10a

11a. PROBLEMA 1Dizemos que um nmero descendente se cada um de seus dgitos menor do que ou igual ao dgito anterior, da esquerda para a direita. Por exemplo, 4221 e 751 so nmeros descendentes, enquanto 476 e 455 no so descendentes. Determine se existem inteiros positivos n para os quais 16n descendente.

PROBLEMA 2Em um tabuleiro 8 ( 8 distribumos os inteiros de 1 a 64, um em cada casa.

A seguir, colocam-se sobre o tabuleiro fichas quadradas 2 ( 2, que cobrem exatamente quatro casas (sem superposio) e de modo que os quatro nmeros cobertos por cada ficha determinem uma soma menor que 100.

Mostrar uma distribuio desses inteiros que permita colocar o maior nmero de fichas, e demonstrar que no possvel obter uma distribuio que permita colocar mais fichas.

PROBLEMA 3Um quadrado de lado 2 dividido em retngulos mediante vrias retas paralelas aos lados (algumas horizontais e outras verticais). Os retngulos so coloridos alternadamente de preto e branco, como se fosse um tabuleiro de xadrez. Se deste modo a rea branca resultou igual a rea preta, demonstrar que ao recortar os retngulos pretos ao longo de seus bordos, possvel formar com estes (sem superposio) um retngulo preto 1 ( 2.

11a. OLIMPADA DE MATEMTICA DO CONE SUL14 a 19 de abril, Montevideu - Uruguai

Segundo Dia

Durao da prova: 4 horas

PROBLEMA 4Sejam ABCD um quadrado (sentido horrio) e P um ponto qualquer pertencente ao interior do segmento BC. Constri-se o quadrado APRS (sentido horrio).

Demonstrar que a reta CR tangente a circunferncia circunscrita ao tringulo ABC.

PROBLEMA 5No plano cartesiano, considere os pontos de coordenadas inteiras. Uma operao consiste em:

Escolher um destes pontos e realizar uma rotao de 90o. no sentido anti-horrio, com centro neste ponto.

possvel, atravs de uma seqncia dessas operaes, levar o tringulo de vrtices (0, 0), (1, 0), e (0, 1) no tringulo de vrtices (0, 0), (1, 0) e (1, 1)?

PROBLEMA 6Existe um inteiro positivo divisvel pelo produto de seus algarismos e tal que esse produto maior que 102000?