UnUniviversiersidaddade e Federal de Alagoas - Torcao em Barras de... Eduardo Nobre Lages CTEC/UFAL

Download UnUniviversiersidaddade e Federal de Alagoas - Torcao em Barras de... Eduardo Nobre Lages  CTEC/UFAL

Post on 07-Sep-2018

212 views

Category:

Documents

0 download

TRANSCRIPT

  • Disciplina: Disciplina: Mecnica dos Slidos 2 Mecnica dos Slidos 2 Cdigo: Cdigo: ECIV030ECIV030Professor: Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages

    Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de TecnologiaCentro de Tecnologia

    Curso de Engenharia CivilCurso de Engenharia Civil

    Macei/ALMacei/AL

    Toro em Barras de Seo Toro em Barras de Seo Transversal Circular Cheia Transversal Circular Cheia

    ou Vazadaou Vazada

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Ensaio de ToroEnsaio de Toro

    Considere a barra prismtica de seo circular constituda de um mesmo material isotrpico e elstico linear, submetida a um torsor T em uma das extremidades e engastada na outra.

    Observa-se ainda que, para pequenos giros, os pontos de uma seo transversal no sofrem deslocamento na direo longitudinal.

    Atravs de ensaiosensaios observa-se que os pontos da mesma seo transversal sofrem o mesmo giro em relao ao eixo da pea.

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    ( ) 0Z,Y,Xu =

    [ ]=

    Deslocamentos, Deslocamentos, Deformaes e TensesDeformaes e Tenses

    y

    z

    Lx

    T

    ( ) ( )XZZ,Y,Xv =( ) ( )XYZ,Y,Xw =

    00Y

    00Z

    YZ0

    dX

    d

    2

    1

    [ ]=

    00Y

    00Z

    YZ0

    dX

    dG

    y

    z x

    xy

    xz

    Soluo de Coulomb (1784)

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    y

    z

    Lx

    T

    [ ]

    =

    00Y

    00Z

    YZ0

    dX

    dG

    Equaes Diferenciais de Equaes Diferenciais de Equilbrio em TensesEquilbrio em Tenses

    Simetria ij=ji

    0bZYX

    xzxyxxx =+

    +

    +

    OK!OK!

    0bZYX

    y

    zyyyxy=+

    +

    +

    0

    dX

    dGZ

    2

    2

    =

    0bZYX

    zzzyzxz =+

    +

    +

    0

    dX

    dGY

    2

    2

    =

    (X) deveser linear(X) deveser linear

    OK!OK!

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Tenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversalna Seo Transversal

    A

    B

    C

    D

    y

    z

    R

    AC:

    =

    RZR

    0Y

    dX

    dGZxy

    = 0xz =

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    DB:

    =

    0Z

    RYR

    dX

    dGYxz

    =0xy =

    dX

    dGR

    dX

    dGR

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Tenses de Cisalhamento Tenses de Cisalhamento na Seo Transversalna Seo Transversal

    y

    z

    R

    A distribuio das tenses de cisalhamento ao longo dos eixos y e z numa seo transversal qualquer s apresenta o componente ortogonal no nulo (em y xy = 0 e xz 0 e em z xy 0 e xz = 0).

    Pela simetria do problema, como no existe restrio ao posicionamento dos eixos y e z na seo transversal, a distribuio anterior vale para qualquer direo diagonal da seo transversal.

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    rdX

    dGr

    = Rr0

    Caso a seo transversal seja vazada, a distribuio da tenso de cisalhamento continua valendo s que Ri r Re.

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    GJ

    Tr

    J

    Tr== e

    Equivalncia Esttica entre o Momento Equivalncia Esttica entre o Momento TorsorTorsor e as Tenses de Cisalhamentoe as Tenses de Cisalhamento

    y

    z

    R

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGR

    dX

    dGr

    = Rr0

    = rdFT =A

    dAr

    =A

    2 dAdX

    dGrT

    =

    A

    2dArdX

    dG

    dX

    dGJT

    =

    GJ

    T

    dX

    d =

    ou

    r

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    =A

    2dArJ

    Momento Polar de InrciaMomento Polar de Inrcia

    y

    z

    R

    2

    RJ

    4=

    y

    z ( )4i4e RR2J

    =

    Re

    Ri

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    J

    Tr=

    = G

    dX

    dr

    =

    ( )XtdX

    dGJ

    dX

    d=

    ( )XtdX

    dT=

    Relao cinemtica:Relao cinemtica:

    Relao constitutiva:Relao constitutiva:

    Equivalncia esttica:Equivalncia esttica:

    Equaes GovernantesEquaes Governantes

    Equao de equilbrio:Equao de equilbrio:

    dX

    dGJT

    =

    ......... t(X)

    X

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    LJ

    Tr=

    dX

    dGJT

    G

    =

    =

    dX

    dr

    =

    ( )XtdX

    dT= Problemas IsostticosProblemas Isostticos

    ( )XtdX

    dGJ

    dX

    d=

    Problemas HiperestticosProblemas Hiperestticos

    Estratgias de SoluoEstratgias de Soluo

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    LCondio de contorno ( ) TLT =

    Constante de integrao

    Barra Prismtica Barra Prismtica sob Torosob Toro

    Por se tratar de um problema isostticoisosttico, o momento torsor pode ser facilmente determinado por alguma estratgia apresentada em Teoria das Estruturas 1Teoria das Estruturas 1 ou pela integrao da EDO. Assim,

    De posse do momento torsor constri-se a tenso de cisalhamento como

    ( ) ( ) Rr0 e LX0 J

    Tr

    J

    rXTr,X ==

    ( ) 0XtdX

    dT==

    ( ) C XT =

    ( ) LX0 TXT TC ==

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Condio de contorno

    Constante de integrao( ) C X

    GJ

    TX +=

    Barra Prismtica Barra Prismtica sob Torosob Toro

    Da relao cinemtica tem-se

    GJ

    T

    rdX

    d=

    =

    ( ) XGJ

    TX 0C ==

    ( )GJ

    TLL =Rotao da seo final da barra:Rotao da seo final da barra:

    Fazendo uso da relao constitutiva tem-se

    ( ) ( ) Rr0 e LX0 GJ

    Tr

    G

    r,Xr,X =

    =

    ( ) 00 =

  • ( )2

    3 24

    v

    c

    3 4v

    c

    vmaxcmax

    1

    1

    A

    A e

    1

    1

    r

    R

    =

    ==

    =

    Otimizao da Seo Otimizao da Seo TransversalTransversal

    y

    z

    r

    vc /r/R = vc A/A2

    rJ rA

    4

    c2

    c

    ==

    y

    z

    ( ) ( )44

    v22

    v 12

    RJ 1RA ==

    R

    R

    Ed

    uar

    do

    No

    bre

    Lag

    es

    CT

    EC

    /UFA

    L

  • A/A/r/R =

    2

    2

    v

    c

    4 4cmax

    max

    vc

    1

    1

    A

    A e

    1

    1

    r

    R v

    +=

    =

    =

    =

    Otimizao da Seo Otimizao da Seo TransversalTransversal

    y

    z

    r

    vc A/Acmaxvmax /r/R =

    2

    rJ rA

    4

    c2

    c

    ==

    y

    z

    ( ) ( )44

    v22

    v 12

    RJ 1RA ==

    R

    R

    Ed

    uar

    do

    No

    bre

    Lag

    es

    CT

    EC

    /UFA

    L

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    ExemploExemplo

    Considere agora a barra formada por dois trechos prismticos de mesmo material

    Para descrever os campos das variveis de estado do problema devemos identificar intervalos de anlise a partir dos trechos onde h mudana na descrio do momento torsor e/ou da rigidez toro GJ.

    T

    L L

    G, J1 G, J2

    O problema em pauta exige a considerao de dois intervalos de anlise, por exemplo

    LX0 e LX0 21

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    ExemploExemplo

    Por se tratar de um problema isosttico:

    ( ) 2222

    2 CXT 0dX

    dT==( ) 111

    1

    1 CXT 0dX

    dT==

    ( )

    11

    111

    J

    Tr

    J

    rXT==

    ( )

    22

    222

    J

    Tr

    J

    rXT==

    1

    11

    GJ

    Tr

    G=

    =

    ( ) 111

    11

    11

    1 DXGJ

    TX

    GJ

    T

    dX

    d+==

    ( ) 222

    22

    22

    2 DXGJ

    TX

    GJ

    T

    dX

    d+==

    2

    22

    GJ

    Tr

    G=

    =

    ( )1

    2

    2

    22GJ

    TLX

    GJ

    TX +=

    ( ) TXT 11 = ( ) TXT 22 =( ) ( ) ( ) TLT e 0TLT 221 ==

    ( ) ( ) ( )0L e 00 211 ==

    ( ) 11

    11 XGJ

    TX =

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Princpio da Superposio Princpio da Superposio dos Efeitosdos Efeitos

    A rotao total da seo livre da barra do exemplo anterior, dada por

    ( )21

    2GJ

    TL

    GJ

    TLL +=

    tambm pode ser determinada fazendo-se uso do Princpio da Princpio da Superposio dos EfeitosSuperposio dos Efeitos, desde que se conhea a rotao de um trecho prismtico de mesmo material e momento torsor constante, dada por

    GJ

    TL=

    onde essa rotao diretamente proporcional ao inverso do momento polar de inrcia. Com isso

    0J

    10

    J

    1

    21

    ==+=

    T

    L L

    rgido G, J2T

    L L

    G, J1 rgido

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    ExemploExemplo

    Considere agora a barra prismtica de mesmo material solicitada por um torsor uniformemente distribudo

    O problema em pauta exige a considerao de um nico intervalo de anlise, por exemplo

    LX0

    X

    t

    L

    G, J

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    ExemploExemplo

    Por se tratar de um problema isosttico:

    ( ) ( )XLtXT 0)L(T e tdX

    dT===

    ( ) ( )XLJ

    tr

    J

    rXT==

    ( ) ( )XLGJ

    tr

    G

    r,X=

    =

    ( ) ( ) ( ) ( )2XLX2GJ2

    tX00 e XL

    GJ

    t

    dX

    d===

    Rotao da seo final da barra:Rotao da seo final da barra: ( )GJ2

    tLL

    2

    =

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    ExemploExemplo

    O giro total da seo livre da barra, anteriormente encontrado,

    ( )GJ2

    tLL

    2

    =

    tambm pode ser deduzido a partir de um arranjo onde se tem o torsor resultante do torsor distribudo posicionado no centride da figura de representao desse carregamento, ou seja,

    L

    G, J

    Essa concluso pode ser estendida a qualquer lei de variao do torsor distribudo, desde que esse esteja atuando num trecho prismtico de mesmo material.

    tL

    L/2

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Considere agora a configurao prismtica hiperesttica de mesmo material e com a considerao do torsor distribudo.

    O problema em pauta exige a considerao de um nico intervalo de anlise, por exemplo

    LX0

    X

    Exemplo HiperestticoExemplo Hiperesttico

    L

    G, J

    t

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Por se tratar de um problema hiperesttico, tem-se

    Exemplo HiperestticoExemplo Hiperesttico

    GJ

    t

    dX

    d2

    2

    =

    1CXGJ

    t

    dX

    d+=

    ( ) 212 CXCX

    GJ2

    tX ++=

    ( ) 00 =

    ( ) 0L =

    ( ) XGJ2

    tLX

    GJ2

    tX 2 +=

    0C2 =

    GJ2

    tLC1 =

    Conhecido o campo de rotaes chega-se a qualquer outra varivel de estado de interesse manipulando adequadamente a relao cinemtica e a relao constitutiva.

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Este mesmo problema tambm poderia ser resolvido com o auxlio do mtodo das forasmtodo das foras, que visa determinar os hiperestticoshiperestticos impondo-se uma equao de compatibilidadeequao de compatibilidade.

    Exemplo HiperestticoExemplo Hiperesttico

    + B (TB) = 0

    =L

    G, J

    t

    L

    G, J

    t TB

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Para quantificar a rotao na extremidade direita da barra faz-se uso do Princpio da Superposio dos EfeitosPrincpio da Superposio dos Efeitos, usufruindo-se do fato de que j que se conhece o efeito de cada ao isolada, ou seja,

    Exemplo HiperestticoExemplo Hiperesttico

    De posse do hiperesttico o momento torsor passa a ser conhecido, podendo-se seguir o procedimento j discutido para problemas isostticos.

    BTB

    tBB +=

    GJ2

    tL2tB =

    GJ

    LTBTB

    B =

    2

    tLT B =

    0=

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    T

    T

    Considere o estado de tenso em um ponto material qualquer da barra sob toro

    Tenses e Direes PrincipaisTenses e Direes Principais

    J

    Tr=

    Para garantir a simetria do tensor de tenso, a tensode cisalhamento na direo circunferencial na face daseo transversal equilibrada pelo componente decisalhamento na direo longitudinal da face radial.

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Cada ponto material encontra-se em estado de cisalhamento puroestado de cisalhamento puro

    Tenses e Direes PrincipaisTenses e Direes Principais

    As tenses principais, de mesma intensidade em mdulo,esto inclinadas de 45 em relao ao eixo longitudinal

    TT

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Materiais frgeis apresentam falha em superfcie de corte perpendicular s tenses principais de trao.

    Tenses e Direes PrincipaisTenses e Direes Principais

    Materiais dcteis apresentam falha em superfcie de corte perpendicular ao eixo da barra.

    TT

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Energia Especfica de Energia Especfica de DeformaoDeformao

    T

    T

    Para um ponto qualquer de uma seo transversal os nicos componentes no nulos dos estados de tenso e de deformao, em coordenadas cilndricas, so dados por

    eJ

    Tr=

    GJ

    Tr=

    GJ

    Tr

    J

    Tr

    2

    1=

    2

    22

    GJ

    rT

    2

    1 =

    2U0

    =

    Com isso a energia especfica de deformao dada simplesmente por

    que varia quadraticamente com a distncia do ponto ao centro da seo circular cheia ou vazada.

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    Energia de DeformaoEnergia de Deformao

    Para gerar a energia de deformao acumulada numa barra sob toro, deve-se integrar a energia especfica de deformao ao longo do volume da mesma, ou seja,

    =V

    0dVUU

    Desmembrando a integrao no volume da barra atravs da seo transversal e ao longo do comprimento da mesma tem-se

    =L A

    0 dxdAUU =L A

    2

    22

    dxdAGJ

    rT

    2

    1

    =L A

    2

    2

    2

    dxdArGJ

    T

    2

    1dxJ

    GJ

    T

    2

    1

    L

    2

    2

    = dxGJT

    2

    1

    L

    2

    =

  • Ed

    ua

    rdo N

    obre

    La

    ges

    C

    TE

    C/U

    FA

    L

    As sees transversais de barras no circulares sofrem empenamentoempenamento, no mais permanecendo planas. Porm, para pequenas deformaes, a projeo da seo empenada num plano perpendicular ao eixo da barra gira como uma seo rgida.

    Barras No CircularesBarras No Circulares

    Solues analticas para sees no circulares so construdas com base na Teoria da ElasticidadeTeoria da Elasticidade.

Recommended

View more >