variaveis complexas
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Treinamento em Processamento
Digital de Imagens
Prof. Wheidima Carneiro de Melo
Curso: Variáveis Complexas
Variáveis Complexas
Ementa:
• Números Complexos
• Funções Analíticas
• Funções Elementares
• Mapeamento Usando Funções Elementares
• Integrais
• Séries de Potências
• Resíduos e Pólos
Parte 1
Números Complexos
Introdução
• O conjunto dos números reais é incompleto.
• Euler apresentou o símbolo .
• Gauss denotou números complexos por:
• Um número complexo na forma cartesiana pode ser
descrito por:
1i
iba
iyxz
xz }Re{ yz }Im{
Operações Básicas com
Números Complexos.
• Dado e :
– Conjugado complexo:
– Adição:
– Subtração:
– Multiplicação:
– Divisão:
ibaz 1
ibaz *
1
)()(21 dbicazz
idcz 2
)()(21 dbicazz
)()(21 bcadibdaczz
2222
2
1
dc
adbci
dc
bdac
z
z
Plano Complexo ou Plano Z
• Um número complexo pode ser representado por um
ponto no plano xy, denominado plano z ou plano
complexo.
• Exemplo:
Forma Polar dos Números
Complexos
• A variável complexa pode ser representada por
coordenadas polares:
• Fórmula de Euler:
• Com isso:
)(cos isenrz
isenei cos
ireisenrz )(cos
Forma Polar dos Números
Complexos
• Valor absoluto ou módulo:
• Fase ou argumento:
*22 zzyxrz
x
y1tan
Propriedades do Módulo dos
Números Complexos
• Se , ,..., são números complexos, então:
1)
2) .
3)
4)
1z 2zmz
mm zzzzzz 2121
0, 2
2
1
2
1 zz
z
z
z
mm zzzzzz 2121
2121 zzzz
• Exemplo:
– Números Complexos denominados unimodulares .
– Pontos especiais desta circunferência são:
Números Complexos
2/
0
2/
1r
1z
1z
iz
1z
iz
• Exercícios
Números Complexos
Operações na Forma Polar
• Multiplicação:
• Divisão:
• Seja . Se é um argumento de então é um argumento de .
0z z *z
))()(cos()(cos* isenrisenrz
Operações na Forma Polar
• O módulo e o argumento de são iguais a e
• O módulo e o argumento de são iguais a e
21rr21zz21
21 zz 21 rr21
Operações na Forma Polar
• Em , onde , tem-se a
rotação do vetor que representa pelo ângulo .
• Se e representam o módulo e um argumento de ,
então para todo tem-se:
• Teorema de Moivre:
zz0 0,cos 0000 isenzz 0
r zNn
• Exemplo: Mostre que
• Solução de equações do tipo:
• A regra geral para calcular a th raiz do número
complexo é
• Exemplo: Calcule a raiz cúbica de 8.
Raízes de Números Complexos
n
Parte 2
Funções de Variáveis
Complexas
• Definição: Seja um conjunto de números complexos. A
função definida sobre é uma regra que atribui para cada .
um número complexo .
• O conjunto é denominado domínio de definição.
• Existem dois tipos básicos de funções complexas: – Funções unívocas: cada valor de corresponde a um único valor
de . Exemplo:
– Funções plurívocas: um determinado valor de corresponde a
mais de um valor de . Exemplo:
Funções de Variáveis
Complexas
SS z
w
f
S
zw
zw
• Entenda que é um número complexo, logo:
onde e são reais. As partes reais e imaginarias são:
• Exemplo:
Transformações ou
Mapeamentos
w
2)( zzf
xyiyxiyxzf 2)()( 222
22 yxu xy2
Transformações ou
Mapeamentos
• Mapeamento da função
• Mapeamento da função
• Análise de uma função plurívoca
– Executando uma revolução completa, no sentido anti-horário, em
torno de ponto , tem-se
– Repetindo o processo, obtém-se
• Pode-se afirmar que no intervalo , o mapeamento
para o plano permanece sobre um dos ramos da função. No
intervalo de , o mapeamento leva a outro ramo.
Linhas de Ramificação e
Superfícies de Riemann
zwzf )(
0z
w
• Em cada ramo a função é unívoca. E para mantê-la assim, forma-se uma barreira artificial ligando a origem ao infinito.
• A barreira denomina-se linha de ramificação. O ponto de onde parte a linha é denominado ponto de ramificação.
Linhas de Ramificação e
Superfícies de Riemann
Superfícies de Riemann
• Imagina-se o plano composto por duas folhas sobrepostas.
• Corta-se as duas folhas ao longo da linha OB e junta-se a borda inferior da folha de baixo à borda superior da folha de cima
• As duas folhas são denominadas superfície de Riemann da função . Cada folha corresponde a um ramo da função e em cada folha a função é unívoca.
z
zzf )(
• As definições de limites e continuidade para funções de variáveis complexas são similares às de variáveis reais.
• Condições de existência :
– A função está definida e é unívoca na vizinhança de , com
a possível exceção do próprio ponto.
– Dado um número real positivo qualquer , arbitrariamente
pequeno, existe um número real positivo tal que
• O limite deve ser independente da maneira como se
aproxima de .
O Cálculo Diferencial de Funções
de uma Variável Complexa
z
0z
Limite de uma Variável
Complexa
• Prove que
• Encontre, se possível,
• Se e , então:
–
–
–
Propriedades dos Limites
Continuidade
• A função é dita contínua em se
onde é definida e unívoca no ponto e na vizinhança
• Portanto, três condições devem ser satisfeitas:
• O limite deve existir.
• deve ser finita em .
• O limite deve ser igual a .
• Se existe mas não é igual a , então é denominado descontinuidade removível.
Derivadas de Funções
Complexas
• Dada uma função, continua e unívoca, de variável complexa, em uma dada região do plano , a derivada asdfasdf em algum ponto fixo em é definida por:
desde que esse limite exista de forma independente do modo como .
• Se existe no ponto e em todos os pontos de uma dada vizinhança de , então é dita analítica.
• A função é analítica na região se ela é analítica em todos os pontos da região.
• Se uma função . possui derivada no ponto , então
ela é necessariamente contínua no ponto. Prova:
• Cuidado! Nem toda função contínua é diferencíavel no
ponto. Exemplo: .
• Calcule em , dado que .
Derivadas de Funções
Complexas
Regras de Derivação
• Se e existem, então
• .
• .
• .
Derivadas de Funções
Elementares
• Cauchy e Riemann criaram um método simples para
testar a analiticidade de .
• Dedução:
Fazendo , obtém-se
Ao longo do eixo :
Condições de Cauchy-Riemann
Condições de Cauchy-Riemann
• Ao longo de eixo :
• A condição necessária para ser analítica é
• Condições de Cauchy-Riemann:
• Fornecendo duas expressões para a derivada
• Condição necessária: Se a função s de seja e e
é analítica na região , então e satisfazem
as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos
de .
• Condição necessária e suficiente: Se as derivadas
parciais são contínuas em , então as equações de
Cauchy-Riemann são condições suficientes para que
s seja analítica em .
• Exemplo: Verifique as condições de Cauchy-Riemann
para:
Condições de Cauchy-Riemann
• Uma função é considerada analítica se ela é analítica em
todos os pontos da região .
• Funções analíticas são denominadas holomórficas.
• A função é inteira, se ela é analítica sobre todo o plano
• A função é considerada singular em , se ela não é
diferencíavel nesse ponto. O ponto é denominado
ponto singular.
Funções Analíticas
• Tipos de pontos singulares:
– Pontos singulares isolados: O ponto é denominado ponto
singular isolado de se for possível encontrar tal que
o círculo circunde apenas o ponto singular . Se
não for possível encontrar um , o ponto é denominado
ponto singular não isolado.
– Pólos: Pode-se encontrar um número positivo inteiro tal que o
a , então é denominado pólo
de ordem .
– Ponto de Ramificação.
– Singularidades removíveis.
– Singularidades essenciais. Exemplo:
– Singularidades no Infinito.
Pontos Singulares
Parte 3
Funções Elementares
• A função exponencial é a base para definição de outras
funções.
• Preserva as principais características de uma função
exponencial real:
1. é unívoca e analítica.
2. .
3. reduz-se a quando .
Função Exponencial
• Dedução: – Aproximando do ponto ao longo do eixo a derivada da função
analítica é
e
– Para satisfazer (2):
e
– A equação será satisfeita se .
– Se é analítica, e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann,
relembrando:
então:
Função Exponencial
• Continuação: – Diferenciando com relação a
segue que finalmente
– Com isso
ou
– A solução desta equação diferencial é da forma
– Então
Função Exponencial
• Continuação: – E
– Com isso
– De acordo com a condição (3)
logo
– Finalmente
Função Exponencial
• Definições:
–
– e
–
• A função é periódica com período imaginário .
• Por causa da periodicidade da função, todos os valores
possíveis são assumidos na faixa . Esta faixa
infinita é denominada região fundamental da função.
Função Exponencial
• Exemplo: Prove que
Função Exponencial
• Fórmula de Euler:
• Para variável complexa tem-se
• Outras funções trigonométricas:
Funções Trigonométricas e
Hiperbólicas
• Outras definições:
,
,
,
• Desde que é analítica para todo , o mesmo é
verdadeiro para as funções e . Nos pontos onde
a função é zero, as funções e não são
analíticas.
Funções Trigonométricas e
Hiperbólicas
• Desde que a função exponencial é periódica, as funções
trigonométricas também são periódicas:
• Desde que essas funções podem ser escritas na forma
retangular: , então
Funções Trigonométricas e
Hiperbólicas
• Usando a definição de funções hiperbólicas de variáveis
reais
similarmente,
• Caso particular,
• Existe diferença entre um seno real e um complexo?
Funções Trigonométricas e
Hiperbólicas
• Exemplo: Prove que
• Exemplo: Prove que
Funções Trigonométricas e
Hiperbólicas
Funções Hiperbólicas Reais
Funções Hiperbólicas Reais
Funções Hiperbólicas Reais
• Logaritmo natural é definido como o inverso da
função exponencial . Para o logarítmico complexo,
defini-se , o que significa que
,
• Se e tem-se
• Continuado,
ou e
• Portanto,
Função Logarítmica
• Em qualquer ramo a função logarítmica é analítica,
diferenciando ,
• Exemplo: calcule
• Exemplo: Considere a transformação . Mostre
que os círculos com centro na origem do plano z são
mapeados nas linhas paralelas ao eixo no plano w.
Função Logarítmica
Função Logarítmica
• Definições:
• Existem singularidades.
Função Hiperbólica
Parte 4
Mapeamento Usando
Funções Elementares
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• Funções Lineares
– Mapeamento do plano no plano utilizando
, é uma constante complexa
– É uma translação por meio do vetor .
– A imagem de qualquer ponto no plano está no ponto
Mapeamento Usando Funções
Elementares
w
Czw C
C
),( yx
),( 21 CyCx
• Propriedades do mapeamento definido por onde é
complexo.
e logo
• Logo, a transformação mapeia qualquer ponto (não sendo
o zero) com coordenadas polares dentro de não
zero pontos com coordenadas polares
• Obtém-se, a partir desses dois conceitos, a transformação
linear
Mapeamento Usando Funções
Elementares
ibeB
Bzw B
irez )( ibrez
z ),( r
),( br
CBzw
• Exemplo:
Mapeamento Usando Funções
Elementares
iziw 2)1(
• Análise da função
• O mapeamento pode ser realizado por transformações
consecutivas
• Primeira transformação mapeia o pontos exteriores do
circulo nos pontos interiores do circulo unitário.
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• Continuação da Análise da função
• A segunda transformação é simplesmente a reflexão do
eixo real “x”.
• Observe que a imagem do circulo é o circulo de raio
a
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• Continuação da Analise da função
• Relações:
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• Suponha:
• Mapeamento:
• Relações:
• O circulo que não passa pela origem no plano z é
transformado num circulo que não passa pela origem no
plano w.
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• A linha que não passa pela origem no plano z é
transformada num circulo que passa pela origem no plano
w.
• Uma linha que passa pela origem no plano z é
transformada numa linha que passa pela origem no plano
w.
• Note que a linha é transformada no circulo:
• Note que a linha é transformada no circulo:
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• Resultados:
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• A metade do plano possui imagem na região
• A imagem de qualquer ponto da metade do plano está
dentro do circulo.
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• Exemplo: Mostre que a transformação é a rotação
do plano z pelo ângulo . Encontre a imagem de
• Exemplo: mostre que a transformação mapeia
metade do plano dentro da metade do plano
• Encontre a região na qual a metade do plano é
mapeada pela transformação
• Mostre que se , a imagem do plano da
transformação é o interior de um circulo.
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• A função 1/z é útil na análise de funções quando o ponto
no infinito está envolvido.
• Se a função é continua no infinito então
• O número pode ser determinado por
• Pode-se considerar continua no ponto por .
Quando o limite de quando tende a é 0.
Mapeamento Usando Funções
Elementares
• Exemplo:
• Exemplo: determine e para
Mapeamento Usando Funções
Elementares
Parte 5
Integrais de Funções
Complexas
• A integral de uma função real de uma variável é uma
soma infinitésimos, sendo cada parcela o valor da função
em um ponto do intervalo de integração multiplicado pelo
comprimento de um segmento infinitesimal em torno
desse ponto.
• Em alguns casos necessita-se estender a definição do
integrando para o conjunto dos números complexos.
• Dois teoremas importantes: integral de Cauchy e o
teorema de resíduos.
Integrais de Funções
Complexas
• A função é integrada ao longo de um caminho no
plano complexo.
Integrais de Funções
Complexas
• Pode-se parametrizar o caminho ao longo do plano :
• A curva é dita suave se existe um vetor tangente à mesma
ao longo de todos os pontos.
• Integral de linha (ou de caminho) de ao longo de
Integrais de Funções
Complexas
• Se o caminho é fechado, a integral de linha é denominada
integral de contorno de
• Importante: Se o caminho é suave e é continua ao
longo de , então sempre existe.
• A integral de linha ao longo pode ser expressa por:
Integrais de Funções
Complexas
• Propriedades:
–
– .
–
– .
–
–
Integrais de Funções
Complexas
• Exemplo: Calcule a integral , onde é a linha reta
ligando os pontos e .
• Exemplo: Calcule a integral
onde circulo de raio centrado em e é um inteiro.
• Exemplo: calcule para o caminho abaixo.
Integrais de Funções
Complexas
C zdz /
• Tipos de curvas:
– Curva simples (arco de Jordan) não há interseccionamento. A
exceção é uma curva simples fechada ou contorno fechado.
– Curva não simples.
Tipos de Curvas e Domínios no
Plano Complexo
• Tipos de domínios (região):
– Região simplesmente conexa é uma região no plano complexo
tal que toda curva simples fechada dentro de cerca somente
pontos pertencentes a .
– Região multiplamente conexa: existe pelo menos uma curva
fechada contida em que cerca pontos que não pertencem a .
Tipos de Curvas e Domínios no
Plano Complexo
• Se uma função é analítica em todos
os pontos de um domínio simplesmente conexo , então
para todo contorno simples fechado no interior de .
• Se a função é analítica em uma região simplesmente
conexa , então dois pontos e , contidos em , a
integral independe do caminho que liga os pontos.
Teorema de Cauchy
• Exemplo: Calcule a integral de num caminho que
ligue os pontos e .
• Exemplo: Calcule (centrada em zero)
Teorema de Cauchy
2)( zzf
0z iz 42
z
dz
• Teorema: Seja uma função analítica sobre um região r
delimitada pelo contorno simples fechado c e pelo
conjunto dos contornos {}{} , interiores a C e
que envolvem buracos que podem conter singularidades
isoladas ou não. Então:
Deformação do Contorno de
Integração
Deformação do Contorno de
Integração
Deformação do Contorno de
Integração
• Exemplo: Avalie onde é qualquer contorno
simples fechado e (a) está fora de e (b) está dentro
de
Fórmulas Integrais de Cauchy
• Teorema: Seja uma função analítica em uma região
simplesmente conexa e é um ponto qualquer no
interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então:
• Exemplo: Calcule a integral , sendo a
circunferência de raio unitário e com centro em (a) e
(b)
Fórmulas Integrais de Cauchy
• Teorema: Seja uma função analítica em uma região
simplesmente conexa e é um ponto qualquer no
interior, a qual é delimitada pelo contorno simples , então:
• Exemplo: Calcule
Sendo um contorno simples que não passa por .
Considere (a) não envolve (b) envolve
Integrais Indefinidas
• Considere e analíticas na região e .
Então é denominado integral indefinida de :
• Exemplo:
Integral de Algumas Funções
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Seqüência complexa é um conjunto de números
complexos.
• A seqüência pode ser finita ou infinita.
• Exemplo:
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• A seqüência complexa é dita ser convergente para o
número se, dado , pode-se encontrar o número
positivo tal que para cada . Pode-se
escrever:
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Exemplos:
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• A seqüência complexa , pode ser expressa
pelas partes reais e imaginárias: e
• Se a parte real converge para e a seqüência da parte
imaginária , então a seqüência complexa converge para o
valor .
• Exemplo:
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Se e , então
–
– .
– .
– .
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Suponha seja uma dada seqüência.
• Forma-se uma nova seqüência definida por
• A soma infinita é definida por série.
• Se existe, a série é denominada
convergente
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• A condição necessária para série convergir é
• Exemplo: Prove que se a série converge, então:
• Prove que
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• As seqüências e séries de constantes são estendidas
para seqüências e séries de funções.
• Considere , uma seqüência de
funções de definidas e unívocas em alguma região do
plano .
• Defini-se para
• A seqüência é convergente para .
• Região de convergência
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Soma parcial:
• Série infinita:
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Condição necessária para série convergir é
• Se a série converge para todos os valores de na
região , denomina-se a região de convergência da
série.
• Exemplo: Usando a definição, prove que
• Exemplo: Prove que a série
converge para
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• A série é absolutamente convergente se a série dos
valores absolutos converge.
• Se a série converge mas não
converge, então a série é condicionalmente
convergente.
• Exemplo: Prove que a série é absolutamente
convergente.
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• A seqüência é uniformemente convergente se
depende somente de .
• O conceito se estende a séries.
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Série de potência em :
• Em geral, a série converge para
• Diverge para
• Pode ou não convergir para
• Raio de convergência . Casos especiais: e
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Os testes de convergência determinam uma condição
necessária e suficiente para convergência de uma
determinada série.
• Teste de convergência absoluta:
– Teste da razão: Dada a série , a convergência
absoluta na região é assegurada se:
– Ocorre a divergência para . Não há informação
quando
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Exemplo: Mostre que a série complexa converge.
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Séries de potência com raios de convergência não nulos
podem representar funções analíticas.
• Exemplo: a série centrada na origem do plano
complexo.
• Teste da razão:
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• O raio de convergência é definido por:
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Teorema de Taylor: Seja uma função analítica
sobre a região , delimitada pela circunferência
centrada em e de raio . Se é um ponto interior a
então pode ser expandida em uma série de Taylor
centrada em
• A qual converge para quando
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Exemplo:
• No caso particular de a série é denominada série
de Maclaurin.
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Dedução da série de Taylor:
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Séries de Laurent: Seja uma função analítica ao
longo dos contornos circulares concêntricos e , de
raios e , bem como na região anelar
delimitada por e . Então em cada ponto neste
região, a função pode ser representada por:
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Parte analítica
• Parte principal
• A série Laurent pode ser generalizada
Representação em Séries de
Funções Analíticas
• Encontre a série de Laurent sobre as singularidades
indicadas para as funções:
– .
– ,
• Encontre a série de Laurent de para:
Integração no Plano Complexo
pelo Método dos Resíduos
• O teorema de Cauchy será estendido a casos onde o
integrando não é analítico.
• Cada singularidade isolada contribui com um termo ao
resultado da integral, sendo este termo proporcional ao
resíduo da singularidade.
Integração no Plano Complexo
pelo Método dos Resíduos
• Seja unívoca e analítica no interior e sobre um
contorno fechado simples , exceto num ponto , o
qual é interno a . Se o ponto é uma singularidade
isolada de , então existe um número real tal
que para a função pode ser
desenvolvida em termos da série de Laurent
Integração no Plano Complexo
pelo Método dos Resíduos
• Em particular, para obtém-se
• O número complexo é denominado resíduo de
no ponto singular isolado.
• Notação comum:
Integração no Plano Complexo
pelo Método dos Resíduos
• Teorema: Seja uma função analítica no interior e ao
longo de um contorno simples fechado , exceto em um
número finito de pontos singulares isolados
localizados no interior de . Se
são os resíduos de nestes pontos singulares, então
Integração no Plano Complexo
pelo Método dos Resíduos
• Cálculo de resíduos:
– Direto da definição
– Pólos de ordem m em
Integração no Plano Complexo
pelo Método dos Resíduos
• Exemplo: encontre os resíduos da função
• Avalie ao redor do circulo