vetores e geometria analítica

324
Vetores e Geometria Analítica São Cristóvão/SE 2007 Gastão Florêncio Miranda Junior

Upload: marciliodq

Post on 23-Jun-2015

4.837 views

Category:

Documents


28 download

TRANSCRIPT

Page 1: Vetores e Geometria Analítica

Vetores eGeometria Analítica

São Cristóvão/SE2007

Gastão Florêncio Miranda Junior

Page 2: Vetores e Geometria Analítica

CopidesqueFabíola Oliveira Criscuolo Melo

Projeto GráficoHermeson Alves de MenezesLeo Antonio Perrucho MittaraquisTatiane Heinemann Böhmer

DiagramaçãoTatiane Heinemann Böhmer

CapaHermeson Alves de Menezes

Foto da CapaIsa Vanny

Miranda Junior, Gastão Florêncio.M672v Vetores e Geometria Analítica / Gastão Florêncio Miranda Junior. -

- São Cristóvão : Universidade Federal de Sergipe, CESAD, 2007.

1. Matemática. 2. Vetores. 3. Geometria analítica. I. Título.

CDU 514

Copyright © 2007, Universidade Federal de Sergipe / CESADNenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada por qualquermeio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização por escrito daUFS.

Elaboração de ConteúdoGastão Florêncio Miranda Junior

Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva

Ministro da EducaçãoFernando Haddad

Secretário de Educação a DistânciaCarlos Eduardo Bielschowsky

Governador do Estado de SergipeMarcelo Déda Chagas

Secretário de Estado da EducaçãoJosé Fernandes de Lima

ReitorJosué Modesto dos Passos Subrinho

Vice-ReitorAngelo Roberto Antoniolli

Coordenadora CESADLilian Cristina Monteiro França

Vice-CoordenadorItamar Freitas

Coordenador do Curso de Licenciaturaem MatemáticaHassan Sherafat

Page 3: Vetores e Geometria Analítica

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECidade Universitária Prof. “José Aloísio de Campos”

Av. Marechal Rondon, s/n - Jardim Rosa ElzeCEP 49100-000 São Cristóvão - SE

Fone(79) 2105 - 6600 - Fax(79) 2105 - 6474

Assessoria de ComunicaçãoGuilherme Borba Gouy

Coordenação GráficaGiselda Barros

Coordenação de MaterialDidático Digital

Jean Fábio Borba Cerqueira (Coordenador)Daniel Rouvier Dória

Evandro Barbosa Dias FilhoJéssica Gonçalves de Andrade

Luzileide Silva SantosMárcio Venâncio

Coordenação PadagógicaMaria Neide Sobral da Silva (Coordenadora)

Hérica dos Santos Matos

Coordenação de PólosFlora Alves Ruiz (Coordenadora)

Jussara Maria Poerschke

Coordenação de Tecnologia daInformação

Manuel B. Lino Salvador (Coordenador)André Santos SabâniaDaniel Silva Curvello

Gustavo Almeida MeloHeribaldo Machado Junior

Luana Farias OliveiraRafael Silva Curvello

COORDENAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO IMPRESSO

Itamar Freitas (Coordenador)Alysson Prado dos SantosArlan Clecio dos SantosClara Suzana SantanaChristianne de Menezes GallyEdgar Pereira Santos NetoEdvar Freire CaetanoFabíola Oliveira Criscuolo MeloGerri Sherlock Araújo

Helder Andrade dos SantosHermeson Alves de MenezesLara Angélica Vieira de AguiarLucílio do Nascimento FreitasManuel Messias de Albuquerque NetoPéricles AndradeSilvania Couto da ConceiçãoTaís Cristina Samora de FigueiredoTatiane Heinemann Böhmer

Page 4: Vetores e Geometria Analítica

224

Organização do Espaço Mundial

Page 5: Vetores e Geometria Analítica

Sumário

Aula 1: Vetores Geométricos 13

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Transitando pelas denições . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Medida de um segmento . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Segmentos eqüipolentes . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.1 Propriedades da eqüipolência . . . . . . . . 18

1.5 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1 Mais algumas denições . . . . . . . . . . . 19

1.6 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1 Adição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.2 Propriedades da adição . . . . . . . . . . . 21

1.6.3 Diferença de vetores . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.4 Multiplicação por um número real . . . . . 22

1.6.5 Propriedades da multiplicação por um nú-

mero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7 Ângulos de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 28

1.11 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Page 6: Vetores e Geometria Analítica

Aula 2: Os Espaços Vetoriais 31

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Decomposição de um vetor no Plano (R2) . . . . . 32

2.3 Igualdade e Operações . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 Igualdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Decomposição do Espaço (R3) . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1 Igualdade e Operações . . . . . . . . . . . . 43

2.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 47

2.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Aula 3: Produto de Vetores - Parte I 49

3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2.1 Propriedades do Produto Interno . . . . . . 52

3.2.2 Projeção de um vetor . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 60

3.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Aula 4: Produto de Vetores - Parte II 63

4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3 Propriedades do produto vetorial . . . . . . . . . . 67

4.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Page 7: Vetores e Geometria Analítica

4.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 78

4.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Aula 5: A Reta 81

5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2 Equação vetorial da reta . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.3 Equações paramétricas da reta . . . . . . . . . . . 84

5.4 Reta denida por dois pontos . . . . . . . . . . . . 85

5.5 Equações simétricas da reta . . . . . . . . . . . . . 86

5.6 Equações reduzidas da reta . . . . . . . . . . . . . 87

5.7 Paralelismo de retas relativo aos planos e eixos co-

ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.7.1 Retas paralelas aos planos coordenados . . . 89

5.7.2 Retas paralelas aos eixos coordenados . . . 90

5.8 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 91

5.9 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.10 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.11 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 97

5.12 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Aula 6: O Plano 99

6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.2 Equação geral do plano . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3 Equação vetorial e Equações paramétricas do plano 102

6.4 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 104

6.4.1 Interseção (entre planos e entre retas e planos)107

6.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 109

Page 8: Vetores e Geometria Analítica

6.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Aula 7: Distâncias 111

7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.2 Distância de ponto à reta . . . . . . . . . . . . . . 112

7.3 Distância de ponto a plano . . . . . . . . . . . . . 113

7.3.1 Distâncias de ponto à reta no plano . . . . 116

7.4 Distância entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . 117

7.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.7 Comentário das Atividades . . . . . . . . . . . . . 121

7.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Aula 8: Cônicas - Parte I 123

8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.2 Um pouco de História . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.3 Conceituando as cônicas . . . . . . . . . . . . . . . 125

8.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

8.5 Translação dos eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.8 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 137

8.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Aula 9: Cônicas - Parte II 139

9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.3 Equação reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

9.4 Translação da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Page 9: Vetores e Geometria Analítica

9.5 Equações paramétricas da elipse . . . . . . . . . . . 147

9.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.8 Comentário sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 151

9.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Aula 10: Cônicas - Parte III 153

10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

10.2 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

10.3 Equações reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

10.4 Translações de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . 164

10.5 Equações paramétricas . . . . . . . . . . . . . . . . 166

10.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

10.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.8 Comentário sobre as Atividades . . . . . . . . . . . 170

10.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Aula 11: Mudança de Coordenadas no Plano 171

11.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.2 Mudanças de Coordenadas - Rotação e Translação

da Origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

11.3 Obtendo as coordenadas antigas em função das novas177

11.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 182

11.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Aula 12: Formas Quadráticas 185

12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Page 10: Vetores e Geometria Analítica

12.2 Mudando as coordenadas . . . . . . . . . . . . . . 188

12.3 A equação característica, autovalores e autovetores 188

12.4 Mais algumas propriedades . . . . . . . . . . . . . 191

12.4.1 Observando o produto das raízes da equação

do segundo grau. . . . . . . . . . . . . . . . 192

12.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

12.6 Atividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

12.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 199

12.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Aula 13: A Equação Geral do Segundo Grau 201

13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

13.2 Relembrando mudança de coordenadas . . . . . . . 202

13.3 Vamos analisar quando AC −B2 = 0. . . . . . . . 205

13.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

13.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

13.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 211

13.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Aula 14: Transformações Lineares 213

14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

14.2 Transformações no plano . . . . . . . . . . . . . . . 215

14.3 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . 222

14.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

14.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

14.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 233

14.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Page 11: Vetores e Geometria Analítica

Aula 15: Mudança de Coordenadas no Espaço 235

15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

15.2 Mudança de sistema de coordenadas no espaço . . 236

15.3 Transladando a origem do sistema . . . . . . . . . 239

15.4 As matrizes ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . 242

15.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

15.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

15.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 246

15.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Aula 16: Quádricas Centrais 247

16.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

16.2 Quádricas centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

16.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

16.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

16.5 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 261

16.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Aula 17: Completando Quadrados 263

17.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

17.2 Completando quadrados . . . . . . . . . . . . . . . 265

17.3 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

17.4 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

17.5 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 274

17.6 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Aula 18: Equação Geral do Segundo Grau no Espaço 277

18.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

18.2 A, B e C são diferentes de zero . . . . . . . . . . . 279

Page 12: Vetores e Geometria Analítica

18.3 Apenas um dos coecientes A,B,C é zero e os ou-

tros dois têm o mesmo sinal . . . . . . . . . . . . . 279

18.4 Apenas um dos coecientes A,B,C é nulo e os ou-

tros dois têm sinais opostos . . . . . . . . . . . . . 281

18.5 Um dos coecientes A,B,C é diferente de zero e os

outros dois são nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

18.6 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

18.7 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

18.8 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 287

18.9 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Aula 19: Transformações Lineares no Espaço 289

19.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

19.2 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . 290

19.3 Transformações lineares em R3 . . . . . . . . . . . 293

19.3.1 Transformações ortogonais . . . . . . . . . . 298

19.4 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

19.5 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

19.6 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 306

19.7 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Aula 20: Aplicações de Transformações Lineares 309

20.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

20.2 Aplicações à Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

20.3 Projeção do espaço tridimensional no plano . . . . 314

20.4 Codicando mensagens . . . . . . . . . . . . . . . . 317

20.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

20.6 Atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

20.7 Comentário das atividades . . . . . . . . . . . . . . 322

Page 13: Vetores e Geometria Analítica

20.8 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Page 14: Vetores e Geometria Analítica
Page 15: Vetores e Geometria Analítica

1AULA

2LIVRO

Vetores Geométricos

META

Introduzir a denição de vetor.

OBJETIVOS

Identicar vetores no plano e no

espaço e suas propriedades. Efetuar

operações com vetores (adição, dife-

rença e multiplicação por escalar).

Page 16: Vetores e Geometria Analítica

Vetores Geométricos

1.1 Introdução

Seja bem-vindo, caro aluno! Este é o nosso primeiro encontro, entre

tantos que estão por vir. A partir de agora, você vai conhecer um

pouco sobre Geometria Analítica.

Nascida das diversas necessidades das técnicas da agrimensura

e da arquitetura, a Geometria Clássica, muito estudada por diver-

sos intelectuais, toma uma nova roupagem. A Geometria Analítica,

por sua vez, baseia-se na idéia de representar os pontos da reta por

números reais, os pontos do plano por pares ordenados de núme-

ros e os pontos no espaço por ternos ordenados de números reais.

Nesta concepção, as linhas e as superfícies, no plano e no espaço,

são descritas por meio de equações, permitindo um tratamento al-

gébrico de questões de natureza geométrica e, reciprocamente, um

tratamento geométrico de algumas situações algébricas.

Por volta de 1637, a criação da Geometria Analítica deve-se a

dois matemáticos franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René

Descartes (1596-1650), simultaneamente. E o mais curioso nesta

história é que ambos eram graduados em Direito, nenhum deles

matemático prossional. Esta interação entre Geometria e Álge-

bra foi responsável por diversas descobertas na Matemática e suas

aplicações.

Neste nosso primeiro encontro, você vai conhecer um dos ele-

mentos principais da Geometria Analítica: os vetores, seu conceito

geométrico, a denição das operações que podem ocorrer entre eles,

além de suas propriedades. Também vai compreender que muitas

grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso

precisam da magnitude, da direção e do sentido para serem com-

14

Page 17: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

1AULA

pletamente identicadas. Essas grandezas são chamadas grandezas

vetoriais ou simplesmente vetores.

Será que deu para aguçar um pouquinho a sua curiosidade?

Quer saber mais? Então venha conosco para a nossa primeira

etapa.

1.2 Transitando pelas denições

Esta aula está segmentada em duas partes. Nesta primeira, vamos

apresentar para você, caro aluno, algumas denições que serão

fundamentais para a compreensão da etapa seguinte.

Denição 1.1. [Reta orientada - eixo] Uma reta r é orientada

quando se xa nela um sentido de percurso considerado positivo

e indicado por uma seta. O sentido oposto é negativo. Uma reta

orientada é denominada eixo.

Denição 1.2. [Segmento orientado] Um segmento orientado

é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado

origem do segmento e o segundo, extremidade.

O segmento orientado de origem A e extremidade B será re-

presentado por AB e geometricamente indicado por uma seta que

caracteriza de forma visual o sentido do segmento (ver gura 1.2).

Denição 1.3. [Segmento nulo e oposto]

15

Page 18: Vetores e Geometria Analítica

Vetores Geométricos

Figura 1.1: Segmento orientado AB

1. Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com

a origem.

2. Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA

oposto de AB.

1.3 Medida de um segmento

Fixando uma unidade de comprimento, podemos associar a cada

segmento orientado um número real não negativo. A medida do

segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo. O

comprimento do segmento AB é indicado por AB. [htb!]

Figura 1.2: Nesta ilustração o segmento orientado u representa o

comprimento unitário.

Observação 1. (a) Os segmentos nulos têm comprimentos igual

a zero.

(b) AB = BA.

16

Page 19: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

1AULA

Dois segmentos orientados não nulos, AB e CD, têm a mesma

direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coin-

cidentes.

Figura 1.3: Segmentos orien-

tados de mesma direção.

Figura 1.4: Segmentos orien-

tados opostos.

As próximas guras ilustram segmentos orientados que são

coincidentes (isto é , ambos os segmentos estão na mesma reta).

Figura 1.5: Figura 1.6:

1.4 Segmentos eqüipolentes

Denição 1.4. Dois segmentos orientados AB e CD são eqüi-

polentes quando têm a mesma direção, o mesmo sentido e o

mesmo comprimento (veja nas guras (1.7) e (1.8)). Sempre que

os segmentos AB e CD forem eqüipolentes, serão representados

por AB ∼ CD.

Para que o segmento AB seja eqüipolente a CD (na gura

17

Page 20: Vetores e Geometria Analítica

Vetores Geométricos

Figura 1.7:

Figura 1.8: Neste caso, os seg-

mentos AB e CD não perten-

cem à mesma reta.

(1.8)), é necessário que AB//CD e ABCD formem um paralelo-

gramo.

1.4.1 Propriedades da eqüipolência

Agora que você já sabe o que é um segmento eqüipolente, vamos

apresentar-lhe as suas propriedades.

(i) AB ∼ AB (reexiva).

(ii) Se AB ∼ CD, então CD ∼ AB (simétrica).

(iii) Se AB ∼ CD e CD ∼ EF , então AB ∼ EF (transitiva).

(iv) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe um

único ponto D, tal que AB ∼ CD.

1.5 Vetores

Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de

todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. Esse conjunto

é indicado por ~v .

18

Page 21: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

1AULA

O vetor determinado por AB é denotado por:−−→AB ou B − A

ou ~v.

Observação 2. Qualquer vetor−−→AB é um representante do conjunto

vetores desde que tenha a mesma direção, mesmo sentido e com-

primento de AB.

Indicamos o módulo (ou magnitude) de ~v por |~v|.

1.5.1 Mais algumas denições

Vetores iguais - Dois vetores−−→AB e

−−→CD são iguais se, e somente

se, AB ∼ CD.

Vetor nulo - Os segmentos nulos, por serem eqüipolentes entre

si, determinam um único vetor, chamado de vetor nulo ou

vetor zero, indicado por ~0.

Vetores opostos - Dado ~v =−−→AB, o vetor

−−→BA é o oposto de

−−→AB

e o indicamos por −−−→AB ou −~v.

Vetor unitário - ~v é unitário se |~v| = 1.

Versor - O versor de um vetor não nulo ~v é o vetor unitário de

mesma direção e mesmo sentido de ~v. (Veja a gura (1.9).)

19

Page 22: Vetores e Geometria Analítica

Vetores Geométricos

Figura 1.9: ~u1 e ~u2 são uni-

tários, mas ~u1 tem a mesma

direção de ~v. Portanto, ~u1 é

versor de ~v.

Figura 1.10: Neste caso, ~u, ~v

e ~w pertencem ao plano π.

Figura 1.11: ~u, ~v e ~w não são

coplanares. Figura 1.12: ~s = ~u+ ~v

Vetores colineares - ~u e ~v são considerados vetores colineares

se tiverem a mesma direção. Em outras palavras, ~u e ~v são

colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes

à mesma reta ou em retas paralelas.

Vetores coplanares - se os vetores não nulos ~u,~v e ~w têm re-

presentantes AB, CD e EF pertencentes ao mesmo plano,

dizemos que são coplanares. (Veja a gura (1.10)).

20

Page 23: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

1AULA

1.6 Operações com vetores

Agora que você já está mais entrosado com o conteúdo de nossa

aula, pois já conheceu alguns conceitos importantes, podemos avan-

çar um pouquinho mais. Vamos apresentar para você, nesta se-

gunda parte de nossa aula, os mecanismos para efetuar as opera-

ções com vetores.

1.6.1 Adição

Denição 1.5. Sejam os vetores ~u e ~v representados pelos seg-

mentos orientados AB e BC. Os pontos A e C determinam um

vetor ~s, que é a soma dos vetores ~u e ~v, ou seja,

~s = ~u+ ~v.

Veja a gura (1.13).

Figura 1.13: ~u = ~AB, ~v = ~BC e ~s = ~AC.

1.6.2 Propriedades da adição

Sejam ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, valham:

Comutativa - ~u+ ~v = ~v + ~u

Associativa - (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)

21

Page 24: Vetores e Geometria Analítica

Vetores Geométricos

Elemento Neutro - Existe um elemento ~0, tal que

~v +~0 = ~0 + ~v = ~v, ∀~v.

Inverso Aditivo - Para todo vetor ~v existe um único vetor −~v

(vetor oposto de ~v), tal que

~v + (−~v) = (−~v) + ~v = ~0.

1.6.3 Diferença de vetores

Denição 1.6. Dizemos que ~d é a diferença de dois vetores ~u e

~v se ~d = ~u− ~v, ou seja,

~d = ~u+ (−~v).

Nas guras (1.14) e (1.15) estão representados os vetores ~u e ~v,

respectivamente, pelos segmentos orientados AB e AC. ABCD é

um paralelogramo cujas diagonais AD e BC representam, respec-

tivamente, ~s e ~d (soma e diferença).

Figura 1.14: ~s = ~u+ ~v Figura 1.15: c

1.6.4 Multiplicação por um número real

Denição 1.7. Dados um vetor ~v 6= ~0 e um número real k 6= 0,

chamamos de produto do escalar k pelo vetor ~v o vetor ~p = k~v, tal

que:

22

Page 25: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

1AULA

1. [Módulo] |~p| = |k~v| = |k||~v|;

2. [Direção] a mesma de ~v;

3. [Sentido]

o mesmo de ~v se k > 0,

o contrário de ~v se k < 0.

• Se k = 0 ou ~v = ~0, o produto é ~0.

• Seja um vetor k~v, em que ~v 6= ~0. Fazendo com que k varie

sobre R (o conjunto dos números reais), obtemos os inni-

tos vetores colineares a ~v (além de serem também colineares

entre si). Por outro lado, para quaisquer dois vetores ~u e ~v,

colineares, sempre existe um k ∈ R, tal que

~u = k ~v.

• O versor de ~v 6= ~0 é o vetor unitário ~u =1|~v|

~v ou ~u =~v

|~v|.

Veja que

|~u| =∣∣∣∣ ~v|~v|

∣∣∣∣ =|~v||~v|

= 1,

para todo ~v 6= ~0. Assim, temos que ~v = |~v| ~u, ou seja, todo vetor é

o produto de seu módulo pelo vetor unitário de mesma direção e

mesmo sentido que ~v.

23

Page 26: Vetores e Geometria Analítica

Vetores Geométricos

1.6.5 Propriedades da multiplicação por um número

real

Sejam ~u e ~v vetores quaisquer e a e b números reais (também

conhecidos como escalares). Assim, temos as seguintes proprieda-

des:

Associativa: a(b~v) = (ab)~v;

Identidade: 1~v = ~v;

Distributividade em relação aos escalares: (a + b)~v =

a~v + b~v;

Distributividade em relação aos vetores: a(~v+~u) = a~v+

a~u.

É bom que você atente para os exemplos que lhe apresentamos,

pois são fundamentais para auxiliá-lo na resolução dos exercícios

ao nal desta aula.

Exemplo 1.6.1. Dados os vetores ~u, ~v e ~w, como na gura a

seguir, vamos construir o vetor 2~u− 3~v +12~w = ~s.

24

Page 27: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

1AULA

Figura 1.16: Solução, ~s =

2~u− 3~v +12~w.

1.7 Ângulos de dois vetores

Denição 1.8. O ângulo de dois vetores ~u e ~v não nulos é o

ângulo θ formado pelas semi-retas OA e OB, como na gura (1.8),

e tal que 0 ≤ θ ≤ π.

• Se θ = π, ~u e ~v têm a mesma direção e sentidos contrários.

• Se θ = 0, ~u e ~v têm a mesma direção e mesmo sentido.

25

Page 28: Vetores e Geometria Analítica

Vetores Geométricos

• Se θ =π

2, ~u e ~v são ortogonais (isto é, são perpendiculares),

e denotamos por ~u⊥~v. Neste caso, temos que |~u + ~v|2 =

|~u|2 + |~v|2.

• O vetor ~0 é considerado ortogonal a qualquer vetor.

• Se ~u é ortogonal a ~v e m um número real qualquer, ~u é

ortogonal a m~v.

1.8 Resumo

Nesta aula, você aprendeu que o segmento orientado no plano re-

presenta um objeto geométrico: o vetor, que por sua vez pode ser

representado algebricamente e, como conseqüência, possibilita de-

nir operações como adição, diferença e produto por um escalar.

26

Page 29: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

1AULA

Além disso, você aprendeu que existe um ângulo entre dois vetores,

ainda que suas extremidades não coincidam.

1.9 Atividades

1. Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das armações a

seguir.

(a) Se ~u = ~v, então |~u| = |~v|.

(b) Se |~u| = |~v|, então ~u = ~v.

(c) Se ~u ‖ ~v, então ~u = ~v.

(d) Se ~u = ~v, então ~u ‖ ~v.

(e) Se |~w| = |~u|+ |~v|, então ~u ~v e ~w são paralelos.

(f) Se−−→AB =

−−→DC, então ABCD (vértices nesta ordem) é

paralelogramo.

2. Dados os vetores ~u e ~v da gura, mostrar um representante

do vetor através de um gráco: (a) ~u− ~v

(b) ~v − ~u

(c) −~v − 2~u

(d) 2~u− 3~v

3. Determine o vetor ~x em função de ~u e ~v nas guras a seguir.

27

Page 30: Vetores e Geometria Analítica

Vetores Geométricos

(a) (b) (c)

4. Dados três pontos A, B, C não-colineares, como na gura a

seguir, representar o vetor ~x nos seguintes casos:

(a) ~x =−−→BA+ 2

−−→BC;

(b) ~x =12−→CA+ 2

−−→BA;

(c) ~x =−→AC +

−−→CB −

−−→AB.

5. Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u e ~v é de 30o, deter-

minar o ângulo formado pelos vetores a seguir.

(a) ~u e −~v (b) −~u e 2~v (c) −~u e −~v (b) 3~u e 5~v

1.10 Comentário das atividades

Se você conseguiu fazer a atividade 1, então entendeu os rudi-

mentos dos conceitos de módulo e vetores paralelos. E quanto às

atividades 2,3 e 4 ? Conseguiu resolvê-las? Então já entendeu a

idéia de soma, diferença de vetores, além de multiplicação por um

escalar. E a atividade 5? Se você conseguiu resolvê-la, ajuda a

xar a idéia do ângulo entre vetores. Se ainda tiver diculdades,

volte e reveja com cuidado os conceitos apresentados na aula. Não

esqueça que há tutores que o ajudarão a eliminar as suas dúvidas.

Desde já, lembre-se de discutir os conteúdos com seus colegas.

28

Page 31: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

1AULA

1.11 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, 'Álgebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

29

Page 32: Vetores e Geometria Analítica
Page 33: Vetores e Geometria Analítica

2AULA

2LIVRO

Os Espaços Vetoriais

META

Promover a identicação de vetores

no plano e no espaço e suas propri-

edades.

OBJETIVOS

Decompor um dado vetor relativa-

mente a uma base de vetores.

Estabelecer a igualdade entre veto-

res.

Reconhecer propriedades entre

vetores, como o paralelismo.

PRÉ-REQUISITOS

Para seguir avante nesta aula, é ne-

cessário que você tenha compreen-

dido os conceitos apresentados na

aula anterior.

Page 34: Vetores e Geometria Analítica

Os Espaços Vetoriais

2.1 Introdução

Olá! Que bom encontrá-lo novamente! Espero que tenha gostado

da nossa primeira aula. Nela denimos o objeto geométrico, vetor

e algumas de suas propriedades.

Nesta aula, iremos identicar e localizar pontos no plano (bi-

dimensional) e no espaço (tridimensional). Veremos que é possí-

vel decompor um dado vetor (no plano ou no espaço) com uma

combinação (linear) de outros vetores. Vericaremos também que

propriedades algébricas inerentes às operações entre vetores acarre-

tam em propriedades geométricas sobre esses, como por exemplo, a

existência de um elemento neutro aditivo que implica um elemento

neutro na soma de vetores, a saber, o vetor nulo.

2.2 Decomposição de um vetor no Plano (R2)

Dados dois vetores não coplanares (ver Aula 1) ~v1 e ~v2, qualquer

vetor ~v pode ser decomposto dependendo de ~v1 e ~v2. Para isso,

devemos encontrar a1, a2 ∈ R, tal que

~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 (2.1)

Exemplo 2.2.1. Sejam ~v1 e ~v2 vetores não colineares e ~v qualquer

vetor no mesmo plano de ~v1 e ~v2.

32

Page 35: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

2AULA

Exemplo 2.2.2. No caso em que o vetor ~v tiver a mesma direção

de ~v1 ou de ~v2, ~v não é a diagonal do paralelogramo e um dos

números reais a1 ou a2 é nulo.

Neste caso, o número a1 = 0, e a partir de ~v = a1 ~v1 + a2 ~v2,

temos que

~v = 0 · ~v1 + a2 ~v2 ⇒ ~v = a2 ~v2.

Denição 2.9.

1. Dizemos que ~v é a combinação linear de ~v1 e ~v2 sempre

que ~v for representado como em (2.1).

2. O par de vetores ~v1 e ~v2 não colineares é chamado de base

no plano.

3. Os números reais a1 e a2 de (2.1) são chamados componen-

tes ou coordenadas de ~v em relação à base ~v1, ~v2.

Por conveniência, sempre tomamos as bases ortonormais.

Denição 2.10. Uma base ~e1, ~e2 é considerada ortonormal se

os seus vetores forem ortogonais (isto é , ~e1 ⊥ ~e2) e unitários (ou

seja, |~e1| = |~e2| = 1).

Observação 3. Embora tenhamos denido uma base ortonormal

como um conjunto, iremos pensá-la como um conjunto ordenado,

33

Page 36: Vetores e Geometria Analítica

Os Espaços Vetoriais

isto é, numa base β = ~e1, ~e2, temos que o primeiro elemento da

base é ~e1 e o segundo, ~e2.

Exemplo 2.2.3. Considere a base ortonormal ilustrada na gura(2.17),

no plano xOy, e um vetor ~v cujas componentes são 2 e 4.

Figura 2.17: ~v2 e ~v2 são ortonormais.

Notação 1. Consideraremos, de agora em diante, que os vetores

com extremidades na origem e nos pontos (1,0) e (0,1) serão re-

presentados por ~i e ~j respectivamente. Isto é,

(1, 0) =~i e (0, 1) = ~j.

Tendo uma base xada, podemos fazer uma correspondência

biunívoca entre os pares ordenados (x, y) do plano (R2) e os veto-

res. Desta forma,

~v = (x, y)

é a expressão analítica de ~v. Assim, nomeamos x como abcissa

e y como ordenada.

34

Page 37: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

2AULA

Figura 2.18: ~i e ~j como base

para o plano R2.

Figura 2.19: Neste caso, o ve-

tor arbitrário ~v = x~i+ y~j, em

que x, y ∈ R, são as compo-

nentes de ~v em relação à base

~i,~j.

Exemplo 2.2.4. Seja ~v = 2~i + (−3)~j, podemos representar por

~v = (2,−3) ∈ R2. Perceba que,

2~j = (2, 0),

(−3)~i = (0,−3) e assim

~v = 2~i+ (−3)~j = (2 + 0, 0 + (−3)) = (2,−3)

2.3 Igualdade e Operações

2.3.1 Igualdade

Os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) são iguais se, e somente se,

x1 = x2 e y1 = y2, e assim, ~u = ~v.

Exemplo 2.3.1. Os vetores ~u = (2, 1) e ~v = (2, 1) são iguais,

porém, ~p = (2, 1) e ~q = (1, 2) não o são.

2.3.2 Operações

Sejam os vetores ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) e λ ∈ R, dene-se:

35

Page 38: Vetores e Geometria Analítica

Os Espaços Vetoriais

1. ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2);

2. λ~u = (λx1, λy1).

Exemplo 2.3.2. Sejam os vetores ~u = (2,−1) e ~q = (1, 3), temos

que

~u+ ~q = (2 + 1,−1 + 3) = (3, 2)

e

3~u = (3 · 2, 3 · (−1)) = (6,−3).

Figura 2.20: ~u+ ~q = (3, 2). Figura 2.21: 3~u = (6,−3).

Com base nas operações denidas anteriormente, constatamos

que o conjunto dos vetores tem as propriedades que apresentaremos

a seguir.

Teorema 2.1. Para quaisquer vetores ~u, ~v e ~w, tem-se

A1) ~u+ ~v = ~v + ~u;

A2) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w);

A3) ~u+~0 = ~u;

A4) ~u+ ~(−u) = ~0.

e para quaisquer ~u e ~v e α, β ∈ R, tem-se

36

Page 39: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

2AULA

P1) α(β~u) = (αβ)~u;

P2) (α+ β)~u = α~u+ β~u;

P3) α(~u+ ~v) = α~u+ α~v;

P4) 1~v = ~v.

Observação 4. O vetor ~0 denota o vetor nulo, isto é, ~0 = (0, 0).

Demonstração. É importante que você acompanhe o nosso racio-

cínio, pois vamos vericar a seguir algumas das propriedades que

já apresentamos. Dados ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) e ~w = (x3, y3),

temos que:

• em (A1),

~u+ ~v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).

Mas como sabemos que as coordenadas de ambos os vetores

são números reais, e como os reais são comutativos em relação

à soma, ou seja, x1 + x2 = x2 + x1 e y1 + y2 = y2 + y1, assim

~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1)

= (x2, y2) + (x1, y1) = ~v + ~u.

• em (A4), iremos supor ~w = (a1, a2), tal que

~0 = ~u+ ~w = (x1, y1) + (a1, a2) = (x1 + a1, y1 + a2)

Deste modo, ~u+ ~w = ~0⇔ (x1 +a1, y1 +a2) = (0, 0), e assim,

x1 + a1 = 0 e y1 + a2 = 0⇒ a1 = −x1 e a2 = −y1,

portanto, ~w = (−x1,−y1) = −~u.

37

Page 40: Vetores e Geometria Analítica

Os Espaços Vetoriais

• já em (P2), sejam α, β ∈ R, tal que

(α+ β)~u = (α+ β) · (x1, y1) = ((α+ β)x1, (α+ β)y1) .

Mas sabemos que os números reais são comutativos em rela-

ção à soma e à multiplição, como também têm a propriedade

da distributividade,

((α+ β)x1, (α+ β)y1) = (αx1 + βx1, αy1 + βy1)

= (αx1, αy1) + (βx1, βy1)

e assim,

(α+ β)~u = (αx1, αy1) + (βx1, βy1)

= α(x1, y1) + β(x1, y1) = α~u+ β~u.

Agora que você acompanhou o nosso raciocínio e compreendeu

todo o desenvolvimento das propriedades demonstradas, deixamos

para você a atividade a seguir.

Exercício 2.3.1. Mostre cada um dos itens das propriedades que

não foram demonstradas.

Exemplo 2.3.3. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), na

equação

4(~u− ~v) +13~w = 2~u− ~w

pretendemos determinar o vetor ~w. Para isso, faremos uso das

propriedades das operações entre vetores. Façamos

4(~u− ~v) +13~w = 2~u− ~w ⇒

13~w + ~w = 2~u− 4(~u− ~v)⇒

43~w = −2~u+ 4~v

38

Page 41: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

2AULA

então, temos43~w = −2~u+ 4~v ⇒

4~w = −6~u+ 12~v ⇒

~w =−64~u+

124~v ⇒

~w =−32~u+ 3~v.

Fazendo a substituição, chegamos a

~w =−32~u+ 3~v ⇒

~w =−32

(3,−1) + 3(−1, 2)⇒

~w =(−92,32

)+ (−3, 6)

ou podemos escrever assim: ~w =(−92− 3,

32

+ 6)

=(−15

2,152

),

ou se preferir, desta forma:

~w =−15

2(1,−1)

.

Denição 2.11 (Vetor Definido por Dois Pontos). Consi-

dere o vetor−−→AB de origem no ponto A = (x1, y1) e extremidade

em B = (x2, y2). Como na gura (2.22), as coordenadas de−−→AB

são obtidas por−−→AB = B −A, assim

−−→AB = (x2 − x1, y2 − y1).

Exemplo 2.3.4. Na gura (2.24), observamos que os segmentos

orientados AB, CD e OP representam o mesmo vetor (3, 1), pois−−→AB = B −A = (1, 4)− (−2, 3) = (3, 1)−−→CD = D − C = (4, 3)− (1, 2) = (3, 1)−−→OP = P −O = (3, 1)− (0, 0) = (3, 1)

39

Page 42: Vetores e Geometria Analítica

Os Espaços Vetoriais

Figura 2.22: ~AB = B −A

Figura 2.23: ~AB = (x2 −

x1, y2 − y1)

Figura 2.24: Os segmentos orientados AB, CD e OP representam

o mesmo vetor (3, 1).

2.4 Decomposição do Espaço (R3)

Nesta segunda etapa de nossa aula, procederemos nossos estudos

de forma análoga à decorrida na seção (2.2), porém, com algumas

adequações necessárias.

Dados três vetores não coplanares ~v1, ~v2 e ~v3, qualquer vetor ~v

pode ser decomposto dependendo de ~v1, ~v2 e ~v3. Para isso, devemos

encontrar a1, a2, a3 ∈ R, tal que

~v = a1 ~v1 + a2 ~v2 + a3 ~v3 (2.1)

40

Page 43: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

2AULA

Analogamente ao que ocorre no plano, o vetor ~v é a combinãção

linear dos vetores da base, isto é, sempre existem números reais

a1, a2, a3, tal que a decomposição do espaço seja satisfeita, em que

a1, a2, a3 são as componentes de ~v em relação à base considerada

(neste caso, ~v1, ~v2, ~v3).

Uma base no espaço é ortonormal se os três vetores forem uni-

tários e, dois a dois, ortogonais. Assim como zemos para o plano,

iremos adotar uma base entre muitas, como a base canônica re-

presentada por ~i,~j,~k.Em alguns livros sãoadotados e1, e2, e3em vez de ~i,~j,~k eainda representando ovetor por uma letra doalfabeto, v em vez de~v.

A reta com a direção de ~i é o eixo dos x (das abscissas), a

reta com a direção do vetor ~j é o eixo dos y (das ordenadas) e a

reta com a direção do vetor ~k é o eixo dos z (das cotas). As setas

indicam o sentido positivo de cada eixo. Esses eixos são chamados

de eixos coordenados.

Observação 5. O vetor ~0 denota o vetor nulo, isto é, ~0 = (0, 0, 0).

Cada par de eixos determina um plano coordenado, como ilus-

trado nas guras (2.25), (2.26) e (2.27).

Notação 2. A cada ponto P no espaço (R3) corresponde uma terna

(x1, y1, z1) de números reais chamados coordenadas de P .

41

Page 44: Vetores e Geometria Analítica

Os Espaços Vetoriais

Figura 2.25: plano

xy

Figura 2.26: plano

xz

Figura 2.27: plano

yz

Figura 2.28: P = (x1, y1, z1) Figura 2.29: P = (2, 4, 3)

Observando a gura (2.29), temos:

A = (2, 0, 0) - ponto no eixo dos x quando y = z = 0.

B = (0, 4, 0) - ponto no eixo dos y quando x = z = 0.

C = (0, 0, 3) - ponto no eixo dos z quando x = y = 0.

D = (2, 4, 0) - ponto no plano xy quando z = 0.

E = (0, 4, 3) - ponto no plano yz quando x = 0.

F = (2, 0, 3) - ponto no plano xz quando y = 0.

Seja ~v = x~i+ y~j + z~k, em que x, y e z são as componentes de

~v na base canônica ~i,~j,~k, como zemos para vetores no plano.

42

Page 45: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

2AULA

Figura 2.30: ~v = x~i+ y~j + z~k Figura 2.31: ~v = 2~i+ 4~j + 3~k

O conjunto formado por um ponto e por uma base constitui

um sistema referencial.

• O espaço tem três dimensões, ou seja, é tridimensional,

porque qualquer uma de suas bases tem três vetores.

• O plano tem dimensão 2, ou seja, bidimensional.

• A reta tem dimensão 1, ou seja, unidimensional.

Por outro lado, a representação geométrica do conjunto R é a reta

chamada de reta real. O produto cartesiano R×R = R2 (ou ainda,

R2 = (x, y);x, y ∈ R) tem como representação geométrica o

plano cartesiano. E por m, o produto cartesiano R×R×R = R3

(ou ainda, R3 = (x, y, z);x, y, z ∈ R) tem como representação

geométrica o espaço cartesiano.

2.4.1 Igualdade e Operações

Denição 2.12 (Igualdade). Dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v =

(x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.

43

Page 46: Vetores e Geometria Analítica

Os Espaços Vetoriais

Figura 2.32: Reta

real, R.

Figura 2.33: Plano

cartesiano, R2 =

R× R.

Figura 2.34: Espaço

cartesiano, R3 =

R× R× R.

Denição 2.13 (Soma e Produto por um escalar). Dados

os vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) e λ ∈ R, dene-se:

• ~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

• λ~u = (λx1, λy1, λz1)

Na soma 2~i + 4~j + 3~k, sabendo

que

2~i = 2(1, 0, 0) = (2, 0, 0)

4~j = 4(0, 1, 0) = (0, 4, 0)

3~k = 3(0, 0, 1) = (0, 0, 3)

Observando no plano xy, temos

que:

~v = 2~i+ 4~j + ~k

= (2, 0, 0) + (0, 4, 0)︸ ︷︷ ︸+(0, 0, 3)

vetor tracejato

= (2, 4, 0) + (0, 0, 3)= (2, 4, 3)

Figura 2.35: A soma dos ve-

tores que estão no plano xy,

2~i+ 4~j, é ilustrada pelo vetor

tracejado, enquanto a soma do

vetor tracejado ao vetor 3~k re-

sulta no vetor ~v .

44

Page 47: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

2AULA

Denição 2.14 (Vetor Definido por Dois Pontos). Se A =

(x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço,

então−−→AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)

Notação 3. Em vez de escrever ~v = 2~i+ 3~j+ 4~k, podemos escrever

~v = (2, 3, 4). Assim,

~i−~j = (1, 1, 0)

2~i− 3~j + ~k = (2,−3, 1)

4~k = (0, 0, 4)

em particular, ~i,~j,~k = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1).

Denição 2.15 (Condição de Paralelismo de Dois Veto-

res). Se dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) são coline-

ares (ou paralelos), existe um número λ ∈ R, tal que ~u = λ~v, ou

seja (x1, y1, z1) = λ(x2, y2, z2). Esta é a condição de paralelismo de

dois vetores. Representamos por ~u//~v dois vetores ~u e ~v paralelos.

Exemplo 2.4.1. Determinar os valores de m e n para que sejam

paralelos os vetores ~u = (m+ 1, 3, 2) e ~v = (2, 1, 2n).

Para encontrarmos m e n, iremos usar a condição de parale-

lismo de dois vetores, assim, temos

(m+ 1, 3, 2) = λ(2, 1, 2n),

ou seja, m+ 1 = 2λ

3 = λ

2 = 2nλ

.

O que resulta em m = 5 e n = 1/3.

45

Page 48: Vetores e Geometria Analítica

Os Espaços Vetoriais

2.5 Resumo

Nesta aula, aprendemos que um vetor pode ser decomposto sob

uma combinação linear de outros vetores. Conhecemos o conceito

de base ortonormal e aprendemos que é possível usá-lo para descre-

ver qualquer vetor num plano (ou espaço) coordenado, como uma

combinação linear dos vetores desta base. Além disso, também

vericamos algumas propriedades das operações entre vetores.

2.6 Atividades

1. Exprima o vetor ~w = (1, 1) como combinação linear de ~u =

(−2, 1) e ~v = (1,−1).

2. Quais são as condições de a e b, números reais, para que os

vetores do plano ~u = (2a+1, 1) e ~v = (3, 2b−3) sejam iguais?

3. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6),

determinar k1 e k2, tal que ~w = k1~u+ k2~v.

4. Encontre os números λ1 e λ2, tal que ~w = λ1~v1 +λ2~v2, sendo

~v1 = (1,−2, 1), ~v2 = (2, 0, 4) e ~w = (−4,−4,−10).

5. No quadrado ABCD tem-se A = (−1,−3) e B = (5, 6).

Quais são as coordenadas dos vértices C e D?

46

Page 49: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

2AULA

6. Mostre que qualquer conjunto ~v1, ~v2 de vetores não coline-

ares constitui uma base no plano.

7. Seja ABCD um quadrilátero. Se E é o ponto médio dos

Dizemos que E é oponto médio de um seg-mento cujas extremida-des são A = (x1, y1) eB = (x2, y2) se, e so-mente se,

E =“x1 + x2

2,y1 + y2

2

”.

segmentos AC e BD simultaneamente, sendo A = (0, 0),

B = (1, 1), C = (0, 2) e D = (−1, 1), mostre que ABCD é

um paralelogramo.

8. Dê um exemplo no plano que seja baseado na armação do

item (6).

9. Mostre que os pontos A = (4, 0, 1), B = 5, 1, 3), C = (3, 2, 5)

e D = (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo.

10. Se os vetores ~u e ~v têm o mesmo comprimento, demonstre

que ~u+ ~v e ~u− ~v são ortogonais. E a recíproca?

2.7 Comentário das atividades

Você concluiu as atividades 1,2,3 e 4? Para resolvê-las enten-

deu e utilizou o conceito de combinação linear. Se resolveu

as questões 5,6 e 9, então entendeu os conceitos de operações

entre vetores e vetores denidos por dois pontos. E as ati-

vidades 7 e 8? Conseguiu concluí-las? Então você entendeu

o conceito de paralelismo entre vetores. Já na questão 10,

você usou o conceito de vetores ortogonais.

47

Page 50: Vetores e Geometria Analítica

Os Espaços Vetoriais

2.8 Referências

BOLDRINI, José Luiz. Álgebra Linear. São Paulo: Harbra,

1980.

LIMA, Elon Lages. Geometria Analítica e Álgebra Linear.

Rio de Janeiro: IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo. Geometria Analítica. São Paulo: Ma-

kron Books, 1987.

48

Page 51: Vetores e Geometria Analítica

3AULA

2LIVRO

Produto de Vetores -Parte I

META:

Apresentar a denição de produto

escalar (ou produto interno) entre

vetores e suas propriedades.

OBJETIVOS:

Reconhecer e efetuar produtos esca-

lares entre vetores. Interpretar, geo-

metricamente, os produtos vetoriais

entre vetores, como o ângulo entre

vetores, a desigualdade triangular e

a projeção de um vetor sobre outro.

Page 52: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte I

3.1 Introdução

Olá, caro aluno! Estamos aqui, novamente, para mais uma de

nossas aulas. Espero que os conteúdos apresentados nas aulas

anteriores tenham sido produtivos para você. Está conseguindo

acompanhar o nosso raciocínio? Estão surgindo muitas dúvidas?

Lembre-se de que há um tutor para esclarecê-las, e é bom que você

entre em contato com ele sempre que necessário.

Nesta aula, introduziremos o primeiro conceito sobre produto

entre vetores, a saber, o produto escalar (ou produto interno), em

que dois vetores são convertidos em um escalar. Além disso, vamos

estudar suas propriedades e como interpretar os vetores geometri-

camente. Abordaremos, também, uma desigualdade triangular.

3.2 Produto Escalar

Denição 3.16. Dados os vetores ~u = x1~i + y1

~j + z1~k e ~v =

x2~i + y2

~j + z2~k, denimos que o produto escalar (ou produto

interno usual), representado por ~u · ~v (também é indicado por

〈~u,~v〉), é o número real

〈~u,~v〉 = x1x2 + y1y2 + z1z2

Em particular, se ~u, ~v ∈ R2, em que ~u = x1~i+ y1

~j e ~v = x2~i+

y2~j, o produdo escalar ca denido de forma análoga à anterior,

isto é,

〈~u,~v〉 = x1x2 + y1y2.

Exemplo 3.2.1. Sendo ~v = 3~i−~j−2~k e ~w =~i+~j−~k vetores em

R3, podemos escrevê-los como, ~v = (3,−1,−2) e ~w = (1, 1,−1), e

50

Page 53: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

3AULA

assim

〈~v, ~w〉 = 〈(3,−1,−2), (1, 1,−1)〉 = 3 · 1 + (−1) · 1 + (−2) · (−1)

⇒ 〈~v, ~w〉 = 4

Denição 3.17. Denominamos de módulo de um vetor ~v =

(x, y, z), representado por |~v|, o número real não negativo,

|~v| =√〈~v,~v〉 (3.1)

que em coordenadas ca

|~v| =√x2 + y2 + z2.

Em R2, podemos denir módulo de modo similar, ou seja, dado

um vetor no plano ~u = (x, y), seu módulo será o número real não

negativo

|~u| =√〈~u, ~u〉

, ou ainda em coordenadas

, |~u| =√x2 + y2.

Exemplo 3.2.2.

• Seja ~v ∈ R3, com ~v = (1, 0,−1)⇒ |~v| =√

12 + 02 + (−1)2 =√

2.

• Seja ~v ∈ R2, com ~v = (−2,√

5) ⇒ |~v| =√

(−2)2 + (√

5)2 =√

9 = 3.

• (Versor de um Vetor) Seja ~v ∈ R3, dado por ~v = (1, 0,−1),

o seu versor ~w será dado por

~w =~v

|~v|=

1√2

(1, 0,−1)

51

Page 54: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte I

e assim,

~w =∣∣∣∣ 1√

2(1, 0,−1)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣( 1√

2, 0,− 1√

2)∣∣∣∣

=

√(1√2

)2

+ 02 +(− 1√

2

)2

=√

22

= 1

O versor do vertor ~v é, na verdade, um vetor unitário.

• (Distância entre dois pontos) A distância entre dois

pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é dada por

d(A,B) =∣∣∣−−→AB∣∣∣ = |B −A|

e, deste modo,

d(A,B) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2, A,B ∈ R3.

coincide com a denição de distância entre dois pontos no

espaço. Para o caso do plano, basta-nos suprimir a terceira

coordenada, isto é,

d(A,B) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2,

neste caso, A = (x1, y1), B = (x2, y2) pontos do R2.

3.2.1 Propriedades do Produto Interno

Para quaisquer que sejam os vetores ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2), ~w =

(x3, y3, z3) em R3 e λ ∈ R, tal que:

(i) 〈~u, ~u〉 ≥ 0 e 〈~u, ~u〉 = 0⇔ ~u = ~0 = (0, 0, 0). De fato, pois por

denição 〈~u, ~u〉 ≥ 0, e se 〈~u, ~u〉 = 0, então |~u| = 0⇔ ~u = ~0.

(ii) 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉 (Comutativa) Veja que 〈~u,~v〉 = x1x2 +

y1y2+z1z2 = x2x1+y2y1+z2z1 = 〈~v, ~u〉, pois as coordenadas

de ~u e ~v são números reais e valem a comutatividade do

produto e da soma em R.

52

Page 55: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

3AULA

(iii) 〈~u, (~v+ ~w)〉 = 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉 (Distributiva com relação

à soma de vetores) De fato, pois

〈~u, (~v + ~w)〉 = 〈(x1, y1, z1), (x2, y2, z2) + (x3, y3, z3)〉

= 〈(x1, y1, z1), (x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3)〉

= x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) + z1(z2 + z3)

= (x1x2 + y1y2 + z1z2) + (x1x3 + y1y3 + z1z3)

= 〈~u,~v〉+ 〈~u, ~w〉

(iv) 〈λ~u,~v〉 = λ〈~u,~v〉 = 〈~u, λ~v〉

Exercício 3.2.1. A vericação desta propriedade ca como

atividade para você.

(v) 〈~u, ~u〉 = |~u|2 De fato, temos que |~u| =√〈~u, ~u〉. Assim,

(|~u|)2 =(√〈~u, ~u〉

)2⇒ |~u|2 = 〈~u, ~u〉

Exemplo 3.2.3. |~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2〈~u,~v〉 + |~v|2 para quaisquer

vetores ~u~v ∈ R2 (esta igualdade também é válida caso os vetores

pertençam ao R3).

Temos que

|~u+ ~v|2 = 〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉

= 〈~u, ~u+ ~v〉+ 〈~v, ~u+ ~v〉 (pela propriedade (ii) e (iii))

= 〈~u, ~u〉+ 〈~u,~v〉+ 〈~v, ~u〉+ 〈~v,~v〉 (por (iii))

= |~u|2 + 2〈~u,~v〉+ |~v|2

Denição 3.18 (Ângulo de Dois Vetores). Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0

e se θ é o ângulo dos vetores ~u e ~v, então:

〈~u,~v〉 = |~u| |~v| cos θ (3.2)

53

Page 56: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte I

Esta denição também não depende da condição de os vetores

estarem em R2 (no plano) ou em R3 (no espaço). Assim, caro

aluno, é importante que você atente para o que é preciso fazer caso

queiramos obter o ângulo θ a partir dos vetores já conhecidos.

Veja que na equação (3.2)temos o seguinte

cos θ =〈~u,~v〉|~u| |~v|

(3.3)

e assim, obtemos

θ = arc cos(〈~u,~v〉|~u| |~v|

)(3.4)

Exemplo 3.2.4. Para calcular o ângulo entre os vetores ~u =

(1, 1, 4) e ~v = (−1, 2, 2), façamos o seguinte movimento

cos θ =〈~u,~v〉|~u| |~v|

=〈(1, 1, 4), (−1, 2, 2)〉|(1, 1, 4)| |(−1, 2, 2)|

cos θ =−1 + 2 + 8√

18 · 3=

99√

2=√

22

⇒ θ = arc cos

(√2

2

)E assim, temos que θ = 45o.

Em relação ao ângulo entre dois vetores ~u e ~v, percebemos que:

1. 〈~u,~v〉 > 0, com base na equação (3.3), temos que cos θ > 0,

e assim 0 ≤ θ < 90o ( ou seja, um ângulo agudo).

2. 〈~u,~v〉 < 0, por (3.3), temos que cos θ < 0, e assim 90o ≤ θ <

180o ( ou seja, um ângulo obtuso).

3. 〈~u,~v〉 = 0, por (3.3), temos que cos θ = 0, e assim θ = 90o (

neste caso, um ângulo reto).

54

Page 57: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

3AULA

Figura 3.36: 0 ≤

θ < 90o. Figura 3.37: 90o ≤

θ < 180o.

Figura 3.38: θ =

90o.

Observe que na equação (3.3) temos que

| cos θ| =∣∣∣∣ 〈~u,~v〉|~u| |~v|

∣∣∣∣ ⇒ |〈~u,~v〉| = | cos θ| |~u| |~v| ,

e devemos lembrar que 0 ≤ | cos θ| ≤ 1. Assim,

|〈~u,~v〉| ≤ |~u| |~v| , (3.5)

para quaisquer vetores ~u e ~v (sejam eles pertencentes ao plano ou

ao espaço).

Exemplo 3.2.5. O triângulo formado pelos vértices A = (2, 3, 1),

B = (2, 1,−1) e C = (2, 2,−2) é retângulo?

Para respondermos esta questão, é importante observarmos se

algum dos pares de vetores que determinam os lados do triângulo

ABC são perpendiculares. Para isso,

−−→AB = (0,−2,−2)

−→AC = (0,−1,−3)

−−→BC = (0, 1,−1)

então, temos que

〈−−→AB,

−→AC〉 = 〈(0,−2,−2), (0,−1,−3)〉 = 8

55

Page 58: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte I

〈−−→AB,

−−→BC〉 = 〈(0,−2,−2), (0, 1,−1)〉 = 0

Portanto, 〈−−→AB,

−−→BC〉 = 0, isto é, no vértice B, os lados AB e

BC formam um ângulo de 90o. Isso nos permite concluir que o

triângulo ABC é retângulo.

Exemplo 3.2.6. Determinar um vetor ortogonal aos vetores ~u =

(1,−1, 0) e ~v = (1, 0, 1). Para isso, vamos considerar um vetor

~w = (x, y, z) ortogonal a ~u e a ~v. Sendo assim,

〈~w, ~u〉 = 〈(x, y, z), (1,−1, 0)〉 = x− y = 0

〈~w,~v〉 = 〈(x, y, z), (1, 0, 1)〉 = x+ z = 0

Portanto, nosso problema agora se reduz a solucionar o sistemax− y = 0

x+ z = 0⇒

x = y

x = −z

Isso signica dizer que as soluções são vetores na forma ~w =

(x, x,−x). Deste modo, basta-nos escolher um reprensentante des-

ses vetores, por exemplo, tomando x = 1, e assim, (1, 1,−1) é uma

solução.

3.2.2 Projeção de um vetor

Denição 3.19. Sejam os vetores ~u e ~v, com ~u 6= 0, ~v 6= 0 e θ o

ângulo formado por eles. Se o vetor ~w representa a projeção de ~u

sobre ~v, é denido por

proj ~v ~u =(〈~u,~v〉〈~v,~v〉

)~v ou proj ~v ~u =

(〈~u,~v〉|~v|2

)~v (3.6)

56

Page 59: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

3AULA

Figura 3.39: 0 ≤ θ < 90o Figura 3.40: 90o ≤ θ < 180o

Tanto o triângulo retângulo representado na gura (3.39) quanto

o da gura (3.40) nos permitem compreender que

|~w| = |~u| |cos θ| = |~u| |〈~u,~v〉||~u| |~v|

=|〈~u,~v〉||~v|

Como ~w e ~v têm a mesma direção, ~w = λ~v e λ ∈ R, então,

|~w| = |λ| |~v| ⇒ |λ| = |~w| 1|~v|

=|〈~u,~v〉||~v|

1|~v|

|λ| = |〈~u,~v〉||~v|2

⇒ ~w =(|〈~u,~v〉||~v|2

)~v

E assim, proj ~v ~u =(|〈~u,~v〉||~v|2

)~v.

Exemplo 3.2.7. Vamos determinar proj ~v ~u em que ~u = (2, 3) e

~v = (1,−1). Observe que

〈~u,~v〉 = 〈(2, 3), (1,−1)〉 = 2− 3 = −1

〈~v,~v〉 = 〈(1,−1), (1,−1)〉 = 1 + 1 = 2

E assim,

proj ~v ~u =(〈~u,~v〉|~v|2

)(1,−1) = −1

2(1,−1) = (−1

2,12

)

57

Page 60: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte I

Considerando os vetores ~u e ~v (pertencentes ao plano ou ao

espaço) e usando as propriedades de produto escalar, temos que

〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉 = 〈~u, ~u+ ~v〉+ 〈~v, ~u+ ~v〉

〈~u+ ~v, ~u+ ~v〉 = 〈~u, ~u〉+ 〈~u,~v〉+ 〈~v, ~u〉+ 〈~v,~v〉

como |~u+~v|2 = 〈~u+~v, ~u+~v〉, |~u|2 = 〈~u, ~u〉 e |~v|2 = 〈~v,~v〉, além de

que 〈~u,~v〉 = 〈~v, ~u〉 (pois os ambientes a que os vetores pertencem

são Rn, com n = 2 ou 3). Assim, fazendo as devidas substituições,

chegamos a

|~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2〈~u,~v〉+ |~v|2

|~u+ ~v|2 = |~u|2 + 2| cos θ| |~u| |~v|+ |~v|2

≤ |~u|2 + 2|~u| |~v|+ |~v|2

≤ (|~u|+ |~v|)2

Portanto, obtemos

|~u+ ~v| ≤ |~u|+ |~v| (3.7)

Esta desigualdade é chamada deDesigualdade Triangular. Veja

os exercícios (2 e 4).

58

Page 61: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

3AULA

3.3 Resumo

Nesta aula, conhecemos a denição de produto escalar (ou produto

interno) entre vetores e suas propriedades. Além disso, vericamos

que o uso do produto escalar entre dois vetores permite-nos encon-

trar o cosseno do ângulo entre eles. Denimos a projeção de um

vetor sobre outro e a desigualdade triangular.

3.4 Atividades

1. Dados os vetores ~u = (2,−3,−1) e ~v = (1,−1, 4), calcular:

(a) 〈2~u,−~v〉;

(b) 〈~u+ 3~v,~v − 2~u〉;

(c) 〈~u+ ~v, ~u− ~v〉;

(d) 〈~u+ ~v,~v − ~u〉.

2. Vericar para os vetores ~u = (4,−1, 2) e ~v = (−3, 2,−2) as

seguintes desigualdades:

(a) (Desigualdade de Schwarz) |〈~u,~v〉| ≤ |~u| |~v|;

(b) (Desigualdade Triangular) |~u+ ~v| ≤ |~u|+ |~v|.

3. Prove que 〈~u+ ~v, ~u− ~v〉 = |~u|2 − |~v|2 para quaisquer vetores

~u~v ∈ R2.

4. Prove as seguintes propriedades do comprimento (ou mó-

dulo) de um vetor.

(a) |~v| = 0 se, e somente se, ~v = 0;

(b) |~v + ~w| ≤ |~v|+ |~w|;

59

Page 62: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte I

(c) |λ~v| = |λ| |~v|;

(d) |−~v| = |~v|.

5. Sabendo que |~u| =√

2, |~v| = 3 e que ~u e ~v formam um ângulo

de34π, determine:

(a) |〈2~u− ~v, ~u− 2~v〉|;

(b) |~u− 2~v|.

6. Mostre que a denição de ângulo entre vetores pode ser ob-

tida atravez da lei dos cossenos observando a gura (3.6).

[Lei dos Cossenos]Num triângulo cujos la-dos medem a, b, c vale aigualdade

a2 = b2 +c2−2bc ·cos θ,

sendo θ o ângulo entreos segmentos que me-dem b e c. Figura 3.41: θ é o ângulo entre ~u e ~v.

3.5 Comentário das atividades

Se você conseguiu fazer as atividades 1,4 e 5, então entendeu a

denição do produto escalar (ou produto interno) e de módulo

de um vetor. Já as atividaes 2 e 3, se você as resolveu, tratam

de importantes propriedades geométricas dos vetores e serão úteis

nas disciplinas que virão mais adiante.

60

Page 63: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

3AULA

3.6 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

61

Page 64: Vetores e Geometria Analítica
Page 65: Vetores e Geometria Analítica

4AULA

2LIVRO

Produto de Vetores -Parte II

META

Apresentar o produto vetorial entre

vetores e suas propriedades.

OBJETIVOS

Reconhecer e efetuar produtos

vetoriais entre vetores.

Reconhecer propriedades ligadas

aos produtos vetoriais entre vetores,

como a área de um paralelogramo

que tem como lados dois vetores e o

produto misto com sua representa-

ção geométrica.

PRÉ-REQUISITOS

Para que você possa ter um bom

desempenho nesta aula, é necessário

que saiba reconhecer e efetuar pro-

dutos escalares entre vetores, além

de interpretá-los geometricamente.

Page 66: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte II

4.1 Introdução

Olá! Estamos aqui para mais um encontro em que transitare-

mos pelos produtos entre vetores. Na aula passada, introduzimos

o conceito de produto escalar entre vetores e suas propriedades.

Além disso, aplicamos esse produto para encontrar, por exemplo,

o cosseno do ângulo entre eles.

Em continuidade ao tema da aula anterior, em que denimos e

vimos algumas aplicações do produto escalar (ou produto interno),

nesta aula estudaremos outro produto, isto é, o vetorial, que, dife-

rentemente do produto escalar, permite a conversão de dois vetores

no espaço em outro vetor. Esta operação tem um signicado ge-

ométrico interessante que será mostrado no transcorrer da aula.

Você conhecerá, também, o produto misto cujo valor absoluto re-

presentamos como 1/6 do volume de um tetraedro.

4.2 Produto vetorial

Nesta primeira seção, vamos apresentar a você o produto vetorial.

Seu resultado difere do produto escalar por ser um vetor e não

um escalar. Seu uso principal associa-se ao fato de o resultado de

um produto vetorial ser sempre perpendicular a ambos os vetores

originais. Assim, comecemos pela sua denição e, logo em seguida,

você verá que há algumas formas diferentes de representá-lo.

Denição 4.20 (Produto vetorial). Dados os vetores

~u = (x1, y1, z1)

(ou ~u = x1~i+ y1

~j+ z1~k) e ~v = (x2, y2, z2) (ou ~u = x2~i+ y2

~j+ z2~k)

tomados nesta ordem, chamamos de produto vetorial dos vetores

64

Page 67: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

4AULA

~u e ~v, os vetores

~u× ~v = (y1z2 − z1y2)~i+ (z1x2 − x1z2)~j + (x1y2 − y1x2)~k

ou simplesmente,

~u× ~v = (y1z2 − z1y2 , z1x2 − x1z2 , x1y2 − y1x2)

Outra maneira de escrevermos o produto vetorial, muito útil e

fácil de usar, é

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

x1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ou

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣∣∣~i−∣∣∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣∣∣~j +

∣∣∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣∣∣~kObservação 6. Chamamos a sua atenção neste ponto, caro aluno,

pois é fundamental perceber que 〈~u, ~u × ~v〉 = 0 ou 〈~v, ~u × ~v〉 = 0,

pois (sendo ~u e ~v não nulos e não colineares)

〈~u, ~u× ~v〉 = x1(y1z2 − z1y2) + y1(z1x2 − x1z2) + z1(x1y2 − y1x2)

= x1y1z2 − x1z1y2 + y1z1x2

−y1x1z2 + z1x1y2 − z1y1x2

= 0

O mesmo ocorre para 〈~v, ~u × ~v〉 = 0. Isto signica que os vetores

~u e ~v são ortogonais a ~u × ~v, isto é, ~u × ~v não está no mesmo

plano que ~u e ~v. Portanto, não faz sentido estudarmos produtos

vetoriais entre vetores no plano, pois não seria possível encontrar

o vetor ~u× ~v.

65

Page 68: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte II

Exemplo 4.2.1. Sejam ~u = (5, 4, 3) e ~v = (1, 0, 1) vetores em R3.

Deste modo,

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

5 4 3

1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (4− 0)~i+ (3− 5)~j + (0− 4)~k

⇒ ~u× ~v = 4~i− 2~j − 4~k = (4,−2,−4).

Veja ainda que

~v × ~u =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

1 0 1

5 4 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0− 4)~i+ (5− 3)~j + (4− 0)~k

⇒ ~v × ~u = −4~i+ 2~j + 4~k = (−4, 2, 4).

Portanto, neste exemplo, ~u× ~v = −(~v × ~u). Mas será que esta

propriedade é válida para quaisquer dois vetores em R3?

Para que você possa vericar se isto é possível, acompanhe o

nosso raciocínio no próximo tópico.

66

Page 69: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

4AULA

4.3 Propriedades do produto vetorial

Agora que você sabe o que é um produto vetorial, vamos apresentar-

lhe as propriedades desse produto.

Sejam ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2), ~w = (x3, y3, z3) ∈ R3 e

λ ∈ R, tal que

(V1) ~u×~u = ~0, qualquer que seja ~u ∈ R3. De fato, pela denição

temos o seguinte

~u× ~u =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

x1 y1 z1

x1 y1 z1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (y1z1 − z1y1)~i+ (z1x1 − x1z1)~j + (x1y1 − y1x1)~k

= (0)~i+ (0)~j + (0)~k

⇒ ~u× ~u = (0, 0, 0) = ~0.

Como conseqüência disso, temos que~i×~i = ~j×~j = ~k×~k = ~0.

(V2) ~u× ~v = −(~v × ~u). De fato, veja que

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

x1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (y1z2 − z1y2)~i+ (z1x2 − x1z2)~j + (x1y2 − y1x2)~k

~v × ~u =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

x2 y2 z2

x1 y1 z1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (y2z1 − z2y1)~i+ (z2x1 − x2z1)~j + (x2y1 − y2x1)~k

⇒ ~u× ~u = −(~v × ~u), ∀ ~u,~v ∈ R3.

A partir desta propriedade, temos como resultado que

67

Page 70: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte II

~i×~j = −(~j ×~i)~j × ~k = −(~k ×~j)~i× ~k = −(~k ×~i)

(V3) ~u×(~v+ ~w) = ~u×~v+~u× ~w. De fato, se ~v = (x2, y2, z2) e ~w =

(x3, y3, z3), vericamos que ~v+ ~w = (x2 +x3, y2 +y3, z2 +z3),

e assim,

~u× (~v + ~w) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

x1 y1 z1

x2 + x3 y2 + y3 z2 + z3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣⇒ ~u× (~v + ~w) = (y1(z2 + z3)− z1(y2 + y3))~i+

+(z1(x2 + x3)− x1(z2 + z3))~j+

+(x1(y2 + y3)− y1(x2 + x3))~k

⇒ ~u× (~v + ~w) = ((y1z2 − z1y2) + (y1z3 − z1y3))~i+

+((z1x2 − x1z2) + (z1x3 − x1z3))~j+

+((x1y2 − y1x2) + (x1y3 − y1x3))~k

⇒ ~u× (~v + ~w) =((y1z2 − z1y2)~i+ (z1x2 − x1z2)~j + (x1y2 − y1x2)~k

)︸ ︷︷ ︸+

~u× ~v

+(

(y1z3 − z1y3)~i+ (z1x3 − x1z3)~j + (x1y3 − y1x3)~k)

︸ ︷︷ ︸~u× ~w

~u× (~v + ~w) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

x1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

x1 y1 z1

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Portanto, ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w, ∀ ~u,~v, ~w ∈ R3.

68

Page 71: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

4AULA

(V4) (λ~u)× ~v = λ(~u× ~v).

Exercício 4.3.1. A vericação desta propriedade ca como

exercício.

(V5) ~u × ~v = ~0 se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se ~u e

~v são colineares. De fato, se ~u = ~0, então,

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

0 0 0

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0~i+ 0~j + 0~k = ~0

E se ~u e ~v não forem ambos nulos, mas colineares, isto é,

~v = λ~u, então

~u× ~v = ~u× (λ~u) =︸︷︷︸ λ(~u× ~u)

por (V4)

Mas como sabemos da propriedade V1, obtemos λ(~u× ~u) =

λ(~0)⇒ ~u× ~v = ~0.

(V6) ~u×~v é ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v. Então,

se 〈~u, ~u× ~v〉 = 〈~v, ~u× ~v〉 = 0, ~u× ~v é ortogonal simultanea-

mente aos vetores ~u e ~v.

Perceba que

〈~u, ~u× ~v〉 = x1

∣∣∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣∣∣+ y1

∣∣∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣∣∣+ z1

∣∣∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣∣∣e assim, obtemos

〈~u, ~u× ~v〉 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1

x1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

69

Page 72: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte II

Pois neste caso o determinante tem duas linhas iguais. Fa-

zendo o mesmo para 〈~v, ~u × ~v〉, constatamos (de modo aná-

logo) que

〈~u, ~u× ~v〉 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x2 y2 z2

x1 y1 z1

x2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

Portanto, ~u×~v é ortogonal simplesmente aos vetores ~u e ~v.

(V7) O triedro ~u,~v,~v × ~u é positivamente orientado. Sejam

Um triedro ~u,~v,~v ×~u (supondo que ~u e~v sejam não colineares)diz-se positivamente

orientado (em relaçãoao sistemas de eixos -xados, no caso, xyz)quando é positivo o de-terminante cujas linhassão formadas pelas co-ordenadas dos vetoresdados, na ordem emque são listados.

α ∈ R e ~u,~v, ~u× ~v ∈ R3, tal que

α =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1

x2 y2 z2

y1z2 − z1y2 z1x2 − x1z2 x1y2 − y1x2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣em que ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e

~u× ~v = (y1z2 − z1y2, z1x2 − x1z2, x1y2 − y1x2) .

Assim, obtemos

α = 〈~u× ~v, ~u× ~v〉 = |~u× ~v|2 > 0.

.

Exercício 4.3.2. Mostre a igualdade entre o determinante

e o número real 〈~u× ~v, ~u× ~v〉 da propriedade (V7).

(V8) (Identidade de Lagrange)

〈~u× ~v, ~u× ~v〉 = 〈~u, ~u〉 · 〈~v,~v〉 − 〈~u,~v〉2 (4.1)

70

Page 73: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

4AULA

De fato,

~u× ~v =

∣∣∣∣∣∣y1 z1

y2 z2

∣∣∣∣∣∣~i+

∣∣∣∣∣∣x1 z1

x2 z2

∣∣∣∣∣∣~j +

∣∣∣∣∣∣x1 y1

x2 y2

∣∣∣∣∣∣~k.Portanto,

|~u× ~v|2 = (y1z2 − z1y2)2 + (z1x2 − x1z2)2 + (x1y2 − y1x2)2

Mas, temos que

|~u|2|~v|2 = (x21 + y2

1 + z21)(x2

2 + y22 + z2

2) e

〈~u,~v〉2 = (x1x2 + y1y2 + z1z2)2

. Efetuando as operações indicadas, vericamos que |~u ×

~v|2 = |~u|2|~v|2 − 〈~u,~v〉2.

(V9) Se ~u 6= ~0, ~v 6= ~0 e se θ é o ângulo entre os vetores ~u e ~v, então

|~u× ~v| = |~u| · |~v| sen θ. (4.2)

De acordo com a identidade de Lagrange, na equação (4.1),

temos

|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2 − 〈~u,~v〉2

ou seja,

|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2 − (|~u| |~v| cos θ)2

|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2(1− cos2 θ)

⇒ |~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2(sen 2θ)

pois 1− cos2 θ = sen 2θ. E sabemos que

|~u× ~v|2 = |~u|2 |~v|2(sen 2θ)

71

Page 74: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte II

|~u× ~v| = |~u| |~v|(sen θ)

.

Tal qual na propriedade (V7), percebemos que os vetores da

base canônica ~i,~j,~k são válidos.

~i×~j =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

1 0 0

0 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣⇒~i×~j = ~k

e para as outras combinações:

~j × ~k = ~i

~k ×~i = ~j

percebemos ainda que

~j ×~i = −~k~k ×~j = −~i~i× ~k = −~j

No paralelogramo ABCD a seguir, observamos que ~u =−−→AB e

~v =−→AC. A altura do paralelogramo relativa aos lados CD e AB é

dada por |~v|sen θ.

72

Page 75: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

4AULA

Assim, a área do paralelogramo é dada por

ÁreaABCD = |~u|︸︷︷︸ · (|~v| sen θ)︸ ︷︷ ︸,base altura

Portanto,

|~u× ~v| = ÁreaABCD

Exemplo 4.3.1. Determine o vetor ~w, tal que ~w seja ortogonal

ao eixo−y e ~u = ~w × ~v, sendo ~u = (1, 1,−1) e ~v = (2,−1, 1).

Como ~w ⊥ eixo−y deve ser da forma ~w = (x, 0, z), assim, ~u = ~w×~v

equivale a

(1, 1,−1) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~k ~k

x 0 z

2 −1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ou ainda, (1, 1,−1) = (z,−x + 2z,−x). Basta-nos solucionar os

sistemas z = 1

−x+ 2z = 1

−x = −1

cuja solução é x = 1 e z = 1. Logo, ~w = (1, 0, 1).

Exemplo 4.3.2. Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado 10.

Calcular |−−→AB ×

−→AC|.

Veja que

|−−→AB ×

−→AC| = |

−−→AB| · |

−→AC| senα

em que α é o ângulo interno de ABC no vértice A.

73

Page 76: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte II

Como α = 60o, tem-se que |−−→AB ×

−→AC| = (10) · (10) sen 60o

⇒ |−−→AB ×

−→AC| = 100

√3

2= 50

√3

Mas como o valor 50√

3 representa a área do paralelogramo, por-

tanto a área do triângulo é a metade, ou seja, ÀreaABC = 25√

3 .

Exemplo 4.3.3. Dados os pontos A = (2, 1, 1), B = (3,−1, 0) e

C = (4, 2,−2), vamos determinar:

(i) a área do triângulo ABC;

(ii) a altura do triângulo relativa ao vértice C.

Resolução do exemplo:

(i) A partir do triângulo ABC podemos construir o paralelo-

gramo ABCD, cuja área é o dobro da área do triângulo.

Assim, com base nos vetores−−→AB e

−→AC, temos

A4 =12|−−→AB ×

−−→BC|

74

Page 77: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

4AULA

Mas−−→AB = (1,−2,−1),

−→AC = (2, 1,−3) e

|−−→AB ×

−−→BC| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

1 −2 −1

2 1 3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = |(7, 1, 5)|

Logo,

A4 =12√

49 + 25 + 1 =52

√3u.a.

(ii) Já para obtermos a altura do triângulo indicado na gura,

basta lembrarmos que

AABCD = (base)(altura) = b h.

Assim, como a base b no triângulo é dada por |−−→AB|, obtemos

h =Ab

=|−−→AB ×

−→AC|

|−−→AB|

=√

75|(1,−2,−1)|

=52

√2 u.c.

Denição 4.21. Chama-se produto misto dos vetores ~u = (x1, y1, z1),

~v = (x2, y2, z2) e ~w = (x3, y3, z3), tomados nesta ordem, o número

real

〈~u,~v × ~w〉 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Também denotado por 〈~u,~v × ~w〉 = (~u,~v, ~w).

Figura 4.42: Produto misto dado pelos vetores ~AB, ~AC e ~AD.

75

Page 78: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte II

Sejam A,B,C e D pontos não colineares e os vetores ~u =−−→AB, ~v =

−→AC e ~w =

−−→AD também não colineares. Esses vetores

determinam um paralelepípedo como na gura (4.42), cujo volume

é

V = (Área da base) · (altura).

Note que a altura é

h = |~w|. cos θ

h = |~w| 〈~u× ~v, ~w〉|~u× ~v| · |~w|

h =〈~u× ~v, ~w〉|~u× ~v|

e que a área da base é dada por Abase = |~u× ~v|. Logo

V = h ·Abase ⇒ V = 〈~u× ~v, ~w〉.

Se ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e ~w = (x3, y3, z3), podemos

reescrever o volume do paralelepípedo da seguinte forma

V = |(~u,~v, ~w)| = |〈~u,~v × ~w〉|

ou seja, V = |〈~u,~v × ~w〉|.

Exemplo 4.3.4 (Volume do Tetraedro). O volume do tetra-

edro (como ilustrado na gura (4.42)) é dado por

Vt =16

∣∣∣(−−→AB,−→AC,−−→AD)∣∣∣

e assim, se um tetraedro é formado pelos pontos A = (1, 2,−1),

B = (5.0, 1), C = (2,−1, 1) e D = (6, 1,−3) como vértices, temos

que ∣∣∣∣∣∣∣∣∣4 −2 2

1 −3 2

5 −1 −2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 36⇒ Vt =16|36|

Portanto, o volume do tetraedro é Vt = 6 u.v. .

76

Page 79: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

4AULA

4.4 Resumo

Nesta aula, conhecemos a denição vetorial entre vetores e suas

propriedades. Conhecemos também a possibilidade de usar o pro-

duto vetorial para representar a área de um paralelogramo. De-

nimos o produto misto e o representamos geometricamente como

o volume do paralelogramo formado por três vetores não todos

coplanares.

4.5 Atividades

1. Se ~u = (3,−1,−2), ~v = (2, 4,−1) e ~w = (−1, 0, 1), deter-

mine:

(a) |~u× ~v|;

(b) 2~v × 3~v;

(c) ~u× ~w + ~w × ~u;

(d) 〈~u,~v × ~w〉.

2. Determine o vetor ~x, tal que 〈~x, (1, 4,−3)〉 = −7 e ~x ×

(4,−2, 1) = (3, 5,−2).

3. Dados os vetores ~u = (3, 1, 1), ~v = (−4, 9, 3) e ~w = (1, 2, 0),

determine ~x de modo que ~x ⊥ ~w e ~x× ~u = −~v.

4. Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pelos

pontos P , Q e R e calcule a área do triângulo PQR.

(a) P = (3, 0, 0), Q = (0, 3, 0), R = (0, 0, 2)

(b) P = (2, 3, 0), Q = (0, 2, 1), R = (2, 0, 2)

77

Page 80: Vetores e Geometria Analítica

Produto de Vetores - Parte II

5. Fixando o sistema de coordenadas com a base canônica no

espaço, mostre que para quaisquer vetores ~u, ~v, ~w e ~t vale∣∣∣∣∣∣〈~u, ~w〉 〈~u,~t 〉

〈~v, ~w〉 〈~v,~t 〉

∣∣∣∣∣∣ = 〈~u× ~v, ~w × ~t 〉.

6. (Aplicação Física) O produto vetorial é uma importante

ferramenta utilizada na Física. Entre algumas das suas apli-

cações, podemos citar o torque. A equação para o cálculo do

O torque é uma gran-deza vetorial represen-tada pela letra gregaτ , que está relacionadaà posibilidade de umcorpo sofrer uma tor-ção ou alterar seu mo-vimento de rotação.

torque é

~τ = ~r × ~F

em que |~r| é a distância do ponto de aplicação da força ~F ao

eixo de rotação a que o corpo está vinculado.

• Calcule o torque sobre a barra AB em que−−→AB = ~r = 2~j

em metros, ~F = 10~i (em newtons) e o eixo de rotação

é o eixo−z.

4.6 Comentário das atividades

Ao resolver as atividades 1, 2 e 3, você entendeu a denição de

produto vetorial. Quanto às atividades 4, 5 e 6, se as concluiu,

você trabalhou as propriedades do produto vetorial. Caso não

78

Page 81: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

4AULA

tenha obtido sucesso na resolução das questões desta aula, lembre-

se sempre de que você dispõe de um tutor para tirar suas dúvidas.

Faço bom proveito deste recurso.

4.7 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

79

Page 82: Vetores e Geometria Analítica
Page 83: Vetores e Geometria Analítica

5AULA

2LIVRO

A Reta

META

Expor o conceito das equações

de retas no plano e espaço e suas

propriedades geométricas.

OBJETIVOS

Identicar a equação da reta nas

formas vetorial, paramétrica, simé-

trica e reduzida.

Reconhecer as propriedades geo-

métricas do paralelismo, retas aos

planos e eixos geométricos.

PRÉ-REQUISITOS

Para que você possa ter um bom de-

sempenho nesta aula, é necessário

que saiba reconhecer e efetuar pro-

dutos escalares e vetoriais entre ve-

tores, além de interpretar geometri-

camente esses produtos.

Page 84: Vetores e Geometria Analítica

A Reta

5.1 Introdução

Olá! Aos poucos estamos avançando nesta nossa caminhada pela

Geometria Analítica. Na aula passada, aprendemos o que é um

produto vetorial entre vetores e suas propriedades. Além disso,

vericamos que é possível utilizar esse produto para representar a

área de guras geométricas como o paralelogramo. Também apre-

sentamos a você a denição de produto misto, sua representação

geométrica e seu valor absoluto.

Nesta aula, vamos aprofundar nossos estudos sobre as retas.

Acredito que você já deve ter algum conhecimento a respeito delas,

pois já estudou um pouco de Geometria Analítica na 3a série do

Ensino Médio. Assim, vamos denir algumas formas de representá-

las no plano e também no espaço.

Em um dos postulados de sua obra "Os Elementos", Euclides

nos mostra que dados dois pontos distintos, existe uma única reta

que os contêm. Munidos deste pensamento, podemos não apenas

conrmar mas também denir equações vetoriais de retas no plano

e no espaço, além da equação paramétrica e reduzida da reta. Es-

tudaremos as propriedades do paralelismo entre retas, entre retas

e eixos coordenados e entre retas e planos coordenados, além de

ângulos constituídos entre retas.

5.2 Equação vetorial da reta

Consideremos um ponto A = (x1, y1, z1) e um vetor não nulo ~v =

(a, b, c). Seja r a reta que passa pelo ponto A e tem a direção de

~v. Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, o

82

Page 85: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

5AULA

vetor−→AP é paralelo a ~v, isto é,

−→AP = t~v (5.1)

para algum t ∈ R.

A partir da equação (5.1), vericamos que

P −A = t~v

ou ainda

P = A+ t~v, (5.2)

que em coordenadas ca

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) (5.3)

Qualquer uma das equações (5.1),(5.2) ou (5.3) é denominada

equação vetorial de r, o vetor ~v é chamado vetor diretor da

reta r e t é denominado o parâmetro.

Exemplo 5.2.1. A reta r que passa por A = (1,−1, 4) e tem a

direção de ~v = (2, 3, 2) tem equação vetorial de acordo com (5.3):

r : (x, y, z) = (1,−1, 4) + t(2, 3, 2)

em que (x, y, z) representa um ponto de r arbitrário. Para obter-

mos a reta, basta-nos fazer o parâmetro t variar sobre os números

reais.

t = 1 ⇒ P1 = (1,−1, 4) + 1 · (2, 3, 2) = (2, 3, 6)

t = 0 ⇒ P0 = (1,−1, 4)

t = −1 ⇒ P−1 = (−1,−4, 2)

t = 3 ⇒ P3 = (7, 8, 10)

83

Page 86: Vetores e Geometria Analítica

A Reta

Figura 5.43: P = A+ t~v.

Observação 7. A equação que representa a reta r no exemplo an-

terior não é única. Existem, na verdade, innitas equações, pois

basta tomar outro ponto de r em vez do ponto A, ou outro vetor

qualquer não nulo que seja múltiplo de ~v, por exemplo,

(x, y, z) = (1,−1, 4) + t(4, 6, 4)

é outra equação vetorial de r em que se utilizou o vetor 2~v =

(4, 6, 4) como vetor diretor em vez de ~v = (2, 3, 2).

5.3 Equações paramétricas da reta

Da equação vetorial da reta

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c)

ou ainda

(x, y, z) = (x1 + ta, x2 + tb, x3 + tc),

84

Page 87: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

5AULA

pela condição de igualdade, obtém-sex = x1 + at

y = y1 + bt

z = z1 + ct

(5.1)

As equações (5.1) são chamadas equações paramétricas da reta.

Exemplo 5.3.1. A reta r que passa pelo ponto A = (3,−4, 2) e é

paralela ao vetor ~v = (2, 1,−3), de acordo com (5.1), tem equações

paramétricas

r :

x = 3 + 2t

y = −4 + t

z = 2− 3t

5.4 Reta denida por dois pontos

A reta denida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou

por B) e tem a direção do vetor ~v =−−→AB.

Exemplo 5.4.1. Escrever equações paramétricas da reta r que

passa por A = (3,−1,−2) e B = (1, 2, 4).

Tomando o ponto A e o vetor ~v =−−→AB = B − A = (−2, 3, 6),

obtemos

r :

x = 3− 2t

y = −1 + 3t

z = −2 + 6t

Podemos, ainda, usando a equação paramétrica da reta, denir

uma parametrização para um segmento de reta.

Exemplo 5.4.2 (Equações Paramétricas de um Segmento

de Reta). Consideremos a reta r do exemplo (5.4.1) e nela o

85

Page 88: Vetores e Geometria Analítica

A Reta

segmento AB (origem A e extremidade B). As equações vetoriais

dos segmentos AB e BA com 0 ≤ t ≤ 1 são

P = A+ t(B −A) e (5.1)

P = B + t(A−B), (5.2)

respectivamente, em que P = (x, y, z) é um ponto arbitrário na

reta r.

Note que

t = 0 ⇒ P = A+ 0 · (B −A) = A

t = 1 ⇒ P = A+ 1 · (B −A) = B

para o segmento AB, enquanto para o segmento BA temos

t = 0 ⇒ P = B + 0 · (A−B) = B

t = 1 ⇒ P = B + 1 · (A−B) = A

Podemos ainda reescrever a equação (5.1) de modo equivalente

por

P = tB + (1− t)A. (5.3)

O mesmo ocorre para (5.2), tal que P = tA+ (1− t)B.

5.5 Equações simétricas da reta

Das equações paramétricas

x = x1 + at y = y1 + bt z = z1 + ct

supondo que abc 6= 0, temos

t =x− x1

at =

y − y1

bt =

z − z1c

86

Page 89: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

5AULA

Como cada ponto da reta é correspondente a um único valor de t,

temos quex− x1

a=y − y1

b=z − z1c

(5.1)

As equações (5.1) são denominadas equações simétricas da reta

que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem a direção do vetor

~v = (a, b, c).

Exemplo 5.5.1. A reta que passa pelo ponto A = (3, 0,−5) e tem

direção do vetor ~v = (2, 2,−1) tem equações simétricas

x− 32

=y

2=z + 5−1

Para obtermos os outros pontos da reta, basta atribuirmos um

valor a uma das variáveis. Por exemplo, para x = 5, temos

5− 32

= 1 =y

2=z + 5−1

y

2= 1

z + 5−1

= 1

e assim, y = 2 e z = −6. Portanto, o ponto (5, 2,−6) pertence à

reta r.

5.6 Equações reduzidas da reta

Da equação (5.1), temos que

x− x1

a=y − y1

be

x− x1

a=z − z1c

e assim podemos fazer

y = y1 +b

a(x− x1) e z = z1 +

c

a(x− x1).

Ou seja, podemos expressar y e z em função da variável x, e assim

constatamos que y e z podem ser da seguinte forma:

y = mx+ n e z = px+ q.

87

Page 90: Vetores e Geometria Analítica

A Reta

Deste modo, um ponto da reta pode ser encontrado usando P =

(x,mx+ n, px+ q), em que

m =b

ae n = y1 −

b

ax1

p =c

ae q = z1 −

c

ax1

Observação 8. O mesmo pode ser feito para qualquer das outras

duas variáveis(y e z), desde que abc 6= 0.

Exemplo 5.6.1. Seja a reta r denida pelo ponto A = (2,−4,−3)

e pelo vetor diretor ~v = (1, 2,−3) e expressa pelas equações simé-

tricas:

x− 21

=y + 4

2=z + 3−3

E assim, fazendo

x− 21

=y + 4

2e

x− 21

=z + 3−3

⇒ y = 2x− 8 e z = −3x+ 3.

Desta forma, podemos encontrar todos os pontos da reta, pois eles

obedecem a P = (x, 2x − 8,−3x + 3), ∀x ∈ R, em que P é um

ponto arbitrário na reta r.

ATENÇÃO

Apesar de todas as equações de reta no espaço (R3) denidas

e ilustradas nos exemplos desta aula, podemos sempre reduzir a

dimensão para o plano (R2), bastando-nos suprimir a variável z.

88

Page 91: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

5AULA

5.7 Paralelismo de retas relativo aos planos

e eixos coordenados

5.7.1 Retas paralelas aos planos coordenados

Uma reta é paralela a um dos planos xy, xz ou yz se seus vetores

diretores forem paralelos ao correspondente plano. Neste caso,

umas das componentes do vetor é nula.

Figura 5.44: r ‖ (plano − xy),

em que A = (−1, 2, 4) e ~v =

(2, 3, 0) (~v//plano− xy.

Figura 5.45: r passa por A =

(1, 5, 0) e ~v = (−1, 0, 2).

Perceba que para a gura (5.44) as equações paramétricas de

r são: x = −1 + 2t

y = 2 + 3t

z = 4

Mas no caso da gura (5.45), as equações paramétricas de r são:x = 1 −t

y = 5

z = 2t

89

Page 92: Vetores e Geometria Analítica

A Reta

Figura 5.46: A = (2, 3, 4) e ~v = (0, 0, 3).

5.7.2 Retas paralelas aos eixos coordenados

Uma reta é paralela a um dos eixos (eixo−x, eixo−y ou eixo−z)

se seus vetores diretores forem paralelos a ~i = (1, 0, 0) ou a ~j =

(0, 1, 0) ou a ~k = (0, 0, 1). Neste caso, duas das componentes

do vetor são nulas.

Exemplo 5.7.1. Seja r a reta que passa por A = (2, 3, 4) e tem a

direção do vetor ~v = (0, 0, 3). Como a direção de ~v é a mesma de

~k, pois ~v = 3~k, a reta r é paralela ao eixo eixo− z. A reta r pode

ser representada pelas equações

x = 2

y = 3

z = 4 + 3t

As guras (5.47) e (5.48) apresentam retas que passam por

A = (x1, y1, z1) e são paralelas aos eixos eixo − y e eixo − x, res-

90

Page 93: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

5AULA

pectivamente. Suas equações são, de forma respectiva,x = x1

y = y1 + k · t

z = z1

e

x = x1 + k · t

y = y1

z = z1,

com k ∈ R xo e t parâmetro.

Figura 5.47: A = (x1, y1, z1) e

~v = ~j.

Figura 5.48: A = (x1, y1, z1) e

~v = ~k.

5.8 Mais algumas propriedades

Denição 5.22 (Ângulos de Duas Retas). Sejam as retas r1 e

r2 com as direções de ~v1 e ~v2, respectivamente. Chama-se ângulo

de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1

e de um vetor diretor de r2. Sendo θ este ângulo, então

cos θ =|〈~v1, ~v2〉||~v1| |~v2|

com 0 ≤ θ ≤ .π2

(5.1)

Exemplo 5.8.1. Calcular o ângulo entre as retas

r1 :

x = 3 + t

y = t

z = −1− 2t

e r2 :x+ 2−2

=y − 3

1=z

1

91

Page 94: Vetores e Geometria Analítica

A Reta

Perceba que os vetores diretores de r1 e r2 são, respectiva-

mente, ~v1 = (1, 1−2) e ~v2 = (−2, 1, 1). Da equação (5.1) podemos

depreender que

cos θ =|〈~v1, ~v2〉||~v1| |~v2|

=|〈(1, 1,−2), (−2, 1, 1)〉||(1, 1,−2)| |(−2, 1, 1)|

=| − 2 + 1− 2|√

6√

6=

12

Portanto, θ = arc cos(

12

)=π

3rad = 60o.

Denição 5.23 (Retas Ortogonais). Sejam as retas r1 e r2

com as direções de ~v1 e ~v2, respectivamente. Então

r1 ⊥ r2 ⇔ 〈~v1, ~v2〉 = 0

Figura 5.49: r1 ‖ r2, embora r1 ⊥ r.

Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. No en-

tanto, apesar de ambas as retas r1 e r2 da gura (5.23) serem

ortogonais a r, não são concorrentes, a r e sim perpendiculares.

Exemplo 5.8.2. Portanto, as retas r1 e r2 dadas a seguir são

92

Page 95: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

5AULA

ortogonais. x = t

y = −2t+ 1

z = 4t

e

x = 3− 2t

y = 4 + t

z = t

Pois sendo ~v1 = (1,−2, 4) e ~v2 = (−2, 1, 1) vetores diretores de r1

e r2 e

〈~v1, ~v2〉 = 1(−2)− 2(1) + 4(1) = 0,

as retas r1 e r2 são ortogonais.

Denição 5.24 (Retas ortogonais a Duas retas). Sejam as

retas r1 e r2 não paralelas, com as direções de ~v1 e ~v2, respectiva-

mente, então toda reta r simultaneamente ortogonal a r1 e r2 terá

a direção de um vetor ~v, tal que 〈~v,~v1〉 = 0

〈~v,~v2〉 = 0(5.2)

Ao invés de assumirmos ~v 6= ~0 como uma solução particular de

(5.2), poderíamos usar

~v = ~v1 × ~v2 (5.3)

como vetor diretor da reta r, bastando conhecer um de seus pontos.

Exemplo 5.8.3. Determinar equações paramétricas da reta r que

passa pelo ponto A = (3, 4,−1) e é ortogonal às retas

r1 : (x, y, z) = (0, 0, 1) + t(2, 3,−4) e r2 :

x = 5

y = t

z = 1− t.

As direções de r1 e r2 são denidas pelos vetores ~v1 = (2, 3,−4)

93

Page 96: Vetores e Geometria Analítica

A Reta

e ~v2 = (0, 1,−1). Assim,

~v1 × ~v2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

2 3 −4

0 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 2, 2)

Portanto, r :

x = 3 + t

y = 4 + 2t

z = −1 + 2t

Exemplo 5.8.4 (Interseção de Duas Retas). Vamos veri-

car se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso armativo,

determinar o ponto de interseção:

(a)

r1 :

x = 3 + h

y = 1 + 2h

z = 2− h

e r2 :

x = 5 + 3t

y = −3− 2t

z = 4 + t

(b)

r1 :

y = x

z = 1− xe r2 :

x = −t

y = 1 + t

z = 2t

(c)

r1 :

y = x+ 2

z = −x− 1e r2 :

x+ 1−2

=y − 1−2

=z + 1

2.

Se existir um ponto (x, y, z) comum às duas retas, suas coor-

denadas obedecem a todas as equações de r1 e r2.

Solução:(a) Igualando as expressões, temos que3 + h = 5 + 3t

1 + 2h = −3− 2t

2− h = 4 + t

h− 3t = 2

2h+ 2t = −4

−h− t = 2

94

Page 97: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

5AULA

Portanto, a solução é h = t = −1 e, assim, (2,−1, 3) o ponto

de interseção entre as retas r1 e r2.

Solução:(b) Fazendo as devidas substituições, temos o sistema

1 + t = −t

2t = 1 + t

A partir disso, constatamos que t = − 12e t = 1. Portanto,

como o sistema não tem solução, não existe um ponto de

interseção.

Solução:(c) Observe que os vetores diretores de r1 e r2 são, respectiva-

mente, ~v1 = (1, 1,−1) e ~v2 = (−2,−2, 2), ou seja, ~v2 = −2~v1.

Portanto, as retas são paralelas e não coincidentes, pois o

ponto (0, 2,−1) ∈ r1, mas (0, 2,−1) /∈ r2. E assim, não

existe um ponto de interseção entre as retas r1 e r2.

5.9 Resumo

Nesta aula, denimos a equação vetorial da reta e, para isso, usa-

mos apenas um vetor e um ponto do plano (ou do espaço) para

deni-la. Conhecemos outra forma de representá-la, isto é, atra-

vés de sua equação paramétrica, descrita por algumas equações

que dependem de apenas um parâmetro. Com base na denição

da equação vetorial da reta, denimos também uma reta por dois

pontos e um segmento parametrizado. Conhecemos propriedades

importantes das retas, como o paralelismo de retas relativo aos

planos e eixos coordenados, e ângulos entre duas retas.

95

Page 98: Vetores e Geometria Analítica

A Reta

5.10 Atividades

1. Determine uma equação vetorial da reta r denida pelos pon-

tos A = (2,−3, 4) e B = (1,−1, 2) e verique se os pontos

C = (52,−4, 5) e D = (−1, 3, 4) pertencem à r.

2. Dada a reta r : (x, y, z) = (−1, 2, 3) + t(2,−3, 0), escreva

equações paramétricas de r.

3. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos

pontos A e B nos seguintes casos:

(a) A = (1,−1, 2) e B = (2, 1, 0);

(b) A = (0, 0, 0) e B = (0, 1, 0).

4. O ponto P = (m, 1, n) pertence à reta que passa por A =

(3,−1, 4) e B = (4,−3,−1). Detemine P .

5. Verique se os pontos P1 = (5,−5, 6) e P2 = (4,−1, 12)

pertencem à reta

r :x− 3−1

=y + 1

2=z − 2−2

.

6. Determine o ponto da reta r :x− 1

2=y + 3−1

=z

4que tem:

(a) abscissa 5;

(b) ordenada 2.

7. Determine o ângulo entre as retas:

r1 :

x −2− t

y = t

z = 3− 2t

e r2 :x

2=y + 6

1=z − 1

1

96

Page 99: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

5AULA

8. Determine o valor de n para que seja de 30o o ângulo entre

as retas

r1 :

y = nx+ 5

z = 2x− 2e r2 :

x− 24

=y

5=z

3

9. Verique se as retas a seguir são concorrentes e, em caso

armativo, encontre o ponto de interseção:

r1 :

x = 2− t

y = 4− t

z = −t

e r2 :

x = −3 + 6h

y = 1 + 7h

z = −1 + 13h

5.11 Comentário das atividades

Se você entendeu a denição de equação vetorial da reta, então

conseguiu fazer as atividades 1,2 e 3. Se resolveu a atividade 4,

entendeu o conceito de equação de reta denida por dois pontos.

Quanto às questões 5 e 6, pôde concluí-las? Então você compreen-

deu a denição de equação simétrica da reta. Se fez as atividades 7,

8 e 9, então entendeu os conceitos de equação paramétrica da reta,

ângulo entre duas retas e interseção entre retas, respectivamente.

5.12 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

97

Page 100: Vetores e Geometria Analítica
Page 101: Vetores e Geometria Analítica

6AULA

2LIVRO

O Plano

META

Apresentar a denição de equações

de planos no espaço e suas proprie-

dades geométricas.

OBJETIVOS

Identicar a equação do plano

nas formas vetorial, paramétrica,

simétricas e reduzidas.

Reconhecer as propriedades geomé-

tricas do paralelismo e perpendicu-

larismo entre planos e entre planos

e retas.

PRÉ-REQUISITOS

Saber identicar a equação da reta

nas formas em que foram apresenta-

das na aula anterior e reconhecer as

propriedades geométricas do parale-

lismo.

Page 102: Vetores e Geometria Analítica

O Plano

6.1 Introdução

Olá! Na aula passada, vericamos que é possível denir a equação

vetorial da reta utilizando apenas um vetor e um ponto do plano.

Além disso, aprendemos a representar a reta a partir da sua equa-

ção paramétrica, denir uma reta por dois pontos e um segmento

parametrizado. Também foi possível conhecer as propriedades das

retas.

O principal assunto a ser discutido nesta aula é o plano, que

será estudado sobre o espaço tridimensional. Além disso, iremos

conhecer as suas equações geral, vetorial e paramétrica, bem como

suas propriedades.

6.2 Equação geral do plano

Seja A = (x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano Π e ~v =

(a, b, c), ~v 6= ~0, um vetor ortogonal ao plano.

Como ~v ⊥ Π, ~v é normal (ortogonal) a todo vetor representado

em Π, então um ponto P = (x, y, z) ∈ Π se, e somente se, o vetor−→AP é ortogonal a ~v, isto é,

〈~v, P −A〉 = 0 (6.1)

ou 〈(a, b, c), (x− x1, y− y1, z− z1)〉 = 0⇒ a(x− x1) + b(y− y1) +

c(z − z1) = 0, ou ainda ax+ by + cz − ax1 − by1 − cz1 = 0. Como

100

Page 103: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

6AULA

−ax1 − by1 − cz1 = d não depende de x, y ou z, obtemos

ax+ by + cz + d = 0 (6.2)

Esta é a equação geral do plano Π.

Observação 9. 1. Como ~v = (a, b, c) é normal a Π, ∀λ ∈ R−0,

λ~v é também vetor normal ao plano.

2. Perceba que na equação (6.2) os coecientes a, b, c são coor-

denadas do vetor normal ao plano ~v = (a, b, c).

3. Para determinar pontos do plano, basta que se atribua va-

lores para duas de suas variáveis, deixando uma delas livre.

Por exemplo, no plano de equação geral 2x− 3y + z − 1 = 0

temos que se x = 1 e y = 0, então

z = −2x+ 3y + 1 = −2(1) + 3(0) + 1 = −1,

portanto, o ponto P = (1, 0,−1) ∈ Π.

Veja ainda que:

• se P = (x0, y0, z0) ∈ Π, tal que

ax0 + by0 + cz0 + d = 0⇒ d = 0

,

dizemos que P é a origem do plano Π.

• Se o plano Π contém o ponto (0, 0, 0), então a equação geral

do plano será dada por

ax+ by + cz = 0.

Pois a(0) + b(0) + c(0) + d = 0⇒ d = 0.

101

Page 104: Vetores e Geometria Analítica

O Plano

Exemplo 6.2.1. Qual é a equação geral da reta que passa pelo

ponto P = (1, 1,−1) e tem como vetor normal ~u = (2,−1, 3)?

Como a equação geral do plano é dada por

ax+ by + cz + d = 0,

temos que 2x + (−1)y + 3z + d = 0, pois ~u é o vetor normal. E

ainda,

2(1)− 1(1) + 3(−1) + d = 0⇒ d = 2,

portanto, a equação geral do plano que passa por P = (1, 1,−1) e

tem vetor normal ~u é 2x− y + 3z + 2 = 0.

6.3 Equação vetorial e Equações paramétri-

cas do plano

Sejam A = (x0, y0, z0) um ponto do plano Π e ~u = (a1, b1, c1), ~v =

(a2, b2, c2) vetores paralelos a Π, mas não parelalos entre si.

Para todo ponto P ∈ Π, os vetores−→AP, ~u e ~v são coplanares.

Um ponto P = (x, y, z) ∈ Π se, e somente se, existem h, t ∈ R, tal

que

P −A = h~u+ t~v,

ou

P = A+ h~u+ t~v,

ou ainda,

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2), h, t ∈ R (6.1)

102

Page 105: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

6AULA

A equação (6.1) é chamada de equação vetorial do plano Π

e os vetores ~u e ~v são os vetores diretores de Π.

A partir da equação 6.1), obtemosx = x0 + a1h+ a2t

y = y0 + b1h+ b2t

z = z0 + c1h+ c2t, h, t ∈ R

(6.2)

As equações (6.2) são conhecidas como equações paramétri-

cas do plano Π, em que h e t são conhecidas como parâmetros.

Exemplo 6.3.1. O plano Π que passa pelo ponto P = (1,−1, 1)

e é paralelo aos vetores ~u = (2, 1,−1) e ~v = (2,−1, 0) tem como

equação vetorial

(x, y, z) = (1,−1, 1) + h(2, 1,−1) + t(2,−1, 0)

,

e sua equação paramétrica será dada porx = 1 + 2h+ 2t

y = −1 + 1h− t

z = 1− h+ (0)t, h, t ∈ R

Exemplo 6.3.2 (Equação vetorial de um paralelogramo).

Dados os pontos A, B e C não em linha reta, os vetores−−→AB e

−→AC

determinam o paralelogramo cuja equação vetorial é

P = A+ h(−−→AB) + t(

−→AC)

103

Page 106: Vetores e Geometria Analítica

O Plano

ou

P = A+ h(B −A) + t(C −A) , com h, t ∈ [0, 1], (6.3)

em que P representa um ponto qualquer desse paralelogramo.

6.4 Mais algumas propriedades

Denição 6.25 (Ângulos de dois Planos). Sejam os planos

Π1 e Π2, com vetores normais ~v1 e ~v2, respectivamente. Chama-se

ângulo de dois planos o menor ângulo formado entre o vetor

normal a Π1 e o vetor normal a Π2. Se θ for esse ângulo, então

temos

cos θ =|〈~v1, ~v2〉||~v1| |~v2|

com 0 ≤ θ ≤ π

2(6.1)

Exemplo 6.4.1. Veja os planos

Π1 : 2x+ y − z + 1 = 0 e Π2 : x+ y − 2 = 0

Sendo ~v1 = (2, 1,−1) e ~v2 = (1, 1, 0) os vetores normais aos planos

Π1 e Π2, respectivamente, e pela denição dada por (6.1), temos

que

cos θ =|〈(2, 1,−1), (1, 1, 0)〉||(2, 1,−1) |(1, 1, 0)|

=|2 + 1 + 0|√

6√

2

Portanto, cos θ =√

32⇒ θ = arc cos

√3

2, e assim, sabendo que

0 ≤ θ ≤ π

2, obtemos θ =

π

6.

104

Page 107: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

6AULA

Denição 6.26 (Planos Perpendiculares). Consideremos dois

planos, Π1 e Π2, e sejam ~v1 e ~v2 seus respectivos vetores normais.

Π1 ⊥ Π2 ⇔ ~v1 ⊥ ~v2 ⇔ 〈~v1, ~v2〉 = 0 (6.2)

Dados os planos

Π1 : 2x+ y − z + 1 = 0 e Π3 : x+ 2z − 2 = 0

,

vericamos que eles são perpendiculares, pois 〈(2, 1,−1), (1, 0, 2)〉 =

2(1) + 1(0) + (−1)(2) = 2− 2 = 0. Mas já os planos

Π1 : 2x+ y − z + 1 = 0 e Π2 : x+ y − 2 = 0

,

como vericamos no exemplo (6.4.1), não são perpendiculares,

pois o ângulo entre eles é θ =π

66= 0.

Denição 6.27 (Paralelismo e Perpendicularismo entre

Reta e Plano). Seja r uma reta com a direção de ~u e um plano

Ω com vetor normal ~n, então temos que

r ‖ Ω⇔ ~v ⊥ ~n⇔ 〈~v, ~n〉 = 0 (6.3)

r ⊥ Ω⇔ ~v ‖ ~n⇔ ~v = λ~n, para algum λ ∈ R (6.4)

105

Page 108: Vetores e Geometria Analítica

O Plano

Figura 6.50: r ‖ Ω Figura 6.51: r ⊥ Ω

Observação 10 (Reta Contida em Plano). Sejam r uma reta

e Π um plano,r ⊂ Π se:

• dois pontos A,B ∈ r e também A,B ∈ Π.

• 〈~v, ~n〉 = 0, em que ~v é o vetor diretor de r, ~n o vetor normal

a Π e o ponto A arbitrário, sendo A ∈ r ∩Π.

Exemplo 6.4.2. Dados a reta r e o plano Ω, determinar o valor

de m para que r ‖ Ω ( e para r ⊥ Ω), a partir dos seguintes valores

r :

x = −3 + t

y = −1 + 2t

z = 4t

e Π : mx− y − 2z − 3 = 0

Para isso, veja que ~v = (1, 2, 4) é o vetor diretor de r e ~n =

(m,−1,−2) é o vetor normal ao plano Ω. Assim, para que r ⊥

Ω⇒ ~v = λ~n

⇒ (1, 2, 4) = λ(m,−1−2)⇒

1 = mλ

2 = (−1)λ

4 = (−2)λ

⇒ λ = −2⇒ m = −12

106

Page 109: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

6AULA

Portanto, para que r ‖ Ω, deve-se ter que m = −12. No caso de

r ⊥ Ω⇒ 〈~v, ~n〉 = 0, então,

〈(1, 2, 4), (m,−1,−2)〉 = m+2(−1)+4(−2) = 0⇔ m−10 = 0⇔ m = 10.

Logo, r ⊥ Ω⇔ m = 10.

6.4.1 Interseção (entre planos e entre retas e planos)

Sejam os planos não paralelos Π e Ω. A interseção entre dois planos

não paralelos é uma reta r cuja equação deseja-se determinar. Para

tanto, como r está contida em Π ∩Ω, as coordenadas de qualquer

ponto (x, y, z) ∈ r devem satisfazer as equações de Π e Ω

Exemplo 6.4.3. Sendo Π : 5x−y+z−5 = 0 e Ω : x+y+2z−7 = 0,

devemos encontrar valores para x, y e z, tal que obedeçam às

equações 5x− y + z = 5

x+ y + 2z = 7⇒

y = 3x− 1

z = −2x+ 4

que são as equações reduzidas da reta r.

Exemplo 6.4.4. Para determinar o ponto de interseção da reta r

com o plano Ω, em que

r :

x = −1 + 2t

y = 5 + 3t

z = 3− t

e Ω : 2x− y + 3z − 4 = 0,

observamos que qualquer ponto de r é dado por (x, y, z) = (−1 +

2t, 5 + 3t, 3 − t). E se um ponto da reta r também pertencer ao

plano Ω, temos que

2(−1 + 2t)− (5 + 3t) + 3(3− t)− 4 = 0⇒ −2t− 2 = 0⇒ t = −1

107

Page 110: Vetores e Geometria Analítica

O Plano

E substituindo nas equações paramétricas da reta r:x = −1 + 2(−1)

y = 5 + 3(−1)

z = 3− (−1)

x = −3

y = 2

z = 4

Portanto, o ponto de interseção entre a reta r e o plano Ω é

(−3, 2, 4). Veja ainda que 2(−3)−(2)+3(4)−4 = −6−2+12−4 = 0

⇒ (−3, 2, 4) ∈ Ω.

6.5 Resumo

Nesta aula, denimos a equação geral do plano e, como conseqüên-

cia, também denimos outras formas de representá-lo através de

suas equações vetoriais e paramétricas. Abordamos algumas das

suas propriedades, como o ângulo de dois planos e condições de

paralelismo e perpendicularismo entre retas e planos. Além disso,

aprendemos que a interseção entre dois planos é representada por

uma reta contida em ambos.

6.6 Atividades

1. Obtenha uma equação para o plano que contém o ponto P e

é perpendicular ao vetor que tem como extremos do pontos

A e B nos seguintes casos:

(a) P = (0, 0, 0), A = (1, 2, 3), B = (2,−1, 2);

(b) P = (1, 1,−1), A = (3, 5, 2), B = (7, 1, 12);

(c) P = (3, 3, 3), A = (2, 2, 2), B = (4, 4, 4);

(d) P = (x0, y0, z0), A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2).

108

Page 111: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

6AULA

2. Determine a equação geral dos seguintes planos:

(a) paralelo ao plano Π : 2x−3y−z+5 = 0 e que contenha

o ponto A = (4,−2, 1);

(b) perpendicular à reta

r :

x = 2 + 2t

y = 1− 3t

z = 4t

e que contenha o ponto A = (−1, 2, 3).

3. Determine o valor de m para que seja de 30o o ângulo entre

os planos

Π1 : x+my + 2z − 7 = 0 e Π2 : 4x+ 5y + 3z + 2 = 0

4. Determine o valor de n, de modo que os planos

Π1 : nx+ y − 3z − 1 = 0 e Π2 : 2x− 3ny + 4z + 1 = 0

sejam perpendiculares.

5. Sejam A = (3, 1, 3), B = (5, 5, 5), C = (5, 1,−2) e D =

(8, 3,−6). Mostre que as retas AB e CD são concorrentes e

encontre uma equação para o plano que as contém.

6. O plano Π contém o ponto A = (a, b, c) e a distância da

origem a Π é√a2 + b2 + c2. Encontre uma equação desse

plano.

6.7 Comentário das atividades

Concluiu a atividade 1? Então entendeu a denição de Equação

geral do plano. Se resolveu a questão 2, você trabalhou a denição

109

Page 112: Vetores e Geometria Analítica

O Plano

de Equação paramétrica do plano. E as atividades 3 e 4, conseguiu

encontrar um resultado satisfatório para elas? Em caso armativo,

você entendeu o conceito de ângulo entre planos. Para resolver 5 e

6, é necessário ter utilizado os conceitos de retas contidas em um

plano e interseção entre retas e planos.

6.8 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

110

Page 113: Vetores e Geometria Analítica

7AULA

2LIVRO

Distâncias

META

Demonstrar algumas fórmulas do cál-

culo de distância entre pontos, ponto e

reta, retas, planos, reta e plano; além

das formas de obtê-las.

OBJETIVOS

Identicar as fórmulas do cálculo de

distância entre pontos, ponto e reta,

retas, planos, reta e plano; além da

forma de obtê-las.

PRÉ-REQUISITOS

É necessário que tenha apreendido

a identicar a equação do plano nas

formas vetorial, paramétrica, simétrica

e reduzidas. Além disso, é fundamental

reconhecer as propriedades geométricas

do paralelismo e perpendicularismo

entre planos e entre planos e retas .

Page 114: Vetores e Geometria Analítica

Distâncias

7.1 Introdução

Olá! Esperamos que os conteúdos apresentados até agora tenham

sido produtivos para você. Na aula passada, denimos a equa-

ção geral do plano e outras formas de representá-lo, através das

equações vetoriais e paramétricas do plano. Além disso, pude-

mos observar algumas propriedades do plano, como o ângulo de

dois planos e as condições de paralelismo e perpendicularismo en-

tre retas e planos. Vericamos também que a intersecção entre

dois planos é representada por uma reta contida em ambos. Nesta

aula, munidos dos conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores,

conheceremos as distâncias entre objetos geométricos que já nos

são familiares, ou seja, distância entre pontos, retas e planos.

7.2 Distância de ponto à reta

Na Aula 3, já nos foi apresentada a denição de distância entre

dois pontos. Agora, queremos encontrar a distância de um ponto

a uma reta. Assim, considere numa reta r um ponto A e um vetor

diretor ~v. Os vetores ~v e−→AP determinam um paralelogramo cuja

altura corresponde à distância d(P, r). A área desse paralelogramo

é dada por

Área = |~v| · d ou também, (7.1)

Área = |~v ×−→AP | (7.2)

Comparando as equações (7.1) e (7.2), percebemos que

d = d(P, r) =|~v ×

−→AP ||~v|

(7.3)

112

Page 115: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

7AULA

Figura 7.52: d =|~v × ~AP ||~v|

Exemplo 7.2.1. Dados o ponto P = (1,−1, 1) e a reta

r :

x = t

y = −t

z = 2

,

qual é a distância entre eles?

Para respondermos a esta pergunta, consideremos a reta r que

passa pelo ponto A = (0, 0, 2) (para este ponto, t = 0) e seu

vetor diretor ~v = (1,−1, 0). Seja ainda o vetor−→AP = P − A =

(1,−1,−1). Assim,

~v ×−→AP =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

1 −1 0

1 −1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (1, 1, 0)

⇒ d(P, r) =|(1, 1, 0)||(1,−1, 0)|

=√

2√2

= 1u. c.

7.3 Distância de ponto a plano

Agora você já sabe como encontrar a distância de um ponto a uma

reta. O que achou disso? Foi difícil acompanhar o nosso raciocínio?

113

Page 116: Vetores e Geometria Analítica

Distâncias

Esperamos que não tenha tido maiores diculdades. Uma vez que

você superou esta primeira fase, vamos vericar como se encontra

a distância de um ponto a um plano.

Dados um ponto qualquer A0 no espaço (de preferência, não

pertencente ao plano), um ponto A pertencente a um plano Π e

seja ~n um vetor normal a Π, a distância d(A0,Π) é o módulo da

projeção de−−→AA0 na direção de ~n.

De fato, como ilustramos na gura (7.3), percebemos que

d(A0,Π) =∣∣∣proj ~n

−−→AA0

∣∣∣ =∣∣∣∣〈−−→AA0,

~n

|~n|〉∣∣∣∣ (7.1)

Supondo A0 = (x0, y0, z0), Π : ax + by + cz + d = 0 e A =

(x1, y1, z1) ∈ Π, e sendo

−−→AA0 = (x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1) e

~n

|~n|=

(a, b, c)√a2 + b2 + c2

,

pela equação (7.1), temos

d(A0,Π) =∣∣∣∣〈(x0 − x1, y0 − y1, z0 − z1),

(a, b, c)√a2 + b2 + c2

〉∣∣∣∣

d(A0,Π) =|ax0 + by0 + cz0 − ax1 − by1 − cz1|√

a2 + b2 + c2

Mas como A = (x1, y1, z1) ∈ Π e Π : ax+ by+ cz+ d = 0, signica

que

d = −ax1 − by1 − cz1

114

Page 117: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

7AULA

e assim,

d(A0,Π) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2(7.2)

é a distância de um ponto A0 a um plano Π.

Exemplo 7.3.1. Qual a distância entre o ponto A0 = (2,−1, 2) e

o plano Ω : 2x− 2y − z + 3 = 0 ?

Veja que

d(A0,Ω) =|2(2)− 2(−1)− 1(2) + 3|√

22 + (−2)2 + (−1)2=

73

Portanto, a distância entre o ponto A0 e o plano Ω é de 7/3 u.c.

.

Exemplo 7.3.2. Dados a reta

r :

y = 2x+ 3

z = 2x+ 1

e o plano Π : 4x− 4y + 2z − 7 = 0, vamos determinar a distância

entre eles.

Para isso, observamos primeiro que

〈~v, ~n〉 = 〈(1, 2, 2), (4,−4, 2)〉 = 4− 8 + 4 = 0 ⇒ r ‖ Π,

em que ~v = (1, 2, 2) é o vetor diretor de r e ~n = (4,−4, 2) é o vetor

normal ao plano Π. Sendo A um ponto qualquer de r, neste caso

iremos tomar x = 0 e assim, A = (0, 3, 1) ∈ r. Então,

d(A,Π) =|4(0)− 4(3) + 2(1)− 7|√

42 + (−4)2 + 22=

17√36

=176

Logo, a distância entre a reta r e o plano Π é 17/6 u.c. .

115

Page 118: Vetores e Geometria Analítica

Distâncias

Figura 7.53: d é obtido de forma análoga na gura (7.52), porém,

no plano.

7.3.1 Distâncias de ponto à reta no plano

Para encontrar a distância de um ponto A0 a uma reta r no plano,

devemos proceder de forma similar à utilizada na seção anterior.

Dados um ponto qualquer A0 no plano (de preferência, não

pertencente à reta r), um ponto A pertencente à reta r e seja ~v um

vetor diretor de r, a distância d(A0, r) é o módulo da projeção de−−→AA0 na direção de ~v. Analogamente ao que foi feito anteriormente,

veja que

d(A0, r) =∣∣∣proj ~v

−−→AA0

∣∣∣ =∣∣∣∣〈−−→AA0,

~v

|~v|〉∣∣∣∣ (7.3)

Supondo A0 = (x0, y0), r : ax + by + c = 0 e A = (x1, y1) ∈ r, e

sendo

−−→AA0 = (x0 − x1, y0 − y1) e

~v

|~v|=

(a, b)√a2 + b2

,

pela equação (7.3) temos

d(A0, r) =∣∣∣∣〈(x0 − x1, y0 − y1),

(a, b)√a2 + b2

〉∣∣∣∣

d(A0, r) =|ax0 + by0 − ax1 − by1|√

a2 + b2

116

Page 119: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

7AULA

Mas como A = (x1, y1) ∈ r e que r : ax+ by + c = 0, signica que

c = −ax1 − by1

e assim,

d(A0, r) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2(7.4)

Esta é a distância de um ponto A0 a uma reta r no plano.

Exemplo 7.3.3. Qual é a distância entre o ponto A0 = (1, 2) e a

reta r : y = x− 1 ?

Perceba que y = x + 1 ⇒ −x + y + 1 = 0. Assim, se ~v =

(1,−1) é o vetor diretor de r, considerando que x = 1, temos que

y = 1− 1 = 0 e, portanto, A = (1, 0). Então

d(A0, r) =| − 1(1) + 1(2) + 1|√

(−1)2 + 12=

2√2

=√

22

Portanto, a distância entre o ponto A0 e a reta r é

√2

2unidades

de comprimento.

7.4 Distância entre duas retas

Dadas a retas r1 e r2, com respeito à distância entre elas, temos:

(i) r1 e r2 são retas concorrentes,

d(r1, r2) = 0.

(ii) r1 e r2 são retas paralelas, neste caso:

(a) d(r1, r2) = d(P, r2), com P ∈ r1;

(b) d(r1, r2) = d(P, r1), com P ∈ r2.

117

Page 120: Vetores e Geometria Analítica

Distâncias

Figura 7.54: r1 ‖ r2

(iii) r1 e r2 são retas reversas. Sejam r1 a reta denida pelo

ponto A1 e pelo vetor diretor ~v1 e a reta r2 a reta denida pelo

ponto A2 e pelo vetor diretor ~v2. Os vetores ~v1, ~v2 e−−−→A1A2

não são coplanares,e assim determinam um paralelepípedo

cuja altura é a distância d(r1, r2).

Figura 7.55: r1 e r2 são retas reversas.

Lembre-se de que o volume V do paralelogramo é dado por

V = (área da base) · (altura) = |~v1 × ~v2| · d (7.1)

ou ainda,

V = |(~v1, ~v2,−−−−→A1, A2)| (7.2)

e assim,

d = d(r1, r2) =

∣∣∣(~v1, ~v2,−−−→A1A2)∣∣∣

|~v1 × ~v2|(7.3)

118

Page 121: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

7AULA

Exemplo 7.4.1. Calcular a distância entre as retas

r1 :

x = 2− t

y = 3 + t

z = 1− 2t

e r2 :

x = t

y = −1− 3t

z = 2t

Na reta r1, tomamos o ponto A1 = (2, 3, 1) (quando t = 0

em r1) e o vetor diretor ~v1 = (−1, 1,−2), enquanto que em r2,

tomamos o ponto A2 = (0, 1, 0) (quando t = 0 em r2) e o vetor

diretor ~v2 = (1,−3, 2). Assim,−−−→A1A2 = A2 −A1 = (−2,−2,−1) e

(~v1, ~v2,−−−→A1A2) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1 1 −2

1 −3 2

−2 −2 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 6

e ainda temos que

~v1 × ~v2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

−1 1 −2

1 −3 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−4, 0, 2)

Usando a denição para a distância entre duas retas dadas em

(7.3), obtemos

d(r1, r2) =|6|

|(−4, 0, 2)|=

6√20

=3√5

Portanto, a distância entre as retas r1 e r2 é3√5u.c. .

7.5 Resumo

Inspirados na denição de distância entre dois pontos, nesta aula,

conhecemos uma forma de encontrar a distância entre ponto e reta

119

Page 122: Vetores e Geometria Analítica

Distâncias

e expandimos os nossos estudos para a distância entre ponto e

plano. Além disso, abordamos algumas possibilidades de calcular

a distância entre retas.

7.6 Atividades

1. Achar a distância de P1 a P2 nos casos a seguir:

(a) P1 = (−2, 1) e P2 = (1, 2);

(b) P1 = (−2, 0, 1) e P2 = (1,−3, 2);

(c) P1 = (1, 0, 1) e P2 = (2,−1, 0).

2. Achar a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos.

(a) P = (1,−1) e r : 2x− y + 1 = 0;

(b) P = (2, 3,−1) e r :

x = 3 + t

y = −2t

z = 1− 2t

;

(c) P = (1,−1, 0) e r :

x = 2− t

y = 0

z = t

;

3. Qual é a distância da origem à reta 5x− 2y = 8?

4. Qual é o raio da circunferência que tem centro no ponto

P = (4, 1) e é tangente à reta 3x+ 7y − 2 = 0?

5. Achar a distância do ponto P = (3,−1, 4) ao plano Π :

x+ y + z = 0.

6. Qual é o ponto do plano Π : 2x−3y+z−5 = 0 mais próximo

do ponto P = (1, 3, 1)?

120

Page 123: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

7AULA

7. Calcular a distância entre os dois planos paralelos a seguir:

Π1 : x+ y + z − 4 = 0 e Π2 : 2x+ 2y + 2z − 5 = 0

8. Qual a distância entre as retas r :

x = 3 + t

y = 2− 2t

z = 1− 2t

e o eixo−z?

7.7 Comentário das Atividades

Você conseguiu concluir a atividade 1? Então entendeu a denição

de distância entre dois pontos. E as questões 2,3 e 4? Se conseguiu

resolvê-las, então entendeu a denição de distância entre ponto e

reta. As atividades 5, 6 e 7, se as resolveu, então você entendeu

a denição da distância entre ponto e plano. Quanto à atividade

8, você deve ter usado a denição de distância entre retas para

resolvê-la.

7.8 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

121

Page 124: Vetores e Geometria Analítica
Page 125: Vetores e Geometria Analítica

8AULA

2LIVRO

Cônicas - Parte I

META

Introduzir a denição de parábola e

suas propriedades.

OBJETIVOS

Identicar a parábola no plano.

Comparar algumas formas de re-

presentar a parábola no plano com

base nas suas equações reduzidas e

equações paramétricas.

PRÉ-REQUISITOS

Para que você possa ter um bom

desempenho nesta aula, é necessário

que tenha apreendido os conteúdos

das aulas anteriores, desde a pri-

meira até a sétima.

Page 126: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte I

8.1 Introdução

Olá! Como estão as suas leituras? Está se dedicando bastante

aos conteúdos de nossas aulas? Esperamos que sim. É sempre

bom lembrar que há um tutor a sua disposição para esclarecer as

dúvidas. Não se esqueça disso. Então, vamos em frente!

Na aula passada, conhecemos uma forma de encontrar a distân-

cia entre ponto e reta e entre ponto e plano. Além disso, também

aprendemos a calcular a distância entre retas.

Você já deve ter visto ou ouvido falar de cônicas ou de elipses,

parábolas e hipérboles, não é? Bem, nesta aula iremos introduzir

não só a denição de cônicas mas também algumas propriedades

importantes da parábola.

Porém, antes de iniciarmos nossos estudos sobre as cônicas,

vamos fazer uma breve viagem no tempo para sabermos um pou-

quinho mais sobre o começo de tudo isso.

8.2 Um pouco de História

Os estudos sobre as cônicas tiveram início, segundo o matemático

grego Pappus de Alexandria (290-350 a.C.), com o geômetra grego

Aristeu, "o Ancião"(370 - 300 a.C.). De acordo com Papus, Aris-

teu foi o primeiro a publicar um tratado sobre as seções cônicas,

que recebeu o nome de Cinco livros sobre seções cônicas, e cujo

conteúdo versava sobre um estudo minucioso das curvas cônicas e

de suas propriedades.

Contemporâneo de Aristeu e conhecedor de sua obra sobre as

cônicas, Arquimedes de Alexandria (325 - 265 a. C.) não procurou

aprofundar seus estudos sobre este assunto em sua obra Os ele-

124

Page 127: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

8AULA

mentos com o intuito de despertar nos estudiosos o interesse pela

leitura dos escritos originais.

Cerca de duzentos anos mais tarde, o astrônomo e matemático

grego, Apolônio de Perga (262 - 190 a. C.), aprimorou os estudos

sobre essas curvas escrevendo o Tratado sobre as cônicas, em que

as denia como seções de um cone de base circular, elipse, parábola

e hipérbole. Esse tratado representa o ponto máximo alcançado

pela Matemática grega por ser motivo de admiração a maestria

com que Apolônio demonstra centenas de teoremas, recorrendo

aos métodos puramente geométricos de Euclides.

Entretanto, existem algumas controvérsias a respeito desses

matemáticos quanto à descoberta das cônicas. Os estudos his-

toriográcos dão a outro matemático grego, Menaecmus (380 - 320

a.C, aproximadamente), o prodígio de tê-las descoberto ao tentar

resolver três problemas famosos da Geometria grega: a trisseção

do ângulo, a duplicação do cubo e a quadratura do círculo. Quanto

à obtenção destas curvas, isto é, das cônicas, também houve diver-

gência entre Menaecmus e Apolônio. O primeiro julgava que elas

eram obtidas por meio de cortes efetuados sempre em ângulo reto

em relação à superfície do cone; enquanto o segundo acreditava

que os quatro gêneros de curvas eram obtidos através do corte de

um mesmo cone sob diferentes ângulos.

8.3 Conceituando as cônicas

Agora que você já leu um pouco sobre a origem das cônicas, prepare-

se para seguir em frente, pois nesta seção vamos conceituá-las.

Sejam e e g retas concorrentes no ponto O e não perpendicula-

125

Page 128: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte I

res. Deixando a reta e xa e fazendo a reta g girar 360o em torno

de e, tal que o ângulo entre as retas e e g seja constante, a reta

g gera uma superfície conhecida como superfície cônica circular

innita constituída por duas folhas separadas pelo vértice O.

Figura 8.56: e (eixo), g (reta geratriz)

Denição 8.28. A reta g é chamada geratriz da superfície cônica

e a reta e, eixo da superfície.

Denição 8.29. Chamamos de seção cônica, ou simplesmente

cônica, o conjunto de pontos que formam a interseção de um plano

com a superfície cônica.

Quando uma seção cônica é seccionada por um plano que não

passa pelo ponto O, podemos obter as seguintes curvas cônicas.

Parábola - se o plano for paralelo a uma geratriz da superfície.

Elipse - se o plano não for paralelo a uma geratriz e intercepta

apenas uma das folhas da superfície (ou uma circunferência,

se o plano que secciona for perpendicular ao eixo).

Hipérbole - se o plano que secciona não é paralelo a uma geratriz

e intercepta as duas folhas da superfície. A hipérbole deve ser

126

Page 129: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

8AULA

vista como uma curva só, construída a partir de dois ramos,

um em cada folha da superfície.

Figura 8.57: Pará-

bola.

Figura 8.58:

Elipse.

Figura 8.59: Hi-

pérbole.

Começaremos nossos estudos pela parábola.

8.4 Parábola

Denição 8.30. Parábola é o conjunto de todos os pontos de

um plano equidistante de um ponto xo e de uma reta xa desse

plano.

Em outros termos, considere uma reta d e um ponto F não

pertencente a essa reta.

127

Page 130: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte I

Um ponto P qualquer pertence à parábola se, e somente se,

d(P, F ) = d(P, d),

ou equivalentemente,

d(P, F ) = d(P, P ′)

em que P ′ é o ponto que está no pé da perpendicular baixada de

P sobre a reta d.

Agora, é importante que você compreenda o que representa

cada ponto ou reta.

Notação :

Considere a parábola de vértice V = (0, 0).

(i) O eixo da parábola é o eixo−y.

Seja P = (x, y) um ponto qualquer da parábola de foco F =

(0,p

2) e diretriz de equação y = −p/2.

Pela denição da parábola, temos que

−−→FP =

−−→P ′P

Sendo P ′ = (x,−p2

) ∈ d, temos a seguinte igualdade

128

Page 131: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

8AULA∣∣∣(x− 0, y − p

2

)∣∣∣ =∣∣∣(x− x, y +

p

2

)∣∣∣⇓√

(x− 0)2 +(y − p

2

)2=

√(x− x)2 +

(y +

p

2

)2

(x− 0)2 +(y − p

2

)2= (x− x)2 +

(y +

p

2

)2

x2 + y2 − py +p2

4= y2 + py +

p2

4

e assim,

x2 = 2py (8.1)

que é a equação reduzida da parábola.

Observação 11.

• p 6= 0 é chamado de parâmetro da parábola.

• Com base na equação (8.1), podemos deduzir que:

- se py ≥ 0, p e y têm o mesmo sinal;

- se p > 0, a parábola tem abertura (concavidade) para cima;

- se p < 0, a abertura (concavidade)é voltada para baixo.

• O gráco da parábola é simétrico em relação ao eixo−y, pois

se um ponto pertence ao gráco (x, y), então o ponto (−x, y)

também pertence a ele.

(ii) O eixo da parábola é o eixo−x.

129

Page 132: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte I

Figura 8.60: y > 0, p > 0 Figura 8.61: y < 0, p < 0.

Sendo P = (x, y) um ponto qualquer da parábola, com foco

F = (p/2, 0) e diretriz x = −p/2, obtemos, analogamente ao item

(i), a equação reduzida

y2 = 2px (8.2)

Da mesma forma, podemos vericar que se p > 0, a parábola tem

Figura 8.62: y2 = 2px

abertura (concavidade) para a direita, e se p < 0, para a esquerda.

Exemplo 8.4.1. Na parábola y = x2/4, construir o gráco e en-

contrar o foco e a reta diretriz.

Perceba que a partir de y = x2/4 ⇒ x2 = 4y, vericamos que

130

Page 133: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

8AULA

Figura 8.63: x > 0, p > 0 Figura 8.64: x < 0, p < 0.

2p = 4, ou seja, p = 2 ⇒ p

2= 1. Portanto, o foco F = (0, 1) e a

reta diretriz são dados por d : y = −1.

Figura 8.65: y = x2/4.

Figura 8.66: y2 = 4x cujo vér-

tice V = (0, 0) e foco F =

(1, 0)

131

Page 134: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte I

8.5 Translação dos eixos

Representamos o ponto O = (0, 0) como a origem do sistema carte-

siano de eixos (plano−xy), considerando O′ = (h, k) um ponto ar-

bitrário no plano. Com base nisso, podemos construir um novo sis-

tema de coordenadas x′y′, de forma que P = (x′, y′) ∈ plano−xy.

Para construirmos outro sistema, necessitamos de:

x = x′ + h e y = y′ + k ou

x′ = x− h e y′ = y − k(8.1)

que são as fórmulas de translação.

Consideremos, agora, uma parábola cujo vértice seja V = (h, k) 6=

(0, 0) e cujo eixo seja paralelo ao eixo−y.

Como o vértice é V = (h, k), iremos considerar um outro sis-

tema de coordenadas cuja origem seja O′ = V e a parábola tenha

a equação reduzida

x′2 = 2py′

. Fazendo a mudança de coordenadas indicada pelas equações

(14.98) com

x′ = x− h e y′ = y − k

,

132

Page 135: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

8AULA

obtemos

(x− h)2 = 2p(y − k) (8.2)

De maneira análoga ao que demonstramos anteriormente, en-

contramos

(y − k)2 = 2p(x− h) (8.3)

Observação 12. Em ambas as equações de parábola transladadas

(8.2 e 8.3), o parâmetro p obedece às mesmas condições da obser-

vação (11).

Com base na equação (8.2), podemos ainda constatar que se a

desenvolvermos como se segue

(x−h)2 = 2p(y−k)⇒ x2−2hx+h2 = 2py−2pk ⇒ x2+(−2h)x+(2p)y+(−2pk+h2) = 0

, podemos reescrevê-la da seguinte forma

ax2 + cx+ dy + f = 0, a 6= 0 (8.4)

Analogamente para o caso da equação (8.3), temos

by2 + cx+ dy + f = 0, b 6= 0 (8.5)

133

Page 136: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte I

Exemplo 8.5.1. Seja V = (1,−2) o vértice de uma parábola cujo

eixo é paralelo ao eixo−y e com parâmetro p = 2. Para determinar

a equação da parábola, iremos usar a equação dada por (8.2), e

assim, a equação tem a forma

(x− h)2 = 2p(y − k)

Fazendo h = 1 e k = −2, temos

(x− 1)2 = 2(2)(y + 2) ou (x− 1)2 = 4(y + 2)

Podemos ainda reescrever a mesma equação para

x2 − 2x+ 1 = 4y + 8 ou

y =14x2 − 1

2x− 7

4(8.6)

em que a equação (8.6) é a equação geral desta parábola.

Figura 8.67: y =14x2 − 1

2x− 7

4

Este exemplo nos conduz a retomar a equação (8.4) e a reescrevê-

la como

y = ax2 + bx+ c, a 6= 0 sendo a, b, c ∈ R, (8.7)

134

Page 137: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

8AULA

ou para a equação (8.5), temos analogamente

x = ay2 + by + c, a 6= 0 sendo a, b, c ∈ R. (8.8)

As equações (8.7) e (8.8) são chamadas de equações

explícitas da parábola.

Considerando a equação reduzida da parábola cujo

eixo é o dos y, x2 = 2py, e fazendo x = t, teremos

y =12pt2.

Denição 8.31. Equações Paramétricas

• As equações paramétricas da parábola com vértice V = (0, 0)

e o eixo da parábola, sendo o eixo−y, são dadas porx = t

y =12pt2, t ∈ R

(8.9)

• Para o caso em que o vértice seja V = (0, 0) e o eixo da

parábola seja o eixo−x, as equações paramétricas são dadas

por x =

12pt2

y = t, t ∈ R(8.10)

De forma similar, podemos obter as equações paramétricas nos

casos em que o vértice da parábola não seja a origem do plano−xy.

Exemplo 8.5.2. Seja a equação da parábola dada por (x+ 2)2 =

2(y − 3), vamos encontrar sua equação paramétrica. Para isso,

façamos

x+ 2 = t ⇒ x = t− 2 ⇒ t2 = 2(y − 3)

135

Page 138: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte I

ou t2 = 2y − 6 e

y =t2 + 6

2

Deste modo, o sistemax = t− 2

y =t2 + 6

2, t ∈ R

são as equações paramétricas dessa parábola. É fundamental você

perceber, ainda, que se zermos a substituição de x = t − 2 (ou

seja, t = x+ 2) e de y =t2 + 6

2, teremos a seguinte equação:

y =(x+ 2)2 + 6

2⇒ (x+ 2)2 = 2(y − 3),

que é a equação cartesiana dada no início.

8.6 Resumo

Nesta aula, apresentamos a você as curvas cônicas. Conhecemos

um pouco mais sobre a parábola e suas propriedades, além de

algumas maneiras de a representarmos, como a equação reduzida

e a equação paramétrica da parábola.

8.7 Atividades

1. Trace um esboço do gráco e obtenha uma equação da pa-

rábola que satisfaça as condições dadas.

(a) vértice: V = (0, 0); diretriz d: y = −2;

(b) foco: F = (2, 0); diretriz d: x+ 2 = 0;

(c) foco: F =(

0,−14

); diretriz d: 4y − 1 = 0.

136

Page 139: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

8AULA

2. Determine a equação reduzida, o vértice, o foco, uma equação

da diretriz e uma equação do eixo da parábola das equações

dadas. Esboce o gráco dessas equações.

(a) x2 − 2x− 20y − 39 = 0;

(b) y2 − 16x+ 2y + 49 = 0;

(c) y = 4x− x2.

3. Determine uma equação da curva gerada por um ponto que

se move de modo que sua distância ao ponto A = (−1, 3)

seja igual a sua distância à reta y + 3 = 0.

4. O arcoDC (como ilustrado abaixo) é parabólico e o segmento

AB está dividido em 8 partes iguais. Sabendo que d = 10m,

AD = BC = 50m e AB = 80m, determine h1 e h2.

5. Dados os sistemas de equações paramétricas a seguir, mostre

que eles representam parte de uma mesma parábola, esbo-

çando o gráco. x =√

2t

y = t+ 3, t ∈ [0, 8]e

x = −t

y =t2

2+ 3, t ∈ [−4, 0],

8.8 Comentário das atividades

Se você entendeu a denição da parábola e seus componentes, en-

tão deve ter resolvido as atividades 1,3 e 4. Já na atividade 2, você

137

Page 140: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte I

trabalhou com a obtenção de equações reduzidas das parábolas e

alguns de seus componentes (foco, vértice, equação da diretriz e

equação do eixo da parábola). Se você conseguiu resolver a ques-

tão 5, então já deve ter entendido como se apresentam as equações

paramétricas da parábola. Qualquer dúvida a respeito da resolu-

ção dessas atividades, procure o tutor de seu pólo.

8.9 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

138

Page 141: Vetores e Geometria Analítica

9AULA

2LIVRO

Cônicas - Parte II

META

Apresentar a denição de equações

de planos no espaço e suas propri-

edades geométricas direcionadas à

elipse

OBJETIVOS

Identicar a elipse no plano.

Comparar ou diferenciar algumas

formas de representar a elipse com

base em suas equações reduzidas e

paramétricas.

PRÉ-REQUISITOS:

Para que você possa ter um bom

desempenho nesta aula, é necessário

que tenha assimilado os conteúdos

das aulas anteriores, desde a pri-

meira até a sétima.

Page 142: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte II

9.1 Introdução

Olá, caro aluno! Está animado para seguir em frente? Então,

vamos lá.

Na aula passada,transitamos pelas curvas cônicas, conhecemos

um pouco mais sobre a parábola e suas propriedades. Também

aprendemos algumas formas de representação para a parábola,

através da equação reduzida e da paramétrica.

Nesta aula, vamos dar continuidade ao conteúdo da Aula 8 e

conheceremos a elipse e suas propriedades. Também aprendere-

mos como é possível representar elipses por equação reduzida e

paramétrica.

9.2 Elipse

Denição 9.32. [Elipse] Uma elipse de focos F1 e F2 é o conjunto

dos pontos P no plano cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual

a uma constante, que indicaremos com 2a.

Portanto, o ponto P pertence à elipse se, e somente se,

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a (9.1)

Notação :

Da gura (9.2), ca claro que B2F2 = a, pois B2F1+B2F2 = 2a

(pela denição de elipse) e B2F1 = B2F2. Portanto, no triângulo

B2CF2 temos

a2 = b2 + c2 (9.2)

A excentricidade é responsável pela forma da elipse:

140

Page 143: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

9AULA

Figura 9.68: Uma elipse de fo-

cos F1 e F2.

Figura 9.69: Vértices e eixo

de uma elipse.

• quando a excentricidade é próxima de zero, as elipses são

aproximadamente circulares;

• mas se a excentricidade é próxima de 1 (um), as elipses são

achatadas.

Porém, xada uma excentricidade, por exemplo, e = 1/3, todas as

innitas elipses têm a mesma forma, diferenciando-se apenas pelo

tamanho.

O astrônomo alemão, Johann Kepler (1571-1630), instituiu

(empiricamente) 3 leis que regem a dinâmica de corpos celestes.

A primeira delas diz que: Qualquer planeta gira em torno do Sol,

descrevendo uma órbita elíptica, na qual o Sol ocupa um dos fo-

cos. Vejamos as excentricidades de alguns corpos celestes do nosso

Sistema Solar:

141

Page 144: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte II

Corpo Celeste Excentricidade

Terra 0,02

Júpter 0,05

Marte 0,09

Mercúrio 0,21

Plutão 0,25

Cometa Halley 0,967

No caso do cometa Halley, sua excentricidade é quase 1 e por isso

ele leva aproximadamente 76 anos para dar uma volta em torno do

Sol.

9.3 Equação reduzida

Agora que você já estudou a denição da elipse e também teve

acesso às partes que a compõem, além de conhecer um pouco so-

bre a excentricidade, vamos apresentar outra possibilidade de re-

presentação dessa cônica, isto é, a equação reduzida.

Seja a elipse de centro C = (0, 0). Iremos considerar dois casos:

(i) O eixo maior está sobre o eixo−x.

Seja P = (x, y) um ponto qualquer da elipse com focos F1 =

(−c, 0) e F2 = (c, 0). Pela denição (9.1), sabemos que

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a ou |−−→PF1|+ |

−−→PF2| = 2a

Já em coordenadas, temos√(x+ c)2 + y2 +

√(x− c)2 + y2 = 2a

⇓√x2 + y2 + 2cx+ c2 = 2a−

√x2 + y2 − 2cx+ c2

142

Page 145: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

9AULA

⇓(√x2 + y2 + 2cx+ c2

)2=(

2a−√x2 + y2 − 2cx+ c2

)2

x2+y2+2cx+c2 = 4a2−4a√x2 + y2 − 2cx+ c2+x2+y2−2cx+c2

a√x2 + y2 − 2cx+ c2 = a2 − cx

Elevando ao quadrado ambos os membros mais uma vez,teremos

a2(x2 + y2 − 2cx+ c2

)= a4 − 2a2cx+ c2x2

a2x2 + a2y2 − 2a2cx+ a2c2 = a4 − 2a2cx+ c2x2

(a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

e pela equação (9.2), temos que a2 − c2 = b2, assim,

b2x2 + a2y2 = a2b2

Portanto, se agora dividirmos ambos os membros por a2b2, temos

x2

a2+y2

b2= 1 (9.1)

que é a equação reduzida da elipse para este caso.

(ii) O eixo maior está sobre o eixo−y.

Com o mesmo procedimento do caso (ii), obteremos a equação

reduzidax2

b2+y2

a2= 1 (9.2)

143

Page 146: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte II

Observação 13. Para sabermos onde está o maior eixo da elipse (se

está sobre o eixo−x ou sobre o eixo−y), basta observarmos qual

o maior denominador (a2) na sua equação reduzida, pois numa

elipse sempre se considera que a > b ( ou a2 > b2). Por exemplo,

na equação reduzidax2

4+y2

9= 1

o maior denominador é 9. E pelo fato de ser o denominador de y2,

isso signica que o eixo maior está sobre o eixo−y.

Exemplo 9.3.1. Veja a equação da elipse dada por 4x2+y2−16 =

0, temos que na forma reduzida ca da seguinte forma

x2

4+y2

16= 1

Como o maior denominador é 16, as medidas dos semi-eixos são

a = 4 e b = 2. De a2 = b2 + c2 ⇒ 16 = 4 + c2 e assim, c2 = 12⇒

c =√

12. Portanto, os focos são F1 = (0,−√

12) e F2 = (0,√

12).

Em relação à excentricidade, podemos dizer que

e =c

a=√

124

=2√

34

=√

32.

Logo, e =√

32.

144

Page 147: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

9AULA

9.4 Translação da elipse

Na seção anterior, estudamos a equação reduzida da elipse em duas

situações:

• (a) quando o eixo maior está sobre o eixo −x;

• (b) quando o eixo maior está sobre o eixo −y.

Nesta seção, vamos estudar a translação dessa cônica, consi-

derando a relação de paralelismo entre a elipse e os eixos −x e

−y

Seja uma elipse de centro C = (h, k) 6= (0, 0). Iremos conside-

rar apenas os casos em que os eixos da elipse sejam paralelos aos

eixos coordenados.

(i) O eixo maior é paralelo ao eixo−x.

Nossa intensão será de obter um novo sistema de coordenadas

x′Oy′, em que a elipse tem o semi-eixo maior sobre o eixo−x′.

Portanto, sua equação reduzida é

(x′)2

a2+

(y′)2

b2= 1

Para isso, utilizamos as seguintes fórmulas de translação

x′ = x− h e y′ = y − k

145

Page 148: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte II

através das quais, fazendo as devidas substituições, temos

(x− h)2

a2+

(y − k)2

b2= 1 (9.1)

que é a forma padrão para este caso. (Veja a gura 9.4.)

Figura 9.70: x′ = x− h e y′ = y − k.

(ii) O eixo maior é paralelo ao eixo−y.

Analogamente ao caso (i), temos

(x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1 (9.2)

Exemplo 9.4.1. Uma elipse cujo eixo maior é paralelo ao eixo−y

tem centro C = (4,−2), excentricidade e =12e eixo menor de

medida 6. Vamos obter a equação dessa elipse.

Como o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo−y, sua equação

é da forma(x− h)2

b2+

(y − k)2

a2= 1,

sendo h = 4 e k = −2. Além disso, percebemos que 2b = 6, ou

seja, b = 3. E pelo fato de

e =c

a= 12⇒ c =

a

2

temos ainda que a2 = b2 + c2 nos conduz a

a2 = 32 +(a

2

)2⇒ a2 = 9 +

a2

4⇒ a2 = 12

146

Page 149: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

9AULA

E assim, a equação da elipse é

(x− 4)2

9+

(y + 2)2

12= 1

Agora, podemos ainda trabalhar um pouco mais essa expressão.

De(x− 4)2

9+

(y + 2)2

12= 1

4(x2 − 8x+ 16) + 3(y2 + 4y + 4) = 36

4x2 + 3y2 − 32x+ 12y + 40 = 0

é a equação geral dessa elipse.

Na verdade, qualquer elipse cujos eixos estão sobre os eixos

coordenados ou são paralelos a eles sempre pode ser representada

por uma equação geral na forma

ax2 + by2 + cx+ dy + f = 0, (9.3)

com a e b de mesmo sinal. Quando a = b, essa equação representa

uma circunferência. Por exemplo, quando a = b = 1, c = d = 0 e

f = −2, a equação será

x2 + y2 − 4 = 0,

que representa uma circunferência centrada na origem de raio 4.

9.5 Equações paramétricas da elipse

Considere a equaçãox2

a2+y2

b2= 1. Agora, tracemos uma circunfe-

rência de centro O e raio igual ao semi-eixo maior da elipse.

147

Page 150: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte II

Seja P = (x, y) um ponto arbitrário da elipse. A reta que passa

por P , paralela ao eixo−y, intercepta a circunferência no ponto A

e o raio AO determina com o eixo−x um ângulo θ. Assim, do

Figura 9.71: OA′ = OA · cos θ.

triângulo A′OA temos OA′ = OA cos θ, ou x = a cos θ, então

(a cos θ)2

a2+y2

b2= 1⇒ y2

b2= 1− cos2 θ ⇒ y2

b2= sen 2θ

Portanto, y = bsen θ. Para que a cada valor de θ façamos cor-

responder um só ponto da elipse P , podemos concluir que θ deve

pertencer ao intervalo [0, 2π]. Então, θ é o parâmetro. x = a cos θ

y = bsen θ0 ≤ θ ≤ 2π (9.1)

são as equações paramétricas dessa elipse.

Observação 14. • De x = a cos θ

y = bsen θ⇒

x

a= cos θ

y

b= sen θ

e assim,x2

a2+y2

b2= 1, pois, cos2 θ + sen 2θ = 1.

148

Page 151: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

9AULA

• Caso a elipse tenha o eixo maior sobre o eixo−y, constatamos

quex2

b2+y2

a2= 1 tem equações paramétricas x = b cos θ

y = asen θ(9.2)

• E quando o centro da elipse for C = (h, k), pela translação

dos eixos obtemos x = h+ a cos θ

y = k + bsen θ(eixo maior paralelo ao eixo−x)(9.3)

x = h+ b cos θ

y = k + asen θ(eixo maior paralelo ao eixo−y)(9.4)

Exemplo 9.5.1. Vericamos que a equação reduzida de 9x2 +

4y2 − 54x+ 16y + 61 = 0 é dada por

(x− 3)2

4+

(y + 2)2

9= 1

e assim, a elipse tem como centro C = (3,−2), com a = 3 e b = 2.

Portanto, x = 3 + 2 cos θ

y = −2 + 3sen θ

são as equações paramétricas da elipse.

9.6 Resumo

Nesta aula, conhecemos um pouco mais sobre a elipse e suas pro-

priedades. Aprendemos que a excentricidade é responsável por

determinar a forma da elipse, que pode ser circular ou achatada,

ou ainda variar quanto ao tamanho. Também foi possível conhecer

algumas de suas formas de representação, como a equação reduzida

e a equação paramétrica da elipse.

149

Page 152: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte II

9.7 Atividades

1. Em cada um dos itens a seguir, esboce o gráco e determine

os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses

dadas:

(a)x2

25+y2

4= 1;

(b) 9x2 + 16y2 − 144 = 0;

(c) 9x2 + 5y2 − 45 = 0;

(d) x2 + 2y2 − 5 = 0.

2. Esboce o gráco de uma elipse com as seguintes excentrici-

dades:

(a) 1/2;

(b) 1/3.

3. Em cada um dos itens a seguir, determine uma equação da

elipse que satisfaça as condições dadas e esboce seu gráco.

(a) focos F1 = (−4, 0) e F2 = (4.0), eixo maior igual a 10;

(b) focos F1 = (0,−5) e F2 = (0, 5), eixo menor igual a 10;

(c) vértices A1 = (−10, 0) e A2 = (10, 0), excentricidade

1/2;

(d) centro C = (0, 0), eixo menor igual a 6, focos no eixo

dos x e passando pelo ponto (−2√

5, 2).

4. Obtenha a equação paramétrica da elipse das seguintes equa-

cões:

(a) x2 + y2 = 36;

150

Page 153: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

9AULA

(b) 9x2 + 16y2 = 1;

(c) 49(x+ 7)2 + y2 = 7.

5. Obtenha a equação geral da elipse das equações paramétricas

a seguir:

(a)

x = cos θ

y = 3sen θ;

(b)

x =√

2 cos θ

y = −1 + sen θ

6. Quais são as tangentes à elipse x2 + 4y2 = 32 que têm incli-

nação igual a 1/2?

7. Um satélite de órbita elíptica e excentricidade 1/3 viaja ao re-

dor de um planeta situado num dos focos da elipse. Sabendo-

se que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de

300 km, calcule a maior distância.

9.8 Comentário sobre as Atividades

Você resolveu as atividades 1,2,3 e 7? Então entendeu a denição

da elipse e seus componentes (focos, vértices, excentricidade). Se

conseguiu resolver a atividade 6, então você já tem uma idéia de

como funciona a equação geral da elipse. Se concluiu a 4 e a 5, já

sabe como obter a equação paramétrica da elipse e aplicá-la.

9.9 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

151

Page 154: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte II

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

152

Page 155: Vetores e Geometria Analítica

10AULA

2LIVRO

Cônicas - Parte III

META

Apresentar a denição de equações

de planos no espaço e suas propri-

edades geométricas direcionadas à

hipérbole.

OBJETIVOS

Identicar a hipérbole no plano.

Comparar ou diferenciar algumas

formas de representar a hipérbole

com base nas equações reduzidas e

paramétricas da elipse.

PRÉ-REQUISITOS

Para que você possa ter um bom

desempenho nesta aula, é necessário

que tenha assimilado os conteúdos

das aulas anteriores, desde a pri-

meira até a sétima.

Page 156: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte III

10.1 Introdução

Olá! Chegamos à metade de nossa disciplina. Isto signica que

já temos boa parte das ferramentas matemáticas para avançarmos

nos próximos conteúdos.

Na aula passada, entramos em contato com a elipse e suas pro-

priedades, além das formas para representá-la. Nesta aula, vamos

apresentar a hipérbole e suas propriedades. Também veremos que

é possível representar hipérboles por equação reduzida e paramé-

trica.

10.2 Hipérbole

Da mesma forma como apresentamos para você as diferentes for-

mas de representar a parábola e a elipse, através das equações

reduzida e paramétrica, assim procederemos com a hipérbole. Va-

mos dar início pela sua denição.

Denição 10.33. Hipérbole

Sejam F1 e F2 dois pontos do plano e a um número real positivo.

Chamamos de hipérbole de focos F1 e F2 o conjunto dos pontos

P do plano cuja diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é, em

valor absoluto, igual a 2a.

Assim, o ponto P pertence a essa hipérbole H se, e somente se,

|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a (10.1)

A hipérbole H tem dois ramos, um formado pelos pontos P para

os quais a diferença é positiva d(P, F1)−d(P, F2) = 2a, e outro em

que essa diferença é negativa, isto é, d(P, F1)− d(P, F2) = −2a.

154

Page 157: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

10AULA

Figura 10.72: |d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a

Considere no plano dois pontos quaisquer F1 e F2 com d(F1, F2) =

2c. Chamando de C o ponto médio do segmento de F1F2, tracemos

uma circunferência de centro C e raio c.

Tomemos um valor arbitrário a, com a < c, e marquemos so-

bre o segmento F1F2, a partir de C, os pontos A1 e A2, tal que

d(C,A1) = d(C,A2) = a. Por esses pontos tracemos cordas per-

pendiculares ao diâmetro F1F2. As quatro extremidades dessas

cordas são os vértices de um retângulo MNPQ inscrito nesta cir-

cunferência. Tracemos as retas r e s que contêm as diagonais do

retângulo e a hipérbole, como ilustrada na gura (10.2).

Notação:

Focos: são os focos F1 e F2.

Distância focal: é a distância 2c entre os focos.

Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2.

Vértice: são os pontos A1 e A2.

Eixo real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento

2a.

155

Page 158: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte III

Figura 10.73: Hipérbole com focos F1 e F2.

Eixo imaginário ou não-transverso: é o segmento B1B2 de

comprimento 2b, com B1B2 ⊥ A1A2 em C.

Assíntotas: são as retas r e s.

Perceba que os pontos A1 e A2 pertencem à hipérbole, pois

satisfazem a denição (10.33).Assim, observe que

d(A1, F1) = c− a e d(A1, F2) = a+ c

além de

|d(A1, F1)− d(A1, F2)| = | − 2a| = 2a.

O retângulo MNPQ tem dimensões 2a e 2b, sabendo que a é a

medida de semi-eixo real e b a medida do semi-eixo imaginário,

assim, vale a relação

c2 = a2 + b2 (10.2)

As assíntotas são as retas de que a hipérbole se aproxima cada

vez mais à medida que os pontos se afastam do vértice. Essa

aproximação é "contínua"e "lenta", de forma que a tendência da

hipérbole é tangenciar as suas assíntotas no innito.

156

Page 159: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

10AULA

Observando ainda a gura (10.2), percebemos que as retas for-

mam um ângulo (θ) no ponto C. O ângulo θ é chamado de aber-

tura da hipérbole.

Denição 10.34. Chama-se de excentricidade da hipérbole o

número

e =c

a. (10.3)

A excentricidade da hipérbole está inuenciada diretamente na

abertura.

Atentando para a gura (10.2), constatamos temos que c > a

e tem-se e > 1. Porém,

• (mantendo o c xo) fazendo a quanto menor possível (aproximando-

se de zero), aumenta o valor de e,

• (mantendo o c xo) fazendo a o mais próximo possível de c,

vericamos que e se aproxima de 1, e

• caso e =√

2, a hipérbole terá que r ⊥ s e será chamada de

hipérbole equilátera.

Agora que você já teve contato com a primeira parte teórica

sobre a hipérbole, veja a seguir como ela pode ser aplicada na

prática.

Exemplo 10.2.1 (Uma aplicação). Imagine a seguinte situa-

ção: um atirador dispara sua arma contra o muro e um observador

ouve o estampido e o impacto da bala no alvo simultanemante.

Qual a localização do observador em relação ao muro e ao atira-

dor?

Vamos à solução?

157

Page 160: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte III

Assim, considere a velocidade do som constante1 e a velocidade

da bala2 como o dobro da velocidade do som, isto é, se vsom e vb

são as velocidades do som e da bala, então vb = 2vsom. Sejam t1 o

tempo para a bala percorrer o trajeto do atirador ao muro e t2 e

t3 os tempos gastos pelo som para percorrer as distâncias d2 e d3

em que:

• (d1) é a distância do atirador ao muro;

• (d2) é a distância do observador ao muro;

• (d3) é a distância do atirador ao observador,

respectivamente.

Sendo assim,

vb =d1

t1, vsom =

d2

t2, vsom =

d3

t3

⇓1A velocidade do som é de aproximadamente 340 m/s ao nível do mar.2Existem armas que disparam projéteis a velocidades muitas vezes superi-

ores à do som, chegando a mais de 3000 m/s.

158

Page 161: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

10AULA

t1 =d1

vb, t2 =

d2

vsom, t3 =

d3

vsom

Perceba que o tempo gasto pela bala para chegar ao muro (t1),

acrescido do tempo gasto do momento de impacto à chegada do

som até o observador (t2), deve ser igual ao tempo que o som do

disparo percorre até o observador, ou seja,

t3 = t1 + t2.

Assim,

d3

vsom=d1

vb+

d2

vsom⇒ d3

vsom− d2

vsom=d1

vb⇒ (d3 − d2)

vsom=d1

vb

O que nos dá a equação

d3 − d2 =d1vsomvb

.

Note que se zermos vb = 2vsom o quociente vb/vsom = 1/2 e se

colocarmos d1 = 2c, a equação anterior ca:

d3 − d2 = c = 2a.

Portanto, o observador ouve o impacto da bala no muro e o dis-

paro no mesmo instante de tempo se, e somente se, ele estiver

sobre algum ponto da hipérbole de focos A e B com eixo real de

comprimento 2a = d1/2.

Exercício 10.2.1. Pense nas hipóteses do exemplo (10.2.1), mas,

desta vez, vamos considerar que a velociadade da bala vb seja arbi-

trária. Diante disso, qual deverá ser a posição do observador para

que ele ouça ambos os sons (do impacto da bala no muro e do

disparo simultaneamente)?

[Sugestão: mostre que a excentricidade da hipérbole é

dada por vb/vsom e faça as conclusões a respeito da po-

sição do observador.]

159

Page 162: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte III

10.3 Equações reduzidas

Assim como já vimos nas duas cônicas que estudamos nas últimas

aulas, a hipérbole também pode ser representada por equações

reduzidas. É o que iremos apresentar para você a partir de agora.

Seja a hipérbole de centro C = (0, 0). Consideremos os seguin-

tes casos:

(i) o eixo real está sobre o eixo−x.

Sendo P = (x, y) um ponto arbitrário da hipérbole de focos

F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), pela denição (10.33), temos

|d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a

e em coordenadas∣∣∣√(x+ c)2 + (y − 0)2 −√

(x− c)2 + (y − 0)2∣∣∣ = 2a, com c2 = a2+b2

x2

a2− y2

b2= 1 (10.1)

A equação (10.1) é chamada de equação reduzida da hipérbole

para este caso.

(ii) o eixo real está sobre o eixo−y.

Procedendo de forma análoga ao caso (i), obtemos a equação

reduzida (veja a gura (10.3)

y2

a2− x2

b2= 1 (10.2)

Exemplo 10.3.1. Na equação reduzida

x2

9− y2

4= 1 (10.3)

em que a2 = 32 = 9 e b2 = 22 = 4.

160

Page 163: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

10AULA

Figura 10.74: Os focos F1 e F2 estão sobre o eixo−x.

Figura 10.75: Os focos F1 e F2 estão sobre o eixo−y.

• Observe que os vértices são A1 = (−3, 0) e A2 = (3, 0), que

poderiam ser obtidos a partir de (10.3. Tomando y = 0,

temos quex2

9= 1⇒ x = ±3.

Por outro lado, veja que tomando x = 0 em (10.3), verica-

mos que y2 = −4, e assim, não há pontos da hipérbole que

corte o eixo−y.

• A hipérbole é simétrica em relação aos eixos coordenados e

161

Page 164: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte III

à origem, pois as potências de x e y são pares.

• As retas r e s são as assíntotas da hipérbole, pois ambas

passam pelo centro da hipérbole (neste caso, coincidem com

a origem do sistema). Podemos observar que ambas as retas

têm equações na forma y = mx, em que m é o coeciente de

inclinação da reta. Notamos que:

1. na reta r, m1 =b

a⇒ m1 =

23;

2. e na reta s, m2 = − ba⇒ m2 = −2

3.

Logo, as assíntotas têm equações y =23x e y = −2

3x.

• Caso a equação reduzida da hipérbole seja da forma

y2

a2− x2

b2= 1,

os coecientes de inclinação das assíntotas são m = ±ab.

Exemplo 10.3.2. Seja f : R+ → R+ a função denida por f(x) =

1/x. O gráco de f é o conjunto G = (x, y) ∈ R2;x > 0, y =

1/x. G é um ramo de hipérbole.

Para conrmar esta armação, devemos introduzir no plano

um novo sistema de coordenadas com a mesma origem e com eixos

formando ângulos de 45o com os eixos antigos. Chamamos de (s, t)

as coordenadas de um ponto nesses novos eixos. Para obtermos a

equação da curva G em relação aos novos eixos, devemos escrever

x e y dependendo de s e t.

Desta forma, se sabemos que em um triângulo retângulo os

ângulos agudos medem 45o, cada cateto é igual a√

2/2 vezes a

162

Page 165: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

10AULA

Figura 10.76: x = s

√2

2− t√

22

e y = s

√2

2+ t

√2

2

hipotenusa, e assim, um ponto P tem coordenadas (x, y) no sistema

antigo e (s, t) no sistema novo(veja na gura (10.76), então

x = s

√2

2− t√

22

e y = s

√2

2+ t

√2

2

Além disso, se x > 0 e y > 0, então s > 0. Portanto, as seguintes

armações são equivalentes:

1. P = (x, y) ∈ G;

2. x > 0 e xy = 1;

3. s > 0 e

(s

√2

2− t√

22

)(s

√2

2+ t

√2

2

)= 1;

4. s > 0 es2

2− t2

2= 1;

5. s > 0 es2

a2− t2

b2= 1, com a = b =

√2;

6. P pertence ao ramo direito de uma hipérbole cujo eixo é a

reta y = x.

Logo, G é um ramo de hipérbole.

163

Page 166: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte III

10.4 Translações de uma hipérbole

Nesta seção, iremos apresentar a você as translações de uma hi-

pérbole. Acompanhe o nosso raciocínio e você verá que é tão fácil

quanto as das demais cônicas que já estudamos.

Seja uma hipérbole de centro C = (h, k) 6= (0, 0). Considere-

mos apenas os casos em que os eixos sejam paralelos aos eixo−x e

eixo−y.

(i) o eixo real é paralelo ao eixo−x.

Analogamente ao que zemos para a elipse na aula anterior,

temos

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1, (10.1)

que é a forma padrão para este caso.

Figura 10.77:(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

(ii) o eixo real é paralelo ao eixo−y.

Como em (i),

(y − k)2

a2− (x− h)2

b2= 1 (10.2)

164

Page 167: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

10AULA

Percebemos que a partir da equação (10.1), temos que de

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

x2 − 2hx+ h2

a2− y2 − 2ky + k2

b2= 1

Multiplicando ambos os membros por a2b2, temos

b2(x2 − 2hx+ h2)− a2(y2 − 2ky + k2) = a2b2

b2x2 − 2hb2x+ h2b2 − a2y2 + 2ka2y − a2k2 = a2b2

b2x2 − a2y2 − 2hb2x+ 2ka2y + h2b2 − a2k2 − a2b2 = 0

Assim, vericamos que

Ax2 +By2 + Cx+Dy + F = 0 (10.3)

sendo A = b2, B = −a2, C = −2hb2, D = 2ka2 e F = −a2k2 −

a2b2. A equação (10.3) é chamada de equação geral da hipér-

bole, com A e B de sinais contrários.

Exemplo 10.4.1. Determinar uma equação da hipérbole de vér-

tices A1 = (1,−2) e A2 = (5,−2), sabendo-se que F = (6,−2) é

um de seus focos.

Sendo o eixo real A1A2 paralelo ao eixo−x, a equação da hi-

pérbole (veja na gura (10.78)) é da forma,

(x− h)2

a2− (y − k)2

b2= 1

165

Page 168: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte III

O centro é o ponto médio de A1A2: C = (3,−2).

Note que a = d(C,A1) = 2 e c = d(C,F ) = 3. Da relação c2 =

a2 + b2, ou 9 = 4 + b2, temos que b2 = 5. E assim, a equação da

hipérbole é

(x− 3)2

4− (y + 2)2

5= 1.

Se a desenvolvermos, obteremos

5x2 − 4y2 − 30x− 16y + 9 = 0

que é a equação geral dessa hipérbole

Figura 10.78: 5x2 − 4y2 − 30x− 16y + 9 = 0

10.5 Equações paramétricas

Agora, vamos às paramétricas. Está lembrado delas? Você as

conheceu quando abordamos a parábola e a elipse nas aulas 8 e 9.

Então, vamos ver como elas funcionam com a hipérbole.

Considere a hipérbole de equaçãox2

a2− y

2

b2= 1, e a coloquemos

da seguinte forma: (xa

)2−(yb

)2= 1

166

Page 169: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

10AULA

Agora, observemos que a identidade

sen 2θ + cos2 θ = 1

e dividindo ambos os membros por cos2 θ 6= 0, obteremos

sen 2θ

cos2 θ+ 1 =

1cos2 θ

ou (sen θcos θ

)2

+ 1 =(

1cos θ

)2

Comosen θcos θ

= tg θ e1

cos θ= sec θ, temos

sec2 θ − tg 2θ = 1

Portanto, podemos tomarx

a= sec θ

y

b= tg θ

e concluímos que para 0 ≤ θ ≤ 2π, exceto paraπ

2e

3π2, temos que x = a sec θ

y = btg θ(10.1)

são as equações paramétricas dessa hipérbole.

Observação 15. Quando θ ∈(−π

2,π

2

), dizemos que é o ramo

direito da hipérbole (x ≥ a) e quando θ ∈(π

2,3π2

), chamamos

de ramo esquerdo (x ≤ −a).

Observação 16. No caso em que a hipérbole tem equação reduziday2

a2−x

2

b2= 1 (eixo real sobre o eixo−y), suas equações paramétricas

são x = btg θ

y = a sec θ(10.2)

167

Page 170: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte III

Observação 17. Nos casos em que o centro da hipérbole for C =

(h, k), aplicando a translação de eixos, temos x = h+ a sec θ

y = k + btg θou

x = h+ btg θ

y = k + a sec θ

Exemplo 10.5.1. A partir da equação 4x2−9y2−36 = 0, podemos

encontrar as equações paramétricas da hipérbole.

De 4x2 − 9y2 − 36 = 0, obtemos facilmente que

x2

9− y2

4= 1

e assim, a = 3 e b = 2. Portanto, x = 3 sec θ

y = 2tg θ

são as equações paramétricas dessa hipérbole.

Na gura a seguir, apenas são indicados pontos da tabela para

alguns ângulos no intervalo(−π

2,π

2

).

θ Pontos

0 (3, 0)π

4(3√

2, 2)

−π4

(3√

2,−2)π

3(6, 2√

3)

−π3

(6,−2√

3)

10.6 Resumo

Nesta aula, estudamos a terceira das cônicas apresentadas na Aula

8, a hipérbole. Além de conhecermos a sua denição e suas pro-

168

Page 171: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

10AULA

priedades, conhecemos também algumas maneiras de a represen-

tarmos, como a equação reduzida e a equação paramétrica da hi-

pérbole.

10.7 Atividades

1. Em cada um dos itens a seguir, esboce o gráco e deter-

mine os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das

assíntotas das hipérboles dadas.

(a)x2

4− y2

9= 1;

(b)y2

4− x2

9= 1;

(c) x2 − 2y2 − 8 = 0;

(d) y2 − x2 = 2.

2. Para todo ponto P = (m,n) na hipérbole H :x2

a2− y2

b2= 1,

mostre que a reta r :m

a2x − n

b2y = 1 tem apenas o ponto P

em comum com H. A reta r chama-se a tangente a H no

ponto P .

3. Nos ítens a seguir, obtenha uma equação geral da hipérbole

dada por equações paramétricas. Esboce o gráco.

(a)

x = 4 sec θ

y = 2tg θ;

(b)

x = 2 sec θ

y = 4 +√

3tg θ.

4. Determine os focos da hipérbole de equações x = 4 +√

5tg θ

e y = −5 + 2 sec θ.

169

Page 172: Vetores e Geometria Analítica

Cônicas - Parte III

10.8 Comentário sobre as Atividades

Se você conseguiu resolver as atividades 1 e 2, então entendeu a

denição de hipérbole e seus componentes (focos, excentricidade e

outros). Além disso, você pôde observar como é possível escrever

a hipérbole na forma de uma equação reduzida. Já em 3 e 4, você

deve ter usado o conceito de equação paramétrica da hipérbole.

Não se esqueça dos exercícios que se encontram inseridos no texto.

São tão importantes quanto os que estão nesta lista.

10.9 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, 'Algebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

170

Page 173: Vetores e Geometria Analítica

11AULA

2LIVRO

Mudança de Coorde-nadas no Plano

META

Introduzir o conceito de mudan-

ças de coordenadas no plano e

exemplicá-la.

OBJETIVOS

Efetuar e reconhecer mudanças

de coordenadas no plano, como

rotação e translação dos eixos,

além de aplicar este conteúdo

para reconhecer melhor as côni-

cas com base em uma equação dada.

PRÉ-REQUISITO Ter compre-

endido o conceito de produto in-

terno (produto escalar) entre vetores

(Aula 3).

Page 174: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Plano

11.1 Introdução

Nesta aula, conheceremos uma ferramenta importante na manipu-

lação de objetos geométricos no plano. Existem situações em que é

conveniente e, em algumas delas, necessário passar de um sistema

de eixos ortogonais (por exemplo, os eixos−x e eixo−y) para outro

sistema (eixo−x′ e eixo−y′) no plano. Nesses casos, é imprescin-

dível exprimir as coordenadas novas em função das coordenadas

antigas (x, y).

11.2 Mudanças de Coordenadas - Rotação e

Translação da Origem

Para facilitar nossas contas, vamos exprimir as coordenadas de

um ponto em termos do produto interno (ou produto escalar),

aquele mesmo que você aprendeu na Aula 3.

DDiante disto, tome ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1), que representam os

eixos x e y respectivamente, com O = (0, 0) a origem do sistema

de eixos coordenados. Seja o ponto P = (x, y), então

−−→OP = x~i+ y~j

e perceba que

〈~i,~i〉 = 〈~j,~j〉 = 1 e

〈~j,~i〉 = 〈~i,~j〉 = 0

e ainda

〈−−→OP,~i〉 = 〈x~i+ y~j,~i〉 = x〈~i,~i〉+ y〈~j,~i〉 = x

ou seja, x = 〈−−→OP,~i〉 e, analogamente, y = 〈

−−→OP,~j〉 .

172

Page 175: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

11AULA

Figura 11.79: ~OP = x~i+ y~j.

Exercício 11.2.1. Faça as contas para mostrar que y = 〈−−→OP,~j〉.

Portanto, as coordenadas de um ponto P no plano−xy são os

produtos internos de−−→OP por ~i e ~j.

Sejam (x′, y′) outro sistema de eixos coordenados no plano.

Denotamos por ~f1 e ~f2 os vetores unitários dos eixos x′ e y′. Sejam

(a, b) as coordenadas do ponto O′ no sistema antigo (eixos x e y)

e θ o ângulo de que é preciso girar o eixo−x (no sentido positivo,

ou seja, do eixo−x para o eixo−y) para coincidir com o eixo−x′.

Veja na gura (211.2). Então, θ é o ângulo de ~i para ~f1. Assim,

Figura 11.80: θ é o ângulo en-

tre ~i e ~f1.

Figura 11.81: Novo sistema

de coordenadas nos eixos x′ e

y′.

173

Page 176: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Plano

~f1 = cos θ~i+ sen θ~j.

Note ainda que−−→OO′ = a~i + b~j, isto é, para o novo sistema de

coordenadas,

−−→O′P =

−−→OP −

−−→OO′ = (x− a)~i+ (y − b)~j

Então,

x′ = 〈−−→O′P , ~f1〉 = 〈(x− a)~i+ (y − b)~j, cos θ~i+ sen θ~j〉

= (x− a) cos θ + (y − b)sen θ

Assim, x′ = (x− a) cos θ + (y − b)sen θ . Lembre-se de que esta-

Figura 11.82: P = (x′, y′) nas novas coordenadas.

mos considerando θ o ângulo entre os vetores ~i e ~f1 e 180o + θ o

ângulo entre ~j e ~f2.

ATENÇÃO -

Vamos denotar o sistema de eixos coordenados xy por OXY e o

sistema de eixos coordenados x′y′ por O′X ′Y ′.

Agora, veja que para a coordenada y′ temos duas possibilida-

des.

174

Page 177: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

11AULA

1. O sistema com eixos O′X ′Y ′ se obtém do sistema de eixos

OXY pela translação que leva O em O′ (e desloca os eixos x

e y paralelamente), seguida de uma rotação de ângulo θ. Diz-

se, então, que os sistemas O′X ′Y ′ e OXY são igualmente

orientados ou têm a mesma orientação.

2. Obtém-se O′X ′Y ′ a partir de OXY por meio da translação

que leva O em O′, seguida da rotação de ângulo θ e, depois,

de uma reexão em torno do eixo x′. Então os sistemas OXY

e O′X ′Y ′ têm orientações opostas.

Figura 11.83: ~f2 ⊥ ~f1 e o ângulo de~j para ~f2 pode ser θ ou 180o+θ.

Observação 18. Se O′X ′Y ′ têm a mesma orientação que OXY ,

então o vetor ~f2 é obtido de ~f1 por uma rotação de 90o no sentido

positivo (anti-horário). Como as coordenadas de ~f1 no sistema

OXY são (cos θ, sen θ), as de ~f2 são (−sen θ, cos θ).

• Portanto,

~f2 = −sen θ~i+ cos θvj.

• E no caso de o sistema O′X ′Y ′ ter orientação oposta à de

OXY , então

~f2 = sen θ~i− cos θ~j.

175

Page 178: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Plano

Com as informações da observação anterior, constatamos que:

• no caso em que ambos os sitemas têm a mesma orientação,

y′ = 〈−−→O′P , ~f2〉 = 〈(x− a)~i+ (y − b)~j,−sen θ~i+ cos θ~j〉

= −(x− a)sen θ + (y − b) cos θ

• mas se ambos os sistemas têm orientações opostas,

y′ = (x− a)sen θ − (y − b) cos θ

Portanto, as fórmulas de mudança de coordenadas são:

x′ = (x− a) cos θ + (y − b)sen θ

y′ = −(x− a)sen θ + (y − b) cos θ(11.1)

oux′ = (x− a) cos θ + (y − b)sen θ

y′ = (x− a)sen θ − (y − b) cos θ(11.2)

se o novo sistema O′X ′Y ′ tiver a mesma orientação do sistema

OXY ou não.

Exemplo 11.2.1. Seja P um ponto no plano com coordenadas

(1, 1) no sistema OXY . Vamos vericar o que ocorre com as co-

ordenadas de P se zermos uma mudança nos eixos coordenados

girando θ = 450. Deste modo, as novas coordenadas devem ser

dadas por (11.1):

x′ = (x− 0) cos 45o + (y − 0)sen 45o

y′ = −(x− 0)sen 45o + (y − 0) cos 45o(11.3)

Note que nas equações (11.3)consideramos θ = 45o e que a nova

origem O′ = (0, 0) coincide com a anterior, pois apenas zemos

uma rotação dos eixos. Então,

x′ = (x− 0) cos 45o + (y − 0)sen 45o

y′ = −(x− 0)sen 45o + (y − 0) cos 45o⇒

x′ =√

22x+√

22y

y′ = −√

22x+√

22y

176

Page 179: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

11AULA

portanto, se para P = (1, 1) no sistema OXY , no novo sistema

temos

x′ =√

22

1 +√

22

1

y′ = −√

22

1 +√

22

1⇒

x′ =√

2

y′ = 0

Logo, as coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas ro-

tacionado de 45o, O′X ′Y ′, são dadas por (√

2, 0). E no caso do

ponto Q = (√

2,−2√

2) no sistema de coordenadas OXY , no novo

sistema ca (−1,−3). Veja a gura (11.2).

Figura 11.84: Os pontos P e Q estão representados em ambos os

sistemas coordenados.

11.3 Obtendo as coordenadas antigas em fun-

ção das novas

Note que as equações para obtermos (x′, y′), dependendo de x,

y e do ângulo θ, podem ser invertidas, e assim, você consegue

obter fórmulas que para (x, y) dependem de x′, y′ e do ângulo θ.

177

Page 180: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Plano

Multiplicando a primeira equação em (11.1) por sen θ, a segunda

equação em (11.1) por cos θ, e sem esquecer que

sen 2θ + cos2 θ = 1,

temos que

x′sen θ = (x− a)sen θ cos θ + (y − b)sen 2θ

x′ cos θ = −(x− a)sen θ cos θ + (y − b) cos2 θ

e somando as equações, obtemos

x′sen θ + y′ cos θ = y − b

e assim, y = x′sen θ + y′ cos θ + b . Multiplicando a primeira equa-

ção em (11.1) por cos θ e a segunda equação em (11.1) por (−sen θ),

analogamente ao que zemos para a expressão anterior, podemos

obter x = x′ cos θ − y′sen θ + a . Procedendo da mesma forma,

podemos inverter o sistema (11.2) e obter as equações:

x = x′ cos θ − y′sen θ + a

y = x′sen θ + y′ cos θ + b(11.1)

x = x′ cos θ + y′sen θ + a

y = x′sen θ − y′ cos θ + b(11.2)

Com as equações dadas em (11.1 e 11.2) podemos obter de volta

as coordenadas (x, y) do ponto P , no sistema OXY , em função das

coordenadas (x′, y′) do sistema O′X ′Y ′. Como antes salientamos,

usamos o primeiro par de equações em (11.1) quando os sistemas

têm a mesma orientação, enquanto o segundo par de equações em

(11.2) é utilizado quando os sistemas têm orientações opostas.

Vejamos alguns exemplos.

178

Page 181: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

11AULA

Exemplo 11.3.1. Considere a curva de equação x2 +4y2 = 4, que

você pode transformar emx2

4+y2

1= 1, bastando apenas dividir

a equação x2 + 4y2 = 4 por 4, o que nos permite vericar que

a expressão representa uma elipse. Procedendo como no exemplo

(11.2.1), vejamos o que ocorre com essa equação ao se efetuar a

mudança da rotação dos eixos de 45o. As novas coordenadas x′ e y′

de um ponto do plano são obtidas a partir das antigas coordenadas

x e y pelas expressões

x = x′ cos 45o − y′sen 45o + 0

y = x′sen 45o + y′ cos 45o + 0⇒

x′ =√

22x′ −

√2

2y′

y′ =√

22x′ +

√2

2y′

Substituindo na equação da elipse, percebemos que(√2

2x′ −

√2

2y′

)2

+

(√2

2x′ +

√2

2y′

)2

= 4

x′2

2+y′2

2− x′y′ + 2x′2 + 4x′y′ + 2y′2 = 4

5x′2

2+

5y′2

2+ 3x′y′ = 4

Observe que a equação se torna mais complexa do que antes, di-

cultando o seu reconhecimento. E assim, não é mais evidente que

a equação anterior representa uma elipse.

Apesar do exemplo (11.2.1), você deve ter percebido que a mu-

dança de coordenadas tornou tornado a equação da elipse mais

complicada, em geral, uma das utilizações dessas mudanças se faz

no sentido de facilitar o reconhecimento de equações, neste caso,

da elipse.

179

Page 182: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Plano

Figura 11.85: x2 + 4y2 = 4 em um sistema de coordenadas e

5x′2

2+

5y′2

2+ 3x′y′ = 4 no outro.

Exemplo 11.3.2. Seja E o conjunto dos pontos P = (x, y) tal

que x2 − xy + y2 = 1. Fazendo uma rotação positiva de 45o sobre

o sistema de eixos OXY , constituímos novas coordenadas x′ e y′,

tal que

x =√

22

(x′ − y′) e y =√

22

(x′ + y′)

E substituindo na equação anterior, temos

x2 − xy + y2 =

(√2

2(x′ − y′)

)2

(√2

2(x′ − y′)

·

(√2

2(x′ + y′)

)+

(√2

2(x′ + y′)

)2

x2 − xy + y2 =12x′

2 +32y′

2

e assim, o conjunto E, representado pela equação x2−xy+y2 = 1,

poderá ser representado nas novas coordenadas por

12x′

2 +32y′

2 = 1

Isso nos mostra que o conjunto E é uma elipse cujo eixo maior está

sobre o eixo−x′, ou seja, a reta x = y.

180

Page 183: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

11AULA

Figura 11.86: x2 − xy + y2 = 1 em um sistema coordenadas e

x′2

2+

3y′2

2= 1 no outro.

11.4 Resumo

Nesta aula, você conheceu as mudanças de coordenadas no plano

e vericou que efetuando rotações ou translações (ou ambas) dos

eixos coordenados podemos melhor reconhecer uma cônica ou, sim-

plesmente, facilitar a representação de uma equação.

11.5 Atividades

1. Uma mudança de eixos no plano manteve a origem xa, en-

quanto as coordenadas dos pontos (1, 0) e (0, 1) passaram a

ser (a, b) e (c, d), respectivamente.

(a) Quais são as novas coordenadas do ponto (2, 3)?

(b) Caso (a, b) = (1, 1) e (c, d) = (−1, 1), quais seriam as

novas coordenadas do ponto (0, 2)?

2. Determine a translação de eixos que elimina os termos x e y

na equação 9x2 + 4y2 + 18x+ 24y− 26 = 0 e permite, assim,

reconhecer a curva que ela representa.

181

Page 184: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Plano

3. Efetue uma rotação de −60o no eixos OX e OY e identique

a curva 31x2 + 21y2 + 10√

3xy = 144.

4. Se A = (a, b) e C = (c, d), sabemos que a expressão ac + bd

permanece invariante (ou seja, inalterada) por mudança de

coordenadas, pois é o produto interno 〈~u,~v〉 = |~u|·|~v| cos(AOC),

em que ~u =−→OA e ~v =

−−→OC. Mostre diretamente que se

A = (a′, b′) e C = (c′, d′) num novo sistema de coordenadas,

então a′c′ + b′d′ = ac+ bd.

5. Num sistema de coordenadas em que se tem F1 =

(−3√

32,−3

2

)

e F2 =

(3√

32,32

), determine a equação da elipse que tem

esses pontos como focos e cujo eixo menor tem comprimento

6.

6. Qual é a equação da parábola cujo foco é o ponto F = (1, 2)

e cuja diretriz é a reta x+ 2y = −5?

11.6 Comentário das atividades

Comentários : Conseguiu resolver as atividades 1,3 e 5? Então

você entendeu como funciona a mudança de coordenadas no plano

rotacionando os eixos coordenados. Se conseguiu fazer a atividade

2, percebeu como funcionam as mudanças de coordenadas usando

translações. Na questão 4, você deve ter combinado ambas as

mudanças, rotação e translação para resolvê-la. Ainda nesta ativi-

dade, você pôde perceber mais uma das propriedades dos vetores

mediante uma mudança de coordenadas.

Se ainda tiver diculdades, volte e reveja com cuidado os con-

182

Page 185: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

11AULA

ceitos apresentados na aula. Não esqueça que há tutores para

ajudar a eliminar as suas dúvidas. Desde já, lembre-se de discutir

os conteúdos com seus colegas.

11.7 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

183

Page 186: Vetores e Geometria Analítica
Page 187: Vetores e Geometria Analítica

12AULA

2LIVRO

Formas Quadráticas

META

Introduzir o conceito de formas qua-

dráticas no plano e exemplicá-las.

OBJETIVOS

Ao nal desta aula, o aluno deverá

reconhecer formas quadráticas

planares, ou seja, com 2 variáveis;

efetuar mudanças de coordenadas;

e utilizar a equação característica

associada a uma forma quadrática

para obter os autovalores e auto-

vetores com o intuito de melhor

visualizar cônicas cuja classicação

não seja imediata.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido as mudanças de

coordenadas e as denições das

cônicas (parábola, elipse e hipér-

bole)(Aulas 8, 10 e 11).

Page 188: Vetores e Geometria Analítica

Formas Quadráticas

12.1 Introdução

Nesta aula, aplicaremos nossos conhecimentos de mudança de co-

ordenadas e conheceremos outras ferramentas para ajudar na per-

cepção de cônicas cuja classicação não seja imediata.

Dadas as funções φ : R2 → R denidas por

φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F (12.1)

Iremos analisar o seu conjunto de nível.

Denição 12.35.

• Dizemos que o ponto P = (x, y) está no nível c (ou tem

nível c) em relação a φ quando φ(x, y) = c, com c ∈ R.

• O conjunto de pontos P = (x, y) que obedecem a φ(x, y) = c

é chamado de conjunto de nível.

Exemplo 12.1.1. Seja f : R2 → R, dada por f(x, y) = x − 2y,

então o conjunto de nível dado por f(x, y) = c são todas as retas

da forma x− 2y = c.

Figura 12.87: x− 2y = c.

186

Page 189: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

12AULA

Exemplo 12.1.2. Já para a função φ(x, y) = x2 + y2, note que os

conjuntos de nível de φ(x, y) = c com c > 0 são circunferências de

raio√c.

Figura 12.88: x2 + y2 = c.

Retornando à função (12.1), vamos analisar o caso particular

em que D = E = F = 0, ou seja,

φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2. (12.2)

E assim, (12.2) é um polinômio de segundo grau homogêneo (todas

as parcelas têm grau 2).

Denição 12.36 (Forma Quadrática).

Os polinômios a duas variáveis na forma

φ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2, (x, y) ∈ R2 (12.3)

e A,B,C ∈ R são chamados de Formas Quadráticas.

Polinômios como em (12.3) são encontrados em problemas de

Geometria Diferencial, Mecânica, Análise Matemática etc.

187

Page 190: Vetores e Geometria Analítica

Formas Quadráticas

12.2 Mudando as coordenadas

Dada a forma quadrática φ, iremos introduzir novas coordenadas

(s, t) obtidas por uma rotação dos eixos x e y de um ângulo θ e

teremos

x = as− bt, y = bs+ at

Observação 19. Você deve recordar-se de que a2 + b2 = 1, com

a = cos θ e b = sen θ.

Assim,

φ(x, y) = φ (as− bt, bs+ at) = A′s2 + 2B′st+ C ′t2

em que

A′ = Aa2 + 2Bab+ Cb2 (12.1)

B′ = −Aab+B(a2 − b2) + Cab (12.2)

C ′ = Ab2 − 2Bab+ Ca2 (12.3)

12.3 A equação característica, autovalores e

autovetores

Para facilitar o nosso trabalho, vamos escolher um ângulo θ con-

veniente, de tal sorte que B′ = 0. Primeiramente, vamos vericar

se isso é possível.

Tomando

B′ = a(Ba+ Cb)− b(Aa+Bb)

(obtida apenas reescrevendo a equação (12.2), percebemos que

B′ = 0 se, e somente se, o vetor ~w = (Aa+Bb,Ba+ Cb) for

188

Page 191: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

12AULA

múltiplo de ~u = (a, b), isto é, se existir um λ ∈ R, tal que

Aa+Bb = λa e Ba+ Cb = λb,

ou ainda (A − λ)a + Bb = 0 e Ba + (C − λ)b = 0. Em outras

palavras, constatamos que o vetor unitário (neste caso, ~u = (a, b)

é o mesmo que ~u = (cos θ, sen θ), assim |~u| = 1) ~u = (a, b) é uma

solução (não-trivial, ou seja, não sendo ambos (a e b) nulos) dos

sistemas: (A− λ)x+By = 0

Bx+ (C − λ)y = 0,(12.1)

para algum λ convenientemente escolhido.

Observe que no sistema (12.1), colocando

x = −(C − λ)B

y ⇒ (A− λ)(−(C − λ)

By

)+By = 0

⇒ y(B2 − (A− λ)(C − λ)

)= 0

Como estamos considerando soluções para o sistema que não sejam

triviais, temos, então, que

B2 − (A− λ)(C − λ) = 0,

o que resulta em:

λ2 − (A+ C)λ+AC −B2 = 0 (12.2)

e é conhecida como a equação característica da forma quadrá-

tica φ, ou da matriz

A B

B C

, chamada matriz de φ.

Note ainda que o discriminante da equação característica (12.2)

é dado por

∆ = (A+ C)2 − 4 · (1) · (AC −B2) = (A− C)2 + 4B2 ≥ 0

Portanto, a equação característica sempre tem raízes reais.

189

Page 192: Vetores e Geometria Analítica

Formas Quadráticas

Exemplo 12.3.1. Dada a forma quadrática ϕ(x, y) = 5x2 +6xy+

5y2, sabendo que a equação característica é da forma

λ2 − (A+B) λ+ (AC −B2) = 0,

vericamos que para A = 5, B = 3 e C = 5 há a seguinte equação:

λ− (5 + 5)λ+ (5 · 5− 32) = 0⇒ λ− 10λ+ 16 = 0

, cujas raízes são λ1 = 2 e λ2 = 8.

Denição 12.37. As raízes λ1, λ2 da equação característica são

chamadas de autovalores da forma quadrática φ ou de sua matrizA B

B C

.

Observação 20.

• λ1 e λ2 são os únicos valores para λ, tal que o sistema (12.1)

admite soluções não-triviais.

• Se (x, y) é uma solução do sistema (12.1), então para todo k ∈

R, (kx, ky) é também solução do mesmo sistema homogêneo.

Exercício 12.3.1. Mostre que se (x, y) é uma solução do sistema

(12.1), então para todo k ∈ R, (kx, ky) é também solução.

Voltando ao sistema de eixos, vejamos como proceder para en-

contrar a rotação (ou seja, o vetor unitário ~u = (a, b) que torna

B′ = 0).

Primeiro - Resolver a equação característica. Seja λ1 uma de

suas raízes.

Segundo - Tomamos uma solução não-trivial da equação Ax +

By = λ1x (por exemplo, x = 1 e y = (λ−A)/B).

190

Page 193: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

12AULA

Terceiro - Encontrada a solução (x, y), colocamos a =x√

x2 + y2

e b =y√

x2 + y2.

Veja que ~u = (a, b) é o vetor unitário cujas coordenadas obedecem

a Aa+Bb = λ1b e Ba+ Cb = λ1b.

Denição 12.38. O vetor ~u = (a, b), que é uma solução não-

trivial do sistema (12.1) com λ = λ1, chamamos de um autovetor

de φ (ou da matriz

A B

B C

), associado ao autovalor λ1.

Observação 21. Note que o vetor ~u′ = (−b, a) , obtido rotacionando

o vetor unitário ~u = (a, b) em mais 90o, é também um autovetor

de φ, porém associado a λ2. (Veja a atividade (2).)

12.4 Mais algumas propriedades

Encontrados os autovalores λ1 e λ2, não é preciso calcular A′ e C ′.

Na verdade, A′ = λ1 e C ′ = λ2, automaticamente.

Para conrmar isso, tome A′ = Aa2 + 2Bab + Cb2 e C ′ =

Ab2 − 2Bab+ Ca2, que serão desenvoldidas da seguinte forma:

A′ = Aa2 + 2Bab+ Cb2

= Aa2 +Bab+Bab+ Cb2

= (Aa+Bb)a+ (Ba+ Cb)b

= λ1a2 + λ1b

2

= λ1

191

Page 194: Vetores e Geometria Analítica

Formas Quadráticas

C ′ = Ab2 − 2Bab+ Ca2

= Ab2 −Bab−Bab+ Ca2

= (A(−b) +Ba)(−b) + (B(−b) + Ca)a

= λ2(−b)2 + λ2a2

= λ2

Portanto, A′ = λ1 e C ′ = λ2.

Desta forma, podemos efetuar uma conveniente mudança de

coordenadas, introduzida após a rotação dos eixos coordenados

pelo vetor ~u = (a, b), possibilitando a φ assumir

φ(s, t) = φ(as− bt, bs+ at) = λ1s2 + λ2t

2

Isso facilita a identicação dos conjuntos de nível denidos por

equações do tipo φ(x, y) = c, com c constante.

12.4.1 Observando o produto das raízes da equação

do segundo grau.

Você já deve ter percebido que o produto das raízes da equação de

segundo grau (12.2) é dado por λ1 · λ2 = AC −B2. A partir desse

produto, podemos levantar três possibilidades:

(I) (AC −B2 > 0) Então λ1 e λ2 têm mesmo sinal, e temos que

se c 6= 0, o conjunto de nível é dado pela equação φ(x, y) = c,

ou seja,

λ1s2 + λ2t

2 = c.

1. Caso c tenha o mesmo sinal que λ1 e λ2,

λ1s2 + λ2t

2 = c⇒ s2

m2+t2

n2= 1 com

m =√

c

λ1e n =

√c

λ2.

192

Page 195: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

12AULA

2. Caso c tenha sinal oposto a λ1 e λ2, então o conjunto

de nível λ1s2 + λ2t

2 = c é vazio.

3. E se c = 0, então o conjunto de nível é apenas o ele-

mento (0, 0), pois é o único ponto que satisfaz λ1s2 +

λ2t2 = 0.

(II) (AC − B2 < 0) Neste caso, λ1 e λ2 têm sinais opostos, e

temos que se c 6= 0, o conjunto de nível é dado pela equação

φ(x, y) = c, ou seja,

λ1s2 + λ2t

2 = c.

1. Caso c tenha o mesmo sinal que λ1 e contrário ao de λ2,

λ1s2 + λ2t

2 = c⇒ s2

m2− t2

n2= 1

com m =√

c

λ1e n =

√− c

λ2.

2. Se c tem sinal oposto a λ1 (e claramente, c e λ2 têm

mesmo sinal), então o conjunto de nível φ(x, y) = c é

dado por

λ1s2 + λ2t

2 = c⇒ t2

m2− s2

n2= 1

com m =√− c

λ1e n =

√c

λ2.

. Em ambos os itens, com c 6= 0, o conjunto de nível

são hipérboles.

3. E se c = 0, então de λ2,

λ1s2 + λ2t

2 = 0⇒ t2 = −λ1

λ2s2

Logo o conjunto de nível é denido por um par de retas

t = ±ks, com k = λ1/λ2.

193

Page 196: Vetores e Geometria Analítica

Formas Quadráticas

(III) (AC−B2 = 0) Então λ1 ·λ2 = 0, ou seja, têm mesmo sinal,

além disso, consideramos que um dos autovalores, isto é, λ2

é igual a zero. Não pode ocorrer que λ1 também seja igual a

zero, pois caso isso aconteça, teríamos que

A+ C = λ1 + λ2 = 0,

. Mas como AC − B2 ≥ 0 ⇒ AC = B2 ≥ 0, e assim, A e

C têm sinais opostos, o que resultaria em A = C = 0 e B =√AC. Diante disso, a forma ϕ desapareceria. Logo, como

λ1 e λ2 não são ambos nulos, o conjunto de nível (também

chamado de linha de nível) é representado nas coordenadas

s, t pela equação λ1s2 = c, ou ainda, s2 = c/λ1 que será:

1. vazia se c e λ1 tiverem sinais opostos;

2. formada pelas retas paralelas s = ±√c/λ1 se c e λ1 têm

mesmo sinal e será a reta s = 0 se c = 0.

Exemplo 12.4.1. Retomando o exemplo (12.3.1) e fazendo uma

rotação dos eixos, introduz coordenadas (s, t), tal que

ϕ(x, y) = 5x2 + 6xy + 5y2 = 2s2 + 8t2 = ϕ(s, t)

Perceba que a equação 2s2 +8t2 = c não tem solução se c < 0, tem

a única solução s = t = 0 se c = 0 e, para c > 0, é equivalente a

s2

α2+t2

β2= 1,

com α =√c/2 e β =

√c/8. Notamos ainda que

s2

α2+t2

β2= 1

representa uma elipse. Portanto, as linhas de nível denidas por

5x2 + 6xy + 5y2 = c, para cada número real c xado,

• são vazias se c < 0;

194

Page 197: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

12AULA

Figura 12.89: 5x2 + 6xy + 5y2 = c.

• serão apenas um ponto O = (0, 0) se c = 0;

• e serão elipses se c > 0.

O eixo maior dessa elipse é o eixo s, ou seja, é a reta que passa pela

origem e contém todos os pontos P = (x, y), soluções não-triviais

da equação Ax+By = λ1x que, neste caso, seria

5x+ 3y = 2x⇒ x+ y = 0

Veja que ~u =

(−√

22,

√2

2

)é um vetor unitário da reta x+ y = 0

e determina a orientação do eixo O′X ′, que é o eixo s. O ângulo

de rotação do eixo OX para o eixo O′X ′ é dado por

cos θ =|〈~u,~i〉||~u| |~i|

=

∣∣∣∣∣〈(−√

22,

√2

2

), (1, 0)〉

∣∣∣∣∣1 · 1

=√

22,

o que resulta em θ = 135o, pois em ~u a coordenada x é negativa

(−√

2/2), enquanto a coordenada y é positiva (√

2/2). Como o

ângulo de OX para O′X ′ é de 135o, esta é a rotação que se deve fa-

zer para passar das coordenadas x, y para s, t. Sendo√α2 − β2 =√

3c8, os focos da elipse têm coordenadas s = ±

√3c8

no sistema

O′X ′Y ′.

195

Page 198: Vetores e Geometria Analítica

Formas Quadráticas

Observação 22. Se tivéssemos tomado ~u′ = −~u =(√

2/2,−√

2/2)

para orientar o eixo O′X ′, a rotação de OX para O′X ′ seria de

−45o.

Exemplo 12.4.2. Seja ϕ(x, y) = x2 + 4xy−2y2. Iremos proceder

de forma análoga aos exemplos (12.3.1) e (12.4.1). Assim, a equa-

ção característica desta forma quadrática é λ2 − λ − 6 = 0, cujas

raízes são λ1 = 3 e λ2 = −2. Uma rotação dos eixos introduz no

plano coordenadas s, t tal que

x2 + 4xy − 2y2 = 3s2 − 2t2.

Observando as linhas de nível ϕ(x, y) = c, constatamos que elas

podem ser reescritas como

3s2 − 2t2 = c⇒ s2

c/3− t2

c/2= 1.

Logo,s2

c/3− t2

c/2= 1 representa a hipérbole, tomando α =

√c/3

e beta =√c/2 se c > 0 ou a hipérbole

t2

c/3− s2

c/2= 1,

tomando, desta vez, α =√−c/3 e β =

√−c/2 se c < 0. Então,

para todo c 6= 0, a equação x2 + 4xy − 2y2 = c representa uma

hipérbole. Mas no caso em que 3s2 − 2t2 = 0, temos

(√

3s+√

2t) · (√

3s−√

2t) = 0.

E assim, as soluções dessa equação são os pontos (s, t) que se en-

contram sobre as retas√

3s +√

2t = 0 e√

3s −√

2t = 0. O que

nos diz que a equação x2 + 4xy − 2y2 = 0 dene um par de retas

que se interseptam na origem. Perceba, ainda, que da equação

196

Page 199: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

12AULA

Figura 12.90: x2 + 4xy − 2y2 = c.

x2 + 4xy − 2y2 = 0, temos que (usando a técnica de completar

quadrados)

x2 + 4xy − 2y2 = 0⇒ (x+ 2y)2 − 6y2 = 0

e então, x + (2 −√

6)y = 0 e x + (2 +√

6)y = 0 são as equações

da reta nas coordenadas x, y. Podemos concluir, desta forma, que

a equação x2 + 4xy − 2y2 = c dene uma hipérbole quando c 6= 0,

ou um par de retas que passam pela origem quando c = 0.

12.5 Resumo

Nesta aula, conhecemos a denição de conjunto de nível, além das

equações características, autovetores e autovalores, e algumas de

suas propriedades que formam uma técnica para facilitar a percep-

ção de cônicas cuja classicação não seja imediata.

197

Page 200: Vetores e Geometria Analítica

Formas Quadráticas

12.6 Atividade

1. Para cada uma das formas quadráticas a seguir, execute as

seguintes tarefas:

(a) escreva sua matriz e sua equação característica;

(b) obtenha seus autovalores;

(c) descreva seus conjuntos de nível;

(d) determine os novos eixos em cujas coordenadas a forma

quadrática se exprime como A′s2 + C ′t2.

As formas quadráticas são:

(a) ϕ(x, y) = x2 + 6xy + y2;

(b) ϕ(x, y) = x2 + xy + y2;

(c) ϕ(x, y) = xy.

2. Verique a observação (21), ou seja, dado o vetor ~u′ = (−b, a),

obtido da rotação do vetor ~u = (a, b) em mais 90o, é também

um autovetor de φ denido em (12.3), associado ao autovalor

λ2. Para esta vericação, faça o que se pede a seguir.

(a) Da equação característica (12.2), mostre que λ2 pode

ser reescrito como λ2 = A+ C − λ1.

(b) Sabendo que Ba + Cb = λ1b quando λ = λ1, mostre

que

A(−b) +Ba = λ2(−b) e que B(−b) + Ca = λ2a,

para conrmar que ~u′ = (−b, a) é um autovetor associ-

ado ao autovalor λ2.

198

Page 201: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

12AULA

3. No caso em que AC − B2 = 0, conforme o item (III) em

(12.4.1), mostre o que se pede nos quesitos seguintes.

(a) Supondo A ≥ 0, B ≥ 0 e C ≥ 0, tomando m =√A e

n =√C, a forma quadrática pode ser reescrita como

ϕ(x, y) = (mx+ ny)2.

(b) Interprete geometricamente as linhas de nível (conjunto

de nível), ϕ(x, y) = c, nos casos em que c ≥ 0 e c < 0.

(c) Como pode ser reescrita a forma ϕ em que:

i. se A ≥ 0, C ≥ 0 e B < 0;

ii. se A < 0, C < 0 e B ≥ 0;

iii. se A < 0, C < 0 e B < 0.

12.7 Comentário das atividades

Se você conseguiu resolver a atividade 1 (em particular, os itens (c)

e (d)), então entendeu a denição de forma quadrática. Se fez as

atividades 1(a), 1(b) e 2, deve ter usado bem o conceito de equa-

ção característica de uma forma quadrática, além de autovalores e

autovetores. E quanto à atividade 3? Caso tenha obtido êxito na

sua resolução, então entendeu a relação entre o produto de raízes

da equação de segundo grau na seção (1.3.1).

Lembre-se de que há tutores a sua desposição para esclareci-

mento das dúvidas. Não exite em procurá-los, pois a ajuda deles é

muito importante no processo de sua aprendizagem. Além disso,

é sempre bom retomar os pontos da aula para uma releitura, já

que isso contribui na resolução das atividades. Sempre que possí-

vel, procure seus colegas de curso para discutir as questões. Essa

199

Page 202: Vetores e Geometria Analítica

Formas Quadráticas

prática não só contribui para fomentar o debate dos conteúdos

estudados, mas também promove o entrosamento entre vocês.

12.8 Referências

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro: IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-

kron Books, 1987.

200

Page 203: Vetores e Geometria Analítica

13AULA

2LIVRO

A Equação Geral doSegundo Grau

META

Introduzir o conceito de equação

geral do segundo grau (com 2

variáveis) e suas propriedades.

OBJETIVOS

Ao nal desta aula, o aluno deverá

ser capaz de aplicar os conhe-

cimentos de formas quadráticas

e mudanças de coordenadas no

plano para encontrar as soluções

de equações gerais do segundo grau

com duas variáveis e representá-las

no plano.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido o conceito de

formas quadráticas (Aula 12).

Page 204: Vetores e Geometria Analítica

A Equação Geral do Segundo Grau

13.1 Introdução

Olá, caro aluno! Nesta aula, iremos conhecer um pouco mais a

respeito da equação geral do segundo grau que, de certo modo,

começamos a observar na Aula 12.

A forma geral de uma função quadrática de duas variáveis é

ϕ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F (13.1)

Mostraremos a você que a linha de nível (ou conjunto de nível)

ϕ(x, y) = 0 é uma elipse, hipérbole e parábola, ou ainda, nos casos

excepcionais, a elipse pode reduzir-se a um ponto ou ao conjunto

vazio; a hipérbole pode degenerar-se num par de retas concorrentes

e, em vez de uma parábola, pode haver um conjunto vazio, uma

reta ou um par de retas paralelas.

13.2 Relembrando mudança de coordenadas

Como você deve estar lembrado, na Aula 11, trabalhamos as mu-

danças de coordenadas no plano. E, mais uma vez, iremos usá-las

para fazer uma translação dos eixos. Fazendo x = s+h, y = t+k,

temos que, com as devidas substituições

ϕ(s, t) = ϕ(s+ h, t+ k)

ϕ(s+h, t+k) = A(s+h)2+2B(s+h)(t+K)+C(t+k)2+D(s+h)+E(t+k)+F

ϕ(s, t) = As2 + 2Bst+ Ct2 +D′s+ E′t+ F ′ (13.1)

202

Page 205: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

13AULA

em que:

D′ = 2Ah+ 2Bk +D

E′ = 2Bh+ 2Ck + E

F ′ = Ah2 + 2Bhk + Ck2 +Dh+ Ek + F

Note que os coecientes A, B e C são invariantes por translação e

o coeciente F ′ afeta apenas o nível a que as linhas (ϕ(x, y) = c ou

ϕ(s, t) = c′) estão relacionadas, não afetando suas características.

Visando facilitar o estudo da equação geral do segundo grau,

vamos procurar h e k para que D′ = E′ = 0. Isto é, queremos

solucionar o sistema: Ah+Bk = −D2

Bh+ Ck = −E2

Caso AC−B2 6= 0, o sistema anterior tem solução única (h, k) e a

translação, tomando x = s+ h e y = t+ k, permite que nas novas

coordenadas (s, t) a forma quadrática que na forma

ϕ(s, t) = As2 + 2Bst+ Ct2 + F ′ (13.2)

Veja que para ϕ(x.y) = 0 temos ϕ(s, t) = −F ′, em que ϕ é a forma

quadrática cujos primeiros três coecientes são os mesmos de ϕ, e

assim, retornando aos casos estudados na Aula 12.

Exemplo 13.2.1. Que curva plana a equação 5x2 + 6xy + 5y2 +

2x − 4y + 1 = 0 dene? Vamos efetuar a translação dos eixos

tomando x = s + h e y = t + k. Deste modo, a equação 5x2 +

6xy + 5y2 + 2x− 4y + 1 = 0 ca:

5(s+h)2 + 6(s+h)(t+ k) + 5(t+ k)2 + 2(s+h)− 4(t+ k) + 1 = 0

203

Page 206: Vetores e Geometria Analítica

A Equação Geral do Segundo Grau

5s2 + 6st+ 5t2 + (10h+ 6k + 2)s+ (6h+ 10k − 4)t+ F ′ = 0,

em que F ′ = 5h2 + 6hk + 5k2 + 2h− 4k + 1. Sendo assim, temos

o sistema 5h+ 3k = −1

3h+ 5k = 2

cuja solução é h = −11/16 e k = 13/16 e que resulta em F ′ =

−21/16. Neste caso, a equação (13.2) ca

5s2 + 6st+ 5t2 = 21/16.

Como foi possível vericar (veja o exemplo 3 e 4 na Aula 12),

a mesma equação introduz uma rotação de 135o, além de novas

coordenadas p e q, tal que

2p2 + 8q2 = 21/16. (13.3)

E da equação (13.3) percebemos que 5x2+6xy+5y2+2x−4y+1 = 0

dene uma elipse.

Figura 13.91: 5x2 + 6xy + 5y2 + 2x− 4y + 1 = 0

204

Page 207: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

13AULA

13.3 Vamos analisar quando AC −B2 = 0.

Para o caso em que AC −B2 = 0, o sistema Ah+Bk = −D2

Bh+ Ck = −E2

(13.1)

pode ser indeterminado ou impossível, dependendo da segunda

equação ser ou não múltipla da primeira. No caso em que o sistema

(13.1) seja indeterminado, usando uma solução qualquer (h, k), a

translação de eixos x = s+h e y = t+k torna D′ = E′ = 0, de tal

sorte que nas coordenadas (s, t) a função quadrática transforma-se

em

ϕ(s, t) = As2 + 2Bst+ Ct2 + F ′ (13.2)

Como AC −B2 = 0, a equação característica da forma quadrática

As2 + 2Bst+ Ct2 é

λ2 − (A+ C)λ = 0⇒ λ[λ− (A+B)] = 0,

de que obtemos as raízes λ1 = A+C 6= 0 e λ2 = 0. Efetuando uma

rotação conveniente sobre os eixos, introduz coordenadas (p, q), e

assim,

ϕ(x, y) = ϕ(s, t) = ϕ(p, q) = (A+C)p2+0·q2+F ′ = (A+C)p2+F ′′,

ou seja, ϕ(p, q) = (A + C)p2 + F ′′, de modo que a curva de nível

zero de ϕ(e consequentemente, ϕ) é o conjunto vazio ou um par de

retas paralelas se F ′′ 6= 0, e uma só reta se F ′′ = 0.

Vejamos os exemplos a seguir.

Exemplo 13.3.1. 1. Que curva plana é representada pela equa-

ção

x2 + 4xy + 4y2 + 2x+ 4y + 1 = 0?

205

Page 208: Vetores e Geometria Analítica

A Equação Geral do Segundo Grau

Mais uma vez, vamos achar h e k, tal que a translação de

eixos x = s + h e y = t + k elimine os termos 2x e −4y na

equação. Com esta intenção, chegamos ao sistema h+ 2k = −1

2h+ 4k = −2

que é indeterminado. Neste caso, você pode perceber que se

colocarmos h = 1 e k = −1, temos da primeira equação do

sistema

h+ 2k = −1⇒ 1 + 2(−1) = −1

que é uma de suas soluções e, de brinde, efetuando as devidas

translações, x = s + 1 e y = t − 1, transforma a equação

x2 + 4xy + 4y2 + 2x+ 4y + 1 = 0 em s2 + 4st+ 4t2 = 0, ou

ainda, em (s+ 2t)2 = 0, e assim,

s+ 2t = 0⇒ t = −s2,

implicando que a equação dene uma única reta.

2. Se a equação fosse x2 + 4xy + 4y2 + 2x + 4y − 1 = 0, nas

coordenadas s, t se tornaria

(s+ 2t)2 = 2⇒ s+ 2t = ±√

2,

então teríamos duas retas denidas pela equação.

3. Imagine, agora, que a equação fosse x2 + 4xy + 4y2 + 2x +

4y + 2 = 0 e, mais uma vez, colocando nas coordenadas s, t,

obtemos

(s+ 2t)2 + 1 = 0⇒ (s+ 2t)2 = −1

que dene o conjunto vazio, pois não é possível encontrar

pares (s, t) tais que sejam a solução de (s− 2t)2 = −1.

206

Page 209: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

13AULA

Figura 13.92: x2 +

4xy+4y2+2x+4y+

1 = 0

Figura 13.93: x2 +

4xy+4y2+2x+4y−

1 = 0

Figura 13.94: x2 +

4xy+4y2+2x+4y+

2 = 0

Se o sistema for impossível e AC − B2 = 0, neste caso não

encontramos h, k tal que D′ = E′ = 0. Porém, podemos encontrar

h e k de forma que E′ = 0 e, após efetuada a translação dos eixos

coordenados, obtendo

ϕ(x, y) = ϕ(s, t) = As2 + 2Bst+ Ct2 +D′s+ F ′ com D′ 6= 0,

e a equação característica da forma quadrática As2 + 2Bst+ Ct2

é λ2 − (A + C)λ = 0, cujas raízes são λ1 = A + C 6= 0 e λ2 = 0.

Efetuando uma rotação conveniente, inserindo novas coordenadas

p, q, tal que s = ap− bq

t = bp+ aq, com a2 + b2 = 1.

Substituindo, temos

ϕ(x, y) = ϕ(s, t) = ϕ(p, q) = (A+ C)p2 +D′(ap− bq) + F ′.

E assim, para a equação

ϕ(x, y) = 0⇒ (A+ C)p2 +D′(ap− bq) + F ′ = 0

⇒ (A+ C)p2 +D′ap−D′bq + F ′ = 0

207

Page 210: Vetores e Geometria Analítica

A Equação Geral do Segundo Grau

Vamos considerar que a 6= 0 e b 6= 0, pois, caso contrário, tería-

mos apenas rotações de 90o ou de 1800, ou seja, teríamos apenas

uma permuta entre os eixos s e t ou mudaríamos os sentidos da

orientação dos eixos. Como D′b 6= 0, da equação

(A+ C)p2 +D′ap−D′bq + F ′ = 0

⇒ q =(A+ C)D′b

p2 +D′a

D′bp+

F ′

D′b.

⇒ q =(A+ C)D′b

p2 +a

bp+

F ′

D′b.

o que, portanto, dene uma parábola.

Basta que você rees-creva a equação q =(A+ C)

D′bp2 +

a

bp+

F ′

D′bna forma q = αp2+βp+

γ com α =(A+ C)

D′b,

β =a

be γ =

F ′

D′b.

Observemos mais alguns exemplos.

Exemplo 13.3.2. Qual será a curva representada pela equação

4x2 + 12xy + 9y2 + 8x + 6y + 1 = 0? Fazendo as substituições

x = s− 2, y = t+ 1, convertemos essa equação em

4(s− 2)2 + 12(s− 2)(t+ 1) + 9(t+ 1)2 + 8(s− 2) + 6(t+ 1) + 1 = 0

4s2 + 12st+ 9t2 + 4s− 8 = 0

eliminando, assim, o coeciente de t, como sugerido anteriormente.

Usando o método apresentado na seção 1.2da Aula 12, vamos

efetuar uma rotação dos eixos s = ap − bq, t = bp + aq, com

a = 2√13

e b = 3√13

para eliminar o coeciente de st, convertendo

a equação ao seguinte formato

13p2 +8√13p− 12√

13q − 8 = 0

q =√

1312

(13p2 +

8√13p− 8

)o que dene uma parábola.

208

Page 211: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

13AULA

Figura 13.95: 4x2 + 12xy + 9y2 + 8x+ 6y + 1 = 0.

Exemplo 13.3.3. Seja ϕ(x, y) = x2 +2y2 +3x+4y+4. Queremos

eliminar os termos 3x e 4y e, para tanto, vamos encontrar h k na

translação x = s + h e y = t + k. Note que AC − B2 = 2 > 0, e

assim recaímos no caso (I) da seção 1.3.1 da Aula 12, ou seja,

ϕ(x, y) = 0 dene uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio.

Vamos ao trabalho!

Fazendo

ϕ(s+ h, t+ k) = (s+ h)2 + 2(t+ k)2 + 3(s+ h) + 4(t+ k) + 4

= s2 + 2hs+ h2 + 2t2 + 4ht+ 2k2

+ 3s+ 3h+ 4t+ 4k + 4

= s2 + 2t2 + (2h+ 3)s+ (4k + 4)t

+h2 + 2k2 + 3h+ 4k + 4

E com isso, para termos 2h + 3 = 0 e 4k + 4 = 0, iremos tomar

h = −32e k = −1, o que converte ϕ da seguinte forma:

ϕ(x, y) = ϕ(s− 32, t− 1) = s2 + 2t2 +

94

+ 2− 92− 4 + 4

ϕ(s, t) = s2 + 2t2 − 14

209

Page 212: Vetores e Geometria Analítica

A Equação Geral do Segundo Grau

Portanto, a equação x2 + 2y2 + 3x+ 4y + 4 = 0 pode ser reescrita

na formas2

(1/2)2+

t2

(1/√

8)2= 1

o que dene uma elipse com eixos 1/2 e 1/√

8 paralelos aos eixos

x e y.

Figura 13.96: x2 + 2y2 + 3x+ 4y + 4 = 0.

13.4 Resumo

Nesta aula, você conheceu formas de identicar cônicas a partir da

equação geral do segundo grau, usando ferramentas já conhecidas

como autovalores, autovetores, translações e rotações.

13.5 Atividades

1. Considere a equação 2x2 + 12xy + 18y2 + x+ y + 1 = 0.

(a) Mostre que AC −B2 = 0.

(b) Mostre que os autovalores da forma quadrática 2x2 +

12xy + 18y2 são λ1 = 20 e λ2 = 0.

210

Page 213: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

13AULA

(c) Seja ~u = (3/√

10,−1/√

10), mostre que ele é um au-

tovetor unitário associado à forma quadrática do item

anterior.

(d) Efetuando a mudança de coordenadas

x = 3√10s+ 1√

10t

y = − 1√10s+ 3√

10t,

mostre que esta rotação em torno da origem leva o vetor

~i = (1, 0) sobre ~u e que, além disso, nas novas coorde-

nadas, a equação 2x2 + 12xy+ 18y2 +x+ y+ 1 = 0 ca

na forma

(20√

10)t2 + 2s+ 4t+√

10 = 0 (13.1)

(e) Conclua informando qual a cônica que a equação (13.1)

dene.

2. Para cada uma das equações a seguir, identique detalhada-

mente a curva que ela dene e as mudanças de coordenadas

que permitiram esta conclusão.

(a) x2 + 3y2 − x+ y − 1 = 0;

(b) 4x2 + 12xy + 9y2 + 4x+ 6y + 1 = 0;

(c) x2 + 2xy + y2 + x+ y − 1 = 0;

(d) 3x2 + 6xy + 3y2 + 4x+ 6y + 1 = 0.

13.6 Comentário das atividades

. Se você conseguiu resolver a atividade 1, então começou a enten-

der o funcionamento da mudança de coordendas para identicar

211

Page 214: Vetores e Geometria Analítica

A Equação Geral do Segundo Grau

o conjunto de nível que obedece à equação dada. Ao solucionar

a atividade 2, pôde perceber que é possível usar esta técnica em

mais exemplos.

Lembre-se sempre de que há tutores a distância e presenciais

para ajudá-lo em suas dúvidas. Além disso, é importante que você

as compartilhe com seus colegas de curso.

13.7 Referências

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro: IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-

kron Books, 1987.

212

Page 215: Vetores e Geometria Analítica

14AULA

2LIVRO

Transformações Line-ares

META

Explorar e ilustrar algumas trans-

formações de R2 em R2, bem como

as transformações lineares.

OBJETIVOS

Ao nal desta aula, o aluno deverá

ser capaz de identicar e utilizar

as transformações do plano sobre o

plano.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido as mudanças de

coordenadas, além do conceito de

elipse (aulas 9 e 11).

Page 216: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

14.1 Introdução

Olá caro aluno! Nesta aula iremos conhecer o conceito de transfor-

mação linear e alguns exemplos sobre ela para nos familiarizarmos

com este tipo especial de função. Nesses exemplos, além de co-

nhecermos algumas transformações clássicas como a translação,

homotetia, rotação e projeção, aprenderemos que essas transfor-

mações podem ser representadas de forma matricial. Também ob-

servaremos uma aplicação desse conteúdo, em que a imagem de

uma transformação linear sobre os vetores de uma circunferência

unitária será uma elipse.

Vejamos o seguinte exemplo.

Exemplo 14.1.1. Se de um quilograma de soja são extraídos 0, 2

litros de óleo, de uma produção de x kg de soja seriam extraídos

0, 2x litros de óleo. Escrevendo na linguagem de funções, teremos

O(s) = 0, 2s,

com O = quantidade de óleo de soja em litros e s = quan-

tidade em kg de soja, que podemos representar gracamente

como na gura a seguir.

A função O(s) é uma função linear As funções lineares descre-

Toda função tal que

f : R → Rx f(x) = ax

com a um número realconstante, é conside-rada uma função li-

near.

vem o tipo mais simples de dependência entre variáveis e muitos

problemas podem ser representados por tais funções.

Neste exemplo simples, vamos analisar duas características im-

portantes:

1. Para calcular a produção de óleo fornecida por (s1 + s2)kg

de soja, podemos tanto multiplicar (s1 + s2) por 0, 2 como

calcular as produções de óleo de cada uma das quantidades

214

Page 217: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

Figura 14.97: O(s) = 0, 2s, com s ≤ 0.

s1 e s2 e somá-las, isto é,

O(s1+s2) = 0, 2·(s1+s2) = 0, 2·s1+0, 2·s2 = O(s1)+O(s2).

2. Se a quantidade de soja for multiplicada por um fator k, a

produção de óleo será multiplicada por esse mesmo fator, isto

é,

O(λs) = 0, 2 · (λs) = λ(0, 2 · s) = λO(s).

Estas duas propriedades, que, neste caso, são de fácil observação,

servirão para caracterizar o que denominaremos transformação

linear. Uma transformação é sinônimo de função.

Mas, primeiramente, vamos conhecer a denição de transfor-

mação.

14.2 Transformações no plano

Denição 14.39. Uma transformação T : R2 → R2 faz corres-

ponder a cada vetor ~v = (x, y) ∈ R2 um vetor T (~v) = T (x, y) ∈ R2,

chamado a imagem (ou o transformado) de ~v por T .

215

Page 218: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

As coordenadas de T (~v) são números que dependem das coor-

denadas x, y de ~v, portanto,

T (~v) = T (x, y) = (f(x, y), g(x, y)) ,

isto é, dar uma transformação T : R2 → R2 é o mesmo que dar as

funções f, g : R2 → R, chamadas funções-coordenadas de T .

Exemplo 14.2.1. A transformação

T : R2 → R2

~v 7→ T (~v) = 0 · ~v = ~0.

Para todo vetor ~v ∈ R2, a transformação leva no vetor nulo ~0.

) é uma função entre dois vetores(espaços vetoriais) que pre-

serva as operações de adição vetorial e multiplicação escalar

Exemplo 14.2.2 (Transformação Identidade). A transfor-

mação

Id : R2 → R2

~v 7→ Id(~v) = ~v

A cada vetor ~v ∈ R2 a transformação leva no próprio vetor Id(~v) =

~v.

Exemplo 14.2.3. Dado o vetor ~w = (a, b), a translação T~w : R2 →

R2, denida por

T~w(x, y) = (x+ a, y + b)

para todo vetor ~v = (x, y) ∈ R2, é uma transformação de R2. Em

particular, se ~w = (1, 2), a transformação será dada por T~w(x, y) =

(x + 1, y + 2). Note que as funções coordenadas são dadas por

f(x, y) = x + a e g(x, y) = y + b. Atente para a gura após o

exemplo a seguir.

216

Page 219: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

Figura 14.98: T~w(~v) = (x+ 1, y + 2).

Exemplo 14.2.4. As funções-coordenadas de uma transformação

podem ser tomadas arbitrariamente. Por exemplo, se tomarmos

f, g : R2 → R com f(x, y) = xy2 e g(x, y) = cos(xy), então

teremos a transformação T : R2 → R2, denida por T (x, y) =

(xy2, cos(xy)).

Nossa intensão é estudar exemplos de transformações com funções-

coordenadas mas simples que as do exemplo anterior.

Exemplo 14.2.5 (Expansão (ou Contração) Uniforme). As

transformações do tipo:

T : R2 → R2 e λ ∈ R+

~v 7→ T (~v) = λ~v

Por exemplo,

T : R2 → R2.

(x, y) 7→ T (x, y) = 2(x, y)

Esta transformação leva cada vetor do plano num vetor de mesma

direção e sentido de ~v, mas de módulo maior. Caso tivéssemos

217

Page 220: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

λ = 1/3 em vez de λ = 2, o módulo do vetor seria menor que o de

~v, porém com mesmos sentido e direção. Na verdade, neste caso,

quando temos as seguintes possibilidades:

1. λ > 1 é uma expansão(isto é, T (~v) tem módulo maior que

~v);

2. λ = 1 é transformação de identidade(ou seja, T = Id);

3. λ < 1 é uma contração(isto é, T (~v) tem módulo menor que

~v).

Exemplo 14.2.6 (Rotação em torno da origem.). Fixando

um ângulo θ, a rotação R = Rθ : R2 → R2 faz corresponder a cada

~v = (x, y) o vetor R(~v) = (x′, y′), de mesmo comprimento que ~v,

tal que o ângulo de ~v para R(~v) é θ (no sentido anti-horário). Note

que na gura (14.99), o vetor ~v tem coordenadas

x = r cosα e y = rsenα,

com r = |~v|, as coordenadas do vetor R(~v) sejam

x′ = r cos(α+ θ) e y′ = r sen (α+ θ).

Usando as relações já conhecidas

cos(α+ θ) = cosα cos θ − senα sen θ e

sen (α+ θ) = senα cos θ + cosα sen θ,

e substituindo-as em R(~v), obtemos x′ = r (cosα cos θ − senα sen θ)

y′ = r (senα cos θ + cosα sen θ)

218

Page 221: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

Figura 14.99: R(~v) = Rθ(~v) é o vetor ~v rotacionado num ângulo

θ.

x′ = (r cosα)︸ ︷︷ ︸ cos θ− (rsenα)︸ ︷︷ ︸ sen θ

x y

y′ = (r cosα)︸ ︷︷ ︸ sen θ+ (rsenα)︸ ︷︷ ︸ cos θ

x y

E assim, Rθ(~v) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ). Podemos

ainda colocar numa forma matricial,

Rθ(~v) =

x cos θ − y sen θ

xsen θ + y cos θ

=

cos θ −sen θ

sen θ cos θ

xy

.

No caso particular em que θ =π

2, cos θ = 0 e sen θ = 1. Então, se

~v = (x, y),

Rθ(~v) = Rθ(x, y) =

0 −1

1 0

xy

.⇒ Rθ(~v) = (−y, x).

Acreditamos que você tenha percebido, no Exemplo (14.2.6),

que as coordenadas do vetor Rθ(~v) são dadas em termos das coor-

denadas de ~v. E, por isso, esteja questionando a possibilidade de

219

Page 222: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

Figura 14.100: Com ~v = (x, y) e θ = π/2 ⇒ Rθ(x, y) = (−y, x).

fazer o contrário, ou seja, escrever as coordenadas do vetor ~v em

termos das coordenadas de Rθ(~v).

A resposta para o seu questionamento é sim! Pois basta aplicar-

mos uma rotação (neste caso, fazemos uma rotação de −θ e, desta

forma, cos(−θ) = cos(θ) , pelo fato de o cosseno ser uma função

par e sen (−θ) = −sen (θ) , pois o seno é uma função ímpar) de

Toda função f : R →R, tal que f(−x) =f(x), ∀x ∈ R, é con-siderada par, e sef(−x) = −f(x), a fun-ção é considerada ím-

par.

−θ em Rθ(~v) e retornamos ao vetor ~v, da seguinte forma: x = x′ cos θ + y′ sen θ

y = −x′ sen θ + y′ cos θ

ATENÇÃO: Devemos notar a analogia e, ao mesmo

tempo, a diferença entre as equações anteriores e aquelas es-

tudadas na Aula 11 (Mudança de Coordenadas no Plano).

Neste caso, estamos mantendo xos os eixos e girando os

vetores, enquanto nas equações daquela aula os vetores -

cavam xos e os eixos se moviam. Na Aula 11, as equações

exprimiam as novas coordenadas de um mesmo vetor em

função da antigas; nesta aula, elas exprimem as coordena-

das do vetor Rθ(~v) em termos das coordenadas de ~v.

220

Page 223: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

Exemplo 14.2.7. (Projeção ortogonal sobre uma reta

que contém a origem.) Seja r a reta em R2 dada pela equação

y = ax. A projeção ortogonal sobre r é a transformação P : R2 →

R2 que faz corresponder a todo ~v = (x, y) o vetor P (~v) = (x′, y′),

cuja extremidade é o pé da perpendicular baixada de ~v sobre a

reta r. Então temos y′ = ax′. Para obtermos as coordenadas de

P (~v) em função das coordenadas de ~v, iremos observar o Teorema

de Pitágoras aplicado ao triângulo OAB na gura a seguir. Note

que

Figura 14.101: |~v|2 = |P (~v)|2 + |~v − P (~v)|2

~v = (x, y) ⇒ |~v|2 = x2 + y2

P (~v) = (x′, ax′) ⇒ |P (~v)|2 = (x′)2 + (ax′)2

~v − P (~v) = (x− x′, y − ax′) ⇒ |~v − P (~v)|2 = (x− x′)2 + (y − ax′)2

O que resulta em

x2 + y2 = (x′)2 + (ax′)2 + (x− x′)2 + (y − ax′)2

(1 + a2)x′ = x+ ay

221

Page 224: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

E assim podemos reescrever as funções-coordenadas de P (~v) =

(x′, y′) como

x′ =1

1 + a2x+

a

1 + a2y

y′ =a

1 + a2x+

a2

1 + a2y

Observação 23. Note que se ~w = (x′, ax′), existem innitos vetores

~v = (x, y) tal que P (~v) = ~w. (A saber, todos os vetores que têm

extremidades em A e em qualquer outro ponto perpendicular à reta

r e passando por B. Veja na gura (14.102).) Com isso, dizemos

Figura 14.102: ~w = B −A

que R é uma transformação invertível, mas P não é.

14.3 Transformações lineares

Denição 14.40. (Transformações Linares) Uma transfor-

mação T : R2 → R2 é chamada linear quando há números a, b, c

e d tal que

T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy) (14.1)

para qualquer vetor ~v = (x, y) ∈ R2.

222

Page 225: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

As transformações de identidade (Id do exemplo 14.2.2) e nula

(no exemplo 14.2.1) são linares, enquanto a projeção (no exemplo

14.2.7) e a translação (exemplo 14.2.3) não são lineares.

Perceba que em toda transformação linear na forma (14.1) tem-

se T (0, 0) = (0, 0). O que não ocorre com a translação (exemplo

14.2.3), pois T~w(x, y) = (0 + a, 0 + b) 6= (0, 0).

Denição 14.41. A tabela

a b

c d

chama-se a matriz da transformação linear T . Os vetores-coluna

(a, c) e (b, d) dessa matriz são os transformados por T dos vetores

~i = (1, 0) e ~j = (0, 1) da base canônica, isto é, T (~i) = (a, c) e

T (~j) = (b, d).

A denição dada nesta aula de transformação linear é equiva-

lente à armação seguinte.

Armação - Se T : R2 → R2 é uma transformação linear,

então, dados arbitrariamente ~u,~v ∈ R2 e α ∈ R, tem-se

T (~u+ ~v) = T (~u) + T (~v) e T (α~u) = αT (~u). (14.2)

De fato, seja a matriz de T dada por

a b

c d

. Se ~u = (x1, y1) e

~v = (x2, y2), temos então que ~u + ~v = (x1 + x2, y1 + y2) e α~u =

223

Page 226: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

(αx1, αy1), e assim

T (~u+ ~v) = (a(x1 + x2) + b(y1 + y2), c(x1 + x2) + d(y1 + y2))

(ax1 + ax2 + by1 + by2, cx1 + cx2 + dy1 + dy2)

(ax1 + by1, cx1 + dy1) + (ax2 + by2, cx2 + dy2)

T (~u) + T (~v)

T (α~u) = (a(αx1) + b(αy1), c(αx1) + d(αy1))

α(ax1 + by1, cx1 + dy1)

αT (~u)

.

E ainda, reciprocamente, se T : R2 → R2 é uma transformação

que satisfaz às condições (14.2), então T é linear. De fato, sejam

T (~i) = (a, c) e T (~j) = (b, d) , então, dado um vetor ~v = x~i + y~j,

temos que

T (~v) = T (x~i+ y~j) = T (x~i) + T (y~j) = xT (~i) + yT (~j)

x(a, c) + y(b, d) = (ax, cy) + (bx, dy)

(ax+ by, cx+ dy)

.

Isso conclui a demonstração da armação e sua recíproca.

Note que, apesar de termos visto até agora exemplos de trans-

formações de R2 em R2, é possível encontrarmos exemplos de trans-

formações lineares de R em R. É o caso do Exemplo (14.1.1), que

é uma função do tipo f : R→ R denida por f(x) = ax (chamada

de função linear), com a um número real não nulo e que obedece

às duas propriedades dadas nas equações (14.2).

Denição 14.42. Dizemos que a matriz M tem posto nulo

quando M for a matriz nula, isto é,

M =

0 0

0 0

.

224

Page 227: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

O posto de uma matriz M é igual a 1 quando M não é nula e

seus vetores-coluna são colineares, ou seja, um deles é múltiplo do

outro. E quando os vetores-coluna de M são não-colineares, ou

seja, quando ad− bc 6= 0, dizemos que M tem posto 2.

Em outras palavras:

M com posto 1 → isto quer dizer que ad− bc = 0 (e M não é

a matriz nula);

M com posto 2 → isto signica que ab− bc 6= 0.

Exemplo 14.3.1. A matriz M1 =

1 −1

3 −3

tem posto 1 en-

quanto a matriz M2 =

1 −1

3 2

tem posto 2.

Armação 1 - Se a matriz M da transformação linear T : R2 →

R2 tem posto zero, então T é a transformação nula, ou seja, trans-

forma todo vetor ~v ∈ R2 no vetor nulo.

Exercício 14.3.1. Mostre que a armação anterior é verdadeira

usando a denição (14.41).

Armação 2 - Se a matriz M tem posto 1, então os vetores

transformados T (~v) de ~v ∈ R2 formam uma reta.

Ou seja, se a ma-triz for dada por

M =

„a bc d

«, então

os vetores-colunas são(a, c) e (b, d), assim,para que (a, c) e (b, d)sejam múltiplos existeum número real α, talque (a, c) = α(b, d) ⇒a = αb e c = αd.

Exercício 14.3.2. Considere que os vetores-coluna de uma ma-

triz de posto 1 são múltiplos um do outro para mostrar que a

armação anterior é verdadeira.

Armação 3 - Se a matrizM tem posto 2, então as imagens T (~v)

dos vetores ~v ∈ R2 preenchem todo o plano R2. De fato, dizer

queM tem posto 2 é armar que ad−bc 6= 0. E, desse modo, para

225

Page 228: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

qualquer ~w = (m,n), o sistema de equaçõesax+ by = m

cx+ dy = n

tem uma, e somente uma solução ~v = (x, y), pois essas duas equa-

ções representam retas que têm um único ponto de interseção.

Vamos ao enunciado de um teorema relevante para que pos-

samos consequentemente armar que uma transformação linear

transforma circunferências em elipses.

Teorema 14.2. Para toda transformação linear T : R2 → R2,

existem vetores unitários ortogonais ~u,~v que são transformados

por T em vetores ortogonais T (~u), T (~v).

Demonstração. Sejam ~i = (1, 0) e ~j = (0, 1) os vetores da base

canônica de R2. Tomamos A = |T (~i)|2, B = 〈T (~i), T (~j)〉 e C =

|T (~j)|2, e vamos introduzir a forma quadrática ϕ : R2 → R com

ϕ(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2

e considerando o fato de T ser linear, para todo ~w = (x, y) =

x~i + y~j ∈ R2 temos que ϕ(x, y) = |T (~w)|2. Seja ~u = (a, b) um

autovetor unitário da forma quadrática ϕ. Isso signica que para

Lembre-se do que ze-mos na Aula 12.

um certo λ1 ∈ R (autovalor de ϕ), tem-seAa+Bb = λ1a

Ba+ Cb = λ1b

Seja ~v = (−b, a), obtido de ~u por uma rotação de 90o, assim,

〈T (~u), T (~v)〉 = 0, pois

|T (~u+ ~v)|2 = |T (~u)|2 + |T (~u)|2 + 2〈T (~u), T (~v)〉 (14.3)

226

Page 229: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

2〈T (~u), T (~v)〉 = |T (~u+ ~v)|2 − |T (~u)|2 − |T (~u)|2

Como ~u+ ~v = (a− b, b+ a), temos que

|T (~u+ ~v)|2 = ϕ(a− b, b+ a)

= A(a− b)2 + 2B(a− b)(b+ a) + C(b+ a)2

|T (~u)|2 = Aa2 + 2b(ab) + Cb2

|T (~v)|2 = A(−b)2 + 2B(−ba) + Ca2

E agora, substituindo na equação (14.3),

〈T (~u), T (~v)〉 = Cab+Ba2 − (Aab+Bb2)

= a(Cb+Ba)− b(Aa+Bb)

= a · λ1b− b · λ1a = 0

O que completa a demonstração do teorema.

Teorema 14.3. Toda transformação linear invertível T : R2 → R2

transforma a circunferência unitária S1 = (x, y) ∈ R2;x2 + y2 =

1 numa elipse.

Demonstração. Sejam ~u e ~v vetores unitários, tal que 〈~u,~v〉 = 0

e 〈T (~u), T (~v)〉 = 0. Como T é invertível, tem-se que T (~u) 6= ~0 e

T (~v) 6= ~0. Todo vetor unitário ~w se escreve como ~w = x~u + y~v,

em que x2 + y2 = 1. Sua imagem por T é T (~w) = xT (~u) + yT (~v).

Se adotarmos um sistema de coordenadas com origem O = (0, 0),

cujos vetores unitários dos eixos sãoT (~u)|T (~u)|

eT (~v)|T (~v)|

, as coordenada

de T (~w) nesse sistema serão s = x · |T (~u)| e t = y · |T (~v)|. Temos

então que

x2 + y2 = 1 ⇒ s2

|T (~u)|2+

t2

|T (~v)|2= 1

227

Page 230: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

E assim, os vetores do plano ~w pertencentes à circunferência S1 são

levados por T nos vetores do plano T (~w) pertencentes à elipse no

novo sistema de coordenadas (veja a gura (14.103)), com equação

s2

|T (~u)|2+

t2

|T (~v)|2= 1.

Figura 14.103: ~w ∈ S1 e T (~w) estão na elipse.

Observação 24. Segue do teorema (14.3) que uma transformação

linear invertível T : R2 → R2 leva qualquer circunferência γ a uma

elipse.

De fato, se γ tiver centro na origem e raio r, sua imagem pela

transformação T pode ser obtida mediante uma sequência de três

transformações:

1o) homotetia (veja a atividade (5)) de razão 1/r, que leva γ em

S1 (ou seja, transforma uma circunferência de raio qualquer

em uma circunferência de raio 1);

2o) T , que leva S1 a uma elipse;

3o) uma homotetia de razão r, que transforma essa elipse em

outra com eixos r vezes os anteriores.

228

Page 231: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

E se γ é uma circunferência de raio r e centro ~w, usamos a

igualdade

T (~v) = T (~v − ~w) + T (~w)

para perceber que a imagem de γ pela transformação T pode ser

obtida pela translação da elipse do caso anterior pelo vetor T (~w).

Exemplo 14.3.2. A transformação linear T : R2 → R2 dada por

T (x, y) = (x+ 2y, 2x+ y). Vamos responder às perguntas que vão

surgir, pois esta sequência serve de sugestão para a atividade (6).

[A matriz da transformação é invertível ?]

É invertível pois a matriz da transformação constituída pelos vetores-

coluna (1, 2) e (2, 1) é linearmente independente (ou seja, um não

é múltiplo do outro). Além disso, a matriz

M =

1 2

2 1

⇒ detM = 1 · 1− 2 · 2 = −3 6= 0.

Deste modo, pelo teorema (14.3), T transforma a circunferência

unitária x2 + y2 = 1 na elipse E = T (~v); |~v| = 1.

[Qual será o eixo maior da elipse E ?]

O eixo maior de E é o segmento de reta que liga os seus dois

pontos T (~v1) e −T (~v1), mais afastados da origem. Para encontrar

~v1, vamos considerar a forma quadrática

ϕ(x, y) = |T (x, y)|2 = (x+ 2y)2 + (2x+ y)2 = 5x2 + 8xy + 5y2

cuja matriz é

5 4

4 5

. E para determinar os autovalores, devemos

encontrar as raízes de λ2 − 10λ+ 9 = 0, que são λ1 = 9 e λ2 = 1,

229

Page 232: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

cujos autovetores associados ao maior autovalor é a solução do

sistema 5x+ 4y = 9 · x

4x+ 5y = 9 · y⇒

−4x+ 4y = 0

4x− 4y = 0

E assim, o autovetor é da forma ~v1 = (x, x), tomando (aproxima-

damente) x = 0.71 ⇒ ~v1 = (0.71, 0.71). A imagem será

T (~v1) = T (0.71, 0.71) = (0.71+2·(0.71), 2·(0.71)+0.71) = (2.13, 2.13)

T (~v1) = (2.13, 2.13),

o que nos permite vericar automaticamente que T (−~v1) = (−1) ·

(2.13, 2.13). Portanto, a circunferência unitária (S1) é transfor-

mada por T na elipse E, cujo eixo maior é o segmento que liga

T (~v1) = (2.13, 2.13) e T (−~v1) = (−2.13,−2.13).

Seguindo os mesmos passos para encontrar o maior eixo, podemos

encontrar o eixo menor, que é o segmento que liga

T (~v2) = (0.71,−0.71) e T (−~v2) = (−0.71, 0.71)

com ~v2, o autovetor associado ao autovalor λ2 = 1.

~v1 = (0.71, 0.71) e

~v2 = (−0.71, 0.71)⇒

T (~v1) = (2.13, 2.13) e

T (~v2) = (0.71,−0.71)

230

Page 233: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

14.4 Resumo

Nesta aula, conhecemos a denição de transformação no plano e

também de um tipo de transformção linear, além de algumas trans-

formações clássicas como a translação, homotetia, rotação e pro-

jeção. Aprendemos que toda transformação pode ser representada

de forma matricial. Percebemos que se a matriz da transformação

linear for invertível, então a transformação também o será. E, por

m, aplicamos uma transformação linear sobre os vetores de uma

circunferência unitária cuja imagem será uma elipse.

14.5 Atividades

1. Determine qual das transformações T : R2 → R2 a seguir é

linear.

(a) T (x, y) = (−y, x+ 1);

(b) T (x, y) = (x− y, 2x+ 2y);

(c) T (x, y) = (|x− y|, |x+ y|).

2. Seja T : R2 → R2 uma função. Mostre que:

(a) se T é uma transformação linear, então T (~0) = ~0;

(b) se T (~0) 6= ~0, então T não é uma transformação linear.

3. Seja T : R2 → R2 a transformação linear dada por T (x, y) =

(4x+ 6y, 6x+ 9y). Mostre que todos os pontos da reta 2x+

3y = 1 são transformações por T no mesmo ponto de R2.

Qual é esse ponto?

231

Page 234: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

4. Seja R : R2 → R2 uma rotação em torno da origem. Use as

equações que dão as coordenadas de R(~v) para mostrar que

〈R(~u), R(~v)〉 = 〈~u,~v〉 e |R(~v)| = |~v| para quaisquer ~u,~v ∈ R2.

5. [Homotetia] Dado um número β 6= 0, a transformação

linear H : R2 → R2, denida por H(x, y) = (βx, βy) (ou na

notação vetorial, H(~v) = β~v) , tem matriz

β 0

0 β

que tem

posto 2, ou seja, é invertível. Esta transformação é chamada

de homotetia de centro O = (0, 0) e razão β. Mostre que:

(a) |H(~u)−H(~v)| = |β||~u− ~v|;

(b) H transforma a circunferência de centro ~v e raio r na

circunferência de centro H(~v) e raio |β| · r.

6. Determine os eixos da elipse que é a imagem da circunferência

unitária por cada uma das transformações lineares a seguir:

(a) T (x, y) = (x− y, 2x+ 2y);

(b) T (x, y) = (x+ 2y, 3x+ 2y).

7. Seja T : R2 → R2, tal que a matriz da transformação é dada

por

−1 −2

0 1

. Ache os vetores ~u,~v, tal que

(a) T (~u) = ~u;

(b) T (~v) = −~v.

8. No plano, uma rotação anti-horária de 45o é seguida por

uma dilatação de√

2. Ache a aplicação A que representa

esta transformação do plano.

232

Page 235: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

14AULA

9. Sabemos que T : R2 → R2, denida por T (x, y) = (ax +

by, cx+dy), tem posto 1 quando a, b, c, d não são todos iguais

a zero e existe algum k ∈ R, tal que b = ka e d = kc, ou

seja, sua matriz não é nula e tem a forma

a ka

c kc

. Seja

T : R2 → R2 uma transformação linear de posto 1.

(a) Prove que existe algum ~v 6= ~0 tal que T (~v) = ~0.

(b) Prove que se o vetor ~u ∈ R2 é linearmente independente

de ~v do item anterior (ou seja, ~u 6= α · ~v, qualquer que

seja α ∈ R não nulo), então T (~u) 6= ~0.

(c) Prove que se T : R2 → R2 tem posto 1, os vetores

~v ∈ R2, tal que T (~v) = ~0, formam uma reta contendo

~0.

14.6 Comentário das atividades

Se você entendeu o conceito de transformações lineares no plano

(da denição (14.1)), conseguirá resolver as atividades 1, 2, 3 e 7

sem maiores problemas. Caso tenha resolvido as atividades 4 e 8,

então entendeu o exemplo rotação em torno da origem. Se você

entendeu o exemplo da expansão ou contração uniforme, conseguiu

responder à atividade 5, e se concluiu a questão 9, então entendeu

a noção de posto de uma transformação. E quanto à atividade 6?

Se obteve êxito na resolução dessa atividade, entendeu que uma

transformação linear leva uma circunferência numa elipse.

Se ainda tiver diculdades, volte e reveja com cuidado os con-

ceitos apresentados na aula. E não se esqueça dos tutores, pois eles

poderão ajudá-lo a eliminar as dúvidas. Além disso, é importante

233

Page 236: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares

e enriquecedor o contato com os colegas para discutir as questões

propostas nesta aula.

14.7 Referências

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-

kron Books, 1987.

234

Page 237: Vetores e Geometria Analítica

15AULA

2LIVRO

Mudança de Coorde-nadas no Espaço

META

Introduzir as mudanças de coorde-

nadas no espaço.

OBJETIVOS

Efetuar mudança de coordenadas

no plano, alterando ou não a origem

do sistema. Reconhecer matrizes

de passagem (matrizes ortogonais)

de um sistema de coordenadas para

outro.

PRÉ-REQUISITOS

Dominar o conteúdo abordado na

Aula 11 (mudança de coordenadas

no plano).

Page 238: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Espaço

15.1 Introdução

Olá, em continuidade ao que estudamos na Aula 11 (Mudança de

Coordenadas no Plano), iremos expandir nossas fronteiras conhe-

cendo as mudanças de coordenadas no espaço. Surgirá em nossos

estudos um tipo de matriz chamada de matriz de passagem, que

possibilita a mudança de um dado sistema de coordenadas para

um novo sistema. Essas matrizes de passagem têm uma impor-

tante propridade, pois suas inversas multiplicativas são iguais às

transpostas, o que facilita muito o cálculo das inversas e conse-

quentemente a maneira de escrevermos as coordenadas de um sis-

tema para o outro e vice-versa. Em muitas situações, uma simples

mudança de coordenadas pode ajudar a melhorar a visão de uma

equação ou de um problema.

15.2 Mudança de sistema de coordenadas no

espaço

Em algumas situações, é conveniente mudarmos de um sistema de

coordenadas OXY Z para um novo sistema O′X ′Y ′Z ′.

Seja P um ponto no sistema OXY Z, com coordenadas x, y e

z. Como obter as coordenadas x′, y′ e z′ no sistema O′X ′Y ′Z ′?

Para respondermos a essa pergunta, consideremos os vetores uni-

tários~i,~j,~k dos eixos OX (eixo−x), OY (eixo−y) e OZ (eixo−z),

juntamente com os vetores unitário ~u1, ~u2, ~u3 dos eixos O′X ′, O′Y ′

e O′Z ′.

Sabemos que todo vetor de R3 pode ser escrito como combi-

nação linear de ~i,~j,~k, e assim, os vetores ~u1 = (a1, b1, c1), ~u2 =

236

Page 239: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

15AULA

(a2, b2, c2), ~u3 = (a3, b3, c3)

~u1 = a1~i+ b1~j + c1~k

~u2 = a2~i+ b2~j + c2~k

~u3 = a3~i+ b3~j + c3~k

(15.1)

Devemo-nos lembrar de que ~i,~j,~k são perpendiculares dois a dois,

o que resulta em

〈~un,~i〉 = an, 〈~un,~j〉 = bn, 〈~un,~k〉 = cn, com n = 1, 2, 3.

(15.2)

Das equações 〈~u,~v〉 = |~u| · |~v| cos θ para quaisquer ~u,~v ∈ R3 e

(15.2) segue que

an = cosαn

bn = cosβn

cn = cos γn

com n = 1, 2, 3 e

αn, βn, γn são os ângulos que ~un forma com os eixos OX, OY e

OZ.

Observação 25. Cada um dos ~un são unitários, ou seja,

|~un|2 = a2n + b2n + c2n = 1 ⇒ cos2αn + cos2 βn + cos2 γn = 1.

A recíproca também vale, ou seja, podemos escrever ~i, ~j e

~k como combinação linear dos vetores unitários ~u1, ~u2, ~u3. Por

exemplo,

~i = x~u1 + y~u2 + z~u3

, e lembrando que os vetores ~un são perpendiculares dois a dois,

obtemos

x = 〈~i, ~u1〉 = a1, y = 〈~i, ~u2〉 = a2, z = 〈~i, ~u3〉 = a3,

237

Page 240: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Espaço

Figura 15.104: ~u1, ~u2, ~u3 são

ortogonais entre si.

Figura 15.105: a1 = cosα1,

b1 = cosβ1 e c1 = cos γ1.

ou seja, ~i = a1~u1 + a2~u2 + a3~u3, e que nos implica a obtermos ~j e

~k analogamente,

~i = a1~u1 + a2~u2 + a3~u3

~j = b1~u1 + b2~u2 + b3~u3

~k = c1~u1 + c2~u2 + c3~u3~k

(15.3)

Observe que a matriz dos coecientes de (15.3) é a transposta da

matriz dos coecientes de (15.1).

M =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

e tM =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

Portanto, dado um ponto P no sistema OXY Z com coorde-

nadas (x, y, z), equivale a armar que−−→OP = x ·~i + y · ~j + z · ~k e

analogamente de−−→O′P = x′ ·~u1 + y′ ·~u2 + z′ ·~u3. Ou seja, (x′, y′, z′)

são as coordenadas do ponto P no sistema de O′X ′Y ′Z ′.

238

Page 241: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

15AULA

Figura 15.106: O′ = (m,n, p) e ~O′P = ~OP − ~OO′.

15.3 Transladando a origem do sistema

Sejam (m,n, p) coordenadas da nova origem O′ no sistema OXY Z,

isto é,−−→OO′ = m~i+ n~j + p~k.

Note que−−→OP =

−−→OO′ +

−−→O′P , o que implica em

−−→O′P =

−−→OP −

−−→OO′. (15.1)

Em coordenadas, ca

x′ · ~u1 + y′ · ~u2 + z′ · ~u3 = (x−m)~i+ (y − n)~j + (p− z)~k.

Percebemos que o produto interno com ~u1 de ambos os membros

da igualdade anterior nos fornece

〈~i, ~u1〉 = a1, 〈~j, ~u1〉 = b1, 〈~k, ~u1〉 = c1

x′ = (x−m)〈~i, ~u1〉+ (y − n)〈~j, ~u1〉+ (p− z)〈~j, ~u1〉

239

Page 242: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Espaço

x′ = (x−m)a1 + (y − n)b1 + (z − p)c1.

E fazendo o mesmo produto com ~u2 e ~u3, obtemos

x′ = (x−m)a1 + (y − n)b1 + (z − p)c1

y′ = (x−m)a2 + (y − n)b2 + (z − p)c2

z′ = (x−m)a3 + (y − n)b3 + (z − p)c3

(15.2)

E como serão as expressões para as coordenadas x, y e z em função

de x′, y′ e z′ ? Para respondermos a mais esta pergunta, voltemos

à igualdade (15.1),

−−→O′P =

−−→OP −

−−→OO′ ⇒

−−→OP =

−−→OO′ +

−−→O′P .

Em coordenadas,

x~i+ y~j + z~k = x′~u1 + y′~u2 + z′~u3.+m~i+ n~j + p~k,

tomando o produto interno de ambos os membros por ~i, resulta

em

〈~i, x~i+ y~j + z~k〉 = 〈~i, x′~u1 + y′~u2 + z′~u3.+m~i+ n~j + p~k〉

x = x′〈~i, ~u1〉+ y′〈~i, ~u2〉+ z′〈~i, ~u3〉+m〈~i,~i〉

x = a1x′ + a2y

′ + a3z′ +m.

Fazendo o mesmo produto interno, desta vez com os vetores ~j e ~k,

obtemosx = a1x

′ + a2y′ + a3z

′ +m

y = b1x′ + b2y

′ + b3z′ + n

z = c1x′ + c2y

′ + c3z′ + p

(15.3)

O que conclui a resposta para a pergunta anterior.

240

Page 243: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

15AULA

Exemplo 15.3.1. Vamos aplicar as equações (15.2) ao ponto O′

cujas coordenadas são (m,n, p) no sistema OXY Z, o que resulta

em

x′ = (m−m)a1 + (n− n)b1 + (p− p)c1

y′ = (m−m)a2 + (n− n)b2 + (p− p)c2

z′ = (m−m)a3 + (n− n)b3 + (p− p)c3

x′ = 0

y′ = 0

z′ = 0

Mas nós já esperávamos isso, não era? Pois O′ é a nova origem no

sistema de coordenadas O′X ′Y ′Z ′. Já o ponto (1, 0, 0) no sistema

O′X ′Y ′Z ′, usando desta vez as equações (15.3), tem coordenadas

x = a1x′ + a2y

′ + a3z′ +m

y = b1x′ + b2y

′ + b3z′ + n

z = c1x′ + c2y

′ + c3z′ + p

x = a1 · 1 + a2 · 0 + a3 · 0 +m

y = b1 · 1 + b2 · 0 + b3 · 0 + n

z = c1 · 1 + c2 · 0 + c3 · 0 + p

resultando em x′ = a1 +m, y′ = b1 + n e z′ = c1 + p.

Observação 26. Poderíamos ainda pensar na forma matricial de es-

crevermos (15.2 e 15.3). Considerando ~x = (x, y, z), ~x′ = (x′, y′, z′)

e ~v = (m,n, p), note quex

y

z

=

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

︸ ︷︷ ︸

x′

y′

z′

+

m

n

p

e

Mx′

y′

z′

=

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

︸ ︷︷ ︸

x

y

z

−m

n

p

tM

Ou ainda ~x = M · ~x′ + ~v e ~x′ = (tM) · ~x − ~v. A matriz M e tM

é chamada de matriz de passagem do sistema OXY Z para o

sistema O′X ′Y ′Z ′ e vice-versa.

241

Page 244: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Espaço

15.4 As matrizes ortogonais

Do produto M ·tM , percebemos que

M ·tM =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

·a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

=

a2

1 + a22 + a2

3 a1b1 + a2b2 + a3b3 a1c1 + a2c2 + a3c3

b1a1 + b2a2 + b3a3 b21 + b22 + b23 b1c1 + b2c2 + b3c3

c1a1 + c2a2 + c3a3 c1b1 + c2b2 + c3b3 c21 + c22 + c23

=

〈~u1, ~u1〉 〈~u1, ~u2〉 〈~u1, ~u3〉

〈~u2, ~u1〉 〈~u2, ~u2〉 〈~u2, ~u3〉

〈~u3, ~u1〉 〈~u3, ~u2〉 〈~u3, ~u3〉

Mas como ~u1, ~u2, ~u3 são mutuamente ortogonais, temos

M ·tM =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

,

que é amatriz identidade 3×3 (simbolicamente, Id3). Desta forma,

a matriz de passagem de um sistema de eixos ortogonais para outro

tem a propriedade de que sua matriz transposta também é sua

inversa.

Denição 15.43. As matrizes quadradas M , tal que tM ·M =

M · tM = Id3, são chamadas de matrizes ortogonais.

Exemplo 15.4.1. A matriz identidade (Id3) é ortogonal. Toda

matriz na forma

Rθ =

cos θ sen θ 0

−sen θ cos θ 0

0 0 1

, (15.1)

242

Page 245: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

15AULA

para cada θ ∈ R, também é uma matriz ortogonal, pois tR · R =

R ·t R = Id3. Em particular, se θ =π

2, teríamos

Rπ2

=

0 1 0

−1 0 0

0 0 1

.

Conheceremos melhor esses tipos de matrizes nas próximas aulas.

Observação 27. Da igualdade tM ·M = Id3 notamos que

1 = det Id3 = det(tM ·M) = det(tM) · detM = (detM)2,

pois det(tM) = detM , e então (detM)2 = 1 ⇒ detM = ±1, ou

seja, toda matriz ortogonal M tem que detM = ±1.

Denição 15.44. Quando o determinante da matriz de passagem

M é igual a +1, dizemos que os sistemas OXY Z e O′X ′Y ′Z ′ têm

a mesma orientação. Se o determinante de M for igual a −1,

então os sistemas de eixos têm orientações opostas.

Exemplo 15.4.2 (Translação de Eixos). No caso em que ~u1 =

~i, ~u2 = ~j e ~u3 = ~k, ou seja, os eixos OX e O′X ′, OY e O′Y ′

além de OZ e O′Z ′ são paralelos de mesmo sentido. Dizemos

então que se trata de uma translação de eixos. Em particular,

suponhamos que O′ = (−1, 2, 1), então as coordenadas no novo

sistema O′X ′Y ′Z ′ são dadas por

x′ = x− 1, y′ = y + 2 e z′ = z + 1,

das quais automaticamente temos

x = x′ + 1, y = y′ − 2 e z = z′ − 1.

243

Page 246: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Espaço

Figura 15.107: O′ = (m,n, p) e ~O′P = ~OP − ~OO′.

15.5 Resumo

Nesta aula, aprendemos a fazer a mudança de coordenadas tanto

rotacionando os eixos e mantendo a origem xa como também

transladando-a. Conhecemos o conjunto das matrizes ortogonais

que contém as matrizes de rotação e que serão de grande utilida-

des na construção de exemplos e aplicações das transformações na

disciplina de Álgebra Linear (segundo semestre).

15.6 Atividades

1. Verique quais das matrizes a seguir são ortogonais ou não:

(a)

1 −1

1 0

(c)

1/2 −

√3/2 0

√3/2 1/2 0

0 0 1

(b)

1/2 −√

3/2√

3/2 1/2

(d)

0 1 0

0 0 1

0 0 0

244

Page 247: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

15AULA

2. Qual a condição para o número real α, tal que

Rα =

cosα senα 0

−senα cosα 0

0 0 1

seja ortogonal?

3. Faça o mesmo que se pede na atividade (2) para as matrizes

(a)Rα =

cosα 0 senα

0 1 0

−senα 0 cosα

(b)

1 0 0

0 cosα senα

0 −senα cosα

4. Encontre a e b, números reais, tal que os múltiplos aM e bN

das matrizes a seguir sejam matrizes ortogonais.

M =

2 −2 1

1 2 2

2 1 −2

N =

6 3 2

−3 2 6

2 −6 3

5. Usando a matriz aM do exercício anterior, efetue a rotação

dos eixos (mudança de coordenadas mantendo a origem xa3)

. Encontre as novas coordenadas (x′, y′, z′) dos pontos cujas

coordenadas (x, y, z) são:

(a) (−1, 2, 2);

(b) (0, 1, 1);

(c) (−1, 1,−2);

(d) (1, 1, 1).

6. Supondo que as coordenadas dadas no exercício (5) sejam

(x′, y′, z′), quais eram, em cada caso, x, y e z?

3Ou seja, as origens do novo e do antigo sistemas coincidem.

245

Page 248: Vetores e Geometria Analítica

Mudança de Coordenadas no Espaço

7. Ainda com a matriz ortogonal aM da atividade (4), quais

são as novas coordenadas x′, y′ e z′ das equações dos planos

a seguir?

(a) 2x+ y + 2z = 1;

(b) 2x− y = 1;

(c) x+ y + z = 0.

15.7 Comentário das atividades

Conseguiu resolver as atividades 1,2,3 e 4? Então você entendeu o

conceito de matrizes ortogonais. Se solucionou as atividades 5,6 e

7, você já tem uma noção de mudança de sistemas de coordenadas.

Caso tenha diculdades na resolução das atividades, retome

com cuidado os conceitos apresentados ao longo da aula. Procurar

os tutores para esclarecimentos das dúvidas também é fundamental

para o seu aprendizado. Não se esqueça de que o contato com os

colegas para discutir os assuntos estudados também é bastante

proveitoso.

15.8 Referências

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro: IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-

kron Books,1987.

246

Page 249: Vetores e Geometria Analítica

16AULA

2LIVRO

Quádricas Centrais

META

Introduzir o conceito de quádricas

centrais e exemplicá-las.

OBJETIVOS

Ao nal desta aula, o aluno deverá

identicar uma dada quádrica

central representando-a com uma

superfície de nível.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido os conceitos

abordados na Aula 15 (mudança de

sistema de coordenadas no espaço e

matrizes ortogonais).

Page 250: Vetores e Geometria Analítica

Quádricas Centrais

16.1 Introdução

Olá, caro aluno! Nesta aula, iremos conhecer uma interessante

forma de representar equações com três variáveis como objetos

dentro do R3. Essas equações que estudaremos têm características

peculiares e são oriundas das formas quadráticas denidas também

com três variáveis.

Vamos começar!

Denição 16.45. Uma forma quadrática em R3 é um polinômio

homogêneo de grau 2 com três variáveis, ou seja, é uma função

Em um polinômio

homogêneo todos ostermos têm mesmograu, ou seja, a somados expoentes decada variável é sem-pre a mesma. Porexemplo, P (x, y) =x2y3 + x4y + x5 é umpolinòmio homogêneo,pois no

1o termo: 2+3 = 52o termo: 4+1 = 53o termo: 5+0 = 5

ϕ : R3 → R, denida por

ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz. (16.1)

Mantendo a origem xa, se tomarmos novos eixos em R3, tere-

mos um mudança de coordenadas de (x, y, z) para (r, s, t), com

x = a1r + a2s+ a3t

y = b1r + b2s+ b3t

z = c1r + c2s+ c3t

(16.2)

Conforme estudamos Aula 15, substituindo na equação (16.1),

obteremos

ϕ(x, y, z) = ϕ(a1r + a2s+ a3t, b1r + b2s+ b3t, c1r + c2s+ c3t)

= A′r2 +B′s2 + C ′t2 + 2D′rs+ 2E′rt+ 2F ′st = ϕ(r, s, t)

De forma similar ao que você estudou na Aula 12 (Formas Qua-

dráticas no Plano), mediante uma escolha conveniente de eixos,

é possível permitir que as novas coordenadas r, s e t forneçam

D′ = E′ = F ′ = 0, e assim

ϕ(x, y, z) = ϕ(r, s, t) = A′r2 +B′s2 + C ′t2

248

Page 251: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

16AULA

simplicando ϕ e também facilitando a visualização de conjuntos

especiais denidos por

ϕ(x, y, z) = c, com c constante real.

Denição 16.46. [(Superfície de Nível)]

Para cada c ∈ R, o conjunto de pontos P = (x, y, z), tal que

ϕ(x, y, z) = c, chama-se a superfície de nível c da forma ϕ.

16.2 Quádricas centrais

Denição 16.47. Na expressão geral de uma função quadrática

ψ : R3 → R dada por

ψ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2+

+2Dxy + 2Exz + 2Fyz +Gx+Hy + Iz + J,

(16.1)

as superfícies de nível ψ(x, y, z) = d (com A, B, C, D, E, F , G,

H, z, J e d constantes reais não todos nulos) são chamadas de

quádricas.

Denição 16.48. Se G = H = I = J = 0, temos a forma

quadrática dada pela equação (16.1), cujas superfícies de nível

ψ(x, y, z) = d são conhecidas como quádricas centrais.

Essas quádricas são chamadas de centrais porque sendo ϕ(−x,−y,−z) =

ϕ(x, y, z), se o ponto P = (x, y, z) pertence à superfície S de equa-

ção ϕ(x, y, z) = d, então P ′ = (−x,−y,−z) ∈ S. Desta forma,

~0 = (0, 0, 0) é um centro de simetria de S.

Admitindo que zemos uma escolha de eixos ortogonais, tal

que D = E = F = 0, ou seja,

ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 (16.2)

249

Page 252: Vetores e Geometria Analítica

Quádricas Centrais

De acordo com as condições a seguir, podemos obter os seguintes

resultados.

1. Quando d 6= 0, temos que

Ax2 +By2 + Cz2 = d ⇔ A

dx2 +

B

dy2 +

C

dz2 = 1.

2. Se A/d > 0, tomando a =√d/A, obtemos(

A

d

)x2 =

x2

a2.

3. Analogamente para:

(B/d)y2 = ±y2/d2

(C/d)z2 = ±z2/d2, com

b =ñd/B

c =ñd/C

.

Note que em todos os casos, a > 0, b > 0 e c > 0.

4. −x2

a2− y2

b2+z2

c2= 1 ⇔ x2

a2+y2

b2− z2

c2= −1

Das quatro observações anteriores obtemos todas as superfí-

cies de nível possíveis de uma forma quadrática, exceto por uma

eventual troca dos nomes dos eixos.

(i)x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 (ii)

x2

a2+y2

b2+z2

c2= −1

(iii)x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1 (iv)

x2

a2+y2

b2− z2

c2= −1

(v)x2

a2+y2

b2+z2

c2= 0 (vi)

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0

(vii)x2

a2+y2

b2= 1 (viii)

x2

a2− y2

b2= 1

(ix)x2

a2− y2

b2= 0 (x)

x2

a2= 1

(xi)x2

a2= −1 (xii)

x2

a2= 0

(xiii)x2

a2+y2

b2= 0

Vamos analisar estas equações e vericar o que cada uma delas

representa.

250

Page 253: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

16AULA

(i) É chamada de Elipsóide a superfície E denida pela equação

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

As interseções com os planos XOY (Πxy), XOZ (Πxz) e

Y OZ (Πyz) são as elipses

x2

a2+y2

b2= 1,

x2

a2+z2

c2= 1 e

y2

b2+z2

c2= 1.

Figura 16.108: Elipsóide

Figura 16.109:

Πxy ∩ E tem equa-

çãox2

a2+y2

b2= 1.

Figura 16.110:

Πxz ∩ E tem equa-

çãox2

a2+z2

c2= 1.

Figura 16.111:

Πyz ∩ E tem equa-

çãoy2

b2+z2

c2= 1.

Note que 2a, 2b e 2c são os comprimentos dos eixos (de si-

metria).

251

Page 254: Vetores e Geometria Analítica

Quádricas Centrais

Denição 16.49. Se dois desses eixos são iguais, chamamos o

elipsóide de elipsóide de revolução.

Exemplo 16.2.1. Tome b = c emx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1, o que resulta

na equação

x2

a2+y2 + z2

b2= 1

, que é obtida pela rotação da elipsex2

a2+y2

b2= 1, contida no plano

z = 0 em torno do eixo−x. (Ou da elipsex2

a2+z2

b2= 1, contida no

plano y = 0 em torno do eixo−xou em torno do eixo−z.)

Figura 16.112: No plano z =

0,x2

a2+y2

b2= 1.

Figura 16.113: No plano y =

0,x2

a2+z2

c2= 1.

Em particular, se a = b = c, a equação x2/a2 +y2/a2+z2/a2 =

1 pode ser reescrita como

x2 + y2 + z2 = a2. (16.3)

O que dene uma Esfera centrada na origem e de raio a.

252

Page 255: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

16AULA

Exemplo 16.2.2. Determinar uma equação para um esfera de

centro C e raio r, sendo:

(a) C = (0, 0, 0) e r = 2;

(b) C = (2, 1,−1) e r = 3.

Solução (a) - Da equação (16.3) vericamos automaticamente

que a equação será

x2 + y2 + z2 = 22 ⇒ x2 + y2 + z2 = 4.

Solução (b) - Neste caso, o centro da esfera é C = (2, 1,−1).

Conforme estudamos na Aula 15, vamos fazer uma translação

da origem. Ou seja, se C = (h, k, n) for o centro da esfera com

equação

(x′)2 + (y′)2 + (z′)2 = r2,

faremos a mudança de coordenadas, sendo x′ = x− h, y′ = y − k

e z′ = z − n e, assim, a equação da circunferência com origem

transladada é dada porque

(x− h)2 + (y − k)2 + (z − n)2 = r2.

E para C = (2, 1,−1) nos dá (x − 2)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 32,

ou ainda, expandindo os quadrados

x2 + y2 + z2 − 4x− 2y + 2z − 3 = 0.

(ii) Dene um conjunto vazio.

(iii) A superfície H1, denida por

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1,

é chamada de hiperbolóide de uma folha. A interseção

com o plano

253

Page 256: Vetores e Geometria Analítica

Quádricas Centrais

Y OZ é a hipérboley2

b2− z2

c2= 1,

XOZ é a hipérbolex2

a2− z2

c2= 1

XOY e

qualquer outro é a elipsex2

a2+y2

b2= 1 +

d2

c2

plano paralelo

z = d (d constante)

poisx2

a2+y2

b2− d

2

c2= 1 ⇔ x2

a2+y2

b2= 1 +

d2

c2que são elipses. Em

Figura 16.114: Hiperbolóide de uma folha

particular, se a = b, as interseções com os planos paralelos a z = 0

são circunferências horizontais e H1 é chamado de Hiperbolóide

de Revolução, gerado pela rotação dex2

a2− z2

c2= 1 (contida no

plano XOZ) em torno do eixo−z. (Ou da hipérboley2

b2− z2

c2= 1

contida no plano Y OZ em torno do eixo−z.)

(iv) Note que

x2

a2+y2

b2− z2

c2= −1 ⇒ z2

c2= 1 +

x2

a2+y2

b2.

254

Page 257: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

16AULA

Figura 16.115:

Πxy ∩H1 tem equa-

çãox2

a2+y2

b2= 1.

Figura 16.116:

Πxz ∩ E tem equa-

çãox2

a2− z2

c2= 1.

Figura 16.117:

Πyz ∩ E tem equa-

çãoy2

b2− z2

c2= 1.

Podemos ainda ter que

z2 = c2 +c2

a2x2 +

c2

b2y2, (16.4)

e extraindo a raiz de ambos os membros, signica que todo

ponto P = (x, y, z) da superfície H2 denida pela equação

(16.4) também satisfaz |z| ≥ c. Ou seja, não existem pontos

entre os planos z = c e z = −c. Perceba que a interseção

entre o plano horizontal z = d com |d| > c é a elipse

x2

a2+y2

b2= −1 +

d2

c2

Já a interseção entre a superfície H2 e o plano (Πxz) é a

hipérbole z2/c2 − x2/a2 = 1, e entre H2 e o plano Πyz é a

hipérbole z2/c2 − y2/b2 = 1. A superfície H2 é chamada de

hiperbolóide de duas folhas.

Em particular, se a = b, a superfície H2 é chamada de hiperbo-

lóide de revolução com duas folhas, e assim, as interseções

(ou os cortes horizontais) com o plano horizontal z = d, sendo

|d| > c, serão a circunferência x2 + y2 = a2

(d2

c2− 1). Além disso,

255

Page 258: Vetores e Geometria Analítica

Quádricas Centrais

Figura 16.118: Hiperbolóide de duas folhas

Figura 16.119: o

plano z = d ∩ H2

tem equaçãox2

a2+

y2

b2= −1 +

d2

c2com

|d| > c.

Figura 16.120:

Πxz ∩ E tem equa-

çãoz2

a2− x2

c2= 1.

Figura 16.121:

Πyz ∩ E tem equa-

çãoz2

b2− y2

c2= 1.

podemos obter H2 girando a hipérbole z2/c2−x2/a2 = 1 no plano

Πxz em torno do eixo−z (z2/c2−y2/b2 = 1 no plano Πyz em torno

do eixo−z).

(v) Esta equação é satisfeita apenas para (0, 0, 0).

(vi) A equação x2/a2 + y2/b2 − z2/c2 = 0 representa a superfície

256

Page 259: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

16AULA

S. Fixando z = c (plano horizontal), temos que a interseção

entre S e este plano é a elipse E, denida por x2/a2+y2/b2 =

1 (contida no plano z = c).

Figura 16.122: Cone duplo com vértice na origem.

S é o cone duplo com vértice na origem O = (0, 0, 0) e base

na elipse E, ou seja, S é a reunião das retas que ligam O = (0, 0, 0)

aos pontos de E.

(vii) As soluções dessa equação são todos os pontos P = (x, y, z),

tal que x2/a2 + y2/b2 = 1. O que dene um cilindro reto

com base na elipse x2/a2 + y2/b2 = 1 no plano Πxy.

(viii) Já as soluções dessa equação são todos os pontos P =

(x, y, z), tal que x2/a2 − y2/b2 = 1. O que dene um ci-

lindro reto com base na hipérbole x2/a2 + y2/b2 = 1 no

plano Πxy.

(ix) Para esta equação,

x2

a2− y2

b2= 0 ⇒

(xa

+y

b

)(xa− y

b

)= 0

257

Page 260: Vetores e Geometria Analítica

Quádricas Centrais

Figura 16.123: Cilindro reto de base elíptica.

Figura 16.124: Cilindro reto com base hiperbólica.

O que representa dois planos verticais cortando o plano Πxy

sobre as retas(xa

+y

b

)= 0 e

(xa− y

b

)= 0. Veja a gura

(16.2).

(x) x2/a2 = 1 representa o par de planos x = a e x = −a, para-

lelos ao plano Y OZ. Veja a gura (16.2).

(xi) x2/a2 = −1 representa o conjunto vazio, pois não existe

(x, y, z) que satisfaça.

258

Page 261: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

16AULA

Figura 16.125: Planosx

a+

y

b= 0 e

x

a− y

b= 0.

Figura 16.126: Os planos x =

a e c = −a são paralelos ao

plano Πyz.

(xii) x2/a2 = 0 representa o plano Y OZ, pois equivale a x = 0.

(xiii)x2

a2+y2

b2= 0 representa a reta OZ, ou seja, o eixo−z, pois

equivale a x = y = 0.

16.3 Resumo

Nesta aula, você aprendeu que a partir da forma quadrática de-

nida com 3 variáveis surgem as quádricas centrais. E delas sur-

giram algumas superfícies de nível como o elipsóide, a esfera, o

hiperbolóide de uma e de duas folhas, o cone com base elíptica, o

cilindro reto de base elíptica e hiperbólica, além de outros casos

especiais.

16.4 Atividades

1. Determinar uma equação da esfera nas condições dadas.

259

Page 262: Vetores e Geometria Analítica

Quádricas Centrais

(a) Centro C = (2,−3, 1) e raio 4.

(b) Centro C = (4,−1,−2) e passando por P = (2, 3,−1).

(c) Centro C = (0,−4, 3) e tangente ao plano Π : x+ 2y −

2z − 2 = 0.

2. Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada

uma das curvas dadas em torno do eixo indicado.

(a) x2 + y2 = 9, contida no plano z = 0, em torno do

eixo−x.

(b)x2

4+y2

16= 1, contida no plano z = 0, em torno do eixo

maior.

(c) y = x, contida no plano z = 0, em torno do eixo−y.

3. Um elipsóide de rotação (centrado na origem) tem interseção

com o plano z = 0 dada pela elipse x2 +y2

4= 1. Determine a

equação do elipsóide, sabendo que contém o ponto (0, 1,√

6).

4. Considere um cone duplo C com vértice na origem O =

(0, 0, 0) e base na elipse E, denida por x2/a2 + y2/b2 = 1

(contida no plano z = c).

(a) Mostre que se todo ponto P = (x, y, z) ∈ C, então para

todo t ∈ R o ponto P ′ = (tx, ty, tz) também está con-

tido em C.

(b) A recíproca da armação anterior é válida?

5. Identique as superfícies denidas pelas equações, dizendo

ao longo de que eixo elas ocorrem, conforme o caso.

(a) 25x2 + 100y2 + 36z2 − 900 = 0

260

Page 263: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

16AULA

(b) z = 3−√x2 + y2

(c) 12x2 + 4y2 − 3z2 + 12

16.5 Comentário das atividades

Conseguiu resolver as atividades 1,2,3 e 5? Então você já tem

uma noção da denição de superfície de nível e a sua relação com

as quádricas centrais. Se respondeu à atividade 4, você entendeu

a propriedade do cone em que ele é também a reunião de todas

as retas que contêm a origem e o ponto P = (x, y, z), tal que

x2/a2 + y2/b2 = 1 (contida no plano z = c).

Se ainda tiver diculdades, volte e reveja com cuidado os con-

ceitos apresentados na aula. Não esqueça que há tutores que po-

derão ajudar a eliminar as suas dúvidas. Desde já, lembre-se de

discutir os conteúdos com seus colegas.

16.6 Referências

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo, Ma-

kron Books, 1987.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro, IMPA, 2005.

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo, Harbra, 1980.

261

Page 264: Vetores e Geometria Analítica
Page 265: Vetores e Geometria Analítica

17AULA

2LIVRO

Completando Qua-drados

META

Introduzir e exemplicar o método

de completamento de quadrados

para formas quadráticas com três

variáveis.

OBJETIVOS

Ao nal desta aula, o aluno deverá

identicar uma quádrica central

(ou superfície quádrica) utilizando

o método de completamento de

quadrados.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido o conteúdo da

aula anterior (Quádricas Centrais).

Page 266: Vetores e Geometria Analítica

Completando Quadrados

17.1 Introdução

Olá, caro aluno! Nesta aula iremos conhecer um método (Comple-

tamento de quadrados) para que dada uma forma quadrática com

três variáveis, possamos associar às quádricas centrais (ou superfí-

cies quádricas) estudadas na Aula 16.

Dada a equação

Ax2 +By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Fxz + 2Eyz = d, (17.1)

como determinar dentre os tipos descritos na Aula 16, qual su-

perfície a equação dene?

Antes de apresentarmos o método, precisamos de algumas de-

nições.

Denição 17.50. Uma forma quadrática ϕ(x, y, z) é considerada

positiva (respectivamente, negativa) quando ϕ(x, y, z) > 0 (res-

pectivamente, ϕ(x, y, z) < 0) para todo (x, y, z) 6= (0, 0, 0).

Denição 17.51. Se para quaisquer x, y, z tivermos ϕ(x, y, z) ≤ 0

(respectivamente, ϕ(x, y, z) 6= 0), diremos que ϕ é não-negativa

(respectivamente, não-positiva).

Denição 17.52. Se existirem pontos em R3, P1 = (x1, y1, z1) e

P2 = (x2, y2, z2), tal que

ϕ(x1, y1, z1) > 0 e ϕ(x2, y2, z2) < 0, diremos que ϕ é indenida.

Armações

1. Quando a forma quadrática ϕ é positiva ou negativa, a super-

fície de nível ϕ(x, y, z) = d é um elipsóide, é vazia ou reduz-se

à origem, conforme d tenha o sinal de ϕ, sinal contrário ao

de ϕ ou seja zero.

264

Page 267: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

17AULA

2. Quando ϕ é não-negativa ou não-positiva e existem pontos

P = (x, y, z) 6= (0, 0, 0), tal que ϕ(x, y, z) = 0, então a su-

perfície de nível ϕ(x, y, z) = d é um cilindro de base elíptica,

um par de planos paralelos, um único plano, uma reta ou é

vazia.

3. E se a forma quadrática ϕ é indenida (ou seja, muda de

sinal), então a superfície de nível ϕ(x, y, z) = d pode ser um

hiperbolóide de uma ou duas folhas, um cone, um cilindro de

base hiperbólica ou um par de planos que se cortam segundo

uma reta.

Vamos justicar as armações com exemplos que demonstra-

remos posteriormente.

17.2 Completando quadrados

Para completar quadrados na forma

ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Fxz + 2Eyz,

entre os números A, B e C escolhemos um que não seja nulo.

Vamos supor que A 6= 0 e façamos desaparecer os produtos xy

e xz (caso em que A = B = C = 0, analisaremos mais tarde).

Escrevemos a soma das parcelas contendo x como

Ax2 + 2Dxy + 2Exz = A

[x2 + 2x

(D

Ay +

E

Az

)]= A

[(x+

D

Ay +

E

Az

)2

−(D

Ay +

E

Az

)2]

265

Page 268: Vetores e Geometria Analítica

Completando Quadrados

Tomando s = x+(D

Ay +

E

Az

), obtemos

ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz

= (Ax2 + 2Dxy + 2Exz) +By2 + Cz2 + 2Fyz

= As2 −A(D

Ay +

E

Az

)2

+By2 + Cz2 + 2Fyz

= As2 −(D2

Ay2 +

E2

Az2 + 2

DE

Ayz

)+By2 + Cz2 + 2Fyz

= As2 +(B − D2

A

)y2 +

(C − E2

A

)z2 + 2

(F − DE

A

)yz

= As2 + ψ(y, z)

recaindo numa forma quadrática com duas variáveis, ψ(y, z), que

conhecemos na Aula 12.

Observação 28. No caso em que A = B = C = 0, ou seja, quando

ϕ(x, y, z) = 2Dxy + 2Exz + 2Fyz,

escolhemos entre D, E e F um que não seja nulo, isto é, D 6= 0, e

fazendo a mudança de variável x = r + s, y = r − s, notamos que

xy = r2 − s2,

xz = rz + sz e

yz = rz − sz,

e a forma quadrática ca

ϕ(x, y, z) = 2Dr2 − 2Ds2 + 2Erz + 2Esz + 2Frz − 2Fsz

ϕ(x, y, z) = 2Dr2 − 2Ds2 + 2(E + F )rz + 2(E − F )sz

recaindo no mesmo caso que o anterior.

266

Page 269: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

17AULA

Depois de completar todos os quadrados, a forma se escreve

como

ϕ(x, y, z) = ϕ(r, s, t) = A′r2 +B′s2 + C ′t2, (17.1)

e assim ca fácil vericar o sinal de ϕ.

Em relação ao sinal da forma quadrática e seus coecientes,

elas podem ser:

positiva (respectivamente, negativa) - quando os coecientes A′,

B′ e C ′ são positivos (respectivamente, negativos).

não-negativa (respectivamente, não-positiva) - quando os coe-

cientes A′, B′ e C ′ são ≥ 0 (respectivamente, ≤ 0).

indeterminada - quando um dos coecientes A′, B′ e C ′ é posi-

tivo e outro é negativo.

Exemplo 17.2.1. Seja ϕ(x, y, z) = x2+2y2+4z2−xy−2xz−3yz.

Vamos eliminar os produtos xy e xz? Para isso, façamos

ϕ(x, y, z) = x2 − 2x(

12y + z

)+2y2 + 4z2 − 3yz

=

︷ ︸︸ ︷(x− 1

2y − z

)2

−(

12y + z

)2

+2y2 + 4z2 − 3yz

Tomando s = x− 12y − z e substiguindo em ϕ(x, y, z), obtemos

ϕ(x, y, z) = s2 + (2− 14

)y2 + (4− 1)z2 + 2(−3

2− 1

2

)yz

ϕ(x, y, z) = s2 +74y2 + 3z2 − 4yz

267

Page 270: Vetores e Geometria Analítica

Completando Quadrados

Repetindo o processso e completando mais um quadrado,

ϕ = s2 +74y2 + 3z2 − 4yz

= s2 + 3(z2 − 2z · 2

3y +

712y2

)2

= s2 + 3

[(z − 2

3y

)2

− 49y2 +

712y2

]

e desta vez, tomando t = z − 23y, camos com

ϕ = s2 + 3[t2 +

536y2

]⇒ ϕ = s2 + 3t2 +

512y2.

E percebemos, automaticamente, que a forma quadrática é posi-

tiva, pois A′, B′ e C ′ são positivos. Portanto, a forma quadrática

ϕ(x, y, z) = d, com d > 0, dene o elipsóide.

Exemplo 17.2.2. Seja ϕ(x, y, z) = 2x2 + 3y2 − 4xy − 4yz, e se-

guindo o que foi feito no exemplo anterior,

ϕ(x, y, z) = 2(x2 − 2xy) + 3y2 − 4yz

= 2(x− y)2 − 2y2 + 3y2 − 4yz

Tomando s = x− y e substituindo

ϕ = 2s2 + y2 − 4yz,

executando mais um completamento de quadrados,

ϕ = 2s2 + (y2 − 4yz) ⇒ ϕ = 2s2 + (y − 2z)2 − 4z2,

e colocando t = y−2z, temos ϕ = 2s2+t2−4z2. Para as superfícies

de nível

2s2 + t2 − 4z2 = d , ou seja 2(x− y)2 + (y − 2z)2 = d+ 4z2

Como estudamos na Aula 16, notamos que se:

268

Page 271: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

17AULA

d = 0 → 2(x− y)2 + (y − 2z)2 = 4z2 representa um cone;

d < 0 → 2(x−y)2+(y−2z)2−d = 4z2 representa uma hipérbole. Além

disso, todos os pontos obedecem à condição 4z2 ≥ |d|, ou

seja |z| ≥√|d|/2. Deste modo, quando o nível d é negativo,

a superfície ϕ(x, y, z) = d não tem pontos entre os planos

z = −√|d|/2 e z =

√|d|/2, portanto, é uma hipérbole de

duas folhas;

d > 0 → 2(x − y)2 + (y − 2z)2 − d = 4z2 representa uma hipérbole

de uma folha, pois a interseção da superfície com os planos

horizontais z = n é uma curva formada pelos pontos (x, y, n),

tal que

2x2 + 3y2 − 4xy − 4yn = d. (17.2)

Note que a equação (17.2) depende apenas de x e y. E como

aprendemos na Aula 13 (Equação Geral do Segundo Grau -

com duas variáveis), esta curva é uma elipse, pois a transla-

ção x = s+2n e y = t+2n introduz nesse plano coordenadas

s, t, nas quais a equação anterior ca

2s2 + 3t2 − 4st = d+ 4n2.

E assim, no plano z = n, a curva de nível com d+ 4n2 > 0,

da forma quadrática positiva 2s2 + 3t2 − 4st, nos diz que a

superfície de nível ϕ(x, y, z) = d corta cada plano horizontal

z = n segundo uma elipse, permitindo-nos concluir que tal

superfície é um hiperbolóide de uma folha.

(Veja as guras (11.1), (11.2) e (11.3).)

269

Page 272: Vetores e Geometria Analítica

Completando Quadrados

Figura 17.127: d =

0.

Figura 17.128: d >

0.

Figura 17.129: d <

0.

Exemplo 17.2.3. Seja ϕ(x, y, z) = x2+5y2+z2−4xy+2xz−4yz.

Vamos aplicar o método de completar quadrados,

ϕ = x2 + y2 + 2z2 − 2xy − 2xz − 2yz

= (x2 − 2xy − 2xz) + y2 + 2z2 + 2yz

= (x− y − z)2 − (y + z)2 + y2 + 2z2 + 2yz

= (x− y − z)2 − y2 − z2 − 2yz + y2 + 2z2 + 2yz

= s2 + z2 com s = x− y − z.

Vericamos que ϕ = s2 + z2 é uma forma quadrática não-negativa

e a superfície de nível ϕ(x, y, z) = d pode ser:

d < 0 → vazia;

d = 0 → é um conjunto de pontos P = (x, y, z), tal que

(x− y − z)2 + z2 = 0 se d = 0.

Ou seja, z = 0 e x = y, reduzindo a superfície a uma reta r,

formada pelos pontos (x, x, 0) com x ∈ R e

d < 0 → a superfície S corta o plano y = 0 segundo a curva

(x− z)2 + z2 = d ⇒ x2 − 2xz + 2z2 = d,

270

Page 273: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

17AULA

que é uma elipse E. E assim, um ponto P = (x, y, z) pertence

à superfície S representada por (x − y − z)2 + z2 = d se, e

somente se, P0 = (x−z, 0, z) pertence à elipse E. No entanto,

P = P0 + ~v, com ~v = (y, y, 0). Como (y, y, 0) é arbitrário

e é um ponto da reta r, concluímos que a superfície S é a

reunião das retas paralelas a r, tiradas a partir da elipse E.

Ou seja, S é o cilindro (oblíquo) de base E e geratriz r. (Veja

a gura (17.130).)

Figura 17.130: Nesta ilustração usamos d = −5/2.

Exemplo 17.2.4. Vejamos, agora, ϕ(x, y, z) = x2 + 3y2 + z2 +

4xy + 2xz + 4yz e façamos

ϕ = x2 + 3y2 + z2 + 4xy + 2xz + 4yz

= (x2 + 4xy + 2xz) + 3y2 + z2 + 4yz

= (x+ 2y + z)2 − (2y + z)2 + 3y2 + z2 + 4yz

= (x+ 2y + z)2 − 4y2 − z2 − 4yz + 3y2 + z2 + 4yz

= s2 − y2 com s = x+ 2y + z.

Portanto, a forma quadrática ϕ é indeterminada e sua superfície

271

Page 274: Vetores e Geometria Analítica

Completando Quadrados

de nível está representada por

s2 − y2 = d

e para:

d = 0 → (s+ y)(s− y) = 0 e assim,

0 = s+ y = x+ 3y + z

0 = s− y = x+ y + z⇒

Π1 : x+ 3y + z = 0

Π2 : x+ y + z = 0

Os planos Π1 e Π2 representam a superfície cuja Π1 ∩Π2 é a

reta g, dada por g : (x, 0,−x), x ∈ R.

d 6= 0 → a superfície S, representada por ϕ(x, y, z) = 0, corta o plano

z = 0 segundo a curva (x + 2y)2 − y2 = d ⇒ x2 + 4xy +

3y2 = d, que é uma hipérbole H. O ponto P = (x, y, z) ∈ S

se, e somente se, (x + 2y + z)2 − y2 = d, isto é, se P0 =

(x+ z, y, 0) ∈ H. Mas como P = P0 + ~v, com ~v = (−z, 0, z)

e o ponto (−z, 0, z) ∈ g, temos que a superfície de nível

ϕ(x, y, z) = d, ∀d 6= 0 é um cilindro (oblíquo) de base H

e geratriz g, formado pelas retas paralelas a g, tiradas por

pontos H.

Exemplo 17.2.5. Já para ϕ(x, y, z) = x2 +y2 +4z2 +2xy−4xz−

4yz, temos

ϕ = x2 + y2 + 4z2 + 2xy − 4xz − 4yz

= (x2 + 2xy − 4xz) + y2 − 4z2 − 4yz

= (x+ y − 2z)2 − (y − 2z)2 + y2 + 4z2 − 4yz

= (x+ y − 2z)2 − y2 − 4z2 + 4yz + y2 + 4z2 − 4yz

= s2 com s = x+ y − 2z.

Notamos que para ϕ(x, y, z) = d, se:

272

Page 275: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

17AULA

d = 0 → é o plano x+ y − 2z = 0;

d > 0 → um par de planos paralelos x+ y − 2z =√d e x+ y − 2z =

−√d;

d < 0 → vemos que s2 = d ⇒ (x + y − 2z)2 = d não tem solução, e

assim o conjunto que representa ϕ = d é vazio.

(Veja as guras (11.5), (11.6) e (11.7).)

Figura 17.131: d =

0.

Figura 17.132: d >

0.

Figura 17.133: d <

0.

17.3 Resumo

Nesta aula, você aprendeu que dada uma forma quadrática

ϕ(x, y, z) = Ax2+By2+Cz2+2Dxy+2Fxz+2Eyz = d, com d constante,

podemos associar a quádricas centrais estudadas na Aula 16.

17.4 Atividades

1. Completando os quadrados, identique as superfícies de nível

denidas por cada uma das equações a seguir:

(a) x2 + y2 + z2 = 25;

273

Page 276: Vetores e Geometria Analítica

Completando Quadrados

(b) 3x2 + 2y2 + 3z2 + 2xz = 2;

(c) y2 + 2z2 + 2√

3yz = 0;

(d) −5y2 + 2xy − 8xz + 2yz = 0;

(e) 3x2 + 3z2 + 4xy + 8xz + 4yz = 1.

2. Nesta atividade, faça o mesmo procedimento da anterior, po-

rém, para as formas quadráticas que seguem:

(a) 3x2 + 2y2 + 3z2 + 2xz.

(b) −5y2 + 2xy − 8xz + 2yz.

(c) 4x2 + 3y2 − z2 − 12xy + 4xz − 8yz.

(d) −x2 − y2 − 7z2 + 16xy + 8xz + 8yz.

17.5 Comentário das atividades

Se você resolveu a atividade 1, então entendeu como podemos clas-

sicar algumas das equações da forma ϕ(x, y, z) = d (com ϕ uma

forma quadrática e d uma constante real xada). Já na atividade

2, se a resolveu, aprendeu com os exemplos do texto a classicar as

possibilidades em que deixamos a equação na forma ϕ(x, y, z) = d,

com d um número real xado.

Em caso de diculdades, retome os conteúdos desta aula e não

se esqueça de consultar o tutor desta disciplina. Também é funda-

mental discutir os conteúdos com os seus colegas de curso.

17.6 Referências

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

274

Page 277: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

17AULA

Janeiro: IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-

kron Books,1987.

275

Page 278: Vetores e Geometria Analítica
Page 279: Vetores e Geometria Analítica

18AULA

2LIVRO

Equação Geral do Se-gundo Grau no Es-paço

META

Apresentar as propriedades da

equação de segundo grau com três

variáveis e suas respectivas repre-

sentações no espaço.

OBJETIVOS

Ao nal desta aula, o aluno deverá

efetuar translações nos eixos coor-

denados para identicar superfícies

representadas por equações com

três variáveis.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido o conteúdo da

aula anterior (Completando qua-

drados).

Page 280: Vetores e Geometria Analítica

Equação Geral do Segundo Grau no Espaço

18.1 Introdução

Olá, caro aluno! Nesta aula, daremos continuidade aos estudos

das quádricas centrais. Estudaremos um pouco mais a respeito

das equações que representam as superfícies quádricas (quádricas

centrais) e os parabolóides (elíptico e hiperbólico).

Vamos analisar a função quadrática com três variáveis, ϕ :

R3 → R, dada por

ϕ(x, y, z) = Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J

(18.1)

com A, B, C, D, E, F , G, H, z, J e d constantes reais não todos

nulos.

Iremos admitir que os eixos ortogonais já foram escolhidos de

tal sorte a eliminar os termos xy, xz e yz (D = E = F = 0), como

estudamos para duas variáveis. E assim, para simplicar, basta

considerarmos o caso da função

ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 + Cz2 +Gx+Hy + Iz + J

Vamos buscar uma translação de eixos tal que as coordenadas

x, y, z passem para r, s, t, obedecendo

x = r + h, y = s+ k, z = t+m

para que os termos do primeiro grau desapareçam. Façamos

ϕ(x, y, z) = ϕ(r + h, s+ k, t+m)

= ϕ(r, s, t)

= A(r + h)2 +B(s+ k)2 + C(t+m)2+

+G(r + h) +H(s+ k) + I(t+m) + J

= Ar2 +Bs2 + Ct2 +G′r +H ′s+ I ′t+ J ′,

278

Page 281: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

18AULA

sendoG′ = 2Ah+G

H ′ = 2Bk +H

I ′ = 2Cm+ I

Agora, vamos analisar quatro casos.

18.2 A, B e C são diferentes de zero

Tomando h = − G

2A, k = − H

2Be m = − I

2C, obtemos G′ = H ′ =

I ′ = 0, além de a equação ϕ(x, y, z) = d se reduzir a Ar2 +Bs2 +

Ct2 = d − J ′. Portanto, a superfície de nível de ϕ é uma das

quádráticas centrais já estudadas nas aulas 16 e 17.

18.3 Apenas um dos coecientes A, B, C é

zero e os outros dois têm o mesmo sinal

Vamos admitir que se C = 0 (sem perda de generalidade) e AB > 0

(ou seja, têm mesmo sinal), temos

ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 +Gx+Hy + Iz + J.

Com a mudança de coordenadas x = r− G

2A, y = s− H

2B(mantendo

z), obtemos

ϕ(x, y, z) = ϕ(r, s, z) = Ar2 +Bs2 + Iz + J ′.

Observe as condições a seguir:

I = 0 → a função é escrita comoA′r2+B′s2+J ′, e assim, ϕ(x, y, z) =

d (ou seja,A′r2 +B′s2 = d− J ′) representa:

1. um cilindro vertical de base elíptica quando d− J ′,A e

B têm mesmo sinal;

279

Page 282: Vetores e Geometria Analítica

Equação Geral do Segundo Grau no Espaço

2. um conjunto vazio se d−J ′,A e B não têm mesmo sinal;

3. e a reta vertical r = s = 0 (ou seja, x = − G

2A, y = − H

2Bse d = J ′).

I 6= 0 → Neste caso, ϕ(x, y, z) = d se expressa, dependendo de r,

s e t, por

Ar2 +Bs2 + Iz + J ′ = d ⇒

Iz = −Ar2 −Bs2 − J ′ + d ⇒ z = −AIr2 − B

Is2 +

d− J ′

I

ponto, A′ = −AI, B′ = −B

Ie p =

d− J ′

Iobtemos

z = A′r2 +B′s2 + p.

Denição 18.53. A superfície represtentada por z = A′r2+B′s2+

p é denominada de um parabolóide elíptico.

Figura 18.134: Parabolóide P = (x, y, z) ∈ R3; z = x2 + y2.

Observação 29. Um parabolóide tem concavidade voltada para

cima se A′ e B′ são positivos e para baixo se A′ e B′ forem nega-

tivos.

280

Page 283: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

18AULA

Figura 18.135: P ∩

plano− xz.

Figura 18.136: P ∩

plano− yz.

Figura 18.137: P ∩

plano− xy.

Exemplo 18.3.1. Qual será a superfície representada pela equa-

ção x2 + 2y2 + 4x− 4y + 2z + 1 = 0 ? Vamos efetuar a mudança

de coordenadas, x = r − G

2A, y = s − H

2B. Ou seja, x = r − 2 e

y = s+ 1, substituindo na equação

(r − 2)2 + 2(s+ 1)2 + 4(r − 2)− 4(s+ 1) + 2z + 1 = 0,

e expandindo os quadrados anteriores, obtemos

r2 + 2s2 + 2z − 5 = 0 ⇒ z = −12r2 − s2 +

52.

E assim, percebemos que a superfície representada pela equação

anterior é um cilindro parabólico.

18.4 Apenas um dos coecientes A, B, C é

nulo e os outros dois têm sinais opostos

Suponhamos (sem perda de generalidade) que C = 0 e temos

ϕ(x, y, z) = Ax2 +By2 +Gx+Hy + Iz + J,

sendo AB < 0. Como em (18.3), uma translação dos eixos nos dá

ϕ(x, y, z) = ϕ(x, y, z) = Ar2 +Bs2 + Iz + J ′.

Podemos ainda vericar as seguintes possibilidades:

281

Page 284: Vetores e Geometria Analítica

Equação Geral do Segundo Grau no Espaço

Figura 18.138: x2 + 2y2 + 4x− 4y + 2z + 1 = 0.

I = 0 → da equação ϕ(x, y, z) = d ⇒ Ar2 +Bs2 = d− J ′, o que

representa um cilindro vertical com base hiperbólica ou um

par de planos que se intersectam na reta vertical r = s = 0

se d = J ′.

I 6= 0 → de ϕ(x, y, z) = d ⇒ A′r2 +B′s2 +p = z, com A′ = −AI,

B′ = −BI

e p = −d− J′

I(lembrando que A e B têm sinais

opostos, implica que A′ e B′ também o têm).

Denição 18.54. A superfície representada pela equação z =

A′r2 + B′s2 + p (A′ e B′ com sinais opostos) é um parabolóide

hiperbólico (também conhecida como sela, devido ao formato de

uma sela de cavalo). É gerada por uma parábola que se desloca pa-

ralelamente com seu vértice deslizando sobre outra parábola com

concavidade invertida.

Exemplo 18.4.1. Qual será a superfície representada pela equa-

ção 3x2 − 2y2 + 6xy + x + 2z = 1? Para descobrirmos, primeira-

mente vamos efetuar o processo de eliminação do termo xy, que

282

Page 285: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

18AULA

Figura 18.139: z = x2 − y2

aprendemos na Aula 17 (Completando Quadrados). Deste modo,

façamos

0 = 3x2 − 2y2 + 6xy + x+ 2z − 1 3(x2 + 2xy)− 2y2 + x+ 2z − 1

3(x+ y)2 − 3y2 − 2y2 + x+ 2z − 1

Tomando r0 = x+ y (implicando que x = r0 − y), obtemos

3r20 − 5y2 + r0 − y + 2z − 1 = 0.

Note que nesta equação A = 3, B = −5, C = E = E = F = 0,

G = 1, H = −1, I = 2 e J = −1. Agora, queremos eliminar

os termos lineares ( os que têm x e y, ou seja G e H). Para

isso, como sugerido na seção (18.3), introduzimos as mudanças de

coordenadas

r0 = r − G2A

y = s− H2B

⇒r0 = r − 1

6

y = s− 110

Substituindo

3(r − 1

6

)2

− 5(s− 1

10

)2

+(r − 1

6

)−(s− 1

10

)+ 2z − 1 = 0.

283

Page 286: Vetores e Geometria Analítica

Equação Geral do Segundo Grau no Espaço

3r2 − 5s2 + 2z − 3130

= 0

z = −32r2 +

52s2 +

3160

Portanto, a superfície é um parabolóide hiperbólico.

Figura 18.140: 3x2 − 2y2 + 6xy + x+ 2z = 1.

18.5 Um dos coecientes A, B, C é diferente

de zero e os outros dois são nulos

Considerando A 6= 0 e B = C = 0, a função quadrática é dada por

ϕ(x, y, z) = Ax2 +Gx+Hy + Iz + J.

Efetuando a mudança de coordenadas x = r− G

2Ae mantendo y e

z, ca

ϕ(x, y, z) = ϕ(r, y, z) = Ar2 +Hy + Iz + J.

284

Page 287: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

18AULA

1. Se H = I = 0, ϕ(x, y, z) = d ⇒ r2 =d− J ′

A, o que dene:

(a) sed− J ′

A> 0, um par de planos perpendiculares ao

eixo−x;

(b) se d = J ′, um único plano ou

(c) sed− J ′

A< 0, o conjunto vazio.

2. Suponhamos que um dos coecientes H, I seja não nulo, isto

é, I 6= 0. Assim,

ϕ(x, y, z) = d ⇒ Ar2+Hy+Iz+J ′ = d ⇒ z = A′r2+H ′y+p

com A′ = −AI, A′ = −H

Ie p = −d− J

I, então percebemos

que a superfície representada pela equação

Ax2 +Gx+Hy + Iz + J = d

é o cilindro obtido pelo deslocamento da parábola z = A′r2+

p (ou seja, z = A′(x+

G

2A

)+ p) contida no plano y = 0,

paralelamente a si mesma, com seu vértice deslizando sobre a

reta z = H ′y+p, situada no plano r = 0 (ou seja, x = − G

2A).

Exemplo 18.5.1. Como vericamos no exemplo 5 da Aula 17,

a forma quadrática ϕ(x, y, z) = x2 + y2 + 4z2 + 2xy − 4xz − 4yz

pode ser reescrita da seguinte forma:

ϕ = r20 com r0 = x+ y − 2z.

Vamos usar isso para a equação x2 + y2 + 4z2 + 2xy− 4xz− 4yz−

x+ y + z = 1, sendo x = r0 − y + 2z, notamos que

x2+y2+4z2+2xy−4xz−4yz−x+y+z = 1 ⇒ r20−(r0−y+2z)+y+z = 1

285

Page 288: Vetores e Geometria Analítica

Equação Geral do Segundo Grau no Espaço

Figura 18.141: Nesta ilustração, z = x2.

e assim, a equação ca r20 − r0 + 2y − z = 1. Façamos, agora, a

seguinte translação:

r0 = r − (−1)2 · 1

= r +12

e obteremos(r +

12

)2

−(r +

12

)−y+z = 1 ⇒ r2−y+z =

54⇒ z = r2−y−5

4

E assim, a superfície representada pela equação x2 + y2 + 4z2 +

2xy − 4xz − 4yz − x+ y + z = 1 é um cilindro parabólico.

18.6 Resumo

Nesta aula, aprendemos que é possível associar uma equação geral

do segundo grau com três variáveis a algumas superfícies (quá-

dricas centrais e parabolóides). Além disso, vericamos que essas

superfícies podem ser mais claramente identicadas se efetuarmos

mudanças de variáveis.

286

Page 289: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

18AULA

Figura 18.142: x2 + y2 + 4z2 + 2xy − 4xz − 4yz − x+ y + z = 1.

18.7 Atividades

1. Usando a técnica de completamento de quadrados, identi-

que as superfícies de nível denidas por cada uma das equa-

ções a seguir:

(a) x2 + 2y2 + 4z2 = 9;

(b) x2 + xy − 2xz + yz = 0;

(c) y2 − 2z2 + 2√

3yz − 2 = 0;

(d) 3x2 + 3z2 + 2xz = 2;

18.8 Comentário das atividades

Nesta única atividade com 4 itens, você poderá exercitar seus co-

nhecimentos a respeito dos 4 tipos de classicações para as equa-

ções do segundo grau com três variáveis.

Caso haja diculdades na resolução da atividade, retome os

conteúdos estudados durante esta aula e não se esqueça de que há

287

Page 290: Vetores e Geometria Analítica

Equação Geral do Segundo Grau no Espaço

tutores para ajudá-lo com as dúvidas.

18.9 Referências

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro: IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-

kron Books,1987.

288

Page 291: Vetores e Geometria Analítica

19AULA

2LIVRO

Transformações Line-ares no Espaço

META

Identicar e ilustrar algumas trans-

formações lineares de Rn em Rm

(em especial, para n = m = 3), bem

como as transformações lineares

ortogonais e suas propriedades.

OBJETIVOS

Ao nal desta aula, o aluno deverá

identicar e utilizar as transforma-

ções de Rn sobre Rm, bem como as

transformações lineares ortogonais

(quando n = m = 3).

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido transformações li-

neares no plano, mudanças de coor-

denadas no espaço e quádricas cen-

trais.

Page 292: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares no Espaço

19.1 Introdução

Olá, nesta aula vamos expandir a denição de transformação li-

near apresentada na Aula 14. Conheceremos alguns exemplos de

transformações lineares, como as transformações lineares ortogo-

nais com as propriedades de preservarem o produto interno e os

comprimentos das imagens dos vetores pela transformação.

19.2 Transformações lineares

Vamos começar com uma denição mais generalizada.

Denição 19.55. Sejam V = Rn e W = Rm (com n,m = 1, 2 ou

3) dois conjuntos. Uma transformação linear é uma função de

V em W , F : V →W , que satisfaz as seguintes condições:

(i) quaisquer que sejam ~u e ~v em V ,

F (~u+ ~v) = F (~u) + F (~v). (19.1)

(ii) quaisquer que sejam ~u V e λ ∈ R,

F (λ~u) = λF (~u). (19.2)

Exemplo 19.2.1. Vejamos alguns exemplos:

1. A transformação T : R2 → R2 (com m = n = 2),denida por

T (x, y) = (y, 0) é uma linear, pois

(i) Dados ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2), temos que ~u + ~v =

290

Page 293: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

19AULA

(x1 + x2, y1 + y2) e

T (~u+ ~v) = T (x1 + x2, y1 + y2)

= (y1 + y2, 0)

= (0, y1, 0) + (0, y2, 0)

= T (~u) + T (~v).

(ii) dados ~u = (x1, y1) e a ∈ R, temos que a~u = (ax1, ay1)

e

T (~u+ ~v) = T (ax1, ay1)

= (ay1, 0)

= (a(y1), 0)

= a(y1, 0)

= aT (~u).

2. A aplicação F : R2 → R3 (veja que neste caso, n = 2 e m =

3), denida por F (x, y) = (0, x+ y, 0), é uma transformação

linear, pois

(i) dados ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2), temos que ~u + ~v =

(x1 + x2, y1 + y2) e

F (~u+ ~v) = F (x1 + x2, y1 + y2)

= (0, (x1 + x2) + (y1 + y2), 0)

= (0, (x1 + y1) + (x2 + y2), 0)

= (0, x1 + y1, 0) + (0, x2 + y2, 0)

= F (~u) + F (~v).

(ii) dados ~u = (x1, y1) e a ∈ R, temos que a~u = (ax1, ay1)

291

Page 294: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares no Espaço

e

F (~u+ ~v) = F (ax1, ay1)

= (0, ax1, ay1, 0)

= (0, a(x1 + y1), 0)

= a(0, x1 + y1, 0)

= aF (~u).

3. A transformação S : R3 → R2, dada por S(x, y, z) = (xz, yx)

não é linear, pois se fosse, S(a~u) = aS(~u), para todo ~u ∈ R3.

No entanto, se ~u = (x1, y1, z1), temos que

S(a~u) = S(ax1, ay1, az1)

= ((ax1)(az1), (ay1)(az1))

=(a2(x1z1, a

2(y1z1))

= a2(x1z1, y1z1)

= a2S(x1, y1, z1)

= a2S(~u)

⇒ S(a~u) 6= aS(~u).

Não obedecendo, assim, à propriedade (ii).

4. Já a transformação Q : R → R, dada por Q(x) = 2x + 1

também não é linear. Perceba que T (x1) = 2x1 + 1

T (x2) = 2x2 + 1

e para T (x1 + x2) = 2(x1 + x2) + 1. Vemos que

T (x1)+T (x2) = (2x1+1)+(2x2+1) = 2(x1+x2)+2 6= T (x1+x2).

Portanto, não obedecendo à propriedade (i).

292

Page 295: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

19AULA

19.3 Transformações lineares em R3

Agora, vamo-nos concentrar em transformações T : R3 → R3 que

serão nosso objeto de estudo.

Denição 19.56. Uma transformação linear T : R3 → R3 é

uma correspondência que associa a cada vetor ~v = (x, y, z) em R3

um vetor T (~v) = (x′, y′, z′), chamado imagem, ou o transfor-

mado de ~v por T , com

x′ = a1x+ b1y + c1z

y′ = a2x+ b2y + c2z

z′ = a3x+ b3y + c3z.

Os coecientes ai, bi, ci (i = 1, 2, 3) determinam a matriz

M =

a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

chamada de matriz da transformação linear T .

Note que sendo ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) vetores

da base canônica,

T (~i) = (a1 · 1 + b1 · 0 + c1 · 0, a2 · 1 + b2 · 0 + c2 · 0, a3 · 1 + b3 · 0 + c3 · 0)

T (~j) = (a1 · 0 + b1 · 1 + c1 · 0, a2 · 0 + b2 · 1 + c2 · 0, a3 · 0 + b3 · 1 + c3 · 0)

T (~k) = (a1 · 0 + b1 · 0 + c1 · 1, a2 · 0 + b2 · 0 + c2 · 1, a3 · 0 + b3 · 0 + c3 · 1)

T (~i) = (a1, a2, a3)

T (~j) = (b1, b2, b3)

T (~k) = (c1, c2, c3)

Ou seja, as colunas de M são os vetores T (~i), T (~j), T (~k).

293

Page 296: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares no Espaço

Recorremos à denição de transformação linear no plano dada

na Aula 14 e notamos que para ~u,~v ∈ R3 e λ ∈ R quaisquer,

tem-se

T (~u+ ~v) = T (~u) + T (~v), T (λ~v) = λT (~v) (19.1)

Exercício 19.3.1. Verique que numa transformação linear valem

as igualdades (19.1). (Veja exercício (2).)

A recíproca também é válida, isto é, se uma transformação

T : R3 → R3 satisfaz às igualdades (19.1), então T é uma trans-

formação linear. De fato, sejam T (~i) = (a1, a2, a3), T (~j) =

(b1, b2, b3) e T (~k) = (c1, c2, c3). Dado ~v = (x, y, z) ∈ R3, tem-se

~v = x~i+ y~j + z~k, e sua imagem por T será

T (~v) = T (x~i+ y~j + z~k)

= T (x~i) + T (y~j) + T (z~k)

= xT (~i) + yT (~j) + zT (~k)

= x(a1, a2, a3) + y(b1, b2, b3) + z(c1, c2, c3)

= (a1x+ b1y + c1z, a2x+ b2y + c2z, a3x+ b3y + c3z)

Denição 19.57. Considere a transformação S : R3 → R3 com

matriz

N =

p1 q1 r1

p2 q2 r2

p3 q3 r3

.

A soma T + S : R3 → R3, o produto λT : R3 → R3 (pelo λ ∈ R) e

o produto TS : R3 → R3 das transformações lineares (T e S) são,

respectivamente,

(T + S)(~v) = T (~v) + S(~v),

(λT )(~v) = (λT )(~v) e

(TS)(~v) = T (S(~v)) .

(19.2)

294

Page 297: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

19AULA

As transformações T + S, λT e TS são todas lineares. A veri-

cação das transformações T + S e λT cam como exercício (veja

exercício (3)). Para a transformação TS, a sua matriz da trans-

formação seráMN . De fato, note que a primeira coluna da matriz

TS é

(TS)(~i) = T(S(~i)

)= T (p1, p2, p3)

= (a1p1 + b1p2 + c1p3, a2p1 + b2p2 + c2p3,

a3p1 + b3p2 + c3p3)

que é a primeira coluna da matriz MN . Podemos proceder de

forma análoga para a segunda e a terceira colunas da matriz de

TS, pois percebemos que elas coincidem com a matriz MN e,

assim, a matriz de TS é MN .

Exemplo 19.3.1. Vejamos algumas transformações bem simples

de serem observadas.

(a) [Identidade] Id : R3 → R3, dada por Id(~v) = ~v, para todo

~v ∈ R3.

(b) [Transformação Nula] O : R3 → R3, sendo O(~v) = ~0,

para todo ~v ∈ R3.

Note que em (a), a matriz da transformação é

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

295

Page 298: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares no Espaço

a matriz identidade 3× 3, enquanto que em (b) a matriz de

Em geral, denotamosas matrizes identidadede ordem n× n por In.

O é 0 0 0

0 0 0

0 0 0

a matriz nula 3× 3.

(c) [Homotetia] A transformação H = α ·Id : R3 → R3 chama-

se a homotetia de centro O = (0, 0, 0) e razão α. Veja que

(α · Id)(~v) = α~v para todo ~v ∈ R3. Sua matriz é da forma

α · I3 =

α 0 0

0 α 0

0 0 α

Exemplo 19.3.2. [Projeção ortogonal sobre uma reta] Seja

r uma reta passando pela origem de R3 e com direção ~u = (a, b, c).

Tem-se r = t~u, t ∈ R, a projeção ortogonal P : R3 → R3 so-

bre a reta r corresponde a cada vetor ~v = (x, y, z) ∈ R3 ao vetor

P (~v) ∈ r, tal que ~v − P (~v) é ortogonal a ~u. Deste modo,

P (~v) = t~u, t ∈ R e 〈u, v − P (~v)〉 = 0 ⇒ 〈~u,~v〉 = 〈~u, P (~v)〉.

Tomando 〈~u, ~u〉 = 1, temos de P (~v) = t~u,

〈~u,~v〉 = 〈~u, t~u〉

= t〈~u, ~u〉

⇒ 〈~u,~v〉 = t = 〈~u, P (~v)〉

E assim, P (~v) = t~u = 〈~u, P (~v)〉 · ~u = 〈~u,~v〉 · ~u. Percebemos ainda

que :

296

Page 299: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

19AULA

Figura 19.143: P (~v) = 〈~v, ~u〉~u

(i) para quaisquer ~v, ~w ∈ R3,

P (~v + ~w) = 〈~u,~v + ~w〉 · ~u

= 〈~u,~v〉 · ~u+ 〈~u, ~w〉 · ~u

= P (~v) + P (~w)

(ii) para quaisquer ~v ∈ R3 e α ∈ R,

P (α · ~v) = 〈~u, α · ~v〉 · ~u

= α · 〈~u,~v〉 · ~u

= α · P (~v)

Logo, P é linear. Com respeito as suas coordenadas, sabendo que

~u = (a, b, c) e ~v = (x, y, z), temos P (~v) = (x′, y′, z′), com

x′ = a2x+ aby + acz

y′ = abx+ b2y + bcz

z′ = acx+ bcy + c2z,

297

Page 300: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares no Espaço

a matriz da transformação será dada por

P =

a2 ab ac

ab b2 bc

ac bc c2

.

O posto de P é 1, pois seus vetores-coluna são múltiplos de ~u =

(a, b, c).

Exemplo 19.3.3. [Reflexão em torno de uma reta] Seja r

uma reta em R3 que passa pela origem e contém o vetor unitário

~u = (a, b, c). A reexão em torno da reta r é a função R : R3 → R3

associando cada ~v = (x, y, z) ∈ R3 ao vetor R(~v) tal que r é a

mediatriz do segmento de reta que liga ~v a R(~v). Notamos da

gura (19.144) que

~v +R(~v) = 2P (~v)

em que P (~v) = 〈~v, ~u〉~u é a projeção ortogonal de ~v sobre a reta r.

Ou seja, R = 2P − Id ou, mais explicitamente,

R(~v) = 2〈~v, ~u〉~u− ~v ∀~v ∈ R3.

Portanto, R é uma transformação linear e sua matriz é N =

2P − I3, ou seja,

N = 2·

a2 ab ac

ab b2 bc

ac bc c2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

=

2a2 − 1 2ab 2ac

2ab 2b2 − 1 2bc

2ac 2bc 2c2 − 1

19.3.1 Transformações ortogonais

Denição 19.58. Uma transformação linear T : R3 → R3 chama-

se ortogonal quando sua matriz M é ortogonal, isto é, tM ·M =

M · (tM) = I3.

298

Page 301: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

19AULA

Figura 19.144: R(~v) = 2P (~v)− ~v

A reexão do exemplo (19.3.3) é ortogonal. De fato, a matriz

da transformação R, N é simétrica, ou seja, N =t N ⇒ N2 =

N · (tN) = I3.

Exercício 19.3.2. Verique que N2 = I3.

As rotações em torno de um eixo também são transformações

Todas as rotaçõesilustradas neste exem-plo são no sentidoanti-horário, pararotacioná-las no sen-tido horário, bastatrocar θ por −θ.

lineares ortogonais.

Exemplo 19.3.4. A rotação de um ângulo θ em torno do eixo−z

é a transformação linear

Tz : R3 → R3

~v = (x, y, z) 7→ Tz(~v) = (x cos θ − ysen θ, xsen θ + y cos θ, z).

cuja matriz é da forma

Rθ =

cos θ −sen θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1

Note que Rθ · (tRθ) =t Rθ ·Rθ = I3. Temos ainda os caso em que:

299

Page 302: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares no Espaço

1. a rotação é em torno do eixo−x, cuja matriz da transforma-

ção Tx é dada por

Rθ =

1 0 0

0 cos θ −sen θ

0 sen θ cos θ

2. a rotação é em torno do eixo−y, cuja matriz da transforma-

ção Ty é dada por

Rθ =

cos θ 0 −sen θ

0 1 0

sen θ 0 cos θ

.

Munidos das matrizes de rotação do exemplo anterior, podemos

construir algumas superfícies de revolução rotacionando curvas em

torno de eixos pré-determinados. Por exemplo, podemos obter um

parabolóide (circular) rotacionando a parábola p(t) = (t, 0, t2), t ∈

R em torno do eixo−z, fazendo corresponder para cada θ uma cópia

da parábola original rotacionada.

Rθ · p(t) =

cos θ −sen θ 0

sen θ cos θ 0

0 0 1

t

0

t2

=

t cos θ

t sen θ

t2

E assim, temos uma outra maneira de parametrizar o mesmo pa-

rabolóide (neste caso, com base circular) que estudamos na Aula

18.

Podemos obter também a esfera de raio 1, (S2), rotacionando

a curva (x,√

1− x2, 0) em torno do eixo−x, como ilustra a gura

300

Page 303: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

19AULA

Figura 19.145: Parábola con-

tida no plano Πxz, dada por

p(t) = (t, 0, t2), t ∈ R.

Figura 19.146: Parabolóide

gerado pela rotação da pará-

bola p(t) em torno do eixo−z.

a seguir. Neste caso, a parametrização será dada por1 0 0

0 cos θ −sen θ

0 sen θ cos θ

x√

1− x2

0

=

x

−(√

1− x2)

sen θ

−(√

1− x2)

cos θ

Note que

x2 +(√

1− x2sen θ)2

+(√

1− x2 cos θ)2

=

= x2 + (1− x2)sen2θ + (1− x2) cos2 θ

= x2 + (1− x2)(sen2θ + cos2 θ)

= x2 + 1− x2

= 1,

conrmando que β(t, θ) =(x,−√

1− x2sen θ,−√

1− x2 cos θ)obe-

dece à equação x2 + y2 + z2 = 1 da esfera unitária.

Proposição 1. Uma transformação linear ortogonal T : R3 → R3

preserva o produto interno de vetores, ou seja, T é ortogonal. En-

tão, para quaisquer ~u,~v ∈ R3, tem-se 〈T (~u), T (~v)〉 = 〈~u,~v〉.

Demonstração. Sejam ~u = (a, b, c) e ~v = (x, y, z) em R3, interpre-

tamos o produto interno 〈~u,~v〉 = ax+by+cz com sendo o produto

301

Page 304: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares no Espaço

Figura 19.147: Semi-

circunferência contida

no plano Πxy, dada por

q(t) = (t,√

1− t2, 0), t ∈ R.

Figura 19.148: Esfera ge-

rada pela rotação da semi-

circunferência q(t) em torno

do eixo−x.

t~u · ~v das matrizes

t~u =(a b c

)e ~v =

x

y

z

.

E seM é a matriz da transformação linear ortogonal, tem-se por

deniçãotM ·M = I3, e temos ainda que

〈T (~u), T (~v)〉 =t (M~u) (M~v) =t~u tMM~v =t~u I3 ~v =t~u · ~v = 〈~u,~v〉

Proposição 2. Se a transformação linear ortogonal preserva o pro-

duto interno, também preserva comprimentos.

Demonstração. Partindo do produto

〈T (~u), T (~v)〉 = 〈~u,~v〉,

e tomando ~u = ~v, obtemos

〈T (~u), T (~u)〉 = 〈~u, ~u〉 ⇒ |T (~u)|2 = |~u|2 ⇒ |T (~u)| = |~u|, ∀ ~u ∈ R3.

302

Page 305: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

19AULA

Exemplo 19.3.5. Usando mais uma vez os exemplos das matrizes

de rotação sob os eixos coordenados (x, y e z) e dados os vetores

~v = (1, 0, 1) e ~w = (1, 1,−1), notamos que 〈~v, ~w〉 = 0. Vamos

rotacioná-los em torno do eixo−y em θ = π/3 (ou seja, 600). Assim

a matriz de rotação é dada por

PRπ3

=

cos π3 0 −sen π

3

0 1 0

sen π3 0 cos π3

. =

12 0 −

√3

2

0 1 0√

32 0 1

2

logo, Rπ

3~v =

(12−√

32, 0,

12

+√

32

)e

Rπ3~w =

(√3

2+

12, 1,√

32− 1

2

)⇒ 〈Rπ

3~v,Rπ

3~w〉 = 0, note ainda

que

|~v| =√

12 + 02 + 12 =√

2 e |~w| =√

12 + 12 + (−1)2 =√

3

e que

|Rπ3~v| =

√√√√(√32

+12

)2

+ 02 +

(12

+√

32

)2

=√

2 e

|Rπ3~w|

√√√√(12

+√

32

)2

+ 12 +

(√3

2− 1

2

)2

=√

3

E assim, percebemos que as imagens dos vetores ~v e ~w pela rotação

Ty estão de acordo com as armações anteriores.

Na próxima aula

Apresentaremos mais alguns exemplos sobre transformações li-

neares no espaço, como uma aplicação à óptica, na projeção de

objetos em 3D para 2D e em codicação de mensagens.

303

Page 306: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares no Espaço

19.4 Resumo

Nesta aula, conhecemos uma denição um pouco mais geral que

a já conhecida para transformações lineares. Concentrando-nos

apenas nas transformações de R3 em R3, foi possível observar que

para cada transformação linear existe uma matriz quadrada associ-

ada, chamada de matriz da transfomação. Além disso, conhecemos

mais alguns exemplos e propriedades como a conservação do pro-

duto interno e de comprimentos das imagens de vetores através de

transformações lineares ortogonais.

19.5 Atividades

1. Verique se as transformações a seguir são lineares ou não.

(a)T : R2 → R2

(x, y) 7→ T (x, y) = (x+ y, x− y)

(b)F : R2 → R

(x, y) 7→ F (x, y) = xy + 1

(c)f : R → R

x 7→ f(x) = |x|

(d) G : R3 → R2 denida por

G(x, y, z) =(x y z

1 2

−1 0

1 −1

.

(e)F : R3 → R

(x, y, z) 7→ F (x, y) = x+ y − 2z

304

Page 307: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

19AULA

2. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear como na deni-

ção (19.56), com

T (x, y, z) = (a1x+b1y+c1z, a2x+b2y+c2z, a3x+b3Py+c3z).

Verique que para ~u,~v ∈ R3 e λ ∈ R quaisquer, valem as

igualdades:

(a) T (~u+ ~v) = T (~u) + T (~v);

(b) T (λ~v) = λT (~v).

3. Verique que para as transformações lineares T : R3 → R3 e

S : R3 → R3, também são lineares as transformações:

(a) a soma T + S : R3 → R3, denido por (T + S)(~v) =

T (~v) + S(~v);

(b) o produto λT : R3 → R3 (pelo λ ∈ R), denida por

(λT )(~v) = (λT )(~v).

4. Use as matrizes de rotação a m de construir parametrizações

para:

(a) o elipsóide, rotacionando a curva β(t) = (t, 2√

1− t2, 0), t ∈

R;

(b) o cone, rotacionando a reta γ(t) = (0, t, t), t ∈ R.

5. Use a técnica de demonstração da proposição (1) para de-

monstrar que se T : R3 → R3 é uma transformação linear

ortogonal que preserva comprimentos (ou seja, |T (~u)| = |~u|,

∀ ~u ∈ R3), então também preserva produto interno (isto

é,〈T (~u), T (~v)〉 = 〈~u,~v〉, ∀ ~u,~v ∈ R3).

6. Mostre que:

305

Page 308: Vetores e Geometria Analítica

Transformações Lineares no Espaço

(a) a transformação Tx : R3 → R3, dada por Tx(~v) = Rα~v

(rotacionada num ângulo α em torne do eixo−x) e Ty :

R3 → R3, dada por Tx(~u) = Rθ~u (rotacionada num ân-

gulo θ em torne do eixo−y) , preserva produto interno;

(b) a transformação (TyTx)(~v) = Ty(Tx(~v))∀~v ∈ R3 pre-

serva produto interno.

(c) (generalizando) para quaisquer transformações ortogo-

nais T, S, a transformação ST também é ortogonal e

preserva produto interno.

19.6 Comentário das atividades

Se você conseguiu resolver as atividades 1,3 e 4, então entendeu a

denição de transformações lineares. Respondendo às atividades

2, 5 e 6, perceberá que podemos encontrar outras propriedades

nos conjuntos das transformações lineares relativas à composição,

soma e produto por um escalar e produto interno. Já na questão

7, você deve ter notado que podemos escrever funções (também

chamadas de parametrizações) para algumas guras geométricas

já conhecidas nossas (superfícies quádricas).

19.7 Referências

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro: IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-

kron Books,1987.

306

Page 309: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

19AULA

307

Page 310: Vetores e Geometria Analítica
Page 311: Vetores e Geometria Analítica

20AULA

2LIVRO

Aplicações de Trans-formações Lineares

META

Apresentar alguns exemplos de

transformações lineares e suas

propriedades.

OBJETIVOS

Ao nal desta aula, o aluno deverá

reconhecer alguns exemplos de

transformações lineares.

PRÉ-REQUISITOS

Ter compreendido o conceito de

transfomação linear estudado na

aula anterior.

Page 312: Vetores e Geometria Analítica

Aplicações de Transformações Lineares

20.1 Introdução

Olá, caro aluno! Nesta aula, conheceremos três aplicações das

transformações lineares. A primeira refere-se a uma aplicação na

Física, especicamente na reexão de raios de luz em espelhos pla-

nos. No segundo exemplo, estudaremos uma técnica, muitas vezes

usada intuitivamente, para projetar para o plano objetos que es-

tão no espaço. Já no último exemplo, vericaremos que através do

auxílio de uma transformação linear é possível construirmos um

método de codicar mensagens para serem compreendidas apenas

pelo emissor e pelo receptor.

20.2 Aplicações à Óptica

Consideremos um feixe de raios paralelos (cuja direção pode, por-

tanto, ser dada por um vetor) que se reete em espelhos planos.

Vamos observar a situação mais simples possível: a propagação

se dá no R2 (isto é, estamos observando o fenômeno de perl) e o

espelho está colocado no eixo horizontal, como ilustrado na gura

a seguir.

Dado um raio de luz incidente na direção do vetor ~v = (a, b), em

que direção (c, d) estará o raio reetido? Antes de respondermos

à pergunta anterior, vamos relembrar um pouco sobre as leis que

regem a reexão da luz em um espelho.

(I) O raio de luz incidente, a reta normal ao espelho, o ponto de

incidência e o raio reetido estão no mesmo plano.

(II) O ângulo entre o raio incidente e a reta normal ao espelho é

o mesmo que o ângulo entre a reta normal e o raio reetido.

310

Page 313: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

20AULA

(III) Supondo que o espelho seja perfeito, isto é, não há absorção

da luz, a luz se reete com a mesma intensidade que tinha

na incidência.

Observação 30. Munidos dessas leis, para o nosso caso, não preci-

saremos nos preocupar com (I), pois a propagação acontece sobre

um plano. Se o comprimento do vetor indicar a intensidade da luz,

(III) então o vetor reetido terá o mesmo tamanho que o incidente.

Juntando estas informações com (II), implica que c = a e d = −b,

ou, em forma matricialcd

=

1 0

0 −1

ab

E assim, concluímos que um espelho plano atua sobre os raios

luminosos como uma transformação linear R (na verdade, uma

reexão em torno do eixo−x).

Vamos estudar a matriz associada a um espelho numa posição

um pouco mais geral (veja a gura (20.149)), ou seja, formando

um ângulo θ com o eixo−x.

311

Page 314: Vetores e Geometria Analítica

Aplicações de Transformações Lineares

Figura 20.149: θ é o ângulo entre o eixo−x e o espelho.

Note que as retas (raios luminosos) que seguem a direção dos

vetores da base canônica do R2,~i = (1, 0) e ~j = (0, 1) são reetidas

sobre o espelho, como ilustradas nas guras (20.150) e (20.151).

Colocando os vetores reetidos em coluna, obteremos a matriz da

Figura 20.150: Reexão do

raio de luz na direção ~i.

Figura 20.151: Reexão do

raio de luz na direção ~j.

transformação. cos 2θ sen 2θ

sen 2θ − cos 2θ

Havendo mais de um espelho, como proceder neste caso? Sim-

plesmente aplicando sucessivas transformações associadas a cada

312

Page 315: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

20AULA

ângulo que cada espelho faz com o eixo−x.

Exemplo 20.2.1. Um feixe de luz se propaga na direção do vetor

(1,−1) reetindo nos espelhos da gura (20.152):

Figura 20.152:

Em que direção estará o feixe após as reexões? Para respon-

der, faremos θ1 =π

6e θ2 =

5π6

e ainda

Rθ1 : R2 → R2

~v 7→ Rθ1(~v) = M1~vcom M1 =

cos 2θ1 sen 2θ1

sen 2θ1 − cos 2θ1

Rθ2 : R2 → R2

~u 7→ Rθ2(~u) = M2~ucom M2 =

cos 2θ2 sen 2θ2

sen 2θ2 − cos 2θ2

Desta forma, se ~v = (a, b) e ~u = (c, d),

Rπ6(a, b) =

12

√3

2√

32 −1

2

ab

e

R 5π6

(c, d) =

12 −

√3

2

−√

32 −1

2

cd

E assim, o vetor é reetido primeiramente com a transformação

Rπ6e, logo em seguida, por R 5π

6.

Rπ6(1,−1) =

12

√3

2√

32 −1

2

1

−1

=

1−√

32

1+√

32

313

Page 316: Vetores e Geometria Analítica

Aplicações de Transformações Lineares

⇒ R 5π6

(1−√

32

,1 +√

32

)=

12 −

√3

2

−√

32 −1

2

1−√

32

1+√

32

=

−1−√

32

1−√

32

Concluímos que o feixe estará na direção do vetor

(−1−

√3

2 , 1−√

32

).

20.3 Projeção do espaço tridimensional no

plano

Você já se perguntou como funcionam os jogos em 3D e como são

feitos os lmes de animação computadorizada também em 3D? É

bem provável que sim, já que eles fazem parte da realidade de

muitos jovens e são capazes de dispertar a curiosidade sobre o seu

funcionamento e produção.

Agora, vamos conhecer um pouco sobre uma das técnicas que

enganam nossa intuição e nos fazem imaginar que guras que estão

no plano aparentam ser tridimensionais.

Quando vemos um objeto tridimensional representado(desenhado)

numa folha de papel ou mesmo no computador, trata-se de uma

mera ilusão para ajudar em nossa intuição, mas, na verdade, tanto

o plano(papel) quanto a tela do computador(ou da televisão) são

todos bidimensionais, ou seja, têm apenas 2 dimensões e podem ser

representadas por um plano cartesiano (como na Aula 2). Porém,

para possibilitar essa representação de um objeto em 3D, é neces-

sária uma projeção no plano. Esta técnica (ou similar) é bastante

usada em boa parte dos programas de computador a m de criar

imagens tridimensionais e também intuitivamente ao desenharmos

a mão no papel.

Comecemos ilustrando a técnica em um único ponto P . Sejam

P = (x0, y0, z0) e ~v = (v1, v2, v3) um vetor xado. Chamaremos

314

Page 317: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

20AULA

~v de o vetor de visão, ou seja, é como se o observador estivesse

olhando na direção de ~v.(Veja na gura (20.153).)

Figura 20.153: Vetor de visão ~v.

Considere agora l uma reta com a direção de ~v passando por

P , ou seja,

l : P + tv.

Na forma parametrizada, seria

l :

x0 + v1t

y0 + v2t

z0 + v3t

.

Agora, vamos escolher um plano para projetar o ponto P . Para

simplicar nossa vida (nossos cálculos), escolhemos o plano z = 0.

Deste modo, façamos

z0 + v3t = 0 ⇒ t = −z0v3, ∀v3 6= 0.

Perceba que para o observador ver a gura no plano, ele deverá

estar acima ou abaixo desse plano, o que sugere v3 6= 0. No caso

315

Page 318: Vetores e Geometria Analítica

Aplicações de Transformações Lineares

em que v3 = 0, devemos escolher outro plano para a projeção e

não o plano z = 0.

Com isso, a projeção do ponto P será o ponto P ′, como

P ′ =(x0 + v1

(−z0v3

), y0 + v2

(−z0v3

)). (20.1)

Vamos à prática tomando um cubo de arestas com compri-

mento 1 no R3 e cujos vértices são dados por

V1 = (0, 0, 0) V5 = (0, 0, 1)

V2 = (1, 0, 0) V6 = (1, 0, 1)

V3 = (1, 1, 0) V7 = (1, 1, 1)

V4 = (0, 1, 0) V8 = (0, 1, 1)

Figura 20.154: Cubo com vértices contidos no espaço.

Denimos uma transformação T~v : R3 → R2 por

T~v(x, y, z) =(x+ v1

(−zv3

), y + v2

(−zv3

)), (20.2)

com ~v = (v1, v2, v3) xado e v3 6= 0.

316

Page 319: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

20AULA

Para cada vértice, tomando ~v = (1, 2, 1), temos a transforma-

ção

T~v(x, y, z) = (x− z, y − 2z) .

E as imagens dos vértices projetadas no plano z = 0 são dadas por

T~v(V1) = (0, 0) T~v(V5) = (−1,−2)

T~v(V2) = (1, 0) T~v(V6) = (0,−2)

T~v(V3) = (1, 1) T~v(V7) = (0,−1)

T~v(V4) = (0, 1) T~v(V8) = (−1,−1)

Figura 20.155: Cubo projetado no plano z = 0, com vértices Ti =

T~v(Vi), sendo i = 1, .., 8.

As imagens dos pontos V1, V2, V3 e V4 já eram esperadas, pois

todos esses pontos já pertencem ao plano z = 0.

20.4 Codicando mensagens

Constantemente, enviamos e recebemos mensagens. Mas o que

deveríamos fazer para que a mesma mensagem fosse lida (ou en-

317

Page 320: Vetores e Geometria Analítica

Aplicações de Transformações Lineares

tendida) apenas pelo destinatário?

Durante o período de apogeu do Império Romano, os romanos

já usavam uma técnica similar para enviar mensagens aos campos

de batalha. Existem diversas técnicas para codicar mensagens,

as mais atuais são usadas no envio de mensagens eletrônicas (e-

mail) ou mesmo para acessarmos uma conta no caixa eletrônico do

banco.

Vamos conhecer uma técnica similar, mas que envolverá um

pouco do seu conhecimento de produto entre matrizes. Primeira-

mente, vamos associar as letras do alfabeto aos números, segundo

a correspondência abaixo:

A B C D E F G H I J L M N 0 P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Q R S T U V W X Y Z

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Vamos supor que nossa mensagem seja EU TE AMO (Origi-

nal, não?) e, a partir dela, vamos formar a matriz 3× 3 assim:E U −

T E −

A M O

,

que usando a correspondência numérica anterior, e fazendo o es-

paço vazio corresponder ao número zero, ca5 20 0

19 5 0

1 12 14

.

318

Page 321: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

20AULA

Agora, seja C uma matriz qualquer 3× 3 invertível, por exemplo:−1 1 3

0 −1 1

2 −1 0

.

Efetuando o produto

M · C =

5 20 0

19 5 0

1 12 14

·−1 1 3

0 −1 1

2 −1 0

=

−5 −15 35

−19 14 62

27 −25 15

Transmitindo a mensagem que será a seguinte sequência de núme-

ros

−5 −15 35 −19 14 62 27 −25 15

Quem receber essa mensagem poderá decodicá-la através da mul-

tiplicação pela matriz inversa de C, isto é,

(M · C) · C−1 = M

e depois, basta passar da matriz numérica para as letras usando a

associação inicial.

Na linguagem de Transformações, podemos codicar uma dada

mensagem de m letras, com m = n2, n ∈ Z. Seja Mn(R) o

conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem n com entradas

reais, e

Tn : Mn(R) → Mn(R)

M 7→ Tn(M) = M · C[Codicando uma mensagem]

e aproveitando a oportunidade, denimos

T ′n : Mn(R) → Mn(R)

N 7→ T ′n(N) = N ·D[Decodicando uma mensagem]

319

Page 322: Vetores e Geometria Analítica

Aplicações de Transformações Lineares

com D = C−1.

Note que se você quisesse enviar a mensagem ESTOU APREN-

DENDO, com 16 caracteres (incluindo o espaço vazio), não seria

possível usar uma matriz 3 × 3 ilustrada anteriormente. Você de-

veria usar uma matriz 4× 4, no mínimo. Já no caso da mensagem

UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL, que tem 29 caracteres,

devemos usar uma matriz 6× 6.

E S T O

U − A P

R E N D

E N D O

4×4

e

U N I V E R

S I D A D E

− A B E R T

A − D O − B

R A S I L −

− − − − − −

6×6

20.5 Resumo

Nesta aula, você conheceu mais três aplicações das transformações

lineares. A primeira foi uma aplicação à Óptica, uma técnica para

projetar objetos de 3D em 2D, e a segunda um método de codicar

mensagens.

20.6 Atividades

1. Um espelho plano está apoiado em uma parede vertical for-

mando um ângulo de 300 com ela. Se um feixe de luz de raios

paralelos for emitido verticalmente (do teto para o chão), de-

termine a direção dos raios reetidos.

2. Use ~v = (1, 2, 1) como vetor de visão e, usando o mesmo

320

Page 323: Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica: Livro 1

20AULA

método para projeção de um ponto no R3 para o R2, faça o

que se pede a seguir.

(a) Calcule e esboce as projeções:

i. do ponto P = (1, 0, 1);

ii. da reta r : (1 + t, 2t, 1 + t), t ∈ R;

iii. do triângulo constituído pelos pontos P1 = (1, 0, 0),

P2 = (0, 1, 0) e P1 = (0, 1, 0);

(b) O que aconteceria com cada uma destas imagens se nes-

tas projeções usarmos o vetor de visão, ~v = (1, 0, 1)?

3. Os itens a seguir dizem respeito à seção (20.4).

(a) Você recebeu a mensagem22 −19 29

−15 16 51

−3 −6 95

Utilizando a mesma chave C, traduza a mensagem.

(b) O inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda

você substituir a matriz por1 1 −1

1 1 0

0 0 2

.

Você transmite a mensagem ATACAR a ele (já codi-

cada). Porque não lhe será possível (o comandante)

decodicar a mensagem?

(c) Escolha uma matriz-chave que permita codicar pala-

vras até 25 letras. Codique e decodique a vontade!

321

Page 324: Vetores e Geometria Analítica

Aplicações de Transformações Lineares

20.7 Comentário das atividades

Se você resolveu a atividade 1, então entendeu a aplicação de trans-

formações lineares proposta na seção (20.2). Na atividade 2, você

deve ter usado a transformação denida na seção (20.3) e na 3,

você entendeu como codicar e decodicar mensagens usando uma

transformação linear cujos elementos do domínio são matrizes.

Caso tenha maiores diculdades para resolver as atividades,

retome os assuntos discutidos durante esta aula. Lembre-se de que

você poderá tirar suas dúvidas com os tutores, eles sempre estarão

a sua disposição. E não se esqueça de discutir as questões com

seus colegas, pois essa prática também contribui para a interação

entre vocês.

20.8 Referências

BOLDRINI, José Luiz, Álgebra Linear . São Paulo: Harbra, 1980.

LIMA, Elon Lages , Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de

Janeiro: IMPA, 2005.

STEINBRUCH, Alfredo , Geometria Analítica. São Paulo: Ma-

kron Books,1987.

322