van nobel
DESCRIPTION
bookTRANSCRIPT
TEOREMA DE VAN OBEL
Seja X o encontro das cevianas AP, BQ e CR de um triangulo ABC. Entao
AX
XP=
AR
RB+
AQ
QC
A
B CP
Q
R
X
Menelau no triangulo APC com pontos colineares B,X,Q fornece
(1)AX
XP
PB
BC
CQ
QA= −1
Menelau no triangulo ABP com pontos colineares C, X,R fornece
(2)AR
RB
BC
CP
PX
XA= −1
De (1) vem que AXXP
PBBC
= − QACQ
ou seja
(3)AX
XP
BP
BC=
AQ
QC
De (2) vem que ARRB
BCCP
= − XAPX
ou seja
(4)AX
XP
PC
BC=
AR
RB
Somando (3) e (4) obtemos AXXP
(BPBC
+ PCBC
) = AQQC
+ ARRB
. Mas BPBC
+ PCBC
= 1. Portanto,AXXP
= AQQC
+ ARRB
.
Analogamente,BX
XQ=
BP
PC+
BR
RA
CX
XR=
CP
PB+
CQ
QA
Obs: Se X e o centroide do triangulo ABC entao ARRB
= BPPC
= AQQC
= 1. Neste
caso, AXXP
= ARRB
+ AQQC
= 2 e tambem BXXQ
= CXXR
= 2.