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Volumes – parte 01

Isabelle Araujo

Introdução

Suponha que queiramos medir a quantidade

de espaço ocupado por um sólido S. Para isso,

precisamos comparar S com uma unidade de

volume. O resultado dessa comparação é um

número que exprime quantas vezes o sólido S

contém a unidade de volume. Esse número é a

medida do volume de S, que costumamos

dizer, simplesmente, volume de S.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

Exemplo

Por exemplo, o volume do sólido S a seguir é

de 12 unidades de volume: 12 U, ou seja:


Sólido S Unidade de volume: U

volume de S = 12 U

Volume do bloco retangular O volume do bloco retangular é proporcional a

cada uma de suas dimensões, e é determinado

pela multiplicação das suas três dimensões:

largura, comprimento e altura.


a b

c

V = abc Como ab indica a área da base

e c indica a altura, podemos

indicar o volume desse

paralelepípedo retângulo assim:

V = Bh

Onde: B = ab (área da base);

h = c (altura correspondente).

Exercício

Enche-se um recipiente cúbico com água. A

aresta do recipiente é de 1,20 m. Para retirar a

água desse recipiente, usam-se baldes cuja

capacidade é de 9 litros. Quantos baldes

devem ser retirados para esvaziar totalmente o

recipiente?


Resolução Temos um recipiente cúbico cheio de água,

calcularemos seu volume:


1,728m³(1,2m)³ a³ V

ou

1,728m³1,2m1,2m1,2mabcV

Note que, para um cubo, o

seu volume pode ser

calculado por:

Onde a é a aresta do cubo.

V = a³

Resolução Como 1m³ = 1000 litros, nesse recipiente,

teremos 1728 litros. Cada balde retira 9 litros,

então dividiremos esse volume do recipiente

pela capacidade de cada balde para achar o

número n de baldes necessários para esvaziar

totalmente esse recipiente:


1929

1728n

baldes n

1728L

balde 1

9L

Então, 192 baldes são necessários

para esvaziar esse recipiente.

Volume do prisma

Tomando como base o princípio de Cavalieri,

podemos definir como calcular o volume de

prismas. A partir desse princípio, chega-se à

conclusão que o volume de um prisma qualquer

é obtido fazendo área da base altura, temos:


V = Bh

Exemplos de prismas

Onde:

B é a área da base;

h é a altura.

Exercício Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de volume de sólidos, um professor fez o seguinte experimento: pegou uma caixa de polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso.

Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da água passou a ser 80 cm, qual era o volume do sólido?

a) 0,2m³ b) 0,48m³ c) 4,8m³ d) 20m³ e) 48m³


Resolução

Sabemos que a caixa de 1m³ tem uma

capacidade de 1000 litros. Então, colocou-se

600 litros de água nesse caixa. Ao colocar um

objeto na caixa, notou-se que o nível de água

aumentou, a altura de água ficou medindo

0,8m. Então vamos ver quanto foi esse

acréscimo de volume, pois todo esse acréscimo

é, justamente, o volume do objeto que foi

totalmente submerso.


Resolução

Esse acréscimo do volume é a variação, ou

seja, o volume final – o volume inicial.


600LVinicial

800L0,8m³0,8m1m)(1m hAbVfinal

0,8 m

1 m

1 m V

200L V

600L - 800LVV V inicialfinal

O volume do objeto submerso

é 200 L ou 0,2 m³.

Resposta correta: Letra a

Exercício

Um prisma regular triangular tem todas as

arestas congruentes e 48 cm² de área lateral.

Seu volume vale:

a) 16m³

b) 32m³

c) 64m³

d) 4 3 m³

e) 16 3 m³


Resolução

A área lateral é o somatório das áreas das três

faces, ou seja, 3a². Igualamos isso ao valor de

48 cm² que a questão fornece e acharemos o

valor de a:


a

a a

a

a

a a

a

a

Base

Face

4

3a²Abase

a²A face

(triângulo equilátero)

4cm16cm²a16cm²cm²3

48a²48cm² 3a²

Resolução Achamos o valor de a, agora vamos achar o

volume do prisma, multiplicando a área da base

e a altura:


cm³316(4)4

3(4)²Va

4

3a²hAV base

Alternativa correta: Letra e

A área da base é um triângulo

equilátero (três lados iguais).

A altura mede a.

cm³.316 é prisma do volume O

Exercício

(ITA-SP) Dado um prisma onde sua base é um

hexágono regular, sabe-se que sua altura mede

3 cm e que sua área lateral é o dobro da área

de sua base. Qual o valor do volume desse

prisma?


Resolução

Num hexágono regular, temos seis triângulos

equiláteros, a área da sua base será:


2

33a²

4

3a²6.6.AA equiláterobase

Nesse caso, a questão diz que a área lateral é

o dobro da área da base, então:

A área de cada face é o produto de a altura,

ou seja, 3a cm².

A área lateral total será seis vezes a área de

cada face, ou seja, 6(3a) cm = 18a cm².

Resolução

Agora poderemos descobrir a área da base e,

consequentemente, o volume do prisma:


cm323

3

3

6a3a63a²6a

6

3a²a

2

33a²218aA2A baselateral

cm³3542

33.4.3.33

2

3)²33(2hAV base

cm³354 é prisma desse volume O

Exercício

Dispondo-se de uma folha de cartolina, medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O volume dessa caixa, em cm³, será:

a) 1.244

b) 1.828

c) 2.324

d) 3.808

e) 12.000


Resolução

Temos a seguinte situação:


8 cm

8 cm

30 cm

50 cm

30 –(2 8) cm

50 –(2 8) cm

Resolução

Note que, após as mudanças feitas, a caixa terá 34 cm x 14 cm como dimensões de base e 8 cm de altura.

Vamos calcular o volume:


34 cm

14 cm

cm³ 3808V

8cm(476cm²)V

14cm)8cm(34cmV

hAV base

O volume dessa caixa

será 3808 cm³.

Resposta correta: Letra d

Exercício Uma fábrica que produz porcas de parafuso

fará embalagens do seu produto. Para isso,

gostariam de saber o volume de cada peça

para que sejam feitas embalagens de acordo

com o volume de cada peça. Qual o volume de

cada porca de parafuso cuja forma e medidas

estão na figura a seguir?


6 mm 5 mm

8 mm

Resolução Vamos chamar de V1 o volume do prisma maior

(prisma externo) e V2 o volume do prisma

menor (prisma interno). Note que o volume da

peça será dado por: V = V1 - V2.


• Vamos calcular V1:

816mm³5mm163,2mm²hBV

mm³ 163,24

3(8)²6

4

3²6B

11

1

6 mm 5 mm

8 mm

Resolução


• Vamos calcular V2:

459mm³5mm91,8mm²hBV

mm³ 91,84

3(6)²6

4

3²6B

22

2

• Vamos calcular V:

357mm³459mm³816mm³VVV 21

O volume da porca de parafuso é 357 mm³

Referências Bibliográficas

DANTE, L. R. Matemática – Volume único. Editora Ática. 2009.


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