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XXXIV CNMAC - CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA Das transformadas integrais ao Cálculo Fracionário à Engenharia de Produção Pedro Felipe Pavanelo Ramos Aluno de Engenharia de Produção, Faculdade de Engenharia UNESP 17033-360, Bauru, SP, Brasil. e-mail: [email protected] Rubens Figueiredo Camargo Docente do Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências UNESP 17033-360, Bauru, SP, Brasil. e-mail: [email protected] RESUMO A principal razão para se estudar equações diferenciais é buscar compreender algo acerca dos processos físicos que elas visam representar, a importância de tais equações é que mesmo as equações mais simples correspondem a modelos físicos de grande utilidade [1]. Assim, é necessário fazer a descrição da ocorrência de fenômenos ou o funcionamento de sistemas da vida real em várias áreas do conhecimento, notadamente na física e na engenharia, a saber, áreas envolvidas nas aplicações do presente trabalho. Matematicamente, a descrição dos referidos fenômenos e sistemas recebe o nome de modelo matemático e é feita por meio da construção de hipóteses relacionadas a funções e suas respectivas taxas de variação, o que remete ao conceito de derivada. Dessa forma, podemos dizer que a representação matemática dessas hipóteses pode ser expressa por uma equação diferencial ou um conjunto de equações diferenciais [4]. Muitos modelos matemáticos apresentam considerável proximidade com a realidade, contudo, não são capazes de descrevê-la perfeitamente. Há um grande número de situações-problema nas quais se torna muito difícil prever o comportamento das variáveis envolvidas, como é caso do mercado de ações, no âmbito da economia e também da dengue, no que se refere à saúde, visto que ambos são influenciados por fatores de difícil análise, o que faz com que suas modelagens sejam extremamente complexas. Diante disso, é evidente a necessidade da construção de modelos mais precisos, a fim de que descrever tais fenômenos de forma que sejam mais próximos da realidade. Nesse contexto, o chamado cálculo de ordem não-inteira, popularizado como cálculo fracionário, tem um papel de elevado destaque. Embora alguns fatores tenham contribuído para que o mesmo não fosse utilizado em grande escala, como a existência de uma série de definições não equivalentes para a derivada fracionária e uma interpretação física e geométrica não evidente, o cálculo fracionário provou ser uma das ferramentas mais precisas para refinar a descrição de 103 ISSN 1984-8218

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XXXIV CNMAC - CONGRESSO NACIONAL DE MATEMÁTICA APLICADA

Das transformadas integrais ao Cálculo Fracionário à Engenharia de Produção

Pedro Felipe Pavanelo Ramos – Aluno de Engenharia de Produção, Faculdade de

Engenharia – UNESP – 17033-360, Bauru, SP, Brasil.

e-mail: [email protected]

Rubens Figueiredo Camargo – Docente do Departamento de Matemática, Faculdade de

Ciências – UNESP – 17033-360, Bauru, SP, Brasil.

e-mail: [email protected]

RESUMO

A principal razão para se estudar equações diferenciais é buscar compreender algo acerca dos

processos físicos que elas visam representar, a importância de tais equações é que mesmo as

equações mais simples correspondem a modelos físicos de grande utilidade [1].

Assim, é necessário fazer a descrição da ocorrência de fenômenos ou o funcionamento de

sistemas da vida real em várias áreas do conhecimento, notadamente na física e na engenharia, a

saber, áreas envolvidas nas aplicações do presente trabalho. Matematicamente, a descrição dos

referidos fenômenos e sistemas recebe o nome de modelo matemático e é feita por meio da

construção de hipóteses relacionadas a funções e suas respectivas taxas de variação, o que remete ao

conceito de derivada. Dessa forma, podemos dizer que a representação matemática dessas hipóteses

pode ser expressa por uma equação diferencial ou um conjunto de equações diferenciais [4].

Muitos modelos matemáticos apresentam considerável proximidade com a realidade, contudo,

não são capazes de descrevê-la perfeitamente. Há um grande número de situações-problema nas

quais se torna muito difícil prever o comportamento das variáveis envolvidas, como é caso do

mercado de ações, no âmbito da economia e também da dengue, no que se refere à saúde, visto que

ambos são influenciados por fatores de difícil análise, o que faz com que suas modelagens sejam

extremamente complexas. Diante disso, é evidente a necessidade da construção de modelos mais

precisos, a fim de que descrever tais fenômenos de forma que sejam mais próximos da realidade.

Nesse contexto, o chamado cálculo de ordem não-inteira, popularizado como cálculo

fracionário, tem um papel de elevado destaque. Embora alguns fatores tenham contribuído para que

o mesmo não fosse utilizado em grande escala, como a existência de uma série de definições não

equivalentes para a derivada fracionária e uma interpretação física e geométrica não evidente, o

cálculo fracionário provou ser uma das ferramentas mais precisas para refinar a descrição de

103

ISSN 1984-8218

fenômenos. A forma usual de se utilizar a modelagem feita por equações de ordem não-inteira

baseia-se em substituir a derivada de ordem inteira da equação diferencial ordinária ou parcial que

descreve um dado fenômeno por uma de ordem não-inteira. De maneira natural, esse método nos

conduz a equações diferenciais de ordem não-inteira e a necessidade de resolvê-las [2].

Além disso, o cálculo fracionário possibilitou o surgimento de importantes resultados,

generalizações e métodos analíticos de suma importância para a matemática aplicada.

Existe uma série de definições propostas para a derivada de ordem não-inteira que são

baseadas em generalizações da derivada de ordem inteira, dentre as mais relevantes é importante

citar a definição de Riemann-Liouville, que é a derivada de ordem fracionária mais conhecida e, por

conseguinte, a mais utilizada. A derivada de Grünwald-Letnicov, que tem como principio a

definição da derivada de ordem inteira e é especialmente utilizada na resolução de problemas

numéricos. E a chamada definição segundo Caputo, que apesar de ser mais restritiva, é a que será

apresentada e utilizada no presente trabalhos, pois esta é a mais adequada quando trabalhamos com

problemas físicos [3].

Este trabalho tem como motivação utilizar as ferramentas matemáticas apresentadas na

resolução do clássico problema da Tautócrona, também conhecida como Curva Isocrônica. Trata-se

uma ciclóide e é a curva na qual o tempo gasto por um objeto para deslizar sem fricção em

gravidade uniforme até seu ponto de mínimo, independentemente de seu ponto de partida.

Dessa forma, têm por objetivo resolver o problema da tautócrona com base em equações

diferenciais nas versões convencional e fracionária, a fim de analisar os dois métodos e compará-

los, visando analisar a proximidade entre a realidade e os resultados encontrados, bem como

observar o refinamento gerado pela utilização da versão de ordem não-inteira.

Palavras-chave: Modelagem matemática, Cálculo Fracionário, Tautócrona

Referências

[1] BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de

Contorno. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1998. 532p.

[2] CAMARGO, R. F. Do Teorema de Cauchy ao método de Cagniard. 2005. 118f. Dissertação

(Mestrado em Matemática) – UNICAMP. Campinas. 2005.

[3] CAMARGO, R. F. Cálculo Fracionário e Aplicações. 2009. 141f. Tese (Doutorado em

Matemática) – UNICAMP. Campinas. 2005.

[4] ZILL, D. G. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem. 2. ed. São Paulo: Cengage

Learning, 2011. 410p.

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ISSN 1984-8218