UnUniviversiersidaddade e Federal de Alagoas - Torcao em Barras de... Eduardo Nobre Lages CTEC/UFAL

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Disciplina: Disciplina: Mecnica dos Slidos 2 Mecnica dos Slidos 2 Cdigo: Cdigo: ECIV030ECIV030Professor: Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre LagesUniversidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de TecnologiaCentro de TecnologiaCurso de Engenharia CivilCurso de Engenharia CivilMacei/ALMacei/ALToro em Barras de Seo Toro em Barras de Seo Transversal Circular Cheia Transversal Circular Cheia ou Vazadaou VazadaEduardo Nobre Lages CTEC/UFALEnsaio de ToroEnsaio de ToroConsidere a barra prismtica de seo circular constituda de um mesmo material isotrpico e elstico linear, submetida a um torsor T em uma das extremidades e engastada na outra.Observa-se ainda que, para pequenos giros, os pontos de uma seo transversal no sofrem deslocamento na direo longitudinal.Atravs de ensaiosensaios observa-se que os pontos da mesma seo transversal sofrem o mesmo giro em relao ao eixo da pea.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFAL( ) 0Z,Y,Xu =[ ]=Deslocamentos, Deslocamentos, Deformaes e TensesDeformaes e TensesyzLxT( ) ( )XZZ,Y,Xv =( ) ( )XYZ,Y,Xw =00Y00ZYZ0dXd21[ ]=00Y00ZYZ0dXdGyz xxyxzSoluo de Coulomb (1784)Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALyzLxT[ ]=00Y00ZYZ0dXdGEquaes Diferenciais de Equaes Diferenciais de Equilbrio em TensesEquilbrio em TensesSimetria ij=ji0bZYXxzxyxxx =+++OK!OK!0bZYXyzyyyxy=+++0dXdGZ 22=0bZYXzzzyzxz =+++0dXdGY 22=(X) deveser linear(X) deveser linearOK!OK!Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALTenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversalna Seo TransversalABCDyzRAC:=RZR0YdXdGZxy= 0xz =dXdGRdXdGRDB:=0ZRYRdXdGYxz=0xy =dXdGRdXdGREduardo Nobre Lages CTEC/UFALTenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversalna Seo TransversalyzRA distribuio das tenses de cisalhamento ao longo dos eixos y e z numa seo transversal qualquer s apresenta o componente ortogonal no nulo (em y xy = 0 e xz 0 e em z xy 0 e xz = 0).Pela simetria do problema, como no existe restrio ao posicionamento dos eixos y e z na seo transversal, a distribuio anterior vale para qualquer direo diagonal da seo transversal.dXdGRdXdGRdXdGRdXdGRdXdGRdXdGRrdXdGr= Rr0 Caso a seo transversal seja vazada, a distribuio da tenso de cisalhamento continua valendo s que Ri r Re.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALGJTr JTr== eEquivalncia Esttica entre o Momento Equivalncia Esttica entre o Momento TorsorTorsor e as Tenses de Cisalhamentoe as Tenses de CisalhamentoyzRdXdGRdXdGRdXdGRdXdGRdXdGRdXdGRdXdGr= Rr0 = rdFT =AdAr=A2 dAdXdGrT =A2dArdXdGdXdGJT=GJTdXd =ourEduardo Nobre Lages CTEC/UFAL=A2dArJMomento Polar de InrciaMomento Polar de InrciayzR2RJ4=yz ( )4i4e RR2J =ReRiEduardo Nobre Lages CTEC/UFALJTr== GdXdr=( )XtdXdGJdXd= ( )XtdXdT=Relao cinemtica:Relao cinemtica:Relao constitutiva:Relao constitutiva:Equivalncia esttica:Equivalncia esttica:Equaes GovernantesEquaes GovernantesEquao de equilbrio:Equao de equilbrio:dXdGJT=......... t(X)XEduardo Nobre Lages CTEC/UFALJTr=dXdGJTG==dXdr=( )XtdXdT= Problemas IsostticosProblemas Isostticos( )XtdXdGJdXd= Problemas HiperestticosProblemas HiperestticosEstratgias de SoluoEstratgias de SoluoEduardo Nobre Lages CTEC/UFALCondio de contorno ( ) TLT =Constante de integraoBarra Prismtica Barra Prismtica sob Torosob ToroPor se tratar de um problema isostticoisosttico, o momento torsor pode ser facilmente determinado por alguma estratgia apresentada em Teoria das Estruturas 1Teoria das Estruturas 1 ou pela integrao da EDO. Assim,De posse do momento torsor constri-se a tenso de cisalhamento como( ) ( ) Rr0 e LX0 JTrJrXTr,X ==( ) 0XtdXdT==( ) C XT =( ) LX0 TXT TC ==Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALCondio de contornoConstante de integrao( ) C XGJTX +=Barra Prismtica Barra Prismtica sob Torosob ToroDa relao cinemtica tem-seGJTrdXd==( ) XGJTX 0C ==( )GJTLL =Rotao da seo final da barra:Rotao da seo final da barra:Fazendo uso da relao constitutiva tem-se( ) ( ) Rr0 e LX0 GJTrGr,Xr,X ==( ) 00 =( )23 24vc3 4vcvmaxcmax11AA e 11rR ====Otimizao da Seo Otimizao da Seo TransversalTransversalyzrvc /r/R = vc A/A2rJ rA4c2c==yz( ) ( )44v22v 12RJ 1RA ==RREduardo Nobre Lages CTEC/UFALA/A/r/R =22vc4 4cmaxmaxvc11AA e 11rR v+====Otimizao da Seo Otimizao da Seo TransversalTransversalyzrvc A/Acmaxvmax /r/R =2rJ rA4c2c==yz( ) ( )44v22v 12RJ 1RA ==RREduardo Nobre Lages CTEC/UFALEduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemploExemploConsidere agora a barra formada por dois trechos prismticos de mesmo materialPara descrever os campos das variveis de estado do problema devemos identificar intervalos de anlise a partir dos trechos onde h mudana na descrio do momento torsor e/ou da rigidez toro GJ.TL LG, J1 G, J2O problema em pauta exige a considerao de dois intervalos de anlise, por exemploLX0 e LX0 21 Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemploExemploPor se tratar de um problema isosttico:( ) 22222 CXT 0dXdT==( ) 11111 CXT 0dXdT==( )11111JTr JrXT==( )22222JTr JrXT==111GJTr G==( ) 11111111 DXGJTXGJTdXd+== ( ) 22222222 DXGJTX GJTdXd+==222GJTr G==( )12222GJTLXGJTX +=( ) TXT 11 = ( ) TXT 22 =( ) ( ) ( ) TLT e 0TLT 221 ==( ) ( ) ( )0L e 00 211 ==( ) 1111 XGJTX =Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALPrincpio da Superposio Princpio da Superposio dos Efeitosdos EfeitosA rotao total da seo livre da barra do exemplo anterior, dada por( )212GJTLGJTLL +=tambm pode ser determinada fazendo-se uso do Princpio da Princpio da Superposio dos EfeitosSuperposio dos Efeitos, desde que se conhea a rotao de um trecho prismtico de mesmo material e momento torsor constante, dada porGJTL=onde essa rotao diretamente proporcional ao inverso do momento polar de inrcia. Com isso0J10J121==+=TL Lrgido G, J2TL LG, J1 rgidoEduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemploExemploConsidere agora a barra prismtica de mesmo material solicitada por um torsor uniformemente distribudoO problema em pauta exige a considerao de um nico intervalo de anlise, por exemploLX0 XtLG, JEduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemploExemploPor se tratar de um problema isosttico:( ) ( )XLtXT 0)L(T e tdXdT===( ) ( )XLJtr JrXT==( ) ( )XLGJtr Gr,X==( ) ( ) ( ) ( )2XLX2GJ2tX00 e XLGJtdXd===Rotao da seo final da barra:Rotao da seo final da barra: ( )GJ2tLL2=Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALExemploExemploO giro total da seo livre da barra, anteriormente encontrado,( )GJ2tLL2=tambm pode ser deduzido a partir de um arranjo onde se tem o torsor resultante do torsor distribudo posicionado no centride da figura de representao desse carregamento, ou seja,LG, JEssa concluso pode ser estendida a qualquer lei de variao do torsor distribudo, desde que esse esteja atuando num trecho prismtico de mesmo material.tLL/2Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALConsidere agora a configurao prismtica hiperesttica de mesmo material e com a considerao do torsor distribudo.O problema em pauta exige a considerao de um nico intervalo de anlise, por exemploLX0 XExemplo HiperestticoExemplo HiperestticoLG, JtEduardo Nobre Lages CTEC/UFALPor se tratar de um problema hiperesttico, tem-seExemplo HiperestticoExemplo HiperestticoGJtdXd22=1CXGJtdXd+=( ) 212 CXCXGJ2tX ++=( ) 00 =( ) 0L =( ) XGJ2tLXGJ2tX 2 +=0C2 =GJ2tLC1 =Conhecido o campo de rotaes chega-se a qualquer outra varivel de estado de interesse manipulando adequadamente a relao cinemtica e a relao constitutiva.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALEste mesmo problema tambm poderia ser resolvido com o auxlio do mtodo das forasmtodo das foras, que visa determinar os hiperestticoshiperestticos impondo-se uma equao de compatibilidadeequao de compatibilidade.Exemplo HiperestticoExemplo Hiperesttico+ B (TB) = 0=LG, JtLG, Jt TBEduardo Nobre Lages CTEC/UFALPara quantificar a rotao na extremidade direita da barra faz-se uso do Princpio da Superposio dos EfeitosPrincpio da Superposio dos Efeitos, usufruindo-se do fato de que j que se conhece o efeito de cada ao isolada, ou seja,Exemplo HiperestticoExemplo HiperestticoDe posse do hiperesttico o momento torsor passa a ser conhecido, podendo-se seguir o procedimento j discutido para problemas isostticos.BTBtBB +=GJ2tL2tB =GJLTBTBB =2tLT B =0=Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALTTConsidere o estado de tenso em um ponto material qualquer da barra sob toroTenses e Direes PrincipaisTenses e Direes PrincipaisJTr=Para garantir a simetria do tensor de tenso, a tensode cisalhamento na direo circunferencial na face daseo transversal equilibrada pelo componente decisalhamento na direo longitudinal da face radial.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALCada ponto material encontra-se em estado de cisalhamento puroestado de cisalhamento puroTenses e Direes PrincipaisTenses e Direes PrincipaisAs tenses principais, de mesma intensidade em mdulo,esto inclinadas de 45 em relao ao eixo longitudinalTTEduardo Nobre Lages CTEC/UFALMateriais frgeis apresentam falha em superfcie de corte perpendicular s tenses principais de trao.Tenses e Direes PrincipaisTenses e Direes PrincipaisMateriais dcteis apresentam falha em superfcie de corte perpendicular ao eixo da barra.TTEduardo Nobre Lages CTEC/UFALEnergia Especfica de Energia Especfica de DeformaoDeformaoTTPara um ponto qualquer de uma seo transversal os nicos componentes no nulos dos estados de tenso e de deformao, em coordenadas cilndricas, so dados poreJTr=GJTr=GJTrJTr21=222GJrT21 =2U0=Com isso a energia especfica de deformao dada simplesmente porque varia quadraticamente com a distncia do ponto ao centro da seo circular cheia ou vazada.Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALEnergia de DeformaoEnergia de DeformaoPara gerar a energia de deformao acumulada numa barra sob toro, deve-se integrar a energia especfica de deformao ao longo do volume da mesma, ou seja,=V0dVUUDesmembrando a integrao no volume da barra atravs da seo transversal e ao longo do comprimento da mesma tem-se =L A0 dxdAUU =L A222dxdAGJrT21 =L A222dxdArGJT21dxJGJT21L22= dxGJT21 L2=Eduardo Nobre Lages CTEC/UFALAs sees transversais de barras no circulares sofrem empenamentoempenamento, no mais permanecendo planas. Porm, para pequenas deformaes, a projeo da seo empenada num plano perpendicular ao eixo da barra gira como uma seo rgida.Barras No CircularesBarras No CircularesSolues analticas para sees no circulares so construdas com base na Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade.

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