vitor silva dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta (1)

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DIMENSIONAMENTO DE LAJES FUNGIFORMES COM IRREGULARIDADES LIMITADAS EM PLANTA VITOR HUGO MOREIRA PINTO DA SILVA Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAÇÃO EM ESTRUTURAS Orientador: Professor Doutor António Abel Ribeiro Henriques JUNHO DE 2013

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AUTOR :Vitor Silva- Dimensionamento de Lajes Fungiformes Com Irregularidades Limitadas Em Planta (1)

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  • DIMENSIONAMENTO DE LAJES FUNGIFORMES COM IRREGULARIDADES

    LIMITADAS EM PLANTA

    VITOR HUGO MOREIRA PINTO DA SILVA

    Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau de

    MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAO EM ESTRUTURAS

    Orientador: Professor Doutor Antnio Abel Ribeiro Henriques

    JUNHO DE 2013

  • MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2012/2013 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

    Tel. +351-22-508 1901

    Fax +351-22-508 1446

    [email protected]

    Editado por FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

    Rua Dr. Roberto Frias

    4200-465 PORTO

    Portugal

    Tel. +351-22-508 1400

    Fax +351-22-508 1440

    [email protected]

    http://www.fe.up.pt

    Reprodues parciais deste documento sero autorizadas na condio que seja mencionado o Autor e feita referncia a Mestrado Integrado em Engenharia Civil - 2012/2013 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2013.

    As opinies e informaes includas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respetivo Autor, no podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relao a erros ou omisses que possam existir.

    Este documento foi produzido a partir de verso eletrnica fornecida pelo respetivo Autor.

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    AGRADECIMENTOS Ao Professor Antnio Abel R. Henriques, meu orientador, com elevado respeito e considerao que agradeo toda a disponibilidade e apoio prestado. Aos meus Pais, Joaquim e Rosria, por tudo o que fizeram por mim, ajudando-me a cumprir os meus objetivos. minha irm, Madalena, e seu marido, Manuel, por estarem sempre presentes. Aos meus amigos e amigas mais chegados, que, de alguma forma, sempre me incentivaram para a realizao deste trabalho.

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  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    RESUMO

    A vasta utilizao das lajes fungiformes e as exigncias arquitectnicas em constante evoluo levam ao aparecimento de lajes com geometrias pouco regulares.

    O presente trabalho, tem como objetivo o estudo do comportamento das lajes fungiformes apoiadas em grelhas de pilares com geometria irregular. Esse estudo feito com recurso ao mtodo dos elementos finitos (MEF), atravs do uso do software de clculo SAP2000. Tambm se pretende estudar as mesmas lajes, com recurso ao procedimento simplificado baseado no mtodo dos prticos equivalentes (MPE), procurando estabelecer um termo de comparao entre mtodos e verificar se plausvel a sua aplicao a lajes com irregularidades na distribuio dos pilares em planta.

    Inicialmente foi estabelecido um termo de comparao entre os mtodos, calculando esforos para a mesma laje com geometria regular. A foram desenvolvidas as estratgias e metodologias que foram utilizadas para o resto do trabalho.

    Finalmente foram introduzidas as irregularidades nos alinhamentos dos pilares e determinados os esforos pelo MEF. Analisando o comportamento e os resultados obtidos em paralelo com os resultados obtidos pelo MPE permitiram estabelecer as possibilidades da aplicao do MPE em lajes irregulares num ambiente de projeto.

    PALAVRAS-CHAVE: lajes fungiformes, mtodo dos elementos finitos, mtodo dos prticos equivalentes, irregularidades

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  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    ABSTRACT The extensive use of flat slabs and the evolving architectural requirements lead to the appearance of slabs supported by irregular grids of columns.

    The present work has the objective to study the behaviour of flat slabs supported by irregular column grids. The study is made using the finite element method (FEM) through use of commercial available software such as SAP2000. It also aims to study the same slabs, using a simplified method, the equivalent frame method (EFM), seeking to establish a basis for comparison between the two methods and check if the EFM can be applied to slabs with irregular column grids.

    Initially we established a point of comparison between the methods, estimating efforts for the same slab with regular geometry. There have been developed strategies and methodologies that were used for the rest of the essay.

    Finally irregularities were introduced in the alignments of the columns and the efforts obtained by the finite element method through SAP2000. Analysing the behaviour and the results obtained in parallel with the results obtained by the equivalent frame method allowed to establish the scope of application in irregular slabs in a professional context.

    KEYWORDS: flat slabs, finite element method, equivalent frame method, irregularities.

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  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    NDICE GERAL

    AGRADECIMENTOS ................................................................................................................................. i RESUMO....................................................................................................................................... iii ABSTRACT ............................................................................................................................................. v NDICE GERAL ......................................................................................................................................vii NDICE DE FIGURAS .............................................................................................................................. ix NDICE DE QUADROS ........................................................................................................................... xiii

    1. INTRODUO .................................................................................................................. 1 1.1. OBJECTIVOS .................................................................................................................................. 1 1.2. ORGANIZAO ............................................................................................................................... 1

    2. ANLISE DE LAJES FUNGIFORMES ...................................................... 3 2.1. GENERALIDADES ........................................................................................................................... 3 2.2. COMPORTAMENTOS E PARTICULARIDADES DAS LAJES FUNGIFORMES ...................................... 5 2.2.1. PUNOAMENTO .............................................................................................................................. 5

    2.2.2. LIGAO LAJE-PILAR ....................................................................................................................... 6

    2.2.3. AES HORIZONTAIS ...................................................................................................................... 8

    2.3. MTODOS DE ANLISE................................................................................................................... 9 2.3.1. MTODO DAS GRELHAS ................................................................................................................... 9

    2.3.2. MTODO DIRETO DE ANLISE (ACI) ............................................................................................... 10

    2.3.3. MTODO DOS PRTICOS EQUIVALENTES ........................................................................................ 12

    2.2.3. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ................................................................................................ 13

    3. ESTUDO DE LAJE FUNGIFORME ............................................................. 17 3.1. LAJE FUNGIFORME MACIA DE ESPESSURA CONSTANTE .......................................................... 17 3.2. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS - APLICAO....................................................................... 18 3.2.1. MODELAO ................................................................................................................................. 18

    3.2.2. OBTENO DE RESULTADOS .......................................................................................................... 21

    3.2.2.1. Procedimento .......................................................................................................................... 21

    3.2.2.2. Resultados .............................................................................................................................. 24

    3.3. MTODOS DOS PRTICOS EQUIVALENTES - APLICAO ........................................................... 31

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    3.3.1. OBTENO DE RESULTADOS .......................................................................................................... 31

    3.3.1.1. Procedimento .......................................................................................................................... 31

    3.3.1.2. Resultados............................................................................................................................... 32

    3.4. DISCUSSO DE RESULTADOS ...................................................................................................... 34 3.4.1. PRTICO 1 ................................................................................................................................... 34

    3.4.2. PRTICO 2 E 3 .............................................................................................................................. 38

    4. DISPOSIO IRREGULAR DOS PILARES EM PLANTA .... 41 4.1. INTRODUO ................................................................................................................................ 41 4.2. INTRODUO DAS IRREGULARIDADES ........................................................................................ 41 4.3. PRTICO 1 .................................................................................................................................... 43 4.3.1. PILAR 1 ........................................................................................................................................ 43

    4.3.2. PILAR 2 ........................................................................................................................................ 44

    4.3.3. PILAR 3 ........................................................................................................................................ 46

    4.3.4. PILAR 1 E 2 .................................................................................................................................. 47

    4.3.5. PILAR 2 E 3 .................................................................................................................................. 49

    4.4. PRTICO 2 .................................................................................................................................... 50 4.4.1. PILAR 1 ........................................................................................................................................ 50

    4.4.2. PILAR 2 ........................................................................................................................................ 52

    4.4.3. PILAR 3 ........................................................................................................................................ 53

    4.4.4. PILAR 1 E 2 .................................................................................................................................. 55

    4.4.5. PILAR 2 E 3 .................................................................................................................................. 56

    4.5. PRTICO 3 .................................................................................................................................... 58 4.5.1. PILAR 1 ........................................................................................................................................ 58

    4.5.2. PILAR 2 ........................................................................................................................................ 60

    4.5.3. PILAR 3 ........................................................................................................................................ 61

    4.5.4. PILAR 1 E 2 .................................................................................................................................. 63

    4.5.5. PILAR 2 E 3 .................................................................................................................................. 64

    5. CONCLUSES ............................................................................................................... 67 5.1. CONCLUSES GERAIS ................................................................................................................. 67 5.2. SUGESTES PARA DESENVOLVIMENTOS FUTUROS .................................................................... 69 BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................................... 71

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    NDICE DE FIGURAS Figura 2.1 - Estado de tenso na face superior de um painel de laje fungiforme [1] .............................. 5

    Figura 2.2 - Esquema da rotura ao punoamento [3] ....................................................................... 6

    Figura 2.3 - Ligao laje-pilar: a) apoio contnuo (parede); b) apoio pontual (pilar) [1] .......................... 7

    Figura 2.4 - Largura efetiva eb recomendada pelo EC2[4] ..................................................................... 8 Figura 2.5 - Diviso da uma laje em faixas e respectivos elementos barra [5] ...................................... 9

    Figura 2.6 - Laje dividida em elementos de barra [5] ........................................................................ 9

    Figura 2.7 - Distribuio de momentos fletores pelo mtodo direto [1] ............................................. 11

    Figura 2.8 - Esquema dos prticos equivalentes a ser usados (adaptado) [1] ..................................... 12

    Figura 2.9 - Representao dos dois tipos de ligao estudados ....................................................... 14

    Figura 2.10 - Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 1 ................................................................. 15

    Figura 2.11 - Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 2 ................................................................. 15

    Figura 2.12 - Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 3 ................................................................. 16

    Figura 3.1 - Planta estrutural da laje fungiforme................................................................................... 17

    Figura 3.2 - Modelo 3D da laje fungiforme ........................................................................................... 18

    Figura 3.3 - Malha de elementos finitos (plano x-y) .............................................................................. 19

    Figura 3.4 - Pormenor da ligao laje-pilar .......................................................................................... 20

    Figura 3.5 - Modelo estrutural .............................................................................................................. 20

    Figura 3.6 - Alinhamento dos prticos .................................................................................................. 21

    Figura 3.7 - Momentos fletores Mxxs [kN.m/m] ................................................................................... 22

    Figura 3.8 - Exemplo de diagrama de momentos fletores sobre um alinhamento de pilares ............... 22

    Figura 3.9 Distribuio de momentos fletores negativos recomendada pelo Eurocdigo 2 (EC2) para o MPE [4] ............................................................................................................................................. 23

    Figura 3.10 Diagrama de momentos fletores negativos calculado pelo MEF .................................... 24

    Figura 3.11 Representao tri-dimensional do Prtico 1 ................................................................... 24

    Figura 3.12 Momentos fletores Mxxs do prtico 1 ............................................................................ 25

    Figura 3.13 Pormenor da deformada da laje ..................................................................................... 25

    Figura 3.14 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da integrao de esforos .............. 26

    Figura 3.15 Representao tri-dimensional do Prtico 2 ................................................................... 27

    Figura 3.16 Momentos fletores Mxxs do prtico 2 ............................................................................ 27

    Figura 3.17 Deformada da laje no painel intermdio e o painel de bordo ......................................... 28

    Figura 3.18 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da integrao de esforos .............. 29

    Figura 3.19 Representao tri-dimensional do Prtico ..................................................................... 29

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    Figura 3.20 Momentos fletores Mxxs do prtico 3 ............................................................................ 30

    Figura 3.21 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da integrao de esforos .............. 30

    Figura 3.22 Esquema dos prticos equivalentes a ser usados (adaptado Figueiras) [1] ................... 31

    Figura 3.23 - Esquema estrutural usado no MPE Prtico 1 ............................................................... 32

    Figura 3.24 - Esquema estrutural usado no MPE Prtico 2 e 3 ......................................................... 32

    Figura 3.25 Representao tridimensional do prtico 1 .................................................................... 33

    Figura 3.26 - Diagrama de momentos fletores Mxxs para o Prtico 1 ................................................. 33

    Figura 3.27 - Diagrama de momentos fletores Mxxs para o Prtico 2 e 3 ........................................... 34

    Figura 3.28 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1 (comparao) ....................... 35

    Figura 3.29 Largura efetiva eb (Eurocdigo 2 - EC2) [4] ................................................................... 36 Figura 3.30 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1 aps a redistribuio ............. 38

    Figura 3.31 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2 e 3 ......................................... 39

    Figura 3.32 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2 e 3 ......................................... 40

    Figura 4.1 Desvio de 1,60m (20% do vo) do pilar 1] ....................................................................... 42

    Figura 4.2 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1.................................................. 43

    Figura 4.3 Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 1 Pilar 1 .......... 44

    Figura 4.4 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1.................................................. 45

    Figura 4.5 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 1 Pilar 2 ........... 45

    Figura 4.6 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1.................................................. 46

    Figura 4.7 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 1 Pilar 3 ........... 47

    Figura 4.8 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1.................................................. 48

    Figura 4.9 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 1 Pilar 1 e 2 ..... 48

    Figura 4.10 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1................................................ 49

    Figura 4.11 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 1 Pilar 2 e 3 ... 50

    Figura 4.12 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2................................................ 51

    Figura 4.13 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 2 Pilar 1 ......... 51

    Figura 4.14 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2................................................ 52

    Figura 4.15 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 2 Pilar 2 ......... 53

    Figura 4.16 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2................................................ 54

    Figura 4.17 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 2 Pilar 3 ......... 54

    Figura 4.18 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2................................................ 55

    Figura 4.19 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 2 Pilares 1 e 2 56

    Figura 4.20 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2................................................ 57

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    xi

    Figura 4.21 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 2 Pilares 2 e 3 57

    Figura 4.22 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 3 ............................................... 59

    Figura 4.23 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 3 Pilar 1 ......... 59

    Figura 4.24 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 3 ............................................... 60

    Figura 4.25 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 3 Pilar 2 ......... 61

    Figura 4.26 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 3 ............................................... 62

    Figura 4.27 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 3 Pilar 2 ......... 62

    Figura 4.28 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 3 ............................................... 63

    Figura 4.29 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 3 Pilares 1 e 2 64

    Figura 4.30 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 3 ............................................... 65

    Figura 4.31 - Disparidade correspondente s irregularidades geomtricas Prtico 3 Pilares 2 e 3 65

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    NDICE DE QUADROS Quadro 2.1 Distribuio simplificada dos momentos fletores por faixas (adaptado) [4] ................... 12

    Quadro 2.2 Momentos fletores Mxx Caso 1 ................................................................................... 14

    Quadro 2.3 Momentos fletores Mxx Caso 2 ................................................................................... 15

    Quadro 2.4 Momentos fletores Mxx Caso 1 ................................................................................... 15

    Quadro 3.1 Momentos fletores Mxxs [kN.m/m] ................................................................................ 23

    Quadro 3.2 Resultante dos Mxxs do Prtico 1 calculados pelo MEF [kN.m] .................................. 25

    Quadro 3.3 Resultante dos Mxxs do Prtico 2 calculados pelo MEF [kN.m] .................................. 28

    Quadro 3.4 Resultante dos Mxxs do Prtico 3 calculados pelo MEF [kN.m] .................................. 30

    Quadro 3.5 Esforos Mxxs do Prtico 1 calculados pelo MPE [kN.m] ............................................ 33

    Quadro 3.6 Esforos Mxxs do Prtico 2 e 3 calculados pelo MPE [kN.m] ...................................... 34

    Quadro 3.7 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 (MEF-MPE) [kN.m] ............................................ 35

    Quadro 3.8 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 (MEF-MPE com momento resistente mximo) [kN.m] .................................................................................................................................................. 37

    Quadro 3.9 Esforos Mxxs do Prtico 2 e 3 analisados pelo MEF-MEF [kN.m] .............................. 38

    Quadro 3.10 Esforos Mxxs do Prtico 2 (MEF-MPE) [kN.m] ......................................................... 38

    Quadro 3.11 Esforos Mxxs do Prtico 3 (MEF-MPE) [kN.m] ........................................................ 39

    Quadro 3.12 Esforos Mxxs dos Prticos 2 e 3 (MEF-MPE com momento resistente mximo) [kN.m] .................................................................................................................................................. 40

    Quadro 4.1 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do pilar 1 [kN.m] ............................. 43

    Quadro 4.2 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do pilar 2 [kN.m] ............................. 44

    Quadro 4.3 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do pilar 3 [kN.m] ............................. 46

    Quadro 4.4 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio dos pilares 1e 2 [kN.m] .................. 47

    Quadro 4.5 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do pilar 3 [kN.m] ............................. 49

    Quadro 4.6 Momentos fletores Mxxs do Prtico 2 com desvio do pilar 1 [kN.m] ............................. 50

    Quadro 4.7 Momentos fletores Mxxs do Prtico 2 com desvio do pilar 2 [kN.m] ............................. 52

    Quadro 4.8 Momentos fletores Mxxs do Prtico 2 com desvio do pilar 3 [kN.m] ............................. 53

    Quadro 4.9 Momentos fletores Mxxs do Prtico 2 com desvio dos pilares 1 e 2 [kN.m] ................. 55

    Quadro 4.10 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do pilar 3 [kN.m] ........................... 56

    Quadro 4.11 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio do pilar 1 [kN.m] ........................... 58

    Quadro 4.12 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio do pilar 2 [kN.m] ........................... 60

    Quadro 4.13 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio do pilar 3 [kN.m] ........................... 61

    Quadro 4.14 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio dos pilares 1 e 2 [kN.m] ............... 63

    Quadro 4.15 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio do pilar 2 e 3 [kN.m] ..................... 64

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  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    1 INTRODUO

    1.1. OBJECTIVOS Com a proliferao do uso das lajes fungiformes e das suas aplicaes cada vez mais amplas, necessrio que sejam atendidas as necessidades de uma anlise e dimensionamento expeditos. Com as exigncias arquitectnicas sempre em constante mudana surgem lajes fungiformes com geometrias bastante irregulares. Normalmente, o principal obstculo com que o projetista se depara, a dificuldade de aplicao de mtodos simplificados de clculo a estas situaes. O rumo natural seria o uso de um software de clculo comercial, que atualmente esto bastante divulgados, que permite a utilizao do mtodo de elementos finitos de uma forma verstil e simples. Apesar disso, ainda h alguma dificuldade em perceber facilmente o comportamento de uma laje que no suportada por uma grelha de pilares regulares.

    Neste trabalho, procura-se dar um contributo relativamente ao estudo destas irregularidades aplicadas nas lajes, recorrendo ao mtodo dos elementos finitos. Vai tambm ser analisada a possibilidade da aplicao de mtodos simplificados e a sua adequabilidade ao estudo desta particularidade.

    1.2. ORGANIZAO Este trabalho composto por 5 captulos, sendo um deles, introdutrio ao estudo das lajes fungiformes, e diferentes mtodos de clculo entre outras particularidades (Captulo 2).

    Seguidamente no Captulo 3 vai-se introduzir todas as caractersticas geomtricas e mecnicas, da laje macia, que serviu de base de estudo para todo este trabalho, incluindo as aes a que est sujeita. Pretende-se ainda apresentar algumas particularidades da modelao da laje no programa de clculo SAP2000. Faz-se referncia tambm aos procedimentos que tem de ser seguidos para a obteno de resultados que iro permitir fazer a comparao entre os dois mtodos de clculo. Ainda neste captulo vai-se determinar os esforos resultados para os dois mtodos, fazer uma breve discusso e estabelecer o termo de comparao que servir de base para o captulo seguinte.

    No captulo 4 faz-se uma introduo s irregularidades que sero introduzidas na laje e como vo ser realizadas. So determinados os resultados e estabelecidas as anlises comparativas entre os dois mtodos. Ao longo deste captulo medida que os resultados vo sendo apresentados procede-se a uma possvel explicao do comportamento da laje.

    Finalmente, no captulo conclusivo so feitas as concluses gerais do que foi estudado e apresenta-se possveis desenvolvimentos futuros.

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  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

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    2 ANLISE DE LAJES FUNGIFORMES

    2.1. GENERALIDADES

    As lajes fungiformes so um tipo de lajes de beto armado que geralmente funcionam em duas direes, cuja particularidade serem apoiadas diretamente numa malha de pilares. Isto , a transferncia das aes d-se diretamente da laje para o pilar (ou parede estrutural) sem a interveno de vigas. So lajes que podem ser macias ou aligeiradas onde recorrente proceder ao maciamento e/ou aumento da espessura da laje na zona de ligao desta com o pilar. possvel realizar tambm aumento da cabea do pilar formando um capitel. Estes cuidados com a ligao da laje e pilar tm como funo atribuir uma maior resistncia laje, para resistir ao punoamento permitindo manter a espessura mnima possvel a meio vo que seria necessria para vencer a flexo.

    De uma forma geral podemos considerar que existem ento, lajes fungiformes macias e lajes fungiformes aligeiradas. Esse aligeiramento pode ser realizado de vrias formas, seja pela introduo de moldes recuperveis, blocos de beto leve ou blocos de poliestireno. Mesmo com a introduo dos capitis, este tipo de lajes so extremamente vantajosas porque permitem manter uma superfcie inferior regular facilitando a acomodao de paredes divisrias, equipamentos de iluminao, AVAC entre outros equipamentos.

    Sendo lajes com uma ampla gama de vos que podem ser usados, que vo desde os 4 metros para as lajes macias de espessura constante at cerca dos 12 metros para as lajes aligeiradas, estas tm vindo a ser bastante utilizadas em espaos comerciais e parques de estacionamento subterrneos onde o espao livre, p direito alto e possibilidade de adaptao dos vrios pisos a tipos de utilizao diferentes fazem das lajes aligeiradas a escolha natural.

    Contudo, as caractersticas que distinguem as lajes fungiformes das outras lajes e lhes conferem vantagens preciosas, tambm lhes conferem algumas desvantagens que so bastante prprias deste tipo de laje. A laje apoiando diretamente numa grelha de pilares vai fazer com que ocorra uma grande concentrao de esforos de flexo e punoamento, sendo necessrio que haja especial ateno no dimensionamento dessas ligaes. A ausncia de vigas resulta numa rigidez reduzida a aes horizontais, sendo necessrio introduo de estruturas de contraventamento como caixas de escadas e elevadores ou paredes estruturais.

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    4

    O estudo destas lajes j remonta para o incio do sc. XX, contudo no se pode dizer que exista um mtodo de anlise de esforos que seja simples de usar mas ao mesmo tempo preciso. Atualmente no h um mtodo que permita preciso, rapidez e simplicidade de clculo.

    A avaliao dos esforos pode ser realizada tendo em conta uma anlise elstica ou anlise plstica, com recurso a um dos vrios mtodos de clculo dos quais se apresentam os mais comuns:

    - Mtodo das grelhas (anlise elstica ou plstica)

    - Mtodo Direto de anlise (ACI) (anlise elstica)

    - Mtodo dos prticos equivalentes (anlise elstica)

    - Mtodo dos Elementos Finitos (anlise elstica ou plstica)

    - Mtodo das linhas de rotura ou mtodo das charneiras plsticas (anlise plstica)

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    2.2. COMPORTAMENTO E PARTICULARIDADES DAS LAJES FUNGIFORMES

    Apesar da grande concentrao de esforos nos pilares e de o punoamento condicionar frequentemente a espessura da laje a ser usada, as lajes fungiformes funcionam predominantemente flexo. facilmente perceptvel que, sobre os pilares de uma laje fungiforme vai ocorrer trao nos dois sentidos na fibra superior da laje enquanto que no interior do painel vai haver compresso na fibra superior da laje. Da mesma forma, aplicando o mesmo raciocnio para os alinhamentos dos pilares, na fibra superior, ir ocorrer compresso e no sentido perpendicular ocorrer trao na fibra superior (Figura 2.1).

    Figura 2.1 Estado de tenso na face superior de um painel de laje fungiforme [1]

    Quando a laje carregada vai ocorrer uma fendilhao inicialmente sobre os pilares (dois sentidos trao), resultando numa redistribuio dos picos de momento fletor negativo. medida que vai ocorrendo essa redistribuio de esforos, vai aparecendo fendilhao na parte inferior da laje segundo os alinhamentos dos pilares [1].

    Quando por alguma razo o carregamento se aproxima da carga de rotura, a fendilhao que se observava no servio agravada havendo a possibilidade de plastificao da armadura superior nas zonas de momento negativo levando a uma rotura dctil. Eventualmente se a fendilhao se concentrar junto ao pilar poder facilitar a ocorrncia de mecanismos de rotura frgeis como o caso do punoamento. 2.2.1. PUNOAMENTO

    Atendendo inerente ductilidade das lajes fungiformes, estas apresentam uma capacidade considervel de redistribuio dos momentos. Essa capacidade de efeito membrana, que normalmente desprezada no dimensionamento, tem a vantagem de fazer com que a laje encontre diferentes caminhos para os esforos a que est sujeita.

    Esta reserva de resistncia mostra-se bastante aprecivel sendo que os valores experimentais obtidos para a rotura de lajes fungiformes indica que pode as cargas adicionais ao peso prprio podem atingir valores 10 vezes superiores aos determinados inicialmente para a rotura da laje [2].

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    A carga mxima que uma laje fungiforme est sujeita vai depender essencialmente da resistncia rotura por punoamento. Tendo em conta que normalmente uma laje no tem armadura capaz de resistir a esforos de corte, este tipo de rotura tem de ser analisado com critrio apertado.

    Figura 2.2 Esquema da rotura ao punoamento [3]

    Na Figura 2.2 apresenta uma representao esquemtica de uma rotura ao punoamento da ligao laje-pilar. Outro fator importante para este tipo de rotura o fato de a laje transmitir diretamente os esforos para o pilar resultando numa concentrao de esforos elevada nesta zona face a outro tipo de laje. De notar que este tipo de rotura pode ocorrer em stios de foras concentradas (como por exemplo maquinaria pesada) e no s nos pilares.

    2.2.2. LIGAO LAJE-PILAR

    Numa laje vigada a transmisso dos esforos feita atravs do apoio contnuo conferido pelas vigas ao contrrio do que acontece nas lajes fungiformes em que esse apoio se efetua numa regio localizada. Assumindo duas ligaes com uma rigidez equivalente, uma contnua e a outra pontual (Figura 2.3). Na ligao contnua, a rotao da laje mantm-se constante ao longo de todo o apoio contnuo, enquanto na ligao pontual, a rotao na laje vai diminuindo medida que nos afastamos do apoio. Podemos ento assumir que a rigidez da ligao diminui quando se passa de apoio contnuo para apoio pontual

    No caso dos pilares, s uma largura reduzida ( eb ) de laje, mobilizada quando ocorre uma rotao na laje, seja derivada de aes horizontais ou aes verticais. A largura efetiva que mobilizada varia com as dimenses do pilar e com a localizao do pilar na laje, em funo se for um pilar de canto, bordo ou interior. Se for um pilar de bordo ou de canto a transmisso dos momentos fletores de continuidade est completamente assegurada pelo pilar, resultando numa deformao/rotao crescente medida que se afasta do pilar e, consequentemente, numa fendilhao exagerada. De notar que as armaduras resultantes do dimensionamento destes pilares devem ser distribudas tambm por esta largura efetiva.

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    a)

    b)

    Figura 2.3 Ligao laje-pilar: a) apoio contnuo (parede); b) apoio pontual (pilar) [1]

    O Eurocdigo 2 (EC2) [4] estabelece regras para a limitao dessa largura efetiva assim como para o momento resistente mximo que os pilares de bordo e de canto podem aceitar. O EC2 tambm indica que se numa laje fungiforme existirem vigas de bordo devidamente dimensionadas toro no necessrio efetuar esta limitao. Caso contrrio o momento resistente mximo deve corresponder ao momento resistente de uma seco rectangular igual:

    ckeRd fdbM =217,0 (2.1)

    Sendo,

    d - altura til da laje

    ckf - valor caracterstico da tenso de rotura do beto compresso aos 28 dias de idade

    eb - largura efetiva

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    Figura 2.4 Largura efetiva eb recomendada pelo EC2[4]

    A Figura 2.4 apresenta as indicaes regulamentares (EC2) para o clculo da largura efetiva para pilares de bordo e pilares de canto.

    Resultando da limitao do momento fletor, se for necessrio reduzir os momentos fletores actuantes nos pilares, ter que se proceder a uma adequada redistribuio de esforos. Em situao de projeto, esta redistribuio no dever exigir mais de 50% para uma anlise feita pelo mtodo dos prticos equivalentes, ou de mais de 30% quando a anlise for realizada pelo mtodo dos elementos finitos.

    Nesse caso deve-se assumir metodologias que aumentem a capacidade resistente do pilar de bordo ou pilar de canto, nomeadamente, a introduo de uma viga de bordadura [4], alterao da posio do pilar ou espessura da laje ou, em ltimo recurso, alterar a classe de resistncia do beto [1].

    2.2.3. AES HORIZONTAIS

    Nas lajes fungiformes, a falta de vigas e do mecanismo viga-pilar faz com que esta soluo no seja a ideal para resistir a aes horizontais. Esta diminuio de rigidez j foi mencionada no subcaptulo anterior, tendo como principal fator dessa diminuio, a ligao da laje com o pilar numa regio extremamente limitada e a falta de um elemento com alguma rigidez de forma a compatibilizar as deformaes junto do pilar.

    Essas aes horizontais devem ser contabilizadas, e se possvel, devem ser introduzidos elementos de contraventamento de grande rigidez, como paredes estruturais, caixas de escadas e de elevadores para absorver essas aes. Esses elementos de contraventamento tm como objectivo limitar os deslocamentos horizontais nas lajes fungiformes, para que no existam grandes deformaes que so to prejudiciais a este tipo de lajes.

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    2.3. MTODOS DE ANLISE

    2.3.1. MTODO DAS GRELHAS

    O mtodo das grelhas (ou mtodo dos prticos tridimensionais), um mtodo mais adaptado ao clculo computacional, consistindo na diviso, nas duas direes, de uma laje em vrias faixas substituindo essas faixas por elementos barra centrados com a rigidez equivalente da faixa.

    Figura 2.5 Diviso da uma laje em faixas e respectivos elementos barra [5]

    Na Figura 2.5 possvel verificar a diviso de uma laje em faixas nos dois sentidos (tracejado) e a substituio por elementos de barra com a rigidez respectiva a cada faixa. Este mtodo bastante utilizado em lajes fungiformes aligeiradas sendo mais prtico a substituio das nervuras por uma elemento barra com a rigidez respectiva. A Figura 2.6 apresenta a grelha final aps a diviso por faixas.

    Figura 2.6 Laje dividida em elementos de barra [5]

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    Geralmente neste tipo de modelao existe uma dificuldade em calcular a rigidez de toro adequada para estes elementos de barra, sendo que se opta por atribuir uma rigidez de toro nula passando a obter um equilbrio da laje simplesmente por momentos fletores. Em consequncia da atribuio de uma rigidez de toro nula tornando o modelo mais flexvel, iro obter-se deslocamentos mais acentuados do que se verificam na realidade.

    Por fim, este um mtodo mais complicado, que deve ser usado sempre que os mtodos mais simples como o mtodo direto e o mtodo dos prticos equivalentes no sejam suficientemente precisos e/ou no possam ser aplicados.

    2.3.2. MTODO DIRETO DE ANLISE (ACI)

    O mtodo direto um mtodo semelhante ao mtodo dos prticos equivalentes, no que diz respeito aplicao s a malhas de pilares com geometria regular. Consiste na atribuio de coeficientes para a obteno de esforos e rege-se por condies especficas enumeradas por Figueiras [1]:

    ! deve haver um mnimo de 3 vos contnuos em cada direo. Se houver s dois vos, os momentos negativos no apoio interior dados pelo mtodo direto so menores que os mais provveis;

    ! os painis devem ser rectangulares com uma relao de vos limitada por 0.5 lx / ly 2.0 ;

    ! Vos adjacentes em cada direo no devem diferir mais que 1/3 do vo maior (

    21 33.1 ll , sendo 2l o menor vo). Este limite tem em vista manter vlidas as regras simplificadas de dispensa de vares;

    ! Os pilares podem estar desviados no mximo 10% do vo em relao a qualquer dos alinhamentos;

    ! As aes devem ser apenas verticais. A estrutura da laje fungiforme deve estar contraventada;

    ! A sobrecarga no deve ultrapassar duas vezes as aes permanentes. Apenas considerado um caso de carga com a carga total de estados limites ltimos em todos os vos;

    ! No deve ser aplicada redistribuio de momentos aos valores dados pelo mtodo direto.

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    Os valores dos momentos fletores totais a considerar para a largura do prtico equivalente so dados por:

    Figura 2.7 Distribuio de momentos fletores pelo mtodo direto [1]

    O momento 0M o considerado momento isosttico de clculo em cada um dos vos e dado pela seguinte expresso:

    8

    22

    0ned llpM = (2.2)

    Onde,

    kkED qgp += 5.135.1

    2l - largura do prtico equivalente

    nl - vo de clculo, correspondente ao vo livre entre as faces dos pilares. Sendo 1l o vo terico entre eixos dos apoios deve-se certificar que 165.0 lln .

    Depois da determinao dos momentos totais, a distribuio dos momentos por faixa dos pilares e faixa central efectuado da mesma forma como efetuado para a distribuio dos prticos equivalentes (ver subcaptulo 2.3.3).

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    2.3.3. MTODO DOS PRTICOS EQUIVALENTES

    O mtodo dos prticos equivalentes um mtodo simplificado bastante usado como forma de validao de mtodos mais precisos, como o caso do mtodo dos elementos finitos e/ou pr-dimensionamento. Como mtodo simplificado s pode ser aplicado quando um conjunto de fatores so cumpridos.

    S deve ser usado quando a geometria da grelha de pilares regular, e sujeitos predominantemente a cargas verticais distribudas.

    um mtodo que consiste na diviso da laje em prticos equivalentes, geralmente divididos pela linha mdia do painel (Figura 2.8) sendo possvel, efetuar o clculo com recurso a um simples programa de clculo de prtico como por exemplo o Ftool. A rigidez a ser considerada a equivalente correspondente faixa da laje.

    Figura 2.8 Esquema dos prticos equivalentes a ser usados (adaptado) [1]

    Sendo 4111 Lba == e

    4222 Lba == , o prtico equivalente pode separado em faixa sobre os

    pilares ( 21 aa + ) e em faixa central (b1+b2). Aps a determinao dos momentos totais o Eurocdigo 2 estabelece a gama de valores que estes podem ser divididos pelas duas faixas (Quadro 2.1). razovel atualmente, usar os valores de distribuio que eram recomendados pela antiga regulamentao (REBAP). Estes valores esto apresentados no Quadro 2.1 entre parnteses.

    Quadro 2.1 Distribuio simplificada dos momentos fletores por faixas (adaptado) [4]

    Momentos negativos Momentos positivos

    Faixa sobre pilares 60% - 80% (75%) 50% - 70% (55%)

    Faixa central 40% - 20% (25%) 50% - 30% (45%)

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    De notar que existe uma concentrao de esforos na faixa sobre os pilares devido natureza elstica da anlise que realizada para o clculo dos esforos. O que diz respeito ligao laje-pilar o mencionado no subcaptulo 2.2.2 tambm se aplica ao mtodo dos prticos equivalentes, principalmente a limitao do momento resistente nos pilares de bordo e de canto.

    2.3.4. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

    O mtodo dos elementos finitos (MEF) uma ferramenta de clculo bastante poderosa que permite determinar o estado de tenso e de deformao de um slido sujeito a carregamentos exteriores. principalmente til na obteno de soluo para estruturas como lajes, paredes, cascas ou slidos. No entanto, com a evoluo da capacidade de processamento dos atuais computadores pessoais e respetivamente dos softwares comerciais disponveis, possvel estender as anlises determinadas pelo MEF a estruturas mais complexas. possvel ento fazer uma anlise global da estrutura, ou simplesmente analisar casos particulares de uma estrutura que tenham o comportamento no to simples.

    No caso deste trabalho, e na anlise da generalidade das lajes, a utilizao do MEF usando programas de clculo comerciais leva ao encontro de alguns problemas na utilizao e modelao da estrutura e na utilizao do programa de clculo.

    O primeiro problema encontra-se na escolha do programa de clculo. Existem dois principais softwares que se destacam pela sua utilizao intuitiva, o SAP2000 e o Robot Structural Analysis. Apesar de no ser do mbito deste trabalho, foram feitas anlises prvias comparativas entre os dois programas de clculo. Para o caso de estudo no foram visualizadas diferenas significativas entre os dois programas de clculo, no entanto, j foi objeto de estudo de vrios autores sendo de consenso geral que o SAP2000 para lajes fungiformes apresenta resultados muito prximos da soluo terica [6]. Alm dessa preciso de resultados, o SAP2000, no geral um software mais completo possuindo ferramentas que possibilitam a modelao de cabos de pr-esforo, sem ser necessrio a introduo de cargas equivalentes. Sendo assim, todos os clculos que envolvam a determinao de esforos pelo mtodo de elementos finitos foram obtidos com recurso ao SAP2000, com elementos finitos de 4 ns com 6 graus de liberdade por n, ou seja, elementos de casca.

    Para lajes fungiformes a malha recomendada pelo programa de clculo era bastante dispersa. Analisando vrias lajes com diferentes nveis de refinamento pode-se concluir que a variao de esforo na zona dos pilares (momentos fletores negativos) necessitava de um refinamento mais elevado do que nos painis, onde os valores dos momentos positivos variam de uma forma no tanto acentuada. Optou-se por refinar a malha at ao ponto em que a alterao de esforos entre os vrios nveis de refinamento era inferiores unidade.

    Finalmente, o principal problema encontrado na modelao da laje foi precisamente da ligao laje-pilar. A modelao inicialmente foi realizada por elementos barra com uma rigidez equivalente s caractersticas dos pilares, sendo que esta ligao era realizada num s n da malha (Caso 1). Este mtodo obriga logo a um refinamento da zona de pilar pelo menos em dois elementos em cada direo (total de 4 elementos). Para ligaes deste tipo os momentos fletores negativos sobre os pilares atingiam valores de pico elevadssimos que no correspondem realidade. Os valores necessrios para o estudo desta tese resultam da integrao do diagrama de momentos fletores correspondente largura do prtico equivalente. Sendo assim, visto que este pico de momento ocorria pontualmente era pouco provvel que afectasse as resultantes dos diagramas. Contudo, esta modelao completamente irrealista, visto que na realidade a reao que o pilar introduz na laje se efetua na largura do pilar e no

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    num ponto. Procurou-se resolver esta particularidade da modelao laje-pilar, de vrias formas. A soluo passava por tentar simular a distribuio da rigidez pela superfcie de contato entre o pilar e a laje. Foram estudadas e avaliadas vrias formas de distribuir esta rigidez, como por exemplo, distribuindo vrios elementos barra pelo elemento finito e atribuindo uma rigidez superior aos elementos internos e uma rigidez mais baixa aos elementos que estivessem posicionados no bordo do pilar. A dificuldade de estimar as diferentes rigidezes a atribuir aos diferentes elementos, torna este mtodo invivel num caso prtico. Foram colocadas ainda mais duas hipteses de modelao dos pilares, sendo elas:

    ! Diviso do pilar por vrios elementos barra atribuindo a cada elemento as caractersticas geomtricas que no todo formam o pilar inicial (Caso 2)

    ! Modelao do pilar por elementos finitos slidos (Caso 3)

    a) Elementos finitos slidos (Caso 2) b) Elementos Barra (Caso 3)

    Figura 2.9 Representao dos dois tipos de ligao estudados

    Na Figura 2.9 esto representados os dois modos de ligao laje-pilar estudados e com a anlise dos resultados obtidos foi possvel escolher o tipo de ligao que mais se adequam. Os diagramas de momentos fletores que sero apresentados seguidamente representam um corte (laje em estudo Captulo 3) no mapa de momentos fletores segundo a direo xxs sobre os alinhamentos dos pilares. Na Figura 2.10 est apresentado o diagrama de momentos fletores para o caso (Caso 1) que j foi referido anteriormente, onde o pilar modelado com um s elemento de barra que contm as caractersticas do pilar. Respectivamente no Quadro 2.2 esto apresentados os valores de momentos fletores esquerda, direito e no centro de cada pilar.

    Quadro 2.2 Momentos fletores Mxx Caso 1

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 Esq.% Centro% Dir.% Esq.% Centro% Dir.% Esq.% Centro% Dir.%

    Mxx%[kN.m/m]% 212% 8198% 8275% 8320% 8552% 8262% 8249% 8481% 8249%

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    Figura 2.10 Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 1

    Comparando este diagrama com o da Figura 2.11, que corresponde modelao onde a rigidez do pilar foi repartida por quatro elementos barra, pode-se observar que os momentos fletores nos pilares no geral diminuram e a sua transio tornou-se mais suave no se verificando os picos pontuais de momentos fletores como no caso 1. Apesar da diminuio desses picos no centro os valores nas extremidades dos pilares interiores assumem valores aproximados entre os dois casos.

    Quadro 2.3 Momentos fletores Mxx Caso 2

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 Esq.% Centro% Dir.% Esq.% Centro% Dir.% Esq.% Centro% Dir.%

    Mxx%[kN.m/m]% 13% 895% 8163% 8319% 8349% 8287% 8250% 8290% 8250%

    Figura 2.11 Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 2

    Por fim, a modelao do pilar com elementos slidos (caso 3), que teoricamente se aproxima mais da realidade apresenta uma distribuio de momentos algo anmala para uma estrutura continua deste gnero. Existe uma concentrao de momentos fletores negativos nos pilares de bordo superior ao obtido pelos dois casos anteriores, assim como tambm se pode verificar que h uma quebra de momentos fletores em cima dos pilares.

    Quadro 2.4 Momentos fletores Mxx Caso 3

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 Esq.% Centro% Dir.% Esq.% Centro% Dir.% Esq.% Centro% Dir.%

    Mxx%[kN.m/m]% 47% 8105% 8254% 8334% 8257% 8285% 8267% 8223% 8267%

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    Figura 2.12 Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 3

    Efetuado o estudo mais pormenorizado destas 3 hipteses pode-se verificar algumas das suas vantagens e desvantagens na sua modelao. Sendo que o caso 1 foi uma opo descartada desde o incio resta saber qual das duas ligaes a mais adequada para o caso em estudo. O caso 3 sendo o que se aproxima mais da realidade seria a melhor opo, no entanto, a considerao de uma rigidez exagerada para os pilares de bordo torna esta opo invivel. Sendo assim recorrendo a elementos de barra e distribuindo a rigidez do pilar por vrios elementos adequa-se melhor ao objetivo do estudo que vai ser feito ao longo desta dissertao.

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    3 ESTUDO DE UMA LAJE

    FUNGIFORME

    3.1. LAJE FUNGIFORME MACIA DE ESPESSURA CONSTANTE Definindo uma laje fungiforme padro e avaliando os esforos pelo MEF e pelo MPE poderemos ento fazer um estudo comparativo entre os dois mtodos determinando as suas diferenas a nvel de momentos flectores.

    Tanto a laje fungiforme como os pilares tero como materiais considerados o beto de classe C25/30 e o ao de classe S500. uma fungiforme macia de espessura constante com 0,28m apoiada em pilares quadrangulares de 0,40x0,40m2, pilares esses que formam uma malha quadrangular com 8m de lado

    Figura 3.1 Planta estrutural da laje fungiforme

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    A laje estar sujeita a cargas distribuidas verticais com sentido descendente (gravidade) que assumem os seguintes valores:

    x 2/10 mkNgk (incluindo o peso prprio)

    x 2/5 mkNqk Devido natureza do caso em estudo foi considerada apenas a combinao fundamental (ELU) sem alternncia de sobrecarga nos painis da laje.

    kkED qgp uu 5.135.1 (3.1) 2/21 mkNpED

    Figura 3.2 Modelo 3D da laje fungiforme

    3.2. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS - APLICAO 3.2.1. MODELAO

    Como referido anteriormente, para o mtodo dos elementos finitos foi usado o software de clculo SAP2000 verso 15, recorrendo a elementos de casca (shell) quadrados com 0,40m de lado. O SAP2000 tem um motor de gerao malhas de elementos finitos que confere ao projetista algum controlo, como por exemplo, definir o tamanho mximo do elemento finito ou definir em quantos elementos (em cada direco) pretendemos dividir uma determina rea. Contudo ainda possvel desenhar a malha com ajuda de um software de desenho assistido (CAD) e importar para o SAP2000. A dimenso dos elementos finitos gerados para a malha tem de ser escolhida dependendo do caso que se tiver a estudar e/ou da preciso necessria que se quiser obter. Naturalmente, as zonas a meio vo no necessitam de um refinamento to grande como a zona junto ao alinhamentos dos pilares, onde a variao de esforos muito maior. Nos alinhamentos que passam sobre os pilares, os elementos foram refinados de tal modo que a geraram uma malha, em cada pilar, de elementos quadrados com

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    0,1m. Este refinamento deve-se no tanto necessidade de obteno resultados mais precisos nesta zona, mas principalmente forma como foram modelados os pilares.

    Figura 3.3 Malha de elementos finitos (plano x-y)

    Isto , a modelao foi realizada por elementos de barra, contudo a sua rigidez foi distribuida por vrios ns e no concentrada num nico n como comum neste tipo de modelao em edifcios. A utilizao de elementos de barra e elementos finitos no mesmo modelo podem, como j foi visto anteriormente, produzir picos de momentos fletores negativos no realistas. Em certas situaes (o caso das lajes), se os resultados obtidos por uma modelao no adequada no forem fundamentados por outros mtodos de anlise mais simples, poder conduzir a desvios significativos e, consequentemente, a um dimensionamento desajustado. Para tal a utilizao desses elementos deve ser estudada e tida em conta aquando a anlise dos esforos e respectivo dimensionamento.

    Sendo assim, a forma adoptada para a modelao da ligao laje-pilar, dividir o elemento barra com dimenses 0,40x0,40m2 em 4 elementos barra com dimenses 0,20x0,20m2 mantendo a mesma geometria. Tendo em conta que o SAP2000 associa pontos a todos os cruzamentos de alinhamentos, deu-se a necessidade da diviso dos elementos finitos sobre os alinhamentos dos pilares em cada uma das direes de forma a que na zona de ligao da laje-pilar resultem elementos finitos quadrados com

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    0,1 metros de lado. Usando este mtodo consegue-se reduzir o pico de momentos fletores negativos que se obteria s com um elemento e aproximando da realidade o comportamento da ligao laje-pilar.

    Figura 3.4 Pormenor da ligao laje pilar

    Notando que esta ligao apesar de mais prxima da realidade no contempla as micro-fendilhaes que so naturais em estruturas de beto armado e pr-esforado visto que se trata de uma anlise linear-elstica. Contudo sem fundamentar estes resultados com resultados experimentais e sem fazer um estudo mais pormenorizado destas ligaes pode-se concluir que, a modelao considerada aproximada o suficiente do comportamento real para o caso em estudo. Para as respectivas extremidades desses elementos de barra no ligadas laje foram considerados encastramentos como condies de apoio. Na figura 3.5 esta apresentada o modelo estrutural tridimensional que foi utilizado no software de clculo para a anlise de esforos.

    Figura 3.5 Modelo estrutural

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    3.2.2. OBTENO DE RESULTADOS

    3.2.2.1. Procedimento

    A estrutura vai ser analisada em trs prticos equivalentes (determinados segundo o mtodo dos prticos equivalentes) apenas segundo o eixo xxs, atendendo simetria da estrutura a anlise segundo o eixo yys tornaria-se redundante. Os trs prticos equivalentes analisados sero os correspondentes aos alinhamentos 1, 2 e 3 (Figura 3.6).

    Figura 3.6 Alinhamentos dos prticos

    Escolhendo este conjunto de prticos equivalentes, merecem especial ateno os prticos 2 e 3 (para este mtodo de anlise) porque tendo a mesma largura (8m) e o mesmo carregamento espectvel obter a mesma distribuio de esforos que fundamentado pelo MPE, enquanto o MEF com certeza ir apresentar algumas distines. De uma perspectiva inicial comea-se a contextualizar algumas das limitaes e problematicas tpicas de um mtodo simplificado como o MPE. De notar que estas limitaes do MPE no invalidam de modo algum a viabilidade do mtodo para o projetista, para lajes com geometrias regulares como a deste caso.

    sabido que o MPE faz uma anlise bastante simplista comparativamente com o MEF, sendo insuficiente em casos particulares, como o caso de prticos situados nos bordos da laje. A pode haver uma distribuio de esforos diferentes da adoptada para os prticos interiores, portanto a anlise do prtico 1 vai permitir verificar se o fato de ser um prtico junto ao bordo vai influenciar a adequabilidade da aplicao do MPE para este caso especfico.

    Aps o clculo da estrutura, apresenta-se na Figura 3.7, o mapa de cores correspondentes aos momentos fletores Mxxs, que originam armadura na direo XXs. Com uma breve anlise desse mesmo mapa podemos verificar que existe dupla simetria dos Mxxs relativamente ao centro da laje (dando uma primeira indicao de uma modelao e clculo correctos). Tal como previsto, tambm se pode verificar que h uma distino entre o espalhamento dos momentos fletores positivos dentro das faixas dos prticos equivalentes 2 e 3 assim como os valores pontuais correspondentes aos alinhamentos 2 e 3 assumem valores distintos.

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    Os momentos fletores variam numa gama de valores de aproximadamente 110 at -465, apesar de este ltimo valor referir-se a um dos picos de momento fletor e no representar a realidade, como j foi referido anteriormente.

    Para os momentos fletores Mxxs verifica-se que, ao longo dos alinhamentos dos pilares interiores na direo do eixo yys existem predominantemente momentos fletores negativos (cor verde).

    Nos pilares de bordo, devido menor rigidez daquela zona e consequentemente maior rotao da laje e do pilar os momentos fletores negativos esto reduzidos a uma largura menor, no havendo de certa forma uma continuidade de momentos negativos como se verifica nos pilares interiores.

    Figura 3.7 Momentos fletores Mxxs [kN.m/m]

    O quadro 3.1 apresenta os valores de momentos fletores em vrios pontos de leitura (ver Figura 3.8) e a respectiva diferena percentual entre os alinhamentos 2 e 3.

    Figura 3.8 Exemplo de diagrama de momentos fletores sobre um alinhamento de pilares

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    23

    Quadro 3.1 Momentos fletores Mxxs [kN.m/m]

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3

    1 2 3 4 5 6 Alinhamento 2 -217.94 108.63 -451.57 -394.91 69.42 -373.90 Alinhamento 3 -199.53 103.04 -401.81 -369.37 62.89 -321.97 Diferena (%) 8.4% 5.15% 11.02% 6.47% 9.41% 13.89%

    Contudo, uma anlise qualitativa no de todo suficiente para uma correcta avaliao dos esforos instalados sendo necessrio fazer uma anlise quantitativa para determinar exactamente o nvel de flutuao de momentos fletores entre os prticos equivalentes respectivos. Movendo os alinhamentos dentro da faixa correspondente a um prtico equivalente, os valores obtidos sero com certeza diferentes do conjunto de valores inicial. Esta no era de todo a metodologia mais adequada para uma anlise comparativa entre os dois prticos, principalmente quando esta comparao tambm envolver o MPE.

    Teria de ser adoptada uma metodologia que fosse de rpida e fcil execuo e sendo ao mesmo tempo suficientemente precisa. Do MPE sabemos que os esforos obtidos so derivados de todo o carregamento que vem da largura do prtico equivalente, ento, esses esforos na realidade so o resultado de uma integrao de um diagrama qualquer (com distribuio real desconhecida) com direo perpendicular ao prtico.

    Figura 3.9 Distribuio de momentos fletores negativos recomendada pelo Eurocdigo 2 (EC2) para o MPE [4]

    O procedimento natural seria proceder integrao do diagrama de momentos fletores obtido pelo MEF entre os limites da faixa do prtico equivalente tendo assim uma base de estudo e comparao slida. A figura seguinte apresenta um diagrama de momentos fletores negativos (perpendicular ao prtico direco do eixo YYs) correspondente largura do prtico equivalente calculado pelo MEF. Integrando este diagrama numa situao ideal o resultado seria aproximadamente igual ao valor de M- apresentado na Figura 3.9.

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    24

    Figura 3.10 Diagrama de momentos fletores negativos calculado pelo MEF

    Como sabido, o MEF alm de ser uma ferramenta poderosa e til gera uma quantidade enorme de resultados que aumentam ou diminuem conforme o refinamento da malha. Como se pode ver na Figura 3.3, a malha utilizada bastante refinada conduzindo a uma necessidade de processamento elevada e consequentemente resulta numa quantidade substancial de resultados. Foi assim criada a necessidade de desenvolver uma aplicao para processar essa quantidade de dados. A aplicao permite exportar folhas de clculo de Excel onde so apresentados cortes na laje, paralelos a xxs ou a yys, contendo todos os valores de momentos fletores para cada elemento finito possibilitando a apresentao grfica exata - Figura 3.9.

    3.2.2.2. Resultados

    Neste sub-captulo pretende-se apresentar e discutir os resultados obtidos aps a integrao dos diagramas de momentos fletores (Figura 3.10) para os prticos 1,2 e 3 (Figura 3.6). S vai ser efectuada a integrao dos pontos 1 a 6 (Figura 3.8) atendendo simetria da laje e consequentemente do prtico relativamente ao ponto 6.

    - Prtico 1

    Figura 3.11 Representao tri-dimensional do Prtico 1

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    25

    O prtico 1 apresenta uma largura de 4,2 metros de largura total correspondentes a 2 metros da faixa central e 2,4 metros da faixa sobre os pilares.

    Figura 3.12 Momentos fletores Mxxs do prtico 1 [kN.m/m]

    Especificamente analisando a poro do mapa de momentos fletores Mxxs correspondente ao prtico equivalente 1, na direo xxs pode observar-se que h um alargamento da influncia dos momentos fletores positivos, estando de acordo com maiores deslocamentos e rotaes da laje, medida que nos afastamos do pilar. Consequentemente nos pilares intermdios, tambm na direco xxs a largura afetada pelos momentos negativos tambm vai diminuir. Na Figura 3.13 possvel observar a deformao que ocorre na laje e nos pilares na zona em questo. Na direo yys nos pilares extremos os momentos fletores negativos vo diminuindo passando a positivos medida que se caminha para o interior da laje enquanto nos pilares intermdios apesar de a diminuio ocorrer no mesmo sentido estes mantm-se negativos. Uma situao anloga acontece para os momentos fletores positivos ocorrento o momento mximo a meio vo no bordo da laje.

    Figura 3.13 Pormenor da deformada da laje

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    26

    Finalmente, so apresentados no Quadro 3.2 os valores integrados do diagrama de momentos fletores correspondente ao Prtico 1.

    Quadro 3.2 Resultante dos Mxxs do Prtico 1 calculados pelo MEF [kN.m]

    MEF Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 1 -95.36 356.17 -389.95 -376.30 229.22 -310.65

    Este mesmos valores apresentam uma ordem de grandeza dentro do espectvel, mantendo uma proporo entre os momentos fletores adequada a uma estrutura com este tipo de solicitao e ligaes ao exterior. Na Figura 3.14 apresenta-se a representao grfica do diagrama resultante que comparando com o diagrama exemplo (Figura 3.8) apresenta uma semelhana muito grande.

    Figura 3.14 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da integrao de esforos [kN.m]

    -95.36

    356.17

    -389.95 -376.3

    229.22

    -310.65

    229.22

    -376.3 -389.95

    356.17

    -95.36

    -400

    -300

    -200

    -100

    0

    100

    200

    300

    400

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Mxx

    [kN

    .m]

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    27

    - Prtico 2

    Figura 3.15 Representao tri-dimensional do Prtico 2

    Como se pode confirmar pela Figura 3.15 o prtico 2 apresenta uma largura de 8 metros sendo 4 metros correspondentes faixa dos pilares e 2 metros em cada lado correspondendo ambos faixa central.

    Figura 3.16 Momentos fletores Mxxs do prtico 2 [kN.m/m]

    Naturalmente, dos trs prticos estudados, o prtico 2 apresenta uma maior concentrao de esforos, correspondendo distribuio adequada para uma laje contnua de vo iguais. A grande variao de deformaes que existe esquerda e direita do alinhamento dos pilares a principal responsvel por esta concentrao de esforos. Como se pode verificar na anlise ao prtico 1, a grande deformao ocorre nos painis de bordo, da o alongamento da mancha azul na direo desse mesmo painel (parte de baixo) correspondente aos momentos fletores positivos. Na Figura 3.17 possvel verificar esta

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    28

    grande diferena de deformadas e consequentemente um substancial aumento da curvatura da laje sobre os pilares do alinhamento 2.

    Figura 3.17 Deformada da laje no painel intermdio e o painel de bordo

    No Quadro 3.3, novamente so apresentados os valores das resultantes dos diagramas transversais ao prtico equivalente. Pode-se verificar que comparativamente com o prtico 1 este apresenta sem dvida um aumento significativo a nvel de momentos fletores, devendo-se no s ao que foi mencionado anteriormente mas tambm pelo facto de o prtico equivalente ter uma largura inferior (cerca de metade).

    Quadro 3.3 Resultante dos Mxxs do Prtico 2 calculados pelo MEF [kN.m]

    MEF Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 2 -154.68 715.18 -1057.60 -1039.19 419.44 -843.49

    De notar que este aumento no se verifica em to grande escala nos pilares de bordo como nos pilares interiores. Antecipa-se que por a ligao laje-pilar se efectuar numa regio localizada provoque uma reduo de rigidez e consecutivamente o valor do integral do diagrama neste pilar no tenha variaes muito significativas. Mais frente este assunto ser tratado mais em pormenor. A Figura 3.18 apresenta a representao grfica resultante desta integrao.

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    29

    Figura 3.18 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da integrao de esforos [kN.m]

    - Prtico 3

    Figura 3.19 Representao tri-dimensional do Prtico 2

    Como se pode confirmar pela Figura 3.19, assim como no prtico 2, o prtico 3 apresenta uma largura de 8 metros sendo 4 metros correspondentes faixa dos pilares e outros 4 metros correspondendo faixa central repartidos pelas laterais do prtico.

    -154.68

    715.18

    -1057.6 -1039.19

    419.44

    -843.49

    419.44

    -1039.19 -1057.6

    715.18

    -154.68

    -1100

    -900

    -700

    -500

    -300

    -100

    100

    300

    500

    700

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Mxx

    [kN

    .m]

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    30

    Figura 3.20 Momentos fletores Mxxs do prtico 3 [kN.m/m]

    Sabendo que o prtico 3 apenas difere do prtico 2 pela sua localizao na laje, natural que o mapa de momentos fletores seja semelhante. Pela anlise da Figura 3.20 pode constatar-se realmente que os mapas apenas diferem na zona inferior do prtico, onde no prtico 2 esta zona correspondia a um painel de bordo da laje e neste prtico o painel de continuidade. Por essa razo e pelo explicado anteriormente relativamente ao prtico 2, no existe tanta concentrao de esforos neste prtico.

    Quadro 3.4 Resultante dos Mxxs do Prtico 3 calculados pelo MEF [kN.m]

    MEF Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 3 -135.61 690.08 -957.31 -938.44 382.04 -731.99

    Nota-se que alm da semelhana dos mapas de momentos fletores as resultantes dos diagramas transversais tambm assumem valores semelhantes, sendo esta diferena provavelemente compatvel com os resultados obtidos pelo MPE. Este estudo ser discutido em maior detalhe no Captulo 3.4.

    Figura 3.21 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da integrao de esforos [kN.m]

    -135.61

    690.08

    -957.31 -938.44

    382.04

    -731.99

    382.04

    -938.44 -957.31

    690.08

    -135.61

    -970

    -770

    -570

    -370

    -170

    30

    230

    430

    630

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Mxx

    [kN

    .m]

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    31

    3.3. MTODO DOS PRTICOS EQUIVALENTES - APLICAO O mtodo dos prticos equivalentes (MPE), como tem vindo a ser explicado, um mtodo de clculo simplificado que permite a obteno de esforos de uma laje fungiforme partindo do principio da sua diviso em faixas que, juntamente com os pilares funcionam como um prtico. predominantemente utilizado em casos de lajes em que os pilares se distribuem de uma forma regular e predominantemente sujeitos a cargas distribudas.

    3.3.1. OBTENO DE RESULTADOS

    3.3.1.1. Procedimento

    semelhana do que foi realizado na anlise pelo mtodo dos elementos finitos, vo ser analisados trs prticos, correspondentes aos alinhamentos 1,2 e 3 (Figura 3.6). O prtico 2 e 3 tendo a mesma geometria e o mesmo carregamento, no que diz respeito ao MPE, so prticos iguais.

    Figura 3.22 Esquema dos prticos equivalentes a ser usados (adaptado Figueiras) [1]

    Sendo 4111 Lba e

    4222 Lba e, tendo em conta que mLL 821 pode-se concluir que o

    prtico 2 e 3 (prticos intermdios) tm ambos 8 metros de largura. Esses 8 metros so divididos por 4 metros de faixa dos pilares ( 21 aa ) e 4 metros de faixa central (b1+b2). Relativamente ao prtico 1 a largura de 4,2 metros corresponde a 2 metros da largura b2 de faixa central e a 2,2 metros da largura a2 de faixa dos pilares.

    Toda a laje est sujeita mesma carga distribuda de 2/21 mkN , no entanto, a carga linearmente distribuda depender da largura do prtico em questo.

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    32

    Sendo assim, para o prtico 1 temos,

    mkNpED /2.882.421 u

    Figura 3.23 - Esquema estrutural usado no MPE Prtico 1

    e para os restantes prticos 2 e 3

    mkNpED /168821 u

    Figura 3.24 - Esquema estrutural usado no MPE Prtico 2 e 3

    3.3.1.2. Resultados

    Os prticos foram calculados no software de clculo SAP2000, usando o esquema estrutural apresentado nas Figuras 3.23 e 3.24. Logicamente, dependendo do prtico em estudo, as caractersiticas geomtricas atribuidas viga larga so diferentes. De notar que os prticos foram modelados por elementos barra e que estes no consideram a posio exacta onde os elementos se encontram.

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    33

    a) Situao real b) Modelao por elementos barra

    Figura 3.25 Representao tridimensional do prtico 1

    Seguidamente so apresentados, no Quadro 3.5 e Quadro 3.6 os esforos dos pontos notveis para os prticos em estudo enquanto nas Figuras 3.26 e 3.27 so apresentados esses mesmos esforos graficamente.

    Quadro 3.5 Esforos Mxxs do Prtico 1 calculados pelo MPE [kN.m]

    MPE Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 1 -256.98 310.36 -544.07 -506.84 225.94 -452.48

    Figura 3.26 - Diagrama de momentos fletores Mxxs para o Prtico 1

    -256.98

    310.36

    -544.07 -506.84

    225.94

    -452.48

    225.94

    -506.84 -544.07

    310.36

    -256.98

    -600

    -500

    -400

    -300

    -200

    -100

    0

    100

    200

    300

    0 5 10 15 20 25 30 35Mxx

    [kN

    .m]

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    34

    Quadro 3.6 Esforos Mxxs do Prtico 2 e 3 calculados pelo MPE [kN.m]

    MPE Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 2/3 -356.4 653.1 -1073.1 -1006.9 420.9 -841.8

    Figura 3.27 - Diagrama de momentos fletores Mxxs para o Prtico 2 e 3

    3.4. DISCUSSO DE RESULTADOS Antes da introduo das irregularidades dos pilares em planta, necessrio estabelecer um ponto de partida ou base de comparao entre os dois mtodos utilizados. Sendo assim, partindo do princpio que so conhecidos os resultados de um mtodo face ao resultado de outro mtodo mais fcil fazer um estudo aquando a introduo das irregularidades.

    Neste sub-captulo sero cruzados os resultados obtidos entre o MEF e o MPE para os trs prticos estudados tendo em conta as imposies e sugestes regulamentares presentes no EC2 [4] para a utilizao do MPE.

    3.4.1. PRTICO 1

    Analisando o Quadro 3.7 e a Figura 3.28 podemos concluir que o MPE fornece valores de momentos negativos muito superiores ao MEF, querendo dizer que o MPE considera uma rigidez muito maior na ligao laje-pilar. Comparativamente com os momentos fletores negativos, os momentos fletores positivos aproximam-se bastante entre os dois mtodos, contudo o MEF apresenta em todos os vos valores superiores.

    -356.4

    653.1

    -1073.1 -1006.9

    420.9

    -841.8

    420.9

    -1006.9 -1073.1

    653.1

    -356.4

    -1100

    -900

    -700

    -500

    -300

    -100

    100

    300

    500

    700

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Mxx

    [kN

    .m]

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    35

    Quadro 3.7 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 (MEF-MPE) [kN.m]

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 1 - MEF -95.36 356.17 -389.95 -376.30 229.22 -310.65 Prtico 1 - MPE -256.98 310.36 -544.07 -506.84 225.94 -452.48

    MPE/MEF (kN.m/kN.m) 2.69 0.87 1.40 1.35 0.99 1.46

    A veracidade desta afirmao pode ser confirmada principalmente no tramo extremo, onde a relao entre os valores assume um racio de 0,87. No segundo vo (entre pilar 2 e 3) o racio de valores aproxima-se da unidade mostrando uma boa aproximao do MPE.

    Ainda relativamente aos momentos fletores negativos sobre os pilares, no se pode deixar de notar que no pilar de bordo que existe uma maior discrepncia de resultados. Esta variao pode advir da modelao por barras, como mencionado no subcaptulo 3.3.1.2 (Figura 3.25) e da atribuio de uma largura de laje exagerada (largura do prtico equivalente), comparada com o mtodo de elementos finitos onde o posicionamento do pilar e a largura mobilizada influenciam claramente o resultado [7].

    Para este caso o eurocdigo 2 informa que se deve estabelecer um limite mximo para o momento negativo sempre que no haja vigas de bordadura que sejam adequadamente dimensionadas toro, ajudando na uniformizao da laje e consecutivamente na mobilizao de uma largura de laje prxima.

    Figura 3.28 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1 (comparao)

    Esta limitao ao momento resistente deve ser feita aos pilares de bordo e de canto assumindo um mximo dado pela equao 3.2.

    -95.36

    356.17

    -389.95 -376.3

    229.22

    -310.65

    229.22

    -376.3 -389.95

    356.17

    -95.36

    -256.98

    310.36

    -544.07 -506.84

    225.94

    -452.48

    225.94

    -506.84 -544.07

    310.36

    -256.98

    -600

    -500

    -400

    -300

    -200

    -100

    0

    100

    200

    300

    400

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Mxx

    [kN

    .m]

    Prtico 1 - MEF Prtico 1 - MPE

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    36

    ckeRd fdbM uuu 217,0 (3.2)

    Figura 3.29 Largura efetiva eb (Eurocdigo 2 - EC2) [4] O eurocdigo informa que alm da limitao de momento resistente a armadura tem de ser disposta na largura efetiva eb (Figura 3.29) de forma a assegurar a correta transmisso de momentos fletores da laje para o pilar.

    Sendo,

    d - altura til da laje (0,24m)

    ckf - valor caracterstico da tenso de rotura do beto compresso aos 28 dias de idade Tendo altura til md 24,0 e eb , para um pilar de canto, assume um valor de 0,60m possvel calcular o momento resistente.

    2500024,060,017,0 2 uuu RdM

    mkNM Rd .88.146

    Naturalmente, em condies de projeto, se esta reduo de momento for bastante acentuada tem que ser tido em conta outro tipo de solues para a resoluo deste problema. No caso em estudo este claramente um desses casos visto que seria necessrio uma reduo de mais de 50% do momento fletor inicial.

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    37

    Aplicando este valor mximo de momento resistente e calculando adequadamente o momento positivo no tramo de extremidade, por uma simples regra de tringulos.

    Quadro 3.8 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 (MEF-MPE com momento resistente mximo) [kN.m]

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 1 - MEF -95.36 356.17 -389.95 -376.30 229.22 -310.65 Prtico 1 - MPE -146.88 372.29 -544.07 -506.84 225.94 -452.48

    MPE/MEF (kN.m/kN.m) 1.54 1.05 1.40 1.35 0.99 1.46

    MPE

    MEFMPE

    (%) 35.08 4.33 28.33 25.76 1.45 31.35

    Sem esta limitao de momento resistente podia-se verificar que os valores que mais sobressaiam eram, o momento do pilar 1 e o momento no vo correspondente. Aps esta limitao e respectiva compatibilizao de esforos, o momento negativo no pilar 1 apresenta um rcio que se aproxima dos racios nos restantes pilares. De forma semelhante o momento positivo no vo extremo aproximou-se do obtido pelo MEF resultando num rcio prximo de 1 como j acontecia nos outros momentos fletores.

    Estes valores obtidos pelo MPE, aps a correo do momento fletor nos pilares de bordo, serviro de base de comparao para quando as irregularidades geomtricas forem introduzidas. Apesar de esta redistribuio ser exagerada e no recomendada para situaes de projeto, a forma de colocar no mesmo patamar e equiparar da melhor forma os dois mtodos de clculo. De outra forma no faria sentido visto que a legislao estabelece claramente esta imposio de dimensionamento.

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    38

    Figura 3.30 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1 aps a redistribuio

    3.4.2. PRTICO 2 E 3

    Sendo estes dois prticos iguais, no que diz respeito anlise pelo mtodo dos prticos equivalentes, sero analisados em conjunto discutindo as diferenas entre si de acordo com os resultados obtidos pelo MEF e tambm analisadas as diferenas com o MPE.

    Quadro 3.9 Esforos Mxxs do Prtico 2 e 3 analisados pelo MEF-MEF [kN.m]

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 2 - MEF -154.68 715.18 -1057.60 -1039.19 419.44 -843.49 Prtico 3 - MEF -135.61 690.08 -957.31 -938.44 382.04 -731.99

    Prtico 2/Prtico 3 (kN.m/kN.m) 0.88 0.96 0.91 0.90 0.91 0.87

    Como j foi discutido anteriormente o prtico 3 apresenta uma maior concentrao de esforos comparativamente ao prtico 2. Essa diferena no substancial quando comparados entre si, no entanto, o prtico 2 aproxima-se mais da soluo obtida pelo MPE.

    Quadro 3.10 Esforos Mxxs do Prtico 2 (MEF-MPE) [kN.m]

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 2 - MEF -154.68 715.18 -1057.60 -1039.19 419.44 -843.49 Prtico 2/3 - MPE -356.4 653.1 -1073.1 -1006.9 420.9 -841.8

    MPE/MEF (kN.m/kN.m) 2.30 0.91 1.01 0.97 1.00 0.99

    -95.36

    356.17

    -389.95 -376.3

    229.22

    -310.65

    229.22

    -376.3 -389.95

    356.17

    -95.36

    -146.88

    372.29

    -544.07 -506.84

    225.94

    -452.48

    225.94

    -506.84 -544.07

    372.29

    -146.88

    -600

    -500

    -400

    -300

    -200

    -100

    0

    100

    200

    300

    400

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Mxx

    [kN

    .m]

    Prtico 1 - MEF Prtico 1 - MPE

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    39

    Quadro 3.11 Esforos Mxxs do Prtico 3 (MEF-MPE) [kN.m]

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6

    Prtico 3 - MEF -135.61 690.08 -957.31 -938.44 382.04 -731.99 Prtico 2/3 - MPE -356.4 653.1 -1073.1 -1006.9 420.9 -841.8

    MPE/MEF (kN.m/kN.m) 2.63 0.95 1.12 1.07 1.10 1.15

    Analisando a Figura 3.31 (representao grfica dos Quadros 3.10 e 3.11) conclu-se que o prtico 2 o que se aproxima mais da soluo obtida pelo MPE. Novamente, semelhana do que a aconteceu no prtico 1 o momento fletor no pilar 1 e o momento fletor no vo do tramo extremo assumem uma maior diferena relativamente ao MPE.

    No prtico 3 esta diferena notria apenas no momento fletor associado ao pilar 1, enquanto os restantes valores se encontram dentro da mesma gama de valores.

    Figura 3.31 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2 e 3

    Contudo no se pode esquecer da limitao de momento resistente que deve ser imposta aos pilares de bordo e de canto. Para o caso em questo, sendo um pilar de bordo (ver Figura 3.29) e atendendo geometria da ligao laje-pilar podemos dizer que mbe 80.0 . Sendo que ckf e 2d no variam,

    mkNM Rd .84.195 Aps a introduo desta correo no momento do pilar 1 e respectiva redistribuio de esforos, para o prtico 2, houve uma ainda maior aproximao entre o MPE e o MEF. O momento fletor positivo aumentou significativamente passando agora a apresentar um valor superior ao obtido com o MEF. No prtico 3 as concluses so semelhantes.

    -1100

    -900

    -700

    -500

    -300

    -100

    100

    300

    500

    700

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Mxx

    [kN

    .m]

    Prtico 2 - MEF Prtico 3 - MEF Prtico 2/3 - MPE

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    40

    O prtico 2 de todos os estudados o que tem a relao mais prxima entre os dois mtodos, dando a entender que a aplicao do mtodo dos prticos equivalentes se adequa aproximada para um prtico equivalente intermdio e uma soluo pior para prticos equivalentes de bordo.

    Quadro 3.12 Esforos Mxxs dos Prticos 2 e 3 (MEF-MPE com momento resistente mximo) [kN.m]

    Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3

    1 2 3 4 5 6 Prtico 2/3 - MPE -195.84 743.415 -1073.1 -1006.9 420.9 -841.8

    Prtico 2 - MEF -154.68 715.18 -1057.60 -1039.19 419.44 -843.49

    MPE/MEF (kN.m/kN.m) 1.27 1.04 1.01 0.97 1.00 0.99

    MPE

    MEFMPE

    (%) 21.02 3.80 1.44 3.21 0.35 0.20

    Prtico 3 - MEF -135.61 690.08 -957.31 -938.44 382.04 -731.99

    MPE/MEF (kN.m/kN.m) 1.44 1.08 1.12 1.07 1.10 1.15

    MPE

    MEFMPE

    (%) 30.75 7.17 10.79 6.80 9.23 13.04

    Na Figura 3.32 possvel observar a quase coincidncia de diagramas do prtico 2 calculado pelo MEF e pelo prtico 2 calculado MPE.

    Este ser o prtico onde ser mais fcil recolher concluses acerca das imperfeies geomtricas quando elas forem introduzidas e analisadas no captulo 4.

    Figura 3.32 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2 e 3

    -1100

    -900

    -700

    -500

    -300

    -100

    100

    300

    500

    700

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Mxx

    [kN

    .m]

    Prtico 2 - MEF Prtico 3 - MEF Prtico 2/3 - MPE

  • Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades limitadas em planta

    41

    4 DISPOSIO IRREGULAR DOS

    PILARES EM PLANTA

    4.1. INTRODUO

    O objetivo principal desta dissertao o estudo da adequabilidade dos resultados obtidos pelo mtodo dos prticos equivalentes (MPE) quando h uma certa irregularidade geomtrica dos pilares em planta. Na aplicao deste mtodo simplificado, o MPE parte do pressuposto que existe regularidade na distribuio dos pilares, contudo a necessidade de adaptao deste tipo de lajes a condies especiais que requerem uma disposio no regular dos pilares. Para estes casos ditos especiais que cada vez mais se tornam recorrentes, no existe um mtodo simples que permita determinar os esforos e, consequentemente, fazer o dimensionamento da laje. necessrio recorrer a outros mtodos mais precisos e no to simples para a determinao de esforos, sendo um deles o mtodo dos elementos finitos (MEF).

    Para testar a razoabilidade dos resultados do MPE foi necessrio inicialmente estabelecer um ponto de comparao (Captulo 3) que possibilitasse determinar exatamente a preciso obtida com o MPE. Sabendo as divergncias entre os dois mtodos mais fcil determinar realmente a influncia que uma irregularidade introduz nos resultados obtidos e se esse resultado aceitvel ou no.

    4.2. INTRODUO DAS IRREGULARIDADES

    semelhana do que foi realizado no Captulo 3 as irregularidades