vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected] Exemplo – No tubo da figura, determinar a vazão em volume e a velocidade na seção ( 2 ), sabendo – se que o fluído é água. Nota: Como o fluido é incompressível, (líquido) então a Equação da Continuidade nos dá: A vazão será: 1 1 1 1 2 1 10 m Q v A Q s cm = × = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 3 1 2 2 2 2 2 10 2 5 Q m s ou m Q v A Q s cm = = × = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 3 2 10 Q m s = Portanto: 3 3 10 Q m = 3 1000 1 L s m × 1 Q Ls = 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 10 Q Q Q v A v A v A v A ms v v cm A = = × × = × × × = = 2 5 cm 2 2 v ms =

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Page 1: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

Exemplo – No tubo da figura, determinar a vazão em volume e a velocidade na seção ( 2 ), sabendo – se que o fluído é água. Nota: Como o fluido é incompressível, (líquido) então a Equação da Continuidade nos dá: A vazão será:

1 1 1 121 10mQ v A Q

scm= × ⇒ = ×

2

4 2

110

mcm

× 3 31

22 2 2 2

10

2 5

Q m s

ou

mQ v A Qs

cm

−⇒ =

= × ⇒ = ×2

4 2

110

mcm

× 3 32 10Q m s−⇒ =

Portanto:

33

10Q m−=3

10001

Ls m

× 1Q L s⇒ =

1 2

1 1 2 2

1 12 2

2

21 10

Q Q Q v A

v A v A

v A m sv v cmA

= = ×

× = ×

× ×= ⇒ =

25 cm2 2v m s⇒ =

Page 2: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

Exemplo resolvido 4.1 – Ar escoa num tubo convergente. A área de maior seção do tubo é 220cm e a menor 210cm . A massa específica do ar na seção (1) é 30,12utm m , enquanto na seção (2) é

30,09utm m . Sendo a velocidade na seção (1) 10m s , determinar a velocidade na seção (2) e a vazão em massa. Nota: Trata-se de fluído compressível, 1 2ρ ≠ ρ e a Equação da Continuidade nos dá 1 2m mQ Q= .

1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 12 2

2 2

0,12

m m m

ut

Q Q Q v A

v A v A

v Av vA

m

= = ρ× ×

ρ × × = ρ × ×

ρ × ×= ⇒ =

ρ ×

3m210 20m

scm× ×

0,09 utm3m

210 cm×2

1 1 31

26,67

0,12m m

v m s

utmQ v Am

Q

⇒ =

= ρ × × ⇒ = 10 m× 220

scm×

21m×

4 210 cm

2 2 3

3

2

2,4 10

0,09

m

m m

Q utm s

ou

utmQ Am

v Q

−⇒ = ×

= ρ × × ⇒ = 26,67 m× 210

scm×

21m×

4 210 cm32,4 10mQ utm s−⇒ = ×

Page 3: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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Exemplo resolvido 4.2 – Um tubo admite água ( )3100utm mρ = , num reservatório com uma vazão de

20L s . No mesmo reservatório é trazido óleo ( )380utm mρ = por outro tubo com a vazão de 10L s .

A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja seção tem uma área de 230cm . Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma. Pela Equação da Continuidade:

1 2 3

1 1 2 2 3 3

m m m mQ Q Q Q Q

Q Q Q

+ = = ρ×

ρ × + ρ × = ρ ×

Como os fluídos admitidos são incompressíveis, além de ser válida a Equação da Continuidade, vale a relação:

3 1 2 3 320 10 30L LQ Q Q Q Q L ss s

= + ⇒ = + ⇒ =

Logo:

3 31 1 2 2

1 1 2 2 3 3 3 33

33 3

3 3

100 20 80 10

30

28002000 800

30

utm L utm LQ Q m s m sQ Q Q LQ

sutmutm L utm Lmm s m

Ls

Ls

× + ×ρ × + ρ ×ρ × + ρ × = ρ × ⇒ ρ = ⇒ ρ = ⇒

×× + ×ρ = ⇒ ρ = s

30 Ls

33

33 3

3

93,3

30

utm m

Qv v

L

A

⇒ ρ =

= ⇒ =

31s

1

1000 L230 cm

21m×

4 210 cm

3 10v m s⇒ =

Page 4: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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Exemplo resolvido 4.5 – No dispositivo da figura, o pistão desloca-se 0,5m e o trabalho realizado nesse deslocamento é 50kgf m× . Supõe-se que não haja perda de pressão entre a saída da bomba e a face do pistão. Determinar:

a) A potência fornecida ao fluído pela bomba; b) A vazão em L s ; c) A pressão na face do pistão.

500,5

0,5

W kgf mS mt s

= ×==

???

NQP

===

2

50 1000,5

50pd

W kgf mN N N kg

c

f m st s

A SVQ Q Qt t

m

×= ⇒ = ⇒ = ×

×= ⇒ = ⇒ =

2

4 2

110

mcm

× 0,5×

0,5

m3 35 10

100

Q m ss

N kgfN P Q P P mQ

−⇒ = ×

×= × ⇒ = ⇒ =

s3 35 10 m−×

1s

2 220.000 2kgf kgfP ou Pm cm

⇒ = =

Page 5: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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4.1 – Ar escoa por um tubo de seção constante de diâmetro 5cm . Numa seção (1) a massa específica é 30,12utm m e a sua velocidade é de 20m s . Sabendo-se que o regime é permanente e que o

escoamento é isotérmico, determinar:

a) A velocidade do gás na seção (2), sabendo que a pressão na seção (1) é 21kgf cm (abs) e na

seção (2) é 20,8kgf cm (abs); b) A vazão em massa; c) A vazão em volume em (1) e (2).

Nota: O fluído é gás, portanto, não pode ser caculada a vazão em volume.

31

1

0,1220

utm mv m sρ =

=

( )( )

22

1

22

) v ?

1

0,8

a

P kgf cm abs

P kgf cm abs

=

=

=

1 12 2

2

1P vv vg

Pk f×

= ⇒ =2cm 20

0,8

m s

kgf

×2cm

2 25v m s⇒ =

1 1 1 1 1

3

)

0,12

m

m

b Q Q v A

utQm

m

= ρ × = ρ × ×

= 20 m×

0,05 m

s

π××

( )2

34,71 104 mQ utm s−⇒ = ×

( )

( )

12

3 31 1 1 1 1

23 3

2 2 2 1 1

) ?

0,0520 39,27 10

40,05

25 49,09 104

c Q

mmQ v A Q Q m ss

mmQ v A Q Q m ss

=

π×= × ⇒ = × ⇒ = ×

π×= × ⇒ = × ⇒ = ×

1 2

1 2

A At t

⇒ = ⇒

=1 1 2 2

1 12

2

P v P vP vv

P

× = ×

×=

1 1 2 2

Escoamento isotérmico Pv ctep v p v

⇒ =∴ =

2

1 11

) ?d

Av

ρ =

ρ × × 2 22 v A= ρ × ×3

1 12 2

2

0,12 20utmv m

v

ρ ×⇒ ρ = ⇒ ρ = s

25 m s3

2

3

2 2 2 2 22 2

0,096

4,71 10mm

utm m

ou

Q utmQ v Av A

s−

⇒ ρ =

×= ρ × × ⇒ ρ = ⇒ ρ =

×25 m

s( )

322 0,096

0,054

utm mm

⇒ ρ =π×

×

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4.2 – Os reservatórios I e II da figura são cúbicos e enchidos pelos tubos respectivamente em 100 e 500 s. Determinar a velocidade da água na seção “A” indicada, sabendo – se que o diâmetro é 1 m.

3

10 10 10

1000II

II

V m m m

V m

= × ×

=

3

5 5 5

125I

I

V m m m

V m

= × ×

=

entrada saída

3 3

3 3

3

125 1000100 500

1,25 2

3,25

A I II

I IIA

I II

A

A

A

Q Q

Q Q QV VQt t

m mQs sm mQ

s sQ m s

=

= +

= +Δ Δ

= +

= +

=

33,25A

A

Qv vA

m= ⇒ =

20,7853 ms

4,13v m s=

( )22

2

14 4

0,7853

A A

A

mDA A

A m

π×π×= ⇒ =

=

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4.4 – Um propulsor a jato queima 0,1utm s de combustível quando o avião voa a velocidade de 200m s . Sendo dados:

30,12ar utm mρ = ; 30,05m utm mρ = , na seção (2); 2

1 0,3A m= e 22 0,2A m= .

Determinar a velocidade dos gases queimados ( )mv na seção de saída.

( ) ( )

1 3 2

1 1 3 3 2 2

1 1 1 2 2 20,1

200

m m mQ Q QQ Q Q

utmv A v A

m

s

+ =

×ρ + ×ρ = ×ρ

× ×ρ + = × ×ρ

20,3s

m× 23 20,12 0,1 0,2 mutm v

smutm⎛ ⎞

× + = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 3

0,05 utm

m× 1

2

2

7,2 0,1 0,01

7,3

utm utm utmvs s m

v utm

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = ×

=0,01

sutm

2 730

m

v m s=

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4.7 – O tanque da figura pode ser enchido pela água que entra pela válvula A em 5h., pela que entra por B em 3h. e pode ser esvaziado (quando totalmente cheio) pela válvula C em 4h. (supondo vazão constante). Abrindo todas as válvulas (A,B,C,D) ao mesmo tempo o tanque matem-se totalmente cheio. Determinar a área da seção de D se o jato de água deve atingir o ponto O da figura. Dado: 210g m s= .

0 0 0

3 3 3

3

Lembrar:

Pela equação da continuidade:

30 30 305 3 4

8,5

A B C D

D

D

Q v A

Q Q Q Q

m m m Qh h h

Q m h

= ×

+ + = +

+ = +

=

}0

0

0

0

movimento da gota: na horizantal: MRU

na vertical: MRUV (queda livre)=

⇒= + ×

= + ×

D

t

D

X x v t

Y y v t 2

2

0

12

10 5 0 10 12

em "X":

10 0 1

10

− ×

= + − × ⇒ =

= + ×

= + ×

=

D f

D

D

g t

t t s

X x v t

v

v m s

3

Assim:

8,5

D D D

DD

D

D

Q v AQA

A

m

v

= ×

=

=

2

h1h

×3600 s

10 ms

4 2

2

2,361 10

2,361

D

D

A m

ou

A cm

−= ×

=

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4.8 – Sabendo-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é parabólico dado pela

equação 2

máx 1 rv vR

⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

, onde v é uma velocidade genérica, máxv é a velocidade no eixo do

conduto, r é um raio genérico e R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção

(escoamento laminar). Sabe-se que: m1v v dAA

= × ∫ .

( )

2

máx2

máx

1 1 1 2

2

rA A

rv v dA v v r drA R R

vv

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= × ⇒ = × − × π× × ⇒⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟π× ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣

⎦⎩ ⎭

×

∫ ∫

π

( )

2 2máx22

0

33máx máx

2 2 2 20 0 0

2 4máx2 2

0 0

21 1

2 2 1

22 4

R

A

R R R

R R

vr rr dr v r drR R RR

v vr drv r dr v r dr r drR R R R

v r rvR R

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − × × ⇒ = × − × ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟× ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞×= × × − ⇒ = × × − × × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ ∫

2 2má

á2

x2

m x

22 4

2

RR

vR

v Rv

v

⎛ ⎞⇒ = × − ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

=2R

× máx

4 2vv⇒ =

Page 10: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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4.9 – Sabe-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é exponencial dado pela

equação: 1 7

max 1 rv vR

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, onde v é a velocidade genérica, maxv é a velocidade no eixo do conduto, r é

um raio genérico, R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção (escoamento turbulento).

Sabe-se que: 1

mv v dAA

= ×∫ .

2

2 (ver exercício 4.8) (ver exercício 4.8)

dA r drA R

= π× ×

= π×

1 7

max20

21 1 1 2R rv v dA v v r dr v

A R R⎛ ⎞= × ⇒ = − × π× × ⇒ =⎜⎝ ⎠

π⎟π×∫ ∫ maxv×

π

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 7

20

1 7 1 7max max2 1 7 15 7

0 0

1 7max max15 7 15 7

0

1 7 8 7 8 7 1 7 8 7 1 7

0 0 0 0

1

2 2

note:

2 2

7

R

R R

R

R R R R

R r r drRR

v vv R r r dr v R r r drR R R

R r tr R tdr dt

v vv t R t dt v IR R

I Rt t dt I t Rt dt I t dt R t dt

tI

−⎛ ⎞× × × ⇒⎜ ⎟× ⎝ ⎠

= × − × × ⇒ = × − × ××

− == −= −

= × × − × − ⇒ = ×

= − × − ⇒ = − × ⇒ = − ⇒

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )15 7 8 75 7 8 7

0 0 0 0

15 7 8 7 15 7 15 7 15 7 15 7

15 7 15 7

7 715 8 15 8

8 157 0 0 7 715 8 15 8 120

7 497120

R RR R R r R rtR I R

R R R R R RI R I I

R RI I

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⇒ = × − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− += × − − − ⇒ = × − + ⇒ = × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤

= × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

max15 7

1

2

20

2vv I vR

= × ⇒ =1

max15 7

vR

15 749 R×

120max

60

4960vv⇒ =

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4.10 – No sistema da figura, sabe-se que na seção (1) de área 30 cm2 (circular), o escoamento é laminar. As velocidades dos pistões são indicadas na figura. Qual a vazão em kg/s no retorno, se 310.000 N mγ = ?

Dado: 210g m s= .

max1 1 1 1

12

26 30

2

vQ v A A

cm sQ m

= × ⇒ ×

= ×2

4 2

110

mcm

×

3 31

1

9 10

9

Q m souQ l s

−= ×

=

2 2 2

223 10

Q v A

Q m s cm

= ×

= ×2

4 2

110

mcm

×

3 32

2

3 10

3

Q m souQ l s

−= ×

=

3 3 3

322 20

Q v A

Q m s cm

= ×

= ×2

4 2

110

mcm

×

3 33

3

4 10

4

Q m souQ l s

−= ×

=

4 4 4

421 30

Q v A

Q m s cm

= ×

= ×2

4 2

110

mcm

×

3 34

4

3 10

3

Q m souQ l s

−= ×

=

310.000

MR R

MR R

MR

Q Q

Q Q

NQ m

g

= ρ×γ

= ×

=210m s

1

335 10 m−× ×

s

5 5MR MRN s kgQ Q

mm× ×

= ⇒ =2s

1s

×m

5MRQ kg s=

entrada saída

1 2 3 4

3 3

9 3 4 3

5

5 10

R

Q Q

R

R

R

Q Q Q Q Q

Q

Q l souQ m s−

+ = + +

∑ ∑+ = + +

=

= ×

123 1442443

entrada saída

1 2 3 4 R

Q Q

Q Q Q Q Q+ = + +

∑ ∑123 1442443

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4.11 – No circuito hidráulico abaixo, que opera com óleo de peso específico 38000N m , há um vazamento. Determinar a despesa diária do óleo vazado, sabendo – se que seu custo é US$ 0,10/ kg. Dados: 2,5Av m s= ; 240AA cm= ; 2,1Bv m s= ; 245BA cm= ; 210g m s= .

( )1 .

1

1

49 turbulento6049 6604,9

máxv v

v m s

v m s

= ×

= ×

=

3

2

800010

8000

Nm

m

mgg s

kg

γγ = ρ× ⇒ ρ = ⇒ ρ =

×

ρ =23m s×

10 m 2s3800kg m⇒ ρ =

( ) ( ) ( )

1 .

1 1 .

1 1 1 .

4 2 4 2 4 2.3 3 3

.

4,9 40 10 800 2,5 40 10 800 2,1 45 10 800

15,68 8 7,56

m mA mB m vaz

A A B B m vaz

A A A B B B m vaz

m vaz

m vaz

Q Q Q Q

Q Q Q Q

v A v A v A Q

m kg m kg m kgm m m Qs m s m s mkg kg kg Qs s s

Q

− − −

= + +

×ρ = ×ρ + ×ρ +

× ×ρ = × ×ρ + × ×ρ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × = × × × + × × × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + +

. 0,12

Despesa 0,12

m vaz kg

g

s

k

=

=s

$0,10USkg

×3600 s

×1h

24 h×

dia

Despesa 1036,8 $ diaUS=

Page 13: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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4.12 – Determinar o tipo de escoamento na seção (3). Dados:

1Re 5714= ; 2Re 8929= ; 5 28,4 10 m sυ −= × .

Obs: Re HD vυ×

= e 4 4H HAD Rp

= × = .

Onde:

raio hidráulico seção transversal molhada perímetro da seção em

contato com o fluído

HRAp

=

==

( )( )

1 11

11

1

1

SEÇÃO RETANGULAR

0,2 0

2

,3

1 0,2 0,3

1

Re

4 42

2

2 200 300

200 300

0,12

H

H

H

m m

H m m

H

v D

A a bDp a b

abD

a b

mm mm

D

mm m

D m

m

υ×

=

×= × = ×

× +

×=

+

⎛ ⎞⎜ ⎟× ×⎜ ⎟⎝ ⎠=

+

=

1442443

64748 64748

64748 64748

1

0,5 m

1

1 1 11 1

2

1

5

1

0,24

ReRe

5714 8,4 10

H

H

H

D m

v D vD

v m

υυ

=

× ×= ⇒ =

× ×=

1

0,24s

m

1 1

1 1 1

0,2 0,3

1

1 31

1 31

1,99 2,0

1,99 200 300

1,19 10

1,2 10

m m

v m s v m s

Q v A

mQ mm mms

Q m s

Q m s

= ⇒ ≅

= ×

⎛ ⎞⎜ ⎟= × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

= ×

≅ ×

64748 64748

( )

22

221

21 2

2

Re

44

4

4

H

H

H

v D

DADp D

D

υ×

=

π×= × = ×

π×

= ×π 2D× ( )2

41

×π 2D×

2 2

SEÇÃO CIRCULAR

2

2

22

22

2

5 2

2

250

0,25

Re

Re

8929 8,4 10

H

H

H

H

H

D D

D mm

D m

v D

vD

v m

υυ

=

=

=

×=

×=

× ×=

14243

1

0,25s

m

( )

( )

2

2 2 22

22

2

2

1 32

3,00

3,0040,25

3,004

1,47 10

v m s

Q v A

DmQs

mmQs

Q m s−

=

= ×

π×= ×

π×= ×

≅ ×

( )

3 1 23

13

1 33

3

3 33

1 33

33

0,55 0,55

1 3

3

Equação da continuidade(fluído incompressível)

1,2 1,47 10

2,67 10

Re ?

Re

2,67 10550 550

2,67 10

H

m m

Q Q Q

mQs

Q m s

D v

Q m svA mm

m

mm

v

υ

= +

= + ×

= ×

=

×=

×= =

×

×=

14243 14243

1

20,3025 ms

3

33

3

0,883

44H

v m s

ADp

=

= × =x

×l l

4 × l

3

SEÇÃO QUADRADA

3

3 33

3

0,55

Re

0,55Re

H

H

H

D

D m

D v

=

=

×=

=

l14243

0,883 m× s5 28,4 10 m−× s

3Re 5781,6

turbulento

= ∴

Page 14: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

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4.13 – Com o registro “R” inicialmente fechado, o nível do reservatório apresenta uma variação 10h cmΔ = num intervalo de tempo de 10s . A partir deste instante, o registro é aberto, permanecendo

constante o nível do reservatório. Pede-se: a) O diâmetro da seção

transversal do tubo que abastece o tanque, sabendo-se que na mesma a velocidade máxima é 4m s e o escoamento é turbulento;

b) Após o nível constante, qual o alcance “X” do jato;

c) Regime de escoamento no tubo de saída dado 6 210 m sυ −= ;

d) Diâmetro do tubo se o regime for laminar.

2

2

) ?

44

4

t

t

t

a DtQ v A

DQ v

Q v D

QDv

== ×

π×= ×

= × π×

=× π

( )

1

2

3

7

3

1

49 turbulento6049 4603,267

0,10 0,64110

0,00641

4

4 0,00641

m máx

m máx

m

m

tq

t

t

rv vR

v v

v m s

m s

h AVQt t

m mQs

Q m

m

s

QDv

D

ν

⎛ ⎞= − ∴⎜ ⎟⎝ ⎠

= ×

= ×

=

Δ ×= =

×=

=

=× π

×=

2s

3,267 m s

0,05 5t tD m ou D cm

× π

≅ ≅

( )

2

3 3

2

) ?4

0,00641 0,006410,025

4

Q Qb X Q v A v vA D

m sv v mm

= = × ⇒ = ⇒ =π×

= ⇒ =π×

1

4 24,909 10 ms

−×

20

13,058

na vertical:12

0 1,25

v m s

Y y t g t

m t

ν

ν

⇒ =

= + × − ×

= + ×{0

22

0

2

1 102

0 1,25 5

1,25

t

m ts

t

mt

=

− × ×

= −

=5 m 2 0,5t s

s⇒ =

0

na horizontal:

0 13,058

X x tmXs

ν= + ×

= + 0,5 s×

6,529X m=

6 2

) Regime ?0,025 13,06Re

10

Re 32.6500 Re 4000 regime turbulento

cD D m m s

m sν ν

υ −

=× ×ρ × ×

= = =μ

= ∴ > ⇒

( )

( )2

2

2

2

2

) Regime laminar Re 2000ReRe .1

Laminar Re 20004 .2

4Substituindo 2 em 1:

Re Re Re44 4

dD v D eq

v

D QQ v A Q

D

v v eqD

DD D QQ QD

υυ

υ υ υ

≤× ×

= ⇒ =

π×= × ⇒ = × ⇒ =

π×

× × × π× × × π×= ⇒ = ⇒ =

π×

1

D

34 4 0,00641Re

mQDυ

×= =

× π×

1s

262000 10 m−× π× s4,08D m⇒ =

Page 15: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

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4.14 – Dados: fluídos ideais. Seção (1): 2

1 10A cm= ; 31 10kN mγ =

Seção (2): 22 20A cm= ; 2 0,25v m s= ; 2 ? (S.I.)ρ =

Seção (3): 23 30A cm= ; 3

3 9,5kN mγ = ; 3 ? (S.I.)mQ = .

( )

1 2 3

1 1 1

1

1 1

1 1 1

4 21

3 31

2 2 2

4 22

3 32

3 1 2

33

3

Equação da continuidade(fluído ideal)Q

escoamento laminar2

2 12

1 10 10

1,0 10

0,25 20 10

0,5 10

1 10 0,5 10

máx

Q QQ v A

vv

m sv v m s

Q v AmQ ms

Q m s

Q v AmQ ms

Q m s

Q Q Q

mQs

+ =

= ×

=

= ⇒ =

= ×

= × ×

= ×

= ×

= × ×

= ×

= +

= × + ×3

3

3 33 1,5 10

ms

Q m s

−= ×

3 3

33

3

3 2

3

3 2

33

3 3 3

33

3

9,510

950010

950

1,5 10

m

m

g

gkN mm s

N mm s

kg

Q Q

m

m

Q −

γ = ρ ×

γρ =

ρ =

ρ =

ρ =

= ×ρ

= ×3

950 kgs m

×

3

1 1

31

3

1 2

3

1 2

31

1,425

1010

10.00010

1000

mQ kg s

g

gkN mm s

N mm s

kg m

=

γ = ρ ×

γρ =

ρ =

ρ =

ρ =

1 2 3

1 1

33

1

1 1,0 10

m m m

m

m

Q Q QQ Q

mQ −

+ =

= ×ρ

= ×3

1000 kgs m

×

1

33

2 2

3

2 3 13

32

2

1,0

0,5 10

1,425

0,5 10 1,425 1,0

0,425

m

m

m

m m m

Q kg s

mQs

Q kg s

Q Q Q

m kg kgs s s

k sg

=

= × ×ρ

=

= −

× ×ρ = −

ρ = 3 30,5 10 sm−×3

2 850kg mρ =

Page 16: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

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4.15 – O tanque maior da figura abaixo permanece a nível constante. O escoamento na calha tem uma seção constante transversal quadrada e é bidimensional obedecendo a equação 23v y= . Sabendo que o

tanque “B” tem 31m e é totalmente preenchido em 5 segundos e o conduto circular tem 30 cm de diâmetro, pede-se:

a) Qual a velocidade média na calha quadrada? b) Qual a vazão no conduto circular de 30 cm de diâmetro? c) Qual a velocidade máxima na seção do conduto circular de 30 cm de diâmetro? d) Qual o tipo de escoamento no conduto circular de 30 cm de diâmetro?

( ) ( )

2

2

13

0

3 3

) da calha quadrada1

1 3 11 1

3 1

33

3 1 3 03 3

1

média

calha

calha

calha

calha

calha

calha

a v

v v dAA

v y dy

v y dy

yv

v

v m s

= ×

= ××

= ×

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

∫∫

30

30

3

3

2

3

30

30

3 3

30

30

) ?

Equação da continuidade(fluído incompressível)Q

15

0,2

1 1

1

Q

Q

Q 1 0,2

Q 0,8

cm

calha cm B

BB

B

B

calha calha calha

calha

calha

calha cm B

cm calha B

cm

cm

b Q

Q Q

V mQt s

Q m s

Q v AmQ ms

Q m s

Q Q

Q Q

m ms s

m

φ

φ

φ

φ

φ

φ

=

= +

= =

=

= ×

= ×

=

= +

= −

= −

= 3 s

( )

30 30 30

3030

30

3

30 2

2

30

3

3

30

) no conduto30 0,315 0,15

Q

Q

0,8

0,80,15

0,8

média

cm cm cm

cmcm

cm

cm

cm

cm

c vcm m

r cm m

v A

vA

m svr

m

m svm

v

φ φ φ

φφ

φ

φ

φ

φ

φ = == =

= ×

=

=π×

=π×

=1

20,0225smπ×

30 11,32cmv m sφ =

) Tipo de escoamento

0,30Re

d

Dm

vυ×

= =11,32 m

×s

2610 m− s

63,396Re Re 3.396.00010

Re 4000 turbulento

−= ⇒ =

∴ > ⇒

Page 17: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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4.16 – No sistema da figura a água é descarregada do cilindro e percorre uma distância 19,8a m= ,

caindo de uma altura 20,5b m= . Durante o processo que dura 6,0min. , no tanque A que tem 20,5m

de base, o nível de água sofre um desvio de ( )27cm hΔ . Calcular:

a) Velocidade da água na saída do cilindro 3v ; b) Velocidade do pistão vp e o sentido do seu movimento.

Dados: 330 ; 1Dp cm D cm= = .

24 30,27 0,5 3,75 10

360baseh AV m mQ Q m s

t t s−Δ × ×

= = = ⇒ = ×

3

20

) ?Queda Livre

na vertical:12

0 20,5

a v

b b v t g t

v t

=

= + × − ×

= + ×{0

2

0

2

1 102

0 20,5 5

20,5 2,0245

t

t

t

t t s

=

− × ×

= −

= ⇒ =

2

27 0,270,5

h cm mbase mΔ = =

= 3

30 0,31 0,01

Dp cm mD cm m

= == =

6,0min 360s=

0

3

na horizontal

19,8 0 2,0219,82,024

9,78

a a v tv

v

v v m s

= + ×

= + ×

=

= =

( )2

3 3 3 3

4 33

3 3

3

3 34 4

4 3

4 3

) ?

0,019,78

47,681 10

:

3,75 10 7,681 10

3,931 10 pistão descendo

vp

3,931 10

p p

p

p

p

pp p

p

b vp

mmQ v A Qs

Q m s

Logo Q Q Q Q Q Q

Q Q Q

m mQs s

Q m s

QQ A vp

m

A

vp

− −

=

π×= × ⇒ = ×

= ×

= + ⇒ = −

= −

= × − ×

= − × ⇒

= × ⇒ =

− ×=

1

0,3

s

mπ× ( )2 0,00556

4

vp m s⇒ = −

Page 18: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

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4.17 – Dois gases de massas específicas diferentes 31,2A kg mρ = e 30,95B kg mρ = encontram-se

em um cilindro onde formam uma mistura homogênea. O pistão de diâmetro 18,5PD cm= se movimenta

para baixo com velocidade de 1,6cm s e a mistura resultante sai do cilindro com velocidade

12,5Cv m s= . Calcular:

a) Velocidade Bv ; b) Massa específica da mistura de gases.

Dados: 25Av m s= ; 1,5AD cm= ; 16,5mBQ kg h= ; 2,5BD cm= ; 2,0CD cm=

( ) ( ) ( )( )2

3

Equação da continuidade(fluído compresível)

1,2 25 16,54

mA mB mP mC

A A A mB P P P C C C

A

Q Q Q Qv A Q v A v A

Dk mh

g kgm s

+ + =

ρ × × + + ρ × × = ρ × ×

⎛ ⎞π×⎜ ⎟× × +⎜ ⎟⎝ ⎠

1h×

( ) ( )

2

2 2

0,016 12,53600 4 4

30

P CC C

D Dm ms s s

kgm

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ π× π×⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0,015

s

mπ××

×

( ) ( ) ( )2 2 2

3

3 33 3 4 3

33

0,185 0,024,58 10 0,016 12,5

4 4 4

5,30 10 4,58 10 4,30 10 3,93 10

3,93 10 4,30

C C

C C

C C

m mkg m ms s s

kg kg m ms s s s

ms

− − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞π× π×⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ρ × × − ρ × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

34 3

33 3

3

10 9,88 10

3,5 10 9,88 10

9,88 10

C

C

m kgs s

m kgs skg s

− −

− −

⎛ ⎞= ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

ρ × × = ×

×ρ = 3 33,5 10 sm−×

32,82C kg m⇒ ρ =

) ?

16,5

B

B B B

mB B B

mBB

B

B

a v

Q v AQ Q

QQ

kQ

g

=

= ×

= ×ρ

=0,95

hkg 3

3

3 3

17,37

4,82 10

B

B

m

Q m hou

Q m s−

=

= ×

( )

( )

3 3

2

3 3

2

4,82 10

44,82 10

0,0254

9,82

BB

B

B

m svD

m svm

v m s

×=

π×

×=

π×

=

Page 19: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

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4.18 – Sabendo –se que a seção transversal (I) é quadrada e que 20Iv m s= , determinar o valor do lado

dessa seção, assim como o tipo de escoamento na mesma, considerando 210g m s= e 6 210 m sυ −= . O jato que sai da seção circular (II), de diâmetro 10cm , chega ao ponto “O” marcado na figura e o jato que sai da tubulação (III) enche o reservatório de dimensões conhecidas em 100 segundos. Dados: 0 45y m= ; ( )0 6x m= π ; 20,15BaseA m= ; 2H m= .

( )

( )

2

3

3

3

2

2

0

0,15 2

0,3

0,31000,003

4

0,14

na horizontal

6 0

6

IIIIII

III

III Base

III

III

III

III

II II II

IIII

II

II

II

II

VQt

V A H

V m m

V m

mQs

Q m s

Q v A

DA

mA

x x v tv t

vt

=

= ×

= ×

=

=

=

= ×

π×=

π×=

= + ×

π = + ×

π=

20 0

0

na vertical12

45 0

II

II

y y v t gt

m v t

= + × +

= + ×

0 0

2

2

12

1 2 45452

9 36 6

32

2

t

II

II

II

gt

mgt m tg

t t s

vt s

v m s

Q

=

+

×= ⇒ =

= ⇒ =π π

= =

π=

678

m s ×π ( )2

3

3

0,14

0,005

Equação da continuidade(fluído incompressível)

0,005 0,003

0,008

II

I II III

I

I

m

Q m s

Q Q QQ

Q m s

×

=

= +

= +

=

30,008

I I I

II

I

Q v A

QAv

m

= ×

= =2

s20 m s

2

2

2

3

3

0,0004

0,0004

0,

4

02

Re

4

I

I I

H I

H

H

A m

A A

m

m

D v

ADp

D

υ

=

= ⇒ =

=

=

×=

= ×

=

l l

l

l

x×l l

4 × l

seção quadrada

0,02Re

H

m

D =

=

l123

20 m× s2610 m− s

Re 400.000

escoamento turbulento

= ∴

Page 20: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

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4.19 – O escoamento na seção A é turbulento. Após a seção A o fluído abastece 3 reservatórios como é mostrado na figura. A velocidade no eixo da seção A é conhecida. Os reservatórios I, II, e III são abastecidos respectivamente pelos tubos B, C e D. O reservatório I é abastecido em 100 segundos. O reservatório II é abastecido em 500 segundos, sendo o escoamento no tubo C laminar. O reservatório II é cúbico de aresta 4m. Determinar:

a) A vazão em volume na seção A; b) A vazão em massa no tubo C; c) A velocidade do fluxo no eixo do tubo C; d) A vazão em volume no tubo D

Dados: 39000N mγ = ; 210g m s= ; A 30 4,9eixov m s= ; ( )100 2AD cm= π ;

800CD cm= π .

)4960

49

A A A

A máx

A

a Q v A

v v

v

= ×

= ×

=10

602

30×

1

4,9

( )

( )( )

1

2

2

5

4

100 2

4

A

AA

A

A

m s

v m s

DA

cmA

A

=

π×=

π× π=

=π 410 2× × π( ) 2

2

4

5000A

cm

A cm=2

4 2

110

mcm

×

2

2

3

0,5

5 0,5

2,5

A

A A A

A

A

A m

Q v A

Q m s m

Q m s

=

= ×

= ×

=

3

1,6

mC C

mC C

mC

Q Q

Q Qg

Q m

= ×ρ

γ= ×

=39000

sN m

×210m s

( )

( )2

2

1440

) ?

laminar22

4800

4

mC

máx

máxc

máx C

CC

C

CC

C

C

N s KgQm s

c vvv

v vQvA

DA

cmA

A

× ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

= ×

=

π×=

⎛ ⎞π× ⎜ ⎟π⎝ ⎠=

464 10××

π

4 2

2

4

16 10C

cm

mA c= ×2

4 2

110

mcm

×

216CA m=3

) ?

4 8 25500

1,6

mC

mC C

CC

C

C

C

b QQ Q

VQtm m mQ

sQ m s

=

= ×ρ

=

× ×=

=

31,6

CC

C

C

QvA

v m

=

=1

216s

m

3

3

0,1

22 0,1

0,2

) ?

4 4 5100

0,8

2,5 0,8 1,6

0,1

C

máx C

máx

máx

D

BB

B

B

B

A B C D

D A B C

D

D

v m s

v vv m s

v m s

d QVQtm m mQ

sQ m s

Q Q Q QQ Q Q QQ

Q m s

=

= ×

= ×

=

=

=

× ×=

=

= + +

= − −

= − −

=

Page 21: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.20 – No tanque 2 que fica cheio em 60min. , será feita uma diluição de suco concentrado, com água. Considerando que o tanque 1 tem nível constante, calcule a vazão de água no vazamento indicado na figura. Dados: tanque 2 12.000V litros= ; Suco: 1,5mSQ kg s= ; 31.200S kg mρ =

Água: 38Q m h= ; 310BQ m h= ; 2

31.000H O kg mρ =

1,5

mS S mS

mSS

mS

S

Q QQ

kg

Q

Q

= ×ρ

= s3600 s

×1

1.200h

kg 3

3

22

2

2

4,5

12.000

S

TqTq

Tq

Tq

m

Q m h

VQ

t

QL

=

=

=

311000

mL

×

60min.60 n

1mi .h

×

32 12TqQ m h=

2

2

2

2

Tq2

2

3 3

3

A

A3 3

3

Equação da continuidade(fluído incompressível)Q

12 4,5

7,5

para nível constanteQ

Q

10 8

2

H O S

H O Tq S

H O

H O

reciclo Bomba

reciclo Bomba

reciclo

reciclo

Q Q

Q Q Q

m mQh h

Q m h

Q QQ Q

m mQh h

Q m h

= +

= −

= −

=

+ =

= −

= −

=

2

2

3

3

3

3

3

3

Se 2

e 10 ,então concluímos que:

8

se 8e 7,5

concluímos que:vazamento

vazamento 0,5

reciclo

Bomba

Bomba reciclo

H O

H O

Q m h

Q m h

Q Q Q

Q m h

Q m hQ m h

Q Q

m h

=

=

= −

=

=

=

= −

=

Page 22: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.21 – A figura apresenta dois tubos concêntricos de raios 1 3R cm= e 2 4R cm= , dentro dos quais passa

óleo em sentidos contrários. O fluxo do tubo interno obedece a equação: 2

0 1 rv vR

⎡ ⎤⎛ ⎞= × −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. Esse fluxo

divide-se em 2Q , 3Q e no fluxo de retorno RQ , no tubo maior. O peso específico do óleo é 3800kgf m e

a leitura da balança é 14,4kgf em 60 segundos. O pistão desloca-se com uma velocidade de 3,8cm s e

tem uma área de 278,5cm . A velocidade no eixo do tubo de entrada é 0 2,3v m s= . Pede-se determinar:

a) A vazão 1Q em litros por segundo, no tubo interno;

b) A vazão RQ de retorno; c) A velocidade média no tubo de retorno.

( )

( )

1

21 1 1 1

1

31

3

1

2

Vazão em litros por segundo1,15

1,15 0,03

3,25 10

a QmQ v A Q R

s

sm

mQ m

Q −

⎡ ⎤= × ⇒ = × π×⎣ ⎦

⎡ ⎤= × π×⎣ ⎦

= ×3

10001

Ls m

× 1 3,25 LQs

⇒ =

Velocidade de retorno

2,65R

R R R R RR

c

QQ v A v v

L

A= × ⇒ = ⇒ =

31s

1

1000 L3 22,199 10 m−×

1,205Rv m s⇒ ≅

20

0

1

Escoamento Laminar

12

3

vrv v

cR m

vR

⎡ ⎤⎛ ⎞= × − ⇒ ∴ ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

=1

100 mmc

× 1

2

0,03

4

R m

R cm

⇒ =

=1

100 mmc

× 2 0,04

3,8p

R m

mv c

⇒ =

=1

100 mm

s c×

( ) ( )

( ) ( )

1

30 óleo

1 1

2 222 1

2 2 3 2

0,038

2,3 800

2,3 1,152

0,04 0,03 2,199 10

R

p

R R

R R

v m s

v m s kgf m

m sv v m s

A R A R R

A A m−

⇒ =

= γ =

= ⇒ =

⎡ ⎤= π×Δ ⇒ = π× −⎣ ⎦⎡ ⎤= π× − ⇒ = ×⎣ ⎦

2 2

2

2 2 2 2

Vazão de retorno

14,4 0,2460

0,24

R

G G

GG

b Q

G kgfQ Q kgf st s

QQ Q Q Q

kgf

= = ⇒ =

= γ × ⇒ = ⇒ =γ

skgf800 3

2

3

0,0003

m

Q m=

3

10001

Ls m

×

3

3

2

23

3

0,3

0,038 0,00785

0,0003

p p

Q L s

mQ v A Q ms

Q m

⇒ =

= × ⇒ = ×

≅3

10001

Ls m

× 3

1 2 3

0,3

3,25 0,3 0,3 2,65R

R R

Q L s

Q Q Q Q

Q Q L s

⇒ ≅

= + +

= + + ⇒ =

Page 23: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

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4.22 – Na figura abaixo, determinar se o pistão sobe ou desce e com que velocidade? Dados:

1 8D cm= ; 1 3v m s=

2 20Q L s= ; 3 5v m s= 2

3 20A cm= ; 2. 50pistA cm= .

entrada

Equação da continuidade(fluído incompressível)

Q saídaQ∑ = ∑

3 3 3

3 23

2 33

5 2 10

1 10

Q v AmQ ms

Q m s

= ×

= × ×

= ×

2 20Q L=

311000

mLs

×

2 32 2 10Q m s−= ×

( )

( )

1 1 12

11

2

1

2 31

34

0,083

41,51 10

Q v A

DmQs

mmQs

Q m s−

= ×

π×=

π×= ×

= ×

entrada2 3

2 3

2 32 4

Note que Q ,

logo se a saída (1) + saída (3) 2,51 10 ,e a entrada (2) 2 10 ,então conclui-se que:

,obrigatoriamente têm que ser 2,51 10 ,portanto, o pistão está subindo

saídaQ

m sm s

Q Q m s

∑ = ∑

= ×

= ×

+ = ×

.

2 4 1 3

4 1 3 23 3 3

2 2 24

2 34

1,51 10 1 10 2 10

0,51 10

Q Q Q QQ Q Q Q

m m mQs s s

Q m s

− − −

+ = +

= + −

= × + × − ×

= ×

4 4

3

4

44

.

2

40,51 10

pist

Q v AQv

m

A

v−

= ×

=

×=

1

2450 10 ms

−×

4 1,02v m s=

Page 24: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

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Extra 1 – De acordo com a figura são dados: 1 2 150 ; 25 ; 1 ;mD mm D mm V m s= = =

2

3 2 6 21000 ; 10 ; 10H O kgf m g m s m sυ −γ = = = . Determinar: 2 ; ; ;m Gv Q Q

mQ e qual o tipo de escoamento entre (1) e (2).

1 1 1 11 6 2

1

) Regime ?0,05 1Re

10Re 50.000 Re 4000

Re regime turbulento

m m

eD D m m s

m sν ν

υ −

=× ×ρ × ×

= = =μ

= ∴ >

=

1 2

2

11 1

1 1 2 2 2 22

Equação da Continuidade (fluído incompressível)

) ?m

mm

m m m m

Q Q Q Q v A

a v

vv Av A v A v v

A

⇒ = = = ×

=

××

× = × ⇒ = ⇒ =

π ( )21

4D×

π ( )22

4D×

( )( )

( )( )

21 1

2 22

2

2

2

2 2

1 50 1 250025

mm

m m

v Dv

D

m s mm m sv vmm

mm

×⇒ =

× ×= ⇒ =

2625 mm2 4mv m s⇒ =

( ) ( )2 21 3 3

1 1 1

) ?

0,051 1,96 10

4 41,96

m m

b Q

D mQ v A Q v Q m s Q m s

ou Q L s

=

π× π×= × ⇒ = × ⇒ = × ⇒ = ×

=

3

) ?G

G G

c Q

kgfQm

Q Q

=

= γ × ⇒ =1000 33

1,96 10 m−× × 1,96GQ kgf ss

⇒ =

) ?

1,96m

GG m m m

d Q

Q kgfQ Q g Q Q sg

=

= × ⇒ = ⇒ =210m s

1 0,196mQ kgf s m⇒ = ×

2 2 2 22 6 2

2

2

0,025 4Re10

Re 100.000 Re 4000

Re regime turbulento

m mD D m m sm s

ν νυ −

× ×ρ × ×= = =

μ= ∴ >

=

Page 25: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

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Extra 2 - De acordo com a figura são dados: 2 21 2 120 ; 10 ; 75 ;mA cm A cm V m s= = =

3 31 21,2 ; 0,9kg m kg mρ = ρ = . Determinar: 2 1 2; ;mv Q Q e mQ .

1 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

2

1 1 12 2

2 2

Equação da Continuidade (fluído compressível)

) ?

1,2

m m m m

m m

m

mm m

Q Q Q Q Q

Q Q v A v A

a v

v Av vA

kg

⇒ = = = ρ×

ρ × = ρ × ⇒ ρ × × = ρ × ×

=

ρ × ×= ⇒ =

ρ ×

3m275 20m

scm× ×

0,9kg

3m210 cm×

2 200mv m s⇒ =

1

4 2 31 1 1 1 1

2

4 2 32 2 2 2 2

1 1 1 31

) ?

75 20 10 0,15

) ?

200 10 10 0,20

) ?

1,2

m

m m

b Q

mQ v A Q m Q m ss

c Q

mQ v A Q m Q m ss

d Q

kgQ Q Qm

=

= × ⇒ = × × ⇒ =

=

= × ⇒ = × × ⇒ =

=

= ρ × ⇒ =3

0,15 m× 1

2 2 2 32

0,18

0,9

m

m m

Q kg ss

ou

kgQ Q Qm

⇒ =

= ρ × ⇒ =3

0,20 m× 2

1 2

0,18

0,18

m

m m m

Q kg ss

Q Q Q kg s

⇒ =

= = =

Page 26: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Capítulo 7

ESCOAMENTO PERMANENTE DE FLUIDO INCOMPRESSÍVEL EM CONDUTOS FORÇADOS

No Capítulo 4 apresentou-se a equação da energia com essas hipóteses, resultando: :

2,1p2M1 HHHH +=+

Essa equação permite determinar ao longo do escoamento alguma das variáveis que contém, isto é: HM, v, p ou z. Entretanto, esta tarefa somente será viável se for conhecida a perda de carga

2,1pH ao longo do escoamento.

Este capítulo dedica-se, fundamentalmente, ao estudo desse termo para condutos forçados, estabelecendo as bases do cálculo de instalações hidráulicas. A definição das linhas da energia e piezométrica estabelece uma maneira interessante de visualização do andamento da energia e da pressão ao longo do escoamento, que pode facilitar a solução de problemas voltados à solução de instalações. Exercício 7.1

1,0

1,0

f11

211

00

200

p10

hzp

g2v

zp

g2v

HHH

++γ

=+γ

+=

Como se trata de um gás, a diferença de cotas pode ser desprezada desde que esta não seja muito grande. Considerando a mina como um reservatório de grandes dimensões, v0 ≅ 0 e, na escala efetiva p1 = 0, obtêm-se:

H1

H1

p22

H

2110

DLf

pg2v

DLfg2

vg2

vDLf

g2vp

γ=

+α=→+

α=

γγ

Como f = f(Re) e Re = f(v), o problema deverá ser resolvido por tentativas.

.dianteporassimefeRvfseadotaffse,resolvidoestáffSe

fRevfseAdota′′→′→′→′−→′≠=′

′→→→−

Uma forma de obter rapidamente o resultado, consiste em adotar o f correspondente à parte

horizontal da curva de k

DH calculado para o problema. Observa-se que se o Re for

relativamente grande, o f estará nessa parte da curva, o que evitará novas tentativas.

m6,06,04

6,06,04A4D

Pa000.22,0000.10hp

H

OHOH0 22

=×××

=

=×=γ=

Page 27: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Logo:f3,8331

150.3

6,0500f1

7,12000.220

v+

=+

×=

023,0fseadotaRouseMoodydo60010

6,0k

D:Como

3H =−−→==

55

H 105,710

6,04,12vDReseverificae

sm4,12

023,03,8331150.3v ×=

×=

ν=−=

×+=

Ao observar o Moody-Rouse nota-se que o Re é suficientemente alto para que se possa adotar o f correspondente à parte horizontal da curva de DH/k (escoamento hidraulicamente rugoso). Nesse caso, confirma-se o f e, conseqüentemente, o valor da velocidade. Assim:

sm5,46,06,04,12vAQ

3=××==

Exercício 7.2

m32024,41

03,0202,01

g2v

DL

DL

f1h

g2vk

g2v

DL

fg2

vhzHHH

m105,1000.203,0

000.2D

k000.2k

D:RouseMoody

02,0f

1027,110

03,024,4vDRe

m3,137,1125hm7,112024,45

03,01202,0H

sm24,4

03,01034

DQ4v

g2vk

DLfH

m2510310

1075,0QNHQHN

HHhzz

HHHH

22

H

2,1

H

2,10

2

1s

2

H

2,12

002,0p20

5HH5

6

2

7,0p

2

3

2

2

sH

7,0p

34

3

BB

7,0pB01

7,0p7B0

=×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

++==⇒+=

×===⇒=−⎪⎭

⎪⎬⎫

=

×=×

=

=−=Δ⇒=×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×=

=×π××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=×××

=⇒γ=

−=Δ=−

+=+

−−

Exercício 7.3

a) Obviamente a máquina é uma bomba, pois .pp entradasaída >

Page 28: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

γ−

=→=+ esBsBe

ppHHHH

( )m2,25

000.101052,2H

Pa1052,2101036,12ppp22p5

B

545essO2HHge

=

×=−××=−→=×γ−×γ+

( )

04,02238

2,191,020

Lv

hgD2f

g2v

DLfh

m2,1962,25hHh

m62025,35,132102h

sm2

1,0

10164

D

Q4v

g2vkhehhH

HHHHHH)b

22fH

2

Hf

spf

2s

2

3

2

2sssfp

pBp8B0

8,0

8,0

8,08,0

××==→=

=−=−=

=+×++×=

=×π

××=

π=

=+=

=→+=+

∑∑

∑∑∑−

Exercício 7.4

kPa5,15Pa1055,1pm55,12045,15,1

06,02054,015,05,2

p

g2vk

DL

f1zzp

g2vk

g2v

DL

fzp

g2v

zHHH)b

sL1,4

sm101,4

406,045,1

4DvQ

fdevaloroconfirmaqueo107,810

06,045,1vDRe:oVerificaçã

sm45,1

5,1506,04054,0

220v

054,0f:seadotaRouseMoodydo4015,06

kDCom

kDLf

gH2v

g2vk

DLfH

m2HH5,05,2HHH)a

4A

2A

2A

1s

A,1A0

A

A

1

2

s

2A,1

AA

2A

0A,0pA0

33

22

46

s

8,0p2

s8,0p

8,0p8,0p8,0p80

=×=⇒=×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+−−=

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−=

γ

+++γ

+=⇒+=

=×=×π

×=π

=

×=×

=

=+×

×=

=−−→==

+=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒+=⇒+=

∑∑

Page 29: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Exercício 7.5

4,0

4,0

p44

B

p4B0

Hzp

H

HHHH)a

++γ

=

+=+

m6,17410

102424zp

HH

m24101010

1038,0QN

HQH

N

4

34

4Bp

34

3BB

BB

BB

4,0=−

×−=−

γ−=

=××

××=

γη

=→η

γ=

( )

01,01,510

6,205,0102

vL

gDh2f

g2v

DL

fh

m6,2156,17h

m15201,55,11

g2vkkkh

sm1,5

05,0

10104

D

Q4v

g2vkh

hHhhh2,1H)b

223,1

f23,1f

f

22ssss

2

3

2

2ss

spf3

1s3,1fp

3,13,1

3,1

321

4,04,0

×××==→=

=−=

=×=++=

=×π

××=

π=

=

−=→+=

∑∑

∑∑

c) Como os dois tubos têm o mesmo diâmetro e material e o fluido é o mesmo, tem-se o mesmo f.

m9,29201,53

05,010001,0H

g2vk

DL

fhhH

2p

29

5s

9,59

5sfp

10,4

9,510,4

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= ∑∑

kW1,51000

19,05,56101010QHN

m5,569,298410

1024H

HHzp

HHHH)d

34TTT

4

3T

pT44

p10T4

10,4

10,4

=×××××=ηγ=

=−+×

=

=−+γ

+=−

A vazão é considerada a mesma, pois para p4 = cte, é necessário que o nível se mantenha constante.

Page 30: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

( ) m5,7255121001,005,0k

fDL

g2vk

g2v

DL

fh)e

seq

2s

2eqfeq

=×+×+==

==

∑∑

Exercício 7.6

15,96,0

11,111,61

HH

QQ

HQHQ

NN

m61160HHHHH

m1,119,012HHHHH

BTT

B

B

TTTT

B

BBTB

Bj,fpjBf

Td,apdTa

=×=ηη

=⇒ηγ=η

γ⇒=

=+=⇒+=+

=−=⇒+=−

Exercício 7.7

Como no resto do circuito a perda de carga é desprezível:

sm01,0

13510

101875,0HN

QQH

N

m135HH

3

4

3

B

BB

B

BB

pB A,C

××=

γη

=→η

γ=

==

A velocidade média no trecho CA será:

( ) ( )

sm44,3

1091,2

01,0v

m1091,2015,0281,04

d28D44

d284DA

AQv

3

23222222

=

×=×−π

=−π

−π

=

=

Imaginando um tubo equivalente de C até A:

( )

m108,225101,7

25D

k25k

DRouseMoodyDo

1044,210

101,744,3vDRe

0675,044,324

135101,720fvL

hgD2f

g2v

DLfh

m101,7015,0281,0

1091,24d28D

A4A4D

33

HH

57

3H

3

2A,C

fH2

Hf

33

H

−−

−−

×=×

==→=−

×=××

=

×××=→=→=

×=×+π××

=π+π

=

Exercício 7.8

5,0p50 HHH +=

Page 31: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m1,112083,23,12

15,090024,01Hz

sm83,2

15,010504

DQ4v

sL47

sm107,4

415,07,2

4DvQ

foconfirmand108,31005,1

15,07,2vDRe:oVerificaçã

sm7,2

3,1215,0

90024,01

1020v

024,0fseadotaRouseMoodydo579109,25

15,0kD

kDLf1

gz2v

g2vk

DLf1z

g2vk

g2v

DLf

g2v

z

2

0

2

3

2

32

22

56

3

s

02

s0

2

s

225

0

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+==′

=×π××

′=′

=×=×π

×=π

=

×=××

=

=++

×=

=−−→=×

=

++=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⇒++=

∑∑∑

Exercício 7.9

2,1

fH

f2

Hf

4

32

1f

f22

222

11

211

p21

fL

hgD2v

.vcasono,iávelvaroutraobterse

pararessãoexpautilizarsepodeconhecidoéhseeg2

vDLfh,mas

m2310

1050zp

h

hzp

g2v

zp

g2v

HHH

2,1

2,12,1

2,1

2,1

2,1

=

−=

=−×

=−γ

=

++γ

=+γ

+=

Observa-se que não se tem f , de modo que não é possível calcular v, bem como Re e, conseqüentemente, não se pode obter f do Moody-Rouse. Este exemplo é do tipo: temos hf, queremos Q. Nesse caso pode-se calcular fRe .

2,1

fHH2

2,1

fHHL

hgD2D

vL

hgD2vDfRe 2,12,1

ν=

ν=

Page 32: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Observa-se que fRe pode ser calculado sem que v seja conhecido, desde que se conheça fh , que é o caso do exercício.

( )RouseMoodydoobtidofundidoferrodok3861059,2

1,0k

D

1016,86

21,020

10

1,0fRe

m630sen

3

30sen

zL

4H

46

oo2

2,1

−=×

=

×=××

=

===

Com esses dois valores obtém-se do Moody-Rouse que f = 0,026

sL40

sm04,0

41,006,5

4DvQ

sm06,5

6026,021,020v

322==

×π×=

π=

=×××

=

Exercício 7.10

sm27,1

4162,1

4DvQ

sm62,1

000.8019,020120v

019,0fRouseMoodydo000.110

1kD

102,2000.8

1202010

1fL

Dgh2DfRe

fLgDh2

vg2

vDLfhm20hhzz

322

3

56

f

f2

fff21

=×π

×=π

=⇒=×××

=

=−⇒==

×=××

=

=⇒=→=⇒=−

Exercício 7.11

1,0

2,0

f11

211

V00

200

p1V0

hzp

g2v

Hzp

g2v

HHHH

++γ

=++γ

+=+

Desprezam-se as perdas singulares e admite-se o reservatório de grandes dimensões.

300010

3k

D

102105,1

310vDRe

g2v

DLfh

sm10

3

714

D

Q4vv

Pa20002,0000.10hp

3H

65

H

2

Hf

221

OHOH0

1,0

22

==

×=×

×=

ν=

=

=×π

×=

π==

=×=γ=

−016,0f =→

Page 33: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

kW4,50000.175,0417113

000.11QH

NV

VV =

×××

γ=

Exercício 7.12

kW1,181075,0

6,351082,310QHN

sm1082,3

41,087,4

4D

vQ

m6,35152087,45,0

1,0150026,0

2066,8H

026,0f386

1059,21,0

kD

109,410

1,087,4DvRe

g2v

kDLf

g2v

HzHHHH

sm87,4

105,766,8

DD

vvsm66,8

1521015v

y2gxv

vxg

21y

gt21y

vtx

324

B

BB

32

222

2

22

B

4

56

2

22

1s

2s

B0s,0psB0

22s

s2s

2

2

2

=××××

γ=

×=×π

×=π

=

=−×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+=

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+⇒+=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=⎟

⎞⎜⎝

⎛=⇒=×

=

=⇒=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

−−

Exercício 7.13

7,3p3,2p7,3p3,2p1,0p7,0p

7,0p7,0p7B

7,0p77

277

B00

200

7,0p7B0

HHHHHH

H8HzH

Hzp

g2v

Hzp

g2v

HHHH

+=++=

+=+=

++γ

=++γ

+=+

m411320033,150

2010H

phz

g2v

H

m33,120

103

50016,0h

2

V

01,0f1

211

V

2

2,1f

=−++=

γ−++

α=

=××=

Page 34: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

0195,0f600.1

10508,0

kd

1091,110

08,039,2dvRe

019,0f000.2

1051,0

kD

1053,110

1,053,1DvRe

sm39,2

08,010124

dQ4v

sm53,1

1,010124

DQ4v

g2v

kkkkd

Lf

g2v

DL

fH

g2v

kg2

vk

g2v

kg2

vk

g2v

dL

fg2

vD

LfH

6,3

5

56

6,36,3

3,2

3

53

3,23,2

2

3

27,3

2

3

23,2

27,3

6s5s4s3s7,3

3,2

23,23,2

3,27,0p

27,3

6s

27,3

5s

27,3

4s

27,3

3s

27,37,3

7,3

23,23,2

3,27,0p

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

=×π

××=

π=

=×π××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++=

+++++=

CV2CV9,182,075

73,91012000.175QH

N

m73,973,18H

m73,12039,215,05,01,0

08,0150195,0

2053,1

1,04019,0H

3

B

BB

B

22p 7,0

⇒=×

×××=

ηγ

=

=+=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++++××=

Exercício 7.14

kW1,1107,0

3,12108000.8QHN)b

m3,1220188,1

1,070064,010H

064,0000.164

Re64f000.1

101,01vDRe

sm1

1,01084

DQ4v

g2vk

DLfzHHHHH)a

33

B

BB

2

B

4

2

3

2

2

s0BC,ApCBA

=××××

γ=

=×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+=

===→=×

=

=×π××

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⇒+=+

−−

Exercício 7.15

E,0pE0 HHH +=

Page 35: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m5,75,12

101050p

m5,1210610

000.175,01QN

H

Hpp

m4,42006,35,06,4

g2vk

pp

m6,42006,3

05,05002,014

g2v

DL

fpp

m142006,35,0

2006,32

1010127

g2vk

g2vh

pp

kPa127000.11107,12p

m7,1222006,35,05,0

05,050202,0

101050

2006,3p

sm06,3

05,01064

DQ4vv

g2vkk

DL

fp

g2v

hp

4

3F

34BB

B

BEF

22

D,CCD

22C,BBC

22

4

32

Bs

20B

40

2

4

320

2

3

2E

2

D,CsBsE,BE

2EE0

=+×−

=××××

η=

=−=−γ

=××−=−γ

=×−−+×

=−−+γ

=××=

=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

××+

×−+=

γ

=×π××

π==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

γ+

α=+

γ

Para obter a linha da energia , basta somar m45,0g2

v2= em cada

γp .

Exercício 7.16

026,0f

1059,21,0

kD

1055,210

1,055,2vDRe

sm27,1

255,2

2vv

sm55,2

1,010204

DQ4v

g2v

DL

4ffh0h

g24v

DLf

g2v

DLfh

g24v

DLfh

g2v

DLfz

g2v

DLfz

4

56

2

3

2

2

ss

22

s

2

s

2

2

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

×=

×=×

=

===′⇒=×π××

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−=⇒=−×

′−⇒+×

′=+′

′=Δ

Page 36: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m6,622055,2

1,0000.1

4027,0026,0h

027,0f1027,1DveR

2

s

5

=××⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=′⇒×=ν′

=′

Exercício 7.17

3301052,1

05,0kD

sm10

10

1010g

4

26

4

3

=

=γμ

=ρμ

−−

Para esse valor de kD o escoamento torna-se hidraulicamente rugoso para 5104Re ×≅ e nesse

caso f = 0,026.

kPa500Pa105208

05,030026,010

g2v

DLfp

sm8

05,010410

DRevvDRe

52

42

56

=×=×××=γ=Δ

=××

=→ν

=−

Exercício 7.18

sm26,3

0625,010104

DQ4v

g2v

kD

LfH

m47,02027,1

1,0300195,0H

0195,0f174.2

106,41,0

kD

1027,110

1,027,1DvRe

sm27,1

1,010104

DQ4v

g2v

DL

fH

HHzp

H

3

2cRe

cRe

2cRe

cRes

cRe

cRetotcRecRep

2

Sucp

Suc

5Suc

56

SucSucSuc

2

3

2Suc

Suc

2Suc

Suc

SuctotSucSucp

cRepSucp99

B

=×π

××=

π=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=××=

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

=×π××

=

=

+++γ

=

Page 37: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

kW1,7107,0

50101010QHN

m50171310

102,0H

m1756,1647,0H

m56,162026,311

0625,06302,0H

02,0f1359

106,40625,0

kD

10210

0625,026,3DvRe

334

B

BB

4

6

B

9,0p

2

cRep

cRe

5cRe

56

cRecRecRe

=××××

γ=

=++×

=

≅+=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×=

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

−−

Exercício 7.19

m45,0203

04,0202,0

g2v

D

Lfh)c

m6021880LLLL

m80302,0

1804,020L

sm3

04,0108,34

DQ4v

m183856HHHfv

gDH2L

g2v

DL

fH)b

02,018

04,09L

Dkf

g2vk

g2v

D

Lf)a

22eqs

eqeqtot4,1

2tot

2

3

2

41p

2p

tot2

totp

eq

s

2s

2eq

33

3

4,1

4,14,1

2

2

22

=××==

=−−=−−=

××=

=×π

××=

π=

=−=−=

=→=

==

=

Exercício 7.20

kPa84,912,9436,2pppsm27,1

1,010104

DQ4v

g2vk

g2v

DLf

pg2

vz0

HHH

atmabseefe

2

3

2

2

s

2e

2

3,0p30

−=−=−=

=×π××

=

++γ

++=

+=

Page 38: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m6,7z2027,116

2027,1

1,06z02,0

10840.91

2027,1z0

02,0f174.2

106,41,0

kD

1027,110

1,027,1vDRe

22

4

2

5

56

=⇒×+×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×+−+=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

Exercício 7.21

Pelo andamento da linha da energia o escoamento é de (B) para (A).

A,B

A,B

pAMB

pAMB

HzHz

HHHH)a

+=+

+=+

Pela diferença da linha da energia para a linha piezométrica:

sm22,020v2,0

g2v2

=×=→=

3861059,21,0

kD

10210

1,02vDRe

4

56

=

×=×

=

)turbina(m8,82,515HzzH

m2,5202

1,0100026,0

g2v

DLfH

A,B

A,B

pBAM

22p

−=+−=+−=

=××==

kW04,1000.1175,08,8107,1510QHN

sL7,15

sm107,15

41,02

4DvQ)b

34TTT

33

22

=×××××=ηγ=

=×=×π

×=π

=

m135202

1,025026,0115

p

g2v

DLf1z

p

g2v

DLf

pg2

vz

HHH)c

2C

2B

C

2C

2C

B

pCB C,B

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×+−=

γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

γ

+=

+=

Exercício 7.22

g2v

D1f

Lh

45tg)a2

fo ==

f = 0,026

Page 39: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

kW26,11059,0

8,33102,210QHN

m8,338,2913H

m8,2912128,05H

m1245LtgH

Hm12110

103,111hpp

phhp

ppH

m8,02047,4

025,08,0025,0

g2v

DLfH

m5HHHHHH

Hg2

vzHHHHH)b

sm102,2

4025,047,4

4DvQ

sm47,4

025,01025,020

f45gDtg2v

334

B

BB

B

5,0p

o5,4p

4,3p4

5

O2H

Hg434HgO2H3

434,3p

22

3,2p

105,0p1,0p10

5,0p

25

5B5,0p5B0

33

22

o

=××××

γ=

=++=

=+++=

==

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

××=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ

γ=

γ−

⇒=γ−γ+

γ−

=

=××==

=−=⇒+=

++=⇒+=+

×=×π

=

=××

==

−−

Exercício 7.23

sm109,7

401,01,0

4DvQ

sm1,0

1032

0032,001,01032

tggDv

tggD

v32tgg2

vvD64

vD64

Re64farminla

tggD2

fvtgLg2

vDLf

tgLhL

htg

36

22

6

22

2

2

22

ff

×=×π

×=π

=

××=

να

=

α=ν

→α=ν

ν==→

α=→α=

α=→=α

Exercício 7.24

gDv32

g2Dv

vD64

g2Dfv

Lh

tg 2

22f ν

ν=

×==α

Page 40: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

280.1125,0

120vgh2

kg2

vkh

m11002,0

125,010010322h

gDvL322

g2v

DL

Dv642

g2v

DLf2h

m2hhsm125,0v

sm25,0

1032100

202,010

32tggDv

22s

s

2

ss

2

5

s

2

22

s

fs

5

22

=′

=⇒′

=

×××−=

′ν−=

′′ν

−=′

′−=

=+

=′⇒=×

××=

να

=

Exercício 7.25

m8,1296,32,0H

m98,11,0

5001,0g2

vDLfh

m6,38,12g2

vkh

energiadalinhadam2,0h

hhhH)bsL1,47

sm0471,0

41,06

4DvQ

sm68,120vm8,1

g2v)a

1,0

22

1

211,0

p

2f

2ss

s

fssp

322

2

=++=

=××==

=×==

→=

++=

==×π

×=π

=

=×=→=

kW5,1000.119,06,30471,010QHN

m6,36,36,128,16,14hHg2

vpH

hHg2

vH

p)d

m6,148,128,1p

x

Hg2

vp)c

4TTT

sp2

0T

sp

21

T0

0

p

210

21,0

21,0

1,0

=××××=ηγ=

=+−−=+−−γ

=

−+=−γ

=+=γ

=

+=γ

Exercício 7.26 Sentido de (5) para(0)

Page 41: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m8,40000.8

103244204p

Hg2

vh

Hg2

vh

pHHH

m44204

1,0220025,0

g2v

dL

fH

025,04200

401,020fg2

vd

Lfh

sm4

1,0104,314

dQ4v

m402,0200hL

htg)a

325

3,5p

22

3,5p

225

3,5p35

22tot

3,43,5p

23,4

2tot

3,43,4f

2

3

2

3,4f3,4

3,4f

−+=γ

−+=

+=+γ

⇒+=

=××==

=×××

=⇒=

=×π

××=

π=

=×=⇒=β

b) A máquina é uma bomba, pois precisa elevar a pressão.

( )

kW10107,0

28104,31000.8QHN

m282048,820H

HzHg2

vHHHH

m8,88,08hhH

m8,020116

g2v

kh

m8201

2,0000.1032,0

g2v

DLfh

032,0000.264

Re64f

arminla000.210

2,01DvRe

sm1

20104

Ddvv)c

33

B

BB

2

B

0,2p0M

23

0,2p0M3

1,2f1,2f0,2p

221,2

1s1s

221,2

1,21,2f

1,2

41,2

1,2

22

1,2

=××××

γ=

=−+=

+=+⇒+=+

=+=+=

=×==

=××==

===

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

Exercício 7.27

m04,0004,010tgLh

zHg2

vpHg2

vzp

HHH

4,1f

14,1p

21

4,1p

24

11

4,1p41

=×=α=

−+=γ

→+=+γ

+=

Page 42: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m75004,0

1,02,0tg

hhLtgLhhh

m2000004,08Lm8tgLh

m80157,010

8,01057,1H

sm0157,0

41,02

4DvQ

sm22,020v2,0

g2v

QN

HQH

N

hHHHHHH

Pa1046,1pm46,1234,02,0p

m34,01,02,004,0H

m1,02,05,0g2

vkh

m2,02,01g2

vkh

3s2seqeqeqf3s2s

6,5f

4

3

B

322

2

BBB

B

BB

6,5f6,5pB6,5p6B4

41

1

4,1p

2

3s3s

2

2s2s

=+

+=→α==+

==→=α=

××=

=×π

×=π

=

=×=→=

γη

=→η

γ=

==→+=+

×−=→−=−+=γ

=++=

=×==

=×==

Exercício 7.28

( ) ( )

75,0k8,02047,4k

2047,4049,08,0

g2v

kg2

v049,0

g2v

kg2

vpp8,0

ppg2

vk

pg2

vpg2

v

sm47,4120v18,02,0

g2v

2,0pp

:caPiezométriLinha

8,0pp

g2v

)1(na)2(

)2(8,0pp

oup108,0p:Manômetro

p101028,0pp8,0pp8,08,0p

)1(pp

g2v

:Pitot

v222,0vv5,41045v

AA

vvAvAv

s

2

s

221

s

21

21

s

222112

21

s2

221

21

1

2112

1221

202

40

244

02m02m0

0121

12221

2212211

=⇒=+×⇒=+

+=γ

−γ

++γ

−γ

⇒+γ

+=γ

+

=×=⇒=+=⇒=γ

−γ

−γ

=

+×=

+−×=⇒+γ−γ=⇒=×γ−×γ+

γ=

γ+

=⇒===⇒=

Page 43: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SIU)

Grandezas Fundamentais [M] massa = kg [L] comprimento = m [T] tempo = s [C] carga elétrica = C [n] quantidade de matéria = mol [T] temperatura absoluta = K [I] intensidade luminosa = cd (candela) Grandezas Derivadas

[v] velocidade = [ ][ ]

0 1 1LM L T

Tms

−= =

[γ ou a] aceleração = [ ] 0 1 2

2 2

LM L T

Tms

−= =⎡ ⎤⎣ ⎦

[F] força = [ ] 1 1 2

2 2

LM M

Tmkgs

L T−× = × =⎡ ⎤⎣ ⎦

= Newton (N)

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

[I] impulso = F t2s

mkg×Δ = × 1 × s 1 1 1M L T−=

Informações fornecidas por:

Rocco Scavone – Físico Nuclear USP-SP [email protected]

Sistema de Unidades

Grandeza Símbolo Unidade CGS MKS MK*S

Comprimento L cm m m

Massa M g kg utm

Força F dina N kgf

Tempo T s s s

Page 44: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Resolvidos 1.1 – A massa específica de um fluido é 3117 utm m . Determinar o peso específico e o peso

específico relativo ( )29,8g m s= .

2

3 2

3117 utm9,8??

utm kgf117 9,8 117

r

mg

g

m s

mm s

ρ

γγ

γ ρ γ γ

=

===

×= × ⇒ = × ⇒ =

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

2s 9,8 m×3m m× 2s

2

3

kg

kgf1.146,6

1 f.146,6r r

H O

γγ γγ

⇒ =

= ⇒ =3m

1000 kgf 3m1,1466rγ⇒ =

Resolvidos 1.2 – A viscosidade de um óleo é 20,028m s , seu peso específico relativo é 0,9. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas MK*S e CGS.

2

2

2

kgf utm

2

2

2

3 3

3

3

2

3

2

υ = 0,028m0,9?9,8

υ υ

kgf kgf0,9 1000 900

900 utm91,83679,8

utmυ 0,028 91,8367 2,5714

kgf

r

r H O

sm

H O

m s

m

s

g m s

m m

mgg m

ms m

γμ

μ μ ρρ

γγ γ γ γ γ γγ

γγ ρ ρ ρ ρ

μ ρ μ μ

×=

==

=

= ⇒ = ×

= ⇒ = × ⇒ = × ⇒ =

= × ⇒ = ⇒ = ⇒ =

= × ⇒ = × ⇒ =s

2skgf××

1

m 3m×[ ]2 2

kgf2,5714 M K*

2,571kgf

4

s Sm

μ

μ

×⇒ =

=2m

s× 2m1× 2 2

9,81100

Ncm

×510 diN

na1

× [ ]2

dina252,2543 CGSscm

μ ×⇒ =

1kgf

Page 45: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

1.1- A viscosidade dinâmica de um óleo é 32

kgf10 sm

− × e o peso específico relativo é 0,82. Determinar a

viscosidade cinemática nos sistemas MK*S e CGS. Dados:

2

2 310 ; 1000kgfH Og m s mγ= = .

2

2

3 2

3

2

3 3 3

utm k

23

3 2 2 3

1 Sistema de unidades: MK*S10 kgf

0,82

1000 kgf

10υ = ?

2 Análise Física

kgf kgf0,82 0,82 1000 8201000kgf

kgf 820 kgf= 82 kg0 10 821

f0

óleo

r

H O

rH O

s m

m

g m s

m m

s

m

m mgm s m s m m

γ

γ

γ γγ γ γγ

γ ρ ρ ρ ρ

=

μ = ×=

=

=

= ⇒ = ⇒ = × ⇒ =

× ⇒ = × ⇒ = ⇒ = ×

2f

3

g

3

3 2

3

utm82

10μ μ 10 kgfυ= υ= υ υ82 u

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

fkgtm

sm

m

s mm

ρ

ρ ρ ρ

−−

×

⇒ =

×⇒ ⇒ = ⇒ =

=

s 2m×

gfk82ρ = 2s×1 4m

25

2

52

υ 1, 22 10

3 Acerto de Unidades: [CGS]

υ 1,22 10

m

m

⇒ = ×

= ×

s

2

2

21001

cms m

×2

υ 0,122 υ 0,122stokecms

⇒ = ⇒ =

Page 46: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

1.2 – O peso de 3 de uma substancia é 2,7kgf. A viscosidade cinemática é 3dm 5 210 m s− . Se

210g m s= qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MK*S, S.I. e em 2

minNkm

× ?

3 3

1 Sistema de Unidades: [MK*S]

V 3 V 3dm dm= ⇒ =3

3 3dm1

10m

×

2

3

5 2

2

3 3

utm kgf

3

3 2 2 3 3

2 25 5

3

2

V 0,003

2,7 kgfυ 10

10?

2 Análise Física

2,7 kgf kgf900V 0,003

kgf 900kgf utm900 10 90 9010

utmυ 10 1

kgf

0 9090utm

sm

sm

m

Gm s

g m s

Gm m

m mgm s m s m m

m ms m s m

μ

γ γ γ

γ ρ ρ ρ ρ ρ

μ μ μρ

= ×

− −

⇒ =

=

=

==

= ⇒ = ⇒ =

= × ⇒ = × ⇒ = ⇒ = × ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ×

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

3510μ −⇒ =

2ms 3m

kgf90× 1

2s×

1

42

4

kgf9 10 [M K* ]

3 Acerto de Unidades

9 10

m

s Sm

μ

μ

×⇒ = ×

= ×kgf

2

10 N1

sm×

×fkg

( )

2NP

3 3

a

2

3

9 10 9 10 Pa [M K ] . .

9 1

N

0

m

s s S S Im

μ μ

μ

− −

=

×⇒ = × ⇒ = × ×

= ×N

2

sm× 510 dina

21m×

N2

2 2 2

3

dina9 10 [ ]100

N9 10

s CGS

s

cm cmμ

μ

×⇒ = ×

×= ×

21000×

2m1min60 s

× 2 2

N min1501km km

μ ×⇒ =

2m

Page 47: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

1.3 – Um pistão cai dentro de um cilindro com velocidade constante no valor de 10 m sπ

. Entre o pistão e o

cilindro existe uma película de óleo com viscosidade cinemática 3 2υ 10 m s−= e 3900kgfóleo mγ = .

Sendo o diâmetro do cilindro 10,2 cm. Determinar o peso do pistão para 210g m s= . O diâmetro do pistão10 cm, seu comprimento 5 cm.

3 2

2

1 Sistema de Unidades: [MKS] (S.I.)

10

υ 1010

900kgf

óleo

v m s

m sg m s

π

γ

=

=

=

= 3

10 N1m

×gfk 3

N9000

10

óleo m

Di

γ⇒ =

=1

100m

×mcmc

0,1

5

Di m

L

⇒ =

=1

100m

×cmmc

0,05

10,2

L m

De

⇒ =

=

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

mc 1100

mc0,102De m⇒ =

3 2

3

2 Análise Física

F 0 P Ft 0 P Ft

Ft AA

0,0020,102 2 0,1 0,0012

A A 0,1 0,05 A 5 10

υ υ υ 10

contato

contato

contato contato contato

Di LDe Di

v

De Di m m m m

Di L m m m

mg

π

μ

π π π

μ γμ ρ μ μρ

= ⇒ − = ∴ =

= τ×= × ×

= + +

τ = ×

= + + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

= × × ⇒ = × × ⇒ = × ×

= ⇒ = × ⇒ = × ⇒ =

ε ε

ε

ε ε ε ε ε

32

2m2 39000 N 1010

ms m s

μ −× ⇒ =s 3m

N9000× 1

21 s×

1

2

10

N0,9 0,9Pa

10

0,9Pa 0,9Pa0,001

m

s sm

m sv sm

μ μ

πμ μ

×⇒ = ⇒ = ×

τ = × ⇒ τ = = × × ⇒ τ = ×ε

s 10 mπ×1

0,001m×

sPa9000

PaFt A Ft 9000contato π

π⇒ τ =

= τ× ⇒ = 35 10 π−× ×2m

2 NFt 45m× ⇒ = 2m× Ft 45 N

P Ft P 45 N

⇒ =

= ⇒ =N

1kgf10

× P 4,5kgf⇒ =

Page 48: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

1.4 – A placa retangular da figura escorrega sobre um plano inclinado com velocidade constante. A placa

tem 4m por 5m e se apóia sobre uma película de óleo de 32

kgf10 sm

μ − ×= e 3900 kgf mγ = . Se o peso

da placa é 10kgf, quanto tempo levará para que sua aresta dianteira alcance o fim do plano inclinado?

3 2

3

2

3

1 Sistema de Unidades

10 kgf900 kgf

10 kgf

A 4 5 A 20

1 10

placa

placa placa

s mm

G

m

mm m

μ

γ

= ×

==

= × ⇒ =

= ⇒ =ε ε

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

( )na direçãodo movimento

contato

contato

contato2

contato

2 Análise Física

F 0 velocidade constante, aceleração = 0

sen 30

Ft A Ft 0 Ft Gt

Gt G sen 30 Gt 10 0,5 Gt 5kgf

Ft A

A 4 5 Ft

A 20

Gt G

Gt

v

m

μ

μ

=

= °

= τ× ∴ − = ⇒ =

= ° ⇒ = × ⇒ =

= τ×

⎫τ = × ⎪⎪

= × ⇒ =⎬⎪⇒ = ⎪⎭

εcontato

3A 5kgf 10v −× × ⇒ =ε

kgf5v⇒ =

gf20 km×

310v−

×kgf s× 2m

2m20

m× 0, 25

lei dos senos:10 10 10 20

sen 30 sen 90 0,5 1 0,5

20

mvs

SS v t tv

S S S S m

S

m

S v t tv

t

⇒ =×

= × ⇒ =

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =° °

= × ⇒ =

=

s

0, 25 m80 ou 1min. 20t t s

s⇒ = =

Page 49: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Elementos e Mecânica dos Fluídos

1.5 – O peso G da figura, ao descer, gira o eixo que está apoiado em dois mancais cilíndricos de dimensões conhecidas, com velocidade angular conhecida ω . Determinar o valor do peso G desprezando a rigidez e o atrito na corda e supondo que o diagrama de velocidade no lubrificante seja linear. Dados:

3 2 208 10 kgf ; 0,02 ; 0,100 ; 0,102 ; 0,1 ;i es m D m D m D m l m rd sμ ωπ

−= × × = = = = =

[ ]

( ) ( )0

1 sistema de unidades: MK*S

2 Análise FísicaM 0 dir.mov.

G Ft2 2

0,01G 0,05Ft 0

G 5Ft

D Di

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− × + × ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− + = ⇒

=

0,102 2 0,100 0, 001De Di m= + + ⇒ = × + ⇒ =ε ε ε ε

0

30

20 0,100

1

12 2

8 0

v

Di rd m mv v vs s

v

μ

ω ππ

μ −

τ = ×

⎛ ⎞= × ⇒ = × ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

τ = × ⇒ τ = ×

ε

εkgf

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

s×2

1

m

mπ× s

31 10−× m 2

contatocontato

contato contato2duas áreas de contatoou seja dois mancais

2contato contato contato

contato

kgf8

Ft Ft AA

kgfFt 2 A Ft 8 A

A L A 0,100 0,100 A 0,01

Ft 2 A Ft 8

m

m

Di m m m

π

π

π π π

⇒ τ =

τ = ⇒ = τ×

= τ× ⇒ = ×

= × × ⇒ = × × ⇒ =

= τ× ⇒ = π2

kgfm

2 0,01× × π 2m Ft 0,16 kgf⇒ = ∴

G 5Ft G 5 0,16kgf G 8kgf= ⇒ = × ⇒ =

Page 50: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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ËÌ»�À�Í�¼ Í[Ê$Í�Æ�Á8¾�Ã=ÎÏ Àu¼ Ð$ÂÑPÒ]Ó�ÔÕ�Ö�× Ò�Ø�Ò Ö ÒÙÒ-ÚÜÛhÝ�Þ�ß�ÝàØ Ö�á]â Ò ã�äÜå�æ Õ�Ö Ò�çè�éÒ á�èuá�ê�ë"á:Ö æ Õ Ò�ì �����]�u� Õ[í�× çè�éÒ á-í�á�îµ×µâ Ö�áïñð å ê�í Ò:æ Õuê Ó á�ò°í8Õ ð Ôó òô׬è Ò$õ8ö�÷ÜÒ îµîµ×¬í Òuø0ö�Þ Õuòôê8׬è�ù5Õhú Ò î¬ù�Õ�Ö ã

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Page 51: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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Page 52: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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Page 53: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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Page 55: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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Page 56: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

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Page 57: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA – UNIDADE

SÃO JOSÉ - ÁREA DE REFRIGERAÇÃO E AR CONDICIONADO

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – MECÂNICA DOS FLUIDOS

Material digitado pelo aluno Guilherme Lima - RAC

(1) Qual é a força F1 necessária para o equilíbrio?

Solução:

NFFFgmF

A

F

A

F carro 5,4905

5,2452

5

4905

5,05

81,9.500

5,055,01

111

2

2

1

1

(2) Uma caixa d’água é enchida em 30 minutos. Qual a vazão da torneira se a caixa tem

2m3 ?

Solução:

hmhtempo

mvolumevazão /4

0,5

2 33

(3) Calcule a velocidade da água no ponto 2.

Solução:

smVAVAV 4001,0

2,0.222211

Page 58: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

(4) Qual a velocidade de saída da água no ponto 2?

Solução:

Considerando-se a equação de Bernoulli e uma linha de corrente ligando 1 e 2, tem-se:

2

2

221

2

11

22gz

Vpgz

Vp

Como a densidade ‘ ’ da água é a mesma, 1V = 0 e a pressão a qual a água está submetida é a

mesma em 1 e 2, temos a equação de Bernoulli modificada:

smzzgV 38,105,0681,9.22 212

(5) Qual o tempo para encher o tanque?

Solução:

Volume da caixa: 0,8x0,8x2 = 1,28 m3 e ainda:

Vazão na tubulação = Velocidade x Área da seção:

smDV

Q 322

0012,04

)032,0.(14,3.5,1

4

, Agora:

1 segundo ----------------------------- 0,012 3m

‘x’ segundos -------------------------- 1,28 3m

10660012,0

28,1x

Tempo = 1066 segundos = 17,7 minutos.

Page 59: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

EXERCÍCIOS

1- Qual a pressão em um ponto submerso 35m de profundidade na água em um local cuja pressão

atmosférica é de 100 kPa?

2- Os êmbolos de uma prensa hidráulica são formados por dois cilindros com raios de 15cm e

200cm. Para equilibrar um corpo de 8000kg colocado no êmbolo maior é preciso aplicar no

êmbolo menor uma força de quantos Newtons?

Page 60: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Mecânica dos fluidos – Prof. Jesué Graciliano da Silva – CEFET-SC – São José

2

3- Uma esfera flutua em equilíbrio na água de modo que o volume imerso é 25% de seu volume

total. Qual a relação entre as densidades da água e da esfera?

4- Seja um tubo em “U” com dois líquidos A e B não miscíveis de densidades diferentes.

Considerando que HB=70cm e HA=40cm, e que a densidade do fluido B é de 900kg/m3, qual é

a densidade do fluido A ?

5- Uma bomba d’água tem potência de 4CV. Considerando que a mesma é utilizada durante 4h por

dia, calcule o consumo mensal de operação. Considere 31 dias no mês e o custo de 1kWh de R$

0,32. (1CV ~ 735W)

Page 61: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Mecânica dos fluidos – Prof. Jesué Graciliano da Silva – CEFET-SC – São José

3

7- Qual a pressão absoluta do ar dentro do tubo nas seguintes condições: Considere a densidade do

óleo como sendo 700kg/m3, a densidade do Hg (mercúrio) como sendo 13600kg/m

3. A constante de

aceleração gravitacional é 9,81m/s2 e a pressão atmosférica é a padrão 100000 pascals.

óleo

HgHg

12

2518

AR Pa

medidas em centímetros

45

Page 62: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Mecânica dos fluidos – Prof. Jesué Graciliano da Silva – CEFET-SC – São José

4

Page 63: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Mecânica dos fluidos – Prof. Jesué Graciliano da Silva – CEFET-SC – São José

5

Page 64: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

152 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

2.14.3 Exercícios resolvidos 2.14.3.1 Pede-se o módulo da força que deve ser aplicada na haste do pistão

esquematizado abaixo, para que o mesmo permaneça em equilíbrio. Dê o seu valor nos sistemas SI e CGS.

Solução:

-0,03.sen30.γH2O

pgás 1 patm

+ 0,065 . γH2O

patm + 0,065 . γH2O - 0,03.sen30.γH2O = Pgás 1

Considerando escala efetiva, temos: 0 + 0,065 . 103

- 0,03. 0,5 . 103 = Pgás 1

Page 65: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

153 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

Pgás 1 = 50 kgf / m2

F2

Ah = 4 cm2

Ap = 10 cm2

F1

F = ?

F1 = Pgás 1 . Ap = 50 . 10-3 kgf F2 = par comp. . (Ap - Ah) = 10000 . (10-3 - 4.10-4) = 6 kgf Condição de equilíbrio: F1 = F2 + F ∴ F = - 5,95 kgf O sinal negativo indica que o sentido real é contrário ao adotado. Como 1kgf = 9,8 N e 1N = 105 dina, temos: SI → F = 58,31 N CGS → F = 58,31 . 105 dina 2.14.3.2 O dispositivo esquematizado a seguir foi elaborado para ampliação de uma

força. Na situação representada pela figura, ao aplicar-se uma força F = 20 N, sustenta-se um peso Ge = 100 N.

Dados:

γ γr H O= =0 85 98102, ; N / m ; d = 5 cm ; De = 25 cm3

a) Equacione o problema e comprove o valor da força F; b) Desejando-se reduzir a intensidade da força F a metade, apresentou-se duas

alternativas: 1°) duplicar a área do pistão (Ap) 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) Mantendo-se os demais dados, analise as duas alternativas e de seu parecer sobre elas;

Page 66: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

154 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

c) Adicionando-se um peso G = 20 N sobre Ge e eliminando-se por alguns

instantes a força F observou-se que o êmbolo desceu z = 1 cm, alterando a cota de 0,5 m, antes de aplicarmos uma nova força F = 14,32 N que restabeleceu o equilíbrio. Equacione, mostre as alterações das cotas e comprove o valor da força F.

d) Se ao invés do pistão ter descido, houvesse subido z = 1 cm, afirma-se que

teríamos um aumento da força F. Comprove esta afirmação, calculando o valor da força F para a nova situação de equilíbrio.

Considere Gtotal = Ge + G = 120 N

Observação: Considera-se Ah = 32,22 cm² na solução, tanto no item c como

do item d..

Solução: a) p1 - p2 = γ × h par comp. - pe = γ γ × h r H× 2O

O par comp. = γ γ × h + r H× 2GA

e

e

pelo conceito clássico de pressão => p e pela estática dos

fluidos => ∑ ∴ F

FnA

= ∴ × Fn = p A

Fcorpo = 0 1 = F2 + F, onde: F1 = par comp. × Ap

Page 67: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

155 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

F2 = par comp. × (Ap - Ah) par comp. × Ap = par comp. × (Ap - Ah) + F F = par comp. × Ah

Par comp. = γ γ h + r H× 2 O × GA

e

e = 0,85 × 9810 × 0,5 + 100

0 254

2π × ,

par comp. = 6.206,43 N/m² F = 6.206,43 × 32,22 × 10 => F = 20 N - 4

b) 1°) duplicar a área do pistão : Como a força F não depende de Ap (F = par comp. × Ah), somente a sua duplicação

não acarreta nenhuma alteração. 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) do item a) F = par × Ah F = 6206,43 × 32,22 × 10 / 2 - 4

F = 10 N => o.k.! a proposição está correta.

c) Ge’ = Ge + 20 N = 120 N ⇒ êmbolo desceu z = 1 cm ∴ irá alterar as demais cotas

h’= h - z - z’= 0,5 - 0,01 - z’

z . π.D2e4

= z’. π. d2

4 ∴ 0,01 . π.252

4 = z’. π.52

4 ∴ z’= 0,25m

h’= 0,5 - 0,01 - 0,25 ∴ h’= 0,24 m

Page 68: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

156 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

p’ar =γR . γH2O . h’+ 120

.0,252π4

=0,85 . 9810 . 0,24 + 120

.0,252π4

∴ p’ar = 4445,86 N/m2

F’= par . Ah = 4445,86 . 32,22 . 10-4 ∴ F’= 14,32 N c.q.d. d) Ge = 120 N e o êmbolo subiu z = 1cm :

h’= h + z + z’= 0,50 + 0,01 + z’ z . De

2 = z’. d2 ∴ 0,01 . 252 = z’. 52 ∴ z’= 0,25 m ∴ h’= 0,76 m

par = 120

0 252

4π. ,

+ 0,85 . 9810 . 0,76 ∴ par = 8781,88 N/m2

F = par . Ah = 8781,88 . 32,22 . 10-4 ∴ F = 28,30 N ∴ comprovado que houve aumento da força. 2.14.3.3 Considerando uma linha de ar comprimido instalada em um local de altitude de 3600 m e desejando determinar a variação de pressão entre duas seções de seu escoamento, instalou-se o manômetro diferencial esquematizado a seguir.

Page 69: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

157 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

a) Na situação representada a variação de pressão obtida foi de 1,42 psi (psi=lbf/pol2).

Equacione e comprove este valor. b) Se a linha de ar comprimido estivesse em um local de altitude igual a 13200 m, qual

seria o valor da variação de pressão mencionada no item anterior. c) Considerando a existência de um barômetro no local descrito no item b), qual seria a

sua leitura em mm Hg. Solução: a) pA - pB = γ . h = γR . γH2O . 2 . sen 30º = 1,0 . 1000 . 2 . 0,5 ∴ pA - pB = 1000 kgf/m2 10330 kgf/m2 ⇔ 14,7 psi ∴ x = 1,42 psi , o que implica dizer que a resposta está certa. 1000 kgf / m2 ⇔ x b) Como o que foi determinado é uma variação de pressão (pA - pB) não teríamos

nenhuma variação do valor lido no item a).

c) pz = 0,235 . e-

-9,81287.218

.( )13200 10668−

∴ pz = 0,158 atm. 760 mm Hg ⇔ 1 atm. ∴ x = 120,1 mm Hg x ⇔ 0,158 atm.

Page 70: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

158 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

2.14.3.4 Deseja-se instalar um dispositivo que opera com uma pressão mínima de 7 mca na seção (2) do esquema abaixo. Para verificar se é viável ou não instalá-lo, pergunta-se:

a) Qual a diferença de pressão p1 - p2 ? b) Qual o valor da pressão do gás A? c) Qual é a pressão p1 ? d) Qual a pressão p2 ? Dados: γH2O = 103 kgf/m3 e γR = 0,68027.

Solução: a) p1 - 2,08 . γH2O + 1,47 . γH2O . γR + 0,61 . γH2O = p2

p1 - 2,08 . 1000 + 1,47 . 1000 . 0,68027 + 0,61 . 1000 = p2 p1 - p2 = 470 kgf/m2

b) Pgás A = FA=

202010 4.

Pgás A = 104 kgf/m2

c) p1 + 2. γH2O = Pgás A

p1 + 2 . 1000 = 10000 p1 = 8000 kgf/m2

d) p1 - p2 = 470

Page 71: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

159 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

8000 - p2 = 470 p2 = 7530 kgf/m2 = 7,53 mca ∴ pode ser instalado o dispositivo.

2.14.3.5 Sabendo-se que para o dispositivo esquematizado abaixo, os pistões encontram-se em repouso e não existe o escoamento d’água, pede-se: a) a força F1 que age na área frontal do pistão (1); b) a pressão na seção (2); c) a pressão do gás B; d) a pressão do gás A; e) a altura H. Dados: pm 1 = 30 mca; A1 = 10 cm2 ; pm 2 = 15 mca; A2 = 5 cm2 ; Ah = 2 cm2

e γH2O = 1000 kgf/m3.

Page 72: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

160 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

a) F1 = p1 . A1 = pm 1 . A1 = 30 . 103 . 10 .10-4

∴ F1 = 30 kgf

b) Pgás C + γH2O . 5 - γH2O . 2 = p2

15 . 1000 + 1000 . 5 - 1000 . 2 = p2 ∴ p2 = 18000 kgf / m2

c) p2 - γH2O . h = Pgás B

18000 - 1000 . 11 = Pgás B

∴ Pgás B = 7000 kgf/m2

Como o sistema encontra-se em equilíbrio, podemos escrever que: F1 + FAh 2 = FB + FAh 1 FB = Pgás B . A2 = 7000 . 5.10-4 = 3,5 kgf ∴ 30 - Pgás A . (A1 - Ah) + Pgás A . (A2 - Ah) - 3,5 = 0 30 - Pgás A . 8.10-4 + Pgás A . 3.10-4 - 3,5 = 0 5.10-4 . Pgás A = 26,5 ∴ Pgás A = 53000 kgf/m2

Page 73: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

152 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

2.14.3 Exercícios resolvidos 2.14.3.1 Pede-se o módulo da força que deve ser aplicada na haste do pistão

esquematizado abaixo, para que o mesmo permaneça em equilíbrio. Dê o seu valor nos sistemas SI e CGS.

Solução:

-0,03.sen30.γH2O

pgás 1 patm

+ 0,065 . γH2O

patm + 0,065 . γH2O - 0,03.sen30.γH2O = Pgás 1

Considerando escala efetiva, temos: 0 + 0,065 . 103

- 0,03. 0,5 . 103 = Pgás 1

Page 74: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

153 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

Pgás 1 = 50 kgf / m2

F2

Ah = 4 cm2

Ap = 10 cm2

F1

F = ?

F1 = Pgás 1 . Ap = 50 . 10-3 kgf F2 = par comp. . (Ap - Ah) = 10000 . (10-3 - 4.10-4) = 6 kgf Condição de equilíbrio: F1 = F2 + F ∴ F = - 5,95 kgf O sinal negativo indica que o sentido real é contrário ao adotado. Como 1kgf = 9,8 N e 1N = 105 dina, temos: SI → F = 58,31 N CGS → F = 58,31 . 105 dina 2.14.3.2 O dispositivo esquematizado a seguir foi elaborado para ampliação de uma

força. Na situação representada pela figura, ao aplicar-se uma força F = 20 N, sustenta-se um peso Ge = 100 N.

Dados:

γ γr H O= =0 85 98102, ; N / m ; d = 5 cm ; De = 25 cm3

a) Equacione o problema e comprove o valor da força F; b) Desejando-se reduzir a intensidade da força F a metade, apresentou-se duas

alternativas: 1°) duplicar a área do pistão (Ap) 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) Mantendo-se os demais dados, analise as duas alternativas e de seu parecer sobre elas;

Page 75: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

154 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

c) Adicionando-se um peso G = 20 N sobre Ge e eliminando-se por alguns

instantes a força F observou-se que o êmbolo desceu z = 1 cm, alterando a cota de 0,5 m, antes de aplicarmos uma nova força F = 14,32 N que restabeleceu o equilíbrio. Equacione, mostre as alterações das cotas e comprove o valor da força F.

d) Se ao invés do pistão ter descido, houvesse subido z = 1 cm, afirma-se que

teríamos um aumento da força F. Comprove esta afirmação, calculando o valor da força F para a nova situação de equilíbrio.

Considere Gtotal = Ge + G = 120 N

Observação: Considera-se Ah = 32,22 cm² na solução, tanto no item c como

do item d..

Solução: a) p1 - p2 = γ × h par comp. - pe = γ γ × h r H× 2O

O par comp. = γ γ × h + r H× 2GA

e

e

pelo conceito clássico de pressão => p e pela estática dos

fluidos => ∑ ∴ F

FnA

= ∴ × Fn = p A

Fcorpo = 0 1 = F2 + F, onde: F1 = par comp. × Ap

Page 76: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

155 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

F2 = par comp. × (Ap - Ah) par comp. × Ap = par comp. × (Ap - Ah) + F F = par comp. × Ah

Par comp. = γ γ h + r H× 2 O × GA

e

e = 0,85 × 9810 × 0,5 + 100

0 254

2π × ,

par comp. = 6.206,43 N/m² F = 6.206,43 × 32,22 × 10 => F = 20 N - 4

b) 1°) duplicar a área do pistão : Como a força F não depende de Ap (F = par comp. × Ah), somente a sua duplicação

não acarreta nenhuma alteração. 2°) reduzir a área da haste à metade (Ah/2) do item a) F = par × Ah F = 6206,43 × 32,22 × 10 / 2 - 4

F = 10 N => o.k.! a proposição está correta.

c) Ge’ = Ge + 20 N = 120 N ⇒ êmbolo desceu z = 1 cm ∴ irá alterar as demais cotas

h’= h - z - z’= 0,5 - 0,01 - z’

z . π.D2e4

= z’. π. d2

4 ∴ 0,01 . π.252

4 = z’. π.52

4 ∴ z’= 0,25m

h’= 0,5 - 0,01 - 0,25 ∴ h’= 0,24 m

Page 77: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

156 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

p’ar =γR . γH2O . h’+ 120

.0,252π4

=0,85 . 9810 . 0,24 + 120

.0,252π4

∴ p’ar = 4445,86 N/m2

F’= par . Ah = 4445,86 . 32,22 . 10-4 ∴ F’= 14,32 N c.q.d. d) Ge = 120 N e o êmbolo subiu z = 1cm :

h’= h + z + z’= 0,50 + 0,01 + z’ z . De

2 = z’. d2 ∴ 0,01 . 252 = z’. 52 ∴ z’= 0,25 m ∴ h’= 0,76 m

par = 120

0 252

4π. ,

+ 0,85 . 9810 . 0,76 ∴ par = 8781,88 N/m2

F = par . Ah = 8781,88 . 32,22 . 10-4 ∴ F = 28,30 N ∴ comprovado que houve aumento da força. 2.14.3.3 Considerando uma linha de ar comprimido instalada em um local de altitude de 3600 m e desejando determinar a variação de pressão entre duas seções de seu escoamento, instalou-se o manômetro diferencial esquematizado a seguir.

Page 78: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

157 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

a) Na situação representada a variação de pressão obtida foi de 1,42 psi (psi=lbf/pol2).

Equacione e comprove este valor. b) Se a linha de ar comprimido estivesse em um local de altitude igual a 13200 m, qual

seria o valor da variação de pressão mencionada no item anterior. c) Considerando a existência de um barômetro no local descrito no item b), qual seria a

sua leitura em mm Hg. Solução: a) pA - pB = γ . h = γR . γH2O . 2 . sen 30º = 1,0 . 1000 . 2 . 0,5 ∴ pA - pB = 1000 kgf/m2 10330 kgf/m2 ⇔ 14,7 psi ∴ x = 1,42 psi , o que implica dizer que a resposta está certa. 1000 kgf / m2 ⇔ x b) Como o que foi determinado é uma variação de pressão (pA - pB) não teríamos

nenhuma variação do valor lido no item a).

c) pz = 0,235 . e-

-9,81287.218

.( )13200 10668−

∴ pz = 0,158 atm. 760 mm Hg ⇔ 1 atm. ∴ x = 120,1 mm Hg x ⇔ 0,158 atm.

Page 79: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

158 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

2.14.3.4 Deseja-se instalar um dispositivo que opera com uma pressão mínima de 7 mca na seção (2) do esquema abaixo. Para verificar se é viável ou não instalá-lo, pergunta-se:

a) Qual a diferença de pressão p1 - p2 ? b) Qual o valor da pressão do gás A? c) Qual é a pressão p1 ? d) Qual a pressão p2 ? Dados: γH2O = 103 kgf/m3 e γR = 0,68027.

Solução: a) p1 - 2,08 . γH2O + 1,47 . γH2O . γR + 0,61 . γH2O = p2

p1 - 2,08 . 1000 + 1,47 . 1000 . 0,68027 + 0,61 . 1000 = p2 p1 - p2 = 470 kgf/m2

b) Pgás A = FA=

202010 4.

Pgás A = 104 kgf/m2

c) p1 + 2. γH2O = Pgás A

p1 + 2 . 1000 = 10000 p1 = 8000 kgf/m2

d) p1 - p2 = 470

Page 80: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

159 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

8000 - p2 = 470 p2 = 7530 kgf/m2 = 7,53 mca ∴ pode ser instalado o dispositivo.

2.14.3.5 Sabendo-se que para o dispositivo esquematizado abaixo, os pistões encontram-se em repouso e não existe o escoamento d’água, pede-se: a) a força F1 que age na área frontal do pistão (1); b) a pressão na seção (2); c) a pressão do gás B; d) a pressão do gás A; e) a altura H. Dados: pm 1 = 30 mca; A1 = 10 cm2 ; pm 2 = 15 mca; A2 = 5 cm2 ; Ah = 2 cm2

e γH2O = 1000 kgf/m3.

Page 81: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

160 Curso Básico de Mecânica dos Fluidos

a) F1 = p1 . A1 = pm 1 . A1 = 30 . 103 . 10 .10-4

∴ F1 = 30 kgf

b) Pgás C + γH2O . 5 - γH2O . 2 = p2

15 . 1000 + 1000 . 5 - 1000 . 2 = p2 ∴ p2 = 18000 kgf / m2

c) p2 - γH2O . h = Pgás B

18000 - 1000 . 11 = Pgás B

∴ Pgás B = 7000 kgf/m2

Como o sistema encontra-se em equilíbrio, podemos escrever que: F1 + FAh 2 = FB + FAh 1 FB = Pgás B . A2 = 7000 . 5.10-4 = 3,5 kgf ∴ 30 - Pgás A . (A1 - Ah) + Pgás A . (A2 - Ah) - 3,5 = 0 30 - Pgás A . 8.10-4 + Pgás A . 3.10-4 - 3,5 = 0 5.10-4 . Pgás A = 26,5 ∴ Pgás A = 53000 kgf/m2

Page 82: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Capítulo 7

ESCOAMENTO PERMANENTE DE FLUIDO INCOMPRESSÍVEL EM CONDUTOS FORÇADOS

No Capítulo 4 apresentou-se a equação da energia com essas hipóteses, resultando: :

2,1p2M1 HHHH +=+

Essa equação permite determinar ao longo do escoamento alguma das variáveis que contém, isto é: HM, v, p ou z. Entretanto, esta tarefa somente será viável se for conhecida a perda de carga

2,1pH ao longo do escoamento.

Este capítulo dedica-se, fundamentalmente, ao estudo desse termo para condutos forçados, estabelecendo as bases do cálculo de instalações hidráulicas. A definição das linhas da energia e piezométrica estabelece uma maneira interessante de visualização do andamento da energia e da pressão ao longo do escoamento, que pode facilitar a solução de problemas voltados à solução de instalações. Exercício 7.1

1,0

1,0

f11

211

00

200

p10

hzp

g2v

zp

g2v

HHH

++γ

=+γ

+=

Como se trata de um gás, a diferença de cotas pode ser desprezada desde que esta não seja muito grande. Considerando a mina como um reservatório de grandes dimensões, v0 ≅ 0 e, na escala efetiva p1 = 0, obtêm-se:

H1

H1

p22

H

2110

DLf

pg2v

DLfg2

vg2

vDLf

g2vp

γ=

+α=→+

α=

γγ

Como f = f(Re) e Re = f(v), o problema deverá ser resolvido por tentativas.

.dianteporassimefeRvfseadotaffse,resolvidoestáffSe

fRevfseAdota′′→′→′→′−→′≠=′

′→→→−

Uma forma de obter rapidamente o resultado, consiste em adotar o f correspondente à parte

horizontal da curva de k

DH calculado para o problema. Observa-se que se o Re for

relativamente grande, o f estará nessa parte da curva, o que evitará novas tentativas.

m6,06,04

6,06,04A4D

Pa000.22,0000.10hp

H

OHOH0 22

=×××

=

=×=γ=

Page 83: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Logo:f3,8331

150.3

6,0500f1

7,12000.220

v+

=+

×=

023,0fseadotaRouseMoodydo60010

6,0k

D:Como

3H =−−→==

55

H 105,710

6,04,12vDReseverificae

sm4,12

023,03,8331150.3v ×=

×=

ν=−=

×+=

Ao observar o Moody-Rouse nota-se que o Re é suficientemente alto para que se possa adotar o f correspondente à parte horizontal da curva de DH/k (escoamento hidraulicamente rugoso). Nesse caso, confirma-se o f e, conseqüentemente, o valor da velocidade. Assim:

sm5,46,06,04,12vAQ

3=××==

Exercício 7.2

m32024,41

03,0202,01

g2v

DL

DL

f1h

g2vk

g2v

DL

fg2

vhzHHH

m105,1000.203,0

000.2D

k000.2k

D:RouseMoody

02,0f

1027,110

03,024,4vDRe

m3,137,1125hm7,112024,45

03,01202,0H

sm24,4

03,01034

DQ4v

g2vk

DLfH

m2510310

1075,0QNHQHN

HHhzz

HHHH

22

H

2,1

H

2,10

2

1s

2

H

2,12

002,0p20

5HH5

6

2

7,0p

2

3

2

2

sH

7,0p

34

3

BB

7,0pB01

7,0p7B0

=×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

++==⇒+=

×===⇒=−⎪⎭

⎪⎬⎫

=

×=×

=

=−=Δ⇒=×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×=

=×π××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=×××

=⇒γ=

−=Δ=−

+=+

−−

Exercício 7.3

a) Obviamente a máquina é uma bomba, pois .pp entradasaída >

Page 84: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

γ−

=→=+ esBsBe

ppHHHH

( )m2,25

000.101052,2H

Pa1052,2101036,12ppp22p5

B

545essO2HHge

=

×=−××=−→=×γ−×γ+

( )

04,02238

2,191,020

Lv

hgD2f

g2v

DLfh

m2,1962,25hHh

m62025,35,132102h

sm2

1,0

10164

D

Q4v

g2vkhehhH

HHHHHH)b

22fH

2

Hf

spf

2s

2

3

2

2sssfp

pBp8B0

8,0

8,0

8,08,0

××==→=

=−=−=

=+×++×=

=×π

××=

π=

=+=

=→+=+

∑∑

∑∑∑−

Exercício 7.4

kPa5,15Pa1055,1pm55,12045,15,1

06,02054,015,05,2

p

g2vk

DL

f1zzp

g2vk

g2v

DL

fzp

g2v

zHHH)b

sL1,4

sm101,4

406,045,1

4DvQ

fdevaloroconfirmaqueo107,810

06,045,1vDRe:oVerificaçã

sm45,1

5,1506,04054,0

220v

054,0f:seadotaRouseMoodydo4015,06

kDCom

kDLf

gH2v

g2vk

DLfH

m2HH5,05,2HHH)a

4A

2A

2A

1s

A,1A0

A

A

1

2

s

2A,1

AA

2A

0A,0pA0

33

22

46

s

8,0p2

s8,0p

8,0p8,0p8,0p80

=×=⇒=×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+−−=

γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−=

γ

+++γ

+=⇒+=

=×=×π

×=π

=

×=×

=

=+×

×=

=−−→==

+=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

=⇒+=⇒+=

∑∑

Page 85: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Exercício 7.5

4,0

4,0

p44

B

p4B0

Hzp

H

HHHH)a

++γ

=

+=+

m6,17410

102424zp

HH

m24101010

1038,0QN

HQH

N

4

34

4Bp

34

3BB

BB

BB

4,0=−

×−=−

γ−=

=××

××=

γη

=→η

γ=

( )

01,01,510

6,205,0102

vL

gDh2f

g2v

DL

fh

m6,2156,17h

m15201,55,11

g2vkkkh

sm1,5

05,0

10104

D

Q4v

g2vkh

hHhhh2,1H)b

223,1

f23,1f

f

22ssss

2

3

2

2ss

spf3

1s3,1fp

3,13,1

3,1

321

4,04,0

×××==→=

=−=

=×=++=

=×π

××=

π=

=

−=→+=

∑∑

∑∑

c) Como os dois tubos têm o mesmo diâmetro e material e o fluido é o mesmo, tem-se o mesmo f.

m9,29201,53

05,010001,0H

g2vk

DL

fhhH

2p

29

5s

9,59

5sfp

10,4

9,510,4

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= ∑∑

kW1,51000

19,05,56101010QHN

m5,569,298410

1024H

HHzp

HHHH)d

34TTT

4

3T

pT44

p10T4

10,4

10,4

=×××××=ηγ=

=−+×

=

=−+γ

+=−

A vazão é considerada a mesma, pois para p4 = cte, é necessário que o nível se mantenha constante.

Page 86: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

( ) m5,7255121001,005,0k

fDL

g2vk

g2v

DL

fh)e

seq

2s

2eqfeq

=×+×+==

==

∑∑

Exercício 7.6

15,96,0

11,111,61

HH

QQ

HQHQ

NN

m61160HHHHH

m1,119,012HHHHH

BTT

B

B

TTTT

B

BBTB

Bj,fpjBf

Td,apdTa

=×=ηη

=⇒ηγ=η

γ⇒=

=+=⇒+=+

=−=⇒+=−

Exercício 7.7

Como no resto do circuito a perda de carga é desprezível:

sm01,0

13510

101875,0HN

QQH

N

m135HH

3

4

3

B

BB

B

BB

pB A,C

××=

γη

=→η

γ=

==

A velocidade média no trecho CA será:

( ) ( )

sm44,3

1091,2

01,0v

m1091,2015,0281,04

d28D44

d284DA

AQv

3

23222222

=

×=×−π

=−π

−π

=

=

Imaginando um tubo equivalente de C até A:

( )

m108,225101,7

25D

k25k

DRouseMoodyDo

1044,210

101,744,3vDRe

0675,044,324

135101,720fvL

hgD2f

g2v

DLfh

m101,7015,0281,0

1091,24d28D

A4A4D

33

HH

57

3H

3

2A,C

fH2

Hf

33

H

−−

−−

×=×

==→=−

×=××

=

×××=→=→=

×=×+π××

=π+π

=

Exercício 7.8

5,0p50 HHH +=

Page 87: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m1,112083,23,12

15,090024,01Hz

sm83,2

15,010504

DQ4v

sL47

sm107,4

415,07,2

4DvQ

foconfirmand108,31005,1

15,07,2vDRe:oVerificaçã

sm7,2

3,1215,0

90024,01

1020v

024,0fseadotaRouseMoodydo579109,25

15,0kD

kDLf1

gz2v

g2vk

DLf1z

g2vk

g2v

DLf

g2v

z

2

0

2

3

2

32

22

56

3

s

02

s0

2

s

225

0

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+==′

=×π××

′=′

=×=×π

×=π

=

×=××

=

=++

×=

=−−→=×

=

++=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⇒++=

∑∑∑

Exercício 7.9

2,1

fH

f2

Hf

4

32

1f

f22

222

11

211

p21

fL

hgD2v

.vcasono,iávelvaroutraobterse

pararessãoexpautilizarsepodeconhecidoéhseeg2

vDLfh,mas

m2310

1050zp

h

hzp

g2v

zp

g2v

HHH

2,1

2,12,1

2,1

2,1

2,1

=

−=

=−×

=−γ

=

++γ

=+γ

+=

Observa-se que não se tem f , de modo que não é possível calcular v, bem como Re e, conseqüentemente, não se pode obter f do Moody-Rouse. Este exemplo é do tipo: temos hf, queremos Q. Nesse caso pode-se calcular fRe .

2,1

fHH2

2,1

fHHL

hgD2D

vL

hgD2vDfRe 2,12,1

ν=

ν=

Page 88: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Observa-se que fRe pode ser calculado sem que v seja conhecido, desde que se conheça fh , que é o caso do exercício.

( )RouseMoodydoobtidofundidoferrodok3861059,2

1,0k

D

1016,86

21,020

10

1,0fRe

m630sen

3

30sen

zL

4H

46

oo2

2,1

−=×

=

×=××

=

===

Com esses dois valores obtém-se do Moody-Rouse que f = 0,026

sL40

sm04,0

41,006,5

4DvQ

sm06,5

6026,021,020v

322==

×π×=

π=

=×××

=

Exercício 7.10

sm27,1

4162,1

4DvQ

sm62,1

000.8019,020120v

019,0fRouseMoodydo000.110

1kD

102,2000.8

1202010

1fL

Dgh2DfRe

fLgDh2

vg2

vDLfhm20hhzz

322

3

56

f

f2

fff21

=×π

×=π

=⇒=×××

=

=−⇒==

×=××

=

=⇒=→=⇒=−

Exercício 7.11

1,0

2,0

f11

211

V00

200

p1V0

hzp

g2v

Hzp

g2v

HHHH

++γ

=++γ

+=+

Desprezam-se as perdas singulares e admite-se o reservatório de grandes dimensões.

300010

3k

D

102105,1

310vDRe

g2v

DLfh

sm10

3

714

D

Q4vv

Pa20002,0000.10hp

3H

65

H

2

Hf

221

OHOH0

1,0

22

==

×=×

×=

ν=

=

=×π

×=

π==

=×=γ=

−016,0f =→

Page 89: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

kW4,50000.175,0417113

000.11QH

NV

VV =

×××

γ=

Exercício 7.12

kW1,181075,0

6,351082,310QHN

sm1082,3

41,087,4

4D

vQ

m6,35152087,45,0

1,0150026,0

2066,8H

026,0f386

1059,21,0

kD

109,410

1,087,4DvRe

g2v

kDLf

g2v

HzHHHH

sm87,4

105,766,8

DD

vvsm66,8

1521015v

y2gxv

vxg

21y

gt21y

vtx

324

B

BB

32

222

2

22

B

4

56

2

22

1s

2s

B0s,0psB0

22s

s2s

2

2

2

=××××

γ=

×=×π

×=π

=

=−×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+=

=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+⇒+=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=⎟

⎞⎜⎝

⎛=⇒=×

=

=⇒=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

−−

Exercício 7.13

7,3p3,2p7,3p3,2p1,0p7,0p

7,0p7,0p7B

7,0p77

277

B00

200

7,0p7B0

HHHHHH

H8HzH

Hzp

g2v

Hzp

g2v

HHHH

+=++=

+=+=

++γ

=++γ

+=+

m411320033,150

2010H

phz

g2v

H

m33,120

103

50016,0h

2

V

01,0f1

211

V

2

2,1f

=−++=

γ−++

α=

=××=

Page 90: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

0195,0f600.1

10508,0

kd

1091,110

08,039,2dvRe

019,0f000.2

1051,0

kD

1053,110

1,053,1DvRe

sm39,2

08,010124

dQ4v

sm53,1

1,010124

DQ4v

g2v

kkkkd

Lf

g2v

DL

fH

g2v

kg2

vk

g2v

kg2

vk

g2v

dL

fg2

vD

LfH

6,3

5

56

6,36,3

3,2

3

53

3,23,2

2

3

27,3

2

3

23,2

27,3

6s5s4s3s7,3

3,2

23,23,2

3,27,0p

27,3

6s

27,3

5s

27,3

4s

27,3

3s

27,37,3

7,3

23,23,2

3,27,0p

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

=×π

××=

π=

=×π××

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++++=

+++++=

CV2CV9,182,075

73,91012000.175QH

N

m73,973,18H

m73,12039,215,05,01,0

08,0150195,0

2053,1

1,04019,0H

3

B

BB

B

22p 7,0

⇒=×

×××=

ηγ

=

=+=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++++××=

Exercício 7.14

kW1,1107,0

3,12108000.8QHN)b

m3,1220188,1

1,070064,010H

064,0000.164

Re64f000.1

101,01vDRe

sm1

1,01084

DQ4v

g2vk

DLfzHHHHH)a

33

B

BB

2

B

4

2

3

2

2

s0BC,ApCBA

=××××

γ=

=×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×+=

===→=×

=

=×π××

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⇒+=+

−−

Exercício 7.15

E,0pE0 HHH +=

Page 91: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m5,75,12

101050p

m5,1210610

000.175,01QN

H

Hpp

m4,42006,35,06,4

g2vk

pp

m6,42006,3

05,05002,014

g2v

DL

fpp

m142006,35,0

2006,32

1010127

g2vk

g2vh

pp

kPa127000.11107,12p

m7,1222006,35,05,0

05,050202,0

101050

2006,3p

sm06,3

05,01064

DQ4vv

g2vkk

DL

fp

g2v

hp

4

3F

34BB

B

BEF

22

D,CCD

22C,BBC

22

4

32

Bs

20B

40

2

4

320

2

3

2E

2

D,CsBsE,BE

2EE0

=+×−

=××××

η=

=−=−γ

=××−=−γ

=×−−+×

=−−+γ

=××=

=−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

××+

×−+=

γ

=×π××

π==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

γ+

α=+

γ

Para obter a linha da energia , basta somar m45,0g2

v2= em cada

γp .

Exercício 7.16

026,0f

1059,21,0

kD

1055,210

1,055,2vDRe

sm27,1

255,2

2vv

sm55,2

1,010204

DQ4v

g2v

DL

4ffh0h

g24v

DLf

g2v

DLfh

g24v

DLfh

g2v

DLfz

g2v

DLfz

4

56

2

3

2

2

ss

22

s

2

s

2

2

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

×=

×=×

=

===′⇒=×π××

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

−=⇒=−×

′−⇒+×

′=+′

′=Δ

Page 92: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m6,622055,2

1,0000.1

4027,0026,0h

027,0f1027,1DveR

2

s

5

=××⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=′⇒×=ν′

=′

Exercício 7.17

3301052,1

05,0kD

sm10

10

1010g

4

26

4

3

=

=γμ

=ρμ

−−

Para esse valor de kD o escoamento torna-se hidraulicamente rugoso para 5104Re ×≅ e nesse

caso f = 0,026.

kPa500Pa105208

05,030026,010

g2v

DLfp

sm8

05,010410

DRevvDRe

52

42

56

=×=×××=γ=Δ

=××

=→ν

=−

Exercício 7.18

sm26,3

0625,010104

DQ4v

g2v

kD

LfH

m47,02027,1

1,0300195,0H

0195,0f174.2

106,41,0

kD

1027,110

1,027,1DvRe

sm27,1

1,010104

DQ4v

g2v

DL

fH

HHzp

H

3

2cRe

cRe

2cRe

cRes

cRe

cRetotcRecRep

2

Sucp

Suc

5Suc

56

SucSucSuc

2

3

2Suc

Suc

2Suc

Suc

SuctotSucSucp

cRepSucp99

B

=×π

××=

π=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=××=

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

=×π××

=

=

+++γ

=

Page 93: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

kW1,7107,0

50101010QHN

m50171310

102,0H

m1756,1647,0H

m56,162026,311

0625,06302,0H

02,0f1359

106,40625,0

kD

10210

0625,026,3DvRe

334

B

BB

4

6

B

9,0p

2

cRep

cRe

5cRe

56

cRecRecRe

=××××

γ=

=++×

=

≅+=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+×=

=→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

−−

Exercício 7.19

m45,0203

04,0202,0

g2v

D

Lfh)c

m6021880LLLL

m80302,0

1804,020L

sm3

04,0108,34

DQ4v

m183856HHHfv

gDH2L

g2v

DL

fH)b

02,018

04,09L

Dkf

g2vk

g2v

D

Lf)a

22eqs

eqeqtot4,1

2tot

2

3

2

41p

2p

tot2

totp

eq

s

2s

2eq

33

3

4,1

4,14,1

2

2

22

=××==

=−−=−−=

××=

=×π

××=

π=

=−=−=

=→=

==

=

Exercício 7.20

kPa84,912,9436,2pppsm27,1

1,010104

DQ4v

g2vk

g2v

DLf

pg2

vz0

HHH

atmabseefe

2

3

2

2

s

2e

2

3,0p30

−=−=−=

=×π××

=

++γ

++=

+=

Page 94: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m6,7z2027,116

2027,1

1,06z02,0

10840.91

2027,1z0

02,0f174.2

106,41,0

kD

1027,110

1,027,1vDRe

22

4

2

5

56

=⇒×+×⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +×+−+=

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

=

×=×

=

Exercício 7.21

Pelo andamento da linha da energia o escoamento é de (B) para (A).

A,B

A,B

pAMB

pAMB

HzHz

HHHH)a

+=+

+=+

Pela diferença da linha da energia para a linha piezométrica:

sm22,020v2,0

g2v2

=×=→=

3861059,21,0

kD

10210

1,02vDRe

4

56

=

×=×

=

)turbina(m8,82,515HzzH

m2,5202

1,0100026,0

g2v

DLfH

A,B

A,B

pBAM

22p

−=+−=+−=

=××==

kW04,1000.1175,08,8107,1510QHN

sL7,15

sm107,15

41,02

4DvQ)b

34TTT

33

22

=×××××=ηγ=

=×=×π

×=π

=

m135202

1,025026,0115

p

g2v

DLf1z

p

g2v

DLf

pg2

vz

HHH)c

2C

2B

C

2C

2C

B

pCB C,B

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×+−=

γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

γ

+=

+=

Exercício 7.22

g2v

D1f

Lh

45tg)a2

fo ==

f = 0,026

Page 95: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

kW26,11059,0

8,33102,210QHN

m8,338,2913H

m8,2912128,05H

m1245LtgH

Hm12110

103,111hpp

phhp

ppH

m8,02047,4

025,08,0025,0

g2v

DLfH

m5HHHHHH

Hg2

vzHHHHH)b

sm102,2

4025,047,4

4DvQ

sm47,4

025,01025,020

f45gDtg2v

334

B

BB

B

5,0p

o5,4p

4,3p4

5

O2H

Hg434HgO2H3

434,3p

22

3,2p

105,0p1,0p10

5,0p

25

5B5,0p5B0

33

22

o

=××××

γ=

=++=

=+++=

==

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

××=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ

γ=

γ−

⇒=γ−γ+

γ−

=

=××==

=−=⇒+=

++=⇒+=+

×=×π

=

=××

==

−−

Exercício 7.23

sm109,7

401,01,0

4DvQ

sm1,0

1032

0032,001,01032

tggDv

tggD

v32tgg2

vvD64

vD64

Re64farminla

tggD2

fvtgLg2

vDLf

tgLhL

htg

36

22

6

22

2

2

22

ff

×=×π

×=π

=

××=

να

=

α=ν

→α=ν

ν==→

α=→α=

α=→=α

Exercício 7.24

gDv32

g2Dv

vD64

g2Dfv

Lh

tg 2

22f ν

ν=

×==α

Page 96: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

280.1125,0

120vgh2

kg2

vkh

m11002,0

125,010010322h

gDvL322

g2v

DL

Dv642

g2v

DLf2h

m2hhsm125,0v

sm25,0

1032100

202,010

32tggDv

22s

s

2

ss

2

5

s

2

22

s

fs

5

22

=′

=⇒′

=

×××−=

′ν−=

′′ν

−=′

′−=

=+

=′⇒=×

××=

να

=

Exercício 7.25

m8,1296,32,0H

m98,11,0

5001,0g2

vDLfh

m6,38,12g2

vkh

energiadalinhadam2,0h

hhhH)bsL1,47

sm0471,0

41,06

4DvQ

sm68,120vm8,1

g2v)a

1,0

22

1

211,0

p

2f

2ss

s

fssp

322

2

=++=

=××==

=×==

→=

++=

==×π

×=π

=

=×=→=

kW5,1000.119,06,30471,010QHN

m6,36,36,128,16,14hHg2

vpH

hHg2

vH

p)d

m6,148,128,1p

x

Hg2

vp)c

4TTT

sp2

0T

sp

21

T0

0

p

210

21,0

21,0

1,0

=××××=ηγ=

=+−−=+−−γ

=

−+=−γ

=+=γ

=

+=γ

Exercício 7.26 Sentido de (5) para(0)

Page 97: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m8,40000.8

103244204p

Hg2

vh

Hg2

vh

pHHH

m44204

1,0220025,0

g2v

dL

fH

025,04200

401,020fg2

vd

Lfh

sm4

1,0104,314

dQ4v

m402,0200hL

htg)a

325

3,5p

22

3,5p

225

3,5p35

22tot

3,43,5p

23,4

2tot

3,43,4f

2

3

2

3,4f3,4

3,4f

−+=γ

−+=

+=+γ

⇒+=

=××==

=×××

=⇒=

=×π

××=

π=

=×=⇒=β

b) A máquina é uma bomba, pois precisa elevar a pressão.

( )

kW10107,0

28104,31000.8QHN

m282048,820H

HzHg2

vHHHH

m8,88,08hhH

m8,020116

g2v

kh

m8201

2,0000.1032,0

g2v

DLfh

032,0000.264

Re64f

arminla000.210

2,01DvRe

sm1

20104

Ddvv)c

33

B

BB

2

B

0,2p0M

23

0,2p0M3

1,2f1,2f0,2p

221,2

1s1s

221,2

1,21,2f

1,2

41,2

1,2

22

1,2

=××××

γ=

=−+=

+=+⇒+=+

=+=+=

=×==

=××==

===

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

Exercício 7.27

m04,0004,010tgLh

zHg2

vpHg2

vzp

HHH

4,1f

14,1p

21

4,1p

24

11

4,1p41

=×=α=

−+=γ

→+=+γ

+=

Page 98: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

m75004,0

1,02,0tg

hhLtgLhhh

m2000004,08Lm8tgLh

m80157,010

8,01057,1H

sm0157,0

41,02

4DvQ

sm22,020v2,0

g2v

QN

HQH

N

hHHHHHH

Pa1046,1pm46,1234,02,0p

m34,01,02,004,0H

m1,02,05,0g2

vkh

m2,02,01g2

vkh

3s2seqeqeqf3s2s

6,5f

4

3

B

322

2

BBB

B

BB

6,5f6,5pB6,5p6B4

41

1

4,1p

2

3s3s

2

2s2s

=+

+=→α==+

==→=α=

××=

=×π

×=π

=

=×=→=

γη

=→η

γ=

==→+=+

×−=→−=−+=γ

=++=

=×==

=×==

Exercício 7.28

( ) ( )

75,0k8,02047,4k

2047,4049,08,0

g2v

kg2

v049,0

g2v

kg2

vpp8,0

ppg2

vk

pg2

vpg2

v

sm47,4120v18,02,0

g2v

2,0pp

:caPiezométriLinha

8,0pp

g2v

)1(na)2(

)2(8,0pp

oup108,0p:Manômetro

p101028,0pp8,0pp8,08,0p

)1(pp

g2v

:Pitot

v222,0vv5,41045v

AA

vvAvAv

s

2

s

221

s

21

21

s

222112

21

s2

221

21

1

2112

1221

202

40

244

02m02m0

0121

12221

2212211

=⇒=+×⇒=+

+=γ

−γ

++γ

−γ

⇒+γ

+=γ

+

=×=⇒=+=⇒=γ

−γ

−γ

=

+×=

+−×=⇒+γ−γ=⇒=×γ−×γ+

γ=

γ+

=⇒===⇒=

Page 99: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE SANTA CATARINA – UNIDADE

SÃO JOSÉ - ÁREA DE REFRIGERAÇÃO E AR CONDICIONADO

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – MECÂNICA DOS FLUIDOS

Material digitado pelo aluno Guilherme Lima - RAC

(1) Qual é a força F1 necessária para o equilíbrio?

Solução:

NFFFgmF

A

F

A

F carro 5,4905

5,2452

5

4905

5,05

81,9.500

5,055,01

111

2

2

1

1

(2) Uma caixa d’água é enchida em 30 minutos. Qual a vazão da torneira se a caixa tem

2m3 ?

Solução:

hmhtempo

mvolumevazão /4

0,5

2 33

(3) Calcule a velocidade da água no ponto 2.

Solução:

smVAVAV 4001,0

2,0.222211

Page 100: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

(4) Qual a velocidade de saída da água no ponto 2?

Solução:

Considerando-se a equação de Bernoulli e uma linha de corrente ligando 1 e 2, tem-se:

2

2

221

2

11

22gz

Vpgz

Vp

Como a densidade ‘ ’ da água é a mesma, 1V = 0 e a pressão a qual a água está submetida é a

mesma em 1 e 2, temos a equação de Bernoulli modificada:

smzzgV 38,105,0681,9.22 212

(5) Qual o tempo para encher o tanque?

Solução:

Volume da caixa: 0,8x0,8x2 = 1,28 m3 e ainda:

Vazão na tubulação = Velocidade x Área da seção:

smDV

Q 322

0012,04

)032,0.(14,3.5,1

4

, Agora:

1 segundo ----------------------------- 0,012 3m

‘x’ segundos -------------------------- 1,28 3m

10660012,0

28,1x

Tempo = 1066 segundos = 17,7 minutos.

Page 101: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 – Qual a pressão manométrica dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do mercúrio

observado no manômetro de coluna é de 4 mm?

Solução:

Considere: densidade do Mercúrio = ρhg = 13600 kg/m3 e aceleração gravitacional g = 9,81 m/s2

Observando o Princípio de Stevin, calculamos a pressão manométrica da tubulação através da seguinte

equação:

pman = ρhg . g . h = 13600 x 9,81 x 0,004 = 533,6 Pa

A pressão absoluta é a soma dessa pressão com a pressão atmosférica (101325 Pascals).

2 – Qual a vazão de água (em litros por segundo) circulando através de um tubo de 32 mm de diâmetro,

considerando a velocidade da água como sendo 4 m/s? Lembre-se que 1 m3 = 1000 litros

Solução:

Primeiramente, calculamos a área da secção transversal do tubo:

Agora, podemos determinar a vazão no tubo:

Vazão = V . A = 4 x 0,000803 = 0,0032 m3 /s x 1000 = 3,2 l/s

3 – Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s?

Solução: Vazão = V . A

Logo: V = Vazão / A

Logo, V = 0,002/0,00049 = V = 4,08 m/s

Page 102: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

4 – Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível entre o furo e a

superfície livre é de 2 m?

Solução:

Utilizando a equação de Bernoulli simplificada e considerando z1 = 2 m e g = 9,81 m/s2, podemos calcular a

velocidade da água pela equação a seguir:

5 – Qual a perda de carga em 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de diâmetro por onde escoa água a

uma velocidade de 2 m/s?

Solução:

Inicialmente devemos calcular o Número de Reynolds:

Com o número de Reynolds e o Diagrama de Moody, obtemos para o tubo liso que o fator de atrito f = 0,02.

Page 103: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

6 – Qual a potência teórica da bomba para a instalação esquematizada a seguir, considerando-se que a vazão

de água transportada é de 10 m3 /h?

Solução:

Cálculo do fluxo de massa:

10 m3 /h / 3600 s = 0,0027 m3/s x 1000 = 2,77 l/s, ou seja, 2,77 kg/s

Cálculo de perdas localizadas – Conforme tabela da apostila para o PVC e para o metal:

Lsucção = Lvalv. pé + Lcurva + Ltrecho reto

Lsucção = 18,3 + 9 + 1,2 = 28,5 m

Lrecalque = Lrg + Lvr + Ltrecho reto + 3 Lcurvas + Lsaída

Lrecalque= 0,4 + 6,4 + 33 + (3 x 0,9) + 1,5 = 44 m

Tendo a área de cada secção e a vazão (0,00277 m3/s), a velocidade de escoamento da água no ponto 2 (saída)

é determinada por:

V2= Vazão / Área 2 = 1,371 m/s

Já a velocidade da sucção é determinada pela equação:

V1= Vazão / Área 1 = 2,43 m/s

Com as velocidades podemos determinar os números de Reynolds para a sucção e para o recalque:

Re = V . D / n onde n = 1,006 x 10-6

Re sucção = 9,2 x 104

Re recalque = 6,9 x 104

Com Reynolds e sabendo que na sucção o tubo é liso e no recalque o tubo tem rugosidade estimada da forma

e/D = 0,03, encontramos os valores dos fatores de atrito f da sucção e do recalque.

Page 104: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Com os valores de f podemos calcular a perda de energia na sucção e no recalque:

D

VLfe

.2

.. 2

Logo temos que e 1 = 40,85 m2/s2 e que e 2 = 47,21 m2/s2

O valor da perda total de energia é de 88,06 m2/s2

Finalmente, após as devidas simplificações na equação de Bernoulli, podemos calcular a potência da bomba

da seguinte forma:

WegzV

mbW t 5,70806,881781,92

371,1.77,2

2

2

2

2

2

Agora basta acessar os sites dos fabricantes de bombas e selecionar nos catálogos qual a mais conveniente

para essa faixa de vazão e potência.

7- Qual a perda de carga no tubo?

Considere: tubo liso PVC

υágua = 1,006 x 10-6 m2/s

Vágua = 5 m/s

ρágua = 1000 kg/m3

Cálculo do número de Reynolds:

Page 105: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Cálculo da perda de carga:

Com o número de Reynolds, podemos agora obter o fator de atrito através do diagrama de Moody.

Obtém-se o fator de atrito f = 0,095.

8- Qual a potência da bomba?

Primeiramente, temos que determinar as perdas de carga nos trechos retos e nos acessórios da (válvulas,

curvas etc.):

Sucção Recalque

VP = 15 m Curvas 90° = 2 x 2 = 4 m

Curva 90º = 2 m VR = 20 m

Trechos retos = 12 m Trechos retos = 30 m

Total (Ls) = 29 m

Saída = 3 m

Total (Lr) = 57 m

Cálculo da velocidade de escoamento da água:

Considerando o fluxo de massa igual a 2 kg/s, podemos determinar a vazão simplesmente dividindo

esse valor por 1000, pois a vazão é dada em [m3/s]. Fazendo o cálculo, obtém-se Vazão Vz = 0,002 m3/s.

Page 106: vários exercícios resolvidos mecânica dos fluidos

Agora, sabendo que o diâmetro da tubulação é de 50 mm, podemos calcular a área da seção transversal do

tubo:

Tendo a área e a vazão, a velocidade de escoamento da água é determinada por:

Agora nos resta calcular a perda de carga total na tubulação:

Com Re, obtemos o fator de atrito f no Diagrama de Moody.

Encontramos f = 0,021. Logo:

2

222

66,1805,0.2

02,1.86.021,0

.2

..

sm

D

VLfe total

total

Finalmente, após as devidas simplificações na equação de Bernoulli, podemos calcular a potência da

bomba da seguinte forma:

WezgV

mbW t 2,352)1,176(266,181681,92

02,1.00,2.

2

2

2

2

2

Observe que a altura z2 é igual a 15m + 1m = 16m, já que o ponto 1 é considerado na superfície livre da

água.

Agora basta acessar os sites dos fabricantes de bombas e selecionar nos catálogos qual a mais conveniente

para essa faixa de vazão e potência.