1

Revista da Estrutura de Aço | Revista da Estrutura de Aço | Volume 1 | Número 1

Centro Brasileiro da Construção em AçoCBCA

Volume 1 | Número 2Agosto de 2012

Revista da Estrutura de Aço | Volume 1 | Número 2

ARTIGOS

Análise Teórico-Experimental de Ligações Soldadas entre Pilares de Perfis de Seção Circular e Vigas de

Perfis ISylvia Letizia Ferrarezi Reis, Arlene Maria Sarmanho Freitas,Geraldo Donizetti de Paula, Marcilio Sousa da Rocha Freitas

On the design methods of cold-formed steel wall studs by the AISI specification

Luiz Carlos Marcos Vieira Junior, Benjamin William Schafer

Ajuste de um modelo para estimativa de cargade flambagem do montante de alma de vigas alveolares

por meio de análise numéricaWashington Batista Vieira, Eliane Gomes da Silveira, José Carlos Lopes Ribeiro,

José Luiz Rangel Paes, Gustavo de Souza Veríssimo

Ligação mista viga-pilar resistente a momentoJuliano Lanza Conceição, Gilson Queiroz, Roberval José Pimenta,

Gabriel de Oliveira Ribeiro

64

79

95

111

   

* Autor correspondente 64  

Volume 1. Número 2 (agosto/2012). p. 64‐78   ISSN 2238‐9377 

 Análise Teórico‐Experimental de Ligações Soldadas entre Pilares de Perfis de Seção Circular e Vigas de 

Perfis I Sylvia L. F. Reis1, Arlene M. S. Freitas2 *, Geraldo D. de Paula3 Marcílio S. R. 

Freitas4  

1 Doutoranda, Programa de Pós‐Graduação em Engenharia Civil – PROPEC‐DECIV/EM/UFOP, sylvialetizia@ig.com.br 

2Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil ‐ PROPEC‐DECIV/EM/UFOP, arlene@em.ufop.br 

3Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil ‐ PROPEC‐DECIV/EM/UFOP, geraldo@em.ufop.br 

3Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil ‐ PROPEC‐DECIV/EM/UFOP, marcilio@em.ufop.br 

Theoretical Experimental Analysis of Welded Joints with Circular Hollow 

Section Columns and I Beams  Resumo Neste trabalho é apresentado um estudo de ligações soldadas formadas por pilar tubular sem costura  de  seção  transversal  circular  e  viga  de  aço  de  seção  transversal  tipo  “I”.  Para  este estudo  foram  desenvolvidas  análise  experimental  e  teórica  das  ligações.  Os  ensaios experimentais  foram  realizados  com  protótipos  em  escala  real,  com  a  geometria  definida através  de  estudos  de  esbeltez,  resistência  e  rigidez.  Os  ensaios  experimentais  foram realizados  no  Laboratório  de  Estruturas  do Departamento  de  Engenharia  Civil  da  Escola  de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto. Os ensaios da  ligação visaram a obtenção do comportamento  momento‐rotação,  carga  última  e  modo  de  colapso  da  ligação  e  a comparação destes com modelos teóricos, o que permitiu a classificação da  ligação quanto à sua rigidez. As análises teóricas foram realizadas a partir das prescrições de norma. As ligações ensaiadas apresentaram como modo de falha a plastificação da face do pilar.  

Palavras‐chave: estruturas tubulares, ligações, testes experimentais  Abstract   This work presents  a  study of welded  joints,  formed by  a  structural  steel hot  rolled hollow section, having circular hollow sections at the columns and steel "I" sections at the beam. The study  developed  theoretical  analyses  for  the  joints  and  experimental  tests  in  full  scale prototypes. The experimental tests on the joints were performed at the Structures Laboratory of  the Civil Engineering Department  in  the School of Mines, at  the Universidade Federal de Ouro Preto. The results for behavior, ultimate load, stiffness, and collapse mode were analyzed and  compared  with  theoretical models.  The  theoretical  analysis  was  carried  out  from  the codes prescriptions. The model represents the behavior and load capacity and the stiffness of the tested joints. The joints tested indicated the plastic failure of the column face.  Keywords: tubular structures, joints, experimental tests  

65

 

1 Introdução 

No Brasil tem‐se  intensificado o uso de elementos estruturais metálicos associados a 

diversos  fatores como, por exemplo, a rapidez de execução. Dentre esses elementos 

estruturais, a sua  forma, sua tipologia e seção estão associadas ao tipo de aplicação, 

estética, condições de uso, etc. Dentre as várias tipologias que envolvem a fabricação e 

forma das seções transversais dos perfis estruturais, encontram‐se os perfis tubulares, 

que são largamente utilizados em diversos países.

Entretanto, para as ligações entre pilar tubular de seção circular (CHS ‐ Circular Hollow 

Section)  e  viga de  seção  tipo  I que  é objeto de  estudo deste  trabalho  (comuns  em 

edifícios  de  andares  múltiplos),  existem  poucas  contribuições  em  pesquisas, 

principalmente no Brasil. Os perfis tubulares geralmente são aplicados em elementos 

estruturais,  como  pilares,  treliças  planas,  espaciais,  etc.  No  Brasil,  são  muitos  os 

exemplos em estruturas tubulares em aço, conforme apresentado na Figura 1. 

 

a) Estádio João Havelange “Engenhão”, Rio de Janeiro. Fonte: Disponível em 

<65TTP://diariodorio.com/fotos‐do‐engenhao‐a‐noite >. Acesso em: 20 abr. 2010. 

b) Prédio da Escola de Farmácia, UFOP. Fonte: Arquivo pessoal.

Figura 1. Exemplos de estruturas com perfis tubulares em aço no Brasil. 

Sendo  assim,  neste  trabalho  é  feita  uma  avaliação  teórico‐experimental  de  ligação 

soldada utilizando um pilar de perfil tubular circular de aço e uma viga em perfil I. Foi 

feito  um  estudo  entre  as  relações  entre  diâmetro  e  espessura  do  tubo,  e  o 

comprimento  da  mesa  da  viga  de  perfil  I  que  influenciam  diretamente  na 

transmissibilidade  do momento  e  na  rigidez  da  ligação  (Reis,  2011).  Faz‐se  também 

uma  análise  do  comportamento  momento  versus  rotação  (M‐ϕ)  das  ligações  e  a 

avaliação das prescrições existentes nas normas de dimensionamento. 

66

2 Rigidez das Ligações 

Os  estudos  e  observações  realizados  atualmente,  com  base  no  comportamento 

estrutural  de  ligações  entre  elementos  de  estruturas  metálicas,  vêm  comprovar  a 

necessidade de  se  considerar a  resposta não  linear das estruturas e das  ligações na 

análise estrutural.  

O  comportamento  semirrígido  das  ligações  é  considerado  pelas  especificações mais 

recentes, uma vez que para o aperfeiçoamento dos métodos mais  tradicionais eram 

considerados  apenas  comportamentos  idealizados  da  ligação,  como  no  caso  das 

ligações flexíveis e rígidas. 

Os  estudos  sobre  o  comportamento  das  ligações  procuram  considerar  as 

características  que  possam  classificá‐las  em  termos  de  rigidez,  resistência  e 

ductilidade.  Esses  sistemas  de  classificação  são  concebidos  de  forma  a  permitir  a 

inclusão e a consideração de novos tipos de comportamentos de ligações, idealizados 

ou não. 

O conhecimento do comportamento estrutural da  ligação vem pela determinação da 

relação  momento‐rotação  (M‐ϕ),  que  fornece  os  parâmetros  necessários  para  sua 

classificação  assim  como  a  análise  da  estrutura  na  qual  a  ligação  está  inserida, 

considerando‐se seu comportamento não linear. 

De forma geral, o diagrama M‐ϕ pode ser determinado de várias maneiras tais como 

simulações  numéricas,  modelos  teóricos,  modelos  semiempíricos  ou  ensaios 

experimentais. O Eurocode 3  ‐ part 1‐8 de 2005 estabelece os  limites de  rigidez que 

classificam a ligação a partir do diagrama M‐ ϕ e tais limites são mostrados na Figura 3. 

 

67

Figura 3. Limites para classificação da rigidez de ligação viga‐pilar conforme o Eurocódigo 3  

(EN 1993 – 1 – 8). 

3 Prescrições Existentes 

As primeiras pesquisas de ligações não‐enrijecidas entre chapas ou vigas tipo I e perfis 

CHS ocorreram no  Japão  (Kurobane,  1981)  e posteriormente por Wardenier  (1982), 

apud Makino  (1984), Kamba e Taclendo  (1998) e  finalmente, por Aryioshi e Makino 

(2000). 

Na década de noventa, um extensivo programa  foi  realizado por Winkel  (1998) para 

investigar o comportamento de ligações não enrijecidas multiplanar e uniplanar entre 

vigas de seção transversal I ou H e pilares CHS.  

As formulações de dimensionamento são definidas baseando‐se em como a estrutura 

irá  comportar‐se  e  quais  serão  os  estados‐limites  últimos  que  poderão  ocasionar  a 

ruptura da ligação. 

O  comportamento  de  cada  ligação  durante  o  colapso  é  função  da  distribuição  de 

tensão na região da  ligação, o que é dependente das características geométricas dos 

elementos  ligados. Para o dimensionamento dessas  ligações, diversos estados‐limites 

últimos devem ser observados, a saber: 

ruína plástica da face do pilar, Figura 4 (a); 

flambagem local da parede do pilar, Figura 4 (b); 

ruína da mesa da viga, Figura 4 (c); 

ruína da solda, Figura 4 (d); 

ruína por punção da parede do pilar, Figura 4 (e); 

ruína por cisalhamento do pilar, Figura 4 (f); 

a) plastificação da face do pilar b) flambagem local da parede do pilar

68

c) ruína da mesa da viga d) ruína da solda 

e) ruína por punção da parede do pilar  f) ruptura por cisalhamento no pilar 

Figura 4. Modos de ruína para ligações soldadas entre viga tipo I e pilar CHS. Fonte: Wardenier 

et al.(2010) adaptado. 

As recomendações normativas do CIDECT (Wardenier et al, 2010) foram baseadas em 

estudos  feitos  por  Kurobane  (1981), Wardenier  (1982)  e  posteriormente  por  apud 

Makino et al (2000), que foram adotadas pelo Eurocode 3 part 1‐8 de 2005 (Tabela 1). 

A plastificação da  ligação soldada entre viga I e pilar CHS não é determinada só pela 

ligação entre as mesas da viga, mas também pela espessura do pilar. Deve‐se ressaltar 

que o efeito da  alma não é  considerado para  a  resistência da  ligação nas equações 

apresentadas na Tabela 1. 

 

 

 

 

 

 

Tabela 1 – Equações de resistência de cálculo de ligação soldada entre viga tipo I e pilar CHS (CIDECT E EUROCODE 3). 

Tipo de ligação T  Estado Limite de Projeto Plastificação da face do pilar

125,01204 '2200,1 nftfN yRd

 

69

2,11,1, RdRdip NhM  

325,0181,01

55,0 '2

01,1, nftfbM oyRdop

 

Fator redutor do efeito de compressão no pilar 2)'(3,0'3,01)'( nnnf para 01,'n  quando o pilar estiver comprimido; (4)

1)'( nf para  01,'n quando o pilar estiver tracionado; (5)

0

,'y

Edp

fn

       

(6)

Faixa de validade 

θ1= 90º       d0/t0≤ 40       vigas: classe 2 

Onde: N1, Rd = força normal resistente de cálculo; Mip,1, Rd = momento fletor resistente de cálculo no plano da ligação; Mop,1, Rd = momento fletor resistente de cálculo fora do plano da ligação; σp, Ed = tensão axial solicitante no pilar; fy0 =  tensão de escoamento do aço do pilar; β = b1/d0; η = h1/d0;  

Segundo o CIDECT Design Guide Nº 9  (kurobane et al, 2004) apud Aryioshi e Makino 

(2000),  as  recomendações  para  a  rigidez  axial  da  ligação  são  dadas  de  forma 

simplificada pela Equação (7) que considera a ligação T como de uma chapa: 

7,03,1 )2(9,1 cEtK                                                        (7) 

onde 

K = rigidez axial da mesa. E = módulo de elasticidade do aço; t0 = espessura do pilar tubular circular; β = relação entre a largura da mesa da viga ligada ao pilar e o diâmetro do pilar tubular circular; γ = relação entre o diâmetro do tubo  e o dobro da sua espessura. 

Para o comportamento momento‐rotação as seguintes equações são aplicadas: 

 )(

2)(

,1,,,1,1

fbipbipbfbRdip th

CCthNM

  (8) 

  2,1, )(5,0 fbipb thKC   (9) 

onde, 

Mip= momento fletor no plano da ligação; N1, Rd = força normal resistente de cálculo; 

70

N = carregamento axial; h1 = altura da viga; tb,f = espessura da mesa da viga; Cb,ip = rigidez da ligação; ϕ = rotação da ligação; δ = deslocamento da viga.  Multiplicando‐se a  rigidez axial K da mesa da  viga  conectada por 0,5(h1‐tb,f)

2  tem‐se 

uma  aproximação  da  rigidez  dada  pela  Equação  (9),  para  as  ligações  capazes  de 

transmitir momento fletor. Entretanto, ressalta‐se que a contribuição da alma da viga 

conectada é desprezada. 

4 Programa Experimental 

Os  ensaios  realizados  são  de  ligações  soldadas  entre  pilares  de  perfis  tubulares 

circulares sem costura, laminados a quente, fabricados pela Vallourec & Mannesmann 

Tubes do Brasil e vigas de aço laminadas a quente com seção transversal tipo I de abas 

paralelas  fabricadas  pela  Gerdau  Açominas.  Foram  realizados  um  total  de  quatro 

ensaios,  sendo  dois  de  cada  protótipo.Os  protótipos  ensaiados  e  os  perfis  que  os 

compõem são mostrados na Tabela 2, a seguir. 

Tabela 2‐Definição dos perfis em aço dos protótipos ensaiados. 

ProtótipoPilar 

φ x to (mm)Viga 

P1  219,1 x 9,5  310 x 38,7

P2  219,1 x 8,2  250 x 17,9

φ = diâmetro do tubo; t0 = espessura do tubo. 

 

Foi avaliada a resistência última das ligações e durante os ensaios foram observados os 

mecanismos  de  colapso,  os  deslocamentos  e  deformações,  sendo  os  níveis  de 

carregamento baseados em modelagens numéricas (Reis et al.,2011).As condições de 

contorno,  onde  foram  engastadas  as  extremidades  do  pilar,  e  as  aplicações  dos 

carregamentos  foram  feitas  de  maneira  a  simular  uma  ligação  soldada  real.  As 

dimensões  nominais  dos  perfis  utilizados  na  composição  dos  protótipos  ensaiados 

estão apresentadas na Tabela 3. 

71

Tabela 3 ‐ Dimensões nominais dos perfis utilizados na composição dos protótipos. 

Pilar  Viga d0

(mm) 

t0

(mm) 

Perfil h1

(mm) 

b1

(mm)

tb,f

(mm) 

tw

(mm)

219,1 

9,5  W310x38,7  310  165  9,7  5,8 

219,1 

8,2 W250x17,

9 251  101  5,3  4,8 

 

Na Tabela 4tem‐se as propriedades mecânicas dos perfis circulares de aço utilizados. 

Tabela 4 ‐ Propriedades mecânicas do aço dos perfis dos pilares dos protótipos. 

Perfis φ x to (mm) 

Resistência ao Escoamento fy (MPa) 

Resistência à Ruptura fu (MPa) 

Alongamento (%) 

219,1 x 8,2  385  582  33 

219,1 x 9,5  374  571  34 

Para as vigas  foram utilizados perfis  laminados de aço da empresa Gerdau Açominas 

onde  foram  considerados  os  valores  nominais  de  345  MPa  para  a  resistência  ao 

escoamento e 485 MPa para a resistência à ruptura. 

4.1 Montagem e instrumentação dos ensaios 

O  sistema  de  aplicação  de  carga  foi  instalado  em  um  pórtico  de  reação,  com 

carregamento  aplicado  por  meio  de  um  atuador  hidráulico,  sendo  o  valor  do 

carregamento medido por uma célula de carga, em cuja extremidade foi colocada uma 

rótula de carga visando manter a verticalidade do carregamento.A Figura 5 a seguir, 

mostra o sistema de aplicação de carga. 

72

 

Figura 5 ‐ Sistema de aplicação de cargas. 

A  instrumentação  usada  no  ensaio  experimental  visou  ao  monitoramento  de 

deformações e deslocamentos assim como o controle dos carregamentos aplicados. A 

leitura de deslocamentos ocorridos na viga durante o ensaio,  flecha da viga,  foi  feita 

por meio de LVDT’s (Linear Variable Displacement Transducers), em que as leituras dos 

deslocamentos  são medidas  e  armazenadas  por meio  de  sistema  de  aquisição  de 

dados controlado por computador. Utilizou‐se os deflectômetros de haste, que foram 

posicionados no pilar para a monitoração eventual de deslocamento. 

Os LVDT’s foram posicionados abaixo da viga no total de três em cada ensaio (L1, L2 e 

L3), sendo o L3 a 29 cm da face do pilar, o L2 e o L1 a uma distância de 29 cm entre 

eles, sendo que o L1 ficou posicionado abaixo do sistema de aplicação de carga, Figura 

6. 

73

 

Figura 6 ‐ Posicionamento dos LVDT's instalados no protótipo. 

Para  medição  das  deformações  foram  utilizados  os  extensômetros  elétricos  de 

resistência unidirecionais e também do tipo roseta 45°. Nas ligações ensaiadas, foram 

coladas  rosetas na  face do pilar e extensômetros nas mesas da viga, como pode  ser 

observado na Figura 7. 

   

a) Dimensões do protótipo.  b) Extensômetros tipo Rosetas de 90°( R1, R2, R3 e R4) e extensômetros uniaxiais (E1, E2, 

E15 e E16). Figura 7 ‐ Posicionamento dos extensômetros e rosetas nos protótipos. 

Para  aquisição  dos  dados  foi  utilizado  um  sistema  automático  controlado  por 

computador  dotado  de  um  sistema  de  controle  e monitoramento  de  aquisição. Os 

ensaios  foram  realizados  com  uma  pré‐carga  para  ajuste  e  verificação  dos 

equipamentos. Em seguida foi aplicado o carregamento, sendo o critério de parada do 

ensaio a identificação do mecanismo de falha e a perda de resistência da ligação. 

74

4.2 Apresentação dos Resultados Experimentais 

Para cada etapa de carga de cada ensaio do protótipo, foram medidas as deformações 

e  os  deslocamentos,  e  a  partir  desses  resultados  foi  possível  determinar  a  curva 

momento‐rotação e a rigidez da ligação dos protótipos em questão. 

A  partir  dos  resultados  obtidos  nos  ensaios,  verificou‐se  que  o  modo  de  falha 

preponderante  foi  a  “plastificação  da  face  do  pilar”  com  o  escoamento  inicial  na 

roseta 4,  como  pode  ser  visto  nasFiguras8  e  9  como  os  representativos  da  série, 

indicados a partir da carga x deformação específicobtidas. 

 Figura 8‐ Carga x Deformação específica para a roseta R 4 do protótipo P1. 

 

Figura 9 ‐Carga x Deformação específica para a roseta R 4 do protótipo P2. 

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

‐6000 ‐5000 ‐4000 ‐3000 ‐2000 ‐1000 0

Carga (kN

)

Deformação (µm/m)

E 12

E 13

E 14

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

‐3000 ‐2500 ‐2000 ‐1500 ‐1000 ‐500 0

Carga (kN

)

Deformação (µm/m)

E 12

E 13

E 14

75

Para se obter a curva momento‐rotação da ligação em estudo, calculou‐se o momento 

fletor para cada carga aplicada considerando que o braço é a distância da aplicação de 

carga até a face do pilar. A rotação obtida é a rotação da ligação. Os valores máximos 

de momento  fletor e de  rotação para esse ensaio  foram  respectivamente de 143,66 

kNm  e  0,074  rad,  como mostra  a  Figura10.  Para  o  cálculo  da  rigidez  foi  utilizado  o 

Método  da  Inclinação  Inicial  (Reis,  2011),  chegando  a  uma  rigidez  igual  a  9004,27 

kNm/rad. 

 

Figura 10 -Curva Momento-Rotação da ligação para o protótipo P1.

Para  o  ensaio  P2  pôde‐se  determinar  os  valores máximos  de momento  fletor  e  de 

rotação que foram respectivamente de 72,52 kNm e 0,058 rad. A Figura 11 mostra a 

curva momento‐rotação do ensaio P2 através da qual foi obtida um valor darigidez da 

ligação igual a 4759,71 kNm/rad. 

 

Figura 11 ‐ Curva Momento‐Rotação da ligação do protótipo P2. 

 

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,02 0,04 0,06 0,08

Momento ( kN.m

)

Rotação  (rad)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0,02 0,04 0,06

Momento ( kN.m

)

Rotação  (rad)

76

A Figura 12 a seguir mostra o esmagamento da face do pilar pela viga, onde se percebe 

um enrugamento da mesa inferior da viga. 

 

Figura 12 ‐ Esmagamento do pilar pela mesa da viga por forças de compressão. 

Na Tabela 5 a seguir têm‐se os resultados obtidos nos ensaios, onde Py corresponde à 

carga aplicada que ocasionou a plastificação do aço do pilar, Pmax é a carga máxima 

aplicada  nos  ensaios.Nessa  tabela  é  indicado  também  o  momento  fletor  máximo 

obtido nos ensaios, a rotação máxima e a rigidez da ligação obtida experimentalmente. 

Tabela 5 ‐ Resultados obtidos nos ensaios experimentais. 

Protótipo 

Cargas Experimentais (kN) 

Momento Fletor Máximo (kNm) 

Rotação Máxima (rad) 

Rigidez  (kNm/rad) 

Py Pmax.

P1  135,08  186,69  162,42  0,074  9004,27 

P2  71,73  83,35  72,51  0,058  4759,71 

 

5 Análise e Comparação dos Resultados 

A  exposição  e  discussão  dos  resultados  é  feita  de  modo  a  se  estabelecer  um 

comparativo entre os resultados teóricos e experimentais obtidos a partir do Eurocode 

3 part 1‐8 de   2005 e CIDECT  (Kurobane et al, 2004). A Tabela 6 a  seguir, mostra a 

comparação  entre  esses  resultados,  onde  se  pode  observar  que  houve  uma  boa 

correlação entre os valores da  rigidez experimental e  teórica principalmente para os 

ensaios  do  protótipo  P1.  Todas  as  ligações  são  classificadas  como  semirrígidas  de 

acordo com os limites de rigidez do Eurocode 3. 

77

Tabela 6 ‐ Comparação entre os resultados teóricos e experimentais. 

Ensaio 

Teórico  Experimental 

Mip,1,Rd

(kN.m) (Eq. (2))

Rigidez (kN.m/rad) 

(Eq. (9))

Mmax. (kN.m) 

Rigidez (kN.m/rad) 

P1  160,54  8089,23  143,66  9004,27 

P2  53,60  2227,66  72,52  4759,71 

 

6 Considerações Finais 

A  determinação  da  rigidez  inicial  das  ligações  é  influenciada  pelas  características 

elásticas  dos  materiais  pelas  características  geométricas  e  pela  tipologia  do 

carregamento. 

No  entanto,  as  representações  do  desenvolvimento  de  deformações  plásticas, 

redistribuições  de  tensões  e  colapso,  dependem  dos  modelos  constitutivos  dos 

materiais. 

A  ligação apresentou deformações plásticas na face do pilar principalmente na região 

comprimida,que recebe as forças oriundas da viga, definindo como modo de colapso a 

plastificação do pilar. 

Os  resultados  experimentais  obtidos  proporcionaram  a  determinação  da  rigidez  da 

ligação, distribuição de tensões na região do pilar e da viga, o mecanismo de colapso 

desenvolvido e a carga última aplicada. 

Neste trabalho procurou‐se o avanço do conhecimento do comportamento da ligação 

soldada  entre  viga  de  seção  tipo  I  e  pilar  de  perfil  tubular  circular  em  aço, 

evidenciando‐se a necessidade de se conhecer e explorar o conceito de  semirrigidez 

das  ligações tubulares em aço,propondo formulações capazes de prever sua rigidez e 

desenvolvendo aplicações. 

 

7 Agradecimentos 

Os  autores  agradecem  a  FAPEMIG  (Fundação  de  Amparo  a  Pesquisa  do  Estado  de 

Minas Gerais), CNPq (Conselho Nacional de Pesquisa), FINEP (Financiadora de Estudos 

e Projetos), CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior) e a 

empresa Vallourec & Mannesmann do Brasil. 

78

8 Referências bibliográficas 

Eurocode 3, ENV 1993‐1‐8, 2005: Design of steel structures ‐ Part 1‐8: Design of joints. CEN, European Committee for Standardization, Brussels. 

Eurocode 3, ENV 1993‐1‐8, 2005: Design of steel structures ‐ Part 1‐8: Design of joints. CEN, European Committee for Standardization, Brussels. 

Kurobane,  Y.,  1981:  New  developments  and  practices  in  tubular  joint  design  (+ addendum) International Institute of Welding Commission XV, IIW Doc. XV‐488‐81. 

Wardenier, J., Packer, J.A, Zhao, X.‐L and Vegte, G. J. van der, 2010: Hollow Sections in Structural Applications. 2nd Edition, CIDECT, Geneva, Switzerland. ISBN 978‐90‐73830‐86‐9. 

Wardenier,  J.,  1982:  Hollow  section  connections.  Delft  University  Press,  Delft Netherlands. 

Makino, Y., 1984: Experimental study on ultimate capacity and deformation for tubular joints. Ph.D. Thesis, Osaka University, Osaka, Japan. (in Japanese). 

Kamba, T and Taclendo, C., 1998: CHS column connections without stiffener. Proc. 8th Int. Symposium on Tubular Structures, Singapore, pp. 567‐576. 

Aryioshi, M and Makino, Y., 2000: Load‐deformation for gusset‐plate to CHS tube joints under compression loads. Int. Journal of Offshore and Polar Engineering, Vol. 10, Nº 4, pp 292‐300. 

Kurobane,  Y.,  Packer,  J.A.,  Wardenier,  J.,  &  Yeomans,  N.,  2004:  Design  guide  for structural hollow section column connections. CIDECT Series "Construction with hollow steel sections" No. 9, TÜV‐Verlag, Köln, Germany, ISBN 3‐8249‐0802‐6. 

Wardenier, J., Packer, J.A, Zhao, X.‐L and Vegte, G. J. van der, 2010: Hollow Sections in Structural Applications. 2nd Edition, CIDECT, Geneva, Switzerland. ISBN 978‐90‐73830‐86‐9. 

Reis,  S.L.F.;  de  Paula,  G.D.;  Araújo,  A.H.M.;  Freitas,  A.M.S.:    Theoretical  Analysis  of Tubular  and  "I"  Connections.  In:  XXXIV  Jornadas  Sudamericanas  de  Ingeniaría Estrutural, San Juan, Argentina,2010. 

Reis, S.L.F.(2011). Análise Teórico‐Experimental de Ligações Metálicas Soldadas entre coluna em Perfil Tubular Circular e Viga em Perfil de Seção Transversal “I”. Dissertação (Mestrado  em  Engenharia Civil)  ‐ Programa  de  Pós‐Graduação  do Departamento  de Engenharia Civil, Universidade Federal de Ouro Preto. 

Reis,  S.L.F.;  Freitas,  A.M.S.:  de  Paula,  G.D.;  Lima,  L.  R.  O.:  Avaliação  Numérica  de Ligações Tubulares Soldadas entre Perfis Circulares e Vigas I. In: Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2011, Coimbra, Portugal. Anais APMTAC, Portugal, 2011. 

                                                                                                                                                                                                         

   

* Autor correspondente                                               79 

 

 

On the design methods of cold‐formed steel wall 

studs by the AISI specification  

Luiz Carlos Marcos Vieira Junior1* and Benjamin William Schafer2 

 

1 Visiting Scholar, Johns Hopkins University, 3400 North Charles Street, 

Baltimore, MD 21218, USA, luizvieirajr@gmail.com 

2 Professor, Johns Hopkins University, 3400 North Charles Street, Baltimore, MD 

21218, USA, schafer@jhu.edu 

 

Abstract   

This paper discusses  the various design methods  for sheathed walls  framed  from 

cold‐formed steel studs proposed by the American Iron and Steel Institute (AISI) since 

1962.  The discussion  focuses on  the development  the equations used  in  the design 

methods,  and  aims  to  establish  an  understanding  of  the  assumptions  and 

simplifications  employed.  Special  attention  is  given  to  the  “2a”  rule  used  since AISI 

(1962).  The  2a  rule  prescribes  that  the  buckling  length  of  a  sheathed  stud  shall  be 

equal  to  twice  the  distance  between  fasteners  (2a),  in  order  to  consider  a missing 

fastener. A reliability study  is used herein to evaluate the 2a rule, which  is shown  to 

lead  to conservative strength predictions. Resistance  factors are proposed as a more 

rational choice to take account of ineffective fasteners or construction flaws. 

 Keywords: AISI specification, fastener spacing, wall stud, cold‐formed steel 

 

1 Introduction 

Cold‐formed  steel may be used  to  frame  the walls,  floors,  and  roofs  of modern 

buildings. The  individual cold‐formed steel members  (studs) have sheathing attached 

to provide  appropriate  architectural enclosures,  Figure 1.  In Brazil,  this  construction 

Volume1.Número2(agosto/2012).p.79‐94 ISSN2238‐9377

80 

 

system  is  best  known  as  “steel  framing”.  The  considerable  growth  in  the  use  of 

sheathed  wall‐studs  rather  than  traditional  masonry  walls  is  primarily  due  to  its 

lightweight and because it is faster to build.  

In  a  “steel  framing”  building  the  sheathing  –  usually  plywood,  gypsum,  and/or 

oriented strain board (OSB) – braces the cold‐formed steel studs under load and has a 

significant impact on the stability and strength of cold‐formed steel studs.  

 

a) View from outside the building  b) View from inside the building 

Figure 1 – Low‐rise building with cold‐formed steel wall stud. 

 

Since 1962 the AISI specification has proposed essentially three different methods 

(sections 2.1 and 2.2) to design sheathed stud walls. The first method was proposed in 

1962 (AISI, 1962), the design method was revisited and a new proposal was published 

in  1980  (AISI,  1980),  which  remained  on  the  specification  until  2004  when  it  was 

abandoned in favor of something similar to the 1962 approach (AISI‐S211, 2007). This 

paper also discusses  in  section 3  the double  fastener  spacing, or “2a”  rule, which  in 

essence implies that given the possibility of a missed fastener, where fasteners are at 

spacing  (a),  one  should  design  for  a  stud  buckling  at  a  length  twice  the  size  of  the 

spacing between fasteners, i.e. 2a.  

 

81 

 

2 Design methods of cold‐formed steel wall stud by the AISI 

specification 

2.1 AISI 1962‐1980 and 2004‐Present (2011) 

The  1962  AISI  Specification  (AISI,  1962)  was  based  on  two  papers:  one  was 

published in 1947 by Cornell University that included three authors: Green, Winter and 

Cuykendall (Green et al., 1947), and the other paper revisits the problem, published in 

1960  by Winter  (Winter,  1960) who  had  been  a  co‐author  on  the  previous  paper. 

Winter highlighted at the very beginning of his paper:  

 “[A] simple elementary method  is developed  that permits  the 

lower  limits  of  strength  and  rigidity  of  lateral  support  to  be 

computed in order to provide “full bracing” to columns and beams. 

“Full  bracing”  is  defined  as  equivalent  in  effectiveness  to 

immovable lateral support” Winter (1960)  

Winter  (1960)  found  that  a  small  strength  and  stiffness  were  necessary  to 

guarantee “full bracing” to the stud, therefore the connection should be checked just 

to make  sure  that  the  sheathing  is  able  to  restrain  it.  Additionally  to  strength  and 

stiffness  the  AISI  (1962)  specification  also  requires  that  maximum  space  between 

fasteners  is checked  (For more  information on the design methods see Schafer et al. 

(2008)). 

Even  though  the AISI  (1962)  specification and  the AISI‐S211  (2007) are based on 

the  same  research,  they have  some differences. The AISI‐S211  (2007)  is more of  an 

“analysis” method  in  that  it attempts  to provide  the  capacity  regardless of how  the 

member  fails, while  the AISI  (1962)  is a more “prescriptive” method where  the  limit 

state has been pre‐selected and the provisions are intended to insure that stiffness (k) 

and fastener spacing (a) are selected such that this limit state does occur. 

The  AISI  (1962)  insures  that  global  buckling  load  in  the weak  axis  (Pcry)  over  a 

buckling length equal to two times the fastener spacing (2a) is greater or equal to the 

strong  axis  buckling  load  over  the  column  length  (L).  Pcry  over  L  and  supported  by 

82 

 

lateral  springs at  the  fastener  location  is also  required  to be greater or equal  to  the 

squash  load (Py=Afy).  If both requirements for Pcry are guaranteed the global buckling 

load (Pcr) is given by the buckling load in the strong axis (Pcrx) over L. It is important to 

note that AISI (1962) did not check for flexural‐torsional buckling. 

While AISI  (1962)  insures  that  the buckling  load  is governed by Pcrx,  the buckling 

load  in AISI‐S211  (2007)  is given by  lowest buckling  load between weak‐axis buckling 

(Pcry)  and  flexural‐torsional  buckling  (PcrFT).  However,  Pcry  must  be  checked  over  a 

buckling  length of 2a and PcrFT must be checked over a buckling  length 2a for torsion 

and  L  for  strong‐axis  buckling,  in  both  checks  –  Pcry  and  PcrFT  –  the  springs  that 

represents the fasteners are disregarded (k=0).  

The  fastener demand on  the  fastener‐sheathing  assembly  shall  also be  checked. 

While AISI (1962) adopted the equations proposed by Winter Winter (1960), the AISI‐

S211  (2007)  simplified  the problem  and  adopted  the well  know 2%  rule, where  the 

bracing force  is given by 2% of the axial  load. In fact, Schafer et al. (2008) shows that 

the use of AISI (1962) equations to check fastener demand will lead values similar than 

the 2%  rule. Table 1  summarizes  the comparison between AISI‐1962 AISI  (1962) and 

AISI‐2007 AISI‐S211 (2007). 

Table 1 – Summary of comparison between AISI (1962) and AISI‐S211 (2007). 

AISI (1962)  AISI‐S211 (2007). 

Pcr=Pcrx((KL)x=L) subject to 

Pcry(k=0, (KL)y=2a)Pcrx((KL)x=L) Pcry(k@a, (KL)y=L) Afy and ~2%P for fasteners 

Pcr=min (Pcry, PcrFT) where Pcry(k=0, (KL)y=2a) PcrTF(k=0, (KL)x=L, (KL)t=2a) and 2%P for fasteners 

 

2.2 AISI 1980‐2004 

From 1980 to 2004 AISI adopted the design method for sheathed walls (AISI, 1980) 

developed by Simaan and Pekoz (1976). In Simaan and Pekoz (1976) the buckling load 

is found by solving an energy problem. The total potential energy of the sheathed wall 

( ),  Eq.  (1),  consists  in  three  components:  (i)  the  strain  energy of  the  stud  (Ustud), 

83 

 

which  incorporates  the  contribution of bending, warping and  twist,  (ii)  the potential 

energy  of  the  concentric  axial  load  (Wload),  and  (iii)  the  energy  of  the  diaphragm  (

Udiaphragm), which a priori includes the contribution of diaphragm strain energy due to 

shear  distortion  (Udiaphragmshear ),  and  strain  energy  of  diaphragm  due  to  rotational 

distortion (Udiaphragmrotation). 

 

Ustud Udiaphragm Wload  (1) 

 

The buckling  load  is given  in Simaan and Pekoz  (1976) by using  the Rayleigh‐Ritz 

method to solve Eq. (1). In the solution Udiaphragmshear  is the strain energy contribution 

given  by  a  rotational  spring  on  the  plane  of  the  sheathing.  In  fact,  the  rotational 

restriction provided by the connection sheathing‐fastener‐stud  is  little  if any, but the 

rotational  spring  in  discussion  is  actually  the  product  of  the  binary  created  by  two 

fasteners with lateral stiffness kx. 

  AISI (1980) adopted a couple of simplifications, an example is that they ignored 

the diaphragm rotational stiffness since it provided very little resistance. An important 

advance  of  the  design method  is  that  it  provides  a way  to  verify  not  only  flexural 

buckling but also flexural‐torsional buckling, which hadn’t been considered before.  In 

the method  flexural  buckling  still  considered  the  buckling  length  in  the minor  axis 

equal  to “2a”, more discussions about  this assumption are provided  in  the  following 

sections.  The  design  method  also  proposed  a  way  of  checking  the  shear  strain 

resistance of the sheathing, and  it allows the engineer to design studs with sheathing 

on one flange only, or with different sheathing, even though it is not explicit in the AISI 

specification how to proceed with the design. 

Nonetheless  the  design method  given  in  the  AISI  specification  is  considered,  as 

agreed  by  other  authors  (Trestain,  2002),  too  complex  for  ordinary  design method. 

Trestain  (2002) even highlighted  that “Provided  there  is adequate steel bridging,  the 

approach in Section D4 (a) [the method discussed here] can produce a lower capacity 

84 

 

than  an  all  steel  approach”. Due  to  its  complexity  and  inefficiency  the method was 

abandoned in 2004.   

 

3 Discussion on the “2a” fastener spacing rule 

As detailed  in the previous sections, since the first specification  in 1962, the “2a” 

rule has been used. There is no explanation for this rule other than one fastener may 

be defective or missed and so design should account for a stud in this condition.  

The  study of  this  section aims  to  show  the  inefficiency of  this arbitrary  rule. The 

study consists of analyzing a column under flexural buckling, in which the sheathing is 

modeled  as  translational  spring  elements.  The  springs  are  considered  as  random 

variables,  all  other  variables  are  deterministic,  see  Figure  2.  In  the  study  expected 

statistics  for  the  fastener  stiffness  are  first  established,  and  then  used  to  find  the 

flexural buckling  load  (Pcr) of  the column. A Monte Carlo  simulation  is performed  to 

determine  the  variation  in  Pcr  due  to  the  variation  of  the  spring  stiffness  and  the 

probability of  failure of a  fastener. The Pcr  values are used  to  find  the  resistance of 

each configuration.   

 

85 

 

Figure 2 – Problem definition. 

    

3.1 Statistical study of the in‐plane translational stiffness (k) 

In  Vieira  (2011),  lateral  stiffness  tests  are  performed  in which  fastener  spacing, 

distance  to  the  edge  of  the  board,  sheathing  humidity  level  and  possibility  of 

overdriving a fastener were varied. This section is based on the tests reported in Vieira 

(2011) that used OSB boards (a total of 21 tests). In the tests, two‐lipped channels are 

pulled apart  (tension) or pushed  together  (compression), but  they are connected by 

the  flanges  to  two  pieces  of  sheathing  through  eight  fasteners,  which  provide  a 

resistance  to  the movement, Figure 3. The  resistance can be determined as stiffness 

since the displacement is also recorded. 

 

Figure 3 – Translational stiffness test 

 

To  perform  the  Monte  Carlo  simulation  varying  the  spring  stiffness,  it  was 

necessary  to  find  the best probability distribution  for  the available  test  results. Two 

distributions  were  considered:  normal  and  lognormal.  Figure  4  shows  both 

distributions compared to the test results  in a Cumulative Distribution Function (CDF) 

plot. The goodness of fit was compared using the Kolmogorov‐Smirnov test, while the 

normal curve gives a statistically significant difference (p‐value) of 0.76, the lognormal 

86 

 

curve gives a p‐value of 0.98. The  lognormal distribution was considered appropriate 

to be used in the reliability study.  

Figure 4 – Curve fitting study for spring stiffness (k). Mean of k is 1,278.5 N/mm 

(7.2974 kip/in) and variance is 72,511 (N/mm)2 (2.3623 (kip/in)2). 

 

3.2 Rayleigh‐Ritz approach to find the global buckling load (Pcre) of columns 

supported by discrete springs (k) 

Chen (1987) provide a clear explanation of the Rayleigh‐Ritz method used – in this 

case  –  to  find  the  buckling  load  or  eigen‐value  of  a  column  supported  laterally  by 

discrete springs. They summarize that by using the Rayleigh‐Ritz method and assuming 

a  displacement  function  that  satisfies  the  geometric  boundary  condition:  “[A] 

structural  system with an  infinite degree of  freedom  is now  reduced  to a  system of 

finite degrees of freedom. As a result of this simplification, the total potential energy 

function reduces from a functional to a function, and, so, instead of using the calculus 

of variations (which operates on functionals), we can now use ordinary calculus (which 

operates  on  functions)  to  obtain  solutions  directly  from  the  total  potential  energy 

function.” Given that we assumed a displacement equation, Eq. (2): 

800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Spring stiffness (k) in N/mm

Cum

ulat

ive

freq

uenc

y or

Fx(k

)

Lognormal fitNormal fit

87 

 

 

(2)

  The  strain  energy,  the  potential  energy  due  to  the  axial  force  P  and  the 

potential energy due to the discrete springs can be expressed respectively by Eq. (3), 

(4) and (5), the bar above the strain and potential energy represents that the energy 

equations  are  using  an  approximate  deflection  curve.  The  total  potential  energy  is 

equal to the sum of Eq. (3), (4) and (5). 

 

(3)

 

(4)

VS 1

2kk v 2

k1

n

 

(5)

  By the principle of stationary total potential energy, the total potential energy 

differentiated  for ai  is equal  to  zero, Eq.  (6), and  so  the global‐buckling  load  can be 

found by solving this eigen‐value problem. 

(U VP VS)

ai

0 

(6)

  The  components  of  the  total  potential  energy  (Eq.  (3),  (4)  and  (5)) 

differentiated for ai can be represented in a matrix format (Eq. (7), (8) and (9)).  

Uai

EI 4

2L3

14 0 0 0 0 0 0 0

i 4 0 0 0

sym n4

a1

ai

an

 

(7)

n

i

n

iiii L

xiaa

1 1

)sin(

L

dxdx

vdEIU

0

22

2

)(2

1

VP P

2

dv

dx

2

dx0

L

88 

 

VP

ai

P 2

2L

14 0 0 0 0 0 0 0

i 4 0 0 0

sym n4

a1

ai

an

 

(8)

VS

ai

kk

k1

n

B

a1

ai

an

 

(9)

where B is: 

B

sin1 xk

L

sin

1 xk

L

sin

1 xk

L

sin

j xk

L

sin

1 xk

L

sin

n xk

L

sini xk

L

sin

j xk

L

sin

i xk

L

sin

n xk

L

sym sinn xk

L

sin

n xk

L

(10)

The eigen‐value problem cannot be simplified since the buckled shape developed 

by  the  minimum  elastic  buckling  load  may  require  many  sine  waves,  Figure  5, 

depending on the spring stiffness.  If the spring stiffnesses are very small, the column 

buckles in just one half‐wave length, on the other extreme, if the springs are very rigid 

the  column  is  forced  to  buckle  in  several waves, which  coincides  to  the  number  of 

springs  plus  one.  For  the  spring  stiffnesses  reported  in Vieira  (2011),  the  half‐wave 

lengths are close to two times the fastener spacing “2a”, which might be a justification 

for the “2a” rule, but such stiffnesses may not always be provided to the column. 

 

89 

 

Figure 5 – Buckled shape for different wavelengths (“m” is the number of half waves). 

 

For validation a finite element (FE) model was generated in ABAQUS v6.7 (ABAQUS, 

2007),  the  model  consisted  of  a  column  L=2.54m  (100in)  long,  cross‐section  area 

A=211mm2  (0.327in2), moment of  inertia  I=47,158mm4  (0.1133in4), Young’s modulus 

E=203GPa  (29500ksi),  yield  stress  fy=227MPa  (33ksi) and  fastener  spacing a=20.3cm 

(8in), starting at 5.1cm (2in) from the stud end by a springs of stiffness kk=2.3kN/mm 

(kk=13kip/in = 2 springs of 6.5kip/in). Comparing Pcr of the analytical solution to the FE 

model a difference of only 1.3% is found, thus suggest that the analytical solution is a 

good approximation.   

 

3.3 Monte‐Carlo simulation of restricted columns 

Since both flanges of a stud are connected to the sheathing, there are two ways of 

understanding  the  defective  fastener:  case  (i)  both  fasteners  are  defective  and we 

would have to consider no fasteners over a length “2a”; and case (ii) a single fastener is 

defective but  the other  flange  still  connected, which  is  the more  likely defect. Both 

cases are simulated here. 

…k

k

k

k

k

1

2

3

4

n

…

k

k

k

k

k

1

2

3

4

n

…

k

k

k

k

k

1

2

3

4

n

…

m=1 m=2 m=number of springs + 1

90 

 

The details for the models (L, E, I, and a) are the same as provided in the previous 

section, but the spring stiffness is generated using the lognormal PDF curve defined in 

section 2.1, also to each fastener location (case (i)) or fastener by itself (case (ii)) there 

is a probability of failure (Pf) associated to  it, Pf  is varied from 0, 1, 2, 5, 8, and 10%. 

For each probability of failure 1000 models were analyzed, Figure 6.  

As depicted  in Figure 6, case (ii) shows  less variability and higher mean values for 

the buckling  load.  In  the  same  graph  the buckling  load of models  that  consider  the 

fastener spacing of “a” or “2a” (8in (20.3cm) or 16in (40.6cm)), kk equal to the mean 

value found in the tests and no fastener failure (Pf=0%) is also plotted. The mean value 

for  all  the  simulations without  fastener  failure  (Pf=0%)  is  very  close  to  the  value  of 

Pcr(k=mean, a=a) as expected. The  line defined by Pcr(k=mean, a=a) also  shows how 

much the mean buckling  load varies depending on the probability of fastener failure. 

The second horizontal  line (Pcr(k=mean, a=2a)) clearly shows how conservative  it  is to 

consider a buckling length equal to “2a”, the mean buckling load only gets closer to the 

horizontal line (Pcr(k=mean, a=2a)) in case (i) with Pf=10%. 

 

a) Case (i) – perfectly correlated fastener failure 

91 

 

b) Case (ii) – independent fastener failure  

Figure 6 – Global buckling Monte Carlo simulation of columns with discrete 

connections 

3.4 Resistance factor 

To  explore  the  impact of  “2a”  rule  on  design, we  consider  the means  by which 

variability  is  intended to be added to the design methods. According to the Load and 

Resistance Factor Design (LRFD) method the nominal resistance of a member (Rn) shall 

be multiplied by a resistance factor (). Assume the nominal load (Pn) is given by Pn=Pcr 

we  may  then  explore  what  resistance  factor  ()  would  be  appropriately  used  to 

establish a target reliability index of 2.5. 

AISI‐S100 (2007) presents in chapter F an equation to find the resistance factor (), 

Eq. (11). 

 

 (11) C MmFmPm eo VM

2 VF2CPVP

2VQ2

92 

 

In Eq. (11) the values for the variables were selected according to the instructions 

in  AISI‐S100  (2007), meaning  that:  C  (calibration  coefficient)  is  equal  to  1.52, Mm 

(mean value of material factor) is equal to 1.10, Fm (mean value of fabrication factor) is 

equal  to  1.00,  Pm  (mean  value  of  professional  factor)  is  equal  to  1.00,  o  (target 

reliability index) is equal to 2.5, VM (coefficient of variation of material) is equal to 0.1, 

CP  (correction  factor)  is given by  the  result of CP=(1+1/n)*((n‐1)/(n‐3)), “n” being  the 

number of simulations (n=1000), which results in our case to CP=1.003 ,VP (coefficient 

of variation of test results)  is given by calculating the coefficient of variation for each 

probability of failure, and finally VQ (coefficient of variation of  load effect)  is equal to 

0.21. With all these values the resistance factor () can be found using Eq. (11). 

As provided  in Table 2 the resistance factor () decrease – as expected – with the 

increase  of  the  probability  of  defective  fastener  failure  (Pf)  in  both  cases,  but  it 

decreases a lot faster in case (i) than in case (ii). Given =0.85 in column design today 

and given uncorrelated  fastener  failure  (case(ii)),  this  study  shows  that about 5% of 

fasteners may  be  defective  and  it  would  still  be  reasonable  to  ignore  the  loss  in 

capacity due to defective fasteners. Therefore, this reliability study concludes that the 

“2a”  rule  leads  to  conservative  strength  prediction  and  that  the  probability  of  a 

defective fastener would be better captured by means of a resistance factor. 

 

Table 2 – Resistance factor () for different probability of defective fastener perfectly 

correlated (case (i)) vs. uncorrelated (case (ii)) defective fasteners. 

 

 

4 Conclusions 

The  summary of design methods provided herein  shows  that  in essence  the AISI 

specification still prescribes the method first proposed in 1962 with few modifications. 

At the core of this method is the assumption that the wall studs should be checked at a 

0% 1% 2% 5% 8% 10%Case (i) 0.89 0.79 0.66 0.52 0.40 0.34Case (ii) 0.91 0.89 0.88 0.83 0.76 0.70

Problem conception

Probability of defective fastener (P f)

Resistance factor ( )

93 

 

buckling length equal to twice the fastener spacing. This is based on the potential for a 

deficient/missing  fastener. However, even when a  fastener  is missing sheathed walls 

have unbraced  lengths resulting  from the overall stud‐fastener‐sheathing  interaction, 

and not  just between  fasteners. An elastic  stability analysis accounting  for  the  stud‐

fastener‐sheathing  interaction  is provided and a  reliability study performed with  this 

tool  to  assess  the  buckling  length  under  different  conditions  of  deficient  and/or 

missing  fasteners.  The  results  are  summarized  in  the  form  of  proposed  resistance 

factors to account for quality of construction. Given advances in numerical methods as 

well  as  the  availability  of  software  for  stability  analysis,  forthcoming  design 

specifications can adopt more accurate and robust design methods that fully account 

for  stud‐fastener‐sheathing  interaction.    A  new  design method  proposed  in  Vieira 

(2011) to do just that is currently under review by AISI. 

 

5 References 

ABAQUS. ABAQUS/Standard Version 6.7‐1. D. Systemes, 2007. 

AISI. Light Gage Cold‐Formed Steel Design Manual. New York, N.Y., American Iron and Steel Institute, 1962. 

AISI. Light Gage Cold‐Formed Steel Design Manual. New York, N.Y., American Iron and Steel Institute, 1980. 

AISI‐S100.  North  American  Specification  for  the  Design  of  Cold‐Formed  Steel Structural Members, American Iron and Steel Institute, 2007. 

AISI‐S211.  North  American  Specification  for  the  Design  of  Cold‐Formed  Steel Structural Members, American Iron and Steel Institute, 2007. 

CHEN,  Wai‐Kai.  Structural  Stability:  Theory  and  Implementation.  New  York, Elsevier.(1987) 

GREEN, G. G.; WINTER, George; CUYKENDALL, T.R. Light Gage Steel Columns  in Wall‐braced Panels. Cornell University Engiineering Experiment Station 35: 1‐50, 1947. 

SCHAFER, Benjamin William;  IOURIO, Ornella; VIEIRA, Luiz Carlos Marcos Jr. Notes on AISI Design Methods  for  Sheathing  Braced Design  of Wall  Studs  in  Compression.  A supplemental report for AISI‐COFS Project on Sheathing Braced Design of Wall Studs. Baltimore, The Johns Hopkins University, 2008. 

94 

 

SIMAAN, Amir; PEKÖZ, Teoman. Diaphragm Braced Members and Design of Wall Studs. ASCE J Struct Div 102(1): 77‐92, 1976. 

TRESTAIN, T. W.  J. AISI Cold‐Formed Steel Framing Design Guide CF02‐1. Washigton D.C., American Iron and Steel Institute, 2002. 

VIEIRA,  Luiz Carlos Marcos  Jr. Behavior  and Design of  Sheathed Cold‐Formed  Steel Stud  Walls  under  Compression.  Baltimore,  Johns  Hopkins  University.  Doctor  of Philosophy: 239, 2011. 

WINTER,  George.  Lateral  Bracing  of  Beams  and  Columns.  Journal  of  the  Structural Division, 1960. 

  

 

                                                                                                                                                   Volume 1. Número 2 (agosto/2012). p. 95‐110        ISSN 2238‐9377                                                                                                    

* Autor correspondente 95

Ajuste de um modelo para estimativa de carga de flambagem do montante de alma de vigas alveolares por meio de análise numérica 

Washington Batista Vieira1*; Eliane Gomes da Silveira2; José Carlos Lopes Ribeiro3; José Luiz Rangel Paes4 e Gustavo de Souza Veríssimo5* 

 1 Estudante de Doutorado, DEC/UFV, email: washington.vieira@ufv.br 

2 Mestre em Engenharia Civil, UFV, email: eliane.silveira@ufv.br 3 Professor Adjunto, DEC/UFV, email: jcarlos.ribeiro@ufv.br  

4 Professor Adjunto, DEC/UFV, email: jlrangel@ufv.br 5 Professor Adjunto, DEC/UFV, email: gustavo@ufv.br  

Universidade Federal de Viçosa, Av. P. H. Rolfs, s/n, 36570‐000, Viçosa – MG.   

Adjustment of a model to estimate the web post buckling load for alveolar beams through numerical analysis 

 Resumo Neste  trabalho apresenta‐se a avaliação de um modelo analítico para obtenção da carga de flambagem do montante de alma (FMA) de vigas alveolares de aço, desenvolvido em meados do  século  passado. Desde  então,  a  resistência  dos  aços  estruturais  aumentou  e  seções  de perfis  laminados  com almas mais esbeltas  têm  sido produzidas. Experimentos  recentes  têm demonstrado um comportamento diferente para os novos perfis disponíveis, justificando uma reavaliação dos modelos analíticos existentes. Com o auxílio de um modelo numérico validado a  partir  de  resultados  experimentais,  obteve‐se  a  carga  crítica  de  FMA  para  diversas  vigas alveolares obtidas de perfis atuais. Os  resultados  foram  comparados  com os obtidos  com o modelo analítico para as mesmas vigas. Enfim, propõe‐se um ajuste no modelo analítico que proporciona resultados melhores para a verificação do estado  limite último de FMA em vigas alveolares. 

Palavras‐chave: vigas alveolares, modelo numérico,  flambagem do montante de alma, vigas casteladas.  Abstract   This paper presents  the  evaluation of  an  analytical model  to predict  the web post buckling (WPB)  load for alveolar steel beams, developed  in the middle of  last century. Since then, the resistance of structural steel has  increased and  rolled  I‐shapes with slender webs have been produced. Recent experiments have shown a different behavior for the new I‐shapes available, justifying  a  reassessment  of  existing  analytical models. Using  a  numerical model,  validated from  experimental  results,  the  critical  load  related  to  WPB  for  various  cellular  beams fabricated from actual I‐shapes was obtained. The results were compared with those obtained from  the  analytical model  for  the  same  beam.  Finally,  we  propose  an  adjustment  in  the analytical model that provides better results for the verification of ultimate limit state of WPB in alveolar beams.  Keywords: open‐web expanded beams, numerical model, web post buckling, castellated beams. 

96

 

1 Introdução 

As  vigas  alveolares  de  aço  surgiram  na  Europa  na  década  de  1930,  devido  à 

necessidade de vigas com altura superior à dos perfis I produzidos à época. Essas vigas 

são obtidas de perfis I laminados cortados longitudinalmente em ziguezague, de forma 

que as duas metades obtidas, deslocadas de certo comprimento e soldadas,  formam 

uma viga  com uma  sequência de aberturas na alma, com altura  superior à do perfil 

original, como ilustrado na Figura 1. 

 Figura 1 – Esquema do procedimento utilizado na fabricação de vigas casteladas (a) 

sem chapa intermediária e (b) com chapa intermediária (Grünbauer 2012). 

Há  algumas décadas,  as  vigas  alveolares deixaram de  ser  competitivas  e  caíram em 

desuso,  devido  ao  encarecimento  da  mão‐de‐obra  nos  países  desenvolvidos. 

Recentemente, avanços  tecnológicos na área de automação de corte e  solda de aço 

têm  possibilitado  novamente  fabricar  essas  vigas  a  custos  competitivos,  e  tem‐se 

observado o ressurgimento do  interesse pelas vigas alveolares de aço, em  função de 

suas vantagens estruturais e arquitetônicas. 

Os  avanços  tecnológicos  ocorridos  nas  últimas  décadas  têm  possibilitado  o 

desenvolvimento  de  aços  mais  resistentes  e  perfis  com  chapas  mais  esbeltas. 

Dependendo da esbeltez dos elementos constituintes da seção do perfil, predominam 

97

determinados modos  de  colapso  que  não  são  contemplados  pelas metodologias  de 

cálculo propostas por outros autores no passado.  

Embora os estudos passados tenham fornecido procedimentos para projeto e cálculo 

de alguns tipos particulares de vigas alveolares obtidas a partir dos perfis produzidos à 

época, pesquisas recentes demonstraram a necessidade de novos estudos.  

Zaarour e Redwood (1996) realizaram experimentos com vigas casteladas fabricadas a 

partir  de  uma  série  de  perfis  laminados  esbeltos  produzidos  pela  Chaparral  Steel, 

conhecidos  como  vigas  BANTAM.  Esses  perfis  possuíam  chapas  com  esbeltezes 

superiores à dos perfis  laminados usuais à época e as vigas  casteladas produzidas a 

partir  deles manifestaram modos  de  colapso  inusitados  nos  ensaios  de  laboratório, 

relacionados à instabilidade. 

Outro  fato  que  suscitou  o  interesse  por  novos  estudos  foi  o  início,  relativamente 

recente,  da  produção  de  perfis  I  laminados  no  Brasil,  pela  siderúrgica  Gerdau‐

Açominas, a partir de 2002. Alguns dos novos perfis  I  laminados produzidos no Brasil 

possuem elementos com esbeltez além da faixa coberta pelos estudos experimentais 

realizados no passado, como mostrado na Figura 2. 

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80

esbeltez da alma

?

predomina o colapso por plastificação

predomina o colapso por instabilidade

Laminados brasileiros (AÇOMINAS)

Perfis europeus

Vigas BANTAM

 Figura 2 – Variação da esbeltez da alma para perfis europeus, BANTAM e brasileiros. 

O objetivo deste  trabalho é avaliar a qualidade da  resposta de um modelo analítico 

proposto por Delesques (1968), para determinação da carga crítica de flambagem do 

montante de alma em vigas alveolares, com o auxílio de análises numéricas, tendo em 

98

vista os aços e perfis laminados disponíveis atualmente e, se necessário, propor algum 

ajuste nesse modelo analítico. 

2 Modelo analítico proposto por Delesques (1968) 

Delesques  (1968) apresentou um estudo da estabilidade dos montantes de alma de 

vigas casteladas de aço, desenvolvendo um modelo analítico para a obtenção da força 

cortante crítica que promove a  flambagem elástica do montante de alma  (Figura 3). 

Esse modelo  analítico  tem  como  base  o  princípio  variação  da  energia  potencial.  O 

autor  igualou a variação energia potencial dos esforços  internos de meio montante à 

variação dos  trabalhos das  forças externas aplicadas à metade do montante da viga, 

chegando à expressão do esforço cortante dada pela Eq. (1). 

AA

y

tEV

o

w

tg65,0 tg

72203,0

3

(1)

onde: 

E  módulo de elasticidade do aço 

tw  espessura da alma 

yo  distância entre o centro de gravidade do tê ao eixo da viga 

A  ângulo de inclinação das diagonais formadas no montante da viga, em relação à 

vertical (ver Figura 2) 

Φ, Ψ  ver Eq. (2) e Eq. (3) 

V  esforço cortante no montante (ver Figura 4) 

Figura 3 – Diagonal comprimida e diagonal tracionada no montante de alma (adaptado 

de Delesques 1968). 

99

V 2

V 2

Figura 4 – Esforço cortante considerado na formulação para verificação da flambagem 

do montante de alma. 

o

p

exp

ow

o

expp

exp

oww

o

expp

exp

pw

o

p

exp

pw

y

h

h

y

p

b

y

hh

h

y

p

b

p

b

y

hh

h

h

p

b

y

h

h

h

p

b

22122

1113

22

12

122

213

11o

oo

   

(2)

 

o

p

exp

ow

o

expp

exp

oww

o

expp

exp

pw

o

p

exp

pw

y

h

h

y

p

b

y

hh

h

y

p

b

p

b

y

hh

h

h

p

b

y

h

h

h

p

b

22122

1113

22

12

122

213

11o

oo

   

(3)

onde: 

φo, φ1,  ,   = funções apresentadas nas Eq. (4) a (7) 

bw, p, hp, hexp são apresentados na Figura 5 

423

o 7

256316

oooo y

y

y

y

y

y

y

y    

(2)(4)

 

423

1 8

255

4

916

oooo y

y

y

y

y

y

y

y    

(2)(5)

100

 

423

7

1

5

2

3

116

ooooo y

y

y

y

y

y

y

y    

(2)(6)

 

423

8

1

3

1

4

116

ooooo y

y

y

y

y

y

y

y    

(2)(7)

ho

b bwbw

p

dg hp

 Figura 5 – Simbologia relacionada às dimensões e espaçamento das aberturas nas vigas 

alveolares. 

Delesques  (1968) mostra que o  valor mínimo do esforço  cortante dado pela Eq.  (1) 

ocorre quando: 

65,0 tg A  

  

(2)(8)

Substituindo  a  Eq.  (8)  na  Eq.  (1), Delesques  obteve  uma  equação  que  determina  o 

esforço crítico de instabilidade do montante de alma, dado pela Eq. (9). 

o

wcr y

tEV

9,5

3

   

(2)(9)

Entretanto, como se pode notar pelas Eqs. (2) e (3), a obtenção dos parâmetros Φ e Ψ 

é  bastante  trabalhosa.  Segundo Delesques  (1968),  um  valor  aproximado  para  a  raiz 

quadrada do produto ΦΨ pode ser descrito pela Eq.  (10), originando uma expressão 

aproximada  para  o  cálculo  da  força  cortante  crítica  de  flambagem  do montante  de 

alma, apresentada na Eq. (11). 

101

o

pow

y

hhy

p

b exp8,02115  

  

(2)(10)

o

pow

o

wcr y

hhy

p

b

y

tEV exp

3 8,0211

18,1  (11)

A Eq. (11) é aplicável a qualquer padrão de viga castelada (com alvéolos hexagonais ou 

octogonais) ou celular (com alvéolos circulares), uma vez que depende basicamente do 

passo p e da largura do montante bw (ver Figura 5). 

3 Modelagem 

3.1 Modelo Numérico 

O  modelo  numérico  de  elementos  finitos  foi  desenvolvido  no  software  ABAQUS  

(Vieira  et  al.  2011).  Criou‐se  um  modelo  geométrico  tridimensional  formado  por 

elementos de casca  fina que  representam a superfície média das chapas de aço que 

compõem a viga castelada. Optou‐se por dividir o modelo em regiões para  facilitar a 

geração de malhas estruturadas de elementos finitos, como mostrado na Figura 6. 

Figura 6 – Modelo geométrico típico utilizado para uma viga castelada,  

com subdivisão em regiões. 

Nas  regiões  triangulares  formadas  nas  proximidades  das  aberturas  foram  usados 

elementos de  casca  fina  triangulares.  tipo  S3  (elementos  lineares de  casca  fina  com 

três nós e seis graus de  liberdade por nó). Nas regiões quadrilaterais foram utilizados 

102

elementos  S4R  (elementos  de  casca  fina  lineares,  com  quatro  nós,  seis  graus  de 

liberdade por nó com integração reduzida), como mostrado na Figura 7. 

Figura 7 – Malha de elementos finitos de um modelo com detalhe da região com 

malha triangular. 

Na Figura 8 são apresentadas algumas características dos elementos utilizados. A partir 

de uma análise de sensibilidade da malha, foram adotados elementos com dimensão 

aproximada de 10 mm 

3

21

1

4

3

2

1 1

1

2

345

Ponto de Integração

S3 S4R

(a) (b) (c)

Figura 8 – Representação dos elementos do ABAQUS, (a) S3 e (b) S4R e dos (c) pontos 

de integração ao longo da espessura dos mesmos. 

Para  o  aço,  adotou‐se  um  modelo  constitutivo  não‐linear,  elastoplástico  sem 

encruamento, e o critério de escoamento de Von Mises. 

Para validação do modelo numérico, foram simulados os ensaios feitos com treze vigas 

originárias de quatro programas experimentais distintos (Redwood e Demirdjian 1998; 

Zaarour e Redwood 1996; Bazile e  Texier 1968 apud  Zaarour 1995;  Toprac e Cooke 

103

1959)  obtendo‐se  uma  boa  concordância  entre  os  resultados  numéricos  e  os 

experimentais, tanto para carga última como para o modo de colapso observado. 

A  rigor,  a  simulação  numérica  é  feita  em  duas  etapas.  A  primeira  consiste  de  uma 

análise  de  flambagem  elástica  –  onde  o  carregamento  é  aplicado  como  uma 

perturbação  linear  do  tipo  Buckle  (Hibbitt  et  al.,  2009)  –  para  obtenção  dos 

autovetores e autovalores, que representam, respectivamente, o modo de flambagem 

e a  carga  crítica de  flambagem  (Figura 9). A  segunda etapa  consiste de uma análise 

não‐linear material e geométrica, pelo método de Riks modificado, com consideração 

de imperfeições iniciais e tensões residuais no perfil (Hibbitt et al., 2009). 

 

 

 

Figura 9 – Modo de flambagem representado no ABAQUS para uma viga ensaiada por 

Redwood e Demirdjian (1998). 

 

104

3.2 Características geométricas das vigas analisadas 

Para este estudo  foram  analisadas 21  vigas  alveolares,  variando‐se  a  geometria dos 

alvéolos e o vão  livre entre apoios. Variou‐se  também o  tipo de  carregamento para 

cada geometria, totalizando 42 análises realizadas.  

Na Tabela 1 são apresentadas as características geométricas das vigas analisadas e na 

Figura 10 são mostrados esquemas representativos da geometria das mesmas. 

 

 

 

 

Tabela 1 – Características geométricas das vigas analisadas. 

Viga  Padrão  dg  p   bw  hp  n  Vão  xca (mm)  (mm)  (mm) (mm) (mm)  (mm) 

AS‐3.0  Anglo‐Saxão  525,5  376,9  87,3  ‐  7  3000  369,2 

AS‐4.5  Anglo‐Saxão  525,5  376,9  87,3  ‐  11  4500  365,4 

AS‐6.0  Anglo‐Saxão  525,5  376,9  87,3  ‐  15  6000  361,6 

ASC‐3.0  Anglo‐Saxão  625,5  376,9  87,3  100  7  3000  369,2 

ASC‐4.5  Anglo‐Saxão  625,5  376,9  87,3  100  11  4500  365,4 

ASC‐6.0  Anglo‐Saxão  625,5  376,9  87,3  100  15  6000  361,6 

PN‐3.0  Peiner  525,5  523,5  174,5  ‐  5  3000  453,0 

PN‐4.5  Peiner  525,5  523,5  174,5  ‐  8  4500  417,8 

PN‐6.0  Peiner  525,5  523,5  174,5  ‐  11  6000  382,5 

PNC‐3.0  Peiner  625,5  523,5  174,5  100  5  3000  453,0 

PNC‐4.5  Peiner  625,5  523,5  174,5  100  8  4500  417,8 

PNC‐6.0  Peiner  625,5  523,5  174,5  100  11  6000  382,5 

LT‐3.0  Litzka  525,5  604,5  201,5  ‐  4  3000  593,3 

LT‐4.5  Litzka  525,5  604,5  201,5  ‐  7  4500  436,5 

LT‐6.0  Litzka  525,5  604,5  201,5  ‐  9  6000  582,1 

LTC‐3.0  Litzka  625,5  604,5  201,5  100  4  3000  593,3 

LTC‐4.5  Litzka  625,5  604,5  201,5  100  7  4500  436,5 

LTC‐6.0  Litzka  625,5  604,5  201,5  100  9  6000  582,1 

CEL‐3.0  Celular  525,5  523,5  174,5  ‐  5  3000  453,0 

CEL‐4.5  Celular  525,5  523,5  174,5  ‐  8  4500  417,8 

CEL‐6.0  Celular  525,5  523,5  174,5  ‐  11  6000  382,5 

 dg – altura total da viga alveolar p – distância entre os centros de alvéolos adjacentes bw – distância entre bordas de alvéolos adjacentes = comprimento da solda hp – altura da chapa expansora 

105

n – número de alvéolos xca – coordenada do centro do primeiro alvéolo = seção onde é obtido o valor do esforço cortante  

 

AS-3.0 AS-4.5 AS-6.0

ASC-3.0 ASC-4.5 ASC-6.0

PN-3.0 PN-4.5 PN-6.0

PNC-3.0 PNC-4.5 PNC-6.0

LT-3.0 LT-4.5 LT-6.0

LTC-3.0 LTC-4.5 LTC-6.0

CEL-3.0 CEL-4.5 CEL-6.0 Figura 10 – Esquemas da geometria das vigas alveolares analisadas. 

 

4 Resultados 

Para verificar os resultados do modelo analítico de Delesques (1968), foram realizadas 

simulações  numéricas  em  um  conjunto  de  vigas  alveolares  para  obtenção  da  força 

cortante crítica que provoca a flambagem elástica do montante de alma, utilizando‐se 

uma  análise  linear  do  tipo  Buckle.  Os  resultados  das  análises  numéricas  foram 

comparados com aqueles obtidos pelo modelo analítico desenvolvido por Delesques 

(1968), apresentado na Eq. (11). 

Para  as  vigas  apresentadas  na  Tabela  1,  obtiveram‐se  os  valores  da  força  cortante 

crítica  de  flambagem  elástica  do  montante  de  alma  para  duas  situações  de 

carregamento: 

‐ carregamento uniformemente distribuído ao longo do vão; 

‐ carga concentrada no centro do vão. 

As mesmas vigas foram analisadas com o modelo numérico, para as mesmas condições 

de  contorno,  para  que  os  resultados  obtidos  com  o modelo  analítico  de Delesques 

(1968) pudessem ser verificados. 

106

Na  Tabela  2  são  apresentados  os  resultados  do modelo  analítico,  bem  como  os  do 

modelo  numérico,  para  as  vigas  submetidas  a  carregamento  uniformemente 

distribuído e carregamento concentrado no centro do vão. 

Tabela 2 – Força cortante crítica de flambagem elástica do montante de alma. 

Viga  Vcr.eq  (kN) 

Vigas com carga distribuída ao longo do vão 

Vigas com carga concentrada no centro do vão 

Vcr.num

(kN)

Vcr.eq / Vcr.num 

(kN)

Vcr.num

(kN)

Vcr.eq / Vcr.num 

(kN) 

AS‐3.0  166,41  169,25  1,18  148,23  1,12 

AS‐4.5  166,41  151,74  1,22  139,35  1,19 

AS‐6.0  166,41  152,96  1,17  135,51  1,23 

ASC‐3.0  123,53  111,57  1,33  103,13  1,20 

ASC‐4.5  123,53  103,07  1,33  94,61  1,31 

ASC‐6.0  123,54  106,40  1,25  92,02  1,34 

PN‐3.0  154,59  153,45  1,34  147,12  1,05 

PN‐4.5  154,58  150,38  1,20  137,61  1,12 

PN‐6.0  154,59  149,49  1,15  134,44  1,15 

PNC‐3.0  119,27  115,96  1,37  108,06  1,10 

PNC‐4.5  119,25  108,67  1,28  99,55  1,20 

PNC‐6.0  119,25  108,65  1,22  97,30  1,23 

LT‐3.0  154,59  151,14  1,53  143,91  1,07 

LT‐4.5  154,58  150,37  1,23  139,40  1,11 

LT‐6.0  154,59  148,67  1,19  135,06  1,14 

LTC‐3.0  119,27  115,98  1,54  105,99  1,13 

LTC‐4.5  119,25  121,53  1,18  101,00  1,18 

LTC‐6.0  119,25  108,04  1,26  98,29  1,21 

CEL‐3.0  154,59  142,60  1,67  133,28  1,16 

CEL‐4.5  154,58  135,92  1,39  123,62  1,25 

CEL‐6.0  154,59  135,02  1,29  120,14  1,29 

MÉDIA  1,30    1,18 

 Vcr.eq – força cortante crítica de flambagem do montante de alma, obtido pelo modelo analítico de Delesques (1968), apresentado na Eq. (11). Vcr.num – força cortante crítica de flambagem do montante de alma, obtido na etapa Buckle do modelo numérico  

 

Na  Figura  11  são  apresentados  os  resultados  para  o  caso  das  vigas  submetidas  a 

carregamento uniformemente distribuído  ao  longo do  vão. Nota‐se que, na maioria 

dos  casos,  a  equação  de  Delesques  (1968)  apresenta  resultados  maiores  que  os 

obtidos com o modelo numérico. 

107

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

AS

-3.0

AS

-4.5

AS

-6.0

AS

C-3

.0

AS

C-4

.5

AS

C-6

.0

PN

-3.0

PN

-4.5

PN

-6.0

PN

C-3

.0

PN

C-4

.5

PN

C-6

.0

LT-3

.0

LT-4

.5

LT-6

.0

LTC

-3.0

LTC

-4.5

LTC

-6.0

CE

L-3.

0

CE

L-4.

5

CE

L-6.

0

Vigas

Es

forç

o c

ort

an

te c

ríti

co

(k

N)

MEF Delesques

 Figura 11 – Força cortante crítica que promove a flambagem do montante de alma em 

vigas alveolares submetidas a carregamento uniformemente distribuído ao longo do 

vão. 

Na  Figura  12  são  apresentados  os  resultados  das  vigas  submetidas  a  uma  carga 

concentrada  no  centro  do  vão.  Observa‐se  que  para  todos  os  casos  a  equação  de 

Delesques  (1968) superestima os valores obtidos de carga de  flambagem em relação 

ao modelo numérico. 

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

AS

-3.0

AS

-4.5

AS

-6.0

AS

C-3

.0

AS

C-4

.5

AS

C-6

.0

PN

-3.0

PN

-4.5

PN

-6.0

PN

C-3

.0

PN

C-4

.5

PN

C-6

.0

LT

-3.0

LT

-4.5

LT

-6.0

LT

C-3

.0

LT

C-4

.5

LT

C-6

.0

CE

L-3

.0

CE

L-4

.5

CE

L-6

.0

Vigas

Es

forç

o c

ort

an

te c

ríti

co

(k

N)

MEF Delesques

Figura 12. Força cortante crítica que promove a flambagem do montante de alma em 

vigas alveolares submetidas a carregamento concentrado no centro do vão. 

108

5 Discussão 

Nas  equações  desenvolvidas  por  Delesques  (1968),  considerou‐se  uma  condição 

específica de um montante de alma  isolado,  sujeito a esforços de  cisalhamento que 

causam  a  flambagem  do montante.  Numa  viga  real,  existem  vários  outros  efeitos 

combinados de momentos secundários atuando, o que provoca no modelo numérico 

um  rebaixamento  do  valor  da  carga  crítica  de  flambagem.  Esse  efeito  é  notado 

claramente na Figura 11, com a variação da carga crítica de flambagem em função do 

comprimento do vão. 

Observando  os  resultados  apresentados  anteriormente,  nota‐se  que,  em média,  os 

resultados numéricos são cerca de 80% superiores aos valores obtidos pela equação 

simplificada de Delesques  (1968). Assim,  inserindo‐se um  fator multiplicador  igual  a 

0,80 na Equação (11), obtém‐se a Equação (12). 

o

pow

o

wcr y

hhy

p

b

y

tEV exp

3 8,0211

475,1 

  

(2)(12)

Na  Figura  13  e  na  Figura  14  são  apresentados  os  resultados  comparativos  entre  o 

modelo numérico e a Equação (12). 

0

20

40

60

80

100

120

140

160

AS

-3.0

AS

-4.5

AS

-6.0

AS

C-3

.0

AS

C-4

.5

AS

C-6

.0

PN

-3.0

PN

-4.5

PN

-6.0

PN

C-3

.0

PN

C-4

.5

PN

C-6

.0

LT-3

.0

LT-4

.5

LT-6

.0

LTC

-3.0

LTC

-4.5

LTC

-6.0

CE

L-3.

0

CE

L-4.

5

CE

L-6.

0

Vigas

Es

forç

o c

ort

an

te c

ríti

co

(k

N)

MEF Delesques

Figura 13 – Força cortante crítica que promove a flambagem do montante de alma em vigas alveolares submetidas a carregamento distribuído ao longo do vão – comparação 

entre os valores numéricos e a Eq. (12). 

109

0

20

40

60

80

100

120

140

160

AS

-3.0

AS

-4.5

AS

-6.0

AS

C-3

.0

AS

C-4

.5

AS

C-6

.0

PN

-3.0

PN

-4.5

PN

-6.0

PN

C-3

.0

PN

C-4

.5

PN

C-6

.0

LT

-3.0

LT

-4.5

LT

-6.0

LT

C-3

.0

LT

C-4

.5

LT

C-6

.0

CE

L-3

.0

CE

L-4

.5

CE

L-6

.0

Vigas

Esf

orç

o c

ort

ante

crí

tico

(kN

)

MEF Delesques

 Figura 14 – Força cortante crítica que promove a flambagem do montante de alma em 

vigas alveolares submetidas a carregamento concentrado no centro do vão – comparação entre os valores numéricos e a Eq. (12). 

6 Conclusões 

Delesques (1968) propôs dois modelos analíticos para a determinação da carga crítica 

de  flambagem  elástica  do  montante  de  alma  para  vigas  casteladas,  um  rigoroso, 

bastante complexo, e outro simplificado, que produz resultados ligeiramente inferiores 

aos do modelo complexo. 

Neste  trabalho,  42  vigas  alveolares  foram  analisadas  com  o  auxílio  de  um modelo 

numérico de elementos  finitos, validado a partir de resultados experimentais, com o 

objetivo  de  verificar  a  concordância  dos  resultados  obtidos  com  o modelo  analítico 

simplificado proposto por Delesques (1968). 

Analisando‐se  os  resultados,  observa‐se  que  os  valores  de  força  cortante  crítica 

obtidos  com o modelo  analítico de Delesques  (1968)  são  superiores  aos do modelo 

numérico.  Acredita‐se  que  isso  se  deva  principalmente  às  diferenças  de 

comportamento de um montante de alma  isolado em  relação a uma viga  real, onde 

existem  momentos  secundários  que  influenciam  na  ocorrência  da  flambagem  do 

montante. 

Para  aproximar  os  resultados  obtidos  pela  equação  aos  do  modelo  numérico,  foi 

proposto um ajuste no qual um coeficiente 0,80 é introduzido na equação simplificada 

110

de Delesques, fazendo com que os resultados analíticos apresentem melhor correlação 

com os dos experimentos numéricos. 

A equação modificada proposta pode ser utilizada para estimar a carga de flambagem 

elástica do montante de alma  tanto para vigas casteladas, padrões Litzka, Peiner ou 

Anglo‐Saxão, como para vigas celulares (com alvéolos circulares). 

7 Agradecimentos 

Os autores agradecem à FAPEMIG, à FUNARBE e ao Departamento de Engenharia Civil 

da Universidade Federal de Viçosa pelo apoio para a realização deste trabalho. 

8 Referências bibliográficas 

DELESQUES, R. Stabilité des montants de poutres ajourées. Construction Métallique, n. 3, p. 26‐33. 1968.  GRÜNBAUER BV. Web Page: http://www.grunbauer.nl/eng/waarom.htm. Acessado em 11 de junho de 2012.  HIBBITT, KARLSSON  e  SORENSEN.    “ABAQUS  Theory Manual”, Hibbitt, Karlsson &  Sorensen, Inc, EUA; 2009.  REDWOOD, Richard G.; DEMIRDJIAN, Sevak. Castellated beam web buckling  in shear, Journal of Structural Engineering, v.124, p.1202‐1207. 1998  TOPRAC,  A.  A.;  COOKE,  B.  R.  An  experimental  investigation  of  open‐web  beams, Welding Research Council Bulletin Series. 1959  VIEIRA, Washington Batista, VERÍSSIMO, Gustavo de Souza, SILVEIRA, Eliane Gomes, PAES, José Luiz Rangel; RIBEIRO, José Carlos Lopes Development and validation of a numerical model for behavior assessment of castellated beams susceptible to collapse by web post buckling. XXXII Iberian  Latin‐American  Congress  on  Computational Methods  in  Engineering,  Ouro  Preto, 2011.  ZAAROUR, Walid Jacques. Web buckling in thin webbed castellated beams. PhD Thesis. McGill University, Canadá. 1995  ZAAROUR,  Walid  Jacques,  Redwood,  Richard  G.  Web  buckling  in  thin‐webbed  castellated beams; Journal of Structural Engineering, Vol.122, No.8, paper 11030. 1996 

                                                                                                                                                                                                                                                                                  Volume 1. Número 2 (agosto/2012). p. 111‐132        ISSN 2238‐9377    

* Autor correspondente 111

 Ligação Mista Viga‐Pilar Resistente a Momento 

Juliano L. Conceição1, Gilson Queiroz2*, Roberval J. Pimenta1* e Gabriel O. Ribeiro2* 

 1 CODEME, Codeme Engenharia S/A, Gerência de Engenharia, Distrito Industrial 

Paulo Camilo, BR‐381 km 421, 32530‐000, Betim, MG, Brasil, http://www.codeme.com.br (juliano.lanza@codeme.com.br) 

2 DEES, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia, Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG), Campus Pampulha, 31270‐901, 

Belo Horizonte, MG, Brasil, http://www.pos.dees.ufmg.br (gilson@dees.ufmg.br) 

Beam‐to‐Column Moment‐Resisting Composite Connection 

 

Resumo Apesar  do  aumento  do  emprego  de  estruturas mistas  de  aço  e  concreto  no  Brasil,  poucas referências são encontradas sobre o comportamento das ligações mistas viga‐pilar resistentes a  momento.  As  normas  de  dimensionamento  tanto  Brasileiras  quanto  internacionais  não prevêem  procedimentos  específicos  para  projeto  e  cálculo  dessas  ligações.  Frente  a  esse cenário, é proposto neste  trabalho o estudo preliminar de uma  ligação mista viga‐pilar com chapa  de  extremidade  parafusada  na  mesa  do  pilar  metálico.  Foram  feitas  simulações numéricas  utilizando‐se  o  MEF/ANSYS  considerando‐se  as  não  linearidades  físicas  dos materiais, permitindo  identificar os principais mecanismos de  falha e quantificar o momento fletor  resistente da  ligação.  Foram  realizadas  análises paramétricas para  avaliar  a  influência das principais variáveis geométricas e físicas na resistência da ligação possibilitando propor um modelo mecânico preliminar. 

Palavras‐chave: Ligação Mista de Aço e Concreto, MEF  Abstract   The use of  steel  and  concrete  composite  structures  in Brazil has been  increased. However, there are only a  few  references about  the behavior of beam‐to‐column  composite moment connections. The Brazilian and  international standards  for steel and concrete do not provide specific  design  and  calculation  procedures  for  moment‐resisting  composite  connections. Therefore, this work proposes to perform the preliminary study of a beam‐to‐column moment‐resisting  composite  connection with end plate bolted at  the  steel  column  flange. Numerical simulations were performed by the FEM/ANSYS. The physical nonlinearities of materials were considered, allowing to identify the major failure mechanisms and to quantify the connection flexural strength. Parametric analyses were performed to evaluate the influence of geometric and  physic  variables  on  the  connection  strength  and  a  preliminary mechanical model was proposed. 

 Keywords: Beam‐to‐Column Composite Connection, FEM.  

112

1 Introdução 

Ligações  são  potencialmente  as  partes  mais  críticas  e  possivelmente  as  menos 

entendidas  dos  pórticos  estruturais.  O  papel  principal  das  ligações  é  transferir  as 

solicitações entre os elementos estruturais mantendo a  integridade da estrutura sob 

os carregamentos aplicados. Diferentes tipos de elementos estruturais se interceptam 

nas  ligações  e  a  combinação  de  seus  esforços  solicitantes  gera  um  comportamento 

muitas vezes complexo.  

Este trabalho visa avaliar uma ligação de pórtico misto de aço e concreto por meio de 

simulação numérica considerando as não linearidades físicas dos materiais envolvidos. 

Trata‐se de uma ligação de viga metálica com um pilar misto constituído por um perfil 

de aço totalmente revestido com concreto, capaz de resistir aos momentos fletores e 

esforços  cortantes  provenientes  das  ações  verticais  e  horizontais  na  estrutura  de 

estabilização. A Fig. 1 ilustra a ligação estudada.  

 

Figura 1: Esquema da ligação mista viga‐pilar estudada neste trabalho 

Almeja‐se  identificar,  via  análise  numérica,  os  principais  mecanismos  de  falha  da 

ligação  e  também  o  momento  resistente  desse  tipo  de  ligação  para  algumas 

configurações  geométricas  pré‐definidas.  A  partir  do  estudo  do  comportamento  da 

ligação  proposta,  almeja‐se  propor  um  modelo  mecânico  preliminar,  o  qual  será 

Perfil de aço Viga metálicaConcreto 

Armadura transversal do pilar

Estribo externoEstribo interno

Barra oblíqua

Armadura longitudinal do pilar 

Chapa de extremidade parafusada 

113

aprimorado  futuramente  após  comprovações experimentais que  serão  realizadas no 

Departamento de Engenharia de Estruturas da UFMG. 

A  ligação mista  resistente  a momento  do  tipo  viga‐pilar  proposta  neste  estudo  não 

exige  a  continuidade  das  vigas  de  pórtico,  não  sendo  necessária,  portanto,  a 

interrupção do perfil de  aço  interno  ao pilar de  concreto. A  ligação proposta prevê 

fixação das vigas no perfil de aço por meio de chapa de extremidade parafusada, além 

da passagem das barras de armadura da viga mista através do pilar. Essa configuração 

demonstra  ser  mais  simples  do  ponto  de  vista  construtivo,  uma  vez  que  não  é 

necessária solda de campo para emendar os perfis de aço, como  também se mostra 

vantajosa  na  fase  de montagem  dos  pilares  devido  à  utilização  de  peças  de maior 

comprimento  além  da  facilidade  de montagem  inerente  a  uma  ligação  parafusada 

quando comparada a uma ligação soldada. 

2 Metodologia 

2.1 Comportamento da Ligação Mista Proposta 

A ação do momento fletor atuante na viga faz surgir dois modos de falha potenciais no 

concreto: um devido à ação da tração na mesa da viga, que por sua vez provoca um 

efeito de arrancamento da chapa de extremidade de dentro do pilar (corte A, Fig. 2); e 

outro, devido à compressão na mesa oposta da viga, que empurra a mesa do perfil de 

aço, mobilizando o maciço de concreto no interior do pilar (corte B, Fig. 2). 

As porções de concreto hachuradas na Fig. 2  indicam a predominância de tensões de 

compressão, e as delimitações das hachuras apontam para as prováveis superfícies de 

separação, onde  surgirão as principais  fissuras no concreto que  se propagarão até a 

perda completa de resistência do material. 

O ACI 318‐08 (2008) apresenta formulações com base em ensaios de arrancamento de 

conectores de  cisalhamento  em  concreto  armado, onde  são mostrados  ângulos dos 

"cones" de falha de aproximadamente 1:1,5. Portanto, por analogia, espera‐se que no 

entorno  da mesa  tracionada  da  viga  (corte  A,  Fig.  2)  seja  formado  um  cone  com 

aproximadamente  essa  inclinação,  e  o  equilíbrio  dos  esforços  horizontais  seria 

garantido pelas barras de armadura que atravessam a  superfície do cone, chamadas 

aqui de armaduras transversais efetivas. 

114

 

Figura 2: Hipóteses de falhas potenciais para o concreto do pilar misto na região da 

ligação 

2.2 Modelo de Elementos Finitos 

O modelo numérico de elementos finitos elaborado para simular a ligação mista viga‐

pilar é mostrado na Fig. 3. Adotou‐se uma modelagem 3D com elementos sólidos. Foi 

utilizado como ferramenta o programa computacional ANSYS (versão 12.1). 

Tanto os carregamentos quanto a geometria da ligação analisada possuem simetria em 

relação  ao  plano  vertical  que  passa  pelo  plano médio  da  alma  da  viga. O  pilar  de 

concreto  foi  modelado  com  uma  altura  suficiente  para  que  os  efeitos  localizados 

decorrentes das condições de contorno nas seções extremas do pilar não afetassem a 

resposta na região de interesse da ligação. Nas seções extremas do pilar foram criadas 

chapas grossas, cujo objetivo é garantir que as seções das extremidades permaneçam 

planas. 

As  chapas de  confinamento do  concreto  (ver  Figs.  3  e  4) promovem o  aumento da 

resistência uniaxial à compressão do concreto na região nodal em função da geração 

de  estados  multiaxiais  de  compressão.  Elas  foram  modeladas  como  nervuras 

transversais na viga. 

Cones de ruptura

A

B Momento Fletor

Corte B 

Corte A 

Tração e compressão nas mesas da viga 

1.5 1

1.5 1

1.5 1

115

Figura 3: Modelo global de elementos finitos da ligação mista viga‐pilar 

As  armaduras  longitudinais  e  transversais  do  pilar  foram modeladas mediante  uma 

taxa  de  armadura  dispersa  nos  elementos  SOLID65  nas  proporções  e  direções 

apropriadas (ver Fig. 4). As barras oblíquas, em virtude da forma como foi construída a 

malha 3D,  foram modeladas com elementos de  treliça do  tipo LINK8  interligando os 

nós da malha de concreto, conforme mostradas em vermelho na Fig. 4. 

Todas  as  superfícies de  contato existentes entre o  aço e o  aço, ou entre o  aço e o 

concreto,  foram  modeladas  com  elementos  de  contato  do  tipo  CONTA173  e 

TARGE170. 

Os parafusos que constituem a ligação da chapa de extremidade com a mesa do pilar 

metálico  foram modelados  com  elementos  de  barra  bi‐rotulados  do  tipo  LINK8. Os 

furos nas  chapas não  foram  considerados no modelo. Para  transferir os esforços de 

cisalhamento da chapa de extremidade para a mesa do pilar metálico foram adotados 

acoplamentos  nodais  rígidos,  com  isso  as  tensões  de  cisalhamento  atuantes  nos 

parafusos  oriundas  da  força  cortante  tiveram  de  ser  desprezadas  nas  análises 

numéricas. Foi considerada uma protensão inicial dos parafusos equivalente a 70% da 

tensão  de  ruptura  do  parafuso,  aplicada  por  meio  de  uma  deformação  inicial 

processada  em  um  passo  de  carga  anterior  à  aplicação  dos  demais  carregamentos 

presentes na ligação. 

Pilar de aço incorporado 

Chapa grossa (fictícia) 

Pilar de concreto

 Viga metálica

Chapa grossa (fictícia) 

Chapa de confinamento do concreto

116

 

Figura 4: Detalhe da modelagem das armaduras, dos perfis e das chapas de aço 

Para facilitar a convergência numérica os carregamentos foram impostos em forma de 

deslocamento prescrito.  

2.3 Relações Constitutivas e Propriedades Geométricas Adotadas 

Foram  consideradas  as  não  linearidades  físicas  de  todos  os materiais  presentes  no 

modelo numérico, com exceção da viga de aço, cuja falha não é o foco deste estudo. 

As curvas das relações constitutivas adotadas estão esquematizadas na Fig. 5. 

O  comportamento  do  concreto  é  representado  por  meio  do  modelo  Concrete 

disponível  no  ANSYS,  que  tem  como  referência  o modelo  proposto  por WILLAM  e 

WARNKE  (1975)  e  permite  simular  a  fissuração  do  concreto,  quando  submetido  a 

tensões de tração, e o esmagamento, quando submetido a tensões de compressão. 

Para  melhorar  a  resposta  do  comportamento  do  concreto  à  compressão  foram 

realizados  testes  mesclando‐se  diferentes  superfícies  de  falha  com  o  critério  de 

Willam‐Warnke.  Os  melhores  resultados  foram  obtidos  adotando‐se  o  critério  de 

escoamento de von Mises. 

Armaduras inclinadas discretizadas com elementos de treliça LINK8 

Chapas de aço modeladas com elementos sólidos SOLID185 

Armaduras dispersas nos elementos SOLID65 

Elementos com armaduras dispersas nas três direções

117

 

Figura 5: Relações constitutivas adotadas para: a) aço do pilar de aço e chapas; b) aço dos parafusos; c) aço das armaduras; d) concreto à compressão; e) concreto à tração 

Apesar de o critério de von Mises  ser normalmente utilizado para materiais dúcteis, 

em CHEN e HAN (2001) cita‐se que critérios como von Mises e Tresca são geralmente 

utilizados em análises preliminares com elementos finitos para o concreto sob tensões 

de compressão. Esse artifício  tem  sido utilizado  também em outros  trabalhos como, 

por  exemplo,  LEONEL  et  al  (2003),  QUEIROZ  et  al  (2005),  KOTINDA  (2006),  e 

CONCEIÇÃO  (2011). Portanto, adotou‐se para  representar a compressão do concreto 

um modelo multilinear  com encruamento  isótropico,  critério de escoamento de von 

Mises, e curva tensão‐deformação dada pela EN 1994‐1‐1 (2004), reproduzida na Fig. 

5(d). Para  tanto,  a  capacidade de esmagamento do  concreto no modelo Concrete é 

(e)

(d) 

(c) 

(b) 

(a)

118

desabilitada através da atribuição do valor  ‐1 ao parâmetro    (resistência uniaxial à 

compressão do concreto). 

As propriedades geométricas e  físicas adotadas nas simulações são apresentadas nas 

Tabelas 1 e 2, respectivamente. 

Tabela 1: Características geométricas do modelo M0 analisado numericamente 

Descrição dos Parâmetros  Valor 

Largura do pilar de concreto ( ) e Altura do pilar de concreto ( )  600 mm 

Comprimento do pilar no modelo ( )   2,4 m 

Comprimento da viga no modelo ( )   1,2 m 

Largura da chapa de extremidade ( )  256 mm 

Comprimento da chapa de extremidade ( )  760 mm 

Espessura da chapa de extremidade ( )  19 mm 

Largura da mesa da viga ( )  150 mm 

Altura da viga ( )  600 mm 

Espessura das mesas da viga ( ) [seção duplamente simétrica] 16 mm 

Espessura da alma da viga ( )  8 mm 

Largura da mesa do pilar de aço incorporado ao pilar misto ( ) 256 mm 

Altura da seção transversal do pilar de aço ( )  246 mm 

Espessura das mesas do pilar de aço ( ) 10,7 mm 

Espessura da alma do pilar de aço ( )  10,5 mm 

Espessura da chapa de confinamento do concreto ( )  12,5 mm 

Número total de armaduras longitudinais do pilar misto ( )  12 

Diâmetro da armadura longitudinal do pilar misto ( )  16,0 mm 

Diâmetro das armaduras transversais da ligação mista ( )  12,5 mm 

Diâmetro dos estribos do pilar misto ( )  5,0 mm 

Espaçamento entre as camadas de armaduras transversais da ligação ( )  7,5 cm 

Espaçamento entre as camadas de estribos do pilar de concreto ( )  20 cm 

Cobrimento das armaduras longitudinais do pilar ( )  50 mm  

Cobrimento das armaduras transversais do pilar ( )  35 mm 

Número de linhas de parafusos na ligação com chapa de extremidade ( )  6 

Diâmetro dos parafusos ( )  ¾ in (19 mm) 

Gabarito da ligação ( )  79 mm 

Distância da mesa da viga à 1ª linha de furação acima da mesa ( )  40 mm 

Distância vertical entre o furo e a borda da chapa de extremidade ( )  40 mm 

Distância entre as linhas de furação acima e abaixo da mesa da viga  ( )  103,3 mm 

Distância entre a 1ª linha e a 2ª linha de furação interna à viga ( )   94,7 mm 

Relação entre a área efetiva à tração e a área nominal do parafuso ( , )  75 %

 

 

 

119

Tabela 2: Características físicas do modelo M0 analisado numericamente 

Descrição dos Parâmetros  Valor 

Coeficiente de atrito estático aço‐aço e aço‐concreto (   0,35

Módulo de elasticidade do aço dos perfis e das chapas ( )  200 GPa

Módulo de elasticidade do aço das armaduras ( )  210 GPa

Módulo de elasticidade inicial do concreto ( )  35418 MPa

Coeficiente de Poisson dos aços ( )  0,3

Coeficiente de Poisson do concreto ( )  0,2

Tensão de escoamento dos aços do pilar e da chapa de extremidade ( )  350 MPa

Tensão de ruptura do aço do pilar de aço e da chapa de extremidade ( )  480 MPa

Tensão de escoamento do aço das armaduras ( ) 500 MPa

Tensão de ruptura do aço das armaduras ( )  550 MPa

Tensão de escoamento do aço dos parafusos ( ) 635 MPa

Tensão de ruptura do aço dos parafusos ( )  825 MPa

Resistência uniaxial à tração do concreto ( )  3,5 MPa

Resistência uniaxial à compressão do concreto ( )  40 MPa

Deformação de início do encruamento do aço do perfil e da chapa ( )  1 %

Deformação máxima do aço do perfil e da chapa de extremidade ( )  18 %

Deformação do concreto associada à   ( )  2,2 ‰

Deformação de ruína do concreto  )  3,5 ‰

Deformação associada à tensão de ruptura do aço das armaduras  ε )  5 %

Deformação máxima do aço das armaduras  ) 8 %

Deformação associada ao fim do encruamento do aço dos parafusos  )  4 %

Deformação de início de queda da resistência do aço dos parafusos  )  8 %

Deformação final do aço dos parafusos  ) 12 %

 

3 Resultados 

3.1 Apresentação e Análise dos Resultados 

Neste item são apresentados os resultados da análise numérica do modelo global M0, 

isento  de  força  normal  do  pilar.  A  Fig.  6  apresenta  os  deslocamentos  globais  do 

modelo, cuja deformada  indicou um comportamento do modelo numérico conforme 

idealizado. 

A tensão axial nas armaduras transversais e longitudinais da ligação é apresentada na 

Fig.  7.  Nota‐se  que  as  armaduras  são  mobilizadas  até  atingirem  a  tensão  de 

escoamento do aço, tanto nas armaduras transversais horizontais e oblíquas, quanto 

120

nas armaduras  longitudinais do pilar misto, mostrando com  isso a  importância dessas 

barras de armaduras na resistência a momento da ligação estudada. 

 

Figura 6: Deslocamento global [mm]: a) pilar de concreto; b) armaduras do pilar; c) perfis de aço, chapa de extremidade e armaduras oblíquas  

Para  estudar  o  comportamento  da  ligação  parafusada,  foram  traçadas  curvas  Força 

versus  Rotação  da  Ligação  para  todas  as  linhas  de  parafusos, mostradas  na  Fig.  8. 

Nessas curvas foram comparadas a força de tração atuante nos parafusos e a força de 

compressão atuante entre a chapa de extremidade e a mesa do pilar metálico. A força 

de compressão foi tomada como a soma das forças no contato entre a chapa e o perfil, 

obtidas em uma região de  influência de cada parafuso. Em cada  linha de parafusos, a 

diferença entre a  força de  tração nos parafusos e a  força de compressão no contato 

das  chapas  corresponde  à  força  externa  equilibrada  pela  linha. Quando  a  força  de 

compressão  supera a  força de  tração em uma dada  linha de parafusos  significa que 

existe uma força de compressão externa sendo equilibrada por essa linha. 

121

   

 

 

Figura 7: Tensão axial nas armaduras da ligação [MPa] 

Para  o  início  do  processamento  (rotação  nula  da  ligação),  as  forças  de  tração  e  de 

compressão  são  iguais  em  módulo,  e  suas  magnitudes  correspondem  a 

aproximadamente 70% da soma das resistências à ruptura dos parafusos ( ). A força 

correspondente a ruptura de cada parafuso é  igual a 175,4kN e, portanto, a força de 

protensão considerando dois parafusos por linha equivale a 245,6kN, valor esse muito 

próximo do obtido numericamente (Fig. 8). Nessa etapa de protensão a força externa 

equilibrada  pelas  linhas  de  parafusos  é  nula.  À  medida  que  o  momento  fletor 

introduzido  na  ligação  parafusada  aumenta,  a  tração  nos  parafusos  das  linhas 

superiores  aumenta  (linhas  1,  2  e  3)  e  a  compressão  entre  as  chapas  diminui. Nas 

linhas 1 e 3 ocorreu o efeito prying, ocasionado por pontos de contato entre as chapas 

da  ligação. A  força de  compressão nesses  contatos provoca o  aumento da  força de 

tração nos parafusos sem aumentar a parcela de força externa absorvida na  linha de 

parafusos.  

(a) Armaduras transversais paralelas e transversais à viga

(b) Armaduras transversais oblíquas 

122

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 2 4 6 8 10 12 14

For

ça [

kN]

Rotação da Ligação [mrad]

1ª Linha de Parafusos

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 2 4 6 8 10 12 14

For

ça [

kN]

Rotação da Ligação [mrad]

2ª Linha de Parafusos

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

0 2 4 6 8 10 12 14For

ça [

kN]

Rotação da Ligação [mrad]

3ª Linha de Parafusos

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 2 4 6 8 10 12 14For

ça [

kN]

Rotação da Ligação [mrad]

4ª Linha de Parafusos

123

 

 Figura 8: Forças desenvolvidas nas linhas de parafusos em função da rotação da ligação 

3.2  

3.3 Estudo Numérico Paramétrico 

A  partir  do  modelo  global  foi  realizado  um  estudo  paramétrico,  que  consiste  na 

variação dos valores de alguns parâmetros considerados mais importantes para avaliar 

a alteração do comportamento da  ligação. Foram variados basicamente: a resistência 

uniaxial  à  compressão  do  concreto;  a  geometria  do  pilar  de  aço;  a  existência  das 

armaduras  transversais oblíquas; as dimensões do pilar de concreto; e o número de 

barras de  armadura  longitudinais.  Todos os modelos paramétricos  foram  analisados 

isentos de força normal externa atuante no pilar. A matriz de simulação é apresentada 

na Tabela 3. 

 

 

-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

0 2 4 6 8 10 12 14

For

ça [

kN]

Rotação da Ligação [mrad]

5ª Linha de Parafusos

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

0 2 4 6 8 10 12 14

For

ça [

kN]

Rotação da Ligação [mrad]

6ª Linha de Parafusos

Compressão entre as chapas Tração nos parafusos Força externa na linha

124

Tabela 3: Definição dos modelos utilizados no estudo paramétrico 

Nº do Modelo 

fc [MPa] 

Pilar de Aço [perfil] 

Barra Oblíqua 

Nº de Barras Longitudinais 

Pilar de Concreto [mm]

Nome do Modelo Numérico 

1  30  HP 250x62  CO(1)  12  600x600  fc30_HP62_CO_12b_p60 

2  40  HP 250x62  CO  12  600x600  fc40_HP62_CO_12b_p60 

3  30  HP 310x79  CO  12  600x600  fc30_HP79_CO_12b_p60 

4  40  HP 310x79  CO  12  600x600  fc40_HP79_CO_12b_p60 

5  30  HP 250x62  SO(1)  12  600x600  fc30_HP62_SO_12b_p60 

6  40  HP 250x62  SO  12  600x600  fc40_HP62_SO_12b_p60 

7  30  HP 310x79  SO  12  600x600  fc30_HP79_SO_12b_p60 

8  40  HP 310x79  SO  12  600x600  fc40_HP79_SO_12b_p60 

9  30  HP 250x62  CO  20  600x600  fc30_HP62_CO_20b_p60 

10  40  HP 250x62  CO  20  600x600  fc40_HP62_CO_20b_p60 

11  30  HP 310x79  CO  20  600x600  fc30_HP79_CO_20b_p60 

12  40  HP 310x79  CO  20  600x600  fc40_HP79_CO_20b_p60 

13  30  HP 250x62  SO  20  600x600  fc30_HP62_SO_20b_p60 

14  40  HP 250x62  SO  20  600x600  fc40_HP62_SO_20b_p60 

15  30  HP 310x79  SO  20  600x600  fc30_HP79_SO_20b_p60 

16  40  HP 310x79  SO  20  600x600  fc40_HP79_SO_20b_p60 

17  30  HP 310x79  CO  12  800x800  fc30_HP79_CO_12b_p80 

18  40  HP 310x79  CO  12  800x800  fc40_HP79_CO_12b_p80 

19  30  HP 310x79  SO  12  800x800  fc30_HP79_SO_12b_p80 

20  40  HP 310x79  SO  12  800x800  fc40_HP79_SO_12b_p80 

21  30  HP 310x79  CO  20  800x800  fc30_HP79_CO_20b_p80 

22  40  HP 310x79  CO  20  800x800  fc40_HP79_CO_20b_p80 

23  30  HP 310x79  SO  20  800x800  fc30_HP79_SO_20b_p80 

24  40  HP 310x79  SO  20  800x800  fc40_HP79_SO_20b_p80 Nota (1):  CO  = modelo  com  as  barras  transversais  oblíquas;  SO  = modelo  sem  as  barras  transversais 

oblíquas. 

As  curvas Momento  Fletor  versus  Rotação  da  Ligação  para  os modelos  listados  na 

Tabela  3  são  apresentados  nas  Figs.  9  e  10.  A  rotação  relativa  da  ligação  ∆  

corresponde à rotação total da região nodal descontada da parcela associada apenas à 

rotação do eixo pilar (∆ ). 

125

Figura 9: Curvas Momento Fletor x Rotação da Ligação (modelos com   = 30MPa) 

Figura 10: Curvas Momento Fletor x Rotação da Ligação (modelos com   = 40MPa) 

Analisando‐se os resultados dos modelos paramétricos apresentados nas Figs. 9 e 10 

constata‐se que o término do processamento ocorreu devido aos seguintes modos de 

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

2500

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016

Mom

ento

Fle

tor

[kN

m]

Rotação da Ligação [rad]

fc30_HP62_CO_12b_p60_mod1 fc30_HP79_CO_12b_p60_mod3 fc30_HP62_SO_12b_p60_mod5fc30_HP79_SO_12b_p60_mod7 fc30_HP62_CO_20b_p60_mod9 fc30_HP79_CO_20b_p60_mod11fc30_HP62_SO_20b_p60_mod13 fc30_HP79_SO_20b_p60_mod15 fc30_HP79_CO_12b_p80_mod17fc30_HP79_SO_12b_p80_mod19 fc30_HP79_CO_20b_p80_mod21 fc30_HP79_SO_20b_p80_mod23

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

2500

2750

3000

0.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.022

Mom

ento

Fle

tor

[kN

m]

Rotação da Ligação [rad]

fc40_HP62_CO_12b_p60_mod2 fc40_HP79_CO_12b_p60_mod4 fc40_HP62_SO_12b_p60_mod6fc40_HP79_SO_12b_p60_mod8 fc40_HP62_CO_20b_p60_mod10 fc40_HP79_CO_20b_p60_mod12fc40_HP62_SO_20b_p60_mod14 fc40_HP79_SO_20b_p60_mod16 fc40_HP79_CO_12b_p80_mod18fc40_HP79_SO_12b_p80_mod20 fc40_HP79_CO_20b_p80_mod22 fc40_HP79_SO_20b_p80_mod24

126

falha:  (1)  escoamento  das  armaduras  transversais,  longitudinais  ou  ambas;  (2) 

esgotamento da  capacidade da  ligação parafusada, dada pela  ruptura dos parafusos 

e/ou escoamento da chapa de extremidade, da mesa e da alma do pilar de aço;  (3) 

deformação por compressão exagerada nas porções de concreto localizadas na face do 

pilar abaixo da mesa  comprimida da viga. Esses modos ocorrem  tanto  isoladamente 

quanto  em  conjunto. De maneira  geral,  para  rotações  iniciais,  a  ligação  parafusada 

absorve a maior parcela do momento fletor, uma vez que a rigidez da ligação metálica 

é maior do que a rigidez dos mecanismos de transferência de tração para o concreto. 

Entretanto, a partir do  instante que os parafusos atingem deformações  superiores a 

4% ( ) ou as chapas da ligação parafusada (chapa de extremidade, mesa e alma do 

pilar de aço atingem a tensão de escoamento ( ), os mecanismos de transferência de 

força de tração externa para o concreto se tornam os  limitadores do momento fletor 

final da ligação. 

A resistência à compressão horizontal da ligação não foi limitadora do momento fletor 

último obtido nas análises paramétricas. Foi verificado que as tensões equivalentes de 

von Mises  na  chapa  de  extremidade  não  atingiram  a  tensão  de  escoamento    na 

região mobilizada pela mesa comprimida da viga. As tensões de compressão de pico no 

concreto em contato com a face interna da mesa do pilar metálico não ultrapassaram 

a tensão de esmagamento 2  nessa mesma região. 

A resistência ao cisalhamento dos painéis de aço e de concreto do pilar misto não foi 

predominante na resistência ao momento fletor da ligação para os casos processados.  

Os pilares mistos com dimensões de 800x800mm apresentam maiores  resistências a 

momento do que os pilares com dimensões de 600x600mm, para um mesmo tipo de 

pilar de aço (HP 310x79), uma mesma resistência uniaxial à compressão do concreto, e 

uma  mesma  configuração  de  armaduras.  Constatou‐se  numericamente  que  essa 

diferença de resistência deve‐se principalmente ao maior cobrimento de concreto da 

chapa de extremidade  ( ), que  influencia na  resistência  a momento da  ligação de 

duas maneiras: a) proporcionando a mobilização de um maior número de armaduras 

tanto  transversais  quanto  longitudinais;  b)  aumentando  a  parcela  de  momentos 

resistentes associados às  forças verticais devido ao aumento dos braços de alavanca 

127

dessas forças, em virtude do maior comprimento embutido da viga dentro do pilar de 

concreto. 

Comparando‐se apenas a quantidade  total de barras de armaduras  longitudinais  (12 

ou 20 barras totais), e mantendo‐se todos os outros parâmetros constantes, verifica‐se 

que a diferença média entre as  resistências a momento desses modelos é  inferior a 

1%.  Foram  avaliados  outros  modelos  numéricos  auxiliares  nos  quais  não  foram 

consideradas  as  armaduras  transversais  e  nem  os  parafusos,  constatando‐se  que  as 

armaduras  longitudinais  contribuem na  resistência  a momento da  ligação. Portanto, 

essa  pequena  diferença  de  resistências  a  momento  obtida  da  comparação  dos 

modelos paramétricos pode ser associada à posição das barras de armadura dentro da 

seção transversal do pilar, indicando que apenas as barras de armaduras longitudinais 

localizadas  próximas  às  bordas  laterais  da  viga  contribuíram  efetivamente  na 

resistência a momento da ligação. 

Fazendo‐se a  comparação dos modelos munidos de armaduras  transversais oblíquas 

(modelos  “CO”)  com  os  modelos  desprovidos  dessas  armaduras  (modelos  “SO”), 

contata‐se  que,  para  os  modelos  com  pilar  metálico  HP  250x62  e  modelos  com 

dimensões de 800x800mm, a resistência a momento dos modelos CO é em média 4% 

superior às resistências dos modelos SO. Entretanto, fazendo essa mesma comparação 

apenas  para  os modelos  com  pilar metálico HP  310x79  e  dimensões  de  600x600m, 

constata‐se que essa diferença sobe para 13%. Ou seja, percebe‐se que nos modelos 

cujo cobrimento de concreto da chapa de extremidade é suficiente para mobilizar um 

número maior de barras transversais, como é caso dos modelos com pilar metálico HP 

250x62 ( =19mm) e dos modelos com dimensões de 800x800, as armaduras oblíquas 

praticamente não fizeram diferença, pois a falha da ligação se deu pelo esmagamento 

do concreto em contato com a chapa de extremidade. Porém, nos modelos com pilar 

de  aço  HP  310x79  ( =25mm)  o  cobrimento  da  chapa  de  extremidade  é  menor, 

implicando na mobilização de um número menor de armaduras  transversais. Nesses 

casos, a  falha da  ligação ocorre por esgotamento da capacidade de  transmissão dos 

esforços  pelos  mecanismos  formados  pelas  armaduras,  tornando  as  armaduras 

oblíquas importantes nessas situações. 

128

4 Modelo Mecânico Preliminar 

Os mecanismos de falha no concreto foram estimados pela determinação de um bloco 

de esmagamento, definido por uma  largura equivalente   que  foi estabelecida  com 

base no momento  fletor de plastificação  total da chapa de extremidade  juntamente 

com  a  formação de um maciço de  concreto esmagado.  Fazendo‐se  a  verificação do 

momento de plastificação da seção transversal da chapa de extremidade  (seção A‐A, 

ver Fig. 11) é obtido o momento resistente  interno  . Esse momento é  igualado ao 

momento  externo    provocado  pela  força  resultante    do  bloco  de  concreto 

esmagado aplicada com um braço de alavanca  2⁄ , conforme Fig. 11. 

 

Figura 11: Modelo mecânico retangular para falha da chapa de extremidade e do 

concreto 

Foi  considerado no modelo mecânico que os blocos de esmagamento ocorrem para 

tensões iguais a 2 , onde o aumento na resistência à compressão do concreto nesses 

blocos deve‐se ao elevado confinamento promovido pela presença das chapas de aço 

e das armaduras na região da  ligação. Esse aumento de resistência foi observado nas 

análises numéricas realizadas. Em VIEST et al  (1997) também é recomendado utilizar 

uma tensão de esmagamento igual a 2 . 

A largura equivalente do bloco de concreto esmagado, Eq. 3, é obtida igualando‐se as 

Eqs. 1 e 2. 

⋅ 2 ⋅          (1) 

                                               (2) 

2

2

Concreto esmagado

A A

129

⇒      (3) 

Onde   é o comprimento  livre da chapa de extremidade à mesa da viga, que no caso 

de uma chapa de extremidade simétrica em relação à viga torna‐se  2⁄ .  

A Fig. 12 apresenta esquematicamente o modelo mecânico preliminar proposto para a 

ligação  mista  viga‐pilar  resistente  a  momento  com  chapa  de  extremidade.  A 

verificação  da  charneira  plástica  da  chapa  de  extremidade  é  feita  por  analogia  à 

metodologia de cálculo de placa de base citada no item 3.1.2 do AISC (2006).  

Segue abaixo a definição dos parâmetros geométricos indicados na Fig. 12: 

           2⁄                      (4) 

          0,1           (5) 

           2 0,8            (6) 

           2 0,8                  (7) 

            2 5       (8) 

            2                      (9) 

 

Figura 12: Modelo mecânico global da ligação mista com chapa de extremidade 

A resistência potencial à compressão total do modelo mecânico é resumida na Eq. 10. 

2       (10) 

130

As  resistências  potenciais  à  tração  dos  blocos  de  concreto mobilizados  pela mesa 

tracionada e pela  região da alma  tracionada da viga  são definidas nas Eqs. 11 e 12, 

respectivamente. 

2 2     (11) 

4       (12) 

A altura do bloco de esmagamento mobilizado pela alma da viga que foi utilizada no 

cálculo da resistência potencial   (ver Eq. 12 e Fig. 12) foi definida arbitrariamente 

igual a  3⁄ , parâmetro esse que será calibrado após os estudos experimentais. 

A resistência potencial à tração total do modelo mecânico é definida na Eq. 13. 

∑       (13) 

Onde ∑  é o somatório das resistências das linhas de parafusos calculadas mediante 

o método das charneiras plásticas, conforme EN 1993‐1‐8 (2005). 

Em  CONCEIÇÃO  (2011)  são  apresentados  em  detalhes  os  critérios  e  a  formulação 

proposta  para  determinação  da  resistência  da  ligação  estudada.  São  mostrados 

também  os  mecanismos  associados  ao  escoamento  das  armaduras  transversais  e 

longitudinais da ligação e do pilar. 

É apresentada na Fig. 13 a comparação entre os momentos fletores últimos obtidos no 

estudo paramétrico e os momentos  fletores obtidos do cálculo do modelo mecânico 

preliminar proposto acima. Essa comparação é feita apenas com base nas parcelas de 

momento  fletor  resistente  associadas  às  forças  horizontais  do  sistema,  obtido  dos 

momentos  resistentes  totais  (curvas  das  Figs.  9  e  10)  deduzidos  da  parcela  de 

momento  oriundo  das  forças  verticais  (cisalhamento  dos  parafusos,  compressão  no 

contato entre a mesa comprimida da viga e o concreto, e parcelas de atrito vertical nas 

interfaces de contato aço‐concreto). 

131

Figura 13: Comparação entre os resultados dos modelos numéricos e os resultados do 

modelo mecânico: momento fletor oriundo das forças horizontais 

Nota (1): 15% corresponde ao erro médio obtido no teste de refinamento de malha [CONCEIÇÃO (2011)]. 

5 Conclusões 

Os  resultados  numéricos  permitiram  visualizar  os  mecanismos  de  falha  principais 

atuantes  na  ligação,  captando  as  não  linearidades  físicas  tanto  do  aço  (armaduras, 

parafusos e chapas) quanto do concreto. 

As comparações feitas entre os resultados numéricos dos modelos paramétricos e os 

resultados  gerados  pelo  modelo  mecânico  preliminar  proposto  neste  trabalho 

mostraram boa correspondência, gerando valores em média 10% mais conservadores. 

As parcelas de momento  fletor da  ligação oriundas das  forças resistentes horizontais 

(tração da ligação parafusada e arrancamento do concreto do pilar), obtidas no estudo 

paramétrico,  foram  comparadas  com os momentos  fletores  calculados pelo modelo 

mecânico  preliminar,  os  quais  apresentaram  tendências  semelhantes  e  valores  em 

0

250

500

750

1000

1250

1500

1750

2000

2250

fc30

_HP

62_C

O_1

2b_p

60 M

odel

o 1

fc40

_HP

62_C

O_1

2b_p

60 M

odel

o 2

fc30

_HP

79_C

O_1

2b_p

60 M

odel

o 3

fc40

_HP

79_C

O_1

2b_p

60 M

odel

o 4

fc30

_HP

62_S

O_1

2b_p

60 M

odel

o 5

fc40

_HP

62_S

O_1

2b_p

60 M

odel

o 6

fc30

_HP

79_S

O_1

2b_p

60 M

odel

o 7

fc40

_HP

79_S

O_1

2b_p

60 M

odel

o 8

fc30

_HP

62_C

O_2

0b_p

60 M

odel

o 9

fc40

_HP

62_C

O_2

0b_p

60 M

odel

o 10

fc30

_HP

79_C

O_2

0b_p

60 M

odel

o 11

fc40

_HP

79_C

O_2

0b_p

60 M

odel

o 12

fc30

_HP

62_S

O_2

0b_p

60 M

odel

o 13

fc40

_HP

62_S

O_2

0b_p

60 M

odel

o 14

fc30

_HP

79_S

O_2

0b_p

60 M

odel

o 15

fc40

_HP

79_S

O_2

0b_p

60 M

odel

o 16

fc30

_HP

79_C

O_1

2b_p

80 M

odel

o 17

fc40

_HP

79_C

O_1

2b_p

80 M

odel

o 18

fc30

_HP

79_S

O_1

2b_p

80 M

odel

o 19

fc40

_HP

79_S

O_1

2b_p

80 M

odel

o 20

fc30

_HP

79_C

O_2

0b_p

80 M

odel

o 21

fc40

_HP

79_C

O_2

0b_p

80 M

odel

o 22

fc30

_HP

79_S

O_2

0b_p

80 M

odel

o 23

fc40

_HP

79_S

O_2

0b_p

80 M

odel

o 24

Mom

ento

Fle

tor

[kN

m]

Resultado Numérico Resultado Numérico Reduzido em 15% Resultado do Modelo Mecânico(1)

132

média 11% mais conservadores. Portanto, é possível concluir que o modelo mecânico 

preliminar proposto, até que sejam obtidos dados experimentais que possibilitem uma 

melhor avaliação do comportamento da  ligação mista estudada, representa uma boa 

estimativa  da  resistência  a momento  da  ligação,  tanto  quantitativa  (magnitude  do 

momento fletor resistente), quanto qualitativa (permitindo prever qual é o mecanismo 

de falha predominante). 

Após a realização de ensaios experimentais será  formulado um modelo mecânico de 

cálculo  para  o  dimensionamento  estrutural  da  ligação mista  viga‐pilar  resistente  a 

momento estudada neste trabalho. 

6 Referências Bibliográficas 

ACI 318‐08. Building Code Requirements for Structural Concrete. American Concrete Institute, Detroit, 2008. 

AISC.  Design  Guide  1:  Base  Plate  and  Anchor  Rod  Design.  American  Institute  of  Steel Construction 2ª ed, Chicago, USA, 2006. 

ANSYS versão 12.1, Program Documentation: Theory Manual. 

CHEN, W.F.; HAN, D.J. Plasticity  for structural engineers. Editora Springer, 1st.ed, New York, 2001. 

CONCEIÇÃO,  J.L.  Ligação  Mista  Viga‐Pilar  Resistente  a  Momento.  Dissertação  de Mestrado,240 p., Departamento de Engenharia de Estruturas, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2011. 

EUROCODE 2 EN 1994‐1‐1. Design of concrete structures. Part 1‐1: General rules for buildings and civil engineers structures. European Committee for Standardization, Bruxelas, 2004. 

EUROCODE 3  EN 1993‐1‐8. Design of  steel  structures. Part 1‐8: Design of  joints.  European Committee for Standardization, Bruxelas, 2005. 

KOTINDA,  T.I. Modelagem numérica de  vigas mistas  aço‐concreto  simplesmente  apoiadas: ênfase ao estudo da interface laje‐viga. 116 p. Dissertação de Mestrado. Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2006. 

LEONEL, E.D.; RIBEIRO, G.O.; DE PAULA, F.A. Simulação numérica de estruturas de concreto armado por meio do MEF/ANSYS. V Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto Armado, 2003. 

QUEIROZ,  F.D.;  VELLASCO,  P.C.G.S.;  NETHERCOT,  D.A.  Structural  assessment  of  composite beams using the finite element method, Proceedings of Eurosteel, 2005. 

VIEST, M.I.; COLACO,  J.P.; FURLONG, R.W.; GRIFFIS, L.G.; LEON, R.T.; WYLLIE, L.A. Composite Construction Design for Building, The American Society of Civil Engineers ASCE, McGraw‐Hill, New York, NY, USA, 1997. 

WILLAM,  K.J.;  WARNKE,  E.D.  Constitutive  Model  for  the  Triaxial  Behavior  of  Concrete, International Association for Bridge and Structural Engineering. v.19. p.174.  ISMES, Bergamo, Italy, 1975.