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Volumes – parte 02

Isabelle Araujo

Volume da pirâmide O princípio de Cavalieri afirma que:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Pirâmides com áreas das bases iguais e com

mesma altura têm volumes iguais.

A fórmula para determinar o volume de uma

pirâmide qualquer é:

3

altura base da áreahA

3

1V base

Exemplo

Uma pirâmide de base quadrangular possui

altura medindo 2 metros e cada lado da base

com medida igual a 3 metros. Determine o

volume dessa pirâmide.


6m³2m(3m)²3

1hA

3

1hA

3

1V quadradobase

A pirâmide tem 6 m³ de volume.

Exercício

(UEM-PR) Uma pirâmide de chumbo é

mergulhada num tanque cúbico de aresta 1m,

cheio de água até a borda. Se a base da

pirâmide é um triângulo retângulo cujos catetos

medem 0,5m e se sua altura também é de

0,5m, então o volume de água derramada foi:


m³64

1 e) m³

48

1 d) m³

36

1 c) m³

24

1 b) m³

12

1 a)

Resolução O volume de água que derramou é exatamente

o volume da pirâmide, já que o tanque está

cheio. Então, calcularemos esse volume:


pt

triângulobase h2

hB

3

1hA

3

1hA

3

1V

m³48

1m³

16

1

3

10,5m

2

0,5m0,5m

3

1V

O volume de água derramada é m³. 48

1

Resposta correta: Letra d

Exercício

Uma barraca piramidal é sustentada por seis

hastes metálicas cujas extremidades são o

vértice da pirâmide e os seis vértices da base.

A base é um polígono cujos lados têm todos o

mesmo comprimento, que é de 3 m. Se a altura

da barraca é de 3 m, qual é o volume de ar

nessa barraca?


Resolução Nesse caso, temos uma pirâmide onde sua

base é um hexágono regular com 3 m de lado,

e essa pirâmide tem 3 m de altura. Vamos

calcular o volume dessa barraca:


h2

3²3

3

1hA

3

1hA

3

1V hexágonobase

m³2

327

2

33m(3m)²(3m)

2

33(3m)²

3

1V

m³.2

327 é barraca da volume O

Exercício (Vunesp-SP) Em cada um dos vértices de um

cubo de madeira, recorta-se uma pirâmide

AMNP, em que M, N e P são os pontos médios

das arestas, como se mostra na ilustração. Se

V é o volume do cubo, o volume do poliedro

que resta ao tirar as 8 pirâmides é igual a:


A

N

M P

V8

3 e) V

6

5d)

V3

2c) V

4

3b) V

2

1a)

Resolução Se chamarmos de V1 o volume de cada

pirâmide que será retirada, o volume final

desse poliedro formado ao tirarmos as oito

pirâmides será V – 8V1. O próximo passo é

achar o volume de cada pirâmide.


Vamos chamar a aresta do cubo de 2a. Como

a aresta da pirâmide é a metade da aresta do

cubo, a aresta da pirâmide medirá a.

Então, vamos calcular o valor do volume de

cada pirâmide:

Resolução

O volume de cada pirâmide será:


6

a³a

2

aa

3

1hA

3

1hA

3

1V triângulobase1

O volume inicial do cubo de aresta 2a, será:

8a³(2a)³³V

Como V = 8a³ (a³ = V/8), poderemos escrever o

volume de cada pirâmide em função do volume

inicial V da seguinte forma:

48

V

68

V

6

a³V1

Resolução Já sabemos o volume de uma pirâmide, agora

vamos descobrir o volume das oito que serão

retiradas e subtrair do volume inicial V:


6

V

48

V88V1

6

5V

6

V -VV8VVV poliedro1poliedro

O volume do poliedro formado pela

retirada das oito pirâmides em função

do volume inicial V do cubo, será .6

5V

Resposta correta: Letra d

Exercício

(Mackenzie-SP) Uma pirâmide cuja base é um quadrado de lado 2a tem o mesmo volume de um prisma cuja base é um quadrado de lado a. A razão entre as alturas da pirâmide e do prisma, nessa ordem, é:

a) 3/4

b) 3/2

c) 1/4

d) a/3

e) 3a


Resolução Temos a seguinte situação:


2a

2a

a a

h1 h2

?h

h

VV

2

1

prismapirâmide

212121 h.h3

4a².h.h

3

4a²a².hh(2a)²

3

1

21 h4

3h

4

3

h

h

2

1 Resposta correta: Letra a

Volume do cilindro Mais uma vez é a partir do princípio de

Cavalieri que chegamos à formula para

calcular o volume de um sólido. O volume do

cilindro é calculado com a seguinte fórmula:


r²h V

haltura

r²base da área

altura base da áreaV

cilindro

cilindro

π

π

r

r

Exemplo Qual a capacidade de uma lata que tem a

forma cilíndrica, com 7 cm de diâmetro e 14 cm

de altura?


Realidade Modelo matemático

h

r

Como o diâmetro é 7cm, o raio será 3,5 cm.

cm³ 171,54cm)(3,5cm)²(1 r²hV πππ

cm³. 171,5 é lata da capacidadeA π

Exercício

O reservatório de tinta de uma caneta

esferográfica tem uma forma cilíndrica. Seu

diâmetro é de 2 mm e o seu comprimento é de

12 cm. Quantos mililitros de tinta podem ser

acondicionados nesse reservatório?


Resolução

Ele pede a resposta em mililitros, e nós

sabemos que 1 mililitro é igual a 1 cm³.

Portanto, vamos converter as medidas para

deixá-las todas em centímetros, assim,

facilitando os nossos cálculos.


d = 2 mm

h = 12 cm d = 0,2 cm

r = 0,1 cm

Resolução Agora já temos a medida do raio e da altura em

centímetros, aplicaremos a fórmula e já

acharemos o volume em cm³, ou seja, em

mililitros:


cm³ 0,122cm)(0,1cm)²(1 r²hVcilindro πππ

O volume desse reservatório é 0,12 mililitros.

Como 1cm³ = 1mililitro, 0,12 cm³ equivale a

0,12 mililitros:

Exercício

Um galão de vinho de forma cilíndrica tem o

raio da base igual a 2,5m e sua altura é de 2m.

Se apenas 40% do seu volume está ocupado,

qual é a quantidade de vinho existente no

galão? E qual a altura do vinho nesse galão?


Resolução Vamos calcular o volume total desse galão e

depois vamos ver qual o volume relativo à

porcentagem de 40%.


m³ 12,5)(2,5m)²(2m r²hV πππ

m³ 540m³) (0,125x40%

x

100%

m³ 12,5ππ

π

m 0,86,25

5

r²

5h5r²h ππ

No galão, existem 5 m³ de vinho.

Para esse volume, vamos ver a altura do vinho:

A altura do vinho

nesse galão é de

0,8 m.

Exercício

Em tubulações, é muito comum a utilização de

canos. Um cano de plástico (figura abaixo) tem

70 cm de comprimento. O raio maior tem 10 cm

e o raio menor tem 6 cm. Qual o volume de

plástico usado para fazer esse cano?


r1

r2

Resolução

A interpretação correta é fundamental para

resolvermos essa questão. Veja que o volume

do plástico utilizado para fazer esse cano será

o volume total do cilindro maior (10 cm de raio

e 70 cm de altura) subtraído do volume do

cilindro menor (6 cm de raio e 70 cm de altura).


Portanto, acharemos os valores dos volumes

desses dois cilindros e subtrairemos esses

valores para achar o volume de plástico utilizado.

Resolução


cm³ 7000cm) cm)²(70 (10r²hV maior cilindro πππ

cm³ 2520cm) cm)²(70 (6r²hV menor cilindro πππ

Como o volume de plástico utilizado é o volume

do cilindro maior subtraído do volume do

cilindro menor, temos:

cm³ 4480 cm³ 2520 - cm³ 7000V

V-VV

plástico

menor cilindromaior cilindroplástico

πππ

Foram gastos 4480 cm³ de

plástico para fazer esse cano.

Exercício Uma ponte de concreto tem a forma da figura

abaixo. Suas dimensões estão assinaladas na

figura, qual é o volume aproximado de concreto

usado para construir essa ponte?

Use = 3.


30 m

5 m

8 m

8 m

Resolução

Mais uma vez, veja como é importante você ter

a interpretação correta da questão. O segredo

para resolver esse exercício é ter a noção de

que o volume de concreto usado será o volume

desse bloco inteiro (30 m x 5 m x 8 m) subtraído

do volume da metade do cilindro que tem 8 m

de diâmetro e 8 m de altura.


Então, agora, vamos calcular o volume desse

bloco e da metade do cilindro que será

subtraído.

Resolução

Como o volume de concreto usado é o volume

do bloco subtraído da metade do volume do

cilindro, temos:


1200m³8m)5m(30m hAV basebloco

m³ 1202

m)(3)(4m)²(5

2

r²h

2

Vcilindro π

1080m³ 120m³ - 1200m³ 2

VVV cilindro

blococoncreto

Foram usados, aproximadamente,

1080 m³ de concreto.

Definição do cone


Considere um plano α, uma região circular R

nesse plano e um ponto P não pertencente a a.

Definição do cone


A região de todos os seguimentos que ligam

cada ponto de R ao ponto P é um sólido

chamado cone circular.

Definição do cone


A superfície do cone é formada por uma parte

plana, que é a região circular da base, e uma

parte não plana que é a superfície lateral.

Vértice

Base

Sup. lateral

Volume do cone


Considere um cone de altura H e base de área A

contida em um plano horizontal α. Considere

também uma pirâmide de altura H, base de área

A, também contida em α.

Se um plano horizontal β com distância h dos

vértices secciona os dois sólidos, determinando

regiões planas de áreas A1 e A2 podemos fazer

algumas considerações, vejamos a seguir:

Volume do cone


H²

h²

A

A1

H²

h²

A

A2

A

A

A

A 12e 21 AA

Volume do cone


Pelo princípio de Cavalieri podemos afirmar que o

cone e a pirâmide iniciais tem o mesmo volume.

Como já sabemos o volume da pirâmide, temos:

3

(altura) base) da (áreaconeV

Volume do tronco de cone reto


Considere o seguinte tronco de conte reto:

)²²(3

h2211

1rrrrV

Exemplo


Qual o volume de um cone de raio 7cm e altura

de 12cm?

³44,61519612²73

1²

3

1cmhrV

O volume do cone é de 615,44cm³,

aproximadamente.

Exemplo


Qual a capacidade de uma casquinha de

sorvete de forma cônica cujo diâmetro é de

6cm e cuja altura é de 10cm?

Modelo real Modelo matemático

Exemplo


Continuação:

d = 6cm; raio = 3cm; h = 10cm

³20,943010²33

1²

3

1cmhrV

Como 1cm³ = 1ml, a capacidade do copinho é

de 94,20 ml, aproximadamente.

Exercício


Uma vasilha tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões estão indicadas na figura. Qual é o volume máximo de água que a vasilha pode conter, em litros? Use π = 3,14.

Resolução


r1= 40cm; r2 = 20cm; h1 = 30cm

)²²(3

h2211

1rrrrV

²)202040²40(3

30

V

³920,87³87920)2800(10 dmcmV

Como 1dm³ - 1litro o volume máximo de água

que a vasilha pode conter é de 87,92 litros.

Volume da esfera


Considere um ponto C e um número real positivo

R qualquer. A esfera de centro C e raio de medida

R é o conjunto de todos os pontos do espaço que

estão a uma distância menor do que ou igual a R

do ponto C.

Volume da esfera


O volume de uma esfera de raio R é igual a:

³)(3

4RV

Exemplo


Quantos mililitros cabem, aproximadamente, na

vasilha abaixo.

Exemplo


O volume do cilindro no qual r = 2,5cm e h = 8cm

³508)²5,2(² cmhrV

O volume da esfera na qual R = 7cm

³

3

13728)³7(

3

4³

3

4cmRV

O volume da vasilha:

³15933

1522

3

137250 cmV

Como 1cm³=1ml. O volume da vasilha é de,

aproximadamente, 1593ml

Exercício


Um reservatório de forma esférica tem 9m de raio.

Para encher totalmente esse reservatório são

necessárias 20 horas. Nessas condições, o

reservatório recebe água na razão de quantos

m³/h? Considere π = 3,14.

Resolução


Como o raio r é 9m. E o tempo necessário para

encher é t = 20h. A vazão Q é entendida como o

volume de água pela quantidade de horas. Assim

calculamos o volume e dividimos pela quantidade

de horas:

³62,3053)³9(3

4³

3

4cmRV

Assim, calculamos a vazão:

hmQ /³68,15220

62,3053

Referências Bibliográficas

DANTE, L. R. Matemática – Volume único. Editora Ática. 2009.


volumes parte 02 - página inicial — campus sertão · como o diâmetro é 7cm, ... a superfície...

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