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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

CAMPUS DE CURITIBA

DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

E DE MATERIAIS - PPGEM

TIAGO RODRIGUES WELLER

PROPOSTA DE UMA ABORDAGEM DE BUSCA TABU PARA O LAYOUT DE CÉLULAS DE

MANUFATURA

CURITIBA

DEZEMBRO - 2008



MANUFATURA

Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de Concentração em Engenharia de Manufatura, do Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação, do Campus de Curitiba, da UTFPR.

Orientador: Prof. Luiz C. A. Rodrigues, Dr. Eng.

CURITIBA

DEZEMBRO - 2008

TERMO DE APROVAÇÃO



MANUFATURA

Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, área de concentração em engenharia de manufatura, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.

_________________________________ Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr.

Coordenador de Curso

Banca Examinadora

______________________________ ______________________________ Prof. Celso Carnieri, Dr. Prof. Leandro Magatão, Dr. (UFPR) (UTFPR)

______________________________ Profa. Carla C. Amodio Estorilio, Dra. . (UTFPR)

Curitiba, 10 de dezembro de 2008.

iii

Dedico este trabalho à minha família,

principalmente à minha esposa Daniele e

minha filha Ana Clara e especialmente

aos meus pais Valdir e Nilva e, que me

acompanharam e compreenderam os

momentos que estive ausente.

iv

AGRADECIMENTOS

À minha família, minha esposa Daniele, minha filha Ana Clara e aos meus pais Valdir

e Nilva e minha sogra Alcida, pelo grande apoio e pela compreensão naqueles momentos

que abdiquei de suas companhias para dedicar-me a este trabalho.

Ao meu orientador e grande amigo Prof. Luiz Carlos de Abreu Rodrigues, pela grande

paciência e apoio e, principalmente, por acreditar em minha capacidade.

À instituição por possibilitar e me acolher como aluno e professor, e me disponibilizar

todas as estruturas necessárias para realização deste trabalho.

v

“O primeiro dever da inteligência é desconfiar dela mesma“.

Albert Einstein

vi

WELLER, Tiago Rodrigues, PROPOSTA DE UMA ABORDAGEM DE BUSCA TABU PARA O LAYOUT DE CÉLULAS DE MANUFATURA, 2008, Dissertação de

Mestrado em Engenharia de Manufatura - Programa de Pós-graduação em

Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná,

Curitiba, 149 p.

RESUMO

A competitividade internacional e a conseqüente necessidade de respostas rápidas

à demanda do mercado têm levado muitas empresas a enfatizar o projeto de

sistemas de manufatura. Uma etapa importante no projeto de sistemas de

manufatura é o seu layout. Uma abordagem adotada em empresas é, inicialmente, a

aplicação de “tecnologia de grupo”, caracterizada pela exploração de similaridades

nas atividades ligadas à produção, para posteriormente aplicar o chamado

Planejamento Sistemático de Layout. Outra possibilidade para a geração de layouts

industriais é a aplicação de uma abordagem de pesquisa operacional, onde os

Algoritmos Genéticos, o Simulated Annealing e a Busca Tabu são técnicas

tradicionais. Apesar de a Busca Tabu ser uma técnica tradicional de pesquisa

operacional, não encontrou-se aplicação da abordagem de Busca Tabu na literatura

para a solução do problema de layout de sistemas de manufatura no chão de

fábrica. Assim, este trabalho de mestrado desenvolverá tal estudo e fará uma

comparação com o método mais comumente usado na geração de layouts que é o

Simulated Annealing. Para isso, apresenta-se uma descrição detalhada do problema

de layout e uma revisão da literatura do problema de layout, de tecnologia de grupo,

do Planejamento Sistemático de Layout e de diferentes abordagens de pesquisa

operacional. O presente trabalho visa caracterizar que o tema de mestrado proposto

é viável e de interesse para a literatura, como para a indústria.

Palavras-chave: busca tabu, simulated annealing, layout, formação de células.

vii

WELLER, Tiago Rodrigues, A TABU SEARCH APPROACH APPLIED TO CELLULAR MANUFACTURING LAYOUT, 2008, Dissertação de Mestrado em

Engenharia de Manufatura - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica

e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 149 p.

ABSTRACT

International competitiveness and the need for fast responses to market

demands have forced industries to emphasize manufacturing systems design. An

important step on manufacturing systems design is the solution of plant layout. An

approach – adopted at some industries – has been applying Group Technology

followed by Systematic Layout Planning. Another approach – found on literature – to

solve plant layout has been the use of operations research techniques, such as

Genetic Algorithms, Simulated Annealing, and Tabu Search. Tabu Search is

considered a traditional operations research technique. But no work applying Tabu

Search to solve layout problems has been found on literature. Therefore, at this work,

two Tabu Search and two Simulated Annealing approaches are proposed to solve

layout problems, and their results are compared. As part of this work, a literature

review is presented. This review is focused on the layout problem, Group

Technology, Systematic Layout Planning, and operations research. A thorough

description of the layout problem is also presented. This work is intended to indicate

that the proposed master’s degree theme is sound and of interest for both the

academy and industry.

Keywords: tabu search, simulated annealing, layout, cell formation.

viii

SUMÁRIO

RESUMO.................................................................................................................... vi ABSTRACT ............................................................................................................... vii LISTA DE FIGURAS .................................................................................................. xi LISTA DE TABELAS .................................................................................................xiii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ...................................................................xvii LISTA DE SÍMBOLOS.............................................................................................xviii 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 1

1.1 Metodologia............................................................................................................... 2 2 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE layout ou ARRANJO FÍSICO ................................. 3

2.1 Introdução ................................................................................................................. 3 2.1.1 Tipos de arranjo físico ........................................................................................... 5

2.1.2 Fluxos .................................................................................................................... 8

2.1.3 Equipamentos de movimentação .......................................................................... 8 2.2 Células de produção nos Sistemas Flexíveis de Manufatura (FMS) ........................ 9 2.3 Sistemas de classificação e Tecnologia de Grupo.................................................. 11 2.4 Planejamento Sistemático de Layout (SLP)............................................................ 15

3 TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO........................................................................................ 19 3.1 Introdução ............................................................................................................... 19 3.2 Algoritmos Genéticos .............................................................................................. 20

3.2.1 Cruzamento (Crossover) ..................................................................................... 22

3.2.2 Mutação............................................................................................................... 23 3.3 Simulated Annealing (SA) ....................................................................................... 23 3.4 Busca Tabu (BT) ..................................................................................................... 26

3.4.1 Lista Tabu............................................................................................................ 27

3.4.2 Busca de Soluções Vizinhas ............................................................................... 27

3.4.3 Critérios de Aspiração ......................................................................................... 27

3.4.4 Diversificação e Intensificação ............................................................................ 27

3.4.5 Busca Tabu Reativa ............................................................................................ 29 4 LAYOUT DE CÉLULAS DE MANUFATURA.................................................................. 30

4.1 Introdução ............................................................................................................... 30 4.2 Descrição do problema de layout de instalações.................................................... 30 4.3 Formulação do problema ........................................................................................ 32

4.3.1 Função objetivo ................................................................................................... 33 5 METODOLOGIA APLICADA.......................................................................................... 36

5.1 Análise de Variância (ANOVA)................................................................................ 36 5.1.1 Tratamento .......................................................................................................... 36

5.1.2 Unidade experimental ou parcela ........................................................................ 37

ix

5.1.3 Repetição............................................................................................................. 37

5.1.4 Experimentos Fatoriais ........................................................................................ 39 5.2 Características do problema de formação de layout ............................................... 43

5.2.1 Geração da Solução Inicial ao Usar Métodos Heurísticos .................................. 43 5.3 Busca na Vizinhança............................................................................................... 45 5.4 Abordagem de Busca Tabu Proposta ..................................................................... 46 5.5 Implementação do Algoritmo de Simulated Annealing para o Caso Proposto por Chwif et al. (1998) .............................................................................................................. 49

5.5.1 Geração da solução vizinha s’............................................................................. 50 5.6 Algoritmo Simulated Annealing Proposto (SA_Tiago)............................................. 53

6 RESULTADOS DAS IMPLEMENTAÇÕES .................................................................... 55 6.1 Implementação da interface de testes .................................................................... 55 6.2 Apresentação dos Resultados ................................................................................ 58

6.2.1 Análise dos Resultados para 10 Máquinas ......................................................... 59




6.2.5 Análise dos resultados para 30 Máquinas........................................................... 83 PRODUÇÃO CIENTÍFICA NO PERÍODO (Março 2006 – Dezembro 2008) ......................... 92 REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 93 APÊNDICE A – MATRIZ DE VOLUME DE PEÇAS ENTRE AS MÁQUINAS ..................... 100 A.1 – Fluxo entre 10 máquinas............................................................................................ 100 A.2 – Fluxo entre 12 máquinas............................................................................................ 100 A.3 – Fluxo entre 15 máquinas............................................................................................ 101 A.4 – Fluxo entre 20 máquinas............................................................................................ 101 A.5 – Fluxo entre 30 máquinas............................................................................................ 102 APÊNDICE B – Resultados do simulated annealing ........................................................... 103 B.1 – Resultados do algoritmo proposto por Chwif et al. (1998) ......................................... 103 B.1- Para 10 Máquinas ........................................................................................................ 104 B.2 - Para 12 Máquinas ....................................................................................................... 107 B.3 - Para 15 Máquinas ....................................................................................................... 110 B.4 - Para 20 Máquinas ....................................................................................................... 113 B.5 - Para 30 Máquinas ....................................................................................................... 116 APÊNDICE C – Resultados do simulated annealing PROPOSTO (SA_TIAGO) ................ 119 C.1 - Para 10 Máquinas....................................................................................................... 119 C.2 - Para 12 Máquinas....................................................................................................... 121 C.3 - Para 15 Máquinas....................................................................................................... 123 C.4 - Para 20 Máquinas....................................................................................................... 125 C.5 - Para 30 Máquinas....................................................................................................... 127 APÊNDICE D – Resultados do ALGORITMO DE BUSCA TABU PROPOSTO.................. 129 D.1 - Para 10 Máquinas....................................................................................................... 129 D.2 - Para 12 Máquinas....................................................................................................... 131 D.3 - Para 15 Máquinas....................................................................................................... 133

x

D.4 - Para 20 Máquinas....................................................................................................... 135 D.5 - Para 30 Máquinas....................................................................................................... 137 APÊNDICE E – Resultados do ALGORITMO DE BUSCA TABU HÍBRIDA........................ 139 E.1 - Para 10 Máquinas ....................................................................................................... 139 E.2 - Para 12 Máquinas ....................................................................................................... 141 E.3 - Para 15 Máquinas ....................................................................................................... 143 E.4 - Para 20 Máquinas ....................................................................................................... 145 E.5 - Para 30 Máquinas ....................................................................................................... 147

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 A e B - Diferença entre layout que minimiza estoque e deslocamento. (PEREIRA, 2002) 5

Figura 2.2 – Layout posicional (TORRES, 2001). 5

Figura 2.3 – Layout funcional (TORRES, 2001). 6

Figura 2.4 – Layout linear (TORRES, 2001). 6

Figura 2.5– Layout celular (TORRES, 2001). 7

Figura 2.6- Variedade e Quantidade determinando o tipo de layout. (SLACK et al., 1997) 7

Figura 2.7– Padrões de fluxos (TORRES, 2001). 8

Figura 2.8 – Interface de uma célula de FMS com os demais sistemas da fábrica (DAGNONE, 2000). 10

Figura 2.9 – Matriz de peças e máquinas (RIBEIRO, 2000). 14

Figura 2.10 – Matriz de peças e máquinas em células (RIBEIRO, 2000). 14

Figura 2.11 - Matriz de incidência com agrupamento (RIBEIRO, 2000). 15

Figura 2.12 – Planejamento Sistemático de Layout (MUTHER e WHEELER, 2000). 17

Figura 2.13 – Diagrama espaço-relacional (adaptado de MUTHER e WHEELER, 2000). 17

Figura 2.14 – Elaboração do layout inicial (adaptado de MUTHER e WHEELER, 2000). 17

Figura 2.15– Procedimento do Planejamento Sistemático de Layout (SLP) (TREIN, 2001). 18

Figura 3.1 - Representação de um cromossomo na Biologia e em AGs. 21

Figura 3.2 - Crossover uniforme (BARROS NETO, 1997) 22

Figura 3.3 - Mutação (BARROS NETO, 1997). 23

Figura 3.4 - Formulação geral do SA (NORONHA et al., 2001). 25

Figura 3.5 - Algoritmo básico de Busca Tabu. 29

Figura 4.1 - Diferentes orientações de acordo com a configuração (CHWIF, 1998). 33

Figura 4.2 - Modelamento geométrico do problema (adaptado de CHWIF,1998). 34

Figura 4.3 - Configuração dos blocos a respeito da sobreposição (CHWIF et al., 1998). 35

Figura 5.1 - Geração da solução inicial como primeiro passo na execução do programa. 44

Figura 5.2 - Forma de cálculo de posicionamento das máquinas. 44

Figura 5.3 - Pseudo-código da função de geração da solução inicial. 45

Figura 5.4 a e b - Geração da solução s e sua solução vizinha s’. 46

Figura 5.5 - Pseudo-código do algoritmo de BT implementado. 48

Figura 5.6 - Primeiro movimento aceito entre as máquinas 2 e 4. 49

Figura 5.7 – Pseudo código de SA básico. 50

Figura 5.8 a e b – Permutação entre duas máquinas. 51

Figura 5.9 a e b – Rotação da máquina. 51

Figura 5.10 – Pseudo código de SA que decide qual movimento será realizado. 52

Figura 5.11 – Exemplo de layout infactível gerado pelo algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998). 53

Figura 5.12 – Resultado do layout do algoritmo de SA proposto (SA_Tiago). 54

Figura 6.1 – Interface do SISTEMA DE GERAÇÃO DE LAYOUTS. 57

Figura 6.2 – Coordenadas do sistema cartesiano presente no painel. 57

xii

Figura 6.3 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998). 64

Figura 6.4 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago. 64









xiii

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1 - Disposição das equações na Tabela ANOVA. 39

Tabela 5.2 - Plano experimental para algoritmo SA. 40

Tabela 5.3 - Tabela resumo da análise de fatores. 42

Tabela 5.4 Lista tabu para as três primeiras iterações. 48

Tabela 6.1 – Área e fator de aspecto das 30 máquinas. 56

Tabela 6.2 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.1. 59

Tabela 6.3 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.1. 60

Tabela 6.4 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.1. 60

Tabela 6.5 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.1. 61

Tabela 6.6 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. 63








Tabela 6.14 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal. 71

Tabela 6.15 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.3 71





Tabela 6.20 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA. 75







Tabela 6.27 -Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA. 81

Tabela 6.28 -Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal. 81





Tabela 6.33 -Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. 86

xiv

Tabela 6.34 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA. 87


Tabela A.1 - Fluxo entre 10 máquinas 105





Tabela B.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 10 máquinas. 104

Tabela B.2 - Apresentação do número de iterações do SA com 10 máquinas. 105

Tabela B.3 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 10 máquinas. 106

Tabela B.4 - ANOVA para o número de iterações do SA com 10 máquinas. 106

















Tabela C.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 119

Tabela C.2 - Apresentação do número de iterações executadas. 119

Tabela C.3 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 10 máquinas. 120

Tabela C.4 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 10 máquinas. 120





xv













Tabela D.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 129

Tabela D.2 - Apresentação do número de iterações executadas. 129

Tabela D.3 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 10 máquinas. 130

Tabela D.4 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 10 máquinas. 130

















xvi

Tabela E.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados. 139

Tabela E.2 - Apresentação do número de iterações executadas. 139

Tabela E.3 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 10 máquinas. 140

Tabela E.4 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 10 máquinas. 140
















Tabela E.20 - ANOVA para fator f dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 30 máquinas. 148

xvii

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AG - Algoritmo genético. BB - Branch and Bound . BS - Beam-search. BT - Busca Tabu.

CSM - component supplier management.

FLP - Facility Layout Problem.

FMS - Sistema Flexível de Manufatura

GFLP - General Facility Layout Problem.

MLP - Machine Layout Problem.

QAP - Quadratic Assignment Problem .

SA - SimulatedAannealing.

TG - Tecnologia de grupo.

xviii

LISTA DE SÍMBOLOS

f(x) - Função objetivo

N - Tamanho da população.

f(s) - solução

δE - diferença entre os valores da função objetivo

k - número da iteração

t - temperatura atual

p(δE) - probabilidade da solução ser aceita

Tk+1

- temperatura inicial

Tk - temperatura final.

α - decréscimo exponencial da temperatura.

X - conjunto de soluções geradas. XxV ⊂)( - conjunto associado de soluções vizinhas

x’ - solução vizinha a x

sbest - melhor solução

s* - solução estrela

n - áreas de atividade

m - local possível de instalação de máquina

ikjhC - custo para alocar os departamentos i e j nas localizações k e h

ikX - localização da máquina

Z - definição do QAP

i - bloco

Ai - área do bloco

hi - altura do bloco

wi - largura do bloco

minifa - fator de aspecto mínimo

maxifa - fator de aspecto máximo

P - ponto de coleta de peças

xix

D - ponto de saída de peças

ix - coordenada do bloco

iy - coordenada do bloco

id - distância entre os centróides das máquinas

dem - interação/fluxo entre a instalação i e j

( )pkpk yx , e ( ) jikyx dkdk ,,, = - coordenadas dos pontos de coleta e saída da máquina k,

kw é a largura da máquina k, jik ,=

kh - é a altura da máquina k, jik ,=

kk yx , - são as coordenadas do centróide do bloco k, jik ,=

α - é o peso da função custo

β - peso da função de penalidade

n - número de máquinas

Iij - função de penalidade

Capítulo 1 Introdução 1

1 INTRODUÇÃO

O aumento de produtividade no setor industrial tem sido objeto de preocupação para

os responsáveis pela produção, em razão de um contexto industrial caracterizado por uma

concorrência cada vez mais forte. Os métodos baseados no conceito de Tecnologia de

Grupo (BURBIDGE (1975) apud CAUX et al. (1995)) constituem uma resposta eficiente para

o setor metal-mecânico destinado à produção em lotes pequenos e médios. Este conceito

repousa sobre o agrupamento de peças similares em famílias com o objetivo de fabricá-las

em células de manufatura ou linhas de produção, que reúnem máquinas especialmente

selecionadas para este fim. Isto conduz a uma busca por maior automatização, a uma

redução do tempo de preparação das máquinas, a uma padronização das ferramentas

empregadas e a uma redução dos ciclos de fabricação. Um sistema de produção pode ser

composto de um grande número de etapas que, individual ou coletivamente, interferem na

produtividade de todo o sistema. A etapa de fabricação tem uma importância particular. Com

efeito, em sistemas de produção do tipo jobshop, 5% do tempo destinado à execução de

uma peça é ocupado em operações de máquina e os 95% restantes são gastos em

movimentação e filas de espera. Destes 5%, apenas 30% são reservados à usinagem

propriamente dita, uma vez que a preparação das máquinas e outras tarefas consomem a

maior parte do tempo (CAUX et al. (1995)).

Em um sistema de produção organizado em células de fabricação, a administração

torna-se mais simples e eficiente, em decorrência imediata da decomposição do sistema

global de produção em subsistemas de menor dimensão. Há uma redução do tempo gasto

em transferências entre os postos de trabalho, do tempo de preparação das máquinas, da

quantidade de ferramentas, do tamanho dos lotes e do tempo total de fabricação

(MAHMOODI et al., 1990).

A Tecnologia de Grupo (GT) é um princípio, que decompõe um sistema global em

subsistemas mais simples, os quais são mais fáceis de gerenciar que o sistema como um

todo. Aplicado à manufatura, este princípio serve como base para a formação de células de

manufatura. De acordo com WEMMERLÖV e HYER (1989), as principais melhorias podem

ser esperadas na redução do tempo de deslocamento e manuseio de peças.

O problema da formação de layout consiste em agrupar máquinas (e eventualmente

ferramentas, operações, etc.) em células de manufatura tão independentes quanto possível,

satisfazendo o critério de desempenho, por exemplo, minimizando as movimentações extra-

celulares de peças. Neste caso, o processo de manufatura de peças é dado por uma matriz

Capítulo 1 Introdução 2

de incidência componente–máquina ou por uma matriz de fluxo máquina-máquina (CAUX et

al, 1995, CHENG et al, 1996) ou pela seqüência de operações de manufatura (NAGI, 1990).

Alguns trabalhos consideram que cada operação pode ser conseguida com um

conjunto de máquinas e consideram que cada peça tem um conjunto de diferentes

processos possíveis (LONGENDRAN, 1991). Associada a esta formulação do problema,

pode ser adicionada, como restrição, a capacidade de máquina (NAGI, 1990).

Neste trabalho, o foco é o problema da formação de layout, visando a minimização da

função objetivo que é a minimização da distância total percorrida por todas as peças dentro

da fábrica em função do layout gerado. Propõe-se o estudo da solução deste problema

através da implementação de um algoritmo de Busca Tabu, já que não é do conhecimento

do autor (e de seu orientador) que tais problemas específicos da formação do layout de

sistemas de manufatura tenham sido resolvidos usando a Busca Tabu. Na literatura foram

aplicados outros métodos heurísticos, como o simulated annealing. No capítulo 2 é realizada

uma revisão de literatura onde são identificadas as heurísticas mais utilizadas na resolução

de problemas de otimização. No capítulo 3 é apresentada uma visão geral do problema do

arranjo físico, onde são apresentados os problemas que ocorrem na formação de layouts,

bem como a definição das células de produção nos sistemas de manufatura. É apresentado

ainda o método de formação de células baseado na tecnologia de grupo e o planejamento

sistemático de layout. Foi realizada uma breve revisão sobre métodos estatísticos e análise

de variância, pois foi feito uso dessa ferramenta no tratamento dos resultados apresentados

pelos algoritmos implementado. No capítulo 4 é apresentada a formulação do problema de

formação de layout das instalações

1.1 Metodologia

Como método de pesquisa, será realizada a comparação entre a implementação do

algoritmo de Simulated Annealing apresentado por CHWIF et al. (1998) e os algoritmos de

Simulated Annealing e Busca Tabu implementados pelo autor, para os vários problemas

apresentados por TAM e LI (1991) e TAM (1992). A proposta deste trabalho é realizar uma

implementação e comparação entre as heurísticas citadas para os mesmos problemas e

função objetivo (minimização da distância total percorrida por todas as peças dentro da

fábrica em função do layout gerado) na formação dos layouts de sistemas de manufatura.

Capítulo 2 – Visão geral do problema de arranjo físico 3

2 VISÃO GERAL DO PROBLEMA DE LAYOUT OU ARRANJO

FÍSICO

Este capítulo visa descrever o problema de layout, também chamado de arranjo físico.

No presente texto, os termos layout e arranjo físico são usados indistintamente.

2.1 Introdução

DIAS (1993) define o arranjo físico (layout), como sendo a disposição de homens,

máquinas e materiais que permite integrar o fluxo de materiais e a operação dos

equipamentos de movimentação para que a armazenagem se processe dentro do padrão

máximo de economia e rendimento.

Para PEREIRA (2002) o layout de um armazém deve visar:

• Boa organização;

• Maximizar a utilização do espaço;

• Estocagem econômica, minimizando as despesas de equipamento, espaço, danos

de material e a mão-de-obra do armazém;

• Proporcionar movimentação de materiais da forma mais eficiente;

Para MEDEIROS (2002), o layout apresenta os seguintes objetivos na formação do

sistema de manufatura:

• Fornecer suficiente capacidade de produção.

• Reduzir o custo de manuseio de materiais.

• Adequar-se a restrições do lugar e do espaço físico.

• Permitir elevada utilização e produtividade da mão-de-obra e das máquinas.

• Fornecer flexibilidade de volume e produto.

• Permitir facilidade de manutenção.

• Atingir os objetivos com o menor investimento de capital.

• Promover carga e descarga eficiente de veículos de transporte.

• Permitir facilidade visualização dos estoques.

SLACK et al. (1997) listam algumas razões práticas para destacar a importância do

arranjo físico para a produção:


• A atividade é difícil e de longa duração, devido às dimensões dos materiais a serem

estocados e transportados;

• O rearranjo físico das posições de estocagem pode interromper o fluxo de materiais

provocando perdas de produção; e

• A construção do arranjo físico de forma inadequada pode levar a padrões de fluxos

excessivamente longos ou confusos, estoque excessivo de materiais, filas de

usuários ao longo da operação, tempos de processamento desnecessariamente

longos, operações inflexíveis, fluxos inflexíveis e de alto custo.

O fluxo de material é o caminho percorrido pelos materiais desde a hora em que

entram na empresa até o momento de saída. Um bom fluxo de materiais permite diminuir o

custo de movimentar materiais. MOURA (1997) considera que é possível conseguir, com o

arranjo físico do armazém, balancear três objetivos:

i) Bom fluxo de material;

ii) Custos de operação baixo para estocagem;

iii) Coleta e eficiente utilização do espaço de estocagem e do equipamento.

Para tanto, torna-se necessário considerar dois princípios básicos:

• O retrocesso deve ser minimizado. Os itens devem ser movimentados sempre em

direção à doca de expedição (figura 2.1b); e

• As atividades devem estar localizadas próximas, reduzindo a distância entre as

operações (figura 2.1b).

PEREIRA (2002) afirma que os layouts para minimizar estoques são diferentes dos

layouts que minimizam o deslocamento de peças tornando necessário o uso de layouts

diferentes para minimizar os custos globais operacionais, conforme mostram

respectivamente os layouts 2.1a e 2.1b.


Figura 2.1 A e B - Diferença entre layout que minimiza estoque e deslocamento. (PEREIRA, 2002)

2.1.1 Tipos de arranjo físico

Existem algumas formas básicas da formação do layout no chão de fábrica e a

utilização de arranjos mistos aumenta em função do mix de produtos fabricados.

• Layout posicional

Neste tipo de layout o produto está fixo enquanto os trabalhadores movimentam-se à

sua volta, como pode ocorrer em locais com área pequena, ou construção de grandes

equipamentos (i.e.: navios, aviões, entre outros) como mostrado na figura 2.2.

Figura 2.2 – Layout posicional (TORRES, 2001).

• Layout funcional ou por processo

Nesta formação de layout as máquinas são organizadas de acordo com a função

desempenhada na fabricação das peças (jobshop), i.e.: agregação de tornos, fresadoras,

retíficas, entre outras, conforme figura 2.3.


Figura 2.3 – Layout funcional (TORRES, 2001).

• Layout linear ou por produto

Nesta organização de layout as máquinas são alocadas de acordo com a seqüência

de fabricação do produto, situando-se uma após a outra, formando uma linha de

produção, facilitando o controle de processo e manipulação dos materiais, como visto na

figura 2.4.

Figura 2.4 – Layout linear (TORRES, 2001).

• Layout celular Neste tipo de arranjo a peça em fabricação entra em uma área (célula) do chão de

fábrica, onde serão realizadas várias etapas do seu processo de fabricação,

concentrando todos os recursos necessários para isso. Com o uso das células de

manufatura consegue-se minimizar o fluxo de peças por longas distâncias ao longo do

chão de fábrica, como mostrado na figura 2.5.


Figura 2.5– Layout celular (TORRES, 2001).

Para TORRES (2001), na adoção do arranjo físico consideram-se como fatores

importantes a diversidade e quantidade de produtos, características dos produtos, formas e

trajetos de manipulação. O layout normalmente é definido pelo fluxo de materiais devido à

sua complexidade e intensidade de movimentações de peças na fábrica. Dessa forma se a

fábrica produz uma grande quantidade de apenas um tipo de produto, o layout tende para

um arranjo por produto ou linear (linha de produção). Agora, caso produza-se uma

quantidade pequena de uma gama variada de produtos, o arranjo pelo fluxo mostra-se

ineficiente, pois, na fabricação dos produtos, os processos são os mais variados. Nesse

caso, a escolha mais adequada é o arranjo funcional se as operações forem semelhantes

entre si. Para produzir uma quantidade pequena de peças de difícil movimentação, tende-se

para uma organização posicional do arranjo. A figura 2.6 representa a relação existente

entre variedade, quantidade e tipo de arranjo.

Figura 2.6- Variedade e Quantidade determinando o tipo de layout. (SLACK et al., 1997)


2.1.2 Fluxos

Existe uma forte relação entre o layout do chão de fábrica e o fluxo de materiais,

pessoas e informações que circulam na produção, como pode ser visto nos arranjos por

produto, onde existe uma forte correspondência entre seqüência de processos e a posição

das máquinas que os realizam.

Muitos fatores afetam o projeto do arranjo físico (i.e., número de peças, seqüência de

produção, área disponível, flexibilidade desejada, entre outros), o que torna uma avaliação

de alternativas baseada apenas em dados de fluxo em uma solução inadequada, podendo

afetar diretamente os métodos matemáticos e heurísticos de arranjo físico. Na figura 2.7 são

apresentados os tipos mais comuns de fluxo de peças.

Figura 2.7– Padrões de fluxos (TORRES, 2001).

2.1.3 Equipamentos de movimentação

Segundo PEREIRA (2002), a classificação dos equipamentos de movimentação de

materiais segue um esquema funcional, incluindo dispositivos para carga, descarga e

manuseio:

• Veículos industriais: carrinhos de vários tipos como tratores, trailers e veículos

especiais;

• Guindastes, talhas e elevadores: Guindastes, pontes rolantes, guinchos, monovias,

elevadores, entre outros;

• Transportadores: correias, correntes, fitas metálicas, roletes, rodízios, roscas e

vibratórios;

• Estruturas de suporte: suportes e plataformas, vasos, tanques, estrados, paletes,

entre outros.


Existe uma grande variedade de equipamentos de movimentação de peças, podendo

ser agrupados por similaridades, como segue:

• Guinchos e pontes rolantes: operam sobre as áreas de armazenagem, sem usar os

corredores para movimentar cargas;

• Transportadores e esteiras: são muito usados na movimentação de uma grande

quantidade de peças ao longo de uma linha de produção;

• Empilhadeiras e pequenos veículos: meios mecânicos de movimentar peças,

evitando operações manuais lentas e cansativas.

Sendo assim, o projeto de movimentação de materiais deve considerar a aquisição de

equipamentos adequados, de forma a otimizar o fluxo de peças e materiais no interior da

fábrica.

2.2 Células de produção nos Sistemas Flexíveis de Manufatura (FMS)

Segundo DAGNONE (2000), as células de produção baseiam-se no princípio do

trabalho em grupo, no qual um grupo de pessoas deve trabalhar em uma equipe unida e

coesa, visando a maximização no desempenho de uma tarefa. As células de manufatura

baseiam-se em duas idéias: a primeira é que ao invés de organizar-se o espaço em linhas

de produção, onde grandes lotes de diferentes componentes e produtos não acabados

trafegam pelos variados tipos de máquinas, reparte-se a área em unidades celulares

autônomas, cada qual destinada à produção de um grupo de itens. Em cada célula reúne-se

todo o maquinário necessário à fabricação ou montagem daqueles produtos específicos.

Uma definição foi dada por HYDE e KINNEY Jr. (1987b): “Células de manufatura

constituem uma técnica de produzir lotes médios e pequenos de peças de diferentes

tamanhos, formatos e materiais que, entretanto, requerem processos de fabricação

similares, desempenhados em pequenos arranjos de máquinas agrupadas, especificamente

preparadas e seqüenciadas como uma unidade.”

Esta definição leva à identificação dos três passos envolvidos no desenho de uma

célula de manufatura:

• Selecionar as peças (criar famílias por similaridade de forma ou processo);

• Selecionar as máquinas;

• Arranjar fisicamente a célula e designar operadores para ela.


Redefinir o sistema de produção de uma fábrica em células pode provocar mudança

na sua organização, principalmente nos layouts do chão de fábrica e à movimentação de

peças. Mudanças ocorrerão também no planejamento de processos e criação de peças

(concepção e design). Outra mudanças é a interface da célula criada aos elementos

externos à esta, impedindo replicação de dados e fabricação desnecessária de produtos,

apresentado na figura 2.8. DAGNONE (2000) mostra uma metodologia para o projeto de

células de manufatura, com cinco tipos de decisão,dependentes entre si:

• Seleção de peças;

• Seleção de máquinas;

• Layout, a partir da definição de equipamentos e o elenco de operadores;

• Seqüenciamento e controle da célula;

KINNEY Jr. (1987) define que a seleção de peças forma o conjunto de peças a

serem processadas na célula. Estas peças assemelham-se no processo como são

produzidas e as máquinas envolvidas também devem ser de alguma forma semelhantes.

Assim, torna-se necessária a consulta a um banco de dados que conterá informações como

rotas de processamento, atributos de peças, requerimentos de ferramentas, entre outras

informações necessárias, para determinar o agrupamento.

Figura 2.8 – Interface de uma célula de FMS com os demais sistemas da fábrica (DAGNONE, 2000).

Entre as técnicas adotadas para a formação de células (e, consequentemente, de

seu layout) pode-se citar a Tecnologia de Grupo (TG) e a Análise de Cluster(CAUX et


al.,1995). A segunda alternativa é um procedimento matemático mais complexo, que requer

o estudo das distâncias entre máquinas e células das quais fazem parte. A TG procura a

economia e a otimização de processos através de três princípios (CAUX et al.,1995):

• Layout de grupo;

• Ciclo de controle de fluxo curto;

• Seqüência planejada de uso de máquinas;

Fazer o agrupamento de peças em famílias através da TG pode facilitar o projeto de

células, sua localização na planta e a interação destas células entre si, de acordo com as

famílias de peças que serão geradas. O nível de utilização das máquinas, tempo de vida útil

e a formação de gargalos são critérios que podem ser levados em conta para esse

agrupamento. Dessa forma, tenta evitar-se que máquinas formadoras de gargalos sejam

alocadas em uma mesma célula. Os equipamentos, o layout e os operadores exercem papel

de importância, quando se considera que o volume de produção e o formato das peças

estão diretamente ligados à manipulação de peças na planta. É importante que o layout seja

tal que permita modificações quando necessário e que os operadores sejam multifuncionais.

A avaliação deve ser feita no dimensionamento da célula de acordo com as taxas de

produção de peças planejadas e o controle e programação da célula também são

considerados.

2.3 Sistemas de classificação e Tecnologia de Grupo

A Tecnologia de Grupo (TG) é uma filosofia de manufatura onde similaridades entre

peças ou processo são identificadas e agrupadas para aproveitar as vantagens de suas

similaridades. Segundo WEMMERLÖV e HYER (1986), o aproveitamento dessas

similaridades ocorre de três maneiras:

• Executando tarefas semelhantes conjuntamente, evitando perda de tempo com as

alterações necessárias para mudar de uma atividade (ie., redução do tempo de setup

entre operações);

• Padronizando tarefas similares, focando apenas nas diferenças necessárias (ie.,

redução da variedade de parafusos);

• Armazenando e recuperando (feedback) informações de forma eficiente,

principalmente as relacionadas com um problemas repetidos, reduzindo assim o

tempo de busca por informações e solução dos problemas (ie., utilizar em um novo

produto, componentes de um outro já existente);


• Realizando as atividades acima pode-se reduzir a diversidade dos itens usados na

fabricação (ie., peças compradas e fabricadas, dispositivos de fixação, ferramentas,

entre outros).

TATIKONDA e WEMMERLÖV (1992) definem as famílias da TG como uma reunião

de objetos (peças) com características similares (de projeto, manufatura, entre outros)

identificadas para um propósito definido. Todos os objetos da família usam métodos

similares de fabricação, obtendo-se ganhos pelo processamento conjunto dessas peças. O

projeto e a manufatura são os principais campos de aplicação da TG.

Na manufatura o aumento de eficiência vêm da: redução dos tempos de setup,

programação seqüenciada de peças da mesma família, melhoria no controle do processo,

planos de processo e instruções padronizadas, formação de células de manufatura e

possibilidade de aumento da qualidade (CAUX et al. 1995).

As vantagens no projeto vêm da otimização na recuperação de informações e na

padronização de itens, onde se usam peças padronizadas na concepção de novos produtos.

Três tipos de atividades são necessárias para implementar a TG:

• Determinação dos critérios para um item pertencer ou não a uma família, alocando

esses itens e equipamentos nas famílias estabelecidas;

• Recuperação das informações relativas aos membros da família;

• Codificar a representação da família e suas classes em uma base de dados;

Segundo TATIKONDA e WEMMERLÖV (1992), os sistemas de classificação surgem

como um grande auxílio para a TG fornecendo uma estrutura para classificar os objetos

(peças ou máquinas) em famílias baseada em atributos selecionados para esses objetos.

Diversos Sistemas de Codificação e Classificação (SCC) surgiram nas últimas décadas, de

acordo com as necessidades de cada empresa, não existindo um sistema universal.

GROOVER (1987) e WEMMERLÖV e HYER (1986), resumem os principais benefícios de

um SCC bem projetado:

• Formação de famílias de peças e células de máquinas (atualmente pouco usado pois

as heurísticas específicas são mais eficientes para essa aplicação. ie.: algoritmos

genéticos);

• Recuperação rápida de desenhos, projetos e planos de processos;

• Estabelecimento de uma base de dados principal.

• Padronização do projeto do produto;

• Racionalização de ferramental e redução do tempo de preparação da máquina e do

tempo total de produção;


• Estatísticas de peças seguras e confiáveis;

• Estimativa precisa dos requisitos das máquinas-ferramenta e carga de máquina;

• Racionalização do projeto do ferramental, com redução do seu custo e tempo de

fabricação;

• Padronização de processos e ferramental;

• Maximização do planejamento e programação da produção;

• Maximização da utilização das máquinas-ferramenta, dispositivos e mão-de-obra;

Em essência, a TG tenta decompor os sistemas de manufatura em vários

subsistemas, para fazer o agrupamento das máquinas em células. A célula ideal é

independente, ou seja, as famílias de peças são completamente produzidas dentro da

célula. Os benefícios são: a simplificação de controle, de implementação e de automação;

redução dos tempos de preparação (setup), entre a entrada de material e a saída de produto

(throughput), contribuindo para o aumento da qualidade do produto final. Os métodos para

formação de células de manufatura podem ser classificados como orientados pelo projeto ou

pela produção. Enquanto os métodos orientados por projeto agrupam partes baseando-se

em características de seu projeto (similaridades entre componentes), os métodos orientados

por produção o fazem baseando-se nos processos requeridos para sua produção.

Segundo IRANI (1999), os primeiros trabalhos nesta área foram feitos por

MITROFANOV (1963) e BURBIDGE(1963). BURBIDGE (1963) implementou a análise do

fluxo de produção, sendo uma das primeiras e mais reconhecidas metodologias associadas

com tecnologia de grupo. O objetivo destas técnicas é obter células de máquinas

independentes, normalmente, minimizando o movimento extra-celular das peças.

Uma das formas mais comuns de tratar o problema é através da matriz de incidência

peças x máquinas, cujos elementos são zeros ou uns, indicando quais máquinas são

usadas na produção de cada peça. Na matriz 0-1 mostrada na figura 2.9 as linhas

correspondem às peças e as colunas às máquinas (ou vice-versa) e se aij =1, então a parte i

necessita da máquina j para sua produção. Os algoritmos de formação de células fazem a

manipulação de linhas e colunas de forma a produzir agrupamentos, o que os torna

basicamente algoritmos para problemas de agrupamento, ou clustering (figura 2.10).


Figura 2.9 – Matriz de peças e máquinas (RIBEIRO, 2000).

Figura 2.10 – Matriz de peças e máquinas em células (RIBEIRO, 2000).

O agrupamento de máquinas e componentes, visando a formação de células de

fabricação é um problema matemático complexo (KUSIAK, 1987). Dada a matriz de

incidência na forma (peças x máquinas) ou (peças x tipos de máquinas), onde os tipos de

máquinas podem ser tornos, fresadoras, entre outras, é necessário rearranjar as linhas e as

colunas desta matriz, formando uma estrutura bloco-diagonal.

A figura 2.11 apresenta uma matriz de incidência (peças x máquinas) após o

procedimento de bloco-diagonalização. Nesta figura, os valores dos elementos representam

o tempo de execução da peça i na máquina j. Os elementos dentro dos blocos formam as

células de fabricação. Os elementos fora dos blocos são os chamados movimentos

extracelulares e na prática são indesejáveis. Por isto, no projeto das células de produção

procura-se minimizar o número de movimentos extracelulares e equilibrar a carga de

trabalho entre as células.


Figura 2.11 - Matriz de incidência com agrupamento (RIBEIRO, 2000).

RIBEIRO (2000) mostra que muitas técnicas têm sido utilizadas para fazer a bloco-

diagonalização da matriz de incidência, projetar as células de fabricação e aplicar a TG na

fábrica. Citam-se entre elas a programação matemática, branch and bound, lógica fuzzy,

algoritmos genéticos, redes neurais e metaheurísticas, como o simulated annealing. Hoje

existem sistemas de gerenciamento de componentes e suprimentos (CSM - component

supplier management), com o suporte para busca de semelhanças no desenvolvimento de

produto.

Pode ocorrer confusão entre a TG e os sistemas de classificação e o projeto de

células de manufatura. Deve ficar claro que o sistema de classificação é um meio para a

implantação da TG, e a célula de manufatura é uma das aplicações de TG.

2.4 Planejamento Sistemático de Layout (SLP)

Para planejar a distribuição física dos elementos produtivos disponíveis, MUTHER e

WHEELER (2000) salientam que o arranjo das áreas de trabalho nasceu com o comércio,

com o artesanato e com a execução de trabalhos produtivos. A partir do desenvolvimento de

sistemas produtivos, mais atenção passou a ser dada à utilização do espaço. Uma série de

desenvolvimentos no planejamento de arranjos físicos é atribuída aos engenheiros químicos

e de mineração alemães; a produtores de vagões canadenses; produtores de automóveis de

Detroit e a construtores de navios britânicos. Os profissionais da área Industrial aprenderam

a relacionar suas estruturas às necessidades funcionais, adaptando-as ao espaço

necessário disponível.

O SLP é uma estruturação de fases que o projeto deve passar, fazendo uso de um

padrão de procedimentos para o planejamento contínuo e, de um conjunto de convenções

para identificação, visualização e classificação de várias atividades, relações e alternativas

envolvidas em qualquer projeto de layout.


De acordo com GENARO e CALDEIRA (2003) para o desenvolvimento de um projeto

de layout há necessidade das seguintes etapas:

• Levantamento: faz-se um diagnóstico detalhado das características da organização,

seus colaboradores, materiais e equipamentos e os fluxos de trabalho rotineiros;

• Planejamento de soluções: identifica-se os pontos passíveis de modificações. São

levantadas as possíveis soluções, identificadas as intervenções físicas (obras) e

projetadas as melhorias que deverão ser observadas na proposição do novo layout.;

• Crítica do Planejamento: Uma vez encontradas as soluções consideradas

promissoras, apresenta-se aos usuários o layout proposto, permitindo um

aprimoramento e aceitação das mudanças;

• Implantação: faz-se a implementação do layout proposto, com a alocação dos objetos

e equipamentos nos lugares previstos;

• Controle de resultados: faz-se um diagnóstico detalhado das características da

organização, seus colaboradores, materiais e equipamentos e os fluxos de trabalho

rotineiros.

MUTHER e WHEELER (2000) desenvolveram o SLP baseado na entrada de dados,

nos fluxos de materiais e nas relações entre os postos de trabalho, onde diagramas de

movimento e de relações são produzidos, fazendo-se a alocação dos postos de trabalho

espacialmente, introduzindo o diagrama de relações e a escala AEIOUX (onde cada letra

assume um significado diferente: A = absolutamente necessário, E = muito importante, I =

importante, O = pouco importante, U = desprezível e X = indesejável) para a visualização da

importância da relação e proximidade dos postos de trabalho e a inclusão de fatores

quantitativos (i.e., custos de transporte), mostrado na figura 2.12.

As relações espaciais, combinadas com o diagrama de relações, levam à construção

do Diagrama Espaço-Relacional, também chamado de Diagrama de Blocos, que é o

resultado de layout através da alocação e ajuste dos espaços necessários. O diagrama

espaço-relacional é criado baseado no mapa de inter-relação, ligando as diversas células ou

máquinas, como é mostrado na figura 2.13.


Figura 2.12 – Planejamento Sistemático de Layout (MUTHER e WHEELER, 2000).

Figura 2.13 – Diagrama espaço-relacional (adaptado de MUTHER e WHEELER, 2000).

Parte-se então para a elaboração de um layout inicial baseado no diagrama de re-

lacionamentos, ignorando-se espaços e restrições de construção.

1 2 34 5

Figura 2.14 – Elaboração do layout inicial (adaptado de MUTHER e WHEELER, 2000).

De acordo com TREIN (2001), o planejamento SLP pode ser usado

seqüencialmente, desenvolvendo inicialmente um layout de um Diagrama de Blocos, e

depois, um layout detalhado de cada planejamento setorial. No final, as relações entre os

postos de trabalho, localização das áreas de estocagem e as entradas e saídas de cada

setor são usadas para determinar a localização relativa das atividades.

A figura 2.15 apresenta um esquema gráfico do SLP apresentado por TREIN (2001).

O procedimento é dividido em três fases denominadas: análise, pesquisa e seleção. Na


análise, coleta-se os dados da área selecionada e os níveis de relacionamento entre os

postos de trabalho e as necessidades e disponibilidade de espaço. Na pesquisa definem-se

as limitações reais e, com a elaboração do diagrama espaço-relacional, elaboram-se as

alternativas de layout. Na terceira fase, avaliam-se as alterações propostas e prepara-se

para a mudança de layout.

Figura 2.15– Procedimento do Planejamento Sistemático de Layout (SLP) (TREIN, 2001).

Capítulo 3 – Técnicas de otimização 19

3 TÉCNICAS DE OTIMIZAÇÃO

3.1 Introdução

A otimização visa determinar a melhor solução de um problema sem ter que

necessariamente testar todas as possibilidades envolvidas. Problemas de otimização são

caracterizados por situações em que se deseja maximizar ou minimizar uma função

numérica de várias variáveis, num contexto em que podem existir restrições. Tanto as

funções como as restrições dependem dos valores assumidos pelas variáveis do modelo ao

longo do procedimento de otimização.

Técnicas clássicas de otimização são confiáveis e possuem aplicações nos mais

diferentes campos de engenharia e de outras ciências. Porém, estas técnicas podem

apresentar algumas dificuldades numéricas e problemas de robustez relacionados com: a

falta de continuidade das funções a serem otimizadas ou de suas restrições, funções não

convexas, multi-modalidade, existência de ruídos nas funções, necessidade de se trabalhar

com valores discretos para as variáveis, existência de mínimos ou máximos locais, etc.

Assim, os estudos de métodos heurísticos com busca controlada por critérios estocásticos,

são uma tendência de uso nos últimos anos, principalmente devido ao avanço dos recursos

computacionais, pois um fator limitante destes métodos é a necessidade de um número

elevado de avaliações da função objetivo (SCHWEFEL e TAYLOR, 1994). Métodos

heurísticos são abordagens que não garantem a geração e a identificação da solução ótima

do problema tratado, mas permitem que novas soluções sejam avaliadas a cada iteração,

sendo adequados quando métodos exatos, como a programação matemática, não são

capazes de gerar soluções dentro de um tempo de busca considerado aceitável pelo usuário

ou, mesmo, quando não se consegue modelar o problema satisfatoriamente usando-se

métodos exatos (RODRIGUES, 2006).

Os algoritmos genéticos são mecanismos de busca heurística baseados nos

processos de seleção natural da luta pela vida e da genética de populações. Trata-se de um

método pseudo-aleatório; portanto, pode-se dizer que é um método, um procedimento de

exploração inteligente, no espaço de parâmetros codificados (BRAGA, 1998).

Segundo SARAMAGO (2003), o surgimento dos algoritmos genéticos ocorreu a partir

da década 1950 quando alguns biólogos buscavam técnicas computacionais para a

simulação de sistemas biológicos. De acordo com SARAMAGO (2003), entre 1960 e 1970,

na Universidade de Michigan, iniciou-se o estudo de algoritmos genéticos como os

conhecidos atualmente. GOLDBERG (1989) apresentou a solução de complexos problemas


de engenharia usando algoritmos genéticos, o que ajudou o método a se tornar popular

entre os pesquisadores.

O Simulated Annealing pertence à classe de métodos que tentam simular os

processos usados pela natureza para resolver problemas difíceis. Neste caso, a analogia é

com o crescimento de um cristal simples de um metal fundido, que corresponde a encontrar

o mínimo local da energia interna do metal, que é uma função da disposição dos átomos

(FARIA E SARAMAGO, 2001).

A Busca Tabu também é uma heurística frequentemente usada em problemas de

otimização combinatória. A origem da Busca Tabu se deu na década de 70 e ela foi

primeiramente apresentada por GLOVER (1986). Segundo VIANA (1998), essa heurística

apresenta três princípios: i) uso de uma estrutura de dados (lista) para “guardar” o histórico

da evolução do processo de busca; ii) uso de um mecanismo de controle para fazer um

balanceamento entre a aceitação, ou não, de uma nova configuração, com base nas

informações registradas na “lista tabu” referentes às restrições e aspirações desejadas; e iii)

incorporação de procedimentos que alternam as estratégias de diversificação e

intensificação.

3.2 Algoritmos Genéticos

Segundo GOMES (2003), os algoritmos genéticos (AG) são usados quando

necessita-se uma ferramenta computacional na busca de soluções para problemas

complexos, como aprendizagem de máquinas, planejamento da movimentação de robôs,

reconhecimento de padrões, detecção de imagem, entre outros. O AG é uma heurística

baseada na teoria da seleção natural de Charles Darwin, onde uma população de indivíduos

evolui baseada na seleção natural, onde o mais forte tem mais chance de sobreviver. Dessa

forma, os AGs adquirem os conceitos de pais, filhos, clonagem, cruzamento (crossover),

mutação, população, entre outros. A população é, por analogia, o conjunto de soluções. Os

AGs partem de uma população de indivíduos como solução inicial, e não de uma única

solução inicial como acontece com o simulated annealing e a busca tabu. A população de

indivíduos pode ser gerada aleatoriamente ou não, na qual cada indivíduo sofre uma

avaliação (aplicação da função objetivo), onde os melhores terão chances de sofrerem

manipulações genéticas, como cruzamento (crossover), mutação, ou até clonagem. A

clonagem faz a cópia de um indivíduo, fazendo com que o mesmo permaneça na população

na geração seguinte.


Outros termos dos sistemas naturais são usados de forma análoga, como um

cromossomo (que fazem a representação da solução ou indivíduo); gene (define uma

característica da solução); alelo (um estado particular do gene); lócus (posição do gene no

cromossomo); genótipo (estrutura) e fenótipo (forma ou modelo dos indivíduos dominantes).

Segundo CORRÊA (2000), o genótipo é a variável independente da função objetivo f(x) e o

fenótipo é a variável dependente, ou seja, é o valor da função objetivo.

VIANA (1998) descreve o conceito de schema ou máscara, que é um modelo de

representação dos cromossomos parecidos através da inclusão de um símbolo especial (*)

na seqüência do gene. Por exemplo, nos cromossomos representados por genes binários (0

ou 1), o schema (*10*1) representa quatro possíveis configurações: (01001), (01011),

(11001) e (11011). A figura 3.1, como mostra CORRÊA (2000), apresenta de forma mais

detalhada esses conceitos citados anteriormente.

Figura 3.1 - Representação de um cromossomo na Biologia e em AGs.

Segundo BEASLEY et al. (2001), os princípios básicos dos AGs foram primeiro

estabelecidos rigorosamente por HOLLAND (1975). Conforme VIANA (1998), os AGs

apresentam as seguintes características:

a) são de uso geral (metas-heurísticas);

b) trabalham unicamente com o valor da função objetivo;

c) técnicas de randomização;

d) utilizam regras probabilísticas;

e) são abrangentes (robustos).

De acordo com BARCELOS (2000), o AG pode ser descrito em seis passos:

a) Inicie uma população de tamanho N, gerando cromossomos aleatoriamente ou não;


b) Para cada cromossomo da população, aplique a função de avaliação (ou função

objetivo);

c) Através de combinação entre os cromossomos selecionados dessa população, faça a

geração de novos cromossomos. Execute recombinação e mutação nestes

cromossomos;

d) Elimine membros da antiga população e obtenha espaço para os novos

cromossomos, mantendo a população com o mesmo tamanho N;

e) Execute a função de avaliação a esses novos cromossomos e insira-os na

população;

f) Se gerou-se solução satisfatória ou o tempo ou número de gerações esgotaram-se,

retorne o melhor cromossomo encontrado. Caso contrário, volte ao passo (c).

3.2.1 Cruzamento (Crossover)

Segundo GOMES (2003), o crossover é a operação de recombinação das estruturas

genéticas da população. Provoca uma diversificação ao gerar estruturas diferentes das

atuais. No crossover escolhe-se dois cromossomos pais aleatoriamente e troca-se partes de

seu padrão genético. Quanto melhor o valor da função de avaliação de um cromossomo,

maior será a chance de ele ser selecionado para o crossover.

De acordo com BARROS NETO (1997), o processo de crossover faz cortes nos

cromossomos pais que serão trocados seguindo uma regra pré-definida. Os cortes podem

ser fixos para todos os cromossomos ou aleatórios. Existem, basicamente, dois tipos de

crossover, sendo crossover em um ou mais pontos do cromossomo ou crossover uniforme.

O operador crossover é aplicado aos indivíduos da população com uma probabilidade

constante, geralmente entre 0,5 e 0,8. A figura 3.2 ilustra o crossover uniforme, no qual cada

gene do descendente é escolhido aleatoriamente dos correspondentes genes dos pais

Figura 3.2 - Crossover uniforme (BARROS NETO, 1997)

GOMES (2003) afirma que entre os vários tipos de crossover, o do tipo uniforme

parece ser o mais robusto. De forma semelhante, BEASLEY et al. (2001) afirma que o

crossover uniforme parece melhor. Se dois cromossomos pais são semelhantes, os

segmentos modificados pelo crossover em dois pontos serão idênticos, gerando


descendentes idênticos aos pais. Com o crossover uniforme há uma menor probabilidade

disso acontecer, tendo a vantagem da ordem dos genes ser irrelevante. Isto significa que

operadores de reordenação são desnecessários, excluindo assim a preocupação sobre o

posicionamento dos genes.

3.2.2 Mutação

VIANA (1998) afirma que: “esta operação corresponde a uma pequena perturbação

numa configuração que tem por objetivo tentar regenerar algum indivíduo que, por ‘culpa’ da

lei da probabilidade, foi eliminado de forma inesperada”.

Na mutação seleciona-se uma posição no cromossomo e muda-se o valor do gene

aleatoriamente para um outro alelo possível, sendo um processo semelhante à busca

aleatória. A mutação segue uma probabilidade, mas ela é menor do que aquela que foi

especificada para o crossover porque, por analogia ao processo de evolução natural das

espécies, a mutação tem um caráter negativo. Essa probabilidade é de no máximo 0,2. A

Figura 3.3 a seguir ilustra uma operação de mutação.

Figura 3.3 - Mutação (BARROS NETO, 1997).

Além dos operadores genéticos (mutação e crossover), o tamanho da população,

representação do cromossomo (ou codificação), critério de parada e a determinação da

função objetivo (ou função de fitness) têm muita importância para que se consiga uma boa

performance do AG.

3.3 Simulated Annealing (SA)

Segundo SILVA (2004), o Simulated Annealing (SA), conhecido em português como

recozimento ou têmpera simulada, foi proposto por KIRKPATRICK et al. (1983), sendo uma

técnica de busca local probabilística baseada em uma analogia com mudança de estado dos

materiais, ao simular o resfriamento lento da matéria, após ser aquecida até o estado líquido

(AARTS, 1989). O SA é a técnica que se popularizou na década passada, e desde então

têm se mostrado um método efetivo de busca para um grande número de problemas.


A analogia com o processo de mudança de estado dos materiais é bastante direta. A

função objetivo substitui a energia, os diversos estados da matéria substituem as possíveis

soluções, os estados meta-estáveis da matéria seriam os ótimos locais e a estrutura

cristalina (considerando um cristal sendo resfriado) sendo o possível ótimo global. O

parâmetro mais importante, e que regula o processo do SA, é a temperatura (T). O valor da

temperatura inicial e o fator de decrescimento dessa temperatura (resfriamento) são fatores

muito importantes para uma boa performance do SA. Este algoritmo se decompõe em duas

grandes buscas sobrepostas. A busca externa controla o término do processo e é baseada

na noção de estado resfriado. A busca interna contém o processo de otimização local ou

intensificação. A variável s* (solução estrela) representa a melhor solução encontrada

durante a execução do algoritmo.

Segundo BLUM e ROLI (2001), o algoritmo começa gerando uma solução inicial

(construída aleatoria ou heuristicamente) e por inicializar a temperatura. Repete-se o

processo de busca até que algum critério de parada seja satisfeito, como por exemplo o

tempo máximo de processamento ou número máximo de iterações, quando é encontrada

uma solução s com função de avaliação, f(s), menor que um valor predefinido, ou um

número máximo de iterações sem alcançar um melhoramento (RODRIGUES, 2006).

O SA também aceita movimentos que piorem a solução vigente. Esses movimentos

não são freqüentes e acontecem seguindo uma probabilidade, o critério de Metrópolis, que é

mostrada na equação 3.1. δE é a diferença entre os valores da função objetivo e tk é o valor

da temperatura na iteração k.

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

ktEEp δδ exp)( Eq. 3.1

É gerado um número aleatoriamente e se o mesmo for menor do que a probabilidade

p(δE), a solução é aceita. Com isso, é possível piorar a solução para que se possa alcançar

outras regiões dentro do espaço de busca (vizinhança) e assim poder chegar posteriormente

a uma solução de melhor qualidade (mais próxima possível da solução ótima global). Fica

claro, através da equação 3.1, que essa probabilidade de aceitação depende muito da

temperatura e da diferença entre os valores da função objetivo das duas soluções que estão

sendo comparadas. Assim, quanto maior a temperatura, maior a probabilidade de aceitação

de uma solução pior do que a solução corrente. Já para uma dada temperatura, quanto

maior a diferença entre os valores da função objetivo, menor a probabilidade de aceitar

movimentos que “degradam” a solução. Na figura 3.4 é apresentada uma formulação geral

do algoritmo de SA.


Figura 3.4 - Formulação geral do SA (NORONHA et al., 2001).

O processo de resfriamento é um fator importante para o SA, mas um resfriamento

que converge para um ótimo global é impraticável, pois necessitaria de um tempo infinito

para atingi-lo. Adotam-se então uma programação com resfriamento mais rápido. Uma das

mais usadas segue uma lei geométrica: Tk+1

= α Tk, no qual k se refere à iteração k e α

estará no intervalo ]0,1[ , que corresponde a um decréscimo exponencial da temperatura.

Geralmente o valor de α oscila entre 0,90 e 0,99.

BLUM e ROLI (2001) também acrescentam que a regra de resfriamento pode variar

durante a busca, com o objetivo de ajustar o balanço entre diversificação e intensificação.

Por exemplo, no início da busca, a temperatura T pode ser constante ou decrescer

linearmente, favorecendo assim mais a diversificação. Então, T pode seguir uma regra,

como a geométrica, para convergir para um mínimo local no fim da busca, ou seja,

intensificado mais do que diversificando.

Existe também uma técnica, comumente usada, no processo do SA chamado de

reannealing. Esse processo nada mais é do que promover um reaquecimento no processo.

Ou seja, o sistema é novamente aquecido. Essa técnica pode ser utilizada em casos quando

é verificado que a solução está permanecendo por muitas iterações sem ser melhorada.

Portanto, é promovido um reaquecimento no sistema com a finalidade de escapar de um

possível ótimo local, para que se possa atingir outras regiões e assim tentar melhorar a

solução.


A meta-heurística Simulated Annealing apresenta as vantagens e desvantagens

descritas a seguir. As vantagens se referem à mesma apresentar uma implementação

simples, pois só visita uma única solução a cada iteração, bastando calcular o valor da

função objetivo da solução vizinha gerada. Além disso, Simulated Annealing pode lidar com

modelos altamente não-lineares, dados caóticos e muitas restrições. Ela é uma técnica

robusta em geral (BUSSETI, 2001a). BUSSETI (2001a) afirma que: “Sua principal vantagem

sobre os outros métodos é a sua habilidade e flexibilidade para se aproximar do ótimo

global. O algoritmo é bastante versátil desde que ele não dependa de alguma propriedade

restritiva do modelo”.

BUSSETI (2001a) também afirma que os métodos SA apresentam a vantagem de

serem facilmente “ajustados”, pois para qualquer sistema estocástico ou não-linear

razoavelmente difícil, um dado algoritmo de otimização pode ser ajustado para aumentar

sua performance, requerendo, subseqüentemente, tempo e esforço para se tornar familiar

com um dado código. A habilidade para ajustar um dado algoritmo, para usar em mais de

um problema, deve ser considerada uma característica importante de uma meta-heurística.

Porém, o SA apresenta algumas desvantagens:

a) Apesar de convergir para a solução ótima, a velocidade de redução de temperatura

exigida implica em visitar um número exponencial de soluções;

b) A princípio é necessário um processo lento de resfriamento e isso resulta em tempos

elevados de processamento;

c) É menos inteligente, pois normalmente só usa a variação do valor da função objetivo

como informação do problema.

No caso do SA implementado pelo autor e seu orientador (denominado SA_Tiago)

foram atingidos bons resultados adicionado-se inteligência no algoritmo, com a proibição por

exemplo dos movimentos de sobreposição de máquinas, pois na prática não é algo viável no

chão de fábrica, embora os problemas apresentados na literatura permitissem esta

sobreposição.

3.4 Busca Tabu (BT)

A Busca Tabu é uma heurística que realiza uma busca na vizinhança da solução

vigente. A partir de uma solução vigente realiza-se uma pesquisa por soluções melhores na

vizinhança desta solução, empregando-se as restrições (contidas na Lista Tabu) para

impedir certos movimentos (ou soluções), por um número definido de iterações (GLOVER,


1997). Isto é, realiza-se uma busca iterativa na vizinhança definindo como nova solução

aquela com melhor valor da função objetivo. Vizinhança é o conjunto de soluções possíveis

de serem geradas a partir de uma solução dada. Caso não ocorram movimentos que

melhorem a solução, em relação à solução vigente, a Busca Tabu realizará o movimento

que degrada menos o valor da função objetivo.

3.4.1 Lista Tabu

A Busca Tabu trabalha com estruturas de memórias entre as quais a mais usada é a

Lista Tabu, onde ficam armazenados os últimos movimentos realizados, com a função de

evitar que a busca fique presa em pontos de mínimo ou máximo local, provocando a

realização de ciclos. Os movimentos armazenados na Lista Tabu ficam proibidos por um

determinado número de iterações, sendo esse número normalmente relacionado com o

número de movimentos possíveis a partir da nova solução vigente e pode ainda ser

relacionada com o número total de iterações do algoritmo (GLOVER, 1997).

3.4.2 Busca de Soluções Vizinhas

Cada solução Xx∈ , onde X representa o conjunto das soluções que podem ser

geradas têm um conjunto associado de soluções vizinhas XxV ⊂)( , que são chamadas de

soluções vizinhas a x. Toda solução vizinha )(' xVx∈ pode ser gerada a partir de x através

da realização de um movimento. Na Busca Tabu, soluções vizinhas são simétricas, ou seja,

x’ é solução vizinha a x se e somente se x é solução vizinha a x’.

3.4.3 Critérios de Aspiração

Na geração de uma solução vizinha, não pode ser realizado um movimento tabu, ou

seja, contido na lista. Mas, com o objetivo de melhorar ao algoritmo, são definidos alguns

critérios que definem quando um movimento tabu pode ser quebrado, ou seja, é realizado

um movimento proibido. Este critério é o “critério de aspiração” e é utilizado se a solução

formada por um determinado movimento proibido for melhor que a melhor solução

encontrada até o momento (GLOVER, 1997, LAGUNA, 1994).

3.4.4 Diversificação e Intensificação

A Busca Tabu utiliza-se de estratégias como a diversificação e a intensificação, que

evita que a busca fique presa ou deixe de explorar algumas regiões. A intensificação permite

que a busca por soluções em uma certa vizinhança mais promissora seja intensificada


nessa região. Durante a intensificação, espera-se por melhoras freqüentes na solução

vigente.

Quando a busca fica “presa” em uma região (de mínimos ou máximos locais), ou

seja, quando são realizadas diversas iterações sem melhora da função objetivo, deve ser

realizada uma diversificação, onde a busca é deslocada para outra região ainda não

explorada. Caso não seja realizada a diversificação, a busca pode ficar presa em

determinada região, sem melhorar a solução e sem conseguir sair desta região, provocando

a ocorrência de ciclos. Por isso, a diversificação permite que o algoritmo faça uma busca

mais abrangente em todo o universo de soluções que podem ser obtidas.

Na figura 3.5 é apresentada a implementação do algoritmo básico de Busca Tabu

(RIBEIRO e SOUZA, 2000). Na linha 1, o algoritmo será executado até que o critério de

parada definido seja atingido. Normalmente, o critério de parada é o número máximo de

iterações realizadas sem melhora na função vigente. No final do algoritmo o valor da melhor

solução encontrada fica armazenada na variável sbest, apresentado na linha 11.

Na linha 2 é gerada a solução inicial, o que sempre ocorre quando o algortimo é

iniciado ou é realizada uma diversificação. Então, na linha 3, a solução armazenada na

variável s é atribuída à variável s* (solução estrela). Na linha 5 faz-se a busca na vizinhança

e são geradas as soluções vizinhas da solução vigente s. Na linha 6 a melhor solução

vizinha encontrada é atribuída à variável s’. Na linha 7 é verificado se a solução s’ é melhor

que a solução s*. Caso afirmativo, na linha 8 a solução armazenada em s’ é atribuída para

s*. O laço entre as linhas 4 e 8 é executado até que o critério de parada da intensificação

ocorra. Este critério é um número máximo de iterações sem que s* seja melhorado. Ao sair

do laço entre as linhas 4 e 8, verifica-se na linha 9 se a solução s* é melhor que a melhor

solução encontrada até o momento. Se s* é melhor então na linha 10 é armazenada na

variável sbest.

Uma alternativa ao uso da diversificação é utilizar as melhores soluções encontradas

até o momento, como fez SILVA (2004) propondo um método estocástico que gera uma

solução baseada na probabilidade de ocorrência dos movimentos das melhores soluções já

geradas, que ficaram armazenadas em uma memória denominada de adaptativa. Isto é

feito combinando-se de maneira aleatória a probabilidade das soluções armazenadas na

“Memória Adaptativa”, proposta pelo autor, e o valor da função objetivo associado a elas. Ao

implementar a memória adaptativa ocorre um aumento do custo computacional por causa da

necessidade de armazenamento das melhores soluções e o cálculo da probabilidade para a

geração de novas soluções. Outras formas de diversificação são a aleatória e vários

movimentos de troca (swap) consecutivos.


1. Enquanto o critério de parada da Diversificação não é atingido, faça:

2. Gerar uma solução inicial (s)

3. s* = s; sbest = s;

4. Enquanto o critério de parada da Intensificação não é encontrada,faça:

5. Gerar a vizinhança de s e selecione a melhor solução vizinha (s')

6. s = s'

7. Se s' é melhor que s* então

8. s* = s'

9. Se s* é melhor que sbest então

10. sbest = s*

11.Retornar sbest Figura 3.5 - Algoritmo básico de Busca Tabu.

3.4.5 Busca Tabu Reativa

Segundo SILVA (2004), na busca tabu reativa faz-se uso de uma lista tabu dinâmica,

ou seja, de tamanho variável, e pode-se penalizar a repetição de soluções evitando que a

busca fique presa em regiões de mínimo ou máximo local e diminuindo a ocorrência de

ciclos, forçando a busca de novas soluções em outras regiões. A mudança no tamanho da

lista tabu pode ser obtida após um dado número de repetições da mesma solução e caso

essa situação ocorra, executa-se o procedimento de diversificação, forçando a busca a sair

da região que está gerando soluções repetidas.

Capítulo 4 - Layout de células de manufatura 30

4 LAYOUT DE CÉLULAS DE MANUFATURA

4.1 Introdução

De acordo com CHWIF et al. (1998), o problema de layout de instalações (Facility

Layout Problem - FLP) visa encontrar uma alocação relativa ótima entre as máquinas.

KOUVELIS et al. (1992) aponta que a alocação ótima das instalações é uma das mais

importantes questões que devem ser resolvidas em estágios iniciais de projeto do sistema

de manufatura. Além disso, os custos de operação podem ser reduzidos, aumentando a

produtividade. Observou-se que 20 a 50% do total de despesas na operação do sistema de

manufatura são relacionadas à manipulação de material e à disposição do mesmo no chão

de fábrica.

4.2 Descrição do problema de layout de instalações

Diversas formulações foram dirigidas na literatura para resolver o problema de layout

de instalações. Um grande número de métodos ou técnicas têm sido propostos e podem

ser grosseiramente classificados em métodos ótimos ou sub-ótimos. Alguns autores

tentaram resolver este problemas usando técnicas de busca em árvore, como Branch and

Bound (BB), busca em feixe (Beam-search - BS) e técnicas derivadas (como FBS, DCBS) .

Outros métodos foram propostos baseados em teoria de grafos (CHWIF et al. (1998)).

A abordagem tradicional na resolução do problema do layout é o uso de uma

formulação matemática combinatorial definida por QAP (TORRES, 2001). O QAP (Quadratic

Assignment Problem) atribui n máquinas ou áreas de atividade a m locais possíveis

conhecidos, com n < m. O objetivo é minimizar os custos de alocação das máquinas nos

locais disponíveis. Para isso, seja ikjhC o custo para alocar as máquinas i e j nas

localizações k e h. Para 1=ikX o departamento i estará localizado em k e 0=ikX , caso

contrário. O QAP é então definido como:

Minimize ∑ ∑∑∑= ===

••=m

kjhikikjh

m

h

n

j

n

iXXCZ

1 1112/1 Eq. 4.1

s.a:

11

=∑=

n

iikX , para k=1, ..., m; Eq. 4.2


1=∑=

m

kiikX , para i=1, ...,n; Eq. 4.3

{ }1,0=ikX , para todo i, k; Eq. 4.4.

A resolução deste problema é então realizada através de algoritmos do tipo branch-

and-bound que fornecem soluções ótimas para um número reduzido de máquinas (até 15

máquinas). Para problemas maiores a solução torna-se difícil, dada a grande quantidade de

combinações possíveis, que é fatorial ao número de máquinas. Outras limitações dessa

formulação são a desconsideração da geometria das áreas das máquinas e a necessidade

de se conhecer previamente os locais disponíveis para a alocação. Devido à complexidade

computacional deste problema, muitas formulações e diversos métodos heurísticos foram

desenvolvidos. Estes métodos heurísticos podem ser classificados em dois grupos: métodos

construtivos e métodos iterativos de melhora (CHWIF et al., 1998).

Recentemente, algumas pesquisas têm sido focalizadas em uma classe especial de

métodos de busca chamados de busca extensiva na vizinhança, que podem ser

considerados como métodos heurísticos genéricos (que podem ser aplicados a qualquer

problema de otimização) ou, mais comumente, métodos meta-heurísticos. A grande

vantagem destes métodos são evitar que a busca fique presa em pontos ótimos locais. Isto

é feito aceitando, as vezes, que certos movimentos de busca piorem a função objetivo. Os

métodos mais conhecidos na literatura são a Busca Tabu (BT) (GLOVER, 1997), Algoritmos

Genéticos (AG) (GOLDBERG, 1989) e Simulated Annealing (SA). HERAGU e ALFA (1992)

compararam a performance do SA e BT em um FLP e eles propuseram um Simulated

Annealing Hibrido (HSA), usando um algoritmo de penalidade modificada. TAM (1991)

utilizou AG e KOUVELIS et al. (1992) aplicou o SA com resultados promissores.

Do ponto de vista geométrico, o FLP pode ser classificado em problemas de layout

discretos e contínuos. A formação aproximada divide o local em uma grade retangular onde

cada célula é associada a uma parte da grade. Se as instalações tiverem áreas desiguais,

elas podem ser divididas em blocos e cada bloco deve ter a mesma área e forma de uma

célula. Embora áreas desiguais possam ser modeladas, formas irregulares são muitas vezes

geradas. De fato, como HERAGU e KUSIAK (1987) relataram, há ainda uma falta de

abordagens de aproximação contínua dos planos de layout ao compará-las com abordagens

discretas. As últimas aproximações têm recebido mais atenção na questão de que todas as

instalações podem ser colocadas em qualquer lugar dentro do espaço físico, sendo

referenciado por MONTREUIL e RATLIFF (1989), HERAGU e KUSIAK (1987), TAM (1992) e

WELGAMA e GIBSON (1993) para aproximação contínua. Além das restrições geométricas


das instalações (área, formas e orientações), WELGAMA e GIBSON(1993) propuseram um

exemplo especial do GFLP (General Facility Layout Problem) também conhecido como MLP

(Machine Layout Problem).

4.3 Formulação do problema

Cada instalação de máquina pode ser representada como blocos retangulares,

considerando o tamanho, orientação e o fator de aspecto (TAM, 1992). De acordo com TAM

(1992), cada máquina tem além da informação da área, a informação do seu fator de

aspecto. Fator de aspecto indica quanto as medidas de largura e altura da cada máquina

pode variar, porém mantendo a mesma área inicial. O fator de aspecto fai do bloco i é

definido como:

maxmin arg ii

ii fa

wh

uralalturafa ≤=≤ Eq. 4.5

ou

minmax

1arg

1

ii

i

i fawh

uralaltura

fa≤=≤ Eq. 4.6

onde minifa e maxifa são respectivamente os fatores de aspecto mínimo e máximo.

Cada bloco i pode ser modelado como tendo área Ai (tal que Ai = hi*wi), sendo definido

um limite inferior ( minifa ) e superior ( maxifa ) de ]),[( maxmin iii fafafafa ∈ . De acordo com o

fator de aspecto, os blocos podem ser rígidos, ou seja, ter o maxmin iii fafafa == (quando

não podem variar de tamanho) ou flexíveis (quando as suas arestas podem variar de

tamanho, ou seja, maxmin iii fafafa ≤≤ ).

No caso do MLP (Machine Layout Problem), todos os blocos (máquinas) são

considerados como blocos rígidos. Adicionalmente, podem ser considerados pontos de

coleta (pick-up), indicados com a letra P, e saída (drop-off) , indicados com a letra D,

seguindo a abordagem feita por WELGAMA e GIBSON (1993). Basicamente são seis as

configurações das máquinas com posição relativa diferente de pontos de coleta e saída que

podem ser especificados. Conseqüentemente, um bloco pode ser colocado de acordo com

diferentes orientações, respeitando cada configuração dos pontos de coleta e saída, como

pode ser observado na figura 4.1.


Figura 4.1 - Diferentes orientações de acordo com a configuração (CHWIF, 1998).

A distância medida entre os blocos i e j é considerada linear, então:

jijiij yyxxd −+−= Eq. 4.7

onde (xi , yi) e (xj , yi) são as coordenadas dos bloco i e j, respectivamente. No GFLP, as

distâncias são medidas a partir do centróide dos blocos, visto que no MLP são medidos a

partir dos pontos de coleta e saída. A figura 4.2 apresenta um exemplo da modelagem

geométrica de dois blocos i e j (CHWIF et al., 1998). Para as máquinas i e j:

maxmin iii fafafa ≤≤ Eq. 4.8

Dados das máquinas

),,( maxmin iii fafaAi = Eq. 4.9

Se i é rígida, então:

maxmin iii fafafa == Eq. 4.10

Área:

iii hwA ∗= Eq. 4.11.

4.3.1 Função objetivo

A função objetivo (f), dada a seguir, contém basicamente o total de custo que deve ser

minimizado, que no caso é a distância total percorrida por todas as peças do problema. A


função penalidade (Iij) é adicionada ao custo de movimentação para evitar uma

sobreposição dos blocos. Isto é necessário desde que o método de otimização adotado

resolva problemas sem restrições de sobreposição. Os custos fixos são descartados, na

função objetivo, porque eles tornam-se insignificantes em um longo período em comparação

aos custos de movimentação. Assim, a função objetivo tem a forma apresentada equação

4.12. A primeira parte da equação 4.12 indica a distância a ser percorrida multiplicada pela

demanda. A segunda parte indica a penalização por sobreposição, caso ela ocorra.

Figura 4.2 - Modelamento geométrico do problema (adaptado de CHWIF,1998).

ij

n

jij

n

iijij

n

j

n

iIωβddemαf ∑∑∑∑

≠====+=

,11112 Eq. 4.12

Eq. 4.13

jiji

ij xxww

B −−+

=2 Eq. 4.14

jiji

ij yyhh

C −−+

=2 Eq. 4.15

)1(1,11

−=

∑∑≠==

nn

demijn

jj

n

iω Eq. 4.16,

onde:

ijdem é a demanda de interação/fluxo entre a máquina i e j;

ω é o fator de interação/fluxo;


jijiij yyxxd −+−= onde ( ) jikyx kk ,,, = são as coordenadas do centróide do

bloco k no caso do GFLP;

pjpipjpiij yxxxd −+−= onde ijd é a distância percorrida e ( )pkpk yx , e

( ) jikyx dkdk ,,, = são respectivamente, as coordenadas dos pontos de coleta

e saída da máquina k, no caso do MLP.

kw é a largura da máquina k, jik ,= ;

kh é a altura da máquina k, jik ,= ;

kk yx , são as coordenadas do centróide do bloco k, jik ,= ;

α é o peso da função custo;

β é o peso da função de penalidade;

n é o número de máquinas.

A função de penalidade (Iij) é igual a zero se o bloco i e o bloco j não estiverem

sobrepostos e positiva em caso contrário. A figura 4.3 exemplifica a configuração dos blocos

a respeito da sobreposição.

Figura 4.3 - Configuração dos blocos a respeito da sobreposição (CHWIF et al., 1998).

Capítulo 5 – Metodologia aplicada 36

5 METODOLOGIA APLICADA

No capítulo 3 foi dada ênfase à formação de células, a partir da Tecnologia de Grupo,

e ao Planejamento Sistemático de Layout porque foi (e ainda é em muitas empresas) assim

que o problema de layout foi abordado, antes da aplicação de técnicas de pesquisa

operacional. No presente trabalho, propõe-se a solução dos problemas discutidos na seção

anterior (4.3) utilizando-se o método de Busca Tabu, já que não é do conhecimento do autor

(e de seu orientador) que tais problemas tenham sido resolvidos usando a Busca Tabu.

Como método de pesquisa, será utilizada a implementação do algoritmo de Simulated

Annealing apresentado por CHWIF et al. (1998), além de um algoritmo de Simulated

Annealing proposto pelo autor e ainda a implementação de dois algoritmos de Busca Tabu,

possibilitando fazer as comparações através do método da ANOVA, apresentado na seção

5.1, entre estes tipos de heurísticas.

5.1 Análise de Variância (ANOVA)

Esta seção baseia-se em BOX et al. (1978). A análise da variância (ANOVA) é um

método estatístico no qual através de testes de igualdade de médias, verifica-se se os

tratamentos produzem mudanças sistemáticas em alguma variável de interesse. É um

procedimento usado na comparação de três ou mais tratamentos, existindo muitas variações

devido aos diferentes tipos de experimentos que podem ser realizados. Para se comparar as

médias de vários experimentos, dependendo do número de experimentos, pode existir um

número muito grande de pares de experimentos a serem analisados para serem

comparados. Por exemplo, em 8 experimentos tem-se: Número de pares = [a(a – 1)]/2 pares

possíveis de experimentos a comparar; ou seja: (8x7)/2=28 pares. Para estes casos é

possível utilizar a análise da Variância, para testar a hipótese de igualdade entre as médias

dos experimentos.

5.1.1 Tratamento

Um tratamento (pode ser chamado também de fator) é uma condição imposta ou

objeto que se deseja medir ou avaliar na execução do experimento, sendo utilizados

normalmente mais de um tratamento (i.e.: equipamentos de diferentes marcas, diferentes

tamanhos de peças, diferentes valores atribuídos a uma variável de um algoritmo, entre

outros). Os fatores podem ser variáveis quantitativas (quando dispostos em uma ordem; i.e.:

níveis de temperatura, quantidade de lubrificantes, entre outros) ou qualitativas (quando não


são dispostos em ordem; i.e.: marcas de equipamentos, variedade de plantas, entre outros.),

sendo chamados de variáveis independentes (i.e.: se o fator for a temperatura, as diferentes

temperaturas são os níveis do fator) e a variável resposta do fator é chamada de

dependente. Na aplicação desta análise há duas suposições básicas a serem satisfeitas:

a) As amostras devem ser aleatórias e independentes;

b) As amostras devem ser extraídas de populações normais.

5.1.2 Unidade experimental ou parcela

Unidade experimental ou parcela é onde se faz a aplicação do tratamento, sendo

então ela que fornece os dados para serem avaliados (i.e.: um motor, uma peça de motor,

entre outros) podendo serem formadas por grupos ou indivíduos.

5.1.3 Repetição

A repetição é o número de vezes que um fator aparece no experimento, dependendo

do tipo do experimento (delineamento), dos recursos disponíveis, da variabilidade ou da

variável resposta. Estimar um número satisfatório de repetições pode ser algo difícil,

existindo várias metodologias com essa finalidade, sendo muito importante a experiência do

pesquisador sobre o algoritmo.

A média é calculada conforme a equação 5.1. A hipótese nula (H0), na ANOVA,

considera que não existe diferença entre as médias de diferentes amostras (ou

tratamentos), isto é dado por:

H0 : μ1 = μ2 = μ3 = μ4

A hipótese alternativa é HA : μi ≠ μj, para pelo menos um par (i, j).

i

n

jij

i n

YY

i

∑=

+ =1 Eq. 5.1,

onde: • Yij é a observação do i-ésimo tratamento na j-ésima unidade experimental ou

parcela;

• μ é o efeito constante (média geral) ;

• n é o número de experimentos.


A análise da variância para cada conjunto de resultados obtidos com os algoritmos é

calculada conforme a equação 5.2:

1

)(1

2

2

−

+−=∑=

n

iYS

n

jij

i Eq. 5.2

Na equação 2.3 combinam-se as estimativas das variâncias:

∑∑

−

−=

)1()1( 2

2

i

iiR n

SnS Eq. 5.3

A variabilidade entre os tratamentos é calculado pela equação 5.4, onde ST

2 é

chamado de Quadrado Médio de Tratamento, ou Quadrado Médio entre Tratamentos. Na

equação 5.4 o termo +iY representa a média do tratamento i e ++Y representa a média dos

tratamentos.

11

2

12

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=∑∑=

+++=

k

YYS

k

ii

i

jT Eq. 5.4

A comparação entre essas duas estimativas permite testar a hipótese de igualdade

das médias do tratamento. A comparação é feita através da equação 5.5. Essa razão é

denominada razão F ou Fexp.

SSFR

T2

2

exp = Eq. 5.5

Neste ponto há duas estimativas da variância do erro, uma baseada na variância

dentro dos tratamentos ( 2RS ) e outra baseada na variância entre os tratamentos ( 2

TS ). Se a

hipótese de igualdade (H0) for aceita, não se pode dizer que existem diferenças significativas

entre as médias. Caso a hipótese seja diferente, a diferença entre elas pode ter sido

causada pela diferença entre as médias analisadas. O valor esperado de Fexp é

aproximadamente igual a 1 se H0 for verdadeiro. Quanto maior o valor de F, maior é a

evidência de que H0 é falso. A estatística Fexp é o critério utilizado para testar a hipótese H0.

Como o critério envolve a comparação de duas estimativas de variância, o procedimento é

denominado de Análise da Variância (ANOVA).


Uma medida da variabilidade total das observações é dada pela decomposição da

Soma de Quadrados Total, conforme a equação 5.6,

SQtotal = SQT + SQR Eq. 5.6,

onde :

• SQT é o numerador de 2TS , denominado soma de quadrados devido aos

algoritmos;

• SQR é o numerador de 2RS , denominado Soma de Quadrado de Resíduo ou Soma

de Quadrado do Erro;

A tabela 5.1 representa a distribuição das equações na tabela ANOVA.

Tabela 5.1 - Disposição das equações na Tabela ANOVA.

Fonte Graus

de Liberdade

Soma

Dos Quadrados

Quadrados Médios

Teste FEXP

Algoritmos k – 1 SQT QMT QMT / QMR

Resíduo n – K SQR QMR

Total N – 1 SQTOTAL

Quanto maior o valor do Fexp, maior é a evidência contra H0.

5.1.4 Experimentos Fatoriais

Em determinadas situações, busca-se a melhor combinação de níveis de fatores que

maximizem o rendimento. Usa-se como fator para as variáveis que estão sendo estudadas,

daí o nome de experimento fatorial, para a classe de planos experimentais que busca

analisar o efeito de um conjunto de fatores em uma determinada resposta. Um experimento

fatorial 2k completo envolve um plano com k fatores, cada um com dois níveis. Como fatores

têm todos dois níveis, adota-se a notação (-) para o nível “fator ausente” e (+) para o nível

“fator presente”. A tabela 5.2 apresenta o plano experimental com a notação adotada.


Tabela 5.2 - Plano experimental para algoritmo SA.

Rodada Temperatura inicial

Temperatura de resfriamento

Beta

1 - - -

2 - - +

3 - + -

4 - + +

5 + - -

6 + - +

7 + + -

8 + + +

A primeira informação desejada é obter o efeito de cada fator na resposta. O efeito de

um fator é definido como a mudança que ocorre na resposta quando um fator muda de um

nível para o outro (efeito principal do fator). Calcula-se a média do rendimento em cada um

dos níveis do fator e calcula-se a diferença entre essas médias. Para o cálculo dos

rendimentos são apresentadas as equações 5.7, 5.8, 5.9, 5.10, 5.11 e 5.12.

∑∑∑∑∑∑∑∑= = = == = = =

=20

1

2

1

2

1

2

11 1 1 1 i j k lijkl

n

i

p

j

q

k

r

lijkl YY Eq. 5.7

[ ]160

220

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1 1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=∑∑∑∑∑∑∑∑= = = == = = = i j k l

ijkl

n

i

p

j

q

k

r

lijkl Y

npqr

YY Eq. 5.8

[ ] ∑∑∑∑∑∑∑∑= = = == = = =

==20

1

2

1

2

1

2

1

2

1 1 1 1

2

i j k lijkl

n

i

p

j

q

k

r

lijkl YYABCS Eq. 5.9

[ ] ∑ ∑∑∑∑∑∑∑

= =

= = == = =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=p

j j

i k lijkl

n

i

q

k

r

lijkl Y

nqr

YA

1

2

1

220

1

2

1

2

1

2

1 1 1

80 Eq. 5.10

[ ] ∑ ∑∑∑∑∑∑∑

= =

= = == = =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=q

k k

i j lijkl

n

i

p

j

r

lijkl Y

npr

YB

1

2

1

220

1

2

1

2

1

2

1 1 1

80 Eq. 5.11


[ ] ∑∑∑∑

∑∑∑∑

=

= = =

=

= = =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=2

1

220

1

2

1

2

1

1

2

1 1 1

80l

i j kijklr

l

n

i

p

j

q

kijkl Y

npq

YC Eq. 5.12

Se, por exemplo, o efeito médio de um fator foi estimado como sendo 23, sendo esse

valor a diferença em rendimento entre os níveis deste fator. A questão é: esse valor

depende ou não dos níveis dos outros fatores? Se não depende, diz-se que não há

interação, caso contrário, diz-se que há interação. O cálculo da interação entre os fatores é

apresentado pelas equações 5.13, 5.14 e 5.15:

[ ] ∑∑∑∑

∑∑∑∑

= =

= =

= =

= =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=2

1

2

1

210

1

2

1

1 1

2

1 1

20j k

i lijklp

j

q

k

n

i

r

lijkl Y

nr

YAB Eq. 5.13

[ ] ∑∑∑∑

∑∑∑∑

= =

= =

= =

= =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=2

1

2

1

220

1

2

1

1 1

2

1 1

40j l

i kijklp

j

r

l

n

i

q

kijkl Y

nr

YAC Eq. 5.14

[ ] ∑∑∑∑

∑∑∑∑

= =

= =

= =

= =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=2

1

2

1

220

1

2

1

1 1

2

1 1

40k l

i jijklq

k

r

l

n

i

p

jijkl Y

np

YBC Eq. 5.15

A interação dos três fatores é mais complexa. Ela é a diferença entre o efeito da

interação de dois fatores com respeito aos dois níveis do terceiro fator. Isto é apresentado

na equação 5.16.

[ ] ∑∑∑∑

∑∑∑∑

= = =

=

= = =

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=2

1

2

1

2

1

220

1

1 1 1

2

1

20j k l

iijklp

j

q

k

r

l

n

iijkl Y

n

YABC Eq. 5.16

Cada fator tem apenas dois níveis, então diz-se que cada fator tem 1 grau de

liberdade. Os graus de liberdade de uma interação é igual ao produto dos graus de

liberdade de cada fator que compõe a interação. Como cada fator tem 1 grau de liberdade,

cada interação tem também 1 grau de liberdade. O número de graus de liberdade de um


experimento é igual ao número de observações menos 1. Um experimento fatorial 2k tem

portanto 2k–1 graus de liberdade. A tabela 5.3 apresenta um algoritmo para o cálculo dos

efeitos principais e interações.

O desvio padrão é o mesmo para qualquer efeito fatorial. Isso é devido ao fato que o

cálculo de qualquer efeito colateral usa todas as observações o mesmo número de vezes. O

desvio padrão de um efeito colateral em um experimento 2k que é replicado n vezes é dado

pela equação 5.17.

Tabela 5.3 - Tabela resumo da análise de fatores.

Graus de liberdade SQ MQ F

A (p – 1) = 1 [A] – [Y] SQA / glA MQA / MQResíduo

B (q – 1) = 1 [B] – [Y] SQB / glB MQB / MQResíduo

C (r – 1) = 1 [C] – [Y] SQC / glC MQC / MQResíduo

AB (p – 1) (q – 1) = 1 [AB] – [A] – [B] + [Y] SQAB / glAB MQAB / MQResíduo

AC (p – 1) (r – 1) = 1 [AC] – [A] – [C] + [Y] SQAC / glAC MQAC / MQResíduo

BC (q – 1) (r – 1) = 1 [BC] – [B] – [C] + [Y] SQBC / glBC MQBC / MQResíduo

ABC (p – 1)(q – 1)(r – 1) =

1

[ABC] – [AB] – [AC] –

[BC] + [A] + [B] + [C] –

[Y]

SQABC / glABC MQABC / MQResíduo

RESÍDUO pqr(n – 1) = 152 [ABCS] – [ABC] SQA / glA

TOTAL pqrn – 1 = 159 [ABCS] – [Y]

222

1).(. Rk Sn

efeitoPD −= Eq. 5.17

Sendo SR2 calculado conforme a equação 5.18:

2

1

2

1

2 )()1(2

1iij

n

jikR yyn

Sk

−−

= ∑∑==

Eq. 5.18,

e yij a j-ésima replicação da i-ésima combinação dos fatores. Um efeito fatorial é significante

se o intervalo, dado pela equação 5.19, não contiver o número zero.

..*2 PDEfeito ±= Eq. 5.19.


5.2 Características do problema de formação de layout

Como visto no capítulo 4, o problema da formação do layout de células de manufatura

pode ser uma das mais importantes questões que devem ser resolvidas em estágios iniciais

de projeto do sistema de manufatura, pois consegue-se que os custos de operação possam

ser reduzidos, aumentando a produtividade.

De acordo com CHWIF et al. (1998) já foram descritas várias técnicas de resolução

para este problema, conforme exposto em 4.2.

- Algoritmos Genéticos

- Simulated Annealing

- Busca em árvore, como Branch and Bound (BB)

- Busca em feixe (Beam-search BS) e técnicas derivadas (como FBS, DCBS)

- Teoria de grafos

Na implementação deste trabalho deve ser ressaltado que será calculada a distância

percorrida por cada peça, em seu roteiro de fabricação, de um problema retirado de TAM

(1992). Neste capítulo serão apresentados os algoritmos analisados neste trabalho para a

solução do problema proposto. Serão descritos dois algoritmos que usam o Simulated

Annealing e outros dois algoritmos que usam Busca Tabu.

5.2.1 Geração da Solução Inicial ao Usar Métodos Heurísticos

O primeiro passo na execução do programa para qualquer das heurísticas

implementadas é a geração da solução inicial, conforme interface apresentada na figura 5.1.

A solução inicial deve ser gerada na primeira iteração antes da execução de qualquer dos

algoritmos, pois a geração da solução inicial em ambos os casos é igual. A solução é gerada

considerando a quantidade de máquinas definidas pelo usuário, sendo feito um sorteio

aleatório que pode gerar soluções iniciais infactíveis, o que não representa problema, pois

durante a execução do algoritmo as soluções viram factíveis. Um exemplo de solução inicial

é apresentado na figura 5.2, para o problema de 30 máquinas. Sempre que uma solução

aleatória for gerada, é apresentado o valor da sua função objetivo.


Figura 5.1 - Geração da solução inicial como primeiro passo na execução do programa.

Figura 5.2 - Forma de cálculo de posicionamento das máquinas.

A alocação das máquinas na geração da solução inicial é realizada da seguinte

maneira: i) as máquinas são alocadas lado a lado em linha, até chegar ao fim da linha, que

representa a barreira física das instalações reais, e então; ii) são alocadas na linha

imediatamente abaixo da linha anterior, respeitando a maior altura de máquina da linha

anterior, como é apresentado na figura 5.2. Esta forma de alocação das máquinas permite

que sejam formados corredores horizontais entre cada linha, o que é na realidade


necessário para o fluxo de peças. O pseudo-código da função SolucaoInicial é apresentado

na figura 5.3, abaixo. Na linha 2 é definido o total de máquinas que serão usadas no

problema, na linha 3 é realizada a verificação se é a primeira vez que está sendo gerada

uma solução inicial ou se está sendo feito o reaquecimento no caso do SA ou a

diversificação no caso da BT.

01. Função SolucaoInicial

02. Atualizar contador

03. Sorteia máquina i

04. solucao(i) = contador

05. Enquanto contador <= total de máquinas, retorne para a linha 2

06. Calcula a função objetivo

07. Retorna a SolucaoInicial

Figura 5.3 - Pseudo-código da função de geração da solução inicial.

5.3 Busca na Vizinhança

A busca na vizinhança possibilita ao algoritmo a exploração das soluções “vizinhas”,

que podem melhorar a solução encontrada até a iteração corrente. A avaliação da

vizinhança é, em geral, o passo que consome mais tempo do processo de busca.

Durante a execução dos algoritmos são escolhidas as máquinas que sofrerão

mudança de orientação, fator de aspecto ou troca de posição, e a forma de avaliar é

fazendo uma classificação com relação aos custos de deslocamento. Essa classificação

considera a distância total percorrida por todas as máquinas para aquela solução gerada.

Opcionalmente, em outro caso poderiam ser utilizados os custos associados especificados

por unidade de distância. Na figura 5.4a tem-se um exemplo de solução inicial s gerada

aleatoriamente e na figura 5.4b tem-se a sua solução vizinha s’.


Figura 5.4 a e b - Geração da solução s e sua solução vizinha s’.

5.4 Abordagem de Busca Tabu Proposta

Duas heurísticas de busca tabu (BT) foram propostas para resolver o problema de

layout de células de manufatura, levando-se em conta o volume de peças que é

transportado entre as diversas máquinas que compõem o sistema. Basicamente, a única

diferença entre as duas abordagens de busca tabu está no procedimento de diversificação:

• No algoritmo intitulado Busca Tabu Normal gera-se aleatoriamente uma nova solução a

cada diversificação;

• A diversificação no algoritmo intitulado Busca Tabu Híbrida consiste na realização de 20

iterações do simulated annealing, antes de reiniciar a busca tabu.

Devido a esta diferença única, citada acima, entre os dois algoritmos, o restante desta

seção será descrito como um algoritmo único, já que é comum às duas abordagens desta

seção.

A abordagem proposta divide-se em duas etapas que são resolvidas iterativamente.

Ambas as etapas são procedimentos que não foram observados pelos autores em trabalhos

anteriores para problemas similares. Na primeira etapa, a busca tabu é usada para executar

a alocação das máquinas na formação do layout, respeitando ao mesmo tempo a área

disponível, o número de máquinas e a minimização da função objetivo.

A idéia de usar a BT como procedimento proposto para resolver o problema veio da

ausência deste tipo de implementação descrita em literatura. Este procedimento heurístico

explora possíveis soluções para a vizinhança de uma solução corrente. Ele é utilizado para

identificar a melhor solução vizinha de uma solução atual utilizando estratégias de


movimentação definidas previamente. A melhor solução encontrada na vizinhança (da

solução atual) substituirá a solução atual e a busca na vizinhança será reiniciada

novamente. Várias estruturas de memória podem ser adotadas no intuito de alimentar a

busca e para evitar que a busca fique presa em regiões de ótimos locais.

Muitas estruturas de memória de BT podem ser encontradas na literatura como

implementado em GLOVER E LAGUNA (1997). Mas existe uma estrutura de memória (Lista

Tabu) que é sempre encontrada na BT. Quando um movimento é realizado e que oferece a

melhor solução vizinha, este movimento torna-se proibido (ou tabu) por N iterações, ou seja,

este movimento é inserido na lista tabu em uma tentativa de evitar ciclos do algoritmo. Um

movimento que está na lista tabu só é aceito se oferecer a melhora da solução encontrada

até aquele ponto da busca. Este procedimento é o critério de aspiração. A BT é

caracterizada por duas situações. A primeira situação é chamada de intensificação, quando

a procura se aproxima de uma região promissora e esta região tende a ser intensamente

pesquisada. A segunda situação é quando a busca fica presa em uma região de ótimo local,

daí é realizada uma diversificação. Diversificação é obtida gerando-se uma nova solução

inicial (algoritmo Busca Tabu Normal) ou realizando-se consecutivos movimentos que

retirem a busca da região onde ficou presa (algoritmo Busca Tabu Híbrida), sendo assim

reiniciada a busca.

O pseudo-algoritmo de BT implementado é apresentado na figura 5.5. Foi

implementado o algoritmo com o uso da diversificação porque verificou-se, durante os

testes, que a busca ficava presa em regiões de ótimo local, ou seja, acabavam se repetindo

as soluções por um número muito grande de iterações, impedindo a melhora da função

objetivo. A notação adotada neste algoritmo foi de que a solução vigente tem o seu valor

atribuído a s, a melhor solução é identificada como solução vizinha s' e a melhor solução

global é definida como sbest.

A solução inicial é gerada aleatoriamente e então tem o seu valor atribuído a s

(primeira solução vigente). As sub-rotinas de busca na vizinhança são chamadas na linha 4

do algoritmo principal da BT. Como mencionado anteriormente, a fim de melhorar a

eficiência da BT, é necessário eliminar da busca as soluções infactíveis ou pouco

promissoras. Com esse objetivo os trabalhos de CAUX (2000), XAMBRE (2003), LEI e WU

(2005) e LEI e WU (2006 utilizaram dois movimentos: i) "swap", quando duas máquinas

trocam de lugar; e ii) alteração no fator de aspecto e/ou rotação da peça.

É na linha 5 onde é realizada a aspiração, ou seja, onde os movimentos constantes

na lista tabu (proibidos) podem ocorrer, desde que melhorem a solução vigente, como

ocorre na linha 6. Como pode ser observado na figura 5.6, a cada solução vizinha aceita,

faz-se uma troca no posicionamento entre a primeira e a segunda metade das máquinas, ou


seja, esta foi a maneira encontrada para forçar uma diversificação de cada solução vizinha

aceita, pois verificou-se que a busca ficava frequentemente presa em regiões de ótimo local.

Esta heurística manteve a característica apresentada na figura 4.5, onde pela forma como

as máquinas são alocadas formam-se os corredores necessários para o fluxo das peças no

chão de fábrica.

1. Gerar uma solução inicial (s)

2. sbest = s;

3. Enquanto o critério de parada não for satisfeito, faça :

4. Gerar a vizinhança de s e selecione a melhor solução vizinha(s')

5. Se s' é melhor que sbest, então: sbest = s'

6. Atualizar solução vigente: s = s’

7. Retornar sbest

Figura 5.5 - Pseudo-código do algoritmo de BT implementado.

Na geração da solução vizinha testa-se o movimento escolhido começando com a

máquina que está na primeira posição com a máquina que ocupa a posição seguinte, ou

seja, testa-se a permutação da máquina que está na posição 1 com a máquina que está na

posição 2, 3,..., até n (o número total de máquinas). Posteriormente e como uma expressão

geral, testa-se a permutação da máquina na posição i com a máquina na posição i+1, i+2, ...

até n. Quando a troca que produzir o melhor valor da função objetivo for identificada, ela

será aceita como nova solução vigente (figura 5.6) e esse movimento irá para a lista tabu

por um número definido de iterações.

Considerando-se que o número de movimentos tabu é igual a 3, se o primeiro

movimento aceito (1ª iteração) for entre as máquinas 2 e 4, estas máquinas permanecerão

tabu até a quarta iteração, como pode ser visto na primeira linha da tabela 5.4. Na segunda

iteração, as máquinas 5 e 8 foram movidas, ficando tabu até a quinta iteração, como pode

ser visto na segunda linha da tabela a seguir. Na terceira iteração, as máquinas 7 e 5

(devido ao critério de aspiração) foram movidas, ficando tabu até a sexta iteração, como

pode ser visto na terceira linha da tabela a seguir. O tamanho da lista tabu e o número de

iterações, que a máquina permanece na Lista Tabu, são as variáveis que foram modificadas

ao longo dos testes do algoritmo.

Tabela 5.4 Lista tabu para as três primeiras iterações. Máquinas

iteração 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 -99 4 -99 4 -99 -99 -99 -99 -99 -99 2 -99 4 -99 4 5 -99 -99 5 -99 -99 3 -99 4 -99 4 6 -99 6 -99 -99 -99


Figura 5.6 - Primeiro movimento aceito entre as máquinas 2 e 4.

5.5 Implementação do Algoritmo de Simulated Annealing para o Caso Proposto por Chwif et al. (1998)

O Simulated Annealing (SA) conforme foi descrito no capítulo 3.3, é uma técnica de

busca local probabilística. O SA se baseia em uma analogia com a mudança de estado dos

materiais, ao simular o resfriamento lento da matéria, após ser aquecida até o estado líquido

(AARTS, 1989), visando atingir uma estrutura cristalina de energia interna mínima.

A partir do momento que é gerada uma solução inicial no espaço de S (conjunto de

todas as soluções) e calculada sua função objetivo f, a proposta é encontrar uma solução

que minimize a função objetivo. O SA faz uso de um processo iterativo de geração da

vizinhança da solução vigente s. Quando a solução vigente s é definida, ocorre a geração de

uma solução vizinha s’. Com cada nova solução vizinha s’, provoca-se o resfriamento da

temperatura inicial a cada iteração, até que algum critério de parada seja satisfeito. O SA

pode permitir a piora da função objetivo, aceitando soluções piores que a solução vigente,

para evitar que a busca fique presa em regiões de ótimo local. A aceitação de soluções

piores se dá em função do critério de Metrópolis, onde a aceitação de soluções piores é

dada por Te /δ− , onde δ é a diferença de custo entre a solução vigente e a solução vizinha, e

T é a temperatura atual. Conforme já foi descrito no capítulo 2, quanto maior for a

temperatura T, maior é a probabilidade de aceitação de movimentos que piorem a solução

vigente. Na prática, usam-se programações de resfriamento mais rápidas. Uma das mais

usadas segue uma lei geométrica: Tk+1

= α Tk, no qual k se refere à iteração e α = ]0,1[ ; que

corresponde a um decréscimo exponencial da temperatura. Os valores de α usados foram


0,99 e 0,9999. O algoritmo realiza o resfriamento até uma temperatura final fT . Na figura

5.7 é apresentado o pseudo código do algoritmo de SA implementado.

1. Gerar solução inicial ( 0s )

2. s = 0s

3. Escolher temperatura inicial 0TT = , T>0;

4. Enquanto o sistema não esteja resfriado ( fTT ≤ ), faça:

5. Gerar solução vizinha s’

6. )(´)( sfsfδ −=

7. Se 0<δ , então: s = s’

8. Senão,

9. Gerar número aleatório r no intervalo (0,1)

10. Se r < )/( Tδe − , então:

11. s = s’

12. k=k+1

13. Fim do Se

14. T = α*T

14. Fim do enquanto

Figura 5.7 – Pseudo código de SA básico.

Segundo CHWIF et al. (1998), o valor da temperatura está diretamente relacionado

com a taxa de aceitação da solução vizinha. A taxa de aceitação (TA) para uma

determinada temperatura é definida na equação 5.20:

NNTTA r−= 1)( Eq. 5.20,

onde rN é o número das soluções vizinhas descartadas para uma mesma temperatura T.

5.5.1 Geração da solução vizinha s’

Dois procedimentos foram implementados para gerar a vizinhança da solução vigente,

e a cada solução é feito um sorteio para definir qual dos movimentos será realizado. No

primeiro caso é realizada uma permutação entre duas máquinas sorteadas aleatoriamente,

sem modificação do fator de aspecto e orientação da máquina, conforme é mostrado na

figura 5.8a e 5.8b. Para o segundo caso, existem três movimentos possíveis: i)

deslocamento da máquina para esquerda, direita, acima ou abaixo; ii) rotação da máquina,

como pode ser visto na figura 5.9a e 5.9b; ou iii) alteração do fator de aspecto.


Figura 5.8 a e b – Permutação entre duas máquinas.

No algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998), o cálculo da função objetivo e o

posicionamento das máquinas são realizados tomando como referência o centróide da

máquina. Assim, pode haver situações onde ocorrerão sobreposições entre as máquinas,

como pode ser observado na figura 5.11.

Figura 5.9 a e b – Rotação da máquina.

Os dois procedimentos para a geração da solução vizinha são descritos no pseudo

código mostrado na figura 5.10. No segundo caso (envolvendo deslocamento, rotação ou

mudança no fator de aspecto da máquina) na geração da solução vizinha, a chance de

escolha entre girar ou alterar fator de aspecto/orientação é de 50%, bem como a chance de

escolha entre a orientação de 90º ou 180º. No caso de deslocamento da máquina, o valor do


deslocamento é dado por p, onde k é uma porcentagem, h é a altura máxima e w é a largura

máxima da máquina, conforme mostrado na equação 5.21.

1. Sorteia o tipo de movimento

2. Se for sorteada a permutação de duas máquinas, então:

3. Sorteia máquinas A e B a serem permutadas

4. Troca as coordenadas dos centróides, onde (xa,ya) e (yb,yb) são as

coordenadas dos centróides da máquinas A e B:

5. x=xb;

6. y=yb;

7. xb=xa;

8. yb=ya;

9. xa=x;

10. ya=y.

11. Senão, se escolher o movimento aleatório da máquina A;

12. Sorteia a direção do movimento e então:

13. Se movimento for para cima: pyy AA += ;

14. Se movimento for para baixo: pyy AA −= ;

15. Se movimento for para esquerda: pxx AA −= ;

16. Se movimento for para direita: pxx AA += .

17. Senão, se for alterar o fator de aspecto:

18. Sorteia o fator tal que );/1,/1),,(( infsupsupinf AAAAA fafafafaectofatordeaspfa =

19. Senão, se for fazer rotação:

20. Sorteia se faz rotação de 90º ou 180º

21. Fim se

Figura 5.10 – Pseudo código de SA que decide qual movimento será realizado.

)(100

whkp += Eq. 5.21.

Verificou-se que no algoritmo de SA proposto por CHWIF et al. (1998), a função

objetivo apresentada na equação 4.12 possui o fator de penalidade β que controla a

sobreposição das máquinas, e durante a implementação do algoritmo dependendo do valor

atribuído para esta variável ocorreu a sobreposição das máquinas, o que na prática da

formação do layout do chão de fábrica é infactível (como indicado na figura 5.11). Ainda

nessa implementação ocorreu que na formação do layout o algoritmo pode não respeitar os


limites de área disponíveis para a alocação do número de máquinas de cada problema,

como foi sugerido por CHWIF et al. (1998) no seu artigo. Pode-se observar na figura 5.11 as

máquinas que ficaram sobrepostas, representadas pelas linhas pontilhadas, e pelas linhas

tracejadas as máquinas que extrapolaram a área disponível para alocação.

Figura 5.11 – Exemplo de layout infactível gerado pelo algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998).

5.6 Algoritmo Simulated Annealing Proposto (SA_Tiago)

Seguindo o mesmo algoritmo de geração da solução inicial aleatoriamente, um

segundo algoritmo de SA foi proposto, apresentando o mesmo algoritmo básico de SA da

seção anterior (CHWIF et al., 1998). A adaptação proposta no algoritmo de SA dá-se no

modo como as máquinas são alocadas. No algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998), a

alocação das máquinas e cálculo da função objetivo é feito baseado no centróide da

máquina, enquanto no algoritmo proposto faz-se a alocação das máquinas baseado nas

suas arestas, evitando o problema da sobreposição.

Os movimentos realizados na geração da solução vizinha são semelhantes aos

realizados nas figuras 5.8 e 5.9. Na figura 5.12 pode ser visto graficamente o resultado de

uma solução encontrada pelo algoritmo SA proposto (SA_TIAGO), onde há uma lista

ordenada das máquinas e cada máquina vai sendo posicionada de acordo com o seu

ordenamento. Percebe-se claramente a formação dos corredores para fluxo de peças em

linha e um melhor aproveitamento da área disponível, notando-se ainda a inexistência de

sobreposições entre as máquinas alocadas.


Figura 5.12 – Resultado do layout do algoritmo de SA proposto (SA_Tiago).

No capítulo 6 serão apresentados a interface de implementação e testes dos

algoritmos e os resultados obtidos.

Capítulo 6 – Resultado das implementações 55

6 RESULTADOS DAS IMPLEMENTAÇÕES

6.1 Implementação da interface de testes

A implementação da interface de testes teve como objetivo fornecer uma ferramenta

de testes para o estudo do problema de formação de layout com as heurística de Busca

Tabu (BT) e Simulated Annealing (SA). A ferramenta viabilizou os testes com diversos

parâmetros e várias opções de alterações nos algoritmos.

O objetivo deste trabalho foi analisar as formas de implementação e a possibilidade

de melhorar o algoritmo com a alteração de parâmetros, tornando-se mais eficaz na busca

por soluções. Os algoritmos foram implementados com a linguagem de programação Visual

Basic, utilizando-se o Visual Studio 2005, da empresa Microsoft, como ambiente de

desenvolvimento. O algoritmo foi implementado para formação de layouts usando como dados de

entrada o número de máquinas alocadas na célula de manufatura, sendo feitas simulações

para instâncias com 10, 12, 15, 20 e 30 máquinas. A matriz que contém o fluxo de peças

entre cada máquina que foi usada em cada experimento foi retirada de NUGENT et al.

(1968). A área e o fator de aspecto de cada máquina, indicados na tabela 6.1, foram

propostos por TAM (1992). De acordo com esta tabela, foi realizado o cálculo do tamanho

de cada máquina, através do valor fornecido de área e fator de aspecto, conforme figura 6.1.

O programa criado foi denominado “SISTEMA DE GERAÇÃO DE LAYOUTS”, tendo a

sua interface principal apresentada na figura 6.2. O cálculo do tamanho da representação

gráfica de cada máquina é representado nas equações 4.8, 4.9, 4.10 e 4.11 (pág. 39). Como

já foi mencionado a função objetivo visa minimizar a distância total percorrida por todas as

peças durante a sua fabricação.

Como o objetivo é a comparação de heurísticas e o estudo das alterações no

algoritmo básico, foi utilizada uma mesma forma de trabalho para todas as implementações,

permitindo uma comparação padronizada, num mesmo ambiente de estudo, para todos os

casos.

Todos os dados necessários durante as simulações provenientes das matrizes de

fluxo de peças e fator de aspecto foram diretamente inseridos dentro do programa, sendo

estes dados diretamente acessados por cada algoritmo quando for necessário. A

implementação básica dos algoritmos de Busca Tabu e Simulated Annealing é realizada

através da definição de variáveis, que são as listas de máquinas, áreas, fatores de aspecto

e volumes de peças entre máquinas. Durante a implementação estes dados do artigo são


inseridos diretamente na declaração de parâmetros. A tabela 6.1 apresenta a área e o fator

de aspecto para as 30 máquinas.

Tabela 6.1 – Área e fator de aspecto das 30 máquinas.

Fator de aspecto

Máquina Área Limite Inferior

Limite superior

1 100 0,7 1 2 80 1 1 3 50 0,7 1,3 4 60 0,5 0,8 5 120 0,9 1 6 40 0,6 1 7 20 0,7 1,4 8 40 1 1 9 150 0,8 1,1

10 120 0,5 1,5 11 50 0,7 1,1 12 10 0,8 1,2 13 20 0,95 1,5 14 30 0,75 1,25 15 50 0,9 1,1 16 20 0,8 1,5 17 40 0,4 1,4 18 20 0,9 1,9 19 80 1 1 20 100 0,95 1,15 21 40 0,5 1,5 22 50 1 1,1 23 80 0,6 1 24 10 0,9 1 25 40 0,8 1,1 26 10 0,5 1,2 27 40 0,8 1 28 10 0,5 1,3 29 80 0,9 1,05 30 40 0,9 1,1

As janelas que vemos nos aplicativos são geralmente formulários (forms) que servem

de base para colocar objetos. Os formulários têm a sua área (janela) dividida em pontos

(pixels) localizados de maneira cartesiana através dos eixos x (horizontal) e y (vertical). Uma

particularidade do sistema cartesiano adotado pelo software é em relação a origem do

sistema de coordenadas, que fica localizado na extremidade superior esquerda de cada

objeto, conforme é mostrado na figura 6.2.


Figura 6.1 – Interface do SISTEMA DE GERAÇÃO DE LAYOUTS.

Figura 6.2 – Coordenadas do sistema cartesiano presente no painel.


Inicialmente foi criado um objeto painel (panel) que representa a área disponível para

instalação das máquinas/células. As máquinas foram inseridas no programa como objetos

picturebox, ou seja, como elementos gráficos que possuem entre suas propriedades a

possibilidades de variar de tamanho, baseado nas medidas calculadas de altura e largura

obtidas através da equação 4.5 (fator de aspecto). Graficamente a representação da largura

e altura de cada picturebox é feita através de pontos (pixels) na tela do computador, e dessa

forma as arestas são representadas através de valores inteiros, mas como já foi indicado na

figura 4.3, o cálculo da função objetivo é feito através do centróide da máquina. Com relação

à área dos picturebox existem duas possibilidades na representação das máquinas:

i) Informando as arestas: As arestas informadas devem formar o retângulo (picturebox) cujo

produto fornece a área da máquina;

ii) Informando a área: Cada máquina tem informado o valor de sua área, e a partir desta

informação é feito o cálculo da altura e largura que a máquina pode assumir, de acordo

com o fator de aspecto informado.

6.2 Apresentação dos Resultados

As quatro abordagens implementadas (duas de busca tabu e duas de simulated

annealing) foram testadas para vários parâmetros diferentes. Por exemplo, para cada

quantidade de máquinas, as abordagens de busca tabu foram testadas variando-se o

número de iterações tabu de um movimento. Da mesma forma, os dois algoritmos de

simulated annealing foram testados variando-se a taxa de resfriamento (α) e a temperatura

inicial (To). No caso específico da abordagem proposta por CHWIF et al. (1998), também

houve a variação na penalidade por sobreposição entre máquinas (β). Assim, devido ao

grande número de experimentos realizados, adotou-se a Análise de Variância (ANOVA)

como procedimento para a comparação entre experimentos e para a identificação dos

fatores significativos. Ou seja, buscou-se a identificação dos fatores que, ao serem variados

entre dois níveis ou valores distintos, produziram uma variação significativa entre os

resultados do valor da função objetivo e do número de iterações realizadas até o fim da

busca.

Cada experimento foi repetido 20 vezes. A fim de diminuir o tamanho deste capítulo,

parte dos resultados são apresentados nos apêndices desta dissertação. O apêndice A

apresenta os dados do fluxo de peças entre as máquinas e que foram usados no cálculo da

função objetivo. Os apêndices B e C apresentam, respectivamente, os resultados para os

experimentos do algoritmo de simulated annealing proposto por CHWIF et al. (1998) e do


algoritmo de simulated annealing proposto nesta dissertação (intitulado SA_Tiago). Os

apêndices D e E apresentam, respectivamente, os resultados para os experimentos do

algoritmo de Busca Tabu Normal e do algoritmo de Busca Tabu Híbrida. Nos resultados

apresentados nos apêndices, o valor calculado para o desvio padrão (ou erro) dos

experimentos é comparado ao valor de F (na tabela ANOVA). Se o módulo do valor de F for

maior que o valor do erro (desvio padrão dos experimentos), então pode-se considerar que

este fator é significativo. A seguir, apresenta-se o resumo dos testes entre as várias

abordagens e também comenta-se os resultados apresentados nos vários apêndices.

6.2.1 Análise dos Resultados para 10 Máquinas

Análise do SA proposto por CHWIF et al. (1998)

Para o algoritmo proposto por CHWIF et al. (1998) testou-se os fatores:

• A (taxa de resfriamento), para os valores α = 0,99 e α = 0,9999;

• B (Beta, ou penalidade por sobreposição de máquinas), para os valores β = 50 e

β = 100;

• C (temperatura inicial), para os valores To = 10000 e To = 50000.

Como o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) na análise dos

valores da função objetivo foi igual a 128,70, analisando-se a tabela 6.2, não se pode

afirmar estatisticamente que qualquer um dos fatores (A, B e C) ou que qualquer uma das

possíveis interações entre fatores (AB, AC, BC e ABC) foram significativas na obtenção de

uma solução melhor para a função objetivo. Ainda que haja uma diferença entre as médias

dos valores nos 8 experimentos (combinações de fatores) testados, a variância associada

aos experimentos levou a valores de F inferiores ao erro (igual a 128,70).

Tabela 6.2 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.1.

A (taxa de

resfriamento)

B (Beta)

C (Temperatura

inicial) AB AC BC ABC

-48,76 -49,95 -49,83 49,98 49,98 49,98 -49,88

Para o número de iterações realizadas nos vários experimentos, o valor calculado

para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi igual a 1474,99. Analisando-se a tabela

6.3, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de

resfriamento) foi significativa na identificação do número total de iterações executadas nos

experimentos com 10 máquinas. Todos os demais fatores e todas as possíveis interações


entre fatores não são significativas na variação do número total de iterações executadas.

Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não há a garantia de obtenção de um

valor melhor (em relação aos demais) para a função objetivo para qualquer um dos oito

experimentos com 10 máquinas. No entanto, há a expectativa de execução de um número

menor de iterações quando a taxa de resfriamento é α = 0,99, independente dos valores

para os demais fatores.

Tabela 6.3 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.1.

A (taxa de

resfriamento)

B (Beta)

C (Temperatura


53549,48 0,01 39,39 0,30 21,57 1,56 0,39

Análise do SA proposto (SA_Tiago)

Para o algoritmo de simulated annealing proposto nesta dissertação (SA_Tiago)

testou-se os fatores:


• B (temperatura inicial), para os valores To = 10000 e To = 50000.



afirmar estatisticamente que qualquer um dos fatores (A, B) ou que a interação entre fatores

(AB) foram significativas na obtenção de uma solução melhor para a função objetivo. Ainda

que haja uma diferença entre as médias dos valores nos 4 experimentos (combinações de

fatores) testados, a variância associada aos experimentos levou a valores de F inferiores ao

erro (igual a 122,09).

Tabela 6.4 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.1.

A (taxa de

resfriamento)

B (Temperatura

inicial) AB

114,08 4,89 4,41









valor melhor (em relação aos demais) para a função objetivo para qualquer um dos quatro




Tabela 6.5 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.1.

A (taxa de

resfriamento)

B (Temperatura

inicial) AB

14521,60 2,61 1,16

Análise do algoritmo de Busca Tabu Normal

Para o algoritmo de BT Normal proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator

número de iterações tabu, para os valores it = 3 e it = 5. Assim, o que se fez foi testar a

hipótese nula (H0 : μ1 = μ2), onde μ1 corresponde ao experimento considerando it = 3 e μ2

corresponde ao experimento considerando it = 5. Neste caso, obteve-se de BOX et al.

(1978) o valor de corte de F igual a 4,10; correspondente a um nível de confiança de 95%.

Para 3 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo foi 16714,25 com

desvio padrão igual a 386,77. Para 5 iterações tabu, a média dos valores da função objetivo

foi 16944,50 com desvio padrão igual a 581,67. Na análise dos valores da função objetivo

no apêndice D.1.1, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 2,17. Como

o valor de F (2,17) é inferior a 4,10 não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os

experimentos. Ou seja, não se pode afirmar estatisticamente que a variação no número de

iterações tabu produzirá resultados melhores para a função objetivo.

Para 3 iterações tabu, a média de iterações foi 417,00 com desvio padrão igual a

63,32. Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 325,25 com desvio padrão igual a

51,71. Na análise do número de iterações no apêndice D.1.1, o valor calculado para F,

conforme a equação 3.5, foi igual a 25,19. Como o valor de F (25,19) é superior a 4,10,

pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar

estatisticamente (com mais de 95% de confiança) que o aumento no número de iterações

tabu produzirá uma busca mais rápida.


Análise do algoritmo de Busca Tabu Híbrida

Para o algoritmo de BT Híbrida proposto nesta dissertação testou-se apenas o fator








no apêndice E.1.1, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 9,97. Como

o valor de F (9,97) é superior a 4,10 , pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os

experimentos. Ou seja, pode-se afirmar estatisticamente (com mais de 95% de confiança)

que o aumento de 3 para 5 iterações tabu produzirá resultados piores para a função

objetivo.



66,60. Na análise do número de iterações no apêndice E.1.1, o valor calculado para F,

conforme a equação 2.5, foi igual a 0,99. Como o valor de F (0,99) é inferior a 4,10 , não se

pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar

estatisticamente (com 95% de confiança) que a variação no número de iterações tabu não

produzirá uma busca mais rápida.

Análise das diferentes abordagens

Na avaliação de cada uma das quatro abordagens propostas, são apresentadas

avaliações tanto da qualidade da solução (ou seja, o valor da função objetivo) quanto do

número de iterações ocorridas. No entanto, na avaliação entre as quatro abordagens, será

feita apenas a análise da qualidade das soluções. Isto se deve por dois fatos: i) devido ao

grande número de testes, foram usados vários computadores, tornando a análise do tempo

de processamento questionável; ii) como o problema de layout não requer urgência de

resposta numa situação real, já que está associado ao planejamento estratégico (de médio e

longo prazo numa empresa), a relevância da discussão do tempo de processamento é

questionável, importando apenas a qualidade da solução.

Na comparação entre as quatro abordagens, realiza-se primeiro a análise entre as

duas abordagens de busca tabu e entre as duas abordagens de simulated annealing. Para


isso são tomados os melhores resultados entre as abordagens. Note que, do ponto de vista

estatístico, não houve um melhor resultado para a Busca Tabu Normal. Assim, para a Busca

Tabu Normal com 10 máquinas, tomou-se o experimento com 5 iterações tabu, por ter

apresentado a melhor média para a função objetivo (16944,50 ± 581,67). Tomou-se o

experimento de Busca Tabu Híbrida com 3 iterações tabu porque este experimento foi

estatisticamente superior (ao uso de 5 iterações tabu), cuja média dos valores da função

objetivo foi 16564,50 ± 372,61. A tabela 6.6 apresenta a avaliação entre as duas

abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 10,59) é superior ao valor de corte 4,1

(definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos),

indicando que a Busca Tabu Híbrida foi superior à Busca Tabu Normal.

Tabela 6.6 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida.

Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 30305,03 30305,03 10,59 Dentro dos tratamentos 38 108715,95 2860,95

TOTAL 39 139020,98

No simulated annealing com 10 máquinas, tanto na proposta de CHWIF et al. (1998)

como no SA proposto (SA_Tiago) não houve, do ponto de vista estatístico, um melhor

resultado. Assim, nos dois casos tomou-se o experimento com temperatura inicial igual a

50000 e taxa de resfriamento igual a 0,9999, sendo que para CHWIF et al. (1998) foi usado

β igual a 100. Este experimento de CHWIF et al. (1998) apresentou média para a função

objetivo igual a 16815,20 ± 590,06. Da mesma forma, no SA proposto (SA_Tiago), o

experimento apresentou média igual a 16213,75 ± 145,94. A tabela 6.7 apresenta a

avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a 19,58) é superior

ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade

dos tratamentos), indicando que SA_Tiago foi superior a CHWIF et al. (1998).


Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 3617421,03 3617421,03 19,58

Dentro dos tratamentos 38 7019860,95 184733,18

TOTAL 39 10637281,98

As figuras 6.3 e 6.4 abaixo apresentam dois resultados para os dois SA. Note que na

proposta de CHWIF et al. (1998), indicada na figura 6.3, não há necessariamente a

formação de “corredores retos entre as máquinas”, como os autores alegam. No entanto,

isto pode ser verificado em SA_Tiago.


Figura 6.3 - Exemplo de solução obtida em CHWIF et al. (1998).

Figura 6.4 - Exemplo de solução obtida em SA_Tiago.


Como para 10 máquinas, SA_Tiago e BT Híbrida apresentaram melhores resultados,

foram comparados os resultados destes dois experimentos para o valor da função objetivo.

A tabela 6.8 apresenta a avaliação entre estes experimentos. Note que o valor de F (igual a

15,37) é superior ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos

graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago (cuja média foi 16213,75 ±

145,94) foi superior à BT Híbrida (cuja média foi 16564,50 ± 372,61).


Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 1230255,63 1230255,63 15,37

Dentro dos tratamentos 38 3042606,75 80068,60

TOTAL 39 4272862,38






β = 100;



valores da função objetivo foi igual a 173,95, analisando-se a tabela 6.9, não pode-se







A (taxa de

resfriamento)

B (Beta)

C (Temperatura


-31,94 -33,19 -33,22 33,28 33,23 33,23 -33,08














A (taxa de

resfriamento)

B (Beta)

C (Temperatura


47606,61 3,40 3,71 2,00 5,30 0,00 14,99


Para o algoritmo de simulated annealing proposto nesta dissertação testou-se os

fatores:




valores da função objetivo foi igual a 131,26, analisando-se a tabela 6.11, pode-se afirmar

estatisticamente que o fator A (taxa de resfriamento) foi significativo na obtenção de uma

solução melhor para a função objetivo. Neste caso, há a expectativa de obtenção de valores

melhores para a função objetivo quando o fator A for igual a α = 0,9999, independente dos

demais fatores testados.


A (taxa de

resfriamento)

B (Temperatura

inicial) AB

150,63 0,06 0,28








Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, há a expectativa de obtenção de um

valor melhor para a função objetivo para experimentos com taxa de resfriamento α = 0,9999.

No entanto, há a expectativa de execução de um número menor de iterações quando a taxa

de resfriamento é α = 0,99.

Tabela 6.12 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.2. A

(taxa de resfriamento)

B (Temperatura

inicial) AB

25640,74 3,52 5,29











o valor de F (6,57) é superior a 4,10 pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os


que há a expectativa de produzir resultados melhores para a função objetivo com 3

iterações tabu.




conforme a equação 2.5, foi igual a 0,03. Como o valor de F (0,03) é inferior a 4,10 não se

pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, não se pode afirmar


estatisticamente que a variação no número de iterações tabu produzirá uma busca mais

rápida.










no apêndice E.1.1, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 9,33. Como

o valor de F (9,33) é superior a 4,10 pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os


que há a expectativa de produzir resultados melhores para a função objetivo com 3

iterações tabu.









Novamente, na avaliação entre as quatro abordagens, será feita apenas a análise da

qualidade das soluções. Para isso são tomados os melhores resultados entre as

abordagens ou o experimento com a melhor média quando isso não puder ser identificado

do ponto de vista estatístico.

Para a Busca Tabu Normal com 12 máquinas, do ponto de vista estatístico, o melhor

experimento foi com 3 iterações tabu, cuja média para a função objetivo foi 24426,85 ±

359,08. Da mesma forma, tomou-se o experimento com 3 iterações tabu para a BT Híbrida,

cuja média dos valores da função objetivo foi 24624,60 ± 403,55. A tabela 6.10 apresenta a


avaliação entre as duas abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 2,68) é inferior ao

valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos

tratamentos), não havendo a rejeição à hipótese de igualdade entre as duas abordagens de

BT.



TOTAL 39 5935041,98

No simulated annealing com 12 máquinas, não houve na proposta de CHWIF et al.

(1998), do ponto de vista estatístico, um melhor resultado. Nesta proposta, a melhor média

(24841,20 ± 797,80) ocorreu para temperatura inicial igual a 50000, taxa de resfriamento

igual a 0,9999 e β igual a 100. No SA proposto (SA_Tiago), do ponto de vista estatístico, o

melhor experimento ocorreu para temperatura inicial igual a 12000 e taxa de resfriamento

igual a 0,9999, cuja média para a função objetivo foi 24097,30 ± 287,97. A tabela 6.13

apresenta a avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a


graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago foi superior a CHWIF et al.

(1998).

Tabela 6.14 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA.


TOTAL 39 19202651,50

As figuras 6.5 e 6.6 a seguir apresentam dois resultados para os dois SA. Note que

na proposta de CHWIF et al. (1998), indicada na figura 6.5, não há necessariamente a

formação de “corredores retos entre as máquinas”, como os autores alegam. No entanto,

isto pode ser verificado em SA_Tiago.


Para 12 máquinas, serão comparados SA_Tiago (que apresentou melhores

resultados que CHWIF et al. (1998)) com BT Normal (já que não foi identificada uma BT

estatisticamente superior). A tabela 6.14 apresenta a avaliação entre estes experimentos.

Note que o valor de F (igual a 10,25) é superior ao valor de corte 4,1 (definido a partir do

nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago

(cuja média foi 24097,30 ± 287,97) foi superior à BT Normal (cuja média foi 24426,85 ±

359,08).

Tabela 6.15 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal.


TOTAL 39 5111456,77






β = 100;









Tabela 6.16 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice B.3 A


B (Beta)

C (Temperatura


-46,91 -48,34 -48,32 48,73 48,78 48,51 -47,91














A (taxa de

resfriamento)

B (Beta)

C (Temperatura


12279,70 1402,82 1083,32 1460,88 1161,50 1510,70 1353,31



fatores:





com 95% de confiança que a hipótese de igualdade entre os experimentos não pode ser

rejeitada.


A (taxa de

resfriamento)

B (Temperatura

inicial) AB

173,74 0,13 0,00













Tabela 6.19 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice C.3. A


B (Temperatura

inicial) AB

21899,54 2,63 3,47











o valor de F (0,12) é inferior a 4,10 não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os

experimentos. Ou seja, não se pode afirmar estatisticamente que a variação no número de

iterações tabu produzirá resultados melhores para a função objetivo.




conforme a equação 3.5, foi igual a 0,81. Como o valor de F (0,81) é inferior a 4,10 não se

pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, não se pode afirmar

estatisticamente que a variação no número de iterações tabu produzirá uma busca mais

rápida.




número de iterações tabu, para os valores it = 3 e it = 5. Para 3 iterações tabu, a média dos

valores da função objetivo foi 44390,80 com desvio padrão igual a 1301,57. Para 5 iterações

tabu, a média dos valores da função objetivo foi 43898,75 com desvio padrão igual a

1228,19. Na análise dos valores da função objetivo no apêndice E.1.1, o valor calculado

para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 1,51. Como o valor de F (1,51) é inferior a 4,10

não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, não se pode

afirmar estatisticamente que a variação no número de iterações tabu produzirá resultados

melhores para a função objetivo.













Para a BT Normal e BT Híbrida com 15 máquinas, não foi possível rejeitar a hipótese

de igualdade entre os experimentos. Assim, para BT Normal tomou-se o experimento com 5

iterações tabu, cuja média para a função objetivo foi 43594,25 ± 1054,51. Da mesma forma,

tomou-se o experimento com 3 iterações tabu para a BT Híbrida, cuja média dos valores da

função objetivo foi 44390,80 ± 1301,57. A tabela 6.19 apresenta a avaliação entre as duas

abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 4,52) é superior ao valor de corte 4,1

(definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos),

indicando que BT Normal foi superior à BT Híbrida.


Tabela 6.20 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida. Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 6344919,03 6344919,03 4,52 Dentro dos tratamentos 38 53315098,95 1403028,92

TOTAL 39 59660017,98

Para o SA de CHWIF et al. (1998) e SA_Tiago com 15 máquinas, não foi possível rejeitar a

hipótese de igualdade entre os experimentos. Assim, para o SA de CHWIF et al. (1998)

tomou-se a média 43681,70 ± 1202,26, que ocorreu para temperatura inicial igual a 50000,

taxa de resfriamento igual a 0,9999 e β igual a 50. No SA_Tiago, tomou-se o experimento

que ocorreu para temperatura inicial igual a 50000 e taxa de resfriamento igual a 0,9999,

cuja média para a função objetivo foi 41870,75 ± 376,16. A tabela 6.20 apresenta a

avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a 41,33) é superior

ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade

dos tratamentos), indicando que SA_Tiago foi superior a CHWIF et al. (1998).

Tabela 6.21 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA.


TOTAL 39 62946976,97

As figuras 6.7 e 6.8 a seguir apresentam dois resultados para os dois SA. Note que,

novamente, na proposta de CHWIF et al. (1998), indicada na figura 6.7, não há

necessariamente a formação de “corredores retos entre as máquinas”, como os autores

alegam. No entanto, isto pode ser verificado em SA_Tiago.


resultados que CHWIF et al. (1998)) com BT Normal (que apresentou melhores resultados

que BT Híbrido). A tabela 6.21 apresenta a avaliação entre estes experimentos. Note que o

valor de F (igual a 10,25) é superior ao valor de corte 4,1 (definido a partir do nível de

confiança 95% e dos graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago (cuja

média foi 41870,75 ± 376,16) foi superior a BT Normal (cuja média foi 43594,25 ± 1054,51).


Tabela 6.22 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal. Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 1086032,03 1086032,03 10,25 Dentro dos tratamentos 38 4025424,75 105932,23

TOTAL 39 5111456,77






β = 100;



valores da função objetivo foi igual a 853,78, analisando-se a tabela 6.22 não pode-se



uma solução melhor para a função objetivo.


A (taxa de

resfriamento)

B (Beta)

C (Temperatura


-2,40 -5,13 -5,13 5,13 5,13 5,14 -5,10





experimentos com 20 máquinas. Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não

há a garantia de obtenção de um valor melhor (em relação aos demais) para a função

objetivo para qualquer um dos oito experimentos com 20 máquinas. No entanto, há a

expectativa de execução de um número menor de iterações quando a taxa de resfriamento

é α = 0,99, independente dos valores para os demais fatores.


Tabela 6.24 - Valores de F para o número de iterações executadas extraídos do apêndice B.4. A


B (Beta)

C (Temperatura


18239,70 0,16 4,63 0,05 17,19 1,85 4,17



fatores:





rejeitar a hipótese de igualdade nos 4 experimentos. Para o número de iterações realizadas

nos vários experimentos, o valor calculado para o erro (desvio padrão dos experimentos) foi

igual a 1715,62. Analisando-se a tabela 6.25, pode-se afirmar estatisticamente que apenas a

variação do fator A (taxa de resfriamento) foi significativa na identificação do número total de

iterações executadas nos experimentos com 20 máquinas. Assim, pode-se afirmar que, ao

executar uma busca, não há a garantia de obtenção de um valor melhor (em relação aos

demais) para a função objetivo para qualquer um dos quatro experimentos com 20

máquinas. No entanto, há a expectativa de execução de um número menor de iterações

quando a taxa de resfriamento é α = 0,99, independente dos valores para os demais fatores.


A (taxa de

resfriamento)

B (Temperatura

inicial) AB

192,41 0,19 0,51


A (taxa de

resfriamento)

B (Temperatura

inicial) AB

29774,47 0,26 0,40









desvio padrão igual a 1786,27. Para 7 iterações tabu, a média dos valores da função

objetivo foi 101480,90 com desvio padrão igual a 1817,74. Na análise dos valores da função

objetivo no apêndice D.4, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 0,73.

Como o valor de F (0,73) é inferior a 4,10 não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre

os experimentos.



55,68. Na análise do número de iterações no apêndice D.4, o valor calculado para F,

conforme a equação 2.5, foi igual a 5,05. Como o valor de F (5,05) é superior a 4,10, pode-

se rejeitar a hipótese de igualdade entre os experimentos. Ou seja, pode-se afirmar












objetivo no apêndice E.4, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 7,86.

Como o valor de F (7,86) é superior a 4,10 pode-se rejeitar a hipótese de igualdade entre os


que a redução no número de iterações tabu produzirá resultados piores para a função

objetivo.


. Para 5 iterações tabu, a média de iterações foi 449,40 com desvio padrão igual a


66,00. Na análise do número de iterações no apêndice E.4, o valor calculado para F,











de igualdade entre os experimentos. Assim, para BT Normal tomou-se o experimento com 7

iterações tabu, cuja média para a função objetivo foi 101480,90 ± 1817,74. Da mesma

forma, tomou-se o experimento com 7 iterações tabu para a BT Híbrida, cuja média dos

valores da função objetivo foi 101611,95 ± 1518,40. A tabela 6.26 apresenta a avaliação

entre as duas abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 0,06) é inferior ao valor de

corte 4,1 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos


BT.



TOTAL 39 106756321,78


(1998), do ponto de vista estatístico, um melhor resultado. Nesta proposta, a melhor média

(100864,75 ± 1790,69) ocorreu para temperatura inicial igual a 20000, taxa de resfriamento

igual a 0,9999 e β igual a 100. No SA proposto (SA_Tiago), do ponto de vista estatístico, o

melhor experimento ocorreu para temperatura inicial igual a 50000 e taxa de resfriamento

igual a 0,9999, cuja média para a função objetivo foi 96673,10 ± 1111,96. A tabela 6.27

apresenta a avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a



graus de liberdade dos tratamentos), indicando que SA_Tiago foi superior a CHWIF et al.

(1998).

Tabela 6.28 -Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA.


TOTAL 39 260117284,77

As figuras 6.9 e 6.10 a seguir apresentam resultados para os dois SA. Note que,



alegam. No entanto, isto pode ser verificado em SA_Tiago (figura 6.10). Além disso, na

figura 6.9 fica claro um dos riscos observados no algoritmo de CHWIF et al. (1998), quando

duas máquinas (a esquerda da figura) foram posicionadas fora da região (disponível) de

trabalho.






(cuja média foi 96673,10 ± 1111,96) foi superior a BT Normal (cuja média foi 101480,90 ±

1817,74).

Tabela 6.29 -Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal.


TOTAL 39 317421366,00






6.2.5 Análise dos resultados para 30 Máquinas





β = 100;






uma solução melhor para a função objetivo.


A (taxa de

resfriamento)

B (Beta)

C (Temperatura


11,73 7,20 7,18 -7,11 -7,16 -7,15 7,16





experimentos com 30 máquinas. Assim, pode-se afirmar que, ao executar uma busca, não

há a garantia de obtenção de um valor melhor (em relação aos demais) para a função

objetivo para qualquer um dos oito experimentos com 30 máquinas. No entanto, há a

expectativa de execução de um número menor de iterações quando a taxa de resfriamento

é α = 0,99, independente dos valores para os demais fatores.


A (taxa de

resfriamento)

B (Beta)

C (Temperatura


9920,08 261,77 261,73 -347,08 -362,65 -260,15 460,02




fatores:





estatisticamente que apenas a variação do fator A (taxa de resfriamento) foi significativa na

obtenção de uma solução melhor para a função objetivo. Ainda que haja uma diferença

entre as médias dos valores nos 4 experimentos (combinações de fatores) testados, a

variância associada aos experimentos levou a valores de F superiores ao erro (igual a

1130,38). Tabela 6.32 - Valores de F para a função objetivo extraídos do apêndice C.5.

A (taxa de

resfriamento)

B (Temperatura

inicial) AB

225,68 0,49 0,36













A (taxa de

resfriamento)

B (Temperatura

inicial) AB

18994,98 0,69 0,64











objetivo no apêndice D.5, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a

56,65. Como o valor de F (56,65) é superior a 4,10 pode-se rejeitar a hipótese de igualdade

entre os experimentos, ou seja, pode-se afirmar estatisticamente (com mais de 95% de

confiança) que o aumento no número de iterações tabu produzirá uma piora da função

objetivo.



40,48. Na análise do número de iterações no apêndice D.5, o valor calculado para F,














objetivo no apêndice E.5, o valor calculado para F, conforme a equação 2.5, foi igual a 0,60.

Como o valor de F (0,60) é inferior a 4,10 não se pode rejeitar a hipótese de igualdade entre

os experimentos.




32,88. Na análise do número de iterações no apêndice E.5, o valor calculado para F,











de igualdade entre os experimentos. Assim, para BT Normal tomou-se o experimento com

10 iterações tabu, cuja média para a função objetivo foi 232268,00 ± 3246,30. Da mesma

forma, tomou-se o experimento com 10 iterações tabu para a BT Híbrida, cuja média dos

valores da função objetivo foi 233843,45 ± 4760,07. A tabela 6.33 apresenta a avaliação

entre as duas abordagens de BT. Note que o valor de F (igual a 1,50) é inferior ao valor de

corte 4,10 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos


BT.

Tabela 6.34 -Tabela ANOVA comparando as abordagens de BT normal e híbrida.


TOTAL 39 655558515,98


(1998) e em SA_Tiago, do ponto de vista estatístico, um melhor resultado. Na proposta de

CHWIF et al. (1998), a melhor média (224698,56 ± 5220,18) ocorreu para temperatura inicial

igual a 30000, taxa de resfriamento igual a 0,9999 e β igual a 50. Em SA_Tiago, tomou-se o

experimento para temperatura inicial igual a 50000 e taxa de resfriamento igual a 0,9999,

cuja média para a função objetivo foi 222584,90 ± 1931,54. A tabela 6.34 apresenta a

avaliação entre as duas abordagens de SA. Note que o valor de F (igual a 2,88) é inferior ao


valor de corte 4,10 (definido a partir do nível de confiança 95% e dos graus de liberdade dos


SA.

Tabela 6.35 - Tabela ANOVA comparando as abordagens de SA. Graus de liberdade SQ MQ F Entre tratamentos 1 44675374,59 44675374,59 2,88 Dentro dos tratamentos 38 588641048,17 15490553,90

TOTAL 39 633316422,76

As figuras 6.11 e 6.12 a seguir apresentam resultados para os dois SA. Note que,



alegam. No entanto, isto pode ser verificado em SA_Tiago (figura 6.12). Além disso, na

figura 6.11 fica claro um dos riscos observados no algoritmo de CHWIF et al. (1998), quando

duas máquinas (acima na figura) foram posicionadas fora da região (disponível) de trabalho.






(cuja média foi 222584,90 ± 1931,54) foi superior a BT Normal (cuja média foi 232268,00 ±

3246,30).

Tabela 6.36 - Tabela ANOVA comparando as abordagens SA_Tiago e BT normal.


TOTAL 39 1208740963,90

Capítulo 7 – Conclusões e trabalhos futuros 89

7 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

Esta dissertação apresentou o problema de layout com a possibilidade de variação

do fator de aspecto das máquinas. O objetivo deste trabalho foi analisar o uso de

abordagens de Busca Tabu (BT) para o problema proposto, já que na literatura predomina o

uso do Simulated Annealing (SA). Assim, foram usadas quatro abordagens heurísticas para

resolver o problema proposto, sendo duas usando o simulated annealing e duas abordagens

usando busca tabu. Das quatro abordagens apresentadas, apenas o simulated annealing

proposto por CHWIF et al. (1998) foi extraído da literatura, sendo as outras três propostas

originais deste trabalho. Com isso, foram feitos testes para cada uma das abordagens,

visando a comparação entre as abordagens. Os testes foram executados a partir de

problemas propostos na literatura (TAM, 1991) para 10, 12, 15, 20 e 30 máquinas. Para

comparar as abordagens, adotou-se a Análise de Variância (ANOVA), que é um tratamento

estatístico específico para este fim.

Para 10 máquinas, a comparação entre os valores obtidos para a função objetivo em

cada uma das abordagens de busca tabu indicou que o algoritmo Busca Tabu Híbrida foi

superior ao algoritmo Busca Tabu Normal. Da mesma forma, identificou-se que o algoritmo

de simulated annealing SA_Tiago foi superior a CHWIF et al. (1998). Por fim, na

comparação entre as abordagens de SA e BT indicou que o algoritmo SA_Tiago foi superior

à Busca Tabu Híbrida.


cada uma das abordagens de busca tabu indicou que os algoritmos Busca Tabu Híbrida e

Busca Tabu Normal têm desempenho similares. Por sua vez, identificou-se que o algoritmo



à Busca Tabu.


cada uma das abordagens de busca tabu indicou que, ao contrário do que ocorreu com 10

máquinas, o algoritmo Busca Tabu Normal foi superior ao algoritmo Busca Tabu Híbrida. Por

sua vez, identificou-se que o algoritmo de simulated annealing SA_Tiago novamente foi

superior a CHWIF et al. (1998). Por fim, na comparação entre as abordagens de SA e BT

indicou que o algoritmo SA_Tiago foi novamente superior à Busca Tabu (neste caso, BT

Normal).




Busca Tabu Normal têm desempenho similares. Por sua vez, identificou-se que o algoritmo



à Busca Tabu.



Busca Tabu Normal têm desempenho similares. Da mesma forma, identificou-se que os

algoritmos SA_Tiago e CHWIF et al. (1998) têm desempenho similares. Por fim, na

comparação entre as abordagens de SA e BT comparou-se o algoritmo SA_Tiago com

Busca Tabu Normal. Novamente, o algoritmo SA_Tiago foi superior à Busca Tabu.

A partir da análise do comportamento dos algoritmos pode-se concluir que:

• Na comparação entre as abordagens de simulated annealing, o algoritmo SA_Tiago teve

desempenho sempre superior ou similar ao proposto por CHWIF et al. (1998);

• Apesar do que foi afirmado por CHWIF et al. (1998), seu algoritmo não tem a “propensão

natural” a formar “corredores lineares” entre as máquinas, como pode ser observado nas

figuras apresentadas no capítulo 6. Por sua vez, os algoritmos SA_Tiago e os de BT têm

a propriedade de formar “corredores lineares”. De fato, a implementação destes três

últimos algoritmos têm isto como restrição. Assim, o desafio nestas três implementações

é minimizar espaços ociosos juntos aos corredores, como pode ser observado nas

figuras indicadas no capítulo 6. Devido ao seu comportamento similar, apenas foram

apresentadas figuras obtidas a partir de SA_Tiago no capítulo 6;

• O algoritmo SA_Tiago foi sempre superior à busca tabu, para todas as máquinas. Este

resultado, em princípio decepcionante, permitiu constatar que o aspecto aleatório dos

movimentos gerados no simulated annealing favoreceu esta abordagem a sair de pontos

ótimos locais. Por sua vez, a análise da busca usando o algoritmo de busca tabu indicou

que esta abordagem converge em poucas iterações (sempre inferior a 50) para um

ponto de ótimo local, mas que, a partir daí, apresenta grande dificuldade a pontos de

ótimo local ainda mais promissores. Exatamente por este motivo, foram testadas duas

formas de diversificação (BT Normal e BT Híbrida), buscando-se mecanismos que

favoreçam a identificação de novos pontos de ótimo local promissores. No entanto, a

eficiência destes mecanismos foi limitada, como indicaram os resultados;

• Não foi possível testar a busca tabu reativa, que foi citada na revisão bibliográfica,

porque isto implicaria em aumentar ainda mais a grande quantidade de testes realizados

neste trabalho. Assim, a implementação da busca tabu reativa será deixada como

trabalhos futuros;


• A busca tabu favorece a incorporação do conhecimento, através dos seus mecanismos

de memória. Assim, em trabalhos futuros, pretende-se incorporar mais informações à

solução do problema, como o uso dos resultados do problema de formação de células,

que indica possíveis agrupamentos entre máquinas;

• O desempenho da busca tabu aquém do esperado indica o quão complexo é o problema

de layout de máquinas. De fato, agora está claro que há dois problemas a serem

resolvidos: i) qual o agrupamento ideal de máquinas?; e ii) qual o fator de aspecto ótimo

para cada máquina (que dependerá do agrupamento de máquinas)? Estas questões

serão abordadas nos trabalhos de mestrado já em andamento, orientados pelo prof. Luiz

Rodrigues;

• Esta dissertação serviu como um grande aprendizado sobre o problema de layout. A

partir desta primeira orientação do prof. Luiz Rodrigues, neste tema, estão planejadas

mais duas dissertações associadas ao problema de layout. Assim, estão previstos novos

testes com a busca tabu e algoritmos genéticos, entre outras heurísticas.

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problem with fixed pick-up and drop-off points, International Journal of Production

Research 31, p. 2575–2590, 1993.

Apêndice A - MATRIZ DE VOLUME DE PEÇAS ENTRE AS MÁQUINAS 100

APÊNDICE A – MATRIZ DE VOLUME DE PEÇAS ENTRE AS

MÁQUINAS

Nesta seção são apresentadas as tabelas com os volumes de peças que circulam entre as

diversas máquinas no chão de fábrica, retiradas do problema apresentado por NUGENT et

al. (1967).

A.1 – Fluxo entre 10 máquinas

Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 - 10 0 5 1 0 1 2 2 2 2 - 1 3 2 2 2 3 2 0 3 - 10 2 0 2 5 4 5 4 - 1 1 5 0 0 2 5 - 3 5 5 5 1 6 - 2 2 1 5 7 - 6 0 1 8 - 5 2 9 - 0

Máq

uina

s

10 -


Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 - 5 2 4 1 0 0 6 2 1 1 1 2 - 3 0 2 2 2 0 4 5 0 0 3 - 0 0 0 0 5 5 2 2 2 4 - 5 2 2 10 0 0 5 5 5 - 10 0 0 0 5 1 1 6 - 5 1 1 5 4 0 7 - 10 5 2 3 3 8 - 0 0 5 0 9 - 0 10 10

10 - 5 0 11 - 2

Máq

uina

s

12 -



Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 - 10 0 5 1 0 1 2 2 2 2 0 4 0 0 2 - 1 3 2 2 2 3 2 0 2 0 10 5 0 3 - 10 2 0 2 5 4 5 2 2 5 5 5 4 - 1 1 5 0 0 2 1 0 2 5 0 5 - 3 5 5 5 1 0 3 0 5 5 6 - 2 2 1 5 0 0 2 5 10 7 - 6 0 1 5 5 5 1 0 8 - 5 2 10 0 5 0 0 9 - 0 10 5 10 0 2

10 - 0 4 0 0 5 11 - 5 0 5 0 12 - 3 3 0 13 - 10 2 14 - 4

Máq

uina

s

15 -


Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 - 0 5 0 5 2 10 3 1 5 5 5 0 0 5 4 4 0 0 1 2 - 3 10 5 1 5 1 2 4 2 5 0 10 10 3 0 5 10 5 3 - 2 0 5 2 4 4 5 0 0 0 5 1 0 0 5 0 0 4 - 1 0 5 2 1 0 10 2 2 0 2 1 5 2 5 5 5 - 5 6 5 2 5 2 0 5 1 1 1 5 2 5 1 6 - 5 2 1 6 0 0 10 0 2 0 1 0 1 5 7 - 0 0 0 5 10 2 2 5 1 2 1 0 10 8 - 1 1 10 10 2 0 10 2 5 2 2 10 9 - 2 0 3 5 5 2 5 0 0 0 2

10 - 5 5 0 5 1 0 0 5 5 2 11 - 5 2 5 1 10 0 2 2 5 12 - 2 10 5 0 1 1 2 5 13 - 2 2 1 0 0 0 5 14 - 5 5 1 5 5 0 15 - 3 0 5 10 10 16 - 0 0 2 0 17 - 5 2 0 18 - 1 1 19 - 6

Máq

uina

s

20 -



Máquinas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1 - 3 2 0 0 2 10 5 0 5 2 5 0 0 2 0 5 6 3 0 1 10 0 10 2 1 1 1 0 1 2 - 4 0 10 4 0 0 2 2 1 0 5 0 0 0 0 2 0 1 6 1 0 1 2 2 5 1 10 5 3 - 3 4 0 5 5 5 1 4 1 0 4 0 4 0 6 3 2 5 5 2 1 0 0 3 1 0 2 4 - 0 0 0 2 2 0 6 0 2 5 2 5 1 1 1 1 2 2 4 0 2 0 2 2 5 5 5 - 5 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 1 0 0 2 0 5 1 0 2 1 0 2 1 6 - 1 2 2 1 4 10 10 2 5 5 0 5 0 0 0 10 0 0 0 4 0 10 1 1 7 - 10 10 5 10 10 6 0 0 10 2 1 10 1 5 5 2 3 5 0 2 0 1 3 8 - 1 3 5 0 0 0 2 4 5 2 10 6 0 5 5 2 5 0 5 5 0 2 9 - 10 2 1 5 2 0 3 0 2 0 0 4 0 5 2 0 5 2 2 5 2

10 - 5 5 6 0 1 5 5 0 5 2 3 5 0 5 2 10 10 1 5 2 11 - 0 0 1 2 1 0 2 0 0 0 6 6 0 4 5 3 2 2 10 12 - 5 5 2 0 0 0 0 2 0 4 5 10 1 0 0 0 0 1 13 - 2 0 4 2 2 1 0 6 2 1 5 5 0 0 1 5 5 14 - 2 1 0 5 3 10 0 0 4 2 0 0 4 2 5 5 15 - 4 5 1 0 1 0 5 0 2 0 0 5 1 1 0 16 - 0 3 0 2 2 0 2 0 5 0 5 2 5 10 17 - 2 2 0 0 0 6 5 3 5 0 0 5 1 18 - 5 1 2 10 10 4 0 0 5 0 0 0 19 - 0 5 5 1 0 5 2 1 2 10 10 20 - 5 2 1 3 1 5 6 5 5 3 21 - 4 0 1 0 0 0 5 0 0 22 - 5 0 4 4 5 0 2 5 23 - 0 4 4 1 0 2 2 24 - 5 5 0 1 0 0 25 - 1 0 10 1 0 26 - 0 0 0 0 27 - 0 0 10 28 - 2 2 29 - 2

Máq

uina

s

30 -

Apêndice B - Resultados do Simulated Annealing proposto por CHWIF et al. (1998)

103

APÊNDICE B – RESULTADOS DO SIMULATED ANNEALING

Nesta seção são apresentadas as tabelas com os resultados obtidos em cada

execução das duas implementações do algoritmo de simulated annealing. Ou seja, para a

proposta de Chwif et al. (1998) e para o SA proposto neste trabalho.

B.1 – Resultados do algoritmo proposto por Chwif et al. (1998)

Foram gerados oito tratamentos, a partir da variação dos fatores: taxa de resfriamento,

valor do β (penalização por sobreposição de áreas) e temperatura inicial.


104

B.1- Para 10 Máquinas

Tabela B.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 10 máquinas. Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8

Número Máquinas 10 10 10 10 10 10 10 10 Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )

Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial (C) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + )

Repetições Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução 1 17786 17127 18106 17285 16859 16510 17037 17019 2 19366 16115 19079 18280 19177 17497 19304 16484 3 20688 16824 21866 17909 18926 16787 18283 15960 4 18924 16067 18348 16621 19222 16424 18846 16632 5 21356 17607 17928 16199 18974 16548 17811 16499 6 20765 17816 19851 17062 18725 16536 18245 17186 7 20470 16794 19600 16740 20441 17290 17835 17953 8 18645 18242 18603 16944 17979 17724 19732 15520 9 17740 17439 18178 16222 18526 17455 17448 17175

10 19743 17304 17172 17482 17933 17074 18891 17102 11 18674 17333 18030 16872 18301 16964 18428 16114 12 20970 17832 19156 16740 19023 16431 18129 16736 13 19384 17244 20055 17613 18441 16038 18270 17037 14 20305 18104 17654 16271 17836 16769 17938 16857 15 18743 18032 18361 17509 17944 16923 18829 16981 16 20402 17532 17937 16908 20145 17482 19108 17302 17 19689 17603 19492 17198 18769 16930 17884 17843 18 20840 17723 18590 16832 18446 16837 18203 16743 19 19245 17123 18484 17236 19204 16734 18478 16963 20 20267 17080 18141 16486 19157 16630 20095 16198

Mínimo 17740 16067 17172 16199 16859 16038 17037 15520 Média 19700,1 17347,05 18731,55 17020,45 18701,4 16879,15 18439,7 16815,2

Desvio padrão 1055,001916 586,4149308 1057,655275 556,3523566 809,6239803 434,9093402 748,3981561 590,0580346


105

Tabela B..2 - Apresentação do número de iterações do SA com 10 máquinas.

Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8 Número Máquinas 10 10 10 10 10 10 10 10

Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )

Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) Temper. Inicial

(C) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 1 17810 339570 22026 342104 23720 360136 35178 350258 2 26700 349244 29142 360230 23540 369403 31207 321730 3 24558 347560 21930 359614 23398 340588 34664 361172 4 25576 323510 26382 329382 23034 337292 34676 366946 5 28218 341908 24188 345938 30992 360232 26442 349964 6 20952 338938 19966 332410 32754 362792 27510 356468 7 23000 322222 24810 344948 24606 348858 24196 355006 8 26892 344662 27856 350736 34332 387770 21132 346144 9 23756 319118 26270 315594 31352 338954 25486 366968 10 2950 332020 24986 339594 30322 369306 26394 375978 11 39256 345544 29656 342608 29402 356226 28768 358556 12 25348 351743 25896 348244 32508 351606 31808 348276 13 27403 340322 30676 335620 26276 373518 21146 342983 14 30468 334855 33002 340620 27308 365646 27493 357237 15 24815 335604 31276 338298 24040 348592 32032 345923 16 26502 347823 30152 345872 31298 355288 30448 341732 17 29105 332389 32183 332762 29958 349582 33498 338664 18 28140 348239 28400 335624 28345 344762 32014 359352 19 31129 342982 24738 332876 26524 350279 28332 349183 20 30450 330176 33938 333842 41578 350582 22822 364082

Mínimo 2950 319118 19966 315594 23034 337292 21132 321730 Média 25651,4 338421,45 27373,65 340345,8 28764,35 356070,6 28762,3 352831,1

Variância 47578652,46 90216656,58 15170063,08 106794244,6 21839427,92 162126390,7 19484631,8 145956766,1 Desvio padrão 6897,728065 9498,244921 3894,876517 10334,13008 4673,267371 12732,88619 4414,139984 12081,25681


106

O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA com 10 máquinas foi:

D.P.(efeito) 128,7020306

Tabela B.3 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 10 máquinas.

Graus de liberdade SQ MQ F

A (Taxa de resfriamento) 1 -2493939144,03 -2493939144,03 -48,76 B (Beta) 1 -2554534344,03 -2554534344,03 -49,95 C (Temperatura inicial) 1 -2548609344,03 -2548609344,03 -49,83 AB 1 2556039824,03 2556039824,03 49,98 AC 1 2556276944,03 2556276944,03 49,98 BC 1 2556062824,03 2556062824,03 49,98 ABC 1 -2551167744,03 -2551167744,03 -49,88 RESÍDUO 152 7773880674,00 51143951,80 TOTAL 159 5294009689,98

O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA com 10 máquinas foi:

D.P.(efeito) 1474,990113

Tabela B.4 - ANOVA para o número de iterações do SA com 10 máquinas.

Graus de liberdade SQ MQ F A (Taxa de resfriamento) 1 4077571175618,91 4077571175618,91 53549,48

B (Beta) 1 410163,76 410163,76 0,01 C (Temperatura inicial) 1 2999139899,01 2999139899,01 39,39

AB 1 23033374,06 23033374,06 0,30 AC 1 1642607497,81 1642607497,81 21,57 BC 1 118616526,06 118616526,06 1,56 ABC 1 29576260,51 29576260,51 0,39 RESÍDUO 152 11574169830,85 76145854,15 TOTAL 159 4093958729170,94


107

B.2 - Para 12 Máquinas Tabela B.5 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 12 máquinas.


Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - )

0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - )

0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - )

0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - )

0,9999*TEMP ( + )


Repetições Melhor solução

Melhor solução Melhor solução



Melhor solução

1 27152 25385 27479 25426 31933 25548 25904 26588 2 26713 24859 27016 25174 27707 25221 27388 24494

3 28815 26224 26094 24700 28155 24729 26262 25960 4 29740 23735 25226 24304 27505 24446 30538 23554 5 27364 25256 29180 25037 28299 23963 25856 24322 6 27291 25391 28172 24863 28777 24264 26965 25806 7 26240 26340 24958 25780 27938 24243 27938 25128 8 28255 26255 26586 25586 28236 25140 26783 24661 9 27466 25466 28318 26118 28122 25347 28467 24823 10 26967 25167 27654 25654 27400 25113 26203 24966 11 27662 25662 26837 24737 30820 25583 26881 23615 12 27111 26611 27322 24522 29929 25923 27382 23923 13 26883 24883 28763 25163 29174 25347 28165 25391 14 28334 25634 31313 25870 25612 25387 29287 24387 15 26932 24932 28577 24577 28255 24313 25908 24343 16 27572 24672 27833 27833 28143 24686 27167 24632 17 29102 25102 28363 26363 29634 25622 28374 25112 18 27344 25344 27204 25504 27685 24819 27115 24532 19 29079 25579 26846 24846 27271 25421 27515 25985 20 26281 26041 28395 24722 27943 24224 25660 24602

Mínimo 26240 23735 24958 24304 25612 23963 25660 23554 Média 27615,15 25426,9 27606,8 25338,95 28426,9 24966,95 27287,9 24841,2

Variância 406477114,3 450779,0421 2018726,484 665090,7868 1865772,411 330640,5763 1563698,411 636480,5895


108

Tabela B.6 - Apresentação do número de iterações do SA com 12 máquinas. Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8

Número Máquinas 12 12 12 12 12 12 12 12

Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )

0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )

0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )


(C) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 1 40292 341168 31428 332444 27392 372130 25258 361378 2 68724 333092 41178 330584 40872 365266 32404 354768 3 39520 362494 30360 337620 34304 351262 52618 357808 4 30024 334914 43748 351022 35983 355490 48410 358420 5 45534 347228 30682 343388 36092 351828 36778 344060 6 33104 332292 33274 361376 29324 353404 50330 343455 7 38142 342494 42312 352342 34983 373138 37827 354366 8 43410 352314 39656 362494 49833 360652 35376 358176 9 37474 343328 25524 334245 43823 375738 38827 356346

10 28808 352322 32746 344538 38273 357334 31228 339543 11 41773 358094 35782 332872 42724 339646 36272 352960 12 43788 356214 29227 346494 28584 334165 39282 343121 13 36987 345228 42748 354314 32362 364848 51287 337545 14 47832 336592 34532 348765 28318 339572 47287 344238 15 50225 366434 36848 352866 31012 344394 36229 330172 16 55321 336456 38847 358876 36662 374828 41128 346294 17 49711 349834 40376 356866 35842 362073 45838 354544 18 35766 333092 39467 345233 42488 357820 38260 338072 19 28552 351763 33190 336782 35264 355922 51528 336394 20 39686 348738 29806 358330 29188 365506 35552 340138

Mínimo 28552 332292 25524 330584 27392 334165 25258 330172 Média 41733,65 346204,55 35586,55 347072,55 35666,15 357750,8 40585,95 347589,9



109


D.P.(efeito) 173,9475832

Tabela B.7 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 12 máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F

A (Taxa de resfriamento)

1 -2965220997,56 -2965220997,56 -31,94

B (Beta) 1 -3081845797,56 -3081845797,56 -33,19 C (Temperatura inicial)

1 -3084227727,56 -3084227727,56 -33,22

AB 1 3089587577,56 3089587577,56 33,28 AC 1 3085617527,56 3085617527,56 33,23 BC 1 3085039247,56 3085039247,56 33,23 ABC 1 -3071412327,56 -3071412327,56 -33,08 RESÍDUO 152 14112432337,00 92844949,59 TOTAL 159 11169969839,44


D.P.(efeito) 1525,062349

Tabela B.8 - ANOVA para o número de iterações do SA com 12 máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F


1 3875345742675,62 3875345742675,62 47606,61

B (Beta) 1 276686520,10 276686520,10 3,40 C (Temperatura inicial)

1 302252550,63 302252550,63 3,71



110

B.3 - Para 15 Máquinas

Tabela B.9 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 15 máquinas.


Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + )

Temper. Inicial (C) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) Repetições Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução

1 55867 43306 47859 42528 54714 51991 51734 41898 2 49145 41659 52521 45218 46087 50705 55604 45481 3 50356 44220 56103 44262 47663 60849 52122 44202 4 56530 45517 56274 42592 52382 58111 50418 44085 5 48383 43187 58936 45861 52055 48119 61166,29 44374 6 52145 43395 49164 42610 45689 52277 58277 44626 7 50676 44394 48371 43533 48472 53813,14 51003 43499 8 50063 42083 50237 42884 51336 50037 53152 42708 9 52006 44755 55883 45653 56211 49165 50614 42742

10 50069 42524 52750 43320 46187 53695 48546 42027 11 48959 41844 52133 46310 48001 53188 54426 43049 12 49332 44372 53689 43577 47496 47836 48031 44576 13 49509 44022 54691 41689 48938 57368 54200 45019 14 49666 45090 52319 44157 47383 52277 53807 44603 15 54857 42774 48725 43722 52316 50631 51548 43706 16 54625 44178 46411 42915 50787 54926 59248 42787 17 50815 45731 50644 44807 62832,57 49456 53157 42879 18 48037 42301 54667 44106 51603 47689 47972 43854 19 50952 44405 51716 42023 52584 50148 49786 43860 20 53153 43877 50362 42616 51484 47367 54271 43995

Mínimo 48037 41659 46411 41689 45689 47367 47972 41898 Média 51257,25 43681,7 52172,75 43719,15 50711,0285 51982,407 52954,1145 43698,5

Variância 3303241686 1445432,011 10730772,09 1726264,976 16786846,96 13607331,76 13003604,25 961189,1053


111




1 35582 345272 41704 335994 47324 40404 28318 354330 2 38576 335976 31500 335302 61060 53614 42884 351686 3 52374 353014 31140 348912 67118 57424 27464 355376 4 53372 321330 43780 347588 40282 55916 48982 361598

5 51152 324684 43290 345742 52522 69028 37456 347270 6 39980 337056 42980 330792 31852 37576 57340 381180 7 32700 363058 33456 369972 40736 29134 48668 358230 8 46876 356696 46686 334572 44734 44142 48360 333980 9 68962 340140 36022 316934 61552 58436 39340 347742

10 54226 329202 57394 350926 42132 52282 52416 388116 11 35296 357034 59846 351866 47816 36152 30918 364510 12 38628 345790 56952 351138 48246 42614 92132 348410 13 67526 344128 42162 378026 36294 37344 51498 364160 14 33608 338630 43006 336432 37028 58138 41876 367954 15 37814 375888 28080 359970 38130 59838 62040 350922 16 47458 341416 48136 327572 44104 44014 54248 360564 17 73416 330696 44496 337990 40766 42364 31524 363332 18 64234 337676 28476 314616 56286 60944 63860 359962 19 28742 332006 44472 327646 35650 56152 35596 363854 20 57004 323608 37322 332156 46486 55222 78984 365678

Mínimo 28742 321330 28080 314616 31852 29134 27464 333980 Média 47876,3 341665 42045 341707,3 46005,9 49536,9 48695,2 359442,7



112


D.P.(efeito) 480,2898091


liberdade SQ MQ F


1 -17868667916,06 -17868667916,06 -46,91


1 -18403190706,06 -18403190706,06 -48,32

AB 1 18561885996,06 18561885996,06 48,73 AC 1 18581341996,06 18581341996,06 48,78 BC 1 18475303206,06 18475303206,06 48,51 ABC 1 -18247706796,06 -18247706796,06 -47,91 RESÍDUO 152 57894824869,83 380887005,72 TOTAL 159 40581976503,77


D.P.(efeito) 2189,266233


liberdade SQ MQ F


1 2059932112925,62 2059932112925,62 12279,70


1 181727789616,03 181727789616,03 1083,32



113


Tabela B.13 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 20 máquinas.


Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) Beta (B) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + ) 50 ( - ) 50 ( - ) 100 ( + ) 100 ( + )

Temper. Inicial (C) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) Repetições Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução

1 122578 100518 109891 100789 126057 101903 114384 103038 2 108163 100256 130870,3 98477 112405 100479 116084 101129 3 125173,9 100323 106633 101558 112147 101565 116194 100062 4 110198 100623 106693 97428 113746 98395 111102 102508 5 111135 97441 113246 100635 109008 100446 114785 100585 6 113859 100834 109219 101523 111024 103669 112242 100118 7 119534 102448 117938 101935 105929 101429 107678 100787 8 112739 105247 112596 103678 132340,6 100621 114997 101992 9 109660 99671 113728 99552 112014 103151 113898 97663

10 116401,2 102208 113797 101609 112303 99586 111401 100805 11 109394 106181 112875 100456 116687 98469 113363 97415 12 107845 98655 119800 101057 110388 101780 111678 103874 13 109695 101341 132600 102771 111235 100157 111150 100453 14 120460,9 99236 123461 101812 112797 98778 133299 103013 15 112915 101753 106746 102020 112369 100565 117580 97383 16 117474 99888 106665 98000 114013 100358 124277,7 102585 17 114947 101046 132611 100804 113387 101681 110146,8 101670 18 108322 99645 112875 103955 112214 99796 119098 101676 19 114513 100839 117938 101061 105994 104218 136191,4 103083 20 119192 101553 106546 98175 115063 102414 113693 98779

Mínimo 107845 97441 106546 97428 105929 98395 107678 97383 Média 114209,95 100985,3 115336,415 100864,75 113556,03 100973 116162,095 100930,9

Variância 10150442393 4051496,747 74208434,9 3206586,934 36336913,32 2636518,737 53360592,2 3769351,147


114


Número Máquinas 20 20 20 20 20 20 20 20

Taxa Resfriamento (A) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )

0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - )

0,9999*TEMP ( + ) 0,99*TEMP ( - ) 0,9999*TEMP ( + )


(C) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 50000 ( + ) 1 50242 325992 46528 353512 54992 356842 59072 348162 2 37386 329908 44536 350804 43436 350710 38186 344502 3 57332 359978 64306 330066 70366 354534 45616 373038 4 56916 342758 62932 360974 76568 357402 62064 348562 5 53266 337782 75612 327420 87280 348072 66440 358120 6 62788 338682 72866 327706 65914 347008 88064 356094

7 69708 332152 68018 326786 55808 394892 53112 338694 8 83412 345352 54458 374180 63858 329868 64754 364604 9 47884 358286 42940 335966 60178 372962 43834 363130 10 52744 330548 73676 343202 45146 344306 55046 347832 11 74930 324426 67076 340474 75470 338474 48618 357772 12 62692 343452 68522 331600 55664 341426 43880 356008 13 44160 355498 61186 342592 47192 338748 35214 365210 14 39130 358970 45226 337258 46366 371396 53996 352082 15 42674 338938 89336 333898 58054 377092 49648 394404 16 66454 340822 65346 313462 45482 322444 53814 329354 17 35674 339554 60196 333568 48338 363234 48160 350362 18 75546 337186 67026 358820 76942 350514 44678 376884 19 54540 346900 61118 348248 56896 366704 34078 357970 20 55270 347408 85336 361964 49402 349686 55736 350106

Mínimo 35674 324426 42940 313462 43436 322444 34078 329354 Média 56137,4 341729,6 63812 341625 59167,6 353815,7 52200,5 356644,5



115


D.P.(efeito) 853,7767698

Tabela B.15 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA com 20 máquinas. Graus de liberdade SQ MQ F A (Taxa de resfriamento)

1 -3078849310,84 -3078849310,84 -2,40


1 -6566553250,84 -6566553250,84 -5,13

AB 1 6572031375,84 6572031375,84 5,13

AC 1 6573757935,84 6573757935,84 5,13 BC 1 6577088315,84 6577088315,84 5,14 ABC 1 -6525646790,84 -6525646790,84 -5,10 RESÍDUO 152 194662737703,40 1280675905,94 TOTAL 159 191648800227,56


D.P.(efeito) 2300,483125

Tabela B.16 - ANOVA para o número de iterações do SA com 20 máquinas.

Graus de liberdade SQ MQ F A (Taxa de resfriamento)

1 3378499931268,22 3378499931268,22 18239,70


1 857874226,23 857874226,23 4,63



116


Tabela B.17 - Apresentação dos melhores valores encontrados para função objetivo do SA com 30 máquinas. Tratamento 1 2 3 4 5 6 7 8



Repetições Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução Melhor solução 1 258392 225135,7 255090 228373 251654 227681 255034 231362 2 259555 230261 265260 224802 250060 223876,9 265005 225962 3 273058 225443 257231 231917 269218 218046 274158,5 223684 4 254127 219750 268361 221414 254601 238361,2 290269,5 224896 5 245201 222328 289808,3 227758 251677 236947,4 260451 223447 6 255213 218436 245198 215869 272846 232082 264667 223758 7 269417 233094 271471 220131 265392 223517 255885 224218 8 253259 220683 247989 226170 263109,2 229260 255269 223864 9 251089,3 224009,4 275481 224947 253198 228595 261507 225018

10 254204 223461 270637 224552 262314,3 230245 282681,7 229276 11 240491,4 232976 267311 237737 274437,1 229482 270011 230047 12 268494,3 220147 267740 224136 247243 230236,6 251160 224748 13 258345,5 223879 277881,1 219503 257724 222645 252535 224963 14 251812 236361,2 254517 221210 255124 226085 297826,3 218988 15 252151,9 226146 280620 225284 262636 230145 261981,8 222355 16 254128,2 222043 255953 230023 241635 227072 255672 236808 17 243497 226307,8 269497 221747 260446 226055 277749 219944 18 260202,8 219120 274430 222593 244926 226865 268691 233964 19 268436,2 227033 222936 279503,2 223457 247107 224962 20 258205 217357 224318 245683 236587,8 277171 223367

Mínimo 240491,4 217357 245198 215869 241635 218046 247107 218988 Média 256463,98 224698,555 266359,7444 224771 258171,34 228362,095 266241,59 225781,55

Variância 79429318155 27250255,39 137690588,4 23226522,84 110393683,4 25746223,18 184447982,3 19566227,63


117




1 87912 350718 92028 347796 98432 345358 77674 355674 2 95442 364896 71994 362678 105136 373848 109698 407890 3 102052 357438 64400 354738 110804 349618 66848 345758 4 74664 365686 77726 315082 97444 338350 72466 367228 5 66724 332234 75302 386134 134708 332938 75918 335804 6 71230 344862 76114 363004 87184 384550 89572 381060 7 85420 375442 66986 400520 77020 378820 73368 371124 8 92964 379482 89674 397994 87328 379504 110232 378154 9 92080 331702 108320 317066 91716 375060 73508 339132 10 112430 343602 81838 336230 83046 336828 91908 384604 11 93468 363958 89964 344400 107916 348888 102574 349662 12 90530 339896 64884 339160 129022 380808 67802 351578 13 115304 368396 85660 389100 122610 368206 63740 383842 14 86734 357352 104348 325336 139836 322694 84556 353236 15 111704 342814 141582 335388 106074 369454 93926 351378 16 128680 347580 71956 394598 81244 371016 90398 367578 17 82806 367610 99910 351934 78698 357486 139276 359818 18 132656 357328 75352 397438 81702 372728 96730 402098 19 114578 358094 378222 99580 338886 75232 360886 20 100546 342042 342808 65420 353482 76316 349348

Mínimo 66724 331702 64400 315082 65420 322694 63740 335804 Média 96896,2 354556,6 85446,55556 358981,3 99246 358926,1 86587,1 364792,6



118


D.P.(efeito) 5364,003613


liberdade SQ MQ F


1 69614240753,01 69614240753,01 11,73


1 42602708889,01 42602708889,01 7,18

AB 1 -42197496695,21 -42197496695,21 -7,11 AC 1 -42483612735,21 -42483612735,21 -7,16 BC 1 -42459512855,21 -42459512855,21 -7,15 ABC 1 42491966541,01 42491966541,01 7,16 RESÍDUO 152 902189853755,66 5935459564,18 TOTAL 159 972475154418,07


D.P.(efeito) 3733,734836


liberdade SQ MQ F


1 2934285559816,03 2934285559816,03 9920,08


1 77418714937,36 77418714937,36 261,73

AB 1 -102662363644,78 -102662363644,78 -347,08 AC 1 -107270568372,29 -107270568372,29 -362,65 BC 1 -76951329269,01 -76951329269,01 -260,15 ABC 1 136069299328,11 136069299328,11 460,02 RESÍDUO 152 44960471952,43 295792578,63 TOTAL 159 2983278546727,90

Apêndice C - Resultados do Simulated Annealing proposto (SA_TIAGO)

119

APÊNDICE C – RESULTADOS DO SIMULATED ANNEALING PROPOSTO (SA_TIAGO) Foram gerados quatro tratamentos, a partir da variação dos fatores: taxa de resfriamento e temperatura inicial.

C.1 - Para 10 Máquinas Tabela C.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados.

Tratamento 1 2 3 4 Número Máquinas 10 10 10 10 Taxa Resfriamento

(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )


Melhor solução

Melhor solução

Melhor solução

1 17501 16351 16701 16159 2 17175 16826 17572 16159 3 17335 16159 16766 16170 4 17522 16592 17162 16158 5 17483 16988 17361 16155 6 17337 16187 18020 16159 7 17479 16922 16726 16159 8 17695 16709 17988 16159 9 18590 16211 18469 16155 10 16168 16454 17628 16169 11 17758 17422 18009 16159 12 17744 16483 18199 16153 13 16712 18067 17861 16155 14 18141 17454 18232 16159 15 17486 16317 16903 16165 16 18103 16264 17874 16155 17 18510 16211 17721 16155 18 17581 16158 16769 16468 19 17748 16832 17481 16379 20 17469 16783 17858 16725

Mínimo 16168 16158 16701 16153 Média 17576,85 16669,5 17565 16213,75

Variância 297564,23 264110,1579 311379,473 21297,88158 Desvio padrão 545,49449 513,9164892 558,013865 145,9379374

Tabela C.2 - Apresentação do número de iterações executadas. Tratamento 1 2 3 4

Número Máquinas 10 10 10 10 Taxa Resfriamento

(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 10000 ( - ) 10000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )

Repetições iterações iterações iteraçõs iterações

1 19546 344992 21318 315924 2 23054 316904 20666 324934 3 19784 314936 16626 329180 4 18828 321988 17320 316484 5 19818 383492 15968 314670 6 21658 356604 20340 325486 7 22170 314916 17606 343994 8 19364 321038 20662 305034 9 17370 349032 20040 319314 10 25470 316114 29262 321982 11 17308 318536 18838 318954 12 18180 321088 17088 342732 13 21164 349645 22838 338122 14 21634 355114 17328 300436 15 22228 314536 21436 333986 16 19026 324321 18302 333346 17 17388 344092 17440 333518 18 23830 343424 16002 335174 19 18624 314346 14680 329402 20 20208 324344 15186 328454

Mínimo 17308 314346 14680 300436 Média 20332,6 332473,1 18947,3 325556,3



120

O resultado do desvio padrão para a função objetivo do SA_TIAGO com 10 máquinas foi:

D.P.(efeito) 122,0895677

Tabela C.3 - ANOVA para a melhor solução encontrada do SA_TIAGO com 10 máquinas.

Graus de liberdade

SQ MQ F


1 25506369,80 25506369,80 114,08

B (Temperatura inicial)

1 1093248,80 1093248,80 4,89

AB 1 985236,05 985236,05 4,41 RESÍDUO 76 16992683,30 223587,94

TOTAL 79 44577537,95

O resultado do desvio padrão para o número de iterações do SA_TIAGO com 12 máquinas foi:

D.P.(efeito) 2964,469913

Tabela C.4 - ANOVA para o número de iterações encontradas do SA_TIAGO com 10 máquinas.

Graus de liberdade

SQ MQ F


1 1914254718751,25 1914254718751,25 14521,60


1 344624322,05 344624322,05 2,61

AB 1 152987461,25 152987461,25 1,16 RESÍDUO 76 10018413327,00 131821227,99 TOTAL 79 1924770743861,55


121



(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )


Melhor solução

Melhor solução

Melhor solução

1 24343 23755 25413 24228 2 25454 24129 26029 24303 3 26218 23644 25602 24268 4 25162 24186 25897 23734 5 25980 24360 25204 23768 6 25687 24363 26407 23751 7 25721 24206 25391 24299 8 24448 24265 24589 24238 9 26168 24288 24389 24203 10 25641 24332 24380 24305 11 25603 24188 26721 23733 12 26239 24265 24994 24585 13 25910 23648 25904 24288 14 24340 24213 25505 24340 15 26229 23642 24921 23638 16 25196 23741 24639 24128 17 26602 23745 26063 23725 18 25292 24130 25446 24230 19 25591 24581 25603 24725 20 25231 24265 26187 24098

Mínimo 24340 23642 24380 23638 Média 25552,75 24097,3 25464,2 24129,35




(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 12000 ( - ) 12000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )

Repetições iterações iterações iterações iterações

1 25976 309038 25876 311598 2 24156 313720 19806 310342 3 26218 327324 25392 315168 4 26606 300416 26458 327566 5 26108 308770 23522 311996 6 25520 300582 27368 321070 7 23896 307618 20554 322812 8 19006 310134 27652 324000 9 25220 304880 23176 328810 10 20392 318418 23812 301604 11 19542 313096 18656 339542 12 24780 317858 23526 310150 13 34062 328576 18490 334664 14 25206 294318 20920 329656 15 22154 323664 22522 326360 16 19798 287770 25102 321686 17 21386 314936 23252 324920 18 26300 310484 23522 306290 19 26908 313208 22376 293776 20 19144 326142 24918 320996

Mínimo 19006 287770 18490 293776 Média 24118,9 311547,6 23345 319150,3



122


D.P.(efeito) 131,2589369


Graus de liberdade

SQ MQ F


1 38928870,45 38928870,45 150,63


1 15961,25 15961,25 0,06

AB 1 72721,80 72721,80 0,28 RESÍDUO 76 19640955,70 258433,63

TOTAL 79 58658509,20


D.P.(efeito) 2102,891847


Graus de liberdade

SQ MQ F


1 1700809493780,00 1700809493780,00 25640,74


1 233162547,20 233162547,20 3,52

AB 1 350837137,80 350837137,80 5,29 RESÍDUO 76 5041255694,80 66332311,77 TOTAL 79 1706434749159,80


123



(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )


Melhor solução

Melhor solução

Melhor solução

1 45103 41450 46653 41768 2 44077 41468 42696 41930 3 45962 42235 42490 41962 4 45760 41943 46039 42347 5 45574 41951 44487 41940 6 44491 41787 42979 41768 7 45254 41980 47704 41519 8 44739 42461 42664 41787 9 46909 41405 44541 41616 10 42194 41460 45634 41460 11 46382 41868 46575 41884 12 42833 42020 45113 42786 13 45953 41450 46079 41928 14 43520 42480 44282 41904 15 44231 41413 46890 41461 16 43189 41486 44030 41399 17 44743 41412 45835 41420 18 43919 41801 46365 41952 19 46650 41467 44082 42654 20 46344 42429 44610 41930

Mínimo 42194 41405 42490 41399 Média 44891,35 41798,3 44987,4 41870,75


Tabela C.10 Apresentação do número de iterações executadas. Tratamento 1 2 3 4


(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 15000 ( - ) 15000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )


1 29590 309572 25520 321162 2 26994 311650 19582 293484 3 26998 295356 34166 305852 4 26018 325304 32398 300430 5 26526 309188 20812 325414 6 23616 313338 34166 309256 7 22746 281474 24566 297454 8 31936 301726 29866 302906 9 41158 308948 22900 305032 10 32650 297962 24808 306332 11 32790 316652 25644 308640 12 28604 287950 26592 320196 13 23970 300196 27900 319908 14 24814 300628 28792 318552 15 23442 275350 25056 317754 16 19564 290554 28558 308806 17 19830 292156 23630 292670 18 26788 314390 25122 308860 19 29712 311242 24408 309490 20 25062 304050 29274 306728

Mínimo 19564 275350 19582 292670 Média 27140,4 302384,3 26688 308946,3



124


D.P.(efeito) 272,3081963


Graus de liberdade

SQ MQ F


1 192801870,45 192801870,45 173,34


1 141961,25 141961,25 0,13

AB 1 2784,80 2784,80 0,00 RESÍDUO 76 84532999,30 1112276,31

TOTAL 79 277479615,80


D.P.(efeito) 2175,046299


Graus de liberdade

SQ MQ F


1 1554043515024,20 1554043515024,20 21899,54


1 186636060,80 186636060,80 2,63

AB 1 246009036,80 246009036,80 3,47 RESÍDUO 76 5393142097,20 70962396,02 TOTAL 79 1559869302219,00


125



(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )


Melhor solução

Melhor solução

Melhor solução

1 106054 96778 102338 98678 2 104078 97145 103314 97434 3 102815 96737 101013 96123 4 100267 97662 104211 97183 5 99143 97157 100537 96157 6 100106 98982 100321 98982 7 98837 98245 103262 96283 8 107216 96543 102877 95869 9 98709 98339 101336 96339 10 100425 98732 101432 98732 11 101358 97160 102642 97131 12 100209 97596 100942 96501 13 101595 97230 101964 97211 14 107680 97340 100979 96740 15 100691 95158 102747 95111 16 104179 95473 104767 95473 17 100824 97148 102800 95988 18 101777 96632 101108 96340 19 101470 95240 103889 95233 20 102788 96730 99812 95954

Mínimo 98709 95158 99812 95111 Média 102011,05 97101,35 102114,55 96673,1




(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 20000 ( - ) 20000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )


1 34472 289314 38128 292814 2 23208 284070 30112 286330 3 27814 281840 32710 281840 4 26286 288474 33746 288474 5 32358 295068 38626 291268 6 28904 283952 32364 284852 7 27502 287386 25808 287386 8 27836 295928 22520 295348 9 28108 284604 27222 286904 10 27004 288640 28886 288640 11 29158 293014 32762 293643 12 28208 287136 35264 287389 13 38410 286574 30592 286234 14 32322 281696 25440 281546 15 24888 270948 32354 273248 16 30392 298396 28396 298126 17 23446 303932 34382 303784 18 28180 281306 39686 280388 19 34658 272524 32004 278524 20 37546 282106 23550 266506

Mínimo 23208 270948 22520 266506 Média 29535 286845,4 31227,6 286662,2



126


D.P.(efeito) 430,8405394


Graus de liberdade

SQ MQ F


1 535731531,61 535731531,61 192,41


1 527312,81 527312,81 0,19

AB 1 1413790,31 1413790,31 0,51 RESÍDUO 76 211610870,25 2784353,56

TOTAL 79 749283504,99


D.P.(efeito) 1715,610994


Graus de liberdade

SQ MQ F


1 1314537175125,00 1314537175125,00 29774,47


1 11391441,80 11391441,80 0,26

AB 1 17593128,20 17593128,20 0,40 RESÍDUO 76 3355386034,80 44149816,25 TOTAL 79 1317921545729,80


127



(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )


Melhor solução

Melhor solução

Melhor solução

1 239880 223814 234240 221102 2 236865 220087 246222 225458 3 231505 220283 232117 219924 4 240489 224291 227066 225150 5 244161 224533 253242 221373 6 239284 222940 237944 223656 7 238457 222200 234180 225118 8 238740 227300 240938 223378 9 238384 224888 229726 224479 10 232940 225380 232920 223149 11 232576 219859 241365 225157 12 233503 226448 237328 220460 13 242267 220136 228903 221563 14 231353 223439 231605 221447 15 242147 221147 232075 222394 16 238568 222324 234627 219212 17 245458 218744 246440 223244 18 241531 222481 232749 223658 19 241954 221493 244316 221587 20 229420 221762 236011 220189

Mínimo 229420 218744 227066 219212 Média 237974,1 222677,45 236700,7 222584,9




(A) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) 0,99*TEMP

( - ) 0,9999*TEMP

( + ) Temper. Inicial (B) 30000 ( - ) 30000 ( - ) 50000 ( + ) 50000 ( + )


1 46176 286470 42982 287496 2 49158 278896 47402 297630 3 38060 285976 39120 298434 4 39306 298310 37334 291236 5 43944 308288 39980 294806 6 45614 296252 32872 280574 7 51504 307064 36204 277616 8 35084 295078 44634 284994 9 46066 290956 51996 296566 10 36318 288718 44728 299134 11 44596 296274 45916 292080 12 43332 297078 40576 310032 13 39826 294764 45724 297624 14 39108 268360 40096 279466 15 44236 279932 41594 303802 16 35864 279024 52288 304934 17 39720 288944 41516 274726 18 38236 297998 32172 288810 19 35170 271020 41020 293178 20 37556 282212 31854 297450

Mínimo 35084 268360 31854 274726 Média 41443,7 289580,7 41500,4 292529,4



128


D.P.(efeito) 1130,382205


Graus de liberdade

SQ MQ F


1 4325461075,01 4325461075,01 225,68


1 9329097,01 9329097,01 0,49

AB 1 6972033,61 6972033,61 0,36 RESÍDUO 76 1456650878,75 19166458,93

TOTAL 79 5798413084,39


D.P.(efeito) 2091,052746


Graus de liberdade

SQ MQ F


1 1245833477780,00 1245833477780,00 18994,98


1 45162145,80 45162145,80 0,69

AB 1 41818320,00 41818320,00 0,64 RESÍDUO 76 4984651810,00 65587523,82 TOTAL 79 1250905110055,80

Apêndice D - Resultados do algoritmo de Busca Tabu proposto.

129

APÊNDICE D – RESULTADOS DO ALGORITMO DE BUSCA TABU PROPOSTO. Foram gerados dois tratamentos, a partir da variação do tamanho da lista tabu.

D.1 - Para 10 Máquinas Tabela D.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados.

Tratamento 1 2 Número Máquinas 10 10

Diversificações 8 8 Iterações tabu 3 5

Repetições Melhor solução Melhor solução 1 16735 16992 2 16778 16240 3 16212 16236 4 16789 16898 5 16814 16794 6 16983 16534 7 17491 17585 8 16825 18114 9 16214 17059

10 16917 16245 11 16201 16507 12 16954 16896 13 16225 17174 14 16752 17562 15 16662 17473 16 17401 16230 17 16905 16353 18 16957 16867 19 16231 17113 20 16239 18018

Mínimo 16201,00 16230,00 Média 16714,25 16944,50

Variância 149591,36 338341,21 Desvio padrão 386,77 581,67

Tabela D.2 - Apresentação do número de iterações executadas.



Repetições iterações iterações 1 363 254 2 419 321 3 496 360 4 446 344 5 310 273 6 340 300 7 471 310 8 393 319 9 370 274

10 395 316 11 477 286 12 509 290 13 521 278 14 367 359 15 382 481 16 455 388 17 362 317 18 360 383 19 398 331 20 506 321

Mínimo 310,00 254,00 Média 417,00 325,25



130

O valor de F retirado de BOX et al. (1978) para testar a igualdade entre os experimentos é 4,1,

sendo encontrado o valor de F para o experimento com 10 máquinas igual a:

Tabela D.3 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 10 máquinas.

Graus de liberdade

SQ MQ F

Entre tratamentos

1 530150,63 530150,63 2,17

Dentro dos tratamentos

38 9270718,75 243966,28

TOTAL 39 9800869,38

Tabela D.4 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com

10 máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos

1 84180,63 84180,63 25,19


38 126979,75 3341,57

TOTAL 39 211160,38


131





10 24310 23742 11 24659 25444 12 24226 24438 13 24883 24817 14 24458 25197 15 23809 23809 16 24592 24782 17 23786 24601 18 24328 24203 19 25033 26651 20 24524 25537

Mínimo 23786,00 23716,00 Média 24426,85 24967,45






10 513 639 11 474 583 12 425 529 13 520 356 14 492 343 15 326 540 16 389 401 17 465 578 18 459 472 19 355 311 20 430 439

Mínimo 326,00 311,00 Média 462,05 457,85



132



Tabela D.7 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 12

máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos

1 2922483,60 2922483,60 6,57


38 16902601,50 444805,30

TOTAL 39 19825085,10

Tabela D.8 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com


liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos

1 176,40 176,40 0,03


38 230501,50 6065,83

TOTAL 39 230677,90


133





10 44267 43231 11 42441 44142 12 43220 43745 13 45258 42617 14 43338 42668 15 43650 43265 16 44072 43099 17 43584 44858 18 43161 41873 19 43866 42401 20 43290 43106

Mínimo 42410,00 41873,00 Média 43496,70 43594,25






10 577 440 11 662 475 12 413 408 13 533 644 14 416 670 15 429 471 16 534 630 17 502 392 18 486 438 19 455 480 20 423 479

Mínimo 351,00 327,00 Média 501,00 476,10



134




máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos

1 95160,03 95160,03 0,12


38 31426733,95 827019,31

TOTAL 39 31521893,98

Tabela D.12 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações

com 15 máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos

1 6200,10 6200,10 0,81


38 289501,80 7618,47

TOTAL 39 295701,90


135





10 103032 104074 11 100489 101759 12 105854 100626 13 102808 101789 14 101859 97080 15 101509 101297 16 103299 98930 17 103634 103692 18 105241 102114 19 103133 100203 20 99431 98985

Mínimo 99431,00 97080,00 Média 101968,45 101480,90






10 329 243 11 228 234 12 207 331 13 373 183 14 357 298 15 318 270 16 230 206 17 243 265 18 310 290 19 228 182 20 283 302

Mínimo 207,00 171,00 Média 286,75 245,80



136




máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos

1 2377050,03 2377050,03 0,73


38 123403388,75 3247457,60

TOTAL 39 125780438,78



liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos

1 16769,03 16769,03 5,05


38 126150,95 3319,76

TOTAL 39 142919,98


137





10 229756 238940 11 233643 241454 12 228743 243849 13 229444 233152 14 235869 234542 15 230960 232313 16 230665 235986 17 231442 234482 18 233291 240383 19 234668 245357 20 229034 246640

Mínimo 227663,00 231741,00 Média 232268,00 237684,95






10 914 178 11 774 242 12 772 239 13 744 173 14 616 184 15 1015 186 16 912 172 17 701 230 18 761 305 19 1075 180 20 641 147

Mínimo 604,00 145,00 Média 770,85 193,20



138




máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos

1 891305841,98 891305841,98 56,65


38 597872368,95 15733483,39

TOTAL 39 1489178210,93



liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos

1 3706402,98 3706402,98 381,06


38 369607,75 9726,52

TOTAL 39 4076010,73

Apêndice E - Resultados do algoritmo de Busca Tabu Híbrida.

139

APÊNDICE E – RESULTADOS DO ALGORITMO DE BUSCA TABU HÍBRIDA. Foram gerados dois tratamentos, a partir da variação do tamanho da lista tabu.

E.1 - Para 10 Máquinas Tabela E.1 - Apresentação dos melhores valores encontrados.




10 16666 17213 11 16185 16825 12 16834 16218 13 16826 16185 14 16219 17718 15 16857 16830 16 16744 16861 17 16207 17059 18 16170 16257 19 16931 16779 20 16809 17725

Mínimo 16170,00 16184,00 Média 16564,50 17060,00


Tabela E.2 - Apresentação do número de iterações executadas.




10 364 415 11 451 424 12 363 424 13 376 293 14 434 376 15 329 435 16 362 356 17 517 449 18 321 399 19 339 433 20 350 318

Mínimo 314,00 293,00 Média 380,30 399,50



140



Tabela E.3 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para função objetivo com 10

máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F

Entre tratamentos 1 2455202,50 2455202,50 9,97


38 9356243,00 246216,92

TOTAL 39 11811445,50

Tabela E.4 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 10

máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F



38 142175,20 3741,45

TOTAL 39 145861,60


141





10 24745 25546 11 24265 25833 12 24272 24765 13 25111 25478 14 24219 25515 15 24825 24298 16 25313 26283 17 24472 25506 18 24224 23779 19 24966 24393 20 24523 24768

Mínimo 23752,00 23779,00 Média 24624,60 25158,80






10 470 352 11 500 353 12 473 482 13 353 523 14 493 394 15 453 504 16 383 378 17 436 507 18 362 458 19 443 325 20 407 484

Mínimo 345,00 325,00 Média 433,45 434,10



142




máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F



38 11627624,00 305990,11

TOTAL 39 14481320,40

Tabela E.8 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 12

máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F



38 129246,75 3401,23

TOTAL 39 129250,98


143





10 45659 43174 11 44870 42595 12 44445 44122 13 46179 43315 14 45695 46263 15 45391 43163 16 43193 43944 17 42879 45634 18 42338 45153 19 43467 42604 20 45606 44074

Mínimo 42338,00 41804,00 Média 44390,80 43898,75






10 431 548 11 314 468 12 422 457 13 424 574 14 449 409 15 493 422 16 566 573 17 400 350 18 454 359 19 370 376 20 432 493

Mínimo 314,00 350,00 Média 435,30 466,25



144




máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F



38 60848060,95 1601264,76

TOTAL 39 63269192,98

Tabela E.12 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com


liberdade SQ MQ F



38 151077,95 3975,74

TOTAL 39 160656,98


145





10 103879 102316 11 102406 100156 12 100451 100993 13 100814 100393 14 102281 101797 15 102380 102348 16 104865 103933 17 103428 100575 18 104511 100146 19 101719 104341 20 103278 102253

Mínimo 99170,00 98678,00 Média 103462,50 101611,95






10 484 388 11 491 439 12 409 332 13 399 562 14 457 448 15 525 419 16 420 344 17 474 410 18 391 439 19 436 317 20 496 395

Mínimo 354,00 317,00 Média 449,40 427,30



146




máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F



38 165561691,95 4356886,63

TOTAL 39 199807044,98

Tabela E.16 - ANOVA para fator F dos melhores valores encontrados para o número de iterações com


liberdade SQ MQ F



38 129243,00 3401,13

TOTAL 39 134127,10


147





10 243295 242946 11 229394 236106 12 235234 228710 13 239049 239696 14 233775 232285 15 231859 234142 16 235392 235023 17 233868 235985 18 228858 230048 19 236482 229967 20 226671 232452

Mínimo 225788,00 228710,00 Média 233843,45 234925,25






10 642 423 11 730 476 12 719 442 13 797 408 14 570 414 15 694 403 16 433 445 17 294 449 18 400 465 19 382 435 20 520 429

Mínimo 294,00 397,00 Média 607,20 433,30



148




máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F



38 740005292,70 19473823,49

TOTAL 39 751708205,10

Tabela E.20 - ANOVA para fator f dos melhores valores encontrados para o número de iterações com 30

máquinas. Graus de

liberdade SQ MQ F



38 380495,40 10013,04

TOTAL 39 682907,50

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