variÁvel aleatÓria (v.a.) e funÇÃo de densidade de ... · x=número de caras o valor da v.a. é...
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Econometria Prof. Gervásio Santos
Notas de aula
30/03/2012
VARIÁVEL ALEATÓRIA (V.A.) E
FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE (f.d.p.)
Seja um espaço de probabilidade. Uma variável aleatória X é uma função tal que:
X:
Definição: Uma função X que atribui para cada um, e somente um número real, de
maneira que , é chamada de variável aleatória.
Ex.: Entrevista a uma pessoa.
Pergunta: Você trabalha?
Resposta(s):
Definindo a variável aleatória (V.A.):
X(c)=
Outra V.A.:
X(c)=
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
O conjunto de possíveis valores é finito ou contável no infinito.
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA
A variável pode assumir qualquer valor no intervalo de uma reta real.
Com a V.A. pode-se utilizar as medidas de probabilidade para determinar sentenças
probabilísticas sobre os possíveis valores de uma V.A. Isso permitirá a construção de
Funções de Probabilidade (ou de Densidade de Probabilidade). Com esta função será
possível avaliar como os valores que X (a V.A.) pode assumir estão distribuídos. Por outro
lado, poderemos calcular a massa de probabilidade em um intervalo.
Ex.: V.A. Discreta
Lançar a moeda duas vezes
X=número de caras
O valor da V.A. é
desconhecido e se
realiza apenas com o
experimento
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30/03/2012
Montar a f.d.p.
X f(x) 0,25
0,50
0,25
(
) (
)
TOTAL:
Ex.: Caso contínuo
Supondo uma função f(x) em que X pode assumir qualquer valor entre a e b. Qual é a
probabilidade De X estar entre 1/8 e 3/4?
∫
⁄
⁄
(
) ( ⁄ ) ( ⁄ )
⁄
⁄ ⁄
⁄
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO (Soma de Riemann ou Integral de Riemann)
Defina a integral de de “a” a “b” como , onde é a antiderivada.
Definição: ∫
Sendo que
Cálculo da área:
0,25
0,50
0 1 2 X
f(x)
Onde:
X: valores assumidos pela V.A.
f(X): Probabilidade de ocorrência
de cada um dos valores
*Os valores de f(x) são calculados
computando as probabilidades
dos eventos associados a cada V.A.
X
f(x)
a=1/8 b=3/4
X
f(x)
b a
𝑓 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑎 𝑥 𝑏
“b” “a”
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30/03/2012
Dividindo por N subintervalos iguais, cada um sendo
Tomando o ponto final de cada subintervalo
o
o
o
o ...
o
A soma
∑
∑
∫
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA
Da (fdc) para a (fdp)