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Computação MIEC - FEUP

compilado por Ana Maria Faustino

Variáveis indexadas, somatórios e produtórios

Variáveis indexadas

Quando se pretende estudar várias características de um conjunto de indivíduos convémarmazenar a informação de forma ordenada recorrendo a variáveis indexadas com 1 ou maisíndices:

• a1, a2, · · · , an ⇔ ai, i = 1, 2, · · · , n⇔ ak, k = 1, 2, · · · , n;

• a11, a12, · · · , a1n, a21, a22, · · · , a2n, · · · , am1, am2, · · · , amn ⇔⇔ aij, i = 1, 2, · · · ,m, j = 1, 2, · · · , n

• a111, · · · , a1n1, · · · , am11, · · · , amn1, a112, · · · , a1n2, · · · , am12, · · · , amn2,

· · · , a11`, · · · , a1n`, · · · , am1`, · · · , amn`,⇔ aijk, i = 1, · · · ,m, j = 1, · · · , n, k = 1, · · · , `

Assim, por exemplo, nas variáveis uni-indexadas, ai representa a idade do indivíduo i (únicacaracterística a ser estudada).

Nas variáveis bi-indexadas, aij pode representar a característica j do indivíduo i (que podeser a idade entre outras características do mesmo indivíduo) ou o número de indivíduos que,relativamente a duas variáveis, tomam o valor i para a primeira variável e j para a segundavariável. Por exemplo, o primeiro índice representa simbolicamente o estado civil (solteiro,casado,· · · ) e o segundo índice representa simbolicamente o género (masculino, feminino).

As variáveis com mais do que dois índices servem para relacionar mais do que duas variáveis.Por exemplo, para estudar o comportamento de uma ponte submetida à passagem de váriostipos de comboios pode usar-se ∆ijk para identi�car a deformação vertical, no ponto i da ponte,provocada pela passagem do ponto j do comboio de tipo k.

As variáveis usadas para representar os índices dizem-se mudas pois podem ser representadaspor qualquer letra.

Com este processo de guardar a informação e com os símbolos de somatório e produtório épossível representar de modo bastante sucinto somas e produtos com muitos operandos.

Somatórios

Variáveis uni-indexadas

Para representar a soma de, possivelmente, muitas parcelas usa um somatório representadopelo símbolo

∑. Com o seguinte signi�cado:

a1 + a2 + · · ·+ an =n∑

i=1

ai

que se lê: somatório de ai para i de 1 até n. A variável muda i vai tomar todos os valores inteirosentre 1 e n. Estes limites inferior e superior de i podem ser quaisquer números inteiros.

As parcelas vão depender da variável muda i, isto é,

2

n∑i=m

f(i) = f(m) + f(m + 1) + · · ·+ f(m + (n−m− 1)) + f(m + (n−m)) =

= f(m) + f(m + 1) + · · ·+ f(n− 1) + f(n)

onde f(i) (termo geral) é uma função de i. As variáveis m e n são números inteiros (m ≤ n) e ivaria de um em um desde m até n.

Por convenção, se m > n não existem parcelas e o somatório vale zero (0 → elemento neutroda adição).

Muitas vezes, quando não há dúvidas quanto aos valores que i pode tomar, também se usaa forma abreviada

∑i

f(i) para representar a soma de f(i) para todos os valores possíveis de i.

Exemplos

1.5∑

i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 = 225

2.1∑

k=−1

1

2k − 1= −1

3− 1 + 1 = −1

3

3.50∑i=2

xi = x2 + x3 + · · ·+ x50

4.4∑

j=2

xjy 2j = x2y4 + x3y6 + x4y8

Pode demonstrar-se que:

1.n∑

i=1

(f(i) + g(i)) =n∑

i=1

f(i) +n∑

i=1

g(i)

2.n∑

i=1

(Kf(i)) = K

n∑i=1

f(i) onde K é constante

3.n∑

i=m

K = (n−m + 1)K onde K é constante e m ≤ n

Exercício 1

(a) Calcule5∑

i=−5

K, onde K é uma constante.

(b) Desenvolva5∑

i=0

(−1)ix 2i+1.

(c) Escreva, usando somatório, a1b2 + a2b4 + · · ·+ a5b

10.

3

(d) Escreva, usando somatório, a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx

n.

(e) Escreva, usando somatório, a soma dos 100 primeiros números naturais pares.

(f) Dada uma sucessão xi escreva a soma das 100 primeiras componentes de índice ímpar.

(g) Simpli�que1

n

n∑k=1

30 +1

2

n∑k=1

(a k+1 − ak)

Variáveis bi-indexadas

Exemplos

1. a11 + a12 + · · ·+ a1n + a21 + a22 + · · ·+ a2n + · · ·+ am1 + am2 + · · ·+ amn =

=m∑i=1

n∑j=1

aij

2. a31 + a32 + · · ·+ a3n =n∑

j=1

a3j

3. a1` + a2` + · · ·+ am` =m∑j=1

aj`

Pode demonstrar-se que:∑i

∑j

f(i)g(j) =∑i

f(i)∑j

g(j) =∑j

g(j)∑i

f(i)

Exercício 2

Sabendo que K = 5, x = (2, 5, 4) e que A =

4 3 −1 21 3 −2 42 3 1 6

I. Calcule

(a)5∑

i=−5

K

(b)1∑

i=0

(−1)ix2i+1

(c) y tal que yi =4∑

j=1

aij i = 1, 2, 3

(d)3∑

i=1

ai2

(e)∑i

∑j

aij

(f)∑i

∑j

3aij

(g)∑i

∑j

(aij + 2)

(h)

(3∑

i=2

2∑j=1

aij

)2

(i)3∑

i=1

(2∑

j=1

aij

)2

2i

4

II. Veri�que que

(a)3∑

i=1

4∑j=1

xiaij =3∑

i=1

xi

4∑j=1

aij

(b)3∑

i=2

2∑j=1

aij =2∑

j=1

3∑i=2

aij

Produtórios

Variáveis uni-indexadas

Para representar o produto de, possivelmente, muitos factores usa-se um produtório repre-sentado pelo símbolo

∏. Com o seguinte signi�cado:

a1 × a2 × · · · × an =n∏

i=1

ai

que se lê: produtório de ai para i de 1 até n. A variável muda i vai tomar todos os valoresinteiros entre 1 e n. Estes limites inferior e superior de i podem ser quaisquer números inteiros.

As parcelas vão depender da variável muda i, isto é,

n∏i=m

f(i) = f(m)× f(m + 1)× · · · × f(n− 1)× f(n)

onde f(i) (termo geral) é uma função de i. As variáveis m e n são números inteiros (m ≤ n) e ivaria de um em um desde m até n.

Por convenção, se m > n não existem factores e o produtório vale um (1 → elemento neutroda multiplicação).

Exemplos

1.5∏

i=1

i3 = 13 × 23 × 33 × 43 × 53 = 1728000

2. 2× 4× 6× · · · × 50⇔25∏k=1

2k ⇔24∏k=0

(2k + 2)⇔26∏k=2

(2k − 2)

3.50∏i=2

xKi = xK

2 × xK3 × · · · × xK

50, K é constante

4.4∏

j=2

xy 2j

j = xy42 × xy6

3 × xy84

5

Pode demonstrar-se que:

1.n∏

i=1

(f(i)× g(i)) =

(n∏

i=1

f(i)

)×

(n∏

i=1

g(i)

)

2.n∏

i=1

(Kf(i)) = Kn

n∏i=1

f(i) onde K é constante

3.n∏

i=m

K = K(n−m+1) onde K é constante e m ≤ n

Exercício 3

(a) Calcule5∏

i=−5

K, onde K é uma constante.

(b) Desenvolva

i.5∏

i=0

xj2i+1

ii.m∏i=1

x 2i+1

yi

(c) Escreva, usando produtório,

i. 2× 4× 6× · · · × 514

ii. 1× 3× 5× · · · × 55

iii. 3× 5× 7× · · · × 33

Variáveis bi-indexadas

Exemplos

1. a11 × a12 × · · · × a1n × a21 × a22 × · · · × a2n × · · · × am1 × am2 × · · · × amn =

=m∏i=1

n∏j=1

aij.

2. a31 × a32 × · · · × a3n =n∏

j=1

a3j

3. a1` × a2` × · · · × am` =m∏j=1

aj` =m∏i=1

ai`

6

Exercício 4

Sabendo que K = 5, x = (2, 5, 4) e que A =

4 3 −1 21 3 −2 42 3 1 6

I. Calcule

(a)5∏

i=−5

K

(b)1∏

i=0

(−1)ix2i+1

(c) z tal que zj =3∏

i=1

aij j = 1, 2, 3, 4

(d) t tal que ti =4∏

j=1

aij i = 1, 2, 3

(e)3∏

i=1

a2i

(f)∏i

∏j

aij

(g)∏i

∏j

3aij

(h)3∏

j=2

∏i

(aij + 2)

(i)

(3∏

i=2

2∏j=1

aij

)2

(j)3∏

i=1

(2∏

j=1

aij

)2

2i

(k)

3∑i=1

4∏j=1

((xi − 3) aij)

(l)3∑

i=1

((xi − 3)

4∏j=1

aij

)

(m)3∑

i=1

((xi − 3)4

4∏j=1

aij

)

(n)3∏

i=1

4∑j=1

((xi − 3) aij)

(o)3∏

i=1

((xi − 3)

4∑j=1

aij

)

(p)3∏

i=1

((xi − 3)4

4∑j=1

aij

)

II. Veri�que se3∏

i=1

4∏j=1

xiaij é igual a:

(a)3∏

i=1

(xi

4∏j=1

aij

)(b)

3∏i=1

(x4i

4∏j=1

aij

)

NOTA: Não se pode permutar o∑

com o∏

pois não existe propriedade associativa nemcomutativa entre as duas operações + e ×.

Exemplo

Dada a matriz A =

[2 34 5

]∑i

∏j

aij =∏j

a1j +∏j

a2j = a11 × a12 + a21 × a22 = 2× 3 + 4× 5 = 26

∏j

∑i

aij =∑i

ai1 ×∑i

ai2 = (a11 + a21)× (a12 + a22) = (2 + 4)× (3 + 5) = 48

7

Outros casos

Quando a sequência dos índices, associados a cada parcela ou factor, não é a sequência na-tural é possível indicar os índices a eliminar ou indicar os índices através de conjuntos.

Exemplos

1. x1 + · · ·+ xk−1 + xk+1 + · · ·+ xn =n∑

i=1i6=k

xi

2. ((x2 − x1) + · · ·+ (xn − x1))× ((x1 − x2) + (x3 − x2) + · · ·+ (xn − x2))× · · ·×

((x1 − xn−1) + · · ·+ (xn−2 − xn−1) + (xn − xn−1))× ((x1 − xn) + · · ·+ (xn−1 − xn)) =

=n∏

i=1

n∑k=1k 6=i

(xk − xi)

3. a1` × a4` × a6` =∏j∈B

aj`, B = {1, 4, 6}

Exercício 5

Sabendo que K = −2, x = (2, 5, 4) e que A =

4 3 −1 21 3 −2 42 3 1 6

Calcule

(a)3∑

i=1

4∑j=1j 6=i

aij

(b)3∑

i=1

4∑j=1

j 6=i+1

aij

(c)3∑

i=1

4∑j=1

(j+i)6=5

aij

(d)3∑

i=2

4∏j=3

xi−1aij

(e)∑i

2∏j=1

Kiai,(j+1)

(f)∏i∈B

xi

4∑j=1

aij, B = {i : xi é ímpar}

(g)∏i∈B

xi

4∑j=1

aij, B = {i : i é ímpar}

(h)∑j

∏i∈Bj

xiaij, Bj = {i : aij é ímpar}

(i)∑i

∏j∈Bi

xiaij, Bi = {j : aij < 2}

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Resultados

Exercício 2

I. (a) 55;

(b) -2;

(c) y = (8, 6, 12);

(d) 9;

(e) 26;

(f) 78;

(g) 50;

(h) 81;

(i)98

3.

II. (a) 94;

(b) 9;

Exercício 4

I. (a) 48828125;

(b) -8;

(c) z = (8, 27, 2, 48);

(d) t = (−24,−24, 36);

(e) -6;

(f) 20736;

(g) 11019960576;

(h) 0;

(i) 324;

(j) 972;

(k) -372;

(l) 12;

(m) -372;

(n) -1152;

(o) -1152;

(p) 9216.

II. É igual a (b).

(a) 829440;

(b) 53084160000.

Exercício 5

(a) 18;

(b) 19;

(c) 23;

(d) 118;

(e) 84;

(f) 30;

(g) 768;

(h) 1078;

(i) -48.