verificação da segurança de pilares de betão armado em pontes · determinação dos efeitos das...

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Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes

Carla MarchãoFrancisco Virtuoso

Maio de 2007

.: 2

Objectivos

Implementação de uma metodologia de verificação da segurança de elementos

comprimidos esbeltos de betão armado tendo em conta os efeitos física e

geometricamente não lineares

Estudo dos efeitos de segunda ordem em pilares de betão armado

Estudo do efeito da interacção entre pilares de um mesmo sistema

estrutural

Comparação dos resultados obtidos das análises física e geometricamente não

lineares com os de uma análise corrente utilizando os métodos simplificados

propostos pelo EC2


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1. Estado de Arte – Regulamentação para verificação da segurança de pilares de pontes

1.1. Metodologias propostas para a verificação da segurança de elementos comprimidos esbeltos

Classificação das estruturas

Imperfeições geométricas

Verificação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem

Métodos para a quantificação dos efeitos de 2ª ordem


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1.2. Classificação das estruturas


Consoante a existência de elementos de contraventamento

Estruturas contraventadas

Estruturas não contraventadas

Consoante a sua sensibilidade aos efeitos de segunda ordem devidos a

deslocamentos laterais

Estruturas de nós fixos

Estruturas de nós móveis

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1.3. Imperfeições geométricas

Regulamento Excentricidades Adicionais

EC 2 – Parte 2 ei = θi l0 / 2, com θi = 1100 l

≤ 1/200

Model Code 90 ei = θi l / 2, com θi = 1100 l

≤ 1/200

BS 5400 e = 0,05 h ≤ 0,02 m , para flexão segundo o eixo de menor inércia

e = 0,03 h ≤ 0,02 m , para flexão segundo o eixo de maior inércia



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1.4. Avaliação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem

Regulamento

Limites de esbelteza para a não consideração dos efeitos de segunda ordem

Elementos de nós fixos / contraventados

Elementos de nós móveis / não contraventados

EC 2 – Parte 1 15,4 (1,7 - M01 / M02) / n 10,8 / n

Model Code 90 7,5 (2 - e01 / e02) / n se n ≤ 0,39

ou

12 (2 - e01 / e02) se n > 0,39

7,5 / n se n ≤ 0,39

ou

12 se n > 0,39

ACI 343R - 22

BS 5400 42 42



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1.5. Métodos para a quantificação dos efeitos de 2ª ordem

Método geral (análise física e geometricamente não linear)

Métodos simplificados

Método baseado na estimativa da rigidez nominal

• Curvatura obtida através da rigidez de flexão nominal

• Consideração dos efeitos da fendilhação e da fluência

Método baseado na estimativa da curvatura

• Curvatura constante e independente do momento flector


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Método baseado na estimativa da rigidez nominal

Curvatura: 1 r = M

EI

EI = Kc Ecd Ic + Ks Es Is Rigidez nominal:

Msd = M0sd ⎝⎜⎜⎛

⎠⎟⎟⎞1 + β

NB / Nsd -1 Momento total de dimensionamento:

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Método baseado na estimativa da curvatura

Curvatura: 1r = Kr ⋅ Kϕ ⋅ 1r0

1 r0 = εyd

0,45 d Curvatura base:

Momento total de dimensionamento: Msd = M0sd + M2 = M0sd + Nsd e2

Excentricidade de 2ª ordem: e2 = 1r ⋅ l02

c

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2. Filosofia de verificação da segurança com base em análises não lineares

Determinação dos efeitos das acções considerando coeficientes parciais de

segurança:

Aplicados aos valores característicos das acções quando o efeito da acção aumenta

mais que a acção;

Aplicados aos efeitos dos valores característicos das acções quando o efeito da

acção aumenta menos que a acção.


k

F

sdγ kFfS(γ )FFS(γ )

fγ FkkF kγFF = γFk γf sd

Análiselinear

Análise não linear

S

S(γ )kFF

γ fS(γ )Fksd

SAnálise linear

Análise não linear

kFγfγsdFγ F =kFkfγkF F

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2. Filosofia de verificação da segurança com base em análises não lineares

Cálculo da capacidade resistente dos elementos

Utilizando valores de cálculo das resistências dos materiais, obtidos através dos

valores característicos das resistências minorados por coeficientes parciais de

segurança;

Utilizando os valores médios das resistências dos materiais e posterior adopção de

um único coeficiente parcial de segurança para a resistência das secções.


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3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares

Análise física e geometricamente não linear

Introduzidos ao nível da análise de

secções, através das relações

constitutivas não lineares dos materiais.

Considerados na passagem para o

referencial global da estrutura a partir

da descrição exacta das equações de

equilíbrio e de compatibilidade dos

elementos, desprezando-se a sua

deformação em relação à corda.

Efeitos fisicamente

não lineares

Efeitos geometricamente

não lineares


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Hipótese simplificativa: Desprezam-se os efeitos geometricamente não lineares

associados à deformação do elemento.

N

V

N

V

Deformação dos vários elementos de uma barra relativamente às cordas respectivas para o caso de divisão da barra num ou em três elementos


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3.1. Análise fisicamente não linear

3.1.1. Análise ao nível da secção

~ΔS = _K secção

~Δ ε ¯Relação constitutiva incremental para a secção:

Utilizaram-se as relações constitutivas propostas pelo EC2 para análises não lineares: para o betão

considerou-se uma relação constitutiva parabólica e para o aço foi considerado o diagrama elasto-

plástico com endurecimento.



Diagramas de deformações e tensões de uma secção genérica de betão armado

M

N

As

Gx

y

σs

σc(y)

εs

εG

εc(y)

χ

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3.1.1. Análise ao nível da secção

~ΔS = _K secção

~Δ ε ¯Relação constitutiva incremental para a secção:

Utilizaram-se as relações constitutivas propostas pelo EC2 para análises não lineares: para o betão

considerou-se uma relação constitutiva parabólica e para o aço foi considerado o diagrama elasto-

plástico com endurecimento.



Diagramas de deformações e tensões de uma secção genérica de betão armado

M

N

As

Gx

y

σs

σc(y)

εs

εG

εc(y)

χ

Ec

fc

0,4 fc

-σc

-εcεc1 εcu-fy

εy εu

Es1

Es

εs

k fy

−εy

fy

s

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3.1.2. Análise ao nível do elemento

NM1 M2

2θ1θ

un

Esforços e deformações independentes de um elemento

Relação constitutiva incremental para o elemento:~ΔX = _K

elemento ~Δu


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3.2. Análise geometricamente não linear

3.2.1. Análise ao nível do elemento

Relação constitutiva incremental: ~ΔQ = (_Kelemento + __KG

elemento) ~Δq ⇔ ~ΔQ = _KTelemento ~Δq

Forças nodais, deslocamentos nodais e esforços independentes num elemento genérico

V

Q

Q5

Q6N

M2

4

γ

V

M1

Q

Q2

Q1

α

Lc

3 L

q4

5q

q1

q2


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3.2. Análise geometricamente não linear

3.2.2. Análise ao nível da estrutura – Resolução do sistema de equações

• A um incremento de carga ΔQ corresponde um

acréscimo de deslocamentos Δq que difere do

realmente instalado na estrutura Δqtotal;

• Para minimizar o erro, optou-se por adicionar,

em cada incremento de carga, o desequilíbrio

calculado no final do incremento anterior.

~ΔQ = _KTest. ~ΔqRelação constitutiva incremental:


Significado físico da matriz de rigidez tangente da estrutura

Q

Qf

iQ

ΔQ

K T

qqi qf

Δq

Δqtotal

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3.3. Consideração do efeito da fluência

Método dos módulos de elasticidade efectivo e ajustado

Deformação total de um elemento: εc(t, t0) = σc(t0) Ec,eff +

Δσc(t, t0) Ec,adj

As deformações associadas a tensões constantes ao longo do tempo podem ser calculadas

utilizando o módulo de elasticidade efectivo. Caso a tensão varie ao longo do tempo, a deformação

associada à variação de tensão deve ser calculada utilizando o módulo de elasticidade ajustado.

Na metodologia de cálculo, a fluência foi introduzida ao

nível da relação constitutiva do betão para as acções

que actuam com carácter permanente.

Consideração do efeito da fluência na metodologia de cálculo

Relações constitutivas do betão para acções permanentes e variáveis

Ecfc

0,4 fc

-σc

εc1 εc1,ϕ -εc

Ec,ϕ



Ec,eff = Ec(t0)

1 + Ec(t0) Ec,28 ϕ(t, t0)

Ec,adj = Ec(t0)

1 + χ(t, t0) Ec(t0) Ec,28 ϕ(t, t0)

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ΔT' = ΔT ⋅ Ec,adj Ec,eff

ei' = ei - (δs' - δs)

δs’ > δs

Por forma a simplificar a formulação adoptada no programa de cálculo automático, optou-se pela

adopção de um único módulo de elasticidade para as acções permanentes.

Dado que, de todas as acções permanentes consideradas, apenas a retracção introduz variações

de tensão ao longo do tempo, optou-se pela adopção do módulo de elasticidade efectivo corrigindo

o efeito da retracção para ter em consideração a diferença entre os módulos de elasticidade

efectivo e ajustado.

Módulo de elasticidade considerado para as acções permanentes

M1

V1

δs ΔT

V1

M1

A, I, Ec,adj L

M1

V1

δs ΔT

V1

M1

A, I, Ec,adj L

A, I, Ec,eff

δs'

V1

M1

ΔT'

M1

V1

L




.: 21

Correcção da excentricidade inicial

Ec,ef < Ec,adj

Correcção da variação de temperatura


ei' = ei - (δs' - δs)


ei' = ei - (δs' - δs)

δs’ > δs

Correcção da excentricidade inicial

Ec,ef < Ec,adj

maiores efeitos de 2ª ordem nos pilares

Correcção da variação de temperatura


ei' = ei - (δs' - δs)

δs’ > δs

M1

V1

δs ΔT

V1

M1

A, I, Ec,adj L

A, I, Ec,eff

δs'

V1

M1

ΔT'

M1

V1

L


Módulo de elasticidade considerado para as acções permanentes



A, I, Ec,eff

δs'

V1

M1

ΔT'

M1

V1

L

M1

V1

δs ΔT

V1

M1

A, I, Ec,adj L

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4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados propostos pelo EC2

4.1. Exemplos analisados

Consideração de três estruturas distintas – Exemplos A, B e C – baseadas na

estrutura de um caso real. A diferença entre exemplos consiste unicamente na

secção transversal adoptada para os pilares por forma a se fazer variar a

esbelteza dos pilares e, consequentemente, a importância dos efeitos de

segunda ordem.

Para cada exemplo foram efectuadas as seguintes análises física e

geometricamente não lineares:

Análise com incremento de forças verticais até à rotura

Análise com incremento de forças horizontais até à rotura

Análise com as acções de dimensionamento

Comparação com os resultados obtidos utilizando os métodos simplificados

propostos pelo EC2.


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4.2. Estrutura do exemplo

Alçado frontal da estrutura

Pilar H (m)

P1 27,61

P2 32,27

P3 16,95

Corte longitudinal do viaduto



.: 24

Pilar Exemplo A Exemplo B Exemplo C

P1 66,3 106,5 128,0

P2 76,0 122,0 146,6

P3 44,2 71,0 85,4

0,50

2,80

1,90

0,45

4,005,00

0,50

0,45

Exemplo A - Secção transversal dos pilares

0,505,004,00 0,50

0,45

0,45

0,95

1,85

Exemplo B - Secção transversal dos pilares

0,505,004,00 0,50

0,45

0,45

0,70

1,60

Exemplo C - Secção transversal dos pilares

Esbeltezas dos pilares nos exemplos considerados

Exemplo A Exemplo B Exemplo C

ρ (%) 1,2 1,4 1,4

Densidades de armadura das secções transversais


4.2. Estrutura do exemplo


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4.3. Acções consideradas

Acções permanentes

Peso próprio

Restantes cargas permanentes

Efeitos axiais do pré-esforço no tabuleiro

Fluência e retracção

Acções variáveis

Sobrecarga rodoviária uniformemente distribuída

Frenagem



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4.4. Análise com incremento de forças verticais

Exemplo A

Análise dos pilares isolados

Análise da estrutura

-160000

-140000

-120000

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0-80000-60000-40000-200000

M (kNm)

N (kN)

Pilar P1Pilar P2Pilar P3Pilar P1 - AEL

Pilar P2 - AELPilar P3 - AEL

(MRd, NRd)

(MRd, NRd) - ANL

-160000

-140000

-120000

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0-76000-56000-36000-16000 M (kNm)

N (kN)

Pilar P1

Pilar P2

Pilar P3

(MRd,NRd)

(MRd,NRd) - ANL



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Exemplo B -140000

-120000

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0-45000-35000-25000-15000-5000 M (kNm)

N (kN)

Pilar P1

Pilar P2

Pilar P3

(MRd, NRd)(MRd, NRd) - ANL

-140000

-120000

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0-45000-35000-25000-15000-5000 M (kNm)

N (kN)

Pilar P1

Pilar P2

Pilar P3

Pilar P1 - AEL

Pilar P2 - AEL

Pilar P3 - AEL






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Exemplo C-120000

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0-35000-30000-25000-20000-15000-10000-50000 M (kNm)

N (kN)

Pilar P1

Pilar P2

Pilar P3


-120000

-100000

-80000

-60000

-40000

-20000

0-35000-30000-25000-20000-15000-10000-50000 M (kNm)

N (kN)

Pilar P1

Pilar P2

Pilar P3

Pilar P1- AEL

Pilar P2 - AEL

Pilar P3 - AEL






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4.5. Análise com incremento de forças horizontais

Exemplo A

Exemplo B

0

1000

2000

3000

4000

5000

-0,05 0,05 0,15 0,25 δtopo (m)

H (kN)

Pilar P1

Pilar P2

Pilar P3

0

1000

2000

3000

4000

5000

-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 V (kN)

H (kN)

Pilar P1Pilar P2Pilar P3

0

500

1000

1500

2000

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 δtopo (m)

H (kN)


0

500

1000

1500

2000

-200 0 200 400 600 800 1000 1200 V (kN)

H (kN)




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4.6. Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos

Exemplo A

F.S.6,4

4,6

6,1

11,8

5,9

3,8

1,4

1,6

2,1

9,1

2,8

2,6

-150000

-130000

-110000

-90000

-70000

-50000

-30000

-10000

-80000-60000-40000-200000

M (kNm)

N (kN)Pilar P1 - ANL pilar isolado

Pilar P2 - ANL pilar isolado


Pilar P1- ANL estrutura

Pilar P2 - ANL estrutura


Pilar P1 - MERN

Pilar P2 - MERN

Pilar P3 - MERN

Pilar P1- MEC

Pilar P2 - MEC

Pilar P3 - MEC

(MRd, NRd)

(MRd, NRd) - ANL



.: 31

4.6. Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos

Exemplo B

F.S.2,4

2,6

4,1

6,1

2,1

0,6

0,6

0,6

1,1

-130000

-110000

-90000

-70000

-50000

-30000

-10000

-60000-40000-200000M (kNm)

N (kN) Pilar P1 - ANL pilar isolado



Pilar P1- ANL estrutura



Pilar P1 - MERN

Pilar P2 - MERN

Pilar P3 - MERN

Pilar P1 - MEC

Pilar P2 - MEC

Pilar P3 - MEC

(MRd, NRd)

(MRd, NRd) - ANL



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4.7. Conclusões (1/2)

Para o caso dos exemplos analisados, nomeadamente nos que apresentam pilares com

maior esbelteza, verificou-se que os métodos simplificados sobrestimam os efeitos de

segunda ordem devido a vários factores:

Consideram curvaturas excessivamente conservativas por admitirem que os pilares

se encontram em situação de eminência de rotura;

Para o cálculo do momento total, incluindo efeitos de segunda ordem, não

consideram o funcionamento conjunto dos vários elementos integrados na mesma

estrutura já que, quer a excentricidade de segunda ordem no método da estimativa

da curvatura, quer o factor de amplificação do momento no método da rigidez

nominal, são calculados com base no comprimento de encurvadura do pilar isolado;



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4.7. Conclusões (2/2)

As diferenças entre os resultados da aplicação dos métodos simplificados face aos obtidos

em análises não lineares serão menores nos casos de estruturas em que os pilares tenham

alturas semelhantes, pelo facto do comprimento de encurvadura dos pilares ser semelhante

ao comprimento de encurvadura dos pilares isolados;

Refira-se que nos exemplos apresentados se introduziram características de rigidez e

esbelteza por forma a tornar mais significativos os efeitos de segunda ordem, pelo que na

análise de exemplos reais será de esperar menores diferenças entre os resultados da

aplicação dos métodos simplificados face aos obtidos em análises não lineares;

Excluindo a questão dos aspectos particulares de verificação da segurança na fase

construtiva, é vantajoso sob o ponto de vista da economia verificar a segurança dos pilares

através de análises física e geometricamente não lineares;

É de salientar que as análises não lineares efectuadas aos pilares isolados podem ser

excessivamente penalizantes para os pilares mais esbeltos e contra a segurança no caso

dos pilares mais rígidos.



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