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CÁLCULO INTEGRAL

Antes de iniciarmos o estudo do Cálculo Integral, vamos definir e calcular

Diferencial, pois, para aplicar as regras de integração, precisaremos do

conceito e da aplicação de Diferencial.

DIFERENCIAL

Prezado estudante, quando avaliamos derivadas, vimos que

representava um dos símbolos da derivada primeira da função y = f(x) em

relação a variável independente x.

Contudo, existem certos problemas em que dy e dx deverão ter sentidos

isoladamente. É esse isolamento que verificaremos a seguir.

Seja a função

Determinando , encontramos:

Isolando dy, temos: .

Em função disso podemos dizer que:

- A diferencial de uma função f(x) é igual ao produto de sua derivada f´(x)

pela diferencial da variável independente dx.

Regras para o cálculo da Diferencial

Vimos, pela definição, que a diferencial de uma função é o produto de sua

derivada pela diferencial da variável independente, portanto, as regras para

determinamos diferenciais serão as mesmas das derivadas, bastando para isso

multiplicarmos a derivada por dx.

Em decorrência dessa informação, vamos calcular as diferenciais das

funções abaixo:

2

a) f(x) = 3 b) y = -3x c) y = 2x5

d) f(x) = x3 + 5x2 - 4 e) y = e4x f) y = Ln (5x)

SOLUÇÃO

A partir dessas orientações sobre Diferencial, podemos iniciar os estudos de

Cálculo Integral.

CÁLCULO INTEGRAL

01- INTRODUÇÃO

Durante nossos estudos sobre a disciplina Matemática, observamos

algumas funções que apresentam inversas. Relembremos algumas delas com

seus respectivos gráficos. y y

4 y = x + 4 y-1

= x - 4 x

0 x -4

y-1

= √x

y = x2

3

y = 2x y-1 = Log

2x

Agora, verificaremos através de exemplo, que a Integral e a Derivada são

funções inversas uma da outra.

- Seja a função f(x) = x4.

- Determinando a primeira derivada, temos:

f`(x) = 4x3

- Integrando essa derivada, obtemos:

f`(x) = 4x3

f`(x) = x4

Observe que o resultado de f`(x) é igual ao valor da função f(x), logo f(x) é

a antiderivada de f’(x) que é a função Primitiva (Integral).

O2) CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO

- Sejam as funções , e . Calculando

suas respectivas derivadas:

f`(x) = 6x g`(x) = 6x h`(x) = 6x

Observando que os resultados das derivadas são iguais e sabendo que a

derivada e a integral são funções inversas, então, podemos afirmar que:

, e

Notamos que, neste momento, não existe condição de sabermos quais as

constantes que irão acompanhar as integrais para que encontremos as funções

primitivas, por isso que, ao integrarmos qualquer função, adicionamos sempre,

no final, a letra c, que é denominada CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO.

, e

03- INTEGRAL INDEFINIDA

4

Toda integral que apresenta a constante de integração é denominada de

INTEGRAL INDEFINIDA.

Notas:

a) A função a ser integrada [ ] é chamada de integrante.

b) c é chamada de constante de integração.

c) A expressão dx indica que x é a variável independente utilizada na operação

04- REGRAS FUNDAMENTAIS DE INTEGRAIS INDEFINIDAS (IMEDIATAS)4.1) Integral de uma constante.

Quando k = 1, temos:

Exemplo: - Resolva as integrais:

a) b) c) d)

Solução:

a)

Observe que ao multiplicar -3 pela constante c encontramos outra constante (-

3.c). Como não sabemos o valor dessas constantes, no final da integração

colocamos sempre +c.

b) = -x+c

c)

d)

4.2) Integral da potência.

Nota: observe o que acontece com a integral da potência quando n = -1.

5

.

Então, nesse caso, a regra de integração da função f(x) = x-1 é:


a) b) c) d)

e) f) g) h)

Solução:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

4.3) Integral da soma algébrica.

Exemplo:

6

- Resolva as integrais:

a) b) c) d)

Solução:

a)

b)

c)

d)

4.4) Integral da função exponencial.


a) b) c) d)

Solução:

a)

b)

c)

7

d)

Exercício- Em cada item abaixo, encontre a função primitiva:

a) f’(x)=2x – 4, sendo f(3) = 2 b) y’ = 6x2 – 4x + 2, sendo y(2) = -3

Solução:a) f’(x) = 2x – 4, sendo f(3) = 2

b) y’ = 6x2 – 4x + 2, sendo y(2) = -3

Substituindo c = -15 em y, temos a função primitiva y = 2x3 – 2x2 + 2x - 15.

Aplicação na Economia.

- Sabendo que q representa a quantidade produzida de determinado produto e

Rmg = -q2 + 20q – 2, Cmg = 4q – 3, Cf = 70 e Pmg = 4q3 + q, suas

respectivamente, funções Receita Marginal, Custo Marginal, Custo Fixo e

Produção Marginal. Determine as funções Receita, Custo e Produção.

Solução:

- Cálculo da Função Receia (Rt).

Como, a Função Receita Marginal (Rmg) representa a 1a derivada da

Função Receita (Rt), devemos integrar Rmg, para encontrar Rt.

8

Note que para determinar a constante de integração c, devemos lembrar

que quando q = 0 a Função receita torna-se nula.

(q = 0 R = 0)

Logo, a Função Receita é

- Cálculo da Função Custo (Ct).

Note que para determinar a constante de integração c, verifica-se que quando

q = 0 temos C(0) = Cf = 70, logo:

Portanto, a Função Custo é

- Cálculo da Função Produção (Pt).

Quando q = 0 a Função Produção torna-se nula, logo,

Portanto, a Função Produção é

Aplicação na Física.- Após determinado instante, a velocidade de um veículo (km/hora) é dada pela

função . Encontre a posição do veículo quando t = 10 h.

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Ao estudar derivada observamos que a Função Velocidade está relacionada

com a derivada primeira da Função Espaço, então, para encontrar a Função

Espaço, tendo a Função Velocidade, devemos integrar a mesma da seguinte

maneira:

Para t = 10 h, temos:

Verifica-se que após 10 horas o veículo percorreu 550 km.

APLICAÇÃO – 1

1) Calcule a função primitiva em cada caso:

1.1) f’(x) = 2x – 5, sendo f(3) = -14

1.2) f’(x) = 2x2 + 2x – 3, sendo f(-2) = 2

1.3) f’(x) = 3. , sendo f(4) = 12

1.4) f’(x) = , sendo f(e3) = 8

2) Resolva as integrais indefinidas:

2.1) 2.2) 2.3)

2.4) 2.5) 2.6)

2.7) 2.8) 2.9)

2.10) 2.11) 2.12)

10

2.13) 2.14) 2.15)

2.16) 2.17) 2.18)

2.19) 2.20) 2.21)

2.22) 2.23) 2.24)

2.25) 2.26) 2.27)

2.28) 2.29) 2.30)

Até esse momento, trabalhamos com funções simples, agora,

utilizaremos as regras de integral vista acima, em funções compostas,

onde foram analisadas quando do estudo de Derivadas (Regra da Cadeia).

Para resolvermos esse tipo de integral, utilizaremos o método de substituição (mudança de variável), por ser um caminho que facilitará a

resolução de integrais pertencentes a uma extensa categoria de funções.

A fim de entendermos esse método, vamos resolver alguns exemplos:

1o) .

Um caminho para determinar essa integral seria o desenvolvimento da

potência e, em seguida, integrar um por um dos termos. Para evitar

esse trabalho, vejamos se é possível resolver , pelo método da

substituição.

1- Chama-se de u a base da potência (4x – 2). 2- Calcula-se du/dx.

3- Isola-se dx (diferencial).

Agora, faz-se a mudança de variável.

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Observa-se que a integral , transformou-se na integral simples

, logo, podemos aplicar a fórmula da potência vista anteriormente, e

em seguida, voltar para a variável x.

Para confirmar se o resultado encontrado está correto, devemos verificar

se a derivada do resultado encontrado é igual ao integrante da integral.

A resposta está correta, pois, o resultado encontrado é o integrante de

.

2o) .

Aplica-se a mesma técnica do exemplo anterior.

3o)

4o)

12

APLICAÇÃO – 2- Encontre o resultado de cada integral indefinida abaixo:

1- 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

25) 26) 27)

28) 29) 30)

13

4.5) Integral de Funções trigonométricas.

4.5.1) Função Seno.

Exemplo:- Resolva as integrais:

a) b)

Solução:

a)

b)

4.5.2) Função Cosseno.


a) b)

Solução:

a)

b)

4.5.3) Função Tangente.


a) b)

Solução:

14

a)

b)

4.5.4) Função Cotangente.


a) b)

Solução:

a)

b)

4.5.5) Função secante.


a) b)

Solução:

a)

b)

15

4.5.6) Função cossecante.


a) b)

Solução:

a)

b)

4.5.7)

Exemplo:- Resolva a integral abaixo:

Solução:

4.5.8)


Solução:

4.5.9)

Exemplo:

16

- Resolva a integral abaixo:

Solução:

4.5.10)


Solução:

APLICAÇÃO - 3- Resolva as integrais indefinidas:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

05- INTEGRAÇÃO POR PARTES.

Existem algumas integrais que não conseguimos resolver utilizando qualquer

método até agora visto. Então, para resolver essas integrais devemos utilizar

um novo método denominado Integração por Partes.

Fórmula da Integração por Partes:

Seja f(x).g(x) o produto de duas funções.

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Aplicando a derivada nesse produto, encontramos:[f(x).g(x)]’= f(x).g’(x) + g(x).f’(x)

Tirando o valor de f(x).g’(x) temos:

f(x).g’(x) = [f(x).g’(x)]’ - g(x).f’(x)

Integrando ambos os membros da igualdade obtemos: f(x).g’(x)dx = [f(x).g’(x)]’ - g(x).f’(x)dx

f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) - g(x).f’(x)dx fórmula de integração por partes.

Exemplo:- Calcular as integrais:

01) 02) 03)

Solução:

01)

f(x).g’(x)dx = f(x).g’(x) - g(x).f’(x)dx


02)



18

03)



10- INTEGRAL DEFINIDA

10.1- Introdução.

Durante nossos estudos sobre integral Indefinida, aprendemos a calcular vários tipos de integrais, utilizando para isso alguns métodos de resolução.

Esses métodos são também utilizados para calcular a Integral Definida. Essas integrais, que são definidas num intervalo [a, b], facilitam os cálculos das áreas e dos volumes das figuras geométricas.

10.2- Cálculo de uma Integral Definida.

- Seja a função y = f(x).

- Determinando a diferencial, temos:

- Calculando a Integral Definida num intervalo [a, b], encontramos:

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Agora, devemos substituir a variável independente x, primeiramente pelo limite superior (b), depois, pelo limite inferior (a), em seguida subtrair os resultados encontrados.

y = f(b) – f(a)

Exemplo:- Encontrar os resultados das seguintes integrais definidas:

01) 02)

03) 04)

05) 06)

Solução:

01)

02)

03)

04)

05)

20

06)

APLICAÇÃO

- Resolva as integrais definidas:

01) 02) 03)

04) 05) 06)

07) 08) 09)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

CÁLCULO DE ÁREAS

Seja a função y = f(x) que representa uma curva.

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Para calculamos a área limitada por essa curva, pelo eixo dos x e pelos

os pontos P(a, c) e Q(b, d), devemos encontrar a integral definida dessa função

no intervalo [a,b], da seguinte maneira:

Exemplo:1) Resolver os seguintes problemas:

1.1) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 5x + 4 e pelos pontos x = 2 e

x= 3.

y = x2 – 5x + 4

Nota: o sinal negativo significa que a área da figura encontra-se abaixo do eixo-x.

02) Encontrar a área limitada pela parábola y = x2 e pelas retas x = -3 e x = -1.

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03) Calcular a área limitada pela curva f(x) = x2 – 4 e pelo eixo dos x.

Inicialmente, determina-se as raízes da função, em seguida, calcula-se a

integral definida no intervalo [x’, x”].

y

04) Determinar a área limitada pela curva f(x) = x3, eixo dos x e pelas retas x = -2 e x = 4.

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05) Calcular a área limitada pela curva y2 = 2x, eixo dos y e pelas retas y=2 e y

=3.

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você verificou que a Integral e a Diferencial são funções inversas. Aprendeu a resolver exercícios utilizando as regras de Integral Indefinida. Conceituou Integral Definida. Aprendeu a utilizar Integral Definida na resolução de exercícios e problemas práticos.

Prezado aluno, esse aprendizado que absorveu sobre Cálculo Integral, tem como obletivo mostrar os caminhos para resolução de problemas práticos vinculados a diversas atividades do dia-a-dia, como determinação do valor de áreas e volumes.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

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Prezado aluno, chegamos ao final do aprendizado da disciplina Cálculo Diferencial e Integral. Esperamos que nossos objetivos tenham sidos alcançados por você. É importante lembrar que os assuntos abordados nesse trabalho serão de extraordinária ajuda tanto para sua formação acadêmica, como para continuidade do seu curso.

Abraço fraterno,

Anicio Bechara Arero

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Moscou: Mir, 1978.

GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Científica, 1954.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC, 2008.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COMPLEMENTARES:

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IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual, 1993, 10v.

LEITHOLD, Loui. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 2000.

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