UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE PZFLEX COMO FERRAMENTA DE AUXÍLIO PARA ENSAIOS NÃO-DESTRUTIVOS POR ULTRASSOM DE ESTRUTURAS TIPO PLACA

Vander Teixeira Prado

1, Ricardo Tokio Higuti

2, Cláudio Kitano

3

1, 2, 3 Laboratório de Ultrassom, Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Estadual Paulista – UNESP. Ilha Solteira - SP,

Brasil e-mail: 1 vander@mail.com, 2 tokio@dee.feis.unesp.br, 3 kitano@dee.feis.unesp.br

Resumo: Com o PZFlex, software baseado em técnicas de modelagem por elementos finitos, simularam-se casos de propagação de ondas de Lamb em uma placa de alumínio e cerâmicas piezelétricas, levantando as curvas de dispersão, resposta em frequência e campo acústico, comparando os resultados com a teoria e utilizando-os como ponto de partida para os ensaios experimentais. Palavras-Chave: PZFlex, ondas de Lamb, Aplicações de Engenharia.

1. INTRODUÇÃO

Em um ensaio não-destrutivo por ultrassom (ENDUS), quando uma das dimensões da peça é bem menor que as demais, em estruturas delgadas como em placas, por exemplo, podem-se propagar ondas guiadas do tipo Lamb (Lamb waves), que se tornam possíveis devido a interferências e/ou superposições de ondas longitudinais e de cisalhamento, considerando também as condições de contorno nas superfícies [1].

Descobertas por Horace Lamb em 1917, as ondas de Lamb são ondas guiadas que se propagam entre duas superfícies paralelas livres, como em placas cujos esforços são nulos nas superfícies superior e inferior. Propagam-se com comprimento de onda da mesma ordem de grandeza que a espessura da placa e devido à baixa atenuação, se propagam longas distâncias, podendo acoplar vários modos de propagação com diferentes características de dispersão [2].

Os modos podem ser simétricos ou antissimétricos, de acordo com o movimento das partículas na placa com relação ao plano médio, como pode ser observado na Figura 1, onde é considerada uma placa com espessura 2d (direção y) e um sistema de ondas planas se propagando na direção x.

Os possíveis modos de propagação são apresentados, geralmente, por meio das curvas de dispersão: gráficos de velocidade de fase (c) em função do produto frequência-semi-espessura (f.d). As respectivas velocidades são obtidas a partir das soluções da equação [3]:

(1)

Figura 1 – Deformação da placa para os modos de Lamb simétrico e

antissimétrico.

onde +1 corresponde aos modos simétricos e -1 aos modos antissimétricos. As variáveis α e β são definidas como:

(2)

sendo ω a frequência angular (2πf), cl a velocidade longitudinal e ct a velocidade de cisalhamento e k o número de onda dado pela relação k = ω/c.

Cada modo apresenta um valor para a velocidade de propagação, assim como uma determinada característica de dispersão própria, complicando a análise dos sinais. Por esse motivo, é preferível a utilização de um modo em particular. Na prática, em geral, escolhem-se os modos fundamentais simétrico (S0) e/ou antissimétrico (A0) em regiões com baixa dispersão. Isto significa, na maioria dos casos, que se opera em baixas frequências e com banda estreita. Por outro lado, isso pode limitar a resolução axial do sistema, devido à duração do pulso [4]. Para minimizar a questão da dispersão, utilizam-se sinais de banda estreita ou compensa-se a dispersão, quando se conhecem as curvas de dispersão e a natureza do sinal que se propaga [5].

Por meio de simulações podem-se estudar casos de propagação em estruturas complexas, seja pela composição do material ou pela geometria [6]. A partir dos resultados das simulações podem-se obter informações como: quais modos de propagação são excitados, quais modos são mais

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http://dx.doi.org/10.5540/DINCON.2011.001.1.0046

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sensíveis a cada tipo de defeito (superficial, passante), como será a distribuição do campo acústico, como será a interação com os defeitos, qual a melhor forma de analisar o sinal recebido para caracterização do defeito.

Um dos softwares de simulação é o PZFlex. Projetado pela Weidlinger Associates e baseado em técnicas de modelagem por elementos finitos (FEM - Finite Element Modelling), é capaz de resolver problemas de propagação de ondas, piezeletricidade e aplicações com ultrassom, simulando a resposta de um objeto a determinadas condições de carregamento (força, pressão), seja este estático ou dinâmico. Comparado aos demais softwares disponíveis no mercado, este trabalha no domínio do tempo, tendo assim como vantagens a velocidade e o tamanho reduzido do modelo, permitindo modelos mais complexos e precisos.

O princípio básico do FEM é a divisão de um domínio de integração (uma estrutura, um sistema) em um conjunto de pequenas regiões, chamadas de elementos finitos, transformando o domínio contínuo em discreto. Calculam-se força/pressão, deformação, entre outras variáveis de um único elemento, transferindo os valores proporcionalmente aos elementos vizinhos. A acurácia da aproximação é diretamente proporcional à quantidade de elementos usados. O custo computacional também está relacionado ao número de elementos. A escolha do número de elementos deve ser pautada no tipo de solução (aproximação) desejada e capacidade computacional disponível.

A simulação é um importante recurso quando utilizada como suporte à teoria de propagação de ondas para o conhecimento prévio do sistema e as interações transdutor-estrutura-propagação-defeitos.

2. PROPÓSITOS

Este trabalho tem como objetivo a validação dos resultados da simulação com o PZFlex mediante comparação com os valores teóricos, e sua utilização como ponto de partida para os ensaios não-destrutivos por ultrassom em estruturas tipo placa.

3. MÉTODOS

O trabalho foi realizado em duas etapas: levantamento das curvas de dispersão teóricas e simuladas para validação da simulação, e levantamento da resposta em frequência e campo acústico de um sistema placa-transdutores para suporte aos ensaios experimentais e comparação com os resultados práticos.

3.1. Curvas de Dispersão

As curvas de dispersão só dependem da geometria da estrutura e das propriedades do material: espessura da placa e velocidades de propagação longitudinal e de cisalhamento. Por meio de métodos numéricos, implementados em MATLAB, obtiveram-se as curvas de dispersão teóricas para uma placa de alumínio de 1 mm de espessura e velocidades longitudinal de 6400 m/s e de cisalhamento de 3100 m/s, a partir da equação (1).

Para o levantamento das curvas de dispersão simuladas utilizou-se o método da transformada de Fourier bidimensional ao longo de diversos pontos equidistantes na

direção de propagação [7]. Considerando u(x,t) o deslocamento da partícula em função do tempo e do espaço, a transformada de Fourier bidimensional está ilustrada na Figura 2 e é dada pela equação:

(3)

Figura 2 – Aplicação do método da transformada de Fourier

bidimensional.

Dada uma matriz, em que cada coluna contenha o sinal

temporal para uma dada posição no espaço, aplica-se a transformada de Fourier temporal (TF 1) aos sinais em cada posição (cada coluna). Têm-se então o espectro de frequências de cada posição em cada coluna da matriz resultante. A transformada de Fourier espacial (TF 2) das linhas dessa matriz (formadas pelas componentes de mesma frequência) resulta na matriz que relaciona amplitude, número de onda e frequência.

Na prática o sinal é amostrado no tempo e no espaço. A frequência de amostragem temporal deve ser maior que o dobro da maior componente espectral significativa do sinal (teorema da amostragem de Nyquist). De forma análoga, a distância entre dois pontos de aquisição ao longo da direção de propagação deve ser menor que metade do menor comprimento de onda do sinal.

A Figura 3 ilustra o resultado da aplicação do método para um sinal de excitação de 300 kHz e aquisição de 100 pontos equidistantes ao longo de uma linha de 0,1 m de comprimento na direção de propagação. Observam-se os modos fundamentais simétrico (S0) e antissimétrico (A0).

Figura 3 – Aplicação do método da transformada de Fourier

bidimensional para excitação de 300 kHz.

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Como resposta tem-se uma projeção isométrica que apresenta uma vista tridimensional das curvas de dispersão com relação ao número de onda para a faixa de frequências correspondente à banda do sinal de excitação. Assim, para o levantamento das curvas de dispersão utilizou-se a função impulso como sinal de excitação.

Para cada valor de f.d encontram-se os máximos valores de k’s (para cada modo). As velocidades de fase são obtidas com a relação c = ω/k.

3.2. Resposta em frequência e campo acústico

Na Figura 4 observa-se o arranjo experimental: uma placa de alumínio de 1 mm de espessura com dois transdutores piezelétricos PZ-26 com 0,5x7,0x6,0 mm3

(espessura x largura x comprimento) operando em modo transmissão-recepção, um gerador de sinais (Tektronix AFG 3101) e um osciloscópio digital (Agilent MSO7014B) conectados a um computador.

Figura 4– Arranjo experimental.

Em MATLAB geraram-se pulsos ultrassônicos com

frequências centrais de 20 a 800 kHz, os quais foram transferidos ao gerador de sinais. No PZFlex modelou-se o sistema da Figura 4 utilizando-se os mesmos sinais gerados em MATLAB como função de excitação para o transdutor transmissor. Para cada caso mediu-se o valor pico-a-pico do sinal no receptor, obtendo-se a resposta em frequência do sistema.

Para o levantamento do campo acústico utilizou-se o mesmo modelo de simulação da resposta em frequência considerando-se apenas um transdutor. Mediram-se os deslocamentos nas direções x, y e z na superfície da placa e encontraram-se os deslocamentos máximos (absolutos) para cada ponto da área analisada.

4. RESULTADOS E DISCUSSÕES

4.1. Curvas de Dispersão

As curvas de dispersão teóricas, e simuladas, para uma placa de alumínio de 1 mm de espessura e velocidades longitudinal de 6400 m/s e de cisalhamento de 3100 m/s estão ilustradas na Figura 5.

Comparando os resultados da simulação com a teoria observa-se que estes ficaram bem próximos, validando qualquer simulação a ser realizada nesta faixa de frequências.

4.2. Resposta em frequência e campo acústico

Na figura 6 observa-se a resposta em frequência do

Figura 5 - Curvas de dispersão de uma placa de alumínio. Valores calculados para os modos simétricos (linha cheia), antissimétricos

(linha tracejada) e valores obtidos na simulação (*).

sistema da Figura 4 para os casos experimental e simulado.

Figura 6 – Resposta em frequência do sistema da Figura 3 simulada (□) e prática (■). Modos fundamentais simétrico (S0) e antissimétrico (A0).

Nota-se que apesar de possuírem o mesmo

comportamento, as respostas prática e simulada apresentam algumas diferenças, como o deslocamento da frequência cujo modo em questão apresenta ganho máximo (pico) e a resposta do ganho para o modo antissimétrico em frequências mais elevadas. Entretanto, alguns fatores como a colagem do transdutor à placa e a solda do cabo ao transdutor, não considerados no modelo simulado, influenciam diretamente no acoplamento/propagação das ondas e na leitura e interpretação dos sinais mensurados. Assim, mesmo não sendo idênticos, os resultados simulado e prático apresentam grande semelhança.

Com a simulação, podem-se estudar casos de interesse como a mudança das dimensões e geometrias dos transdutores, buscando-se respostas cujo pico se dê para frequências mais elevadas, melhorando assim a resolução axial do sistema, ou regiões em que a amplitude de um modo seja desprezível com relação ao outro, podendo-se considerar operação monomodo, reduzindo tempo e custos financeiros da aquisição de novos transdutores ou corte das cerâmicas disponíveis.

Outra possibilidade da simulação é a análise do campo acústico de transdutores sem a necessidade de dispositivos de medição específicos (transdutores/hidrofones), lasers (interferometria) e suportes móveis para a varredura destes sensores sobre a placa.

Para o levantamento do campo acústico excitou-se o transdutor com um pulso ultrassônico de 210 kHz, para que

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os modos simétrico e antissimétrico fossem acoplados com iguais amplitudes (Figura 6). A Figura 7 ilustra a distribuição do deslocamento na direção x para uma área de 0,2x0,2 m2 na superfície da placa.

Figura 7 – Campo acústico: distribuição do deslocamento na direção x

com 210 kHz .

Observa-se um lóbulo principal na direção x (y=0) e

lóbulos laterais. Com os resultados obtidos pode-se também observar a

evolução temporal da resposta, isto é, a propagação dos modos na placa ao longo do tempo. A Figura 8 ilustra a propagação no instante t = 40 µs.

Figura 8 – Propagação dos modos fundamentais simétrico (S0) e

antissimétrico (A0) com 210 kHz. Distribuição do deslocamento na direção x em t = 40 µs.

Nota-se que o modo simétrico S0 apresenta maior

velocidade de propagação que o modo antissimétrico A0, como já havia sido apresentado na curvas de dispersão (Figura 5).

O campo acústico da distribuição do deslocamento na direção x e a propagação dos modos simétrico e antissimétricos ao longo do tempo (Figuras 7 e 8) poderão ser utilizados em estudos futuros na formação de imagens e análise da interação dos modos com os defeitos.

5. CONCLUSÕES

Observa-se grande concordância entre os resultados simulados e a teoria, além da simulação passar uma ideia muito próxima da realidade, podendo ser utilizada como ponto de partida para os ensaios experimentais.

Sem a necessidade de analisar o caso teórico, o qual deveria considerar não só o estudo da propagação de ondas de Lamb, mas também o transdutor, a interação entre transdutor-placa, geração dos sinais e acoplamento dos

modos, entre outros aspectos, que ficam como sugestão para trabalhos futuros, a simulação traz ganhos significativos, possibilitando o estudo de casos mais complexos reduzindo tempo e custo financeiro como no caso de transdutores com diferentes dimensões e geometrias e o levantamento do campo acústico.

AGRADECIMENTOS

Este trabalho contou com o apoio da agência de fomento FAPESP (processos nº 2010/16400-0 e nº 2010/02240-0).

REFERÊNCIAS

[1]DOI P. Cawley, D.N. Alleyne. “The use of Lamb waves for the long rage inspection of large structu-res. Ultrasonics”, Ultrasonics, Vol. 34(2), pp. 287-290, 1996.

[2]DOI J. L. Rose. “Guided wave nuances for ultra-sonic nondestructive evaluation”, IEEE Transacti-ons on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, Vol. 47(3), pp. 575-583, 2000.

[3] I. Viktorov. “Rayleigh and Lamb Waves – Physical, Theory and Applications”, Plenum Press, 1967.

[4]DOI Z. Su, L. Ye, Y. Lu. “Guided lamb waves for identification of damage in composite structures: A review”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 29(3-5), pp. 753-780, 2006.

[5]DOI P. D. Wilcox, P. Cawley. “The effect of dispersion on long-range inspection using ultrasonic guided wav-es”, NDT & E International, Vol. 39(1), pp. 1-9, 2001.

[6]DOI Y. Gómez-Ullate, F. M. Espinosa. “Piezoelec-tric modelling using a time domain finite ele-ment program”, Journal of the European Ceramic So-ciety, Vol. 27(13-15), pp. 4153-4157, 2007.

[7]DOI D. Alleyne, P. Cawley. “A two-dimensional Fo-urier transform method for the measurement of propa-gating multimode signals”, Vol. 89(3), pp. 1159-1168,

1991.

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