v1u9a

75

Manoel Paiva

MATEMÁTICA – Conceitos, linguagem e aplicações

Volume 1

Resolução das Atividades

Unidade IX

Transformações e funçõestrigonométricas

76

Capítulo 32Tangente de um arco trigonométrico

A.1

a)

b)

c)

A.2

I. Como sen

�

�

tg

�

�

0, temos que sen

�

e tg

�

têmsinais contrários. Sabemos também que

�

e

�

per-tencem a um mesmo quadrante, então ambos per-tencem ao 2

o

ou ao 3

o

quadrante.

II. No intervalo temos:

�

�

�

⇒

cos

�

�

cos

�

(não convém)

III. No intervalo temos:

�

�

�

⇒

cos

�

�

cos

�

Por I, II e III, concluímos que

�

e

�

pertencem ao 3

º

qua-drante.

A.3

⇒

⇒

Substituindo (I) em (II), vem:(

�

3cos

�

)

2

�

cos

2

�

�

1

⇒

10 cos

2

�

�

1

cos

�

�

Como

�

pertence ao 2

º

quadrante, temos:

cos

�

�

(III)

Substituindo (III) em (I), obtemos:

sen

�

�

A.4

a)

b) tg

�

�

�

Cálculo do sen

�

:sen

2

�

�

cos

2

�

�

1sen

2

�

�

k

2

�

1

sen

�

�

Como

�

é a medida de um ângulo agudo, temos:

sen

�

�

Assim:

�

⇒

�

Logo,

PC

�

Unidade IXTransformações e funções trigonométricas

180°tg 180° = 0

0°tg 0° = 0

270°

e tg 270°

�

�

π 2 -------4 , π ,3

π , 3π 2

---------- ,34

sen � cos �

------------------- � �3

sen2 � cos2 � � 1�

sen � � 3� � cos � (I)

sen2 � cos2 � � 1 (II)�

10

10----------------

� 10

10----------------

3 10 10

--------------------

�

�

A

B

D

CP

30 m40 m

40 PC -----------

sen � cos � ------------------- 40

PC -----------

1 k2 �

1 k2 �

sen � cos � ------------------- 40

PC -----------

1 k2 � k

-------------------------- 40 PC -----------

40k 1 k2 � 1 k2�

------------------------------------- .

77

Unidade IX Transformações e funções trigonométricas

A.6 E � � � �1

A.7 a) � �

b) � �

c) � � � �

A.8 a)

b)

S �

c)

S �

A.9 tg x (tg x � 1) � 0 ⇒ tg x � 0 ou tg x � 1Para tg x � 0, temos: x � 0 ou x � π

Para tg x � 1, temos: x � ou x �

Então: S � {0, π,

A.10 a)

tg2 x (tg2 x � 1) � 0 ⇒ tg x � 0 ou tg x � 1Para tg x � 0, temos: x � 0 ou x � π

Para tg x � 1, temos:

x � ou x � ou x � ou x �

Então: S � {0, π,

b)

y � min � 52,5 min

A.11 a)

S � {x � R � x � ou x �

b)

A.5 a) tg 150� � d) tg 135� �

b) tg 240� � e) tg 225� �

c) tg 330� � f) tg 315� �

� 3

3------------- ............. .............�1

.............3 .............1

� 3

3------------- ............. .............�1

tg � (�tg �) ��tg � tg ��

--------------------------------------------- 2 tg ��

�2 tg �� ----------------------------

tg [�π

3 ------- ] �tg π

3 ------- � 3

tg [� 4π

3---------- ] �tg 4π

3---------- � 3

tg [� 11π

6-------------- ] �tg

11π 6

-------------- [� 3

3--------------- ]

3 3

-------------

π—3

4π—3

√3

S � { π 3

------- , 4π

3---------- }

π—6

5π—6

11π——6

——3

Arco auxiliar

√3–

{ 5π

6---------- ,

11π 6

-------------- }

π—4

3π—4

7π——4

Arco auxiliar

1

–1

{ 3π

4---------- ,

7π 4

---------- }

π 4

------- 5π

4----------

π 4

------- , 5π

4---------- }

5π—4 π

7π—4 3π

—4

π—4

0

1211 1

10

9 3

2

8 4

7 56

π 4

------- 3π

4----------

5π 4

---------- 7π

4----------

π 4

------- , 3π

4---------- ,

5π 4

---------- , 7π

4---------- }

2π 7π

4----------

60

y

rad min

60 7π

4---------- �

2π----------------------------

π—3

π—2

4π—3

3π—2

√3

π 3

------- π 2

------- 4π 3

---------- 3π 2

---------- }

π—4

π—2

5π—4

1

3π—2

Matemática — Conceitos, linguagem e aplicações Volume 1

78

S � {x � R � 0 x � ou � x � ou

� x � 2π}

c)

S � {x � R � � x ou � x

A.12 a)

b) ⇒

Logo, tg x �

Como x é medida de ângulo agudo, devemos ter30� � x � 90�.

A.13 ⇒

ou seja:

Logo, 0,8 � tg � � 0,5.

Com o auxílio de uma calculadora, concluímos que26,56� � 38,65�.

Capítulo 33Outras razões trigonométricas equações e inequações trigonométricas em RRRR

A.1 a) cotg 45� � � � 1

b) sec 0� � � � 1

c) cossec 270� � � � �1

A.2 � �

Condição de existência: sen x 0 e cos x 0

sen x � cos x � �

� sen x � cos x � ⇒

⇒ sen2 x � cos2 x � 2 � sen x, ou seja, 1 � 2 � sen x ou, ainda,

sen x �

Como 0 x � 2π, temos x � ou x �

S �

A.3 � 3 ⇒ sen x �

sen2 x � cos2 x � 1 ⇒ � cos2 x � 1

cos2 x � 1 � �

cos x �

Como x pertence ao 2º quadrante, temos:

cos x �

Logo:

tg x � �

π 4

------- π 2

------- 5π 4

----------

3π 2

----------

π—2

5π—6

11π——6

3π—2

——3

√3–

π 2

------- 5π 6

---------- 3π 2

---------- 11π 6

-------------- }

x

A

60 m

C Mar

B

tg x AC 60

------------ �

AC � 20 3

tg x AC 60

------------ �

AC 60

------------ � 20 3 60

--------------------

3 3

------------- .

30°

90°

210°

270°

——3

√3

tg � 8 d

------- �

10 d 16

tg � 8 d

------- �

1 10 ---------- � 1

d ------- � 1

16 ----------

tg � 8 d

------- �

8 10 ---------- � 8

d ------- � 8

16 ----------

0,50,8

cos 45� sen 45� ------------------------

2 2

-------------

2 2

-------------

-----------------

1 cos 0� ---------------------

1 1 -------

1 sen 270� ---------------------------

1 �1 -----------

sen x cos x ------------------- cos x

sen x -------------------

2 cos x -------------------

[sen x

cos x -------------------

cos x sen x ------------------- ]

2 cos x -------------------

1 2 -------

π 6 -------

5π 6

---------- .

{π

6 ------- ,

5π 6

---------- }

1 sen x -------------------

1 3 -------

[1

3 ------- ]

2

1 9 -------

8 9 -------

2 2

3----------------

� 2 2

3----------------

1 3 ------

� 2 2

3----------------

------------------------- � 2

4-------------

79


A.4

a) m(O BCB) � 30�

b) No triângulo BOC, temos:

tg 30� �

BC �

BC � cotg 30�

A.5

No triângulo OMS, temos:

cos 60� �

OS �

OS � sec 60�

A.6

No triângulo OMC, temos:

sen 40� �

OC �

OC � cossec 40�

A.7 a) Não é identidade em R, pois o 1º membro da igual-dade não está definido para todo x � R. Para queexista a expressão tg x � cotg x devemos tercos x 0 e sen x 0.

b) Passo 1: Ambos os membros da igualdade estão de-finidos em U.Passo 2: Partindo do 1º membro, temos:

1º membro � � � 1 � 2º membro

Pelos passos 1 e 2, concluímos que a igualdade éidentidade em U.

A.8 a) Usando a técnica I:Passo 1: A expressão do 1º membro existe se, e so-mente se, sen x 0 e cos x 0; a expressão do 2ºmembro existe se, e somente se, cos x 0. Logo,ambos os membros estão definidos em U.

Passo 2:

1º membro � � �

� � sen x �

� � sen x � � sec x �

� 2º membroPelos passos 1 e 2, concluímos que a igualdade éidentidade em U.

b) Usando a técnica II:A igualdade sen2 x � cos2 x � 1 é uma identidade emR; logo, também o é em U, pois U � R. Dividindo am-bos os membros dessa igualdade por sen2 x, comsen x 0, temos:

� �

1 � cotg2 x � cossec2 x

A.9

1o processo: Pelo teorema de Pitágoras, temos:(OC)2 � (OA)2 � (AC)2

Como OA � 1 e AC � tg �, podemos escrever:(OC)2 � 1 � tg2 �ou seja, (OC)2 � sec2 �e, portanto: OC � sec �

2o processo: No triângulo OAC, temos:

cos � �

OC �

OC � sec �

B

t

30°

1

30°

M

C

B�

OA� A

1 BC -----------

1 tg 30� --------------------

B

60°

1

M

B�

OA� A S s

1 OS ------------

1 cos 60� ------------------------

B

c

40°

40°

50°

B�

OA� A

M

Cr

1 OC ------------

1 sen 40� ------------------------

sen x cos x -------------------

cos x sen x -------------------

[sen x

cos x ------------------- cos x

sen x ------------------- ]sen x

sen2 x cos2 x �cos x sen x�

----------------------------------------------

1 cos x sen x �---------------------------------------

1 cos x -------------------

sen2 x sen2 x ---------------------

cos2 x sen2 x ---------------------

1 sen2 x ---------------------

O

�

A

t

M C

1 OC ------------

1 cos � -------------------


80

A.10 cossec2 x � 1 � cotg2 x

cossec2 x � 1 � cossec2 x � 16cossec x � 4Como x pertence ao 1º quadrante, temos quecossec x � 4.

A.11 sec2 x � 1 � tg2 x(a � 1)2 � 1 � a2

a2 � 2a � 1 � 1 � a2

a � 0

A.12 a)

S � {x � R \ x � � k � 2π, com k � Z}

b)

S � {x � R \ x � � k � 2π, com k � Z} ou ainda

S � {x � R \ x � � k � 2π ou x � � k � 2π,

com k � Z}

c) 1 � cos2 x � 2 � cos x � 2 � 0 ⇒⇒ cos2 x � 2 � cos x � 3 � 0Fazendo cos x � y, temos y2 � 2y � 3 � 0.

⇒ y � �1 ou y � 3

Logo, cos x � �1 ou cos x � 3 (não convém).S � {x � R � x � π � k � 2π, com k � Z}

A.13 a)

S � {x � R � k � 2π � x � � k � 2π, com

k � Z}

b)

S � {x � R � k � 2π x � k � 2π, com

k � Z}

A.14 a)

S � {x � R � x � kπ, com k � Z}

b)

S � {x � R \ x � � kπ, com k � Z}

c) cos x (2 � cos x � 1) � 0 ⇒ cos x � 0 ou cos x �

S � {x � R \ x � � kπ ou x � � k � 2π, com

k � Z}

A.15 a)

S � {x � R � kπ � x � kπ, com k � Z}

s 15 d2

3π—2

3π 2

----------

π—6

π—6

–

√3—2

π

6 -------

π 6 -------

11π 6

--------------

S 2�

P �3�

–

2π—3

4π—3

1—2

| 2π

3---------- 4π

3----------

–1—2

π—6

7π—6

|� 7π

6---------- π

6-------

π 0

–1

3π—4

3π 4

----------

1 2

-------

π—3

π—2

3π—2

π—3

–

1—2

π 2

------- π 3

-------

π—2

2π—3

5π—3

3π—2 √3–

| π 2

------- 2π 3

----------

81


b)

S � {x � R � kπ � x � � kπ, com k � Z}

A.16 (2cos2 x � 1)sen x cos x � 0 ⇒ 2cos2 x � 1 � 0 ousen x � 0 ou cos x � 0Temos, então:

cos x � ou sen x � 0 ou cos x � 0

S � {x � R \ x � com k � Z}

Capítulo 34Transformações trigonométricasA.1 a) cos 15� � cos (45� � 30�) �

� cos 45� � cos 30� � sen 45� � sen 30� �

� � � � �

b) sen 165� � sen (120� � 45�) �� sen 120� � cos 45� � sen 45� � cos 120� �

� � � � �

sen 13� � sen (37� � 24�) �� sen 37� � cos 24� � sen 24� � cos 37� �� 0,6 � 0,9 � 0,4 � 0,8 � 0,22

cos 13� � cos (37� � 24�) �� cos 37� � cos 24� � sen 37� � sen 24� �� 0,8 � 0,9 � 0,6 � 0,4 � 0,96sen 48� � sen (24� � 24�) �� sen 24� � cos 24� � sen 24� � cos 24� �� 2 � sen 24� � cos 24� � 2 � 0,4 � 0,9 � 0,72cos 48� � cos (24� � 24�) �� cos 24� � cos 24� � sen 24� � sen 24� �� cos2 24� � sen2 24� � (0,9)2 � (0,4)2 �� 0,81 � 0,16 � 0,65

A.3 � x] �

� � cos x � � sen x �

� 0 � cos x � (�1) � sen x � sen xalternativa e

A.4 sen x � cos � sen � cos x �

� cos x � cos � sen x � sen � ⇒

⇒ sen x � � � cos x �

� cos x � � sen x � � , ou seja,

� cos x � � cos x �

Dividindo ambos os membros por temos:

cos x � cos x � 1 ⇒ 2 � cos x � 1 ou ainda,

cos x �

Como x � R, temos:

x � � k � 2π ou

x � � k � 2π, com k � Z; logo,

S � {x � R \ x � � k � 2π, com k � Z}

tg 13� � tg (35� � 22�) � �

� � � 0,2

tg 57� � tg (22� � 35�) � �

� � � 1,5

tg 70� � tg (35� � 35�) � �

� � � � 2,7

A.2 sen cos

13� 0,2 0,9

24� 0,4 0,9

37� 0,6 0,8

48� 0,7 0,6

π—2

π—2

–

π—4

5π—4

1

|� π 2

------- π 4

-------

2

2-------------

π—4

π—2

π

7π—4

5π—4

3π—4

3π—2

0

√2—2

√2—2

–

kπ 4

----------- ,

2 2

------------- 3

2-------------

2 2

------------- 1

2 -------

6 2 �4

------------------------------

3 2

------------- 2

2------------- 2

2------------- [�

1 2 ------- ]

6 � 2 4

-------------------------------

A.5 tg

13� 0,2

22� 0,4

35� 0,7

57� 1,5

70� 2,7

cos[ 3π

2----------

cos 3π

2---------- sen

3π 2

----------

π 4

------- π 4

-------

π 4

------- π 4

------- 2

2-------------

2 2

------------- 2

2-------------

2 2

------------- 2

2-------------

2 2

-------------

2 2

------------- 2

2-------------

2 2

-------------

2 2

------------- ,

1 2 -------

π 3

-------

� π 3

-------

π 3

-------

tg 35� tg 22�� 1 tg 35� tg 22�� -----------------------------------------------------

0,7 0,4� 1 0,7 0,4 ��----------------------------------- 0,3

1,28 --------------

tg 22� tg 35�� 1 tg 22� tg 35�� -----------------------------------------------------

0,4 0,7� 1 0,4 0,7 ��-----------------------------------

1,1 0,72 --------------

tg 35� tg 35�� 1 tg 35� tg 35�� -----------------------------------------------------

2tg 35� 1 tg2 35� �---------------------------------

2 0,7� 1 (0,7)2 �------------------------------ 1,4

0,51 --------------


82

A.6 tg � � � tg � � �

tg (� � �) � � �

� � 1

Verificamos ainda que 0� � � � � � 180�, logo,� � � � 45�.

A.7 sen2 x � cos2 x � 1

� cos2 x � 1

cos2 x � 1 � �

cos x �

Como x pertence ao 3º quadrante, temos:

cos x �

Assim, concluímos:

sen 2x � 2 � sen x � cos x � 2 � � �

�

cos 2x � cos2 x � sen2 x � � �

�

A.8 a)

sen x � �

b)

sen 2� �

2 � sen � � cos � � (I)

Calculando o cos �:sen2 � � cos2 � � 1

� cos2 � � 1

cos � �

Como 0 � � � 90�, temos que cos � �

Assim, substituindo em (I) os valores de sen � ecos �, concluímos:

2 � � � ⇒ d � 625 m

• cos x � cos [2 � � cos2 � sen2

cos x � cos2 � [1 � cos2

cos x � 2 � cos2 � 1 � 2 � � 1 �

• cos y � 2 � cos2 � 1

� 2 � cos2 � 1

� cos2

cos �

Como 0� � y � 90�, temos 0� � � 45� e, portanto,

cos � 0.

Assim, cos �

A.10 Dividindo por 2 ambos os membros, temos:2 � sen x � cos x � 1 ⇒ sen 2x � 1Fazendo a mudança de variável 2x � �, podemos es-crever:

sen � � 1 ⇒ � � � k � 2π, com k � Z

Retornando à variável original, temos:

2x � � k � 2π ⇒ x � � kπ, com k � Z

S � {x � R \ x � � kπ, com k � Z}

A.11 cos2 x � sen2 x � cos x � �1cos2 x � (1 � cos2 x) � cos x � �12 � cos2 x � cos x � 0cos x � (2 � cos x � 1) � 0

cos x � 0 ou cos x �

S �

1,5 4,5 -----------

1 3 ------- ,

1,5 3

----------- 1

2 -------

tg � tg �� 1 tg �� tg � �-------------------------------------------

1 3 ------- � 1

2 -------

1 1 3 ------- � 1

2 ------- �

------------------------------------

5 6 -------

5 6 -------

-----------

[�5

13 ---------- ]

2

25 169 -------------

144 169 -------------

12

13 ----------

�12

13 ----------

[�5

13 ---------- ] [�

12 13 ---------- ]

120 169 -------------

[�12

13 ---------- ]

2[�

5 13 ---------- ]

2

119 169 -------------

Pista

1.000 m 600 m

�

600 1.000 -----------------

3 5 -------

2�

600d

600 d

-------------

600 d

-------------

[3

5 ------- ]

2

4

5 -------

4 5 ------- .

A.9 Arco cos

x

y

3 5 -------

4 5 -------

600 d

-------------

x 2 ------- 1

5 -------

�23

25 ----------

y 2 ------- 5

3-------------

1 9 -------

x 2 ------- ]

x 2 -------

x 2 -------

x 2 -------

x 2 -------]

x 2 ------- [

1 5 -------]

2�

23 25 ----------

y 2 -------

1 9 ------- y

2 -------

5 9 ------- y

2 -------

y 2 -------

5 3

-------------

y 2 -------

y 2 -------

y 2 -------

5 3

-------------

π 2 -------

π 2 -------

π 4 -------

π 4 -------

1 2 -------

{π

3 ------- ,

π 2 ------- ,

3π 2

---------- , 5π

3---------- }

83


A.12 Para x � 22�30�, temos:

tg (2 � 22�30�) �

tg 45� �

1 �

2 � tg 22�30� � 1 � tg2 22�30�

tg2 22�30� � 2 � tg 22�30� � 1 � 0

Fazendo tg 22�30� � y, temos:y2 � 2y � 1 � 0� � 22 � 4 � 1 � (�1) � 8

y � � �1

ou seja, tg 22�30� � �1

Como tg 22�30� é positiva, concluímos que:

tg 22�30� � �1 � � �1 � 1,41, ou seja,tg 22�30� � 0,41

alternativa b

A.13 a) sen 3x � sen x � 2 � sen � cos �

� 2 � sen 2x � cos x

b) sen 2x � sen 4x �

2 � sen � cos �

� 2 � sen (�x) � cos 3x � �2 � sen x � cos 3x

c) cos 5� � cos 15� �

� 2 � cos � cos �

� 2 � cos 10� � cos (�5�) � 2 � cos 10� � cos 5�

d) 1 � cos 20� � cos 0� � cos 20� �

� � 2 � sen � sen �

� �2 � sen 10� � sen (�10�) � 2 � sen 10� � sen 10� �� 2 � sen2 10�

e) (sen 7x � sen x) � 2 � sen 4x �� 2 � sen 4x � cos 3x � 2 � sen 4x �� 2 � sen 4x(cos 3x � 1) �� 2 � sen 4x (cos 3x � cos 0) �

� 2 � sen 4x � 2 � cos � cos �

� 4 � sen 4x � cos2

f) (cos 2x � cos 4x) � (cos 6x � cos 8x) �� 2 � cos 3x � cos (�x) � 2 � cos 7x � cos (�x) �� 2 � cos x (cos 3x � cos 7x) �� 2 � cos x � 2 � cos 5x � cos (�2x) �� 4 � cos x � cos 5x � cos 2x

A.14 sen 3x � sen x � 0 ⇒ 2 � sen x � cos 2x � 0Pela propriedade do produto nulo, temos:sen x � 0 ou cos 2x � 0

• sen x � 0 ⇒ x � 0 � kπ, com k � Z• cos 2x � 0

Fazendo 2x � �, temos:

cos � � 0 ⇒ � � � kπ, com k � Z

Retornando à variável original, temos:

2x � � kπ ⇒ x � � com k � Z

S � {x � R \ x � kπ ou x � � com k � Z}

A.15 a) sen 20� � cos 14� � � 0,33186

b) Como cos 34� � cos 6� � 2 � cos 20� � cos 14�, temos:

cos 20� � cos 14� � �

� � 0,911779

Capítulo 35As funções seno, co-seno e tangente – resolução de triângulos

A.1 a)

2 tg 22�30�� 1 tg2 22�30� �-------------------------------------------

2 tg 22�30�� 1 tg2 22�30� �-------------------------------------------

2 tg 22�30�� 1 tg2 22�30� �-------------------------------------------

�22 2 2

------------------------------ 2

2

2

3x x �2

--------------------- 3x x �

2---------------------

2x 4x �2

------------------------- 2x 4x �2

-------------------------

5� 15� �2

-------------------------- 5� 15� �2

--------------------------

0� 20� �2

-------------------------- 0� 20� �

2--------------------------

3x 2

---------- 3x

2----------

3x 2

----------

π 2

-------

π 2

------- π 4

------- kπ

2----------- ,

π 4

------- kπ

2----------- ,

0,559192 0,104528 �2

----------------------------------------------------------

cos 34� cos 6� �2

--------------------------------------------------

0,829037 0,994521 �2

----------------------------------------------------------

2ππ

– 4

1

4

0

y

xπ—2

3π—2

x y

0 0

4

π 0

�4

2π 0

π 2 -------

3π 2

----------

D � RIm � {y � R � �4 y 4}p � 2π


84

b)

D � RIm � {y � R � 1 y 5}p � 2π

c)

D � RIm � {y � R � �1 y 1}

p �

d)

D � RIm � {y � R � �5 y �1}p � 4π

A.2 A equação admite solução se, e somente se,�1 3m � 1 1. Adicionando 1 a cada membro, te-mos:�1 � 1 3m � 1 � 1 1 � 1 ⇒⇒ 0 3m 2, ou seja,

0 m

A.3 a)

b) Os gráficos das funções f(x) � sen x e y � têm

três pontos distintos em comum; logo, a equação

sen x � possui três raízes distintas.

A.4 a)

1

5

3

0

y

xπ—2

π 3π—2

2π

x y

0 3

1

π 3

5

2π 3

π 2 -------

3π 2

----------

1

–1

0

y

xπ—8

π—4

π—2

3π—8

4x x y

0 0 0

1

π 0

�1

2π 0

π 2 ------- π

8 ------

π 4 ------

3π 2

---------- 3π 8

----------

π 2 ------

π 2 ------

–1

–3

–5

0

y

x

π 2π 4π3π

x y

0 0 �3

π �1

π 2π �3

3π �5

2π 4π �3

x 2 -------

π 2 -------

3π 2

----------

2 3 ------

1

–1

0

y

xπ—2

π—2

–

π– π

3π—2

2π

x π -------

x π -------

x y

0 3

0

π �3

0

2π 3

π 2 -------

3π 2

----------

85


b)

D � RIm � [�2, 2]

p � � � 2π

c)

D � RIm � [�3, 1]p � π

d)

D � RIm � [0, 3]p � π

A.5 x π ⇒ �1 cos x 0

Então:

�1 0

�2 3m � 1 0�2 � 1 3m � 1 � 1 0 � 1�1 3m 1

m

Logo, m � R tal que m

A.6 a)

π

3π—2

2π

– 3

3

0 xπ—2

y

D � RIm � [�3, 3]p � 2π

x � x y

0 �2

0

π 2

0

2π �2

π 4 -------

�π

4 -------

π 2 ------- π

4 -------

3π 4

----------

3π 2

---------- 5π 4

----------

7π 4

----------

5π—4

7π — 4

π — 4

–

– 2

2

0

y

xπ—4

3π—4

7π 4

---------- [� π 4

------- ]

2x x y

0 0 1

�1

π �3

�1

2π π 1

π 2 ------- π

4 -------

π 2 -------

3π 2

---------- 3π 4

----------

π

3π—4

– 3

1

–1

0

y

x

π—2

π—4

π3π—4

1

3

0

y

xπ—2

π—4

π 2 -------

3m 1 �2

-----------------------

�1

3 ------- 1

3 -------

�1

3 ------- 1

3 ------- .

x y

�π e

�1

0 0 0

1

π e

x 2 -------

�π

2 -------

�π

4 ------- �

π 2 -------

π 4 ------- π

2 -------

π 2 -------


86

D � {x � R � x π � k � 2π, com k � Z}Im � Rp � π � (�π) � 2π

b)

D � {x � R \ x � com k � Z}

Im � R

p � � �

c)

D � {x � R \ x � com k � Z}

Im � [0, �∞[

p � � �

A.7 a)

b) (BC)2 � 42 � 82 � 2 � 4 � 8 � cos 60�

(BC)2 � 16 � 64 � 64 �

(BC)2 � 48

BC �

A.8

x2 � 52 � 102 � 2 � 5 � 10 � cos 120�

x2 � 25 � 100 � 100 � � 175

x �

y2 � 52 � 102 � 2 � 5 � 10 � cos 60�

y2 � 25 � 100 � 100 � � 75

y �

–1

π– π π—2

π– — 2

1

y

x0

2x x y

e

1

0 0 0

�1

e

�π

2 ------- �

π 4 -------

�π

4 ------- �

π 8 -------

π 4 ------- π

8 -------

π 2 ------- π

4 -------

π—8

π—4

π– — 8

π– — 4

1

–1

y

x0

π 4 -------

kπ 2

----------- ,

π 4 ------- [�

π 4 ------- ]

π 2 -------

π—8

π—4

π– — 8

π– — 4

y

x0

1

π 4 -------

kπ 2

----------- ,

π 4 ------- [�

π 4 ------- ]

π 2 -------

60°

4 km

8 km

A

C

B

1 2 -------

4 3 km

120°

10 cm

5 cm

x

[�1

2 ------- ]

5 7 cm

60°

10 cm

5 cm y

1 2 -------

5 3 cm

87


A.9 a)

b) �

�

AB �

A.10

� 2R

R � 8 cmLogo, a área S do círculo é:S � π � 82 cm2 � 64π cm2

A.11 a) A � � 5 � � sen 45� cm2

A � � 5 � � cm2 � 7,5 cm2

b) A � � 7 � 8 � sen 150� cm2

A � � 7 � 8 � cm2 � 14 cm2

A.12 Área do setor AOB:

Asetor � 15π cm2

Área do triângulo AOB:

Atriângulo � � 6 � 6 � sen 150� cm2 � 9 cm2

Área do segmento circular colorido:Asegmento � Asetor � Atriângulo � (15π � 9) cm2

30°

105°

45°

5 km

C

B

A

5 sen 30� ------------------------

AB sen 45� ------------------------

5

1 2 -------

----------- AB

2 2

-------------

-----------------

5 2 km

60°

R

C

O

A B

8√3� 2R

8 3 sen 60� ------------------------

8 3

3 2

-------------

-----------------

1 2 ------- 3 2

1 2 ------- 3 2

2 2

-------------

1 2 -------

1 2 -------

1 2 -------

360�

150�

π � 62

Asetor

1 2 -------

v1u9a

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