Universidade Tecnológica Federal do ParanáCâmpus Campo MourãoDepartamento de Matemáica

GA3X1 - Geometria Analítica e Álgebra LinearLista de Exercícios: Produto de Vetores

Prof. Lilian Caroline Xavier Candido

1. Verdadeiro ou falso?

(a) A medida angular entre um vetor não-nulo e ele mesmo é 0 (graus ou radianos).

(b) A medida angular entre dois vetores não-nulos e ortogonais é π

2radianos.

(c) A medida angular entre dois vetores de sentido contrário é 180 graus.

(d) Não existem ~u e ~v tais que ang(~u,~v) = arcsen(

−1

2

)

.

2. Em uma roleta de centro O, o preto 17 ocupa a posição P . Após um giro de 7π

5radianos, passa a

ocupar a posição Q. Qual é a medida angular em radianos entre−→OP e

−→OQ?

3. Seja ABCDEF o hexágono regular de centro O da figura abaixo.

A B

C

DE

FO

Obtenha as seguintes medidas angulares em graus:

(a) ang(−→AC,

−−→DE

)

(b) ang(−→AO +

−−→CE,

−→CF

)

(c) ang(−→AC +

−→AE,

−−→BF

)

(d) ang(−−→DE,

−−→BF

)

4. Sendo ACBD um tetraedro regular de aresta unitária, calcule−→AB · −−→DA.

5. Os lados do triângulo equilátero ABC têm medida 2. Calcule−→AB · −−→BC +

−−→BC · −→CA+

−→CA · −→AB.

6. Calcule, em radianos, a medida angular entre ~u e ~v.

(a) ~u = (1, 0, 1), ~v = (−2, 10, 2)

(b) ~u = (3, 3, 0), ~v = (2, 1,−2)

(c) ~u = (−1, 1, 1), ~v = (1, 1, 1)

(d) ~u =(√

3

2, 12, 0)

, ~v =(√

3

2, 12,√3)

(e) ~u = (300, 300, 0), ~v = (−2000,−1000, 2000)

7. Seja o triângulo de vértices A(−1,−2, 4), B(−4,−2, 0) e C(3,−2, 1). Determinar o ângulo internoao vértice B.

8. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3,−2, 1) são vértices de um triângulo retângulo.

9. Determine x de modo que ~u e ~v sejam ortogonais.

(a) ~u = (x, 0, 3), ~v = (1, x, 3)

(b) ~u = (x, x, 4), ~v = (4, x, 1)

(c) ~u = (x+ 1, 1, 2), ~v = (x− 1,−1,−2)

(d) ~u = (x,−1, 4), ~v = (x,−3, 1)

10. Determine ~u ortogonal a (−3, 0, 1) tal que ~u · (1, 4, 5) = 24 e ~u · (−1, 1, 0) = 1.

11. (a) Obtenha os vetores de norma 3√3 que são ortogonais a ~u = (2, 3,−1) e ~v = (2,−4, 6).

(b) Qual dos vetores obtidos no item (a) forma ângulo agudo com (1, 0, 0)?

12. Obtenha a tripla de coordenadas do vetor que tem norma√3, é ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1) e

forma ângulo obtuso com (0, 1, 0).

13. Obtenha um vetor ~u ortogonal a ~v = (4,−1, 5) e ~w = (1,−2, 3) tal que ~u · (1, 1, 1) = −1.

14. Dados ~v = (1, 1, 1), ~w = (0, 1,−1) e ~t = (2, 1,−1), obtenha ~u de norma√5, ortogonal a ~t, tal que ~u,

~v e ~w sejam paralelos a um mesmo plano. Algum dos vetores encontrados forma ângulo agudo com(−1, 0, 0)?

15. Obtenha ~u ortogonal a (1, 1, 0) tal que ‖~u‖ =√2 e a medida angular em graus entre ~u e (1,−1, 0)

seja 45.

16. Descreva o conjunto de todos os vetores ~w ortogonais a ~v = (2, 1, 2) tais que ~u = (1, 1,−1), ~v e ~w

sejam paralelos a um mesmo plano.

17. Sendo ~u e ~v unitários, ‖~w‖ = 4, ~u · ~w = −2, ~v · ~w = −4, e ang(~u,~v) = π

3rad, calcule:

(a) (~u+ ~v + ~w) · ~u(b) (2~u− ~v + ~w) · (−~u+ ~v)

(c) (5~u− ~w) · (~w − 2~u)

(d) (~w − ~v + ~u) · (−~u+ 2~w + ~v)

18. Calcule ‖2~u+ 4~v‖2, sabendo que ~u é unitário, ‖~v‖ = 2, e a medida angular entre ~u e ~v é 2π

3radianos.

19. A figura a seguir mostra um cubo.

bM

A

B C

D

E

F G

H

Sabendo que o comprimento de CM é o dobro do comprimento de GM , calcule a medida do ânguloBAM .

20. A medida angular em radianos entre ~u e ~v é π

4, ‖~u‖ =

√5 e ‖~v‖ = 1. Calcule a medida angular em

radianos entre ~u+ ~v e ~u− ~v.

21. Calcule a projeção ortogonal de ~v sobre ~u em cada caso.

(a) ~v = (1,−1, 2), ~u = (3,−1, 1)

(b) ~v = (−1, 1, 1), ~u = (−2, 1, 2)

(c) ~v = (1, 3, 5), ~u = (−3, 1, 0)

(d) ~v = (1, 2, 4), ~u = (−2,−4,−8)

22. Em cada caso, decomponha ~v como soma de dois vetores ~p e ~q, de modo que ~p seja paralelo e ~q sejaortogonal a ~u.

(a) ~v = (−1,−3, 2), ~u = (0, 1, 3)

(b) ~v = (0, 1, 2), ~u = (0, 1,−2)

(c) ~v = (1, 2,−1), ~u = (2,−1, 0)

23. A medida angular entre ~u e ~v é 30o, e suas normas, 2 e 3. Calcule ‖~u× ~v‖.

24. Sabendo que ‖~u‖ = 1, ‖~v‖ = 7 e ang(~u,~v) = π

6rad, calcule ‖~u× ~v‖ e ‖4~u× 9~v‖.

25. A medida angular entre os vetores unitários ~u e ~v é 30o e ~u × ~v e (2, 2, 1) são de mesmo sentido.Determine a tripla de coordenadas de ~u× ~v.

26. A medida angular entre os vetores ~a e ~b é 60o, e suas normas são, respectivamente, 1 e 2. Sendo~u = ~a+~b e ~v = ~a−~b, calcule a norma de ~u× ~v.

27. Calcule (√2~u−

√3~v + ~w) ∧ (−

√6~u+ 3~v −

√3~w).

28. O lado do hexágono regular representado na figura mede 2.

E D

C

BA

F

Calcule:

(a)∥

∥

∥

−→AB ×−→

AF

∥

∥

∥

(b)∥

∥

∥

−→AB ×−→

AC

∥

∥

∥

(c)∥

∥

∥

−→AB ×−−→

AD

∥

∥

∥

(d)∥

∥

∥

−→AB ×−→

AE

∥

∥

∥

(e)∥

∥

∥

−−→AD ×−−→

BE

∥

∥

∥

29. Calcule (2~k −~i+ 5~j)× (3~i− 2~k +~j)

30. Calcule ~u ∧ ~v nos casos:

(a) ~u = (6,−2,−4), ~v = (−1,−2, 1)

(b) ~u = (7, 0,−5), ~v = (1, 2,−1)

(c) ~u = (1,−3, 1), ~v = (1, 1, 4)

(d) ~u = (2, 1, 2), ~v = (4, 2, 4)

31. Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

a) ~j ∧ 2~i b) 3~i ∧ 2~k

32. Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo−→AB = (1, 1,−1) e

−−→AD = (2, 1, 4).

33. Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(1,−2, 3), B(4, 3,−1), C(5, 7,−3) e D(2, 2, 1)é um paralelogramo e calcular sua área.

34. Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extre-midades B(1, 1,−1) e C(0, 1, 2).

35. Calcule a área do triângulo ABC, sendo−→AB = (−1, 1, 0) e

−→AC = (0, 1, 3).

36. Calcular a área do triângulo de vértices:

a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3)

b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0)

c) A(2, 3,−1), B(3, 1,−2) e C(−1, 0, 2)

d) A(−1, 2,−2), B(2, 3,−1) e C(0, 1, 1)

37. Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1,−1, 0) e C(2, 1,−1) são vértices de um triângulo de área√29

2.

38. Dado o triângulo de vértices A(0, 1,−1), B(−2, 0, 1) e C(1,−2, 0), calcular a medida da altura relativaao lado BC.

39. Determine ~x tal que ~x ∧ (~i+ ~k) = 2(~i+~j − ~k) e ‖~x‖ =√6.

40. Determine ~x de norma√3, ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1), e que forma ângulo agudo com ~j.

41. O lado do quadrado ABCD mede 2, AC é a diagonal e M é o ponto médio de BC. Calcule∥

∥

∥

−−→DM ×−−→

BD

∥

∥

∥.

42. Sejam os vetores ~u = (1, 1, 0), ~v = (2, 0, 1), ~w1 = 3~u− 2~v, ~w2 = ~u+3~v e ~w3 =~i+~j− 2~k. Determinaro volume do paralelepípedo definido por ~w1, ~w2 e ~w3.

43. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ~v1 = 2~i − ~j,~v2 = 6~i+m~j − 2~k e ~v3 = −4~i+ ~k seja igual a 10.

44. Os vetores ~a = (2,−1,−3), ~b = (−1, 1,−4 e ~c = (m + 1,m,−1) determinam um paralelepípedo devolume 42. Calcular m.

45. Dados os pontos A(1,−2, 3), B(2,−1,−4), C(0, 2, 0) e D(−1,m, 1), determinar o valor de m paraque seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores

−→AB,

−→AC e

−−→AD.

46. São dados os vetores ~u = (1, 2,−1), ~v = (0, 3,−4), ~w = (1, 0,√3) e ~t = (0, 0, 2). Calcule o volume

do tetraedro ABCD, sabendo que−→AB = proj~v ~u, que

−→AC é o vetor oposto do versor de ~w e que

−−→BD = proj~t

(−→AB ×−→

AC)

.

47. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:

a) A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D(4, 2, 7);

b) A(−1, 3, 2), B(0, 1,−1), C(−2, 0, 1) e D(1,−2, 0). Para este, calcular também a medida daaltura traçada do vértice A.

48. Verificar se são coplanares os seguintes vetores:

(a) ~u = (3,−1, 2), ~v = (1, 1, 1) e ~w = (−2, 3, 4)

(b) ~u = (2,−1, 0), ~v = (3, 1, 2) e ~w = (7,−1, 2)

49. Verificar se são coplanares os pontos:

(a) A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3), C(0, 2,−2) e D(−1, 0,−2)

(b) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1,−2, 2)

(c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1,−1,−1) e D(0, 1,−1)

50. Sendo [~u,~v, ~w] = 6, calcule [2~u− 3~v + ~w,−~u+ ~v − ~w,~v − 3~w].

Respostas

1. a) V b) V c) V d) V

2. 0, 6π radianos

3. a) 150o b) 60o c) 90o d) 30o

4. −1

2

5. -6

6. a) π

2

b) π

4

c) arccos(

1

3

)

d) π

3

e) 3π

4

7. 45◦

8.−→BA · −→BA = 0

9. a) -9

b) -2

c) ±√6

d) Não existe

10. (1, 2, 3)

11. a) (3,−3,−3) e (−3, 3, 3)

b) (3,−3,−3)

12. (1,−1, 1)

13. (1,−1,−1)

14. ~u = (1, 0, 2) ou ~u = (−1, 0,−2). Sim, o se-gundo.

15.(√

2

2,−

√2

2, 1)

e(√

2

2,−

√2

2,−1

)

16. É o conjunto dos vetores λ(7, 8,−11), comλ 6= 0.

17. a) −1

2b) −7

2c) -40 d) 33

18. 52

19. arccos(

3√22

)

20. arccos(

4√26

)

21. a)(

18

11,− 6

11, 6

11

)

b)(

−10

9, 59, 10

9

)

c) (0, 0, 0)

d) (1, 2, 4)

22. a) ~v =(

0, 3

10, 9

10

)

+(

−1,−33

10, 1110

)

b) ~v =(

0,−3

5, 65

)

+(

0, 85, 45

)

c) ~v = (0, 0, 0) + (1, 2,−1)

23. 3

24. 7

2e 126

25.(

1

3, 13, 16

)

26. 2√3

27. ~0, pois o segundo é o produto de −√3 pelo

primeiro.

28. a) 2√3

b) 2√3

c) 4√3

d) 4√3

e) 8√3

29. −12~i+ 4~j − 16~k

30. a) (−10,−2,−14)

b) (10, 2, 14)

c) (−13,−3, 4)

d) (0, 0, 0)

31.

32. 2√17

33.√89

34.√74

35.√19

2

36. (a)√6

(b) 7

2

(c) 9√2

2(d) 2

√6

37. 3 ou 1

5

38. 3√35

7

39. ~x = −~i+ 2~j + ~k

40. ~x = (−1, 1,−1)

41. 2

42. 44 u.v.

43. 6 ou −4

44. 2 ou −8

3

45. 6 ou 2

46. 3

50

47. (a) 2 (b) 4 e 8√10

48. (a) Não (b) Sim

49. (a) Sim (b) Não (c) Sim

50. 24