Variáveis indexadas, somatórios e produtó ?· Com este processo de guardar a informação e com os…

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1

Computao MIEC - FEUP

compilado por Ana Maria Faustino

Variveis indexadas, somatrios e produtrios

Variveis indexadas

Quando se pretende estudar vrias caractersticas de um conjunto de indivduos convmarmazenar a informao de forma ordenada recorrendo a variveis indexadas com 1 ou maisndices:

a1, a2, , an ai, i = 1, 2, , n ak, k = 1, 2, , n;

a11, a12, , a1n, a21, a22, , a2n, , am1, am2, , amn aij, i = 1, 2, ,m, j = 1, 2, , n

a111, , a1n1, , am11, , amn1, a112, , a1n2, , am12, , amn2, , a11`, , a1n`, , am1`, , amn`, aijk, i = 1, ,m, j = 1, , n, k = 1, , `

Assim, por exemplo, nas variveis uni-indexadas, ai representa a idade do indivduo i (nicacaracterstica a ser estudada).

Nas variveis bi-indexadas, aij pode representar a caracterstica j do indivduo i (que podeser a idade entre outras caractersticas do mesmo indivduo) ou o nmero de indivduos que,relativamente a duas variveis, tomam o valor i para a primeira varivel e j para a segundavarivel. Por exemplo, o primeiro ndice representa simbolicamente o estado civil (solteiro,casado, ) e o segundo ndice representa simbolicamente o gnero (masculino, feminino).

As variveis com mais do que dois ndices servem para relacionar mais do que duas variveis.Por exemplo, para estudar o comportamento de uma ponte submetida passagem de vriostipos de comboios pode usar-se ijk para identicar a deformao vertical, no ponto i da ponte,provocada pela passagem do ponto j do comboio de tipo k.

As variveis usadas para representar os ndices dizem-se mudas pois podem ser representadaspor qualquer letra.

Com este processo de guardar a informao e com os smbolos de somatrio e produtrio possvel representar de modo bastante sucinto somas e produtos com muitos operandos.

Somatrios

Variveis uni-indexadas

Para representar a soma de, possivelmente, muitas parcelas usa um somatrio representadopelo smbolo

. Com o seguinte signicado:

a1 + a2 + + an =n

i=1

ai

que se l: somatrio de ai para i de 1 at n. A varivel muda i vai tomar todos os valores inteirosentre 1 e n. Estes limites inferior e superior de i podem ser quaisquer nmeros inteiros.

As parcelas vo depender da varivel muda i, isto ,

2

ni=m

f(i) = f(m) + f(m + 1) + + f(m + (nm 1)) + f(m + (nm)) =

= f(m) + f(m + 1) + + f(n 1) + f(n)

onde f(i) (termo geral) uma funo de i. As variveis m e n so nmeros inteiros (m n) e ivaria de um em um desde m at n.

Por conveno, se m > n no existem parcelas e o somatrio vale zero (0 elemento neutroda adio).

Muitas vezes, quando no h dvidas quanto aos valores que i pode tomar, tambm se usaa forma abreviada

i

f(i) para representar a soma de f(i) para todos os valores possveis de i.

Exemplos

1.5

i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225

2.1

k=1

1

2k 1= 1

3 1 + 1 = 1

3

3.50i=2

xi = x2 + x3 + + x50

4.4

j=2

xjy 2j = x2y4 + x3y6 + x4y8

Pode demonstrar-se que:

1.n

i=1

(f(i) + g(i)) =n

i=1

f(i) +n

i=1

g(i)

2.n

i=1

(Kf(i)) = Kn

i=1

f(i) onde K constante

3.n

i=m

K = (nm + 1)K onde K constante e m n

Exerccio 1

(a) Calcule5

i=5

K, onde K uma constante.

(b) Desenvolva5

i=0

(1)ix 2i+1.

(c) Escreva, usando somatrio, a1b2 + a2b4 + + a5b10.

3

(d) Escreva, usando somatrio, a0 + a1x + a2x2 + + anxn.

(e) Escreva, usando somatrio, a soma dos 100 primeiros nmeros naturais pares.

(f) Dada uma sucesso xi escreva a soma das 100 primeiras componentes de ndice mpar.

(g) Simplique1

n

nk=1

30 +1

2

nk=1

(a k+1 ak)

Variveis bi-indexadas

Exemplos

1. a11 + a12 + + a1n + a21 + a22 + + a2n + + am1 + am2 + + amn =

=mi=1

nj=1

aij

2. a31 + a32 + + a3n =n

j=1

a3j

3. a1` + a2` + + am` =mj=1

aj`

Pode demonstrar-se que:i

j

f(i)g(j) =i

f(i)j

g(j) =j

g(j)i

f(i)

Exerccio 2

Sabendo que K = 5, x = (2, 5, 4) e que A =

4 3 1 21 3 2 42 3 1 6

I. Calcule

(a)5

i=5

K

(b)1

i=0

(1)ix2i+1

(c) y tal que yi =4

j=1

aij i = 1, 2, 3

(d)3

i=1

ai2

(e)i

j

aij

(f)i

j

3aij

(g)i

j

(aij + 2)

(h)

(3

i=2

2j=1

aij

)2

(i)3

i=1

(2

j=1

aij

)22i

4

II. Verique que

(a)3

i=1

4j=1

xiaij =3

i=1

xi

4j=1

aij

(b)3

i=2

2j=1

aij =2

j=1

3i=2

aij

Produtrios

Variveis uni-indexadas

Para representar o produto de, possivelmente, muitos factores usa-se um produtrio repre-sentado pelo smbolo

. Com o seguinte signicado:

a1 a2 an =n

i=1

ai

que se l: produtrio de ai para i de 1 at n. A varivel muda i vai tomar todos os valoresinteiros entre 1 e n. Estes limites inferior e superior de i podem ser quaisquer nmeros inteiros.

As parcelas vo depender da varivel muda i, isto ,

ni=m

f(i) = f(m) f(m + 1) f(n 1) f(n)

onde f(i) (termo geral) uma funo de i. As variveis m e n so nmeros inteiros (m n) e ivaria de um em um desde m at n.

Por conveno, se m > n no existem factores e o produtrio vale um (1 elemento neutroda multiplicao).

Exemplos

1.5

i=1

i3 = 13 23 33 43 53 = 1728000

2. 2 4 6 5025k=1

2k 24k=0

(2k + 2)26k=2

(2k 2)

3.50i=2

xKi = xK2 xK3 xK50, K constante

4.4

j=2

xy 2jj = x

y42 x

y63 x

y84

5

Pode demonstrar-se que:

1.n

i=1

(f(i) g(i)) =

(n

i=1

f(i)

)

(n

i=1

g(i)

)

2.n

i=1

(Kf(i)) = Knn

i=1

f(i) onde K constante

3.n

i=m

K = K(nm+1) onde K constante e m n

Exerccio 3

(a) Calcule5

i=5

K, onde K uma constante.

(b) Desenvolva

i.5

i=0

xj2i+1

ii.mi=1

x 2i+1yi

(c) Escreva, usando produtrio,

i. 2 4 6 514ii. 1 3 5 55iii. 3 5 7 33

Variveis bi-indexadas

Exemplos

1. a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn =

=mi=1

nj=1

aij.

2. a31 a32 a3n =n

j=1

a3j

3. a1` a2` am` =mj=1

aj` =mi=1

ai`

6

Exerccio 4

Sabendo que K = 5, x = (2, 5, 4) e que A =

4 3 1 21 3 2 42 3 1 6

I. Calcule

(a)5

i=5

K

(b)1

i=0

(1)ix2i+1

(c) z tal que zj =3

i=1

aij j = 1, 2, 3, 4

(d) t tal que ti =4

j=1

aij i = 1, 2, 3

(e)3

i=1

a2i

(f)i

j

aij

(g)i

j

3aij

(h)3

j=2

i

(aij + 2)

(i)

(3

i=2

2j=1

aij

)2

(j)3

i=1

(2

j=1

aij

)22i

(k)

3i=1

4j=1

((xi 3) aij)

(l)3

i=1

((xi 3)

4j=1

aij

)

(m)3

i=1

((xi 3)4

4j=1

aij

)

(n)3

i=1

4j=1

((xi 3) aij)

(o)3

i=1

((xi 3)

4j=1

aij

)

(p)3

i=1

((xi 3)4

4j=1

aij

)

II. Verique se3

i=1

4j=1

xiaij igual a:

(a)3

i=1

(xi

4j=1

aij

)(b)

3i=1

(x4i

4j=1

aij

)

NOTA: No se pode permutar o

com o

pois no existe propriedade associativa nemcomutativa entre as duas operaes + e .

Exemplo

Dada a matriz A =

[2 34 5

]i

j

aij =j

a1j +j

a2j = a11 a12 + a21 a22 = 2 3 + 4 5 = 26

j

i

aij =i

ai1 i

ai2 = (a11 + a21) (a12 + a22) = (2 + 4) (3 + 5) = 48

7

Outros casos

Quando a sequncia dos ndices, associados a cada parcela ou factor, no a sequncia na-tural possvel indicar os ndices a eliminar ou indicar os ndices atravs de conjuntos.

Exemplos

1. x1 + + xk1 + xk+1 + + xn =n

i=1i6=k

xi

2. ((x2 x1) + + (xn x1)) ((x1 x2) + (x3 x2) + + (xn x2))

((x1 xn1) + + (xn2 xn1) + (xn xn1)) ((x1 xn) + + (xn1 xn)) =

=n

i=1

nk=1k 6=i

(xk xi)

3. a1` a4` a6` =jB

aj`, B = {1, 4, 6}

Exerccio 5

Sabendo que K = 2, x = (2, 5, 4) e que A =

4 3 1 21 3 2 42 3 1 6

Calcule

(a)3

i=1

4j=1j 6=i

aij

(b)3

i=1

4j=1

j 6=i+1

aij

(c)3

i=1

4j=1

(j+i)6=5

aij

(d)3

i=2

4j=3

xi1aij

(e)i

2j=1

Kiai,(j+1)

(f)iB

xi

4j=1

aij, B = {i : xi mpar}

(g)iB

xi

4j=1

aij, B = {i : i mpar}

(h)j

iBj

xiaij, Bj = {i : aij mpar}

(i)i

jBi

xiaij, Bi = {j : aij < 2}

8

Resultados

Exerccio 2

I. (a) 55;

(b) -2;

(c) y = (8, 6, 12);

(d) 9;

(e) 26;

(f) 78;

(g) 50;

(h) 81;

(i)98

3.

II. (a) 94;

(b) 9;

Exerccio 4

I. (a) 48828125;

(b) -8;

(c) z = (8, 27, 2, 48);

(d) t = (24,24, 36);(e) -6;

(f) 20736;

(g) 11019960576;

(h) 0;

(i) 324;

(j) 972;

(k) -372;

(l) 12;

(m) -372;

(n) -1152;

(o) -1152;

(p) 9216.

II. igual a (b).

(a) 829440;

(b) 53084160000.

Exerccio 5

(a) 18;

(b) 19;

(c) 23;

(d) 118;

(e) 84;

(f) 30;

(g) 768;

(h) 1078;

(i) -48.