vetores · caso e com qualquer número de vetores. exercícios resolvidos (tente resolver os...

Professor Ricardo Nonato Delgado - CMDPII – 2016 – [email protected]

Vetores

Vetores são ferramentas matemáticas usadas para representar

grandezas físicas como deslocamento, força, velocidade e aceleração. Existem

grandezas que não precisam de mais que seus valores para serem

compreendidas como altura, temperatura, peso (como medida da balança) estas

são grandezas ditas escalares. Grandezas vetoriais necessitam de

direcionamento para serem completamente compreendidas.

Toda grandeza vetorial possui:

Módulo: É o valor da grandeza física. Exemplo: 5 m/s, 2 Kg, 1 m/s².

Direção: Determina o plano que contém a grandeza, pode ser

horizontal, vertical ou diagonal.

Sentido: Determina o destino da grandeza. Exemplo: um

deslocamento para o norte, uma força puxa o corpo para a direita.

Representação de grandezas vetoriais

Para diferenciar das grandezas que não precisam de orientação

(escalares) usamos uma seta no topo da letra que representa a grandeza

vetorial, a seta aponta sempre para a direita e não tem nenhuma outra função

além de mostrar que aquela grandeza precisa de orientação para ser

compreendida. Seguem alguns exemplos

10 m/s

Direção: Horizontal

Módulo: O tamanho do vetor determina seu valor, neste caso é

um vetor velocidade de valor 10 m/s

Sentido: O vetor aponta para o leste


𝑎→

𝐹 →

𝑣→

𝑑→

Relação entre vetores

Sempre que dois ou mais vetores atuam em um corpo é possível

determinar o efeito final da aplicação de todos eles juntos, este efeito será

representado pelo vetor resultante:

1º Caso: Vetores com a mesma direção e sentido

Neste caso os vetores “estão ajudando um ao outro”, o efeito final será

uma força maior que qualquer uma das forças aplicadas.

�⃗�𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = �⃗�1 + �⃗�2

𝐹𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 3 + 4

𝐹𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 7 𝑁

Explicando os detalhes

Perceba que quando substitui os módulos (valores) dos vetores retirei a notação

vetorial da força resultante, ela não se faz necessária já que estou calculando

apenas seu valor, uma outra alternativa seria usar a notação para módulo, duas

barrinhas na vertical que envolvem a grandeza |�⃗�𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒|, neste caso não seria

necessário retirar a notação de grandeza vetorial mesmo ao se calcular seu

valor.

Aceleração Força Velocidade Deslocamento

�⃗�1 = 3 𝑁

�⃗�2 = 4 𝑁


O efeito da aplicação das duas forças é idêntico ao de aplicar uma força de 7 N

com a mesma orientação do vetor resultante.

2º Caso: Vetores com a mesma direção mas sentidos opostos

Neste caso os vetores “estão atrapalhando um ao outro”, o efeito final será

uma força menor que qualquer uma das forças aplicadas.

�⃗�𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = �⃗�2 − �⃗�1

𝐹𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 4 − 3

𝐹𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 1 𝑁

Explicando os detalhes

A subtração pode sempre ser feita da forma “subtraindo o maior vetor do menor”

desde você se atente para o fato de que o vetor resultante sempre estará

orientado para o lado do maior vetor.



�⃗�1 = 3 𝑁

�⃗�2 = 4 𝑁 �⃗�𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 7 𝑁

�⃗�1 = 3 𝑁

�⃗�2 = 4 𝑁

�⃗�2 = 4 𝑁

�⃗�𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 1 𝑁 �⃗�1 = 3 𝑁


3º Caso: Vetores perpendiculares entre si

Neste caso os vetores o efeito final será uma força orientada na diagonal.

O vetor resultante seria calculado através de:

(𝐹𝑅)2 = (𝐹2)2 + (𝐹1)2

(𝐹𝑅)2 = (4)2 + (3)²

(𝐹𝑅)2 = 16 + 9

(𝐹𝑅)2 = 25

𝐹𝑅 = √25 = 5 𝑁

O efeito da aplicação destas duas forças pode ser representada a seguir:

Uma outra maneira de representar o mesmo resultante seria:



�⃗�1 = 3 𝑁

�⃗�2 = 4 𝑁

�⃗�1 = 3 𝑁

�⃗�2 = 4 𝑁

�⃗�𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 5 𝑁

�⃗�1 = 3 𝑁

�⃗�2 = 4 𝑁



Nos exemplos foram usadas forças como vetores e encontramos a força

resultante, poderíamos usar velocidades para achar velocidade resultante,

deslocamento para achar deslocamento resultante e assim por diante.

Podemos criar uma regra geral para se determinar um vetor resultante com base

na orientação

Antes de determinarmos o vetor resultante note que apesar do valor dos vetores

não terem sido explicitados é possível contar pelos quadradinhos a “influência”

dos vetores em cada eixo. Por exemplo:

Se cada quadradinho tiver o valor de 1 N o vetor 𝐴 ocupa, na vertical, 3

quadradinhos logo sua influência na vertical é de 3 N, já na horizontal ele ocupa

4 quadradinhos o que representa uma influência de 4 N na horizontal (isso te

lembra de algo?). A influência dos vetores em cada direção costuma ser

chamada de componente do vetor naquele direção.

Uma vez que se conheça os valores das componentes de um vetor é possível

calcular seu valor utilizando sempre o 3º caso de vetor resultante:

Calculando o valor do vetor 𝐴:

(𝐴)2 = (𝐴ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙)2 + (𝐴𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙)

2

(𝐴)2 = (4)2 + (3)2

(𝐴)2 = 16 + 9

𝐴 = √ 25 = 5 𝑁

Você pode calcular o valor do vetor �⃗⃗�?


Agora encontrando o vetor resultante, a ideia é mover o vetor �⃗⃗� de forma

que sua origem coincida com a extremidade do vetor 𝐴 .

Agora, a partir da origem do vetor 𝐴 traçamos um terceiro vetor até a

extremidade do vetor �⃗⃗�.


O vetor 𝐶 representa o vetor resultante formado pelos vetores 𝐴 e �⃗⃗�, está

é uma regra geral que é capaz de determinar o vetor resultante em qualquer

caso e com qualquer número de vetores.

Exercícios resolvidos (Tente resolver os exercícios antes de ver

a resolução)

Questão 1: Perdido na mata uma militar sabe que seu acampamento

está 4 km ao norte e 3 km a leste da sua posição atual, percebendo que uma

tempestade se aproxima ela faz cálculos para determinar o melhor trajeto para

chegar ao acampamento rapidamente. Quanto a situação descrita responda:

a) Quais as características do vetor que representa este trajeto?

b) Qual a redução do deslocamento em relação ao caminho conhecido

pela militar?

Resolução

a) Representando a situação usando a regra geral para determinação do

vetor resultante:

Esta situação se encaixa no 3º caso portanto o vetor deslocamento resultante

seria:

(𝑑𝑅)2 = (𝑑2)2 + (𝑑1)2


(𝑑𝑅)2 = (4)2 + (3)²

(𝑑𝑅)2 = 16 + 9

(𝑑𝑅)2 = 25

𝑑𝑅 = √25 = 5 𝐾𝑚

Logo o vetor resultante tem direção diagonal, sentido nordeste e módulo 5 km.

b) Percorrendo o caminho lembrado ela percorreria 7km (4 + 3) já pelo

vetor resultante seriam 5 km logo a militar reduziria seu trajeto em 2

km.

Questão 2: Um bloco está sob a ação de 5 forças e a �⃗�1 está orientada

exatamente na diagonal dos vetores �⃗�2 e �⃗�5 conforme a figura a seguir ilustra:

Quais as características da força resultante que atua no bloco (módulo, direção

e sentido)?

Resolução

Primeiramente vamos usar os casos 1 e 2 para simplificar o sistema:

𝐹2 − 𝐹4 = 7 − 3 = 4 𝑁

= 7 𝑁

�⃗�1 = 5 𝑁

𝐹5 − 𝐹3 = 5 − 2 = 3 𝑁

= 5 𝑁


Agora aplicando o 3º caso aos vetores perpendiculares:

(𝐹𝑅)2 = (4)2 + (3)²

(𝐹𝑅)2 = 16 + 9

(𝐹𝑅)2 = 25

𝐹𝑅 = √25 = 5 𝑁

Logo o sistema ficará:

Aplicando o caso 1 o vetor resultante total será:

Então o vetor resultante será uma força de módulo 10 N, direção diagonal,

sentido nordeste.

4 𝑁

= 7 𝑁

�⃗�1 = 5 𝑁

3 𝑁

= 5 𝑁 �⃗�𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

�⃗�1 = 5 𝑁


�⃗�𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 5 + 5 = 10 𝑁

= 5 𝑁


Questão 3: Na figura a seguir um transatlântico navega com velocidade definida

pelo vetor de direção vertical amarelado, o vetor avermelhado representa a

velocidade com que o vento perturba o movimento da embarcação e o vetor

esverdeado representa a velocidade de uma corrente marítima existente nesta

região.

Determine a direção, o sentido e o módulo do vetor velocidade do transatlântico

considerando que cada quadradinho tem lado 1 m/s.

Resolução

A velocidade do barco (vetor amarelado) vale 3 m/s e aponta para o norte, a do

vento (avermelhado) tem valor 3 m/s e aponta para o oeste e a corrente marítima

(esverdeado) tem valor 2 m/s na vertical e 2 m/s na horizontal (já analisando as

influências do vetor em cada direção).

Separando as componentes (influências) da velocidade da corrente marítima:


Agora é fácil simplificar a situação e perceber que:

A velocidade resultante na vertical terá módulo 1 m/s na direção vertical e sentido

norte (3 m/s do motor subtraídos de 2 m/s do vento)

A velocidade resultante na horizontal terá módulo 1 m/s na direção horizontal e

sentido oeste (3 m/s do vento subtraídos de 2 m/s do vento)

Por fim podemos relacionar as velocidades usando o 3ºcaso:


𝑉𝑅 ≅ 1,41 𝑚/𝑠


O vetor resultante de preto pode ser calculado através do teorema de

Pitágoras:

𝑉𝑅2 = 12 + 12

𝑉𝑅2 = 2

𝑉𝑅 = √2 ≅ 1,41 𝑚/𝑠

Exercícios

Exercício 1: Três forças de valores �⃗�1, �⃗�2 𝑒 �⃗�3, respectivamente iguais a 6 N, 2

N e 3 N atuam em um mesmo corpo. Determine o valor, a direção e o sentido do

vetor força resultante.

Exercício 2: Após sair da escola, situada no ponto A, um grupo de estudantes

caminha em direção à estação de metrô, no ponto B. Considerando que cada

vetor represente um deslocamento de 10 metros calcule o valor do vetor

deslocamento, em metros, resultante entre os pontos A e B.

Exercício 3: Os blocos a seguir estão sob ação de diversas forças, simplifique-

as e calcule o módulo da força resultante em cada caso.


Exercício 4: Dois vetores �⃗� e �⃗⃗� atuam em um objeto no ponto P, determine o

valor, a direção e o sentido do vetor resultante.

Exercício 5: No diagrama a seguir estão representados diversos vetores, julgue

os itens quanto a relação entre eles.

1 ( ) 𝐴 = �⃗⃗�

2 ( ) 𝐶 = −𝐴

3 ( ) �⃗⃗� + �⃗⃗� < 𝐴 + �⃗⃗⃗�

A C B

D

E

F


4 ( ) �⃗⃗� + �⃗� > �⃗⃗� + 𝐶

Exercício 6: Usando os vetores mostrados no quadro abaixo e considerando

que o lado de cada quadradinho vale 1 m calcule e desenhe o que se pede:

a) �⃗⃗� + 𝑐

b) 𝑐 + 𝑑

c) �⃗� + �⃗⃗� + 𝑑

d) �⃗� + 𝑒 + 𝑐

Exercício 7: No diagrama a seguir estão representados 10 vetores, calcule e

represente o vetor resultante.

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