Cálculo do Volume do Cilindro Deitado1 É tomada uma medida h da altura do líquido contido no reservatório As figuras abaixo ilustram um corte do reservatório e a equação da circunferência escolhida para o cálculo da área.

A área sombreada é dada por:

O volume é dado por V = 2Al onde l é o comprimento da geratriz. A integral2 calculada vale: 1 Resolvi este problema por volta de 1992, no trabalho, para medir um tanque de óleo diesel e agora o deixo aqui nas minhas “memórias matemáticas”. No arquivo “Arquivos de Programas/Basic/Qbasic” existe um programa compilado em basic chamado “Cilindro” que redigi para efetuar os cálculos e cujas linhas de programação estão apresentadas ao final desta demonstração. 2 Obs.: O cálculo da integral é discutido na página 2, em seguida Logo após está uma bonita solução baseada na Geometria Euclidiana.

0

h

r

rxrrxr

h rxdxrxrA

arcsen

2)(

0 2)(

22222

hRaio = R

Fig. 1 Corte do reservatório

22 )( rxry

Fig. 2 A equação da circunferência

2

3)arcsen(

2)(

2)(

222

r

rhrrhr

rhhA

O Cálculo da Integral Trata-se de uma integral difícil que me deu muito trabalho. Desenvolvi uma solução e depois acabei encontrando outra, de graça. Primeira solução

procuramos uma forma mais fácil como

para isso faremos x – r = t e assim dt/dx = 1 ou dt = dx. Efetuando as substituições ficamos com:

cuja solução é sofisticada mas encontrada nos formulários dos manuais como:

Substituindo as expressões e calculando a integral definida de 0 até h encontramos e finalmente

2

3)arcsen(

2)(

2)(

222

r

rhrrhr

rhhA

cumpre fazer o ângulo representado pelo arcsen sempre >0 , ou seja arcsen (0) = 2Π, além disso a área deve ser um valor positivo devendo ser considerado o valor encontrado em módulo (isto se deve ao fato de que podem ocorrer tanto situações em que r>h quanto h>r). Segunda solução Desta vez em fazemos x = r + rsenu e como sen2u + cos2u = 1:

e dx = rcosu du. Fazendo as substituições vem,

22 )( rxry dtta 22

dttr 22

Cr

trtr

t arcsen

22

222

0

h

r

rxrrxr

h rxdxrxrA

arcsen

2)(

0 2)(

22222

22 )( rxry

2

22 )(cos

r

rxru

ururyurryrurrry 222222222 cos)sen1(sen)sen(

assim e substituindo

temos: ))(

)(arcsen(2 2

222

r

rxr

r

rx

r

rxrI

que calculado de 0 até h fornece:

Abaixo comandos da rotina em basic que efetua os cálculos a partir da integral apresentada na Primeira Solução. 10 CLS 20 LOCATE 4, 10 30 PRINT "C lculo do volume de um cilindro deitado" 31 COLOR 10, 0 32 LOCATE 8, 10 33 PRINT "Entre com os valores expressos em metros" 40 LOCATE 10, 10 50 INPUT "comprimento l = ", l 60 LOCATE 11, 10 70 INPUT "raio da base r = ", r 80 LOCATE 12, 10 90 INPUT "altura medida h = ", h 100 LET p = 3.14159 110 LET x = (h - r) / r 140 LET a = ABS(((h - r) / 2) * SQR(r ^ 2 - (h - r) ^ 2) + (r ^ 2 / 2) * (ATN(x / SQR(1 - x ^ 2)) + 2 * p - (3 * p / 2))) 150 LOCATE 15, 10 160 LET v = 2 * a * l 165 COLOR 0, 7 170 PRINT "o volume ‚ "; v; " metros c£bicos" 175 LOCATE 16, 10 180 PRINT "correspondendo a "; INT(1000 * v * 100) / 100; "litros "

Cuuur

duurduur )cossen(2

coscos2

2222

2)()()arcsen(

2222 r

rhrrhr

rhrI

Uma solução com a Estética da Geometria Euclidiana As soluções anteriores, baseadas na Geometria Analítica e no Cálculo Integral, possuem uma estética conceitual cuja elegância muito se deve ao Estudo das Funções. Esta terceira solução possui a rude e poderosa elegância da Geometria Euclidiana. Observemos a figura abaixo e as deduções que se seguem:

A área procurada, dada em função da medida da altura h, é a diferença entre as áreas do setor circular OAMB e a área do triângulo OAB. Sejam A1 a área do setor circular e A2 a área do triângulo:

21 rA e )(2 hrxA

r

hr cos

222

221

)()()cos(

)(

hrrhrr

hrarrA

hrxrAAAA

ou, em função do arctg,

2222

2 )()())(

( hrrhrhr

hrrarctgrA

efetivamente muito mais simples. Bom e velho Euclides...

22 )( hrrx