variaveis complexas

116
Treinamento em Processamento Digital de Imagens Prof. Wheidima Carneiro de Melo [email protected] Curso: Variáveis Complexas

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Page 1: Variaveis complexas

Treinamento em Processamento

Digital de Imagens

Prof. Wheidima Carneiro de Melo

[email protected]

Curso: Variáveis Complexas

Page 2: Variaveis complexas

Variáveis Complexas

Ementa:

• Números Complexos

• Funções Analíticas

• Funções Elementares

• Mapeamento Usando Funções Elementares

• Integrais

• Séries de Potências

• Resíduos e Pólos

Page 3: Variaveis complexas

Parte 1

Números Complexos

Page 4: Variaveis complexas

Introdução

• O conjunto dos números reais é incompleto.

• Euler apresentou o símbolo .

• Gauss denotou números complexos por:

• Um número complexo na forma cartesiana pode ser

descrito por:

1i

iba

iyxz

xz }Re{ yz }Im{

Page 5: Variaveis complexas

Operações Básicas com

Números Complexos.

• Dado e :

– Conjugado complexo:

– Adição:

– Subtração:

– Multiplicação:

– Divisão:

ibaz 1

ibaz *

1

)()(21 dbicazz

idcz 2

)()(21 dbicazz

)()(21 bcadibdaczz

2222

2

1

dc

adbci

dc

bdac

z

z

Page 6: Variaveis complexas

Plano Complexo ou Plano Z

• Um número complexo pode ser representado por um

ponto no plano xy, denominado plano z ou plano

complexo.

• Exemplo:

Page 7: Variaveis complexas

Forma Polar dos Números

Complexos

• A variável complexa pode ser representada por

coordenadas polares:

• Fórmula de Euler:

• Com isso:

)(cos isenrz

isenei cos

ireisenrz )(cos

Page 8: Variaveis complexas

Forma Polar dos Números

Complexos

• Valor absoluto ou módulo:

• Fase ou argumento:

*22 zzyxrz

x

y1tan

Page 9: Variaveis complexas

Propriedades do Módulo dos

Números Complexos

• Se , ,..., são números complexos, então:

1)

2) .

3)

4)

1z 2zmz

mm zzzzzz 2121

0, 2

2

1

2

1 zz

z

z

z

mm zzzzzz 2121

2121 zzzz

Page 10: Variaveis complexas

• Exemplo:

– Números Complexos denominados unimodulares .

– Pontos especiais desta circunferência são:

Números Complexos

2/

0

2/

1r

1z

1z

iz

1z

iz

Page 11: Variaveis complexas

• Exercícios

Números Complexos

Page 12: Variaveis complexas

Operações na Forma Polar

• Multiplicação:

• Divisão:

• Seja . Se é um argumento de então é um argumento de .

0z z *z

))()(cos()(cos* isenrisenrz

Page 13: Variaveis complexas

Operações na Forma Polar

• O módulo e o argumento de são iguais a e

• O módulo e o argumento de são iguais a e

21rr21zz21

21 zz 21 rr21

Page 14: Variaveis complexas

Operações na Forma Polar

• Em , onde , tem-se a

rotação do vetor que representa pelo ângulo .

• Se e representam o módulo e um argumento de ,

então para todo tem-se:

• Teorema de Moivre:

zz0 0,cos 0000 isenzz 0

r zNn

Page 15: Variaveis complexas

• Exemplo: Mostre que

• Solução de equações do tipo:

• A regra geral para calcular a th raiz do número

complexo é

• Exemplo: Calcule a raiz cúbica de 8.

Raízes de Números Complexos

n

Page 16: Variaveis complexas

Parte 2

Funções de Variáveis

Complexas

Page 17: Variaveis complexas

• Definição: Seja um conjunto de números complexos. A

função definida sobre é uma regra que atribui para cada .

um número complexo .

• O conjunto é denominado domínio de definição.

• Existem dois tipos básicos de funções complexas: – Funções unívocas: cada valor de corresponde a um único valor

de . Exemplo:

– Funções plurívocas: um determinado valor de corresponde a

mais de um valor de . Exemplo:

Funções de Variáveis

Complexas

SS z

w

f

S

zw

zw

Page 18: Variaveis complexas

• Entenda que é um número complexo, logo:

onde e são reais. As partes reais e imaginarias são:

• Exemplo:

Transformações ou

Mapeamentos

w

2)( zzf

xyiyxiyxzf 2)()( 222

22 yxu xy2

Page 19: Variaveis complexas

Transformações ou

Mapeamentos

• Mapeamento da função

• Mapeamento da função

Page 20: Variaveis complexas

• Análise de uma função plurívoca

– Executando uma revolução completa, no sentido anti-horário, em

torno de ponto , tem-se

– Repetindo o processo, obtém-se

• Pode-se afirmar que no intervalo , o mapeamento

para o plano permanece sobre um dos ramos da função. No

intervalo de , o mapeamento leva a outro ramo.

Linhas de Ramificação e

Superfícies de Riemann

zwzf )(

0z

w

Page 21: Variaveis complexas

• Em cada ramo a função é unívoca. E para mantê-la assim, forma-se uma barreira artificial ligando a origem ao infinito.

• A barreira denomina-se linha de ramificação. O ponto de onde parte a linha é denominado ponto de ramificação.

Linhas de Ramificação e

Superfícies de Riemann

Page 22: Variaveis complexas

Superfícies de Riemann

• Imagina-se o plano composto por duas folhas sobrepostas.

• Corta-se as duas folhas ao longo da linha OB e junta-se a borda inferior da folha de baixo à borda superior da folha de cima

• As duas folhas são denominadas superfície de Riemann da função . Cada folha corresponde a um ramo da função e em cada folha a função é unívoca.

z

zzf )(

Page 23: Variaveis complexas

• As definições de limites e continuidade para funções de variáveis complexas são similares às de variáveis reais.

• Condições de existência :

– A função está definida e é unívoca na vizinhança de , com

a possível exceção do próprio ponto.

– Dado um número real positivo qualquer , arbitrariamente

pequeno, existe um número real positivo tal que

• O limite deve ser independente da maneira como se

aproxima de .

O Cálculo Diferencial de Funções

de uma Variável Complexa

z

0z

Page 24: Variaveis complexas

Limite de uma Variável

Complexa

• Prove que

• Encontre, se possível,

Page 25: Variaveis complexas

• Se e , então:

Propriedades dos Limites

Page 26: Variaveis complexas

Continuidade

• A função é dita contínua em se

onde é definida e unívoca no ponto e na vizinhança

• Portanto, três condições devem ser satisfeitas:

• O limite deve existir.

• deve ser finita em .

• O limite deve ser igual a .

• Se existe mas não é igual a , então é denominado descontinuidade removível.

Page 27: Variaveis complexas

Derivadas de Funções

Complexas

• Dada uma função, continua e unívoca, de variável complexa, em uma dada região do plano , a derivada asdfasdf em algum ponto fixo em é definida por:

desde que esse limite exista de forma independente do modo como .

• Se existe no ponto e em todos os pontos de uma dada vizinhança de , então é dita analítica.

• A função é analítica na região se ela é analítica em todos os pontos da região.

Page 28: Variaveis complexas

• Se uma função . possui derivada no ponto , então

ela é necessariamente contínua no ponto. Prova:

• Cuidado! Nem toda função contínua é diferencíavel no

ponto. Exemplo: .

• Calcule em , dado que .

Derivadas de Funções

Complexas

Page 29: Variaveis complexas

Regras de Derivação

• Se e existem, então

• .

• .

• .

Page 30: Variaveis complexas

Derivadas de Funções

Elementares

Page 31: Variaveis complexas

• Cauchy e Riemann criaram um método simples para

testar a analiticidade de .

• Dedução:

Fazendo , obtém-se

Ao longo do eixo :

Condições de Cauchy-Riemann

Page 32: Variaveis complexas

Condições de Cauchy-Riemann

• Ao longo de eixo :

• A condição necessária para ser analítica é

• Condições de Cauchy-Riemann:

• Fornecendo duas expressões para a derivada

Page 33: Variaveis complexas

• Condição necessária: Se a função s de seja e e

é analítica na região , então e satisfazem

as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos

de .

• Condição necessária e suficiente: Se as derivadas

parciais são contínuas em , então as equações de

Cauchy-Riemann são condições suficientes para que

s seja analítica em .

• Exemplo: Verifique as condições de Cauchy-Riemann

para:

Condições de Cauchy-Riemann

Page 34: Variaveis complexas

• Uma função é considerada analítica se ela é analítica em

todos os pontos da região .

• Funções analíticas são denominadas holomórficas.

• A função é inteira, se ela é analítica sobre todo o plano

• A função é considerada singular em , se ela não é

diferencíavel nesse ponto. O ponto é denominado

ponto singular.

Funções Analíticas

Page 35: Variaveis complexas

• Tipos de pontos singulares:

– Pontos singulares isolados: O ponto é denominado ponto

singular isolado de se for possível encontrar tal que

o círculo circunde apenas o ponto singular . Se

não for possível encontrar um , o ponto é denominado

ponto singular não isolado.

– Pólos: Pode-se encontrar um número positivo inteiro tal que o

a , então é denominado pólo

de ordem .

– Ponto de Ramificação.

– Singularidades removíveis.

– Singularidades essenciais. Exemplo:

– Singularidades no Infinito.

Pontos Singulares

Page 36: Variaveis complexas

Parte 3

Funções Elementares

Page 37: Variaveis complexas

• A função exponencial é a base para definição de outras

funções.

• Preserva as principais características de uma função

exponencial real:

1. é unívoca e analítica.

2. .

3. reduz-se a quando .

Função Exponencial

Page 38: Variaveis complexas

• Dedução: – Aproximando do ponto ao longo do eixo a derivada da função

analítica é

e

– Para satisfazer (2):

e

– A equação será satisfeita se .

– Se é analítica, e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann,

relembrando:

então:

Função Exponencial

Page 39: Variaveis complexas

• Continuação: – Diferenciando com relação a

segue que finalmente

– Com isso

ou

– A solução desta equação diferencial é da forma

– Então

Função Exponencial

Page 40: Variaveis complexas

• Continuação: – E

– Com isso

– De acordo com a condição (3)

logo

– Finalmente

Função Exponencial

Page 41: Variaveis complexas

• Definições:

– e

• A função é periódica com período imaginário .

• Por causa da periodicidade da função, todos os valores

possíveis são assumidos na faixa . Esta faixa

infinita é denominada região fundamental da função.

Função Exponencial

Page 42: Variaveis complexas

• Exemplo: Prove que

Função Exponencial

Page 43: Variaveis complexas

• Fórmula de Euler:

• Para variável complexa tem-se

• Outras funções trigonométricas:

Funções Trigonométricas e

Hiperbólicas

Page 44: Variaveis complexas

• Outras definições:

,

,

,

• Desde que é analítica para todo , o mesmo é

verdadeiro para as funções e . Nos pontos onde

a função é zero, as funções e não são

analíticas.

Funções Trigonométricas e

Hiperbólicas

Page 45: Variaveis complexas

• Desde que a função exponencial é periódica, as funções

trigonométricas também são periódicas:

• Desde que essas funções podem ser escritas na forma

retangular: , então

Funções Trigonométricas e

Hiperbólicas

Page 46: Variaveis complexas

• Usando a definição de funções hiperbólicas de variáveis

reais

similarmente,

• Caso particular,

• Existe diferença entre um seno real e um complexo?

Funções Trigonométricas e

Hiperbólicas

Page 47: Variaveis complexas

• Exemplo: Prove que

• Exemplo: Prove que

Funções Trigonométricas e

Hiperbólicas

Page 48: Variaveis complexas

Funções Hiperbólicas Reais

Page 49: Variaveis complexas

Funções Hiperbólicas Reais

Page 50: Variaveis complexas

Funções Hiperbólicas Reais

Page 51: Variaveis complexas

• Logaritmo natural é definido como o inverso da

função exponencial . Para o logarítmico complexo,

defini-se , o que significa que

,

• Se e tem-se

• Continuado,

ou e

• Portanto,

Função Logarítmica

Page 52: Variaveis complexas

• Em qualquer ramo a função logarítmica é analítica,

diferenciando ,

• Exemplo: calcule

• Exemplo: Considere a transformação . Mostre

que os círculos com centro na origem do plano z são

mapeados nas linhas paralelas ao eixo no plano w.

Função Logarítmica

Page 53: Variaveis complexas

Função Logarítmica

Page 54: Variaveis complexas

• Definições:

• Existem singularidades.

Função Hiperbólica

Page 55: Variaveis complexas

Parte 4

Mapeamento Usando

Funções Elementares

Page 56: Variaveis complexas

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 57: Variaveis complexas

• Funções Lineares

– Mapeamento do plano no plano utilizando

, é uma constante complexa

– É uma translação por meio do vetor .

– A imagem de qualquer ponto no plano está no ponto

Mapeamento Usando Funções

Elementares

w

Czw C

C

),( yx

),( 21 CyCx

Page 58: Variaveis complexas

• Propriedades do mapeamento definido por onde é

complexo.

e logo

• Logo, a transformação mapeia qualquer ponto (não sendo

o zero) com coordenadas polares dentro de não

zero pontos com coordenadas polares

• Obtém-se, a partir desses dois conceitos, a transformação

linear

Mapeamento Usando Funções

Elementares

ibeB

Bzw B

irez )( ibrez

z ),( r

),( br

CBzw

Page 59: Variaveis complexas

• Exemplo:

Mapeamento Usando Funções

Elementares

iziw 2)1(

Page 60: Variaveis complexas

• Análise da função

• O mapeamento pode ser realizado por transformações

consecutivas

• Primeira transformação mapeia o pontos exteriores do

circulo nos pontos interiores do circulo unitário.

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 61: Variaveis complexas

• Continuação da Análise da função

• A segunda transformação é simplesmente a reflexão do

eixo real “x”.

• Observe que a imagem do circulo é o circulo de raio

a

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 62: Variaveis complexas

• Continuação da Analise da função

• Relações:

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 63: Variaveis complexas

• Suponha:

• Mapeamento:

• Relações:

• O circulo que não passa pela origem no plano z é

transformado num circulo que não passa pela origem no

plano w.

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 64: Variaveis complexas

• A linha que não passa pela origem no plano z é

transformada num circulo que passa pela origem no plano

w.

• Uma linha que passa pela origem no plano z é

transformada numa linha que passa pela origem no plano

w.

• Note que a linha é transformada no circulo:

• Note que a linha é transformada no circulo:

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 65: Variaveis complexas

• Resultados:

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 66: Variaveis complexas

• A metade do plano possui imagem na região

• A imagem de qualquer ponto da metade do plano está

dentro do circulo.

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 67: Variaveis complexas

• Exemplo: Mostre que a transformação é a rotação

do plano z pelo ângulo . Encontre a imagem de

• Exemplo: mostre que a transformação mapeia

metade do plano dentro da metade do plano

• Encontre a região na qual a metade do plano é

mapeada pela transformação

• Mostre que se , a imagem do plano da

transformação é o interior de um circulo.

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 68: Variaveis complexas

• A função 1/z é útil na análise de funções quando o ponto

no infinito está envolvido.

• Se a função é continua no infinito então

• O número pode ser determinado por

• Pode-se considerar continua no ponto por .

Quando o limite de quando tende a é 0.

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 69: Variaveis complexas

• Exemplo:

• Exemplo: determine e para

Mapeamento Usando Funções

Elementares

Page 70: Variaveis complexas

Parte 5

Integrais de Funções

Complexas

Page 71: Variaveis complexas

• A integral de uma função real de uma variável é uma

soma infinitésimos, sendo cada parcela o valor da função

em um ponto do intervalo de integração multiplicado pelo

comprimento de um segmento infinitesimal em torno

desse ponto.

• Em alguns casos necessita-se estender a definição do

integrando para o conjunto dos números complexos.

• Dois teoremas importantes: integral de Cauchy e o

teorema de resíduos.

Integrais de Funções

Complexas

Page 72: Variaveis complexas

• A função é integrada ao longo de um caminho no

plano complexo.

Integrais de Funções

Complexas

Page 73: Variaveis complexas

• Pode-se parametrizar o caminho ao longo do plano :

• A curva é dita suave se existe um vetor tangente à mesma

ao longo de todos os pontos.

• Integral de linha (ou de caminho) de ao longo de

Integrais de Funções

Complexas

Page 74: Variaveis complexas

• Se o caminho é fechado, a integral de linha é denominada

integral de contorno de

• Importante: Se o caminho é suave e é continua ao

longo de , então sempre existe.

• A integral de linha ao longo pode ser expressa por:

Integrais de Funções

Complexas

Page 75: Variaveis complexas

• Propriedades:

– .

– .

Integrais de Funções

Complexas

Page 76: Variaveis complexas

• Exemplo: Calcule a integral , onde é a linha reta

ligando os pontos e .

• Exemplo: Calcule a integral

onde circulo de raio centrado em e é um inteiro.

• Exemplo: calcule para o caminho abaixo.

Integrais de Funções

Complexas

C zdz /

Page 77: Variaveis complexas

• Tipos de curvas:

– Curva simples (arco de Jordan) não há interseccionamento. A

exceção é uma curva simples fechada ou contorno fechado.

– Curva não simples.

Tipos de Curvas e Domínios no

Plano Complexo

Page 78: Variaveis complexas

• Tipos de domínios (região):

– Região simplesmente conexa é uma região no plano complexo

tal que toda curva simples fechada dentro de cerca somente

pontos pertencentes a .

– Região multiplamente conexa: existe pelo menos uma curva

fechada contida em que cerca pontos que não pertencem a .

Tipos de Curvas e Domínios no

Plano Complexo

Page 79: Variaveis complexas

• Se uma função é analítica em todos

os pontos de um domínio simplesmente conexo , então

para todo contorno simples fechado no interior de .

• Se a função é analítica em uma região simplesmente

conexa , então dois pontos e , contidos em , a

integral independe do caminho que liga os pontos.

Teorema de Cauchy

Page 80: Variaveis complexas

• Exemplo: Calcule a integral de num caminho que

ligue os pontos e .

• Exemplo: Calcule (centrada em zero)

Teorema de Cauchy

2)( zzf

0z iz 42

z

dz

Page 81: Variaveis complexas

• Teorema: Seja uma função analítica sobre um região r

delimitada pelo contorno simples fechado c e pelo

conjunto dos contornos {}{} , interiores a C e

que envolvem buracos que podem conter singularidades

isoladas ou não. Então:

Deformação do Contorno de

Integração

Page 82: Variaveis complexas

Deformação do Contorno de

Integração

Page 83: Variaveis complexas

Deformação do Contorno de

Integração

• Exemplo: Avalie onde é qualquer contorno

simples fechado e (a) está fora de e (b) está dentro

de

Page 84: Variaveis complexas

Fórmulas Integrais de Cauchy

• Teorema: Seja uma função analítica em uma região

simplesmente conexa e é um ponto qualquer no

interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então:

• Exemplo: Calcule a integral , sendo a

circunferência de raio unitário e com centro em (a) e

(b)

Page 85: Variaveis complexas

Fórmulas Integrais de Cauchy

• Teorema: Seja uma função analítica em uma região

simplesmente conexa e é um ponto qualquer no

interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então:

• Exemplo: Calcule

Sendo um contorno simples que não passa por .

Considere (a) não envolve (b) envolve

Page 86: Variaveis complexas

Integrais Indefinidas

• Considere e analíticas na região e .

Então é denominado integral indefinida de :

• Exemplo:

Page 87: Variaveis complexas

Integral de Algumas Funções

Page 88: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Seqüência complexa é um conjunto de números

complexos.

• A seqüência pode ser finita ou infinita.

• Exemplo:

Page 89: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• A seqüência complexa é dita ser convergente para o

número se, dado , pode-se encontrar o número

positivo tal que para cada . Pode-se

escrever:

Page 90: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Exemplos:

Page 91: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• A seqüência complexa , pode ser expressa

pelas partes reais e imaginárias: e

• Se a parte real converge para e a seqüência da parte

imaginária , então a seqüência complexa converge para o

valor .

• Exemplo:

Page 92: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Se e , então

– .

– .

– .

Page 93: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Suponha seja uma dada seqüência.

• Forma-se uma nova seqüência definida por

• A soma infinita é definida por série.

• Se existe, a série é denominada

convergente

Page 94: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• A condição necessária para série convergir é

• Exemplo: Prove que se a série converge, então:

• Prove que

Page 95: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• As seqüências e séries de constantes são estendidas

para seqüências e séries de funções.

• Considere , uma seqüência de

funções de definidas e unívocas em alguma região do

plano .

• Defini-se para

• A seqüência é convergente para .

• Região de convergência

Page 96: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Soma parcial:

• Série infinita:

Page 97: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Condição necessária para série convergir é

• Se a série converge para todos os valores de na

região , denomina-se a região de convergência da

série.

• Exemplo: Usando a definição, prove que

• Exemplo: Prove que a série

converge para

Page 98: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• A série é absolutamente convergente se a série dos

valores absolutos converge.

• Se a série converge mas não

converge, então a série é condicionalmente

convergente.

• Exemplo: Prove que a série é absolutamente

convergente.

Page 99: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• A seqüência é uniformemente convergente se

depende somente de .

• O conceito se estende a séries.

Page 100: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Série de potência em :

• Em geral, a série converge para

• Diverge para

• Pode ou não convergir para

• Raio de convergência . Casos especiais: e

Page 101: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Os testes de convergência determinam uma condição

necessária e suficiente para convergência de uma

determinada série.

• Teste de convergência absoluta:

– Teste da razão: Dada a série , a convergência

absoluta na região é assegurada se:

– Ocorre a divergência para . Não há informação

quando

Page 102: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Exemplo: Mostre que a série complexa converge.

Page 103: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Séries de potência com raios de convergência não nulos

podem representar funções analíticas.

• Exemplo: a série centrada na origem do plano

complexo.

• Teste da razão:

Page 104: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• O raio de convergência é definido por:

Page 105: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Teorema de Taylor: Seja uma função analítica

sobre a região , delimitada pela circunferência

centrada em e de raio . Se é um ponto interior a

então pode ser expandida em uma série de Taylor

centrada em

• A qual converge para quando

Page 106: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Exemplo:

• No caso particular de a série é denominada série

de Maclaurin.

Page 107: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Dedução da série de Taylor:

Page 108: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Séries de Laurent: Seja uma função analítica ao

longo dos contornos circulares concêntricos e , de

raios e , bem como na região anelar

delimitada por e . Então em cada ponto neste

região, a função pode ser representada por:

Page 109: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Parte analítica

• Parte principal

• A série Laurent pode ser generalizada

Page 110: Variaveis complexas

Representação em Séries de

Funções Analíticas

• Encontre a série de Laurent sobre as singularidades

indicadas para as funções:

– .

– ,

• Encontre a série de Laurent de para:

Page 111: Variaveis complexas

Integração no Plano Complexo

pelo Método dos Resíduos

• O teorema de Cauchy será estendido a casos onde o

integrando não é analítico.

• Cada singularidade isolada contribui com um termo ao

resultado da integral, sendo este termo proporcional ao

resíduo da singularidade.

Page 112: Variaveis complexas

Integração no Plano Complexo

pelo Método dos Resíduos

• Seja unívoca e analítica no interior e sobre um

contorno fechado simples , exceto num ponto , o

qual é interno a . Se o ponto é uma singularidade

isolada de , então existe um número real tal

que para a função pode ser

desenvolvida em termos da série de Laurent

Page 113: Variaveis complexas

Integração no Plano Complexo

pelo Método dos Resíduos

• Em particular, para obtém-se

• O número complexo é denominado resíduo de

no ponto singular isolado.

• Notação comum:

Page 114: Variaveis complexas

Integração no Plano Complexo

pelo Método dos Resíduos

• Teorema: Seja uma função analítica no interior e ao

longo de um contorno simples fechado , exceto em um

número finito de pontos singulares isolados

localizados no interior de . Se

são os resíduos de nestes pontos singulares, então

Page 115: Variaveis complexas

Integração no Plano Complexo

pelo Método dos Resíduos

• Cálculo de resíduos:

– Direto da definição

– Pólos de ordem m em

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Integração no Plano Complexo

pelo Método dos Resíduos

• Exemplo: encontre os resíduos da função

• Avalie ao redor do circulo