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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

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SUMÁRIO

CAPÍTULO 0 – PARTICULARIDADES E APRESENTAÇÕES

1. Notas Históricas: Um pouco de História – Cálculo Diferencial ............................................... 042. Objetivos ....................................................................................................................................... 043. Avaliações ..................................................................................................................................... 054. Linguagem Matemática ............................................................................................................... 065. Conjuntos Numéricos .................................................................................................................. 076. .................................................................................................................. 05

CAPÍTULO 1 – FUNÇÕES

1. Conceitos ................................................................................................................................... 042. ............................................................................................................................. 053. ...................................................................................................................... 09

CAPÍTULO 2 – LIMITES1. Conceitos ....................................................................................................................................2.......................................................................................................................3. ...................................................................................................................

CAPÍTULO 3 – DERIVADAS .............................................................................................. 21

CAPÍTULO 4 – INTEGRAIS .................................................... 27

CAPÍTULO 5 – APLICAÇÕES GEOMÉTRICAS .......................................... 56

CAPÍTULO 6 – APLICAÇÕES FÍSICAS .................................................................... 59

LISTA GERAL DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS ..... 78

REFERÊNCIAS .............................................................................................................................. 86

SERÁ CONSTRUIDO AO FINAL DA ÚLTIMA VERSÃO DA APOSTILA, AGUARDEM!

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ORIENTAÇÕES DA APOSTILA DE CDI – 1, 2012

Estas notas de aula seguem de muito perto a bibliografia referenciada abaixo e que correspondem aos livros textos desta disciplina, sugere-se a sua aquisição. As notas abordam Funções, Limites, Derivadas e Integrais de uma variável. Sempre que possível são evidenciadas potenciais aplicações, bem como formas de resolução de exercícios e/ou problemas nos softwares (Microsoft Excel e/ou Maple e/ou MatLab). Obs. Referências específicas são apresentadas antes dos textos.

Este texto destina-se aos alunos matriculados na disciplina de CDI-1, ou a quem possa interessar, devendo servir como um guia para as aulas, que são realizadas durante o semestre letivo.

Propositalmente, os resultados fornecidos pelo Maple são apresentados, para que o aluno motive-se a executar e estudar os programas aqui apresentados.

Recomenda-se que o aluno observe atentamente cada resultado, interpretando-o corretamente. A maioria dos programas (resolução de exercícios ou problemas da engenharia) é discutido nas

aulas, e desse modo espera-se que esse material facilite a assimilação do conteúdo das aulas. A resolução dos exercícios propostos é fundamental para entendimento dos assuntos aqui

abordados.

Adverte-se o leitor de que nestas notas de aulas se fará um estudo muito elementar de alguns tópicos e aos interessados em maiores detalhes (demonstrações), sugere-se as referências que aparecem ao longo do texto ou no final da apostila.

Meus interesses de pesquisa estão centrados nas áreas de otimização numérica, programação linear e não-linear, estatística multivariada, nas quais publiquei artigos e apresentei trabalhos em congressos. Interesso-me por questões de ensino básico e terciário e defendo a resolução de problemas como motor fundamental da aprendizagem.

Críticas e sugestões, bem como correção de eventuais erros no material, serão bem recebidas.

[email protected]

Notas do autorPato Branco, março de 2012.

Frases Relevantes

“O professor é aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina.” CORA CORALINA - POETISA BRASILEIRA

“Tudo deve tornar-se o mais simples possível, porém, não simplificado.” ALBERT EINSTEIN

“Não há investimento que forneça maior lucro do que o conhecimento.” AUTOR DESCONHECIDO

“Um investimento em conhecimento sempre paga o melhor juro” BENJAMIN FRANKLIN

“Excelência... não é um ato, mas um hábito.” ARISTÓTELES

“Aprender Cálculo pode ser sua experiência educacional mais empolgante e estimulante pois é a base para quase toda a Matemática e para muitas das grandes realizações no mundo moderno” (LEITHOLD, 1994).

“Nas questões matemáticas, não se compreende a incerteza nem a dúvida, assim como também não pode-se estabelecer distinções entre verdades médias e verdades de grau superior” DAVID HILBERT

“A Matemática é a honra do espírito humano” LEIBNIZ

“Tudo deveria se tornar o mais simples possível, mas não simplificado” ALBERT EINSTEIN

“Não adianta ter um mar de conhecimentos com uma profundidade de um milímetro” CHRISTIAN PINEDO

A educação é o transporte para o futuro.

Para refletir: O que distingue o homem não é a grandeza do gênio, mas a alteza do caráter.

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PARA QUE SERVE A MATEMÁTICA? OSCAR GUELLI

“Para que este sonho se torne realidade”, diz o arquiteto olhando a planta na sua prancheta de trabalho.

“Para interpretar os dados do computador de bordo e determinar a posição do avião”, observa o piloto.

“Necessito dela para estabelecer uma relação entre o mundo físico e a sua representação gráfica quando faço um mapa”, responde o cartógrafo.

“Preciso investigar mediante procedimentos matemáticos a situação da empresa e do mercado antes de sugerir alguns investimentos”, exclama o administrador da empresas.

“Para interpretar estatisticamente os resultados de testes sobre o comportamento humano, como aprendizado, memória, motivação”, relata o psicólogo.

“Para planejar a comida do paciente cujo médico prescreveu uma dieta com proteínas e hidrato de carbono na razão 7:4”, conclui o nutricionista do hospital.

“Para observar e acompanhar o registro das atividades do coração do meu paciente”, pensa o médico olhando um eletrocardiograma.

“Com o auxilio de análises matemáticas posso sugerir modificações que levem harmonia às populações das grandes cidades, como o estudo dos fluxos de trânsito para prevenir acidentes”, afirma o urbanista.

“Para planejar as vastas e complexas redes de comunicações modernas”, se orgulha o engenheiro.

“Para organizar o orçamento doméstico, acompanhar, interpretar e participar ética e conscientemente da política do dia-a-dia”, responde o cidadão comum.

E você? Já parou para pensar nisto alguma vez?

Bom estudo!

Muito problemas que ocorrem cedo na física requerem, para suas resoluções, o conhecimento de equações diferenciais; por este motivo, é importante que o aluno entre em contato com elas o mais rápido possível (GUIDORIZZI, 2001).

Devemos sempre observar o processo de construção do conhecimento, para isso, torna-se imprescindível considerar a participação do aluno ao longo do processo de aprendizagem (GUIDORIZZI, 2001).

A aprendizagem é o fruto exclusivo do trabalho ativo do aluno, cabendo ao instrutor as tarefas de propor problemas desafiantes, orientar o estudante na sua resolução, e fornecer os elementos teóricos essenciais para possibilitar a atividade deste (GUIDORIZZI, 2001).

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1. Notas Históricas: Um pouco de História – Cálculo Diferencial

Um dos ramos da Matemática que mais auxiliaram na resolução de problemas das mais variadas ciências, como Física, Engenharia, Astronomia, Biologia, etc., foi o cálculo diferencial. Podemos dizer que ele nasceu na época de Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630) e foi sistematizado mais tarde, de modo independente um do outro, por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Posteriormente, o cálculo diferencial recebeu contribuições valiosas de Augustin Louis Cauchy (1789-1857) e de G. F. B. Riemann (1826-1866). Hoje, o cálculo diferencial é a ferramenta, por excelência, de praticamente todas as ciências.

O desenvolvimento do cálculo diferencial se deu a partir de dois problemas concretos:

- Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva?- Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, em um dado instante, conhecendo a sua

equação horária?

PESQUISAR RICIERI PRANDIANO VIA COMUT (CAMPUS/CP)

2. Objetivos e Perspectivas:

Trabalhar as ideias, os conceitos matemáticos intuitivamente, antes da simbologia, antes da linguagem matemática.

Oportunizar que o aluno aprenda por compreensão, ou seja, o aluno deve saber o porquê das coisas, e não simplesmente mecanizar procedimentos e regras.

Estimular o aluno para que pense, raciocine, crie, relacione ideias, descubra e tenha autonomia de pensamento. Por exemplo: Propor: Desafios, jogos, quebra-cabeças, problemas curiosos, etc.

Trabalhar a Matemática por meio de situações-problema próprias da vivência do aluno e que façam realmente pensar, analisar, julgar e decidir-se pela melhor solução.

Proporcionar que o conteúdo trabalhado com o aluno seja significativo, que ele sinta que é importante saber aquilo para a sua vida em sociedade ou que lhe será útil para entender o mundo em que vive, e principalmente no exercer de sua atividade profissional.

Valorizar a experiência acumulada pelo aluno na escola e fora da mesma. Estimular o aluno a fazer cálculo mental, estimativas e arredondamentos, obtendo resultados

aproximados. Considerar mais o processo do que o produto da aprendizagem – “aprender a aprender” mais do

que resultados prontos e acabados. Compreender a aprendizagem da Matemática como um processo ativo. Permitir a utilização adequada das calculadoras e computadores. Utilizar softwares matemático para facilitar o processo de ensino-aprendizagem da matemática. Professores, deixem seus alunos utilizarem calculadoras científicas e softwares, mas criem

atividades que exijam raciocínio antes da utilização do mesmo. Utilizar a história da Matemática como um excelente recurso didático.

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3. Avaliação:

A avaliação é um instrumento fundamental para fornecer informações sobre com está se realizando o processo de ensino-aprendizagem como um todo.

A avaliação deve ser essencialmente formativa, vista como um diagnóstico contínuo e dinâmico. A avaliação será um processo de acompanhamento e compreensão dos avanços, dos limites e das

dificuldades dos alunos em atingir os objetivos da atividade de que participam. Em resumo, avalia-se para identificar os problemas e os avanços e redimensionar a ação

educativa, visando ao sucesso escolar. Usar várias formas de avaliação, incluindo as escritas (provas, testes, trabalhos, auto-avaliação,

etc.), as orais (exposições, entrevistas, conversas informais, etc.). Utilizar materiais manipuláveis, calculadoras e computadores na avaliação. Avaliar se o aluno compreendeu os conceitos, os procedimentos e se desenvolveu atitudes

positivas em relação à Matemática. (Dante, 2002) Avaliação: coletar dados => Avaliar = localizar necessidades + Compromisso de superação. “A matemática é profundamente humanizadora” (Celso Vasconcellos, 2005)

Forma de Avaliação: Participação e interesse do aluno durante a aula expositiva-dialogada. Posteriormente, será realizando avaliações escrita e individual e usando um software matemático (Maple, por exemplo). Também será pedido um trabalho onde o aluno deverá trazer uma situação do seu cotidiano (futuro mercado de trabalho, por exemplo), onde possa ser resolvido através da utilização do tópico trabalhado. Na aula seguinte, avaliar a entrega da resolução da lista de exercícios que é um elemento fundamental na fixação de conceitos.

DESAFIO: Duas pessoas viajando, sendo que a primeira pessoa leva consigo 3 pães enquanto a segunda pessoa leva 5 pães. Essas pessoas encontraram um andante, e decidem comer juntas os pães que levam. Todos comeram a mesma quantidade, ao final o andante como recompensa distribuiu 8 moedas de ouro. Quanto cada um deve ganhar de forma que a divisão seja proporcional a contribuição de cada um para acabar com a fome do andante?

LEMBRE-SE:

1o mandamento da matemática: Não dividirás por zero.2o mandamento da matemática: Não aprenderás se não praticar.

Questionário:1. O que significa a palavra matemática? Resposta: Saber Pensar (origem grega)2. O que significa a palavra cálculo? Resposta: Pedrinhas (calculus em latim) 3. O que significa a palavra teorema? Resposta: (teo = Deus e rema = Verdade, portanto, verdade

divina)4. Como provar geometricamente o teorema de Pitágoras? Vejas as seguintes ilustrações.

Apresentamos abaixo links para download de material didático, a saber:

kit de sobrevivência em cálculo (UEM) http://www.uem.edu.br/kit

E-calculo (USP) http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu

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Prof. José Paulo Q. Carneiro

(COLEÇÃO EXPLORANDO O ENSINO MATEMÁTICA, VOL 3, p. 33)

Vamos agora fazer alguns comentários:

Algumas pessoas no processo de aprendizagem da Matemática (alunos, professores, pais, etc.) expressam às vezes a crença de que, com o advento da calculadora, nunca mais haverá ocasião de usar o algoritmo tradicional da divisão. Alguns até usam isso como um argumento para proibir a utilização da calculadora em certas fases iniciais da aprendizagem: “é necessário primeiro que o aluno aprenda o algoritmo tradicional, e só depois lhe será permitido usar a calculadora; senão, ele não terá motivação para aprender tal algoritmo”.

Na realidade, o exemplo aqui tratado mostra que nós, professores, temos que exercer nossa criatividade para criar problemas desafiadores, que coloquem em xeque até mesmo a calculadora, deixando claras as suas limitações, em vez de proibir a sua utilização. O que é uma atitude antipática, repressora, e totalmente contrária ao que um aluno espera de um professor de Matemática. De fato, para um leigo, ou um iniciante em Matemática, nada mais “matemático” do que uma calculadora, e ele espera que um professor vá iniciá-lo ou ajudá-lo com essa ferramenta, e não proibi-lo de utilizá-la.

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Prefácio à 5a Edição

Além de uma revisão de todo o texto, reescrito em várias partes, a presente edição inclui, no início de cada capítulo, uma nota de orientação sobre o conteúdo deles; e, ao final das seções, as respostas, sugestões ou soluções dos exercícios propostos.

Livros são escritos para serem lidos. Infelizmente, os livros textos de Matemática, frequentemente vazados em linguagem muito formal e técnica, são pouco lidos pelos alunos.

Para facilitar sua leitura, este livro foi escrito em uma linguagem coloquial e solta, como se eu estivesse conversando com o leitor. Procurei expor as ideias sem os entraves das apresentações formais, que muitas vezes mais atrapalham do que ajudam no aprendizado. Objetivando maior clareza, entremeei a apresentação com muitos exemplos ilustrativos da teoria. As notas históricas ao final de cada capítulo, além de informativas, são um estímulo a mais na leitura do livro. Outro detalhe, que ajuda muito na leitura, é a referência às páginas. Assim, em vez de escrever “de acordo com o Teorema 3.7”, escrevo “de acordo com o teorema da página 78”; isso facilita bastante e torna rápida a procura do assunto referido.

Espero que o texto seja efetivamente utilizado – e com bastante proveito – por professores e alunos. A utilização do livro pelos alunos não depende somente do autor, mas também, e muito, da maneira como o professor conduz suas aulas. Portanto, colega professor, se você decidiu adotar este livro em seu curso, motive seus alunos a usá-lo efetivamente, não apenas para dele tirar listas de exercícios.

Todos nós, que já passamos pela experiência do aprendizado, sabemos muito bem que quase tudo o que se aprende é devido ao estudo individual em livros. Muito pouco se aprende em sala de aula. Para que, então, servem as aulas? A resposta é simples: para orientar o aluno e disciplinar seu estudo. É por isso que o professor não deve limitar suas aulas à mera repetição do livro, pois isso desencoraja a participação dos alunos e reduz as chances de comunicação. A aula é tanto mais proveitosa e interessante quanto mais ela é usada para esclarecer dúvidas e discutir questões, principalmente aquelas levantadas pelos alunos, resolver os problemas mais difíceis e dar aquela orientação de que o aluno, na sua inexperiência, tanto carece.

É isso que devemos fazer em sala de aula: apresentar as ideias da disciplina, o porquê dos conceitos introduzidos, os resultados dos teoremas, as linhas gerais das demonstrações mais interessantes, sempre procurando mostrar essas diversas partes de maneira organicamente integradas em um todo maior, que o aluno possa apreciar criticamente. Isso vale muito mais no aprendizado do que as apresentações formais ou os detalhes da demonstração de um teorema de importância secundária. Além do que, o aluno deve ser estimulado a estudar pelo livro em casa, onde, aí sim, cabe a ele acompanhar as demonstrações nos seus detalhes, resolver e coletar dúvidas para a aula seguinte.

O ensino de Cálculo é muito facilitado pelo significado geométrico de seus resultados. Aliás, seus conceitos e métodos têm muito de conteúdo geométrico, e a boa didática recomenda que a intuição geométrica seja utilizada sempre, não somente para motivar os resultados, mas também para justificá-los. Muitas vezes vale mais, no aprendizado, uma boa justificativa geométrica do que uma demonstração formal.

O aspecto geométrico foi levado muito em conta na preparação deste livro. Insistimos muito para que os alunos façam sempre os gráficos referentes a todos os problemas e questões que estejam estudando, pois eles são um auxiliar muito valioso no aprendizado.

Muitos alunos, ao longo dos anos, têm reclamado respostas a todos os exercícios do livro, não apenas à metade deles. Pois bem, a presente edição contém respostas a praticamente todos os exercícios, sugestões a alguns mais difíceis e soluções completas aos mais difíceis ainda. Só uma parcela insignificante de exercícios escapou a essa regra, ou por serem muito parecidos com exemplos ou exercícios já resolvidos, ou por terem soluções muito simples.

Espero que isso facilite o seu trabalho, caro estudante. Mas, não se iluda, você tem de fazer a sua parte, com seu esforço próprio, pois ninguém poderá substituir ou aliviar por completo a sua tarefa. Você deve estudar o texto, acompanhar atentamente os exemplos ilustrativos e depois – esta é a parte mais importante – resolver os exercícios propostos. Só consulte as “respostas, sugestões e soluções” depois de trabalhar bastante e não conseguir, por conta própria, superar as dificuldades encontradas.

Resta-me desejar boa sorte ao professor e ao aluno. A ambos deixo aqui o meu pedido, para que me enviem suas críticas e sugestões, que certamente serão úteis na melhoria do livro em edições futuras.

Geraldo ÁvilaCampinas, junho de 1992.

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PARA O ESTUDANTE

O que é Cálculo? Adaptado de THOMAS, Cálculo, vol. 1, 10 ed., p. xv, 2006.

O cálculo é a matemática dos movimentos e das variações. Onde há movimento ou crescimento e onde forças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada. Isso era verdade quando essa disciplina surgiu e continua a valer hoje.

O cálculo foi inventado inicialmente para atender às necessidades matemáticas – basicamente mecânicas – dos cientistas dos séculos XVI e XVII. O cálculo diferencial lidou com o problema de calcular taxas de variação. Ele permitiu que as pessoas definissem os coeficientes angulares de curvas, calculassem a velocidade e a aceleração de corpos em movimento e determinassem os ângulos a que seus canhões deveriam ser disparados para obter o maior alcance, além de prever quando os planetas estariam mais próximos ou mais distantes entre si. O cálculo integral lidou com o problema de determinar uma função a partir de informações a respeito de sua taxa de variação. Permitiu que as pessoas calculassem a posição futura de um corpo a partir de sua posição atual e do conhecimento das forças que atuam sobre ele, determinassem as áreas de regiões irregulares no plano, medissem o comprimento de curvas e de terminassem o volume e a massa de sólidos arbitrários.

Hoje, o cálculo e suas extensões na análise matemática estão muito mais abrangentes e os físicos, matemáticos e astrônomos que inventaram essa disciplina ficariam surpresos e maravilhados, como acreditamos que você ficará, ao observar a quantidade de problemas que ela resolve e a variedade de campos que utilizam o cálculo – em modelos matemáticos que facilitam a compreensão do universo e do mundo ao nosso redor. O objetivo desta apostila é apresentar uma visão moderna do cálculo, aprimorada pela utilização da tecnologia. Como Aprender Cálculo?Aprender cálculo não é como aprender aritmética, álgebra ou geometria. Nessas disciplinas, aprende-se primeiro como calcular com números, como simplificar expressões algébricas e calcular com variáveis, além de como lidar com pontos, retas e figuras no plano. O cálculo envolve essas técnicas e habilidades, mas cria outras também, de alta precisão e em um nível mais profundo. Introduz tantos conceitos e operações computacionais novos que, na verdade, você não conseguirá aprender tudo o que precisa na aula. Você terá de aprender uma boa parte sozinho ou com os colegas. Então, o que fazer?

(1) Leia o texto. Não será possível aprender todos os significados e relações simplesmente fazendo os exercícios. Você terá de ler trechos relevantes do livro, além de acompanhar os exemplos passo a passo. A leitura dinâmica não funcionará aqui. Você deve ler e procurar detalhes de maneira lógica e contínua. Esse tipo de leitura, necessário em qualquer texto técnico e profundo, exige atenção, paciência e prática.

(2) Faça a lição de casa, tendo em mente os seguintes princípios:(a) Esboce diagramas sempre que possível.(b) Escreva suas respostas de maneira lógica e passo a passo, como se es tivesse explicando a alguém.(c) Pense no porquê de cada exercício. Por que ele foi passado? Como ele se relaciona com os outros

exercícios?

(3) Utilize a calculadora gráfica e o computador sempre que possível. Faça o maior número de exercícios gráficos que puder, mesmo que eles não tenham sido passados. Os gráficos ajudam por apresentar uma representação visual de conceitos e relações. Os números podem revelar padrões interessantes. Uma calculadora gráfica ou um computador são opções na resolução de problemas reais ou em exemplos que requerem cálculos difíceis ou demorados de realizar manualmente.

(4) Tente escrever pequenas descrições de pontos-chave ao final de cada seção do texto. Se você conseguir, isso significa que provavelmente entendeu a matéria. Caso contrário, saberá onde ‘falhou’.

Aprender cálculo é um processo que não ocorre na primeira tentativa. Seja paciente e perseverante, faça perguntas, discuta ideias e trabalhe com seus colegas. Procure ajuda o mais rápido possível quando precisar. A recompensa de aprender cálculo é muito gratificante, tanto intelectual como profissionalmente.

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TÚNEL DO TEMPO DO CÁLCULO

Fonte: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu

Obs.: Neste site encontramos um resumo da obra dos mais importantes autores do cálculo.

NOTAS HISTÓRICAS

Um dos ramos da Matemática que mais auxiliaram na resolução de problemas das mais variadas ciências, como Física, Engenharia, Astronomia, Biologia, etc., foi o cálculo diferencial. Podemos dizer que ele nasceu na época de Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630) e foi sistematizado mais tarde, de modo independente um do outro, por Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Posteriormente, o cálculo diferencial recebeu contribuições valiosas de Augustin Louis Cauchy (1789-1857) e de G. F. B. Riemann (1826-1866). Hoje, o cálculo diferencial é a ferramenta, por excelência, de praticamente todas as ciências.

O desenvolvimento do cálculo diferencial se deu a partir de dois problemas concretos:

- Como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dessa curva?

- Como obter a velocidade e a aceleração de um móvel, em um dado instante, conhecendo a sua equação horária?

Pré-requisitos: Conhecimentos de álgebra e Geometria do ensino fundamental e médio.

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NEWTON (1642-1727)

Físico, astrônomo e matemático inglês, Sir lsaac Newton nasceu em Woolsthorpe, Lincolnshire, a 25 de dezembro de 1642 e morreu em Kensington, Middlesex, a 20 de março de 1727. Formou-se pelo Trinity College de Cambridge (1665).

Seus conhecimentos matemáticos e o poder do seu raciocínio impressionam fundamente o matemático lsaac Barrow; mas o próprio Newton colocava a matemática em uma posição secundária, instrumental, a merecer-lhe a atenção na medida em que se revelasse fecundada para a solução de problemas levantados pelas mecânica celeste: donde já ter sido chamado pragmatista anterior ao pragmatismo. Nesse sentido, somente pesquisa novos métodos na medida em que os já conhecidos se revelam insuficientes. Mas, mesmo assim, é profunda a revolução que introduz no campo da matemática. Basta lembrar que antes dele não se tinha conhecimento do cálculo integral. É, ainda, com Newton que assume feição precisa o cálculo diferencial, embora não se possa deixar de referir a valiosa contribuição de FERMAT e DESCARTES.

Newton retira o caráter de mero pressentimento às relações entre o cálculo diferencial e o cálculo integral, fazendo surgir o cálculo infinitesimal. Em sua obra, o cálculo infinitesimal surge sob duas formas, uma das quais, o método dos fluxos, decorrente da outra – o método das primeiras e últimas razões. Em torno da prioridade da descoberta do cálculo infinitesimal levantar-se-ia, mais tarde, acirrada polêmica entre Newton e Leibniz, ou, mais precisamente, entre os adeptos de um e outro.

Está historicamente provado ter havido coincidência de conclusões, alcançadas simultaneamente e independentemente, pelos dois cientistas. Se, cronologicamente, Newton pode ter chegado àquele resultado em primeiro lugar, também é certo que Leibniz se mostra mais feliz no capítulo das notações, criando símbolos que, por comodidade de emprego, ainda hoje são utilizados.

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LEIBNIZ (1646-1716)

Filósofo e matemático alemão, Gottfriend Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig a 1o de julho de 1646 e morreu em Hannover a 14 de novembro de 1716.

Descobridor dos princípios de cálculo diferencial, ao mesmo tempo que Newton, Leibniz julgava possível a criação de uma linguagem científica universal (characteristica universalis), que, complementada por um sistema dedutivo e simbólico (ars combinatoria), pudesse substituir a argumentação discursiva pelo cálculo, em todos os campos do saber. Seu método seria o da análise do infinito, a partir do princípio de continuidade, pelo qual só pode algo passar de um estado a outro mediante um número infinito de intermediários, e toda a realidade é plenamente relacionada em suas partes.

As ideias de continuidade e de plenitude (impossibilidade do vazio) estão relacionadas no mecanismo dinâmico de Leibniz, em que se destacam a noção de força e a noção de conatus, criada por Hobbes e entendida como movimento infinitamente pequeno. No entanto, a concepção do universo como um plenum contínuo baseia-se nos dois princípios fundamentais do racionalismo leibniziano: o princípio da razão suficiente e o princípio de perfeição.

Referência: Fotos e textos reproduzidos da Encyclopaedia Britannica, respectivamente, páginas 8069 e 6719, edição 1976. Encyclopaedia Britannica do Brasil Ltda.

GEOMETRIA ANALÍTICA

Muitos matemáticos devem ter ficado surpresos quando viram pela primeira vez a ideia de um jovem filósofo e matemático francês, René descartes (1596-1650), de representar um par de números por um ponto no plano.

Que ideia tão simples e brilhante!

Mas não foi apenas pensando na Matemática que Descartes teve essa ideia. Descartes viveu em uma época agitada com a colonização do Novo Mundo e, alguns dos novos mapas que deve ter visto, provavelmente lhe sugeriam o método de construir gráficos.

Antes disso, no terceiro século a.C., os matemáticos gregos Apolônio de Perga (250-175 a.C.) e Arquimedes (287-212 a.C.) tinham usado latitude, longitude e altura para determinar a posição de um ponto.

Descartes, em latim Cartesius, estabeleceu uma ponte entre a Geometria e a Álgebra, embora seu objetivo principal fosse criar novos métodos para construções geométricas, mais do que encontrar métodos algébricos para a geometria.

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O NÚMERO DE OURO ( ):

Um Pouco de História do cálculo

Algumas ideias do Cálculo podem ser encontradas nos trabalhos dos matemáticos gregos da Antiguidade, da época de Arquimedes (287-212 A.C.) e em trabalhos do início do século dezessete por René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677). Entretanto, a invenção do Cálculo é frequentemente atribuída a Sir Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) pois eles começaram a efetuar a generalização e unificação do assunto. Havia outros matemáticos do século dezessete e dezoito que contribuíram para o desenvolvimento do Cálculo; alguns deles foram Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783) e Joseph L. Lagrange (1736-1813). No entanto, não foi antes do século dezenove que os processos do Cálculo receberam fundamentação sólida por parte de matemáticos como Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin L. Cauchy (1789-1857), Karl Weierstrass (1815-1897) e Richard Dedekind (183 1-1916).

Axioma: a palavra axioma é usada para indicar uma afirmação formal considerada verdadeira, dispensando provas (demonstrações).

Teorema: as propriedades que podem ser obtidas como consequências lógicas dos axiomas são os teoremas. No enunciado da maioria dos teoremas existem duas partes: a parte do “se”, chamada de hipótese e a parte do “então”, chamada de conclusão. A argumentação que verifica a veracidade de um teorema é uma demonstração (ou prova), a qual consiste em mostrar que a conclusão é consequência de se admitir a hipótese como verdadeira.

Conjunto: é uma coleção de objetos e os objetos de um conjunto são chamados elementos.

Variável: Uma variável é um símbolo usado para representar qualquer elemento de um conjunto dado.

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Teorema de Pitágoras – uma demonstração

Adaptado de: MUNOZ RIVERA, J.E. Cálculo Diferencial e Integral I. Textos de Graduação. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática Aplicada e Computacional. Laboratório Nacional de Computação Científica. Petrópolis, Rio de Janeiro – Brasil, 2007.

Teorema: A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Demonstração: Temos então que encontrar uma identidade. Para isto é necessário expressar de duas formas diferentes uma mesma expressão. Por exemplo uma simples inspeção na figura ao lado vemos que a área do quadrado maior, pode ser expressado como a soma das áreas do quadrado inscrito mais a soma das áreas dos quatro triângulos retângulos dentro dele. Denotemos por d o lado do quadrado interno. Note que este lado representa a hipotenusa dos triângulos inscritos. Assim temos:

Área do quadrado =

áreas dos triângulos + área do quadrado interno

Assim, podemos escrever:

Portanto,

que mostra o teorema de Pitágoras.

Uma simples análise ao processo anterior, nos mostra que a ideia principal foi expressar a área do quadrado de duas formas diferentes para obter a identidade.

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1. LINGUAGEM MATEMÁTICA

SÍMBOLO LÊ-SE= Igual

Diferente (exemplo: )Aproximadamente (exemplo: )

Coincidentes (exemplo: retas coincidentes)Não coincidentesPor cento (indica uma divisão por 100, por exemplo: 5% = 5/100)Mais ou menos (exemplo: )

Maior que Maior ou igual a Menor que Menor ou igual a Tal que

Qualquer que seja ou todo elemento Implica Se, e somente se Existe

Não existe Único Pertence Não pertence União Intersecção Está contido Contém

A não está contido em BConjunto dos números naturais Conjunto dos números inteiros Conjunto dos números racionais

ou ou Conjunto dos números irracionaisConjunto dos números reais

ou Usado para indicar conjunto vazio* Indica a exclusão do elemento zero/ / Paralelas ou paralelos (exemplo: retas paralelas)

Perpendicular ou ortogonal (exemplo: retas perpendiculares)Conforme queríamos demonstrarSomatório

ProdutórioInfinitof é uma função do conjunto A no conjunto B Limite da função f quando x tende a p é igual a L.

Notações usadas para representar a derivada de uma função: .

Integral indefinida da função f em relação a variável x.

Integral definida da função f em relação a variável x, de a até b.

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2. CONJUNTOS NUMÉRICOS:

2.1. Números Naturais (Símbolo ) Nota: , conhecido como conjunto dos números inteiros positivos.

2.2. Números Inteiros (Símbolo ) Curiosidade: A escolha da letra para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao

fato da palavra Zahl em alemão, significar número. Nota: N (todo número natural é um número inteiro)

2.3. Números Racionais (fração) (Símbolo Q) Definição:

Curiosidade: A utilização da letra deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois números inteiros.

Notas: (i) Z Q (todo número inteiro é um número racional). (ii) Toda dízima periódica é um número racional.(iii) Ao fazer medições notaram que nem sempre as medidas são exatas.

Exemplos:

1o mandamento da matemática: Não dividirás por zero.2o mandamento da matemática: Não aprenderás se não praticar.

2.4. Números Irracionais (Símbolo )

Definição: São os números que não podem ser escritos na forma:

Exemplos:1) Determinação da hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos iguais a 1.

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

, onde:

2) O número pi : Geometricamente:

onde: , com : raio da circunferência.

3) Diagonal de um cubo de aresta Aplicando duas vezes o teorema de Pitágoras, temos:

, onde:

4) O número de Euler , usado, por exemplo, no sistema de capitalização composta contínua (usado em juros compostos, por exemplo).

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Para lembrar: Os números irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos.

Números irracionais célebres:

Radicias ( ): a raiz quadrada de um número natural, se não é inteira, é irracional.

O número : 3,141592653...

O número e: 2,718... (muito importante em matemática avançada).

O número de ouro ( ): 1,61803...

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2.5. Números Reais (Símbolo ) Chamamos de número real todo número racional ou irracional, ou seja, o conjunto dos números reais e a união (ou reunião) dos conjuntos dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (QC), isto é:

e ou

Conclusão: e

2.6. A representação dos conjuntos numéricos através do diagrama de Venn, consiste em colocar os elementos no interior de uma curva fechada simples (sem intersecções).

Um conjunto que tenha todos os elementos com os quais se deseja trabalhar chama-se conjunto universo. O nosso objeto de estudo será o conjunto dos números reais, assim o nosso universo será os números reais.

Em estão definidas as operações de adição e multiplicação. Dados associamos a esse par de números: , , respectivamente a soma e o produto de por .

2.7. Propriedades algébricas dos números reais

1) Associativa:

2) Comutativa:

3) Distributiva:

4) Elemento neutro:

5) Existência do oposto:

6) Existência do inverso:

7) ,

8) Lei do anulamento: tem-se

9) Lei do cancelamento: , tem-se:

10) desde que Demonstração: (c.q.d)

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2.8. Relação de ordem em Um número real é maior que um número real , quando a diferença for positiva, isto é:

Notações:

Propriedades de ordem: Tricotomia: Dados , temos: Transitiva: Dados , temos: , , , ,

, Exemplo:

2.9. Representação gráfica dos números reais

Os números reais podem ser representados geometricamente por pontos de uma reta. Para isso escolhem-se dois pontos distintos da mesma, um representando o 0 e o outro o 1. Tomando o segmento de extremidades 0 e 1 como unidade de medida, marcamos os demais números reais.

Mas, como representar um ponto na reta que não é racional?Exemplo: Representar o número irracional

2.10. Módulo ou valor absoluto de um número realO valor absoluto (ou módulo) de um número real , que representamos por é definido por:

Exemplo:

Geometricamente, o módulo é a distância do ponto à origem (ponto 0), na reta real.

Para o nosso exemplo, temos:

Analogamente, se desejarmos a distância de dois pontos e na reta real, indicamos por:

distância de até e distância de até Geometricamente,

... 0 1 2 3 ...

A reta real

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É obvio que

2.11. Propriedades de módulo:Dados , tem-se: e

, ou melhor:

Se

2.12. 4 = 5?

Tomemos os números: 16, 25, 36 e 45. Podemos afirmar, com certeza que

16 – 36 = 25 – 45

Somando em ambos os membros da equação , temos:

Transformando em um trinômio quadrado perfeito,

Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros, temos:

Somando em ambos os membros, vamos a:

4 = 5

que é um absurdo. Então onde está o erro?

21

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2 = 1?

22

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2.13. Operações com conjuntos

União (ou reunião) de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se união (ou reunião) de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. A união de A com B é indicado por:

Em símbolos, temos:

Intersecção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B. A intersecção de A com B é indicado por:

Em símbolos, temos:

Número de elementos da união entre conjuntosIndicando por o número de elementos do conjunto A; o número de elementos de B;

o número de elementos de e o número de elementos de , é válida a seguinte relação:

Diferença entre conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. A diferença entre A e B é indicado por:

Em símbolos, temos:

Exemplo: Dados os conjuntos , determine:a)b)c)d) As quantidades: .e) A relação matemática entre as quantidades determinadas anteriormente.

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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos:a) b) c) d)

2) Os elementos dos conjuntos abaixo são números naturais. Escreva estes conjuntos através de uma propriedade que os caracterize

a) b) c)

3) Represente os conjuntos a seguir indicando seus elementos. Caso o conjunto não tenha elementos, represente-o por: ou . Nota: Nunca utilize a notação para indicar conjunto vazio, é um erro.a)b)

4) O conjunto A está representado pelo diagrama de Venn (ou Euler-Venn). Represente esse mesmo conjunto:

a) Indicando seus elementos entre chaves;

b) Por uma propriedade característica de seus elementos.

5) Considerando como conjunto universo, determine o conjunto solução de:a)b)c)d)

Respostas:1) a) b) c) d)

Nota: item d) , assim:

2) a) b) c) ou

3) a) b)

4) a) b)

5) a) b) c) d)

6) (PUC-MG) O valor exato de é:

a) b) c) d) e)

Resposta: e

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7) Escreva na forma de fração irredutível.a) 0,2 b) –2,4 c) 0,777... d) 0,232323...e) 2,454545... f) 0,5212121... g) 0,0222... h) 3,2444...

Resposta: a) b) c) d) e) f) g) h)

8) Escreva na forma fracionária os seguintes números decimais:a) 0,666 b) 0,666... c) 0,060606...d) 0,0666... e) 0,6151515... f) 0,615615...

Resposta: a) b) c) d) e) f)

9) Usando os símbolos , estabeleça uma relação entre:

a) b) c) d) e) f)

Resposta: a) b) c) d) e) f)

10) Escreva os seguintes conjuntos indicando seus elementos:a) b) c) d) e) f) Resposta: a) b) c)

d) e) f)

11) Classifique como racional ou irracional cada um dos seguintes números reais:a) 2,3 b) 2,333... c) 2,34455667... d)

e) f) g) h)

Resposta: a) Racionais: a, b, e, g; Irracionais: c, d, f, h

12) (FCM-MG) Sendo e , todas as afirmativas abaixo são

corretas, exceto:

a) b) c) d) e)

Resposta: a

13) Dados os conjuntos A = {x/ xN e x é par} e B = {x/ xZ e – 5 x 5}, determine AB e AB. Resposta: AB = {0, 2, 4} e AB ={-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 6, 8, ...}

14) Classifique cada uma das afirmações a seguir como V (verdadeira) ou F (falsa).a) 6 é número racional.

b) é número natural.

c) é número racional.

d) 0 é número real.e) Se x é um número irracional, então 5+x é um número irracional.f) A dízima periódica 4,7777... é número irracional.g) – 4 é número par. Resposta: a) V b) F c) V d) V e) V f) F g) V

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15) Transforme em fração irredutível os números decimais:a) 2,5b) 3,81c) 0,03d) 4,222... (dízima periódica)e) 3,4555... (Para obter a geratriz dessa dízima, faça g = 3,4555...; a seguir, multiplique por 10 e por

100 ambos os membros dessa igualdade; finalmente, efetue 100g – 10g.) Resposta: a) 5/2 b) 381/100 c)3/100 d) 38/9 e) 311/90

16) Resolver as inequações no universo :

a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

d) Resposta:

17) O menor número inteiro que satisfaz a inequação é: Resposta: -2

( ) – 3 ( ) –2 ( ) –1 ( ) 0 ( ) 1

18) Resolver no universo as inequações:a) Resposta: b) Resposta: S =

19) Resolva as inequações simultânea em :

a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

d) Resposta:

e) Resposta:

20) Resolva as inequações:

a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

d) Resposta:

21) Resolva as inequações:a) x2 – 3x – 10 > 0 Resposta: S = {x/ x< - 2 ou x > 5}b) x2 – 1 0 Resposta: S = {x/x - 1 ou x 1} c) 9x2 – 12x + 4 < 0 Resposta: S = d) –x2 + 4x – 4 0 Resposta: S =

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e) (3x – 5)2 > (5x – 3)2 Resposta: S = {x/ - 1 < x < 1}

22) Determine graficamente a solução da inequação

23) Determine graficamente os pontos da reta para os quais .0y

24) Dada a inequação tem-se que a solução é: Resposta: b

a) b) c) d)

25) Considerando as funções e , para que valores reais de x tem-se

? Resposta: S = {x/ 0 < x < 2 ou x > 5}

26) Resolva as inequações modulares:a) |x – 2| = 1 Resposta: x = 1 ou x = 3b) |x + 1| = 3x – 1 Resposta: condição de existência (3x – 1) 0 x = 1c) |x|2 – |x| – 2 = 0 Resposta: x = 2d) |x – 2| 3 Resposta:

e) (4x – 1) < 3 Resposta:

27) Simplifique: a) b) c)

28) Divida por e conclua que:

29) Verifique as identidades:a) x2 – a2 = (x – a) (x + a)b) x3 – a3 = (x – a) (x2 + ax + a2)c) x4 – a4 = (x – a) (x3 + ax2 + a2 x + a3)d) xn – an = (x – a) (xn-1 + axn-2 + a2 xn-3 + ... + an-2 x + an-1)

30) Verifique as identidades: a)

b)

c)

d)

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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

1) Dona Vera, professora de uma turma de 40 alunos, quis saber quantos se interessariam pelos cursos extras que a escola estava oferecendo. Existiam as seguintes opções: curso de computação e curso de ecologia. Sabendo que 25 ergueram o braço quando ela perguntou quem gostaria de fazer o curso de computação, 10 interessados levantaram a mão, escolhendo o curso de ecologia e 5 alunos demonstraram participar dos dois cursos, determine quantos alunos não se interessaram por nenhum dos cursos. Resposta: 10

2) Em uma classe de 48 alunos, cada aluno apresentou um trabalho sobre ecologia, tendo sido indicados dois livros sobre o assunto. O livro A foi consultado por 26 alunos e o livro B, por 28 alunos. Sabendo-se que cada aluno consultou pelo menos um dos dois livros, pergunta-se:

a) Quantos alunos consultaram os dois livros?b) Quantos alunos consultaram apenas o livro A?Solução:a) . Assim, os livros A

e B foram consultados por 6 alunos.b) Entre os 26 alunos que consultaram o livro A, existem 6 alunos que consultaram também o livro B.

Logo, o número de alunos que consultaram apenas o livros A é 26 - 6 = 20.

3) Desejando verificar qual o jornal preferido pelos estudantes, uma pesquisa apresentou os resultados constantes da tabela a seguir.Jornais A B C A e B A e C B e C A, B e C NenhumNúmero de leitores 300 250 200 70 65 105 40 150

Pergunta-se:a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A?b) Quantas pessoas lêem o jornal A ou B?c) Quantas pessoas não lêem o jornal C?d) Quantas pessoas foram consultadas?Resposta: a) 205 b) 480 c) 500 d) 700

4) (Unicsul-SP) Os conjuntos A, B e A B têm, respectivamente, 10, 15 e 7 elementos. O número de elementos de A B é: Resposta: e

a) 22 b) 25 c) 17 d) 32 e) 18

5) Em uma creche com 120 crianças, verificou-se que 108 haviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contra o sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas vacinas. Quantas crianças foram vacinadas contra poliomielite e sarampo? Resposta: 90

6) O quadro a seguir mostra o resultado de uma pesquisa entre alunos de uma escola de ensino médio sobre suas preferências em relação às revistas A ou B.

Revistas A B NenhumaNúmero de Leitores 180 160 60 40

Pergunta-se:a) Quantos estudantes foram consultados?b) Quantos lêem apenas a revista A?c) Quantos não lêem a revista A?

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d) Quantos alunos lêem a revista A ou a revista B?Resposta: a) 320 b) 120 c) 140 d) 280

7) Uma escola ofereceu aos alunos da 1a série do ensino médio cursos paralelos de informática (I), xadrez (X) e fotografia (F). As inscrições constam na tabela a seguir.

CursosI X F I X I F X F I X F Nenhum

Número de inscrições 24 10 22 3 5 4 2 4Pergunta-se:a) Quantos alunos cursavam a 1a série do ensino médio?b) Quantos optaram apenas pelo curso de fotografia?c) Quantos não se inscreveram no curso de xadrez?d) Quantos fizeram inscrições para os cursos de informática ou fotografia?Resposta: a) 50 b) 15 c) 40 d) 41

8) (Fuvest) No vestibular Fuvest 90 exigia-se dos candidatos à carreira de administração a nota mínima 3,0 em matemática e em redação. Apurados os resultados, verificou-se que 175 candidatos foram eliminados em matemática e 76 candidatos foram eliminados em redação. O número total de candidatos eliminados por essas duas disciplinas foi 219. Qual o número de candidatos eliminados apenas pela redação? Resposta: 44

9) (PUC-PR) Em um levantamento com 100 vestibulando da PUC, verificou-se que o número de alunos que estudou para as provas de matemática, física e português foi o seguinte: matemática, 47; física, 32; português, 21; matemática e física, 7; matemática e português, 5; física e português, 6; as três matérias, 2. Quantos dos 100 alunos incluídos no levantamento não estudaram nenhuma das três matérias? Resposta: 16

10) (Esal-MG) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 assistem ao canal B, dos quais 150 assistem a ambos os canais A e B e 80 assistem a outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas é: Resposta: d

a) 800 b) 720 c) 570 d) 500 e) 600

11) (PUC-RS) Em uma empresa de 90 funcionários, 40 são os que falam inglês, 49 os que falam espanhol e 32 os que falam espanhol e não falam o inglês. O número de funcionários dessa empresa que não falam inglês nem espanhol é: Resposta: c

a) 9 b) 17 c) 18 d) 27 e) 89

12) (PUC-MG) O número de elementos da união de dois conjuntos A e B é = 15. Se = 7 e =3, é igual a: Resposta: c

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

13) (Vunesp) Em uma classe de 30 alunos, 16 gostam de matemática e 20 de história. O número de alunos dessa classe que gostam de matemática e de história é: Resposta: a

a) exatamente 6 b) exatamente 10 c) no máximo 6 d) no mínimo 6 e) exatamente 18

14) (PUC-MG) Dados os conjuntos e , o conjunto X tal que e é: Resposta: c

a) b) c) d) e)

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3. INTERVALOS

3.1. Introdução:

Sempre que existirem problemas em que as variáveis assumam valores que oscilam entre determinados números reais, utilizamos o conceito de intervalo.

Exemplo:

1) Na olimpíada de matemática realizada pela Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) com médias variando de 0 a 10, foram premiados os candidatos que obtiveram médias iguais ou superior a 5,0, segundo o quadro a seguir.

Médias PrêmiosR$ 150,00R$ 300,00R$ 500,00

Assim, a premiação foi efetuada de acordo com os intervalos aos quais pertencem cada nota.

Definições:

Se e , um intervalo de é um subconjunto de que tem uma das seguintes formas:

Notas:

1) Os caracteres não são números, são apenas símbolos. Os mesmos são lidos, respectivamente, menos infinito e mais infinito.

2) é denominado intervalo fechado (os extremos fazem parte do conjunto), os demais são intervalos semi-abertos (apenas um dos extremos pertence ao conjunto) ou abertos (os extremos não pertencem ao conjunto).

3) Faça a representação geométrica (na reta real) de cada um dos conjuntos apresentados anteriormente.

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Exemplos:

1) Represente na reta real os intervalos:a) [-3; 4] b) [1; 3[ c) d)

e) f) g) h)

2) Resolva a inequação: Resposta: ou

3) Resolva a inequação: Resposta: ou

4) Determine a união dos seguintes intervalosa) Resposta: ou

b) Resposta: ou

c) Resposta: ou

5) Determine a intersecção dos seguintes intervalosa) Resposta: ou

b) Resposta:

c) Resposta:

Nota: A intersecção de dois intervalos pode ser um intervalo, um conjunto unitário (apenas um elemento) ou o conjunto vazio.

6) Resolva no universo as inequações:a) Resposta:

b) Resposta: ou

7) Reescreva as desigualdades, de modo que apenas x fique entre os sinais de desigualdades.a) Resposta:

b) Resposta:

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3.2. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Represente na reta real os intervalos:a) [-3; 4] b) [1; 3[ c) d) e) f) g) h)

2) Dados os conjuntos e , determine:a) b) Resposta: a) b)

3) Determine os seguintes intervalos representados na reta real, usando a notação de colchetes.Resposta:

Resposta:

Resposta:

Resposta:

Resposta:

Resposta:

4) Usando desigualdades, indique em cada caso os intervalos em destaque.a) Resposta:

Resposta:

Resposta:

b)

c)

5) Determine a intersecção dos seguintes intervalosa) Resposta: ou b) Resposta: c) Resposta: d) Resposta: ou

6) Determine a união dos seguintes intervalosa) Resposta: ou b) Resposta: ou c) Resposta: ou d) Resposta:

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EQUAÇÃO DE PRIMEIRO GRAU

O que são equações e como resolvê-las?

O Papiro de Rhind, um dos documentos mais antigos e importantes sobre Matemática egípcia, nos mostra que em 1.700 a.C. o homem já trabalhava com problemas que envolviam quantidades desconhecidas. No século III, o matemático grego Diofante dá a esses problemas um tratamento especial. É quando se inicia a teoria das equações. Só a partir do século XVI, no entanto, com o desenvolvimento da notação algébrica, é que a teoria das equações passa a ser um ramo independente da Matemática. A linguagem algébrica tem sido extremamente importante para a ampliação do conhecimento. Quanto mais a dominamos, mais facilmente podemos expressar e resolver problemas, científicos ou cotidianos. Estudaremos em seguida as equações algébricas.

O que as caracteriza, de modo geral, é a presença de uma variável e o sinal de igualdade. O sinal de igual (=) tem um significado amplo em Matemática. Nas equações, é utilizado para expressões que somente são iguais para certos valores (ou para nenhum valor) de suas variáveis. Aqui, as variáveis são chamadas de termos desconhecidos ou incógnitas. Escrever essas igualdades equivale a dar às variáveis a condição de igualarem duas expressões.

Igualdade

Vamos pensar na seguinte situação: fomos ao supermercado para comprar uma lata de óleo que custa 2,50 reais e quatro latas de extrato de tomate por 0,60 centavos de reais cada. Quanto pagamos ao todo? Para resolver esta questão podemos expressar esta situação a partir de uma sentença matemática:2,50 + 0,60 x 4 = 4,90. Nesta expressão aparece o sinal =. Aqui diremos que se trata de uma igualdade.

Identidade

Uma identidade é uma igualdade que se verifica para qualquer valor numérico das variáveis.

Propriedade fundamental

Podemos pensar em uma equação como uma balança de dois pratos, em que o fiel da balança corresponderia ao sinal de igual (=). Observando a foto abaixo percebemos que o equilíbrio entre os pratos da balança não se modifica se adicionarmos ou retirarmos uma mesma quantidade dos dois pratos:

O mesmo acontece com os membros de uma equação. Se somarmos, subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos os dois membros de uma equação por um mesmo número, a igualdade se mantém.

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INEQUAÇÕES DO 10 GRAU

Assim como as equações, as inequações também são necessárias em várias situações do nosso dia-a-dia. Observe o exemplo a seguir:

Dividindo a massa m, em kg, de uma pessoa pela segunda potência de sua altura h, em metros, obtém-se um valor IMC, chamado de Índice de Massa Corporal, isto é:

A tabela a seguir classifica uma pessoa como magra, normal, levemente obesa ou obesa, em função de seu índice IMC de massa corporal:

Homem Mulher Classificação Magra Normal Levemente obesa Obesa

De acordo com essa tabela, quantos quilogramas precisa emagrecer uma mulher de 1,70 m de altura e 65 kg para ser classificada como magra?Solução:

A massa , em kg, que a mulher precisa perder deve satisfazer a desigualdade:

Assim, se conclui que a mulher deve perder 10,09 kg.

As desigualdades e são chamadas de inequações do 10 grau.

Inequação do 10 grau na variável é toda desigualdade que pode ser representada sob as formas:

que e são constantes reais, com .

A resolução desse tipo de inequação é fundamentada nas propriedades das desigualdades descritas a seguir: Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma desigualdade, ou subtraindo um

mesmo número de ambos os membros, a desigualdade se mantém. Exemplos: e

. Dividindo ou multiplicando ambos os membros de uma desigualdade por um número positivo, a

desigualdade se mantém. Exemplo: . Dividindo ou multiplicando por um mesmo número negativo ambos os membros de uma

desigualdade do tipo , a desigualdade inverte o sentido. Exemplos: e .

LISTA DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

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1) De acordo com essa tabela, quantos quilogramas precisa emagrecer um homem de 1,70 m de altura e 65 kg para ser classificada como magro? Resposta: 7,2 kg

2) Considere as seguintes informações: Salário mínimo => R$ 260,00 Mês => 30 dias Gasto =>10 R$/dia x => número de dias decorridos, ou seja, , ou ainda, => Saldo em função do número de dias decorridos

Pergunta-se:a) Qual a função que estabelece a relação entre e ?

Resposta:

b) Em dia o saldo será nulo? Resposta: No dia 26, ou ainda,

c) Quais os dias em que o saldo será positivo? Resposta: Do dia 10 até o 250 dia, ou ainda,

d) Quais os dias em que o saldo será negativo?Resposta: Do dia 270 até o 300 dia, ou ainda,

3) Um banco paga as contas de um cliente. As contas vencem, no mês de setembro, segundo a função

, em que {1, 2, 3, ..., 30} e é o saldo do cliente em milhares de reais, no dia

de setembro. a) Em que dia do mês de setembro o saldo do cliente chega a R$ 0,00. Resposta: 27 de setembro

b) Em que intervalo de tempo, no mês de setembro, o saldo é positivo? Resposta: de 1 a 26 de setembro

c) Em que intervalo de tempo, no mês de setembro, o saldo é negativo? Resposta: de 28 a 30 de setembro

4) Para enviar uma mensagem por fax, um comerciante cobra uma taxa fixa de R$ 1,20 mais R$ 0,54 por página enviada, completa ou não. Qual é o número mínimo de páginas que devem ser enviadas para que o preço ultrapasse R$ 10,00? Resposta: 17 páginas

5) Duas cidades possuem juntas mais de 200.000 habitantes. Uma delas possui 20.000 habitantes a mais que a metade da população da outra. Pode-se afirmar que: Resposta: c

a) A cidade mais populosa possui menos de 150.000 habitantes.b) A cidade menos populosa possui mais de 90.000 habitantes.c) A cidade mais populosa possui mais de 120.000 habitantes.d) A cidade menos populosa possui 80.000 habitantes. e) A cidade menos populosa possui 70.000 habitantes.Solução:

Portanto, a alternativa c é a correta.

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FORMALIZAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO

Par ordenado: É um conjunto formado por dois elementos , onde é o 10 elemento do par (chamado abscissa) e é o 20 elemento do par (chamado ordenada). Todo par ordenado pode ser representado no plano cartesiano.

Exemplo: Localizar os seguintes pares no plano cartesiano:A(3; -2) B(4; 2) C(3; 1) D(-2; -2) E(0; 0) F(2; 0) G(-2; 0) H(0; -3)

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Determine as coordenadas dos pontos: M, N, P, Q, R, S, T e V

2) Estão escritos, logo abaixo, os pares que correspondem aos pontos que permitem desenhar o chapéu do zorro, no quadriculado (plano cartesiano):

(-3, 0); (6, 4); (2, 3); (1, 5); (-1, 4); (0, 2) Localize esses pontos no plano cartesiano abaixo, una-os na ordem em que estão escritos. Ligue,

por fim, o último ao primeiro.

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Page 37: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

3) O diretor do jardim zoológico recebe uma mensagem secreta anunciando a chegada de um novo animal. Encontre os pontos correspondentes aos pares escritos na mensagem. Ligue-os na ordem em que estão escritos e obterá a resposta.

Mensagem Secreta:

(4,7); (5, 5); (6, 7); (6, 8); (4, 9); (3, 8); (3, 6); (2, 4); (0, 4); (1, 3); (3, 4); (4, 6); (3, 2); (4, 5);(5, 4); (5, 1); (6, 1); (7, 4); (8, 4); (9, 1); (10, 1); (10, 4); (12, 2); (10, 5); (9, 7); (6, 7).

Aplicações de Funções – Noções Intuitivas - Cotidiano

Exemplos:

1) Função saldoDados:

Considere o salário mínimo => R$ 350,00 Considere o mês com 30 dias. Gasto => 17,50 R$/dia. x => número de dias decorridos, ou seja, , ou ainda, => Saldo em função do número de dias decorridos

Pergunta-se:e) Qual a função que estabelece a relação entre e ?

Resposta: f) Em dia o saldo será nulo?

Resposta: No dia 20, ou ainda, g) Quais os dias em que o saldo será positivo?

Resposta: Do dia 10 até o 190 dia, ou ainda, h) Quais os dias em que o saldo será negativo?

Resposta: Do dia 210 até o 300 dia, ou ainda, e) Estude o sinal da função construída.

f) Usando a planilha eletrônica Microsoft Excel e a opção gráfico de dispersão (após, use o botão direito do mouse e escolha o tipo de gráfico e linha de tendência).

+ + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - 17,5

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Page 38: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

Nota: Essa função é uma função do 10 grau e mais, a mesma é uma função decrescente.

2) Salário proporcional ao número de horas trabalhadas (trabalhador horista)Dados:

ou => Salário mensal a ser recebido. => número de horas mensais. R$ 5,00 => Valor da hora trabalhada.

Escrevendo na linguagem matemática, temos:

ou

3) Salário fixo mais uma comissão pelas vendasDados:

Salário fixo => R$ 350,00. ou => Salário mensal a ser recebido. => Total de vendas efetuadas no mês (valores em reais). Comissão de 3% sobre o valor total de vendas.

Escrevendo na linguagem matemática, temos:

ou

Dia Saldo Situação

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Page 39: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

PRODUTO CARTESIANO

Definição: Sejam e conjuntos diferentes do vazio, chama-se produto cartesiano de por , e indica-se , o conjunto cujos elementos são todos os pares ordenados , tais que e

.

Em símbolos, sendo , temos:

Sejam, por exemplo, os conjuntos . Vamos formar todos os pares ordenados em que o primeiro elemento pertença a A e o segundo, a B. Assim: (1, 4), (1, 5), (3, 4), (3, 5), (5, 4) e (5, 5).

O conjunto formado por todos esses pares ordenado é chamado produto cartesiano de A por B, e é indicado por: .

Então:

Esse conjunto pode ser representado no plano cartesiano assim:

Outra forma de representar é por meio de um diagrama de flechas.

Exercício proposto: Determine o produto cartesiano nos casos:

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Page 40: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

a)b)c) e Solução:

Relação entre dois conjuntos: Dados dois conjuntos e , chama-se relação de em a todo subconjunto do produto cartesiano .

Exemplo:

1) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, temos, como relações, por exemplo: R1 = { (1, 4); (2, 5)}; R2 = {(2, 4); (1, 5)] (3, 4); (3, 5)}; R3 = {(2, 4), (2, 5), (3, 5)}, entre outras.

Função: Sejam e conjuntos diferentes do vazio. Uma relação de em é função se, e somente se, todo elemento de estiver associado, através de , a um único elemento de .

Notação: (indica que é uma função de em )

Em símbolos, sendo , temos: é uma função

Em diagramas:

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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Uma empresa de locação de carros está fazendo uma promoção: quando o carro é retirado, ele já vem com R$ 25,00 de gasolina no tanque. Para cada dia de uso, deverão ser pagos R$ 60,00. O custo total em reais (y) é função do número de dias (x), dada por: . Pergunta-se o preço da locação por 7 dias. Resposta: R$ 395,00

2) Suponha que o custo total em unidades monetárias (u.m.) de produzir q unidades de um certo bem é dado pela função: C(q) = q3 – 30q2 + 400q + 500.

a) Calcule o custo de produzir 20 unidades. Resposta: C(20) = 4500b) Calcule o custo de produzir a vigésima unidade. Resposta: C(20) – C(19) = 371

3) Suponha que t horas após a meia-noite, a temperatura em Pato-City era graus

Celsius.a) Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta: C(14) 33,33 0 Cb) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 18 e 21 horas? Resposta: C(21) – C(18) = - 7,50C

4) Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de

aproximadamente minutos.

a) Qual é o domínio da função , ou seja, quais valores são possíveis para ?Resposta: Todo número real , exceto = 0 (*)

b) Para que valores de a função ( ) tem significado no contexto do experimento psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo

c) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutosd) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos?

Resposta: 12a tentativa e) De acordo com a função , o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o

labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o labirinto em menos de 3 minutos?

Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos.

5) Uma bola foi jogada do alto de um prédio. Sua altura (metros) após t segundos é dado pela função H(t) = - 16t2 + 256.

a) Que altitude estava a bola após 2 segundos? Resposta: H(2) = 192mb) Que distância viajará a bola durante o terceiro segundo? Resposta: H(3) – H(2) = 80mc) Que altura tem o prédio? Resposta: H(0) = 256md) Quando a bola atingirá o solo? Resposta: H(t) = 0 t = 4 seg. (após 4 segundos)

6) Em um vôo, cada passageiro está autorizado a transportar uma bagagem de até 20 kg, inclusive. A partir desse valor, o passageiro paga dois reais por quilograma excedente. Dê a lei que expressa a quantia paga por uma pessoa que pretende embarcar carregando 30 kg em função da massa de sua bagagem. Esboce o gráfico dessa função.Resposta:

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7) O consumo de água, em , pela população de uma cidade em função do tempo , em segundos, é dado pela equação:

a) Qual é o consumo de água dessa população em 10 segundos?b) Qual é o consumo de água dessa população em 10 horas?c) Em quantos segundos essa população consome 48.000 de água?

Resposta: a) 20.000 b) 72.000.000 c) 24 segundos

8) Um biólogo, ao estudar uma cultura bacteriológica, contou o número de bactérias em umdeterminado instante ao qual chamou de instante zero; e ao final de cada uma das seis horas seguintes fez nova contagem das bactérias. Os resultados dessa experiência são descritos pelo gráfico a seguir. Observando o gráfico, responda:

a) Qual o número de bactérias no início da contagem, isto é, no instante zero?b) De quanto aumentou o número de bactérias da quinta para a sexta hora?c) De quanto aumentou o número de bactérias da terceira para a quinta hora?

Resposta: a) 32 bactérias b) 85 bactérias c) 98 bactérias

9) O gráfico a seguir representa o crescimento de uma planta em função do tempo. Analisando o gráfico responda:

a) Qual a altura da planta ao final da terceira semana?

b) Qual foi o crescimento da planta durante a terceira semana?

c) Durante qual das três semanas registradas houve o maior desenvolvimento da planta?

Resposta: a) 30 cm b) 5 cm c) 1a semana

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10) (ENEM) No quadro a seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m3) e de eletricidade (em KWH). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.

Companhia de EletricidadeFornecimento Valor (R$)401 KWH x 0,13276000 53,23Companhia de SaneamentoTARIFAS DE ÁGUA/M3

Faixas de consumo Tarifa Consumo Valor (R$)até 10 5,50 tarifa mínima 5,50

11 a 20 0,85 7 5,9521 a 30 2,1331 a 50 2,13

acima de 50 2,36 Total 11,45

I) Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor da conta será de:

a) R$ 55,23 b) R$ 106,46 c) R$ 802,00 d) R$ 100,00 e) R$ 22,90

II) Suponha agora que dobre o consumo de água. O novo valor da conta será de:a) R$ 22,90 b) R$ 106,46 c) R$ 43,82 d) R$ 17,40 e) R$ 22,52

Resposta: I) b II) c

11) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas

pelo comprador através da equação , em que é o preço em dólares e é o

número de sacas vendidas.a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir cem sacas?b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir duzentas sacas?c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou?d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x )? Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) US$ 50 quando x

12) (ENEM) O número de indivíduos de certa população é representado pelo gráfico a seguir:

Em 1975, a população tinha um tamanho aproximadamente igual ao de:a) 1960 b) 1963 c) 1967 d) 1970 e) 1980

Resposta: b

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13) Um móvel movimenta-se de acordo com o gráfico a seguir. A distância percorrida pelo móvel, entre os instantes 3 s e 5 s, é:

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

t (s)

V (

m/s

)

a) 80 m b) 800 m c) 600 m d) 1.880 m e) 8 m

Resposta: a

14) O consumo de combustível de um automóvel é medido pelo número de quilômetros que percorre, gastando 1 litro de combustível. O consumo depende, entre outros fatores, da velocidade desenvolvida. O gráfico (da revista Quatro Rodas) a seguir indica o consumo, na dependência da velocidade, de certo automóvel.

A análise do gráfico mostra que:a) O maior consumo se dá aos 60 km/h.b) A partir de 40 km/h, quanto maior a

velocidade, maior é o consumo.c) O consumo é diretamente proporcional à

velocidade.d) O menor consumo se dá aos 60 km/h.e) O consumo é inversamente proporcional à

velocidade.

Resposta: d

15) O gráfico a seguir mostra a velocidade (v) de um automóvel em função do tempo (t):

a) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é crescente?b) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é decrescente?c) Em que intervalo(s) de tempo a velocidade é constante?

Resposta: a) b) c)

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16) (ENEM) Em uma prova de 100 m rasos, o desempenho típico de um corredor padrão é representado pelo gráfico a seguir:

Baseado no gráfico, em que intervalo de tempo a velocidade do corredor é aproximadamente constante?a) Entre 0 e 1 segundos.b) Entre 1 e 5 segundos.c) Entre 5 e 8 segundos.d) Entre 8 e 11 segundos.e) Entre 12 e 15 segundos.

Resposta: c

17) Um economista, para fazer uma análise da variação da taxa de inflação em um determinado ano, em um determinado país, enumerou os meses de 1 a 12 e associou a cada mês a inflação correspondente, obtendo assim a tabela a seguir.

GOVERNO DIVULGA BALANÇO ANUAL DA INFLAÇÃOMês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Taxa de Inflação (%) 6 8 9 7 6 9 9 9 8 6 5 9Considere a relação R do conjunto dos meses A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12} no conjunto das taxas, em %, B = {6, 8, 9, 7, 5}, associando a cada mês a taxa de inflação correspondente. Construa o gráfico da relação R e, observando o gráfico responda:

a) Do mês 1 ao mês 3, a taxa de inflação foi crescente, decrescente ou constante?b) Do mês 6 ao mês 8, a taxa de inflação foi crescente, decrescente ou constante?c) Do mês 9 ao mês 11, a taxa de inflação foi crescente, decrescente ou constante?d) Qual a variação da taxa de inflação do mês 7 ao mês 8?

Observação: Note pelo gráfico que do mês 1 ao mês 2 a taxa de inflação cresceu 2%; por isso dizemos que do mês 1 ao 2 a variação da taxa de inflação foi de +2%. Note ainda, pelo gráfico, que do mês 4 ao mês 5 a taxa de inflação decresceu 1%; por isso dizemos que a variação da taxa de inflação do mês 4 ao 5 foi de –1%. Resposta: a) Crescente b) Constante c) Decrescente d) 0%

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18) Um menino sai de sua casa, caminha ao longo da rua até uma confeitaria onde toma um refrigerante e, em seguida, retorna à sua residência. Na figura deste exercício, representa o tempo decorrido desde o instante em que ele saiu de casa e a distancia do menino à sua residência em cada instante. Procure interpretar este gráfico que descreve o movimento do menino e responda:

0

50

100

150

200

0 5 10 15 20 25

t (minutos)

d (

m)

a) Qual a distancia da casa do menino à confeitaria e quanto tempo ele gasta para chegar até lá? Resposta: 200 m e 5 min

b) Quanto tempo ele permanece na confeitaria? Resposta: 10 min

c) Quanto tempo ele gastou para fazer a caminhada de volta? Resposta: 10 min

19) O alcance de uma estação de uma TV está relacionado com a altura da antena da emissora por uma equação cuja forma aproximada é:

(com e medidos em metros)

a) Quando a altura de uma antena é duplicada, quantas vezes maior torna-se o alcance da emissora? Resposta: 1,4 vezes

b) Quantas vezes mais alta devia ser a antena para que o alcance da emissora fosse duplicada? Resposta: 4 vezes

c) Usando a relação matemática entre , complete o quadro deste problema e construa o gráfico (observe que, assim, você construiu o gráfico de uma grandeza que varia proporcionalmente à

raiz quadrada de outra grandeza).

(m) (m)0491625

20) Em Congonhas do Campo (MG), onde se encontram as célebres estatua dos profetas, esculpidas pelo Aleijadinho, os artistas modernos reproduzem miniaturas desta obra com o mesmo tipo de pedra-sabão usada pelo famoso artista. Uma desta miniaturas, com 20 cm de altura, pesa cerca de 2 kg. Sabendo-se que a estatua original tem 2 m de altura, qual deve ser, aproximadamente, o peso desta estátua? Resposta: 2.000 kg = 2 toneladas (V1 = 203 = 8.000 cm3 e V2 = 2003 = 8.000.000 cm3; agora faça uma regra de três, por exemplo).

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21) Em épocas de chuvas, as enchentes de rios e córregos, causam grandes problemas, sobretudo às populações ribeirinhas. A incidência de enchentes pode ser prevista através da análise da vazão de um rio em função da sua altura limnimétrica. A altura limnimétrica é medida com um aparelho denominado limnógrafo, que registra continuamente a variação do nível de um rio, adotando como nível normal ou nível 0 (zero) o nível do rio fora da estação das chuvas. Um engenheiro, estudando a vazão de um rio, obteve o gráfico a seguir, que mostra a vazão em função da altura limnimétrica. Observando o gráfico responda:

a) Qual a vazão do rio para a altura limnimétrica zero?

b) Qual a vazão do rio se ele estiver 4 metros acima do seu nível normal?

c) Se o rio se mantiver, durante 2 horas, 3 metros acima do nível normal, qual será a vazão total nessas 2 horas?

d) Sabendo que ocorre enchente somente se a vazão chega a 40.800 litros por minuto, verifique se ocorrerá enchente se o rio estiver 3 metros acima do nível normal.

Resposta: a) 606 litros/segundo b) 685 litros/segundo c) 4.887.360 litros d) Não haverá enchente

22) Qual dos gráficos seguintes representa uma função de em . Resposta: c

23) Uma panela, contendo uma barra de gelo a – 400C é colocada sobre a chama de um fogão. Nestas

condições o gráfico abaixo nos mostra a evolução de temperatura (T) da água em função do tempo (t). Escreva sob a forma de colchetes os intervalos onde:

a) A temperatura em que temos só água no estado sólido;b) O tempo em que temos só água no estado sólido;c) A temperatura em que temos água no estado sólido e

líquido;d) O tempo em que temos água no estado sólido e

líquido;e) A temperatura em que temos água no estado líquido;f) O tempo em que temos água no estado líquido;g) A temperatura em que temos somente líquido;h) O tempo em que temos somente líquido.Resposta: a) [-40, 0] b) [0, 2] c) 0oC d) [2, 10] e) [0, 100] f) [2, 20] g) [0, 100] h) [10, 20]

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24) Determine, de forma intuitiva, a lei que relaciona Y com X nas tabelas seguintes:a)

X 2 3 4 5 6Y 5 7 9 11 13

b) X 1 2 3 4 5Y 2 5 8 11 14

Resposta: a) b)

25) Calcule os valores indicados da função dada.a) f(x) = 3x2 + 5x – 2; f(1), f(0), f(-2) Resposta: f(1) = 6, f(0) = -2, f(-2) = 0

b) Resposta:

c) Resposta:

d) f(t) = (2t – 1)-3/2; f(1) , f(5), f(13) Resposta:

e)f(x) = x - x - 2; f(1), f(2), f(3) Resposta: f) Resposta:

26) Dados os conjuntos , construa em cada caso o esquema de flechas e, através dele, identifique as relações de A em B que são funções.

a) b) c) d)

27) Sendo , escreva o conjunto de pares (x, y), com , definidos por:

a) b) Resposta: a) (-2, 4); (-1, 1); (0, 0), (1, 1) b) (-2, 0); (-1, 1); (0, 2); (1, 3)

28) Os esquemas seguintes mostram relações de A em B. Indique as relações que são funções. Justifique.

Resposta: a, b e d

29) Dada , definida por , pede-se:

a) b) c) d)

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30) Dada , definida por , calcule:a) b) c) d)

31) No diagrama seguinte está representada uma função f de M em N.

Determine:

a) b) c) d) e) f) Resposta:a) 2 b) 3 c) 1 d) ={1, 2, 3} e) f)

SALÁRIO FAMÍLIA

Empregador

Salário-famíliaSalário-de-contribuição (R$) Salário-família

Até R$ 414,78 R$ 21,27de R$ R$ 414,79 até 623,44 R$ 14,99

Observações: O valor do salário-família é pago por filho ou equiparado de 0 a 14 anos. Se a mãe e o pai estão nas categorias e faixa salarial que têm direito ao salário-família, os dois

recebem o benefício. O valor da quota será integral nos meses de admissão e demissão do empregado. Para o trabalhador avulso, a quota será integral independentemente do total de dias trabalhados.

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EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU

Como resolver equações do segundo grau?

Qual é a quantidade necessária de aço para que se construa um tanque esférico com capacidade de 500 mil litros? Há cerca de 2000 anos as sociedades humanas já sabiam expressar sentenças matemáticas com a utilização de variáveis. Mas para tratar de problemas que envolviam, fundamentalmente, cálculo de áreas, como é o caso na questão acima, os homens se viram frente a novos tipos de equações, nas quais a variável aparece elevada ao quadrado. A presença de situações práticas que envolviam este tipo de equações fez com que se desenvolvessem métodos cada vez mais rápidos para sua resolução. Um importante passo neste sentido foi dado por Al-Khowarizmi, grande matemático árabe do século IX que, para tanto, utilizou um método geométrico: a formação de quadrados. Com base no Método de Al-Khowarizmi, o hindu Bhaskara desenvolveu uma fórmula que imortalizou seu nome.

Desigualdades e Inequações

Como encontrar todas as soluções possíveis de um problema?

A velocidade máxima permitida aos automóveis nas ruas da cidade de é 60 km/h. Isto significa que eles podem se deslocar com velocidades que variam em um intervalo entre 0 e 60 km/h. Como nesse exemplo, são muitas as situações na vida quantificadas por um intervalo numérico e não por um número apenas. Estas situações podem ter várias alternativas. Responder com apenas um número não está errado, mas também não é totalmente correto. Para encontrar todas as soluções possíveis – o intervalo numérico (ou intervalos numéricos) – os matemáticos criaram as inequações.

Graficamente, um dado número a é maior do que b quando, na reta numérica (reta real), a ficar a direita de b, como ilustra a figura a seguir.

EXERCÍCIO

1) O gráfico a seguir representa as temperaturas registradas ao longo de um dia em um laboratório metereológico.

Pergunta-se:a) Qual é a temperatura máxima? Resposta: 14º b) Qual é a temperatura mínima? Resposta: -6º c) A que horas se produzem a temperatura máxima e a mínima? Resposta: Às 14 horas e às 4 horas d) Quais são os períodos em que a temperatura aumenta? Resposta: [4, 8], [10, 14].e) Em que período diminui? Resposta: [0, 4], [8, 10], [14, 24]

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FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

Noções básicas de funções de uma variável real

As funções reais de uma variável real aparecem naturalmente em problemas práticos.

Motivação: Função – circuito elétrico: Construa o gráfico da relação entre a tensão (V) e a intensidade de corrente (I), variando a tensão aplicada a uma resistência (R) de 2.

Solução: Utilizando a Lei de Ohm: V = R .I, no nosso exemplo, teremos: I = V/2, que nos permite estabelecer as seguintes relações entre as grandezas:

No gráfico acima, podemos observar que para cada valor atribuído à variável tensão, corresponde um e um só valor para a variável corrente. Isto é, a corrente, está em função da tensão.

Podemos citar outros exemplos, como:

A quantidade de peças produzidas por um torno mecânico automático é função do tempo e da porção de material a ele fornecido.

O volume de concreto produzido por uma betoneira é função da quantidade de cimento nela colocado.

A rotação de uma fresadora é dada em função da qualidade do aço a ser trabalhado na mesma. O fio que compõe um determinado circuito é dimensionado em função da carga a ser suportada

por ela.

As correspondências envolvendo variáveis, conforme os exemplos apresentados anteriores, nos fornecem a ideia de função.

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É possível estar em dois lugares ao mesmo tempo?

Não, não é possível A ideia de função originou-se exatamente na resposta matemática a esta pergunta e se desenvolveu com os estudos do italiano Galileo Galilie, no final do século XVI, a respeito do movimento dos corpos Em qualquer movimento — seja de uma pedra que cai, de uma nave espacial, de um cavalo no campo — ocorre uma relação especial entre dois conjuntos numéricos: os de tempo e os de espaço.

A cada instante do primeiro conjunto vai corresponder uma, e somente uma, posição de um determinado corpo em movimento A partir desta ideia, o conceito de função foi sendo aplicado a todos os movimentos numéricos em que esta relação especial acontece.

Definição

Dados dois conjuntos A e B, função é a relação de A em B, em que a todo elemento de A está associado um único elemento de B. Esta relação especial é indicada pela notação: f: AB.

Exemplo: Um atleta que corre 7 metros por segundo tem o seu movimento representado algebricamente por f (x) = 7x. Assim, 4 segundos (x = 4) corresponderia à posição f (4) = 7x4 = 28 metros.

Esta forma f (x) = 7x é a mais utilizada para representar algebricamente uma função, mas existem outras:

y = 6x + 3f: AB

x 6x + 3

Se f é uma função e f(x) = y, diremos que x é o domínio e y é a sua imagem ou contra domínio pela função.

Em toda função entre dois conjuntos AB, o conjunto A é o domínio e o conjunto B é a imagem da função.

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DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se função à lei que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B.

Para denotar que y está em função de x, mediante uma lei f, escrevemos: y = f(x).

Lê-se: y é a imagem de x segundo uma lei f.

O conjunto A é chamado DOMÍNIO DA FUNÇÃO e o conjunto B, CONTRADOMÍNIO.

O conjunto formado pelos elementos y, tal que: y = f(x) é chamado conjunto IMAGEM da função.

Diz-se que, quando y = f(x), x é variável independente e y variável dependente.

Através de diagrama, temos:

Notação:

f: AB; xA y = f(x)B

Lê-se: uma lei f definida de A em B que associa cada elemento x pertencente a A um único elemento y pertencente a B.

Exemplo:

1) Dados os conjuntos A = { 1; 2; 3}, B = {3; 4; 5; 6; 7} e a lei definida por y = x + 2 ou f(x) = x + 2, construa o diagrama e destaque os conjuntos domínio, contradomínio e imagem da função de A em B.

Solução: Através do diagrama, temos:

Notemos que: A = {1; 2; 3} é o domínio de f, notado por Dom(f); B = {3; 4; 5; 6; 7} é o contradomínio de f, notado por CD(f). O conjunto: {3; 4; 5} é o conjunto imagem de f, notado por Im(f).Temos que: f(1) = 3; isto é, 3 é a imagem de 1 pela função f, e ainda f(2) = 4 e f(3) = 5.

Observação: f(1) = 3, f(2) = 4 e f(3) = 5 podem ser designados como um par ordenado: (1; 3); (2; 4); (3; 5).

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FUNÇÕES LINEARES E AFINS

Como desenhar geometricamente os números de um movimento?

Quando o homem percebeu que na natureza tudo se transforma e se move, a representação matemática do movimento se tornou um problema para ser resolvido pelos matemáticos. Enquanto alguns procuraram desenvolver representação numérica e algébrica, outros buscaram a representação geométrica. Entre os últimos se destacam o monge francês Oresme (1323 a 1382), René Descartes (1596 a 1650) e Pierre de Fermat (1601 a 1665). Esses estudiosos concluíram que uma função linear ou polinomial do primeiro grau é a correspondência entre conjuntos numéricos. Com essas funções formam-se pares ordenados que atendem ao critério de pertencer a uma reta. Quando tomamos qualquer par (x, y), este pertence à reta: x é parte do eixo horizontal e y pertence ao eixo vertical. Com isto se estabelece a representação gráfica de um movimento muito simples, aquele que apresenta uma variação constante. Com as funções lineares, resolvem-se facilmente muitos problemas da Matemática e da Física, que podem ser visualizados graficamente.

Variação do sinal da função linear ou afim (polinomial do 1o grau)

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DEFINIÇÕES:

Em nosso estudo, e representam o conjunto dos números reais, ou algum intervalo de , no qual a função está definida.

Um gráfico representará uma função de em se, e somente se, qualquer reta paralela ao eixo das ordenadas (eixo ), passando por um ponto qualquer de abscissa , , interceptar o gráfico em um único ponto.

Toda função em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de denomina-se função real de variável real.

Em outras palavras: Uma função é uma regra que associa cada objeto de conjunto a um e somente um objeto de um conjunto .

Variáveis: Na equação , as letra e que aparecem nesta equação são denominadas variáveis. O valor numérico da variável é determinado pelo da variável . Por esta razão, chama-se variável dependente e , variável independente.

Gráfico da função: O gráfico da função consiste em todos os pontos para os quais as coordenadas satisfazem à equação .

Determinação das intersecções com os eixo dos e dos

- Para determinar a intersecção (se houver) de com o eixo dos , igualamos a zero e calculamos , basta fazer isto pois a intersecção com o eixo dos é o ponto do gráfico cuja abscissa é nula.

- Para determinar as intersecções (se houver) de com os eixos dos , igualamos a zero e resolvemos a equação resultante para . Isto é suficiente pois as intersecções com o eixo dos

são os pontos do gráfico cujas ordenadas são nula.

Raiz de uma função: Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de variável real, , todo número , do domínio de , tal que .

Nota: As raízes (ou zeros) de uma função são as abscissas dos pontos de intersecção do gráfico de com o eixo .

Função constante: Chama-se função constante toda função , tal que (k, constante real). O gráfico desta função sempre será uma reta paralela ao eixo das abscissas ( ).

Função afim ou do 10 grau: Toda função do tipo com é denominada função do 10 grau ou função afim.

Nota: Toda função do 10 grau em que recebe o nome particular de função linear. Demonstra-se que o gráfico de uma função do 10 grau é uma reta.

Estudo do sinal de uma função: Objetivo: Estudar o sinal de uma função significa determinar os valores do domínio para os quais a imagem é positiva, negativa ou nula.

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A seguir tem-se o programa escrito no software Microsoft Excel® para a função polinomial do 1o grau:

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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS - FUNÇÃO LINEAR

1) Uma função é dada por f(x) = 6 – 3x. Calcule:

a) f(0) b) f(-3) c) d)

Resposta: a) 6 b) 15 c) d)

2) Na lanchonete Biriboys entrou um grupo de x alunos, e cada um pediu o “prato da casa”. A despesa total y, em reais, foi calculada assim: y = f(x) = 5x – 4, em que 4 se refere ao desconto dado ao grupo. Calcule:

a) O total referente a um grupo de 4 pessoas.b) O número de pessoas que participaram do grupo, se a despesa total foi de 36 reais.Resposta: a) R$ 16,00 b) 8 pessoas

3) Sendo f(x + 4) = 3x + 1, determine:a) f(5) b) f(-3) c) f(-1) – f(2)Resposta: a) 4 b) –20 c) -9

4) Suponhamos que seu Heitor, para dar a mesada aos filhos, utiliza-se da função y = 20 + 10x, onde: x representa a média aritmética das notas obtidas nas disciplinas e y o valor, em reais, a ser recebido. Pois é, na tabela ao lado são mostradas as notas obtidas por um deles em um determinado mês. Calcule a mesada do menino nesse mês.

Disciplinas NotasPortuguês 8,0Matemática 7,5Ciências 8,5Geografia 6,0História 8,0Inglês 8,0Artes 10,0

Resposta: R$ 100,00

5) De uma folha de cartolina retangular de 50 cm por 40 cm foram retirados 6 quadradinhos de lado x, conforme nos mostra a figura. Qual a lei que define o perímetro y da parte restante?

Resposta: y = 4x + 180

6) Das funções a seguir, quais são crescente e quais são decrescentes?a) y = 12x + 13 b) y = -7x – 1 c) y = -x + 123 Resposta: a) crescente b) decrescente c) decrescente

7) Construa o gráfico das funções:a) f(x) = 2x + 3 b) f(x) = 3 – 2x c) y = x (equação da reta bissetriz dos 10 e 30 quadrantes)

8) O gráfico de uma função do tipo y = ax + b passa nos pontos A(2, 4) e B(3,7). Determine a e b. Resposta: a = 3 e b = -2, logo, y = 3x - 2

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9) As seguintes tabelas se referem a funções do tipo y = ax + b. Determine a lei de cada uma delas. a) b)

x y x y3 4 -2 35 10 3 -1

Resposta: a)y = 3x – 5 b)

10) Olha o desafio: as tabelas seguintes pretendem mostrar dados de função do 10 grau. As duas linhas de números que estão em destaque estão corretas. Verifique se a outra linha também está correta.

a) b) c)x Y x y x y2 1 -4 10 1 30 0 2 -4 -1 66 3 -1 3 5 -1

Resposta: a) sim b) sim c) não11) Determine a lei y = f(x) definida pelos gráficos:a) b)

Resposta: a) b)

12) Calcule a raiz (zero) de cada uma das funções seguintes:

a) y = 5x + 20 b) f(x) = 2 – 5x c) f(x) = 0,5x d)

Resposta: a) –4 b) 2/5 c) 0 d) –9/5

13) Determine o ponto onde o gráfico da função y = f(x) corta o eixo Ox.

a) y = 2x + 6 b) y = 5x – 8 c) d) y = 0,2x – 1,6

Resposta: a) (-3, 0) b) (8/5, 0) c) (-9/5, 0) d) (8, 0)

14) Estude o sinal das seguintes funções.a) y = 5x – 15 b) y = -3x + 21 c) y = 3 d) y = 10xResposta: a) b)

c) d)

15) Um padeiro fabrica 300 pães por hora. Considerando-se esse dado, pede-se:a) A equação que representa o número de pães fabricados (p(t)) em função do tempo (t).b) O número de pães fabricados em 3 horas e 30 minutos.c) O número de pães fabricados em 1 horas e 20 minutos.d) O número de pães fabricados em 2 horas e 40 minutos.

Resposta: a) p(t) = 300 t b) 1.050 pães c) 400 pães d) 800 pães

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FUNÇÃO QUADRÁTICA

Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro?

O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileo Galilei, 1564 a 1642 (foto, abaixo), estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 X 12 = 5 metros; depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 X 22 = 20 metros; depois de 3 segundos, 5 X 32 = 45; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 X x2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f(x) = 5x2. Galileo agrupou todos esses elementos em um importante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual a variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de função quadrática, ou polinomial do segundo grau, pois o expoente máximo da variável é o quadrado.

No dia-a-dia, há muitas situações definidas pelas funções de segundo grau. A trajetória de uma bola lançada para a frente é uma parábola. Se fizermos vários furos em várias alturas em um bote cheio de água, os pequenos jorros de água que saem pelos furos descrevem parábolas. A antena parabólica tem a forma de parábola, de onde vem seu nome.

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Motivação:

Em Física, temos o estudo do lançamento de um projétil. Experimentalmente, quando se lança um determinado corpo, devido à ação da gravidade, a trajetória se faz pela curva apresentada no gráfico a seguir. Suponhamos que o projétil, inicialmente, esteja na origem, e se imprimiu a ele uma velocidade inicial vo.

No eixo das ordenadas, temos a variação da altura (h) do projétil, no eixo das abscissas a distância atingida após o lançamento.

Façamos a análise do movimento:

Em x = 0, o projétil está em repouso e aí deverá ser lançado, com uma velocidade inicial vo, desprezando-se a resistência do ar, a única força a atuar no corpo será o peso do corpo.

O projétil sobe de h = 0 (solo), em x = 0, até hmáx (altura máxima) em x1.

O projétil desce, até atingir novamente a altura h = 0 (solo) em x2.

A curva descrita pela trajetória é denominada PARÁBOLA. A lei matemática correspondente a essa curva, considerando-se h, variável dependente, e x, variável independente, é dada por um polinômio do 2o grau do tipo:

h = ax2 + bx + c

sendo a, b e c denominados coeficientes.

A cada trajetória corresponderá um valor de a, b e c.

Duas situações particulares deste movimento são, a saber:

1a) Como determinar x1 que corresponde a altura máxima atingida pelo corpo, e qual é essa altura?

2a) Como determinar x2, que corresponde à distância atingida pelo corpo, quando novamente tocará o solo?

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Neste momento estudaremos funções, cujo gráfico é a trajetória descrita pelo projétil, e teremos, então, a resposta para essas duas situações.

Na resistência dos materiais, nome de uma disciplina dos diversos cursos de engenharia, estuda-se o flexionamento de uma viga sustentada por dois pilares.

Isto é comum, quando se tem um vão livre entre duas pilastras, usar uma viga para sustentar essa parede como representada na figura a seguir.

O que ocorre, naturalmente, é uma deformação dessa viga quando fica sujeita ao peso dessa parede.

O efeito desta deformação, se faz segundo uma curva denominada parábola. Esse efeito acontece em todas as vigas, sugerindo daí o seguinte problema:

“Qual é o momento máximo, isto é, ymáx (ver gráfico anterior), que essa viga suportará, sem se romper, desde que há sempre uma deformação com a aplicação das forças F, sobre a mesma?”

Neste caso, y representará a variação da deformação e x a variação do comprimento da viga. Essa relação é dada por uma função chamada quadrática. Pela teoria a ser apresentada a seguir, teremos condição de determinar esta deformação máxima (ymáx) antes do rompimento da viga.

Função Quadrática (ou polinomial do 2o grau)

Função quadrática é toda função real que associa a cada x o elemento (ax2 + bx + c) com a 0.

Nota importante: O gráfico da função quadrática é uma curva denominada parábola, que terá concavidade “voltada para cima” se a > 0 ou “voltada para baixo” se a < 0.

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Page 62: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

Variação do sinal da função quadrática (polinomial do 2o grau)

Interpretação geométrica das raízes da função quadrática

Sendo as raízes os valores de x para os quais y = 0, geometricamente as raízes vão representar os pontos onde a parábola corta ou tangencia o eixo x.

Como a existência e a natureza das raízes dependem do poderemos ter:

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Função quadrática ou polinomial do 20 grau: Toda função do tipo , com , é chamada de função polinomial do 20 grau ou função quadrática. Demonstra-se

que o gráfico de uma função do tipo , com , é uma parábola.

Dedução da fórmula de Bhaskara para a resolução de uma equação do 2o grau

Sabemos que a equação completa do 2o grau é dada por: . (lembre-se: )

Essa equação pode ser escrita como .

Dividindo os dois membros por , temos:

Para encontrar o número que, somado aos dois membros dessa equação, torne o primeiro membro um

trinômio quadrado perfeito, devemos dividir por e elevar o resultado ao quadrado, ou seja:

Acrescentando aos dois membros da equação, obtemos:

Notas:

1) A expressão , chama-se discriminante da equação, e é representada pela letra grega (lê-

se: delta). Então: . Assim, se , podemos escrever: .

2) O discriminante da equação determina o número de soluções que uma equação do 2o grau pode ter:

Se , a equação admite duas soluções reais diferentes: e

Se , a equação admite duas soluções reais iguais.

Se , a equação não tem solução entre os números reais.

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Exemplos:

1) Resolver as equações a seguir, usando a fórmula de Bhaskara.

a) Resposta: b) Resposta:

c) Resposta: d) Resposta:

e) Resposta:

Pontos notáveis da parábola:

1) Para determinar os pontos de intersecção da parábola com o eixo (se existirem), basta atribuirmos zero a variável , na equação , ou seja resolvemos a equação

. A resolução pode ser feita utilizando a fórmula de Bhaskara:

, em que:

2) Para determinar o ponto de intersecção da parábola com o eixo , basta atribuirmos zero a variável na equação , logo temos , ou seja, .

Vértice da parábola: O vértice de uma parábola fica determinado por:

Máximo (mínimo) de uma função do 2o grau:

1) Se o ponto é vértice da parábola que representa graficamente a função do 20 grau

, com , então a abscissa de , é ponto máximo e a ordenada de

, é o valor máximo da função .

2) Se o ponto é vértice da parábola que representa graficamente a função do 20 grau

, com , então a abscissa de , é ponto de mínimo e a ordenada de

, é o valor mínimo da função .

Notas:

1) O gráfico de uma função do 2o grau é uma curva aberta denominada parábola.2) O ponto V(xV,yV) chama-se vértice da parábola.3) As abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos são chamadas raízes (ou zeros) da

função.4) Em geral, em termos econômicos:

XV: fornece a quantidade que maximiza os lucros ou minimiza as despesas. YV: fornece o lucro máximo ou a despesa mínima

5) Para determinar as raízes (ou zeros) de uma função do 2o grau, com ( ), podemos usar a fórmula de Baskara ou usar a propriedade que diz: .

6) Lembre-se: Perímetro = Contorno; Área = Base Altura

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ANTENAS PARABÓLICAS

Parábola não é apenas o gráfico de uma função do 20 grau. A forma de parábola aparece também em antenas, que podem ser vistas em muitas casas, prédios e sítios.

A forma parabólica dessas antenas permite captar sinais fracos e dispersos, concentrando-os em um único ponto, para que sejam amplificados.

As antenas parabólicas são usadas também em radiotelescópios, que tem por objetivo captar sinais de rádio provenientes do espaço e estudar o seu padrão.

Nos serviços de telecomunicação via satélite, as antenas parabólicas desempenham um papel imprescindível no acompanhamento dos satélites artificiais em suas órbitas e na exploração do espaço feita por radiotelescópios (aparelhos constituídos por uma antena e um radiorreceptor).

A partir da segunda metade do século XX, com o lançamento dos primeiros satélites de telecomunicação, deu-se início a um processo de integração das mais diversas regiões do mundo.

Hoje, graças às antenas parabólicas e aos satélites de comunicação, pode-se estar conectado não só a todo nosso território como a qualquer ponto do planeta, recebendo todo tipo de informação, seja noticiosa, científica, cultural ou esportiva, nos mais diversos idiomas. Essa consequência do desenvolvimento da tecnologia aplicada ao setor das comunicações é o fenômeno conhecido como globalização.

Reflita sobre o texto:a) Por que as antenas parabólicas são indispensáveis na telecomunicação via satélite?b) Cite algumas das dificuldades decorrentes do desenvolvimento tecnológico das telecomunicações?

Questões para pensar:1) Em um jogo de futebol foi cometida uma falta frontal ao gol a uma distância de 36 m. Para a

cobrança da falta, o juiz montou uma barreira de cinco jogadores, todos com 1,80 m de altura, e posicionou-os a 9 m da bola. Entretanto, logo após o apito do árbitro para a cobrança da falta, a barreira deslocou-se em direção à bola a uma velocidade de 10 cm/s, e o jogador que cobrou a falta só chutou a bola 10 s depois de o árbitro ter apitado. Sabendo-se que a baliza mede 2,44 m de altura e que a falta foi cobrada segundo a trajetória de uma parábola representada pela função

, pergunta-se: Qual dentre as narrações abaixo melhor representa a situação,

após a cobrança da falta? Justifique sua resposta com cálculos.Situação I: Vai ser cobrada a falta, começa a vibrar a torcida, correu o jogador, chutou e é gol. Golaço!Situação II: Tudo pronto para a cobrança, autoriza o juiz, a torcida está impaciente... Chutou o jogador.

No pau! Que susto! Sensacional a batida no travessão!Situação III: O estádio é uma só emoção! Corre o jogador, atira e a bola encobre o goleiro. Por cima do

travessão... e a torcida faz huum...Situação IV: Tudo pronto para a cobrança, autoriza o juiz, que demora... Chutou mal: direto na

barreira!Solução: Lembre-se:

Sendo = distância e = altura => como e => m.

Altura que a bola passará a 36 metros do chute, ou seja, sobre o gol:

m

Portanto, a situação II é a correta.

A seguir tem-se o programa escrito no software Microsoft Excel® para a função polinomial do 2o grau:65

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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) O lucro de uma empresa é dado por L (x) = - x2 + 12x – 20, sendo x o número de unidades vendidas. Calcule o valor de x para se obter o lucro máximo. Qual o lucro máximo? Resposta: x = 6 e lucro máximo de 16 unidades monetárias

2) Considere um terreno retangular com 300 m2 de área e 70 m de perímetro. Quais são as dimensões desse terreno? Resposta: 20 m por 15 m

3) Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio e em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a função N(t) = 0,1t2 – 4t + 90. Nessas condições, em qual temperatura o número de batimentos por minutos é mínimo? Qual é esse número? Resposta: 200C e 50 batimentos

4) Um objeto, lançado obliquamente a partir do solo, alcança uma altura h (em metros) que varia em função do tempo t (em segundos) de acordo com a fórmula h(t) = - t2 + 20t.

a) Em que instante o objeto atinge a altura máxima? Resposta: 10 sb) De quantos metros é essa altura? Resposta: 100 mc) Em que instante ele atinge o solo novamente? Resposta: 20 s

5) Encontre o valor mínimo da função y = x2 + 12x + 11. Resposta: y = - 25

6) Calcule o valor máximo da função y = - x2 + x – 18. Resposta:

7) Uma flecha é lançada para o alto, e sua trajetória é definida pela função , sendo x o

tempo em segundos e y a altura em metros. Qual é a altura máxima atingida pela flecha? Resposta: 31, 25 m

8) O custo em reais, de uma empresa, na produção de x unidades de um produto, é dado por C(x) = x2 – 10x + 120. Qual é o valor do custo mínimo? Resposta: R$ 95,00

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9) Uma bola é chutada para o alto, percorrendo uma trajetória descrita pela função y = - 3x 2 + 18x, sendo y a altura dada em metros e x o tempo dado em segundos. Qual é a altura máxima atingida pela bola? Resposta: 27 m

10) A trajetória de um projétil lançado por um canhão, em um local plano e horizontal, é dada pela

função: . A que distância do canhão caiu o projétil, considerando-se que as unidades

são dadas em quilômetros. Resposta: 4 km

11) Se x’ e x” são as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c, pode-se provar que f(x) na forma fatorada é f(x) = a.(x – x’). (x – x”). Com base nisso, fatore:

a) f(x) = 3x2 – 15x + 12 b) f(x) = 2x2 – 2x – 12a) f(x) = 6x2 – x – 1 d) f(x) = 10x2 + 72x – 64

12) Um ponto material se movimenta segundo a função horária .a) Construa o gráfico da função dada.b) Indique em que instantes, o movimento é acelerado (função crescente) e retardado (função

decrescente).

13) Sabendo-se que a trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezados os efeitos do ar, descreva uma Parábola definida pela equação , calcular:

a) O alcance (AB) do lançamento.b) A altura máxima (CD) atingida.14) Dada a Parábola :a) Calcule o vértice da parábola.b) Calcule o ponto no qual a parábola intercepta o eixo das ordenadas.c) Verifique se existe intersecção da parábola com o eixo das abscissas.d) Forneça o conjunto imagem da função.

15) Uma pedra é lançada verticalmente para cima. A altura (h) em relação ao solo é dada em metros (m) e o tempo (t) após o lançamento é dado em segundos (s). Nessas condições, a equação que define este movimento é: . Pede-se:

a) O gráfico da função dada.b) O instante em que a pedra atingirá a altura máxima.c) A altura máxima que a pedra vai atingir.d) O intervalo de tempo em que o movimento será retardado.e) O intervalo de tempo em que o movimento será acelerado.

16) Dado o gráfico cartesiano a seguir, determine a sentença matemática que define a função por ele representada.

DICA: Função: e os pontos: (0, 3); (-1, 0) e (3, 0)

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17) Suponha que o lucro de um fabricante de rádios seja dado pela função P(x) = 400 . (15 - x) . (x - 2), onde x é preço pela qual os rádios são vendidos. Construa o gráfico, encontre o preço de venda que maximiza o lucro e o lucro máximo obtido.

Dicas:P(x) = 400 . (15 – x) . (x - 2)

P(x) = - 400x2 + 6.800x – 12.000 xV = 8,5

Valor Máximo f (8,5) = 16.900

18) Construa o gráfico, determine o ponto mínimo e o valor mínimo da função f (x) = x2 – 8x + 15. Dicas:

xv = 4 => Valor Mínimo f (4) = 42 – 8*4 + 15 = - 1

Ponto Mínimo (4, -1)

19) Estude os sinais das seguintes funções:a) Resposta: b) Resposta:

c) Resposta: d) Resposta:e) Resposta: f) Resposta:

20) Sabendo que , calcule os valores de para os quais .

21) DESAFIO SUPERLEGAL: Um galinheiro é formado por duas partes retangulares, como mostra a figura a seguir. Usando-se 15 metros de tela, qual é a área máxima que esse galinheiro pode ter?

Solução:

, mas como, , temos: (1)

Por outrolado: , substituindo o valor de temos:

Assim, a função a ser considerada é: ou .

Para determinar o ponto de máximo, devemos determinar o vértice dessa parábola.

DICA:

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Portanto, a área deve ser:

Observções: 1) Poderíamos ter determinado , substituindo , na função área:

.

2) Poderíamos ter determinado a área, substituindo , em .

Assim, as dimensões seriam: e .

Geometricamente:

22) Em uma partida de futebol, a cobrança de uma falta lança a bola em uma trajetória tal, que a altura h, em metros (m), varia com o tempo t, em segundos (s), de acordo com a função do segundo grau

Em que instante a bola atinge a altura máxima? De quantos metros é essa altura?

Resposta: a) segundos b) metros

23) O custo diário da produção de uma indústria de aparelho de telefones celulares é dado pela função do segundo grau , onde é o custo em dólares e é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos para que o custo seja mínimo? Qual é esse custo?

Resposta: a) aparelhos b) dólares

1) Considere a função do segundo grau, em que , e . Escreva a lei de formação dessa função e calcule Resposta: e

25) Dada a função do segundo grau , determine:a) A concavidade da função: ( ) Voltada para cima ou ( ) Voltada para baixob) O valor do discriminante: c) O(s) local (is) em que a parábola intercepta o eixo das abscissas (ou eixo dos x ou eixo horizontal),

ou seja, o(s) zero(s) ou raiz(es), caso existam: ( , ) e ( , )d) Local onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas (eixo dos y ou eixo vertical): ( , )e) O domínio da função: D(f) =f) A imagem da função: Im(f) = g) O vértice da parábola: V( , )h) O ponto de máximo ou de mínimo da função: ( , ) Ponto de máximo ou ( , ) Ponto de mínimoi) Intervalo em que a função é decrescente: j) Intervalo em que a função é crescente: k) O gráfico da função contendo no mínimo 5 (cinco) pontos bem escolhidos, sendo necessariamente

alguns deles: local que intercepta o eixo vertical, local (is) onde interceptam o eixo horizontal (caso existam), o vértice, etc.

26) Dada a função do segundo grau , determine:a) A concavidade da função: ( ) Voltada para cima ou ( ) Voltada para baixob) O valor do discriminante: c) O(s) local (is) em que a parábola intercepta o eixo das abscissas (ou eixo dos x ou eixo horizontal),

ou seja, o(s) zero(s) ou raiz(es), caso existam: ( , ) e ( , )d) Local onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas (eixo dos y ou eixo vertical): ( , )e) O domínio da função: D(f) =f) A imagem da função: Im(f) =

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g) O vértice da parábola: V( , )h) O ponto de máximo ou de mínimo da função: ( , ) Ponto de máximo ou ( , ) Ponto de mínimoi) Intervalo em que a função é decrescente: j) Intervalo em que a função é crescente: k) O gráfico da função contendo no mínimo 5 (cinco) pontos bem escolhidos, sendo necessariamente

alguns deles: local que intercepta o eixo vertical, local (is) onde interceptam o eixo horizontal (caso existam), o vértice, etc.

1) Dada a função do segundo grau , determine:a) A concavidade da função: ( ) Voltada para cima ou ( ) Voltada para baixob) O valor do discriminante: c) O(s) local (is) em que a parábola intercepta o eixo das abscissas (ou eixo dos x ou eixo horizontal),

ou seja, o(s) zero(s) ou raiz(es), caso existam: ( , ) e ( , )d) Local onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas (eixo dos y ou eixo vertical): ( , )e) O domínio da função: D(f) =f) A imagem da função: Im(f) = g) O vértice da parábola: V( , )h) O ponto de máximo ou de mínimo da função: ( , ) Ponto de máximo ou ( , ) Ponto de mínimoi) Intervalo em que a função é decrescente: j) Intervalo em que a função é crescente: k) O gráfico da função contendo no mínimo 5 (cinco) pontos bem escolhidos, sendo necessariamente

alguns deles: local que intercepta o eixo vertical, local (is) onde interceptam o eixo horizontal (caso existam), o vértice, etc.

2) Em uma festa de São João, a convite de Antônio, Pedro disparou um rojão. No plano cartesiano a

trajetória do rojão obedeceu à seguinte lei: . Sabendo que tem uma fogueira a 45m

de distância em relação a Pedro, pergunta-se:a) O disparo do rojão caiu antes ou depois da fogueira?b) Qual foi a altura máxima atingida pelo rojão?

Solução:

Dados:

1a forma)

2a forma) Usando a fórmula de Bhaskara.

Por outro lado,

Assim, Altura máxima =

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3) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 40t – 5t2, onde a altura h é dada em metros e o tempo é dado em segundos. Determine:

a) a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante t = 3s.b) os instantes em que o corpo está a uma altura de 60 m do solo.

4) O ponto extremo V da função quadrática f(x) = x2 - 6x + 8 é:a) um máximo, sendo V = (3, -1)b) um mínimo, sendo V = (-3, 1)c) um máximo, sendo V= )-3, 1)d) um mínimo, sendo V = (3, 1)e) um mínimo, sendo V= (3, -1)

5) Considere a função f: , definida por f(x) = x2 – 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que:a) o vértice do gráfico de f é o ponto (1, 4).b) f possui dos zeros reais distintos.c) f atinge um máximo para x = 1.d) o gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas.

6) Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por V(x) = x 2 – x, sendo o custo de produção dado por C(x) = 2x2 – 7x + 8. Assinale a alternativa correspondente ao número de artigos que devem ser vendidos mensalmente de modo que obtenha o lucro máximo.

a) 15 unidadesb) 5 unidades c) 1000 unidadesd) 3 unidadese) nenhuma unidade

7) O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por C(x) = 2x2 – 100x + 5.000. Determine o valor do custo mínimo.

8) Uma pedra é lançada do solo verticalmente para cima. Ao fim de t segundos, atinge a altura h, dada por: h = 40t – 5t2.

a) Calcule a posição da pedra no instante 2s.b) Calcule o instante em que a pedra passa pela posição 75m, durante a subida.c) Determine o instante que a pedra atinge a altura máxima.d) Determine a altura máxima que a pedra atinge.

9) O lucro de uma empresa é dado por L(x) = – 30x2 + 360x – 600, em que x é o número de unidades vendidas. Para que valor de x é obtido o lucro máximo?

10) O custo em R$ para a produção de x unidades de certo produto é dado por: C = x2 – 30x + 900. Calcule o valor do custo mínimo.

11) Construa o gráfico das seguintes funções do 2º grau.a) y = x2 – 4x + 3 b) y = – x2

c) f(x) = x2 – 4 d) y = – x2 + 6x – 9 e) f(x) = x2 – 4x f) y = – x2 + 6x – 5g) f(x) = x2 + 2x + 2 h) f(x) = 2x2 – 3x + 4 i) f(x) = x2 – 2x + 4

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12) Sabemos que a soma S e o produto P das raízes x’ e x” de equação do 20 grau ax2 + bx + c = 0 são

e , respectivamente. Com base nisso, calcule os valores de b e c na função f(x) =

x2 + bx + c, sendo suas raízes 2 e 5.

13) Calcule o valor de k na função f(x) = x2 + 2x + (k + 1) para que a soma de suas raízes seja igual ao produto.

14) Encontre o valor de k para que o gráfico cartesiano da função definida por f(x) = (k + 2) . x2 – x + 3 passe pelo ponto (4; 3).

15) Um corpo é lançado obliquamente, a partir da superfície da terra, com velocidade inicial. Desse modo, descreve uma trajetória parabólica, que representa a função y = x – 0,1x2 (x e y em metros).

a) Calcule a altura máxima atingida por esse corpo.b) Obtenha o alcance desse corpo, ou seja, a distância horizontal que o corpo percorre até encontrar

novamente o solo.

16) Construção os seguintes gráficos da função de 20 grau ( no mínimo 5 pontos, destacando o vértice, loca onde corta o eixo y, as raízes ou zeros (caso existam)).

a) y = x2 – 2x – 3 b) y =- x2 + 4x – 3 c) y = x2 – 6x + 8 d) y = x2 + 4xd) y = - x2 + 4 e) y = x2 – 8x + 12 f) y = - x2 + 8x – 16 g) y = x2 – 6x + 5

17) Construa os seguintes gráficos da função do 20 grau (no mínimo 5 pontos, destacando o vértice, loca onde corta o eixo y, as raízes ou zeros (caso existam)).

I) Possui duas raízes (zeros) reais e distintas ( > 0)

II) Possui duas raízes (zeros) reais iguais ( = 0)

III) Não possui raízes (zeros) reais ( < 0)

a)b)c)d)e)f)g)h)i)j)k)l)m)n)o)p)

a)b)c)d)e)f)g)h)i)

a)b)c)d)e)f)

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MATEMÁTICA E TRANSVERSALIDADE

Os ancestrais

O Universo formou-se há pelo menos 15 bilhões de anos e, desde então, permanece em contínua mudança. A Terra, que também é produto dessa evolução cósmica, tem aproximadamente 4,6 bilhões de anos.

Evidências obtidas de estudos científicos indicam que as primeiras formas de vida surgiram em nosso planeta cerca de 1 bilhão de anos após sua formação. Durante longo processo evolutivo, os primeiros seres vivos deram origem a todas as espécies atuais. Dessa forma, todas as criaturas vivas surgiram de ancestrais comuns.

Sabemos da existência de seres do passado porque eles deixaram vestígios que testemunham sua passagem pela Terra. Vestígios de vida que remontam a uma época muito antiga são chamados de fósseis, tais como: ossos, dentes, pólen, conchas, pegadas, pedras trabalhadas, partes de habitações, utensílios etc.

Uma das finalidades do estudo dos fósseis é determinar o curso da evolução que nos leva a saber quais são os ancestrais de várias espécies animais e vegetais.

As funções e os ancestrais

A Matemática dá sua contribuição fornecendo ferramentas para esse estudo como, por exemplo, as funções.

Descobrindo a altura

Os arqueólogos podem utilizar a função definida por para estimar a altura, em centímetros, de uma

mulher cujo comprimento do úmero é x centímetros. Foi encontrado o fóssil de uma mulher cujo comprimento do úmero é 32 cm. Qual era a altura aproximada, em centímetros, dessa mulher?

Resposta: 159,48 cm, ou seja, aproximadamente 160 cm

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As variáveis da função apresentada nesse exercício são H e x. Como x representa uma medida (comprimento do úmero), ele não pode assumir valores negativos. A função H(x) é do primeiro grau porque sua lei é do tipo y = ax + b, sendo a e b números reais e a ≠ 0.

Ao estudar fósseis, os cientistas encontraram neles elementos radioativos, ou seja, elementos químicos que emitem energia, na forma de liberação de partículas (fenômeno de radiação). A unidade de medida da radiação é a meia-vida: intervalo de tempo necessário para que a massa de uma amostra radioativa se reduza à metade através de desintegrações. A meia-vida independe da quantidade de massa inicial da amostra radioativa.

O urânio-238, cuja meia-vida é de 4,6 bilhões de anos, foi usado para avaliar a idade da Terra. O tório-230 serve para o estudo de objetos com centenas de milhares de anos.

O carbono-14 é bastante preciso em datações de objetos com no máximo 50 mil anos. O primeiro cientista a utilizá-lo para datar fósseis foi o americano Willard F. Libby, que recebeu o prêmio Nobel de Química em 1959.

"Com o oxigênio do ar, o carbono-14 é oxidado a gás carbônico, que é absorvido pelos vegetais na fotossíntese. Dos vegetais, através da alimentação, o carbono-14 passa a integrar também o organismo dos animais. Portanto, animais e vegetais, enquanto vivos, apresentam o carbono-14 em uma proporção constante, pois ele se desintegra, mas também é reposto. Com a morte, o carbono-14 deixa de ser reposto, mas continua a se desintegrar, de tal modo que sua taxa, no organismo, começa a decrescer.

Desse modo, podemos avaliar a época em que ocorreu a morte medindo o carbono-14 remanescente, já que conhecemos sua meia-vida [...] e sua proporção no organismo vivo [...].

Assim, o carbono-14 pode nos revelar a idade de plantas e animais fósseis, múmias etc." (James V. Quagliano e Lidia M. Vallarino, Química)

A curva de decaimento radioativo do carbono-14 pode ser observada no gráfico a seguir:

Note que a meia-vida do carbono-14 é 5.730 anos.

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Encontrando a meia-vida

O gráfico seguinte mostra a desintegração do tório-230 em função do tempo.

a) Qual é a meia-vida do tório-230?

b) Quantos anos são necessários para se ter 1/16 da massa inicial do tório-230?

O decrescimento (decaimento) radioativo é exponencial e pode ser representado por uma função do tipo , com e .

P0 é a quantidade de massa do elemento radioativo que existe no tempo zero, P(t) é a quantidade de massa desse elemento presente no tempo t e k é a taxa de decrescimento.

O gráfico da função é:

Calculando a taxa de decrescimento do carbono-14

Utilizando a curva de decaimento radioativo do carbono-14 e a função exponencial P(t) citada anteriormente, determine o valor de k, ou seja, a taxa de decrescimento.

Para resolver esse exercício, utilizamos o conceito de meia-vida. Quando t = 5730 (meia-vida do carbono-14), P(t) é igual à metade de P0. Usando logaritmos, encontramos a resposta desejada.

Substituindo o valor de k na lei, obtemos a função de decaimento do carbono-14. Essa função será usada em qualquer problema com datação pelo carbono-14.

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Datando um fóssil com carbono-14

A porcentagem de carbono-14 presente em ossos fossilizados de um animal pode ser usada para determinar sua idade. Estime a idade do fóssil de um animal cujo osso perdeu 40% de carbono-14.

Se o osso do animal perdeu 40% do seu carbono-14, de uma quantidade de massa inicial P0, então 60% de P0 ainda está presente, ou seja, P(t) vale 0,6P0.

Estimando a idade

Em 1996, arqueólogos encontraram uma presa de elefante que havia perdido 18% de seu carbono-14. Qual era a idade aproximada dessa presa naquele ano?

O estudo dos fósseis é bastante útil na exploração de combustíveis minerais.O material orgânico proveniente de microorganismos depositados no fundo do mar, após milhões de anos, torna-se petróleo bruto e gás.

O carvão fóssil ou carvão mineral origina-se de um longo processo natural, pelo qual substâncias orgânicas, principalmente vegetais, são submetidas à ação da temperatura terrestre, durante aproximadamente 300 milhões de anos.

Petróleo, gás natural e carvão mineral são conhecidos como combustíveis fósseis, pois se originaram de organismos milenares e a civilização moderna os utiliza na produção de energia.

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Analisando a queima de combustíveis fósseis

Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o dióxido de enxofre (SO2). Uma pesquisa realizada em Oslo, na Noruega, demonstrou que o número N de mortes por semana é uma função da concentração média Cm de SO2 medida em microgramas por metro cúbico.

A função é dada por: N = 94 + (0,031)Cm

Sabendo que 50 < Cm < 700, determine a variação de N.

Para saber mais

Sobre datação e carbono-14, procure no artigo "Datação e suas Técnicas", no site Química Antiga e Moderna.

Questões para reflexão

1) De que forma podemos contribuir para a criação de uma consciência de preservação da natureza e do legado deixado pelos nossos ancestrais?

2) Como pensar no amanhã diante de uma exploração desenfreada dos recursos naturais em nome do progresso?

Referências

Biological Sciences Curriculum Study. Biologia das moléculas ao homem, v.I. Trad. Myriam Krasilchik, Nicia Wendel de Magalhães e Norma Maria Cleffi. São Paulo, Edart, 1969.

Bittinger, M. L. e Ellenbogen, D. J. Intermediate algebra: concepts and applications. Addison-Wesley, 1998.

Brito, E. A. de e Favaretto, J. A. Biologia: uma abordagem evolutiva e ecológica, v.1. São Paulo, Moderna, 1997.

Carvalho, M. C. C. S. Padrões numéricos e funções. São Paulo, Moderna, 1999. Dixon, D. Descobrindo mais rochas e minerais. Trad. Rosicler Martins Rodrigues. São Paulo,

Moderna, 1998. Facchini, F. Origem e evolução: o homem. Trad. Rosa Visconti Kono e Sophia Visconti. São

Paulo, Moderna, 1997. Garassino, A. Origem e evolução: as plantas. Trad. Hildegard Feist. São Paulo, Moderna, 1997. Maranhão, R. e Antunes, M. F. Trabalho e civilização: a humanidade em construção, v.1. São

Paulo, Moderna, 1999. Marcondes, A. Biologia. São Paulo, Atual, 1998. Peruzzo, F. M. e Canto, E. L. do. Química na abordagem do cotidiano, v.2. São Paulo, Moderna,

1998. Quagliano, J. V. e Vallarino, L. M. Química. Guanabara Koogan, 1973.

Sasso, C. Dal. Origem e evolução: os animais. Trad. Hildegard Feist. São Paulo, Moderna, 1997. Silva, R. H. da e Silva, E. B. da. Curso de Química, v.2. São Paulo, Harbra, 1992.

Taylor, P. D. Fóssil. Trad. Anna Maria Quirino. São Paulo, Globo, 1990. [Série Aventura]

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A CRIAÇÃO DOS LOGARITMOS

No início do século XVII, a astronomia, o comércio e a navegação atingiram um estágio de desenvolvimento que exigiam cálculos aritméticos cada vez mais complicados. Por essa razão, havia um grande interesse em se obter processos mais rápidos e precisos em cálculos envolvendo multiplicações, divisões, potências e raízes.

O matemático escocês John Napier criou um método de cálculo através do qual é possível realizar operações complexas utilizando operações mais simples: a esse método Napier denominou de logaritmo, tendo publicado as primeiras tabelas de logaritmos em 1614.

Desconhecendo o trabalho de Napier, o matemático suíco Jobst Burgi obteve um método semelhante, baseado nos mesmos princípios, mas divulgado somente em 1620.

A ideia de logaritmo foi aceita imediatamente por alguns dos principais matemáticos da época, entre eles o inglês Henry Briggs.

Após reconhecer a importância do trabalho de Napier, Briggs publicou em 1624 novas tabelas de logaritmos, de utilização mais simples no sistema decimal.

Desde a época de sua criação até o surgimento das calculadoras e computadores, os logaritmos constituíram-se em uma poderosa “ferramenta” de cálculo e foram decisivos para o desenvolvimento da ciência e da tecnologia.

Apesar das calculadoras e dos computadores terem tornado os logaritmos obsoletos para cálculos, seu estudo é de fundamental importância, pois eles estão estreitamente relacionados a leis matemáticas que descrevem alguns importantes fenômenos naturais.

Definição: , onde:

Condição de Existência:

Consequência:

Propriedades: Sejam b> 0 e c > 0, então:

Cologarítimo: Antilogarítmo:

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Funções Logarítmicas

Definição: Chamamos função logarítmica de base a, a função que associa a cada número real x o número , ou seja:

tal que ,

Com a > 0 e e x > 0.

A função logarítmica é a inversa da função exponencial, pois:

Características: D = e Im = ; f (x) é crescente para a > 1 e decrescente para 0 < a < 1.

quando a >1 a função é crescente quando 0 < a <1 a função é decrescente

APLICAÇÕES EM ELETRICIDADEExemplos:

1) Um amplificador libera 100 Watts para uma potência de entrada de 100 miliwatts. Qual o ganho em decibéis?

Solução: db = decibéisx db = 10 log Potência de saída Potência de entrada

x db = 10 log

x db = 10 log 104 w

x db = 40 db.

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2) Qual a voltagem de um atenuador que para 20 volts de entrada apresenta 20 milivolts na saída.Qual é o ganho tensão? Qual é a perda de tensão?

Solução:v = tensãox v = 20 log voltagem de saída voltagem de entrada

x v = 20 log

x v = 20 log 10-3 x v = -60 v.

O ganho é de -60 v e a perda é de 60 v.

APLICAÇÃO EM QUÍMICAExemplos:

1) A desintegração de um determinado material radioativo é dada pela lei: . Se Q(10) = 200 gramas e Qo = 240 gramas, calcule o valor de k.

Solução: Utilizando a lei dada podemos resolver o problema: Q(10)= Qo.10- k.10

200 = 240.10-10.k

log 200/240 = log 10-10.k

log 200/240 = - 10k log 10k= 7,9 x 10-3 A constante de desintegração radioativa é 7,9x10-3 ou 0,79% ao ano.

2) O pH de uma solução é definido por pH= , onde H+ é a concentração de hidrogênio em

íons-grama por litro de solução. Determine o pH de uma solução, tal que H+ = 1,0.10-8.Solução:

pH = pH= pH= pH = 8

APLICAÇÃO EM GEOGRAFIA-CRESCIMENTO POPULACIONAL

Exemplo:

1) Estima-se que a população da Terra tenha atingido a cifra de 5 bilhões de habitantes há poucos meses atrás. Imagine um país com uma população de 100 milhões de habitantes e a uma taxa de crescimento populacional de 2,4% ao ano. Em quantos anos a população desse país atingiria a população da Terra hoje, isto é, 5 bilhões de habitantes? Considere log 2 = 0,301.

Solução: P=PO.e K.t

5.109=1,0.108.e 0,024t

ln 50 = 0,024 t.ln et = 163 anosEste país atingirá a população da Terra em 163 anos.

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APLICAÇÃO EM FÍSICAExemplo:

A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I =8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula:

onde E é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7x10-3 kWh. Qual a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter?Solução:

Kwh

A energia liberada por um terremoto de intensidade 8 na Escala Richter é de .

APLICAÇÃO EM QUÍMICAExemplo:

1) Uma amostra de uma substância radioativa desintegra-se segundo a lei M(t)=M0.e-kt, onde M(t) é a massa da amostra no instante t, Mo é a massa inicial e k é a constante de desintegração. Calcule a constante de desintegração de uma amostra de Thório, sabendo que após 3,4.104 anos, sua massa reduz-se ¾ da massa inicial.

Solução: M(t) =M0.e-kt

A constante de desintegração de uma amostra do Thório é 8,46.10-6.

2) Na desintegração radioativa, costuma-se chamar de “meia-vida” o tempo necessário para que a metade da massa de uma determinada substância se desintegre. Nestas condições, determinar a “meia-vida” de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 2% ao ano.

Solução: M(t) =M0.e-kt

1 = 2.e-0,02t => ln 0,5 = ln e-0,02t => ln 0,5 = -0,02.t.ln e => ln 0,5 = -0,02t => t =34,6 anos ou t = 34a 7m 26 d.

O tempo necessário para chegar a metade da massa dessa substância será aproximadamente 34 anos 7 meses 26 dias.

APLICAÇÃO EM MATEMÁTICA FINANCEIRAExemplo:

1) Chama-se montante (M) a quantia que uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa anual i durante um tempo t e que pode ser calculado pela fórmula

Supondo que o capital aplicado é de R$ 200.000,00 a uma taxa de 12% ao ano durante 3 anos, qual o montante no final da aplicação?

Solução:

O montante ao final de 3 anos de aplicação será de 280.985,60.

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2) Em um país de terceiro Mundo, o ministro da Economia iniciou o ano declarando o seguinte: “Se a inflação anual atingir a cifra de 2000%, eu me demito”. Nesse ano, a taxa de inflação mensal manteve-se constante em 30%. O ministro permaneceu no cargo ou se demitiu? (Use 1,312=23,298)

Solução:

M = C.(1+i)t => M = 1.(1 +0,3)12 => M = 1,312 => M = 23,298

Se aplicarmos uma unidade monetária deste país receberemos ao final de um ano de aplicação o equivalente a 23,298 unidades monetárias,ou seja, uma inflação acumulada de 2.329,8%. Neste caso o Ministro da Economia se demitirá.

LISTA DE EXERCÍCIOS

1) Segundo uma pesquisa, após x meses da constatação da existência de uma epidemia, o número de

pessoas por ela atingida é . Supondo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, daqui a quanto

tempo, aproximadamente, o número de pessoas atingidas por essa epidemia será de 2000.Solução:

A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I =

8,9 para o maior terremoto conhecido. I é dado pela fórmula: . Onde E é a energia

liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 =7x10-3 kWh. Qual a energia liberada em um terremoto de intensidade 8 na escala Richter? Resposta:7.109kWh. Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? Resposta: A energia fica multiplicada por

FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

História dos logaritmos – uma introdução

A mão do homem é a primeira calculadora de todos os tempos. Há muito, mas muito tempo, o homem já usava o próprio corpo, como os dedos da mão, para fazer os cálculos que a vida diária exigia.

No entanto, a utilização do corpo humano para efetuar cálculos tem seus limites. Assim, o homem passou a usar pedras, paus entalhados e colares de contas para fazer os cálculos que os dedos da mão não conseguiam realizar.

Até mesmo uma mesa de contar, com fichas, foi inventada: o ábaco.

Mas quando dois homens trabalhando independentemente um do outro, o primeiro, um grande proprietário de terras, o outro, um fabricante de relógios, construíram uma extensa tabela para simplificar os cálculos matemáticos, os astrônomos, matemáticos, geógrafos deixaram definitivamente de lado as pesadas máquinas de contar e passaram a fazer todos os seus cálculos com pena, papel e a tabela dos números chamados logaritmos.

O escocês John Napier (1550-1617), um grande proprietário de terras e aficcionado da matemática, dizia que:

“Não há nada mais trabalhoso em matemática do que as multiplicações, divisões, extrações de raízes quadradas e cúbicas de grandes números, as quais envolvem um grande desperdício de tempo, assim como são sujeitas a erros não confiáveis”.

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As tabelas de logaritmos de Napier apareceram em 1614 em um livro intitulado Descrição da maravilhosa lei dos logaritmos. Em um primeiro momento, o objetivo de Napier era facilitar os cálculos com seno e outras funções trigonométricas, necessários para o trabalho de astronomia.

Como senos eram calculados com sete ou oito algarismos decimais, os cálculos eram longos e muitos erros eram cometidos. Os astrônomos acreditavam que diminuiria o número de erros se alguém pudesse substituir multiplicações e divisões por adições e subtrações.

O nome logaritmo foi escolhido por Napier das palavras gregas logos, que significa “raio”, e arithmos, que significa “número”, e pode ser interpretado como “valor do raio”. Observe que nessa época os cálculos de senos eram obtidos de circunferências de raios diferentes de 1.

Em 1615, e novamente em 1616, Napier reuniu-se com Henry Briggs (1561-1631), professor de geometria do Gresham College, em Londres, e concordou com a ideia de mudar suas tabelas de logaritmo para a base 10.

Um fabricante de relógios, o suíço Jobst Burgi (1552-1632), assistente de Johannes Kepler, também construiu uma tabela de logaritmos para facilitar a multiplicação de grandes números em 1620.

A discussão sobre quem foi o primeiro a inventar os logaritmos permaneça até hoje, embora a prioridade oficial pertença a Napier por ter publicado seu trabalho seis anos antes de Burgi.

Assim, podemos dizer que, se a mão do homem é a primeira calculadora, as tabelas de logaritmos de Napier e de Burgi representam o primeiro computador de todos os tempos.

A criação e o desenvolvimento de muitos produtos envolvem a utilização de diversas funções matemáticas.

Triste constatação

Mas essa riqueza e complexidade dos logaritmos não chega até o aluno.

Existe uma posição equivocada no trabalho com esses temas, ainda dominante nos livros didáticos, que consiste em transformar o aprendizado de exponenciais e logaritmos em um festival de equações e inequações sem nenhuma utilidade prática, e separando-as em “tipos” que os alunos devem memorizar através de exercícios que mudam para permanecerem os mesmos.

É incompreensível trabalhar com os logaritmos sem associá-los às calculadoras científicas e computadores. Afinal, a invenção dos logaritmos estava diretamente ligada à necessidade de se efetuar todos os tipos de cálculo da maneira mais rápida eficiente possível.

Alguns exemplos que podem ser analisados

Neste tópico é priorizado o trabalho com as propriedades das potências de logaritmos e a análise e interpretação dos gráficos dessas duas funções. Ao mesmo tempo procura-se mostrar as inúmeras aplicações práticas e modernas dos logaritmos. Pode-se criar problemas como estes:

1) Durante quantos meses Carlos deve deixar aplicado um capital de R$ 980,00, à taxa de juro de 1,25% ao mês, para conseguir pagar um curso de inglês que vai lhe custar R$ 1.066,00?

2) Observe o anuncio de um banco e descubra a taxa de juro mensal da aplicação:

Aplique hoje R$ 2.000,00 e receba após 1 ano R$ 2.536,50

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3) Marta foi a uma loja comprar um computador cujo preço à vista R$ 1.950,00. Como todo o dinheiro de Marta estava aplicado em uma caderneta de poupança, o dono da loja fez a seguinte proposta: ela levaria hoje o computador e pagaria somente daqui a 3 meses com um pequeno acréscimo de R$ 180,00.

a) Qual é a taxa de juro mensal que a loja esta cobrando?

b) Se o capital de marta está aplicado a 1,4% ao mês, que alternativa ela deve escolher:

( ) Pagar o computador daqui a 3 meses com acréscimo?

( ) Retirar R$ 1.950,00 da caderneta e pagar à vista o computador?

Por que?

4) A escala Ritcher é usada para medir a força dos terremotos. A magnitude M de um terreno é dada por:

M indica quantas vezes a amplitude da onda sísmica do terremoto é igual à amplitude da onda em situação normal. P indica a potência de um terremoto. a) Quantas vezes a potência de um terreno de magnitude M = 6 é igual à potência de um terremoto de

magnitude M = 5?

b) Em 1906, o terremoto da cidade de São Francisco, Estados Unidos, atingiu a magnitude 8,25 na escala Rither. Um outro terremoto alcançou 6,9 na mesma escala. Qual é a razão das potências dos dois terremotos?

5) Em uma cidade, o número de pessoas y contagiadas por um tipo de gripe é dado pela função:

, onde: é o números de dias

Quantas pessoas aproximadamente estarão contagiadas em uma semana?

O trabalho com equações e inequações não é deixado em segundo plano. Apenas selecionamos com mais cuidado e rigor as equações mais úteis e que levam à formação de conceitos matemáticos.

É sugerido que os alunos sempre esbocem os gráficos das funções logarítmicas e exponenciais no trabalho com as inequações. Provavelmente, a construção, a análise e a interpretação dos gráficos serão muito mais úteis aos alunos do que a resolução de inequações, qualquer que seja a profissão que seguirem.

Para resolver inequação , por exemplo, fazemos um esboço do gráfico da função comparamos os logaritmos e .

(Resposta)

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É incompreensível trabalhar com os logaritmos sem associá-los às calculadoras científicas e computadores. Afinal, a invenção dos logaritmos estava diretamente ligada à necessidade de se efetuar todos os tipos de cálculo da maneira mais rápida eficiente possível.

Criado para auxiliar os astrônomos, os logaritmos podem ser muito úteis para simplificar cálculos numéricos, principalmente se utilizados com uma calculadora científica. Como o nosso sistema de numeração é baseado no número 10, os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos comuns. É comum omitir a base no caso dos logaritmos comuns. Assim:

Com uma calculadora científica podemos obter valores aproximados para os logaritmos comuns. Por exemplo:

45,8 LOG = 1,6609

ou

LOG 45,8 = 1,6609

Portanto, Podemos usar os logaritmos comuns para resolver muitos problemas:

6) Em quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 é duplicado se aplicado à taxa de juro de 26% ao ano?

Solução:

Usamos uma calculadora científica para obter n:

2 LOG 1,26 LOG = 2,9992

ou

LOG 2 LOG 1,26 = 2,9992

Portanto, em aproximadamente 3 anos o capital vai dobrar.

FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

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Como apreender movimentos quantitativos muito rápidos e com números bem altos?

Ângela resolveu criar coelhos e comprou 4 casais. Na primeira gestação, cada um dos 4 casais gerou outros 4 casais, totalizando 4 X 4 = 42 = 16. A segunda gestação repetiu o número de filhotes, totalizando 4 X 4 X 4 = 43 = 64 casais. Nas gestações seguintes os números vão crescendo: 44, 45, 46, 47, ... A multiplicação cresce rapidamente e logo atinge números muito altos. Esta rapidez e estes valores são registrados de um modo mais simples por potências, em que é o expoente que varia. Como este existem vários outros movimentos quantitativos que são causados por variações muito altas e rápidas. Para estudá-los, matemáticos como o escocês John Napier (1550 - 1617), figura abaixo, criaram as funções exponenciais e logarítmicas, colocando em prática ideias que surgiram com o grego Arquimedes (século III a.C.).

Exemplo:

1) Substancias radioativas são aquelas que emitem partículas de seu núcleo. Essa emissão faz com que a massa radioativa do material diminua com o tempo. A essa relação entre a massa radioativa do material e o tempo dá-se o nome de decaímento radioativo.

O gráfico anterior mostra o decaímento radiativo para o isótopo 14 do carbono (14C). Este átomo radioativo está presente nos tecidos vivos. Quando um organismo morre, começa a diminuir a quantidade de 14C existente nele. Conhecendo a atual quantidade de 14C no tecido vivo, pode-se determinar a idade de um fóssil. Você pode responder:a) Passados 5600 anos, em quanto, em termos percentuais, a massa radioativa diminuiu?b) Qual é a idade de um fóssil que tem resíduos de 12,5% de 14C?

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MEDIDA DO NÍVEL SONORO

Para medir o nível sonoro utiliza-se a escala logarítmica. Considerando I0 a menor intensidade física do som audível e I a intensidade física do som que se quer medir, o nível sonoro de I é calculado por:

0

logI

I

na unidade de medida bel (símbolo B), nome dado em homenagem a Graham Bell, inventor do telefone. Na prática utiliza-se o decibel (símbolo db) que equivale à décima parte do bel.

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Os logaritmos podem ser aplicados na matemática financeira, mais especificamente, em juros compostos. Juro pode ser entendido como uma compensação financeira paga pelo empréstimo de um bem que adquirimos quando não se dispõe de moeda suficiente para pagar no ato da transação. Quando determinado capital é colocado a juros, de modo que estes são acrescentados ao final de cada período de capitalização e depois disso rendem juros, o juro é chamado composto. Essa operação para determinado capital é dada por progressão geométrica:

Utilizando as propriedades dos logaritmos podemos saber o tempo necessário para cada capitalização. Vamos calcular o montante M, no fim de cada unidade de tempo, da aplicação de um capital C a juro composto J, a taxa i por unidade de tempo.

Unidades de tempo Capital Juro Montante1 )i1(CiCC 2 2)i1(C)i1(iC)i1(C 3 322 )i1(C)i1(iC)i1(C 4... ... ... ...

A última coluna dessa tabela possibilita concluir que, em cada unidade de tempo t, o montante M é dado por:

tiCM )1( , onde:M = montanteC = capital

taxa unitária (taxa divida por 100)tempo de capitalização

Notas: Para aplicar a fórmula tiCM )1( , deve-se ter t e i na mesma unidade de tempo. Com essa equação calculamos o montante com juro composto e taxa constante (sempre a mesma

em cada unidade de tempo). Se as taxas variarem nas unidades de tempo, isto é, i1 na primeira unidade; i2 na segunda unidade; i3 na terceira unidade; ...; it na unidade de t, então o montante M será dado por:

)i1()i1()i1()i1(CM t321

Exemplo:1) Em quanto tempo um capital de R$ 2.000,00 à 2% a.m. determinará juros equivalentes à R$ 300,00?

Solução: tiCM )1( =>

tiC

M)1(

Aplica-se em ambos os lados:

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Resolvendo:

Aplica-se 15,1log12,1log t

Utilizando a propriedade da potência, simplificamos:

Assim o tempo necessário é de 7 meses.LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Para as funções logarítmicas a seguir:(i) Construa o gráfico com pelo menos 5 pontos, destacando o zero da função.(ii) Determine o domínio e a imagem da função.(iii) Classifique a função em crescente ou decrescente.a) b) c) d)

d) e) e) f) 2) Aplica-se R$ 100,00 à taxa de 10% ao mês. Qual a lei que expressa o montante em função do

tempo. Quando terás R$ 161,05? Resposta: Função: tM )1,1(100 ; Daqui a 5 meses

3) Considerando que a população de uma certa cidade é de 35.000 habitantes e que a taxa de crescimento anual é de 6%. Determine quando esta cidade terá aproximadamente 62.680 habitantes. Resposta: Daqui a 10 anos

4) Sonhe um pouco: Suponha que você faz uma aplicação de R$ 100, 00 em uma instituição financeira que promete duplicar o seu capital a cada mês. Nestas condições, quando você terá R$ 1.000.000,00? Considere o ano comercial: 12 meses de 30 dias, ou seja, 360 diasResposta: 13,2877 anos, ou melhor, 1 ano 1 mês e 8 dias

Notas de revisão: Definição: bax xb

a log (desde que: e e, ainda ) Propriedades:P1) Multiplicação:

P2) Divisão:

P3) Potência: (propriedade mais utilizada na prática)

Lei de mudança de base:

Logaritmos de Bases especiais: e

LOGARITMOS – “O PORQUE E O PARA QUE”

Essencial:- Qual a necessidade dos logaritmos? Exemplo: Como resolver a equação: - Deixar claro a definição, seguida de exemplos.

, com ; e - Deixar claro a importância das calculadoras e computadores no processo de ensino-

aprendizagem da matemática.- Utilizar no mínimo 10 aplicações.

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1) Demonstre que:

2) Demonstre que essa propriedade anterior vale para a soma de - elementos, ou seja,

3) Usando a propriedade anterior, podemos facilmente demonstrar que:

Demonstração:

(c.q.d.)

Nota: Essa é a propriedade mais importante dos logaritmos do ponto de vista de aplicações. Em geral, de posse da clareza do conceito de logaritmos e dessa propriedade podemos resolver as aplicações sem maiores dificuldades.

Exemplo:1) Resolver a equação exponencial: Solução: Aplicando logaritmo na base 10 em ambos os membros dessa equação, temos:

* Usando a referida propriedade

De posse de uma calculadora, para uma maior precisão, ....

Nota: O aluno não precisa decorar a fórmula de mudança de base:

Justificação: = ? ?Solução: Pela definição de logaritmos, temos:

Aplicando a propriedade de potência dos logaritmos, , vem:

De posse de uma calculadora, para uma maior precisão, ....

4) Provar que:

Aplicações:

1) Crescimento populacional:

2) Juros compostos: (ver minha apostila de Matemática Financeira)

onde: : Montante; : Capital; : Taxa unitária (taxa dividida por 100)

Obs.: Mostrar como se chega nesta relação a partir da função exponencial:

3) Depreciação: Definir o que é:

onde: : valor atual; : valor no instante ; : taxa unitária de depreciação

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4) Escala de Richter: Escala do terremotos

5) Motor dos automóveis: 1.0; 2.0

6) PH de uma substância (ver livros de química)

7) Intensidade sonora (medida em decibéis, ver livros de física)

8) Estudos biológicos (crescimento de plantas, colônias de bactérias, etc. ...)

Nota:

Definição de potência: , usando esta definição demonstrar que:

(i) Demonstração:

(ii)

(iii)

1) Prove que todo número (não nulo) elevado ao expoente nulo é igual a um, ou seja:

Solução: Seja , uma constante real não nula, então: , é claro.Assim,

se

* propriedade de potência.

Entenda os terremotos e como eles afetam o planeta

Adaptado de: MARCONDES, G. S. Matemática, Ática, São Paulo, 2003.

Um terremoto é um tremor de terra que pode durar segundos ou minutos. Ele é provocado por movimentos na crosta terrestre, composta por enormes placas de rocha (as placas tectônicas). O tremor de terra ocasionado por esses movimentos é também chamado de "abalo sísmico".

Essas placas se movimentam lenta e continuamente sobre uma camada de rocha parcialmente derretida, ocasionando um contínuo processo de pressão e deformação nas grandes massas de rocha.

Quando duas placas se chocam ou se raspam, elas geram um acúmulo de pressão que provoca um movimento brusco. Há três tipos de movimentos: convergente (quando duas se chocam), divergente (quando se movimentam em direções contrárias) e transformante (separa placas que estão se deslocando lateralmente).

Ondas sísmicas são vibrações provocadas por terremotos que acontecem na Terra. Sismógrafos são aparelhos que gravam tais vibrações, usando traços em ziguezague que mostram a variação de

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amplitude dos terremotos. A duração, a localização e a magnitude de cada fenômeno podem ser determinadas por estes aparelhos, instalados em estações sismológicas, em todo o mundo.

Medição

Os sismógrafos são instrumentos utilizados para registrar a hora, a duração e a amplitude de vibrações dentro da Terra e do solo.

Eles são formados por um corpo pesado pendente a uma mola, que é presa a um braço de um suporte preso em um leito de rocha. Se a crosta terrestre é abalada por um terremoto, o cilindro se move e o pêndulo, pela inércia, se mantém imóvel e registra em um papel fotográfico as vibrações do solo.

Os terremotos são classificados principalmente pela escala de Richter, fórmula matemática que determina a largura das ondas. A escala Richter foi desenvolvida por Charles F. Richter, em 1935, no Instituto de Tecnologia da Califórnia, EUA, para comparar dados e efeitos dos abalos sísmicos. Richter usou a fórmula a seguir para determinar uma escala para medição da força dos terremotos:

M = log A + 3 log (8∆t) – 2,92

em que M é a magnitude do terremoto (o que originou a tabela Richter), A é a amplitude (em milímetros) do terremoto, medida em um sismógrafo e ∆t é o intervalo (em segundos) entre as ondas superficial e de pressão máxima, também medidas no sismógrafo.

A escala de Richter não tem limite máximo. De forma geral, terremotos com magnitudes de 3.5 ou menos são raramente percebidos; de 3.5 a 6.0 são sentidos e causam poucos danos; entre 6.1 e 6.9, podem ser destrutivos e causar danos em um raio de cem quilômetros do epicentro; entre 7.0 e 7.9, causam danos sérios em áreas maiores; e de 8 em diante são destrutivos por um raio de centenas de quilômetros.

Exemplo:1) Com base no texto anterior, diga qual é a amplitude, em milímetros, de um terremoto cuja magnitude assume o valor de 2,3731 — que, segundo a tabela de Richter, não é sentido, mas gravado —, sabendo que o intervalo de tempo entre as ondas superficial e de pressão máxima é de 4 segundos. Solução: M = 2,3731; = 4s e A= ?? mm

Alterações no relevo

Os movimentos convergente e divergente das placas provoca alterações no relevo. A cada choque, a placa que apresenta menor viscosidade (mais aquecida) afunda sob a mais viscosa (menos aquecida). A parte que penetra tem o nome de zona de subducção.

No oeste da América do Sul, por exemplo, o afundamento da placa de Nazca sob a placa continental originou a cordilheira dos Andes.

No Brasil

O Brasil fica em cima de uma grande e única placa tectônica, ao contrário de outros países como os Estados Unidos e Japão. Nesses locais, existe o encontro de duas ou mais placas. As falhas entre elas são, normalmente, os locais onde acontecem os terremotos maiores.

No Brasil, as falhas são apenas pequenas rachaduras causadas pelo desgaste na placa tectônica, que levam a pequenos tremores, como os que aconteceram em Brasília (DF), em 2000, em Porto dos Gaúchos (MT), o mais recente, em 1998, e em João Câmara (RN), em 1986 e em 1989.

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Além disso, em alguns Estados brasileiros são registrados tremores de terra. Os abalos são reflexos de terremotos com epicentro em outros países da América Latina.

A ESCALA DE RICHTER - Os terremotos

Abandonando um pequeno dado sobre a superfície terrestre, ocorrerá uma liberação de energia que fará a superfície vibrar levemente. Se, no lugar do dado, for abandonado um tijolo, a energia liberada fará vibrar mais intensamente esta superfície. Imagine um cubo de granito com 2 km de aresta abandonado de uma altura de 280 km; a energia liberada será equivalente a 20 trilhões de kWk (quilowatt-hora). Essa foi a medida da energia liberada pelo terremoto ocorrido em São Francisco, Califórnia, em 1906. Mais violento ainda foi o terremoto que arrasou Lisboa em 1755, liberando energia equivalente a 350 trilhões de kWh.

Uma das aplicações dos logaritmos é na medida da intensidade de um terremoto. Na escala Richter, a intensidade I de um terremoto é definida por:

,E

Elog

3

2I

0

em que E é a energia liberada pelo terremoto, em kWh, e E0 = 10-3 kWh.

Notas: 1) O terremoto ocorrido em 1906, na cidade de São Francisco (EUA), registrou 9 pontos na escala Richter.

2) A escala logarítmica Richter foi criada em 1935 para avaliar a energia liberada por terremotos, pelo norte-americano Charles Richter (1900 – 1985). Para medir a intensidade de um terremoto utiliza-se da fórmula:

kE

I 3log3

2

Onde: E: a energia liberada pelo terremoto e k: uma constante, E e k são medidas em kWh – quilowatt-hora. Nota: Um terremoto medindo 5 graus na escala Richter pode ser destrutivo.Exemplo:1) Sabendo-se que, em duas cidades, X e Y, foram registrados terremotos que tiveram intensidades

iguais a, respectivamente, 4 e 8 na escala Richter e sendo Ex a energia liberada em X e Ey a energia liberada em Y, pode-se afirmar:

( ) Ey = 2E ( ) Ey = 28Ex ( ) Ey = 32Ex ( ) Ey = 33Ex ( ) Ey = 36ExSolução: Assim sendo, pelo enunciado do problema acima, a cidade Y, provavelmente foi destruída!, já que na escala Richter, o terremoto na cidade Y teve intensidade 8, bastava 5 portanto, a cidade Y, bem, a ex-cidade Y ... Temos que IX = 4 e IY = 8, pelo enunciado do problema. Substituindo na

fórmula do enunciado, vem:

Já sabemos de Logaritmos que se logbN = x, então bx = N. Logo,

De = 6 tiramos = 36 e De log3 = 12 tiramos = 312

Dividindo membro a membro as expressões em azul negrito acima, fica:

Efetuando as divisões indicadas no primeiro e segundo membros, vem:

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Nota: lembre-se que para dividir duas frações, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda.

Teremos, então: . Nota: Lembre-se que a-n = 1/ an. Daí vem imediatamente

que:

Concluímos pois, que a alternativa correta é a de letra E de Errado. Ah ah ah ah ...Brincadeira à parte, E é a alternativa correta.

REVISÃO

Função: Sejam e conjuntos diferentes do vazio. Uma relação de em é função se, e somente se, todo elemento de estiver associado, através de , a um único elemento de .

Notação: (indica que é uma função de em )

Em símbolos, sendo , temos: é uma função

Em diagramas:

Notas:

1) Em nosso estudo, e representa o conjunto dos números reais, ou algum intervalo de , no qual a função está definida.

2) Um gráfico representará uma função de em se, e somente se, qualquer reta paralela ao eixo das ordenadas (eixo ), passando por um ponto qualquer de abscissa , , interceptar o gráfico em um único ponto.

3) Toda função em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de denomina-se função real de variável real.

4) Em outras palavras: Uma função é uma regra que associa cada objeto de conjunto a um e somente um objeto de um conjunto .

5) Variáveis: Na equação , as letra e que aparecem nesta equação são denominadas variáveis. O valor numérico da variável é determinado pelo da variável . Por esta razão, chama-se variável dependente e , variável independente.

6) Gráfico da função: O gráfico da função consiste em todos os pontos para os quais as coordenadas satisfazem à equação

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DOMÍNIO DE FUNÇÕES REAIS

1. Introdução

Um objeto é abandonado do alto de um edifício de 80 m, quando se inicia a contagem do tempo, sendo g = 10 m/s2. Sabemos, pela teoria da queda livre, que:

, onde: h representa a variação de altura

onde: t é a variável independente h é a variável dependente

Notamos que t não pode assumir qualquer valor. De um lado, t < 0 não ocorre na situação descrita. Por outro lado, notamos que ao final de um determinado tempo, o objeto terá atingido o solo.

Logo,

Assim, t poderá assumir somente valores compreendidos no intervalo [0; 4].

O conjunto de valores, que a variável independente pode assumir é denominado DOMÍNIO DA FUNÇÃO.

2. Domínio de uma função real

Quando fizemos um estudo das funções, elas foram definidas por uma lei de associação, um conjunto A e um conjunto B. Muitas vezes, porém, é dada a função apenas pela lei de associação, sem serem citados os conjuntos A e B. Neste caso, considera-se o conjunto A como sendo os reais (), excetuando-se o conjunto dos elementos que ficam sem imagem real, e o conjunto B, isto é, o contradomínio, como sendo o conjunto dos reais.

O domínio de uma função real y = f(x) é o conjunto dos valores reais da variável x, para os quais existem correspondentes valores de y real.

Exemplos:

1) Determine o domínio das funções reais:a) y = 3x2 – 5x + 7Solução: Como a operação é possível para todo x real, temos: Dom (f) = .

b)

Solução: Como a divisão por zero não é definida, devemos impor a condição de que o denominador seja diferente de zero.

Então: Dom (f) = {x / x 3}.

c) Solução: Como o índice da raiz é par, a operação somente será possível em , se o radicando for maior ou igual a zero.

Logo, Dom (f) = {x / x 2}

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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir

de agora, o preço de um certo modelo seja de unidades monetárias (u. m.).

a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 mesesd) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x )? Resposta: P(x) $ 40 quando x

2) Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório. Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de

aproximadamente minutos.

f) Para que valores de a função ( ) tem significado no contexto do experimento psicológico? Resposta: Todo inteiro positivo

g) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutosh) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos?

Resposta: 12a tentativa i) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o

labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o labirinto em menos de 3 minutos?

Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos.

3) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas

pelo comprador através da equação , em que P(x) é o preço em dólares por saca e x

é o número de sacas vendidas.e) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir cem sacas?f) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir duzentas sacas?g) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou?h) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x )? Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) $ 50 quando x

4) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de

.

a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade?b) De quanto a população crescerá durante o 90 ano?c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população?

Resposta: a) P(9) = 194/10 = 19,4 milharesb) P(9) – P(8) = 194/10 - 58/3 = (1/15) milhares = 67 habitantesc) A população aproxima-se-á de 20 mil habitantes.

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5) O gráfico a seguir representa uma função de em . Determine:a) =

b)

c)

d) =

e) =

Resposta: a) b) 2 c) 5 d) e) Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f.

6) O gráfico a seguir representa uma função de em . Determine:

a) =

b)

c)

Resposta: a) b) 3 c) 5

7) O gráfico a seguir representa uma função de em . Determine:

a) =

b)

c)

Resposta: a) b) -2 c) 4

97

Page 98: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

8) Suponha que o custo total em u.m. de produzir q unidades de um certo bem é dado pela função C(q) = q3 – 30q2 + 400q + 500.

c) Calcule o custo de produzir 20 unidades. Resposta: C(20) = 4500d) Calcule o custo de produzir a vigésima unidade. Resposta: C(20) – C(19) = 371

9) Suponha que t horas após a meia-noite, a temperatura em Pato-City era graus

Celsius.c) Qual era a temperatura às 14 horas? Resposta.: C(14) = 33 1/3 0 Cd) De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 18 e 21 horas? Resposta: C(21) – C(18) = - 7,50C10) Uma bola foi jogada do alto de um prédio. Sua altura (em pés) após t segundos é dado pela função

H(t) = - 16t2 + 256.e) Que altitude estava a bola após 2 segundos? Resposta: H(2) = 192mf) Que distância viajará a bola durante o terceiro segundo? Resposta: H(3) – H(2) = 80mg) Que altura tem o prédio? Resposta: H(0) = 256mh) Quando a bola atingirá o solo? Resposta: H(t) = 0 t = 4 seg. (após 4 segundos)11) Uma panela, contendo uma barra de gelo a – 400C é colocada sobre a chama de um fogão. Nestas

condições o gráfico abaixo nos mostra a evolução de temperatura (T) da água em função do tempo (t). Escreva sob a forma de colchetes os intervalos onde:

i) A temperatura em que temos só água no estado sólido;j) O tempo em que temos só água no estado sólido;k) A temperatura em que temos água no estado sólido e

líquido;l) O tempo em que temos água no estado sólido e

líquido;m) A temperatura em que temos água no estado líquido;n) O tempo em que temos água no estado líquido;o) A temperatura em que temos somente líquido;p) O tempo em que temos somente líquido.Resposta: a) [-40, 0] b) [0, 2] c) 0oC d) [2, 10] e) [0, 100] f) [2, 20] g) [0, 100] h) [10, 20]

12) Calcule os valores indicados da função dada.a) f(x) = 3x2 + 5x – 2; f(1), f(0), f(-2) Resposta: f(1) = 6, f(0) = -2, f(-2) = 0

b) Resposta:

c) Resposta:

d) f(t) = (2t – 1)-3/2 ; f(1) , f(5), f(13) Resposta:

e)f(x) = x - x - 2 ; f(1), f(2), f(3) Resposta: f) Resposta:

13) Especifique o domínio das funções dadas:

a) Resposta: Todo número real x, exceto x = -2

b) Resposta: Todo número real x tal que x 5c) Resposta: Todo número real td) f(t) = (2t – 4)3/2 Resposta: Todo número real t tal que t 2e) f(x) = (x2 – 9)-1/2 Resposta: Todo número real x tal que x<-3 ou x>3, ou seja, |x|>3f) Resposta: Todo número real t, exceto t = 1

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Page 99: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

FUNÇÃO COMPOSTA

Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p.

Suponhamos que em determinada indústria mecânica, o custo z para produzir y unidades de uma peça seja dada por z = f(y) onde f(y) = y2 + 2y + 500, ou seja, z = y2 + 2y + 500. Sabe-se que em x horas de trabalho são produzidas y = g(x) unidades da peça, onde g(x) = 10x, ou seja, y = l0x. Como podemos expressar o custo z em função do número de horas x? Se substituirmos em z = f(y), y por g(x), obtemos z = f(g(x)) onde:

f(g(x)) = [g(x)]2 + 2g(x) – 500 f(g(x)) = [10x12 + 2.10x + 500 f(g(x)) = 100x2 + 20x + 500

ou seja, resulta em z como função de x. Dizemos então que z = f(g(x)) é a função composta denotada por fog = f(g(x)).

Definição: Dadas as funções f e g, defini-se a função composta de f com g, denotada por fg como (fog)(x) = f(g(x)), onde o domínio de fg é o conjunto de todos os pontos x no domínio de g tais que g(x) está no domínio de f.

Exemplos ilustrativos e exercícios – aplicações:

1) Suponha que a função lucro L na venda de q toneladas de farinha seja dada por L(q) = 2q + 3, e que a produção em função do tempo t (em horas) q = f(t) seja q = t2 + 1. Determine o lucro em função do tempo de produção. Qual será o lucro em 5 horas de produção?

Solução:

Para

2) O custo de produção dos y equipamentos de segurança produzidos por uma Companhia é dado pela função C(y) = 2y2 + y + 200. Sabe-se que a produção desses equipamentos é uma função f do número de operários x tal que y = f(x) = 2x. Determine o custo de produção em função do número de operários. Resposta: C(f(x)) = 8x2 +2x + 200

3) Estima-se que o gasto G em saneamento de certa região é uma função do acréscimo da população p (em milhares de habitantes), sendo G(p) = p2 + p + 1000. A função que estima o acréscimo populacional em função do tempo t (em anos) é dada por p(t) = 2t2 + t. Determine a função do gasto em saneamento como função do tempo. Qual será o gasto com saneamento hoje, ou seja, sem acréscimo populacional? E daqui a 3 anos? Resposta: G(p(t)) = 4t4 + 4t3 + 3t2 + t + 1000; 1000; 1462.

99

Page 100: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

4)

5)

100

Page 101: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

FUNÇÃO COMPOSTA (DANTE)

Introdução:

Vamos considerar a seguinte situação:

Um terreno foi dividido em 20 lotes, todos de forma quadrada e de mesma área. Nessas condições, vamos mostrar que a área do terreno é uma função da medida do lado de cada lote, representando uma composição de funções.

Para isso, indicaremos por: x = medida do lado de cada lote; y = área de cada lado; z = área do terreno.

(1) Área de cada lote = (medido do lado)2 => y = x2. Então, a área de cada lote é uma função da medida do lado, ou seja: y = f(x) = x2.

(2) Área do terreiro = 20 . (área de cada lote) => z = 20y. Então, a área do terreno é uma função da área de cada lote, ou seja, z = g(y) = 20y.

(3) Comparando (1) e (2), temos: Área do terreno = 20 . (medida de cada lote)2, ou seja, z = 20x2, pois y = x2 e z = 20y. Então, a área do terreno é uma função da medida de cada lote, ou seja. z = h(x) = 20x2.

A função h, assim obtida, denomina-se função composta de g com f e pode ser indicada por g f.

Portanto, (g f) (x) = g(f(x)), para todo x Dom(f).

Definição de função composta:

Dados as funções f: AB e g: BC, denominamos função composta de g e f a função g f: A→C, que é definida por (g f) (x) = g(f(x)), x A.

101

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Há muitas situações nas quais uma quantidade é dada como uma função de uma variável, que, por sua vez, pode ser escrita como uma função de uma segunda variável. Combinando as funções de uma forma adequada, podemos expressar a quantidade original como uma função da segunda variável. Esse processo é chamado de composição de funções.

A função composta g[h(x)] é a função formada pelas duas funções g(u) e h(x), substituindo-se u por h(x) na fórmula de g(u). Em diagramas, temos:

Exemplos:

1) Determinar a função composta g[h(x)], se g(u) = u2 + 3u + 1 e h(x) = x +1Resposta: g[h(x)] = x2 + 5x + 5

2) Determine se

Resposta:

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Calcule a função composta g[h(x)].a) g(u) = 3u2 + 2u – 6, h(x) = x + 2 Resposta: g[h(x)] = 3x2 + 14x + 10b) g(u) = (u – 1)3 + 2u2 , h(x) = x + 1 Resposta: g[h(x)] = x3 + 2x2 + 4x +2

c) Resposta:

d) Resposta: g(h(x)] = x=

2) Calcule a função composta indicada.a) f(x – 2) sendo f(x) = 2x2 – 3x + 1 Resposta: f(x – 2) = 2x2 – 11x + 15b) f(x – 1) sendo f(x) = (x + 1)5 – 3x2 Resposta: f(x – 1) = x5 – 3x2 + 6x -3c) Resposta:

d) Resposta:

3) Determine funções h(x) e g(u) tais que f(x) = g[h(x)].a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

x u=g(x) h[g(x)]

g h

102

Page 103: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

Aplicações de Funções Compostas

1) Um estudo ambiental de uma comunidade sugere que o nível médio diário de monóxido de carbono no ar será c(p) = 0,5p + 1 partes por milhão (ppm), quando a população é p mil. É estimado que t anos a partir de agora a população da comunidade será de p(t) = 10 + 0,1t2 mil.

a) Expresse o nível de monóxido de carbono no ar como uma função do tempo.Solução:

c(p) = 0,5p + 1 e p(t) = 10 + 0,1t2

c[p(t)] = 0,5p(t) + 1 = 0,5(10 + 0,1t2) + 1 = 5 + 0,05t2 + 1

c[p(t)] = 6 + 0,05t2

b) Quando o nível de monóxido de carbono atingirá 6,8 ppm?Solução:

c[p(t)] = 6,8

6 + 0,05t2 = 6,8 0,05t2 = 0,8 t2 = 16 t = 4

Portanto, daqui a 4 anos.

Nota: Exemplificando – A poluição depende do número de habitantes, mas o número de habitantes depende do tempo. Queremos estabelecer uma relação entre poluição e tempo.

Definição: Sejam duas funções. Diremos que h é a composição das funções f e g se:

.

Onde: A função h é denotada como

103

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FUNÇÕES: APLICAÇÕES ECONÔMICAS

Adaptado de: SEIJI, Hariki; ABDOUNUR, Oscar João. Matemática aplicada: administração, economia e contabilidade. São Paulo, Saraiva, 1999.

Os modelos lineares são úteis para descrever o comportamento de algumas funções econômicas.

FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO

Considere uma firma que fabrica e vende um determinado bem (produto). Se x representa a quantidade produzida e vendida, então:

o Custo Fixo (CF) é a soma de todos os custos que não dependem do nível de produção tais como aluguel e seguros;

o custo variável [CV(x)] é a soma de todos os custos que dependem do número x de unidades produzidas tais como mão de obra e material;

o custo total C(x) é a soma do custo fixo com o custo variável;

a receita total R(x) é a quantia que o fabricante recebe pela venda de x unidades;

o lucro total L(x) é a diferença entre a receita total R(x) e o custo total C(x):

L(x) = R(x) – C(x).

Resumindo:

Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável

Lucro Total = Receita Total – Custo Total

PONTO DE EQUILÍBRIO (BREAK-EVEN POINT)

É o ponto de interseção entre o gráfico da receita total e o do custo total. Ele indica a quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir dessa quantidade mínima que o produtor começará a ter lucro positivo.

Exemplo ilustrativo: Uma indústria de autopeças tem um custo fixo de R$ 15.000,00 por mês. Se cada peça produzida tem um custo de R$ 6,00 e o preço de venda é de R$ 10,00 por peça, quantas peças deve a indústria produzir para ter um lucro de R$ 30.000,00 por mês?Solução:

Custo Total = 15.000 + 6x

Receita Total = 10x

Lucro = Receita Total – Custo Total

30.000 = 10x – (15.000 + 6x) => 30.000 = 4x – 15.000 => 45.000 = 4x => x = 11.250

Portanto, a indústria precisa fabricar mais de 11.250 peças por mês para ter lucro.

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Page 105: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA; PONTO DE EQUILÍBRIO

A quantidade demandada de um determinado bem depende do preço desse bem, dos preços de outros bens, e de outros fatores. A lei da procura (demanda) afirma que: quanto menor o preço de um determinado bem, maior a quantidade que se deseja comprar, por unidade do tempo, ceteris paribus (ou seja, mantidas constantes as demais condições).

Uma curva de demanda (procura) deve então ter o aspecto da curva mostrada na Figura a seguir, onde p designa preço e q designa quantidade.

Atenção: os economistas, contrariando o costume dos matemáticos, representam a variável independente p (preço) no eixo vertical e a variável dependente q (quantidade demandada) no eixo horizontal.

A quantidade ofertada de um determinado bem depende do preço desse bem, da oferta de insumos, dos impostos e subsídios, e de outros fatores. Em uma situação “normal”, se o preço aumentar, a quantidade ofertada aumentará concomitantemente. O gráfico de uma curva de oferta será parecido com o da Figura a seguir.

O ponto de equilíbrio é o ponto de interseção do gráfico da oferta com o da demanda. Suas coordenadas são o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. Veja a Figura a seguir. Se o preço está acima do preço de equilíbrio há excesso de oferta e o preço tende a cair; se o preço está abaixo do preço de equilíbrio, há escassez de oferta e o preço tende a subir.

105

Page 106: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

Exemplo ilustrativo: Em um modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas são, respectivamente, funções lineares do preço:qd = 24 – pqs = -20 + 10pPede-se o preço e a quantidade de equilíbrio. Esboce o gráfico da situação.Solução:Fazendo qd = qs, temos o preço de equilíbrio:

24 – p = - 20 + 10p

Logo, p = 4

Substituindo em qd (ou qs) obtemos qd = 20.

Logo, preço de equilíbrio = 4, quantidade de equilíbrio = 24 – 4 = 20.

Veja a Figura a seguir.

Atenção: O símbolo qd designa quantidade demandada e qs indica quantidade ofertada (a letra s vem do inglês supply = oferta).

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Uma firma de serviços de fotocópias tem custo fixo de R$ 800,00 por mês e custo variável de R$ 0,04 por folha que reproduz. Expresse a função custo total em função do número x de páginas copiadas por mês. Se os consumidores pagam R$ 0,09 por folha, quantas folhas a firma tem que reproduzir para não ter prejuízo? Resposta: Ctotal(x) = 800 + 0,04x e x = 16.000 folhas

2) A equação de demanda de um certo bem é qd = 14 – 2p e a equação de oferta é qs = -10 + 6p. Determine o ponto de equilíbrio. Resposta:

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APLICAÇÕES DE FUNÇÕES

Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p.

A utilização de funções na resolução de problemas ligados à Administração, Economia, Ciência Contábeis e Engenharia de Produção é muito comum, principalmente nos problemas que envolvem custos, lucros, demandas, ofertas, receitas, ponto de equilíbrio (break-even point).

Exemplos ilustrativos:

1) Sabendo-se que a função custo total para fabricar determinada mercadoria é dada por C(x) = x3 + x2 + 2x + 100, sendo x a quantidade produzida, pede-se:

a) O custo total para produzir 5 unidades dessa mercadoria

Solução: Para x = 5 => C(5) = 53 + 52 + 2.5 + 100 = 125 + 25 + 10 + 100 = 260.

b) O custo total para produzir 10 unidades dessa mercadoria

Solução: Para x = 10 => C(10) = 103 + 102 + 2.10 + 100 = 1000 + 100 + 20 + 100 = 1220.

c) A função custo médio e o custo médio para produzir 5 unidades dessa mercadoria.

Solução:

2) A função demanda para um produto de certa Companhia é sendo x a quantidade

demandada e y o preço unitário

a) Determine a quantidade x como função do preço y.

Solução:

b) Determine o número de unidades quando o preço for R$ 10,00

Solução:

3) A função receita é dada por R(x) = x2 + 4x + 100 e a função custo por C(x) = x + 80, sendo x a quantidade.

a) Determine a função lucro L.

Solução:

b) Qual o lucro para uma quantidade demandada igual a 10?

Solução:

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Page 108: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

4) As funções de oferta e demanda de um produto são, respectivamente, y = 2x + 80 e y = -4x + 200.

a) Determine a quantidade e o preço de equilíbrio.

Solução:

Basta resolver o sistema:

b) Represente graficamente as funções oferta e demanda e o ponto de equilíbrio.

Solução:

Como as funções são lineares, e já determinamos o ponto de equilíbrio, basta determinar mais um ponto para cada uma delas. Para a função oferta: y = 2x + 80, x = 0 => y = 80 e para a função demanda: y - 4x + 200, x = 0 => y = 200.

c) Para que valores de x o preço de oferta excede o preço de demanda?

Solução:

Observando o gráfico, nota-se que para valores de x > 20, o preço de oferta é superior ao preço de demanda.

5) Sabe-se que o custo mensal fixo de uma indústria que produz relógios de parede é R$ 8.500,00 e que o custo variável é R$ 10,00 por relógio fabricado. O preço de venda é de R$ 80,00 por relógio.

a) Se x relógios são vendidos durante um mês, qual é o custo mensal y como função de x?

Solução:

Custo total = custo variável + custo fixo => C = CV + CF = 10x + 8500.

b) Qual o lucro no mês de julho se 500 relógios foram vendidos neste mês?

Solução:

L = R - C, sendo R = 80x. Portanto, L = 80x - (10x + 8500)

Para x = 500 => L = 70.500 - 8500 => L = 35000 - 8500 = R$ 26.500,00.

(c) Quantos relógios devem ser vendidos em determinado mês, para que não haja lucro e nem prejuízo?

Solução:

Fazendo L = 0 em L = 70x - 8500 => 0 = 70x - 8500 => 70x = 8500 => x = l2l.

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Page 109: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

6) Uma fábrica de bicicletas tem um custo fixo de R$ 20.000,00 por mês. Sabe-se que cada bicicleta produzida tem um custo de R$ 50,00 e o preço de venda é de R$ 80,00 por bicicleta. Quantas bicicletas deve a indústria produzir para ter um lucro de R$ 40.000,00 por mês?

Solução:

Custo total = custo variável + custo fixo => C = 50x + 20000

Receita total => R = 80x

Lucro = Receita total - Custo total => L = R - C => L = 80x - (50x + 20000) => L = 30x - 20000

Para L = 40000 => 40000 = 30x - 20000 => 30x = 60000 => x = 2000 bicicletas.

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Um fabricante de máquinas de cortar grama tem um custo fixo de R$ 5.000,00 e um custo variável de R$ 100,00 por máquina produzida.

a) Encontre o custo para produzir 500 máquinas. Resposta: R$ 55.000,00

b) Calcule o custo adicional quando a produção for elevada de 500 para 800 máquinas. Resposta: R$ 30.000,00

c) Quantas máquinas poderão ser produzidas a um custo de R$ 80.000,00? Resposta: 750

2) Para o problema anterior, sabe-se que cada máquina é vendida por R$ 150,00.

a) Determine a função receita total. Resposta: R(x) = 150x

b) Qual é o faturamento gerado por 200 máquinas? Resposta: R$ 30.000,00

c) Determine a função lucro. Resposta: L(x) = 50x - 5000

d) Qual é o lucro resultante da venda de 800 máquinas? Resposta: R$ 35.000,00

3) Uma empresa estima que o faturamento total obtido com a venda de x máquinas fotográficas por ano é dado pela função R(x) = 2x2 + 50x + 200.

a) Represente graficamente a função R(x). Resposta: Faça o gráfico, utilize o Excel, por exemplo.

b) Qual deve ser o nível de venda para que o faturamento seja de R$ 100.000,00? Resposta: 211

c) Qual será o faturamento obtido com a venda de 2.000 máquinas fotográficas? Resposta: R$ 8.100.200,00

4) Em um modelo quadrático de oferta e demanda, essas funções são dadas, respectivamente, por p(x) = 0,5x2 + 2 e p(x) = -0,25x2 + 5, onde p = preço e x = quantidade.

a) Determine algebricamente o ponto de equilíbrio. Resposta: E(2, 4)

b) Represente graficamente as duas funções, identificando o ponto de equilíbrio. Resposta: Faça o gráfico, utilize o Excel, por exemplo.

c) Para quais valores de x o preço de oferta é superior ao preço de demanda? Resposta: para x > 2

5) Uma indústria metalúrgica fabrica torneiras tendo um custo fixo de R$ 8.000,00 por mês. Se cada torneira fabricada tem um custo de R$ 10,00 e o preço de venda é de R$ 18,00 por torneira, quantas torneiras a indústria deverá produzir para ter um lucro de R$ 16.000,00 por mês? Resposta: 3000

6) O custo unitário das máquinas de lavar louça de certa Companhia é R$ 250,00, sendo o custo fixo associado à produção igual a R$ 20.000,00. Sendo o preço de venda de cada máquina igual a R$ 400,00, determine:

109

Page 110: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

a) A função custo total: Resposta: C = 20.000 + 250x

b) A função receita total: Resposta: R = 400x

c) A função lucro total: Resposta: L = 150x - 20000

d) O ponto de break-even: Resposta: (400/3, 160000/3)

e) A produção necessária para a obtenção de um lucro de R$ 55.000,00: Resposta: 500

7) Uma indústria produz 2.000 unidades de um bem de consumo, sendo o lucro bruto obtido pela venda da produção igual a R$ 20.000,00. Sabe-se que o custo fixo de produção é R$ 2.000,00 e que o preço de venda de cada unidade do bem é R$ 15,00. Calcular:

a) O custo unitário de produção: Resposta: R$ 4,00

b) O ponto de break-even: Resposta: aproximadamente (182, 2730)

c) A produção necessária para um lucro de R$ 24.000,00: Resposta: 2.364

8) Sabe-se que a equação de demanda de um bem é dada por x = 200 - 4p, sendo o custo associado C = 4p - 12. Determinar:

a) A função receita total, traçando o gráfico correspondente: Resposta: R(x) = 200p - 4p2. Faça o gráfico, utilize o Excel, por exemplo.

b) O ponto de break-even: Resposta: aproximadamente (49, 184)

c) A função lucro, traçando o gráfico correspondente: Resposta: L = -4p2 + l96p + 12. Faça o gráfico, utilize o Excel, por exemplo.

110

Page 111: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

Usando o Microsoft Excel para fazer a regressão linear pelo método dos mínimos quadrado.

Exemplo:

Determine pelo método dos mínimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos dados:

(1, 3); (2, 7); (3, 8)

1o Passo) Entrada dos dados

2o Passo) Construção do gráfico de dispersão

3o Passo) Clique em concluir

4o Passo) Saída do gráfico de dispersão

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4

Seqüência1

5o Passo) Clique com o botão direito do mouse sobre um dos pontos e acione a opção: adicionar linha de tendência

6o Passo) A seguir escolha o tipo (linear)

7o Passo) Em opções: Escolha 8o Passo) Saída final

y = 2,5x + 1

R2 = 0,8929

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4

Seqüência1

Linear(Seqüência1)

Notas:1) É possível, a partir do gráfico, determinar o valor de novos pontos, ou seja, fazer predições.2) Para ajustar uma polinomial => No 6o passo) Escolha a opção polinomial e a ordem (grau do

polinômio, 2, 3, ... ).Outros exemplos: Saída Excel

y = 2,5x + 1

R2 = 0,8929

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3 4

Seqüência1

Linear(Seqüência1)

y = 0,9x + 1,4

R2 = 0,8526

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4

Seqüência1

Linear(Seqüência1)

y = -2,1x + 110,4

R2 = 0,9692

93949596979899

100101

0 5 10

Seqüência1

Linear(Seqüência1)

111

Page 112: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

HÉLIO FERNANDO e CYRINO ARANTES

LÓGICA MATEMÁTICA, LÓGICA DIGITAL

Veja páginas: 15 e 16; 45 e 46

Organização dos números: Em um sistema de base b, todo número n qualquer pode ser escrito na forma polinomial de potências de b, multiplicadas por um símbolo pertencente ao sistema.

Exemplo: Base 10 => Símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

3452 = 3*103 + 4*102 + 5*101 + 2*100, ou seja, 3452 = 3000 + 400 + 50 + 2

Mudança de base decimal para base binária

Exemplo: Transformar o número 93 em binário.Solução:

93 21 46 2

0 23 21 11 2

1 5 21 2 2

0 1 21 0

Portanto, (93)10 = 93 = (1011101)2.

Nota: Quando a base é dez, é convencional escrever-se o número sem base.

Mudança de base binária para base decimal Exemplo: Transformar o número binário (11011)2

em número decimal.Solução:

1*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27

Portanto, (11011)2 = (27)10 = 27

Tabela de correspondência

Sistema Decimal Sistema Binário0 01 12 103 114 1005 1016 1107 1118 10009 100110 1010... ..

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LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Transforme os números decimais em binários:a) 407 b) 21 c) 47 d) 197 e) 943

2) Transforme os números binários em decimais:a) (10101)2 b) (1010110)2 c) (10101110)2 d) (110010000)2 e) (1011001011)2

Respostas:

1) a) (101111)2 b) (10101)2 c) (101111)2 d) (11000101)2 e) (1110101111)2

2) a) 21 b) 86 c) 174 d) 400 e) 715

JOGO DE SALÃO

16 21 26 31 52 57 4 13 22 31 44 5317 22 27 48 53 58 5 14 23 36 45 5418 23 28 49 54 59 6 15 28 37 46 5519 24 29 50 55 60 7 20 29 38 47 6020 25 30 51 56 X 12 21 30 39 52 X1 11 21 31 41 51 8 13 26 31 44 573 13 23 33 43 53 9 14 27 40 45 585 15 25 35 45 55 10 15 28 41 46 597 17 27 37 47 57 11 24 29 42 47 609 19 29 39 49 59 12 25 30 43 56 X32 37 42 47 52 57 2 11 22 31 42 5133 38 43 48 53 58 3 14 23 34 43 5434 39 44 49 54 59 6 15 26 35 46 5535 40 45 50 55 60 7 18 27 38 47 5836 41 46 51 56 X 10 19 30 39 50 59

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ELON LAGES LIMA

MEU PROFESSOR DE MATEMÁTICA E OUTRAS HISTÓRIAS

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA

CONCEITOS E CONTROVÉRSIAS

1) Zero é um número natural?

2) Por que (-1)*(-1)=1?

4) Qual o valor de 00?

10) O número e: por que?

11) Quais são as raízes da equação 2x = x2?

19) O que é o número ?

- - - A escola deve adaptar-se à vida atual, modernizar-se e adequar seus alunos à sociedade em que

vivem, na qual vão lutar pela vida. Evitar uma grande e desnecessária perda de tempo com cálculos prolongados. A utilização da calculadora ou do computador, liberando o aluno de longas, enfadonhas e

desnecessárias tarefas, deixa-o com mais tempo para aprimorar sua capacidade de raciocinar e desenvolver-se mentalmente.

As calculadoras e computadores são extremamente eficazes para fazer contas, principalmente as longas, as repetidas e as difíceis (como extrações de raízes, por exemplo).

Cuidado: Os números que aparecem no mostrador de uma calculadora são valores aproximados. Por exemplo: 232*(1/2)32 = 0,999999999.

Demonstrações: Não se pode demonstrar algo a partir do nada. Para provar um resultado, é preciso admitir uns tantos outros fatos como conhecidos. Esta é a natureza da Matemática. Todas as preposições matemáticas são do tipo “se isto então aquilo”. Ou seja, admitindo isto como verdadeiro, provamos aquilo como consequência.

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Assíntota horizontal: linha reta para um valor constante y da qual a função aproxima-se tanto quanto quisermos sem chegar a alcançá-la.

Assíntota vertical: para um valor constante de x existe uma linha reta da qual a função aproxima-se sem chegar a alcançá-la.

Função racional: função definida por uma expressão fracionária do tipo:

Grau de um polinômio: é determinado pelo maior dos expoentes dos diversos monômios que compõem um polinômio. Assim, o polinômio x5 – 3x4 + x2 + 8 é de grau 5.

Polinômio: expressão algébrica formada por vários termos. Podemos falar de monômios, binômios, trinômios e polinômios, conforme tenham um, dois, três ou mais termos, respectivamente.

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FUNÇÕES INVERSAS

Referências:

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo Murakami, Carlos. Fundamentos de matemática elementar. 8. Ed. São Paulo: Atual, 1993.

FLORIANI, José Valdir. Função Logarítmica. Blumenau: Ed. da FURB, 1999.

FILHO, Benigno Barreto; SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática: aula por aula. Vol. único. São Paulo: PTD, 2000.

BIANCHINI, Edvaldo; PACCOLA, Erval. Matemática: 2º grau. 1. Ed. São Paulo: Moderna, 1989.

REVISTA DO CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DO PARANÁ: tecnologia e humanismo. Vol. 15, dez. 2001.p. 34-44.

LOPES, Luís. Manual de funções exponenciais e logarítmicas. Rio de Janeiro: Interciência, 1998.

BEZERRA. Matemática: 2º grau. Volume único. São Paulo: Scipione, 1996.

SARDELLA. Química: Série Novo Ensino Médio edição compacta.1. Ed São Paulo: Ática, 2003.

PAIVA. Manoel. Matemática (Ensino Médio). Vol. Único.1.ed. São Paulo: Moderna, 1999.

PAIVA. Manoel. Matemática (Ensino Médio). Vol. Único. 2.ed. São Paulo: Moderna,2003

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Page 118: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

Referências:

1. ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Trad. Ivo Doering. 8. ed. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.

2. ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, Vol.I, 2000.

3. ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, Vol.II, 2000.

4. FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, B.G. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração, 5a ed. São Paulo: Makrow Books, 1992.

5. FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, B.G. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Duplas e Triplas. São Paulo: Makrow Books, 1999.

6. FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, B.G. Cálculo C: Funções Vetoriais, Integrais Curvilíneas, Integrais de Superfície. São Paulo: Makrow Books, 1999.

7. FINNEY, R.L.; WEIR, M.D; GIORDANO, F.R. Cálculo de B. Thomas Jr. Trad. Paulo Boschcov. 10. ed. v. 1. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2002.

8. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. I, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

9. GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. II, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

10. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. III, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

11. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. IV, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

12. HOFFMANN, L.D., Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações, 7a ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2004.

13. LARSON, H.E. Cálculo com Aplicações. Trad. Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 1995.

14. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. I, São Paulo: Harbra, 1986.

15. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. II, São Paulo: Harbra, 1986.

16. MUNEN, F. Cálculo. Vol. II, Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1982.

17. MUNOZ RIVERA, J.E. Cálculo Diferencial e Integral I. Textos de Graduação. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática Aplicada e Computacional. Laboratório Nacional de Computação Científica. Petrópolis, Rio de Janeiro – Brasil, 2007.

18. RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A.S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. I, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982

19. RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A.S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. II, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982

20. SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, v. 2, 1987.

21. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. I, São Paulo: Makrow Books, 1994.

22. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. II, São Paulo: Makrow Books, 1994.a

23. Site “E-calculo”. Disponível em: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu. Acesso em: novembro 2007.

24. Site “Kit de sobrevivência em cálculo”. Disponível em: http://www. Acesso em: novembro 2007.

Prof. M. Sc. José Donizetti de Lima

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ANEXO I - O PROBLEMA DOS QUATRO QUATROS

Adaptado do livro O HOMEM QUE CALCULAVA, de autoria do brasileiro MALBA TAHAN.

O problema dos QUATRO QUATROS é o seguinte:

Escrever, com quatro quatros e sinais matemáticos, uma expressão que seja igual a um número inteiro dado. Na expressão não pode aparecer (além dos quatro quatros) nenhum algarismo ou letra ou símbolo algébrico que envolva letras, tais como: log, lim, etc. Podem, entretanto ser utilizados os símbolos de Fatorial, Termial e Raiz Quadrada, além das quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão).

Sobre o FATORIAL de um número natural, que indicamos por , sabemos que:

, para n maior ou igual a 2 e: 0! = 1 e 1! = 1

Exemplos:

1) 2)

Por outro lado, a função TERMIAL é bastante conhecida. Só não é comum a utilização de um símbolo específico e de um nome. De maneira semelhante ao fatorial, pode-se definir o Termial de um número natural, representado por , por:

, para n maior ou igual a 2

Exemplos:

1) 2)3) 4)

Notas:

1) A denominação "Termial" deriva da expressão em inglês: "termial function" Vide o livro - The Art of Computer Programming, segunda edição, vol. 1 / Fundamental Algorithms, Donald E. Knuth - Stanford University - Addison-Wesley Publishing Company "

2) Considerando-se que o TERMIAL de um número natural n maior ou igual a 2, é o somatório de todos os números naturais de n a 1, portanto, a soma dos n primeiros termos de uma Progressão Aritmética de razão 1, é trivial que o termial de n será dado por:

Exemplo:

3) 7? = 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 (número de peças do jogo de dominó, por exemplo)(0, 0); (0, 1); (0, 2); (0, 3); (0, 4); (0, 5); (0, 6) => 7 peças

(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (1, 6) => 6 peças (2, 2); (2, 3); (2, 4); (2, 5); (2, 6) => 6 peças (3, 3); (3, 4); (3, 5); (3, 6) => 4 peças (4, 4); (4, 5); (4, 6) => 3 peças (5, 5); (5, 6) => 2 peças (3, 6) => 1 peças

Totalizando o número de peças, temos: 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 7? = 28 peças.

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Afirmam os pacientes calculistas que é possível escrever, com quatro quatros, todos os números naturais de 0 a 100 e isto é verdadeiro, conforme demonstra a tabela a seguir.

01 44/44 26 4!+(4+4)/4 51 44+4+(4)? 76 4·4!-(4?+4?)02 4/4+4/4 27 4!+4-4/4 52 4!·4-44 77 [(4!)?+4+4)/403 (4+4+4)/4 28 4!+4+4-4 53 4·4!+(4)?+4 78 44+4!+4?04 4+(4-4)/4 29 4!+4+4/4 54 4!·4+4+4 79 (4?)?-4+4!+405 (4·4+4)/4 30 (4+4)·4-4 55 4·4!+(4)?+4 80 (4·4+4)·406 (4+4)/4+4 31 (4)?-4+4?·4? 56 4!+4!+4+4 81 (4?)?+4·4+4?07 (44/4)-4 32 4!+4+4+4 57 (4?)?+(4+4)/4 82 4·4!-(4?+4)08 4+4+4-4 33 4!+4?-4+(4)? 58 (4?)?+4-4/4 83 [(4!)?/4]+4+409 4+4+4/4 34 4·4·4+4 59 (4?)?+(4·4)/4 84 (4!-4)·4+410 (44-4)/4 35 4!+4?+4/4 60 (4+4/4)!/4 85 (4?)?+4!+4!/411 44/(4·4) 36 44-4-4 61 4·4·4-(4)? 86 (4?)?+(4!/4)?+4?12 (44+4)4 37 44-(4)?-4 62 4!+4!+4?+4 87 (4?)?+4!+4+413 4!-44/4 38 44-4-4 63 (4?)?+4+4+4 88 44+4414 4+4+4+4 39 4?·4-4/4 64 (4?)?+4?-4/4 89 (4?)?+44-4?15 44/4+4 40 4!+4!-4-4 65 (4?)?+4+4+4 90 4·4!-4!/416 4·4+4-4 41 4?·4+4/4 66 (4?)?+4?+4/4 91 4!·4-4-(4)?17 4·4+4/4 42 4!·4-4-4 67 (4?)?+4+4+4 92 44+4!+4!18 (4!+4!+4!)/4 43 44-4/4 68 4!+4!+4!-4 93 (4?)?+4!+4!-4?19 4!-4-4/4 44 4!·4-4-4 69 4!+4!+(4+4)? 94 4!·4-4+420 4·(4+4/4) 45 44+4/4 70 4!+4!+4!-4 95 4!·4-4/421 4!-4+4/4 46 44-4+4 71 (4?)?+4?+4!/4 96 4!·4+4-422 (44/4)·4 47 4!+4!-4/4 72 4!·(4+4/4) 97 4!·4+4/423 (4!·4-4)/4 48 4!+4!+4-4 73 4!·4?+4/4 98 4!·4+4-424 4·4+4+4 49 4!·4+4/4 74 4!+4!+4!+4 99 (4?)?+4·4?+425 4!+4-4/4 50 44+4+4 75 (4?)?+4·4+4 100 (4!+4/4)·4

Nota: 00 = 44 – 44 ou 0 = 4 + 4 – 4 – 4

Desta forma, todos os números foram escritos utilizando-se as quatro operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão), raiz quadrada, fatorial e o termial.

Colaboradores: Cassio Pagnoncelli, Vanessa Frozza e Vinícius Lazzaretti.

Fonte: Professor Paulo Marques - Feira de Santana – BA e Engenheiro José Cássio Filardi Oliveira.

http://terra.com.br/matematica/arq11-7.htm acesso em: 09/03/2005 às 17:05 horas

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ANEXO II – APLICAÇÕES

FGTS - FUNDO DE GARANTIA DO TEMPO DE SERVIÇO

Alíquota única de 8% sobre os vencimentos, antes do desconto do INSS, pago pela empresa

O FGTS é uma poupança aberta pela empresa em nome do trabalhador, onde todo mês ela deve depositar o relativo a 8% do valor do salário que ele recebe. Essa conta rende Juros e Atualização Monetária (JAM). No final do período de um ano, a soma de todos os depósitos equivale a mais de um salário bruto mensal. Para um funcionário que ganha R$ 1.000,00 no mês, por exemplo, temos:

12 depósitos de R$ 80,00 R$ 960,001 depósito de R$ 80,00 (13o salário) R$ 80,001 depósito de R$ 26,66 (1/3 férias) R$ 26,66Subtotal R$ 1.066,00+ Juros Anuais + Correção Monetária R$ ?????

Nota: A empresa é obrigada, também, a pagar uma taxa de 0,5% ao governo federal (INSS).

Os tipos de conta do FGTS estão divididos em dois tipos de contas, ativas e inativas:

Conta ativa: é a que mensalmente está recebendo depósitos pela empresa, durante o período em que você está trabalhando. Esta conta rende Juros e Atualização Monetária.

Conta inativa: é a que deixa de receber depósitos, pois o trabalhador saiu da empresa e não sacou a conta. Esta conta continua rendendo Juros e Atualização Monetária (JAM) até o trabalhador sacá-la.

As situações em que se pode sacar o FGTS

Demissão sem justa causa (a empresa deverá pagar uma multa de 50% do valor do FGTS, sendo 40% para o empregado e 10% para o governo federal, INSS);

Extinção (fechamento) da empresa; Aquisição de casa própria; Falecimento do trabalhador (dependentes); Tratamento de doenças como CÂNCER ou AIDS; Aposentadoria; Contas inativas (paradas, sem depósitos ou saques) a mais de 3 anos, e outras.

Juros e Atualização Monetária (JAM)

Juros: As contas abertas a partir de 23/09/1971 sempre rendem 3% ao ano.

Atualização Monetária: corresponde à taxa de inflação do período, que tem por objetivo manter o poder aquisitivo do FGTS. Atualmente, o FGTS é corrigido pela variação da TR (Taxa Referencial), a mesma que corrige as Cadernetas de Poupança.

Nota: Em geral, o servidor público não tem FGTS.

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INSS - INSTITUTO NACIONAL DE SEGURIDADE SOCIAL

A Constituição Federal de 1.988 criou o Sistema de Seguridade Social destinado a assegurar o direito de todos os trabalhadores à saúde, à assistência e à previdência. A seguir, tem-se uma tabela com os salários de contribuição, bem como as alíquotas para fins de recolhimento ao INSS (Instituto Nacional de Seguridade Social).

Tabelas de contribuição mensal, para pagamento de remuneração a partir de  agosto de 2005

Segurados empregados, inclusive domésticos e trabalhadores avulsos

Salário de contribuição Alíquota até R$ 800,45 7,65%de R$ 800,46 até R$ 900,00 8,65%de R$ 900,01 até R$ 1.334,07 9,00%de R$ 1.334,08 até R$ 2.668,15 11%acima de R$ 2.668,15 R$ 293,50

Variação de contribuição: Mínimo 7,65%, ou seja, R$ 300,00 x 7,65% = R$ 22,95 Máximo 11%, ou seja, R$ 2.668,16 x 11% = R$ 293,50

AS EMPRESAS QUANTO PAGAM DE INSS? 20% do Salário Bruto de cada empregado, mais 1% de Seguro Patronal.

Nota: No caso de empregados domésticos, a alíquota é de 7,65%, 8,65%, 9% ou 11%, dependendo da remuneração, e mais a parte do empregador que é de 12%.

Segurados contribuinte individual e facultativo

Salário de contribuição Alíquota de R$ 300,00 (valor mínimo) até R$ 2.668,15 (valor máximo) 20,00%

Variação de contribuição: Mínimo => 20%, ou seja, R$ 300,00 x 20% = R$ 60,00 Máximo => 20%, ou seja, R$ 2.668,15 x 20% = R$ 533,63

Nota: O teto máximo de aposentadoria (desde a reforma da previdência) passou a ser de R$ 2.668,15.

APOSENTADORIA - CRITÉRIO:

REFLETINDO: O servidor público contribui com a íntegra de seu salário para a Previdência Social e devido a isso, tem direito à aposentadoria integral. O Estado, patrão do servidor público, não contribui com a sua parte. Além disso, é importante salientar que a cota paga pelo patrão do trabalhador privado é repassada para os custos bens e serviços, sendo paga, na prática, pelo consumidor final, incluindo assim toda a sociedade, inclusive o servidor público.

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IRPF - IMPOSTO DE RENDA DA PESSOA FÍSICA

A tabela a seguir mostra as várias faixas para desconto do Imposto de Renda da Pessoa Física (IRPF) na fonte de pagamento, a partir janeiro de 2.005.

Base de cálculo Alíquota Deduçãoaté R$ 1.164,00 isento -de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00 15% R$ 174,60acima de R$ 2.326,00 27,5% R$ 465,35Dedução por dependente R$ 117,00

Nota: A dedução por dependente hoje é de R$ 117,00, aplicada após o pagamento do INSS.

Exemplos:1) Mostre como se determinam os valores da dedução:a) R$ 174,60Solução:R$ 1.164,00 x 15% = R$ 174,60

b) R$ 465,35Solução:1a Parte) R$ 1.164,00 x 27,5% = R$ 320,102a Parte) (R$ 2.326,00 – R$ 1.164,00) x (27,5% –15%) =

R$ 1.062,00 x 12,5% = R$ 145,25A dedução é a soma desses dois valores, ou seja, R$ 320,10 + R$ 145,25 = R$ 465,35

2) Apresente, de forma resumida, a forma de cálculo do FGTS, INSS, Base de Cálculo, IRPF, Salário Líquido, Desconto e Percentual de Desconto.

Solução:Denominado de Salário Bruto (SB) o Salário de Contribuição (SC), temos: FGTS => Salário Bruto Alíquota (alíquota única de 8%).

INSS => Salário Bruto Alíquota (para salários até R$ 2.668,15, as alíquotas são: 7,65% ou 8,65% ou 9% ou 11%, dependo da faixa onde se encontra o salário analisado); acima deste valor o INSS é fixo em R$ 293,50, ou seja, 11% de R$ 2.668,15.

Nota: Para calcular o IRPF, faz-se necessário primeiramente determinar a base de cálculo.

Base de Cálculo => Salário Bruto – INSS – No de Dependentes Dedução por Dependente (atualmente R$ 117,00 por dependente)

IRPF => Base de Cálculo Alíquota (as alíquotas são: isento = 0% ou 15% ou 27,5%, dependendo da Base de Cálculo) – Dedução (R$ 0,00 ou R$ 174,60 ou R$ 465,35, dependo da Base de Cálculo)

Salário Líquido = Salário Bruto – INSS – IRPF

Desconto = Salário Bruto – Salário Líquido

Sugestão para determinação do percentual de desconto:

Faça uma regra de três simples e direta =>

123

Page 124: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

3) Considerando um trabalhador do setor privado, com salário de contribuição de R$ 1.708,39 e possuindo dois dependentes, calcule:

a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a alíquota única é de 8%.

b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:Salário de contribuição Alíquota

até R$ 800,45 7,65%de R$ 800,46 até R$ 900,00 8,65%de R$ 900,01 até R$ 1.334,07 9,00%de R$ 1.334,08 até R$ 2.668,15 11%acima de R$ 2.668,15 R$ 293,50

c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:Base de cálculo Alíquota Dedução

até R$ 1.164,00 isento -de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00 15% R$ 174,60acima de R$ 2.326,00 27,5% R$ 465,35Dedução por dependente R$ 117,00

d) O salário líquido.

e) Qual o percentual de desconto total?

Solução:a) FGTS => 8% de R$ 1.708,39 = R$ 136,67

b) INSS => 11% de R$ 1.708,39 = R$ 187,92

c) IRPF => Base de Cálculo => Salário Bruto – INSS - No de Dependentes Dedução por Dependente Base de Cálculo = R$ 1.708,39 – R$ 187,92 – 2 R$ 117,00 = R$ 1.286,47

IRPF => 15% de R$ 1.286,47 – dedução = R$ 192,97 – R$ 174,60 = R$ 18,37

d) Salário Líquido => Salário de Contribuição – INSS – IRPF

Salário Líquido => R$ 1.708,39 – R$ 187,92 – R$ 18,37 = R$ 1.502,10

e) 1a forma) Desconto = Salário Bruto – Salário Líquido

R$ 1.708,39 – R$ 1.502,10 = R$ 206,29

Faça uma regra de três simples e direta =>

Portanto, o percentual de desconto é de 12,08%

e) 2a forma) O percentual é de:

124

Page 125: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Considerando, os salários do setor privado listados a seguir e o número de dependentes igual a 2, calcule:

a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a alíquota única é de 8%.

b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:Salário de contribuição Alíquota

até R$ 800,45 7,65%de R$ 800,46 até R$ 900,00 8,65%de R$ 900,01 até R$ 1.334,07 9,00%de R$ 1.334,08 até R$ 2.668,15 11%acima de R$ 2.668,15 R$ 293,50

c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:Base de cálculo Alíquota Dedução

até R$ 1.164,00 isento -de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00 15% R$ 174,60acima de R$ 2.326,00 27,5% R$ 465,35Dedução por dependente R$ 117,00

d) O salário líquido.e) Qual o percentual de desconto total?

Salários a serem considerados:i) R$ 1.000,00 ii) R$ 1.500,00 iii) R$ 2.000,00 iv) R$ 2.500,00 v) R$ 3.000,00

Respostas: i) a) R$ 80,00 b) R$ 90,00 c) R$ 0,00 d) R$ 910,00 e) 9%ii) a) R$ 120,00 b) R$ 165,00 c) R$ 0,00 d) R$ 1.335,00 e) 11%iii) a) R$ 160,00 b) R$ 220,00 c) R$ 57,30 d) R$ 1.722,70 e) 13,87%iv) a) R$ 200,00 b) R$ 275,00 c) R$ 124,05 d) R$ 2.100,95 e) 15,96%v) a) R$ 240,00 b) R$ 275,95 c) R$ 219,41 d) R$ 2.504,64 e) 16,51%

2) Determine o valor do IRPF a ser descontado na fonte de pagamento se a base de cálculo for:a) R$ 600,00 Resposta: R$ 0,00b) R$ 1.200,00 Resposta: R$ 5,40c) R$ 2.400,00 Resposta: R$ 194,65

3) Tomando como base a tabela do IRPF, determine:a) O IRPF para uma base de cálculo de R$ 1.500,00. Resposta: R$ 50,40b) O IRPF para uma base de cálculo de R$ 2.000,00. Resposta: R$ 125,40c) O IRPF para uma base de cálculo de R$ 2.500,00. Resposta: R$ 222,15d) O IRPF para uma base de cálculo de R$ 3.000,00. Resposta: R$ 359,65

4) No Brasil, até dezembro de 2.003, um empregado doméstico contribuía com 8% de seu salário bruto para o INSS, enquanto a contribuição do seu empregador era de 12% do salário bruto do empregado. Dona Márcia era empregada doméstica com um salário de R$ 300,00.

a) Qual foi o seu salário líquido? Resposta: R$ 276,00b) Qual foi o valor da contribuição de seu empregador para o INSS? Resposta: R$ 36,00c) Quanto recebeu o INSS pelo salário de Márcia? Resposta: R$ 60,00

5) E, se o salário de Márcia fosse de R$ 400,00. Resposta: a) R$ 368,00 b) R$ 48,00 c) R$ 80,00

6) E ainda, se o salário de Márcia fosse de R$ 500,00 Resposta: a)R$ 460,00 b)R$ 60,00 c)R$ 100,00

125

Page 126: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

7) Considerando um trabalhador do setor privado com salário de R$ 1.800,00 e possuindo 2 dependentes, calcule:

a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a alíquota única é de 8%.

b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:Salário de contribuição Alíquota

até R$ 800,45 7,65%de R$ 800,46 até R$ 900,00 8,65%de R$ 900,01 até R$ 1.334,07 9,00%de R$ 1.334,08 até R$ 2.668,15 11%acima de R$ 2.668,15 R$ 293,50

c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:Base de cálculo Alíquota Dedução

até R$ 1.164,00 isento -de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00 15% R$ 174,60acima de R$ 2.326,00 27,5% R$ 465,35Dedução por dependente R$ 117,00

d) O salário líquido.e) Qual o percentual de desconto total? Solução: a) FGTS => 8% de R$ 1.800,00 = R$ 144,00b) INSS => 11% de R$ 1.800,00 = R$ 198,00c) IRPF => Salário de contribuição = R$ 1.800,00 – R$ 198,00 – 2 * R$ 117,00 = R$ 1.368,00

IRPF => (15% de R$ 1.368,00) – dedução = R$ 205,52 – R$ 174,60 = R$ 30,60d) Salário líquido => R$ 1.800,00 – INSS – IRPF Salário líquido => R$ 1.800,00 – R$ 198,00 – R$ 30,60 = R$ 1.571,40

e) O percentual é de:

8) Considerando um trabalhador do setor privado com salário de R$ 1.900,00 e possuindo 2 dependentes, calcule:

a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a alíquota única é de 8%.

b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir: Salário de contribuição Alíquota

até R$ 800,45 7,65%de R$ 800,46 até R$ 900,00 8,65%de R$ 900,01 até R$ 1.334,07 9,00%de R$ 1.334,08 até R$ 2.668,15 11%acima de R$ 2.668,15 R$ 293,50

c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:Base de cálculo Alíquota Dedução

até R$ 1.164,00 isento -de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00 15% R$ 174,60acima de R$ 2.326,00 27,5% R$ 465,35Dedução por dependente R$ 117,00

d) O salário líquido.e) Qual o percentual de desconto total? Solução: a) FGTS => 8% de R$ 1.900,00 = R$ 152,00b) INSS => 11% de R$ 1.900,00 = R$ 209,00c) IRPF => Salário de contribuição = R$ 1.900,00 – R$ 209,00 – 2 * R$ 117,00 = R$ 1.457,00

IRPF => (15% de R$ 1.457,00) – dedução = R$ 218,55 – R$ 174,60 = R$ 43,95d) Salário líquido => R$ 1.900,00 – INSS – IRPF Salário líquido => R$ 1.900,00 – R$ 209,00 – R$ 43,95 = R$ 1.647,05

e) O percentual é de:

126

Page 127: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

9) Considerando um trabalhador do setor privado com salário de R$ 1.950,00 e possuindo 3 dependentes, calcule:

a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a alíquota única é de 8%.

b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir:Salário de contribuição Alíquota

até R$ 800,45 7,65%de R$ 800,46 até R$ 900,00 8,65%de R$ 900,01 até R$ 1.334,07 9,00%de R$ 1.334,08 até R$ 2.668,15 11%acima de R$ 2.668,15 R$ 293,50

c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:Base de cálculo Alíquota Dedução

até R$ 1.164,00 isento -de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00 15% R$ 174,60acima de R$ 2.326,00 27,5% R$ 465,35Dedução por dependente R$ 117,00

d) O salário líquido.e) Qual o percentual de desconto total? Resposta: a) R$ 156,00 b) R$ 214,50 c) R$ 33,08 d) R$ 1.702,43 e) 12,70%

10) Considerando um trabalhador do setor privado com salário de R$ 1.850,00 e possuindo 3 dependentes, calcule:

a) O valor do FGTS, a ser depositado na poupança, pela empresa e em seu favor, sabendo que a alíquota única é de 8%.

b) O valor do INSS, conforme a tabela a seguir: Salário de contribuição Alíquota

até R$ 800,45 7,65%de R$ 800,46 até R$ 900,00 8,65%de R$ 900,01 até R$ 1.334,07 9,00%de R$ 1.334,08 até R$ 2.668,15 11%acima de R$ 2.668,15 R$ 293,50

c) O valor a ser pago ao IRPF, conforme a próxima tabela:Base de cálculo Alíquota Dedução

até R$ 1.164,00 isento -de R$ 1.164,01 até R$ 2.326,00 15% R$ 174,60acima de R$ 2.326,00 27,5% R$ 465,35Dedução por dependente R$ 117,00

d)O salário líquidoe) Qual o percentual de desconto total? Resposta: a) R$ 148,00 b) R$ 203,50 c) R$ 19,73 d) R$ 1.626,78 e) 12,07%

11) Faça os cálculos anteriores, usando para isto o seu salário ou o salário dos seus sonhos.

127

Page 128: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

TELAS ESCRITAS NA PLANILHA ELETRÔNICA MICROSOFT EXCEL PARA OTIMIZAÇÃO DOS CÁLCULOS DOS TRIBUTOS ESTUDADOS

DADOS ANTIGOSTela para os Servidores do Setor Privado

Tela para os Servidores do Setor Público

Breve comparativo: Servidor Privado x Público

128

Page 129: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

ANEXO III - INTERDISCIPLINARIDADE: QUALIDADE DE VIDA

IMC - Índice de Massa Corpórea

Faça a sua avaliação física através do Índice de Massa Corpórea – IMC => Razão (divisão, quociente) entre a massa e o quadrado da altura.

Sendo: e temos:

Classificação:

- Homem =>

- Mulher =>

Notas:

1) A massa deve ser dada em quilogramas (kg) e a altura em metros (m). 2) A massa é popularmente conhecida como peso.

Algumas observações a essa metodologia:

O IMC não faz distinção entre massa magra e massa gorda, assim, por exemplo, não tem nenhuma aplicação na avaliação de atletas (por exemplo, a maioria dos judocas seria considerada como pessoa obesa).

Usar a mesma quando se tem uma grande população para fazer a avaliação física e não se dispõe de outros recursos como por exemplos: equipamentos, tempo, recursos monetários, etc.

Deve ser usada em pessoa adulta.

Para refletir: Dados de 2004 da OMS (Organização Mundial da Saúde)

População mundial: 6,4 bilhões de pessoas.

População subnutrida: 1,2 bilhões de pessoas => 18,75% da população mundial

População obesa: 1,2 bilhões de pessoas => 18,75% da população mundial

População normal: 4,0 bilhões de pessoas => 62,50% da população mundial

129

Page 130: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

A seguir, tem-se a tela do programa escrito no Microsoft Excel, versão XP, que permite o cálculo e a classificação do IMC. O mesmo possibilita ainda o cálculo da superfície corporal.

Relação entre o Índice de Massa Corporal (IMC) e o Índice de Mortalidade (POLLOCK, citando um trabalho de BRAY)

Nota: Taxa de mortalidade por grupo de 10.000 pessoas.

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Page 131: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

Tabela de Massa IdealDe posse de sua massa, utilizando-se essa tabela, determina-se o intervalo em que a mesma deve variar, ou seja, o ideal é que a sua massa esteja entre o valor mínimo e o valor máximo.

TABELA DE MASSA IDEALMULHER HOMEM

ALTURAMASSA (KG)

ALTURAMASSA (KG)

MÍNIMO MÁXIMO MÍNIMO MÁXIMO1,50 42 48 1,50 46 54

1,52 43 49 1,52 47 55

1,54 45 51 1,54 50 57

1,56 46 52 1,56 51 59

1,58 47 53 1,58 52 61

1,60 49 55 1,60 54 63

1,62 50 56 1,62 55 65

1,64 51 58 1,64 56 67

1,66 52 59 1,66 58 69

1,68 53 60 1,68 59 71

1,70 55 61 1,70 60 72

1,72 56 62 1,72 62 74

1,74 58 64 1,74 63 76

1,76 59 65 1,76 65 77

1,78 60 66 1,78 66 79

1,80 61 67 1,80 67 80

1,82 62 68 1,82 69 82

1,84 63 69 1,84 70 83

1,86 64 70 1,86 74 88

1,88 65 71 1,88 78 89

1,90 66 72 1,90 79 90

Nota: Essa tabela não foi construída usando o IMC, e sim a partir de dados empíricos (experimentais).

QUESTIONÁRIO:1) Qual é a sua altura, em metros?2) Qual é a sua massa, em quilogramas (kg)?3) Qual é o seu IMC (índice de massa corpórea)?4) Qual é a sua classificação, em relação ao IMC?5) Com relação a tabela da massa ideal, como você está? 6) Levando em consideração a sua altura atual, determine o intervalo de massa ideal, usando o IMC e

a tabela de massa ideal. Ambos apontam na mesma direção? Dica: Min: m=20h2 e Máx: m=25h2

7) Apresente a sua crítica aa utilização deste tipo de avaliação. Justifique.

Percentuais de Gordura para determinadas modalidades esportivas (COSSENZA)Homem Mulher

Fundista De 4 até 11 De 6 até 15Basquete De 8 até 12 De 12 até 16Ciclismo 8 15Remo De 11 até 14 9Tênis De 12 até 16 De 15 até 20Saltadores 7 17Arremessadores De 16 até 20 De 24 até 28Natação Velocista De 6 até 10 De 8 até 12

Fundista De 8 até 12 De 10 até 14

ANEXO IV - ÍNDICE DE DESENVOLVIMENTO HUMANO (MUNICÍPIO)

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Page 132: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

O IDHM de cada município é fruto da média aritmética simples de três sub-índices: somam-se os valores e divide-se o resultado por três, ou seja:

Nota: Para melhorar o IDHM é necessário aumentar o L E R.

A fórmula matemática para a determinação do IDHM, é dada por:

A seguir, tem-se uma breve explicação do índice longevidade, índice este mais ligado a área de saúde.

Longevidade (L)Para a avaliação da dimensão Longevidade (L), o IDH municipal considera o mesmo indicador do IDH de países: a esperança de vida ao nascer. Esse indicador mostra o número médio de anos que uma pessoa nascida naquela localidade no ano de referência (no caso, 2.000) deve viver.

Para transformar esse número de anos em um índice, usam-se como parâmetro máximo de longevidade, 85 anos, e, como parâmetro mínimo, 25 anos. Assim, se o município em questão tem uma esperança de vida ao nascer de 70 anos, seu IDHM-L será:

Logo, o IDHM-L do município será 0,750.

Exemplo real:

Pato Branco

Francisco Beltrão

- Projeção de crescimento populacional (VER MEU ARTIGO PUBLICADO EM 2006)

Pato Branco => 1,86% ao ano Itapejara => 0,70% ao ano Palmas => 5,38% ao ano Francisco Beltrão => 0,52% ao ano

Nota: Em 10 anos a população do sudoeste do Paraná reduziu-se de aproximadamente 467.000, para 450.000 (aproximadamente).

132

Page 133: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

O índice de desenvolvimento humano em Pato Branco

Uma ótima para Pato Branco foi a recente publicação do relatório apresentado pela ONU (organização das Nações Unidas), em que mais uma vez nossa cidade se destaca entre os melhores municípios do Brasil para se viver, sendo que desta vez, aumentamos a nossa posição de 400 lugar para 360 lugar em termos de índice de desenvolvimento humano (IDH). Vale lembrar que no Paraná três municípios ocuparam posições de destaque entre os melhores do país: Curitiba, Quatro Pontes e Pato Branco.

Para entender melhor esse índice de desenvolvimento humano, é preciso saber que ele é composto de três variáveis que são: renda (Produto Interno Bruto PIB per capita), longevidade (esperança de vida ao nascer) e educação (alfabetização, taxa de matrícula e de frequência escolar).

Diante dessas variáveis, segundo o relatório da ONU, Pato Branco destacou-se com índice de educação (IDHM – E) de 0, 937, o maior deles, segundo do índice de longevidade (IDHM – L) de 0, 851, e índice de renda (IDHM – R) de 0, 758, atingindo assim a média de 0, 849, que coloca mais uma vez como terceiro melhor município do Estado do Paraná para se viver.

Aliás, esse dados fazem parte do Novo Atlas do Desenvolvimento Humano do Brasil, um projeto do Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), da Fundação João Pinheiro (MG) e do Programa das Organizações Nações Unidas (ONU) para o desenvolvimento (PNUD), que todo ano é divulgado em Brasília-DF, e com base também nos dados apresentados pela Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) do ano anterior.

Para refletir: Famintos já são 840 milhões

Segundo dados da Organização das Nações Unidas (ONU), a fome aumentou no último ano (2002) e já atinge 840 milhões (lembre-se: a população mundial é de aproximadamente 6,2 bilhões de habitantes) de pessoas em todo o mundo, apesar do crescimento da produção agrícola. Em contexto global, os progressos para frear a fome no mundo diminuíram. A cada sete segundos uma criança com menos de dez anos morre de fome, o que pode ser classificado como “assassinato”.

O planeta poderia alimentar suficientemente, ou seja, com um mínimo de 2.700 calorias por pessoa ao dia, cerca de 12 bilhões de pessoas, frente aos 6,2 bilhões de seres humanos que vivem atualmente. Não há nenhuma fatalidade que possa justificar a fome, e por incrível que pareça: as comunidades rurais, que deveriam produzir os alimentos, são as mais afetadas pelos problemas de desnutrição, particularmente nos países em desenvolvimento.

Condições de vida

No período 1.992-2.000, tivemos uma significativa melhora nos índices de educação e saúde. Entretanto a excessiva concentração de renda prejudica o desempenho geral do país que está classificado em 65o lugar com um IDH (0,777), no relatório de desenvolvimento humano 2.001, da ONU. Veja na tabela a seguir os principais indicadores sociais e na próxima tabela a distribuição de renda no Brasil.

Mortalidade infantil(por mil)

Analfabetismo(percentual)

EXPECTATIVA DE VIDA (EM ANOS)1.992 2.000 2.003

1.996 2.003 1.992 2.000 H M H M H M33,22 24,36 17,2 12,8 64,6 72,3 64,8 71,6 67,25 74,5

Fonte: IBGE. Síntese dos indicadores 2.000. Rio de Janeiro, 2.003

Comentando a expectativa de vida, temos:Homens => 67 anos e 3 meses; Mulheres => 74 anos e 6 meses

Considerando 50% homens e 50% mulheres, temos uma média de 70 anos 10 meses e 15 dias.Nota: O CENSO 2.000 revelou que quase metade da população brasileira vive em apenas 244 dos 5.507 municípios do país.

133

Page 134: Utfpr Pato Branco-Apostila Cdi 1 Funcoes Cap1 Donizetti 06marco2012

LISTA DE QUESTÕES PROPOSTAS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) DE QUE TAMANHO FICARÃO AS CRIANÇAS?

Aprenda a calcular, aproximadamente, a altura que seus filhos terão na idade adulta.

Procedimento de cálculo: Some a altura do pai e da mãe e divida por dois. A partir da idade média dos pais:

- Some 10 cm se a criança for menino.- Subtraia 4 cm se a criança for menina.

Nota: Esta regra vale para um casal em que a média de idade entre o homem e a mulher é de 30 anos. Se fosse de 20 anos, os valores mudariam para 9 cm a mais no caso do menino e 3 cm a menos para a menina.

Publicado pela Revista Veja de 17/07/96.Fonte: Ambulatório de Crescimento do Hospital das Clinicas de São Paulo

Exemplos:I) Considere a idade média dos pais igual a 30 anos e as seguintes alturas: Pai = 1,75 m;

Mãe = 1,65 m. Determine:a) A altura do filho.b) A altura da filha.

II) Considere a idade média dos pais igual a 20 anos, sendo as seguintes alturas: Pai = 1,75 m; Mãe = 1,65. Determine

a) A altura do filho.b) A altura da filha.

III) Utilize a sua altura e de seu (sua) pretendente e determine a altura provável de seu filho e de sua filha. Considere primeiramente que a idade média do casal é 30 anos e depois de 20 anos.

2) JÁ PENSOU NISSO?

Uma pessoa que fuma um maço de cigarros por dia, todos os dias durante 20 anos:a) Já fumou cerca de quantos metros de cigarro? E, quantos quilômetros?b) Dizem as más línguas que cada cigarro fumado tira uma hora da vida de uma pessoa. Quantos dias

foram “perdidos” pelo nosso fumante? E, quantos anos?Nota: Para os cálculos utilize os seguintes dados: O tamanho de cada cigarro é de aproximadamente 10 cm. Cada maço de cigarros possui 20 cigarros.

a)

b)

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3) Observe o quadro a seguir: Baforados que matamUm estudo realizado pela American Cancer Society com cerca de 1 milhão de pessoas mostra que o cigarro eleva a probabilidade de ocorrência de várias doenças.

Em relação a quem nunca fumou, um homem fumante

tem ...

21 vezesMais

possibilidade de sofrer

de ...

câncer de pulmão11 vezes bronquite crônica e enfisema pulmonar9 vezes cancer de boca, língua e laringe3 vezes câncer de bexiga2 vezes infarto

Em relação a quem nunca fumou, uma mulher fumante

tem ...

12,5 vezesMais

possibilidade de sofrer

de ...

câncer de pulmão12,5 vezes bronquite crônica e enfisema pulmonar

7 vezes cancer de boca, língua e laringe2,5 vezes câncer de bexiga2 vezes Infarto

Fonte: Reproduzido de Veja, 23 de agosto de 2000 (American Cancer Society)

a) A probabilidade de ocorrência de doenças em homens e mulheres fumantes em relação a homens e mulheres não-fumantes é igual? Resposta: Não

b) Em relação a uma pessoa não-fumante, quem tem mais probabilidade de sofrer de câncer de pulmão? Resposta: Homem fumante

c) Segundo o quadro, qual doença apresenta a mesma probabilidade de ocorrência para homens e mulhes fumantes? Resposta: Infarto

4) De acordo com reportagem publicada na revista Isto é de março de 2004, na última década, os avanços no tratamento de alguns tumores tiveram forte impacto no aumento dos índices de cura. Por exemplo:

PulmãoTaxa de cura há 10 anos 5% Taxa de cura atual 30%

Como se explica- Melhores técnicas de radioterapia.- Aplicação dos quimioterápicos docetaxel, vinorelbine e gemcitabine, com maior capacidade de

ação.- Uso de inibidor de tirosina quinase gefitinib. Essa classe de remédios neutraliza proteínas

envolvidas no crescimento do tumor.Baseando-se nestes dados, atualmente tem-se: a) 25% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.b) 75% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.c) 400% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.d) 500% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.e) 200% mais chance de cura do que há 10 anos atrás.Nota: A sua escolha deverá ser justificada pelos cálculos.Resposta: d

5) Em um estudo sobre crimes cometidos no campus de uma universidade por estudantes sob o efeito do álcool ou das drogas, foram pesquisados 1.875 estudantes. Um artigo no USA Today notou: “oito por cento dos estudantes que respondem anonimamente afirmam ter cometido um crime no campus. E 62% desse grupo dizem ter agido sob a influência do álcool ou das drogas”. Supondo que o número de estudantes que responderam anonimamente seja de 1.875, quantos efetivamente cometeram um crime no campus sob a influência do álcool ou das drogas.Resposta: 1.875 x 8% x 62% = 93 estudantes

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6) Área da superfície do corpo humano. Os pediatras e pesquisadores médicos às vezes usam a seguinte fórmula empírica (ROUTH, 1971, p. 192) que relaciona a área da superfície ( ) de uma pessoa com sua massa (peso, em ) e altura ( ):

a) Calcule, usando essa fórmula (é claro!), a área de superfície de seu corpo.b) Pergunte aos seus pais qual era o seu peso e altura quando você nasceu (eles certamente saberão!).

Então compre ou tome emprestado um boneco que seja aproximadamente do mesmo tamanho que você era quando nasceu e meça a área de superfície do boneco. A fórmula empírica prediz com precisão o resultado que você obteve? Escreva um parágrafo sobre quaisquer conclusões que você tenha tirado deste “experimento”.

Resposta: a) Livre b) Livre

7) Psicologia. O quociente de inteligência (QI) de uma pessoa é medido pela fórmula:

onde é a idade real da pessoa e é a sua idade mental. Encontre e .Resposta: = 109,09 e = 94,12

8) A tabela a seguir apresenta dados referentes à mortalidade infantil, à porcentagem de famílias de baixa renda com crianças menores de 6 anos e às taxas de analfabetismo das diferentes regiões brasileiras e do Brasil como um todo.

Regiões do Brasil

Mortalidade infantil*

Famílias de baixa renda com crianças menores de 6 anos

(em %)

Taxa de analfabetismo em maiores de 15 anos

(em %)Norte 35,6 34,5 12,7Nordeste 59,0 54,9 29,4Sul 22,5 22,4 8,3Sudeste 25,2 18,9 8,6Centro-Oeste 25,4 25,5 12,4Brasil 36,7 31,8 14,7

Fonte: Folha de São Paulo, 11/03/1999* A mortalidade infantil indica o número de crianças que morrem antes de completar um ano de idade para cada grupo de 1.000 crianças que nascerem vivas.

Suponha que um grupo de alunos recebeu a tarefa de pesquisar fatores que interferem na manutenção da saúde ou no desenvolvimento de doenças. O primeiro grupo deveria colher dados que apoiassem a ideia de que, se combatendo agentes biológicos e químicos, garante-se a saúde. Já o segundo grupo deveria coletar informações que reforçassem a ideia de que a saúde de um indivíduo está diretamente relacionada à sua condição socioeconômica.Os dados da tabela podem ser utilizados apropriadamente para:a) Apoiar apenas a argumentação do segundo grupo.b) Apoiar apenas a argumentação do primeiro grupo.c) Refutar apenas a posição a ser defendida pelo segundo grupo.d) Apoiar a argumentação dos dois grupos.e) Refutar as posições a serem defendidas pelos dois grupos.Nota: De acordo com o dicionário Aurélio: Refutar = dizer em contrário; desmentir; desaprovar; Contestar. Resposta: a

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9) Use 2 casas decimais, para fazer os seguintes arredondamentos:a) 2,37449 = b) 2,37578 = c) 2,3765 =d) 175,994 = e) 175,995 = f) 175,999 =Resposta: a) 2,37 b) 2,38 c) 2,38 d) 175,99 e) 176 f) 176

10) Em uma certa colônia, cada bactéria se reproduz dividindo-se em quatro bactérias a cada minuto. Partindo de uma só bactéria, quantas serão produzidas em 6 minutos de divisão? Resposta: 46 bactérias = 4.096 bactérias

11) Uma funcionária tem um salário anual de R$ 40.000,00, mas é informada de que terá uma redução de 10% no pagamento em virtude do declínio dos lucros da empresa. É informada também de que no próximo ano terá um aumento de 10%. A situação não se afigura tão má, porque a redução de 10% parece ser compensada pelo aumento de 10%.

a) Qual a renda anual após o corte de 10%? b) Com base na renda anual da parte a, determine a renda anual após o aumento de 10%. O corte de

10%, seguido do aumento de 10% restituem à funcionária o salário original de R$ 40.000,00?Resposta: a) R$ 36.000,00 b) R$ 39.600,00, ou seja, não se restituiu o seu salário.

12) Imagine que se pretenda fazer um levantamento de opinião pública para verificar se as pessoas são contra ou a favor da utilização gratuito de ônibus pelos idosos. Pense em duas maneiras distintas de fazer a pergunta – uma que induza a resposta positiva e outra que induza a resposta negativa.

Resposta: (i) O idoso já trabalhou bastante (já contribuiu para a construção de nosso país). (ii) Vai aumentar o preço da passagem para os demais usuários (esse custo seria repassado).

13) Salário comissionado de um funcionário que trabalha em uma locadora de fitas VHS e DVD.Dados:

Salário fixo => R$ 350,00. ou => Salário a ser recebido. => número de locações mensais. Se o número de locações for menor ou igual a 100, receberá apenas o salário fixo. Se o número de locações for maior que 100 e menor ou igual a 200, receberá o salário fixo

acrescido de R$ 0,10 por cada locação. Se o número de locações for maior que 200 e menor ou igual a 500, receberá o salário fixo

acrescido de R$ 0,15 por cada locação. Se o número de locações for maior que 500, receberá o salário fixo acrescido de R$ 0,20 por cada

locação.Escrevendo na linguagem matemática, temos:

Pergunta-se: Quanto recebeu esse funcionário se o número de locações ( ) for:a) Resposta: R$ 350,00 b) Resposta: R$ 365,00c) Resposta: R$ 395,00 d) Resposta: R$ 470,00

14) Aplicação na indústria: Suponhamos que o custo total de fabricação de unidades de uma certa mercadoria seja dado pela função .

a) Calcule o custo de fabricação de 10 unidades de mercadoria. Resposta: b) Calcule o custo de fabricação da 10a unidades de mercadoria. Resposta: c) Calcule o custo fixo, ou seja, o custo que não depende da quantidade a ser fabricada.

Resposta:

15) Índice de Massa Corpórea (IMC)Faça a sua avaliação física através do Índice de Massa Corpórea – IMC => Razão (divisão, quociente) entre a massa e o quadrado da altura.

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Sendo: e , temos: e a Classificação:

H =>

M =>

Notas: 1) A massa deve ser dada em quilogramas (kg) e a altura em metros (m). 2) A massa é popularmente conhecida como peso.

16) Função situação do aluno após decorridos dois bimestres – cursos de engenhariaDados:

O aluno será aprovado, sem exame, se a nota for um valor entre sete e dez, inclusive os extremos. O aluno irá para exame, se a nota for um valor entre quatro e sete, incluindo o primeiro e excluindo

o segundo. O aluno será reprovado, sem exame, se a nota for um valor inferior a quatro.

x => .

=> Situção: Aprovado, exame ou reprovado. Pergunta-se: Qual a função que estabelece a relação entre e ? Resposta:

17) Usando o Excel, elabore uma planilha que determine o valor em reais a ser pago em relação ao consumo de água, medido em m3, conta de água residencial – SANEPAR 2008 – para isso use os dados que constam no quadro a seguir:

Faixas de consumo (m3) Tarifa (R$)

até 10 16,35 (Mínimo)11 a 30 2,45/ m3 (Excedente)

acima de 30 4,18/m3 (Excedente)Fonte: SANEPAR, 2007

Exemplo: Consumo de 11

Composição de Tarifa Volume Valor ( /R$)ÁGUA

Totais

Água Esgoto

Residência (Mínimo) 10 - R$ 16,35 R$ 13,08Excedente ( ) 1 2,45 R$ 2,45 R$ 1,96

TotalR$ 18,80 R$ 15,04

R$ 33,84

Exemplo:

e

Total =>

18) Conta de água => SABESP (São Paulo, 2006)

Em resumo:

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Observação: Juntamente com a conta de água vem a conta de esgoto, sendo que a mesma corresponde a 80% do valor da conta de água.

Nota: Nos estados de São Paulo e Paraná existem a tarifa social, cujo valor da água é em média de R$ 5,00 e o esgoto é de R$ 2,00, para as famílias de baixa renda.

19) INSS => Denominamos, por conveniência, Salário, o Salário de Contribuição.

20) IRPF => Denominamos, por conveniência, Salário, a Base de Cálculo.

21) FGTS => Denominamos, por conveniência, Salário, o Salário Bruto.

Nota: Essa função é um exemplo de uma função definida por várias sentenças. Outros exemplos da mesma são: INSS, IRPF, além dos exemplos 13, 15 e 16 apresentados anteriormente.

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GABARITO(-3, 0); (6, 4); (2, 3); (1, 5); (-1, 4); (0, 2)

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