vetores

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINACENTRO DE EDUCAÇÃO DO PLANALTO NORTE – CEPLAN

Planalto Norte

1. Vetores

Introdução

A abordagem do estudo de vetores será feita por meio de dois tratamentos que se completam: geométrico e algébrico. A vantagem da abordagem geométrica é de possibilitar a visualização dos conceitos que são apresentados para estudo, o que favorece seu entendimento. Posteriormente, os mesmos assuntos e ainda outros serão abordados sob o ponto de vista algébrico, mais formal e abstrato.

Noção intuitivaExistem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais.

As escalares são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada)Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade são exemplos de grandezas escalares.

No entanto, existem grandezas que não ficam completamente definidas pelo seu módulo, ou seja, pelo número com sua unidade correspondente. Para serem perfeitamente caracterizadas necessitam conhecer seu módulo: comprimento, direção e sentido. Força, velocidade, aceleração, são exemplos de grandezas vetoriais.

Consideremos um avião com velocidade constante de 400 km/h, deslocando-se para nordeste, sob um ângulo de 40º (na navegação aérea, as direções são dadas pelo ângulo considerado a partir do norte (N), em sentido horário). Esta grandeza (velocidade) seria representada por um segmento orientado (uma flecha), sendo seu módulo dado pelo comprimento do segmento (no caso, distância entre a origem e o destino), com a direção e o sentido definidos pelo ângulo de 40º. O sentido será indicado por uma seta na extremidade superior do segmento.

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N

40o

N

S

LO

P

Origem

Sentido: Direção: ‘Nordeste’Comprimento: segmento

1


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Abstendo-se da idéia de grandezas vetoriais, diríamos que o vetor é representado por um segmento de reta orientada, definida pelo:

- Módulo (comprimento),- sentido e- direção (ângulo)

O vetor é indicado por , onde O é a origem e P a extremidade, ou P - O

ou v .

Quando escrevemos , estamos afirmando que o vetor v é

determinado pelo segmento orientado OP.

Tipos de vetores:

i) Vetor Livre: é o vetor que tem por origem qualquer ponto no espaço.

v =

ii) Vetor deslizante: é o vetor cuja origem pertence obrigatoriamente a uma reta que funciona como reta suporte do mesmo.

rv

iii) Vetor posição: Também conhecido como vetor aplicado, dá a posição de um ponto qualquer em relação a origem.

z

P (x,y,z) o y

x

iv) Vetor nulo: é o vetor de comprimento zero. Assim se = 0 (A origem coincide com a extremidade).

v) Vetor unitário: é o vetor de comprimento 1.

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B

A


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vi) Vetor oposto: o vetor oposto do vetor v = é o vetor -

v = - . O vetor oposto possui mesmo comprimento, mesma direção, mas sentido contrário.

v

- v

vii) Vetores colineares ou paralelos: São vetores que possuem a mesma direção e indica-se por .

viii) Vetores iguais: dois vetores que possuem o mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido e indica-se por .

ix) Vetores Coplanares: dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados,

x) Vetores ortogonais: são dois vetores v .

v

v

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vu

w

u

v

P

3


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xi) Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e

mesmo sentido de v . Por exemplo: tomamos o vetor

v de módulo 3.

Os vetores e são vetores unitários, No entanto vetor tem a

mesma direção e sentido de v . Portanto este é o versor de

v .

v

Operações com vetores.

Adição e subtração de vetores.

Dados dois vetores e v , o vetor soma, será o segmento orientado da

origem de um vetor a extremidade do outro:

Exemplos :i) ii)

v

v

iii) iv)v

v

v) vi)

v

v

Sendo , v e vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades:



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I) Comutativa: + v =

v +

II) Associativa: ( + v ) + = +(

v + )

III) Elemento neutro: + = IV) Elemento oposto: + (- ) =

O vetor + (- v ) = -

v é chamado diferença entre e v .

Exemplo:

v

Multiplicação de Número Real por Vetor.

Dado um vetor v 0 e um número real 0, chama-se produto do

número real pelo vetor v , o vetor

v tal que:

i) Módulo ou norma: = ;

ii) direção: v é paralelo a

v ;

iii) sentido: v e

v tem o mesmo sentido se > 0, e contrário se < 0.

Exemplo:Dado o vetor

v determine:

a) 2 v

v b) -3

v

c) ½ v



Planalto Norte

Observação: A cada vetor v ,

v 0, é possível associar dois vetores unitários

paralelos a v . O vetor unitário ou de mesmo sentido

de v é o versor de

v .

Exemplo:

Se v = 5, o versor de

v é

Sejam v e IR3 e m e n IR, o produto do número real por vetor admite

as seguintes propriedades:

i) Comutativa: m . v =

v . m

ii) Associativa: m . (n. v ) = (m . n).

v

iii) Distributiva: (m + n). v = m .

v + n. v

Exemplo:

Representados os vetores v , e , obter graficamente o vetor tal

que

v



Planalto NorteVetores no espaço (IR3)

No espaço, consideraremos a base canônica { } como aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogonal Oxyz, onde

são três vetores unitários e simultaneamente perpendiculares entre si.

O eixo Ox (eixo das abscissas) corresponde ao vetor O eixo Oy (eixo das ordenadas) corresponde ao vetor O eixo Oz (eixo das cotas) corresponde ao vetor

Assim, a cada ponto P(x, y, z) do espaço irá corresponder o vetor = , isto é, as próprias coordenadas x, y e z do ponto P são as

componentes do vetor na base canônica.

Exemplo 1): Representar o ponto P(3, - 2, 4) no espaço.



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Exemplo 2) : Representar o vetor v = , onde

v =(3, 2, 4)

O vetor v = , também será expresso por

v =(x, y, z).

Veja:

a) = (2, -3, 1)

b) =

c) =

Definições:

i) Definimos a soma dos vetores e , como sendo:



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ii) Dois vetores e são iguais se, e somente se:

x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2.

iii) Dado o vetor e IR, define-se produto por um escalar, como sendo:

iv) Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então:

v) Se os vetores e são paralelos, então:

ou

vi) O módulo do vetor v =(x, y, z) é dado por:

Exercícios

1) Dados os vetores e da Figura 1, mostrar um representante do vetor:a) +



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b) -c) -

d) - - 2 e) 2 - 3 (Figura 1)

2) Dados os pontos do IR3, A(1,2,3), B(4,-2,4), C(-5,1,2) e D(-2,-3,3). Pede-se:a) os comprimentos dos vetores , , ;b) verifique se os vetores e são eqüipolentes; c) Represente geometricamente os pontos A, B, C e D e represente os

vetores e ;

3) Dados os vetores =(1,2,3), =(1,0,1) e =(-1,2,-2), calcule:a) +b) 2 - + 3c) 2 - d) 3(2 - ) – 2(3 + )

4) Dados os pontos A(1,2,-1), B(3,3,4) e C(5,2,0), determinar os vetores:a) + 2b) 3 - 2

5) Dados A(1,0,-1), B(2,1,2), C(1,3,4) e D(x,y,z), determine x, y e z de modo que se tenha = +

6) Dados A(2,4,0) e B(-1,3,2), obter o ponto C tal que = 3 .

7) Determine o módulo dos vetores:a) = (3,2,-6)b) = (13, ,-5)c) = (7,1,-7)8) Determine o versor de = (-5,10,-10), = (3,-1,4) e = (1,-2,-3).

9) Dados os pontos A(2,-3,4), B(1,6,2) e C(3,-12,6), verifique se os vetores e são colineares.

10) Dados os vetores = , = e = , determine:a) 2 - b) - + 2



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c)

d)

11)Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices:a) A(0,0,1), B(0,0,2), C(4,0,2) e D(4,0,1)b) A(2,1,0), B(2,2,0), C(0,2,2) e D(0,1,2)

12)Dados os pontos A(3,-4,-2) e B(-2,1,0), determine o ponto N pertencente ao

segmento AB tal que .

13)Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,1,-4) e C(-1,-3,1), determinar o ponto D tal que + = 0

14) Sabendo que 3 - 4 = 2 , determinar a, b, e c, sendo = (2,-1,c), = (a, b-2, 3) e = (4,-1,0).

Respostas

2. a. (3,-4,1) (-3,4,-1) (-6,-1,-1) b. (3,-4,1) (3,-4,1)3. a. (2,2,4) b. (-2,10,-1) c. (3,-2,4) d. (-13,2,-23)4. a. (6,-1,-3) b. (16,2,13)5. D(2,4,7) 6. (-7,1,6) 7. a. 7 b. c. 8. (-1/3, 2/3, -2/3) (3/ , -1/ , 4/ ) (1/ , -2/ , -3/ )10. a. (3,-5,6) b. (-5,4,-5) c. (1,-1/2,17/2) d. (9/2,-9,5)12. N(1,-2,-6/5) 13. D(-2,-6,8) 14. a = -1/2 b = 7/4 c = 4

Aos interessadosÁlgebra Linear e Geometria Analítica – Antonio dos Santos, Ed. Atual.

Vetores e Geometria Analítica – Paulo Winterle, Ed. Makron BooksGeometria Analítica - Paulo Winterle & Alfredo Steinbruch


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