Lista 1 (Curvas parametrizadas)

(1) Encontre uma curva parametrizada �(t) cujo traço seja o círculo x2 + y2 = 1 de

maneira que �(t) percorra o círculo no sentido anti-horário e tenhamos �(0) = (0; 1).

(2) Seja �(t) uma curva parametrizada que não passa pela origem. Se �(t0) é o ponto do

traço de � mais próximo da origem e �0(t0) 6= 0, mostre que o vetor posição �(t0) é ortogonal

a �0(to).

(3) Considere uma curva parametrizada �(t) tal que a sua derivada segunda �00(t) seja

identicamente nula. O que podemos dizer a respeito de �?

(4) Seja � : I �! R3 uma curva parametrizada e seja v 2 R3 um vetor �xado. Admita

que �0(t) seja ortogonal a v para todo t 2 I e que �(0) também seja ortogonal a v. Prove

que �(t) é ortogonal a v para todo t 2 R3.

(5) Seja � : I �! R3 uma curva parametrizada, com �0(t) 6= 0 para todo t 2 I. Mostre

que j� (t)j é uma constante não nula se, e somente se, �(t) é ortogonal a �0(t) para todo

t 2 I.

Lista 2 (Curvas Regulares; Comprimento de Arco)

(1) Mostre que as retas tangentes à curva parametrizada regular �(t) = (3t; 3t2; 2t3)

fazem um ângulo constante com a reta y = 0, z = x:

(2) Seja OA um diâmetro, de comprimento 2a, de um círculo S e sejam OY e AV as

retas tangentes a S, respectivamente, em O e A. Uma semi-reta r é traçada a partir de O

e encontra o círculo S em C e a reta AV em B. Marque na reta OB o segmento Op de

maneira que o comprimento de Op seja igual ao de CB. Girando r em torno de O, o ponto

p descreve uma curva chamada a cissóide de Diocles. Tomando O como a origem do plano

xy, OA como o eixo Ox e OY como o eixo Oy, mostre que:

1

(a) O traço de

�(t) =

�2at2

1 + t2;2at3

1 + t2

�; t 2 R;

é a cissóide de Diocles. (t = tg �, ver �gura a seguir);

(b) A origem O(0; 0) é um ponto singular da cissóide;

(c) À medida que t ! 1, �(t) se aproxima da reta x = 2a, e �0(t) ! (2a; 0): Assim,

2

quando t!1, a curva e sua tangente se aproximam da reta x = 2a; dizemos que x = 2a é

uma assíntota da cissóide.

Lista 3 (Teoria local das curvas p.p.c.a.)

(1) Dada a curva parametrizada (hélice)

�(s) =�a cos

s

c; a sin

s

c; bs

c

�; s 2 R;

onde c2 = a2 + b2,

(a) Mostre que o parâmetro s é o comprimento de arco;

(b) Determine a curvatura e a torção de �;

(c) Determine o plano osculador de �;

(d) Moste que as retas contendo n(s) e passando por �(s) encontram o eixo Oz sob um

ângulo constante igual a �2:

(e) Mostre que as retas tangentes a � fazem um ângulo constante com o eixo Oz.

(2) Mostre que a torção � de �, curva parametrizada pelo comprimento de arco, é dada

por

�(s) =�0(s) ^ �00(s) � �000(s)

jk(s)j2 :

(3) Suponha que todas as normais a uma curva parametrizada passem por um ponto

�xo. Mostre que o traço da curva está contido em um círculo.

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