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Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação Programa de Pós-Graduação em Educação - Mestrado Vagner Viana da Graça O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU POR ATIVIDADES Belém 2011

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Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação Programa de Pós-Graduação em Educação - Mestrado

Vagner Viana da Graça

O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU POR

ATIVIDADES

Belém 2011

Vagner Viana da Graça

O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU POR ATIVIDADES

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação. Linha: Formação de Professores Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá

Belém 2011

Dados Internacionais de Catalogação na publicação

Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA

Graça, Vagner Viana da O ensino de problemas do 1º grau por atividades. /Vagner Viana da Graça.

Belém, 2011.

Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém,

2011.

Orientação de: Pedro França de Sá

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Solução de problemas. 3. Matemática

(Primeiro Grau). I. Sá, Pedro França de, Orient. . II. Título.

CDD: 21 ed. 510.7

Vagner Viana da Graça

O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU POR ATIVIDADES

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação. Linha: Formação de Professores Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá

Data de aprovação: 27/08/2011 Banca Examinadora:

_______________________________________ - Orientador Pedro Franco de Sá Doutor em Educação Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia

_______________________________________ - Membro Externo Josinalva Estacio Menezes Doutora em Educação Universidade de Brasília

_______________________________________ - Membro Interno Maria do Perpetuo Socorro Cardoso da Silva Doutora em Lingüística Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia

_______________________________________ - Examinador Suplente Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica Universidade do Estado do Pará/ Universidade da Amazônia

DEDICATÓRIA

Dedico aos meus pais, Edna e Haylton, aos meus irmãos, Victor e Vanessa,

e a minha namorada, Mônica Suelen, assim como a todos que acreditaram e me

deram apoio nesse importante passo de minha vida.

Vagner Viana da Graça

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, por me fortalecer e guiar por este caminho

de conquista e superação.

Aos meus amados pais, Edna e Haylton, que me motivaram e auxiliaram nos

momentos de dificuldades e desânimo, consentindo assim, essa conquista.

Aos meus irmãos e parentes que incentivaram e contribuíram de alguma

forma para a realização deste trabalho compartilhando suas experiências e ajudando

sempre que solicitados.

A minha namorada, Mônica Suelen, por sua compreensão, na minha

ausência, seu incentivo incondicional e seu amor que me encorajou nesta conquista.

A Universidade do Estado do Pará (UEPA) pela oportunidade.

Ao Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA pela oportunidade.

Ao Professor Pedro Franco de Sá pela oportunidade, ensinamentos, atenção

e por ser além de professor um amigo, dando-me conselhos e mostrando seu

exemplo de vida.

A Professora Josinalva Estacio Menezes pelas contribuições dadas e pela

extrema competência na avaliação deste trabalho.

A Professora Maria do Perpetuo Socorro Cardoso da Silva pelas

contribuições dadas e pela extrema competência na avaliação deste trabalho.

A Professora Fábio José da Costa Alves pelas contribuições dadas e pela

extrema competência na avaliação deste trabalho.

Aos alunos do 7º ano, sem os quais este trabalho não seria possível.

Aos funcionários Jorge Farias Figueiredo, Francisco Pinheiro Pereira e

Elizete Veras pelos auxílios administrativos.

Aos professores do curso de Mestrado, pelas contribuições e por terem me

possibilitado ampliar meus conhecimentos.

Vagner Viana da Graça

”O”O”O”O que mais me revolta nas que mais me revolta nas que mais me revolta nas que mais me revolta nas

matemáticas são as suas matemáticas são as suas matemáticas são as suas matemáticas são as suas

aplicações práticas”aplicações práticas”aplicações práticas”aplicações práticas”

Mário QuintanaMário QuintanaMário QuintanaMário Quintana

RESUMO

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades. 2011. 228 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011. Este trabalho apresenta os resultados de estudo que teve como objetivo geral investigar os efeitos de um conjunto de atividades sobre o desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do ensino fundamental. A metodologia adotada foi a engenharia didática. A análise previa foi composta por: levantamento de estudos sobre resolução de problemas do 1º grau; pesquisa de campo sobre o processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo professores de matemática e uma pesquisa de campo sobre o processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo discentes do 8º ano do ensino fundamental. Na etapa de concepção e análise a priori apresentamos um conjunto de atividades para o ensino de problemas do 1º grau com a respectiva análise. Durante a experimentação desenvolvemos uma sequência didática que foi aplicada a 36 alunos do 7º ano do ensino fundamental de uma escola pública na cidade de Belém do Pará. A sequência didática aplicada contém nove atividades, sendo divididas igualmente em 3 grupos: atividades para o ensino de tradução; atividades de problemas do 1º grau com uma incógnita; e, atividades de problemas envolvendo sistemas do 1º grau. Antes e depois de cada grupo de atividades realizamos diagnósticos. As análises dos testes apontaram resultados relevantes e mostraram que os alunos tiveram um aumento no percentual de acertos em resolução de problemas do 1º grau, dessa forma, concluímos que a sequência didática aplicada favoreceu o aprendizado da resolução dos problemas do 1º grau. Palavras-chave: Educação. Educação Matemática. Ensino de Problemas do 1º grau.

ABSTRACT

GRAÇA, V. V. The teaching of problems 1st grade for activities. 2011. 228 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2011. This paper presents the results of a study that aimed to investigate the general effects of a set of activities on the performance in solving problems of a high school in the 7th grade of elementary school. The methodology adopted was the didactic engineering. The analysis provided is comprised of: a survey of studies on solving problems of a degree, field research on the process of teaching and learning of problem solving in the 1st degree to teachers of mathematics and a field research on the teaching learning troubleshooting of a second degree students 8th grade of elementary school. In the stage of design and a priori analysis we present a set of activities for teaching a degree of problems with their analysis. During the trial developed an instructional sequence that was applied to 36 students in the 7th grade of elementary education at a public school in the city of Belém do Pará The sequence contains nine applied teaching activities, being equally divided into 3 groups: activities for teaching translation; activities of the problems with an unknown degree, and activities of problems involving systems of one degree. Before and after each group of activities performed diagnostics. Analysis of the tests showed significant results and showed that the students had an increase in the percentage of correct answers in troubleshooting of a degree, therefore, conclude that the instructional sequence applied learning favored the resolution of the problems of a degree. Keywords: Education. Mathematics Education. Teaching of Problems 1st grade.

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Média de acertos nos testes de tradução em linguagem

matemática

136

Gráfico 2 - Relação entre a média de acertos nos testes de tradução em

linguagem matemática e o perfil dos alunos do 7º ano

137

Gráfico 3 - Percentual de acerto dos alunos nos testes de tradução em

linguagem matemática

140

Gráfico 4 - Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre

tradução e o desempenho dos alunos no pós-teste do assunto

142

Gráfico 5 - Desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º

grau com uma incógnita

157

Gráfico 6 - Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre

problemas do 1º grau com uma incógnita e o desempenho dos

alunos do 7º ano no pós-teste do assunto

159

Gráfico 7 Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas

do 1º grau com uma incógnita

161

Gráfico 8 - Relação entre a média de acertos nos testes de tradução em

linguagem matemática e o perfil dos alunos do 7º ano

161

Gráfico 9 - Desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas

envolvendo sistemas do 1º grau

176

Gráfico 10 - Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre

problemas envolvendo sistema do 1º grau e o desempenho dos

alunos do 7º ano no pós-teste de assunto

178

Gráfico 11- Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas

envolvendo sistema do 1º grau

180

Gráfico 12 - Média de acertos nos pós-testes 181

Gráfico 13 - Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes 188

Gráfico 14 - Relação entre o percentual de acertos dos alunos do 7º ano no

pós-teste de tradução e o percentual de acertos no pós-teste

geral

192

Gráfico 15- Desempenho dos alunos do 7º ano no pós-teste geral 196

Gráfico 16 - Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes 197

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Síntese da sequência didática de Rocha e Bittar (2010) 35

Quadro 2 - Encontros da experimentação 93

Quadro 3 - Relação entre o gosto pela matemática e o hábito de estudo dos

alunos do 7º ano

96

Quadro 4 - Relação entre o gosto pela matemática e o sexo dos alunos do 7º

ano

96

Quadro 5 - Relação entre o gosto pela matemática e a dificuldade dos alunos

do 7º ano

97

Quadro 6 - Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo, e os

acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste geral

128

Quadro 7- Relação do gosto pela matemática, o hábito de estudo e os acertos

dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução em linguagem

matemática

143

Quadro 8 - Equívocos identificados no pós-testes de tradução em linguagem

matemática

144

Quadro 9 - O hábito de estudo dos alunos do 7º ano que tiveram desempenho

inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução em linguagem

matemática

146

Quadro 10 - Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e

acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste de problemas do 1º grau

com uma incógnita

148

Quadro 11 - Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e os

acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de problemas do 1º grau

com uma incógnita

160

Quadro 12 - Relação entre o hábito de estudo fora do ambiente escola e se

recebiam ajuda nesse estudo dos alunos do 7º ano com baixo

desempenho de acertos no pós-teste de problemas do 1º grau com

uma incógnita

164

Quadro 13 - Tipos de registros feitos pelos alunos do 7º ano identificados nos

testes de problemas do 1º grau com uma incógnita

166

Quadro 14 Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e os

acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste de problemas envolvendo

sistemas do 1º grau

169

Quadro 15 - Relação entre os acertos dos alunos do 7º ano nos testes de

problemas envolvendo sistema do 1º grau, o gostar de matemática

e o hábito de estudo

180

Quadro 16 - Tipos de registros identificados nos testes de problemas de sistema

do 1º grau

182

Quadro 17 - Relação entre o hábito de estudo dos alunos do 7º ano com baixo

desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º

grau e se recebiam ajuda

184

Quadro 18 - Alunos do 7º ano com baixo desempenho nos pós-testes realizado

no experimento

185

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem envolvendo

problemas do 1º grau segundo os professores de matemática

44

Tabela 2 - Como os professores de matemática iniciam o ensino de problemas

do 1º grau

45

Tabela 3 - Como os professores de matemática fixão o ensino de problemas

do 1º grau

46

Tabela 4 - Principal dificuldade no ensino de problemas do 1º grau em relação

ao tempo de serviço do professor matemática

46

Tabela 5 - Relação entre a quantidade de alunos do 8º ano que resolveram os

problemas do 1º grau e as técnicas utilizadas na resolução destes

problemas

48

Tabela 6 - Tipos de registros feitos pelos alunos do 8º ano durante a resolução

dos problemas de 1º grau

51

Tabela 7 - Relação entre o percentual de alunos do 7º ano que resolveram os

problemas do pré-teste geral e as técnicas utilizadas para a

resolução destes problemas

127

Tabela 8 - Percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente os

enunciados do pré-teste de tradução em linguagem matemática

130

Tabela 9 - Comparação entre o percentual de alunos do 7º ano que traduziram

coerentemente o pré-teste e o pós-teste de tradução em linguagem

matemática

135

Tabela 10 - Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de

linguagem matemática

138

Tabela 11 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano no experimento

envolvendo tradução em linguagem matemática e desempenho no

pós-teste do referido assunto

140

Tabela 12 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades

envolvendo tradução em linguagem matemática e o desempenho

no pós-teste de tradução

142

Tabela 13 - Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo, e os

acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução em

linguagem matemática

143

Tabela 14 - Perfil dos alunos que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos

no pós-teste de tradução em linguagem matemática

145

Tabela 15 - Relação entre o gostar de matemática e as dificuldades dos alunos

do 7º ano que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos no

pós-teste de tradução em linguagem matemática

145

Tabela 16 - Percentual de alunos do 7º ano que acertaram cada problema do

pré-teste envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita

147

Tabela 17 - Percentual de alunos do 7º ano que acertaram os problemas dos

testes envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita

154

Tabela 18 - Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de

problemas do 1º grau com uma incógnita

155

Tabela 19 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades

envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o percentual

de acertos no pós-teste destes problemas

157

Tabela 20 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º anos nas atividades

envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o

desempenho no pós-teste de problemas do 1º grau

159

Tabela 21 - Relação entre o gosto pela matemática, as dificuldades em

matemática e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste

de problemas do 1º grau com uma incógnita

160

Tabela 22 - Perfil dos alunos do 7º ano que não tiveram bom desempenho no

pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

162

Tabela 23 - Relação entre o gostar de matemática e o hábito de estudo dos

alunos do 7º ano que tiveram baixo desempenho no pós-teste de

problemas do 1º grau

163

Tabela 24 - Percentual de alunos que acertaram os problemas propostos no

pré-teste envolvendo sistemas do 1º grau

169

Tabela 25 - Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de

problemas envolvendo sistema do 1º grau

174

Tabela 26 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades de

problemas envolvendo sistema do 1º grau e desempenho no pós-

teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau

177

Tabela 27 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades

envolvendo sistemas do 1º grau e o desempenho no pós-teste de

problemas envolvendo sistema do 1º grau

179

Tabela 28 - Relação entre o percentual de acertos dos alunos do 7º ano no pós-

teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau, o gostar de

matemática e as dificuldades em matemática

179

Tabela 29 - Perfil dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-teste de

problemas envolvendo sistemas do 1º grau

183

Tabela 30 - Relação entre o gostar de matemática e as dificuldades em

matemática dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-

teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau

184

Tabela 31 - Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes 186

Tabela 32 - Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades e

desempenho nos pós-testes

189

Tabela 33 - Relação entre o percentual de alunos que acertaram os problemas

do pós-teste geral e o percentual de alunos que utilizaram as

técnicas para resolução destes problemas

192

Tabela 34 - Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes

gerais

194

Tabela 35 - Relação entre o gostar de matemática, as dificuldades em

matemática e os acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste geral

196

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ----------------------------------------------------------------------------------- 19

1. ANÁLISES PRÉVIAS ----------------------------------------------------------------------- 23

1.1. ESTUDOS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU: PANORAMA E PERSPECTIVAS ------------------------------------------------------- 23

1.1.1. ESTUDOS DIAGNÓSTICOS ------------------------------------------------- 23

1.1.2. ESTUDOS EXPERIMENTAIS ------------------------------------------------ 31

1.1.3. ESTUDOS TEÓRICOS -------------------------------------------------------- 38

1.2. O ENSINO – APRENDIZAGEM DE PROBLEMAS DO 1º GRAU SEGUNDO PROFESSORES DE MATEMÁTICA ---------------------------------- 43 1.3. O ENSINO – APRENDIZAGEM DE PROBLEMAS DO 1º GRAU SEGUNDO ALUNOS ---------------------------------------------------------------------- 48

1.4. SÍNTESE DAS ANÁLISES PRÉVIAS -------------------------------------------- 52

2. CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI ------------------------------------------------- 56

2.1. TESTES GERAIS --------------------------------------------------------------------- 57

2.2. TESTES DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA -------------- 61

2.3. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE TRADUÇÃO DE ENUNCIADOS ESCRITOS EM LÍNGUA OFICIAL BRASILEIRA PARA LINGUAGEM MATEMÁTICA ------------------------------------------------------------------------------- 66

2.3.1. ATIVIDADE 01 ------------------------------------------------------------------- 66

2.3.2. ATIVIDADE 02 ------------------------------------------------------------------- 67

2.3.3. ATIVIDADE 03 ------------------------------------------------------------------- 69

2.4. TESTES DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA ------ 71

2.5. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA --------------------------------------------------------------------------- 73

2.5.1. ATIVIDADE 01 ------------------------------------------------------------------- 73

2.5.2. ATIVIDADE 02 ------------------------------------------------------------------- 78

2.5.3. ATIVIDADE 03 ------------------------------------------------------------------- 79

2.6. TESTES DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU --- 83

2.7. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DO 1º GRAU ----------------------------------------------------------------- 84

2.7.1. ATIVIDADE 01 ------------------------------------------------------------------- 84

2.7.2. ATIVIDADE 02 ------------------------------------------------------------------- 89

2.7.3. ATIVIDADE 03 ------------------------------------------------------------------- 90

3. EXPERIMENTAÇÃO ----------------------------------------------------------------------- 92

3.1. PRIMEIRA SESSÃO ------------------------------------------------------------ 94

3.2. SEGUNDA SESSÃO ------------------------------------------------------------ 97

3.3. TERCEIRA SESSÃO ------------------------------------------------------------ 99

3.4. QUARTA SESSÃO -------------------------------------------------------------- 102

3.5. QUINTA SESSÃO ---------------------------------------------------------------- 104

3.6. SEXTA SESSÃO ----------------------------------------------------------------- 106

3.7. SÉTIMA SESSÃO ---------------------------------------------------------------- 106

3.8. OITAVA SESSÃO ---------------------------------------------------------------- 107

3.9. NONA SESSÃO ------------------------------------------------------------------ 109

3.10. DÉCIMA SESSÃO -------------------------------------------------------------- 110

3.11. DÉCIMA PRIMEIRA SESSÃO ---------------------------------------------- 112

3.12. DÉCIMA SEGUNDA SESSÃO ---------------------------------------------- 113

3.13. DÉCIMA TERCEIRA SESSÃO --------------------------------------------- 113

3.14. DÉCIMA QUARTA SESSÃO ------------------------------------------------ 116

3.15. DÉCIMA QUINTA SESSÃO ------------------------------------------------- 118

3.16. DÉCIMA SEXTA SESSÃO --------------------------------------------------- 124

3.17. DÉCIMA SÉTIMA SESSÃO ------------------------------------------------- 124

4. ANÁLISES A POSTERIORI E VALIDAÇÃO ----------------------------------------- 126

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS --------------------------------------------------------------- 198

REFERÊNCIAS ---------------------------------------------------------------------------------- 201

APÊNDICE A ------------------------------------------------------------------------------------- 206

APÊNDICE B ------------------------------------------------------------------------------------- 209

APÊNDICE C ------------------------------------------------------------------------------------- 211

APÊNDICE D ------------------------------------------------------------------------------------- 219

APÊNDICE E ------------------------------------------------------------------------------------- 227

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 19

INTRODUÇÃO

A nossa formação inicial como professor de matemática ocorreu pela

Universidade do Estado do Pará (UEPA), no curso de licenciatura em matemática, a

escolha por esse curso motivada ainda durante o ensino médio, pois era a disciplina

que tínhamos afinidade. Depois da graduação, cursamos uma especialização em

educação matemática na UEPA onde tivemos a oportunidade de dialogar com

professores de matemática de diferentes modalidades de ensino. Assim tivemos a

oportunidade ampliamos a discussão sobre resolução de problemas em matemática.

A partir dessa formação docente um pensamento, dentre vários, se tornou

mais fecundo, a Matemática pode contribuir à formação do aluno quanto cidadão,

fornecendo meios para progredir no trabalho futuramente irá desempenhar. Na rede

pública do Estado do Pará, como professor efetivo, numa escola localizada no bairro

do Guamá, nossa atividade se direcionou, durante 2 (dois) anos, ao ensino de

matemática para o 7º ano do ensino fundamental. Nesse período uma de nossas

angustias foi o fato de que a maioria dos alunos não conseguia resolver os

problemas que envolviam as equações e os sistemas do 1º grau, os conhecidos

problemas do 1º grau. Mas, reconhecemos que tínhamos dificuldades no ensino

destes problemas, e então passamos a estudar sobre esses problemas no curso de

mestrado em educação.

Então, buscamos no âmbito do programa de pós-graduação em educação

responder a seguinte pergunta: quais os efeitos de um conjunto de atividades

sobre o desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do

ensino fundamental? Por conseguinte nosso objetivo geral foi investigar os

efeitos de um conjunto de atividades sobre o desempenho em resolução de

problemas do 1º grau no 7º ano do ensino fundamental. A metodologia de

pesquisa desenvolvida foi à engenharia didática por acreditarmos ser a metodologia

mais adequada para este tipo de estudo.

A educação matemática é uma área de pesquisa educacional, cujo objeto

de estudo é a compreensão, interpretação e descrição de fenômenos referentes ao

ensino e à aprendizagem da matemática, nos diversos níveis da escolaridade, quer

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 20

seja em dimensão teórica ou prática. Pais (2008) explica que a consolidação dessa

área de pesquisa, é relativamente recente, quando comparada com a história

milenar da matemática, e o seu desenvolvimento recebeu grande impulso, nas

últimas décadas, dando origem a várias tendências teóricas, cada qual valorizando

determinadas temáticas educacionais do ensino da matemática. O pesquisador

ainda informa que entre as várias tendências que compõem a educação matemática,

no Brasil, tem-se a didática da matemática que se caracteriza pela influência

francesa, cujo objeto de estudo é a elaboração de conceitos e teorias que sejam

compatíveis com a especificidade educacional do saber escolar matemático,

procurando manter vínculos com a formação de conceitos matemáticos, tanto em

nível experimental da prática pedagógica, como em nível de pesquisa acadêmica.

Dessa forma, todos os conceitos didáticos se destinam a favorecer à

compreensão das múltiplas conexões entre a teoria e a prática. A partir dessa

compreensão, temos a metodologia de pesquisa a engenharia didática que emergiu

no início dos anos 1980. Segundo Artigue (1996), a engenharia didática é uma forma

de trabalho didático comparável ao trabalho do engenheiro que, para realizar um

projeto, se apóia em conhecimentos científicos da área, e se submete a um controle

do tipo científico, que também trabalha objetos mais complexos que os objetos

depurados pela ciência.

Almouloud (2007) explica que a engenharia didática, vista como

metodologia de pesquisa, é caracterizada, em primeiro lugar, por um esquema

experimental com base em realizações didáticas em sala de aula. Caracteriza-se

também pelo registro em que se situa e pelos modos de validação que se dá pela

comparação entre análise a priori e análise a posteriori. Esse tipo de engenharia

pode ser utilizado em pesquisas que estudam os processos de ensino e

aprendizagem de um dado objeto matemático e, em particular, a elaboração de

gêneses artificiais para um dado conceito. Nessa metodologia de pesquisa se

identifica algumas fases de seu desenvolvimento, na seguinte seqüência: (1º)

análises prévias; (2º) construção das situações-problema e análises a priori; (3º)

aplicação da seqüência didática; e (4º) análise a posteriori e validação.

Conforme Pais (2008), nas análises prévias, o objeto de estudo é

submetido a uma análise preliminar, através da qual se fazem as devidas

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 21

inferências, como: levantar constatações empíricas e destacar concepções da

realidade sobre a qual a experiência será realizada. Para melhor organizar essa

análise, o mesmo autor recomenda proceder a uma descrição das principais

dimensões que definem o fenômeno a ser estudado e que se relacionam com o

sistema de ensino permeado pelas concepções epistemológica, cognitiva,

pedagógica, entre outras.

Com a finalidade de analisar previamente o ensino e aprendizagem de

problemas do 1º grau realizamos um levantamento de estudos sobre resolução de

problemas do 1º grau na educação básica; uma pesquisa de campo sobre o

processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo

professores de matemática e outra pesquisa de campo sobre o processo de ensino

aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo discentes do 8º ano

do ensino fundamental.

A segunda fase da engenharia didática consiste na definição de certo

número de variáveis de comando do sistema de ensino que supostamente

interferem na constituição do fenômeno, essas devem ser articuladas e devidamente

analisadas no transcorrer da seqüência didática. Entendemos por seqüência

didática, certo número de aulas planejadas e analisadas previamente com a

finalidade de observar situações de aprendizagem, envolvendo os conceitos

previstos na pesquisa didática. Ou seja, orientada pelas análises prévias,

apresentamos um conjunto de atividades para o ensino de problemas do 1º grau a

ser desenvolvido no 7º ano do ensino fundamental da educação básica. Cada

atividade desenvolvida para compor a sequência didática necessita ter uma análise

a priori que consistem em determinar quais são as variáveis escolhidas sobre as

quais se torna possível exercer algum tipo de controle, relacionando o conteúdo

estudado com as atividades que os alunos poderiam desenvolver para a apreensão

dos conceitos em questão. A sequência didática aplicada contém 9 (nove)

atividades, sendo divididas igualmente em 3 (três) grupos: atividades para o ensino

de tradução de enunciados escritos em língua oficial brasileira para linguagem

matemática; atividades para o ensino de problemas do 1º grau com uma incógnita;

e, atividades para o ensino de problemas envolvendo sistemas do 1º grau. Antes e

depois de cada grupo de atividades aplicamos testes.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 22

A terceira fase da engenharia didática é uma etapa que garanti a

proximidade dos resultados práticos com a análise teórica. Essa aplicação se

estabelece por aulas denominadas de sessões, tendo em vista o seu caráter

específico para a pesquisa, ou seja, não são aulas comuns no sentido da rotina de

sala de aula. Assim, a sequência didática desenvolvida durante a segunda fase da

engenharia didática de nosso estudo foi aplicada a 36 alunos do 7º ano do ensino

fundamental de uma escola pública localizada na cidade de Belém do Pará.

A última fase de nossa pesquisa consistiu na análise a posteriori e

validação da sequência didática. Essa fase se apoiou sobre todos os dados colhidos

durante a experimentação constante das observações realizadas durante cada

sessão de ensino, bem como das produções dos alunos em classe. Finalmente, foi

da confrontação das análises a priori e a posteriori que validamos as hipóteses

levantadas no inicio da engenharia. As seções de nosso estudo tomam como base

as etapas da engenharia didática descritas acima, por isso na primeira seção

apresentamos as análises prévias; na segunda seção apresentamos a concepção e

a análise a priori; na terceira seção descrevemos a experimentação; na quarta seção

realizamos a análise a posteriori e validação; por último, na quinta seção tecermos

as considerações finais.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 23

1. ANÁLISES PRÉVIAS

Nesta seção nosso objetivo é apresentar os resultados dos estudos

realizados na etapa das analises previas. As analises previas foram compostas por:

levantamento de estudos sobre resolução de problemas do 1º grau; pesquisa de

campo sobre o processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º

grau segundo professores de matemática e uma pesquisa de campo sobre o

processo de ensino aprendizagem da resolução de problemas do 1º grau segundo

discentes do 8º ano do ensino fundamental.

1.1. ESTUDOS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU: PANORAMA

E PERSPECTIVAS

O levantamento bibliográfico consistiu na revisão de estudos relacionados

ao ensino de problemas do primeiro grau, visando obter informações sobre o

mesmo. Durante a pesquisa foram analisados 16 (dezesseis) estudos, que foram

agrupados nas seguintes categorias: estudos diagnósticos, estudos

experimentais e estudos teóricos. Os estudos diagnósticos são os estudos que

analisaram e identificaram algumas das dificuldades dos alunos em resolução de

problemas. Os estudos experimentais são aqueles que propõem e realizam

atividades de ensino envolvendo resolução de problemas. Os estudos teóricos são

aqueles que propõem alguns conceitos e ideias “novas” sobre problemas em

matemática

1.1.1. Estudos diagnósticos

Batista (2002) que procurou investigar se, e como diferentes suportes de

representação influenciam na compreensão de crianças e na forma como resolvem

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 24

diferentes problemas matemáticos inseridos no campo conceitual das estruturas

multiplicativas. A pesquisadora menciona que os suportes de representação são

parte essencial do processo de resolução de problemas, visto que não apenas

servem para expressar as formas de raciocinar adotadas pelas crianças ao

resolverem problemas, mas, também, viabilizam determinadas formas de operar

sobre as relações envolvidas nos problemas. Em particular, três diferentes tipos de

suportes de representação foram tratados neste estudo: um suporte gráfico (lápis e

papel) e dois tipos de suportes concretos – concreto neutro e concreto definido.

A investigação, segundo Batista (2002), foi realizada antes dos alunos

haverem sido formalmente instruídas sobre as operações de divisão e de

multiplicação no contexto escolar, uma vez que só receberiam essa instrução no

segundo semestre do ano letivo, e a coleta de dados foi conduzida no primeiro

semestre. Participaram do estudo, 60 (sessenta) crianças, de ambos os sexos, com

média de idade de 8 (oito) anos, alunos da 2ª série do ensino fundamental de uma

escola particular de classe média da cidade do Recife.

Salientamos que a inclusão do estudo de Batista (2002) neste trabalho foi

motivada pelo fato de constar uma importante discussão sobre os suportes de

representação e a relação destes com o ato de resolver um problema em

matemática. Ainda que o estudo deste pesquisador não se direcione de forma direta

com a série do ensino fundamental a qual participaram do nosso experimento

didático, acreditamos que o estudo dos suportes de representação na resolução de

problemas seja também vivenciado pelos alunos do 7º ano do ensino fundamental.

Batista (2002) informa que as crianças foram retiradas de 5 (cinco) turmas

da 2ª série, sendo 12 (doze) crianças de cada turma. Elas foram divididas

igualmente em três grupos, em função do tipo de representação fornecido para

resolução dos problemas. No grupo 1, foi disponibilizado lápis e papel para

resolução dos problemas; no grupo 2, foi disponibilizado fichas plásticas para

resolução dos problemas; e, no grupo 3, foi disponibilizado objetos que estavam

relacionados diretamente aos referentes das quantidades contidas nos enunciados

dos problemas.

Todas as crianças foram individualmente entrevistadas em uma única

sessão por um mesmo examinador, sendo solicitadas a resolver quatro problemas

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 25

(dois de divisão e dois de multiplicação) apresentados um por vez. Cada problema

era apresentado por escrito em uma cartela de papelão, sendo lido em voz alta pelo

examinador, juntamente com a criança. Após a resolução de cada problema, o

examinador, através de uma entrevista clínica, solicitava que a criança explicitasse

suas formas de resolução, fornecesse justificativas e explicações sobre o resultado

apresentado e sobre as ações realizadas. A pesquisa mostrou que as estratégias

adotadas para resolução de problemas variam quanto ao tipo de operação. Assim,

há estratégias que sempre levam ao erro, assim como há estratégias que sempre

levam ao acerto.

Temos ainda Marco (2004), que realizou uma pesquisa onde analisou

situações de resolução de problema de alunos do 7º ano do ensino fundamental,

com o propósito de investigar como os movimentos de pensamento matemático de

resolução de problema se processam quando alunos do ensino fundamental jogam e

criam jogos computacionais. As atividades desenvolvidas por Marcos (2004) foram

de caráter de ensino e pesquisa, objetivando a aprendizagem do aluno e saber os

seus procedimentos e elaborações na resolução de problema delas decorrentes.

Tratou-se de uma pesquisa de intervenção com análise interpretativa das

manifestações dos alunos durante o processo de jogar e criar um jogo

computacional.

Para Marco (2004), as análises evidenciaram que quando se propõem

situações de criação de jogos para os alunos resolverem, esses manifestam

momentos de hesitação e dúvidas que, a pesquisadora caracterizou por situações –

dilemática, mantendo-se nesta situação ou superando-a ao desenvolver

procedimentos de análise e síntese das variáveis dos problemas surgidos pelo ato

de criar o jogo.

Temos ainda Christo (2006) que buscou ampliar o significado do sinal de

“igual” para indicar respostas obtidas na resolução de problemas e em algoritmos, e

não para comparar expressões. As atividades desenvolvidas na pesquisa de Christo

(2006) tiveram como lócus da investigação uma classe de 7º ano do ensino

fundamental de uma escola pública, na zona leste da cidade de São Paulo, visando

conhecer a linguagem algébrica dessa população por meio de resolução de

problemas verbais, com ênfase na representação simbólica das variáveis

dependentes e independentes envolvidas, constituindo assim uma pesquisa-ensino,

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 26

tendo o pesquisador participado da pesquisa também como professor,

simultaneamente. Descrevendo, quantitativamente, regularidades presentes na

resolução das situações propostas, Christo (2006) constatou que os alunos:

• Construíram livremente expressões equivalentes e, pela familiaridade das

situações e pelas considerações sobre o envolvimento dos alunos na

tarefa, presume-se que expressaram ideias anteriormente apropriadas por

eles;

• Perceberam, nas situações que lhe foram apresentadas, a existência de

uma lei quantitativa de correspondência, identificando e determinado os

valores das variáveis dependentes e independentes;

• Construíram e interpretaram expressões algébricas simples das formas

�� + �, com � assumindo valores decimais em ℚ�. Daniel (2007) realizou um estudo com o objetivo de identificar os erros e

analisar os procedimentos e estratégias que alunos de 9º ano do ensino fundamental

de uma escola estadual utilizam para resolver equações algébricas de 1º grau. Para

tal, o pesquisador utilizou como ferramenta de apoio o software Aplusix, destinado

ao ensino e aprendizagem de Álgebra. O pesquisador explica que os erros foram

classificados e analisados de acordo com a propriedade matemática que foi

desrespeitada, independente da forma visual do mesmo. Para classificar os erros,

Daniel (2007) construiu as seguintes categorias: 1. Erros relacionados aos conceitos

de equação e incógnita; 2. Erros de transformações algébricas; 3. Erros decorrentes

da aplicação indevida de propriedades ou de "falsa regra"; 4. Erros decorrentes da

falta de atenção na escrita de uma nova equação; 5. Erros envolvendo cálculos

numéricos.

Quando é dado um problema em linguagem natural, o pesquisador

salienta que aparecem muitos erros na escrita da equação e na identificação da

incógnita, erros esses muitas vezes conceituais em relação à incógnita ou equação.

Outro erro frequente, apontado pelo estudo de Daniel (2007), ocorre quando a

incógnita é precedida do sinal negativo, pois muitos alunos assumem o sinal como

parte integrante da incógnita da equação. Assim, o pesquisador exemplifica, na

equação – = 2 os alunos não concluem que = −2.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 27

A aplicação de uma transformação algébrica em uma equação de 1º grau

conduz a uma nova equação, equivalente à primeira, possuindo a mesma solução

ou conjunto de soluções. Nesse processo, segundo Daniel (2007), os erros mais

frequentes foram: transformar somente um dos membros da igualdade da equação;

transformações diferentes em cada membro da igualdade da equação;

transformação sem aplicar corretamente a operação inversa quando um termo é

“transferido” de um membro para o outro da igualdade; os alunos dividem somente

um termo da equação.

Sobre os erros decorrentes da aplicação indevida de propriedades ou de

"falsa regra”, a maioria dos erros é devido à falta de conhecimento do aluno das

prioridades das operações. Os principais erros são: os alunos adicionam o

coeficiente da incógnita a um termo independente; na resolução de equações

contendo um produto de fatores, alguns alunos tratam um dos termos internos dos

parênteses, como sendo um termo independente; multiplicar somente um dos

termos em um dos membros da equação; os alunos efetuam transformações

multiplicativas errôneas, multiplicando ou dividindo por um determinado número

somente um termo de cada membro. Sobre os erros decorrentes à falta de atenção

na escrita de uma nova equação, geralmente, esse tipo de erro ocorre na escrita de

uma nova equação por distração do aluno, pois as novas equações são escritas a

partir das anteriores, em que são efetuadas transformações algébricas sucessivas

até chegar à resolução das mesmas.

Por sua vez, Roberto Junior (2007) realizou um estudo onde identificou

relações didáticas estabelecidas na tríade aluno – professor – conhecimento

matemático como um processo de ensinar matemática por meio da resolução de

problemas. O pesquisador estudou o modo como os alunos do 6º ano e 7º ano

resolvem exercícios e problemas, estes com enunciados curtos ou longos. A

pesquisa alicerçou-se a três teorias fortemente fundamentadas no conhecimento

sobre resolução de problemas enquanto atividade matemática e modalidade de

ensino para alunos do ensino fundamental: a didática teórica e prática, a heurística e

a resolução de problemas.

Roberto Junior (2007) alude que se costuma justificar a presença da

matemática no currículo escolar dizendo que esta desenvolve o raciocínio ou ensina

a pensar. Porém, a pesquisa apontou que as falas dos professores, bem como os

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 28

enunciados dos exercícios propostos demonstravam um ensinar matemática

dependente de instruções programadas pelo professor, o que levou o pesquisador a

questionar se, de fato, a matemática desenvolve o raciocínio e ensina a pensar.

O pesquisador verificou que os alunos demonstraram habilidades em

algoritmos, porém ao serem questionados quanto ao porquê de estar fazendo assim

e como chegaram à determinada solução, não souberam responder. Com isso o

pesquisador, advertiu que quando o professor não situa os alunos didaticamente,

utilizando diferentes contextos para diferentes situações, quando faz uso da

resolução de problemas, pode desencadear certa aversão em resolver problemas.

Não só aqueles de matemática, mas também da vida. Outro fato constatado por

Roberto Junior (2007) foi que mesmo nas respostas certas, os alunos considerados

bons resolvedores, pelos acertos, quando questionados sobre o modo como

resolveram deixaram claro que não havia garantia de que o conceito matemático

havia sido entendido por completo, nem tampouco o contexto do problema enquanto

situação cotidiana.

Coura (2008) realizou um estudo em que focalizou textos escritos pelos

alunos nas aulas de matemática nos quais as palavras predominam em relação aos

símbolos matemáticos. Esses textos foram produzidos pelos alunos de uma turma

de 7º ano do ensino fundamental de uma escola da rede pública de Belo Horizonte,

ao realizarem atividades de escrita propostas pelo professor e pela pesquisadora,

durante as aulas de matemática. Com esse interesse, a pesquisadora procurou

responder o seguinte: seria possível contribuir para o processo de aprendizagem

matemática através de uma abordagem que enfatizasse ou, ao menos, focalizasse

uma utilização mais destacada da língua materna? Logo o objetivo de Coura (2008)

foi de conhecer quais são as atividades de escrita presentes numa sala de aula de

matemática do 7º ano do ensino fundamental; e, de descrever e caracterizar a

realização de atividades de escrita pelos alunos dessa sala de aula de matemática.

Coura (2008) entende a denominação “língua materna” como a língua

enquanto disciplina escolar, bem como enquanto linguagem no âmbito da

comunicação oral e escrita. A pesquisadora explica que se aceitarmos que uma

linguagem pode ser conceituada, de forma objetiva e universal, como um sistema de

comunicação constituído por signos, social e historicamente determinados, então a

matemática será uma linguagem possuidora de uma escrita simbólica específica.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 29

Focalizando essa escrita simbólica, Coura (2008) considera a matemática como uma

linguagem formal, específica, que difere muito das linguagens naturais.

Segundo Coura (2008), em seu processo de comunicação, a matemática

utiliza a oralidade e a significação das palavras da língua materna em textos nos

quais os símbolos matemáticos se mesclam com as palavras. Quando esses textos

híbridos são compostos predominantemente de palavras, que conferem significado

ao texto, a linguagem natural assume a função de veículo, por meio do qual é

possível transmitir e compreender matemática. A pesquisadora ainda destaca que a

escrita simbólica é aquela em que predominam os símbolos matemáticos e a escrita

matemática é uma escrita que inclui estruturas gramaticais e formas de

argumentação da linguagem natural, na qual se utilizam, predominantemente, as

palavras em relação aos símbolos matemáticos.

Coura (2008) constatou que quando os alunos usam a escrita para

registrar, utilizam a linguagem, principalmente, para informar ou comunicar conceitos

matemáticos, procedimentos e aplicações. Para tanto, descrevem métodos ou

explicam a natureza dos conceitos matemáticos, fazendo uso da escrita matemática

para copiar informações do quadro ou do livro didático, ou ainda resumindo e

interpretando essas informações para registrá-las usando as próprias palavras.

A pesquisadora ressalta que ao utilizarem a escrita para expressar-se, os

estudantes manifestam, predominantemente, seus pensamentos, sentimentos e

opiniões a respeito de conteúdos estudados, de dados apresentados ou de

atividades da aula de matemática. Para isso, formulam considerações e também

explicam o que pensam. Nessa perspectiva, eles utilizam a escrita matemática com

o objetivo de expressar, com suas próprias palavras, as suas opiniões, mas também

fazem um uso criativo da linguagem ao procurar transmitir informações relacionadas,

de acordo com a sua interpretação e por meio da lógica e da argumentação

matemática.

Na escrita para explicar, prevalece a linguagem em sua função de

informar e instruir, por exemplo, o fato dos alunos explicarem como resolvem

equações e problemas. Para tanto, eles costumam relatar o que fazem para a

resolução das equações e dos problemas ou descrevem os métodos que utilizam

para isso. Nessa perspectiva, a escrita matemática foi usada pelos alunos para

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 30

explicar, com suas palavras e de forma resumida, o que haviam pensado e o que

tinham feito.

Por meio da escrita para traduzir, Coura (2008) explica que foi possível

verificar que os estudantes escreveram para tentar comunicar as informações

apresentadas mediante equações. Com esse objetivo, narraram situações que

haviam criado a partir dos termos dessas equações, o que indica que a escrita

matemática foi usada para traduzir termos da escrita simbólica, ou seja, quando os

alunos se deparam com um problema em língua materna o ato de traduzir se

manifesta pelas equações.

A pesquisadora constatou que a interação entre matemática e língua

materna influi no processo de aprendizagem daquela não somente no que se refere

à importância da leitura e compreensão nas aulas de matemática, mas também no

que se refere à escrita, o uso da língua materna contribui no trabalho com a

matemática, pois, à medida que os alunos conseguem estruturar de maneira clara e

objetiva seus raciocínios matemáticos estarão consolidando a aprendizagem dos

conteúdos trabalhados.

Por sua vez, Nishimoto (2008) realizou um trabalho com o objetivo de

investigar se o uso de diferentes linguagens influencia a competência de sujeitos do

ensino fundamental na resolução de problemas. A pesquisa foi um estudo qualitativo

sobre a aprendizagem de sujeitos de 8º ano, relativa a conceitos matemáticos e uso

de representações, baseado na teoria dos registros de representação semiótica de

Raymond Duval.

A pesquisadora salienta que um modelo pertinente para descrever as

condições de aquisição do conhecimento, deve estar centrado nas especificidades

de acesso à aprendizagem matemática, daí a importância das representações

semióticas e da coordenação dos diferentes registros. A pesquisadora concluiu que

o emprego de atividades que mobilizem, articuladamente, diferentes linguagens,

desenvolve o pensamento matemático e aumenta a competência de sujeitos do

ensino fundamental, na resolução de problemas. Em seguida, analisamos os

estudos da categoria estudo experimentais.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 31

1.1.2. Estudos experimentais

Pereira (2004) realizou um estudo tendo como objetivo principal verificar

qual é a contribuição da metodologia de ensino-aprendizagem através da resolução

de problemas para a disciplina matemática, no terceiro ciclo do ensino fundamental,

partindo de problemas geradores de novas ideias matemáticas. A pesquisadora

salienta que dentro da educação matemática, atualmente, o ensino-aprendizagem

de matemática através da resolução de problemas é visto como uma metodologia

alternativa, que visa um trabalho centrado nos alunos, a partir de problemas

geradores de novos conceitos e novos conteúdos matemáticos, levando-os a

construírem um conhecimento matemático através da resolução de problemas.

Nessa metodologia, o aluno participa da construção do conhecimento

com a orientação e supervisão do professor que, somente no final desse processo

de construção, formaliza as novas ideias construídas, utilizando notação e

terminologias corretas. Como resultado de sua aplicação, Pereira (2004) acredita

que o professor deve trabalhar a auto - estima do aluno, valorizando seus acertos e

os diferentes caminhos escolhidos para a resolução de um problema, além de saber

fazer do erro uma oportunidade de aprender. Segundo a pesquisadora, deve-se tirar

do aluno a ideia errônea de que fazer matemática é apenas fazer contas. Devem ser

aplicadas muitas e variadas situações-problema de modo a criar, nos alunos, hábitos

de trabalho para raciocinar e enfrentar com segurança a busca da solução do

problema.

Morais (2008) realizou um estudo com o objetivo de verificar como se deu

a aprendizagem de polinômios através da resolução de problemas por meio de um

ensino contextualizado, partindo da construção de caixas de papelão e usando os

conhecimentos prévios de que os alunos já dispunham. Tratou-se de uma pesquisa

cujo fenômeno de interesse esteve voltado à escola, especificamente ao estudo de

polinômios, constituindo-se numa pesquisa de intervenção de natureza qualitativa

em uma situação específica: um estudo de caso de longa duração.

A partir da resolução de problemas, como metodologia de ensino-

aprendizagem, em sala de aula, a pesquisadora buscou por meio da construção

dessas caixas, proporcionar aos alunos o fazer matemática com as mãos, ou seja,

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 32

desenvolver o conteúdo polinômio de modo que os alunos pudessem: coletar,

experimentar e analisar, em um contexto do mundo real, padrões matemáticos

subjacentes. Analisando o trabalho realizado, Morais (2008) constatou que o

desenvolvimento do conceito de polinômio seguido do conceito de função, por meio

da manipulação de material concreto, resultou numa aprendizagem mais significativa

para os alunos, pois, partindo de uma situação concreta, seguida de generalização e

de abstração num estágio mais elevado da aprendizagem, os alunos, como

construtores do conhecimento, puderam durante todo o trabalho estabelecer

relações entre os temas abordados, dentro de um sistema mais amplo, onde

significados foram sendo estabelecidos.

Damasco e Groenwald (2007) estudaram sobre o que leva o aluno de 7º

ano do ensino fundamental a enfrentar dificuldades no momento de resolver

algébrica e geometricamente equações do 1º grau. Os autores buscaram se o(a)

professor(a) de matemática, do ensino fundamental, quando desenvolve o conteúdo

de equações do 1º grau no 7º ano do ensino fundamental, aplica uma metodologia

que privilegie a compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo. Com o objetivo

de investigar uma metodologia adequada ao processo de ensino e aprendizagem

das equações do 1º grau no ensino fundamental, para alunos entre 11 e 12 anos,

Damasco e Groenwald (2007) desenvolveram uma experiência com a metodologia

de pesquisa, em matemática, denominada engenharia didática, segundo Artigue

(1996).

Damasco e Groenwald (2007) destacam que no caso de equações do 1º

grau, estudadas no ensino fundamental temos variáveis do tipo microdidáticas, que

pode ser distinguidas por duas variáveis, a variável intrínseca do problema em que

os alunos do ensino fundamental, ao resolverem uma equação do 1º grau, não

utilizam o princípio aditivo e multiplicativo, e também a variável específica em que se

observa que o professor de matemática, do ensino fundamental, quando desenvolve

o conteúdo de equações do 1º grau, no 7º ano do ensino fundamental, não pratica

uma metodologia que privilegie a compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo.

Segundo Damasco e Groenwald (2007), o experimento foi desenvolvido

em uma turma de 7º ano do ensino fundamental em uma escola privada, devido à

facilidade da utilização dos recursos necessários para a aplicação. A escola dispõe

de equipamento audiovisual, laboratório de informática, Internet entre outros, o que

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 33

tornou possível a aplicação geral da metodologia sugerida. Esse experimento foi

desenvolvimento durante o 2º semestre do ano de 2006, entre os meses de outubro

a dezembro, com cinco períodos semanais, cada um com cinquenta minutos,

distribuídos em três dias da semana. A sequência didática para equações do 1º

grau, que foi utilizada na fase de experimentação, conforme os autores seguem os

seguintes passos:

• Introdução do conteúdo através de uma abordagem histórica, realizada

pelo professor/pesquisador. Nessa fase foi realizado um levantamento

histórico sobre o desenvolvimento das equações ao longo da história,

permitindo ao aluno situar-se no contexto histórico;

• Leitura, pelos alunos da 7º ano, do livro “Encontros de primeiro grau”, da

autora Luzia Faraco Ramos, da editora Ática. Esse trabalho objetivou que

os alunos participantes da experiência realizassem uma atividade que

possibilitasse ajudar no desenvolvimento da competência de estudarem

sozinhos, além de ajudar na habilidade de lerem e interpretarem um texto;

• A professora/pesquisadora realizou aulas de introdução do conceito de

equação com problemas que introduzem a necessidade de equações,

baseado na metodologia resolução de problemas;

• Após algumas aulas, os alunos desenvolviam fluxogramas com

identidades, equações do 1o grau com uma variável e equações do 1o

grau com duas variáveis. Objetivando a compreensão desses conceitos;

• A parte algébrica de resolução de uma equação do 1o grau foi

desenvolvida utilizando como apoio o jogo do “vermelho e azul”, através

de atividades que facilitem a compreensão dos princípios aditivo e

multiplicativo.

• Foram desenvolvidas aulas, no laboratório de informática da escola, com

o software do sistema de ensino da escola (Educacional), que permite ao

aluno resolver equações com analogia a uma balança de dois pratos;

• Logo após, foi desenvolvida uma parte geométrica, representação das

equações de 1º grau no sistema cartesiano de coordenadas, utilizando a

metodologia resolução de problemas.

Damasco e Groenwald (2007) recomendam que se busque propor uma

sequência didática que possibilite aos alunos a utilização de recursos que facilitem o

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 34

entendimento do conteúdo de equações de 1º grau, e que privilegiem a ação do

aluno e o professor agindo como um mediador. Mas, os autores recomendam

cuidado na escolha e utilização do livro didático que deverá conter todos os critérios

para se desenvolver uma metodologia adequada privilegiando a compreensão dos

conceitos, princípios de equações do 1º grau, bem como, que utilize a metodologia

de resolução de problemas.

Rocha e Bittar (2010) realizaram um estudo em que apresentaram os

resultados parciais de uma pesquisa que teve como objetivo principal investigar a

aprendizagem da resolução de sistemas de equações do 1º grau por alunos do 8º

ano do ensino fundamental. Para isso, os autores criaram uma sequência didática

dividida em quatro grupos de atividades. As atividades foram criadas para serem

vividas como a-didáticas, uma vez que Rocha e Bittar (2010) se embasaram na

teoria das situações didáticas proposta por Guy Brousseau. A pesquisa realizada por

Rocha e Bittar (2010) foi estruturada de acordo com as quatro fases da metodologia

de pesquisa engenharia didática. A sequência foi aplicada no final de 2009. Durante

a experimentação e coleta de dados os autores utilizaram como recurso auxiliar o

software Aplusix.

Segundo Rocha e Bittar (2010), a escolha pelo Aplusix se deu ao fato de

ter como uma de suas principais funcionalidades a possibilidade de oferecer ao

aluno maior controle sobre suas ações durante a resolução de um problema,

possível graças às retroações que o software oferece. Como a pesquisa de Rocha e

Bittar (2010) se tratou de uma pesquisa de aprendizagem, elaborou-se uma

sequência didática objetivando situações que podem ser vividas como a-didáticas.

Os autores construíram a sequência de aprendizagem objetivando que o aluno:

consiga extrair as informações do problema; transforme essas informações em

equações com duas incógnitas e monte o sistema; aprenda a resolver sistemas

montados; e, finalmente, aplique o que aprendeu nos momentos anteriores para

resolver problemas. Para isso, Rocha e Bittar (2010) criaram atividades divididas em

quatro grupos respeitando a sequência dos momentos citados. A seguir temos um

quadro síntese dos grupos onde os autores organizaram o tipo de atividade, os

objetivos correspondentes e as variáveis didáticas envolvidas:

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 35

Quadro 1: Síntese da sequência didática de Rocha e Bittar (2010)

Grupo Atividade Objetivo Variável didática

01

Contém seis atividades que podem ser resolvidas utilizando sistemas de

equações, porém esses alunos ainda não

aprenderam esse conceito

-Identificar as duas informações contidas no

enunciado de forma que se o problema fosse resolvido

utilizando-se sistemas, elas norteariam a montagem das

equações; -Sentir a necessidade de ter um método algébrico para

resolver.

Tipo do enunciado Tipo do coeficiente

independente Coeficientes das

incógnitas

02 Contém cinco atividades de montagem de sistemas de

equações do 1º grau

- Aprender a montar sistemas com base nos conhecimentos adquiridos no grupo anterior

Tipo do enunciado Coeficientes das

incógnitas

03 Contém atividades de

resolução de sistemas de equação

-Articular estratégias que recaiam em métodos

algébricos de resolução de sistemas de equações

Tipo do coeficiente independente

Coeficientes das incógnitas

04

Contém seis problemas para serem resolvidos

utilizando-se sistemas de equações

- Aprender a resolver problemas utilizando sistemas

de equações de 1º grau

Tipo do enunciado Tipo do coeficiente

independente Coeficientes das

incógnitas Fonte: Rocha e Bittar (2010).

O primeiro grupo contém problemas que podem ser resolvidos utilizando-

se sistemas de equações. Entretanto, pelo fato desses alunos ainda não terem visto

esse assunto, Rocha e Bittar (2010) buscaram analisar as estratégias que podem

surgir e distinguir as duas informações do problema que quando resolvido por meio

da montagem de um sistema possibilita a escrita correta das duas equações que o

constituem. No segundo grupo, Rocha e Bittar (2010) propuseram atividades

objetivando a aprendizagem da montagem de sistemas de equações. Para isso,

foram propostos problemas escritos em linguagem natural com o objetivo de levar o

aluno a escrever as equações e montar o sistema resultante. Primeiramente os

autores propuseram duas atividades para serem escritas apenas as equações com

duas incógnitas. Posteriormente, institucionalizaram a forma como representamos o

dispositivo algébrico estudado e propuseram mais três problemas escritos em

linguagem natural para serem traduzidos em forma de sistemas de equações.

No terceiro grupo, Rocha e Bittar (2010) objetivaram a aprendizagem da

resolução de sistemas. Para isso, apresentaram sistemas montados para serem

resolvidos. Antes, institucionalizaram o significado de solução de sistema, uma vez

que o objetivo dos autores nesse grupo era que os alunos chegassem à solução por

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 36

meio da resolução. Após a conclusão dessas etapas seria chegada à hora de aplicar

todos os conhecimentos adquiridos e utilizá-los para resolução de problemas. Diante

disso, no quarto grupo, Rocha e Bittar (2010) propuseram problemas para serem

resolvidos utilizando-se sistemas de equações do 1º grau. Para isso, apresentaram

atividades de diferentes contextos visando observar se os conhecimentos

institucionalizados nos grupos anteriores foram apropriados por esses alunos.

Após Rocha e Bittar (2010) terem criado a sequência de aprendizagem e

feito a análise a priori de cada atividade, no dia 02 de outubro de 2009 reuniram-se

com os alunos pela primeira vez na sala de tecnologia da escola. Nesse primeiro

encontro os autores optaram em conversar com eles sobre o que pretendiam e

aproveitaram para familiarizá-los com os comandos do Aplusix. Rocha e Bittar

(2010) ressaltam que, apesar de terem aplicado a experimentação na sala de

tecnologia, em certos momentos utilizaram apenas papel e lápis. O estudo de Rocha

e Bittar (2010) se encontra na fase final das análises a posteriori e validação dos

resultados. Até o presente momento, conforme os autores foram analisados os dois

primeiros grupos. Segundo os autores, o primeiro objetivo do primeiro grupo de

atividades foi atingido. Visava-se com essas atividades aprender a distinguir as

informações do problema. Apesar de terem resolvido aritmeticamente por tentativa

ao acaso, os autores perceberam que a correta obtenção dos valores justifica esse o

aprendizado.

Para Rocha e Bittar (2010) isso se evidencia na própria resolução, pois,

as tentativas registradas mostram que os sujeitos sabiam o que estavam

procurando. Os autores citam como exemplo a seguinte atividade “num quintal há

galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 patas. Quantas são as galinhas? Quantos

são os coelhos?”. Rocha e Bittar (2010) perceberam que os alunos souberam

identificar que a soma do número de galinhas com o número de coelhos é igual a

sete animais na frase “há 7 cabeças”. Na análise a priori os autores previam que os

alunos teriam dificuldade para identificar a segunda informação pelo fato de ter que

se lembrar de multiplicar por dois o número de patas de galinhas e por quatro o

número de patas de coelhos. Mas, Rocha e Bittar (2010) destacam que isso não

ocorreu. A partir do momento em que um par de valores cuja soma é igual sete era

lembrado, imediatamente esses números eram testados visando à satisfação da

segunda informação. Antes, porém, o valor correspondente à quantidade de

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 37

galinhas era multiplicado por dois e o número correspondente à quantidade de

coelhos era multiplicado por quatro. Caso a soma não desse número 22, pegava-se

outro par de valores.

Para Rocha e Bittar (2010) o segundo objetivo do primeiro grupo de

atividades que teve como foco levar o aluno a sentirem a necessidade em resolver

as atividades por meio de algum recurso algébrico não surtiu muito efeito. Isso se

deve, conforme os autores, talvez pela falta de atividades que tivessem um grau

maior de dificuldade, uma vez que com poucas tentativas eles conseguiram

encontrar a resposta. Conforme Rocha e Bittar (2010) faltaram para esse grupo

valores para as variáveis didáticas que levassem a atingir essa meta. De um modo

geral, apesar da necessidade de se dispor de um recurso algébrico para resolver as

atividades, à medida que foram questionados se há outra forma de resolver, alguns

apresentaram expressões algébricas bem interessantes. Expressões essas que se

bem trabalhadas no segundo grupo poderia facilitar na montagem dos sistemas.

Inicialmente os alunos não consideraram o dobro de � e o triplo de � na

segunda informação. Porém, após Rocha e Bittar (2010) devolverem a folha, os

alunos perceberam o erro e escreveram uma expressão parecida com o sistema

cujas equações satisfazem as informações da atividade. Rocha e Bittar (2010)

destacam que os alunos já tinham encontrado a solução quando escreveram a

estrutura algébrica. Os autores perceberam que os alunos utilizaram os valores da

solução para montá-la. De um modo geral, para Rocha e Bittar (2010) os dados

coletados mostraram que houve a aprendizagem, pois os problemas propostos no

quarto grupo foram resolvidos por meio de sistemas de equações. Quando os

autores iniciaram a experimentação os alunos não conheciam esse conceito

algébrico. Quando terminaram, eles estavam resolvendo sistemas e utilizando um

dispositivo algébrico para resolver problemas como: “Num quintal há galinhas e

coelhos. Há 7 cabeças e 22 patas. Quantas são as galinhas? Quantos são os

coelhos?”.Em seguida, analisamos os estudos teóricos.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 38

1.1.3. Estudos teóricos

Sá (2003) explica que o desenvolvimento da habilidade de resolver

problemas rotineiros é tão importante quanto o desenvolvimento da habilidade de

resolver os não rotineiros e, além disso, aponta que um problema só se torna

rotineiro quando é entendido e internalizado seu processo de resolução, valendo

isso para qualquer tipo de problema. A pesquisa indica, com base na classificação

de Borasi (1986), que os problemas que envolvem as quatro operações aparecem

com a denominação de problemas verbais, tendo os seguintes descritores: contexto,

todo explicado no texto; formulação, única e explícita; solução, geralmente única e

exata; método de solução, combinação de algoritmos.

Para Sá (2003), os diferentes tipos de problemas apresentam níveis

diferentes de dificuldades para os estudantes, até dentro de uma mesma categoria,

como é o caso dos tipos combinação, no campo aditivo, e do tipo produto cartesiano

e grupo igual, no campo multiplicativo. O pesquisador concluiu que mesmo com

todas as dificuldades do percurso no final do ensino fundamental, o domínio da

resolução dos problemas envolvendo mais de uma das quatro operações

fundamentais está garantido para a maioria dos alunos.

Sá (2003) observou que na resolução dos problemas em que a

informação procurada fica isolada num dos membros da igualdade após sua

modelação, não há uso das propriedades da igualdade, e que, na resolução dos

problemas em que a informação procurada que não fica isolada num dos membros

da igualdade, há uso das propriedades da igualdade de maneira implícita ou

explícita. Assim, um problema é aritmético quando, na sua resolução operacional,

não são usadas de maneira implícita ou explícita as propriedades da igualdade. O

pesquisador definiu que um problema é algébrico quando, na sua resolução

operacional, são usadas de maneira implícita ou explícita as propriedades das

igualdades. O pesquisador concluiu que a estrutura que conecta os campos

conceituais aditivos e multiplicativos é a unidade do pensamento aritmético -

algébrico.

Ribeiro (2007) realizou um estudo com o objetivo de investigar os

significados da noção de equação no ensino de matemática. Embora o pesquisador

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 39

apresente diferentes formas de conceber a noção de equação, ressalta que as

diferenças entre esses multisignificados são, às vezes, bastante sutis e que é tênue

a linha que separa um significado de outro.

O primeiro significado é intuitivo-pragmática quando a noção de

equação é concebida como uma noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre

duas quantidades. O segundo significado é o dedutivo-geométrico que entende a

noção de equação como uma noção ligada às figuras geométricas, aos segmentos.

O terceiro significado é o estrutural-conjuntista quando a noção de equação é

concebida dentro de uma perspectiva estrutural, que está diretamente ligada à

noção de conjunto. O quarto significado é o processual-tecnicista que concebe

equação como a sua própria resolução como os métodos e técnicas que são

utilizadas para resolvê-la. O quinto significado é axiomático-postulacional que

concebe equação como uma noção da matemática que não precisa ser definida,

uma ideia a partir da qual outras ideias, matemáticas e não matemáticas são

construídas.

Costa (2008) realizou um estudo com o objetivo de percorrer de forma

crítica a trajetória teórica que dá suporte à importância da resolução de problemas

no ensino da matemática, dentro da perspectiva do “pensamento produtivo” e da

“aprendizagem significativa”. Do ponto de vista da educação matemática, Costa

(2008) abordou a heurística e a intuição, por se constituírem em dois elementos

importantes de aproximação deste campo com conceitos da Gestalt relacionados à

solução de problemas. Nesse campo também foi avaliada, pelo pesquisador, a

contribuição de autores significativos como George Polya, Imre Lakatos e outros. O

pesquisador realizou um estudo exploratório tomando como técnica de pesquisa a

entrevista com professores de matemática de escolas avaliadas pelo programa Nova

Escola no Rio de Janeiro.

Do mesmo modo, foram utilizadas por Costa (2008) as orientações

teórico-pedagógicas contidas nos documentos dos principais programas nacionais

de avaliação do ensino médio brasileiro, que se caracterizam por apoiar suas

avaliações em matemática na “resolução de problemas” e em “aprendizagens

significativas”. Para o pesquisador, no caso dos estudantes, é inegável a importância

dos pressupostos e da pedagogia adotada pelos professores na área do espaço de

vida relacionado com a aprendizagem e, acredita-se que todos os docentes desejam

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 40

melhorar o processo de ensino e aprendizagem necessitando para isso de incentivo

e de uma mudança de percepção cognitiva acerca dos processos de pensamento.

Segundo Costa (2008) o jogador, assim como o ‘resolvedor’ de

problemas, só alcança seus objetivos ao abandonar os procedimentos cegos, sejam

eles tentativas de jogar, acionando aleatoriamente o controle ou repetindo

movimentos conforme alguém ensinou, ou, de forma semelhante, tentativas de

resolver o problema através de procedimentos repetitivos e sem sentido estrutural.

De fato, pelos dados analisados por Costa (2008) dos relatos dos professores, o que

parece se destacar com maior nitidez é que cada aspecto preocupante da realidade

escolar tem uma representação interna para estudantes e professores envolvendo

elementos como barreiras, trajetos possíveis, número de dimensões do espaço

comportamental etc.

Trindade (2008) realizou um estudo que tinha por objetivo

compreender/explicar o que são investigações matemáticas e atividades

investigativas, diferenciando-as entre si e, se possível, daquilo que é conhecido

como resolução de problemas. Isso foi feito no contexto do ensino de matemática

nas séries do segundo segmento do ensino fundamental. A pesquisadora entende

que a matemática, usualmente, é entendida como um corpo de conhecimentos, mas

pode ser também vista como uma atividade humana, como um dentre os modos

possíveis de gerar conhecimento. Acredita que mais do que aplicação de fórmulas

ou procedimentos repetitivos, o que se exige do ser humano na sua luta pela

sobrevivência é que tenha capacidade de lidar com diferentes problemas e

representações, que possa argumentar sobre os procedimentos utilizados bem

como formular problemas e avaliar criticamente os resultados obtidos. Numa

perspectiva assim, tem-se um aprender matemática fazendo matemática.

Para Trindade (2008) a atividade matemática na sua essência é definida

como resolução de problemas, tendo sido este um objeto de estudo na educação

antes mesmo que se adotasse o termo educação matemática para designar tanto o

campo de atuação profissional do professor de matemática quanto o fértil campo da

pesquisa. Expressões como: desenvolver o poder matemático dos alunos (NCTM,

1991 apud TRINDADE, 2008), ou ainda, levar os alunos a pensar matematicamente

(SCHOENFELD, 1992 apud TRINDADE, 2008) tem sido usadas para definir as

orientações metodológicas que se espera que o programa de matemática reflita e

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 41

induza. Estas ideias, segundo Trindade (2008), surgem como consequência de se

olhar a matemática como um processo e não como um conjunto de fatos, nisso a

resolução de problemas se enquadra como um aspecto fundamental da atividade

matemática do aluno.

Ao se oportunizar situações onde o aluno possa realizar, avaliar e discutir

matemática se oportuniza outro modo de organizar e praticar o ensino. Para a

pesquisadora, investigar, nada mais é do que procurar conhecer o que não se sabe.

Um ambiente investigativo pode ser criado em sala de aula quando se oportuniza

aos alunos o envolver-se com matemática ativamente através da formulação de

problemas. Trindade (2008) toma como base a ideia de que um aluno com

dificuldades de aprendizagem poderá ser um aluno de sucesso caso lhe seja

solicitada a resolução rápida e eficiente de exercícios. Será natural que uma reação

negativa ocorra se lhe forem propostas atividades de investigação e ainda a

demonstração de insegurança, e a solicitação de apoio e elucidação do professor.

A pesquisadora explica que investigações matemáticas e resolução de

problemas, embora parecidos, são conceitos entendidos, por vezes, de formas

diferenciadas. A similaridade entre os dois conceitos estaria no fato de que, ambos

os processos, se relacionam com a inquirição matemática e sua diferença, no fato

de que a resolução de problemas consiste num processo mais convergente, com

metas mais bem definidas a priori, se comparado com a investigação matemática.

Trindade (2008) salienta que a resolução de problemas ainda constitui

uma metodologia de trabalho emblemática para a comunidade da educação

matemática em todo o mundo. A pesquisadora explica que apesar do esforço visível

em muitas publicações de definir o que é um problema e de criar categorias, ainda

subsiste, por vezes, alguma indefinição quanto à relação existente entre o processo

de resolução de problemas e o processo investigativo, o que intensifica o trabalho de

muitos investigadores educacionais.

Para a pesquisadora, diante da dificuldade de explicitar noção de

problema, alguns autores apontam que mais importante do que definir o que é um

problema, é encontrar um tipologia que nos permita saber de que tipo de problema e

de que modo de resolução de problemas estamos a falar. A pesquisadora conclui,

portanto, que em uma aula desenvolvida sob uma abordagem investigativa, o papel

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 42

do professor e do aluno se influencia mutuamente, mas o que move as descobertas

dos alunos, o anseio por investigar, será sempre o desejo, o prazer de realizá-las.

Temos ainda Andrade et al (2010), que apresentam as discussões,

sistematizações e indagações acerca das diferentes formas de ver e conceber a

resolução de problemas no ensino de matemática. Os autores delinearam três

abordagens diferentes, para a resolução de problemas: a resolução de problemas

segundo um modelo heurístico; o ensino de matemática através da resolução de

problemas; e o ensino de matemática através da produção/resolução de problemas

em que se insere a perspectiva exploratório-investigativa.

O estudo desenvolvido por Andrade et al (2010) aponta que, devido a

uma demanda social, a resolução de problemas torna-se uma personagem central

do currículo de matemática. Os autores destacam que a “produção de problemas” foi

uma das direções apontadas, mas que não teve um avanço teórico e metodológico

significativo. Nesse sentido, eles perceberam que a perspectiva exploratório-

investigativa veio para preencher a lacuna deixada, pois a cada questionamento se

pode produzir ou “reinventar” um problema. Entretanto, Andrade et al (2010)

apontam que tal perspectiva não tem o seu surgimento, necessariamente, ligado

com este fato.

Andrade et al (2010) esclarecem que foi possível perceber que a

metodologia de resolução de problemas vem ganhando um novo fôlego, devido às

diferentes abordagens que estão sendo praticadas e que estas, por sua vez, vêm se

tornando objeto de Investigação. Dentro desse ambiente de investigação a postura

inquiridora dos alunos e, sobretudo, dos professores, segundo os autores, é

condição fundamental para a organização de um ambiente de aprendizagem

produtivo frente aos problemas propostos ou produzidos. Continuando com as

análises prévias sobre o ensino e aprendizagem de problemas do 1º grau,

apresentamos um diagnóstico sobre o ensino de problemas do 1º grau conforme os

professores de matemática.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 43

1.2. O ENSINO-APRENDIZAGEM DE PROBLEMAS DO 1º GRAU SEGUNDO

PROFESSORES DE MATEMÁTICA

Com o objetivo de apresentar um diagnóstico a respeito da prática

docente para o ensino de problemas do 1º grau e identificar as dificuldades que os

alunos apresentam para resolver estes tipos de problemas, realizamos uma consulta

a docentes, por meio de um questionário (cf. apêndice A) contendo questões

referentes a informações profissionais, prática docente no ensino de problemas do

1º grau e as dificuldades percebidas pelo professor, em relação a seus alunos,

quanto ao aprendizado deste conteúdo. O instrumento de pesquisa foi aplicado a

100 professores da rede pública do Estado do Pará, durante os meses de dezembro

de 2009 a janeiro de 2010.

Com relação à faixa etária dos professores, a minoria, 5%, tem entre 36 e

40 anos. Evidenciando, assim, um quadro de professores relativamente jovem,

atuando dentro das escolas públicas no município de Belém do Pará. Dos

professores pesquisados, 32% são do sexo feminino e 68%, do sexo masculino. A

diferença nos mostra que prevalece um número superior de homens atuando nas

escolas públicas no município de Belém do Pará.

Sobre o tempo de serviço, a minoria, 7%, tem entre 11 a 15 anos de

docência, e a maioria, 52%, distribuído na faixa de 1 a 5 anos de experiência. Ou

seja, a maioria dos professores participantes da pesquisa não possui uma

considerável vivência de sala de aula, mas acreditamos que isso não implica em

afirmar que não possuem saberes profissionais, pois, como esclarece Pimenta

(2008), quando os alunos chegam ao curso de formação inicial já têm saberes sobre

o que é ser professor.

Com relação à formação acadêmica, 75% dos professores têm apenas a

graduação em matemática, 25% possuem graduação e especialização na área, 6%

possuem especialização e mestrado, e 1% possui especialização, mestrado e

doutorado. Quanto às instituições nas quais os professores trabalham, identificamos

que 53% exercem atividades somente em escolas públicas da rede estadual; 4%,

somente na rede pública municipal; 26% exercem atividades na rede pública

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 44

municipal e estadual; 1% exerce atividade na rede municipal e particular; 16%, na

rede estadual e particular.

O saber docente, segundo Pimenta (2008), é uma identidade profissional

que se constrói a partir da significação social da profissão; da revisão constante dos

significados sociais da profissão; e, da revisão das tradições. Essa construção

também ocorre, pelo significado que cada professor confere à atividade docente no

seu cotidiano, a partir de seus valores, de seu modo de situar-se no mundo, de sua

história de vida, de suas representações, de seus saberes, de suas angústias e

anseios, do sentido que tem em sua vida o ser professor. Para Ramalho et al (2004),

o professor constrói saberes, competências, não para uma autonomia individualista

e competitiva, ou para um poder autoritário, mas para educar segundo perspectivas

de socialização, de favorecer a inclusão pelo saber, e não a exclusão. A tabela 1

mostra os tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem, segundo os professores

pesquisados.

Tabela 1 - Tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem envolvendo problemas do 1º grau segundo os professores de matemática

(Continua)

Ordem Tópicos Porcentagem

1º ��. � + �. � = �� = �. � + � � 72%

2º Problemas em língua oficial envolvendo duas incógnitas 70%

3º Problemas em língua oficial envolvendo uma incógnita 70%

4º ��. � + �. � = � ℎ = �. � + �. � � 68%

5º ��. � + �. � = �� = � + � � 67%

6º �. � + � = −� 67%

7º (−�). � − � = −� 66%

8º ��. � + �. � = �� = �. � � 65%

10º (−�). � + � = � 63%

11º �. � − � = −� 63%

12º �. � − � = � 63%

13º � ÷ (−�) = −� 48%

14º � ÷ (−�) = � 48%

15º �. � + � = � 46%

16º � ÷ � = −� 41%

17º Tradução de língua materna para linguagem matemática 34%

18º �. � = −� 31%

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 45

Tabela 1 - Tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem envolvendo problemas do 1º grau segundo os professores de matemática

(Conclusão) 19º (−�). � = −� 30%

20º � ÷ � = � 30%

21º � − � = −� 29%

22º (−�). � = � 28%

23º �. � = � 25%

24º � + � = −� 23%

25º � − � = � 20%

26º � + � = � 19%

FONTE: Pesquisa de Campo (Junho, 2010).

Constatamos que os sistemas de equação do 1º grau aparecem como um

dos tópicos mais difíceis dos alunos aprenderem segundo os professores

participantes da pesquisa. Sobre isso Daniel (2007) aponta que essa dificuldade

pode estar relacionada com a que os alunos possuem de traduzir um problema que

se apresenta em língua materna para linguagem matemática. Esclarecemos que

preferimos denominar de língua oficial brasileira o que outros pesquisadores

chamam de língua materna ou linguagem natural. Coura (2008) observou que

muitos alunos não conseguem fazer a tradução de língua oficial para linguagem

matemática. Foi pesquisado como os professores iniciam o ensino de problemas do

1º grau, e os dados constam na tabela 2.

Tabela 2 - Como os professores de matemática iniciam o ensino de problemas do 1º grau Alternativa escolhida Percentual de Professores

Somente item a) 37%

Somente item b) 23%

Somente item c) 7%

Somente item d) 5%

Somente item e) 3%

Itens a); b) 25%

Fonte: Pesquisa de campo (junho, 2010). LEGENDA: a) definição seguida de exemplos e exercícios; b) uma situação problema para depois introduzir o assunto; c) um experimento para chegar ao conceito; d) um modelo para situação e em seguida analisando o modelo; e) jogos para depois sistematizar os conceitos.

Na tabela 2, verificamos que a maioria dos professores, 37%, ensina o

conteúdo, iniciando por uma definição seguida de exemplos e exercícios. O perfil

destes professores que ensinam o conteúdo, iniciando por uma definição seguida de

exemplos e exercícios, segundo os dados da pesquisa, tem de 21 a 25 anos de

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 46

idade, do sexo masculino, tendo como tempo de serviço 1 a 5 anos, somente com a

graduação em matemática e trabalha unicamente na escola pública estadual. Foi

pesquisado como os professores fazem para fixar o conteúdo e os dados estão

dispostos na tabela 3.

Tabela 3 - Como os professores de matemática fixam o ensino de problemas do 1º grau Alternativa escolhida Percentual de Professores

Somente item a) 38%

Somente item b) 12%

Somente item c) 30%

Itens a); c) 20%

Fonte: Pesquisa de campo (junho, 2010). LEGENDA: a) apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos; b) apresentar jogos envolvendo o assunto; c) solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático; d) não propõem questões de fixação; e) solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver.

Constatamos que a maioria dos professores apresenta uma lista de

exercícios para serem resolvidos. Essa constatação era de se esperar à medida que

o processo utilizado pela maioria dos professores ao iniciar o ensino de problemas

do 1º grau é feita por meio de uma definição seguida de exercícios de fixação. O

perfil dessa maioria de professores continua sendo o mesmo da anterior. Ainda os

pesquisados foram questionados sobre a realização do ensino de linguagem

matemática, de equações do 1º grau, de problemas do 1º grau e de sistemas de

equações do 1º grau por meio de experimentos. O resultado foi que 95% não

realizam o ensino desses tópicos da matemática por meio de experimentos. Na

tabela 4 verificamos a relação entre a faixa etária dos professores com as

dificuldades assinaladas envolvendo problemas do 1º grau.

Tabela 4 – Principal dificuldade no ensino de problemas do 1º grau em relação ao tempo de serviço do professor matemática Tempo de serviço

(anos) Percentual de professores

Principal dificuldade

1 – 5 54% Problemas em língua oficial envolvendo com duas incógnitas

6 - 10 59% ��. � + �. � = �� = �. � + � �

11 - 15 56% Tradução de língua oficial para linguagem matemática

Fonte: pesquisa de campo (Junho, 2010).

Podemos perceber que conforme a faixa etária dos professores

envolvidos na pesquisa muda-se a principal dificuldade dos alunos no ensino de

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 47

problemas do 1º grau. Evidenciamos o fato de que a menor faixa etária aponta como

principal dificuldade os problemas que se apresentam em língua oficial brasileira

com duas incógnitas, porém o de maior faixa etária aponta que a dificuldade

encontra-se na tradução de problemas que se apresentam em língua oficial para

linguagem matemática.

Para a maioria dos professores que possuem somente a graduação em

licenciatura em matemática, os dados apontam que a principal dificuldade

assinalada foi a resolução de problemas que se apresentam em língua oficial

brasileira com duas incógnitas. Ainda, para a maioria dos professores que possuem

uma formação continuada em nível de pós-graduação, a principal dificuldade está na

tradução de língua oficial para linguagem matemática. Esses dados são de certo

modo coerentes, pois como podemos perceber a partir da revisão dos estudos

apresentada na subseção anterior, quando o aluno possui certa a habilidade de

tradução de problemas, tende a ter mais facilidade de identificar uma ferramenta

matemática para solução do problema proposto. A seguir apontamos algumas

dificuldades dos alunos egressos do 7º ano do ensino fundamental com relação aos

problemas do 1º grau.

1.3. O ENSINO-APRENDIZAGEM DE PROBLEMAS DO 1º GRAU SEGUNDO OS

ALUNOS

Com o objetivo de apresentar um diagnóstico a respeito das dificuldades

em relação aos problemas do 1º grau dos alunos do 8º ano do ensino fundamental,

realizamos uma consulta aos discentes por meio de um questionário (cf. apêndice B)

contendo questões referentes a informações sobre o perfil do aluno e 10 (dez)

problemas do 1º grau, os mesmos que constam nos testes gerais de nosso

experimento. O instrumento de pesquisa foi aplicado a 60 (sessenta) alunos de 8º

ano da rede pública estadual localizada no município de Belém-PA.

Com relação à idade dos alunos, 8% tinham 11 anos, 15%, 12 anos, e

77%,13 anos. Esses dados revelam que a maioria dos alunos está na idade

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 48

correspondente ao nível de escolaridade em que estavam cursando. A maioria dos

alunos participantes deste momento da pesquisa é do sexo masculino, 65%. Sobre

os responsáveis por esses alunos, a maioria assinalou ser o pai, 70%, o responsável

masculino e a mãe, 88%, o responsável feminino. Ainda, 35%, dos responsáveis

masculinos possuem apenas o fundamental completo e 43%, dos responsáveis

femininos possui o fundamental incompleto como nível de escolaridade. Os dados

revelaram que 58% dos responsáveis masculino e 65% dos responsáveis feminino

trabalham com remuneração. Sobre o tipo de escola que os alunos estudaram na

série anterior, a maioria, 88%, informou ter estudado em escola pública.

Todos os alunos participantes desta pesquisa estudavam na escola que

fica no bairro que eles moram, e informaram que não possuíam trabalho

remunerado. Somente 15% dos alunos fazem um curso fora da escola, e esse curso

era computação. Ainda a maioria, 65%, dos alunos praticam algum esporte. Os

dados revelaram que a maioria dos alunos, 63%, gosta “um pouco” de matemática.

43% informaram possuir “muitas dificuldades em matemática” e ainda 36% dos

alunos “só estudam matemática na semana da prova”. Um fato a evidenciar foi que

todos os alunos que informaram “gostar muito de matemática” estudam matemática

“todos os dias fora da escola”. Sobre o estudar dos alunos fora da escola, à maioria

dos participantes da pesquisa, 53%, informou que recebem ajuda do responsável

masculino para realização das tarefas extraclasse de matemática. Entendemos que

esse resultado pode estar associado ao nível de escolaridade maior do responsável

masculino em relação ao feminino, conforme anteriormente fora mencionado.

Concernente a resolução dos problemas propostos aos alunos, os resultados estão

dispostos na tabela 5.

Tabela 5 – Relação entre a quantidade de alunos do 8º ano que resolveram os problemas do 1º grau e as técnicas utilizadas na resolução destes problemas

(Continua)

Enunciado das questões Números de alunos que

acertaram Técnicas utilizadas para

resolução dos problemas

Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro.

Qual é esse número? 6 alunos

• 4 alunos informaram somente a resposta;

• 2 alunos fizeram por tentativa e erro

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 49

Tabela 5 – Relação entre a quantidade de alunos do 8º ano que resolveram os problemas do 1º grau e as técnicas utilizadas na resolução destes problemas

(Continua)

Um número menos quarenta e cinco é igual a setenta e

cinco. Que número é esse? 4 alunos Todos os alunos Informaram

somente a resposta

A metade de um número mais quatro é igual a seis. Qual é

esse número? 1 aluno Todos os alunos informaram

somente a resposta

O dobro de um número, menos sete, é igual a trinta e cinco. Que número é esse?

0 aluno

A soma de dois números é 8 e a diferença é 4. Que números

são esses? 0 aluno

Pensei em um número, depois somei este número

com cinquenta e dois e dividi o resultado por dois, e assim

obtive quarenta e quatro. Qual foi o número pensado?

3 alunos Os alunos apenas informaram a resposta

Em um quintal há galinhas e coelhos, num total de 13

animais e 46 pés. Qual é a quantidade de galinhas? E a

quantidade de coelhos?

0 aluno

Em um torneio de perguntas e respostas, a pontuação é

dada de acordo com o seguinte:

Uma equipe, depois de

responder 20 perguntas, ficou com 80 pontos. Quantas

foram as respostas certas? E quantas foram as respostas

erradas?

Questões Certa Errada

Ganha 10 pontos

perde 5 pontos 1 aluno Tentativa e erro

A soma de dois números pares consecutivos é 18.

Quais são esses números? 15 alunos Os alunos informaram somente

a resposta;

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 50

Tabela 5 – Relação entre a quantidade de alunos do 8º ano que resolveram os problemas do 1º grau e as técnicas utilizadas na resolução destes problemas

(Conclusão)

A soma de dois números ímpares consecutivos é 8. Quais são esses números?

7 alunos Os alunos Informaram somente a resposta;

Fonte: pesquisa de campo (Agosto, 2010).

Analisando a tabela 5, podemos perceber que o rendimento de acertos

dos alunos é preocupante. Constatamos que dos acertos obtidos nenhum utilizou

alguma técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau, limitando-se apenas

a informarem a resposta e ao emprego do que denominamos por tentativa e erro.

Concernente aos dois últimos problemas, e principalmente ao penúltimo problema

oferecido aos alunos para resolverem, identificamos que a quantidade de alunos que

acertaram informando somente a resposta foi considerável. Mas, acreditamos que

isso foi possível, pois os números “18” e “8”, são números relativamente hábeis para

o cálculo mental. Em problemas que envolveram sistemas de equações do 1º grau,

esses alunos tiveram um rendimento muito baixo, inclusive em questões onde o

cálculo mental era uma ferramenta eficaz. Sobre as estratégias identificadas, foram

classificadas conforme a tabela 6.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 51

Tabela 6 – Tipos de registros feitos pelos alunos do 8º ano durante a resolução dos problemas de 1º grau

Fonte: pesquisa de campo (Agosto, 2010).

APENAS

TRADUZIU O

ENUNCIADO EM

LINGUAGEM

MATEMÁTICA.

TRADUZIU O

ENUNCIADO EM

LINGUAGEM

MATEMÁTICA E

UTILIZOU A

TÉCNICA DE

RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS POR

TENTATIVA E

ERRO.

TRADUZIU O

ENUNCIADO EM

LINGUAGEM

MATEMÁTICA E

APONTOU

DIRETO A

RESPOSTA.

TRADUZIU O

ENUNCIADO EM

LINGUAGEM

MATEMÁTICA

UTILIZOU

TÉCNICAS

ALGÉBRICAS

DE RESOLUÇÃO

UTILIZOU O

PICTÓRICO

PARA

RESOLVER OS

PROBLEMAS

UTILIZOU A

TÉCNICA POR

TENTATIVA E

ERRO.

INFORMOU APENAS

O VALOR

DESCONHECIDO

REGISTROS

COM NENHUM

SENTIDO

PARA O

PESQUISADOR

DEIXOU

EM

BRANCO

Q.1 3 alunos 0 aluno 0 aluno 2 alunos 0 aluno 3 alunos 6 alunos 3 alunos 45 alunos

Q.2 0 aluno 0 aluno 0 aluno 4 alunos 0 aluno 0 aluno 4 alunos 17 alunos 35 alunos

Q.3 0 aluno 0 aluno 0 aluno 1 aluno 0 aluno 7 alunos 1 aluno 5 alunos 46 alunos

Q.4 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 10 alunos 11 alunos 39 alunos

Q.5 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 2 alunos 9 alunos 19 alunos 30 alunos

Q.6 0 aluno 0 aluno 1 aluno 2 alunos 0 aluno 3 alunos 7 alunos 6 alunos 41 alunos

Q.7 0 aluno 1 aluno 0 aluno 0 aluno 2 alunos 8 alunos 3 alunos 10 alunos 37 alunos

Q.8 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 20 alunos 0 aluno 8 alunos 32 alunos

Q.9 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 10 alunos 16 alunos 7 alunos 27 alunos

Q.10 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 0 aluno 1 alunos 19 alunos 9 alunos 31 alunos

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 52

Podemos perceber, conforme a tabela 6, que a maioria dos alunos nem

tentou esboçar algum tipo de tentativa de resolução dos problemas propostos.

Apenas 3 (três) alunos conseguiram traduzir o enunciado em linguagem matemática,

e essa execução ocorreu apenas no problema de número 1. O único aluno que

traduziu o enunciado e tentou utilizar alguma técnica algébrica de resolução de

problemas do 1º grau não obteve sucesso e teve vários erros na operacionalidade

do algoritmo de resolução. Esses dados apontam que os alunos não conseguiram

compreender os problemas e tão pouco traduzi-los em linguagem matemática. Os

poucos que conseguiram essa execução operaram o algoritmo de forma

equivocada.

Os dados mostram que todos os acertos foram dos alunos que

informaram “gostar de matemática pelo menos um pouco” e que declararam não ter

dificuldades em matemática. Ainda, esses alunos foram aqueles que informaram

estudar pelo menos 3 (três) vezes por semana fora da escola. Todos os alunos que

obtiveram acertos possuem a ajuda de um professor particular nas tarefas

extraclasse de matemática. Entendemos que apesar dos alunos que participaram da

pesquisa estarem cursando o 8º ano do ensino fundamental, não conseguem

resolver problemas do 1º grau e ainda não associam as técnicas algébricas

possivelmente estudadas no ano de estudo anterior. Durante essa seção realizamos

uma análise preliminar sobre o ensino e aprendizagem envolvendo problemas do 1º

grau no ensino fundamental, assim algumas constatações foram adquiridas e que

serviram de base para a construção das atividades para o ensino de problemas do

1º grau na qual apresentamos na seção 2. A seguir abordamos sobre as

constatações resultantes dessa análise preliminar.

1.4. SINTESE DAS ANÁLISES PRÉVIAS

Na educação é importante vincular a pedagogia adotada pelos

professores ao espaço de vida dos alunos, nesse contexto a resolução de

problemas é vista como uma metodologia alternativa no processo de ensino-

aprendizagem onde o aluno é o centro do processo didático e cujo objetivo do

professor é oferecer problemas que possam gerar novos conceitos e novos

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 53

conteúdos. Procuramos adotar uma postura didática que focalizasse o aspecto

investigativo do ensino, criando na sala de aula oportunidades para os alunos se

envolverem ativamente com a matemática por meio da resolução de problemas.

A presença da matemática no currículo escolar é justificada muitas das

vezes pelo argumento de que esta quando ensinada de forma significativa ajudaria a

desenvolver o raciocínio. Mas, quando ensinamos a partir de roteiros pré-

estabelecidos e programados elaborados sem ao menos conhecer socialmente os

alunos que participam do processo de ensino, será que estamos realmente ajudando

a desenvolver o raciocínio dos alunos? Os alunos considerados pelo sistema escolar

como “bons alunos” muitas vezes não sabem argumentar como resolveram

determinados problemas, isso pode sugerir que o conhecimento não foi entendido

por completo por esses alunos, ou até podemos inferir que estes sabem apenas

uma estrutura mecanizada de resolução dentro de um determinado conjunto de

problemas. Concordamos com a ideia de que para os alunos se tornarem “bons em

resolver problemas” deve abandonar os procedimentos cegos.

Em nossa pesquisa sobre o ensino em matemática dos problemas do 1º

grau, segundo os professores da educação básica, constatamos que os sistemas de

equações do 1º grau aparecem como um dos tópicos mais difíceis dos alunos

aprenderem. Mas, diagnosticamos que as dificuldades não dizem respeito apenas

aos sistemas do 1º grau, como também aos demais tipos de problemas do 1º grau.

Uma das explicações para essa não aprendizagem pode estar relacionada com a

postura didática dos professores. Os docentes indicaram que não realizam o ensino

do conteúdo por meio de qualquer tipo de experimento. Concordamos com a ideia

ser necessário que os alunos sintam necessidades de resolver os problemas

propostos pelo professor, pois ocorrendo isso caberá ao aluno decidir em se hesitar

ou superar a ponto de desenvolver procedimentos de análise e síntese das variáveis

dos problemas.

Em se tratando de resolução de problemas do 1º grau, a pesquisa com os

alunos egressos do 7º ano assinalou que os acertos foram dos alunos que

declararam gostar de matemática e tinham o hábito de estudar frequentemente.

Destacamos que o professor deve estimular a auto-estima do aluno, valorizando

seus acertos, as suas estratégias de resolução de problemas, e saber fazer do erro

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 54

uma oportunidade de aprender, tirando assim a ideia de que a matemática é apenas

fazer contas e gerando nos alunos o hábito de raciocinar e enfrentar com segurança

a solução do problema.

As análises prévias evidenciaram que os alunos podem desrespeitar

equivocadamente algumas propriedades da matemática. Nesse meandro os erros

podem emergir na escrita da equação e na identificação da incógnita, principalmente

quando o problema se apresenta em língua oficial. Quando o professor utiliza de

diferentes suportes de representação pode permitir aos alunos durante a resolução

de problemas expressarem suas formas de raciocinar como também auxiliar os

professores a identificar determinadas formas de operar dos alunos sobre as

relações envolvidas nos problemas.

Acreditamos que o processo didático adotado pelo professor para o

ensino de problemas do 1º grau está relacionado com os possíveis significados da

noção de equação que podem ser os seguintes: intuitivo-pragmático; dedutivo-

geométrico; estrutural-conjuntista; processual – tecnicista; axiomático-postulacional.

Enfatizamos em nossas atividades para o ensino de problemas do 1º grau dois

significados: aquele que concebe a equação como uma noção intuitiva e aquele que

concebe equação focalizando os métodos e as técnicas que são utilizadas para

resolvê-la.

Temos como hipótese a ideia de que mais do que aplicação de fórmulas

ou procedimentos repetitivos é necessário lidar com diferentes problemas e

representações. Mas, acreditamos que no momento de resolução de problemas é o

aluno que deve decidir que estratégia utilizar, e que cabe ao professor oferecer e

ensinar vários tipos de estratégias de resolução de problemas em matemática.

Os alunos, em geral, usam a escrita para registrar; comunicar; explicar; e,

traduzir. Na escrita para traduzir os alunos escrevem para tentar comunicar as

informações apresentadas mediante equações, ou seja, quando os alunos se

deparam com um problema em língua oficial o ato de traduzir se concretiza no

momento da escrita de uma equação a partir de símbolos matemáticos. Ensinar os

alunos traduzir para linguagem matemática poderá gerar um melhor desempenho de

acertos em resolução de problemas.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 55

Constatamos que os alunos egressos do 7º ano, na sua maioria, não

sabem resolver problemas do 1º grau e dos poucos alunos que conseguem não

utilizam técnica algébrica de resolução ensinada no 7º ano do ensino fundamental.

Pelo que foi constatado nas análises prévias, podemos inferir que o aluno ao se

deparar com um problema do 1º grau costuma não vincular a esse problema uma

técnica algébrica de resolução, consequentemente procura utilizar outras

estratégias, principalmente tentativa e erro. Com isso, pretendemos responder a

seguinte pergunta: quais os efeitos de um conjunto de atividades sobre o

desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do ensino

fundamental? A seguir apresentamos um conjunto de atividades para o ensino de

problemas do 1º grau.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 56

2. CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI

Nesta seção, temos por objetivo apresentar um conjunto de atividades

para o ensino de problemas do 1º grau e as análises das mesmas. Denominamos de

problemas as situações em que os alunos não possuem um caminho imediato para

sua resolução. Neste estudo primeiramente pretendemos que o aluno compreenda o

que Polya (2006) denominou de equacionamento, ou seja, a tradução de uma língua

para outra, em seguida, descobrir estratégias algébricas de resolução de problemas

do 1º grau. Seguimos as recomendações de Sá (2005) para elaboração e execução

da sequência de atividades para o ensino de problemas do 1º grau:

1. não tente fazer uma aula desse modo de maneira improvisada;

2. determine qual é o problema mais simples e interessante para turma

que uma operação ou conceito matemático auxiliam a solução;

3. descubra um processo de resolver o problema sem o uso da operação,

normalmente o processo procurado envolve o uso de algum material

manipulativo ou o uso de algum outro conceito já conhecido;

4. proponha o problema em sala e dê um pouco de tempo para a turma

pensar numa solução;

5. solicite que a turma apresente uma solução ao problema ou apresente

a solução que você tem;

6. faça um registro escrito e detalhado da solução para toda a turma;

7. analise com a turma os invariantes que surgiram na resolução de

problemas;

8. solicite da turma uma conclusão operacional para resolver o problema

apresentado;

9. sistematize o conceito que você tinha como objetivo trabalhar;

10. mostre como fica a solução do problema proposto com o uso do

conteúdo sistematizado;

11. proponha novos problemas envolvendo o assunto sistematizado.

Os problemas presentes em cada atividade foram concebidos de modo a

permitir ao aluno agir, se expressar, refletir e evoluir por iniciativa própria, adquirindo

assim novos conhecimentos. Assumimos o papel de professor das turmas,

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 57

mediando e orientando as atividades. O tempo estimado para cada atividade e

assim como para os testes foi de 2 (duas) horas–aula, sendo respeitado o tempo de

cada hora - aula das escolas públicas do Estado do Pará, no período diurno, ou seja,

de 45 (quarenta e cinco) minutos. A sequência didática contém 9 (nove) atividades,

sendo divididas igualmente em 3 (três) grupos: atividades para o ensino de tradução

de enunciados escritos em língua oficial brasileira para linguagem matemática;

atividades para o ensino de problemas do 1º grau com uma incógnita; e, atividades

para o ensino de problemas envolvendo sistemas do 1º grau. Antes e depois de

cada grupo de atividades aplicamos testes. Os testes gerais foram usados para

verificar a eficácia da sequência de atividades relativa ao assunto problemas do 1º

grau. Os testes específicos foram usados para verificar a eficácia da sequência de

atividades sobre cada tópico desenvolvido em relação ao assunto problemas do 1º

grau, assim tivemos como analisar o desenvolvimento cognitivo pontualmente.

2.1. TESTES GERAIS

Objetivo: Verificar como os alunos resolveriam problemas do 1º grau, antes e

depois da sequência de atividades sobre o assunto.

Material: Folha de teste.

Procedimentos: Entregar a cada aluno uma cópia da folha do teste e solicitar que

resolvessem os problemas.

Resolva os seguintes problemas:

1) Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro. Qual é esse

número?

Análise a priori do pré-teste: os alunos resolverão o problema usando tentativa e

erro. Ou seja, irão pensar em um número que solucionasse o problema. A nossa

hipótese é de que conseguiriam resolver utilizando o algoritmo da adição com

diferentes números adicionados a vinte e um para obter sessenta e quatro.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 58

Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para

linguagem matemática e utilizarão alguma técnica algébrica de resolução.

2) Um número menos quarenta e cinco é igual a setenta e cinco. Que número é

esse?

Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão solucionar o problema atribuindo

valores para o número desconhecido até satisfazer a questão. Outros irão cometer o

equívoco de subtrair quarenta e cinco de setenta e cinco.

Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria irão traduzir o problema

para linguagem matemática e utilizaria alguma técnica algébrica de resolução.

3) A metade de um número mais quatro é igual a seis. Qual é esse número?

Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema e

cometerão o equívoco de pensar em um número mais quatro que seja igual a seis e

não a metade desse número, aparecendo como solução o número dois.

Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria irão traduzir o problema

para linguagem matemática e utilizaria alguma técnica algébrica de resolução. A

representação da metade de um número muitos alunos não utilizarão a simbologia

de fração.

4) O dobro de um número, menos sete, é igual a trinta e cinco. Que número é

esse?

Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema e

cometerão o equívoco de não pensar no dobro de um número, aparecendo como

solução o número quarenta e dois.

Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para

linguagem matemática e utilizará alguma técnica algébrica de resolução. O dobro de

um número iria se representado coerentemente e com mais facilidade.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 59

5) A soma de dois números é 8 e a diferença é 4. Que números são esses?

Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema e

cometerão o equívoco de atribuir quatro valores diferentes dois para cada equação.

Por exemplo: 4 + 4 = 8 � 4 – 0 = 4.

Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para

linguagem matemática e utilizarão alguma técnica algébrica de resolução. Mas,

acreditamos ainda que muitos apesar de representarem pela linguagem matemática

tentarão resolver o problema por tentativa e erro.

6) Pensei em um número, depois somei este número com cinquenta e dois e

dividi o resultado por dois, e assim obtive quarenta e quatro. Qual foi o

número pensado?

Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema.

Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para

linguagem matemática e utilizará alguma técnica algébrica de resolução. Alguns

alunos tentarão resolver o problema pela ordem inversa da situação.

7) Em um quintal há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés (ou

patas). Qual é a quantidade de galinhas? E a quantidade de coelhos?

Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema. Irão

atribuir valores que somado resulta em 13 (treze), mas não irão relacionar o número

de pés (ou patas) dos animais com a quantidade de animas, ou irão atribuir que

somado da maior que 13 (treze).

Análise a priori do pós-teste: os alunos em sua maioria traduzirão o problema para

linguagem matemática e utilizarão alguma técnica algébrica de resolução. Alguns

alunos terão dificuldades para representar a quantidade de pés ou patas em relação

com os animais, assim terão dificuldades em tradução.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 60

8) Em um torneio de perguntas e respostas, a pontuação é dada de acordo com

o seguinte:

Questões

Certa Errada

Ganha 10 pontos perde 5 pontos

Uma equipe, depois de responder 20 perguntas, ficou com 80 pontos.

Quantas foram as respostas certas? E quantas foram as respostas erradas?

Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema. Irão

atribuir valores diferentes para quantidade de perguntas e quantidade de pontos.

Exemplo: 14 acertos e 6 erros, mas nossa hipótese é que não perceberão que esses

dados não resultará em 80 pontos.

Análise a priori do pós-teste: os alunos não irão traduzir para linguagem

matemática e não irão reconhecer técnica algébrica de resolução. Mas, tentarão

solucionar os problemas atribuindo valores aleatórios a fim de alcançar a solução

coerente da questão.

9) A soma de dois números pares consecutivos é 18. Quais são esses

números?

Análise a priori do pré-teste: os alunos não entenderão o que é número

consecutivo e não relacionarão pares consecutivos, e tentará solucionar atribuindo

valores que não satisfazem a condição da questão.

Análise a priori do pós-teste: os alunos não irão traduzir para linguagem

matemática e não irão reconhecer técnica algébrica de resolução. Mas, tentarão

solucionar os problemas atribuindo valores aleatórios a fim de alcançar a solução

coerente da questão. A nossa hipótese é que nesse momento surgirá a dificuldade

de entender uma técnica de tradução diferente onde a letra não satisfaz

completamente a tradução do enunciado, tendo que o aluno perceber que

encontrado o valor da letra teria ainda que multiplicar esse valor por dois.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 61

10) A soma de dois números ímpares consecutivos é 8. Quais são esses

números?

Análise a priori do pré-teste: os alunos não entenderão o que é número

consecutivo e não relacionarão ímpares consecutivos, e tentarão solucionar

atribuindo valores que não satisfazem a condição da questão.

Análise a priori do pós-teste: os alunos não irão traduzir para linguagem

matemática e não irão reconhecer técnica algébrica de resolução. Mas, tentarão

solucionar os problemas atribuindo valores aleatórios a fim de alcançarem a solução

coerente da questão. A nossa hipótese é que nesse momento surgirá a dificuldade

de entender uma técnica de tradução diferente onde a letra não satisfaz

completamente a tradução do enunciado, tendo que o aluno perceber que

encontrado o valor da letra teria ainda que multiplicar esse valor por dois e somar

com uma unidade.

2.2. TESTES DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA

Objetivo: Verificar se e como os alunos traduziriam as sentenças escritas em língua

oficial brasileira em linguagem matemática, antes e depois da sequência de

atividades sobre o assunto.

Material: Folha de teste.

Procedimentos: entregar a cada aluno uma cópia da folha de teste e explicar aos

alunos que traduzam cada sentença que se apresenta em língua oficial para

linguagem matemática.

Represente simbolicamente as sentenças:

1. Um número mais três é igual a onze.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Assim responderão o valor do número que

somado com três é igual a onze.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 62

Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma

rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno

teria que traduzir o número desconhecido por uma letra do nosso alfabeto.

2. Um número menos nove é igual a dois.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema.

Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma

rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno

teria que traduzir o número desconhecido por uma letra do nosso alfabeto.

3. Um número menos quatro é igual a menos dez.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma

rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno

terá que traduzir o número desconhecido por uma letra do nosso alfabeto. Alguns

não representarão o “menos” dez.

4. O triplo de um número é igual a nove.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma

rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno

terá que traduzir o triplo de um número desconhecido por três vezes alguma letra do

nosso alfabeto. Alguns alunos não irão representar o triplo de um número.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 63

5. A metade de um número é igual a seis.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma

rápida e coerente, pois se trata de uma técnica simples de tradução onde o aluno

terá que traduzir a metade do número desconhecido dividido por dois, ou seja, uma

letra do nosso alfabeto dividido por dois. Alguns alunos não irão representar a

metade de um número usando a simbologia de fração.

6. O dobro de um número mais cinco é igual a menos onze.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma

rápida e coerente, o que poderá ocorrer de equívoco é não representar a palavra

“menos” de “menos onze”.

7. O triplo de um número menos seis é igual a zero.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma

rápida e coerente, pois a técnica será representar o triplo de um número

desconhecido por três vezes uma letra do nosso alfabeto.

8. O dobro de um número menos seis é igual a menos quatorze.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 64

Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma

rápida e coerente, o equívoco poderá ocorrer na não tradução do sinal de menos da

expressão “menos quatorze”.

9. O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: os alunos conseguirão traduzir o enunciado de forma

coerente, mas alguns ainda terão muitas dificuldades, pois se trata de outra técnica

de tradução: duas vezes uma letra mais três vezes a mesma letra é igual a menos

quarenta. Provavelmente o equívoco mais acentuado será o de representar por

letras diferentes não percebendo que se trata do mesmo número.

10. Um número mais três, vezes cinco é igual a quarenta e cinco.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se

trata de outra técnica de tradução: ( + 3) 5 = 45, ou seja, usar os parênteses para

indicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

11. Um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se

trata de outra técnica de tradução: �a - 15�3 = 21, ou seja, usar os parênteses para

indicar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração e ainda

usar a simbologia de fração.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 65

12. A soma de dois números consecutivos é igual a cinquenta e três.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se

trata de outra técnica de tradução: + ( + 1) = 53, ou seja, o consecutivo de um

número desconhecido.

13. A soma de dois números pares consecutivos é igual a noventa e oito.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se

trata de outra técnica de tradução: 2. + (2 + 2) = 98, ou seja, representar o

número par e consecutivo do número par. Muitos não entenderá que a letra não

representa o valor desconhecido.

14. A soma de dois números ímpares consecutivos é igual a oitenta e oito.

Análise a priori do pré-teste: os alunos irão confundir tradução em linguagem

matemática com resolução do problema. Terão muitas dificuldades até para

determinar o valor do número desconhecido.

Análise a priori do pós-teste: alguns alunos não irão traduzir o enunciado, pois se

trata de outra técnica de tradução: (2. + 1) + (2 + 3) = 88, ou seja, representar o

número ímpar e consecutivo do número ímpar. Muitos não entenderá que a letra não

representa o valor desconhecido.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 66

2.3. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE TRADUÇÃO DE ENUNCIADOS ESCRITOS

EM LÍNGUA OFICIAL BRASILEIRA PARA LINGUAGEM MATEMÁTICA

2.3.1. Atividade 01

Título: LINGUAGEM MATEMÁTICA

Objetivo: Possibilitar aos alunos a compreensão sobre a linguagem matemática.

Material: Texto sobre linguagem matemática.

Procedimentos: entregar a cada aluno uma cópia do texto, logo em seguida

solicitar aos alunos que o lerem, e dialogar sobre a temática. No final da atividade

solicitar que os alunos traduzem para linguagem matemática alguns enunciados

escritos em língua oficial.

Texto sobre linguagem matemática

A linguagem é uma forma de expressar determinada ideia. Na vida

prática, existem diferentes maneiras de comunicar as ideias: pela linguagem falada,

pela escrita, pela musical etc. A matemática também possui sua forma de

comunicação, e utiliza de uma linguagem para transmitir suas ideias de maneira

simples e precisa.

A linguagem matemática utiliza símbolos para expressar frases que, se

escrita na linguagem corrente, usariam maior quantidade de símbolos ou espaços.

Por exemplo, a frase: Dois mais três é igual a cinco, se escrita na linguagem

matemática, usaremos apenas cinco símbolos (2 + 3 = 5), que podem ser

compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com os símbolos matemáticos.

Uma técnica de tradução em linguagem matemática é o uso de letras para

representar quantidades desconhecidas.

1. Um número mais três é igual a onze:

2. Um número menos nove é igual a dois:

3. O dobro de um número é igual a dez:

4. O triplo de um número é igual a nove:

5. A metade de um número é igual a seis:

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 67

6. A terça parte de um número é igual a dezoito:

7. O dobro de um número mais cinco é igual a onze:

8. O triplo de um número menos seis é igual a zero:

9. O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta:

10. Três mais um número, vezes cinco é igual a quarenta e cinco:

11. Um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um:

12. A soma de dois números pares consecutivos é quatorze:

13. A soma de dois números ímpares consecutivos é doze:

Análise a priori: Ao lerem o texto os alunos irão se questionar sobre essa “nova”

linguagem e que ao perceberam diferentes técnicas de tradução em linguagem

matemática, entenderam com mais facilidade os de tradução simples onde temos

que apenas traduzir o número desconhecido por uma letra do nosso alfabeto. A

nossa postura como professor deverá ser de elucidar que a matemática possui seus

próprios meios de representação e que quando essas diferentes técnicas são

entendidas, a sua aprendizagem fica acessível aos alunos. A ideia principal é do

dialogo com os alunos e não uma exposição unidirecional.

2.3.2. Atividade 02

Título: BARALHO DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA

Objetivo: Possibilitar aos alunos a prática da tradução da língua oficial para

linguagem matemática de forma lúdica.

Número de Jogadores: 4 (quatro) alunos por equipe.

Material: 60 (sessenta) cartas (cf. apêndice C).

Regras:

• Um dos participante será o carteador, escolhido conforme acordado em

grupo, este distribui 6 (seis) cartas para cada um dos outros alunos que

formaram a equipe, uma a uma.

• As cartas não usadas na distribuição são colocadas sobre a mesa com a

face virada para baixo e constituíram o monte de compras. Os alunos devem

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 68

avaliar as cartas recebidas e então, começando pelo aluno à esquerda do

carteador, iniciaram o jogo.

• O primeiro participante sentado á esquerda do carteador compra a carta de

cima do monte de compras e tem duas opções: ficará com a carta, se ela

servir no seu jogo ou descartá-la, estas ficam com a face virada sobre a

mesa formando o monte de descartes.

• O participante seguinte terá duas opções de compra: ou do monte de

compras ou poderá pegar a última carta descartada sobre a mesa, apenas a

última carta do monte de descartes poderá ser comprada, o jogo prossegue

com todos os alunos da equipe comprando e descartando uma carta. Com a

compra, os alunos da equipe tentarão montar duplas de cartas que

representam a tradução da língua oficial para linguagem matemática, ou

vice-versa.

• O participante que primeiro conseguir montar 3 (três) duplas com todas as

suas cartas ganhará.

Exemplo de cartas:

Análise a priori: no primeiro momento será necessário enfatizar que o jogo terá que

ser uma atividade para que os alunos possam ganhar agilidade quanto a tradução

em linguagem matemática e, por isso, no momento de dúvidas sobre a formação

das duplas de cartas os alunos terão que comunicar e dialogar com a turma ou o

professor. Em algum momento do jogo os alunos irão compreender as traduções e

ganhar agilidade a ponto de elaborar estratégias de jogos.

Um número mais dois é

igual a vinte.

X + 2 = 20

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 69

2.3.3. Atividade 03

Título: EXERCÍCIO DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA DE

ENUNCIADOS ESCRITOS EM LÍNGUA OFICIAL BRASILEIRA.

Material: Folha de exercício

Procedimento: Entregar uma cópia da folha de exercício e solicitar aos alunos que

fizessem as devidas transformações.

Grupo 1

Análise a priori: possibilitará aos alunos o exercício da técnica de tradução: a letra

representa o número desconhecido.

Represente simbolicamente as sentenças:

1. Um número mais quatro é igual a doze.

2. Um número mais cinco é igual a quatorze.

3. Um número mais sete é igual a vinte e seis.

4. Um número mais doze é igual a quarenta.

5. Um número menos seis é igual a menos dois.

6. Um número menos nove é igual a menos cinco.

7. Um número menos quinze é igual a menos sete.

8. Um número menos vinte e quatro é igual a menos doze.

9. Um número menos quatro é igual a dez.

10. Um número menos seis é igual a quatorze.

11. Um número menos dez é igual a vinte e quatro.

12. Um número menos dezesseis é igual a trinta e oito.

Grupo 2:

Análise a priori: a atividade possibilitará aos alunos o exercício da técnica de

tradução: uma letra dividida por um número usando a simbologia de fração. O

entendimento dessa tradução será rapidamente compreendido, mas alguns

momentos não representarão pela simbologia de fração.

13. Um número dividido por quatro é igual a oito.

14. Um número dividido por cinco é igual a quinze.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 70

15. Um número dividido por seis é igual a trinta e seis.

16. Um número dividido por sete é igual a quarenta e dois.

17. A quinta parte de um número inteiro somado com dezenove dá oitenta e dois.

18. A metade de um número é igual a cinco.

19. A terça parte de um número é igual a doze.

20. A metade de um número mais seis é igual a menos quinze.

Grupo 3:

Análise a priori: possibilitará aos alunos o exercício da técnica de tradução: o triplo

de um número é traduzido por três vezes uma letra do nosso alfabeto; e o dobro de

um número é traduzido por duas vezes uma letra do nosso alfabeto.

21. O triplo de um número é igual a menos nove.

22. O triplo de um número é igual a menos doze.

23. O triplo de um número é igual a menos quinze.

24. O triplo de um número é igual a menos dezoito.

25. O triplo de um número menos seis é igual a zero.

26. O triplo de um número menos vinte é igual a trinta.

27. O triplo de um número menos vinte e seis é igual a dez.

28. O triplo de um número menos quarenta e seis é igual a quarenta.

29. O triplo de um número menos um é igual a vinte e dois.

30. O triplo de um número mais o seu quádruplo é igual a cinquenta e dois

31. O dobro de um número mais quatro é igual a treze.

32. O dobro de um número mais nove é igual a vinte e quatro

33. O dobro de um número mais cinco é igual a onze.

34. O dobro de um número mais quatorze é igual a trinta e seis.

35. O dobro de um número menos seis é igual a menos quatorze.

36. O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta.

37. O dobro da idade de Evandro mais dois anos é igual a quarenta anos.

38. O dobro da idade de Vânia mais doze anos é igual a quarenta e seis.

Grupo 4:

Análise a priori: possibilitará aos alunos o exercício da técnica de tradução: usar os

parênteses para representar a distributiva em relação à adição ou a subtração.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 71

39. Um número mais, três multiplicado por cinco é igual a quarenta e cinco.

40. Um número mais quatro, multiplicado por sete é igual a quarenta e três.

41. Um número mais sete, multiplicado por nove é igual a vinte e nove.

42. Um número mais oito, multiplicado por dois é igual a dezenove.

Grupo 5:

Análise a priori: possibilitará aos alunos o exercício da técnica de tradução:

representar consecutivo de um número desconhecido. Acreditamos que os alunos

terão muitas dificuldades nessa tradução.

43. A soma de dois números consecutivos é igual a quarenta e cinco.

44. A soma de dois números consecutivos é igual a vinte e um.

45. A soma de dois números pares consecutivos é igual a noventa e oito.

46. A soma de dois números pares consecutivos é igual a setenta e dois.

2.4. TESTES DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Objetivo: Verificar se e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau com

uma incógnita, antes e depois da sequência de atividades sobre o assunto.

Material: Folha de teste de problemas do 1º grau com uma incógnita;

Procedimentos: Entregar a cada aluno uma cópia da folha de teste; e, solicitar que

resolva os problemas.

Resolva os seguintes problemas:

1. Estas balanças estão equilibradas. Calcule o valor de x:

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 72

Análise a priori do pré-teste: os alunos não conseguirão resolver o problema,

talvez até nem identifiquem o que estar sendo requerido no problema.

Análise a priori do pós-teste: Acreditamos que os alunos resolverão os problemas

utilizando as técnicas algébricas de resolução de problemas.

2. Um número mais dezoito é igual a noventa e cinco. Qual é esse número?

Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro

traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e

erro.

Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as

técnicas algébricas de resolução de problemas.

3. Um número menos seis é igual a menos quarenta e cinco. Que número é

esse?

Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro

traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e

erro. A maior dificuldade será relacionar a resposta ao menos quarenta e cinco.

Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as

técnicas algébricas de resolução de problemas.

4. O dobro de um número menos dois é igual a trinta. Qual é esse número?

Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro

traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e

erro.

Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as

técnicas algébricas de resolução de problemas.

5. O triplo de um número mais dez é igual a menos dois. Qual é esse número?

Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro

traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e

erro.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 73

Análise a priori do pós-teste: Acreditamos que os alunos resolverão os problemas

utilizando as técnicas algébricas de resolução de problemas.

6. A metade de um número mais dez é igual a doze. Qual é esse número?

Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro

traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e

erro. A metade ainda não iria ser representada pela simbologia de fração.

Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as

técnicas algébricas de resolução de problemas.

7. A terça parte de um número menos cinco é igual a dois. Qual é esse número?

Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema primeiro

traduzindo para linguagem matemática e depois utilizarão a técnica por tentativa e

erro. A terça parte ainda não irá ser representada pela simbologia e fração.

Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão os problemas utilizando as

técnicas algébricas de resolução de problemas.

2.5. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA

INCÓGNITA

2.5.1. Atividade 01

Título: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA COM

O AUXÍLIO DE UMA BALANÇA PICTÓRICA

Objetivo: Possibilitar aos alunos a descoberta de técnicas algébricas para resolver

problemas do 1º grau de uma incógnita com o auxílio de uma balança pictórica.

Material: Folha com balanças pictóricas

Procedimento: Entregar uma cópia da folha com balanças pictóricas e dialogar com

os alunos sobre como obter a quantidade desconhecida. Após os alunos terem

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 74

adquirido confiança na resolução por meio da balança pictórica, propor alternativas

algébricas de resolução.

Resolva os problemas abaixo, utilizando uma balança pictórica:

1. O peso de uma melancia mais 4 kg é igual a 12 kg. Qual o peso da

melancia?

Análise a priori: os alunos conseguirão calcular a quantidade desconhecida sendo

auxiliado pela balança pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente

os problemas do 1º grau com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta

de técnicas algébricas utilizando o princípio aditivo da igualdade.

2. O peso de uma melancia mais 5 kg é igual a 14 kg. Qual o peso da melancia?

Análise a priori: os alunos conseguirão calcular a quantidade desconhecida sendo

auxiliado pela balança pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente

os problemas do 1º grau com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta

de técnicas algébricas utilizando o princípio aditivo da igualdade. Os alunos já

entenderão que a quantidade que se retira de um lado tem que também ser retirada

do outro para manter a igualdade.

3. O peso de uma melancia mais 7 kg é igual a 26 kg. Qual o peso da melancia?

Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança

pictórica, calculará a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança

pictórica e possuirá habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 75

com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas

utilizando o princípio aditivo da igualdade.

4. O peso de uma melancia mais 12 kg é igual a 40 kg. Qual o peso da melancia?

Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança

pictórica, calculará a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança

pictórica e possuirá habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau

com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas

utilizando o princípio aditivo da igualdade.

5. O peso de um cacho de açaí menos 6 kg é igual a 2 kg. Qual é o peso desse

cacho de açaí?

Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança

pictórica, calculará a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança

pictórica e possuirá habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau

com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas

utilizando o princípio aditivo da igualdade. Pretendemos que os alunos já traduzirão

o enunciado e que entenderão que quando se coloca peso de um dos lados da

balança para se equilibrar novamente coloca-se a mesma quantidade do outro.

6. O peso de um cacho de açaí menos 9 kg é igual a 5 kg. Qual é o peso desse

cacho de açaí?

Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança

pictórica, calcularão a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança

pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau

com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas

utilizando o princípio aditivo da igualdade.

7. O peso de um cacho de açaí menos 15 kg é igual a 7 kg. Qual é o peso desse

cacho de açaí?

Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança

pictórica, calcularão a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança

pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 76

com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas

utilizando o princípio aditivo da igualdade.

8. O peso de um cacho de açaí menos 24 kg é igual a 12 kg. Qual é o peso desse

cacho de açaí?

Análise a priori: os alunos conseguirão representar o problema em balança

pictórica, calcularão a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança

pictórica e possuirão habilidade de resolver algebricamente os problemas do 1º grau

com uma incógnita. Possibilitará aos alunos a descoberta de técnicas algébricas

utilizando o princípio aditivo da igualdade.

9. O dobro do peso de uma saca de farinha é igual a 14 kg. Qual o peso dessa

saca de farinha?

Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos

incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem

matemática: 2. � = 14, para perceberem que: 2 ÷ (2. �) = 2 ÷ (14).

10. O dobro do peso de uma saca de farinha é igual a 8 kg. Qual o peso dessa saca

de farinha?

Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos

incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem

matemática: 2. � = 18, para perceberem que: 2 ÷ (2. �) = 2 ÷ (18).

11. O triplo do peso de uma saca de farinha é igual a 9 kg. Qual o peso dessa saca

de farinha?

Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos

incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem

matemática: 3. � = 9, para perceberem que: 3 ÷ (3. �) = 3 ÷ (9). Assim, tentaremos

evidenciar que a divisão depende do número que a letra.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 77

12. O triplo do peso de uma saca de farinha é igual a 12 kg. Qual o peso dessa saca

de farinha?

Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos

incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem

matemática: 3. � = 12, para perceberem que: 3 ÷ (3. �) = 3 ÷ (12).

13. O peso de uma caixa de bananas dividido por 4 é igual a 8 kg. Qual o peso

dessa caixa de bananas?

Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos

incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem

matemática: �� = 8, para perceberem que: 4. ���� = 4. (8). Os alunos terão que

perceber que a letra nesse caso divide o valor desconhecido, assim eles terão que

multiplicar ambos os lados por quatro. Um equívoco que poderá ocorrer é de algum

aluno pensar que a resposta da questão seja � = 2, ou seja, 8 ÷ 4 = 2.

14. O peso de uma caixa de bananas dividido por 5 é igual a 15 kg. Qual o peso

dessa caixa de bananas?

Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos

incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem

matemática: �� = 15, para perceberem que: 5. ���� = 4. (15). Os alunos terão que

perceber que o número que se multiplica em ambos os lados da igualdade será igual

ao que dividi o valor desconhecido.

15. O peso de uma caixa de bananas dividido por 6 é igual a 36 kg. Qual o peso

dessa caixa de bananas?

Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos

incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem

matemática: �� = 36, para perceberem que: 6. ���� = 6. (36). Os alunos terão que

perceber que o número que se multiplica em ambos os lados da igualdade será igual

ao que dividi o valor desconhecido.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 78

16. O peso de uma caixa de bananas dividido por 7 é igual a 42 kg. Qual o peso

dessa caixa de bananas?

Análise a priori: Enfatizaremos o princípio multiplicativo da igualdade. Mas, iremos

incentivar primeiro que os alunos venham a traduzir o enunciado em linguagem

matemática: �! = 42, para perceberem que: 7. ��!� = 7. (42). Os alunos terão que

perceber que o número que se multiplica em ambos os lados da igualdade seria

igual ao que dividi o valor desconhecido.

2.5.2. Atividade 02

Título: BARALHO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Objetivo: Possibilitar aos alunos uma prática de forma lúdica da resolução de

problemas do 1º grau com uma incógnita.

Número de Jogadores: 4 (quatro) alunos por equipe.

Materiais: 96 (noventa e seis) cartas (cf. apêndice D).

Procedimentos:

• Um dos alunos será o carteador esse será escolhido conforme o acordo em

grupo, o carteador distribuirá nove cartas para cada jogador, uma a uma. As

cartas não usadas na distribuição serão colocadas sobre a mesa com a face

virada para baixo e constituirão o monte de compras. Os alunos devem

avaliar as cartas recebidas e então, começando pelo aluno á esquerda do

carteador, iniciarem o jogo.

• Os jogos possíveis são uma carta “equação original”, uma carta “isolar a

variável”, e uma carta “solução”. As sequências obrigatoriamente devem ter

no mínimo três cartas. O primeiro aluno sentado á esquerda do carteador

compra a carta de cima do monte de compras e tem duas opções: ficar com a

carta, se ela servir no seu jogo ou descartá-la (as cartas descartadas ficam

com a face virada sobre a mesa formando o monte de descartes).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 79

• O aluno seguinte terá duas opções de compra: ou do monte de compras ou

poderá pegar a última carta descartada sobre a mesa (apenas a última carta

do monte de descartes poderá ser comprada), o jogo prossegue com todos os

jogadores comprando e descartando uma carta. Com a compra os alunos

tentarão montar jogos com as cartas que receberam na distribuição, e

baterem a rodada.

• O aluno que primeiro conseguir montar jogos com todas as suas cartas

ganhará a rodada. São duas as formas de se bater o jogo: sem descarte

combinando todas as cartas da mão ou com descarte combinando as cartas

de forma a sobrar uma para o descarte final.

Exemplo de cartas:

Análise a priori: os alunos assimilarão o princípio multiplicativo e aditivo da

igualdade. Com o recurso do baralho esperamos que essa atividade possibilitará aos

alunos uma prática de forma lúdica da resolução de problemas do 1º grau com uma

incógnita.

2.5.3. Atividade 03

Título: EXERCÍCIO DE TÉCNICA ALGÉBRICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA.

Objetivo: Possibilitar aos alunos uma prática da técnica algébrica de resolução de

problemas do 1º grau com uma incógnita.

Material: Folha de atividades

Solução

x = 18

Isolar a variável

x = 20 - 2

Equação Original

x + 2 = 20

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 80

Procedimentos: Entregar a cada aluno uma cópia da folha de exercício e dialogar

com eles sobre as possíveis resoluções dos problemas por meio de técnica

algébrica.

Grupo 1

Análise a priori: esse grupo de atividade possibilitará aos alunos uma prática da

técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita,

relacionado apenas um dos princípios da igualdade. Um dos equívocos que poderá

ocorrer é em relação às operações aritméticas envolvendo números inteiros.

Resolva os problemas abaixo, utilizando técnicas de resolução algébricas: 1. x + 2 = 5

2. x + 2 = -5

3. x + 4 = -9

4. x + 6 = -14

5. x – 2 = 5

6. x – 2 = -5

7. x – 4 = -9

8. x – 6 = -14

9. 2x = 6

10. 3x = 12

11. 4x = 20

12. 3x = -12

13. 2x = -6

14. 4x = -20

15. -4x = 20

16. -3x = 12

17. -2x = 6

18. – 4x = - 20

19. – 3x = - 12

20. – 2x = - 6

21. x

2=6

22. x

4=5

23. x3

=7

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 81

24. x

2=-6

25. x

4=-5

26. x

3=-7

Grupo 2

Análise a priori: esse grupo de atividade possibilitará aos alunos uma prática da

técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita,

relacionado os dois princípios da igualdade. Será necessário trabalhar novamente

com a balança pictórica para que os alunos venham a perceber qual o princípio da

igualdade utilizará primeiro.

27. 2x + 3 = 11

28. 3x + 4 = 16

Grupo 3

Análise a priori: esse grupo de atividade possibilitará aos alunos uma prática da

técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita,

relacionado os dois princípios da igualdade. Esperamos que os alunos utilizassem o

princípio aditivo e multiplicativo sem o auxilio do registro da balança pictórica.

29. 5x + 7 = 32

30. 2x – 3 = 11

31. 3x – 5 = 16

32. 5x – 7 = 33

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 82

33. 2x + 3 = -11

34. 3x + 4 = -17

35. 5x + 7 = -33

36. - 2x + 3 = -11

37. -3x + 4 = -17

38. -5x + 7 = -33

39. - 2x – 3 = -11

40. -3x – 4 = -19

41. -5x – 7 = -37

42. 3x + 5 = 11

43. 3x + 7 = 10

44. 3 – 2x = 11

45. 4 – 2x = 12

Grupo 4

Análise a priori: esse grupo de atividade possibilitará aos alunos uma prática da

técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita,

relacionado os dois princípios da igualdade. Esse grupo de atividade possibilitará

aos alunos uma prática da técnica algébrica de diferentes problemas do 1º grau com

uma incógnita. Provavelmente precisaremos intervir de forma mais significativa

nesse grupo de atividade, revisando até alguns conteúdos do ensino fundamental

anterior ao 7º ano.

46. -(x + 30) + x = 192

47. -3(x + 4) + x = 14

48. 3x + 1 = 2x – 3

49. 2x + 4 = 3x + 1

50. x + x

5 = 12

51. x + x

2 = 9

52. n

3+ 2=n+1

53. n

4+ 2=n-1

54. (2x-1)

3 =5

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 83

55. x

3 +

x

2 = 10

56. x

4 +

x

2 = 15

57. 3x + 7 = 2(x + 4) + 1

58. 5 (2x – 1) + 7 (2 + 3x) = - 3 (x – 3)

59. 3(p + 1) = 18

60. n + 2(n+1) -3(n+2) = 6

61. n - (n+1) -3(n-2) = 1

2.6. TESTES DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU

Objetivo: Verificar se e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau com

duas incógnitas antes e depois da sequência de atividades sobre o assunto.

Material: Folha de teste.

Procedimentos: Entregar a cada aluno uma cópia da folha de teste e solicitar que

resolva os problemas da folha.

Resolva os problemas abaixo:

1. Num quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 patas. Quantas são as

galinhas? E os coelhos?

2. A soma das idades de José e Maria é 55 anos. A idade de José mais o dobro

da idade de Maria é igual a 85 anos. Qual é a idade José? E a idade de

Maria?

3. Em uma loja, Josias comprou 5 canetas e 3 lápis e gastou R$ 21,00.

Mariana, na mesma loja, comprou 3 canetas e 2 lápis e gastou R$ 12,90.

Qual é o valor da caneta? E do lápis?

4. A soma de dois números é igual a 14. A diferença entre esses números é

igual a dois. Quais são esses números?

5. O peso de Camila e de seu gato Tico, juntos, é de 32 kg. O peso de Camila

é sete vezes o de Tico. Qual o peso de cada um?

6. A soma de dois números consecutivos pares é igual a 18. Quais são esses

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 84

números?

7. A soma de dois números consecutivos ímpares é igual a 12. Quais são esses

números?

Análise a priori do pré-teste: os alunos tentarão resolver o problema relacionando

com aquilo que assimilaram das atividades anteriores. Mas, não darão conta de

traduzir o problema em linguagem matemática e por isso tentarão solucionar por

tentativa e erro.

Análise a priori do pós-teste: os alunos resolverão o problema relacionando com

aquilo que assimilaram das atividades anteriores. E depois das atividades sobre o

assunto traduzirão o problema em linguagem matemática e por isso utilizarão a

técnica algébrica de resolução de sistema do 1º grau por substituição.

2.7. ATIVIDADES PARA O ENSINO DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS

DO 1º GRAU

2.7.1. Atividade 01

Título: RESOLUÇÃO DE SISTEMA DO 1º GRAU POR BALANÇA PICTÓRICA

Objetivo: Possibilitar aos alunos a descoberta de um meio algébrico de resolver

problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de uma balança

pictórica.

Material: Folha com balanças pictóricas.

Procedimento: Entregar uma cópia da folha e dialogar com os alunos sobre como

calcular as quantidades desconhecidas. Após perceber que os alunos adquiriram

confiança na resolução por meio da balança, propor alternativas algébricas de

resolução.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 85

Análise a priori: essa situação possibilitará aos alunos a descoberta de um meio

algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de

uma balança pictórica.

Análise a priori: que essa situação possibilitará aos alunos a descoberta de um

meio algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o

auxílio de uma balança pictórica. Nesse momento será necessário fazer o seguinte

esquema:

# = 2. $

3# = 15

SITUAÇÃO 2

Sabendo que cada pesa exatamente 1 (um) kg, calcule o peso da

melancia e do cacho de bananas em cada situação abaixo.

SITUAÇÃO 1

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 86

$ = 5

# = 10

Depois de dialogar com os alunos o esquema acima, solicitaremos aos

alunos que façam o mesmo na situação 1 e assim entender a resolução por

substituição dos sistemas do 1º grau propostos.

Análise a priori: essa situação possibilitará aos alunos a descoberta de um meio

algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de

uma balança pictórica. Nesse momento, os alunos conseguirão representar suas

resoluções por meio algébrico sem intervenção direta do professor.

Análise a priori: essa situação possibilitará aos alunos a descoberta de um meio

algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de

SITUAÇÃO 4

SITUAÇÃO 3

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 87

uma balança pictórica. Nesse momento, conseguirá resolver o problema pelo meio

algébrico sem representar pelo pictórico.

Grupo 1

Análise a priori: esse grupo possibilitará aos alunos a descoberta de um meio

algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de

uma balança pictórica. Nesse momento, solicitaremos que os alunos primeiro

representem e resolverão o problema utilizando o pictórico, para em seguida mudar

para o registro algébrico.

Resolva os problemas:

1. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a 9 quilos.

O Peso de uma melancia menos o peso de um cacho de açaí é igual a 1.

Qual o peso da melancia e do cacho de açaí?

2. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a seis

quilos. O peso do cacho de açaí é igual ao dobro do peso da melancia. Qual

o peso da melancia e do cacho de açaí?

3. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a nove

quilos. O peso do cacho de açaí é igual ao triplo do peso da melancia. Qual o

peso da melancia e do cacho de açaí?

Grupo 2

Análise a priori: esse grupo possibilitará aos alunos a descoberta de um meio

algébrico de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de

uma balança pictórica. Nesse momento, solicitaremos que os alunos representem e

resolvam o problema pelo meio algébrico. Acreditamos que os alunos já tenham

entendido a tradução para linguagem matemática e a resolução algébrica.

4. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a onze

quilos. O peso do cacho de açaí é igual ao peso da melancia mais cinco

quilos. Qual o peso da melancia e do cacho de açaí?

5. O peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é igual a oito

quilos. O peso do cacho de açaí é igual ao peso da melancia mais dois

quilos. Qual o peso da melancia e do cacho de açaí?

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 88

6. O triplo do peso de uma melancia mais cinco vezes o peso de um cacho de

açaí é igual a trinta quilos. Quatro vezes o peso da melancia menos cinco

vezes o cacho de açaí é igual a cinco quilos. Qual o peso da melancia e do

cacho de açaí?

7. Quatro vezes o peso de uma melancia mais o peso de um cacho de açaí é

igual a nove quilos. Seis vezes o peso da melancia menos três vezes o peso

do cacho de açaí é igual a trinta e seis quilos. Qual o peso da melancia e do

cacho de açaí?

8. O triplo do peso de uma melancia mais o dobro do peso de um cacho de açaí

é igual a seis quilos. Cinco vezes o peso da melancia menos o peso do

cacho de açaí é igual a dez quilos. Qual o peso da melancia e do cacho de

açaí?

9. Sete vezes o peso de uma melancia mais o triplo do peso de um cacho de

açaí é igual a doze quilos. Cinco vezes o peso da melancia mais o dobro do

peso do cacho de açaí é igual a oito. Qual o peso da melancia e do cacho de

açaí?

10. O dobro do peso de uma melancia é igual a 1 quilo menos o triplo do peso de

um cacho de açaí. A metade da soma do peso da melancia e do cacho de

açaí é igual ao dobro do peso da melancia. Qual o peso da melancia e do

cacho de açaí?

11. A terça parte do peso de uma melancia é igual a um quarto do peso de um

cacho de açaí. O triplo do peso da melancia mais quatro vezes o peso do

cacho de açaí é igual a vinte quilos. Qual o peso da melancia e do cacho de

açaí?

2.7.2. Atividade 02

Título: EXERCÍCIO DE TÉCNICA ALGÉBRICA DE RESOLUÇÃO DE SISTEMA DO

1º GRAU

Objetivo: Possibilitar aos alunos uma prática da técnica algébrica de resolução de

problemas de sistema de equações do 1º grau.

Material: Folha de problemas

Procedimentos: Entregar a cada aluno uma folha de problemas, e dialogar com

eles sobre as possíveis resoluções dos problemas por meio de técnica algébrica.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 89

Análise a priori: essa atividade possibilitará aos alunos uma prática da técnica

algébrica de resolução de problemas de sistema de equações do 1º grau. Nesse

momento, apresentaremos a representação em linguagem matemática dos sistemas

de equação do 1º grau. Por meio do diálogo com os alunos será possível que

resolvam os problemas por meio de técnica algébrica. Será necessário em alguns

momentos relembrar os alunos alguns assuntos ensinados nos anos anteriores do

ensino fundamental.

Calcule o valor de x e y, utilizando técnicas algébricas de resolução:

1) %& = 2 + 1 = 7 − 3&( 2) % + & = 3 = & + 2( 3) % + & = 15 = 2& ( 4) % + & = 13 = 2& + 4( 5) % + & = 4 − & = 1( 6) % + & = 82 + 3& = 21( 7) %3 + 2& = 65 + & = 10( 8) %3 + 5& = 304 − 5& = 5 ( 9) % 4 + 3& = 96 − 3& = 36( 10) )*+ + ,� = − -+ − ,. = �/

( 11) 0 = 7& − 3 = --,1�-+

( 12) 0 2+ = 3�3 + 4$ = 20( 13) )*/ + +,� = 11*/ − �,� = 13(

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 90

14) ) 243/ = $213+ = 2$( 15) ) 2 − �,� = 2 − *+& − 5 = − +,� − 6(

2.7.3. Atividade 03

Título: DIVERSOS PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU

Objetivo: Possibilitar aos alunos uma prática da técnica algébrica de resolução de

problemas de sistema do 1º grau.

Material: Folha de problemas

Procedimentos: Entregar a cada aluno uma folha de problemas, e dialogar com

eles sobre as possíveis resoluções dos problemas por meio de técnica algébrica.

Análise a priori: possibilitará aos alunos uma prática da técnica algébrica de

resolução de problemas de sistema do 1º grau. Solicitaremos aos alunos que

traduzissem o problema em linguagem matemática e resolvam por meio algébrico os

problemas. Será necessário ter uma postura de mediador da atividade, e incentivar

que os alunos tomem a iniciativa das soluções.

Resolva os problemas abaixo:

01. A soma de dois número é 2 e a diferença é 6. Quais são os números?

02. A soma da idade de André com o dobro da idade de Aldo é 21 anos. A idade

de André menos o dobro da idade de Aldo é igual 5 anos. Quantos anos têm

cada um?

03. Quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00. Cinco camisetas e

sete calções custam R$ 138,00. Qual é o preço da camiseta e do calção?

04. Em uma competição escolar, nas modalidades de voleibol e basquetebol,

participaram 32 equipes e 344 atletas. Cada equipe de voleibol inscreveu 12

atletas, e cada equipe de basquetebol, 10 atletas. Quantas equipes de vôlei

participaram da competição?

05. Vanessa comprou uma blusa e uma calça e gastou R$ 96,00. Sabendo que a

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 91

calça custa R$ 16,00 a mais que a blusa, determine quanto Vanessa pagou

em cada peça.

06. Em um pátio estão estacionados carros e motos, que totalizam 40 veículos e

140 rodas. Há quantas motos estacionadas nesse pátio?

07. Meu avô e meu pai foram pescar. Eles trouxeram 25 peixes de diversas

espécies. Meu avô disse que pescou o quádruplo do número de peixes que

meu pai. Quantos peixes cada um pescou?

08. Em uma fábrica de bombons, Leandro e Elizete embalaram 12.600 gramas

de bombons. Leandro embalou 2.400 gramas a mais que Elizete. Quantos

gramas de bombons Leandro embalou?

09. Um terreno retangular tem 84 metros de perímetro. O comprimento tem 18

metros a mais que a largura. Qual é a área desse terreno?

10. Júlia guardou durante um mês, em um cofre, moedas de 25 e 10 centavos.

Ao abri-lo, constatou que possuía 210 moedas num total de R$ 35,70.

Quantas moedas de cada tipo Júlia guardou?

11. Um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de 15, e as guardou

numa caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas joaninhas e aranhas ele

apanhou? (Lembre que uma aranha tem oito patas e uma joaninha, seis.)

12. Antônio precisou de 45 minutos para remar 6 km. Na volta precisou somente

de 36 minutos. Qual era a velocidade da corrente?

A seguir apresentamos os relatos da experimentação realizada.

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 92

3. EXPERIMENTAÇÃO

Nesta seção temos como objetivo apresentar os resultados obtidos do

registro da experimentação, que se trata de um conjunto de dados provenientes das

observações realizadas nas sessões de ensino, mas também das produções dos

alunos na sala de aula. As atividades e os testes descritos na seção anterior foram

desenvolvidos durante o período de 2 (dois) meses no segundo semestre do ano de

2010 em uma turma de 36 (trinta e seis) alunos do 7º ano do ensino fundamental no

turno da manhã numa escola estadual de ensino fundamental e médio, localizada no

município de Belém, no bairro de Val de Cans. O referido bairro junto com outros é

considerado “linha vermelha” quando o assunto é violência. Acreditamos que esse

quadro negativo do bairro pode ser mudado por meio da educação dentre outras

situações.

A aproximação com a escola se deu por meio de uma indicação de uma

aluna da 5ª turma do programa de pós-graduação o qual somos discentes, a referida

aluna trabalhava como professora de matemática na escola e havia feito neste local

um experimento parecido, envolvendo números relativos. Conhecemos a equipe

técnica da escola do turno da manhã como também o professor efetivo de

matemática do 7º ano do ensino fundamental, e explicamos sobre o nosso projeto de

pesquisa que foi aceito para ser executado na escola. Contamos com a boa vontade

do professor efetivo da turma que, gentilmente, cedeu seus horários. Salientamos

que a equipe técnica da escola e o professor efetivo sempre estavam à disposição

do pesquisador para qualquer situação embaraçosa que poderia ocorrer durante a

execução das atividades.

Desenvolvemos os testes e as atividades como parte do conteúdo do ano

letivo de 2010, pois os problemas do 1º grau fazem parte dos conteúdos

matemáticos do 7º ano do ensino fundamental proposto pelos documentos oficiais

da educação brasileira e usado pela Secretaria de Educação do Estado do Pará

(SEDUC-PA). Quanto ao planejamento de aplicação das atividades e dos testes, o

período previsto de 34 (trinta e quatro) aulas foi confirmado, acreditamos que isso só

foi possível, pois houve empenho e dedicação dos alunos em realizar cada atividade

e teste quando solicitados. Salientamos que para auxiliar no relato dos fatos

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 93

desenvolvidos durante as atividades utilizamos um caderno de anotações que

podemos denominar de “diário de atividades”. As atividades e os testes foram

desenvolvidos no ambiente de sala de aula. Os encontros ocorridos durante o

experimento aconteceram sempre nos dias de terça – feira, quarta – feira e quinta –

feira, sendo duas aulas seguidas. O quadro 2 apresenta o que denominamos

“Encontros da experimentação”.

Quadro 2: Encontros da experimentação

DATA ATIVIDADE DO DIA

02/09/2010 DIAGNÓSTICO DO PERFIL DOS ALUNOS E PRÉ-TESTE GERAL

08/09/2010 PRÉ-TESTE DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA

09/09/2010 TEXTO SOBRE LINGUAGEM MATEMÁTICA

14/09/2010 BARALHO ENVOLVENDO TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA

15/09/2010 EXERCÍCIO DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA

16/09/2010 PÓS-TESTE DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA

22/09/2010 PRÉ-TESTE DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

23/09/2010 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA POR UMA BALANÇA PICTÓRICA

05/10/2010 BARALHO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

07/10/2010 EXERCÍCIO DE TÉCNICA ALGÉBRICA DE RESOLUÇÃO PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA.

13/10/2010 PÓS-TESTE DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

14/10/2010 PRÉ-TESTE DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU

19/10/2010 RESOLUÇÃO DE SISTEMA DO 1º GRAU POR BALANÇA PICTÓRICA

20/10/2010 EXERCÍCIO DE TÉCNICA ALGÉBRICA DE RESOLUÇÃO DE SISTEMA DO 1º GRAU

21/10/2010 DIVERSOS PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU

28/10/2010 PÓS-TESTE DE PROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMA DO 1º GRAU

02/11/2010 PÓS-TESTE GERAL

Fonte: pesquisa de campo

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 94

3.1. PRIMEIRA SESSÃO

O primeiro encontro ocorreu no dia 02/09/2010, com o professor efetivo

da turma expondo aos alunos que se tratava de uma pesquisa científica em nível de

mestrado, mas o assunto de matemática que seria abordado fazia parte do conteúdo

que deveria ser ministrado no segundo semestre de 2010. O professor efetivo

ressaltou a importância que os alunos deveriam conferir as atividades a serem

desenvolvidas, pois durante a pesquisa seria realizada avaliação individual dos

alunos. Com isso, a partir desse encontro seríamos o pesquisador e professor da

turma. Nesse primeiro encontro dialogamos com a turma sobre a maneira que iria

ser conduzida as aulas e a importância da participação deles durante o experimento.

Destacamos aos alunos que seriam realizados durante o experimento 8

(oito) testes com o propósito de validar a sequência didática e que serviria também

para o pesquisador avaliá-los individualmente, pois conforme salientamos acima, o

professor efetivo levaria em consideração esses testes para atribuir parte das notas

da 4ª avaliação bimestral. Depois desse diálogo aplicamos o teste, quando

solicitamos gentilmente aos alunos que formassem filas verticais e que evitassem

conversar durante a realização do teste. Entregamos a cada aluno uma cópia da

folha do teste e solicitamos que resolvessem os problemas.

Quando dissemos à turma que iria ser realizado por eles um teste, alguns

alunos protestaram alegando que não tinham estudado para o teste e que não era

cabível uma avaliação no primeiro dia de aula da atividade, pois o professor efetivo

da turma não tinha dado o assunto que iria ser posto em avaliação. Explicamos aos

alunos que aquele teste era para verificar se e como resolveriam problemas do 1º

grau, antes da sequência de atividades sobre o assunto para podermos comparar o

desenvolvimento dos mesmos depois da aplicação das atividades.

O primeiro aluno entregou o teste depois de 31 minutos de realização

afirmando que apenas conseguiu “resolver” o problema 1. Observamos que os

alunos do sexo masculino entregaram seus testes depois de 45 minutos de

realização, pois, conforme conversavam entre si iriam jogar futebol na quadra da

escola com alunos de outras turmas que estavam sem aula naquele horário, não

achamos por direito pedir que voltassem a sala de aula, à medida que a atividade

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 95

para o dia havia sido realizada por esses alunos e mantendo os mesmos em sala de

aula poderia gerar algum tipo de conflito que não gostaríamos que ocorresse

naquele momento de teste, pois poderia desconcentrar os demais alunos que ainda

estavam tentando resolver os problemas do teste geral.

Observamos que somente as alunas ficaram em sala de aula até o final

do horário estabelecido para a realização do teste, parecia que estavam

empenhadas em solucionar os problemas solicitados e entregaram os testes no final

da segunda aula do dia. Interessante que quando solicitamos que os alunos se

organizassem em filas houve uma separação espontânea das meninas para com os

meninos, quando solicitamos inocentemente que uma determinada aluna fosse

sentar num local que ficava do suposto lado dos meninos, ela se recusou a ir

alegando que os meninos eram “bagunceiros” e a atrapalhariam durante o teste.

Sobre o perfil dos alunos que participaram da pesquisa constatamos por

meio de um questionário (cf. apêndice E) aplicado no primeiro encontro do

experimento que a maioria, 61%, é do sexo feminino, possuindo uma média de

idade de 12 anos, mostrando uma regularidade entre a idade e o nível escolar.

Sobre os responsáveis por esses alunos, a maioria assinalou ser o pai, 55%, o

responsável masculino e a mãe, 83%, o responsável feminino. Ainda, a maioria,

36%, dos responsáveis masculinos possui somente o fundamental completo e a

maioria, 43%, dos responsáveis femininos possui o fundamental incompleto, como

nível de escolaridade. Os dados revelaram que 75% dos responsáveis masculino e

69% dos responsáveis feminino trabalham com remuneração.

Sobre o tipo de escola que os alunos estudaram a série anterior, todos

informaram ter estudado na escola pública. A maioria, 86%, informou estudar na

escola que se localiza no bairro que mora e 63% dos alunos trabalham de forma

remunerada. Lamentamos a impossibilidade de investigar que tipo de trabalho

remunerado é esse e como ele ocorre. Temos ainda que 16% dos alunos fazem

algum curso fora da escola, e esses cursos conforme os alunos são o de

computação e língua estrangeira. Ainda, a maioria, 65%, pratica algum esporte.

Acreditamos que a prática esportiva, contribui para a formação da criança e do

adolescente. O quadro 3 evidencia a relação “gosto pela matemática” e o “hábito de

estudo”.

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 96

Quadro 3: Relação entre o gosto pela matemática e o hábito de estudo dos alunos do 7º ano

Gosto pela Matemática

Não gosta Pouco Muito

Háb

ito

de

estu

do

Período de prova 5 4 4

Véspera de prova 3 4 1

Fim de semana 0 3 2

Duas vezes por semana 1 7 2

Fonte: pesquisa de campo (Setembro/2010).

No cruzamento dos dados, a maioria gosta um “pouco de matemática” e

“estuda duas vezes por semana”. Temos ainda que 50% dos alunos não possuem

nenhuma ajuda nas tarefas extraclasses e os que informaram receber ajuda,

salientam que essa é advinda de algum membro da família. No quadro 4

relacionamos o gostar de matemática e o sexo do aluno participante da pesquisa.

Quadro 4: Relação entre o gosto pela matemática e o sexo dos alunos do 7º ano

Gosto pela Matemática

Não gosta Pouco Muito

Sex

o Masculino 4 5 5

Feminino 2 12 5

Fonte: pesquisa de campo (Setembro/2010).

Percebemos que a maioria dos alunos independente do sexo gosta “pelo

menos um pouco de matemática”, ou seja, ambos os sexo tem gostos pela

matemática parecidos. Evidenciamos também que a maioria dos alunos declarou ser

do “sexo feminino” e “gostar pouco de matemática”. No quadro 5 relacionamos o

“gostar de matemática” e a “dificuldades dos alunos”.

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 97

Quadro 5: Relação entre o gosto pela matemática e a dificuldade dos alunos do 7º ano Gosto pela Matemática

Não gosta Pouco Muito

Número de alunos Número de alunos Número de alunos

Dif

icu

ldad

e Não tem 0 1 3

Um pouco 7 15 6

Muita 0 1 1

Fonte: pesquisa de campo (Setembro/2010).

Verificamos que a maioria dos alunos gosta “pouco de matemática” e tem

“um pouco de dificuldades” na aprendizagem da disciplina na escola. Um fato

constatado é que os alunos do 7º ano não recebem nenhum auxílio de professor

particular. Destacamos isso, pois caso existisse essa relação tínhamos que

investigar se realmente foi a sequência de atividades que proporcionou um

rendimento positivo dos sujeitos do experimento ou se este mérito seria dado ao

professor particular. Essa hipótese está negada a partir das informações do perfil

dos sujeitos participantes do experimento.

3.2. SEGUNDA SESSÃO

O segundo encontro ocorreu no dia 08/09/2010, optamos por chegar 20

minutos antes para podermos conhecer e dialogar com outros docentes da escola,

nesse sentido, decidimos ficar na sala dos professores e salientamos que todos os

professores ao adentrarem naquele local nos receberam muito bem e, afirmaram

com base em suas experiências com a turma que estávamos realizando a pesquisa,

que se tratava de um excelente grupo de alunos que gostavam de participar das

atividades da escola em geral. Conversando com os outros professores de

matemática efetivos da escola sobre algumas possíveis dificuldades que a turma de

aplicação do experimento poderia ter em matemática, o professor da turma no ano

anterior, ou seja, no 6º ano, recomendou que tomássemos um cuidado pedagógico e

comportamental com um grupo de meninos que costumavam não prestar atenção

nas aulas e que até se recusavam a estar em sala de aula.

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 98

O diálogo com esses professores estava muito interessante, mas o

horário de aula que aplicaríamos a atividade do dia tinha chego e precisávamos ir

para sala de aula. A maioria dos alunos estava nos esperando em pé e conversando

entre si no corredor de acesso a sala de aula. Conforme íamos passando pelo

corredor, os alunos se direcionavam a sala de aula. Tivemos o prazer de saudar

cada aluno que se encontrava no corredor, sem, no entanto, convidá-los para sala

de aula. Adentramos em sala de aula e os alunos em seguida sentaram-se em seus

respectivos lugares. Saudamos a turma e perguntamos se os alunos estavam bem,

alguns alunos responderam que sim outros não se manifestaram. Explicamos que

naquele dia iria ser realizado outro teste só que envolvendo tradução de enunciados

escritos em língua oficial brasileira para linguagem matemática. Imediatamente os

alunos protestaram o fato de ter que realizar outro teste de matemática, e

perguntaram de forma indignada se iriam realizar todos os dias testes e em que

momento iriam ter aulas de matemática.

Refletindo sobre esses questionamentos concordamos com os protestos,

pois aqueles alunos não estavam habituados com esse tipo de pesquisa e que

costumavam ter sempre aula expositiva de matemática antes da aplicação de

qualquer teste. Como pesquisador, acreditamos que esse procedimento de

realização de testes consecutivos é cansativo para os sujeitos da pesquisa.

Reportamos aos alunos que realmente eram coerentes as reclamações e pedimos

gentilmente que nos ajudasse na execução dessa atividade. A turma, depois de um

breve diálogo entre si, concordou em participar da pesquisa. Entregamos a cada

aluno uma cópia da folha de teste e explicamos que o objetivo do teste era verificar

se e como os alunos transformariam os enunciados escritos em língua oficial para

linguagem matemática, antes da sequência de atividades sobre o assunto.

Ao lermos junto com a turma cada enunciado presente no teste, os alunos

nos questionaram sobre o que seria linguagem matemática e se era pra responder

os problemas conforme fizeram no teste do encontro anterior. Explicamos que não

era para resolver comparado ao teste do encontro anterior, pois não se tratava de

problemas e sim de enunciados ou sentenças, e que era para traduzir utilizando

linguagem matemática. Assim, tentaram resolver individualmente o teste proposto.

Mais uma vez os meninos entregaram seus testes no final da primeira aula do dia,

pois prefeririam ir para o corredor da escola conversar entre si. Dessa vez, não

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 99

deixamos esses alunos saírem de sala de aula, pois acreditávamos que poderiam

atrapalhar as aulas que estavam ocorrendo em outras turmas. Os meninos

entenderam o fato de não os deixarmos sair de sala naquele momento e

permaneceram alguns conversando em voz baixa e outros desenhavam no caderno.

Assim, eles não comprometeram o desenvolvimento do teste dos alunos que ainda

estavam tentando resolver. Observamos que mais uma vez as meninas pareciam se

concentrar na resolução do teste e que outra vez estavam em fileiras separadas dos

meninos.

3.3. TERCEIRA SESSÃO

O terceiro encontro ocorreu em 09/09/2010 com o objetivo de estimular o

desenvolvimento da habilidade de traduzir enunciados de problemas em língua

oficial para linguagem matemática. A finalidade era explicar o que era linguagem

matemática para a turma e como traduzia os enunciados escritos em língua oficial

para linguagem matemática. Entregamos a cada aluno uma cópia do texto, logo em

seguida solicitamos que o lessem, e em seguida dialogamos sobre a temática.

Explicamos aos alunos que a linguagem é uma forma de expressar determinada

ideia. Na vida prática, existem diferentes maneiras de comunicar as ideias: pela

linguagem falada, pela escrita, pela musical etc. A matemática também possui sua

forma de comunicação, e se utiliza de simbologias próprias para transmitir suas

ideias. Uma aluna perguntou quais eram os símbolos que a linguagem matemática

usava, e respondemos que a linguagem matemática utiliza símbolos para expressar

frases que, se escrita na língua oficial, usariam, em alguns casos, maior quantidade

de símbolos ou espaços. Por exemplo, a frase: Dois mais três é igual a cinco, se

escrita na linguagem matemática, usaremos apenas cinco símbolos (2 + 3 = 5), que

podem ser compreendidos por qualquer pessoa familiarizada com os símbolos

matemáticos. Evidenciamos aos alunos que essa atividade exemplificada era

denominada de tradução em linguagem matemática.

Propomos outro exemplo aos alunos, um número mais quatro é igual a

dez, explicamos que esse exemplo não exige uma resposta para o valor

supostamente desconhecido de imediato, por isso não se tratava de um problema,

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 100

mas de um enunciado. Esse enunciado poderia ser traduzido em linguagem

matemática utilizando a técnica de traduzir um número desconhecido para uma letra

do nosso alfabeto, como: um número (k) mais(+)quatro (4) é igual (=)a dez(10),

simplificando: k + 4 = 10. A partir desse exemplo convidamos os alunos que

tentassem traduzir os enunciados presente na folha entregue a eles sobre o texto de

linguagem matemática. Observamos que se empenharam em traduzir os enunciados

para linguagem matemática. Pedimos que a cada enunciado dois alunos

escrevessem no quadro as suas respectivas traduções.

O primeiro enunciado a ser traduzido foi: um número mais três é igual a

onze. Nesse enunciado a maioria dos alunos queria ir à frente para mostrar suas

traduções, mas optamos por escolher um aluno que se mostrava ter entendido a

atividade e um aluno que aparentava não querer desenvolver a atividade. Os dois

alunos traduziram coerentemente os enunciados para linguagem matemática. Mas,

os alunos questionaram se poderiam usar outras letras além das que os dois alunos

representaram. Explicamos que poderia ser qualquer letra do nosso alfabeto, e que

ficassem livres a escolha da letra para representar o valor desconhecido. Os alunos

estavam animados, pois pareciam ter entendido a atividade de tradução.

O segundo enunciado a ser traduzido foi: um número menos nove é igual

a dois. Outra vez, a maioria queria ir à frente para traduzir o enunciado. Um dos

alunos convidado a ir mostrar sua tradução, escreveu da seguinte maneira: � −9 é igual 2. Perguntamos a turma se aquela tradução estava completa,

imediatamente os alunos responderam que a parte “é igual” deveria ser traduzida

pelo símbolo matemático “=”. O terceiro enunciado a ser traduzido foi: o dobro de um

número é igual a dez. Logo que os alunos leram o enunciado, todos se

manifestaram alegando como iriam representar a parte “o dobro de um número”.

Fornecemos alguns exemplos aritméticos e os alunos conseguiram chegar à

seguinte tradução: 2 vezes uma letra do nosso alfabeto. Os alunos que vieram à

frente para escrever suas traduções, optaram por representar o símbolo da

multiplicação com um “x”: 2 × � = 10. Explicamos que essa opção de representação

poderia gerar certa ambiguidade e que era mais coerente representar o símbolo da

multiplicação nessa tradução pelo “ponto”: 2. � = 10, ou ainda: 2� = 10. O quarto

enunciado a ser traduzido foi: o triplo de um número é igual a nove. Os alunos

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 101

aparentaram ter conseguido traduzir o enunciado em linguagem matemática de

forma satisfatória.

O quinto enunciado foi: a metade de um número é igual a seis. A mesma

angústia dos alunos concernente a expressão “dobro de um número” foi evidenciada

na expressão “a metade de um número”. Outra vez por meio de exemplos

aritméticos tentamos conduzir os alunos a tradução da expressão, a primeira

representação foi: � ÷ 2 = 6. Partindo da ideia e de exemplos envolvendo frações os

alunos chegaram à seguinte tradução: �� = 6. Mas, de certa forma, sentimos que os

alunos ainda estavam com dificuldades para entender ou utilizar a última tradução,

assim solicitamos que tentassem traduzir outros enunciados semelhantes.

Observamos que os alunos tiveram mais dificuldades de entender a tradução deste

enunciado do que do terceiro enunciado. Pensávamos então que teriam dificuldade

de entender a tradução do sexto enunciado: a terça parte de um número é igual a

dezoito. Mas, para nossa surpresa os dois alunos que vieram ao quadro escrever

suas traduções representaram corretamente o enunciado em linguagem matemática.

O mesmo desempenho ocorreu no sétimo e oitavo enunciados.

O nono enunciado foi: o dobro de um número mais o seu triplo é igual a

menos quarenta. A primeira tradução do enunciado foi: 2. � + 3 = −40. Explicamos

que a tradução não era coerente, pois não representava o enunciado proposto, e

sim: 2.k (o dobro de um número)+(mais)3(três)=(igual a)-(menos)quarenta(40),

assim confundiram “mais o seu triplo” com “mais três”. Salientamos aos alunos que

em “mais o seu triplo” poderia ser entendido como “mais o triplo do mesmo número

desconhecido”, e assim usar a mesma letra que haviam representado “o dobro de

um número”. Mesmo assim a tradução dos alunos foi: 2. � + 3. � = −40. Mostramos

que essa tradução não era coerente com o enunciado em língua oficial, mas que

correspondia ao seguinte: 2. � (o dobro de um número)+ (mais)3. �(o triplo de outro

número)=(é igual a)−40 (menos quarenta), depois dessa explicação e do diálogo os

alunos entenderam que precisavam representar com a mesma letra tanto a

expressão “o dobro de um número” como “o seu triplo”, pois se trata de um mesmo

número desconhecido.

O décimo enunciado foi: três mais um número, vezes cinco é igual a

quarenta e cinco. A primeira tradução deste enunciado foi: 3 + �. 5 = 45,

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 102

percebemos assim que os alunos não compreenderam o uso semântico da vírgula

no enunciado e que ao traduzirem suprimiram a tradução em linguagem matemática

do semântico da vírgula. Explicamos aos alunos que essa tradução não era coerente

com o enunciado oferecido e por meio de exemplos aritméticos os alunos foram

conduzidos a seguinte tradução: �3 + ��. 5 = 45. Assim tiveram contato com outra

técnica de tradução em linguagem matemática. À medida que a aula transcorria

sentia que a motivação de alguns alunos não permanecia aquela do inicio da aula,

pois manifestavam certa não compreensão da atividade. Nesse momento da aula,

observamos que o grupo das meninas estava mais concentrado nas atividades do

que o grupo dos meninos que mostrava em alguns momentos querer sair de sala.

Nesse instante percebemos que existia no grupo dos meninos falta de concentração

nas aulas até seu término.

O décimo primeiro enunciado foi: um número menos quinze, dividido por

três é igual a vinte e um. Observamos que os alunos tinham compreendido a

tradução em linguagem matemática da semântica da vírgula, uma vez que a

primeira tradução foi: �� − 15� ÷ 3 = 21. Lembramos aos alunos o uso da

representação de fração que já havia ocorrido neste encontro, assim a segunda

tradução posta pelos alunos foi: ������

= 21, percebemos que eles não deixaram de

representar com o uso do parênteses, preferimos não propor outra tradução. Neste

momento, a aula estava chegando a seu término e preferimos que a tradução dos

enunciados que faltavam ocorresse no encontro posterior.

3.4. QUARTA SESSÃO

O quarto encontro ocorreu em 14/09/2010, ao chegarmos à escola fomos

direto para sala de aula, uma fato que nos chamou a atenção foi que os alunos não

estavam no corredor da escola nos esperando para começar a atividade, mas todos

estavam em sala de aula brincando e conversando entre si. Um grupo de alunos

revelou que não havia conseguido traduzir o enunciado quando tentou em sua casa,

isso nos motivou como professor, pois parecia que os alunos estavam motivados a

participarem das atividades proposta, uma vez que não advertimos aos alunos que

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 103

fizessem a tradução como atividade extraclasse. Oferecemos palavras de ânimo e

incentivo à turma para continuarem se esforçando em sala de aula.

Depois desse diálogo, solicitamos que os alunos pegassem o material da

aula anterior e que iríamos continuar a tradução em linguagem matemática dos

enunciados que faltava ser traduzido. O décimo segundo enunciado foi: a soma de

dois números pares consecutivos é quatorze. A primeira tradução dos alunos foi:

! + � = 14. Explicamos que essa tradução não estava errada, mas que não revela

por completo o enunciado proposto e que poderia gerar certas ambiguidades.

Indagamos aos alunos sobre a ideia e a representação da expressão “números

pares”, mesmo com todas as possíveis estratégias aritméticas para conduzir a

tradução os alunos demonstraram não ter entendida a técnica de tradução para esta

expressão, assim tivemos que fornecer a tradução, apresentando o seguinte:

1º passo: traduzir qualquer número par

2 vezes um número: 2. "

2º passo: traduzir consecutivo de um número par

número par mais dois 2. " + 2

3º passo: traduzir o enunciado

2" (número par) +2" + 2 (par consecutivo de 2")= 14

No primeiro instante os alunos não entenderam os passos, mas depois de

alguns outros exemplos os alunos começaram a compreender as representações

envolvidas nesta tradução, que são em número de três conforme explicamos. O

décimo terceiro enunciado foi: a soma de dois números ímpares consecutivos é

doze. Os alunos pareciam ter entendido o esquema de tradução do enunciado

anterior, mas não sabiam representar “um número ímpar”; “consecutivo ímpar de um

número ímpar”. Oferecemos alguns exemplos aritméticos daquelas expressões e os

alunos conseguiram chegar à seguinte tradução: número ímpar �2" + 1� mais �+�o

seu consecutivo ímpar �2" + 1 + 2� = 12. Percebemos que os alunos não tinham

“maturidade algébrica” para alcançar o nível de abstração para compreender esses

enunciados escritos em língua oficial. Observamos então que a maioria não

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 104

conseguiu entender a técnica de tradução para esses enunciados, o que pode ser

uma limitação de nossa pesquisa.

No segundo momento de atividades ainda no quarto encontro foi à

aplicação dos jogos de cartas (baralho de tradução). Solicitamos que os alunos

fizessem grupos de 4 (quatro) alunos. Após, terem formados os grupos explicamos

as regras do jogo que iria ser desenvolvido. Explicamos que o objetivo do jogo era

proporcionar aos alunos a pratica de tradução da língua oficial para linguagem

matemática. Os alunos mostraram entender as regras e os procedimentos do jogo.

Observamos que no primeiro instante de execução do jogo a tradução estava lenta

pela maioria dos alunos e assim o término do jogo demorava a ocorrer. Depois de

um tempo os alunos começaram a jogar e a construir seus jogos de cartas de forma

rápida e em alguns casos evidenciaram estratégia de vencer os jogos ou impedir

que outro aluno vença. Isso pode ser explicado pelo fato de conhecerem ou se

adaptarem com as cartas do jogo ou pelo fato de realmente conseguirem traduzir de

forma rápida. Um fato que observamos foi que os alunos, em nenhum momento de

aplicação do jogo, pretenderam se ausentar da sala de aula ou descontentamento

com a atividade, inclusive no final do encontro alguns solicitaram que o pesquisador

entregasse o jogo a eles para que viessem a jogar no horário posterior de aula, pois

estava vago. Assim todos os alunos ficaram jogando mesmo com o término do

encontro em sala de aula.

3.5. QUINTA SESSÃO

O quinto encontro ocorreu no dia 15/09/2010 com o objetivo de exercitar a

tradução entre linguagens. Entregamos para cada aluno uma cópia da folha de

exercício e indicamos aos alunos que poderiam traduzir os enunciados

individualmente ou em grupos de no máximo 3 (três) alunos. Para a execução da

atividade oportunizamos 45 minutos para que os tentassem traduzir. Após esse

tempo, pedimos gentilmente para cada aluno ir ao quadro escrever sua respectiva

tradução, cada aluno escreveu no quadro uma tradução. Podemos inferir que essa

atividade serviu como treino para os alunos concernente a tradução. Mas, um fato

nos chamou atenção, foi que em nenhum momento dessa atividade houve algum

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 105

aluno que representou a incógnita utilizando a letra “x” ou “y”. A turma utilizava ou a

primeira letra dos seus respectivos nomes ou alguma letra correspondente a algum

objeto presente no enunciando em língua oficial. Essa situação é de enorme

significância, pois na maioria das vezes que ensinávamos esse conteúdo

utilizávamos em sala de aula a letra “x” ou “y” para representar um valor

desconhecido, só que verificamos que essa tradução não se fazia conhecida para os

alunos do experimento, e que sempre privilegiavam outras letras do nosso alfabeto.

Então, nos questionamos: ao usarmos em sala de aula a letra “x” ou “y”

não estamos oportunizando, em certos momentos, mais um obstáculo no processo

ensino- aprendizagem, uma vez que em muitos casos a letra “x” ou “y” pode conferir

nenhum significado ao aluno durante a resolução de um problema?

Alguns exemplos constatados na experimentação durante essa atividade

foram os seguintes:

Problema: Um número mais quatro é igual a doze.

Tradução do aluno: # + 4 = 12

Motivo de usar a letra “B”: primeira letra do nome do aluno.

Temos outra situação,

Problema: Um número mais quatro é igual a doze.

Tradução do aluno: $ + 4 = 12

Motivo de usar a letra “A”: primeira letra do nosso alfabeto e que

correspondia ao primeiro problema.

Por último,

Problema: O dobro da idade de Evandro mais dois anos é igual a

quarenta anos.

Tradução do aluno: 2. % + 2 = 40

Motivo de usar a letra “E”: primeira letra do nome “Evandro”.

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 106

Com essas traduções percebemos que em geral os alunos haviam

realmente dominado o requisito de tradução para linguagem matemática, pois os

símbolos matemáticos faziam sentido para os alunos quando associavam aos

respectivos enunciados.

3.6. SEXTA SESSÃO

O sexto encontro ocorreu no dia 16/09/2010, onde buscamos verificar se

e como os alunos traduziriam os enunciados escritos em língua oficial brasileira em

linguagem matemática, depois da sequência de atividades sobre o assunto. O

comentário que muitos alunos fizeram foi de que o teste estava muito fácil. Parece

que os alunos adquiriram confiança nas atividades, pois antes haviam reclamado do

teste de tradução e agora após a atividade acharam muito fácil de traduzir.

3.7. SÉTIMA SESSÃO

O sétimo encontro ocorreu no dia 22/09/2010, com o objetivo de verificar

se e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau com uma incógnita, antes

da sequência de atividades sobre o assunto. Entregamos uma folha de teste de

problemas do 1º grau com uma incógnita para cada aluno. Fizemos uma leitura,

junto com alunos, dos problemas presentes no teste e orientamos de forma geral a

execução do teste. Não houve reclamação por parte dos alunos sobre a aplicação

de mais um teste, simplesmente tentaram resolver os problemas. Observamos que

ainda a sala estava divida em grupos das meninas e dos meninos, só que agora

parecia que os meninos estavam tão concentrados quanto às meninas. Ou seja,

percebemos uma mudança de postura dos meninos em relação ao compromisso e

responsabilidade nas atividades desenvolvidas nessa experimentação.

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 107

3.8. OITAVA SESSÃO

O oitavo encontro ocorreu no dia 23/09/2010, com o objetivo de descobrir

técnicas algébricas de resolver problemas do 1º grau de uma incógnita com o auxílio

de uma balança pictórica. Entregamos a cada aluno uma folha com problemas do 1º

grau com uma incógnita. Realizamos uma leitura conjunta de cada problema

proposto na lista, após a leitura, socializamos no quadro o seguinte, correspondente

ao problema 1: o peso de uma melancia mais 4 kg é igual a 12 kg. Qual o peso da

melancia?

Após socializar esse esquema aos alunos perguntamos que estratégia de

solução poderia ser adotada para calcular o peso da melancia a partir do pictórico. A

primeira resposta dos alunos foi: “retirar os pesinhos que estão ao lado da

melancia”. Então, perguntamos o que aconteceria na balança se apenas

retirássemos os pesos de um dos pratos, a resposta foi: “iria cair para o lado

esquerdo”. Assim, indagamos uma maneira para que isso não ocorra, a resposta foi:

“retirar 4 (quatro) pesos do outro lado também”. Assim, chegaram ao peso da

melancia, identificando que esse peso é de 8 (oito) quilos. No segundo problema da

folha, os alunos conseguiram construir o esquema e obter a resposta do problema.

Convidamos um aluno a expor seu esquema, assim representou:

Por meio do diálogo com os alunos, indagamos como poderíamos

representar por linguagem matemática o esquema proposto para solução do

segundo problema, então traduziram da seguinte maneira: & + 5 = 14. A partir

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 108

dessa tradução, fizemos a correspondência da estratégia adotada no pictórico para

linguagem algébrica, assim os alunos chegaram ao seguinte esquema:

& + 5 = 14

& + 5 − 5 = 14 − 5

& = 9

No terceiro e quarto problema os alunos conseguiram usar a estratégia

algébrica utilizada no problema anterior. Quando foram solicitados que resolvesse o

quinto problema usando a estratégia algébrica os alunos rapidamente conseguiram

associar a seguinte estratégia:

& − 6 = 2

& − 6 + 6 = 2 + 6

& = 8

Perguntamos aos alunos como conseguiram desenvolver a estratégia

algébrica, um aluno respondeu: “é fácil, primeiro traduz, então, quando tem ‘menos’

põem mais, e tudo que se faz de um lado, se faz do outro, o que sobra é o valor de

m”. O aluno acabaria por relatar uma importante estratégia algébrica de resolução

de problemas do 1º grau com uma incógnita. Assim, resolveram os problemas 6, 7, e

8 de maneira rápida e precisa utilizando estratégia algébrica de resolução. No

problema 9, tentamos esboçar o esquema pictórico, mas para nossa surpresa os

alunos não queriam, alegando “perder tempo”, e sugeriram a tradução do enunciado,

pedimos que um aluno escrevesse a tradução no quadro, prontamente um menino

se levantou e escreveu o seguinte: 2. " = 14. Assim, indagamos qual seria a

estratégia utilizada, depois de um diálogo comparativo com a estratégia anterior,

representaram da seguinte maneira:

2. " = 14

2. "2 = 14

2

" = 7

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 109

Percebemos que os alunos entenderam o processo e que estavam

apenas adaptando as estratégias de resolução algébrica dos problemas da folha.

Assim, deixamos os alunos livres para resolver os problemas e todos se dedicaram

com ânimo para solucionar os problemas restantes. Acreditamos que os alunos

conseguiram calcular a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança

pictórica e assim compreenderam a resolução algébrica dos problemas do 1º grau

com uma incógnita.

3.9. NONA SESSÃO

O nono encontro ocorreu no dia 05/10/2010, no qual tivemos como

objetivo possibilitar aos alunos uma prática de forma lúdica da resolução algébrica

de problemas do 1º grau com uma incógnita. Solicitamos aos alunos que formassem

equipes contendo 4 (quatro) alunos. Explicamos as regras e os procedimentos do

jogo de cartas (baralho de equação do 1º grau com uma incógnita). Os alunos se

mostraram entusiasmados para iniciar o jogo, pois, a primeira experiência com a

atividade sendo jogo de cartas tinha sido positiva para esses alunos. O jogo de três

cartas que mais os alunos sentiram dificuldade para formar foi,

Quando formava o jogo eles precipitadamente acreditavam que a solução

era � = −8, pois de forma equivocada confundiam a operação com os números

relativos envolvidos em � = �)*�+ , afirmando uma solução errada. Explicávamos aos

alunos que estavam cometendo um equívoco na formação do jogo de três cartas e

Equação Original

-6x = 48

Isolar a variável

x = )*�+

Solução

x = - 8

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 110

depois de um diálogo com a equipe o aluno reconhecia seu erro, um fato que

constatamos nesses diálogos sobre os equívocos é que todos os alunos da equipe

prestavam atenção e participavam do diálogo.

Como aconteceu no primeiro jogo de cartas envolvendo tradução, os

alunos no começo do jogo não armavam estratégias para vencer ou impedir que

outro aluno da equipe vencesse, uma vez que estavam mais preocupados com a

formação correta dos jogos de três cartas. Com o desenvolver das rodadas os

alunos pareciam se sentir mais confiantes e a partir disso começavam a desenvolver

aquelas estratégias. Com o término do encontro alguns alunos nos procuraram para

pedir emprestado o jogo, pois queriam jogar em suas casas, atendemos ao pedido.

Acreditamos pelas nossas observações que os alunos ganharam agilidade na

resolução algébrica de equação do 1º grau com uma incógnita.

3.10. DÉCIMA SESSÃO

O décimo encontro ocorreu no dia 07/10/2010, com o objetivo de

possibilitar aos alunos uma prática ou treino da técnica algébrica de resolução de

problemas do 1º grau com uma incógnita. Entregamos a cada aluno uma cópia da

folha de exercício e dialogamos com eles sobre as possíveis resoluções dos

problemas por meio de técnica algébrica. Solicitamos que os alunos tentassem

resolver algebricamente os problemas apresentados na lista, oferecemos 45 minutos

para isso, logo depois dialogamos com os alunos as possíveis estratégias de

resolução. Concernente aos problemas 1 a 26 verificamos que os alunos fizeram

rapidamente as resoluções algébricas e de forma coerente chegavam aos

resultados. No problema 27, para que os alunos entendessem o método algébrico,

recorremos ao uso da balança pictórica da seguinte maneira:

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 111

1º passo: construir o esquema.

2º passo: retirar de cada prato três pesos.

3º passo: dividir por dois a quantidade de elementos de cada prato.

4º passo: verificar que o valor de “x” é igual a 4.

Após a resolução desse problema os alunos conseguiram resolver os

problemas 28 e 29 de forma coerente. Quando terminaram de resolver pela balança

pictórica o problema 29, dialogamos a transformação do esquema pictórico para o

algébrico, da seguinte maneira:

1º passo: construir o esquema.

2� + 3 = 11

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 112

2º passo: retirar de cada prato três pesos.

2� + 3 − 3 = 11 − 3

3º passo: dividir por dois a quantidade de elementos de cada prato.

2�2 = 8

2

4º passo: verificar que � = 4.

Após o dialogo dessa transformação de registros de representação,

solicitamos que os alunos tentassem realizar o mesmo nos problemas 27 e 28.

Verificamos que realizaram a transformação de maneira coerente. Assim resolveram

algebricamente os problemas até o de número 45, com alguns auxílios pontuais.

Nos problemas 46 a 61 evidenciamos suas respectivas soluções algébricas, sempre

por meio do diálogo com os alunos. Nesses problemas, de 46 a 61, a dúvida mais

em evidência foi em relação ao cálculo do mínimo múltiplo comum (m.m.c).

Acreditamos pelas observações realizadas e descritas que os alunos durante a

atividade e com o diálogo compreenderam as diferentes técnicas algébricas de

resolução deste tipo de problema do 1º grau.

3.11. DÉCIMA PRIMEIRA SESSÃO

O décimo primeiro encontro ocorreu no dia 13/10/2010. Realizamos o

pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita, com o objetivo de verificar se

e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau com uma incógnita, depois

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 113

da sequência de atividades sobre o assunto. Entregamos a cada aluno uma cópia da

folha de teste; e, solicitamos que resolvessem os problemas.

3.12. DÉCIMA SEGUNDA SESSÃO

O décimo segundo encontro ocorreu no dia 14/10/2010. Realizamos o

pré-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau, com o objetivo de verificar se

e como os alunos resolveriam estes problemas antes das atividades sobre o

assunto. Entregamos a cada aluno uma cópia da folha de teste; e, solicitamos que

resolvessem os problemas da folha. Observamos que os alunos não protestavam

mais com relação à aplicação dos testes seguidos como havia ocorrido

anteriormente.

3.13. DÉCIMA TERCEIRA SESSÃO

O décimo terceiro encontro ocorreu no dia 19/10/2010. Nesse encontro

tivemos por objetivo possibilitar que aos alunos a descoberta de um meio algébrico

de resolver problemas de sistema de equações do 1º grau com o auxílio de uma

balança pictórica. Entregamos uma cópia da folha e dialogamos com os alunos

sobre como calcular as quantidades desconhecidas. Após percebermos que os

alunos adquiriram confiança na resolução por meio da balança, propomos

alternativas algébricas de resolução. Por meio do diálogo esquematizamos a

seguinte estratégia para resolução da situação 1 presente na folha de problemas:

1º passo: apresentar o esquema.

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 114

2º passo: verificar que a balança do lado direito indica o peso da melancia em

relação ao peso do cacho de banana, com isso podemos inferir que:

3º passo: calcular o peso da banana na balança da esquerda.

4º passo: substituir o peso da banana na balança do lado esquerdo.

5º passo: evidenciar que o peso da banana é igual a 4 kg e o peso da melancia é

igual a 6 kg.

De forma rápida os alunos se expressaram observando que o cacho de

bananas ficou em uma balança e a melancia em outra balança. Com isso, parecia

que os alunos perceberam uma estratégia de resolução. Solicitamos que os alunos

tentassem calcular o peso das frutas nas situações seguintes. Observamos que os

alunos conseguiram de forma coerente calcular o peso das frutas. Por meio do

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 115

dialogo evidenciamos a transformação da estrutura pictórica para uma

representação algébrica dos passos estratégicos mencionados anteriormente, da

seguinte maneira:

1º passo: apresentar o esquema.

& + � = 10 & = � + 2

2º passo: verificar que a balança do lado direito indica o peso da melancia em

relação ao peso do cacho de banana, com isso podemos inferir que:

2� + 2 = 10 & = � + 2

3º passo: calcular o peso da banana na balança da esquerda.

� = 4 & = � + 2

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 116

4º passo: substituir o peso da banana na balança do lado esquerdo.

� = 4 & = 6

5º passo: evidenciar que � = 4 e & = 6.

Solicitamos que os alunos tentassem realizar a transformação de

registros semióticos nas situações anteriores, constatamos que conseguiram realizar

com sucesso essa atividade. Logo em seguido, pedimos que os alunos tentassem

resolver algebricamente os problemas escritos em língua oficial brasileira.

Observamos que realizaram as resoluções algébricas de forma coerente chegaram

as suas respectivas soluções, em alguns casos pontuais e com diálogo

esclarecemos algumas dúvidas. Acreditamos que os alunos conseguiram calcular as

quantidades desconhecidas utilizando a balança pictórica, e assim compreenderam

a resolução algébrica dos problemas envolvendo sistema de equações do 1º grau.

3.14. DÉCIMA QUARTA SESSÃO

O décimo quarto encontro ocorreu no dia 20/10/2010 com objetivo de

possibilitar aos alunos uma pratica da técnica algébrica de resolução de problemas

de sistema de equações do 1º grau. Entregamos a cada aluno uma folha de

problemas, e dialogamos com eles sobre as possíveis resoluções dos problemas por

meio de técnica algébrica. Solicitamos aos alunos que formassem dois grandes

grupos conforme a ordem de frequência nominal da turma assim dividiu-se em grupo

cuja numeração era 1 a 18 e outro grupo com numeração de 19 a 36. O grupo de 1

a 18 coube a resolução dos sistemas de ordem par da lista e o outro grupo ficou

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 117

encarregado de resolver os de ordem ímpar. Disponibilizamos 45 minutos para que

cada grupo viesse a resolver seus respectivos sistemas. Após o término desse

tempo, um representante de cada grupo se dirigiu ao quadro do professor para

socializar as resoluções algébricas à turma e assim que terminasse de expor a

resolução o outro grupo teria que verificar se a resolução oferecida era coerente ou

não e vice-versa.

Destacamos que durante a exposição e intervenção dos grupos o

pesquisador não participou do processo de forma direta, apenas acalmava os

ânimos extrovertidos de alguns alunos durante a atividade. Os problemas que mais

geraram diálogos entre os grupos para resolução foram de 10 até o problema 15.

Coube ao pesquisador nesses problemas apenas relembrar alguns pontos tratados

nas aulas anteriores, mas que no final eram sempre os alunos que por meio do

diálogo resolviam os problemas. Observamos que em um determinado momento um

aluno disse de maneira entusiasmada:

Aluno - “no começo não sabia resolver nenhuma coisa dessas

[problemas] e agora estou arrebentando”

Dessa forma, ouvindo esse pronunciamento outro aluno se expressou

dizendo:

Aluno – “a gente aprende conversando e parece que o tempo voa”.

Com essas falas, salientamos aos alunos que era para continuar se

esforçando não só em matemática, mas que também desse a mesma dedicação as

outras disciplinas escolares. Constatamos que diferente do começo de nossas

atividades as meninas da turma pareciam ter mudado de postura com relação aos

meninos, uma vez que agora estavam misturados nos grupos e ajudavam-se

mutuamente na resolução dos problemas proposto para o dia. Acreditamos que os

alunos durante a atividade e com o diálogo compreenderam e treinaram com êxito

as técnicas algébricas de resolução dos problemas envolvendo sistema de

equações do 1º grau.

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 118

3.15. DÉCIMA QUINTA SESSÃO

O décimo quinto encontro de experimentação ocorreu no dia 21/10/2010.

Procuramos possibilitar aos alunos uma prática da técnica algébrica de resolução de

problemas de sistema do 1º grau escritos em língua oficial brasileira. Distribuímos a

turma em 6 (seis) grupos de 5 (cinco) alunos, observando que 6 (seis) alunos

faltaram nesse dia. Formamos os grupos tomando por base as aproximações de

alunos que pareciam, durante o experimento, envolvidos na atividade e aqueles que

pareciam não querer se envolver. Entregamos a cada aluno uma folha de

problemas, e dialogamos com eles sobre as possíveis resoluções por meio de

técnica algébrica. Os grupos ficaram responsáveis por resolver dois problemas da

lista entregue a cada aluno. Um aluno de cada grupo teria que expor as resoluções

dos problemas.

No problema 1: a soma de dois números é 2 e a diferença é 6. Quais são

os números? O grupo “A” registrou a resolução da seguinte maneira:

,! + � = 2! − � = 6-

! + � = 2 ! − � = 6

! = 2 − � 2 − � − � = 6

! = 2 − �−2� −2. � = 6 − 2

! = 4 −2�−2 = 4

−2

� = −2

No problema 2: a soma da idade de André com o dobro da idade de Aldo

é 21 anos. A idade de André menos o dobro da idade de Aldo é igual 5 anos.

Quantos anos têm cada um? O grupo “A” registrou assim:

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 119

,!. + 2. !/ = 21!. − 2. !/ = 5 -

!. + 2. !/ = 21 21 − 2. !/ − 2. !/ = 5

!. = 21 − 2. !/ −4. !/ = 5 − 21

!. = 21 − 8 −4!/ = −16

!. = 13 −4!/

−4 = −16−4

!/ = 4

No problema 3: quatro camisetas e cinco calções custam R$ 105,00.

Cinco camisetas e sete calções custam R$ 138,00. Qual é o preço da camiseta e do

calção? O grupo “B” registrou assim:

Aluno – professor a gente foi colocando o valor para cada coisa que

aparece no problema e chegamos ao resultado.

Pesquisador – quais os valores que vocês tentaram antes de chegar

à solução do problema?

Aluno – não lembro, mas foram muitos! Só sei que o valor do calção

é 9 reais e da camiseta é 15 reais. Posso até fazer a conta para o senhor.

Pesquisador – fique a vontade.

O aluno que estava representando o grupo representou o seguinte:

4 × 15 + 5 × 9

60 + 45

105

5 × 15 + 7 × 9

75 + 63

138

No problema 4: em uma competição escolar, nas modalidades de voleibol

e basquetebol, participaram 32 equipes e 344 atletas. Cada equipe de voleibol

inscreveu 12 atletas, e cada equipe de basquetebol, 10 atletas. Quantas equipes de

vôlei participaram da competição? O grupo “B” alegou não ter entendido o problema

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 120

por isso não conseguiram resolver. Por meio do diálogo com a turma chegamos à

seguinte representação:

, 0 + � = 32120 + 10� = 344-

0 = 32 − � 120 + 10� = 344

0 = 32 − 20 12 . �32 − �� + 10� = 344

0 = 12 −12� + 384 + 10� = 344

−2� = 344 − 384

−2�−2 = −40

−2

� = 20

No problema 5: Vanessa comprou uma blusa e uma calça e gastou R$

96,00. Sabendo que a calça custa R$ 16,00 a mais que a blusa, determine quanto

Vanessa pagou em cada peça. O grupo “C” representou da seguinte maneira:

,� + 1 = 961 + 16 = �-

� = 96 − 1 1 + 16 = 96 − 1

� = 96 − 110 1 + 1 = 96 + 16

� = 4 21 = 112

1 = 110

O pesquisador procurou não intervir durante a representação do aluno do

grupo “C”, pois esperava que os outros alunos verificassem os equívocos, e foi o

que aconteceu: um grupo de alunos se manifestou dizendo que estava “errada” a

resolução. Um aluno espontaneamente corrigiu os equívocos. No problema 6: em

um pátio estão estacionados carros e motos, que totalizam 40 veículos e 140 rodas.

Há quantas motos estacionadas nesse pátio? O grupo “C” representou da seguinte

maneira a resolução:

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 121

30 + 10 = 40

4 × 30 + 2 × 10

120 + 20

140

Aluno – “pronto, 30 carros e 10 motos”

No problema 7: meu avô e meu pai foram pescar. Eles trouxeram 25

peixes de diversas espécies. Meu avô disse que pescou o quádruplo do número de

peixes que meu pai. Quantos peixes cada um pescou? O grupo “D” representou da

seguinte maneira a resolução:

O pai pescou 5 e o avô pescou 20

No problema 8: em uma fábrica de bombons, Leandro e Elizete

embalaram 12.600 gramas de bombons. Leandro embalou 2.400 gramas a mais que

Elizete. Quantos gramas de bombons Leandro embalou? O grupo “D” representou

da seguinte maneira a resolução:

,/ + 2 = 12600/ = 2400 + 2 -

/ = 12600 − 2 12600 − 2 = 2400 + 2

/ = 12600 − 5100 −2 − 2 = −12600 + 2400

/ = 7500 −22 = −10200

−22−2 = −10200

−2

2 = 5100

No problema 9: um terreno retangular tem 84 metros de perímetro. O

comprimento tem 18 metros a mais que a largura. Qual é a área desse terreno? O

grupo “E” alegou que não sabiam responder o problema, pois não sabiam o que é

“perímetro” e como calcular “área”. Dialogando com a turma obtemos o seguinte

modelo:

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 122

,2/ + 21 = 841 = 18 + / -

2/ = 84 − 21 1 = 18 + 42 − 1

2/2 = 84 − 21

2 1 + 1 = 60

/ = 42 − 1 21 = 60

/ = 42 − 30 212 = 60

2

/ = 12 1 = 30

� = / × 1

� = 12 × 30

� = 360 &�

No problema 10: Júlia guardou durante um mês, em um cofre, moedas de

25 e 10 centavos. Ao abri-lo, constatou que possuía 210 moedas num total de R$

35,70. Quantas moedas de cada tipo Júlia guardou? O grupo “E” esquematizou da

seguinte maneira:

110 moedas de 10 mais 100 moedas de 25 = 35,10

mudando 4 moedas de 10 para de 25 ganho 60 centavos

106 moedas de 10 mais 104 moedas de 25 = 35,70

Verificamos que a solução não era coerente com o problema a ser

resolvido. Dialogamos com os alunos e obtemos a seguinte representação:

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 123

3 � + 0 = 2100,25. 0 + 0,10� = 35,70-

� = 210 − 0 0,25. 0 + 0,10. �210 − 0� = 35,70

� = 210 − 98 0,25. 0 + 21 − 0,100 = 35,70

� = 112 0,15. 0 = 35,70 − 21

0,1500,15 = 14,70

0,15

0 = 98

Assim, 112 moedas de 10 centavos e 98 moedas de 25 centavos.

No problema 11: um estudante apanhou aranhas e joaninhas num total de

15, e as guardou numa caixa. Contou em seguida 108 patas. Quantas joaninhas e

aranhas ele apanhou? (Lembre que uma aranha tem oito patas e uma joaninha,

seis.) O grupo “F” esquematizou da seguinte maneira:

8 5.

65.

15, tirando 9, multipliquei pelas 8 patas que deu 72, sobrou 6, multipliquei

6�6 = 36, a soma dos dois dá 108

No problema 12: Antônio precisou de 45 minutos para remar 6 km. Na

volta precisou somente de 36 minutos. Qual era a velocidade da corrente? O grupo

“F” esquematizou da seguinte maneira:

Antônio usou a corrente na volta e ganhou 9 minutos.

61 = +7 �& a cada minuto

Acreditamos que os alunos durante a atividade e com o diálogo

compreenderam as técnicas algébricas de resolução dos problemas envolvendo

sistema de equações do 1º grau. Mas, destacamos com base nos registros de

pesquisa que os alunos, em geral, preferiram utilizar outras técnicas de resolução de

problemas do que a técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau.

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 124

3.16. DÉCIMA SEXTA SESSÃO

O décimo sexto encontro ocorreu uma semana depois, nesse encontro os

alunos realizaram o pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau. Nosso

objetivo era de verificar se e como os alunos resolveriam os problemas do 1º grau

com duas incógnitas depois da sequência de atividades sobre o assunto.

Entregamos a cada aluno uma cópia da folha de teste e solicitamos que

resolvessem os problemas da folha.

3.17. DÉCIMA SÉTIMA SESSÃO

O último encontro da experimentação ocorreu no dia 02/11/2010.

Agradecemos aos alunos a oportunidade de realização da pesquisa e enfatizamos

como aspecto positivo a participação nos diálogos e na execução das atividades.

Solicitamos que os alunos pontuassem alguns aspectos positivos e outros negativos

das aulas que tiveram durante o experimento. Entre outras pontuações feitas pelos

alunos, destacamos algumas:

Aluno “A” – aprendemos brincando, nunca tinha jogado em sala de aula.

Gostei muito!

Aluno “B” - o senhor nunca nos obrigou a fazer as atividades, sempre nos

tratou com educação.

Aluno “C” – gostei de resolver problemas!

Aluno “D” – tinha momentos que pensei que não era aula de matemática.

Depois do diálogo com os alunos solicitamos que realizassem o pós-teste

geral. Nosso objetivo era de verificar se e como os alunos resolveriam problemas do

1º grau depois da sequência de atividades sobre o assunto. Entregamos a cada

aluno uma cópia da folha do teste e solicitado que resolvessem os problemas.

Salientamos que nos testes os alunos escreveram mensagens positivas, mas que

preferimos não relatar neste estudo, pois eram mensagens direcionadas ao

GRAÇA, V. V. O Ensino de Problemas do 1º grau por atividades... 125

pesquisador e tomamos com pessoal. Duas semanas após o término do

experimento entregamos ao professor efetivo da turma o resultado individual por

alunos da tabulação feita nos testes aplicados durante o experimento para que o

professor pudesse avaliar e atribuir às notas referentes aquele bimestre. A seguir

apresentamos os resultados das análises a posteriori e da validação da pesquisa.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 126

4. ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO

Nesta seção temos como objetivo apresentar os resultados obtidos na

análise a posteriori e a validação da engenharia didática. Assim, analisamos os

resultados de cada atividade e dos testes realizados no experimento. O nosso

objetivo de pesquisa foi investigar os efeitos de um conjunto de atividades sobre o

desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do ensino

fundamental. Conforme Brasil (1997), as necessidades cotidianas fazem com que os

alunos desenvolvam uma prática, que permite reconhecer problemas, buscar e

selecionar informações, tomar decisões e, portanto, desenvolver uma ampla

capacidade para lidar com a atividade matemática. Quando essa capacidade é

potencializada pela escola, a aprendizagem pode apresentar melhor resultado.

Aplicamos os pré-testes reconhecendo que alunos tinham condição de resolvê-los

mesmo que fossem razoavelmente complexos, para tanto buscariam conhecimentos

e tentariam estabelecer relações entre o já conhecido e o novo.

No primeiro encontro de nossa experimentação os alunos protestaram

sobre a realização do pré-teste geral alegando que não tinham estudado para o

teste e que não era cabível uma avaliação no primeiro dia de aula da atividade, pois

o professor efetivo da turma não tinha dado o assunto que iria ser posto em

avaliação. Essa atitude pode ser um reflexo de uma prática no ensino de matemática

em que este apresenta na maioria das vezes, o conteúdo oralmente, partindo de

definições, exemplos, demonstração de propriedades, seguidos de exercícios de

aprendizagem, fixação e aplicação.

O pré-teste geral foi realizado com o objetivo de verificar se e como os

alunos resolveriam problemas do 1º grau, antes da sequência de atividades sobre o

assunto. Acreditávamos que os alunos resolveriam determinados problemas usando

a técnica tentativa e erro. A tabela 7 apresenta os dados referentes ao número de

alunos que acertaram cada problema proposto. Denominamos de acertos aquelas

resoluções que possuíam uma estratégia coerente e apresentavam soluções

corretas.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 127

Tabela 7: Relação entre o percentual de alunos do 7º ano que resolveram os problemas do pré-teste geral e as técnicas utilizadas para a resolução destes problemas

Enunciado dos problemas Percentual de alunos que acertaram cada problema

Técnicas utilizadas para resolução dos problemas

Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro. Qual

é esse número? 36%

• 76% informaram somente a resposta;

• 24% fizeram por tentativa e erro

Um número menos quarenta e cinco é igual a setenta e cinco.

Que número é esse? 27% Todos os alunos apenas

Informaram a resposta

A metade de um número mais quatro é igual a seis. Qual é

esse número? 16% Todos os alunos apenas

informaram a resposta

O dobro de um número, menos sete, é igual a trinta e cinco.

Que número é esse? 0%

A soma de dois números é 8 e a diferença é 4. Que números são

esses? 0%

Pensei em um número, depois somei este número com

cinquenta e dois e dividi o resultado por dois, e assim

obtive quarenta e quatro. Qual foi o número pensado?

2% Informou somente a resposta

Em um quintal há galinhas e coelhos, num total de 13

animais e 46 pés. Qual é a quantidade de galinhas? E a

quantidade de coelhos?

8% • 66% informaram somente a

resposta; • 34% utilizaram tentativa e

erro

Em um torneio de perguntas e respostas, a pontuação é dada

de acordo com o seguinte:

Uma equipe, depois de

responder 20 perguntas, ficou com 80 pontos. Quantas foram as respostas certas? E quantas

foram as respostas erradas?

Questões Certa Errada

Ganha 10 pontos

perde 5 pontos 0%

A soma de dois números pares consecutivos é 18. Quais são

esses números? 5%

Todos informaram somente a resposta;

A soma de dois números ímpares consecutivos é 8. Quais são esses números?

5% Todos informaram somente a resposta;

FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 128

Analisando a tabela 7 percebemos que a maioria dos alunos utilizou a

técnica de resolução por tentativa e erro, ou apenas informou a resposta. Existem

muitas técnicas de resolução de problemas. Entre elas, Sá (2006) cita as seguintes:

tentativa e erro; busca de padrões; resolver um problema mais simples; trabalhar em

sentido inverso e simulação. A estratégia de tentativa e erro consiste na busca da

solução de um problema por meio da utilização das informações contidas no

problema em aproximações sucessivas, isto é, testando possíveis soluções. Para

exemplificar a estratégia utilizada pelos alunos que acertaram os problemas, temos

o seguinte registro:

Problema: Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro. Qual é esse número?

Registro do aluno:

19 +21

40

29+2150

+392160

Os dados dispostos na tabela 7 parecem evidenciar que quando o aluno

não conhece uma ferramenta algébrica que o auxilie na resolução de determinado

problema, recorre à estratégia por tentativa e erro. Sá (2006) explica que a prática

escolar, normalmente, não valoriza este tipo de estratégia alegando que toda

situação – problema possui uma fórmula ou regra para sua resolução, o que o

pesquisador advertiu ser essa justificativa um mito. O quadro 6 evidencia a relação

gosto pela matemática, hábito de estudo e número de acertos dos alunos.

Quadro 6: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo, e a media de acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste geral

Gosto pela Matemática

Media de acerto no pré teste geral

Não gosta Pouco Muito

Háb

ito

de

estu

do

Período de prova 1,4 0,75 1,0

Véspera de prova 1,0 1,25 1

Fim de semana Não teve aluno 1,66 1,5

Duas vezes por semana 1 0,2 1,5

FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 129

Analisando o quadro 6 podemos perceber que dois grupos tiveram maior

quantidade de acertos: o grupo formado pelos “alunos que não gostam de

matemática” e “só estudam no período de prova”; e o grupo dos “alunos que gostam

um pouco de matemática” e “estudam véspera de prova”. Fernandes (2010) explica

que o “gostar pouco” de matemática por parte dos alunos costuma está relacionado

com à falta de afinidade com os “números” e à dificuldade em acompanhar o ritmo

das aulas por falta de concentração. Fernandes (2010) constatou que a maioria dos

alunos que dizem gostar de matemática, em geral, atribui sua preferência pela

disciplina à eficiência do professor e ao bom relacionamento da mesma com os

alunos.

Por meio das análises prévias percebemos que tínhamos, antes de

abordar as técnicas algébricas de resolução de problemas do 1º grau, de envolver

também no processo de ensino – aprendizagem as traduções de enunciados

escritos em língua oficial brasileira para linguagem matemática. Nossa hipótese era

de que se o aluno entendesse a tradução para linguagem matemática iria entender a

resolução de problemas do 1º grau de maneira satisfatória. Ribeiro (2001) evidencia

que um fator importante dentro do aspecto estrutural da álgebra, em particular, com

a representação simbólica de relações numéricas diz respeito à tradução de

situações-problema em equações algébricas. Segundo o pesquisador, essas

equações são representações estruturais que envolvem uma perspectiva não

aritmética, não só quanto à natureza das operações que são representadas, mas

também quanto ao uso do sinal de igualdade. O pesquisador explica ainda que ao

passar de uma perspectiva aritmética para uma algébrica, podemos estar nos

movimentando de uma concepção processual para uma estrutural.

Gil (2008) analisou que a interpretação de problemas algébricos, que

exigem uma tradução da “linguagem corrente” para a linguagem simbólica apresenta

obstáculos, assim como, à relação entre a álgebra e a aritmética. Ainda ressalta que

no estudo de álgebra, o aluno utiliza muito esta codificação já que envolve uma

interpretação, exigindo a tradução da “linguagem escrita” para a linguagem

matemática, e muitas vezes, as dificuldades apresentadas pelos alunos na tradução

de situação da “linguagem corrente” para a linguagem formal residem na

interpretação.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 130

Para Feio (2009) as regras de codificação permitem apenas uma leitura

pontual das representações de cada registro. Essas regras não permitem uma

apreensão global e qualitativa do objeto representado. E é justamente essa

apreensão global e qualitativa que é necessária para ir além da tradução e utilizar os

registros para fins de estabelecer relações significativas e, a partir daí, afirmar que

houve uma conversão. Na sala de aula, segundo Feio (2009), a fala medeia o

processo de ensino e de aprendizagem da matemática. De um lado o professor a

utiliza, através da “língua natural”, para traduzir à linguagem matemática que se

encontra codificada. Do outro, os alunos apreendem a tradução feita pelo professor

e projetam sentido no que está sendo comunicado. Por conseguinte, conforme o

pesquisador, os alunos constroem conceitos.

Assim, realizamos um pré-teste de tradução de enunciados escritos em

língua oficial para linguagem matemática com o objetivo de verificar se e como os

alunos transformariam os enunciados escritos em língua oficial para linguagem

matemática, antes da sequência de atividades sobre o assunto. A tabela 8 apresenta

os dados referentes aos acertos dos alunos em cada questão, denominamos de

acertos aquelas traduções que utilizaram coerentemente uma letra do nosso

alfabeto para representar um valor desconhecido.

Tabela 8: Percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente os enunciados do pré-teste de tradução em linguagem matemática

(Continua)

Enunciado Percentual de alunos que traduziram

coerentemente cada enunciado

Um número mais três é igual a onze. 5%

Um número menos nove é igual a dois. 2%

Um número menos quatro é igual a menos dez. 0%

O triplo de um número é igual a nove 0%

A metade de um número é igual a seis. 0%

O dobro de um número mais cinco é igual a menos onze 0%

O triplo de um número menos seis é igual a zero. 0%

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 131

Tabela 8: Percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente os enunciados do pré-teste de tradução em linguagem matemática

(Conclusão) O dobro de um número menos seis é igual a menos

quatorze. 0%

O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta

0%

Um número mais três, vezes cinco é igual a quarenta e cinco.

0%

Um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um.

0%

A soma de dois números consecutivos é igual a cinquenta e três.

0%

A soma de dois números pares consecutivos é igual a noventa e oito.

0%

A soma de dois números ímpares consecutivos é igual a oitenta e oito.

0%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Conforme consta na tabela 8, a maioria dos alunos não conseguiu traduzir

os enunciados em linguagem matemática. Somente 3 (três) alunos traduziram de

forma coerente para linguagem matemática. Evidenciamos nas análises prévias que,

conforme Daniel (2007), quando é dado um problema ou um enunciado em língua

oficial, aparece muitos erros na escrita da equação e na identificação da incógnita,

erros esses muitas vezes conceituais. Ainda, Sá (2003), elucidou que não existe

uma transição do pensamento aritmético para o pensamento algébrico e, sim, um

desenvolvimento paralelo com um aperfeiçoamento da linguagem simbólica.

Araújo (2007) percebeu que, se o aluno não entende a linguagem do texto

matemático, não avança na sua estratégia cognitiva, e ainda a aprendizagem deve

envolver os aspectos: sintático (linguagem matemática) e semântico (significado que

os fatos matemáticos revelam), que são indissociáveis e devem ser articulados no

ensino da matemática escolar. Assim, Costa (2007) sugere que se realizem

atividades voltadas à linguagem matemática nas salas de aulas, pois os alunos

apresentam uma real dificuldade nesse segmento.

Segundo Feio (2009), muitos alunos parecem ter dificuldades para

resolver certos tipos de problemas algébricos, em particular, quando antes da

resolução envolvem uma tradução da “linguagem escrita corrente” para a linguagem

matemática. Por sua vez, Silva e Nascimento (2010) ressaltam que o aprendizado

de “língua materna” e da linguagem matemática sempre manteve estreita afinidade.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 132

Falar “língua materna” e aprender linguagem matemática se torna possível graças

ao poder de abstração de que é dotado o homem, no entanto, essa relação nem

sempre é eficaz.

Gil (2008) explica que muitas vezes acentuamos as dificuldades com o

seu simbolismo quando não nos preocupamos em trabalhar a compreensão dos

símbolos, de clarear os seus significados. Para a pesquisadora, acabamos

abusando do seu uso e dificultamos o processo de aprendizagem. Dessa forma, Gil

(2008) destaca que escrever e se comunicar por meio da linguagem matemática,

assim também como ler e entender é mostrar-se portador dessas habilidades. Para

a pesquisadora comunicar-se em matemática é comunicar-se em outra forma de

linguagem que não a “materna”.

A nossa observação, durante a execução da sequência de atividades

envolvendo traduções de enunciados escritos em língua oficial para linguagem

matemática mostrou que alguns alunos costumam não representar o sinal “=”

quando traduz para linguagem matemática o seguinte enunciado: um número menos

nove é igual a dois. Mas, uma das maiores dificuldades assinaladas foi concernente

a tradução de enunciados envolvendo a expressão: “o dobro de um número”.

Constatamos a dificuldade de tradução de enunciados envolvendo “o dobro de um

número” é maior que “o triplo de um número”.

Segundo Souza e Diniz (2003) isto acontece no 7º ano da escola básica

quando as letras são apresentadas como substitutas de números, surge assim uma

nova linguagem que tenta traduzir em símbolos matemáticos as formas: o dobro de

um número: 2�, a idade que eu tinha há 10 anos: � − 10, a soma de dois números é

27: � + � = 27 e em seguida, rapidamente, apresentar o conceito de variável como

incógnita para resolver equações e sistemas lineares que serão aplicados em

problemas. Nestes dois últimos casos a variável "não varia", ela é um valor numérico

momentaneamente desconhecido e único. Souza e Diniz (2003) apontam ainda que:

o trabalho com álgebra é apresentado de forma fragmentada, enfatizando ora um aspecto, ora outro, sem se preocupar com a ligação entre eles e com sua contextualização, ignorando totalmente a formação da ideia básica da álgebra que é o conceito de variável em suas múltiplas formas: incógnita, parâmetro e variável propriamente dita (p. 3).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 133

Em tradução em linguagem matemática, os alunos não podem deixar de

perceber o aspecto semântico da língua oficial, pois em alguns casos se faz

extremamente necessário sua utilização, como na tradução do enunciado: o dobro

de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta. A primeira tradução do

enunciado foi: 2. � + 3 = −40. Explicamos que a tradução não era coerente, pois não

representava o enunciado proposto, e sim: o dobro de um número mais três é igual a

menos quarenta, assim confundiram “mais o seu triplo” com “mais três”. No

enunciado: três mais um número, vezes cinco é igual a quarenta e cinco, a primeira

tradução foi: 3 + �. 5 = 45, percebemos que os alunos não compreenderam o uso

semântico da vírgula no enunciado e que ao traduzirem o suprimiram.

Um fato observado durante o experimento foi que os alunos não

conseguem articular de maneira direta a representação da operação de divisão com

a simbologia de frações, quase sempre associam ao símbolo: ÷. Por exemplo, no

enunciado: um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um, a

primeira tradução dos alunos foi: �� − 15� ÷ 3 = 21. Concernente a simbologia

utilizada pela linguagem matemática, Silva (2006), explica que tendo a matemática

uma linguagem própria, com uma vasta simbologia, para que ocorra uma

comunicação é preciso que, quando o professor falar de matemática na língua

materna, o aluno faça essa codificação, transforme a “língua materna” na linguagem

matemática. Nesse sentido, ao resolver um problema, o aluno usará a simbologia

matemática, que é a sua linguagem. Se todo esse processo se der de forma

satisfatória, conforme Silva (2006), pode-se admitir que houve uma comunicação.

André e Santos (2007) salientam que o excesso de simbologia gera

dificuldades desnecessárias para o aluno, muitas vezes, chegando até mesmo

interferir na compreensão da ideia representada pelo símbolo. A linguagem

matemática desenvolveu-se com o intuito de facilitar a comunicação do

conhecimento matemático entre as pessoas. No entanto, quando há abuso do uso

simbólico e não há preocupação em trabalhar a compreensão dessa simbologia,

procurando esclarecer o seu significado, obtém-se o efeito contrário, isto é,

dificultamos o processo de aprendizagem da matemática.

Observamos ainda que a maioria dos alunos não conseguiu traduzir os

seguintes enunciados: a soma de dois números pares consecutivos é quatorze; a

soma de dois números ímpares consecutivos é doze. Acreditamos que os alunos

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 134

não tinham “maturidade algébrica” para alcançar o nível de abstração para

compreender esses enunciados escritos em língua oficial. Nesse sentido,

apontamos que se faz necessário um estudo sobre as principais técnicas de

tradução de enunciados em língua oficial para linguagem matemática, talvez até a

elaboração de um glossário com essas técnicas de tradução para atividade de sala

de aula.

No primeiro instante de execução dos jogos de cartas, desenvolvidos em

nosso experimento, o jogo estava lento pela maioria dos alunos e assim o seu

término demorava a ocorrer. Depois de um tempo os alunos começaram a jogar e a

construir seus jogos de cartas de forma rápida e em alguns casos evidenciaram

estratégia de vencer ou impedir que outro aluno vença. Rade (2010) aponta que os

jogos podem contribuir como um poderoso recurso nas aulas de matemática. Pois

ao jogar os alunos sentem-se no dever de tentar resolver as questões. Brasil (1997)

sugeriu o uso de jogos, pois esse recurso pode contribuir para um trabalho de

formação de atitudes, considerando que os alunos, ao enfrentarem desafios,

lançam-se na busca de soluções, promovendo o desenvolvimento da crítica, da

intuição, da criação de estratégias e da possibilidade de alterá-las quando o

resultado não for satisfatório.

Observamos que em raros momentos houve algum aluno que

representou a incógnita utilizando a letra “x” ou “y”. A turma utilizava ou a primeira

letra dos seus respectivos nomes ou alguma letra correspondente a algum objeto

presente no enunciando em língua oficial. Então, será que quando usamos em sala

de aula a letra “x” ou “y” não estamos oportunizando, em certos momentos, mais um

obstáculo no processo ensino- aprendizagem, uma vez que em muitos casos a letra

“x” ou “y” pode não conferir significado ao aluno durante a resolução de um

problema. Brousseau (1996) afirma que os obstáculos podem estar relacionados ao

erro no ensino, na insuficiência do sujeito ou a uma dificuldade intrínseca do

conhecimento. Ele classifica esses obstáculos em: obstáculos ontogênicos, didáticos

e epistemológicos. Acreditamos que no caso relatado acima se trata do obstáculo

didático, pois são aqueles que parecem depender da escolha metodológica ou de

um projeto do sistema educativo. Ao usarmos de forma exacerbada a letra “x” ou “y”

em sala sem que estas tenham qualquer ligação com os enunciados dos problemas

podemos gerar nos alunos obstáculos epistemológicos, que segundo Brousseau

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 135

(1996) se caracterizam por um saber que já foi construído, e dessa forma, vem

interferir no novo saber em fase de construção.

Conforme ficou evidenciado em nossa pesquisa, os alunos haviam

realmente dominado o requisito de tradução para linguagem matemática, pois os

símbolos matemáticos faziam sentido para os alunos quando associavam aos

respectivos enunciados. Após o conjunto de 3 (três) atividades para o ensino de

tradução de enunciados escritos em língua oficial para linguagem matemática, os

alunos realizaram o pós-teste do assunto contendo os mesmos enunciados que o

pré-teste feito antes das atividades. Nesse pós-teste de tradução tivemos por

objetivo verificar se e como os alunos depois das atividades desenvolvidas sobre

linguagem matemática traduziriam as sentenças de língua oficial para linguagem

matemática coerentemente. A tabela 9 apresenta os dados referentes à quantidade

de alunos que traduziram cada enunciado de maneira coerente usando a linguagem

matemática.

Tabela 9: Comparação entre o percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente o pré-teste e o pós-teste de tradução em linguagem matemática

(Continua)

Enunciado Percentual de alunos que traduziram

coerentemente cada enunciado

Pré-teste Pós-teste

Um número mais três é igual a onze. 5% 72%

Um número menos nove é igual a dois. 2% 66%

Um número menos quatro é igual a menos dez. 0% 63%

O triplo de um número é igual a nove 0% 58%

A metade de um número é igual a seis. 0% 58%

O dobro de um número mais cinco é igual a menos onze

0% 61%

O triplo de um número menos seis é igual a zero. 0% 66%

O dobro de um número menos seis é igual a menos quatorze.

0% 63%

O dobro de um número mais o seu triplo é igual a menos quarenta

0% 55%

Um número mais três, vezes cinco é igual a quarenta e cinco.

0% 58%

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 136

Tabela 9: Comparação entre o percentual de alunos do 7º ano que traduziram coerentemente o pré-teste e o pós-teste de tradução em linguagem matemática

(Conclusão)

Um número menos quinze, dividido por três é igual a vinte e um.

0% 61%

A soma de dois números consecutivos é igual a cinquenta e três.

0% 22%

A soma de dois números pares consecutivos é igual a noventa e oito.

0% 16%

A soma de dois números ímpares consecutivos é igual a oitenta e oito.

0% 19%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Torna-se evidente que houve um aumento significativo quanto ao

desempenho dos alunos em traduzir enunciados para linguagem matemática após

as aplicações das atividades concernentes ao respectivo tópico. Apenas nos 3 (três)

últimos enunciados o número de alunos que traduziram coerentemente foi abaixo de

50% da turma. O gráfico 1 aponta a média de acertos nos testes de tradução em

linguagem matemática.

Gráfico 1: Média de acertos nos testes de tradução em linguagem matemática

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Analisando o gráfico 1 percebemos que a média de acertos dos alunos no

pós-teste aumentou consideravelmente em relação a média de acertos no pré-teste.

Isso parece evidenciar que houve um melhor desempenho dos alunos em tradução

para linguagem matemática de enunciados escritos em língua oficial após a

aplicação das atividades. O gráfico 2 relaciona a média de acertos nos testes de

tradução em linguagem matemática com o perfil da turma.

0,90%

61%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Média de acertos no pré-teste de tradução

média de acertos no pós-teste de tradução

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 137

Gráfico 2: Relação entre a média de acertos nos testes de tradução em linguagem matemática e o perfil dos alunos do 7º ano

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

O perfil dos alunos que tiveram melhor desempenho no pós-teste de

tradução, conforme o gráfico 2, foi o seguinte: meninos; alunos que não gostam de

matemática; e, que tem dificuldade nessa disciplina. Sobre o desempenho dos

alunos nos enunciados envolvendo números consecutivos esperávamos um

desempenho menor em relação à tradução dos outros enunciados, pois observamos

durante as atividades que os alunos não conseguiram entender esse tipo de

tradução. Acreditamos que deveríamos ter elucidado mais essa técnica de tradução

durante as atividades. Por isso, destacamos uma limitação ou descuido do

experimento o fato de, talvez, ter sido evidenciado de maneira excessiva apenas

uma técnica de tradução ou modelização dos enunciados apresentado em língua

oficial. Na tabela 10 mostramos o número de acertos de cada aluno nas traduções

dos enunciados presentes no teste sobre linguagem matemática. Denominamos

cada aluno pela ordem alfabética de cada nome.

0,80% 1,00% 0,60% 1,20% 0,50% 1,30%

69%

53%

60% 62% 63%59%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

meninos meninas Gostam de

matemática

Não gostam de

matemática

Tem

dificuldades em

matemática

Não tem

dificuldades em

matemática

Pré-teste de tradução Pós-teste de tradução

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 138

Tabela 10: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de linguagem matemática (Continua)

Aluno (a) Números de acertos

Pré- teste Pós-teste

Aluno 1 0% 85%

Aluno 2 Não fez 78%

Aluno 3 0% 85%

Aluno 4 0% 35%

Aluno 5 0% 71%

Aluno 6 0% 57%

Aluno 7 0% 28%

Aluno 8 0% 14%

Aluno 9 0% 100%

Aluno 10 0% 100%

Aluno 11 0% 14%

Aluno 12 7% 92%

Aluno 13 0% 57%

Aluno 14 0% 50%

Aluno 15 0% 100%

Aluno 16 0% Não fez

Aluno 17 7% 92%

Aluno 18 7% 92%

Aluno 19 0% 50%

Aluno 20 0% Não fez

Aluno 21 0% 71%

Aluno 22 0% 64%

Aluno 23 0% 21%

Aluno 24 Não fez 21%

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 139

Tabela 10: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de linguagem matemática (Conclusão)

Aluno 25 0% 14%

Aluno 26 0% 71%

Aluno 27 0% 78%

Aluno 28 0% 64%

Aluno 29 0% 14%

Aluno 30 0% 92%

Aluno 31 0% 92%

Aluno 32 0% 21%

Aluno 33 0% 28%

Aluno 34 0% 14%

Aluno 35 0% 78%

Aluno 36 0% 92%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Acreditamos ter alcançado à validação das atividades destinadas a

tradução em linguagem matemática. Isso parece ficar explícito no gráfico 3 que

evidencia o desempenho dos alunos nos testes de tradução em linguagem

matemática. Optamos por desconsiderar em nossa análise de resultados os testes

de tradução dos alunos: 2, 16, 20 e 24, pois não fizeram algum dos testes de

tradução e assim não teríamos como evidenciar o desempenho dos mesmos.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 140

Gráfico 3: Percentual de acerto dos alunos nos testes de tradução em linguagem matemática

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Relacionamos a frequência dos alunos nas atividades que envolveram

tradução e o desempenho dos alunos. Salientamos que f (falta); p (presença na

atividade); A.1 (atividade 1); A.2 (atividade 2) e A.3 (atividade 3).

Tabela 11: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano no experimento envolvendo tradução em linguagem matemática e desempenho no pós-teste do referido assunto

(Continua)

Aluno

Atividades de tradução

Percentual de acertos no

pós-teste de tradução A.1 A.2 A.3

Aluno 1 P P P 85%

Aluno 2 P P P 78%

Aluno 3 P P F 85%

Aluno 4 P P P 35%

Aluno 5 P P P 71%

Aluno 6 P P P 57%

Aluno 7 F P P 28%

Aluno 8 P P P 14%

Aluno 9 P P P 100%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 3 4 5 6 7 8 9 101112131415 171819 212223 252627282930313233343536

Pré-teste de tradução Pós-teste de Tradução

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 141

Tabela 11: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano no experimento envolvendo tradução em linguagem matemática e desempenho no pós-teste do referido assunto

(Conclusão)

Aluno 10 F P P 100%

Aluno 11 P P P 14%

Aluno 12 F P P 92%

Aluno 13 P P F 57%

Aluno 14 P P P 50%

Aluno 15 P P P 100%

Aluno 16 P P P Não fez

Aluno 17 P P P 92%

Aluno 18 P P P 92%

Aluno 19 F P P 50%

Aluno 20 P P P Não fez

Aluno 21 P P P 71%

Aluno 22 P P P 64%

Aluno 23 P P F 21%

Aluno 24 P P P 21%

Aluno 25 P P P 14%

Aluno 26 P P P 71%

Aluno 27 P P P 78%

Aluno 28 P P P 64%

Aluno 29 F P P 14%

Aluno 30 P P P 92%

Aluno 31 P P P 92%

Aluno 32 P P P 21%

Aluno 33 P P F 28%

Aluno 34 P P P 14%

Aluno 35 P P P 78%

Aluno 36 P P P 92%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 142

Assim, podemos relacionar o desempenho dos alunos no pós-teste de

tradução com a frequência nas atividades para verificar se estas produziram algum

efeito no desempenho dos alunos. Destacamos que todos os alunos pelo menos

compareceram em duas atividades. O gráfico 3 evidencia uma relação entre o

percentual de presença nas atividades sobre tradução e o desempenho dos alunos

no pós-teste do assunto.

Gráfico 4: Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre tradução e o desempenho dos alunos no pós-teste do assunto

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos, a partir do gráfico 4 estabelecer a tabela 12.

Tabela 12: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades envolvendo tradução em linguagem matemática e o desempenho no pós-teste de tradução

Categorias Quantidade de

alunos no grupo

Quantidade de alunos com menos de 50% de acertos

Quantidade de alunos com 50% ou mais de acertos

Compareceu só em duas atividades

9 4 5

Compareceu em todas as atividades

23 6 17

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Percentual de frequência nas atividades de tradução

Percentual de acertos no pós-teste de tradução

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 143

A tabela 12 indica que a maioria dos alunos compareceu em todas as

atividades envolvendo tradução e desses a maioria teve um desempenho igual ou

superior a 50% de acertos na tradução dos enunciados em linguagem matemática.

Isso parece evidenciar que as atividades influenciaram no desempenho dos alunos

no pós-teste de tradução em linguagem matemática. Relacionamos ainda o gosto

pela matemática; o hábito de estudo; e os acertos no pós-teste de tradução em

linguagem matemática.

Tabela 13: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo, e os acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução em linguagem matemática

Categorias Percentual de

alunos

Percentual de alunos que gostam de matemática

Percentual de alunos que possuem dificuldades

em matemática

Desempenho inferior a 50% no teste 31% 70% 100%

Desempenho igual ou superior a 50% no

teste. 68% 90% 81%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos perceber que 68% dos alunos tiveram um desempenho de

acertos igual ou superior a 50% de acertos na tradução dos enunciados em

linguagem matemática. Ainda, 90% dos alunos com desempenho superior ou igual a

50% de acertos no pós-teste de tradução gostam de matemática e admitiram ter

alguma dificuldade em matemática. Relacionamos o gostar de matemática, hábito de

estudo e acertos dos alunos.

Quadro 7: Relação do gosto pela matemática, o hábito de estudo e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução em linguagem matemática

Gosto pela Matemática

Média de acertos dos alunos

Não gosta Pouco Muito

Háb

ito

de

estu

do

Período de prova 8,0 7,25 10,0

Véspera de prova 6,66 4,75 13

Fim de semana Não teve aluno 5,66 6,0

Duas vezes por semana 11 10,83 11,0

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 144

Observamos que a maior quantidade de acertos em tradução diz respeito

aos alunos que declararam “gostar um pouco de matemática” e “estuda duas vezes

por semana” fora escola. Ou seja, 23% dos acertos foram do grupo relatado

anteriormente. O quadro 8 aponta os principais equívocos ocorridos durante as

traduções dos alunos no pós-teste de linguagem matemática.

Quadro 8: Equívocos identificados no pós-testes de tradução em linguagem matemática

EQUÍVOCOS VERIFICADOS EXEMPLO DO EQUÍVOCO

Colocar a solução das questões, invés de traduzir

o número desconhecido por uma letra do nosso

alfabeto

Um número menos nove é igual a dois

“11 − 9 = 2”

Não utilizou o símbolo dos parênteses para

destacar a propriedade distributiva em relação à

adição ou subtração.

Um número mais três, vezes cinco é igual a

quarenta e cinco.

“� + 3.5 = 45”

Confundiu a representação do “dobro” e da

“metade de um número desconhecido”,

representando um pelo outro.

A metade de um número é igual a seis.

“2� = 6”

Não representava a palavra “igual”. Um número menos quatro é igual a menos dez.

“� − 4 − 10”

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Constatamos que durante as atividades de tradução os alunos em muitos

momentos questionavam sobre quando iriam resolver os problemas. Por isso, ainda

nesse teste, depois das atividades houve alunos que ainda tentaram solucionar o

suposto problema. Os três últimos equívocos assinalados no quadro, provavelmente

ocorreram em função da falta de atenção ou até da rapidez para terminar o teste.

Ainda investigamos o perfil dos alunos que tiveram um desempenho inferior a 50%

de acertos na tradução.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 145

Tabela 14: Perfil dos alunos que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução em linguagem matemática

Identificação do aluno em ordem crescente de

desempenho no pós-teste de tradução

Percentual de frequência na atividade de tradução

Percentual de acertos nos testes de tradução

Pré-teste Pós-teste

8 100% 0% 14%

11 100% 0% 14%

25 100% 0% 14%

29 66% 0% 14%

34 100% 0% 14%

23 66% 0% 21%

32 100% 0% 21%

7 66% 0% 28%

33 66% 0% 28%

4 100% 0% 35%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Observamos pela tabela 14 que 10 (dez) alunos tiveram um desempenho

inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução, desses alunos 60%

compareceram em todas as atividades e 40% tiveram apenas uma falta. Um fato a

destacar foi que os 10 (alunos) não conseguiram traduzir algum enunciado antes

das atividades e após as atividades todos pelo menos traduziram um enunciado em

linguagem matemática de maneira coerente. Ainda investigamos o gostar de

matemática e o que esses alunos declararam sobre dificuldades em matemática.

Tabela 15: Relação entre o gostar de matemática e as dificuldades dos alunos do 7º ano que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução em linguagem matemática

Identificação do aluno Gosta pelo menos um pouco de matemática

Possui dificuldade em matemática

4 Sim Sim

7 Sim Sim

8 Não Sim

11 Sim Sim

23 Sim Sim

25 Sim Sim

29 Sim Sim

32 Não Sim

33 Sim Sim

34 Não Sim

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 146

Podemos perceber que 70% declararam gostar de matemática e 30% não

gostar de matemática, e ainda todos apontaram ter alguma dificuldade em

matemática. Ou seja, a maioria dos alunos que tiveram um rendimento inferior a

50% no pós-teste de tradução em linguagem matemática gostava de matemática e

possuía dificuldade na aprendizagem dessa disciplina escolar. Ainda investigamos a

quantidade de vezes que esses alunos estudam matemática fora do ambiente

escola e recebem ajuda para isso.

Quadro 9: O hábito de estudo dos alunos do 7º ano que tiveram desempenho inferior a 50% de acertos no pós-teste de tradução em linguagem matemática

Identificação do aluno Hábito de estudo Quem auxilia

4 Duas vezes por semana Ninguém

7 Só no período de prova Ninguém

8 Só no período de prova Irmão

11 Só no período de prova Irmão

23 Só no fim de semana Irmão

25 Só no período de prova Ninguém

29 Só no período de prova Ninguém

32 Só no fim de semana Mãe

33 Duas vezes por semana Ninguém

34 Duas vezes por semana Ninguém

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos perceber dos alunos que acertaram menos que 50% das

traduções, 30% estudam duas vezes por semana, 50% estudam no período de

prova; e 20% só no fim de semana. Temos ainda que desses alunos, 60% não

recebem ajuda de alguém para estudar fora do ambiente escolar; 30% recebem

ajuda do irmão e 10% da mãe. Assim, a maioria dos alunos estuda só no período de

prova e fazem isso sozinho. Podemos concluir que o perfil dos alunos com baixo

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 147

rendimento é o seguinte: gosta de matemática; possui dificuldades em matemática;

estuda só na véspera de prova e não recebe ajuda em atividades extraclasse.

Depois do tópico de tradução desenvolvemos o ensino de problemas do

1º grau com uma incógnita. No primeiro encontro, os alunos realizaram o pré-teste

de problemas do 1º grau com uma incógnita com o objetivo de verificar se e como os

alunos resolveriam os problemas do 1º grau com uma incógnita, depois da

sequência de atividades sobre o assunto. Entregamos uma folha de teste para cada

aluno. A tabela 16 apresenta os dados referentes aos acertos dos alunos em cada

questão, denominamos de acertos aquelas resoluções que possuíam uma estratégia

coerente e apresentavam respostas satisfatórias.

Tabela 16: Percentual de alunos do 7º ano que acertaram cada problema do pré-teste envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita

Enunciado

Percentual de alunos

que acertaram

cada problema

Estas balanças estão equilibradas. Calcule o valor de x:

0%

Um número mais dezoito é igual a noventa e cinco. Qual é esse número?

8%

Um número menos seis é igual a menos quarenta e cinco. Que número é esse? 13%

O dobro de um número menos dois é igual a trinta. Qual é esse número? 8%

O triplo de um número mais dez é igual a menos dois. Qual é esse número? 11%

A metade de um número mais dez é igual a doze. Qual é esse número? 5%

A terça parte de um número menos cinco é igual a dois. Qual é esse número? 5%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Os dados mostram que não houve um bom desempenho dos alunos do

experimento em resolver problemas envolvendo equação do 1º grau com uma

incógnita. A nossa análise a priori se confirmou, pois todos os alunos que acertaram,

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 148

ou apenas apontaram a solução, ou utilizaram a técnica por tentativa e erro.

Relacionamos o gostar de matemática, hábito de estudo e acertos dos alunos.

Quadro 10: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

Gosto pela Matemática

Média de acertos

Não gosta Pouco Muito

Háb

ito

de

estu

do

Período de prova 0,4 0,25 1,0

Véspera de prova 0,0 0,25 0,0

Fim de semana Não teve aluno 0,66 1,5

Duas vezes por semana 0,0 1,0 0,0

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Observamos que a maior quantidade de acertos diz respeito aos alunos

que declararam “gostar um pouco de matemática” e estudam duas vezes por

semana fora da escola. Destaca-se ainda que o grupo que se declarou estudar só

na véspera de prova acertou apenas uma resolução sendo o grupo com pior

desempenho. Evidenciamos que o único grupo em que todos acertaram pelo menos

uma resolução foi aqueles que “gostam muito de matemática”.

Segundo Batista (2002) há estratégias de resolução de problemas em

matemática que sempre levam ao erro, assim como há estratégias que sempre

levam ao acerto. As estratégias que levam ao acerto variam quanto ao suporte de

representação adotado nos problemas. Para Marco (2004), quando os alunos

sentem necessidades de resolver determinados problemas, esses manifestam

momentos de hesitação e dúvidas que, a pesquisadora caracterizou por situações –

dilemática. Nessas situações-dilemática constatamos que os alunos quando se

deparam com um problema na qual não possui de imediato uma estratégia algébrica

estes quase sempre recorrem a estratégia por tentativa e erro.

No Brasil, segundo Araújo et al (2010), o estudo de resolução de

equações do 1º grau é introduzido no 6º ano do ensino fundamental, é

essencialmente desenvolvido no 7º ano e retomado nos 8º e 9º anos. Os

pesquisadores concluem que os alunos brasileiros iniciam desde muito cedo o

estudo de resolução de equação do 1º grau. Araújo et al (2010) afirmam que as

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 149

transposições didáticas realizadas nos livros didáticos de matemática no Brasil ao

abordar o conceito de equação do 1º grau falham ao não deixar clara a transição dos

métodos de resolução aritméticos para os métodos de resolução algébricos por não

realizarem adequadamente a passagem da aritmética à álgebra.

Segundo Lima e Santos (2010) o sinal de igualdade tem uma posição de

destaque na montagem da equação do 1º grau e grande parte dos alunos o elege

como a grande diferença entre as discussões aritméticas e algébricas. Coura (2008)

constatou algumas dificuldades dos alunos concernentes a resolução de equação do

1º grau: escrever para explicar a resolução de uma equação do 1º grau; elaborar um

problema matemático a partir de uma equação do 1º grau; e, escrever sobre o

processo mental, que mobilizam para elaborar as equações.

Nas análises prévias apresentamos um diagnóstico a respeito da prática

docente para o ensino de problemas do 1º grau e as dificuldades que os alunos

apresentam para aprender este conteúdo, segundo os professores de matemática,

constatamos que a maior dificuldade em resolver problemas do 1º grau está quando

este problema matemático modela-se em um sistema de equações do 1º grau. Mas,

com base nesse pré-teste constatamos que os alunos também possuem dificuldades

em resolver equações do 1º grau com uma incógnita.

Desenvolvemos então três atividades para o ensino de problemas do 1º

grau de uma incógnita. Na primeira atividade, que teve por objetivo descobrir

técnicas algébricas de resolver problemas do 1º grau de uma incógnita com o auxílio

de uma balança pictórica, entregamos a cada aluno uma folha com problemas. No

problema 1: o peso de uma melancia mais 4 kg é igual a 12 kg. Qual o peso da

melancia?

Após socializar esse esquema aos alunos perguntamos que estratégia de

solução poderia ser adotada para calcular o peso da melancia a partir do pictórico.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 150

As repostas dos alunos mostram que eles possuíam alguma estratégia de resolução

para este problema com a balança pictórica: “retirar os pesinhos que estão ao lado

da melancia”; “iria cair para o lado esquerdo”; “retirar 4 (quatro) pesos do outro lado

também”. Assim, chegaram ao peso da melancia, identificando que esse peso é de 8

(oito) quilos. No segundo problema, contatamos que os alunos conseguiram

construir o esquema e obter a resposta do problema. Um dos alunos representou da

seguinte forma:

A partir do esquema da balança pictórica os alunos traduziram da

seguinte maneira: � + 5 = 14. Por meio da correspondência da estratégia adotada

no pictórico para linguagem algébrica, os alunos chegaram ao seguinte esquema:

� + 5 = 14

� + 5 − 5 = 14 − 5

� = 9

Perguntamos aos alunos como conseguiram desenvolver a estratégia

algébrica, um aluno respondeu: “é fácil, primeiro traduz, então, quando tem ‘menos’

põem mais, e tudo que se faz de um lado, se faz do outro, o que sobra é o valor de

�”. Em determinado problema ao tentarmos esboçar o esquema pictórico, os alunos

não queriam, alegando “perder tempo”. Acreditamos que os alunos conseguiram

calcular a quantidade desconhecida sendo auxiliado pela balança pictórica e assim

compreenderam a resolução algébrica dos problemas do 1º grau com uma incógnita.

Oliveira e Sá (2010) destacam que, segundo Peirce, todo processo

mental é inferência, ou seja, tradução sígnica, para Duval a análise do conhecimento

matemático tem sua base na produção das representações semióticas, e a maneira

matemática de visualizar e raciocinar está intrinsecamente ligada à utilização desse

tipo de representação. Para Duval (2003), reconhecer relações entre os registros

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 151

implica em “perceber” que representam o mesmo objeto matemático, e, à medida

que tais relações são estabelecidas, os alunos passam a diferenciar a representação

utilizada do objeto matemático representado. Segundo o autor, o estabelecimento

destas relações faz com que as conversões passem a ser realizadas com maior

facilidade, uma vez que os alunos já conhecem características próprias de cada

registro. Sobre a teoria dos registros de representação semiótica, temos:

A teoria dos registros semióticos deve ser avaliada segundo os dados relativos à riqueza, às novidades das observações assim como às novidades das atividades de aprendizagem, que as variáveis cognitivas permitem definir, e não em relação a decisões tomadas a priori sobre o que é Matemática ou decisões baseadas em condições globalizantes não controláveis por meio de metodologias precisas (D’AMORE, 2005, p.61-62).

Na segunda atividade tivemos como objetivo possibilitar aos alunos uma

prática de forma lúdica da resolução algébrica de problemas do 1º grau com uma

incógnita. Os alunos se mostraram entusiasmados para iniciar o jogo, pois, a

primeira experiência com a atividade sendo jogo de cartas tinha sido positiva para

esses alunos. O jogo de três cartas que mais os alunos sentiram dificuldade para

formar foi,

Quando formava o jogo eles precipitadamente acreditavam que a solução

era � = −8, pois de forma equivocada operavam com os números relativos

envolvidos em � = ����� , afirmando uma solução errada. Como aconteceu no

primeiro jogo de cartas envolvendo tradução, os alunos com o desenvolver das

rodadas pareciam se sentir mais confiantes e a partir disso começavam a

desenvolver aquelas estratégias. Acreditamos pelas nossas observações que os

Equação Original

-6x = - 48

Isolar a variável

x=�����

Solução

x = 8

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 152

alunos ganharam agilidade na resolução algébrica de equação do 1º grau com uma

incógnita.

Nos tempos de revolução científica, segundo Araújo (2009) a matemática

desenvolveu formalmente seus parâmetros, sua utilização, sua estruturação como

ciência. O pesquisador explica que se tem a falsa impressão de que a matemática

hoje ocupa uma presença em tudo o que a subjetividade humana pode influenciar.

Outro fato, conforme Araújo (2009), é que a ludicidade, a manipulação de formas e

símbolos concretos, são a panaceia da vez e os instrumentos ditos “tradicionalistas”

como os livros didáticos, estão, a cada dia, ocupando um espaço cada vez mais

apertado por outros recursos pedagógicos.

Para Santos e Nascimento (2007), apresentar conteúdos matemáticos

utilizando o lúdico possibilita ao aluno construir o conhecimento no processo

interativo, permitindo ao professor assumir o papel de (re) construtor do

conhecimento matemático e propicia também, o aparecimento de novas

metodologias. Portanto, na abordagem do processo educativo, a ludicidade é um

importante recurso pedagógico e a mesma não poder ser vista apenas como

sinônimo de brincar.

A terceira atividade teve por objetivo possibilitar aos alunos uma prática

ou treino da técnica algébrica de resolução de problemas do 1º grau com uma

incógnita. Acreditamos pelas observações realizadas e descritas que os alunos

durante a atividade e com o diálogo compreenderam as diferentes técnicas

algébricas de resolução deste tipo de problema do 1º grau. Ribeiro (2001)

analisando o desempenho de alunos do ensino fundamental em álgebra, com base

em dados do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo

(SARESP) do ano de 1997 afirmou que o resultado foi deprimente e por isso o

trabalho com Álgebra precisa urgentemente ser repensado, mesmo em situações

que demandam basicamente procedimentos mecânicos, para que os alunos

consigam sucesso.

Trindade (2008) explica que mais do que aplicação de fórmulas ou

procedimentos repetitivos, o que se exige do ser humano na sua luta pela

sobrevivência é que tenha capacidade de lidar com diferentes problemas e

representações e que possa argumentar sobre os procedimentos utilizados bem

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 153

como formular problemas e avaliar criticamente os resultados obtidos. Numa

perspectiva assim, tem-se um aprender matemática fazendo matemática. Sobre

utilizar o modelo diagramático de uma balança no ensino de problemas do 1º grau,

Ceballos (2010) indica que, utilizando tal estratégia de ensino, os alunos são

capazes de extender o método algébrico de resolução para uma grande variedade

de formas de equações de maneira expontânea e inferir o método de transposição

de termos.

No estudo realizado por Ribeiro (2001) observou-se que a média dos

alunos em Álgebra ficou em torno dos 39%, um pouco acima da média da prova de

matemática como um todo, porém, ainda muito baixo se levarmos em consideração

o quanto esse campo da matemática é explorado no ensino fundamental. Diante

disso, Costa (2008) sugere que é inegável a importância dos pressupostos e da

pedagogia adotada pelos professores na área do espaço de vida relacionado com a

aprendizagem e acredita-se que os professores desejam melhorar o processo de

ensino e aprendizagem necessitando para isso tanto de incentivo como de uma

mudança de percepção cognitiva acerca dos processos de pensamento.

Conforme Coura (2008), à medida que os alunos conseguem estruturar

de maneira clara e objetiva seus raciocínios matemáticos estarão consolidando a

aprendizagem dos conteúdos trabalhados. Realizamos o pós-teste de problemas do

1º grau com uma incógnita, com o objetivo de verificar se e como os alunos

resolveriam os problemas do 1º grau com uma incógnita, depois da sequência de

atividades sobre o assunto. Entregamos a cada aluno uma cópia da folha de teste;

e, solicitamos que resolvessem os problemas. A tabela 17 apresenta os dados

referentes aos acertos dos alunos em cada questão, denominamos de acertos

aquelas resoluções que possuíam uma estratégia coerente e apresentavam

respostas satisfatórias.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 154

Tabela 17: Percentual de alunos do 7º ano que acertaram os problemas dos testes envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita

Enunciado Percentual de alunos que acertaram

cada problema

Pré-teste Pós-teste

Estas balanças estão equilibradas. Calcule o valor

de x:

0% 91%

Um número mais dezoito é igual a noventa e cinco. Qual é esse número?

8% 75%

Um número menos seis é igual a menos quarenta e cinco. Que número é esse?

13% 72%

O dobro de um número menos dois é igual a trinta. Qual é esse número?

8% 55%

O triplo de um número mais dez é igual a menos dois. Qual é esse número?

11% 55%

A metade de um número mais dez é igual a doze. Qual é esse número?

5% 44%

A terça parte de um número menos cinco é igual a dois. Qual é esse número?

5% 41%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Analisando a tabela 17, percebemos que em todos os problemas o

percentual de alunos que acertaram aumentou de forma significativa. Temos ainda

que apenas nos dois últimos problemas relacionados com as ideias de “metade de

um número” e “terça parte de um número” o percentual de alunos que acertaram

permaneceu abaixo de 50% da turma envolvida no experimento. Na tabela 18

mostramos o número de acertos de cada aluno nas questões presentes nos testes

sobre problemas do 1º grau.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 155

Tabela 18: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita

(Continua)

Aluno (a)

Percentual de acertos dos alunos no teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

Pré- teste Pós-teste

Aluno 1 28% 71%

Aluno 2 14% 85%

Aluno 3 14% 71%

Aluno 4 0% 28%

Aluno 5 28% 28%

Aluno 6 0% 14%

Aluno 7 14% 28%

Aluno 8 0% Não fez

Aluno 9 0% 100%

Aluno 10 28% 100%

Aluno 11 0% 28%

Aluno 12 14% 51%

Aluno 13 0% 85%

Aluno 14 0% 28%

Aluno 15 28% 85%

Aluno 16 0% Não fez

Aluno 17 14% 85%

Aluno 18 14% 71%

Aluno 19 0% 71%

Aluno 20 Não fez 14%

Aluno 21 0% 51%

Aluno 22 28% 51%

Aluno 23 0% 42%

Aluno 24 Não fez 42%

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 156

Tabela 18: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita

(Continua)

Aluno 25 0% 28%

Aluno 26 0% 100%

Aluno 27 0% 71%

Aluno 28 14% 85%

Aluno 29 0% 14%

Aluno 30 14% 85%

Aluno 31 0% 100%

Aluno 32 14% 28%

Aluno 33 0% 71%

Aluno 34 0% 28%

Aluno 35 0% 85%

Aluno 36 0% 100%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Os alunos: 8, 16, 20 e 24 por não realizarem os dois testes de problemas

do 1º grau com uma incógnita, os dados desses alunos não irão fazer parte das

análises de desempenho envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita. A

analise da tabela 18 aponta que houve um aumento significativo quanto ao

desempenho dos alunos em resolverem problemas do 1º grau com uma incógnita,

isso fica mais evidente no gráfico 5, onde é comparado o desempenho dos alunos

nos testes de problemas do 1º grau.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 157

Gráfico 5: Desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Relacionamos a frequência dos alunos nas atividades de problemas do 1º

grau com uma incógnita e o desempenho dos alunos. Salientamos que f (falta); p

(presença na atividade); A.1 (atividade 1); A.2 (atividade 2) e A.3 (atividade 3).

Tabela 19: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o percentual de acertos no pós-teste destes problemas

(Continua)

Aluno

Atividades de problemas do 1º grau com uma

incógnita

Percentual de acertos no pós

teste

A.1 A.2 A.3

Aluno 1 P P P 71%

Aluno 2 P F P 85%

Aluno 3 P P P 71%

Aluno 4 P P P 28%

Aluno 5 P F P 28%

Aluno 6 P P P 14%

Aluno 7 F P P 28%

Aluno 8 P P F Não fez

Aluno 9 P P P 100%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 9 101112131415 171819 212223 252627282930313233343536

Pré-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

Pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 158

Tabela 19: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o percentual de acertos no pós-teste destes problemas

(Continua)

Aluno 10 F P P 100%

Aluno 11 P P F 28%

Aluno 12 F P P 51%

Aluno 13 P P F 85%

Aluno 14 P P P 28%

Aluno 15 P F P 85%

Aluno 16 P P P Não fez

Aluno 17 P P P 85%

Aluno 18 P P P 71%

Aluno 19 P P P 71%

Aluno 20 P P P 14%

Aluno 21 P P P 51%

Aluno 22 P P P 51%

Aluno 23 P P P 42%

Aluno 24 P F P 42%

Aluno 25 P P P 28%

Aluno 26 P P P 100%

Aluno 27 P P P 71%

Aluno 28 F P P 85%

Aluno 29 F P P 14%

Aluno 30 P P P 85%

Aluno 31 P P P 100%

Aluno 32 P P P 28%

Aluno 33 P P F 71%

Aluno 34 P P P 28%

Aluno 35 P P F 85%

Aluno 36 P P P 100%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 159

A partir da análise tabela 19 percebemos que os alunos no mínimo

participaram de 66% das atividades sobre problemas do 1º grau com uma incógnita.

O gráfico 6 evidencia uma relação entre o percentual de presença nas atividades

sobre problemas do 1º grau com uma incógnita e o desempenho dos alunos no pós-

teste do assunto.

Gráfico 6: Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre problemas do 1º grau com uma incógnita e o desempenho dos alunos do 7º ano no pós-teste do assunto

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Com isso, relacionamos a frequência dos alunos; o desempenho no pós-

teste de problemas de 1º grau com uma incógnita.

Tabela 20: Relação entre a frequência dos alunos do 7º anos nas atividades envolvendo problemas do 1º grau com uma incógnita e o desempenho no pós-teste de problemas do 1º grau

Categorias Quantidade de

alunos

Quantidade de alunos que acertou menos de

50% do pós-teste

Quantidade de alunos que acertou igual ou superior a

50% do pós-teste Compareceu só em duas atividades

12 4 8

Compareceu em todas as atividades

20 7 13

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 1415 16 1718 19 2021 22 2324 25 26 2728 29 3031 32 3334 35 36

Percentual de frequência nas atividades de problemas do 1º grau com uma incógnita

Percentual de acertos no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 160

A tabela 20 evidencia que mesmo os alunos que frequentaram 100% das

atividades sobre problemas do 1º grau obtiveram melhor desempenho de acertos no

pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita. Ainda, relacionamos o gosto

pela matemática; o hábito de estudo e os acertos dos alunos no pós-teste de

problemas do 1º grau com uma incógnita.

Quadro 11: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

Gosto pela Matemática

Não gosta Pouco Muito

Háb

ito

de

estu

do

Período de prova 3,66 5,33 1,66

Véspera de prova 4,33 6,66 5

Fim de semana Não tem aluno 5,0 4,33

Duas vezes por semana 2 4,0 12,0

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Observamos que a maior quantidade de acertos, diz respeito aos alunos

que declararam “gostar um pouco de matemática” e estudava duas vezes por

semana fora escola. Obtemos ainda duas categorias conforme a média de 50% de

acertos.

Tabela 21: Relação entre o gosto pela matemática, as dificuldades em matemática e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

Categorias Percentual de

alunos

Percentual de alunos que gostam de

matemática

Percentual de alunos que possuem dificuldades em

matemática

Percentual inferior a

50% no teste 34,38%

63,64% gostam de matemática 90,91% possuem dificuldade

Percentual igual ou

superior a 50% no teste

65,62% 61,90% gostam de

matemática 90,48% possuem dificuldades

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

A maioria dos alunos que tiveram um percentual igual ou superior a 50%

no teste de problemas do 1º grau gosta de matemática e possui dificuldades na

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 161

disciplina. A média dos alunos no pós-teste de problemas do 1º grau com uma

incógnita parece evidenciar que após as atividades sobre esse tópico os alunos

conseguiram resolver os problemas propostos.

Gráfico 7: Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

O gráfico 8 compara o desempenho dos alunos relacionando com o perfil

dos mesmos envolvendo os testes de problemas do 1º grau com uma incógnita.

Gráfico 8: Relação entre a média de acertos nos testes de tradução em linguagem matemática e o

perfil dos alunos do 7º ano

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

8,00%

62%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%

Média de acertos no pré-teste de problemas do

1º grau com uma incógnita

Média de acertos no pós-teste de problemas do

1º grau com uma incógnita

10,00%6,00% 6,50%

9,50%6,00%

10,00%

74%

50%

59%65% 64%

60%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

meninos meninas Gostam de

matemática

Não gostam de

matemática

Tem

dificuldades em

matemática

Não tem

dificuldades em

matemática

Pré-teste de tradução Pós-teste de tradução

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 162

Percebemos pela análise dos gráficos 7 e 8 que houve um significativo

aumento de desempenho de acertos dos alunos depois da aplicação das atividades.

O perfil dos alunos que tiveram melhor desempenho no pós-teste de problemas do

1º grau com uma incógnita foi o seguinte: meninos; alunos que “não gostam de

matemática”; e que tem dificuldade nessa disciplina escolar. Observamos então que

nesse segundo tópico de experimento houve uma aproximação no desempenho dos

alunos que declararam “gostar de matemática” e os que “não gostam de

matemática”. Identificamos que 34,38% não tiveram bom desempenho no pós-teste

de problemas do 1º grau com uma incógnita. Assim, investigamos o perfil desses

alunos.

Tabela 22: Perfil dos alunos do 7º ano que não tiveram bom desempenho no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

Identificação do aluno Percentual de frequência na atividade de problemas com

uma incógnita

Percentual de acertos nos testes do assunto

Pré-teste Pós-teste

4 100% 0% 28%

5 66% 28% 28%

6 100% 0% 14%

7 66% 14% 28%

11 66% 0% 28%

14 100% 0% 28%

23 100% 0% 42%

25 100% 0% 28%

29 66% 0% 14%

32 100% 14% 28%

34 100% 0% 28%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Observamos pela tabela 22 que 11 (onze) alunos tiveram um

desempenho inferior a 50% de acertos no pós-teste de problemas do 1º grau com

uma incógnita, desses alunos 63,64% compareceram em todas as atividades e

36,36% tiveram apenas uma falta. Destaca-se ainda que 72,73% tiveram nenhum

acerto no pré-teste desse assunto e que também 72,73% conseguiram resolver dois

problemas no pós-teste. Assim, esses alunos compareceram nas atividades, porém

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 163

não conseguiram melhorar de forma significativa seu desempenho. Ainda

investigamos o gostar de matemática e o que esses alunos declararam sobre

dificuldades em matemática.

Tabela 23: Relação entre o gostar de matemática e o hábito de estudo dos alunos do 7º ano que tiveram baixo desempenho no pós-teste de problemas do 1º grau

Identificação do aluno Gosta pelo menos um pouco

de matemática Possui dificuldade em

matemática

4 Sim Sim

5 Sim Não

6 Não Sim

7 Sim Sim

11 Sim Sim

14 Não Sim

23 Sim Sim

25 Sim Sim

29 Sim Sim

32 Não Sim

34 Não Sim

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos perceber que 63,64% declararam que gostavam de matemática

e 36,34% não gostavam de matemática, e ainda somente um aluno apontou não ter

alguma dificuldade em matemática. Ou seja, a maioria dos alunos que tiveram

rendimento inferior a 50% no pós-teste gostava de matemática e possuía dificuldade

na aprendizagem dessa disciplina escolar. Ainda investigamos a quantidade de

vezes que esses alunos estudavam matemática fora do ambiente escola e se

recebiam ajuda para isso.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 164

Quadro 12: Relação entre o hábito de estudo fora do ambiente escola e se recebiam ajuda nesse estudo dos alunos do 7º ano com baixo desempenho de acertos no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita

Identificação do aluno Hábito de estudo Quem auxilia

4 Duas vezes por semana Ninguém

5 Duas vezes por semana Ninguém

6 Véspera de prova Ninguém

7 Só no período de prova Ninguém

11 Só no período de prova Irmão

14 Duas vezes por semana Pai

23 Só no fim de semana Irmão

25 Só no período de prova Ninguém

29 Só no período de prova Ninguém

32 Só no fim de semana Mãe

34 Duas vezes por semana Ninguém

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos concluir que o perfil dos alunos com baixo rendimento é o

seguinte: gosta de matemática; possui dificuldades em matemática; estuda só na

véspera de prova ou nos fins de semana e não recebe ajuda em atividades

extraclasse. O hábito de estudar só na véspera de prova se identificou tanto em

tradução como em problemas do 1º grau com uma incógnita entre aqueles que

tiveram um baixo desempenho. Acreditamos que esse perfil tenha sido um fator de

complicação para estes alunos uma vez que não sabiam quando ocorreriam os

testes e assim não se preocupavam em estudar o conteúdo. Ressaltamos que

72,73% dos alunos que não tiveram bom desempenho no pós-teste de problemas do

1º grau com uma incógnita também não tiveram bom desempenho no pós-teste de

tradução.

Em nossa pesquisa sobre as dificuldades de aprendizagem realizada com

os professores de matemática da educação básica, apontou que os alunos não

conseguem ou tem muitas dificuldades em resolver problemas do 1º grau que se

apresenta exclusivamente em língua oficial. Acreditamos ter amenizado essas

dificuldades com os alunos envolvidos no experimento, pois 65,62% tiveram um bom

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 165

desempenho. Sá (2003) acredita que o desenvolvimento da habilidade de resolver

problemas rotineiros é tão importante quanto o desenvolvimento da habilidade de

resolver os não rotineiros e, além disso, o pesquisador aponta que um problema só

torna-se rotineiro quando é entendido e internalizado seu processo de resolução,

valendo isso para qualquer tipo de problema. Nossa pesquisa corrobora com

Andrade et al (2010) ao constatarem que uma sequência didática que possibilite aos

alunos a utilização de recursos que facilitem o entendimento do conteúdo de

equações de 1º grau, e que privilegiem a ação do aluno e o professor agindo como

um mediador, dentro dos princípios construtivistas de ensino, possibilitam uma

compreensão adequada dos conceitos.

Conforme Trindade (2008) as investigações matemáticas e resolução de

problemas, embora parecidos, são conceitos entendidos, por vezes, de formas

diferenciadas. Acreditamos que o resultado positivo da pesquisa deve ter se dado

também, por aplicamos a característica peculiar da resolução de problemas proposto

por Trindade (2008). O quadro 11 aponta os principais registros de resoluções

ocorridos durante as tentativas de resoluções dos testes de problemas do 1º grau

com uma incógnita.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 166

Quadro 13: Tipos de registros feitos pelos alunos do 7º ano identificados nos testes de problemas do 1º grau com uma incógnita

Apenas traduziu o

enunciado em

linguagem

matemática.

Traduziu o enunciado em

linguagem matemática e

utilizou a técnica de resolução

de problemas por tentativa e

erro.

Traduziu o

enunciado em

linguagem

matemática e

apontou direta a

resposta.

Traduziu o

enunciado em

linguagem

matemática utilizou

técnicas algébricas

de resolução

Não traduziu o

enunciado em

linguagem

matemática e utilizou

o pictórico para

resolver os

problemas

Não traduziu o

enunciado em

linguagem

matemática e utilizou

a técnica por

tentativa e erro.

Informou apenas o

valor desconhecido

Q.1 3 alunos 1 alunos 1 alunos 22 alunos 2 alunos 4 alunos 1 alunos

Q.2 2 alunos 4 alunos 0 alunos 25 alunos 0 alunos 3 alunos 2 alunos

Q.3 1 alunos 3 alunos 0 alunos 24 alunos 2 alunos 4 alunos 2 alunos

Q.4 3 alunos 2 alunos 2 alunos 27 alunos 1 alunos 1 alunos 0 alunos

Q.5 2 alunos 4 alunos 2 alunos 25 alunos 0 alunos 1 alunos 2 alunos

Q.6 0 alunos 3 alunos 0 alunos 26 alunos 2 alunos 3 alunos 2 alunos

Q.7 1 alunos 0 alunos 4 alunos 28 alunos 2 alunos 1 alunos 0 alunos

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 167

Constatamos pelo quadro 13 que a maioria dos alunos pelo menos tentou

resolver os problemas do 1º grau com uma incógnita utilizando alguma técnica

algébrica de resolução. Parece então que quando o aluno descobre alguma técnica

algébrica de resolução tende a usar menos a técnica por tentativa e erro. O perfil da

maioria dos alunos que utilizou alguma técnica algébrica para resolver problemas é

do sexo feminino, tem como responsável o pai e a mãe e todos os responsáveis

trabalham. Esses alunos possuem alguma atividade de remuneração, não fazem

nenhum curso extra-escolar, praticam esporte (futebol), “gostam pouco de

matemática”, assumiram ter alguma dificuldade em matemática, estudam

matemática alguns dias da semana e não recebem nenhuma ajuda nas atividades

extraclasses.

Daniel (2007) construiu as seguintes categorias de erros cometidos pelos

alunos observando a resolução de problemas do 1º grau: erros relacionados aos

conceitos de equação e incógnita; erros de transformações algébricas; erros

decorrentes da aplicação indevida de propriedades ou de "falsa regra"; erros

decorrentes à falta de atenção na escrita de uma nova equação; e, erros envolvendo

cálculos numéricos. Desses erros o que mais se constatou em nossa pesquisa foi,

em 46% dos casos, erros decorrentes à falta de atenção na escrita de uma nova

equação.

Avançamos então para o terceiro tópico de nosso estudo que foi o ensino

de problemas envolvendo sistemas do primeiro grau. Realizamos o pré-teste de

problemas envolvendo sistema do 1º grau, com o objetivo de verificar se e como os

alunos resolveriam estes problemas antes das atividades sobre o assunto. Ribeiro

(2001) destaca uma questão que exigia dos alunos a resolução de um sistema de

equações do 1º grau: a solução do sistema �2� − � = 3� + � = 3 �. O pesquisador informa que

o conjunto de alunos que atingiu um padrão de acertos em torno de 49% foi

significativamente superior à média de desempenho em Álgebra de 39%. Uma

hipótese do pesquisador para este resultado é a que considera que, provavelmente,

os alunos resolveram o sistema pela simples substituição dos valores apontados nas

alternativas.

Conforme a pesquisa realizada por Ribeiro (2001) tem-se a seguinte

questão: tenho 100 moedas que dão um total de R$ 60,00. Uma certa quantidade de

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 168

moedas de R$ 1,00 e as restantes são moedas de R$ 0,50. A quantidade de

moedas de R$ 1,00 é? Este item tinha como objetivo verificar se o aluno era capaz

de resolver uma situação – problema por meio de um sistema de equações. O

pesquisador aponta que o índice de acertos foi discrepante em relação ao padrão de

desempenho médio do grupo de alunos: 57%. Esse relativo bom desempenho,

segundo Ribeiro (2001), vem reiterar que em situações cujos contextos são de

interesse dos alunos, estes acabam criando estratégias para resolvê-las, seja

empregando conceitos matemáticos mais formais, seja por estimativa, seja por

tentativa e erro. Sendo assim, a procura de contextos significativos e adequados

deve se constituir em um ponto de reflexão e ação do professor.

Sobre a álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos

tipos de problemas, Santos (2005) explica que nessa concepção, espera-se que o

aluno simplifique, por exemplo, equações chegando a expressões mais reduzidas.

Dessa maneira, segundo a pesquisadora, as variáveis são vistas como incógnitas ou

constantes, ou seja, são valores desconhecidos que por meio da resolução de uma

equação ou de um sistema de equações são descobertos. Para exemplificar, essa

ideia, a pesquisadora utilizou o seguinte problema: “Adicionando 3 ao quíntuplo de

um certo número, a soma é 40. Achar o número”. Discordamos de Santos (2005)

quando salienta que não é difícil traduzir o problema para a linguagem algébrica.

Rocha (2008) informou que o aluno, após trabalhar com equações do 1º

grau e resolução de problemas envolvendo equações do 1º grau, começou a

trabalhar sistema de equações do 1º grau, nesse momento sentiu dificuldade, pois

se trata de um assunto mais amplo pelo fato de que o aluno teria que resolver duas

equações ao mesmo tempo para encontrar dois valores correspondentes a duas

incógnitas. Foi constatado em nossa pesquisa aos docentes sobre as dificuldades

de aprendizagem concernente ao ensino de problemas do 1º grau, que a maior

dificuldade em resolver problemas do 1º grau, está quando este problema

matemático modela-se em um sistema de equações do 1º grau. Com base nisso,

aplicamos o pré-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau. A tabela 24

apresenta os dados referentes aos acertos dos alunos em cada questão,

denominamos de acertos aquelas resoluções que possuíam uma estratégia coerente

e apresentavam respostas satisfatórias.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 169

Tabela 24: Percentual de alunos que acertaram os problemas propostos no pré-teste envolvendo sistemas do 1º grau

Enunciado Percentual de alunos que acertaram cada problema

Num quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 patas. Quantas são as galinhas? E os coelhos? 16%

A soma das idades de José e Maria é 55 anos. A idade de José mais o dobro da idade de Maria é igual a 85 anos. Qual é a idade José? E a

idade de Maria? 8%

Em uma loja, Josias comprou 5 canetas e 3 lápis e gastou R$ 21,00. Mariana, na mesma loja, comprou 3 canetas e 2 lápis e gastou R$

12,90. Qual é o valor da caneta? E do lápis? 5%

A soma de dois números é igual a 14. A diferença entre esses números é igual a dois. Quais são esses números? 13%

O peso de Camila e de seu gato Tico, juntos, é de 32 kg. O peso de Camila é sete vezes o de Tico. Qual o peso de cada um? 11%

A soma de dois números consecutivos pares é igual a 18. Quais são esses números? 19%

A soma de dois números consecutivos ímpares é igual a 12. Quais são esses números? 19%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Apesar dos alunos terem um desempenho de acertos no pré-teste de

problemas envolvendo sistemas do 1º grau melhor do que no pré-teste de problemas

do 1º grau com uma incógnita, ainda consideramos baixo o desempenho.

Relacionamos o gostar de matemática, hábito de estudo e acertos dos alunos.

Quadro 14: Relação entre o gosto pela matemática, o hábito de estudo e a média de acertos dos alunos do 7º ano no pré-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau

Gosto pela Matemática

Média de acertos

Não gosta Pouco Muito

Háb

ito

de

estu

do

Período de prova 1,2 0,25 0,75

Véspera de prova 0,66 0,75 Esse aluno não fez o

teste Fim de semana Não teve aluno 1,0 1,0

Duas vezes por semana 1 1,28 2,5

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Observamos que a maior quantidade de acertos diz respeito aos alunos

que declararam “gostar um pouco de matemática” e estuda duas vezes por semana

fora escola. Na primeira atividade tivemos por objetivo possibilitar aos alunos a

descoberta de um meio algébrico de resolver problemas envolvendo sistema de

equações do 1º grau com o auxílio de uma balança pictórica. As representações

semióticas são relativas a um sistema particular de signos, a linguagem, a escrita

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 170

algébrica ou os gráficos cartesianos que podem ser convertidas em representações

“equivalentes” em outro sistema semiótico, mas podendo tomar “significações”

diferentes para o sujeito que as utiliza. Duval (2009) explica que a noção de

representação semiótica pressupõe a consideração de sistemas semióticos

diferentes e de uma operação cognitiva de conversão das representações de um

sistema semiótico para outro. Essa operação denomina-se “mudança de forma”.

Os registros de representação semióticas constituem os graus de

liberdade de que um sujeito pode dispor para objetivar a si próprio uma ideia ainda

confusa, um sentimento latente, para explorar informações ou simplesmente para

poder comunicá-las a um interlocutor. Duval (2009) aponta que o desenvolvimento

dos conhecimentos e os obstáculos encontrados nas representações fundamentais

relativas ao raciocínio, à compreensão dos textos, à aquisição de tratamentos

lógicos e matemáticos confrontam três fenômenos que aparecem estreitamente

ligados: a diversificação dos registros de representação; a diferenciação entre

representante e representado; e, a coordenação entre os diferentes registros de

representação semiótica disponíveis. Utilizamos nessa atividade o que Duval (2009)

denominou de conversão de registros semióticos. Por meio do dialogo evidenciamos

a conversão da estrutura pictórica para uma representação algébrica dos passos

estratégicos mencionados anteriormente, da seguinte maneira:

1º passo: apresentar o esquema.

� + � = 10 � = � + 2

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 171

2º passo: verificar que a balança do lado direito indica o peso da melancia em

relação ao peso do cacho de banana, com isso podemos inferir que:

2� + 2 = 10 � = � + 2

3º passo: calcular o peso da banana na balança da esquerda.

� = 4 � = � + 2

4º passo: substituir o peso da banana na balança do lado esquerdo.

� = 4 � = 6

5º passo: evidenciar que � = 4 e � = 6.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 172

Acreditamos que os alunos conseguiram calcular as quantidades

desconhecidas utilizando a balança pictórica, e assim compreenderam a resolução

algébrica dos problemas envolvendo sistema de equações do 1º grau. Na segunda

atividade para o ensino de problemas envolvendo sistema do 1º grau tivemos por

objetivo possibilitar aos alunos uma pratica da técnica algébrica de resolução de

problemas de sistema de equações do 1º grau. Solicitamos que formassem dois

grandes grupos conforme a ordem de frequência nominal da turma, assim, dividiu-se

em grupos cuja numeração era 1 a 18 e outro grupo com numeração de 19 a 36.

Andrade (2005) considera que a dinâmica de grupo é uma técnica que

significa colocar um grupo de pessoas em movimento através de jogos, brincadeiras,

exercícios, quando são associadas situações simuladas nas quais os participantes

poderão agir com autenticidade. Acreditamos que os alunos durante a atividade e

com o diálogo compreenderam e treinaram com êxito as técnicas algébricas de

resolução dos problemas envolvendo sistema de equações do 1º grau. Isso pode ser

evidenciado nas seguintes falas dos alunos: “no começo não sabia resolver

nenhuma coisa dessas [problemas] e agora estou arrebentando”; “a gente aprende

conversando e parece que o tempo voa”.

Na terceira atividade procuramos possibilitar aos alunos uma prática da

técnica algébrica de resolução de problemas de sistema do 1º grau escritos em

língua oficial brasileira. Distribuímos a turma em 6 (seis) grupos de 5 (cinco) alunos,

Destacamos que dos 12 (doze) problemas propostos 7 (sete) os alunos resolveram

por estratégia algébrica de resolução. Mas, destacamos uma resolução que

evidencia um excelente esquema de tradução em linguagem matemática. No

problema 2: a soma da idade de André com o dobro da idade de Aldo é 21 anos. A

idade de André menos o dobro da idade de Aldo é igual 5 anos. Quantos anos têm

cada um? O grupo “A” registrou assim:

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 173

!� + 2. !" = 21!� − 2. !" = 5 �

!� + 2. !" = 21 21 − 2. !" − 2. !" = 5

!� = 21 − 2. !" −4. !" = 5 − 21

!� = 21 − 8 −4!" = −16

!� = 13 −4!"

−4 = −16−4

!" = 4

O grupo quando resolveu o problema nos procurou para evidenciar se

estava “certa” a tradução que havia feito, os alunos do grupo reportaram que mesmo

não sendo ensinado esse tipo de tradução em sala optaram por aquela. Explicamos

ao grupo que a tradução era coerente uma vez que fazia sentido e correspondia ao

problema.

No problema 5: Vanessa comprou uma blusa e uma calça e gastou R$

96,00. Sabendo que a calça custa R$ 16,00 a mais que a blusa, determine quanto

Vanessa pagou em cada peça. O grupo “C” representou da seguinte maneira:

� + # = 96# + 16 = ��

� = 96 − # # + 16 = 96 − #

� = 96 − 110 # + # = 96 + 16

� = 4 2# = 112

# = 110

Sobre as resoluções apresentadas para os problemas dessa atividade,

Barcelos (2008) destaca que a preocupação com a linguagem por parte dos

professores não pode restringir-se à correção de erros ortográficos, haja vista a

variedade e especificidade do vocabulário empregado nos textos utilizados pelos

alunos. Ribeiro (2001), com base em Cortés e Kavafian (1999), explica a origem dos

erros na aprendizagem da Álgebra: tarefas envolvendo transformações algébricas

com números/coeficientes negativos; tarefas envolvendo cálculo numérico com

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 174

números negativos; tarefas envolvendo fatoração e redução de termos semelhantes;

tarefas envolvendo o tratamento de produto de fatores; tarefas envolvendo a

passagem dos termos algébricos, de um membro para outro da equação (na

resolução de equações do tipo !� + � = #� + �).

Nesse sentido, Gil (2008) percebeu que o aluno tem uma grande

dificuldade em compreender os procedimentos que fazem parte do estudo algébrico.

Existem erros que se repetem e persistem de um ano para outro. Estes conceitos

que envolvem a Álgebra são enfatizados na 7ª série do ensino fundamental e serão

utilizados até o final do ensino médio. Então, a pesquisadora aponta que é

importante que o aluno consiga apropriar-se deles para que possa aplicá-los nas

mais diversas situações. Acreditamos que os alunos durante a atividade e com o

diálogo compreenderam as técnicas algébricas de resolução dos problemas

envolvendo sistema de equações do 1º grau. Depois desse conjunto de atividade

para o ensino de problemas envolvendo sistema do 1º grau, os alunos realizaram o

pós-teste do mesmo conteúdo. Nosso objetivo era verificar se e como os alunos

resolveriam os problemas do 1º grau com duas incógnitas depois da sequência de

atividades sobre o assunto. Na tabela 25 mostramos o número de acertos de cada

aluno nas questões presentes nos testes sobre problemas envolvendo sistema do 1º

grau.

Tabela 25: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau

(Continua)

Aluno (a)

Percentual de acertos por alunos nos teste de sistema do 1º grau

Pré- teste Pós-teste

Aluno 1 28% 85%

Aluno 2 14% 85%

Aluno 3 14% 71%

Aluno 4 0% 57%

Aluno 5 28% 42%

Aluno 6 0% 28%

Aluno 7 14% 42%

Aluno 8 0% 14%

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 175

Tabela 25: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau

(Conclusão)

Aluno 9 0% 85%

Aluno 10 28% 100%

Aluno 11 0% 42%

Aluno 12 14% 85%

Aluno 13 0% 85%

Aluno 14 0% 42%

Aluno 15 28% 85%

Aluno 16 0% Não fez

Aluno 17 14% 85%

Aluno 18 14% 85%

Aluno 19 14% 71%

Aluno 20 Não fez 42%

Aluno 21 0% 85%

Aluno 22 28% 57%

Aluno 23 14% 71%

Aluno 24 Não fez 57%

Aluno 25 0% 42%

Aluno 26 28% 100%

Aluno 27 14% 85%

Aluno 28 28% 85%

Aluno 29 0% 28%

Aluno 30 14% 85%

Aluno 31 42% 100%

Aluno 32 14% 28%

Aluno 33 28% 85%

Aluno 34 0% 42%

Aluno 35 28% 85%

Aluno 36 42% 100%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 176

A análise da tabela 25 aponta que houve um aumento significativo quanto

ao desempenho dos alunos em resolverem problemas envolvendo sistema do 1º

grau, isso fica mais evidente no gráfico 9 onde comparamos o desempenho dos

alunos nos testes de problemas do 1º grau. Salientamos que os testes dos alunos:

16, 20 e 24 não foram analisados, pois os mesmos não realizaram um dos testes

envolvendo sistemas do 1º grau.

Gráfico 9: Desempenho dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistemas do 1º grau

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Relacionamos a frequência dos alunos nas atividades de problemas

envolvendo sistema do 1º grau e o desempenho dos alunos. Salientamos que f

(falta); p (presença na atividade); A.1 (atividade 1); A.2 (atividade 2) e A.3 (atividade

3).

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 21 22 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Pré-teste de problemasenvolvendo sistema do 1º grau

Pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 177

Tabela 26: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades de problemas envolvendo sistema do 1º grau e desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau

(Continua)

Aluno

Atividades de problemas envolvendo sistema do 1º grau

A.1 A.2 A.3 Percentual de acertos

Aluno 1 P P P 85%

Aluno 2 P P P 85%

Aluno 3 P F P 71%

Aluno 4 P P P 57%

Aluno 5 P F P 42%

Aluno 6 P P F 28%

Aluno 7 P P P 42%

Aluno 8 P P P 14%

Aluno 9 P P P 85%

Aluno 10 F P P 100%

Aluno 11 P P P 42%

Aluno 12 P F P 85%

Aluno 13 P P F 85%

Aluno 14 F P P 42%

Aluno 15 P P P 85%

Aluno 16 P P P Não fez

Aluno 17 P P F 85%

Aluno 18 P P P 85%

Aluno 19 P P P 71%

Aluno 20 P P P 42%

Aluno 21 F P P 85%

Aluno 22 P P F 57%

Aluno 23 P P P 71%

Aluno 24 P F P 57%

Aluno 25 P P P 42%

Aluno 26 P P P 100%

Aluno 27 P P P 85%

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 178

Tabela 26: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades de problemas envolvendo sistema do 1º grau e desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau

(Conclusão)

Aluno 28 F P P 85%

Aluno 29 F P P 28%

Aluno 30 P P P 85%

Aluno 31 P P F 100%

Aluno 32 P P P 28%

Aluno 33 P P P 85%

Aluno 34 P P P 42%

Aluno 35 P P F 85%

Aluno 36 P P P 100%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

O gráfico 10 evidencia uma relação entre o percentual de presença nas

atividades sobre problemas envolvendo sistema do 1º grau e o desempenho dos

alunos no pós-teste do assunto.

Gráfico 10: Relação entre o percentual de presença nas atividades sobre problemas envolvendo sistema do 1º grau e o desempenho dos alunos do 7º ano no pós-teste de assunto

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930313233343536

Percentual de frequência nas atividades de problemas envolvendo sistema do 1º grau

Percentual de acertos no pós-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 179

Observamos que 42,42% compareceram em duas atividades envolvendo

sistema do 1º grau e 57,58% compareceram em todas as atividades deste assunto.

Assim, verificamos o desempenho desses grupos de alunos no pós-teste do assunto

a partir da tabela 27.

Tabela 27: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades envolvendo sistemas do 1º grau e o desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau

Categorias Número de alunos Desempenho de 0% a 49%

Desempenho de 50% a 100%

Compareceu só em duas atividades 14 4 10

Compareceu em todas as atividades 19 5 14

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

A maioria dos alunos participou de todas as atividades envolvendo

sistemas do 1º grau e tiveram assim um desempenho igual ou superior a 50% de

acertos no pós-teste do assunto. A partir do gráfico 10 obtemos duas categorias

conforme a média de 50% de acertos no pós-teste de problemas envolvendo

sistema do 1º grau.

Tabela 28: Relação entre o percentual de acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau, o gostar de matemática e as dificuldades em matemática

Categorias Percentual de

alunos

Percentual de alunos que gostam de matemática

Percentual de alunos que possuem dificuldades em

matemática

Desempenho inferior a 50% no

teste 30,3% 80% 80%

Desempenho igual ou superior a 50%

no teste 69,7% 82,6% 95,65%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos perceber que a maioria dos alunos teve um desempenho de

acertos superior a 50% no teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau,

consideramos esse desempenho como “bom”. Esse fato estaria associado a que os

alunos ao longo do processo estavam sempre realizando e treinado tradução e

resolução de problemas do 1º grau com uma incógnita, e isso pode ter conduzido a

um melhoramento na resolução dos sistemas de equação do 1º grau. O gráfico 11

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 180

compara a média de acertos dos alunos nos testes de problemas envolvendo

sistema do 1º grau.

Gráfico11: Média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos perceber que houve um efeito positivo das atividades sobre o

desempenho dos alunos em resolver problemas envolvendo sistema do 1º grau.

Relacionamos a seguir o perfil dos alunos com o desempenho no pós-teste de

problemas envolvendo sistema do 1º grau.

Quadro 15: Relação entre a média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau, o gostar de matemática e o hábito de estudo

Gosto pela Matemática

Média de acertos

Não gosta Pouco Muito

Háb

ito

de

estu

do

Período de prova 5,4 6,5 4,0

Véspera de prova 5,33 5,25 3

Fim de semana Não teve aluno 4,66 4,5

Duas vezes por semana 3,0 4,57 3,0

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

69%

15%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

Média de acertos no pós-teste de problemas

envolvendo sistema do 1º grau

Média de acertos no pré-teste de problemas

envolvendo sistema do 1º grau

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 181

Observamos que os alunos que gostam pelo menos um pouco de

matemática e que estudam somente em período de prova ou estudam duas vezes

por semana matemática obtiveram melhor desempenho no pós-teste de problemas

envolvendo sistemas do 1º grau. O gráfico 12 compara o desempenho dos alunos no

referido teste e o perfil dos alunos.

Gráfico 12: Relação entre a média de acertos dos alunos do 7º ano nos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau e perfil dos alunos

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos perceber que em todos os perfis houve aumento de

desempenho quando comparamos a média dos resultados dos testes sobre

problemas envolvendo sistemas do 1º grau. Os meninos conseguiram um aumento

de 51%; meninas, 57%; gostam de matemática, 53%; não gostam de matemática,

54%; tem dificuldades em matemática, 43%; não tem dificuldades em matemática,

65%. Assim, o perfil de aluno que mais teve aumento de desempenho foi o seguinte:

meninas que gostam de matemática e não tem dificuldade em matemática.

Podemos perceber pela análise do gráfico 12 que houve um aumento significativo

quanto ao desempenho dos alunos após a aplicação das atividades. O quadro 16

aponta os principais registros de resoluções ocorridos durante as tentativas de

resoluções dos testes de problemas envolvendo sistema do 1º grau.

19%

11%18%

12%

26%

4%

70% 68%71%

66%69% 69%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Meninos Meninas Gosta de

matemática

Não gosta de

matemática

Tem

dificuldades

em matemática

Não tem

dificuldades

em matemática

Pré - teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau

Pós-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 182

Quadro 16: Tipos de registros identificados nos testes de problemas de sistema do 1º grau

APENAS

TRADUZIU O

ENUNCIADO EM

LINGUAGEM

MATEMÁTICA.

TRADUZIU O

ENUNCIADO EM

LINGUAGEM

MATEMÁTICA E

UTILIZOU A

TÉCNICA DE

RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS

POR TENTATIVA

E ERRO.

TRADUZIU O

ENUNCIADO EM

LINGUAGEM

MATEMÁTICA E

APONTOU

DIRETA A

RESPOSTA.

TRADUZIU O

ENUNCIADO EM

LINGUAGEM

MATEMÁTICA

UTILIZOU

TÉCNICAS

ALGÉBRICAS DE

RESOLUÇÃO

NÃO TRADUZIU

O ENUNCIADO

EM LINGUAGEM

MATEMÁTICA E

UTILIZOU O

PICTÓRICO

PARA

RESOLVER OS

PROBLEMAS

NÃO TRADUZIU

O ENUNCIADO

EM LINGUAGEM

MATEMÁTICA E

UTILIZOU A

TÉCNICA POR

TENTATIVA E

ERRO.

INFORMOU APENAS

O VALOR

DESCONHECIDO

Q.1 2 alunos 1 alunos 3 alunos 23 alunos 2 alunos 3 alunos 2 alunos

Q.2 3 alunos 2 alunos 2 alunos 23 alunos 1 alunos 3 alunos 2 alunos

Q.3 2 alunos 2 alunos 3 alunos 22 alunos 2 alunos 3 alunos 2 alunos

Q.4 3 alunos 1 alunos 2 alunos 24 alunos 1 alunos 3 alunos 2 alunos

Q.5 2 alunos 3 alunos 2 alunos 23 alunos 3 alunos 1 alunos 2 alunos

Q.6 3 alunos 2 alunos 2 alunos 24 alunos 1 alunos 3 alunos 1 alunos

Q.7 1 alunos 2 alunos 4 alunos 24 alunos 1 alunos 1 alunos 3 alunos

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 183

Constatamos que os alunos com o desenvolver das atividades e conforme

os dados dos testes foram utilizando cada vez mais a técnica algébrica de resolução

de problemas do 1º grau. Identificamos que 30,3% não tiveram bom desempenho no

pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita, ou seja, tiveram um

percentual abaixo de 50% de acertos no pós-teste de problemas envolvendo

sistemas do 1º grau. Assim, investigamos o perfil desses alunos.

Tabela 29: Perfil dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistemas do 1º grau

Identificação do aluno Percentual de frequência na

atividade de problemas envolvendo sistemas

Percentual de acertos nos testes do assunto

Pré-teste Pós-teste

5 66% 28% 42%

6 66% 0% 28%

7 100% 14% 42%

8 100% 0% 14%

11 100% 0% 42%

14 66% 0% 42%

25 100% 0% 42%

29 66% 0% 28%

32 100% 14% 28%

34 100% 0% 42%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010)

Observamos pela análise da tabela 29 que desses 10(dez) alunos, 60%

compareceram em todas as atividades e 40% tiveram apenas uma falta. Destaca-se

ainda que 70% tiveram nenhum acerto no pré-teste desse assunto e que também

60% conseguiram resolver três problemas no pós-teste. Assim, esses alunos

compareceram nas atividades, porém não conseguiram melhorar de forma

significativa seu desempenho. Ainda investigamos o gostar de matemática e o que

esses alunos declararam sobre dificuldades em matemática.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 184

Tabela 30: Relação entre o gostar de matemática e as dificuldades em matemática dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau

Identificação do aluno Gosta pelo menos um pouco

de matemática Possui dificuldade em

matemática

5 Sim Não

6 Não Sim

7 Sim Sim

8 Não Sim

11 Sim Sim

14 Não Sim

25 Sim Sim

29 Sim Sim

32 Não Sim

34 Não Sim

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos perceber que 50% declararam gostar de matemática e os

outros 50% não gostam de matemática, e ainda somente um aluno apontou não ter

alguma dificuldade em matemática, ou seja, 90% desses alunos têm dificuldades em

matemática. Então se destaca que a maioria dos alunos que tiveram um rendimento

inferior a 50% no pós-teste possuía dificuldade na aprendizagem dessa disciplina

escolar. Ainda investigamos a quantidade de vezes que esses alunos estudam

matemática fora do ambiente escolar e se recebiam ajuda para isso.

Quadro 17: Relação entre o hábito de estudo dos alunos do 7º ano com baixo desempenho no pós-teste de problemas envolvendo sistema do 1º grau e se recebiam ajuda

Identificação do aluno Hábito de estudo Quem auxilia

5 Duas vezes por semana Ninguém

6 Véspera de prova Ninguém

7 Só no período de prova Ninguém

8 Só no período de prova Irmão

11 Só no período de prova Irmão

14 Duas vezes por semana Pai

25 Só no período de prova Ninguém

29 Só no período de prova Ninguém

32 Só no fim de semana Mãe

34 Duas vezes por semana Ninguém

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 185

Podemos concluir que o perfil dos alunos com baixo rendimento é o

seguinte: possui dificuldades em matemática; estuda só na véspera de prova e não

recebe ajuda em atividades extraclasse. O hábito de estudar só na véspera de prova

se identificou tanto em tradução como em problemas do 1º grau com uma incógnita

entre aqueles que tiveram um baixo desempenho. Acreditamos que esse perfil tenha

sido novamente um fator de complicação para estes alunos uma vez que não

sabiam quando ocorreriam os testes e assim não se preocupavam em estudar o

conteúdo. O quadro 18 identifica os alunos que tiveram um baixo desempenho nos

pós-teste de tradução, de problemas envolvendo uma incógnita e de problemas

envolvendo sistemas do 1º grau.

Quadro 18: Alunos do 7º ano com baixo desempenho nos pós-testes realizado no experimento

Identificação dos alunos

Pós-teste de tradução

Pós-teste de problemas com uma incógnita

Pós – teste de problemas com duas incógnitas

Mais de um pós teste

4 Sim Sim Não Sim (1º/2º)

5 Não Sim Sim Sim (2º/3º)

6 Não Sim Sim Sim (2º/3º)

7 Sim Sim Sim Sim (todos)

8 Sim Não Sim Sim (1º/3º)

11 Sim Sim Sim Sim (todos)

14 Não Sim Sim Sim (2º/3º)

23 Sim Sim Não Sim (1º/2º)

25 Sim Sim Sim Sim (todos)

29 Sim Sim Sim Sim (todos)

32 Sim Sim Sim Sim (todos)

33 Sim Não Não Não

34 Sim Sim Sim Sim (todos)

Percentual de alunos 76,92% 84,62% 76,92% 92,31%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Identificamos então que 13 (treze) alunos pelos menos em um pós-teste

específico obtiveram menos de 50% de acertos. O maior percentual de baixo

desempenho nesses pós-testes se encontra em problemas do 1º grau com uma

incógnita. Salientamos que nas análises prévias uma das dificuldades de

aprendizagem mais destacada pelos professores foram os problemas envolvendo

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 186

sistema, mas neste momento o baixo desempenho esteve voltado a outro tópico.

Evidencia-se ainda que dos 12 (doze) alunos que obtiveram baixo desempenho de

acertos em mais de um pós-teste específico, 75% obtiveram um baixo desempenho

de acertos no pós-teste de tradução em linguagem matemática. Assim, podemos

admitir que se o aluno não entende a tradução para a linguagem matemática dos

enunciados, em geral, não compreenderá ou resolverá os problemas do 1º grau. No

último encontro os alunos realizaram o pós-teste geral. O objetivo era verificar se e

como os alunos resolveriam problemas do 1º grau depois da sequência de

atividades sobre o assunto. A tabela 31 mostra o desempenho de cada aluno nos

pós-testes desenvolvidos.

Tabela 31: Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes (Continua)

Aluno (a)

Percentual de acerto dos alunos nos pós-teste desenvolvidos durante o experimento

Tradução (%)

Equação do 1º grau (%)

Sistema do 1º grau

(%)

Geral (%)

Aluno 1 85 71 85 50

Aluno 2 78 85 85 70

Aluno 3 85 71 71 70

Aluno 4 35 28 57 30

Aluno 5 71 28 42 Não fez

Aluno 6 57 14 28 50

Aluno 7 28 28 42 20

Aluno 8 14 Não fez 14 Não fez

Aluno 9 100 100 85 80

Aluno 10 100 100 100 70

Aluno 11 14 28 42 10

Aluno 12 92 51 85 80

Aluno 13 57 85 85 50

Aluno 14 50 28 42 70

Aluno 15 100 85 85 70

Aluno 16 Não fez Não fez Não fez 40

Aluno 17 92 85 85 10

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 187

Tabela 31: Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes (Conclusão)

Aluno 18 92 71 85 90

Aluno 19 50 71 71 50

Aluno 20 Não fez 14 42 10

Aluno 21 71 51 85 60

Aluno 22 64 51 57 50

Aluno 23 21 42 71 30

Aluno 24 21 42 57 10

Aluno 25 14 28 42 10

Aluno 26 71 100 100 10

Aluno 27 78 71 85 70

Aluno 28 64 85 85 60

Aluno 29 14 14 28 10

Aluno 30 92 85 85 60

Aluno 31 92 100 100 70

Aluno 32 21 28 28 30

Aluno 33 28 71 85 90

Aluno 34 14 28 42 Não fez

Aluno 35 78 85 85 80

Aluno 36 92 100 100 70

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Os alunos: 5, 8, 16, 20, 34 não tiveram seus resultados analisados, pois

deixaram de realizar algum dos pós-testes aplicados durante a experimentação. O

gráfico 13 evidencia o desempenhos de cada aluno envolvido no experimento no

pós-teste de tradução; no pós-teste de problemas do 1º grau com uma incógnita; no

pós-teste de problemas do 1º grau com duas incógnitas; e no pós-teste geral.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 188

Gráfico 13: Desempenho dos alunos do 7º ano nos pós-testes

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1 2 3 4 6 7 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 35 36

pós-teste tradução pós-teste de problemas com uma incógnita pós-teste de problemas envolvendo sistemas pós-teste geral

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 189

Temos então que 16,13% da turma obtiveram um desempenho inferior a

50% de acertos em todos os pós-testes aplicados após as atividades. Ainda, 19,35%

da turma acertaram todas as questões em pelo menos um pós-teste. Sobre o pós-

teste geral temos que 32,26% dos alunos tiveram um baixo desempenho. O perfil

dos alunos que tiveram um desempenho inferior a 50% nos pós-testes aplicados

aponta que esses alunos declararam “não gostar de matemática” e que ter um

pouco de dificuldade em matemática. Porém, o perfil dos alunos que tiveram um

desempenho igual ou superior a 50% em todos os pós-testes realizados destacam-

se os alunos que “gostam de matemática” e possui como no grupo anterior, uma

dificuldade em matemática. Também relacionamos o desempenho dos alunos nos

pós-testes com a frequência nas atividades.

Tabela 32: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades e desempenho nos pós-testes

(Continua)

Aluno

Frequência dos alunos em cada sessão de atividade

Percentual de acertos dos alunos nos pós-testes

1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º Tradução

Equação do 1º grau

Sistema do 1º grau

Geral

1 P P P P P P P P P 85% 71% 85% 50%

2 P P P P F P P P P 78% 85% 85% 70%

3 P P F P P P P F P 85% 71% 71% 70%

4 P P P P P P P P P 35% 28% 57% 30%

5 P P P P F P P F P 71% 28% 42% NF

6 P P P P P P P P F 57% 14% 28% 50%

7 F P P F P P P P P 28% 28% 42% 20%

8 P P P P P F P P P 14% NF 14% NF

9 P P P P P P P P P 100% 100% 85% 80%

10 F P P F P P F P P 100% 100% 100% 70%

11 P P P P P F P P P 14% 28% 42% 10%

12 F P P F P P P F P 92% 51% 85% 80%

13 P P F P P F P P F 57% 85% 85% 50%

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 190

Tabela 32: Relação entre a frequência dos alunos do 7º ano nas atividades e desempenho nos pós-testes

(Conclusão)

14 P P P P P P F P P 50% 28% 42% 70%

15 P P P P F P P P P 100% 85% 85% 70%

16 P P P P P P P P P NF NF NF 40%

17 P P P P P P P P F 92% 85% 85% 10%

18 P P P P P P P P P 92% 71% 85% 90%

19 F P P P P P P P P 50% 71% 71% 50%

20 P P P P P P P P P NF 14% 42% 10%

21 P P P P P P F P P 71% 51% 85% 60%

22 P P P P P P P P F 64% 51% 57% 50%

23 P P F P P P P P P 21% 42% 71% 30%

24 P P P P F P P F P 21% 42% 57% 10%

25 P P P P P P P P P 14% 28% 42% 10%

26 P P P P P P P P P 71% 100% 100% 100%

27 P P P P P P P P P 78% 71% 85% 70%

28 P P P F P P F P P 64% 85% 85% 60%

29 F P P F P P F P P 14% 14% 28% 10%

30 P P P P P P P P P 92% 85% 85% 60%

31 P P P P P P P P F 92% 100% 100% 70%

32 P P P P P P P P P 21% 28% 28% 30%

33 P P F P P F P P P 28% 71% 85% 90%

34 P P P P P P P P P 14% 28% 42% NF

35 P P P P P F P P F 78% 85% 85% 80%

36 P P P P P P P P P 92% 100% 100% 70%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Identificamos que 32,29% dos alunos frequentaram todas as sessões que

envolviam atividades, desses alunos temos que apenas o aluno 25 teve um

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 191

desempenho inferior a 50% de acertos em todos os pós-testes. À medida que 80%

dos alunos que frequentaram todas as atividades tiveram um desempenho igual ou

superior a 50% de acertos em todos os pós-testes, então acreditamos que as

atividades influenciaram positivamente no desempenho de acertos dos alunos nos

pós-testes aplicados.

Ainda, dos 31 (trinta e um) alunos analisados, 35,48% faltaram em

apenas uma atividade. Desses alunos, 63,64% tiveram um desempenho igual ou

superior a 50% de acertos em todos os pós-testes; 18,18% tiveram um desempenho

igual ou superior a 50% de acertos em dois pós-testes; e 18,18% tiveram um

desempenho igual ou superior a 50% de acertos em apenas um dos pós-testes. Ou

seja, a maioria dos que faltaram apenas uma atividade também teve um bom

desempenho de acertos nos pós-testes realizados.

Observamos que 19,35% dos alunos analisados faltaram em duas

atividades. Desses alunos, 50% tiveram um desempenho igual ou superior a 50% de

acertos em todos os pós-testes; e o mesmo percentual de 16,66% teve um

desempenho igual ou superior a 50% de acertos em nenhum, um ou dois pós-testes.

Assim, a maioria dos que faltaram duas atividades também teve um bom

desempenho de acertos nos pós-testes realizados.

Temos também que 12,88% dos alunos cujo desempenho foi analisado

faltaram em três atividades. Desses alunos, 75% tiveram um desempenho igual ou

superior a 50% de acertos em todos os pós-testes e 25% teve um desempenho

inferior a 50% de acertos em todos os pós-testes. Ou seja, a maioria dos que

faltaram três atividades também teve um bom desempenho de acertos nos pós-

testes realizados.

Ainda percebemos pela análise da tabela 32 as seguintes relações entre

o desempenho na tradução de sentenças e o desempenho geral: o desempenho

geral na maioria das vezes é menor que o desempenho na tradução e que quanto

maior é o desempenho na tradução maior será o desempenho no teste geral. Então

concluímos que se o aluno não sabe traduzir coerentemente um enunciado para

linguagem matemática, este terá muitas dificuldades em resolver os problemas do 1º

grau. O gráfico 14 evidencia a relação apresentada.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 192

Gráfico 14: Relação entre o percentual de acerto dos alunos do 7º ano no pós-teste de tradução e o percentual de acertos no pós-teste geral

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Observa-se pelo gráfico que as linhas de tendências dos percentuais de

acertos nos pós-teste de tradução e geral se aproximam, evidenciando uma relação

entre o desempenho dos alunos nos pós-testes já mencionados. A tabela 33

apresenta os dados referentes aos acertos dos alunos em cada questão.

Tabela 33: Relação entre o percentual de alunos que acertaram os problemas do pós-teste geral e o percentual de alunos que utilizaram as técnicas para resolução destes problemas

(Continua)

Enunciado das questões Percentual de alunos que

acertaram

Percentual de alunos que utilizaram as técnicas para resolução dos problemas

Um número mais vinte e um é igual a sessenta e quatro. Qual

é esse número? 66%

• 16% informaram somente a resposta;

• 29% resolveram por tentativa e erro;

• 55% resolveram utilizando técnicas algébricas

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 1415 16 1718 19 2021 22 2324 25 26 2728 29 3031 32 3334 35 36

Percentual de acerto no pós-teste de tradução Percentual de acerto no pós-teste geral

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 193

Tabela 33: Relação entre o percentual de alunos que acertaram os problemas do pós-teste geral e o percentual de alunos que utilizaram as técnicas para resolução destes problemas

(Continua)

Um número menos quarenta e cinco é igual a setenta e cinco.

Que número é esse? 58%

• 23% informaram somente a resposta;

• 9% resolveram por tentativa e erro;

• 68% resolveram utilizando técnicas algébricas

A metade de um número mais quatro é igual a seis. Qual é

esse número? 44%

• 20% informaram somente a resposta;

• 40% resolveram por tentativa e erro;

• 40% alunos resolveram utilizando técnicas

algébricas

O dobro de um número, menos sete, é igual a trinta e cinco.

Que número é esse? 38%

• 14% informaram somente a resposta;

• 35% resolveram por tentativa e erro;

• 51% resolveram utilizando técnicas algébricas

A soma de dois números é 8 e a diferença é 4. Que números são

esses? 33%

• 16% informaram somente a resposta;

• 50% resolveram por tentativa e erro;

• 34% resolveram utilizando técnicas algébricas

Pensei em um número, depois somei este número com

cinquenta e dois e dividi o resultado por dois, e assim

obtive quarenta e quatro. Qual foi o número pensado?

47%

• 35% informaram somente a resposta;

• 41% resolveram por tentativa e erro;

• 24% alunos resolveram utilizando técnicas

algébricas

Em um quintal há galinhas e coelhos, num total de 13

animais e 46 pés. Qual é a quantidade de galinhas? E a

quantidade de coelhos?

55%

• 15% informaram somente a resposta;

• 20% resolveram por tentativa e erro;

• 65% resolveram utilizando técnicas algébricas

Em um torneio de perguntas e respostas, a pontuação é dada

de acordo com o seguinte: Uma equipe, depois de

responder 20 perguntas, ficou com 80 pontos. Quantas foram as respostas certas? E quantas

foram as respostas erradas?

Questões Certa Errada

Ganha 10 pontos

perde 5 pontos 36%

• 23% informaram somente a resposta;

• 38% resolveram por tentativa e erro;

• 39% resolveram utilizando técnicas algébricas

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 194

Tabela 33: Relação entre o percentual de alunos que acertaram os problemas do pós-teste geral e o percentual de alunos que utilizaram as técnicas para resolução destes problemas

(Conclusão)

A soma de dois números pares consecutivos é 18. Quais são

esses números? 63%

• 43% informaram somente a resposta;

• 30% resolveram por tentativa e erro;

• 27% resolveram utilizando técnicas algébricas

A soma de dois números ímpares consecutivos é 8. Quais são esses números?

58%

• 52% informaram somente a resposta;

• 33% resolveram por tentativa e erro;

• 15% resolveram utilizando técnicas algébricas

FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2010).

Temos assim, que a maioria das resoluções os alunos utilizaram alguma

técnica algébrica. Mas, uma parte considerável dos alunos ainda utilizou tentativa e

erro. Ainda, 60% dos problemas propostos, a maioria dos alunos acertou utilizando

técnicas algébricas. Na tabela 34 mostramos o número de acertos de cada aluno ou

aluna nas questões do pré e pós-testes geral. Ainda nessa tabela consta o número

de faltas de cada aluno ou aluna.

Tabela 34: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes gerais (Continua)

Aluno (a) Percentual de acertos dos alunos nos testes gerais

Pré- teste Pós-teste

Aluno 1 20% 50%

Aluno 2 10% 70%

Aluno 3 10% 70%

Aluno 4 20% 30%

Aluno 5 10% Não fez

Aluno 6 20% 50%

Aluno 7 20% 20%

Aluno 8 10% Não fez

Aluno 9 20% 80%

Aluno 10 10% 70%

Aluno 11 10% 10%

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 195

Tabela 34: Comparação do desempenho dos alunos do 7º ano nos testes gerais (Continua)

Aluno 12 10% 80%

Aluno 13 10% 50%

Aluno 14 30% 70%

Aluno 15 10% 70%

Aluno 16 30% 40%

Aluno 17 0% 100%

Aluno 18 0% 90%

Aluno 19 10% 50%

Aluno 20 Não fez 10%

Aluno 21 0% 60%

Aluno 22 0% 50%

Aluno 23 0% 30%

Aluno 24 Não fez 10%

Aluno 25 0% 10%

Aluno 26 20% 100%

Aluno 27 10% 70%

Aluno 28 10% 60%

Aluno 29 10% 10%

Aluno 30 0% 60%

Aluno 31 10% 70%

Aluno 32 10% 30%

Aluno 33 0% 90%

Aluno 34 30% Não fez

Aluno 35 0% 80%

Aluno 36 10% 70%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

O gráfico 15 compara o desempenho dos alunos nos testes gerais.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 196

Gráfico 15: Desempenho dos alunos do 7º ano no pós-teste geral

FONTE: pesquisa de campo (Setembro/2010).

A partir da análise do gráfico15 podemos obter duas categorias conforme

a média de 50% de acertos no pós-teste geral.

Tabela 35: Relação entre o gostar de matemática, as dificuldades em matemática e os acertos dos alunos do 7º ano no pós-teste geral

Categorias Número de

alunos Alunos que gostam

de matemática

Alunos que possuem dificuldades em

matemática

Desempenho inferior a 50% no

teste 27% 60% 90%

Desempenho igual ou superior a 50%

no teste 63% 86% 82%

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Podemos perceber que 63% dos alunos tiveram um desempenho de

acertos superior a 50% no pós-teste geral, quando foram solicitados que

resolvessem os problemas do 1º grau. O gráfico 16 evidencia a média de acertos

dos alunos nos pós-testes realizados durante o experimento.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 6 7 9 10111213141516171819 212223 252627282930313233 3536

Pré-teste geral Pós-teste geral

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades 197

Gráfico 16: Percentual médio de acerto dos alunos do 7º ano nos testes

FONTE: pesquisa de campo (setembro/2010).

Os resultados mostram que antes da sequência de atividade sobre

tradução ou problemas do 1º grau os alunos tiveram um desempenho de acertos

considerado baixo. Com o conjunto de atividade de cada tópico os alunos, conforme

a análise dos dados coletados nos pós-testes e pelas nossas observações em sala

de aula, aumentaram significativamente de desempenho de acertos nos testes

realizados após as atividades de cada assunto. A seguir tercemos as considerações

finais de nosso estudo.

1%

8%

15%10%

61% 62%

69%

58%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Tradução Problemas com uma

incógnita

Problemas com duas

incógnitas

Geral

Pré-teste Pós-teste

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 198

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esta pesquisa teve por objetivo investigar os efeitos de um conjunto de

atividades sobre o desempenho em resolução de problemas do 1º grau no 7º ano do

ensino fundamental. Com o intuito de diagnosticar os conhecimentos prévios dos

alunos sobre resolução de problemas do 1º grau, aplicamos um teste diagnóstico, no

qual propusemos 10 (dez) problemas envolvendo equações do 1º grau. Com a

análise dos testes realizados e os resultados das pesquisas correlatas, que

apontaram os erros e os obstáculos que interferem na aprendizagem dos alunos

pertinente ao assunto, levantamos a seguinte questão de pesquisa: quais os efeitos

de um conjunto de atividades sobre o desempenho em resolução de problemas do

1º grau no 7º ano do ensino fundamental?

Nossa intenção era que o aluno compreendesse primeiro a tradução da

língua oficial para linguagem matemática, e em seguida, descobrisse estratégias

algébricas de resolução de problemas do 1º grau. Na realização das atividades

percebemos alguns momentos de reclamações e outros de entusiasmo por parte

dos alunos. Apesar de momentos de reclamações, sempre por meio do diálogo, os

alunos compreendiam a importância das atividades e pareciam confiar em nossa

intenção didática.

As atividades com jogos foram muito ricas, já que proporcionaram aos

alunos desenvolver tanto a habilidade de tradução em linguagem matemática como

também a execução das resoluções algébricas de equações do 1º grau com uma

incógnita. Essas atividades também proporcionaram que os alunos trabalhassem

juntos, ajudando-se mutuamente. Mesmo tendo interesse de vencer os jogos os

alunos auxiliavam os colegas que apresentam alguma dificuldade.

Em se tratando do processo de resolução de problemas do 1º grau, as

análises prévias evidenciaram que os alunos podem desrespeitar equivocadamente

algumas propriedades da matemática, nesse meandro os erros podem emergir na

escrita da equação e na identificação da incógnita, principalmente quando o

problema se apresenta em língua oficial. Constatamos que os alunos egressos do 7º

ano, na sua maioria, não sabem resolver problemas do 1º grau e dos poucos alunos

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 199

que conseguem êxito na resolução deste tipo de problema não utilizam técnica

algébrica de resolução ensinada no 7º ano do ensino fundamental.

Na realização das atividades do experimento, alguns alunos conseguiram

com autonomia desenvolver técnicas algébricas de resolução de problemas do 1º

grau. Outros, porém, necessitavam de nossa orientação para consolidar o

conhecimento que estava sendo construído. O interesse dos alunos em participar de

forma ativa das atividades foi um fator fundamental no processo de realização do

experimento, principalmente, na fase de orientação das atividades, de formalização

e institucionalização do conteúdo que estava sendo estudado.

Quanto à viabilidade da sequência didática, a análise a posteriori

evidenciou que antes das atividades os alunos não conseguiam resolver os

problemas do 1º grau, mas depois das atividades, em geral, os alunos conseguiram

resolver estes problemas. Isso pode ser constatado pelo desenvolvimento dos

alunos durante as aplicações das atividades e dos resultados dos pós-testes. Então

podemos assinalar que essa metodologia de ensino trouxe aos alunos envolvidos no

experimento contribuição para o processo de ensino-aprendizagem, pois no inicio

das atividades os aluno tiveram dificuldades em resolver problemas do 1º grau,

porém, no decorrer dos encontros do experimento essas dificuldades foram

superadas.

Entendemos que os resultados poderiam ser melhores, e nossa pesquisa

teve dois pontos de limitação: não apresentamos nenhum teste comparativo sobre o

desempenho dos alunos em resolver equação do 1º grau e sistema do 1º grau,

portanto não tivemos como evidenciar o desempenho dos alunos nesses tópicos

específicos. Outra limitação foi que durante as atividades de tradução evidenciamos

de maneira excessiva apenas uma técnica de tradução ou modelização dos

enunciados apresentado em língua oficial.

Os alunos ficaram “bons” em algumas técnicas de tradução de língua

oficial para linguagem matemática. Isso proporcionou que em seguida viessem a se

concentrar em aprender as técnicas algébricas de resolução de problemas do 1º

grau. Não temos como afirmar com precisão se os alunos aprenderam as técnicas

algébricas, mas podemos sugerir que eles conseguiram resolver problemas do 1º

grau independente das técnicas utilizadas. Lembramos que como professor de

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 200

matemática da educação básica sempre nos angustiou o fato de que os alunos não

conseguiam resolver, em sua maioria, os problemas relativos às equações do 1º

grau. Nesse sentido, reconhecemos que tínhamos muitas dificuldades no ensino

destes problemas e isso sempre nos incomodou.

O estudo no âmbito desse Programa de Pós-graduação em nível de

mestrado em Educação proporcionou a nossa formação quanto

professor/pesquisador, incorporar à prática curricular a pesquisa e a produção de

conhecimentos acerca da realidade regional, particularmente da educação

matemática, em alguns de seus diversos ângulos e relações. Ampliamos nosso

entendimento sobre o significado de ser pesquisador na área da educação

matemática. Conhecemos e desenvolvemos pesquisas capazes de fazer avançar os

conhecimentos de diversos aspectos que interferem no ensino/aprendizagem da

matemática.

No decorrer desse estudo um questionamento se manifestou: se

déssemos mais ênfase no ensino de técnicas de tradução em linguagem

matemática, em qualquer nível de ensino, o conteúdo de matemática dos anos

escolares seria mais bem compreendido pelos alunos? Entendemos que ensinar

técnicas de tradução, não daria conta sozinha de solucionar as dificuldades do

ensino-aprendizagem em matemática. Mas, seria um amenizador. Pois, verificamos

nas análises prévias que, em geral, os alunos de qualquer nível de ensino não

sabem ou tem muitas dificuldades em operar essa tradução. Esperamos que esse

estudo possa colaborar na prática e na formação dos professores, uma vez que no

desenvolvimento desse estudo sentimos os efeitos positivos que o mesmo causou

em nossa prática como docente e na nossa relação com o saber em questão.

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 201

REFERÊNCIAS

ALMOULOUD, S. A. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Ed. UFPR, 2007.

ANDRADE, V. L. V. X. de. Avaliação dos efeitos de uma seqüência didática na concepção de ensino-aprendizagem e na construção do conceito de homotetia em licenciandos de Matemática. 2005. 149f. Dissertação (Mestrado em Ensino das Ciências) - Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2005.

ANDRADE, J. A. A. et al. Alguns modos de ver e conceber a resolução de problemas no ensino de matemática. In: X ENEM - Encontro Nacional de Educação Matemática, 2010, Salvador. Anais do X ENEM, 2010.

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GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 206

APÊNDICE A – questionário dos professores

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO Caro(a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir para superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo este questionário, é de grande importância para o bom êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho QUESTÕES 1- Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) Data _______ 2- Faixa Etária: ( ) 15-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) 66-70 anos. 3 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações) ( )Ensino Superior.___________________Ano da Conclusão: ________Instituição: ( ) Especialização. ___________________Ano da Conclusão: ________ Instituição: ( ) Mestrado.________________________Ano da Conclusão: ________ Instituição: ( ) Doutorado._______________________Ano da Conclusão: ________ Instituição: 4 - Tempo de serviço como professor de matemática? ( )Menos de um ano ( )1-5 anos ( ) 6-10 anos ( )11-15 anos( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 ( ) Mais de 35 anos 5 - Série (s) em que está lecionando atualmente? No ensino fundamental: __________________________ No ensino Médio: ______________________________ 6- Quais as séries que você já lecionou matemática? No ensino fundamental: __________________________ No ensino Médio: ______________________________ 7 - Tipo de escola que trabalha atualmente: ( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal ( ) Publica Federal ( ) Privada ( ) Outra. Qual? 8- Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina sobre o ensino de problemas do 1º grau? ( ) Não ( ) Sim , qual? 9- Durante sua atuação como professor de matemática você já fez algum curso ou participou de evento que abordou o ensino de problemas do 1º grau? ( ) Não ( ) Sim , qual? 10- Quando você ensina problemas do 1º grau, a maioria das aulas começa: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto ( ) com um experimento para chegar ao conceito ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos 11- Para fixar o conteúdo de problemas do 1º grau você costuma: ( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos ( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 207 ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático ( ) Não propõe questões de fixação ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver 12 - Preencha o quadro abaixo com base na sua experiência de professor(a) .

Assunto Grau de dificuldade para os alunos aprenderem

Muito fácil Fácil Regular Difícil Muito difícil

Linguagem matemática Tradução de problemas para linguagem matemática.

Equação do tipo x + a = b, com a,b>0 Equação do tipo x – a = b, com a,b>0 Equação do tipo x + a = -b, com a,b>0

Equação do tipo x – a = -b, com a,b>0

Equação do tipo a.x = b, com a,b>0 Equação do tipo a.x = -b, com a,b>0 Equação do tipo –a.x = b, com a,b>0 Equação do tipo –a.x = -b, com a,b>0 Equação do tipo x ÷ a = b, com a,b>0 Equação do tipo x ÷ a = -b, com a,b>0

Equação do tipo x÷(-a) = b, com a,b>0

Equação do tipo x÷(-a) = -b, com a,b>0

Equação do tipo a.x + b = c, com a,b>0

Equação do tipo a.x – b = c, com a,b>0

Equação do tipo a.x + b = -c, com a,b>0

Equação do tipo a.x – b = -c, com a,b>0

Equação do tipo –a.x + b = c, com a,b>0

Equação do tipo –a.x – b = c, com a,b>0

Equação do tipo –a.x – b =-c, com a,b>0

Sistemas do tipo ax +by =c e y = dx Sistemas do tipo ax +by =c e y = x+f Sistemas do tipo ax +by =c e y = dx+f Sistemas do tipo ax +by =c e dx+ey =h

Problemas envolvendo uma variável Problemas envolvendo duas variáveis 13- Você já realizou o ensino de linguagem matemática por meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim 14-Você já realizou equações do 1º grau por meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 208 15-Você já realizou o ensino de problemas do 1º grau por meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim 16-Você já realizou o ensino de sistemas de equações do 1º grau por meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 209

APÊNDICE B – Questionário dos alunos egressos

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO - MESTRADO Prezado(a) aluno (a),

Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

Muito obrigada! 1- Nome completo:__________________________________________________________

2-Idade: _______________

3- Sexo: _________________

4- Quem é o seu responsável masculino?

( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( )Não tenho ( )Outro. Quem?_________

5- Quem é a sua responsável feminina?

( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( )Não tenho ( )Outra. Quem? __________

6- Até que série estudou o seu responsável masculino? ______________

E o seu responsável feminino? ______________

7- Seu responsável masculino trabalha? ________________

E seu responsável feminino, trabalha? ________________

8- Quantas pessoas a partir de 16 anos moram na sua casa? ________

E com menos de 16 anos? __________________

9- Você estudou a 6ª série em que tipo de escola:

( )Estadual ( )Municipal ( )Particular ( )Outra. Qual?__________

10- A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora? ( ) Sim ( ) Não

11- Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes

12- Você faz algum curso?

( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Outro. Qual? __________________

13- Você pratica algum esporte? ( ) Sim. Qual? _____________________ ( ) Não

14- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito ( )

15- Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 210

16-Você têm dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito

17- Você se distrai nas aulas de matemática?

( )Não, eu sempre presto atenção

( )Sim, eu não consigo prestar atenção

( )Às vezes, quando a aula está chata

18- Você costuma estudar matemática fora da escola.

( ) Só no período de prova

( ) Só na véspera da prova

( ) Só nos fins de semana

( )Todo dia

( ) Alguns dias da semana. Quantos? ____________________________

19- Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?

( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros.

Quem? ________

20- Suas notas em matemática geralmente são: ( ) Acima de 5 ( ) Igual a 5 ( ) Abaixo de 5

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 211

APÊNDICE C - BARALHO DE TRADUÇÃO EM LINGUAGEM MATEMÁTICA

Um número mais dois é igual a vinte.

X + 2 = 20

Um número menos três é igual a oito

Y - 3 = 8

Um número mais quatro é igual a menos

nove.

Q + 4 = - 9

Um número menos dez é igual a menos

treze.

W - 10 = -13

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 212

Um número vezes cinco

é igual a quarenta.

5E = 40

Um número vezes seis é

igual a menos trinta e seis.

6R = - 36

Um número

vezes menos cinco é igual a

quinze.

-5T = 15

Um número vezes menos seis é igual a

menos dezoito.

-6U = -18

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 213

Um número dividido por

quatro é igual a dezesseis.

� = 16

Um número dividido por três é igual a menos vinte e quatro.

� = - 24

Um número

multiplicado por vinte e um mais

dois é igual a quarenta e quatro

21D + 2 = 44

Um número

multiplicado por seis menos

dois é igual a dezesseis

6F - 2 = 16

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 214

Um número multiplicado por

quatro mais sete é igual a menos quatro

4K + 7 = - 4

Um número multiplicado por

sete menos cinco é igual a

menos dez

7L - 5 = -10

Um número

multiplicado por menos dois mais

seis é igual a vinte e um

-2H + 6 = 21

Menos nove

multiplicado por um número

menos sete é igual a doze.

-9Z - 7 = 12

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 215

Menos cinco multiplicado por

um número menos sete é igual a menos

dois. .

-5M - 7 = - 2

Um número mais três é igual a vinte

e um.

X + 3 = 21

Um número menos onze

é igual a sete.

W - 11 = 7

Um número vezes seis é

igual a quarenta e um.

6E = 41

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 216

Um número vezes sete é

igual a menos sete.

.

7R = - 7

Um número

vezes menos seis é igual a dezesseis.

-6T = 16

Um número dividido por

quatro é igual menos vinte.

4= −20

Um número

multiplicado por menos sete é igual a menos vinte e oito.

-7U = -28

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 217

Um número dividido por cinco é igual

a quinze.

5= 15

Um número vezes vinte mais três é

igual a quarenta.

20D + 3 = 40

Um número vezes sete

menos três é igual a menos

dez.

7F - 3 = 10

Um número vezes cinco mais oito é

igual a menos três.

5.K + 8 = - 3

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 218

Um número mais quatro é igual a zero.

X + 4 = 0

Um número menos dez é igual a dez

Y - 10 = 10

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 219

APÊNDICE D - BARALHO DE EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Equação Original

x + 2 = 20

Isolar a variável

x = 20 – 2

Solução

x = 18

Equação Original

x+ 3 = 21

Isolar a variável

x = 21 – 3

Solução

x = 18

Equação Original

x + 2 = - 20

Isolar a variável

x = -20 – 2

Solução

x = -22

Equação Original

x - 2 = - 20

Isolar a variável

x = -20 + 2

Solução

x = - 18

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 220

Equação Original

5x = 40

Isolar a variável

x =

��

Solução

x = 8

Equação Original

5x = -40

Isolar a variável

x = −

��

Solução

x = - 8

Equação Original

-6x = 42

Isolar a variável

x =

��

��

Solução

x = - 7

Equação Original

-6x = - 42

Isolar a variável

x=

���

��

Solução

x = 7

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 221

Equação Original

� = 3

Isolar a variável

x = 3.4

Solução

x = 12

Equação Original

� = -3

Isolar a variável

x = (-3).4

Solução

x = -12

Equação Original

x + 3 = 22

Isolar a variável

x = 22 – 3

Solução

x = 19

Equação Original

x - 3 = 22

Isolar a variável

x = 22 + 3

Solução

x = 25

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 222

Equação Original

x + 3 = - 22

Isolar a variável

x = -22 – 3

Solução

x = -25

Equação Original

x - 3 = - 22

Isolar a variável

x = -22 + 3

Solução

x = - 19

Equação Original

7x = 21

Isolar a variável

x =

Solução

x = 3

Equação Original

7x = -21

Isolar a variável

x =

��

Solução

x = - 3

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 223

Equação Original

-4x = 20

Isolar a variável

x =

��

��

Solução

x = - 5

Equação Original

-4x = - 20

Isolar a variável

x=

���

��

Solução

x = 5

Equação Original

� = 3

Isolar a variável

x = 3.5

Solução

x = 15

Equação Original

� = -3

Isolar a variável

x = (-3).5

Solução

x = -15

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 224

Equação Original

x + 4 = 20

Isolar a variável

x = 20 – 4

Solução

x = 16

Equação Original

x + 6 = 21

Isolar a variável

x = 21 – 6

Solução

x = 15

Equação Original

x + 6= - 21

Isolar a variável

x = -21 – 6

Solução

x = -27

Equação Original

x - 20 = - 2

Isolar a variável

x = -2 + 20

Solução

x = 18

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 225

Equação Original

6x = 48

Isolar a variável

x =

��

Solução

x = 8

Equação Original

6x = -48

Isolar a variável

x = −

��

Solução

x = - 8

Equação Original

-6x = 48

Isolar a variável

x =

��

��

Solução

x = - 8

Equação Original

-6x = - 48

Isolar a variável

x=

���

��

Solução

x = 8

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 226

Equação Original

� = 3

Isolar a variável

x = 3 . 5

Solução

x = 15

Equação Original

� = -3

Isolar a variável

x = (-3) . 5

Solução

x = -15

Equação Original

x + 10 = 1

Isolar a variável

x = 1 – 10

Solução

x = - 9

Equação Original

x - 23 = 2

Isolar a variável

x = 2 + 23

Solução

x = 25

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 227

APÊNDICE E – Questionário dos alunos do 7º ano

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO - MESTRADO

Prezado(a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-

aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.

Muito obrigada! 1- Nome completo:__________________________________________________________

2-Idade: _______________

3- Sexo: _________________

4- Quem é o seu responsável masculino?

( )Pai ( )Avô ( )Tio ( )Irmão ( )Não tenho ( )Outro. Quem?_________

5- Quem é a sua responsável feminina?

( )Mãe ( )Avó ( )Tia ( )Irmã ( )Não tenho ( )Outra. Quem? __________

6- Até que série estudou o seu responsável masculino? ______________

E o seu responsável feminino? ______________

7- Seu responsável masculino trabalha? ________________

E seu responsável feminino, trabalha? ________________

8- Quantas pessoas a partir de 16 anos moram na sua casa? ________

E com menos de 16 anos? __________________

9- Você estudou a 5ª série em que tipo de escola:

( )Estadual ( )Municipal ( )Particular ( )Outra. Qual?__________

10- A escola onde você estuda fica no bairro onde você mora? ( ) Sim ( ) Não

11- Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes

12- Você faz algum curso?

( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Outro. Qual? __________________

13- Você pratica algum esporte? ( ) Sim. Qual? _____________________ ( ) Não

14- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( ) Pouco ( ) Muito ( )

15- Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim

GRAÇA, V. V. O ensino de problemas do 1º grau por atividades... 228 16-Você têm dificuldade para aprender matemática: ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito

17- Você se distrai nas aulas de matemática?

( )Não, eu sempre presto atenção

( )Sim, eu não consigo prestar atenção

( )Às vezes, quando a aula está chata

18- Você costuma estudar matemática fora da escola.

( ) Só no período de prova

( ) Só na véspera da prova

( ) Só nos fins de semana

( )Todo dia

( ) Alguns dias da semana. Quantos? ____________________________

19- Quem lhe ajuda nas tarefas extraclasse de matemática?

( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros.

Quem? ________

20- Suas notas em matemática geralmente são: ( ) Acima de 5 ( ) Igual a 5 ( ) Abaixo de 5

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação

Programa de Pós-Graduação em Educação - Mestrado Av. Djalma Dutra S/n

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