

cuja menor “vantagem” de todas é maximizada. Porém, o vetor ordenado de

todas as “vantagens” ainda pode não estar maximizado lexicograficamente.

O próximo problema a ser resolvido é o mesmo (2.11), só que agora a

restrição, ou o conjunto de restrições, que tenha atingido a igualdade no último

problema resolvido, é fixado, ou seja, troca-se o ”≤” por “=” e troca-se a variável

δ pelo valor obtido por ela no problema anterior. O método termina quando se

chega a uma solução única, ou seja, quando o número de restrições atendidas

por igualdade for igual ao número de variáveis. A repartição obtida dessa forma,

chamada de nucleolus, sempre existe, é única e pertence ao núcleo do jogo,

quando este não é vazio, sendo estas características suas principais vantagens

[Young, 1994] [Ribeiro, 2005].

A desvantagem do método nucleolus encontra-se na sua dificuldade de

cálculo quando o número de agentes é elevado. O caráter combinatório das

restrições, que cresce com 2N

(onde N é o número de agentes), faz com que

para um sistema com 40 agentes, por exemplo, exista cerca de um trilhão de

restrições, tornando a aplicação do método inviável.

37

2.5 Método dos Custos Marginais

Este método baseia-se no princípio de que a eficiência econômica é

alcançada quando o custo que cabe a cada agente é obtido de forma

proporcional a sua utilização marginal do serviço. Ou seja, a repartição de custos

é realizada de acordo com taxa de variação do custo do serviço em relação ao

montante utilizado pelo agente [Cigré, 1999] [Ribeiro, 2005]. Desta forma, o

custo que cabe a um determinado agente i é dado por:

( )i i

i

C bC bb

∂= ×

∂ (2.12)

onde :

( )C b : custo total do serviço,

ib : montante que corresponde à utilização do serviço pelo usuário i,

iC : custo alocado ao usuário i.

O custo marginal pode ser interpretado como o coeficiente angular da

curva de custo para um determinado montante b do serviço. Na Figura 2.2, por

exemplo, o custo marginal é dado pelo ângulo θ, formado pela reta que

tangencia a função de custo para o montante b’ de serviço.

38

Figura 2.2 - Representação Gráfica dos Custos Marginais

Para exemplificar o método de custos marginais, considere que três

agentes desejam realizar uma coalizão para contratar um determinado serviço.

O custo de fornecimento deste serviço e os montantes requeridos por cada

agente são apresentados a seguir:

1 2 3 ; ; 1;2;1b b b b= =

( )331 2 3( ) ( ) 1 2 1 28C b b b b= + + = + + =

Derivando-se a função de custo do serviço em relação ao montante

requerido por cada agente, obtém-se:

Agente 1:

11

( ) 1bC bCb

∂= =

∂

39

Agente 2:

( )22 2 32

( ) 3bC bC b bb

∂= = × +

∂

Agente 3:

( )23 2 33

( ) 3bC bC b bb

∂= = × +

∂

Multiplicando-se as derivadas obtidas para cada agente por seus

respectivos montantes obtêm-se os custos que cabem a cada agente, conforme

demonstrado em (2.12). O resultado da repartição de custos pelo método dos

custos marginais para este exemplo é apresentado na Tabela 2.2.

Tabela 2.2 - Alocação de Custos pelo Método de Custos Marginais

Agente Custo ($)

1 1 1 1. 1.1bC C b= = 1

2 ( )22 2 2 2 3. 3. .2bC C b b b= = + 54

3 ( )23 3 3 2 3. 3. .1bC C b b b= = + 27

Total 82

Como se pode observar, o custo total repartido por este método ($82) é

superior ao custo do serviço ($28). Logo este método não pode ser considerado

justo, pois viola a condição de racionalidade do grupo expressa em (2.6),

necessária para que o resultado da repartição pertença ao núcleo, que define

que a soma dos custos repartidos entre os agentes seja igual ao custo total do

serviço.

Esta deficiência do método de custos marginais decorre do fato de que a

repartição é obtida por meio do coeficiente angular da curva de custo, verificado

no ponto onde todos os agentes são atendidos. Se a curva de custo

apresentasse um comportamento linear, o coeficiente angular seria constante ao

longo de toda a curva de custo e o custo total repartido seria igual ao custo total

do serviço. Entretanto, a função de custos do exemplo proposto apresenta um

comportamento marginalmente crescente, ou seja, o coeficiente angular da

curva aumenta a cada novo montante de serviço requerido pelos agentes.

40

Esta diferença observada entre o coeficiente angular calculado pelo

método de custos marginais e os diversos coeficientes angulares observados ao

longo da função de custo causa uma distorção no cálculo da repartição de

custos, conforme pode ser observado na Figura 2.3.

Figura 2.3 - Sobre-Remuneração do Método de Custos Marginais

Contudo, a sobre-remuneração causada por este método pode ser

contornada com a aplicação de um fator de ajuste φ. Para este exemplo, o fator

de ajuste é 28 0,3482

φ = = . Assim, o novo valor do custo que cabe aos agentes,

ajustado pelo fator φ, será:

Tabela 2.3 – Alocação de Custos pelo Método de Custos Marginais com Fator de Ajuste φ

Agente Custo ($)

1 φ φ= =1 1 1 1. . 1. .bC C b b 0,34

2 ( )φ φ= = + 22 2 2 2 3 2. . 3. . .bC C b b b b 18,44

3 ( )φ φ= = + 23 3 3 2 3 3. . 3. . .bC C b b b b 9,22

Total 28,00

Naturalmente, o custo total repartido é igual ao custo do serviço, o que

atende ao critério (2.6) de racionalidade do grupo. Entretanto, verificam-se

algumas características especiais nesta solução:

41

o custo que cabe ao agente 1, 1 $0,34C = , é inferior ao custo que

este agente agrega à coalizão 1,2,3 ($1). O custo deste agente na

coalizão pode ser obtido diretamente, porque a parcela 1b é

separável na função de custo, 31 2 3( ) ( )C b b b b= + + ;

o custo que cabe aos agentes 2 e 3 somados, 2 3 $27,66C C+ = , é

superior ao custo obtido por uma coalizão formada entre estes dois

agentes apenas, 3 32 3 2 3( , ) ( ) (2 1) $27C b b b b= + = + = .

Estas características demonstram que o custo que cabe ao agente 1 é

subsidiado por um aumento no custo que cabe aos agentes 2 e 3. Este aumento

de custos faz com que seja mais vantajoso para os agentes 2 e 3 realizarem

uma coalizão em dupla, descartando o agente 1, o que viola a condição de

racionalidade das coalizões expressa em (2.8), necessária para que a repartição

de custos pertença ao núcleo.

Observa-se, portanto, que a aplicação de um fator de ajuste no método

de custos marginais cria subsídios cruzados e não incentiva a cooperação entre

os agentes, pois não pertence ao núcleo. Devido a estas características, a

repartição de custos obtida pelo método de custos marginais com o fator de

ajuste não atende aos critérios de justiça e eficiência.

2.6 Método dos Custos Incrementais

Uma alternativa para repartir o custo de um serviço entre diversos

agentes é analisar como a entrada de cada agente na coalizão impacta o custo

de fornecimento do serviço [Cigré, 1999] [Ribeiro, 2005]. Matematicamente, o

custo que cabe a cada agente é calculado da seguinte forma:

O primeiro agente a entrar paga: 1 1( )C c b=

O segundo agente a entrar paga: 2 1 2 1( , ) ( )C c b b c b= −

O terceiro agente a entrar paga : 3 1 2 3 1 2( , , ) ( , )C c b b b c b b= −

O ultimo agente a entrar paga :

1 2 3 1 2 3 1( , , ,..., ) ( , , ,..., )n n nC c b b b b c b b b b −= −

42

Assim, seguindo o exemplo apresentado no método anterior e assumindo

a ordem de entrada 1-2-3, a repartição de custos para os três agentes será:

Tabela 2.4 – Alocação de Custos pelo Método de Custos Incrementais – Seqüência 1-2-3

Agentes Custo do Serviço ($) Custo Repartido ($)

1 1( ) 1c b = 1 1( ) 1C c b= = 1, 2 3

1 2( , ) 1 2 9c b b = + = 2 1 2 1( , ) ( ) 8C c b b c b= − = 1, 2, 3 3

1 2 3( , , ) 1 (2 1) 28c b b b = + + = 3 1 2 3 1 2( , , ) ( , ) 19C c b b b c b b= − =

TOTAL 28

Como pode ser observado na Tabela 2.4, o custo total repartido por este

método coincide com o custo do serviço, o que atende ao critério (2.6) de

racionalidade do grupo. Esta é a principal vantagem deste método, que dispensa

a aplicação de um fator de correção para recuperar o custo do serviço de forma

integral.

Observa-se ainda que o custo que cabe ao agente 1 ( 1 1( ) 1C c b= = ) é

justo, pois coincide com o seu montante de serviço utilizado. Além disso, o custo

que cabe aos agentes 2 e 3 somados ( 2 3 27C C+ = ) coincide com o custo da

coalizão formada por estes dois agentes, sendo 3 3

2 3 2 3( , ) ( ) (2 1) 27c b b b b= + = + = , que atende ao critério (2.8) de racionalidade

das coalizões.

43

Tabela 2.5 – Alocação de Custos pelo Método de Custos Incrementais – Seqüência 1-3-2

Agentes Custo do Serviço ($) Custo Repartido ($)

1 1( ) 1c b = 1 1( ) 1C c b= = 1, 3 3

1 3( , ) 1 1 2c b b = + = 3 1 3 1( , ) ( ) 1C c b b c b= − = 1, 3, 2 3

1 3 2( , , ) 1 (2 1) 28c b b b = + + = 2 1 3 2 1 3( , , ) ( , ) 26C c b b b c b b= − =

TOTAL 28

Considere agora que a ordem de entrada dos agentes seja alterada para,

por exemplo, 1-3-2 (ver Tabela 2.5).

Comparando os resultados da Tabela 2.4 e Tabela 2.5, observa-se que o

custo unitário que cabe ao agente 3 ( )3 3/C b foi reduzido de 19 para 1,

enquanto que o agente 2 teve seu custo unitário ( )2 2/C b elevado de 4 para 13,

embora os dois agentes possuam a mesma influência sobre a função de custo

do serviço, 32 3 2 3( , ) ( )c b b b b= + . Desta forma, o agente 2 preferiria a ordem de

entrada 1-2-3, enquanto que o agente 3 decidiria pela ordem de entrada 1-3-2.

Por meio deste exemplo é possível mostrar que o método de custos

incrementais é sensível à ordem de entrada dos agentes nas coalizões, fazendo

com que os últimos agentes a entrarem na coalizão possuam um custo unitário

superior ao daqueles que entram primeiro. Portanto, a sensibilidade verificada

pelo método de custos incrementais na ordem de entrada dos agentes impõe

uma deficiência ao método, pois, para cada repartição de custos obtida, um

determinado agente ou grupo de agentes seria beneficiado em detrimento dos

demais.

2.7 Método de Shapley

Com o intuito de eliminar a limitação do método de custos incrementais, o

método de Shapley busca realizar permutações na ordem de entrada dos

agentes, com o objetivo de se analisar todas as possíveis combinações [Cigré,

1999] [Ribeiro, 2005]. O valor médio dos custos incrementais calculados em

44

cada permutação determina o custo que cabe a cada agente. Com isto, elimina-

se a influência da ordem de entrada dos agentes sobre a repartição de custos.

Na Tabela 2.6 são descritas as permutações realizadas na ordem de

entrada dos agentes e os seus respectivos custos incrementais, considerando o

exemplo descrito anteriormente. O valor de Shapley é obtido como a média

destes custos incrementais calculados em cada permutação.

Este método é intuitivamente justo, pois permite que cada agente seja o

primeiro, o segundo e assim sucessivamente até ser o último a entrar na

coalizão. Assim, dado que a ordem de entrada dos agentes não afeta a

repartição de custos, é justo que o custo unitário seja igual para agentes que

utilizam o serviço de forma semelhante.

Tabela 2.6 – Alocação de Custos pelo Método de Shapley

Custo Incremental ($) Seqüência dos

Agentes Agente 1 Agente 2 Agente 3 TOTAL

1, 2, 3 1 8 19 28 1, 3, 2 1 26 1 28 2, 1, 3 1 8 19 28 2, 3, 1 1 8 19 28 3, 1, 2 1 26 1 28 3, 2, 1 1 26 1 28 Média 1 17 10 28

Tabela 2.7 – Alocação de Custos pelo Método de Shapley – Custos Unitários

Custo Incremental ($) Agente Custo repartido Montante Custo Unitário

2 2 17C = 2 2b = 2 2 8,5C b = 3 3 10C = 3 1b = 3 3 10C b =

Para o exemplo apresentado, verifica-se que os agentes 2b e 3b

possuem a mesma influência sobre o custo do serviço, 3

2 3 2 3( , ) ( )c b b b b= + ,

logo devem possuir o mesmo custo unitário. Entretanto, o custo unitário do

agente 2 é inferior ao custo unitário do agente 3.

Os custos unitários para os agentes 2 e 3 são descritos na Tabela 2.7.

Por simplificação, o custo unitário do agente 1 foi suprimido.

45

Isto demonstra que este método, embora não sofra influência da ordem

de entrada dos agentes, é sensível ao montante de serviço utilizado por agentes

que possuem o mesmo impacto sobre a função de custos. Os agentes que

possuem montantes maiores são beneficiados em detrimento de agentes com

montantes inferiores.

O método de Shapley é definido como o valor médio dos vários custos

incrementais da inclusão do novo usuário, considerando todas as coalizões que

contêm tal usuário e supondo-se que cada uma dessas coalizões tem uma

probabilidade de ocorrência. Matematicamente, o custo alocado para cada

usuário é dado por:

( )( ( ) ( ))iN

C P C i CΩ⊆

= Ω Ω+ − Ω∑

onde:

( )P Ω : probabilidade de ocorrência da coalizão Ω ;

N: conjunto de usuários que usam o serviço;

( )C Ω : custo devido à coalizão Ω ;

iC : custo alocado ao usuário i.

Com base nos conceitos de probabilidade:

( )!( 1)! ( ( ) ( ))( )!N

iNN

n n nC C i Cn

Ω Ω

Ω⊆

− −= Ω + − Ω∑

onde:

Nn : número de elementos do conjunto N;

nΩ : número de elementos da coalizão Ω .

Apesar do método de Shapley ter eliminado as limitações do método de

custos incrementais e de ser visto como um significativo progresso em relação

aos métodos anteriores, ele apresenta duas limitações importantes:

46

i) Falta de isonomia (também conhecido como requerimento de comparabilidade) – Apresenta distorções, custos alocados com

montantes diferentes para agentes com impacto similar na função

de custo total – nesse caso, como mostrado, os agentes com os

maiores montantes são beneficiados em relação aos demais.

ii) Esforço computacional – O esforço computacional é grande, já

que o número de seqüências de entrada na coalizão cresce

exponencialmente com o número de agentes que dela participam.

Para solucionar o problema de distorção entre os custos de agentes com

mesmo impacto na função de custo e com montantes de diferentes magnitudes,

é possível tomar-se o seguinte critério: dividir os agentes maiores em

subagentes cujos montantes sejam iguais ao do menor agente de mesmo

impacto na função de custo e, então, realizar o procedimento original descrito no

Método de Shapley. Assim, o método passa a chamar-se Shapley Modificado.

Vale destacar que, embora seja notado um progresso em relação ao método de

Shapley, no sentido de que o problema de distorção é eliminado, o Método de

Shapley Modificado apresenta um agravante no que se refere ao esforço

computacional, já que o número de elementos na coalizão aumenta

significativamente quando se faz a divisão de agentes em subagentes.

2.8 Método de Aumann-Shapley

Para alguns métodos de repartição de custos apresentados nas seções

anteriores, como por exemplo, o método nucleolus, é necessário que o núcleo do

jogo seja não vazio. Outros métodos, como o valor Shapley e Aumann-Shapley,

podem ser aplicados em qualquer tipo de função de custo [Marzano, 1998].

A repartição de custos pertencentes ao núcleo representa um incentivo

para cooperação entre os agentes, pois neste caso a coalizão é de interesse dos

jogadores. Entretanto, em determinadas situações nas quais surgem custos

adicionais decorrentes de outros serviços, a propriedade subaditiva não é mais

respeitada, isto é, não existe mais núcleo. Por exemplo, em sistemas de

47

potência, onde o sistema de transmissão é um monopólio natural, os geradores

e cargas são obrigados a compartilhar o sistema de transmissão, onde a

repartição de custos não necessariamente pertence ao núcleo, como a

repartição de custos das perdas de energia elétrica, custos de potência reativa,

custos pelo uso da rede, etc.

O método de Aumann-Shapley é uma decorrência natural do método de

Shapley [Young, 1994] [Ribeiro, 2005]. Este método surgiu a partir da idéia de se

“dividir” os recursos de cada agente em vários segmentos infinitesimais e aplicar

o método de Shapley a cada um deles, como se cada segmento representasse

um agente individual.

Á primeira vista, as dificuldades computacionais seriam ainda maiores do

que o método de Shapley modificado, pois o número de combinações

aumentaria consideravelmente. Entretanto, conforme é mostrado no Apêndice A,

o método de Aumann-Shapley permite que o problema de repartição de custos

possua uma solução analítica.

Para ilustrar o método de Aumann-Shapley de forma intuitiva, considere

que um determinado montante de serviço b* esteja sendo solicitado por todos os

agentes. Neste ponto, o custo de utilização deste serviço será igual a *( )c b .

Considere agora que um determinado agente i solicite um acréscimo no

seu montante de serviço igual a iΔ . Como conseqüência, o custo do serviço

sofrerá uma elevação de *( )c b para *( )ic b + Δ . O custo incremental causado

por este agente será então:

* *( ) ( )ic b c b+ Δ − (2.13)

Conforme foi visto nas seções anteriores, a ordem de entrada dos

agentes nas coalizões afeta a repartição do custo. Da mesma forma, a ordem

com que os agentes solicitam acréscimos em seus montantes de serviço deveria

influenciar a repartição de custos.

Entretanto, se for considerado que o acréscimo solicitado pelo agente i

( iΔ ) é infinitesimal, a sua ordem de entrada não mais influenciará a repartição

48

de custos. Isto é válido porque, quando 0iΔ → , o custo incremental obtido para

o agente i em (2.13) se aproxima do seu próprio custo marginal. Logo:

*

* *( ) ( ) ( )i

i i b b

c b c b c bb =

+ Δ − ∂≅

Δ ∂ (2.14)

O custo unitário de Aumman-Shapley pode ser obtido, portanto, como o

valor médio dos diversos custos marginais do agente. Mediante certas condições

matemáticas [Marzano, 1998], pode-se mostrar que a média desses custos

marginais, quando os valores de bi aumentam de zero até seu valor total,

convergem para um valor que é conhecido como o custo unitário de Aumann-

Shapley. Matematicamente, se expressa como:

1

10

( )

it

c t b dtb

π=

∂ ⋅=

∂∫ (2.15)

onde:

ib : montante que corresponde à utilização do serviço pelo usuário i;

1π : custo unitário de Aumann-Shapley do usuário i.

O custo que cabe ao agente i é obtido multiplicando-se seu montante ib pelo seu custo unitário de Aumann-Shapley 1π .

1i iC bπ= ⋅ (2.16)

Para o exemplo de três agentes, o custo repartido pelo método de

Aumann-Shapley seria:

49

Tabela 2.8 - Alocação de Custos pelo Método de Aumann-Shapley

Agentes Custo Unitário de Aumann-Shapley Custo Repartido ($)

1 1 1

110 0

( . ) 1t t

c t b dt dtb

π= =

∂= = =

∂∫ ∫ 1 1 1. 1.1 1C b π= = =

2 1 1

22

20 0

( . ) 3.( 2. ) 9t t

c t b dt t t dtb

π= =

∂= = + =

∂∫ ∫ 2 2 2. 2.9 18C b π= = =

3 1 1

23

30 0

( . ) 3.( 2. ) 9t t

c t b dt t t dtb

π= =

∂= = + =

∂∫ ∫ 3 3 3. 1.9 9C b π= = =

TOTAL 28

Observa-se, por meio da Tabela 2.8, que o método de Aumann-Shapley

recupera integralmente o custo total do serviço requerido pelos agentes. Além

disso, para agentes que possuam impacto semelhante sobre a função de custo,

o custo unitário é igual 3 3 2 2( 9)C b C b= = .

A grande vantagem do método de Aumann-Shapley advém do fato de

que a repartição de custos é obtida de forma analítica, o que dispensa a

necessidade de combinações na ordem de entrada dos agentes. Esta

característica permite que o esforço computacional necessário para realizar uma

repartição de custos no método de Aumann-Shapley seja independente do

número de agentes participantes da coalizão, o que torna este método útil em

repartições de custos que possuam um número elevado de agentes.

A principal desvantagem deste método é a necessidade de resolução da

integral formulada (2.15), o que nem sempre é possível computacionalmente.

Uma alternativa para contornar esta deficiência do método é calcular esta

integral de forma numérica, fracionando-se o montante ib dos agentes em n

partes iguais, onde n é um número suficientemente grande. Desta forma:

1

1 n

i iij

c j bn b n

π=

∂ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∑ (2.17)

Contudo, esta alternativa pode levar a problemas de estabilidade

numérica no cálculo da integral quando a relação j/n se aproxima de zero, devido

à dificuldade de se obter o custo marginal dos agentes quando seus montantes

de utilização são nulos. Esta deficiência pode ser contornada com a adoção de

simplificações durante o cálculo da integral numérica que não alterem de forma

50

substancial a repartição de custos obtida pelo método de Aumann-Shapley,

como a adoção de um limite inferior para a relação j/n, por exemplo.

Conclui-se, portanto, que o método de Aumann-Shapley é o mais

adequado para o cálculo da repartição do custo de um determinado serviço

utilizado por um conjunto de agentes. Além disto, a alocação Aumann-Shapley

apresenta uma série de características desejáveis em termos de coerência

econômica e isonomia.

Esse método pode ser resumido pelos seguintes pontos:

o custo unitário de Aumann-Shapley, para um certo agente,

corresponde à média de seus custos marginais obtidos quando seu

montante cresce uniformemente de zero ao seu valor final;

o custo do serviço é recuperado; justiça na repartição - não implica em subsídios cruzados;

baseia-se em custos marginais induz à eficiência econômica;

o esforço computacional é aliviado em relação ao Método de Shapley Modificado.

2.9 Conclusões

Neste capítulo foi apresentado o problema de repartição de custos entre

agentes que realizam parcerias para a utilização de um determinado serviço. É

necessário que esta repartição ocorra de forma justa e eficiente, a fim de que um

determinado agente ou grupo de agentes não seja beneficiado em detrimento

dos demais.

Foram apresentados diversos métodos utilizados no problema de

repartição de custos, concluindo-se que o método de Aumann-Shapley é o mais

indicado, pois é o único que atende aos critérios de justiça e eficiência na

repartição de custos com um esforço computacional razoável. Na Tabela 2.9 são

apresentadas as principais vantagens e desvantagens dos métodos abordados

neste capítulo.

51

Para exemplificar os métodos de custos marginais, custos incrementais,

Shapley e Aumann-Shapley, foi usada uma função cúbica que permite mostrar

as diferenças existentes entre estes métodos de alocação de custos, assim

como as vantagens e desvantagens.

O método de Aumann-Shapley será empregado tanto na alocação de

perdas do sistema de energia como na determinação das contribuições de

potência dos geradores nas cargas. Ressalta-se que a aplicação de Aumann-

Shapley para resolver esses problemas tem tratamento analítico.

Tabela 2.9 - Vantagens e Desvantagens dos Métodos de Repartição de Custos

Métodos Vantagens Desvantagens

Nucleolus

Recupera o custo do serviço; Não há subsídio cruzado; Garante que a solução se

encontra no núcleo, quando este existe.

Complexidade do algoritmo cresce exponencialmente com o número de agentes;

Se o núcleo for vazio a solução não existe.

Custos Marginais Induz à eficiência econômica.

Não recupera integralmente o valor do serviço.

Custos Marginais com Fator de Ajuste

Induz à eficiência econômica; Recupera o custo do serviço.

Existência de subsídios cruzados entre os agentes.

Custos Incrementais

Induz à eficiência econômica; Recupera o custo do serviço.

Sensível à ordem de entrada dos agentes nas coalizões.

Shapley

Induz à eficiência econômica; Recupera o custo do serviço; Não há subsídio cruzado; Não é sensível á ordem de

entrada; dos agentes.

Sensível aos montantes de serviço utilizados pelos agentes com impacto semelhante sobre a função-custo (não isonomia).

Aumann-Shapley

Induz à eficiência econômica; Recupera o custo do serviço; Não há subsídio cruzado; Não é sensível à ordem de

entrada dos agentes; Esforço computacional não é

afetado pelo número de agentes;

Não é sensível aos montantes de serviço utilizado pelos agentes (isonomia).

Necessidade de formular a função -custo do serviço de forma analítica;

Problemas de instabilidade numérica podem ser observados na repartição de custos.

3 Métodos de Alocação de Perdas e Demandas Elétricas

3.1 Introdução

Na literatura, são propostos diversos métodos para determinar as

responsabilidades dos geradores no atendimento das demandas de potência,

bem como determinar as responsabilidades dos agentes (geradores e cargas)

nas perdas do sistema de transmissão. Abordagens diferentes baseadas em

técnicas variadas apresentam soluções práticas para estes problemas, utilizando

critérios subjetivos conjuntamente com teoria de circuito, princípio da

superposição, etc. Neste capítulo é realizada uma breve análise de alguns

destes métodos, os quais servirão como embasamento teórico para o

desenvolvimento do método proposto nesta tese.

3.2 Métodos de Alocação de Perdas Elétricas

O problema de alocação de perdas do sistema ganhou maior importância

a partir da reestruturação da indústria de energia elétrica, quando os custos

pelos serviços de transmissão passaram a ser contabilizados separadamente do

custo devido à geração de potência ativa. Este problema mostra-se de

significativa consideração, visto que o custo devido às perdas presentes no

sistema representa uma significativa cifra de milhões de dólares. Isto exige a

elaboração de metodologias que permitam alocar as perdas de transmissão e os

seus custos entre os agentes do sistema, com o intuito de que a competitividade

seja mantida. Vários métodos vêm sendo propostos na literatura para resolver o

problema de alocação de perdas de transmissão. No entanto, ainda não existe

um consenso geral sobre o melhor método a ser seguido, uma vez que todos

possuem algum tipo de arbitrariedade [Menezes, 2005].

Os resultados obtidos a partir da alocação de perdas podem ter uma

grande influência nos custos, nos lucros e nas decisões dos participantes do

53

mercado de energia elétrica, visto que podem ser utilizados como sinalizadores

de investimentos em pontos específicos do setor. Podem ainda influenciar a

eficiência econômica das empresas e a operação do sistema.

A principal dificuldade para se encontrar um método que seja eficiente e

justo deve-se principalmente ao comportamento não-linear das perdas de

transmissão, na ocorrência de alguma modificação na operação do sistema

[Conejo, 2001], [Conejo, 2002]. Em [Conejo, 2001] e [Fang, 2002], são

fornecidos alguns critérios, com base nos quais devem ser desenvolvidos os

métodos para a alocação de perdas, a saber:

O método deve ser capaz de analisar o impacto de cada participante

do mercado nas perdas, considerando sua relativa localização de

demanda na rede;

Deve evitar ocorrências de subsídios cruzados, ou seja, situações

onde a parcela de perdas atribuída a uma barra com elevada

demanda de potência, porém localizada próxima a um parque

gerador, é maior do que aquela atribuída às barras que, mesmo com

reduzida demanda de potência, contribuem mais acentuadamente

para o aumento de perdas totais em função de sua localização no

sistema;

Ser consistente com a solução do fluxo de carga;

Evitar ou reduzir aproximações;

Ser simples, fácil de entender e programar.

Esses critérios permitiriam aos métodos de alocação atingir o objetivo de

distribuir, entre geradores e cargas, a responsabilidade pelas perdas no sistema

de transmissão de forma equilibrada e eficiente.

54

3.2.1 Método Pro Rata (Selo)

O método Pro Rata, também conhecido como método Selo, se

caracteriza por alocar perdas elétricas proporcionalmente à potência de cada

gerador ou de cada carga. Mas, para fazer a alocação de perdas deve-se arbitrar

a proporção de perdas elétricas que serão alocadas aos geradores e às cargas,

por exemplo, 50% respectivamente [Conejo, 2002]. Essa proporção pode variar

de acordo com os interesses e regras preestabelecidas em cada sistema de

energia elétrica.

O método apresentado em [Conejo, 2002] divide as perdas totais de

forma proporcional às injeções de potência ativa nas barras de geração e de

carga, conforme (3.1):

, ,2 2

Tot Tot DjGiGi Dj

G D

Perda Perda PPPerda Perda

P P= ⋅ = ⋅

(3.1)

sendo:

GiPerda : perdas alocadas ao gerador i;

DjPerda : perdas alocadas à carga j;

TotPerda : perdas totais do sistema;

GP : potência total gerada;

DP : demanda total;

GiP : potência fornecida pelo gerador i;

DjP : demanda da carga j.

Os fatores de alocação da geração e da demanda podem ser calculados,

respectivamente, como:

55

1,2 2

Tot TotGiGi G Gi G

G G

Perda PerdaPPerda K P K

P P= ⋅ = = ⋅

(3.2)

= ⋅ = = ⋅1,

2 2Tot TotDj

Dj D Di DD D

Perda PerdaPPerda K P K

P P

(3.3)

Nota-se que o fator de alocação GK é o mesmo para todas as barras de

geração, assim como o fator de alocação DK é também o mesmo para todas as

barras de carga. Nota-se ainda que as perdas alocadas para geradores e cargas

são sempre positivas.

A vantagem de se utilizar o método Pro Rata é sua simplicidade de

entendimento e programação. Entretanto, um grave problema deste método é o

fato de os resultados não refletirem a localização dos geradores e cargas na

rede. Refletir a localização de geradores e cargas significa promover incentivos

(diminuir as perdas alocadas) aos geradores e cargas que ajudam a diminuir as

perdas do sistema, ou que não contribuem para o aumento das mesmas

[Conejo, 2002], [Ilic, 1998].

3.2.2

Métodos Baseados no Princípio da Divisão Proporcional

Os métodos fundamentados no princípio da divisão proporcional foram

desenvolvidos considerando-se a topologia da rede que é, em geral, o objetivo

do problema do transporte. Em outras palavras, essa técnica busca identificar

como estão distribuídos os fluxos na rede de transmissão e associá-los a

geradores e cargas. Nestes métodos, encontrados em [Bialek, 1996], [Bialek,

1997], [Kirschen, 1997], as injeções de potência ativa são divididas

proporcionalmente entre os fluxos de saída de cada barra.

Para entender melhor o método, assume-se que a rede possui n barras

conectadas através de m ligações (linhas de transmissão ou transformadores).

Segundo [Bialek, 1996], a lei de Kirchhoff para corrente deve ser satisfeita,

sendo que a lei de Kirchhoff para tensão pode ser desprezada, visto que isso

56

não introduziria nenhum erro, pois o resultado do fluxo de potência foi calculado

com antecedência.

Figura 3.1 - Princípio da Divisão Proporcional do Fluxo de Potência Ativa

Na Figura 3.1, quatro linhas estão conectadas ao nó i, sendo que duas

barras (j e k) fornecem potência, enquanto que as demais (m e l) recebem

potência do nó i. O fluxo total entrando no nó i é igual a 40 + 60 = 100 MW,

sendo que 40% são providos pela linha j-i, e 60% são provenientes da linha k-i.

Presume-se que cada MW que deixa o nó i contenha a mesma proporção dos

fluxos que entram neste mesmo nó. Por esta razão, os 70 MW da linha i-m

consistem em 28 MW 4070.100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

fornecidos pelo ramo j-i e 42 MW 6070.100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

que são supridos pelo ramo k-i. Da mesma maneira, para a linha i-l, dos 30 MW

que fluem por ela, 12 MW vêm do ramo j-i, e 18 MW vêm do ramo k-i.

O procedimento para alocação de perdas utilizando a técnica da divisão

proporcional deve ser separado em duas partes: na primeira parte alocam-se

perdas às cargas e na segunda parte alocam-se perdas aos geradores, ou vice-

versa. Seguidamente, pode-se atribuir um percentual de perdas a ser alocado

para todos geradores e um percentual de perdas alocado a todas as cargas, por

exemplo, 50% para geradores e 50% para cargas.

A seguir é realizada uma descrição geral do algoritmo da divisão

proporcional presente nos métodos propostos nos artigos [Bialek, 1996] e

[Bialek, 1997].

57

As perdas são alocadas primeiramente para as demandas e em seguida

para os geradores. A demanda total bruta ( GDP ), incluindo as perdas, é definida

como:

1

DNG G GD D D Dj

jP P L e P P

== + = ∑ (3.4)

sendo GDjP a demanda bruta da barra j.

A demanda total bruta deve ser igual ao total de geração tal que G

G DP P= . Usando o princípio da divisão proporcional, o balanço de potência em

cada barra de uma rede equivalente de perdas mínimas é dado por,

1,...,j

G Gi Gi ji j

jP P C P i N

α∈= + ∀ =∑

(3.5)

com,

Gji ji

ji Gj j

P PC

P P= ≈ (3.6)

onde:

GiP : potência bruta injetada na barra i;

GiP : geração na barra i;

j

Gji j

jC P

α∈∑ : fluxo de potência que chega à barra i a partir de linhas

conectadas a ela;

jα : conjunto das barras cujos fluxos fluem em direção à barra i;

GjiP : fluxo de potência bruto da barra j para a barra i;

58

jiP : fluxo de potência real da barra j para a barra i (medido em j);

jP : injeção de potência real na barra j.

A equação (3.5) constitui um sistema de equações lineares cuja solução

em GiP , i=1,..., N, é facilmente encontrada. A demanda bruta e as perdas são

então calculadas, respectivamente, como:

GjG G

Dj Dj Dj Dj Djj

PP P e L P P

P= = − (3.7)

Analogamente, perdas são atribuídas aos geradores. A geração bruta

total incluindo as perdas é definida como:

1

DNG G GG G G Gi

iP P L e P P

== + = ∑ (3.8)

sendo GGiP a geração bruta da barra i (incluindo as perdas).

Esta geração bruta deve ser igual à demanda total, tal que GG DP P= .

Usando o princípio da divisão proporcional, o balanço de potência na barra i, de

uma rede equivalente com perdas mínimas é dado por:

1,...,j

G Gi Di ji j

jP P C P i N

γ∈= + ∀ =∑

(3.9)

sendo,

GiP : potência bruta injetada na barra i;

DiP : demanda na barra i;

j

Gji j

jC P

γ∈∑ : fluxo de potência saindo da barra i.

59

A equação (3.9) constitui um sistema de equações lineares que podem

ser resolvidas para GiP , i=1,...,N. Novas gerações e perdas são então

calculadas, respectivamente, como:

GG GiGi Gi Gi Gi Gi

i

PP P e L P P

P= = − (3.10)

Para atribuir as perdas em 50% para os geradores e 50% para as cargas,

as gerações e demandas finais para cada barra são calculadas como:

' '

2 2

GGDj DjGi Gi

Gi DjP PP P

P e P++

= = (3.11)

A perda final atribuída para cada gerador ou carga é dada,

respectivamente, por:

' ' ' 'Gi Gi Gi Dj Dj DjL P P e L P P= − = − (3.12)

Finalmente, o fator de alocação de perdas para cada geração e demanda

é calculada, respectivamente, como:

''1 1DjGi

Gi DjGi Dj

PPK e K

P P= − = − (3.13)

Muitos autores alegam que os métodos de alocação de perdas que têm

como base o princípio da divisão proporcional utilizam diversas suposições e

esquemas recursivos, como por exemplo, consideração de linhas e barras

fictícias, entre outros. Isto faria com que os resultados da alocação pudessem

ser considerados insatisfatórios.

60

3.2.3 Métodos Baseados em Teoria de Circuitos

Os métodos de alocação de perdas mais relevantes baseados em

circuitos elétricos encontram-se nas referências [Conejo, 2001], [Lo, 2006],

[Reta, 2001], [Costa, 2004], [Daniel, 2005] e [Unsihuay, 2006]. O fato de explorar

as leis de circuitos elétricos os torna interessantes, embora existam dificuldades

em alocar as perdas para as cargas e geradores, porque as funções das perdas

são não-lineares.

Por exemplo, em [Lo, 2006], tem-se duas fontes que são responsáveis

pelas correntes AI e BI no ramo em análise; conseqüentemente, as perdas no

ramo são proporcionais ao quadrado da soma das duas correntes ( )2A BI I+ . As

perdas associadas ao termo ( )2AI podem ser alocadas à fonte responsável por

AI , enquanto que as associadas ao termo ( )2BI podem ser alocadas à fonte de

corrente responsável por BI . O problema consiste em dividir as perdas

associadas ao termo que depende das duas fontes ( )2. .A BI I , comumente

denominado termo cruzado, entre cada uma delas. Para alocar este termo, são

assumidas aproximações contendo sempre certo grau de arbitrariedade.

Diferentes aproximações são utilizadas para alocar a parcela das perdas

associadas aos termos cruzados. Em [Reta, 2001], esta partição é proporcional

ao módulo das correntes. Em [Lo, 2006] e [Costa, 2004], a divisão é proporcional

ao quadrado das correntes. Mais recentemente, [Unsihuay, 2006] e [Daniel,

2005] assumem a hipótese 50%-50%, isto é, distribuir esses termos em parcelas

iguais. Contudo, todos estes trabalhos não têm fundamento matemático para tais

hipóteses. Em [Molina, 2008], através da aplicação do método de Aumann-

Shapley foi demonstrado que a divisão 50%-50% na parcela não-linear das

perdas é uma divisão justa e matematicamente correta para o processo de

alocação de perdas, validando a hipótese assumida empiricamente em vários

trabalhos baseados em teoria de circuitos da literatura recente.

A seguir, é realizada uma descrição geral do algoritmo apresentado em

[Conejo, 2001], conhecida como o método BarraZ .

61

O método BarraZ consiste em expressar as perdas elétricas do sistema,

TotPerda , a partir da matriz de impedância nodal BarraZ , e, posteriormente,

alocar as perdas a cada barra do sistema com a equação que relaciona as

injeções de corrente em cada barra e a matriz de impedância nodal, cujo

procedimento é apresentado a seguir:

A potência complexa injetada em uma barra k pode ser expressa em

função da tensão nodal e da injeção de corrente na barra k;

k k k k kS P jQ E I= + = (3.14)

onde kS é a injeção de potência complexa em uma barra k; kP e kQ são as

injeções de potência ativa e reativa em uma barra k, respectivamente; kE é a

tensão nodal da barra k; e kI a injeção de corrente na barra k. As injeções de

potência kP e kQ podem ser expressas como:

1( cos sin )

n

k k m km km km kmk

P V V G Bθ θ=

= +∑ (3.15)

1( sin cos )

n

k k m km km km kmk

Q V V G Bθ θ=

= −∑ (3.16)

sendo:

kV e mV : módulos de tensão nas barras k e m, respectivamente;

kmG e kmB : elemento k−m das matrizes condutância e susceptância,

respectivamente;

kmθ : ângulo de tensão entre as barra k−m;

n : número de barras do sistema.

Desenvolvendo a expressão kP , tem-se:

62

2 ( cos ) ( sin )k

k k

k kk k m km km k m km kmm m

P V G V V G V V Bθ θ∈Ω ∈Ω

= + +∑ ∑ (3.17)

onde kΩ é o conjunto de barras diretamente ligadas à barra k.

A equação (3.17) pode ser decomposta em duas partes. A primeira parte

( kL ) pode ser interpretada como a parcela responsável por suprir as perdas

elétricas devido a uma injeção de potência da barra k. A segunda ( kFluxo ) é a

parcela de injeção de potência na barra k responsável pela injeção de potência

nas barras adjacentes à barra k. Assim:

2 ( cos )k

k

k kk k m km kmm

L V G V V G θ∈Ω

= + ∑ (3.18)

( sin )k

k k m km kmm

Fluxo V V B θ∈Ω

= ∑ (3.19)

As perdas elétricas totais em um sistema de transmissão podem ser

expressas como o somatório de todas as potências geradas no sistema menos o

somatório de todas as potências consumidas, ou, de outra forma, o somatório da

potência injetada em todas as barras. Dessa forma:

1 1 1

n n n

Tot Gk Ck kk k k

Perda P P P= = =

= − =∑ ∑ ∑ (3.20)

O somatório das injeções de fluxo de potência em todas as barras,

kFluxo , é igual a zero, pois não levam em conta as perdas do sistema. Dessa

forma, o somatório das injeções de potência em todas as barras é igual ao

somatório das parcelas responsáveis por suprir as perdas elétricas em cada

barra, ou seja, o somatório de kL para todas as barras. Assim:

1 1

n n

Tot k kk k

Perda P L= =

= =∑ ∑ (3.21)

63

Pode-se representar a perda total do sistema em função das tensões e

correntes injetadas nas barras. Dessa forma:

1 1

n n

Tot k k kk k

Perda S E I= =

= ℜ = ℜ∑ ∑ (3.22)

Sabendo que 1n

k kj jjI Y E==∑ , e kjY é o elemento k− j da matriz

admitância nodal Y G jB= + , as perdas elétricas do sistema podem ser

expressas por:

1 1

n n

Tot k kj jk j

Perda E Y E= =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ℜ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∑ ∑ (3.23)

Segundo [Lima, 2007], o procedimento de alocação de perdas feito

através da matriz BarraY não produz bons resultados, porque com a matriz BarraY não é possível observar o impacto que a injeção de corrente de uma

barra provoca em uma determinada linha do sistema que não esteja diretamente

conectada a esta barra. Em seguida, afirma que com a matriz BarraZ é possível

observar quanto cada barra impacta em todas as linhas do sistema, ainda que

não estejam (as linhas) conectadas diretamente a esta barra. Assim,

representam-se as perdas elétricas a partir da matriz impedância nodal ( BarraZ )

do sistema.

1 1

n n

Tot k kj jk j

Perda I Z I= =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ℜ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∑ ∑ (3.24)

A matriz é representada por sua resistência e sua reatância, ou seja,

parte real e imaginária, respectivamente. Assim, Barra Barra BarraZ R j X= + .

Rearranjando a equação (3.24), tem-se:

1 1 1 1

n n n nBarra Barra

Tot k kj j k kj jk j k j

Perda I R I I X I= = = =

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ℜ + ℜ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭∑ ∑ ∑ ∑ (3.25)

A primeira parte desta equação, ( )1 1n n Barra

k kj jk jI R I= =∑ ∑ , representa as

perdas elétricas provocadas no sistema de transmissão, e a segunda parte,

64

( )1 1n n Barra

k kj jk jI X I= =∑ ∑ , representa o somatório da injeção de fluxo de potência

em cada barra do sistema, portanto igual a zero. Assim, as perdas elétricas do

sistema podem ser expressas por:

1 1

n nBarra

Tot k kj jk j

Perda I R I= =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ℜ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∑ ∑ (3.26)

Pretende-se alocar as perdas elétricas decompondo-as em k termos, do

tipo kL , para cada barra k do sistema. Assim, usando (3.21), pode-se escrever:

1 1 1

n n nBarra

Tot k k kj jk k j

Perda L I R I= = =

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= = ℜ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∑ ∑ ∑ (3.27)

Finalmente, as perdas elétricas alocadas a uma barra k podem ser

calculadas como:

1

nBarra

k k kj jj

L I R I=

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪= ℜ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∑ (3.28)

Caso os geradores e cargas estejam conectados à mesma barra, as

perdas elétricas alocadas a essa barra são distribuídas aos geradores e às

cargas na mesma proporção de suas gerações e demandas, respectivamente.

Assim,

GkGk k

Gk Dk

PPerdas L

P P=

+ (3.29)

DkDk k

Gk Dk

PPerdas L

P P=

+ (3.30)

O método BarraZ apresenta uma forma elegante e natural de separar as

perdas elétricas e alocá-las a cada barra do sistema, pois as perdas elétricas

são desacopladas diretamente a partir das equações do fluxo de potência, sem a

necessidade de ajustes. No entanto, o método requer a pré-condição de que a

matriz admitância seja não singular. Além disso, a proporção de perdas entre

geradores e cargas não é constante [Unsihuay, 2006].

65

3.2.4 Métodos Baseados em Teoria dos Jogos

A teoria dos jogos cooperativos tem sido aplicada na resolução do

problema de alocação de perdas de diversas maneiras, onde os distintos

agentes atuam de forma conjunta, objetivando uma alocação imparcial. Em

[Shih-Chieh, 2006], [Peng, 2007], o conceito de teoria dos jogos cooperativos

(valor Shapley) é usado para determinar uma alocação de perda justa entre os

agentes envolvidos (cargas e geradores). O método de Valor Shapley é

basicamente repetir o cálculo de perdas para todas as combinações possíveis de

ordens de entrada e calcular a média destas perdas alocadas aos jogadores

(geradores e cargas). Em outras palavras, todos os jogadores têm a mesma

oportunidade de serem os primeiros, e também os últimos.

Este procedimento de alocação é conhecido na literatura especializada

como Shapley. Embora tenha várias características atraentes, como mostradas

na Seção 2.7, apresenta duas limitações importantes, que são:

o processo de alocação não é “isonômico” com relação à magnitude

dos agentes; em outras palavras, a soma dos custos, alocados a

dois geradores numa mesma barra que produzem 20 MW cada,

pode ser diferente do total que seria alocado a um único gerador

que produz 40 MW;

o esforço computacional, devido ao aspecto combinatório, cresce

em proporção geométrica com respeito ao número de agentes.

Em [Molina, 2007], é usada a teoria de Aumann-Shapley, com o objetivo

de superar as limitações do método de Shapley. Para aplicar a teoria dos jogos

ao problema de alocação de perdas, estas são formuladas como uma função de

fontes de corrente. Assim sendo, para alocar as perdas aos geradores, as

potências geradas são modeladas como fontes de corrente e as cargas como

impedância constante; e para alocar as perdas para as cargas, estas são

modeladas como uma fonte de corrente e os geradores como impedância

constante. Assim, cada fonte de corrente é tratada como um jogador individual

do jogo de alocação de perdas de transmissão.

66

A seguir é realizada uma descrição do método apresentado em [Shih-

Chieh, 2006], que utiliza a teoria de Shapley para o problema de alocação de

perdas.

O método tem como ponto de partida a solução de um fluxo de carga, a

potência complexa injetada por um gerador na barra i ( G G Gi i iS P jQ= + ), que é

remodelada por seu equivalente de fonte de corrente, da seguinte maneira:

G G GG i i ii

i i

S P jQIV V

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.31)

onde, iV é a tensão na barra de geração i. Similarmente, a injeção de potência

complexa na barra de carga j é D D Di i iS P jQ= + , que pode ser também

remodelada como fonte de corrente:

D D Dj j jD

jj j

S P jQI

V V

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.32)

ou por sua impedância equivalente:

2jjD

j D D Dj j j

VVZ

I P jQ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.33)

Portanto, têm-se dois modelos básicos:

O primeiro modelo básico (PMB) atribui as perdas para geradores e

cargas, modelando estes como fontes de corrente, calculadas por (3.31) e

(3.32), respectivamente.

O segundo modelo básico (SMB) aloca as perdas somente para fontes

de energia (geradores), sendo estas modeladas como fontes de corrente e as

cargas modeladas como impedâncias constantes usando (3.31) e (3.33),

respectivamente. Assim sendo, a matriz de impedância de barra BarraZ é

modificada com a inclusão da impedância equivalente da carga para outra matriz

de barra, denotada como Barra

Z .

67

Determina-se também a contribuição de tensão para uma barra de carga

j devido a uma injeção de corrente na barra geradora k, que pode ser facilmente

calculada por kj jk kV z I= ⋅ para PMB ou k

jkj kV z I= ⋅ para SMB, onde jkz ( jkz ) é

o j-k-ésimo elemento de Barra

Z ( BarraZ ). Pelo princípio da superposição, a

tensão em uma barra de carga j é igual à soma das contribuições individuais de

todas as fontes na mesma.

Considere-se a linha de transmissão representada pelo modelo π entre

as barras m e n, como na Figura 3.2, onde mn mn mnZ r jx= + é a impedância série

e c cy jb= é a susceptância shunt. Após calcular a contribuição individual de

tensão de cada fonte de corrente, pode-se então calcular a contribuição de cada

fonte de corrente numa linha de transmissão.

Figura 3.2 - Modelo π da Linha de Transmissão entre as Barras m e n

Na Figura 3.2 observa-se a contribuição de corrente da fonte de corrente

da barra i na linha de transmissão m-n, medida na barra m, que pode ser

expressa como:

, ,i i

i i serial i shunt im nmn mn mn m c

mn mn

v vI I I v jbr jx

−= + = + ⋅

+ (3.34)

Pelo princípio da superposição, a corrente da linha é igual à soma das

contribuições individuais de cada fonte de corrente, cuja expressão é:

, ,i i serial i shuntmn mn mn mn

i i iI I I I

∀ ∀ ∀= = +∑ ∑ ∑ (3.35)

68

Por conseguinte, as perdas de potência ativa na linha m-n podem ser

calculadas por 2serial

mn mnI r . Para determinar a contribuição individual de uma

fonte de corrente nas perdas da linha, deve-se considerar todas as outras fontes

de corrente como circuito aberto. Deste modo, a contribuição nas perdas da linha

m-n devido a uma fonte de corrente iI pode ser calculada por:

22,

i ii serial m nmn mn mn

mn mn

v vI r r

r jx−

=+

(3.36)

Adicionalmente, as perdas de potência reativa na linha de transmissão m-

n podem ser calculadas por 2 2 2serial

mn mn m n cI x v v b⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

, sendo que a

contribuição nas perdas de potência reativa de uma fonte de corrente iI é igual a:

2 2 2,i serial i imn mn m n cI x v v b⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.37)

Para alocar as perdas através de teoria dos jogos cooperativos, onde se

tem n participantes, define-se N = 1 2 , ,..., nI I I como o conjunto de todos os

jogadores (fontes de corrente); S um subconjunto não nulo de N, chamado de

coalizão, e finalmente V(S) que é o valor real da função característica de cada

possível coalizão S, que é equivalente à contribuição da coalizão das fontes de

corrente Si

iI

I∀ ∈∑ para uma linha de transmissão, com todas as fontes de corrente

restantes em circuito aberto (desligadas). Note-se que pelo princípio de

superposição, a contribuição de tensão (ou corrente) Sv (ou SI ) devido à

Si

iI

I∀ ∈∑ para cada barra (ou linha) é igual à soma das contribuições individuais de

tensão (ou corrente) de todas as fontes de corrente que pertencem à coalizão S. Smv é obtido quando todas as fontes da coalizão atuam como um grupo, isto é

S

S im m

iV V

∀ ∈= ∑ . De forma análoga, pode-se calcular a corrente na linha m-n

devido à coalizão S, como a soma das contribuições individuais de correntes das

fontes que pertencem à coalizão , ,

S

S serial i serialmn mn

iI I

∀ ∈= ∑ , a formulação das perdas

desta coalizão é a seguinte:

69

22,

S SS serial m nmn mn mn

mn mn

v vI r r

r jx−

=+

(3.38)

e a contribuição nas perdas de potência reativa da coalizão S é igual a:

2 2 2,S serial S Smn mn m n cI x v v b⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.39)

Sobre estas configurações do jogo, quando todas as coalizões são

calculadas, pode-se dizer que se tem um mecanismo de alocação justa e

razoável para cada jogador.

Portanto, a alocação para cada jogador (fonte de corrente) pode ser

calculada aplicando o Valor de Shapley:

( )[ ]S, S

S (S ) (S)i

i n iI

PI Prob V I V∀ ∉

= ∪ −∑ (3.40)

onde iPI representa a participação nas perdas do jogador iI ; [ ](S ) (S)iV I V∪ −

representa a perda incremental ou decremento devido a um jogador iI se juntar

à coalizão S, e ( )SnProb = !( 1)!

!s n s

n− −

é a probabilidade do jogador iI se juntar

à coalizão S como o ( 1)s + -ésimo participante do jogo, que pode ser

interpretado como o fator de impacto nas perdas do sistema se o jogador iI aderir à coalizão. Observe-se que o impacto de um jogador em diferentes

coalizões é considerado através de (3.40).

O método de Shapley resolve este problema alocando a cada jogador a

média das alocações incrementais para todas as permutações possíveis na

ordem de entrada. Esse procedimento é intuitivamente “justo”, já que todos os

jogadores têm chances iguais de entrar em todas as posições. Porém mostra-se

que a alocação Shapley não é “isonômica” com relação à magnitude dos

agentes, isto é, agentes maiores são menos sensíveis à ordem de entrada que

agentes menores, e por isso são beneficiados. Outro problema do método de

Shapley é o número de permutações calculadas, que cresce muito com o

70

aumento do número de agentes, fazendo com que seu cálculo seja

computacionalmente inviável.

Com o objetivo de esclarecer como o método de Aumann-Shapley é

robusto e apresenta uma série de características desejáveis em termos de

coerência econômica e isonomia, a seguir será descrita uma aplicação de

Aumann-Shapley ao problema de alocação de perdas apresentado em [Molina,

2007].

O método inicia-se com os dados de um ponto de operação do sistema

de potência e o sistema de transmissão é considerado como um bloco (ver

Figura 3.3); por conseguinte, o cálculo de perdas em cada linha não é

necessário. O princípio da superposição é usado para determinar a relação entre

as correntes das cargas e as fontes de corrente (função linear). Logo, as perdas

(função não-linear das fontes de corrente) são alocadas usando a teoria dos

jogos, especificamente o método de Aumann-Shapley. Neste método, a metade

das perdas do sistema é alocada às cargas, enquanto a outra metade é alocada

aos geradores.

Figura 3.3 - Representação do Sistema de Potência

Para a aplicação do método é indispensável modelar os geradores do

sistema de potência como fontes de corrente e as cargas como impedância.

Dessa maneira, a matriz BarraZ é modificada para Barra

Z com a adição das

impedâncias das cargas à matriz original. As fontes de corrente correspondentes

às cargas são zero e assim, a formulação para o fornecimento de potência

complexa é:

71

=Barra

ForS I Z I (3.41)

O consumo total de potência complexa é o somatório do consumo de

cada carga:

=

== ∑

1

j NL

Con jj

S S (3.42)

onde jS é a potência aparente de carga j dada por:

= ( )( )j ZC j ZC jS I I ZC j (3.43)

Ressalta-se que ZC j é a impedância equivalente de carga j e ZC jI é a corrente

que chega à carga j, que pode ser obtida como uma função linear das fontes de

corrente, como:

=

== ∑ ( , )

1

Barrai NGj i

ZC j Gii

ZI IZC j

(3.44)

onde:

( , )Barra

j iZ : elemento (j, i) da matriz impedância modificada correspondente à barra

de geração i e à barra de carga j.

ZC j : impedância da barra de carga j,

GiI : corrente injetada pelo gerador i.

As perdas podem ser escritas como:

= −[ ]For ConPerdas S S (3.45)

A metade do total de perdas ativas e reativas é alocada às cargas

proporcionalmente às suas correntes:

72

[ ]=

=

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑

1

12

ZC jZC j For Conj NL

ZC jj

IPerdas S S

I (3.46)

A mesma equação é usada para alocar a metade restante das perdas

aos geradores. Com o objetivo de determinar as perdas associadas às injeções

de corrente que fluem dos geradores às cargas, a teoria de Aumann-Shapley é

aplicada. A Participação Unitária das correntes reais (PUR) que fluem do gerador

Gk para a carga j nas perdas é:

−=

∂=

∂∫1

0

( )ZC j GGkr ZC j

Gkrt

Perdas tIPUR

I (3.47)

onde:

∂ ⎛ ⎞∂ ∂= × + ×⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂

− × + ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1 22 1

1 33 1

ZC j

Gkr Gkr Gkr

Gkr Gkr

Perdas F FF FI I I

F FF FI I

(3.48)

=

=

= ×

∑1

11 ;2

ZC jj NL

ZC jj

IF

I

=2 ;Barra

F I Z I

=

== ∑

13 .

j NL

jj

F S

A participação unitária da corrente imaginária (PUI) que flui do gerador Gk

para a carga j nas perdas é:

73

−=

∂=

∂∫1

0

( )ZC j GGki ZC j

Gkit

Perdas tIPUI

I (3.49)

onde:

∂ ⎛ ⎞∂ ∂= × + ×⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎛ ⎞∂ ∂

− × + ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

1 22 1

1 33 1

ZC j

Gki Gki Gki

Gki Gki

Perdas F FF FI I I

F FF FI I

(3.50)

A participação total (PT) é a soma das participações da corrente real e

imaginária que flui do gerador Gk para uma determinada carga j:

− − −= × + ×Gk ZC j Gkr Gkr ZC j Gki Gki ZC jPT I PUR I PUI (3.51)

Neste trabalho foi apresentada uma nova maneira de alocar

simultaneamente as perdas de potência ativa e reativa. É um dos poucos

métodos que realiza esta alocação simultaneamente, onde analisa-se as perdas

associadas às componentes real e imaginária da corrente que fluem dos

geradores para cada carga. Embora as alocações de perdas tenham certo grau

de arbitrariedade com respeito às cargas, as alocações de perdas aos geradores

é realizada sem nenhuma suposição.

3.3 Métodos de Alocação de Demanda Elétrica

Na literatura, poucos métodos que determinam as responsabilidades dos

geradores no atendimento das demandas de potência foram propostos. Dentre

eles, as abordagens baseadas no princípio de divisão proporcional são

publicadas em maior número, devido a sua simplicidade e o fato de poder ser

aplicado tanto à potência ativa como à potência reativa. Apenas uma publicação

aborda a teoria de circuitos, especificamente para determinar as

responsabilidades dos geradores nas potências reativas das cargas. Nesta

seção, realiza-se uma análise de alguns destes métodos.

74

3.3.1 Métodos Baseados no Princípio da Divisão Proporcional

Sendo que a maioria dos métodos que determinam as contribuições dos

geradores nas cargas é baseada em seguimento de fluxos, o método

apresentado em [Bialek, 1996], pode ser considerado como o precursor dos

métodos de seguimento de fluxo, cujo princípio fundamental é a divisão

proporcional dos fluxos descrita na Seção 3.2.2. Posteriormente, em [Bialek,

1997], o método é aprofundado e melhor explicado, descrevendo uma técnica

para determinar quais geradores fornecem potência ativa a uma carga particular,

e quanto de cada gerador chega à carga; inicia-se com a solução de um fluxo de

potência e logo são identificadas as barras que fornecem potência ao sistema

(geradores). Usando o principio da divisão proporcional, é possível calcular a

contribuição de cada gerador para as cargas; em [Kirschen, 1997] é proposto um

método similar aos trabalhos anteriores, embora estes não sejam referenciados,

apresentando como única diferença o fato de considerar os domínios dos

geradores, domínios comuns de geradores e elos (linhas de transmissão). Neste

trabalho são determinados os grupos de barras que são alimentadas pelo

mesmo gerador e, usando o principio da divisão proporcional, é possível calcular

a contribuição de cada gerador para as cargas; em [Wu, 2000] também é usado

o principio da divisão proporcional em combinação com a teoria de grafos para

determinar a alocação de demanda elétrica. Os métodos descritos até agora

podem ser aplicados tanto para potência ativa como para potência reativa.

A seguir será descrito de uma forma resumida o método apresentado por

[Kirschen, 1997]. O método consiste em 4 passos:

Passo 1 - Determinar o Domínio de um Gerador

O domínio de um gerador é definido como o grupo de barras que são

alimentadas por ele. A potência injetada por um gerador pode ser seguida

através do sistema até as barras de cargas que pertencem ao domínio. Por

exemplo, na Figura 3.4, apresentada em [Kirschen, 1997], o domínio do gerador

A é composto por todas as barras, enquanto o domínio do gerador B inclui

somente as barras 3, 4, 5 e 6; finalmente, o domínio do gerador C é limitado

unicamente à barra 6.

75

Figura 3.4 - Sistema de 6 Barras Usado para Ilustrar o Conceito

Deve-se considerar que o domínio de potência ativa dos geradores não é

necessariamente o mesmo que o domínio de potência reativa, pois estes fluxos

não têm necessariamente o mesmo sentido.

O conceito dual do domínio de um gerador pode ser denominado de

domínio da carga e definido como o conjunto de barras que são percorridas

pelos fluxos até chegar a uma carga. Sua extensão pode ser calculada da

mesma maneira como realizada para os geradores, mas desta vez, a partir da

carga, e considerando apenas os ramos que levam potência para a carga. No

exemplo da Figura 3.4, o domínio da carga 5 (barra 5) inclui as barras 5,3,2 e 1,

portanto, os geradores A e B.

Passo 2 - Determinar Domínios Comuns

Por si só, o domínio de um gerador é um conceito interessante, mas a

sua aplicabilidade é limitada devido à forte superposição entre os diferentes

domínios de geradores. Portanto, é necessário o conceito de “domínio comum”,

embora um pouco menos intuitiva. Um domínio comum é definido como o

conjunto de barras contíguas alimentadas pelos mesmos geradores; o conceito

de domínio comum é muito útil, porque permite isolar conjuntos de barras que

são alimentadas pelos mesmos geradores para serem tratadas de maneira

separada, de modo que uma barra pertence a um só domínio comum. A ordem

de um domínio comum é definida pelo número de geradores que fornecem

potência às barras que pertencem ao domínio. A ordem nunca pode ser superior

ao número de geradores do sistema.

76

Por exemplo, a rede na Figura 3.4 pode ser representada por três

domínios comuns:

• Barras 1 e 2, alimentadas unicamente pelo gerador A, pertencem a

(domínio comum 1, ordem 1);

• Barras 3, 4 e 5, alimentadas pelos geradores A e B (domínio comum 2,

ordem 2);

• Barra 6, alimentada pelos geradores A, B e C (domínio comum 3, ordem

3).

Uma vez divididas as barras em domínios comuns, as linhas podem ser

agrupadas como internas (conectam duas barras que são parte de um mesmo

domínio comum) ou externas (conectam duas barras que pertencem a diferentes

domínios comuns) a um domínio comum. Uma ou mais linhas que conectam

diferentes domínios comuns podem ser chamadas de elos.

Na rede da Figura 3.4 têm-se três elos:

• Elo 1, conecta os domínios comuns 1 e 2 através das linhas 1-3 e 2-5;

• Elo 2, conecta os domínios comuns 2 e 3 através das linhas 4-6 e 5-6;

• Elo 3, conecta os domínios comuns 1 e 3 através da linha 2-6.

As linhas 3-4 e 4-5 são internas ao domínio comum 2. A linha 1-2 é

interna ao domínio comum 1. Não há linhas internas no domínio comum 3.

Passo 3 - Gráfico de Estados

Dada a direção dos fluxos em todas as linhas da rede, podem ser obtidos

os domínios comuns únicos e elos. Se os domínios comuns são representados

como nós e os elos como linhas, o estado do sistema pode ser representado

com direções. Este gráfico é direcionado, isto é, sempre segue um sentido, e a

direção do fluxo é especificada em um elo. Os elos só podem ir de um domínio

comum que compreende um menor número de geradores a um domínio comum

com maior número de geradores. Normalmente, a raiz dos nós do gráfico

corresponde a um domínio comum de ordem 1 (um gerador), enquanto os nós

restantes são compostos de domínios comuns de ordens maiores.

77

O gráfico de estado do sistema da Figura 3.4 é mostrado na Figura 3.5.

Por ser um sistema pequeno, o gráfico de estado é simples. Um exemplo de

gráfico de estado mais completo (sistema IEEE 30 barras) pode ser observado

em [Bialek, 1996].

Deve-se ressaltar que uma inversão na direção do fluxo de potência em

uma única linha de transmissão ou transformador pode alterar radicalmente o

tamanho e forma do gráfico de estado. Essa inversão pode aumentar ou diminuir

consideravelmente o domínio de um gerador e, conseqüentemente, provocar o

surgimento ou o desaparecimento de vários elos e domínios comuns.

Figura 3.5 - Gráfico de Estado do Sistema de 6 Barras

Passo 4 - Contribuição para a Carga de um Domínio Comum

Os resultados obtidos até agora proporcionam uma visão qualitativa do

sistema. Para obter informações quantitativas, são necessárias algumas

definições e hipóteses.

O fluxo de entrada de um domínio comum é definido como a soma da

potência injetada por fontes ligadas às barras localizadas neste domínio comum

e da potência importada de outros domínios comuns para este domínio através

dos elos. Este fluxo de entrada é sempre positivo. Para os nós raiz do gráfico de

estado, inclui-se apenas a potência injetada dentro do próprio domínio comum. O

fluxo de saída de um domínio comum é igual à soma de todas as cargas ligadas

às barras que são parte do domínio comum mais as saídas dos elos. Os

resultados são dependentes da aplicação do princípio da divisão proporcional:

78

Para um domínio comum qualquer, se a proporção do fluxo que pode ser

rastreada até o gerador i é xi, então a sua proporção de saída do domínio do

gerador i também tem a mesma proporção xi.

Como todos os postulados, a frase anterior não pode ser comprovada ou

contestada e sua única justificativa é que ela parece mais razoável do que

qualquer outra hipótese possível. Esta hipótese estabelece a base de um

método repetitivo para determinar a contribuição de cada gerador para as cargas

em cada domínio comum. Usam-se as notações:

ijC : contribuição do gerador i para a carga e fluxos de saída do domínio

comum j;

ikC : contribuição do gerador i para a carga e fluxos de saída do domínio

comum k;

jkF : fluxo do elo entre os domínios comuns j e k;

ijkF : fluxo do elo entre os domínios comuns j e k devido ao gerador i;

kI : fluxo de entrada do domínio comum k.

De acordo com o principio da divisão proporcional, tem-se:

= × ;ijk ij jkF C F

= ∑ ;k jkj

I F

=∑

.ijk

jik

k

FC

I

Estas equações recursivas podem ser usadas para calcular a

contribuição de cada gerador para cada domínio comum. Note-se que o fluxo de

entrada dos nós raiz do gráfico de estado é inteiramente fornecido pelos

geradores embutidos nestes domínios comuns. A proporção da saída pode ser

seguida para cada um destes geradores, portanto, pode ser facilmente

quantificada e propagada para domínios comuns de maior ordem.

79

Um exemplo básico do sistema mostrado na Figura 3.4 é usado para

elucidar este procedimento. Na Figura 3.6 são fornecidos dados adicionais sobre

as gerações, cargas e os fluxos nos elos.

Figura 3.6 - Gráfico de Estado do Sistema de 6 Barras

Primeiramente, são calculados os fluxos de entrada de cada domínio

comum:

Domínio comum 1: 60 MW;

Domínio comum 2: 50 + 10 = 60 MW;

Domínio comum 3: 10 + 30 + 30 = 70 MW.

Em seguida, calcula-se a contribuição do nó raiz do gráfico de estados:

Gerador A: 60/60 = 1,0.

Contribuição absoluta para os fluxos de entrada do domínio comum 2:

Gerador A: 10*1,0 = 10 MW;

Gerador B: 50 MW.

Contribuição relativa para a carga e fluxo de saídas do domínio comum 2:

Gerador A: 10/60 = 0,167;

80

Gerador B: 50/60 = 0,833.

Contribuição absoluta para os fluxos de entrada do domínio comum 3:

Gerador A: 30*1,0 + 30*0,167 = 35 MW;

Gerador B: 30*0,833 = 25 MW;

Gerador C: 10 MW.

Contribuição relativa para a carga e fluxo de saída do domínio comum 3:

Gerador A: 35/70 = 0,500;

Gerador B: 25/70 = 0,357;

Gerador C: 10/70 = 0,143.

Em outras palavras, é possível concluir que o gerador A fornece 50 % do

total consumido pelas cargas no domínio comum 3 e somente 16,7 % no

domínio comum 2.

3.3.2 Método Baseado em Teoria de Circuitos

Na literatura técnica tem-se somente um método baseado na teoria de

circuitos para determinar a alocação de demanda e somente é determinada a

contribuição de potência reativa dos geradores às cargas. Nesta seção é

apresentada a revisão deste método.

O método apresentado em [When, 2004] propõe alocar os custos pelo

fornecimento de potência reativa às cargas, usando a teoria básica de circuitos,

onde se determina que a tensão de uma barra de carga é resultado das

contribuições de todas as fontes de tensão do sistema. Neste contexto, é então

deduzida a relação funcional entre as tensões de carga, LE , e as fontes de

tensão, GE , de maneira a serem decompostas as tensões de todas as barras de

carga em parcelas LEΔ , resultantes da atuação de apenas uma fonte de tensão

(geradores) por vez. Então, estas contribuições de tensão são utilizadas

81

juntamente com as correntes nas barras de carga, obtidas a partir de um

resultado de fluxo de carga, para se determinar a parcela de potência reativa que

uma carga qualquer recebe de cada fonte de tensão. Posteriormente, os custos

da produção de potência reativa das fontes de tensão são alocados para as

cargas segundo a lógica.

Dado um sistema com NB barras, sendo NG barras de geração e NL

barras de carga, o sistema de equações nodais que relacionam corrente e

tensão é representado na forma matricial como:

[ ] [ ][ ]barraI Y E= (3.52)

onde:

[ ]I : vetor de injeções de corrente complexas em cada barra;

[ ]barraY : matriz admitância, calculada a partir dos parâmetros π das linhas de

transmissão;

[ ]E : vetor de tensões complexas de barra.

Fazendo uma permutação de linhas e colunas na matriz [ ]barraY , de

maneira que sejam separadas as barras de carga e geração, (3.52) pode ser

reescrita como:

G GGG GL

LG LLL L

I EY YY YI E

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.53)

Desta maneira pode-se obter uma relação entre as tensões das barras de

carga, LE e as tensões das fontes, GE . Esta relação tem a forma: ( )L GE f E= ,

podendo-se conseqüentemente, determinar a parcela de tensão ( LEΔ ) em uma

barra de carga qualquer devido a uma fonte de tensão, se o princípio da

superposição é aplicado. Para isto, é necessário que as cargas sejam

representadas como admitâncias em paralelo, de modo que tenham injeção de

corrente nula. A partir do resultado de fluxo de carga, estas admitâncias são

calculadas como:

82

1 jLj

Lj Lj

SLY

E E⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.54)

onde LjY é a admitância conectada à barra de carga j, LjE é a tensão complexa

da barra de carga j, e j j jSL PL j QL= + é o consumo de potência complexa na

barra de carga j.

Depois de calculadas as admitâncias equivalentes de todas as barras de

carga, é executada a modificação na sub-matriz [ ]LLY adicionando o termo LjY

correspondente ao j-ésimo elemento da diagonal principal. Esta sub-matriz é

modificada para 'LLY⎡ ⎤

⎣ ⎦ , e (3.53) é reescrita como:

'0GG GL GG

LLG LL

Y Y EIEY Y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(3.55)

Considerando-se a parte inferior de (3.55):

[ ] [ ][ ] [ ]'0 LG G LL LY E Y E⎡ ⎤= + ⎣ ⎦ (3.56)

Resolvendo (3.56) em relação a [ ]LE , tem-se:

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

'

1'

LL L LG G

L LL LG G

Y E Y E

E Y Y E−

⎡ ⎤ = −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − ⎣ ⎦

(3.57)

Fazendo [ ] [ ]1'

LL LGYA Y Y−

⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ , tem-se:

[ ] [ ][ ]L GE YA E= (3.58)

A tensão de cada barra de carga é resultado das contribuições de todos

os geradores, e pode ser representada pela expansão de:

,1

NG

Lj j i Gii

E YA E=

= ×∑ (3.59)

83

Pode-se então inferir que:

( , ) ,L i j j i GiE YA EΔ = × (3.60)

onde ( , )L i jEΔ é a contribuição de tensão que a carga da barra j recebe do

gerador da barra i. Fica claro que o princípio da superposição é satisfeito

segundo:

( , )1

NG

Lj L i ji

E E=

= Δ∑ (3.61)

Os autores deste artigo propõem então uma heurística para o cálculo da

contribuição de potência reativa que cada barra de carga recebe de cada

gerador:

( )( , ) ( , )L i j L i j LjQ imag E I= Δ × (3.62)

onde ( , )L i jQ é a contribuição do gerador i para a potência reativa da carga j, LjI é

a corrente complexa consumida pela barra de carga, obtida pelo resultado do

fluxo de carga.

De acordo com (3.62), é proposta uma repartição na demanda de

potência reativa levando em conta o valor total da corrente complexa de carga.

Esta heurística não considera a participação das fontes de corrente na carga,

como feito para as tensões. Portanto, esta repartição é incompleta, visto que o

efeito de cada fonte de corrente dos geradores nas cargas não é considerado,

apresentando-se como uma desvantagem deste método.

A partir de (3.62), é proposta a alocação dos custos para o suporte de

potência reativa. A remuneração sugerida da carga j para o gerador i é igual ao

produto da contribuição ( , )L i jQ pelo custo por Mvar do gerador i.

84

3.4 Conclusões

Neste capitulo foi apresentada uma breve revisão e análise de alguns

métodos, os quais servirão como ponto de partida para o desenvolvimento dos

métodos propostos. Foram apresentados diversos métodos, tanto para o

problema de alocação de perdas, como para alocação de demandas. Observa-

se nos métodos revisados, hipóteses e princípios diversos, o que permite afirmar

que não existe um consenso geral sobre o melhor método a ser seguido, dado

que todos possuem algum tipo de arbitrariedade.

Dos métodos analisados pode-se dizer que há alguns métodos que

poderiam ser considerados bons. Entretanto, a questão da equidade ainda

continua em aberto. Para resolver esse problema, novos métodos baseados em

teoria de jogos têm sido propostos porque essa teoria incorpora critérios de

justiça e eficiência no processo de alocação.

4 Teoria de Circuitos Elétricos

4.1 Introdução

Neste capítulo apresenta-se uma revisão de conceitos necessários para

o desenvolvimento deste trabalho, onde são determinadas as bases para a

análise de circuitos em sistemas de potência, desenvolvendo ferramentas que

abrangem conceitos, definições e procedimentos.

4.2 Cálculo de Corrente na Carga

Tipicamente, a matriz de admitâncias BarraY de um sistema de potência

de grande porte e interconectado, tem uma composição simples devido à sua

esparsidade. Conseqüentemente, para obter a matriz de impedância BarraZ é

mais simples inverter a matriz BarraY ; a matriz impedância tem características

importantes de todo o sistema, sendo amplamente usada em estudos

relacionados à rede de sistemas de potência.

Com a finalidade de evitar confusões, deve-se mencionar que a matriz

impedância BarraZ usada em [Conejo, 2001] considera somente as impedâncias

das linhas de transmissão. Por outro lado, a matriz impedância usada em

[Stevenson, 1995] considera tanto as impedâncias de linha como também as

impedâncias equivalentes das cargas. Portanto, a fim de esclarecer estas

diferenças adota-se como referência a matriz BarraZ apresentada em [Conejo,

2001]. Assim, a matriz impedância apresentada em [Stevenson, 1995] pode ser

considerada como a matriz BarraZ modificada pela inclusão das impedâncias

equivalentes das cargas. Esta nova matriz pode ser simbolizada por Barra

Z .

86

Considere um circuito elétrico, onde as cargas são modeladas como

impedância constante e são alimentadas por fontes de corrente. Com a

informação da matriz impedância Barra

Z pode-se determinar a participação das

fontes de corrente em cada carga, mediante a aplicação do princípio de

superposição.

Do ponto de vista teórico, o ponto de operação de um circuito elétrico é

obtido ao resolver-se (4.1):

BarraV Z I= (4.1)

Figura 4.1 - Circuito de 3 Barras

Deve-se lembrar que quando se utiliza a matriz Barra

Z , V e I são vetores

coluna das tensões de barra e correntes injetadas, respectivamente. Expandindo

(4.1) para o circuito de 3 barras apresentado na Figura 4.1, extraída de

[Stevenson, 1995], tem-se:

11 12 131 1 2 3V Z I Z I Z I= + + (4.2)

21 22 232 1 2 3V Z I Z I Z I= + + (4.3)

87

31 32 333 1 2 3V Z I Z I Z I= + + (4.4)

O elemento 22Z da matriz Barra

Z pode ser determinado fazendo-se o

circuito aberto das fontes de corrente nas barras 1 e 3 e injetando a corrente 2I

da fonte da barra 2, resolvendo em seguida (4.3):

1 3

22222 0I I

VZ

I= =

= (4.5)

Portanto, podem ser determinadas também as impedâncias 12Z e 32Z ,

quando as fontes de corrente 1 e 3 estão abertas. Reduzindo (4.2) e (4.4) tem-

se:

1 3

21122 0I I

VZ

I= =

= (4.6)

1 3

23322 0I I

VZ

I= =

= (4.7)

onde:

kjV : tensão na barra j, quando a fonte de corrente da barra k injeta corrente e as

demais estão em circuito aberto.

Baseando-se nestes conceitos, (4.2), (4.3) e (4.4) podem ser reescritas

como:

1 2 31 1 1 1V V V V= + + (4.8)

1 2 32 2 2 2V V V V= + + (4.9)

1 2 33 3 3 3V V V V= + + (4.10)

Pode-se afirmar que a tensão numa barra é igual ao somatório das

contribuições de tensão na barra devido às injeções independentes de cada

88

fonte de corrente. Portanto, dividindo-se a tensão na barra pela impedância da

carga, obtém-se a corrente da carga:

1311 12 31 1 2ZC1 ZC1 ZC1 ZC1 ZC1

Z IV Z I Z II = = + + (4.11)

2321 22 32 1 2ZC2 ZC2 ZC2 ZC2 ZC2

Z IV Z I Z II = = + + (4.12)

3331 323 31 2ZC3 ZC3 ZC3 ZC3 ZC3

V Z IZ I Z II = = + + (4.13)

onde:

ZCi : impedância da carga i;

ZCiI : corrente que chega à impedância da carga i.

Observa-se que as correntes que fluem através das cargas são uma

função linear das fontes de corrente.

4.3 Cálculo da Potência Consumida pelas Cargas

Obtidas as correntes que fluem pelas cargas, as potências consumidas

nas barras, que são funções não-lineares das fontes de corrente, podem ser

facilmente calculadas. O procedimento para o cálculo da potência consumida na

carga ZC3 é:

( ) ( )ZC3 3 3 ZC3ZC ZCS I I= (4.14)

33 3331 32 31 323 31 2 1 2ZC3 ZC3

ZC3 ZC3 ZC3 ZC3 ZC3 ZC3Z I Z IZ I Z I Z I Z IS

⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(4.15)

89

Decompondo as fontes de corrente em componentes real e imaginária, tem-se:

31 32 33ZC3 1 1 2 2 3 3

31 32 331 1 2 2 3 3

( ) ( ) ( )ZC3 ZC3 ZC3

( ) ( ) ( ) ZC3ZC3 ZC3 ZC3

r i r i r i

r i r i r i

Z Z ZS I jI I jI I jI

Z Z ZI jI I jI I jI

⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

i

(4.16)

onde:

k kr kiI I jI= +

kI : corrente injetada na barra k;

krI : componente real da corrente injetada na barra k;

kiI : componente imaginária da corrente injetada na barra k.

Para um sistema de potência com NC cargas e NF fontes de corrente, o

consumo total de potência é o somatório do consumo de potência de todas as

cargas, função não-linear das fontes de corrente:

j

ZCj 1 1j 1

( , ,..., , )NC

con r i NFr NFiS S I I I I=

== ∑ (4.17)

onde:

NC : número total de cargas;

NF : número total de fontes de corrente.

4.4 Cálculo da Potência Fornecida pelos Geradores

A potência fornecida para uma rede pode ser escrita de forma matricial

como:

90

__BarraTForS I Z I= (4.18)

Desenvolvendo (4.18) para o sistema de 3 barras apresentado na Figura

4.1, tem-se:

[ ]

_

111 12 13_

21 22 231 2 3 2_

31 32 333

For

IZ Z Z

S I I I Z Z Z I

Z Z Z I

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(4.19)

Realizando as operações em (4.19), a expressão transforma-se em:

_11 21 311 1 2 3

_12 22 322 1 2 3

_13 32 333 1 2 3

ForS I I Z I Z I Z

I I Z I Z I Z

I I Z I Z I Z

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

(4.20)

Explicitando as componentes reais e imaginárias das fontes de corrente,

tem-se:

11 21 311 1 1 1 2 2 3 3

12 22 322 2 1 1 2 2 3 3

13 32 333 3 1 1 2 2 3 3

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ] ( ) ( ) ( )

For r i r i r i r i

r i r i r i r i

r i r i r i r i

S I jI I jI Z I jI Z I jI Z

I jI I jI Z I jI Z I jI Z


⎡ ⎤= − + + + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + + + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + + + + +⎣ ⎦

(4.21)

4.5 Conclusões

Neste capítulo foi apresentada uma revisão de conceitos básicos de

teoria de circuitos elétricos, os quais serão utilizados nos métodos propostos.

5 Método Proposto para Alocar as Cargas e Perdas Complexas

5.1 Introdução

A transparência na operação do sistema de transmissão é um

componente essencial para convencer os participantes do mercado da sua

correta operação. Isto significa que geradores e consumidores devem ter

respostas às perguntas básicas, tais como: “qual é a participação de uma

determinada fonte geradora numa carga qualquer?”, “quais geradores estão

alimentando uma determinada carga?”, “que agentes do sistema são os

responsáveis pelas perdas elétricas do sistema de transmissão?” Na literatura

especializada, poucos trabalhos lidam com estes problemas conjuntamente e

geralmente têm tratamentos separados com métodos e abordagens diferentes.

Nesta tese, são propostos dois métodos, que tem como objetivo propor

uma abordagem semelhante para estes problemas: um para alocar perdas de

potência ativa e reativa (perdas complexas) e outro para determinar as

contribuições de potência dos geradores às cargas. Para resolver o problema de

alocação de perdas, determina-se a relação entre as fontes de alimentação e as

perdas complexas na linha. Já para a determinação das contribuições de

potência dos geradores às cargas, a chave está em determinar a relação entre o

consumo da carga e as fontes de alimentação.

Com a finalidade de evidenciar a influência existente da geração de

potência ativa nas perdas de potência reativa e demanda de potência reativa,

assim como a influência da geração de potência reativa nas perdas de potência

ativa e demanda de potência ativa, apresenta-se o conceito de correntes reais e

imaginárias (também chamadas de componentes reais e imaginárias) que fluem

dos geradores até as cargas através das linhas de transmissão, que são

modeladas como impedância constante, assim como as cargas.

92

É natural uma abordagem similar para resolver o problema de alocação

de perdas e a determinação da contribuição de potência dos geradores às

cargas; obviamente, as perdas correspondem à energia dissipada e a demanda

à energia aproveitada. O método baseia-se na teoria de circuitos elétricos em

combinação com a teoria de Aumann-Shapley, permitindo identificar as

contribuições da componente real de uma fonte nas perdas complexas, assim

como a contribuição da componente imaginária nas perdas complexas. De

maneira similar, as contribuições das componentes de corrente às demandas

são obtidas.

Considera-se como ponto de partida a solução de um fluxo de potência,

onde as cargas (modeladas como potência constante) são remodeladas como

impedância constante e os geradores como fontes de corrente. Assume-se que o

sistema de potência tem um total de N barras (NG+NC), NG geradores e NC

cargas, como representado na Figura 5.1. Através do princípio da superposição,

pode-se determinar a parcela das fontes de corrente que chegam a uma carga

qualquer (função linear das fontes). O consumo de potência numa determinada

carga é uma função não-linear das fontes de corrente, conforme descrito na

Seção 4.3. Para determinar as responsabilidades de cada fonte de corrente no

consumo de potência de cada carga, utiliza-se o método de Aumann-Shapley.

Figura 5.1 - Representação do Sistema de Potência

A matriz de impedância BarraZ do sistema apresentado na Figura 5.1 é

substituída pela matriz de impedância Barra

Z , devido à remodelagem do sistema

original, onde as cargas são remodeladas como impedâncias equivalentes e

93

adicionadas à matriz impedância BarraZ . A remodelagem dos geradores como

fontes de corrente não afeta a matriz de impedância (ver Figura 5.2). A partir das

fontes de corrente equivalentes dos geradores, é possível determinar uma

função não-linear do consumo de potência para cada carga.

Figura 5.2 - Sistema de Potência Remodelado (Geradores como Fontes de Corrente)

5.1.1 Cálculo da Corrente na Carga

Após remodelar as cargas em seus equivalentes de impedância

constante, os geradores em seus equivalentes de fontes de corrente e modificar

os elementos da matriz impedância por uma nova matriz de impedância Barra

Z ,

determina-se a parcela de cada fonte de corrente em cada carga, aplicando-se o

princípio da superposição apresentado no Capítulo 4. A corrente que chega à

barra de carga j é:

jj1 jj 1ZCj ... ...

ZCj ZCj ZCj ZCjGk GkV Z IZ I Z II = = + + + + (5.1)

onde:

ZCj : impedância da barra de carga j;

jV : tensão na barra de carga j;

94

jkZ : elemento (j,k) da matriz impedância modificada do sistema;

kI : fonte de corrente equivalente do gerador k.

5.1.2 Cálculo da Potência Consumida por uma Carga

Conhecida a corrente na barra de carga j, calcula-se a potência

consumida na mesma, que é uma função não-linear das fontes de corrente, por

meio da seguinte fórmula:

( ) ( )ZCjZCj ZCj ZCjS I I= (5.2)

jG jGj1 jk j1 jkG G1 k 1 k... ... ... ... ZCjZCj ZCj ZCj ZCj ZCj ZCjZCj

Z I Z IZ I Z I Z I Z IS⎛ ⎞⎛ ⎞

= + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.3)

5.2 Alocação de Potência dos Geradores para as Cargas

Obtida a potência consumida de uma carga como uma função não-linear

das fontes de corrente e explicitando a componente real e imaginária dos

geradores para serem tratados como fontes de corrente independentes, é

possível separar a participação de cada uma destas componentes na potência

consumida na barra de carga j.

Seja:

= +k kr kiI I j I

onde:

95

kI : corrente equivalente do gerador k;

krI : componente real da corrente equivalente do gerador k;

kiI : componente imaginária da corrente equivalente do gerador k.

Considerando as componentes reais e imaginárias das fontes de

corrente, (5.3) pode ser reescrita:

jGj1 jk1 1

jGj1 jk1 1

( )( ) ( )... ...ZCj ZCj ZCj

( )( ) ( )... ... ZCjZCj ZCj ZCj

Gr Gir i kr kiZCj

Gr Gir i kr ki

Z I jIZ I jI Z I jIS

Z I jIZ I jI Z I jI

⎛ ⎞++ += + + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞++ ++ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(5.4)

Para determinar a responsabilidade de cada componente na potência

consumida na barra de carga j, é necessário obter a participação unitária de

Aumann-Shapley.

A participação unitária da componente real (PUR) da corrente equivalente

do gerador k na potência consumida pela barra de carga j é dada por:

ZCj

1ZCj

0

( )Gkr S

krt

S tIPUR dt

I→=

∂=

∂∫ (5.5)

ZCj

jGj1 jkjk 1 1

0 jGj1 jkjk 1 1

( )( ) ( )... ...ZCj ZCj ZCj ZCj

ZCj( )( ) ( )... ...

ZCj ZCj ZCj ZCj

Gr Gir i kr ki

Gkr St Gr Gir i kr ki

Z tI jtIZ tI jtI Z tI jtIZ

PURZ tI jtIZ tI jtI Z tI jtIZ

→=

⎡ ⎤⎛ ⎞++ +⎢ ⎥+ + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞ ++ +⎢ ⎥+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

1dt∫

(5.6)

Resolvendo a integral, tem-se:

ZCj

jGj1 jkjk 1 1 ( )( ) ( )... ... ZCjZCj ZCj ZCj ZCj

Gr Gir i kr kiGkr S

Z I jIZ I jI Z I jIZPUR real→

⎡ ⎤⎛ ⎞++ +⎢ ⎥= + + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(5.7)

A participação unitária da componente imaginária (PUI) da corrente

equivalente do gerador k na potência consumida pela barra de carga j é dada

por:

96

ZCj

1ZCj

0

( )Gki S

kit

S tIPUI dt

I→=

∂=

∂∫ (5.8)

ZCj

jGj1 jkjk 1 1

jGj1 jkjk 1 1

( )( ) ( )... ...ZCj ZCj ZCj ZCj

ZCj( )( ) ( )... ...

ZCj ZCj ZCj ZCj

Gr Gir i kr ki

Gki St Gr Gir i kr ki

Z tI jtIZ tI jtI Z tI jtIZj

PUIZ tI jtIZ tI jtI Z tI jtIZj

→

⎡ ⎤⎛ ⎞++ +⎢ ⎥+ + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= ⋅⎢ ⎥⎛ ⎞⎛ ⎞ ++ +⎢ ⎥+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

1

0dt

=∫

(5.9)


ZCj

jGj1 jkjk 1 1 ( )( ) ( )... ... ZCjZCj ZCj ZCj ZCj

Gr Gir i kr kiGkr S

Z I jIZ I jI Z I jIZPUI imag→

⎡ ⎤⎛ ⎞++ +⎢ ⎥= − + + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(5.10)

A participação total do gerador k na potência consumida na barra de

carga j é a soma da participação unitária das componentes real e imaginária,

previamente multiplicadas por seus respectivos montantes:

ZCj ZCj ZCjGk S kr Gkr S ki Gki SPT I PUR I PUI→ → →= ⋅ + ⋅

(5.11)

5.3 Alocação de Perdas do Sistema

Determinar a responsabilidade dos geradores e cargas nas perdas do

sistema de transmissão apresenta um desafio peculiar porque o problema

apresenta características não-lineares e de não-separabilidade. Nesta tese

propõe-se um método que separe e identifique a parcela de responsabilidade de

cada agente nas perdas do sistema. Essa divisão de responsabilidade deve ser

justa e transparente. Para alcançar este objetivo, o referido método, baseado na

teoria de circuitos elétricos em combinação com a teoria de Aumann-Shapley,

permite identificar as contribuições das componentes ativas e reativas das fontes

97

de corrente equivalentes nas perdas, apresentando características desejáveis

em termos de coerência econômica.

Da análise apresentada na Seção 1.2.1 determinou-se que as perdas são

de responsabilidade tanto dos geradores como das cargas, isto é, devem ser

distribuídas em 50% para cada categoria. Para evitar arbitrariedade na alocação

de perdas, aplica-se a teoria de Aumann-Shapley, cujas propriedades induzem à

eficiência econômica, além de ser amplamente reconhecido como um método

justo.

5.3.1 Alocação de Perdas aos Geradores

Assuma-se novamente um sistema de potência que possui N barras

(NG+NC), onde as NG primeiras barras são geradores e as NC barras seguintes

são cargas. Sendo assim, o sistema de equações associado ao ponto de

operação do sistema de potência pode ser reordenado, separando as barras

geradoras das barras de cargas. Desta forma, a matriz impedância do sistema

pode ser dividida em 4 sub-matrizes, como apresentado em (5.13).

Uma vez remodelados os geradores por seus equivalentes de fontes de

corrente e as cargas por seus equivalentes de impedância constante (ver Figura

5.2), a matriz de impedância original do sistema é substituída por uma nova

matriz de impedância Barra

Z . A partir das fontes de corrente equivalentes dos

geradores é possível determinar expressões para a demanda total, assim como

para a geração total do sistema em função das injeções de corrente.

a) Potência Fornecida pelos Geradores

Para determinar a potência fornecida pelos geradores de um sistema de

potência de N fontes de corrente, recorre-se à fórmula apresentada em (4.18),

cuja expressão é a seguinte:

=__BarraT

ForS I Z I (5.12)

98

Desenvolvendo (5.12), tem-se:

[ ]

+

+

+++ + + + +

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

1,1 1, 1, 1 1, 1

,1 , , 1 ,1 1

11,1 1, 1, 1 1,

,1 , , 1 ,

|

NG NG N

NG NG NG NG NG NG N NGFor NG NG N

NGNG NG NG NG NG NG N

NN N NG N NG N N

Z Z Z Z I

Z Z Z Z IS I I I I

IZ Z Z Z

IZ Z Z Z

(5.13)

Observa-se que a potência fornecida depende somente das correntes

dos geradores, dado que as cargas são representadas por suas impedâncias

equivalentes (injeções de corrente nulas). Portanto, (5.13) pode ser reescrita:

[ ]

+

+

+ + + + +

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

1,1 1, 1, 1 1,1

,1 , , 1 ,1

1,1 1, 1, 1 1,

,1 , , 1 ,

| 0 00

0

NG NG N

NG NG NG NG NG NG NNG

For NGNG NG NG NG NG NG N

N N G N NG N N

Z Z Z Z I

Z Z Z Z IS I IZ Z Z Z

Z Z Z Z

(5.14)

Realizando as operações em (5.14) e explicitando as componentes reais

e imaginárias das correntes, tem-se:

⎡ ⎤= − + + + + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + + + + + + + +⎣ ⎦

+ − + + + + + +

11 1 11 1 1 1

11 1

11 1

[ ] ( ) ... ( ) ... ( ) ...

[ ] ( ) ... ( ) ... ( ) ...

[ ] ( ) ... ( ) ... (

k NGFor r i r i kr ki NGr NGi

k kk NG kkr ki r i kr ki NGr NGi

G kGNGr NGi r i kr ki NGr



I jI I jI Z I jI Z I⎡ ⎤+⎣ ⎦) NGNGNGijI Z

(5.15)

b) Potência Consumida pelas Cargas

A potência total consumida em um sistema de potência é igual ao

somatório do consumo das cargas. Os cálculos para determinar o consumo de

uma determinada carga foram apresentados no Capítulo 4, onde a expressão

para o consumo de uma barra de carga j tem a seguinte expressão:

99

( ) ( )ZCj ZCj ZCjS I I ZCj= (5.16)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

jN jNj1 j j1 jN N1 1ZCj ... ... . ... ... ZCj

ZCj ZCj ZCj ZCj ZCj ZCjG Gk kG Gk kZ I Z IZ I Z I Z I Z IS (5.17)

⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

j1 j jZCj 1 1

j1 j j1 1

( ) ... ( ) ... ( ) .ZCj ZCj ZCj

( ) ... ( ) ... ( ) ZCjZCj ZCj ZCj

k NGr i kr ki NGr NGi

k NGr i kr ki NGr NGi


Z Z ZI jI I jI I jI

(5.18)

Pode-se expressar o consumo total como um somatório dos consumos

de todas as cargas:

=

== ∑

j

ZCj 1 1j 1

( , ,..., , ,..., , )NC

con r i kr ki NGr NGiS S I I I I I I (5.19)

onde:

ZCj 1 1( , ,..., , ,..., , )r i kr ki NGr NGiS I I I I I I : consumo de uma barra de carga j em função

das componentes real e imaginária das fontes de corrente;

NC : número total de cargas;

NG : número total de geradores

c) Perdas

Obtido o fornecimento de potência das fontes de corrente e o consumo

de potência das cargas, o cálculo das perdas do sistema é simplesmente uma

operação de subtração:

[ ]For ConPerdas S S= − (5.20)

O método propõe alocar a metade do total das perdas aos geradores,

onde as perdas alocadas para os geradores têm a fórmula:

100

1 [ ]2Ger For ConPerdas S S= − (5.21)

Para determinar as responsabilidades para cada componente das fontes

de corrente nas perdas do sistema, aplica-se a teoria de Aumann-Shapley.

A participação unitária da componente real (PUR) da corrente que flui do

gerador k ( krI ) para as cargas nas perdas do sistema é:

1

0

( )GerGkr Per

krt

Perdas tIPUR dt

I→=

∂=

∂∫ (5.22)

1 1

0 0

( ) ( )12

For ConGkr Per

kr krt t

S tI S tIPUR dt dt

I I→= =

⎡ ⎤∂ ∂= −⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

(5.23)

Primeiro termo da PUR dado em (5.23)

= =

∂ ⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦∂∫ ∫1 1

110 0

( )2( ) ... 2( ) ... 2( )For k kk kNGr kr NGr

krt t

S tIdt tI Z tI Z tI Z dt

I

(5.24)


=

∂= + + + +

∂∫1

110

( )... ...For

k kk kNGr kr NGrkrt

S tIdt I Z I Z I Z

I

(5.25)

Segundo termo da PUR dado em (5.23)

1 1jZCj

j 10 0

( )( ) NCCon

kr krt t

S tIS tIdt dt

I I

=

== =

∂∂=

∂ ∂∑∫ ∫

(5.26)

Observa-se que esta expressão é um somatório, portanto, podem ser

realizadas operações para apenas um elemento ( ZCjS ), e em seguida

generalizadas para os demais.

101

=

⎡ ⎛ ⎞⎢ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢∂ ⎝ ⎠⎢=

∂ ⎢⎛ ⎞⎛ ⎞⎢ + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎝ ⎠⎣

∫

j j1 j jN1 11

ZCj

0 j j1 j jN1 1

( ) ... ( ) ... ( )ZCj ZCj ZCj ZCj( )

( ) ... ( ) ... ( )ZCj ZCj ZCj ZCj

k k Gr i kr ki NGr NGi

krt k k Gr i kr ki NGr NGi

Z Z Z ZtI jtI tI jtI tI jtIS tI

dtI Z Z Z ZtI jtI tI jtI tI jtI

=

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

∫1

0ZCj

t

dt

(5.27)


=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎢ ⎥⎜ ⎟= + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∫1

j j1 j jNZCj1 1

0

( )2. ( ) ... ( ) ... ( ) ZCj

ZCj ZCj ZCj ZCjk k G

r i kr ki NGr NGikrt

S tI Z Z Z Zdt real I jI I jI I jII

(5.28)

Substituindo-se (5.28) em (5.26), pode-se determinar a operação deste

somatório. Logo, substituindo os resultados do primeiro e segundo termos em

(5.23), obtém-se a PUR do gerador k ( krI ) nas perdas do sistema.

A participação unitária da componente imaginária (PUI) do gerador k ( kiI )

nas perdas é:

1

0

( )GerGki Per

kit

Perdas tIPUI dt

I→=

∂=

∂∫ (5.29)

1 1

0 0

( ) ( )12

For ConGki Per

ki kit t

S tI S tIPUI dt dt

I I→= =

⎡ ⎤∂ ∂= −⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

(5.30)

Primeiro termo da PUI dado em (5.30)

= =

∂ ⎡ ⎤= − − − − −⎣ ⎦∂∫ ∫1 1

110 0

( )2( ) ... 2( ) ... 2( )For k kk k NGi ki NGi

kit t


I

(5.31)

Desenvolvendo a integral, tem-se:

=

∂= − − − − −

∂∫1

110

( )... ...For

k kk k NGi ki NGikit

S tIdt I Z I Z I Z

I

(5.32)

Segundo termo da PUI dado em (5.30)

102

1 1jZCj

j 10 0

( )( ) NCCon

ki kit t

S tIS tIdt dt

I I

=

== =

∂∂=

∂ ∂∑∫ ∫

(5.33)

Observa-se que esta expressão é um somatório, portanto, as operações

podem ser realizadas para apenas um elemento ( ZCjS ), e em seguida,


=

⎡ ⎛ ⎞⎢ + + + + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢∂ ⎝ ⎠⎢=

∂ ⎢ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣

∫

j j1 j jN1 11

ZCj

0 j j1 j jN1 1

( ) ... ( ) ... ( )ZCj ZCj ZCj ZCj( )

( ) ... ( ) ... ( )ZCj ZCj ZCj ZCj

k k Gr i kr ki NGr NGi

kit k k Gr i kr ki NGr NGi

Z Z Z Zj tI jtI tI jtI tI jtIS tI

dtI Z Z Z Zj tI jtI tI jtI tI jtI

=

⎤⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

∫1

0ZCj

t

dt

(5.34)

Desenvolvendo a integral, tem-se:

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎢ ⎥⎜ ⎟= + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∫1

j j1 j jNZCj1 1

0

( )2. ( ) ... ( ) ... ( ) ZCj

ZCj ZCj ZCj ZCjk k G

r i kr ki NGr NGikit

S tI Z Z Z Zdt imag I jI I jI I jII

(5.35)

Substituindo-se (5.35) em (5.33), pode-se determinar este somatório.

Logo, substituindo-se os resultados do primeiro e segundo termos em (5.30),

obtém-se a PUI do gerador k ( kiI ) nas perdas do sistema.

A participação total do gerador k é a soma da participação unitária das

componentes real e imaginária, previamente multiplicadas por seus respectivos

montantes:

Gk Per kr Gkr Per ki Gki PerPT I PUR I PUR→ → →= ⋅ + ⋅

(5.36)

5.3.2

Alocação de Perdas às Cargas

Para alocar as perdas de um sistema de potência para as cargas, estas

são modeladas como fontes de corrente com valor negativo (porque consomem

corrente) e os geradores são modelados como impedância constante (como

103

mostrado na Figura 5.3). Portanto, a matriz de impedância do sistema é

modificada com a adição das impedâncias dos geradores para a nova matriz

impedância BarraZ (matriz impedância do sistema considerando os geradores

modelados como impedâncias constantes). Assim sendo, pode-se determinar o

“fornecimento de potência” das cargas e a “potência consumida” pelos geradores

como uma função não-linear das fontes de corrente equivalentes das cargas.

Figura 5.3 - Sistema de Potência Remodelado (Cargas como Fontes de Corrente)

a) Fornecimento de Potência das Cargas

Para um sistema de potência de N fontes de corrente, tem-se:

=__

BarraTForS I Z I (5.37)

Desenvolvendo (5.37), tem-se:

+

+

+++ + + + +

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

1,1 1, 1, 1 1, 1

,1 , , 1 ,1 1

11,1 1, 1, 1 1,

,1 , , 1 ,

[ | ]

NC NC N

NC NC NC NC NC NC N NCFor NC NC N

NCNC NC NC NC NC NC N

N N NC N NC N N N

Z Z Z Z I

Z Z Z Z IS I I I I

IZ Z Z Z

IZ Z Z Z

(5.38)

Observa-se que o fornecimento de potência depende somente das fontes

de corrente equivalentes das cargas (valores negativos), dado que os geradores

104

são representados por impedâncias equivalentes (injeções de corrente nulas).

Assim, (5.38) pode ser reescrita como:

+

+

+ + + + +

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

1,1 1, 1, 1 1,1

,1 , , 1 ,1

1,1 1, 1, 1 1,

,1 , , 1 ,

[ | 0 0]0

0

NC NC N

NC NC NC NC NC NC NNC

For NCNC NC NC NC NC NC N

N N NC N NC N N

Z Z Z Z I

Z Z Z Z IS I IZ Z Z Z

Z Z Z Z

(5.39)

Realizando as operações em (5.39) e explicitando as componentes reais

e imaginárias das correntes:

⎡ ⎤= − + + + + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − + + + + + + + +⎣ ⎦

+ − + + + + + +

11 1 11 1 1 1

11 1

1 1 1

[ ] ( ) ... ( ) ... ( ) ...

[ ] ( ) ... ( ) ... ( ) ...

[ ] ( ) ... ( ) ... (

k NCFor r i r i kr ki NCr NCi

k kk NCkkr ki r i kr ki NCr NCi

kNCNCr NCi r i NC kr ki N



I jI I jI Z I jI Z I⎡ ⎤+⎣ ⎦) NCNCCr NCijI Z

(5.40)

b) Consumo de Potência dos Geradores

O consumo do sistema, função não-linear das correntes injetadas (C

fontes), é igual ao somatório do consumo dos geradores. O procedimento para

determinar o consumo de um gerador (impedância) é similar ao procedimento

clássico para determinação do consumo de potência apresentado no Capítulo 4.

A expressão para o consumo de um gerador j é:

________

ZGj ( )( )ZGjZGj ZGjS I I= (5.41)

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

jN jNj1 j j1 jk1 1ZGj ... ... . ... ... ZG

ZGj ZGj ZGj ZGj ZGj ZGjC Ck NC NCk kZ I Z IZ I Z I Z I Z I

S

(5.42)

105

⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

j1 j jNZGj 1 1

j1 j jN1 1

( ) ... ( ) ... ( ) .ZGj ZGj ZGj

( ) ... ( ) ... ( ) ZGjZGj ZGj ZGj

k Cr i kr ki NCr NCi

k Cr i kr ki NCr NCi


Z Z ZI jI I jI I jI

(5.43)

Finalmente, pode-se expressar o consumo total como um somatório dos

consumos de todos os geradores (modelados como impedâncias):

= ∑NG

ZGj 1 1j=1

( , ,..., , ,..., , )Con r i kr ki NCr NCiS S I I I I I I (5.44)

onde:

ZGj 1 1( , ,..., , ,..., , )r i kr ki NCr NCiS I I I I I I : consumo de uma barra de geração j em função

das componentes real e imaginária das fontes de corrente;

NG : número total de geradores;

NC : número total de cargas.

c) Perdas

Obtidos o fornecimento e o consumo de potência, o cálculo das perdas

do sistema é simplesmente uma operação de subtração:

[ ]For ConPerdas S S= − (5.45)

Propõe-se alocar a metade do total das perdas para as cargas:

1 [ ]2Car For ConPerdas S S= − (5.46)

O procedimento para determinar as participações unitárias das

componentes reais e imaginárias das fontes de corrente equivalentes das cargas

é similar ao apresentado na primeira etapa.

A participação unitária da componente real (PUR) da carga k ( krI ) nas

perdas do sistema é:

106

1

0

( )CarCkr Per

krt

Perdas tIPUR dt

I→=

∂=

∂∫ (5.47)

1 1

0 0

( ) ( )12

For ConCkr Per

kr krt t

S tI S tIPUR dt dt

I I→= =

⎡ ⎤∂ ∂= −⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

(5.48)

Primeiro termo da PUR dado em (5.48)

= =

∂ ⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦∂∫ ∫1 1

110 0

( )2( ) ... 2( ) ... 2( )For

k kk kNCr kr NCrkrt t


I

(5.49)

Integrando, tem-se:

=

∂= + + + +

∂∫1

110

( )... ...For

k kk kNCr kr NCrkrt

S tIdt I Z I Z I Z

I

(5.50)

Segundo termo da PUR dado em (5.48)

1 1ZGs

s 10 0

( ) ( )GCon

kr krt t

S tI S tIdt dt

I I== =

∂ ∂=

∂ ∂∑∫ ∫

(5.51)


podem ser realizadas para apenas um elemento ( ZGsS ), e em seguida,


=

∂=

∂

⎡ ⎛ ⎞⎢ + + + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎢⎛ ⎞⎛ ⎞

+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎝ ⎠⎣

∫1

ZGs

0

j j1 j jN1 1

j j1 j jN1 1

( )

( ) ... ( ) ... ( )ZGs ZGs ZGs ZGs

( ) ... ( ) ... ( )ZGs ZGs ZGs ZGs

krt

k k Cr i kr ki NCr NCi


S tIdt

I

Z Z Z ZtI jtI tI jtI tI jtI

Z Z Z ZtI jtI tI jtI tI jtI=

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

∫1

0ZGs

t

dt

(5.52)

Integrando, tem-se:

107

=

∂=

∂

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫1

ZGs

0

j j1 j jN1 1

( )

2. ( ) ... ( ) ... ( ) ZGsZGs ZGs ZGs ZGs

krt


S tIdt

I

Z Z Z Zreal tI jtI tI jtI tI jtI (5.53)


Logo, substituindo-se os resultados do primeiro e segundo termos de (5.48),

obtém-se a PUR da carga k ( krI ) nas perdas do sistema.

A participação unitária da componente imaginária (PUI) da carga k ( kiI )

nas perdas do sistema é:

1

0

( )CarCki Per

kit

Perdas tIPUI dt

I→=

∂=

∂∫ (5.54)

1 1

0 0

( ) ( )12

For ConCki Per

ki kit t

S tI S tIPUI dt dt

I I→= =

⎡ ⎤∂ ∂= −⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

(5.55)

Primeiro termo da PUI dado em (5.55)

= =

∂ ⎡ ⎤= − − − − −⎣ ⎦∂∫ ∫1 1

110 0

( )2( ) ... 2( ) ... 2( )For k kk kNCi ki NCi

kit t


I

(5.56)

Integrando, tem-se:

=

∂= − − − − −

∂∫1

110

( )... ...For

k kk kNCi ki NCikit

S tIdt I Z I Z I Z

I

(5.57)

Segundo termo da PUI dado em (5.55)

== =

∂ ∂=

∂ ∂∑∫ ∫1 1

ZGs

s 10 0

( ) ( )NGCon

ki kit t

S tI S tIdt dt

I I

(5.58)

108


podem ser realizadas para apenas um elemento ( ZGsS ), e em seguida,


=

∂=

∂

⎡ ⎛ ⎞⎢ + + + + + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎢ ⎛ ⎞⎛ ⎞

+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣

∫1

ZGs

0

j j1 j jN1 1

j j1 j jN1 1

( )

( ) ... ( ) ... ( )ZGs ZGs ZGs ZGs

( ) ... ( ) ... ( )ZGs ZGs ZGs ZGs

kit



S tIdt

I

Z Z Z Zj tI jtI tI jtI tI jtI

Z Z Z Zj tI jtI tI jtI tI jtI=

⎤⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

∫1

0ZGs

t

dt

(5.59)

Integrando, tem-se:

=

∂=

∂

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ + + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫1

ZGs

0

j j1 j jN1 1

( )

2. ( ) ... ( ) ... ( ) ZGsZGs ZGs ZGs ZGs

kit


S tIdt

I

Z Z Z Zimag tI jtI tI jtI tI jtI

(5.60)


Logo, substituindo-se os resultados do primeiro e segundo termos em (5.55),

obtém-se a PUI da carga k ( kiI ) nas perdas do sistema.

A participação total da carga k é a soma da participação unitária da

componente real e imaginária das fontes equivalentes, previamente multiplicadas

por seus respectivos montantes:

Ck Per Ckr Ckr Per Cki Cki PerPT I PUR I PUI→ → →= ⋅ + ⋅

(5.61)

109

5.4 Alocação de Perdas nas Linhas de Transmissão

Por motivos de eficiência econômica e para prover sinais econômicos

adequados tanto para os agentes do mercado como para o acesso aberto à

transmissão, faz-se importante conhecer o uso real e preciso que cada agente

do mercado faz de cada ramo do sistema de transmissão. Deste modo, o

método proposto na Seção 5.3 é arranjado de maneira a ser aplicado para cada

linha de transmissão.

Considere-se a linha de transmissão na Figura 5.4 na qual a corrente que

flui através dela depende unicamente de dois geradores A e B, e as perdas na

linha podem ser expressas em função das parcelas de corrente destes

geradores que circulam pela linha:

( ) (( ) ( ))Linha Linha Linha Linha A B A B LinhaS I I Z I I I I Z= ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅

(5.62)

Figura 5.4 - Linha que Dissipa Potência Elétrica Decorrente da Contribuição de Duas Fontes de Corrente Equivalentes de Geração

Explicitando as componentes ativa e reativa das correntes, tem-se:

[ ] [ ]( ) ( ) . ( ) ( ) .Linha Ar Br Ai Bi Ar Br Ai Bi LinhaS I I j I I I I j I I Z⎡ ⎤= + + + + − +⎣ ⎦

(5.63)

Realizando o produto interno, tem-se:

110

2 2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 .Linha Ar Br Ar Br Ai Bi Ai Bi LinhaS I I I I I I I I Z⎡ ⎤= + + ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅⎣ ⎦

(5.64)

onde:

LinhaS : potência complexa dissipada na linha, que é função das componentes

reais e imaginárias das fontes;

LinhaZ : impedância da linha;

AI : parcela de corrente complexa da fonte A que circula pela linha;

BI : parcela de corrente complexa da fonte B que circula pela linha;

ArI : componente real da parcela de corrente complexa da fonte A que

circula pela linha;

BrI : componente real da parcela de corrente complexa da fonte B que

circula pela linha;

AiI : componente imaginária da parcela de corrente complexa da fonte A

que circula pela linha;

BiI : componente imaginária da parcela de corrente complexa da fonte B

que circula pela linha.

Como explicado na seção anterior, as equações que representam as

perdas na linha da transmissão podem ser expressas tanto em função das fontes

de corrente equivalente dos geradores, como em função das fontes de corrente

equivalentes das cargas.

Considerando as cargas como fontes de corrente (valores negativos), de

acordo com a Figura 5.5, é possível obter uma expressão das perdas na linha

( LinhaS ) em função das correntes das cargas, cuja expressão é:

111

( )

(( ) ( ))Linha Linha Linha Linha

C D C D Linha

S I I Z

I I I I Z

= ⋅ ⋅

= + ⋅ + ⋅ (5.65)

Figura 5.5 - Linha que Dissipa Potência Elétrica Decorrente da Contribuição de Duas Fontes de Corrente Equivalentes de Carga

Realizando o produto interno em (5.65), tem-se:

2 2

2 2

( ) ( ) 2.

( ) ( ) 2Cr Dr Cr Dr

Linha LinhaCi Di Ci Di

I I I IS Z

I I I I

⎡ ⎤+ + ⋅ ⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥+ + + ⋅ ⋅⎣ ⎦

(5.66)

onde:

CI : parcela de corrente complexa da fonte de corrente equivalente da

carga C que circula pela linha;

DI : parcela de corrente complexa da fonte de corrente equivalente da

carga D que circula pela linha;

CrI : componente real da parcela de corrente complexa da fonte de corrente

equivalente da carga C que circula pela linha;

DrI : componente real da parcela de corrente complexa da fonte de corrente

equivalente da carga D que circula pela linha;

CiI : componente imaginária da parcela de corrente complexa da fonte de

corrente equivalente da carga C que circula pela linha;

112

DiI : componente imaginária da parcela de corrente complexa da fonte de

corrente equivalente da carga D que circula pela linha.

Conforme determinado na Seção 1.2.1, as perdas são de

responsabilidade tanto dos geradores quanto das cargas, isto é, atribui-se 50%

do total para cada categoria:

12L G LinhaS S− =

(5.67)

12L C LinhaS S− =

(5.68)

a) Alocação de Perdas aos Geradores via Método de Aumann-Shapley

Para alocar as perdas das linhas aos geradores, estes são modelados

como injeções de corrente e as cargas como admitâncias. Aplica-se o método de

Aumann-Shapley para o “jogo de alocação de perdas” com 2 participantes ( AI

, BI ), que podem ser desdobrados em 4 participantes considerando as

componentes reais e imaginárias de cada corrente como participantes

independentes. Portanto, o conjunto de todos os jogadores é N =

ArI , BrI , AiI , BiI . Com este conjunto, utiliza-se (2.15) para obter a participação

unitária de cada jogador.

Participação Unitária de ArI :

( )−

−→

=

∂=

∂∫1

0

( , , , )Ar L G

L G Ar Br Ai BiI S

Art

S tI tI tI tIPUR dt

I (5.69)

onde:

−

⎡ ⎤+ + ⋅ ⋅= ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥+ + + ⋅ ⋅⎣ ⎦

2 2

2 2

( ) ( ) 21( , , , )2 ( ) ( ) 2

Ar Br Ar BrL G Ar Br Ai Bi Linha

Ai Bi Ai Bi

I I I IS I I I I Z

I I I I

113

Calculando a derivada em (5.69), tem-se:

( ) [ ]−→

=

= + ⋅∫1

0

1 2( ) 2( )2Ar L G Ar Br LinhaI S

t

PUR tI tI Z dt

(5.70)

Integrando (5.70), tem-se:

( )−→⎡ ⎤= + ⋅⎣ ⎦

1.2Ar L G Ar Br LinhaI SPUR I I Z

(5.71)

Finalmente, para determinar a participação total do jogador ArI nas

perdas da linha, multiplica-se a participação unitária pelo montante do jogador,

obtendo-se:

( )−→⎡ ⎤= + ⋅⎣ ⎦

1. .2Ar L GAr Ar Ar Br LinhaI SI PUR I I I Z

(5.72)

Analogamente, pode-se determinar a participação total nas perdas dos

outros jogadores:

( )−→⎡ ⎤⋅ = ⋅ + ⋅⎣ ⎦

12Br L GBr Br Br Ar LinhaI SI PUR I I I Z

(5.73)

( )−→⎡ ⎤⋅ = ⋅ + ⋅⎣ ⎦

12Ai L GAi Ai Ai Bi LinhaI SI PUI I I I Z

(5.74)

( )−→⎡ ⎤⋅ = ⋅ + ⋅⎣ ⎦

12Bi L GBi Bi Bi Ai LinhaI SI PUI I I I Z

(5.75)

Observa-se que a soma de todas as contribuições é igual à metade do

total de perdas elétricas, como desejado.

Pelo exposto anteriormente, é possível generalizar a participação unitária

e a participação total nas perdas da componente real de uma fonte de corrente

114

equivalente de um gerador localizado na barra k, com NG fontes de corrente

contribuindo para a corrente que circula na linha.

Participação Unitária de KrI :

( )−→⎡ ⎤= + + + + ⋅⎣ ⎦1

1 ... ...2Kr L G r Kr NGr LinhaI SPUR I I I Z

(5.76)

A participação total é obtida multiplicando a participação unitária pelo

montante do jogador:

( )−→⎡ ⎤= + + + + ⋅⎣ ⎦1

1. . ... ...2Kr L GKr Kr r Kr NGr LinhaI SI PUR I I I I Z

(5.77)

De forma análoga é obtida a participação unitária nas perdas da

componente imaginária da fonte de corrente equivalente do gerador da barra k.

Participação Unitária de KiI :

( )−→⎡ ⎤= + + + + ⋅⎣ ⎦1

1 ... ...2Ki L G i Ki NGi LinhaI SPUI I I I Z

(5.78)

Participação Total de KiI :

( )−→⎡ ⎤⋅ = ⋅ + + + + ⋅⎣ ⎦1

1 ... ...2Ki L GKi Ki i Ki NGi LinhaI SI PUI I I I I Z

(5.79)

b) Alocação de Perdas às Cargas via Método de Aumann-Shapley

Para alocar as perdas da rede às NL cargas do sistema, estas são

modeladas como injeções de corrente (valores negativos) e os geradores como

admitâncias. Assim sendo, pode-se determinar as perdas da linha como uma

função não-linear das fontes de corrente equivalentes das cargas, como já feito.

115

Esta estratégia é válida no ponto de operação em análise (fotografia da

operação do sistema).

O procedimento para alocar as perdas da linha às cargas é análogo ao

apresentado na seção anterior para os geradores. Assim, a participação total nas

perdas da componente real da fonte de corrente equivalente da barra de carga j

é:

( )−→⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦1

1. . ... ...2Jr L GJr Jr r Jr NLr LinhaI SI PUR I I I I Z

(5.80)

A participação total nas perdas da componente imaginária da fonte de

corrente equivalente da barra de carga j é:

( )−→⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦1

1. . ... ...2Ji L GJi Ji i Ji NLi LinhaI SI PUI I I I I Z

(5.81)

5.4.1 Contra-Fluxos e Alocações Negativas

Algumas fontes de corrente individuais contribuem com fluxos para a

formação do fluxo dominante em uma linha, enquanto outras fontes contribuem

com fluxos na direção oposta, denominados contra-fluxos. Fluxos com o mesmo

sentido do fluxo principal incrementam as perdas totais do sistema, enquanto os

contra-fluxos reduzem as perdas totais do sistema [Gross, 2000]. A existência de

fluxos e contra-fluxos pode ser facilmente observada considerando-se a equação

I = YV, onde I é o vetor das injeções de corrente, V é o vetor das tensões nodais

e Y é a matriz de admitâncias de barra. Através desta equação, é possível

observar os sentidos da corrente na rede quando da aplicação de cada fonte de

corrente, uma de cada vez. Como a equação é linear, a superposição de fontes

é válida.

116

Portanto, a injeção de corrente real ou imaginária de uma unidade

geradora pode colaborar para a redução das perdas de uma linha do sistema de

transmissão [Chowdhury, 2001].

Nesta seção é discutido o efeito do contra-fluxo e a compensação pela

diminuição das perdas, isto é, a alocação negativa de custo. Para ilustrar este

fenômeno, considera-se a Figura 5.6 onde é representado um fluxo devido à

contribuição de duas fontes de corrente, onde há uma corrente fixa IA = 10 A, e

uma corrente variável IB que varia de 0 a 10 A.

Figura 5.6 - Linha que Dissipa Potência Elétrica Decorrente da Contribuição de Duas Fontes de Corrente

As perdas elétricas do sistema mostrado na Figura 5.6 têm a fórmula:

2

Linha A B LinhaS I I Z⎡ ⎤= −⎣ ⎦

(5.82)

Considerando, sem perda de generalidade, a impedância da linha

1 0LinhaZ j= + Ω, quando I B = 0 têm-se uma perda inicial de 100 W, toda alocada

ao agente A, pois não existem outros usuários da linha. Aplicando a teoria de

Aumann-Shapley, obtêm-se as expressões de alocação:

→⎡ ⎤⋅ = − ⋅ −⎣ ⎦( )B LinhaB I S B A BI PUR I I I

(5.83)

→⎡ ⎤⋅ = ⋅ −⎣ ⎦( )A LinhaA I S A A BI PUI I I I

(5.84)

A expressão (5.83) representa as perdas alocadas ao agente B,

enquanto (5.84) representa as perdas alocadas ao agente A.

117

Quando o agente B aumenta sua corrente de 0 a 10A, tem-se a evolução

da alocação de perdas mostrada na Tabela 5.1. As colunas 2 e 3 representam

as alocações aos agentes A e B, respectivamente. A coluna 4 mostra as perdas

totais da linha.

Claramente, a participação de IB causa um contra-fluxo que resulta na

redução das perdas totais, beneficiando aos dois agentes.

Por exemplo, quando IB = 1, apesar do agente A ter que pagar uma

compensação para B equivalente a 9 W, este foi claramente beneficiado com a

entrada de IB, pois teve sua alocação reduzida de 100 W para 90 W, incluindo já

o custo de compensação para o agente B.

Tabela 5.1 - Dados das Barras do Sistema-Teste de 2 Barras

IB →( ).A LinhaA I SI PUR →( ).

B LinhaB I SI PUI PT

0 100 0 100 1 90 -9 81 2 80 -16 64 3 70 -21 49 4 60 -24 36 5 50 -25 25 6 40 -24 16 7 30 -21 9 8 20 -16 4 9 10 -9 1

10 0 0 0

Na Figura 5.7 ilustra-se o comportamento das alocações aos agentes.

Observa-se na Tabela 5.1 e na Figura 5.7 que o beneficio (economia) para o

agente A tem comportamento crescente linear com o crescimento de IB.

118

Figura 5.7 - Alocação de Perdas às Fontes A e B

5.5 Efeito Capacitivo das Linhas de Transmissão nas Perdas do Sistema

Os efeitos capacitivos das linhas de transmissão injetam somente

potência reativa na rede, e têm como única implicação a diminuição das perdas

reativas do sistema de transmissão e, conseqüentemente, a diminuição das

responsabilidades dos geradores e das cargas nas perdas reativas.

Para determinar como afetam as capacitâncias shunt das linhas, deve-se

formular as perdas reativas destas capacitâncias em função das correntes reais

e imaginárias dos geradores e cargas.

a) Alocação de Perdas Reativas das Capacitâncias Shunt das Linhas aos

Geradores via Método de Aumann-Shapley

Para alocar as perdas reativas das capacitâncias shunt de uma linha aos

geradores, estes são modelados como injeções de corrente e as capacitâncias

como reatância e, desta maneira, é possível formular a potência reativa

fornecida pelas reatâncias de linha ao sistema:

= ⋅ ⋅( )Linha LinhaLinha Xc Xc LinhaQc I I Xc

(5.85)

119

= + + + + ⋅ + + + + ⋅1 1( ... ... ) ( ... ... )Linha K NG K NG LinhaQc I I I I I I Xc

(5.86)

= + + + + + + + ⋅

− + + − + + − ⋅

1 1

1 1

(( ) ... ( ) ... ( ))

(( ) ... ( ) ... ( ))Linha r i Kr Ki NGr NGi

r i Kr Ki NGr NGi Linha

Qc I jI I jI I jI

I jI I jI I jI Xc (5.87)

onde:

LinhaQc : potência reativa fornecida pela capacitância shunt da linha;

LinhaXc : reatância shunt da linha;

KI : parcela de corrente complexa da fonte K que circula pela reatância;

KrI : componente real da parcela de corrente complexa da fonte K que circula

pela reatância;

KiI : componente imaginária da parcela de corrente complexa da fonte K que

circula pela reatância.

Observa-se que a formulação da potência reativa na reatância shunt da

linha tem o mesmo formato que as perdas nas linhas. Portanto, a aplicação da

teoria de Aumann-Shapley também terá um resultado similar. A seguir são

apresentados os resultados da aplicação da teoria de Aumann-Shapley, isto é,

as participações unitárias das componentes reais e imaginárias das fontes de

corrente equivalente dos geradores nas perdas reativas da reatância shunt da

linha.

Participação Unitária de KrI :

( )→⎡ ⎤= + + + + ⋅⎣ ⎦1

1 ... ...2Kr Linha r Kr NGr LinhaI QcPUR I I I Xc

(5.88)

A participação total é obtida multiplicando-se a participação unitária pelo

montante do jogador:

( )→⎡ ⎤= + + + + ⋅⎣ ⎦1

1. . ... ...2Kr LinhaKr Kr r Kr NGr LinhaI QcI PUR I I I I Xc

(5.89)

120

De forma análoga é obtida a participação unitária nas perdas reativas da

reatância shunt da componente imaginária da fonte de corrente equivalente do

gerador da barra k.

Participação Unitária de KiI :

( )→⎡ ⎤= + + + + ⋅⎣ ⎦1

1 ... ...2Ki Linha i Ki NGi LinhaI QcPUR I I I Xc

(5.90)

Participação Total de KiI :

( )→⎡ ⎤⋅ = ⋅ + + + + ⋅⎣ ⎦1

1 ... ...2Ki LinhaKi Ki i Ki NGi LinhaI QcI PUR I I I I Xc

(5.91)

b) Alocação de Perdas Reativas das Capacitâncias Shunt das Linhas às

Cargas via Método de Aumann-Shapley

Para alocar as perdas reativas das capacitâncias shunt de uma linha às

NL cargas do sistema, as cargas são modeladas como injeções de corrente

(valores negativos) e as capacitâncias shunt das linhas como reatâncias. Assim,

pode-se determinar as perdas reativas de cada capacitância shunt como uma

função não-linear das fontes de corrente equivalentes das cargas.

O procedimento para alocar as perdas reativas das capacitâncias shunt

às cargas é análogo ao realizado para os geradores, apresentado anteriormente.

Assim, a participação total nas perdas reativas da reatância shunt da

componente real da fonte de corrente equivalente da barra de carga j é:

( )→⎡ ⎤= + + + + ⋅⎣ ⎦1

1. . ... ...2Jr LinhaJr Jr r Jr NLr LinhaI QcI PUR I I I I Xc

(5.92)

A participação total nas perdas reativas das capacitâncias shunt da

componente imaginária da fonte de corrente equivalente da barra de carga j é:

121

( )→⎡ ⎤= + + + + ⋅⎣ ⎦1

1. . ... ...2Ji LinhaJi Ji i Ji NLi LinhaI QcI PUR I I I I Xc

(5.93)

O efeito das capacitâncias shunt de linhas somente influencia as perdas

reativas e tem valores negativos que ajudam a diminuir as responsabilidades dos

geradores e cargas nas perdas reativas. Também deve-se mencionar que estes

valores são relativamente pequenos mas, quando somadas, tem um valor

apreciável que deve ser levado em conta para poder fechar o balanço de

potência reativa.

5.6 Conclusões

Neste capítulo foram apresentados dois métodos, um para resolver o

problema de alocação das cargas complexas, e outro para resolver o problema

de alocação das perdas complexas, ambos com abordagens semelhantes

porque os elementos que compõem as linhas e cargas têm características

similares.

O problema de alocação de perdas complexas foi abordado de duas

maneiras. Primeiro considerando o sistema de transmissão como um bloco e

alocando as perdas totais do sistema para geradores e cargas. A segunda

abordagem consiste em alocar as perdas complexas de cada linha de

transmissão para geradores e cargas. Ambas as abordagens chegam a um

mesmo resultado, isto é, as perdas alocadas para geradores e cargas são iguais

em ambos os métodos, com a única diferença que na segunda abordagem se

podem determinar as participações dos geradores e cargas em cada linha.

Para evidenciar melhor a influência da geração de potência ativa nas

perdas de potência reativa e demanda de potência reativa, assim como a

influência da geração de potência reativa nas perdas de potência ativa e

demanda de potência ativa, apresentaram-se os conceitos de correntes reais e

imaginárias. Os métodos propostos baseiam-se na teoria de circuitos elétricos

em combinação com a teoria de Aumann-Shapely, permitindo identificar as

contribuições das componentes reais e imaginárias nas cargas complexas,

assim como nas perdas complexas.

6 Aplicação do Método Proposto para Alocação de Cargas e Perdas Complexas

6.1 Introdução

O método proposto para determinar a responsabilidade dos geradores e

cargas nas perdas do sistema de transmissão e para calcular a transferência de

potência dos geradores para as cargas foi implementado computacionalmente

em ambiente MATLAB®, versão 2007. Os dados iniciais são os resultados da

solução de um fluxo de potência, cujo algoritmo foi implementado previamente

no mesmo ambiente, com o objetivo de manter precisão nos valores de tensões

e ângulos das barras. Para mostrar o desempenho do método, apresenta-se a

seguir um exemplo numérico para o sistema-teste de 4 barras (ver Figura 6.1)

analisado no artigo [Abdelkader, 2007], onde pode-se observar melhor a

influência existente da geração de potência ativa nas perdas de potência reativa

e demanda de potência reativa, assim como a influência da geração de potência

reativa nas perdas de potência ativa e demanda de potência ativa. Os dados das

barras do sistema-teste 4 barras são apresentados na Tabela 6.1 e os dados dos

fluxos nas linhas na Tabela 6.2.

Figura 6.1 - Sistema-Teste de 4 Barras

123

Tabela 6.1 - Dados das Barras do Sistema-Teste de 4 Barras

Barra Tipo de

barra

Tensão (pu)

Ângulo (graus)

P (MW)

Q (Mvar)

1 Slack 1,07 0 399,46 194,62 2 PV 1,05 -5,24 114 119,93 3 PQ 0,925 -15,22 -300 -100 4 PQ 0,98 -10,11 -200 -80

Tabela 6.2 - Dados dos Fluxos das Linhas do Sistema-Teste de 4 Barras

De Para Pkm (MW)

Qkm (Mvar)

Pmk (MW)

Qmk (Mvar)

Ploss (MW)

Qloss (Mvar)

1 2 60,94 7,24 -60,2 -1,61 0,74 5,63 1 3 223,56 135,18 -217,24 -62,03 6,32 73,15 1 4 114,96 52,21 -112,08 -28,61 2,88 23,6 2 4 174,2 121,54 -171,66 -99,28 2,54 22,26 3 4 -82,76 -37,97 83,74 47,88 0,98 9,92

Total 13,46 134,56

6.2 Alocação de Carga Complexa

Partindo da solução de um fluxo de potência para o sistema-teste de 4

barras, onde as cargas (modeladas como potência constante) são remodeladas

como impedâncias constantes e os geradores como fontes de corrente,

calculam-se as correntes nas cargas e, em seguida, determinam-se as

expressões de potência nas mesmas (função não-linear das correntes). Uma vez

obtidas estas equações, aplica-se a teoria de Aumann-Shapley para determinar

quanto da potência fornecida pelos geradores chega às cargas.

6.2.1 Cálculo da Corrente na Carga

Após remodelar as cargas, os geradores e modificar os elementos da

matriz de impedância do sistema, transformando-a em uma nova matriz de

impedância BarraZ , utilizam-se os elementos desta nova matriz para determinar

124

a parcela das fontes de corrente que chegam a uma carga qualquer, aplicando-

se o princípio da superposição.

31 323 1 2ZC3 ZC3 ZC3 ZC3

V Z I Z II = = + (6.1)

41 424 1 2ZC4 ZC4 ZC4 ZC4

V Z I Z II = = +

(6.2)

6.2.2 Cálculo de Potência Consumida por uma Carga

As potências consumidas pelas cargas são funções não-lineares das

fontes de corrente, onde as fontes de corrente podem ser desdobradas em duas

componentes: real e imaginária. Assim, a potência consumida nas cargas

considerando as componentes reais e imaginárias têm as expressões:

31 32 31 323 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ZC3

ZC3 ZC3 ZC3 ZC3ZC r i r i r i r iZ Z Z ZS I jI I jI I jI I jI

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i (6.3)

41 42 41 424 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ZC4

ZC4 ZC4 ZC4 ZC4ZC r i r i r i r iZ Z Z ZS I jI I jI I jI I jI

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i

(6.4)

A determinação da potência transferida dos geradores para as cargas é

efetuada calculando-se, inicialmente, as participações unitárias de cada um dos

componentes das fontes de corrente nas potências consumidas pelas cargas,

isto é, calculando-se a PUR e a PUI dos geradores G1 ( 1rI ) e G2 ( 2rI ) na

potência consumida pelas barras de cargas 3 e 4. Os resultados analíticos são:

125

a) Participação Unitária da Componente Real (PUR) do Gerador G1 na

Potência Consumida pelas Cargas 3 e 4

ZC3

31 31 321 1 1 2 2( ) ( ) ZC3

ZC3 ZC3 ZC3G r S r i r iZ Z ZPUR real I jI I jI→

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.5)

ZC4

41 41 421 1 1 2 2( ) ( ) ZC4


⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.6)

b) Participação Unitária da Componente Real (PUR) do Gerador G2 na


ZC3

32 31 322 1 1 2 2( ) ( ) ZC3


⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.7)

ZC4

42 41 422 1 1 2 2( ) ( ) ZC4


⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.8)

c) Participação Unitária da Componente Imaginária (PUI) do Gerador G1 na


ZC3

31 31 321 1 1 2 2( ) ( ) ZC3

ZC3 ZC3 ZC3G i S r i r iZ Z ZPUI imag I jI I jI→

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.9)

ZC4

41 41 421 1 1 2 2( ) ( ) ZC4


⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.10)

d) Participação Unitária da Componente Imaginária (PUI) do Gerador G2 na


ZC3

32 31 322 1 1 2 2( ) ( ) ZC3


⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.11)

126

ZC4

42 41 422 1 1 2 2( ) ( ) ZC4


⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + + + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(6.12)

A participação total das fontes de corrente equivalentes dos geradores

nas potências consumidas pelas cargas é obtida somando-se as participações

unitárias da componente real e imaginária, previamente multiplicadas por seus

respectivos montantes:

ZCj ZCj ZCjGk S kr Gkr S ki Gki SPT I PUR I PUI→ → →= ⋅ + ⋅

(6.13)

Substituindo-se os valores numéricos em (6.5) a (6.13), obtêm-se os

resultados finais. Na Tabela 6.3 são apresentadas as participações das

componentes reais das fontes de corrente equivalentes dos geradores na

potência consumida pelas cargas e na Tabela 6.4 apresentam-se as

participações das componentes imaginárias. Finalmente, a participação total das

fontes de corrente na potência consumida pelas cargas é apresentada na Tabela

6.5.

Tabela 6.3 - Participação das Componentes Reais das Fontes de Corrente Equivalentes dos Geradores na Potência Consumida pelas Cargas do Sistema-

Teste de 4 Barras

Gerador 1 Gerador 2

ZCj1 1r G r SI PUR →⋅ ZCj2 2r G r SI PUR →⋅

Total

3ZCS

168.22 MW + 56.07 Mvar

44.07 MW + 14.69 Mvar

212.29 MW + 70.76 Mvar

4ZCS

110.58 MW + 44.23 Mvar

28.96 MW + 11.58 Mvar

139.54 MW + 55.82 Mvar

Os resultados mostrados na Tabela 6.3 podem ser interpretados da

seguinte maneira: a componente real da fonte de corrente equivalente do

gerador G1 ( 1rI ) tem uma participação no consumo da carga 3 ( 3ZCS ) de 168,22

MW de potência ativa e 56,07 Mvar de potência reativa; na carga 4 ( 4ZCS ) tem

participação de 110,58 MW de potência ativa e 44,23 Mvar de potência reativa.

127

Analogamente, a mesma interpretação é empregada para a participação da

componente real da fonte de corrente equivalente do gerador G2 ( 2rI ) no

consumo das cargas 3 e 4.

Tabela 6.4 - Participação das Componentes Imaginárias das Fontes de Corrente Equivalentes dos Geradores na Potência Consumida pelas Cargas do Sistema-

Teste de 4 Barras

Gerador 1 Gerador 2

→⋅ZCj1 1i G i SI PUI →⋅

ZCj2 2i G i SI PUI Total

3ZCS 54.24 MW + 18.08 Mvar

33.47 MW + 11.16 Mvar

87.71 MW + 29.24 Mvar

4ZCS 33.89 MW + 13.56 Mvar

26.57 MW + 10.63 Mvar

60.46 MW + 24.18 Mvar

Na Tabela 6.4 é apresentada a participação das componentes

imaginárias das fontes de corrente equivalente dos geradores G1 e G2 no

consumo das cargas 3 e 4, onde podem ser observados os valores numéricos

destas participações. Por exemplo, a componente imaginária da fonte

equivalente do gerador G1 ( 1iI ) tem uma participação no consumo da carga 3

( 3ZCS ) de 54,24 MW e 18,08 Mvar, enquanto sua participação na carga 4

( 4ZCS ) é de 33,89 MW e 13,56 Mvar. Seguindo a mesma lógica, observa-se a

participação da componente imaginária da fonte equivalente do gerador G2 ( 2iI )

no consumo das cargas 3 e 4.

Tabela 6.5 - Participação das Fontes de Corrente Equivalentes dos Geradores na Potência Consumida pelas Cargas do Sistema-Teste de 4 Barras

Gerador 1 Gerador 2

ZCj1 1r G r SI PUR →⋅

+ →⋅

ZCj1 1i G i SI PUI

ZCj2 2r G r SI PUR →⋅

+ →⋅

ZCj2 2i G i SI PUI

Total

3ZCS 222.46 MW + 74.15 Mvar

77.54 MW + 25.85 Mvar

300.00 MW + 100.00 Mvar

4ZCS 144.47 MW + 57.79 Mvar

55.53 MW + 22.21 Mvar

200.00 MW + 80.00 Mvar

Na Tabela 6.5 apresenta-se a soma das participações das componentes

de corrente equivalentes dos geradores no consumo das cargas, obtendo-se,

desta maneira, a participação dos geradores no consumo das cargas. Os valores

apresentados nesta tabela são fáceis de interpretar. Por exemplo, a participação

da corrente equivalente do gerador G1 ( 1I ) no consumo da carga 3 ( 3ZCS ) é de

128

222,46 MW / 74,15 Mvar, enquanto no consumo da carga 4 ( 4ZCS ) é de 144,47

MW / 57,79 Mvar. Similarmente, observa-se a participação da corrente

equivalente do gerador G2 ( 2I ) no consumo das cargas 3 e 4.

Somando-se as participações totais das fontes de corrente equivalentes

destes dois geradores no consumo da barra de carga 3 ( ZC3S ), tem-se um valor

de 300,00 MW + 100,00 Mvar, que corresponde à potencia requerida pela carga

3. Da mesma maneira, a soma das participações dos geradores no consumo da

barra de carga 4 é igual à potência requerida (200,00 MW + 80,00 Mvar).

Comparação

O método proposto é testado e comparado com o desempenho do

método apresentado em [Kirschen, 1997], usando-se o sistema-teste da Figura

6.1. As principais diferenças entre os métodos são:

i) Critério de alocação: o método proposto determina a contribuição dos

geradores nas cargas usando a teoria de circuitos, considerando as

interações existentes entre as correntes injetadas pelos geradores. Por

outro lado, o método apresentado em [Kirschen, 1997] determina a

contribuição de potência dos geradores nas cargas por meio do principio

da divisão proporcional dos fluxos de potência. Embora esta hipótese não

possa ser comprovada nem contestada, parece razoável.

ii) Distribuição da alocação: no método proposto, está implícita a equação

I = Y V, garantindo que os geradores contribuem, em menor ou maior

grau, no consumo das cargas. Em contrapartida, no método apresentado

em [Kirschen, 1997] os geradores não necessariamente têm participação

no consumo de todas as cargas, já que o método é baseado no

seguimento de fluxos e, portanto, considera apenas os fluxos

dominantes.

Na Tabela 6.6 são apresentados os resultados da aplicação do método

proposto e o método apresentado em [Kirschen, 1997] no sistema-teste de 4

barras. Observa-se que as contribuições dos geradores nas cargas variam

pouco de um método para outro, sendo as variações máximas de 11,17 MW

para potência ativa e 12,25 Mvar para potência reativa, correspondentes ao

consumo de potência ativa da carga 4 e ao consumo de potência reativa da

carga 3. As participações dos geradores nas cargas obtidas tanto no método

129

proposto como no método aprestado em [Kirschen, 1997] apresentam certa

correspondência. No entanto, para sistemas maiores, a contribuição dos

geradores nas cargas de acordo com o método apresentado em [Kirschen, 1997]

fornece valores nulos para algumas cargas, pois o seguimento de fluxos

desconsidera algumas barras de carga por não estarem no caminho do fluxo.

Nesse ponto, esse se torna diferente do método proposto, no qual a participação

dos geradores é para todas as cargas do sistema, já que é baseado em teoria de

circuitos.

Tabela 6.6 - Comparação das Contribuições dos Geradores nas Potências Consumidas pelas Cargas do Sistema-Teste de 4 Barras

Gerador G1 Gerador G2 Total

Proposto [Kirschen,1997] Proposto [Kirschen,

1997] Proposto [Kirschen,1997]

MW 222,46 233,46 77,54 66,54 300 300 3ZCS

Mvar 74,15 61,90 25,85 38,10 100 100

MW 144,47 155,64 55,53 44,36 200 200 4ZCS

Mvar 57,79 49,52 22,21 30,48 80 80

6.3 Alocação de Perdas aos Geradores e Cargas

6.3.1 Alocação de Perdas aos Geradores

Para alocar as perdas aos geradores, estes são remodelados em seus

equivalentes de fontes de corrente e as cargas como impedância constante.

Assim, a matriz BarraZ original é modificada para a matriz Barra

Z através da

adição das impedâncias das cargas. Em seguida, é calculada a potência

fornecida e a potência consumida em função das fontes de corrente equivalentes

dos geradores.

130

Cálculo da potência fornecida

Para determinar a potência fornecida, aplica-se a fórmula:

__T

BarraForS I Z I= (6.14)

Desenvolvendo-se (6.14) para o sistema-teste de 4 barras, tem-se:

11 211 1 1 1 2 2

12 222 2 1 1 2 2

[ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

For r i r i r i

r i r i r i

S I jI I jI Z I jI Z

I jI I jI Z I jI Z

⎡ ⎤= − + + +⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + + +⎣ ⎦

(6.15)

A potência fornecida depende unicamente das fontes de corrente

equivalentes dos geradores 1 e 2.

Cálculo da potência consumida

Deve-se lembrar que as barras 3 e 4 são barras de carga, porém, quando

são remodeladas como impedâncias constantes, estas impedâncias de carga

correspondem a ZC3 e ZC4, respectivamente. Então, as potências consumidas

por estas são:

3 3 3( )( ) 3ZC ZC ZCS I I ZC= (6.16)

31 32 31 321 2 1 2ZC3 ZC3

ZC3 ZC3 ZC3 ZC3Z I Z I Z I Z IS

⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(6.17)

ZC4 ZC4 ZC4( ) ( ) ZC4S I I=

(6.18)

41 42 41 421 2 1 2ZC4 ZC4

ZC4 ZC4 ZC4 ZC4Z I Z I Z I Z IS

⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(6.19)

Finalmente, o consumo total é a soma do consumo da potência obtida

nas barras de carga 3 e 4, cuja expressão é:

131

ZC3 ZC4conS S S= + (6.20)

As perdas do sistema de transmissão são obtidas pela diferença entre a

potência consumida e a potência fornecida, não obstante, somente a metade é

alocada para os geradores:

1 [ ]2Ger For ConPerdas S S= − (6.21)

Para determinar as perdas associadas à injeção das componentes de

corrente de uma determinada fonte para as cargas, aplica-se a teoria de

Aumann-Shapley.

Participação unitária da componente real (PUR) do gerador k para as cargas nas

perdas do sistema

1

0

( )GerGkr Per

krt

Perdas tIPUR dt

I→=

∂=

∂∫

(6.22)

1 1

0 0

( ) ( )12

For ConGkr Per

kr krt t

S tI S tIPUR dt dt

I I→= =

⎡ ⎤∂ ∂= −⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

(6.23)

a) Primeiro termo da PUR dado em (6.23)

1 1

1 21 20 0

( )2( ) 2( )For

k kr rkrt t

S tIdt tI Z tI Z dt

I= =

∂= +

∂∫ ∫

(6.24)

Integrando, tem-se:

1

1 21 20

( )For k kr rkrt

S tIdt I Z I Z

I=

∂= +

∂∫

(6.25)

onde:

krI : componente real da fonte de corrente equivalente do gerador k

132

b) Segundo termo da PUR dado em (6.23)

1 1 1ZC3 ZC4

0 0 0

( ) ( ) ( )Con

kr kr krt t t

S tI S tI S tIdt dt dt

I I I= = =

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫

(6.26)

onde:

3 31 321 1 2 21 1

ZC3

0 0 3 31 321 1 2 2

( ) ( )ZC3 ZC3 ZC3( )

ZC3

( ) ( )ZC3 ZC3 ZC3

kr i r i

krt t kr i r i

Z Z ZtI jtI tI jtIS tI

dt dtI Z Z ZtI jtI tI jtI

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥=

∂ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

(6.27)

4 41 421 1 2 21 1

ZC4

0 0 4 41 421 1 2 2

( ) ( )ZC4 ZC4 ZC4( )

ZC4

( ) ( )ZC4 ZC4 ZC4

kr i r i

krt t kr i r i

Z Z ZtI jtI tI jtIS tI

dt dtI Z Z ZtI jtI tI jtI

= =

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥+ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ⎝ ⎠⎢ ⎥=

∂ ⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

(6.28)

Integrando, tem-se:

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎢ ⎥⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∫1

3 31 32ZC31 1 2 2

0

( )2. ( ) ( ) ZC3

ZC3 ZC3 ZC3k

r i r ikrt

S tI Z Z Zdt real I jI I jII

(6.29)

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎢ ⎥⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦∫1

4 41 42ZC41 1 2 2

0

( )2. ( ) ( ) ZC4

ZC4 ZC4 ZC4k

r i r ikrt

S tI Z Z Zdt real I jI I jII

(6.30)

Substituindo (6.29), (6.30) e (6.25) em (6.23), obtém-se a PUR do

gerador k nas perdas ( Gkr PerPUR → ). Em seguida, multiplica-se pelo montante

para obter-se a participação da componente real da fonte de corrente

equivalente do gerador k nas perdas ( GkrI x Gkr PerPUR → ).

Tabela 6.7 - Participação das Componentes Reais das Fontes de Corrente Equivalentes dos Geradores nas Perdas

Gerador G1 Gerador G2

( 1G rI . 1G r PerPUR → ) ( 2G rI . 2G r PerPUR → ) 4,3164 MW +42,6037 Mvar 0,5976 MW + 6,4283 Mvar

133

Os resultados mostrados na Tabela 6.7 podem ser interpretados como

segue: a injeção da componente real da fonte de corrente equivalente do

gerador G1 ao fluir através das linhas até as cargas é responsável por 4,3164

MW de perdas de potência ativa e 42,6037 Mvar de perdas de potência reativa.

Analogamente, a componente real da fonte de corrente equivalente do gerador

G2, ao fluir através do sistema de transmissão até as cargas, dissipa 0,5976 MW

de potência ativa e 6,4283 Mvar de potência reativa.

Prosseguindo com o método, é obtida a participação unitária da

componente imaginária (PUI) das correntes que fluem do gerador k para as

cargas nas perdas ( Gki PerPUI → ). Multiplicando-se as participações unitárias

pelos montantes das correntes, determinam-se as participações das

componentes imaginárias das fontes de corrente equivalentes do gerador k

( GkiI x Gki PerPUI → ) nas perdas do sistema. Na Tabela 6.8 mostram-se os

resultados destas participações.


Corrente Equivalentes dos Geradores nas Perdas


( 1G iI . 1G i PerPUI → ) ( 2G iI . 2G i PerPUI → ) 1,1299 MW +11,4722 Mvar 0,6844 MW + 6,7733 Mvar

A participação total (PT) de um gerador k é a soma da participação

unitária das componentes real e imaginária, previamente multiplicadas por seus

respectivos montantes:

Gk Per Gkr Gkr Per Gki Gki PerPT I PUR I PUI→ → →= ⋅ + ⋅

(6.31)

Basicamente, a participação total das fontes de corrente equivalentes dos

geradores nas perdas é a soma da Tabela 6.7 e Tabela 6.8, cujo resultado é

apresentado na Tabela 6.9

134

Tabela 6.9 - Participação das Fontes de Corrente Equivalentes dos Geradores nas Perdas


( 1G rI . 1G r PerPUR → ) + ( 1G iI . 1G i PerPUI → ) ( 2G rI . 2G r PerPUR → ) + ( 2G iI . 2G i PerPUI → )

5,4462 MW +54,0759 Mvar 1,2820 MW +13,2016 Mvar

6.3.2 Alocação de Perdas para as Cargas

O procedimento para o cálculo das participações das fontes de corrente

equivalentes das cargas nas perdas é semelhante ao apresentado para

determinar as participações das fontes de corrente equivalentes dos geradores

nas perdas. Portanto, somente serão apresentados os resultados finais.

Na Tabela 6.10 são apresentadas as participações das componentes

reais das fontes de corrente equivalentes das cargas nas perdas. Na Tabela

6.11 são apresentadas as participações das componentes imaginárias das

fontes de corrente equivalentes das cargas nas perdas. Finalmente, a

participação total das fontes de corrente equivalentes das cargas nas perdas é

apresentada na Tabela 6.12.

Tabela 6.10 - Participação nas Perdas das Componentes Reais das Fontes de Corrente Equivalentes das Cargas

Carga C3 Carga C4

( 3C rI . 3C r PerPUR → ) ( 4C rI . 4C r PerPUR → )

3,1308 MW +32,6936 Mvar 1,5900 MW +14,4616 Mvar


Corrente Equivalentes das Cargas nas Perdas

Carga C3 Carga C4

( 3C iI . →3C i PerPUI ) ( 4C iI . →4C i PerPUI )

1,4320 MW +14,8098 Mvar 0,5753 MW + 5,3126 Mvar

135

Tabela 6.12 - Participação nas Perdas das Fontes de Corrente Equivalentes das Cargas

Carga C3 Carga C4

( 3C rI . 3C r PerPUR → )+( 3C iI . →3C i PerPUI ) ( 4C rI . 4C r PerPUR → )+( 4C iI . →4C i PerPUI )

4,5629 MW +47,5033 Mvar 2,1654 MW +19,7742 Mvar

Na Tabela 6.13 apresenta-se o resumo das responsabilidades das fontes

de corrente equivalentes dos geradores e cargas nas perdas do sistema.

Observa-se que as componentes reais das fontes de corrente equivalentes dos

geradores e cargas, ao circularem pelo sistema de transmissão, não somente

têm participação nas perdas de potência ativa, mas também nas perdas de

potência reativa cujos valores são muito significativos. De forma similar, as

componentes imaginárias das fontes de corrente equivalentes dos geradores e

cargas também contribuem com as perdas de potência ativa e reativa.

Tabela 6.13 - Participação das Fontes de Corrente Equivalentes dos Geradores nas Perdas do Sistema

Participação das fontes de corrente equivalentes dos geradores e cargas nas perdas do sistema

( 1G rI . 1G r PerPUR → ) 4,3164 MW+42,6037 Mvar 1G PerPT →

( 1G iI . →1G i PerPUI ) 1,1299 MW+11,4722 Mvar

5,4462 MW+ 54,0759 Mvar

( 2G rI . 2G r PerPUR → ) 0,5976 MW+6,4283 Mvar 2G PerPT →

( 2G iI . →2G i PerPUI ) 0,6844 MW+6,7733 Mvar

1,2820 MW+ 13,2016 Mvar

( 3C rI . 3C r PerPUR → ) 3,1308 MW+32,6936 Mvar 3C PerPT →

( 3C iI . →3C i PerPUI ) 1,4320 MW+14,8098 Mvar

4,5629 MW+ 47,5033 Mvar

( 4C rI . 4C r PerPUR → ) 1,5900 MW+14,4616 Mvar 4C PerPT →

( 4C iI . →4C i PerPUI ) 0,5753 MW+5,3126 Mvar

2,1654 MW+ 19,7742 Mvar

Também é possível avaliar individualmente os geradores e cargas

através da análise dos resultados apresentados nas tabelas. Por exemplo, a

maior quantidade de perdas é alocada ao gerador da barra 1, porque injeta no

sistema maior quantidade de potência. Outro ponto a se destacar da Tabela

6.13, diz respeito à barra de carga 3, onde percebe-se que a componente real da

fonte de corrente equivalente da carga 3 participa com maior quantidade (3,1308

MW + 32.6936 Mvar) que a componente imaginária (1,5900 MW + 14.8098

136

Mvar) nas perdas do sistema, porque a carga 3 (300 MW + 100 Mvar) é

predominantemente ativa.

6.3.3 Alocação de Perdas nas Linhas de Transmissão

Observa-se que no sistema-teste da Figura 6.1 há dois geradores, duas

cargas e cinco linhas de transmissão. Para alocar as perdas da linha (1-2) à

componente real de corrente do gerador 1, aplica-se a fórmula:

→ − −⎡ ⎤⋅ = ⋅ +⎣ ⎦11 (1 2) 1 1 2 (1 2)

12G rG r I Linha G r G r G r LinhaI PUR I I I Z

(6.32)

De maneira análoga, a participação da componente imaginária da

corrente do gerador 1 nas perdas é:

→ − −⎡ ⎤= ⋅ +⎣ ⎦11 (1 2) 1 1 2 (1 2)

1.2G iG i I Linha G i G i G i LinhaI PUI I I I Z

(6.33)

onde:

→ −1 (1 2)G rI LinhaPUR: participação unitária da componente real da corrente do

gerador 1 nas perdas da linha (1-2);

→ −1 (1 2)G iI LinhaPUI: participação unitária da componente imaginária da corrente do

gerador 1 nas perdas da linha (1-2);

1G rI : componente real da corrente do gerador 1;

1G iI : componente imaginária da corrente do gerador 1;

(1 2)LinhaZ − : impedância da linha (1-2).

137

Para alocar as perdas da linha (1-2) à componente real da corrente da

carga 3, aplica-se a fórmula:

→ − −⎡ ⎤⋅ = ⋅ +⎣ ⎦33 (1 2) 3 3 4 (1 2)

12C rC r I Linha C r C r C r LinhaI PUR I I I Z

(6.34)

Analogamente, a participação da componente imaginária da corrente da

carga 3 nas perdas é:

→ − −⎡ ⎤⋅ = ⋅ +⎣ ⎦33 (1 2) 3 3 4 (1 2)

12C iC i I Linha C i C i C i LinhaI PUI I I I Z

(6.35)

onde:

→ −3 (1 2)C rI LinhaPUR : participação unitária da componente real da corrente da

carga 3 nas perdas da linha (1-2);

→ −3 (1 2)C iI LinhaPUI : participação unitária da componente imaginária da corrente

da carga 3 nas perdas da linha (1-2);

3C rI : componente real da corrente da carga 3;

3C iI : componente imaginária da corrente da carga 3.

Generalizando (6.32) e (6.34) para as outras linhas e considerando a

injeção de corrente do gerador 2 e carga 4, determina-se a participação das

componentes reais dos geradores e cargas nas perdas do sistema de

transmissão (ver Tabela 6.14). Analogamente, generalizando (6.33) e (6.35) para

as outras linhas e considerando a injeção de corrente do gerador 2 e carga 4,

determina-se a participação das componentes imaginárias dos geradores e

cargas nas perdas do sistema de transmissão (ver Tabela 6.15).

138

Tabela 6.14 - Alocação de Perdas às Componentes Reais das Correntes dos Geradores e Cargas em Cada Linha de Transmissão no

Sistema-Teste de 4 Barras

1G rI LinhaS → 2G rI LinhaS → 3C rI LinhaS → 4C rI LinhaS → Total

Linha (1-2)

0,5199 MW + 3,9557 Mvar

-0,1550 MW –1,1793 Mvar

0,1122 MW + 0,8536 Mvar

0,2527 MW +1,9227 Mvar

0,7298 MW + 5,5527 Mvar

Linha (1-3)

2,0416 MW + 23,6330 Mvar

0,2720 MW + 3,1489 Mvar

1,7866 MW + 20,6805 Mvar

0,5271 MW +6,1014 Mvar

4,6273 MW + 53,5638 Mvar

Linha (1-4)

1,1988 MW + 9,8166 Mvar

-0,0042 MW –0,0340 Mvar

0,4834 MW + 3,9581 Mvar

0,7113 MW +5,8245 Mvar

2,3893 MW + 19,5652 Mvar

Linha (2-4)

0,3889 MW + 3,4127 Mvar

0,3522 MW + 3,0906 Mvar

0,3818 MW + 3,3501 Mvar

0,3594 MW +3,1533 Mvar

1,4823 MW + 13,0067 Mvar

Linha (3-4)

0,1720 MW + 1,7442 Mvar

0,1160 MW + 1,1763 Mvar

0,4696 MW + 4,7610 Mvar

-0,1815 MW –1,8406 Mvar

0,5761 MW + 5,8409 Mvar

Total 4,3212 MW + 42,5622 Mvar

0,581 MW + 6,2025 Mvar

3,2336 MW + 33,6033 Mvar

1,669 MW + 15,1613 Mvar

9,8048 MW + 97,5293 Mvar

Tabela 6.15 - Alocação de Perdas às Componentes Imaginárias das Correntes dos Geradores e Cargas em Cada Linha de Transmissão no

Sistema-Teste de 4 Barras

1G iI LinhaS → 2G iI LinhaS → 3C iI LinhaS → 4C iI LinhaS → Total

Linha (1-2)

0,0289 MW + 0,2196 Mvar

-0,0237 MW –0,1804 Mvar

-0,0036 MW –0,0278 Mvar

0,0088 MW +0,0669 Mvar

0,0104 MW + 0,0783 Mvar

Linha (1-3)

0,6222 MW + 7,2021 Mvar

0,2237 MW + 2,5895 Mvar

0,6789 MW + 7,8586 Mvar

0,1670 MW +1,9331 Mvar

1,6918 MW + 19,5833 Mvar

Linha (1-4)

0,2578 MW + 2,1107 Mvar

-0,0114 MW –0,0932 Mvar

0,0892 MW + 0,7305 Mvar

0,1572 MW +1,2869 Mvar

0,4928 MW + 4,0349 Mvar

Linha (2-4)

0,1533 MW + 1,3454 Mvar

0,3741 MW + 3,2821 Mvar

0,2845 MW + 2,4960 Mvar

0,2429 MW +2,1315 Mvar

1,0548 MW + 9,255 Mvar

Linha (3-4)

0,0627 MW + 0,6361 Mvar

0,1382 MW + 1,4012 Mvar

0,2804 MW + 2,8427 Mvar

-0,0794 MW –0,8055 Mvar

0,4019 MW + 4,0745 Mvar

Total 1,1249 MW +11,5139 Mvar

0,7009 MW + 6,9992 Mvar

1,3294 MW + 13,9 Mvar

0,4965 MW +4,6129 Mvar

3,6517 MW + 37,026 Mvar

139

Tabela 6.16 - Alocação de Perdas às Correntes dos Geradores e Cargas em Cada Linha de Transmissão no Sistema-Teste de 4 Barras

1GI LinhaS → 2GI LinhaS → 3C rI LinhaS → 4C rI LinhaS → Total

Linha (1-2)

0,5487 MW + 4,1752 Mvar

-0,1787 MW – 1,3598 Mvar

0,1085 MW + 0,8258 Mvar

0,2615 MW + 1,9897 Mvar

0,74 MW + 5,6309 Mvar

Linha (1-3)

2,6638 MW + 30,8351 Mvar

0,4957 MW + 5,7384 Mvar

2,4655 MW + 28,5391 Mvar

0,6941 MW + 8,0344 Mvar

6,3191 MW + 73,147 Mvar

Linha (1-4)

1,4566 MW + 11,9272 Mvar

-0,0155 MW – 0,1273 Mvar

0,5726 MW + 4,6886 Mvar

0,8685 MW + 7,1114 Mvar

2,8822 MW+ 23,5999 Mvar

Linha (2-4)

0,5423 MW + 4,7581 Mvar

0,7263 MW + 6,3728 Mvar

0,6663 MW + 5,8461 Mvar

0,6023 MW + 5,2848 Mvar

2,5372 MW+ 22,2618 Mvar

Linha (3-4)

0,2348 MW + 2,3802 Mvar

0,2542 MW + 2,5774 Mvar

0,7500 MW + 7,6037 Mvar

-0,2610 MW –2,6461 Mvar

0,978 MW+ 9,9152 Mvar

Total 5,4462 MW+ 54,0758 Mvar

1,282 MW+ 13,2015 Mvar

4,5629 MW+ 47,5033 Mvar

2,1654 MW +19,7742 Mvar

13,4565 MW+ 134,5548 Mvar

Discussão

Fisicamente, uma determinada ação de operação pode aumentar ou

diminuir as perdas da rede, dependendo do ponto de operação e do impacto da

ação. Como mencionado na Seção 0, o contra-fluxo reduz as perdas. Portanto,

os valores negativos de alocação apresentados nas tabelas anteriormente

descritas devem ser considerados como um efeito de diminuição das perdas nas

linhas devido aos contra-fluxos. Conseqüentemente, os agentes que causam

este efeito têm que ser remunerados (recompensados) por isso. Seguindo a

lógica, os valores positivos de alocação são associados aos agentes que

contribuem para as perdas. Assim, agentes pagam pelas perdas e recompensam

outros agentes que diminuem as perdas. Deve-se ressaltar que os agentes que

remuneram os outros agentes também são beneficiados com a diminuição de

seus custos, mesmo pagando a outros agentes.

Como exemplo, na Tabela 6.15, onde é apresentada a participação nas

perdas das componentes imaginárias das fontes de corrente dos geradores e

cargas, nota-se participações negativas da componente imaginária do gerador 2

nas perdas das linhas (1-2) e (1-4), de (-0,0237 MW / -0,1804 Mvar) e (-0,0114

MW / -0,0932 Mvar), respectivamente. Como discutido, estes valores devem ser

interpretados como um efeito de diminuição das perdas nessas linhas devido ao

140

contra-fluxo causado pela componente imaginária do gerador 2. Assim, este

deve ser recompensado pelos outros participantes por diminuir as perdas nessas

linhas.

Outro ponto importante a destacar é que tanto a componente imaginária

como a componente real de uma fonte geralmente tem o mesmo efeito nas

perdas, isto é, aumentam ou diminuem as perdas, mas isso não é uma regra.

Pode acontecer que as componentes real e imaginária de uma fonte tenham

sentidos opostos entre elas e, conseqüentemente, efeitos contrários nas perdas

da linha. Um exemplo disso pode ser observado na Tabela 6.14 e na Tabela

6.15, onde a participação da componente real da carga 3 aumenta as perdas na

linha (1-2) em (0,1122 MW / +0,8536 Mvar), enquanto a componente imaginária

reduz as perdas na mesma linha em (-0,0036 MW / -0,00278 Mvar). Este efeito

contrário deve-se ao fato das componentes reais e imaginárias serem tratadas

como participantes independentes, e, dependendo do montante de cada uma, as

participações nas perdas de linhas podem ser opostas, como no caso

apresentado.

Na Tabela 6.14, são apresentadas as alocações das perdas ativas e

reativas de cada linha de transmissão às componentes reais das correntes dos

geradores e das cargas. Nota-se que estas tendem a ser maiores que a

participação das componentes imaginárias nas perdas, apresentadas na Tabela

6.15. Os valores das alocações mostrados na Tabela 6.14 e na Tabela 6.15

indicam que existe um acoplamento entre as componentes ativas e reativas das

fontes e as perdas de potência ativa e reativa. Nota-se claramente que as

componentes reais e imaginárias das correntes têm participação tanto nas

perdas de potência ativa como nas perdas de potência reativa. Finalmente, na

Tabela 6.16 é apresentada a soma das participações das componentes real e

imaginária das correntes nas perdas de potência ativa e reativa.

Observa-se que o impacto da componente imaginária das correntes nas

perdas pode ser significativo à medida que a potência reativa fornecida /

consumida é numericamente considerável com respeito à potência ativa. Ilustra-

se esta situação com o gerador 2, que fornece ao sistema (114 MW / +119,9

Mvar). Neste contexto, a componente real da corrente deste gerador tem

participação nas perdas da linha (3-4) de (0,116 MW / +1,1763 Mvar), enquanto

a componente imaginária tem uma participação nas perdas da mesma linha de

(0,1382 MW / +1,4012 Mvar). A ordem de grandeza das participações é similar

141

e, assim, se a influência das componentes reativas é ignorada, o erro introduzido

no processo de alocação pode ser considerável.

Comparação com o método apresentado em Abdelkader

O método proposto é testado e comparado com o desempenho do

método apresentado em [Abdelkader, 2007] usando-se o sistema-teste de 4

barras. As principais diferenças entre os métodos são:

i) Critério de alocação: o método proposto aloca as perdas ativas e

reativas aos geradores e às cargas, enquanto que o método apresentado

em [Abdelkader, 2007] aloca as perdas ativas e reativas somente às

cargas;

ii) Distribuição da alocação: no método proposto, onde está implícita a

equação I = Y V, geradores e cargas participam, em menor ou maior

grau, nas perdas complexas de todas as linhas de transmissão, enquanto

que no método apresentado em [Abdelkader, 2007] as cargas não

necessariamente têm participação nas perdas de todas as linhas, porque

o método é baseado em seguimento de fluxo, que considera apenas os

fluxos dominantes.

Para realizar o estudo comparativo com o método apresentado em

[Abdelkader, 2007], o método proposto foi alterado de forma a alocar o total de

perdas complexas apenas às cargas. As perdas complexas totais alocadas às

cargas é a mesma apresentada em [Abdelkader, 2007], no valor de (13,42 +

134,56i), fato que pode ser comprovado na Tabela 6.17.

Pode-se observar que os métodos são coerentes na ordem de grandeza

das alocações. As diferenças existentes decorrem dos critérios adotados.

No que se refere ao método proposto, este sempre identifica algum nível

de participação das cargas e geradores nas perdas das linhas. Por outro lado, o

método apresentado em [Abdelkader, 2007] atribui alocações nulas às cargas

em algumas linhas. Isto pode ser observado na Tabela 6.17, onde a carga 4 teve

alocação nula nas perdas nas linhas 1-3 e 3-4. Isto se deve ao seguimento dos

fluxos, que considera o resultado final das interações entre as fontes de corrente,

ou seja, são considerados os fluxos dominantes. Essa é uma diferença em

relação ao método proposto, onde a participação de todas as fontes de corrente

nas perdas é considerada.

142

Tabela 6.17 - Alocação de Perdas Complexas às Cargas em Cada Linha de Transmissão no Sistema-Teste de 4 Barras

Carga 3 Carga 4

Proposta Abdelkader Proposta Abdelkader

Linha MW 0,2170+ 0,2222+ 0,5230 + 0,5177+ (1-2) Mvar 1,6516i 1,6909i 3,9794i 3,9390i Linha MW 4,9310+ 6,3199+ 1,3882 + 0 (1-3) Mvar 57,082i 73,150i 16,0688i 0 Linha MW 1,1452+ 0,8763+ 1,7370 + 2,0036+ (1-4) Mvar 9,3772i 7,1810i 14,2228i 16,4189i Linha MW 1,3326+ 0,8065+ 1,2046 + 1,7334+ (2-4) Mvar 11,6922i 7,0685i 10,5696i 15,1914i Linha MW 1,500 + 0,9799+ -0,5220– 0 (3-4) Mvar 15,2074i 9,9200i 5,2922i 0 Total MW 9,1258+ 9,2051+ 4,3308+ 4,2548+

Mvar 95,0066i 99,0105i 39,5484i 35,5494i 6.3.4 Comparação de Métodos de Alocação em Cenários Diferentes

Objetivando-se a comparação do método proposto com outros métodos,

o sistema apresentado em [Santos, 2007] é considerado neste item. O diagrama

unifilar correspondente é mostrado na Figura 6.2, sendo que os dados de barras

e ramos encontram-se nas Tabela 6.18 e Tabela 6.19, respectivamente.

143


Tabela 6.18 - Sistema-Teste de 5 Barras - Estado de Operação do Caso-Base

Tensão Carga Geração Barra

Nº Mag. (pu)

Ang (rad)

P (MW)

Q (Mvar)

P (MW)

Q (Mvar)

1 1,050 0,000 45,00 15,00 226,44 46,10 2 0,990 -0,177 162,50 20,00 0,00 0,00 3 1,033 -0,117 80,00 20,00 74,95 62,65 4 1,050 0,021 50,00 20,00 136,31 21,92 5 1,016 -0,076 90,00 25,00 0,00 0,00

TOTAL 427,50 100,00 437,70 130,67

Tabela 6.19 - Sistema-Teste de 5 Barras: Fluxos de Potência e Perdas nas Linhas de Transmissão para o Caso-Base

Fluxo na linha Fluxo na linha De (k) Para (m) De (m) Para

(k) Perdas Barra

k

Barra

m P (MW)

Q (Mvar)

P (MW)

Q (Mvar)

P (MW)

Q (Mvar)

1 2 113,91 17,09 -108,83 0,09 5,08 17,18 2 3 -53,67 -20,09 54,69 22,22 1,03 2,13 3 5 -17,32 12,61 17,55 -13,24 0,24 -0,63 3 4 -42,43 7,83 43,90 -3,24 1,47 4,59 5 4 -41,36 -2,14 42,41 5,16 1,05 3,01 5 1 -66,19 -9,62 67,53 14,01 1,34 4,39

TOTAL 10,20 30,67

As comparações e análises são realizadas em três cenários, sendo que

em cada um são calculadas as participações dos agentes do sistema (geradores

e cargas) nas perdas do sistema com diferentes métodos: Pro Rata, método

144

BarraZ , método da Divisão Proporcional (PS), método de Abdelkader modificado

(o método de Abdelkader foi modificado nesta tese para considerar as alocações

também aos geradores), e finalmente, o método proposto nesta tese.

O Cenário 1 corresponde ao caso-base; os outros dois cenários são

obtidos através da alteração na potência ativa gerada na barra 3 (PAG3),

mantendo-se constante a demanda do sistema. Desta maneira, quando PAG3

aumenta, PAG1 diminui para fechar o balanço entre a potência gerada e a

potência consumida.

o Cenário 1: caso-base, quando a PAG3 = 74,95 MW;

o Cenário 2: PAG3 = 155 MW (incremento em 80,05 MW em relação ao caso-base);

o Cenário 3: PAG3 = 237,42 MW (incremento de 162,42 MW da PAG3 em relação ao caso-base).

Os resultados da alocação de perdas para os diferentes métodos e

cenários são apresentados nas Tabela 6.21 a Tabela 6.23. Observa-se para a

barra 3, onde há geração e carga, que as alocações de perdas fornecida pelos

diferentes métodos (exceto para o método Pro Rata e proposto) são

dependentes da potencia líquida. Isto se deve ao fato que estes métodos

consideram esta barra como carga quando a demanda é maior que a geração, e

geração quando o fornecimento é maior que a demanda. Isto leva a pensar que

quando a geração é igual à demanda em uma determinada barra as perdas

alocadas para esta devem ser nulas. Contudo, ao fazer esta suposição,

eliminam-se os efeitos tanto da carga como do gerador da mesma barra nas

perdas do sistema, sendo que cargas e geradores têm efeitos independentes

nas perdas do sistema.

Para analisar melhor esta situação, considera-se o sistema simples da

Figura 6.3, no qual podem ser observados dois geradores alimentando duas

cargas através de duas linhas idênticas. Observe-se também que na barra 2 a

geração de potência ativa é igual à demanda ativa. Seguindo os critérios de

alguns métodos, as perdas alocadas a esta barra seriam nulas, deixando-se a

responsabilidade pelas perdas ao gerador 1 e carga 3.

145

Por outro lado, pode-se observar que embora a distância elétrica do

gerador 2 até a carga 2 seja zero, isto não significa que tudo o que é gerado

nessa barra seja consumido localmente na mesma barra, porque há uma linha

de transmissão que une a barra 2 à barra 3, onde se pode afirmar que a

impedância equivalente da carga situada na barra 3 e da impedância da linha 2-

3 (que pode ser vista como outra carga na barra 2, ver Figura 6.4) é muito menor

que a impedância da carga 2. Portanto, pode-se concluir que o gerador da barra

2 alimenta tanto a carga 2 como a carga 3.


Figura 6.4 - Sistema-Teste Equivalente de 3 Barras

Neste exemplo foi mostrado que a definição de uma barra como de

geração ou carga em função de sua injeção de potência liquida pode levar a

equívocos, ignorando a contribuição dos agentes envolvidos nessa barra. Este

problema é evitado no método proposto ao se considerar como agentes

independentes a geração e carga situadas numa mesma barra, dado que estes

146

agentes têm efeitos diferentes nas perdas do sistema. O exemplo permite

generalizar a idéia de que um gerador injeta corrente para todas as cargas,

assim como a corrente que chega a uma carga é formada pela contribuição de

todos os geradores.

No método proposto, considera-se a independência entre geração e

carga localizadas na mesma barra, tendo participações diferentes nas linhas,

como pode ser constatado na Tabela 6.20, onde são observadas estas

diferenças. Por exemplo, o gerador 2 somente tem participação nas perdas da

linha 2-3 porque alimenta somente as cargas 2 e 3 ; similarmente, a carga 2 usa

somente a linha 1-2, pois recebe energia da própria barra e do gerador 1 através

da linha 1-2.

Tabela 6.20 - Alocação de Perdas entre Geradores e Cargas do Sistema-Teste de 3 Barras

Gerador 1 Gerador 2 Carga 2 Carga 3 Linhas Ativa

(MW) Reativa (Mvar)

Ativa (MW)

Reativa(Mvar)

Ativa (MW)

Reativa (Mvar)

Ativa (MW)

Reativa (Mvar)

1---2 0,3891 1,2454 0 0 0,2569 0,8225 0,1321 0,423 2---3 0,1336 0,4276 0,264 0,845 0 0 0,3976 1,2727 Total 0,5227 1,673 0,264 0,845 0,2569 0,8225 0,5297 1,6957 Análises dos Cenários

Observa-se para os três cenários que a alocação de perdas ativas e

reativas é exata, isto é, quando somadas as perdas individuais sempre são

obtidas as perdas totais. Contudo, há diferença de um método para outro devido

a suas hipóteses e princípios envolvidos.

Na barra 1, há carga e geração, sendo que nos três cenários a geração

é maior que a demanda. Neste caso, a responsabilidade pelas perdas é

atribuída totalmente à geração pelos métodos de PS e Abdelkader modificado.

Por outro lado, o método BarraZ aloca as perdas para a barra 1, considerando-a

como geração, para em seguida dividi-las de forma proporcional entre demanda

e geração. Finalmente, o método Pro Rata (Selo) e o método proposto

consideram carga e geração de forma independente. Entretanto, o método

proposto considera as leis de circuitos para determinar a alocação.

Outro ponto importante a se destacar diz respeito aos métodos baseados

em seguimento de fluxos (PS e Abdelkader modificado), onde a alocação de

147

perdas está vinculada ao seguimento dos fluxos dominantes. Como

conseqüência, alguns geradores e cargas têm participação nula nas linhas onde

eles não são dominantes.

Os valores negativos da alocação de perdas para o método proposto,

assim como para o método BarraZ , indicam que a geração ou a carga ajudam a

diminuir as perdas do sistema, portanto, eles devem ser recompensados por

isso. Também é um indicador de uma boa localização no sistema;

conseqüentemente, os geradores e cargas mal posicionados na rede terão

alocações de perdas elevadas.

Na passagem do Cenário 1 para o Cenário 2, onde a potência ativa

gerada na barra 3 (PAG3) aumenta de 74,95 MW para 155 MW, mantendo a

demanda do sistema constante, duas mudanças visíveis no sistema são

observadas; primeiro, a potência PAG1 diminui para manter o balaço entre

geração e demanda; segundo, as perdas totais diminuíram consideravelmente

de (10,2038 MW / 30,6756 Mvar) no Cenário 1 para (7, 7565 MW / 20,9167

Mvar) no Cenário 2. A responsabilidade pela diminuição das perdas totais no

sistema é da PAG3, que com sua produção de potência incrementada em

aproximadamente o dobro, deve ser responsabilizada com uma maior alocação

de perdas, porém, não na mesma proporção que sua produção de potência,

porque ele ajuda a reduzir as perdas totais do sistema, como pode ser conferido

nas Tabela 6.21 e Tabela 6.22.

De forma similar, ao passar do Cenário 1 para o Cenário 2, a redução na

potência ativa gerada na barra 1 (PAG1) é acompanhada pela redução nas

perdas totais do sistema. Logo, pode-se afirmar que com uma produção de

potência ativa menor e com perdas totais menores para serem alocadas, a

responsabilidades pelas perdas do G1 é menor no Cenário 2, o que é

constatado em todos os métodos.

Observa-se uma diminuição na responsabilidade das perdas para a carga

3 na mudança do Cenário 1 para o Cenário 2, pois neste último há mais

produção local do que no Cenário 1. Desta forma, a carga 3 consome potência

ativa em maior proporção do gerador 3, diminuindo o consumo dos outros

geradores e, conseqüentemente, diminuindo o uso do sistema de transmissão,

como pode ser constatado na Tabela 6.21 e Tabela 6.22. Contudo, os métodos

148

PS e Abdelkader modificado fornecem alocação nula para a carga 3, pois nesta

barra há mais geração do que carga.

Na mudança do Cenário 2 para o Cenário 3, onde a potência ativa do

gerador 3 aumenta de 155 MW para 237,42 MW, as perdas totais também

aumentam consideravelmente. Assim, no Cenário 3 a responsabilidade do

gerador 3 nas perdas do sistema é maior do que nos Cenários 1 e 2, visto que a

produção de potência ativa do gerador 3 é maior e as perdas do sistema também

são maiores. Isto pode ser constatado em todos os métodos de alocação.

Nesta alteração do Cenário 2 para o Cenário 3, observa-se que as

perdas alocadas para a carga 3 aumentaram para os métodos do Selo e BarraZ ,

devido ao aumento das perdas totais. Para os métodos PS e Abdelkader

modificado, as perdas alocadas à carga 3 são nulas, porque tanto no Cenário 2

como no Cenário 3 a geração na barra 3 é maior que a carga na mesma barra.

Por outro lado, no método proposto as perdas alocadas à carga 3 diminuíram,

porque as cargas e geradores são tratados independentemente. Assim, quando

a potência ativa do gerador 3 aumenta, a carga 3 se alimenta em maior

proporção do gerador 3 (que é uma geração local), diminuindo o consumo nos

outros geradores e reduzindo a utilização das linhas bem como a

responsabilidades nas perdas.

Analisando o comportamento da carga 1 nos diferentes cenários,

observa-se que com o método do Selo as perdas diminuem do Cenário 1 para o

Cenário 2, para logo aumentar no Cenário 3, seguindo o comportamento das

perdas. Este comportamento decorre do método alocar as perdas

proporcionalmente às potências de geração e carga. Por outro lado, com o

método BarraZ as perdas diminuem do Cenário 1 para o Cenário 3, porque a

diferença entre gerador e carga nessa barra é cada vez menor. Já os métodos

PS e Abdelkader modificado apresentam alocação nula, pois nos três cenários a

geração é maior que a carga. Por outro lado, no método proposto a alocação de

perdas para a carga 1 aumenta do Cenário 1 até o Cenário 3. Inicialmente tem-

se valores negativos no Cenário 1; no Cenário 2 sua participação é aumentada

já apresentando valor positivo; no Cenário 3 a participação é bem maior,

mostrando um comportamento diferenciado. Conforme dito anteriormente, este

comportamento é atribuído ao fato de tratar independentemente os agentes de

geração e carga.

149

Tabela 6.21 – Alocação de Perdas para o Cenário 1: Potência Ativa Gerada na Barra 3 = 74,95 MW

Selo BarraZ PS Abdelkader Modificado Proposto

Ativa Reativa Ativa Reativa Ativa Reativa Ativa Reativa Ativa ReativaBarra

(MW) (Mvar) (MW) (Mvar) (MW) (Mvar) (MW) (Mvar) (MW) (Mvar) Carga 0,5370 2,3007 0,6374 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0837 -0,88041

Geração 2,6394 5,4392 3,2075 --- 3,3744 10,7927 3,3626 10,9557 2,9525 9,2336

Carga 1,9393 3,0676 3,9831 --- 4,0115 9,6584 4,0078 10,1963 3,5695 12,38272 Geração 0,0000 0,0000 0,0000 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Carga 0,9547 3,0676 0,1205 --- 0,0894 0,0000 0,1590 0,0000 1,0443 3,2114 3 Geração 0,8736 7,3060 0,1129 --- 0,0000 4,1250 0,0000 2,1739 0,1345 -0,4168

Carga 0,5967 3,0676 0,6006 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,2227 -1,50124 Geração 1,5888 2,5926 1,6372 --- 1,7274 0,4201 1,6693 2,2583 2,0149 6,5210

Carga 1,0741 3,8344 -0,0954 --- 1,0010 5,6794 1,0050 5,0914 0,7944 2,1253 5 Geração 0,0000 0,0000 0,0000 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Carga 5,1019 15,3378 5,2462 --- 5,1019 15,3378 5,1719 15,2876 5,1019 15,3378Total Geração 5,1019 15,3378 4,9576 --- 5,1019 15,3378 5,0319 15,3879 5,1019 15,3378

Total 10,2038 30,6756 10,2038 --- 10,2038 30,6756 10,2038 30,6756 10,2038 30,6756

150

Tabela 6.22 - Alocação de Perdas para o Cenário 2: Potência Ativa Gerada na Barra 3 =155 MW

selo BarraZ PS Abdelkader Modificado Proposto


(MW) (Mvar) (MW) (Mvar) (MW) (Mvar) (MW) (Mvar) (MW) (Mvar) Carga 0,4082 1,5688 0,1900 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,1634 0,1117 1

Geração 1,2826 4,9267 0,6079 --- 1,2860 3,0561 1,2860 3,0561 0,9306 1,9827

Carga 1,4742 2,0917 3,8456 --- 2,7872 7,2345 2,7872 7,2345 3,1130 10,59772 Geração 0,0000 0,0000 0,0000 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Carga 0,7258 2,0917 0,1365 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,3505 0,4345 3 Geração 1,3811 3,6499 0,2644 --- 0,9508 6,3042 0,9586 3,5470 0,7637 1,2546

Carga 0,4536 2,0917 0,6865 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,4592 -2,45344 Geração 1,2146 1,8818 1,8717 --- 1,6414 1,0981 1,6337 3,8552 2,1840 7,2211

Carga 0,8165 2,6146 0,1539 --- 1,0910 3,2238 1,0910 3,2238 0,7105 1,7679 5 Geração 0,0000 0,0000 0,0000 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


Total 7,7565 20,9167 7,7565 --- 7,7565 20,9167 7,7565 20,9167 7,7565 20,9167

151

Tabela 6.23 - Alocação de Perdas para o Cenário 3: Potência Ativa Gerada na Barra 3 = 237,425 MW

selo BarraZ PS Abdelkader Modificado Proposto


(MW) (Mvar) (MW) (Mvar) (MW) (Mvar) (MW) (Mvar) (MW) (Mvar) Carga 0,5370 2,3149 0,1701 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,6388 2,0314 1

Geração 0,7456 9,0552 0,2418 --- 0,2144 7,2254 0,2879 5,7667 0,3070 0,3597

Carga 1,9393 3,0865 3,7406 --- 3,6133 15,1982 3,6133 15,1940 3,6185 12,67802 Geração 0,0000 0,0000 0,0000 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

Carga 0,9547 3,0865 0,6970 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0844 -0,61493 Geração 2,7674 3,6224 2,0685 --- 2,8865 8,1371 2,8603 8,5234 2,4245 7,0787

Carga 0,5967 3,0865 0,7743 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,3961 -2,20174 Geração 1,5888 2,7550 2,1108 --- 2,0010 0,0701 1,9536 1,1425 2,3703 7,9941

Carga 1,0741 3,8581 0,4006 --- 1,4886 0,2344 1,4886 0,2385 1,1563 3,5397 5 Geração 0,0000 0,0000 0,0000 --- 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000


Total 10,2037 30,8651 10,2037 --- 10,2037 30,8651 10,2037 30,8651 10,2037 30,8651

152

6.3.5 Alocação de Perdas no Sistema IEEE 30 Barras

Nesta seção apresentam-se testes usando o sistema IEEE 30 barras,

ilustrado na Figura 6.5. Este sistema tem 30 barras, 41 linhas, os dados das barras

são apresentados na Tabela 6.24 e os dados de linhas na Tabela 6.25.

De acordo com o método proposto, tanto os geradores como as cargas têm

participação nas perdas de todas as linhas, podendo ter valor positivo ou negativo.

Dado o grande número de linhas, somente são apresentadas as participações dos

geradores e cargas nas perdas totais do sistema, isto é, a soma das participações

destes nas perdas de cada linha.

Na Tabela 6.26 apresenta-se a alocação de perdas complexas aos

geradores e cargas para o sistema IEEE 30 barras. Nota-se que há, em uma

mesma barra, alocações tanto para carga como para gerador. Isto ocorre porque no

método considera-se gerador e carga como participantes independentes do jogo, o

que é adequado. Por exemplo, na barra 2, há geração e carga, e suas participações

nas perdas são (0,7074 MW / -0,1240 Mvar) e (0,2555 MW / -0,687 Mvar),

respectivamente.

153

Figura 6.5 - Diagrama Unifilar do Sistema IEEE 30 Barras

Tabela 6.24 – Dados das Barras do Sistema IEEE 30 barras

Tensão Carga Geração Barra

Nº Mag, (pu)

Ang (rad)

P (MW)

Q (Mvar)

P (MW)

Q (Mvar)

Q Shunt (Mvar)

1 1,06 0 0 0 261 -20,02 0 2 1,043 -5,49 21,7 12,7 40 43,87 0 3 1,027 -8,06 2,4 1,2 0 0 0 4 1,019 -9,73 7,6 1,6 0 0 0 5 1,01 -14,36 94,2 19 0 35,06 0 6 1,014 -11,41 0 0 0 0 0 7 1,004 -13,15 22,8 10,9 0 0 0 8 1,01 -12,1 30 30 0 27,01 0 9 1,036 -14,68 0 0 0 0 0

10 1,026 -16,39 5,8 2 0 0 19,98 11 1,082 -14,68 0 0 0 23,73 0 12 1,034 -15,7 11,2 7,5 0 0 0 13 1,071 -15,7 0 0 0 28,21 0 14 1,019 -16,62 6,2 1,6 0 0 0 15 1,015 -16,7 8,2 2,5 0 0 0 16 1,023 -16,28 3,5 1,8 0 0 0 17 1,019 -16,57 9 5,8 0 0 0 18 1,006 -17,31 3,2 0,9 0 0 0 19 1,004 -17,48 9,5 3,4 0 0 0 20 1,009 -17,27 2,2 0,7 0 0 0

154

21 1,012 -16,85 17,5 11,2 0 0 0 22 1,013 -16,83 0 0 0 0 0 23 1,004 -17,07 3,2 1,6 0 0 0 24 0,999 -17,2 8,7 6,7 0 0 4,29 25 0,991 -16,68 0 0 0 0 0 26 0,973 -17,12 3,5 2,3 0 0 0 27 0,996 -16,08 0 0 0 0 0 28 1,01 -12,02 0 0 0 0 0 29 0,975 -17,38 2,4 0,9 0 0 0 30 0,963 -18,32 10,6 1,9 0 0 0

TOTAL 283,4 126,2 301 137,86 24,27

Tabela 6.25 – Dados dos Fluxos das Linhas do Sistema IEEE 30 barras

Fluxo na linha Fluxo na linha De (k) Para (m) De (m) Para (k) Perdas Barra

K

Barra

m P (MW)

Q (Mvar)

P (MW)

Q (Mvar)

P (MW)

Q (Mvar)

1 2 177,49 -22,08 -172,04 32,55 5,45 10,471 3 83,51 2,06 -80,69 5,02 2,81 7,082 4 45,56 -1,13 -44,47 0,53 1,09 -0,63 4 78,29 -6,22 -77,52 7,56 0,77 1,342 5 82,89 1,71 -79,9 6,44 2,99 8,152 6 61,89 -1,96 -59,85 4,21 2,05 2,254 6 71,54 -6,08 -70,95 7,2 0,59 1,125 7 -14,3 9,62 14,44 -11,33 0,14 -1,716 7 37,61 -1,03 -37,24 0,43 0,37 -0,66 8 29,5 0,47 -29,4 -1,04 0,1 -0,576 9 28,81 -10,18 -28,81 12,07 0 1,896 10 16,23 -1,43 -16,23 2,86 0 1,449 11 0 -22,73 0 23,73 0 19 10 28,81 10,66 -28,81 -9,7 0 0,974 12 42,86 -3,61 -42,86 8,17 0 4,5612 13 0 -27,24 0 28,21 0 0,9712 14 7,71 2,38 -7,64 -2,22 0,07 0,1612 15 17,35 6,59 -17,13 -6,17 0,21 0,4212 16 6,6 2,6 -6,56 -2,51 0,04 0,0914 15 1,44 0,62 -1,43 -0,62 0,01 016 17 3,06 0,71 -3,05 -0,69 0,01 0,0215 18 5,64 1,28 -5,61 -1,21 0,03 0,0718 19 2,41 0,31 -2,4 -0,3 0 0,0119 20 -7,1 -3,1 7,12 3,14 0,02 0,0410 20 9,41 4,05 -9,32 -3,84 0,09 0,2110 17 5,97 5,16 -5,95 -5,11 0,02 0,0510 21 16,06 10,61 -15,93 -10,35 0,12 0,2610 22 7,8 4,99 -7,74 -4,87 0,06 0,1221 22 -1,57 -0,85 1,57 0,85 0 015 23 4,72 3,01 -4,69 -2,95 0,03 0,0622 24 6,17 4,02 -6,11 -3,92 0,06 0,09

155

23 24 1,49 1,35 -1,49 -1,34 0,01 0,0124 25 -1,1 2,85 1,12 -2,82 0,02 0,0325 26 3,55 2,37 -3,5 -2,3 0,05 0,0725 27 -4,66 0,45 4,69 -0,4 0,02 0,0528 27 17,99 4,29 -17,99 -2,96 0 1,3327 29 6,2 1,68 -6,11 -1,51 0,09 0,1727 30 7,1 1,68 -6,93 -1,36 0,17 0,3229 30 3,71 0,61 -3,67 -0,54 0,04 0,078 28 -0,6 -1,95 0,6 -2,41 0 -4,366 28 18,64 0,75 -18,59 -1,88 0,06 -1,13

TOTAL 17,59 35,92

Observa-se também que a soma das perdas ativas e reativas alocadas aos

agentes é exatamente igual às perdas totais do sistema. Além disso, a alocação

obtida é consistente com a posição elétrica dos agentes na rede e com o nível de

geração / carga dos mesmos.

Na Tabela 6.26 observa-se que os geradores 1 e 2 são os únicos que

injetam potência ativa, enquanto que os geradores 5, 8, 11 e 13 atuam como

compensadores de potência reativa. Nota-se que as alocações refletem as ordens

de grandeza das injeções, dado que praticamente todas as perdas ativas do sistema

são atribuídas aos geradores 1 e 2, enquanto os outros geradores têm pouca

participação nas perdas ativas (pequenas e de valores negativos). Neste caso,

pode-se afirmar que os compensadores de potência reativa ajudam a diminuir as

perdas ativas, devido ao valor negativo de suas participações. Conseqüentemente,

pode-se concluir que existe uma relação entre potência reativa e perdas ativas.

Portanto, a alocação de perdas não pode ser tratada de forma desacoplada.

Na Tabela 6.26 observa-se que a barra de carga 30 tem uma participação

considerável nas perdas ativas e reativas do sistema, embora sua carga seja

pequena em relação às outras barras. Isso ocorre porque a barra 30 encontra-se

longe dos geradores. O resultado reflete o fato que o método é baseado nas leis de

circuito, nas quais o conceito de distância elétrica está implícito. Pode-se observar

que a influência é maior na alocação de perdas reativas a essa barra. Isto pode ser

interpretado como deficiência no suporte de potência reativa nessa área do sistema

(ver Figura 6.5).

156

A influência das fontes de potência ativa e reativa nas perdas ativas e

reativas é também ilustrada através da análise comparativa entre as barras de carga

15 e 23. A barra 15 tem carga reativa de 2,5 Mvar e as perdas reativas alocadas a

ela correspondem a 0,683 Mvar, enquanto a barra 23, com uma carga reativa de 2,6

Mvar, tem uma participação menor nas perdas reativas: 0,362 Mvar. Isto ocorre

porque as perdas de potência reativa são o resultado conjunto da presença de

carga ativa e reativa. A carga ativa da barra 15 é 8,2 MW, enquanto da barra 23 é

somente 3,2 MW.

Na Tabela 6.26 são observadas alocações negativas de perdas reativas

decorrentes de contribuições de potência reativa ao sistema, isto é, da injeção de

potência reativa na rede por essas barras. Analogamente, as alocações positivas de

perdas de potência reativa indicam que estas barras contribuem com consumo de

potência reativa.

Tabela 6.26 - Alocação de Perdas Complexas às Cargas e Geradores no Sistema IEEE 30 Barras

Ativas Reativas Ativas Reativas Barras (MW) (Mvar)

Barras (MW) (Mvar)

1 8.0751 17.7765 2 0.2555 -0,687 2 0.7074 -0.124 3 0.0425 0,020 5 0.0412 -0.2763 4 0.1518 0,196 8 -0.0122 -0.4487 5 2.9458 2,333

11 -0.005 0.5423 7 0.7451 1,212 13 -0.0087 0.4927 8 1.0916 1,323

10 0.1614 0,465 12 0.3056 0,820 14 0.1746 0,488 15 0.2482 0,683 16 0.1033 0,287 17 0.2917 0,839 18 0.1067 0,368 19 0.3329 1,049 20 0.073 0,205 21 0.6089 1,999 23 0.1147 0,362 24 0.3548 1,077 26 0.1585 0,509 29 0.0924 0,589

Ger

ador

es

Car

gas

30 0.4379 4,202 Total 8.79 17.962 Total 8.79 17.962

157

6.4 Conclusões

Neste capítulo foram apresentadas as aplicações dos métodos propostos em

sistemas- teste pequenos de 4 barras e 5 barras com a finalidade de facilitar o

entendimento dos métodos, comentando, interpretando e discutindo os resultados

obtidos. Adicionalmente, para o problema de alocação de perdas complexas é

realizada uma aplicação para o sistema de 30 barras.

O método proposto de alocação de perdas complexas foi comparado com

outros métodos em três cenários diferentes, sendo que em cada cenário são

calculadas as participações dos agentes nas perdas do sistema com os diferentes

métodos, analisando e interpretando os resultados obtidos.

7 Conclusões

Nesta tese são apresentadas duas propostas novas: uma para alocar

simultaneamente as perdas de potência ativa e reativa entre os agentes (geradores

e cargas) e outra para determinar a participação de cada gerador no consumo das

cargas.

Estas propostas estão fundamentadas na teoria de circuitos em combinação

com a teoria dos jogos, especificamente o método de Aumann-Shapley, que é o

único método de alocação que satisfaz as condições fundamentais apresentadas na

Seção 2.9, fazendo dele um método amplamente reconhecido como justo e

eficiente.

O método proposto para alocar as perdas complexas é caracterizado por ser

um dos poucos que realiza simultaneamente, a alocação das perdas ativas e

reativas, levando em conta o acoplamento mútuo. As componentes de corrente

reais e imaginárias equivalentes dos geradores e cargas são tratadas como

jogadores independentes, permitindo identificar a influência delas tanto nas perdas

ativas como reativas.

Este tratamento como agentes independentes também é estendido para o

caso de gerações e cargas situadas numa mesma barra, tornando possível modelar

as contribuições individuais de cada agente. De fato, de acordo com a teoria de

circuitos, uma fonte de corrente equivalente de um gerador se divide em parcelas

que chegam a todas as cargas, assim como a corrente que chega a uma carga é

formada pela contribuição de todas as fontes de corrente equivalentes dos

geradores. Assim sendo, um gerador e carga situados numa mesma barra podem

ter participações diferentes nas perdas do sistema.

Às alocações negativas das perdas ativas não podem ser interpretadas

como subsídios cruzados, uma vez que estas refletem a participação de agentes na

159

redução das perdas, com benefícios para todos os usuários do sistema de

transmissão. Portanto, estes agentes devem ser compensados pela ação de reduzir

as perdas, sendo que esta remuneração é coberta pela redução nas perdas dos

outros agentes.

Os resultados obtidos através dos estudos de casos corroboram que

componentes reais e imaginárias de corrente influenciam no processo de alocação

de perdas complexas. A influência é maior nos sistemas que operam com alta

circulação de potência reativa, quando as perdas ativas são fortemente

influenciadas pela componente imaginária de corrente. Portanto, pode concluir-se

que o processo de alocação de perdas ativas e reativas não pode ser tratado de

forma independente e é necessária uma abordagem complexa.

O método proposto para determinar a participação de cada gerador no

consumo das cargas segue um procedimento similar ao método de alocação de

perdas complexas, permitindo evidenciar a influência da geração de potência ativa

na demanda de potência reativa, assim como a influência da geração de potência

reativa na demanda de potência ativa.

Obteve-se pela primeira vez uma solução analítica na aplicação do método

de Aumann-Shapley para resolver o problema de alocação das perdas de potência

ativa e reativa entre os agentes (geradores e cargas), assim como na determinação

da participação de cada gerador no consumo das cargas, superando as duas

grandes dificuldades do método de Shapley (não-isonomia e dificuldade

computacional).

O método proposto, por utilizar uma resolução analítica do método de

Aumann- Shapley, não demanda esforço computacional significativo, e isentam os

resultados numéricos de erros que poderiam surgir com alternativas de resolução

utilizando processos iterativos.

Para trabalhos futuros, são sugeridas as seguintes tarefas:

Implementar o método proposto para alocação de perdas considerando

submercados;

Utilizar o método proposto de alocação de perdas, para serem

aplicados em sistemas de distribuição de energia elétrica;

160

Aplicar os princípios do método proposto para avaliação e alocação de

custos do uso da rede de transmissão de energia elétrica;

Determinação de estudo de pontos de sensibilidade;

Adequação do método proposto para tratar do problema de

gerenciamento da congestão e sua alocação entre os agentes do

mercado de energia elétrica.

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9 Apêndice A - Método de Aumann-Shapley

Para demonstrar a formulação matemática do método de Aumann-Shapley,

consideram-se dois agentes A e B, por exemplo, com montantes bA e bB de utilização

de um determinado serviço [Marzano, 1998].

O método de Aumann-Shapley baseia-se na premissa de que cada agente

pode ser composto de diversos subagentes com mesmo montante de utilização do

serviço (Δ). Assim, considera-se que os agentes A e B sejam repartidos em N1 e N2

subagentes distintos, respectivamente:

Agente A: N1

subagentes

Agente B: N2

subagentes

Definindo N = N1 + N2 como o número total de subagentes obtidos, estes

poderiam ser combinados de várias maneiras possíveis. Cada uma dessas

combinações pode ser interpretada como um “caminho” no espaço bidimensional,

desde o ponto anterior à entrada dos agentes até o ponto onde os dois agentes A e

B já entraram. A Figura A.1 ilustra o caminho ABA, considerando os subagentes N1

= 2 e N2 = 1.

167

Figura A.1 - Caminho ABA

Para cada caminho α obtido a partir das combinações dos subagentes, um

custo marginal médio é obtido. Por exemplo, o custo marginal médio para o caminho

mostrado na Figura A-1 seria:

( ,0). (2 , ).A

A

c cx x

Pα

π

∂ ∂⎛ ⎞Δ Δ + Δ Δ Δ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠=

(A.1)

( , ).B

B

cy

Pα

π

⎛ ⎞∂Δ Δ Δ⎜ ⎟∂⎝ ⎠=

(A.2)

Os coeficientes finais são obtidos como a média dos custos marginais

médios de todos os caminhos:

α

α

α

ππ =

∑ A

AN

(A.3)

α

α

α

ππ =

∑ B

BN

(A.4)

Observa-se que (A.3) e (A.4) podem ser vistos como o valor esperado de

uma variável aleatória em função de uma distribuição discreta. Além disso, quando

168

o montante de serviço dos subagentes tende a zero (Δ → 0), o número de

subagentes tende ao infinito (N, N1, N2 → ∞).

Para obter o limite, deve-se computar π A e π B em uma forma não

seqüencial. Seleciona-se um ponto no espaço bidimensional (τA , τB ), tal que

τ≤ ≤0 A AP e τ≤ ≤0 B BP . Definindo τ= Δ1 /Ak e τ= Δ2 /Bk , o número de caminhos

que passam por ( )Δ Δ1 2,k k e ( )+ Δ Δ1 2( 1) ,k k seria:

+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 2 1 11 2

1 1 1 1 2

( ) 1( , )

1 ( )k k N k k N k

N k kk N k N k k

(A.5)

onde:

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 1 1 21 2

1 1 1

, ( )( , )

k k N k kN k k

k N k

(A.6)

Agora π A pode ser reescrito como:

1 2

1 1 1 21 2

1 1 2( , )

( , )1 ( , )( )

AA k k

N k N k k c k kP N k k N xα

π− ∂

= ⋅ ⋅ ⋅ Δ Δ Δ− + ∂∑

(A.7)

Ou, fazendo = +1 2k k k :

1

1 1 1 11 1

1 1

( , )1 ( ,( ) )N k

AA k k

N k N k k k c k k kP N k N xα

π= =

− − ∂= ⋅ ⋅ ⋅ Δ − Δ Δ

− ∂∑ ∑

(A.8)

Verifica-se que:

α

−− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

1 1

1 1 1 1 11 1

1

..( , )

N N Nk N kk N k k k kN k k k

NNNkN

(A.9)

169

é a distribuição hipergeométrica com parâmetros 1( , , )N N k . Fazendo

= = +1 ( )A A Bp N N P P P , sabe-se que quando →∞1 2, ,N N N , mantendo-se p

constante, a distribuição hipergeométrica se aproxima da distribuição binomial com

parâmetros ( , )k p [Larson, 1982].

Como:

−→

−1 1 1 ,N k N

N k N quando

N , 1N → ∞

Então:

1 1

1

11 1

11 1

1 (1 ) ( ,( ) )N k

k k kA

A k k

kN cp p k k kkP N x

π −

= =

⎛ ⎞ ∂= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ Δ − Δ Δ⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

∑ ∑

(A.10)

A partir da definição de 1 2, ,k k k :

1 1

1

1 1

1

1 111

1 111

(1 ) ( ,( ) )

(1 ) ,( )

,(1 )k

kk k k

k

kk k k

k

k kS

k cp p k k kk x

k cp p k k kk x k k

S ScEx k k

τ τ

τ τ

−

=

−

=

⎛ ⎞ ∂⋅ ⋅ − ⋅ Δ − Δ =⎜ ⎟ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞ ∂ ⎛ ⎞⋅ ⋅ − ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤∂ ⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∑

∑

(A.11)

onde:

τ τ τ= +A B

kS : soma de k variáveis independentes com função de distribuição de Bernoulli,

com probabilidade de sucesso p ;

[.]kSE : valor esperado em relação à variável kS .

Da lei dos grandes números [Larson, 1982]:

170

→ , 1kSp com probabilidade

k

(A.12)

Então, da continuidade de ∂∂cx

, quando → ∞k :

,(1 ) ( ,(1 ) ) ( ,(1 ) )k

k kS

S Sc c cE p p kp p kx k k x x

τ τ τ τ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞− → − = Δ − Δ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

(A.13)

Com isto:

1

1

1 ( ,(1 ) )N

AA k

N c kp p kP N x

π=

∂= ⋅ ⋅ Δ − Δ Δ

∂∑

(A.14)

Como Δ = 1AP N , então:

π=

∂ ⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠∑

1

1 ,N

A BA

k

P Pc k kN x N N

(A.15)

Finalmente, como → ∞N :

1

0( , )A A B

t

c tP tP dtx

π=

∂=

∂∫

(A.16)

Da mesma forma, para o agente B:

1

0( , )B A B

t

c tP tP dty

π=

∂=

∂∫

(A.17)

Onde π A e π B são chamados de custos unitários de Aumann-Shapley para

os agentes A e B, respectivamente. Eles correspondem à média dos custos

171

marginais, quando os montantes de utilização do serviço crescem uniformemente de

zero até seus valores finais.

Generalizando para n agentes, o custo que cabe a cada um utilizando-se a

metodologia de Aumann-Shapley seria:

π= ⋅ ii ix b

(A.18)

onde:

1

0( ) 1,2,...,i

it

c tb dt i nb

π=

∂= =

∂∫

(A.19)

ix : custo alocado para o agente i;

ib : montante do serviço utilizado do agente i;

π i : custo unitário de Aumann-Shapley para o agente i.

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