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UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO

GRANDE DO SUL – UNIJUÍ

LUCIANO ENDLER

MODELAGEM DA VAZÃO MÁSSICA DE UMA SERVOVÁLVULA

PNEUMÁTICA E SUA APLICAÇÃO NO CONTROLE ÓTIMO DE UM

SERVOPOSICIONADOR PNEUMÁTICO

Ijuí, RS – BRASIL.

2009

Livros Grátis

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Milhares de livros grátis para download.

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Modelagem Matemática da

Universidade Regional do Noroeste do Estado do

Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), como requisito

parcial para obtenção do título de Mestre em

Modelagem Matemática.

LUCIANO ENDLER

MODELAGEM DA VAZÃO MÁSSICA DE UMA SERVOVÁLVULA PNEUMÁTICA

E SUA APLICAÇÃO NO CONTROLE ÓTIMO DE UM SERVOPOSICIONADOR

PNEUMÁTICO

Orientador: Doutor. Antonio Carlos Valdiero

Co-Orientador: Doutor. Marat Rafikov

Ijuí, RS - BRASIL

2009

UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL

DeFEM - DEPARTAMENTO DE FÍSICA, ESTATÍSTICA E MATEMÁTICA

DeTec - DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA

MODELAGEM DA VAZÃO MÁSSICA DE UMA SERVOVÁLVULA PNEUMÁTICA E

SUA APLICAÇÃO NO CONTROLE ÓTIMO DE UM SERVOPOSICIONADOR

PNEUMÁTICO

Elaborada por

LUCIANO ENDLER

Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática

Comissão Examinadora

Prof. Doutor. Antonio Carlos Valdiero – UNIJUI (Orientador)

Prof. Doutor. Eduardo André Perondi - UFRGS

Prof. Doutor. Wang Chong - UNIJUI

Ijuí, RS, 27 de Fevereiro de 2009.

AGRADECIMENTOS

A Deus que me fortaleceu nos momentos difíceis.

Em especial aos meus pais, base de minha vida e primeiras referências a me mostrar os diversos

caminhos.

À minha noiva Luciana, pelo amor incondicional e cumplicidade em todos os momentos.

Ao meu orientador Prof. Doutor. Antonio Carlos Valdiero, por todo conhecimento transmitido,

seriedade, dedicação e amizade durante todo período do trabalho.

Aos professores Pedro Luiz Andrighetto e Moacir pelas idas e vindas de Ijuí até Panambi.

Aos professores do Mestrado em Modelagem Matemática pelo conhecimento transmitido ao longo

do curso e tempo de convívio.

A CAPES pelo apoio financeiro.

Aos colegas do Mestrado pelo companheirismo, amizade e respeito nestes dois anos de convívio e

trocas de experiências.

A todos que de alguma forma contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho.

RESUMO

Este trabalho apresenta a modelagem matemática da vazão mássica de uma

servoválvula pneumática e sua aplicação no controle de um servoposicionador pneumático. A

modelagem matemática de sistemas dinâmicos é importante no projeto de máquinas

inteligentes, pois é utilizada para fins de simulação, de projeto de controladores e no estudo

do comportamento das variáveis de estado do sistema. Os servoposicionadores pneumáticos

são limpos e baratos quando comparados com os servoposicionadores hidráulicos, possuem

uma boa relação peso/potência e são de fácil instalação quando comparados com os elétricos.

Entretanto, possuem dificuldades de controle devido a diversas características não lineares do

sistema, tais como a compressibilidade do ar, o comportamento não linear da vazão mássica

nos orifícios da servoválvula e sua zona morta, além do atrito nas vedações do cilindro, sendo

o objeto deste estudo a dinâmica da vazão mássica através dos orifícios de passagem do ar da

servoválvula. Os servoposicionadores podem ser usados, por exemplo, na indústria metal

mecânica, na área médica, com construção de mãos e pernas mecânicas e em veículos pesados

como caminhões e ônibus, no sistema de freios a ar. Tem-se uma nova proposta para a

dinâmica da vazão mássica através dos orifícios da servoválvula, que se dá a partir do

levantamento de dados experimentais para as pressões em função do tempo. Como resultados,

tem-se uma nova equação da vazão que facilitará a implementação do projeto do controle de

servoposicionadores pneumáticos, e que foi implementada em um modelo matemático de 4ª

ordem escrito na forma de variáveis de estados adequado ao projeto ótimo de controladores,

onde está incluída a dinâmica da vazão nos orifícios da servoválvula, dinâmica das pressões

nas câmaras do cilindro e também o movimento do êmbolo do cilindro. Esse modelo é escrito

na forma em cascata com dois subsistemas: um subsistema mecânico acionado por um

subsistema pneumático. Com base neste modelo, formula-se o projeto do controlador, onde

para o subsistema mecânico, propõe-se a metodologia de controle ótimo por realimentação

para sistemas não lineares. Os resultados obtidos na validação experimental em malha aberta

e nas simulações numéricas do controle ilustram, respectivamente, as características do

modelo e do controle em cascata proposto.

ABSTRACT

This paper presents the mathematical modeling of the mass flow rate of a pneumatic

servovalve and its application in the control of a pneumatic position servosystem. The

mathematical modeling of dynamical systems is important in the design of intelligent

machines because it is used for simulation, design of controllers and in the study of the system

state variables behavior. Pneumatic position servosystems are clean and cheap when

compared with the hydraulic position servosystems, have a good weight/power relation and

are easier to install compared to electric ones. However, they present difficulties of control

due to various nonlinear system characteristics, such as the air compressibility, the mass flow

nonlinear behavior in the valve gaps and its dead band, beyond the friction in the cylinder

seals. The object of study is the mass flow rate dynamics through the passage roles of the air

into the servovalve. Position servosystems could be used, for example, in the metal

mechanical industry; in the medical area with, construction of mechanical hand and legs and

on heavy vehicles such as trucks and buses in the air brake system. There is a new proposal

for the dynamics of mass flow rate through the servovalve gaps, which occurs from the survey

of experimental data to the pressures against time. As result, there is a new equation of the

flow that will facilitate the project of pneumatic position servosystem control implementation.

This new equation was implemented in one mathematical model of 4th order written in the

form of state variables and appropriated to the optimal design of controllers, which includes

the flow in the servovalve gaps dynamics, the pressures in the chambers of the cylinder

dynamics and also the displacement of the cylinder piston. This model is written in the

cascade form with two subsystems: a mechanical subsystem driven by a pneumatic

subsystem. Based on the design of cascade model, controller is formulated, where for the

mechanical subsystem is proposed the methodology of optimal control for feedback for

nonlinear systems. The results obtained on the experimental validation in open loop and on

the numerical simulations of the control illustrated respectively the characteristics of the

model and of the proposed cascade control.

SUMÁRIO

RESUMO .............................................................................................................................. 5

ABSTRACT .......................................................................................................................... 6

LISTA DE FIGURAS.......................................................................................................... 10

LISTA DE TABELAS......................................................................................................... 13

LISTA DE SÍMBOLOS....................................................................................................... 14

1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 19

1.1 Generalidades......................................................................................................... 19

1.2 Descrição do servoposicionador pneumático .......................................................... 20

1.3 Objetivos, metodologia utilizada e organização ...................................................... 22

2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO........................... 24

2.1 Introdução.............................................................................................................. 24

2.2 Estado da arte......................................................................................................... 25

2.3 Modelo matemático do cilindro .............................................................................. 26

2.4 Modelo matemático da válvula............................................................................... 29

2.5 Discussões.............................................................................................................. 33

3 MODELAGEM MATEMÁTICA DA VAZÃO MÁSSICA A PARTIR DE TESTES

EXPERIMENTAIS.............................................................................................................. 34

3.1 Introdução.............................................................................................................. 34

3.2 Descrição da bancada de testes usada nos experimentos ......................................... 34

3.3 Método utilizado no levantamento das curvas experimentais .................................. 37

3.4 Resultados experimentais e a nova equação da vazão mássica ................................ 39

3.5 Modelo matemático não linear de 4ª ordem com inclusão da nova equação da vazão

mássica ............................................................................................................................... 54

3.6 Discussões.............................................................................................................. 55

4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL DO

MODELO ADOTADO........................................................................................................ 56

4.1 Introdução.............................................................................................................. 56

4.2 Implementação computacional do modelo .............................................................. 57

4.3 Descrição da bancada de testes usada na validação experimental ............................ 61

4.4 Determinação dos parâmetros do servoposicionador............................................... 63

4.5 Validação experimental do modelo em malha aberta .............................................. 64

4.6 Resultados da simulação em malha aberta .............................................................. 66

4.6.1 Simulação com entrada senoidal ...................................................................... 67

4.6.2 Simulação com entrada em degrau................................................................... 69

4.7 Discussões.............................................................................................................. 72

5 CONTROLE DE SERVOPOSICIONADORES PNEUMÁTICOS.............................. 74

5.1 Introdução.............................................................................................................. 74

5.2 Breve descrição de controle de servoposicionadores pneumáticos .......................... 76

5.2.1 Controle ótimo por realimentação para sistemas não lineares........................... 78

5.3 Projeto de controle do servoposicionador pneumático ............................................ 81

5.3.1 Controle do subsistema mecânico .................................................................... 84

5.3.2 Controle do subsistema pneumático................................................................. 88

5.4 Análise da estabilidade........................................................................................... 89

5.5 Implementação computacional do modelo com controle em cascata ....................... 90

5.6 Planejamento das trajetórias ................................................................................... 93

5.7 Resultados da simulação em malha fechada............................................................ 97

5.8 Resultados de simulação da análise da estabilidade .............................................. 108

5.9 Discussões............................................................................................................ 113

6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS...................................................... 114

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................ 116

APÊNDICE A ................................................................................................................... 119

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Desenho esquemático do atuador pneumático................................................... 21

Figura 2.1 – Esquema da modelagem matemática. ............................................................... 24

Figura 2.2 – Desenho esquemático em corte de um cilindro pneumático sem haste. ............. 26

Figura 2.3 – Escoamento de um fluído na câmara energética................................................ 27

Figura 2.4 – Equilíbrio das forças no êmbolo do cilindro...................................................... 29

Figura 2.5 – Estrangulamento da seção transversal de uma tubulação................................... 30

Figura 3.1 – Foto do transdutor de pressão e do reservatório de ar........................................ 35

Figura 3.2 – Foto da servoválvula usada nos testes experimentais. ....................................... 35

Figura 3.3 – Foto do equipamento usado na aquisição de dados. .......................................... 36

Figura 3.4 – Desenho esquemático da bancada de testes experimentais. ............................... 36

Figura 3.5 – Esquema do funcionamento para caso de enchimento do reservatório............... 38

Figura 3.6 – Esquema do funcionamento para caso de exaustão do reservatório. .................. 38

Figura 3.7 – Curvas experimentais tensão versus pressão pelo orifício A.............................. 39

Figura 3.8 – Curvas experimentais tensão versus pressão pelo orifício A.............................. 40

Figura 3.9 – Comparação entre a curva experimental e o ajuste exponencial. ....................... 42

Figura 3.10 – Comparação entre a curva experimental e o ajuste polinomial. ....................... 43

Figura 3.11 – Curvas ajustadas da vazão de enchimento versus diferença de pressão............ 44

Figura 3.12 – Curvas ajustadas da vazão de exaustão versus diferença de pressão. ............... 45

Figura 3.13 – Comparação entre as curvas da vazão de enchimento versus diferença de

pressão experimental e a ajustada para uma abertura de 5 V. ........................................ 46

Figura 3.14 – Comparação entre as curvas da vazão de exaustão versus diferença de pressão

experimental e a ajustada para uma abertura de válvula de -5 V.................................... 47

Figura 3.15 – Curvas da diferença de pressão versus vazão variando com a tensão u............ 48

Figura 3.16 – Curvas da vazão versus diferença de pressão variando com a tensão u............ 49

Figura 3.17 – Inclinação k versus tensão u para câmaras A e B enchendo............................. 50

Figura 3.18 – Curvas da diferença de pressão versus vazão versus tensão u câmara A.......... 52

Figura 3.19 – Curvas da diferença de pressão versus vazão versus tensão u câmara A.......... 53

Figura 4.1 – Diagrama de blocos usado na simulação do modelo. ........................................ 57

Figura 4.2 – Diagrama de blocos da equação da vazão mássica. ........................................... 58

Figura 4.3 – Diagrama de blocos da equação das pressões nas câmaras. ............................... 60

Figura 4.4 – Diagrama de blocos da equação do movimento. ............................................... 61

Figura 4.5 – Foto do transdutor de posição e do cilindro pneumático.................................... 62

Figura 4.6 – Desenho esquemático da bancada de testes usada na validação experimental.... 62

Figura 4.7 – Gráfico comparativo do teste experimental com o da simulação para o

movimento de recuo. .................................................................................................... 65

Figura 4.8 – Gráfico comparativo do teste experimental com o da simulação para o

movimento de avanço................................................................................................... 66

Figura 4.9 – Entrada senoidal e posição do êmbolo do cilindro. ........................................... 67

Figura 4.10 – Velocidade e aceleração do êmbolo do cilindro para entrada senoidal............. 68

Figura 4.11 – Pressões e vazões nas câmaras do cilindro para entrada senoidal. ................... 69

Figura 4.12 – Entrada em degrau e posição do êmbolo do cilindro. ...................................... 70

Figura 4.13 – Velocidade e aceleração do atuador ao longo do tempo para entrada em degrau.

..................................................................................................................................... 71

Figura 4.14 – Dinâmica das pressões e vazões nas câmaras do cilindro para entrada em

degrau. ......................................................................................................................... 72

Figura 5.1 – Sistema de controle em malha aberta. ............................................................... 74

Figura 5.2 – Sinal de controle em malha fechada.................................................................. 75

Figura 5.3 – Interpretação do sistema do atuador pneumático com dois subsistemas

interconectados. ........................................................................................................... 81

Figura 5.4 – Interpretação do sistema pneumático com dois subsistemas interconectados e o

controle em cascata. ..................................................................................................... 84

Figura 5.5 – Diagrama de blocos do controle do sistema controlado..................................... 91

Figura 5.6 – Diagrama de blocos do controle do subsistema mecânico. ................................ 91

Figura 5.7 – Diagrama de blocos do controle do subsistema pneumático. ............................. 92

Figura 5.8 – Diagrama de blocos do controlador proporcional.............................................. 92

Figura 5.9 – Posição com controle proporcional usando ganho 3.......................................... 93

Figura 5.10 – Trajetória desejada senoidal............................................................................ 94

Figura 5.11 – Trajetória polinomial de sétima ordem............................................................ 96

Figura 5.12 – Trajetória levando o sistema a um ponto fixo.................................................. 97

Figura 5.13 – Sinal de controle do sistema levado a um ponto fixo....................................... 98

Figura 5.14 – Velocidade e erro de velocidade direcionando o sistema para um ponto fixo. . 99

Figura 5.15 – Força pneumática e erro de seguimento da força pneumática direcionando o

sistema para um ponto fixo......................................................................................... 100

Figura 5.16 – Vazões e pressões direcionando o sistema para um ponto fixo. ..................... 100

Figura 5.17 – Sinal de controle do sistema levado a um ponto fixo..................................... 101

Figura 5.18 – Posição e erro do sistema para trajetória senoidal. ........................................ 102

Figura 5.19 – Sinal de controle do sistema para trajetória senoidal. .................................... 102

Figura 5.20 – Velocidade e erro de velocidade do sistema com trajetória senoidal.............. 103

Figura 5.21 – Força pneumática e erro de segmento da força para trajetória senoidal. ........ 104

Figura 5.22 – Vazão e pressão do sistema para trajetória senoidal com controle cascata. .... 104

Figura 5.23 – Posição e erro do sistema para trajetória polinomial...................................... 105

Figura 5.24 – Sinal de controle do sistema para trajetória polinomial. ................................ 106

Figura 5.25 – Velocidade e erro de velocidade para trajetória polinomial. .......................... 107

Figura 5.26 – Força pneumática e erro de segmento da força para trajetória polinomial...... 107

Figura 5.27 – Dinâmica das pressões e das vazões para trajetória polinomial. .................... 108

Figura 5.28 – Valor de h(t) para o sistema direcionado para um ponto fixo. ....................... 109

Figura 5.29 – Valor de V& para o sistema direcionado para um ponto fixo. ......................... 109

Figura 5.30 – Valor de h(t) para o sistema direcionado a uma trajetória senoidal. ............... 110

Figura 5.31 – Valor de V& para o sistema direcionado a uma trajetória senoidal.................. 111

Figura 5.32 – Valor de h(t) para o sistema direcionado a uma trajetória polinomial. ........... 112

Figura 5.33 – Valor de V& para o sistema direcionado a uma trajetória polinomial.............. 112

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 - Principais componentes e parâmetros da bancada de testes. .............................. 37

Tabela 3.2 – Valores ajustados para gerar a malha da Figura 3.17. ....................................... 48




Tabela 4.1 - Principais componentes e parâmetros da bancada de testes. .............................. 63

Tabela 4.2 - Principais parâmetros do sistema não linear. ..................................................... 64

LISTA DE SÍMBOLOS

Alfabeto Latino

0a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória desejada

polinomial

1a Coeficiente do polinômio de 7ª ordem da trajetória polinomial dos

testes experimentais


polinomial


polinomial


polinomial


polinomial


polinomial


polinomial

nxnRA 1 ∈ Matriz constante formada pela parte linear do sistema

A Área do êmbolo do cilindro [ 2m ]

0A Abertura relativa efetiva da servoválvula

0b Coeficiente constante da função bi polinomial









B Coeficiente de atrito viscoso [ mNs / ]

nxnRB 1 ∈ Matriz constante

0c Coeficiente constante do polinômio de 3ª ordem usado no ajuste da

pressão em função do tempo







pC Calor específico do ar a pressão constante

vC Calor específicos do ar a volume constante

Desl Distância percorrida sobre a trajetória polinomial [ m ]

atriF Força de atrito

eF Força externa

)(1 yf Função não linear dependente da posição

)(2 yf Função não linear dependente da posição

pf Força pneumática gerada no atuador

pdf Força pneumática desejada

dG( y, y ) Matriz composta por funções de y e dy

h(t) Função que caracteriza a soma dos desvios quadrados do sistema da

trajetória desejada

),,,( ba ppyyh & Função não dependente do sinal de controle

M Massa inercial do cilindro [ kg ]

k Inclinação da reta dada pelo ajuste da curva da vazão versus

pressão

ak Ganho de aceleração

dk Ganho derivativo

ik Ganho integral

pk Ganho do controlador cascata

propk Ganho do controlador proporcional

vk Ganho de velocidade

n nP R ×∈ Matriz simétrica e satisfaz a equação de Riccati

3 , ypa Pressão na câmara A do cilindro [Pa]

aip Pressão inicial na câmara A do cilindro [Pa]

atmp Pressão atmosférica [Pa]

4 , ypb Pressão na câmara B do cilindro [Pa]

bip Pressão inicial na câmara B do cilindro [Pa]

dp Pressão a montante

supp Pressão de suprimento [Pa]

up Pressão ajusante

nxnRP ∈ Matriz simétrica que satisfaz a equação de Riccati

iP Posição inicial do atuador [ m ]

maq Vazão mássica na câmara A do cilindro [ skg / ]

mbq Vazão mássica na câmara B do cilindro [ skg / ]

n nQ R ×∈ Matriz constante, simétrica, definida positiva que satisfaz a equação

de Riccati

R Constante universal dos gases [ kjkg / ]

n nR R ×∈ Matriz constante, definidas positiva

t Variável tempo [ s ]

et Tempo de deslocamento da trajetória polinomial [ s ]

st Período da trajetória senoidal [ s ]

T Temperatura do ar de suprimento [ k ]

1V Função de Lyapunov

2V Função de Lyapunov

AV Volume na câmara A do cilindro

0AV Volume morto na câmara A do cilindro [ 3m ]

0BV Volume morto na câmara B do cilindro [ 3m ]

u Sinal de controle do sistema [V ]

du Parcela feedforward do controle

tu Parcela feedback do controle

U Vetor controle

),,,( uyppû ba Função dependente do sinal de controle

1, yy Posição do atuador [ m ]

2y Velocidade do atuador [ sm / ]

dy Vetor função da trajetória do sistema

nRy ∈ Vetor de estados do sistema

Alfabeto Grego

γ Relação entre os calores específicos do ar

enchβ Coeficiente constante do ajuste da função da tensão

esvβ Coeficiente constante do ajuste da função da tensão

α Coeficiente constante da função exponencial

Ω Sistema em malha fechada

Símbolos

∆ Variação

(~) Erro ou diferença

(.) Derivada primeira

(..) Derivada segunda

(...) Derivada terceira

19

1 INTRODUÇÃO

1.1 Generalidades

O presente trabalho trata da modelagem matemática e do controle de um

servoposicionador pneumático, onde se propõe uma nova equação para a vazão mássica

através dos orifícios de controle da passagem de ar da servoválvula. Esta dissertação está

relacionada com a área interdisciplinar de modelagem matemática e controle de sistemas

dinâmicos.

Segundo Monteiro (2002) um sistema pode ser definido como um conjunto de

elementos agrupados, de forma que entre eles existe por uma interação, de modo que existam

relações de causa e efeito nos fenômenos que ocorrem com os elementos desse conjunto, e

esse sistema é dinâmico quando algumas grandezas que caracterizam seus objetos variam com

o tempo.

Nesta seção descrevem-se algumas generalidades sobre servoposicionadores

pneumáticos e seu posicionamento preciso, justificando a importância e a necessidade desta

pesquisa e as contribuições para esta área dentro de um contexto geral.

Segundo Bavaresco (2007) a palavra pneumática deriva do termo grego pneumatikos,

que significa “fôlego”, “alma”. A pneumática é o uso do gás pressurizado na ciência e

tecnologia.

A modelagem matemática de sistemas dinâmicos é importante no projeto de

máquinas, pois é utilizada para fins de simulação, de projeto de controladores e no estudo do

comportamento das variáveis de estado do sistema. Dessa forma, é possível prever acidentes

ou efeitos que possam danificar o sistema.

Os sistemas de posicionamento pneumáticos têm como vantagens a boa relação

força/tamanho e a flexibilidade de instalação, quando comparados com os atuadores elétricos,

e são de baixo custo e limpos quando comparados com os atuadores hidráulicos. Mais

comparações podem ser encontradas em Bavaresco (2007). Entretanto, possuem dificuldades

de controle devido a diversas características não lineares do sistema (GUENTHER et al.

2006), tais como a compressibilidade do ar, o comportamento não linear da vazão mássica nos

Capítulo 1 – Introdução 20

orifícios da válvula e sua zona morta (VALDIERO et al. 2008), além do atrito nas vedações

do cilindro (ANDRIGHETTO et al. 2006).

Este trabalho está inserido no contexto de mecatrônica, pois envolve conceitos e

estudos relacionados com modelagem matemática, software, sistemas elétricos, mecânicos e

de controle.

Os servoposicionadores pneumáticos possuem um vasto campo de aplicação, por

exemplo:

• Na área médica com a construção de mãos e pernas mecânicas acionadas

pneumaticamente, que reproduzem os movimentos de mãos e pernas humanas

(NISHINO et al. 2007, MUSCATO et al. 2005);

• Em veículos pesados como caminhões e ônibus no sistema de freios a ar (BU

et al. 2007);

• Na área agrícola, no nivelamento das peneiras de colheitadeiras de cereais

(ENDLER et al. 2007);

• Na indústria metal mecânico no processo de escovar e polir painéis metálicos

(BAVARESCO 2007).

Devido a grande área de aplicações, a elaboração de modelos matemáticos que levam

em consideração as suas dinâmicas lineares e não lineares tem sido necessária, pois com a

modelagem matemática pode-se elaborar algoritmos de controle mais precisos que os

convencionais, que levam em consideração as não linearidades do sistema, realizar

simulações computacionais do modelo que prevêem o comportamento do sistema, e assim

corrigir eventuais erros antes de aplicar em protótipos experimentais.

Na Seção 1.2 tem-se a descrição do servoposicionador pneumático em estudo, a

Seção 1.3 descreve os objetivos, a metodologia e como está organizada a dissertação.

1.2 Descrição do servoposicionador pneumático

O servoposicionador pneumático em estudo tem como principais componentes uma

servoválvula de controle direcional e um cilindro pneumático sem haste. Este é um atuador

que permite posicionar uma carga em um determinado ponto do curso ou seguir uma trajetória

variável em função do tempo, ao contrário do atuador pneumático convencional que restringe


o posicionamento a pontos discretos bem definidos (como por exemplo, os fins de curso

avançado e recuado). A Figura 1.1 mostra um desenho esquemático de um servoposicionador

pneumático.

Figura 1.1 – Desenho esquemático do atuador pneumático.

O servoposicionador pneumático funciona com o ar comprimido sendo fornecido a

servoválvula à uma dada pressão de suprimento regulada. Com o objetivo de seguir as

referências, e a partir dos sinais das malhas de realimentação, o controlador gera uma tensão

de controle u que energiza as bobinas dos solenóides da servoválvula e produz um

deslocamento xv do carretel. O carretel, ao ser deslocado, gera orifícios de passagem,

fornecendo o ar comprimido para uma das câmaras do cilindro e permitindo que o ar da outra

escoe para a atmosfera. Logo após tem-se a variação das pressões nas câmaras resultando

numa força que movimenta o êmbolo do cilindro, produzindo um deslocamento y positivo ou

negativo, dependendo do sinal de entrada.

A força gerada pelo atuador pneumático é dada pelo produto da área do êmbolo do

cilindro pela diferença de pressão nas câmaras e é chamada de força pneumática.


1.3 Objetivos, metodologia utilizada e organização

O objetivo principal deste trabalho é pesquisar, desenvolver e validar a modelagem

matemática de servoposicionadores pneumáticos, testar a metodologia de controle proposta

por Rafikov e Balthazar (2005) e desenvolver uma nova equação para a vazão mássica através

dos orifícios da servoválvula, usando curvas levantadas experimentalmente na bancada de

testes disponível na UNIJUÍ Campus Panambi. Propor um controle em cascata para o

servoposicionador pneumático baseado no modelo proposto, a fim de vencer as limitações

impostas pelas características não lineares modeladas no atuador pneumático para o

posicionamento preciso e seguimento de trajetória em malha fechada.

A metodologia utilizada no trabalho consiste primeiramente em uma ampla revisão

bibliográfica sobre o tema em estudo, na formulação de um modelo matemático que inclua

explicitamente a dinâmica não linear das vazões nos orifícios da servoválvula, a dinâmica do

movimento do êmbolo do cilindro e a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro, obtendo

um modelo matemático não linear de 4ª ordem. O trabalho inclui também a elaboração de um

controle em cascata para o servoposicionador pneumático.

Nas simulações numéricas utiliza-se a ferramenta Simulink do software Matlab. Para

os testes experimentais dispõe-se de uma bancada de testes no Laboratório de Automação do

Campus Panambi com um servoposicionador pneumático e um sistema de instrumentação

eletrônica dSPACE.

O trabalho está distribuído em 6 capítulos. O Capítulo 2 descreve a modelagem

matemática do servoposicionador pneumático, onde o equacionamento é baseado na dinâmica

do movimento do êmbolo, na dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro e da vazão

mássica através dos orifícios de passagem de ar da servoválvula.

O equacionamento da vazão mássica através dos orifícios da servoválvula é obtido

através de curvas experimentais da pressão e tensão u. A descrição da bancada de testes, o

método utilizado no levantamento das curvas experimentais, as curvas experimentais e o

equacionamento da vazão mássica são apresentados no Capítulo 3.

No Capítulo 4 apresenta-se as implementações computacionais do modelo

matemático adotado, bem como a simulação numérica e a validação experimental do modelo

em malha aberta.

O controle do servoposicionador pneumático é apresentado no Capítulo 5, onde é

feita uma breve descrição sobre controladores clássicos. Também é apresentada a estratégia


de controle em cascata adotada, bem como a implementação computacional e simulação

numérica do controle. Neste capítulo também é feita a análise da estabilidade do controlador

proposto.

Finalmente, no Capítulo 6 apresentam-se as conclusões, discussões e perspectivas

para trabalhos futuros.

24

2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO

2.1 Introdução

Neste capitulo apresenta-se a modelagem matemática dos principais componentes do

servoposicionador pneumático, ou seja, servoválvula e cilindro pneumático sem haste. A

combinação da dinâmica da servoválvula e a do cilindro compõem um modelo não linear de

4ª ordem que descreve o funcionamento do servoposicionador adotado neste trabalho. A

dinâmica da servoválvula é dada pela vazão nos orifícios de passagem de ar, a do atuador é

dada pelas pressões nas câmaras do cilindro e do movimento do êmbolo.

A modelagem matemática é uma ferramenta importante, pois retrata o mais próximo

possível através de equações matemáticas um fenômeno real, sendo ele físico, social ou

cultural. Segundo Bassanezi (2002), a modelagem matemática consiste na arte de transformar

problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções

na linguagem do mundo real. Bavaresco (2007) cita que a modelagem matemática é a arte de

transformar fenômenos reais em problemas que levam a previsão de tendências envolvendo

técnicas matemáticas.

Na Figura 2.1 tem-se um esquema de como é feita neste trabalho a modelagem

matemática do servoposicionador pneumático.

Figura 2.1 – Esquema da modelagem matemática.

Capítulo 2 – Modelagem Matemática 25

Tem-se por premissas que:

• A dinâmica da servoválvula é desprezada;

• É desprezado o atrito entre o carretel e o pórtico da válvula;

• Os vazamentos internos que ocorre na servoválvula foram desprezados;

• A temperatura do ar de suprimento é constante;

• O atrito considerado neste trabalho é o atrito viscoso ) ( yB & , onde B é o

coeficiente do atrito viscoso e y& é a velocidade do êmbolo do cilindro.

Na Seção 2.2 apresenta-se uma breve revisão sobre a modelagem de atuadores

pneumáticos. A Seção 2.3 apresenta a modelagem matemática do cilindro que é dividida na

modelagem da dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro e o movimento do êmbolo. A

Seção 2.4 mostra como alguns autores vêm modelando a vazão mássica através dos orifícios

da servoválvula. Finalmente a Seção 2.5 apresenta as discussões e resultados alcançados nessa

etapa do trabalho.

2.2 Estado da arte

Um dos modelos mais simples usados na modelagem matemática de

servoposicionadores pneumáticos é o modelo de 3ª ordem. Têm-se como referência os

trabalhos de Virvalo apud Vieira (1998) e mais recentemente em Bavaresco (2007).

Bobrow apud Gyeviki (2005) usou um modelo de 4ª ordem baseado na equação da

continuidade que descreve a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro, na equação que

descreve a dinâmica do movimento do êmbolo e a equação da vazão mássica através de

orifícios. As vazões mássicas são funções não lineares da pressão e da tensão u aplicado a

servoválvula calculadas a partir da teoria da mecânica dos fluídos. Para parcela do atrito

utiliza-se o atrito viscoso que é diretamente proporcional à velocidade.

Perondi (2002), Guenther et al. (2006) e Rao et al. (2008) também trabalharam com

modelo de 4ª ordem só que para parcela do atrito consideram o modelo de Lugre

(LISCHINSKY et al. 1999), agregando mais uma ordem para o modelo, compondo dessa

forma um modelo de 5ª ordem. As vazões mássicas neste caso também são funções da pressão

e da tensão só que é encontrada através de curvas experimentais utilizando-se de métodos de


ajustes de curvas. O levantamento da equação é feito considerando que o êmbolo do cilindro

esteja parado, ou seja, velocidade zero conseqüentemente volume constante.

No trabalho de Karpenko e Sepehri (2004) o modelo usado também é de 5ª baseado

na equação que descreve a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro e na equação do

movimento. A equação que descreve a dinâmica da servoválvula é dada pelo movimento do

carretel da servoválvula. As vazões mássicas nesse caso são funções das pressões e da posição

do carretel da servoválvula.

O detalhamento de como a vazão mássica usada pelos pesquisadores citados nessa

seção foi trabalhada apresenta-se na Seção 2.4.

2.3 Modelo matemático do cilindro

O cilindro considerado na modelagem é simétrico e sem haste assim, na modelagem

matemática utiliza-se a equação da continuidade para a dinâmica das pressões nas câmaras e a

equação do movimento para o êmbolo do cilindro. A Figura 2.2 mostra um desenho

esquemático do cilindro utilizado.

Figura 2.2 – Desenho esquemático em corte de um cilindro pneumático sem haste.

Para entender os fenômenos físicos que ocorrem no cilindro utiliza-se a equação da

continuidade, baseando-se no princípio da conservação da energia para realizar o balanço

energético entre a energia interna da massa que entra no volume de controle, a potência do

movimento do pistão e a variação da energia interna no volume de controle (PERONDI

2002). Um esquema do escoamento de um fluído na câmara é mostrado na Figura 2.3.


Figura 2.3 – Escoamento de um fluído na câmara energética.

onde SC é a superfície de controle e VC o volume de controle.

Antes de equacionar a dinâmica das pressões devem-se assumir algumas hipóteses e

fazer algumas considerações:

1. O ar funciona como um gás perfeito;

2. Os processos são reversíveis e adiabáticos, ou seja, é um processo

isentrópico;

3. As trocas de calor através das paredes do cilindro são desprezíveis, o que

caracteriza um comportamento adiabático;

Segundo Perondi (2002) a realização do balanço energético resulta na seguinte

equação:

) (

1 aa

a

p

ama Vp

dt

d

Rdt

Vd

C

pTq

γ=− (2.1)

onde T é a temperatura do ar de suprimento, dtdmq ama /= é a vazão mássica na câmara A

do cilindro, ap é a pressão na câmara A do cilindro, R a constante universal dos gases,

vp CC /=γ a relação entre os calores específicos do ar, pC e vC são os calores específicos

do ar a pressão constante e a volume constante, respectivamente, e aV é o volume na câmara

A.

Considerando que o volume total de cada câmara do cilindro é dado pela soma dos

volumes variáveis das câmaras com os respectivos volumes mortos, tem-se:

0 Aa VyAV += (2.2)


onde A é a área do êmbolo, y o deslocamento e 0AV o volume morto na câmara A incluindo as

tubulações. Derivando a equação (2.7) tem-se que a taxa de variação desse volume é yAVa&& =

onde y& é a velocidade do êmbolo.

Como a pressão de suprimento é mantida constante e a de exaustão é à pressão

atmosférica, assume-se que as vazões mássicas são funções não lineares das pressões nas

câmaras do cilindro e da tensão u aplicadas a servoválvula, ou seja, ),( amama puqq = e

),( bmbmb puqq = para as câmaras A e B respectivamente conforme descritas na literatura

(VIEIRA, 1998; BOBROW e MCDONELL, 1998; PERONDI 2002;), além de considerar a

saturação a partir da velocidade sônica do ar.

Dessa forma utilizando a relação )1/()( −= γγRC p , e derivando a equação (2.1) em

relação à ap tem-se:

),(

00

upqyAV

TRp

yAV

yAp ama

A

a

A

a+

++

−=γγ &

& (2.3)

Análogo para câmara B obtém-se;

),(

00

upqyAV

TRp

yAV

yAp bmb

B

b

B

b−

−−

=γγ &

& (2.4)

Utilizando-se da 2ª Lei de Newton para o equilíbrio das forças no pistão, tem-se:

peatr FFFyM =++&& (2.5)

onde M é a massa deslocada, y&& a aceleração do cilindro, atrF é a força de atrito, eF é a força

externa considerada zero neste trabalho e pF a força pneumática resultante da diferença de

pressão nas câmaras do cilindro dada por )( ba ppA − . A Figura 2.4 mostra o equilíbrio das

forças no êmbolo do cilindro.


Figura 2.4 – Equilíbrio das forças no êmbolo do cilindro.

A parcela de atrito considerada neste trabalho é yB & , onde B é o coeficiente de atrito

viscoso. Sendo assim pode-se reescrever a equação (2.5) da seguinte forma:

)) )(((1

yBppAM

y ba&&& −−= (2.6)

As equações (2.3), (2.4) e (2.6) definem um modelo dinâmico não linear de 4ª ordem

para o atuador pneumático.

2.4 Modelo matemático da válvula

As equações (2.3) e (2.4) descrevem um modelo dinâmico onde as vazões mássicas

nos orifícios dependem da tensão de controle u e também das pressões nas câmaras. Na

literatura estudada encontram-se equações usadas para descrever a dinâmica da vazão mássica

através de orifícios. Algumas delas serão descritas nesta seção.

Em Bobrow e Mcdonel (1998), tem-se o equacionamento para a vazão mássica

através de orifícios que são funções não lineares das pressões nas câmaras do cilindro e da

tensão u aplicado a servoválvula, ou seja, ),( amama puqq = e ),( bmbmb puqq = para as

câmaras A e B respectivamente.

A seguir é apresentado um esquema que mostra o estrangulamento de um trecho da

tubulação da seção de passagem de fluído:


Figura 2.5 – Estrangulamento da seção transversal de uma tubulação.

sendo dp a pressão a montante e

up a pressão a jusante no orifício da válvula. Tem-se

também que )(00 uAA = , é a abertura relativa da servoválvula de controle.

Assumem-se as hipóteses de que a velocidade da passagem do gás é constante, o

escoamento é unidirecional e condição estática a montante para o gás (PERONDI 2002).

As equações (2.7) e (2.8) representam as vazões nas câmaras do cilindro como

descritas em Bobrow e Mcdonel (1998), onde se têm dois casos, quando a vazão é saturada ou

sônica e quando a vazão é subsônica. A equação é considerada sônica ou saturada quando a

relação 582,0/ ≤ud pp e subsônica quando 582,0/ >ud pp onde 0,582 é considerada a

relação crítica das pressões caracterizando a passagem do estado subsônico para saturado.

≤→

+=

>→

−

+=

−

+

+

528.0 1

2

),(

528.0 )1(

2 ),(

1

1

0

)1 (2

0

u

duama

u

d

u

d

u

duama

p

p

TRpAupq

p

p

p

p

p

p

TRpAupq

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

(2.7)

≤→

+=

>→

−

+=

−

+

+

528.0 1

2 ),(

528.0 )1(

2 ),(

1

1

0

)1 (2

0

u

dubmb

u

d

u

d

u

dubmb

p

p

RTpAupq

p

p

p

p

p

p

RTpAupq

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

(2.8)

A vazão mássica passa de sônica para saturada no instante em que a relação

582,0/ =ud pp e que é camada de relação crítica.


Um dos grandes problemas desta equação é no sinal de controle que neste caso não

está explicito na equação. Isto dificulta a aplicação de um controlador não linear que leve em

consideração as características não lineares do sistema.

Em Perondi (2002) o modelo matemático da válvula como em Bobrow e McDonell

(1998) é dado pelo produto de uma função que depende das tensões aplicadas à servoválvula

por uma função das pressões a montante e ajusante como descrita na equação (2.9).

)(),(][),,( max ufppfquppq udupmdum = (2.9)

Sendo max][ mq é a vazão mássica máxima através do orifício, ),( du ppf é a função

das pressões e )(uf é a função das tensões u aplicados a servoválvula.

Segundo Perondi (2002), considerando que a pressão de suprimento ( sp ) é constante

e a pressão de enchimento é a própria pressão atmosférica, pode-se considerar que no

enchimento a pressão a montante su pp = e a pressão ajusante é a pressão na câmara A ou B

do cilindro, dessa forma as equações para enchimento podem ser escritas da seguinte forma:

)( )( ][),( max ufpfqupq ench

uaa

ench

pa

ench

maa

ench

a = (2.10)

)( )( ][),( max ufpfqupq ench

ubb

ench

pb

ench

mbb

ench

b = (2.11)

Na exaustão, a pressão a montante é a pressão dentro da câmara A ou B, ou seja,

au pp = ou bu pp = dependendo da câmara que estamos esvaziando. As equações (2.12) e

(2.13) para a exaustão podem ser escritas da seguinte forma:

)( )( ][),( max ufpfqupq esv

uaa

esv

pa

esv

maa

esv

a = (2.12)

)( )( ][),( max ufpfqupq esv

ubb

esv

pb

esv

mbb

esv

b = (2.13)


As funções de pressão e tensão são levantadas experimentalmente, considerando que

o êmbolo está parado dessa forma o volume é constante e a velocidade do êmbolo é nula.

Com isso das equações (2.3) e (2.4), tem-se:

)(

)),(( tpTR

Vutpq aama

&= (2.14)

e

)(

)),(( tpTR

Vutpq bbmb

&−= (2.15)

Dessa forma basta obter as curvas experimentais da pressão em função do tempo, a

variável tempo e o respectivo sinal u aplicado a servoválvula e a partir daí:

1. Para cada caso de enchimento e exaustão, medir a pressão ao longo do tempo;

2. Calcular a derivada da pressão ao longo do tempo e a vazão em função do

tempo através das equações (2.14) e (2.15);

3. Obter as curvas estáticas da relação vazão-pressão;

4. Obter os valores das vazões mássicas máximas em cada câmara;

5. Os valores máximos das vazões obtidas no passo 2 são utilizadas para

normalizar as funções do passo 2, resultando nas funções da vazão em função

da tensão;

6. Normalizar as curvas da vazão mássica-pressão calculadas no passo 3 pelos

respectivos valores máximos da vazão mantendo-se a tensão constante para

obter as correspondentes funções de pressão.

Para o ajuste funções da tensão e da pressão utiliza-se o método dos mínimos

quadrados com polinômios de 3ª ordem. Mais detalhes sobre o levantamento desta equação

pode ser obtido em Perondi (2002).

Em Rao et al. (2008) tem-se a modelagem da vazão mássica através de dados

experimentais e o processo até chegar à equação é semelhante ao usado por Perondi (2002) e

constata-se que a equação que melhor se aproxima é uma equação bi polinomial descrita pela

equação (2.16). Também é observado que, no caso de enchimento da câmara, a modelagem é

de mais difícil obtenção devido à saturação da vazão mássica através dos orifícios.


228

27

26

25

432

210

),(

aaa

aaaama

pubpububupb

upbubpbpbbupq

+++

+++++= (2.16)

onde 0b , 1b , 2b , 3b , 4b , 5b , 6b , 7b e 8b são os coeficientes constantes.

2.5 Discussões

Este capítulo apresentou o equacionamento do modelo matemático não linear de 4ª

ordem, que leva em conta à dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro, o movimento do

êmbolo. Também mostra como alguns pesquisadores vêm modelando a vazão mássica e os

problemas que eles vêm encontrando.

Um dos grandes problemas nas equações encontradas na literatura é a dificuldade em

isolar o sinal de controle, necessário quando utilizado uma metodologia de controle que leve

em consideração as características não lineares do sistema, como, por exemplo, a metodologia

de controle ótimo, sendo assim, requer mais recursos computacionais para resolução.

As equações das vazões mássicas mostradas na Seção 2.4 mostram a necessidade de

deduzirmos uma nova equação. Esse trabalho será desenvolvido no próximo capítulo.

34

3 MODELAGEM MATEMÁTICA DA VAZÃO MÁSSICA A PARTIR DE TESTES

EXPERIMENTAIS

3.1 Introdução

Na Seção 2.4 foi mostrado como a vazão mássica através de orifícios vem sendo

modelada. Neste capítulo apresenta-se uma nova equação de modelagem através de curvas da

pressão em função do tempo levantadas experimentalmente.

A descrição da bancada usada nos testes experimentais é mostrada na Seção 3.2. Na

Seção 3.3 descreve-se o método utilizado no levantamento das curvas experimentais. A Seção

3.4 mostra os resultados experimentais e como foi obtida a nova equação para a vazão

mássica. Discussões sobre os resultados obtidos neste capítulo são realizadas na Seção 3.5.

3.2 Descrição da bancada de testes usada nos experimentos

A bancada de testes utilizada neste trabalho é composta basicamente de três

componentes:

1. Sistemas de medição;

2. Componentes pneumáticos;

3. Sistema de controle e aquisição de dados;

Os sistemas de medição citados no item 1 são compostos de transdutores de pressão

que permitem medir a pressão de suprimento e também a pressão no reservatório de ar

comprimido.

Os componentes pneumáticos são compostos de servoválvula proporcional, utilizada

para controlar o escoamento de ar comprimido, de um reservatório de ar comprimido. Uma

foto do cilindro e do transdutor de pressão é mostrada na Figura 3.1. Uma foto da

servoválvula está apresentada na Figura 3.2.

Capítulo 3 – Modelagem matemática da vazão mássica 35

Figura 3.1 – Foto do transdutor de pressão e do reservatório de ar.

Figura 3.2 – Foto da servoválvula usada nos testes experimentais.

Como sistema de controle e aquisição de dados utiliza-se uma placa DS 1102

(dSPACE, 1996), especialmente projetada para sistemas de controle e aquisição de dados. Ela

é composta de quatro conversores analógico-digital (entradas ADC) e quatro conversores

digital-analógico (saída DAC). Nesses conversores a placa possui um sistema de aquisição de

dados e também um sistema de acoplamento Matlab/Simulink. Esse acoplamento permite a

programação do sistema de controle diretamente no Simulink e mais, a captura dos dados em

tempo real através do banco de dados do Matlab, permitindo a análise detalhada dos

resultados obtidos. A Figura 3.3 mostra uma foto do sistema de aquisição.


Figura 3.3 – Foto do equipamento usado na aquisição de dados.

Um esquema da bancada experimental usada no levantamento das curvas é mostrado

na Figura 3.4, onde o sistema de controle e aquisição de dados é montado em um

microcomputador PC. O sistema pneumático é composto pelo reservatório de ar comprimido

e pela servoválvula pneumática de controle direcional. Os sensores permitem medir a pressão

de suprimento, e a pressão no reservatório.

Figura 3.4 – Desenho esquemático da bancada de testes experimentais.

A Tabela 3.1 mostra os principais componentes e parâmetros da bancada

experimental de testes:


Tabela 3.1 - Principais componentes e parâmetros da bancada de testes.

Componente Fabricante Código/catálogo Especificações

Servoválvula de Controle

Direcional Festo MPYE-5-1/8

5 vias e 3 posições

vazão = 700 l/min.

Transdutores de Pressão Gefran TKG E 1 M 1DM 0 - 10 bar

Reservatório de ar

comprimido Pró-Ar RA 080.500.1 Volume = 2,51.10-3 m3

3.3 Método utilizado no levantamento das curvas experimentais

Para realização dos experimentos utiliza-se o reservatório de ar comprimido, os

experimentos basearam-se basicamente em aplicar uma tensão u em malha aberta à

servoválvula e capturar a pressão em função do tempo. Ao aplicar um sinal positivo, o carretel

da servoválvula se desloca no sentido esquerda para direita. Com isso, a pressão de

suprimento é liberada através do orifício A, ocasionando o enchimento do reservatório. Ao

aplicar o sinal negativo, o carretel que estava aberto para pressão de suprimento se desloca no

sentido direita para esquerda liberando o ar comprimido para atmosfera esvaziando o

reservatório. A Figura 3.5 mostra um esquema do funcionamento para o caso de enchimento

do reservatório e a Figura 3.6 para o de exaustão, ambas pelo orifício A.


Figura 3.5 – Esquema do funcionamento para caso de enchimento do reservatório.

Figura 3.6 – Esquema do funcionamento para caso de exaustão do reservatório.

Para os casos de exaustão e enchimento pelo orifício B o processo será o contrário,

ou seja, para o caso de enchimento deve ser aplicado um sinal negativo e, para o caso de

exaustão, positivo.

Os experimentos foram feitos com o auxílio do diagrama de blocos elaborado com a

ferramenta computacional Matlab/Simulink e o toolbox da placa eletrônica dSPACE.


3.4 Resultados experimentais e a nova equação da vazão mássica

Nesta seção apresentam-se os resultados experimentais e também todo o processo

usado para levantar a equação da vazão mássica a partir das curvas da pressão em função do

tempo, obtidas experimentalmente.

As curvas experimentais referentes à pressão em função do tempo para cada tensão

aplicada a servoválvula no caso de enchimento do reservatório para vazão pelo orifício A,

estão apresentadas na Figura 3.7, e, para o caso de exaustão, na Figura 3.8.

Figura 3.7 – Curvas experimentais tensão versus pressão pelo orifício A.


Figura 3.8 – Curvas experimentais tensão versus pressão pelo orifício A.

Observa-se que para uma tensão aplicada a servoválvula entre –1 e 1 volts não houve

abertura suficiente para que ocorresse uma vazão que enchesse ou esvaziasse integralmente a

câmara em 20 s. Isso ocorre devido ao fato do ressalto do carretel ser maior que o orifício da

servoválvula. Porém, ainda ocorre vazão devido a vazamentos. Essa não linearidade é

definida como zona morta. A partir de agora, as curvas referentes às aberturas –1 e 1 serão

desconsideradas, ou seja, serão compensados para facilitar os ajustes das funções da tensão

seguindo a metodologia proposta em Valdiero et al. (2008), onde a não linearidade de zona

morta foi identificada e compensada para a mesma válvula utilizada neste trabalho.

Como o levantamento das funções da tensão e da pressão é feito no reservatório de ar

comprimido, pode-se dizer que o êmbolo do cilindro está parado e no ponto de equilíbrio, ou

seja, velocidade zero e, consequentemente, a volume constante. Dessa forma, a partir de agora

será considerado a vazão pelo orifício A, como enchimento ou exaustão da câmara A, e pelo

orifício B, como enchimento ou exaustão da câmara B. Com isso, das equações 2.3 e 2.4, tem-

se que:


)(),( tpRT

Vupq aama

&= (3.1)

e

)(),( tpRT

Vupq bbmb

&−= (3.2)

Observa-se que as equações (3.1) e (3.2) são funções da pressão e da tensão e que

para calcular a vazão mássica, necessita-se da derivada da pressão. O próximo passo,

portanto, é encontrar, para cada caso de tensão, uma equação que aproxime melhor uma curva

teórica para os dados levantados experimentalmente. Para o caso de exaustão a curva

escolhida é dada pela equação exponencial (3.3),

t

septp )( α= (3.3)

onde sp é a pressão de suprimento, t a variável tempo, )(tp é a pressão ao longo do tempo e

α é a constante ideal dada pelo ajuste. A Figura 3.9 mostra a comparação entre a curva

experimental obtida para uma abertura do orifício A da servoválvula quando aplicado uma

tensão de -5 V e a curva obtida pela equação exponencial (3.3) com valor de α ajustado para

6362,0−=α .


Figura 3.9 – Comparação entre a curva experimental e o ajuste exponencial.

No caso de enchimento utiliza-se uma abertura referente a uma tensão de 5 V. Para a

aproximação do enchimento foi escolhido um polinômio de 3ª ordem mostrado na equação

(3.4),

322

13

0)( ctctctctp +++= (3.4)

onde 0c 1c 2c e 3c são as constantes ideais dadas pelo ajuste. A Figura 3.10 mostra a

comparação para o caso de enchimento da câmara A para os valores de coeficientes

-80 104,0272×=c , 4

1 10-2,3646×=c , 52 102,5064×=c e 03 =c .


Figura 3.10 – Comparação entre a curva experimental e o ajuste polinomial.

Os ajustes, tanto o polinomial, quanto o exponencial, foram obtidos através de

métodos de ajuste não linear, usando a função NLINFIT do software MATLAB.

Há uma dificuldade em obter a derivada numérica, por isso, a necessidade de usar a

derivada analítica. Portanto, o passo seguinte é derivar as equações encontradas para o caso de

enchimento e exaustão da câmara e calcular a vazão em função do tempo através das

equações (3.1) e (3.2), isso para cada abertura da servoválvula. As derivadas destas equações

são dadas pela equação (3.5) para enchimento e equação (3.6) para exaustão:

t

s

esv

a eptp )( αα=& (3.5)

212

0 23)( ctctctpench

a ++=& (3.6)

A partir de agora, será usada a diferença de pressão, pois isso facilitará nos ajustes

seguintes essa diferença de pressão é dada pelas equações (3.7) e (3.8).


<−=∆

≥−=∆=∆

0)(

0 )( sup

useppp

usepppp

atma

esv

a

a

ench

a

a (3.7)

≥−=∆

<−=∆=∆

0)(

0 )( sup

useppp

usepppp

atmb

esv

b

b

ench

b

b (3.8)

Dessa forma obtêm-se as curvas da vazão versus diferença de pressão experimental

para cada abertura da servoválvula. As curvas mostradas na Figura 3.11 são para o caso de

enchimento da câmara A. A Figura 3.12 mostra as curvas para o caso de exaustão. As curvas

para o caso de enchimento e exaustão da câmara B são semelhantes às da câmara A.

Figura 3.11 – Curvas ajustadas da vazão de enchimento versus diferença de pressão.


Figura 3.12 – Curvas ajustadas da vazão de exaustão versus diferença de pressão.

Na sequência basta achar a equação que gera uma curva que melhor se ajuste a cada

curva mostrada nas figuras 3.11 e 3.12. Em ambos os casos as curvas da vazão foram

aproximadas por funções de um coeficiente que depende da abertura da válvula multiplicado

diretamente pela diferença de pressão, equivalente a retas cujas inclinações dependem da

tensão u. Desta forma, têm-se as seguintes equações:

ench

a

ench

a

ench

ma pukupq ∆= )(),( (3.9)

esv

a

esv

a

esv

ma pukupq ∆= )(),( (3.10)

ench

b

ench

b

ench

mb pukupq ∆= )(),( (3.11)

esv

b

esv

b

esv

mb pukupq ∆= )(),( (3.12)


onde p∆ é a diferença de pressão em um determinado orifício da válvula e k(u) é a inclinação

da reta variando com cada abertura da servoválvula e com o sentido da vazão (enchimento ou

exaustão). A Figura 3.13 mostra o ajuste para o caso de enchimento quando se aplica uma

tensão de 5 V e a Figura 3.14 mostra para o caso de exaustão quando aplica-se uma tensão de

-5 V ambos para o orifício A da servoválvula.

Figura 3.13 – Comparação entre as curvas da vazão de enchimento versus diferença de

pressão experimental e a ajustada para uma abertura de 5 V.


Figura 3.14 – Comparação entre as curvas da vazão de exaustão versus diferença de pressão

experimental e a ajustada para uma abertura de válvula de -5 V.

Observa-se que a inclinação da reta varia em cada ajuste, dessa forma pode-se

construir uma malha que mostra a variação de todas as inclinações. A Tabela 3.2 mostra os

valores usados para gerar a malha, no caso de enchimento da câmara A, e são mostrados na

Figura 3.15. A Tabela 3.3 mostra para o caso de exaustão da câmara A e estão apresentados

na Figura 3.16, onde k são os valores das inclinações da reta para cada abertura de

servoválvula, sc e cc são os valores da tensão respectivamente sem compensação da zona

morta, com compensação. As curvas para enchimento e exaustão da câmara B são análogas à

câmara A.


Tabela 3.2 – Valores ajustados para gerar a malha da Figura 3.17.

Tensão

u(volts) ench

aa

ench

ma pukupq ∆= )(),(

sc cc

Ajuste

K

∆p = 0,2e5 ∆p = 0,5e5 ∆p = 1e5 ∆p = 2e5 ∆p = 3e5 ∆p = 4e5 ∆p = 5e5 ∆p = 6e5

10 9 0,984e-8 0,196e-3 0,492e-3 0,984e-3 1,969e-3 2,953e-3 3,937e-3 4,922e-3 5,906e-3

9 8 1,001e-8 0,200e-3 0,501e-3 1,001e-3 2,002e-3 3,003e-3 4,004e-3 5,005e-3 6,006e-3

8 7 0,998e-8 0,199e-3 0,499e-3 0,998e-3 1,996e-3 2,994e-3 3,993e-3 4,991e-3 5,989e-3

7 6 1,021e-8 0,204e-3 0,510e-3 1,021e-3 2,041e-3 3,062e-3 4,083e-3 5,103e-3 6,124e-3

6 5 1,036e-8 0,207e-3 0,518e-3 1,036e-3 2,073e-3 3,109e-3 4,145e-3 5,181e-3 6,218e-3

5 4 1,087e-8 0,217e-3 0,543e-4 1,087e-3 2,174e-3 3,261e-3 4,348e-3 5,434e-3 6,521e-3

4 3 1,050e-8 0,210e-3 0,525e-3 1,050e-3 2,100e-3 3,151e-3 4,201e-3 5,251e-3 6,301e-3

3 2 0,927e-8 0,185e-3 0,463e-3 0,927e-3 1,854e-3 2,781e-3 3,708e-3 4,635e-3 5,562e-3

2 1 0,599e-8 0,110e-3 0,290e-3 0,590e-3 1,199e-3 1,799e-3 2,399e-3 2,999e-3 3,599e-3

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Figura 3.15 – Curvas da diferença de pressão versus vazão variando com a tensão u.



Tensão

u(volts) esv

aa

esv

ma pukupq ∆= )(),(

sc cc

Ajuste

K

∆p = 0,2e5 ∆p = 0,5e5 ∆p = 1e5 ∆p = 2e5 ∆p = 3e5 ∆p = 4e5 ∆p = 5e5 ∆p = 6e5

-10 -9 -1,400e-8 -0,292e-3 -0,731e-3 -1,461e-3 -2,922e-3 -4,384e-3 -5,845e-3 -7,306e-3 -8,767e-3

-9 -8 -1,440e-8 -0,288e-3 -0,720e-3 -1,440e-3 -2,881e-3 -4,321e-3 -5,761e-3 -7,202e-3 -8,642e-3

-8 -7 -1,440e-8 -0,288e-3 -0,720e-3 -1,440e-3 -2,880e-3 -4,319e-3 -5,759e-3 -7,199e-3 -8,638e-3

-7 -6 -1,431e-8 -0,286e-3 -0,715e-3 -1,431e-3 -2,861e-3 -4,292e-3 -5,723e-3 -7,154e-3 -8,585e-3

-6 -5 -1,403e-8 -0,281e-3 -0,701e-3 -1,403e-3 -2,806e-3 -4,209e-3 -5,611e-3 -7,014e-3 -8,417e-3

-5 -4 -1,373e-8 -0,275e-3 -0,687e-3 -1,373e-3 -2,747e-3 -4,121e-3 -5,494e-3 -6,868e-3 -8,241e-3

-4 -3 -1,289e-8 -0,258e-3 -0,644e-3 -1,289e-3 -2,578e-3 -3,866e-3 -5,155e-3 -6,444e-3 -7,733e-3

-3 -2 -1,093e-8 -0,219e-3 -0,546e-3 -1,093e-3 -2,186e-3 -3,279e-3 -4,372e-3 -5,465e-3 -6,558e-3

-2 -1 -0,580e-8 -0,116e-3 -0,290e-3 -0,580e-3 -1,161e-3 -1,741e-3 -2,322e-3 -2,902e-3 -3,4830e-3

-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Figura 3.16 – Curvas da vazão versus diferença de pressão variando com a tensão u.

Como a inclinação da reta varia com a tensão u pode-se também aproximar uma

curva para essa inclinação, tanto para a câmara enchendo quanto esvaziando. As equações

obtidas através das aproximações são:


) 2()( uarctguk enchench β= (3.13)

) 2()( uarctguk esvesv β= (3.14)

onde enchβ e esvβ são coeficientes constantes calculados pelo ajuste dado pelas equações

(3.13) e (3.14). Utilizando-se de métodos de ajuste não linear, usando a função NLINFIT do

software MATLAB obteve-se os seguintes valores para os coeficientes: 81069501,0 −×=enchβ

e 810898105,0 −×=esvβ . A Figura 3.17 mostra as curvas ajustadas para a inclinação versus

tensão u para a câmara A e B enchendo. Uma curva análoga é obtida para o caso esvaziando.

Figura 3.17 – Inclinação k versus tensão u para câmaras A e B enchendo.

Substituindo as equações (3.13) e (3.14) nas equações (3.9), (3.10), (3.11) e (3.12)

tem-se as equações da vazão mássica através de orifícios:

ench

a

ench

a

ench

ma puarctgupq ∆= ) 2( ),( β (3.15)


esv

a

esv

a

esv

ma puarctgupq ∆= ) 2( ),( β (3.16)

ench

b

ench

b

ench

mb puarctgupq ∆= ) 2( ),( β (3.17)

esv

b

esv

b

esv

mb puarctgupq ∆= ) 2( ),( β (3.18)

A Figura 3.18 mostra a malha dada pela Equação (3.15) e a Tabela 3.4 mostra os

valores usados para gerar a respectiva malha. A Figura 3.19 mostra a malha dada pela

Equação 3.16 e a Tabela 3.4 mostra os valores usados para gerar essa malha. Para os casos da

câmara B as Tabelas e Figuras são semelhantes.


Sinal de entrada

u (Volts)

ench

a

ench

a

ench

ma puarctgupq ∆= ) 2(),( β

sc cc ∆p = 0,2e5 ∆p = 0,5e5 ∆p = 1e5 ∆p = 2e5 ∆p = 3e5 ∆p = 4e5 ∆p = 5e5 ∆p = 6e5

10 9 0,211e-3 0,527e-3 1,053e-3 2,106e-3 3,159e-3 4,213e-3 5,266e-3 6,319e-3

9 8 0,210e-3 0,524e-3 1,048e-3 2,097e-3 3,145e-3 4,193e-3 5,248e-3 6,290e-3

8 7 0,208e-3 0,521e-3 1,042e-3 2,084e-3 3,126e-3 4,169e-3 5,211e-3 6,253e-3

7 6 0,207e-3 0,516e-3 1,034e-3 2,068e-3 3,102e-3 4,136e-3 5,170e-3 6,204e-3

6 5 0,204e-3 0,511e-3 1,022e-3 2,045e-3 3,067e-3 4,090e-3 5,112e-3 6,135e-3

5 4 0,201e-3 0,503e-3 1,005e-3 2,011e-3 3,016e-3 4,021e-3 5,026e-3 6,032e-3

4 3 0,195e-3 0,488e-3 0,977e-3 1,954e-3 2,931e-3 3,908e-3 4,885e-3 5,862e-3

3 2 0,184e-3 0,461e-3 0,921e-3 1,843e-3 2,764e-3 3,686e-3 4,607e-3 5,529e-3

2 1 0,154e-8 0,385e-3 0,769e-3 1,539e-3 2,308e-3 3,078e-3 3,847e-3 4,617e-3

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Figura 3.18 – Curvas da diferença de pressão versus vazão versus tensão u câmara A.


Tensão

u (Volts)

esv

a

esv

a

esv

ma puarctgupq ∆= ) 2( ),( β

sc cc ∆p = 0.2e5 ∆p = 0.5e5 ∆p = 1e5 ∆p = 2e5 ∆p= 3e5 ∆p = 4e5 ∆p = 5e5 ∆p = 6e5

-10 -9 -0,272e-3 -0,680e-3 -1,361e-3 -2,722e-3 -4,083e-3 -5,444e-3 -6,804e-3 -8,165e-3

-9 -8 -0,271e-3 -0,677e-3 -1,355e-3 -2,709e-3 -4,064e-3 -5,419e-3 -6,773e-3 -8,128e-3

-8 -7 -0,269e-3 -0,673e-3 -1,347e-3 -2,693e-3 -4,040e-3 -5,387e-3 -6,733e-3 -8,080e-3

-7 -6 -0,267e-3 -0,668e-3 -1,336e-3 -2,672e-3 -4,008e-3 -5,344e-3 -6,680e-3 -8,016e-3

-6 -5 -0,264e-3 -0,661e-3 -1,321e-3 -2,642e-3 -3,964e-3 -5,285e-3 -6,606e-3 -7,927e-3

-5 -4 -0,260e-3 -0,649e-3 -1,299e-3 -2,598e-3 -3,897e-3 -5,196e-3 -6,495e-3 -7,794e-3

-4 -3 -0,252e-3 -0,631e-3 -1,262e-3 -2,525e-3 -3,787e-3 -5,050e-3 -6,312e-3 -7,574e-3

-3 -2 -0,238e-3 -0,595e-3 -1,191e-3 -2,381e-3 -3,572e-3 -4,763e-3 -5,954e-3 -7,144e-3

-2 -1 -0,199e-3 -0,497e-3 -0,994e-3 -1,989e-3 -2,983e-3 -3,977e-3 -4,972e-3 -5,966e-3

-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0


Figura 3.19 – Curvas da diferença de pressão versus vazão versus tensão u câmara A.

Com o intuito de facilitar a implementação computacional e também a elaboração do

projeto do controlador define-se duas funções sinais:

<−

≥−=∆=

0 )(

0 )())(,(

sup

1usepp

usepppusignpg

esv

atma

ench

a

aa

β

ββ (3.19)

≥−

<−=∆=

0 )(

0 )())(,(

sup

2usepp

usepppusignpg

esv

atmb

ench

b

bb

β

ββ (3.20)

Finalmente, a nova equação da vazão mássica através de orifícios é dada pelas

equações (3.21) e (3.22):

) 2( ))(,(),( 1 uarctgusignpgpuq aama = (3.21)


) 2( ))(,(),( 2 uarctgusignpgpuq bbmb = (3.22)

3.5 Modelo matemático não linear de 4ª ordem com inclusão da nova equação da

vazão mássica

A combinação das equações da dinâmica da variação das pressões nas câmaras do

cilindro, e da equação do movimento do êmbolo, fornece o modelo não linear de 4ª ordem que

descreve o comportamento dinâmico do atuador pneumático e é descrito pelas seguintes

equações:

) )((1

yBppAM

y ba&&& −−= (3.23)

),(

00

upqyAV

TRp

yAV

yAp ama

A

a

A

a+

++

−=γγ &

& (3.24)

),(

00

upqyAV

TRp

yAV

yAp bmb

B

b

B

b−

−−

=γγ &

& (3.25)

onde ),( upq ama e ),( upq bmb são respectivamente as vazões nos orifícios da servoválvula e

são dadas pelas equações (3.21) e (3.22).

O modelo não linear descrito pelas equações diferenciais acima pode ser escrito na

forma de variáveis de estado, considerando yy =1 , yy &=2 , apy =3 e bpy =4 , da seguinte

forma:

21 yy =& (3.26)


)( 4322 yyM

Ay

M

By −+−=& (3.27)

)),( ( 332

103 uyqTRAyy

yAVy ma

A

+−+

=γ

& (3.28)

)),( ( 442

104 uyqTRAyy

yAVy mb

B

−−

=γ

& (3.29)

onde 1y é a posição do êmbolo, 2y a velocidade, 3y e 4y as pressões nas câmaras A e B do

cilindro, respectivamente.

3.6 Discussões

A Seção 3.4 mostrou-se o equacionamento da vazão mássica através de orifícios,

obtido a partir do levantamento experimental das curvas da pressão em função do tempo para

cada abertura de servoválvula usando as equações (3.1) e (3.2) para obter as vazões em função

da pressão e tensão.

Uma das vantagens dessa equação é a facilidade em obter a derivada analítica da

pressão em função do tempo, já que a derivada numérica é difícil de ser obtida devido a

ruídos gerados na curva experimental.

Para algoritmos de controle que levam em conta todas as características não lineares

do sistema, é necessária a inversão do sinal u, o que é possível através da nova equação da

vazão mássica apresentada neste capítulo. Pode-se citar também que essa equação é de fácil

implementação e requer menos recursos computacionais para sua resolução.

56

4 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL E VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL

DO MODELO ADOTADO

4.1 Introdução

Este capítulo trata da implementação computacional, validação experimental e a

simulação numérica em malha aberta do modelo matemático formulado nos capítulos 2 e 3,

que descreve o servoposicionador pneumático.

Para a resolução do sistema de equações diferenciais utiliza-se a ferramenta

computacional Matlab/Simulink (6.5), utilizando-se o método de integração Runge-Kutta com

o passo de 0.001 s.

O Matlab é um software muito utilizado para simulação numérica de problemas

científicos que integra ferramentas de análise numérica, cálculo matricial, processamento de

dados e geração de gráficos. O Simulink é uma extensão do Matlab no qual está disponível

uma extensa biblioteca de blocos pré-definidos, no qual se pode expressar um modelo

matemático linear ou não linear na forma de diagramas de blocos, sendo apropriado para

simulação numérica.

A implementação computacional do modelo em malha aberta é mostrada na Seção

4.2. A Seção 4.3 mostra a descrição da bancada de testes usada nos testes experimentais. Na

Seção 4.4 apresenta-se a descrição dos parâmetros utilizados nas simulações. A Seção 4.5

apresenta a validação experimental do modelo em malha aberta. A simulação numérica do

modelo em malha aberta para entradas em degrau e senoidal está apresentada na Seção 4.6, e

por fim, a Seção 4.7 apresenta as discussões e resultados alcançados nesta etapa do trabalho.

Capítulo 4 – Implementação computacional e validação 57

4.2 Implementação computacional do modelo

Esta seção apresenta detalhadamente a metodologia usada na implementação

computacional do modelo matemático descrito na Seção 3.5.

A Figura 4.1 mostra o diagrama de blocos utilizado para a simulação

computacional do modelo matemático não linear de 4ª ordem representado pelas equações

(2.3), (2.4), (2.6), (3.21) e (3.22). O primeiro bloco representa a entrada do sistema dinâmico,

caracterizando um sinal de controle em malha aberta u. O sinal de entrada em malha aberta

permite o estudo do comportamento das variáveis de estado do sistema.

Figura 4.1 – Diagrama de blocos usado na simulação do modelo.

A seguir tem-se a explicação dos demais subsistemas do diagrama de blocos

mostrados na Figura 4.1, que são divididos em diagrama de blocos da equação da válvula,

equação das pressões nas câmaras do cilindro, dada pela equação da continuidade e equação

do movimento do êmbolo.

A Figura 4.2 é a representação em forma de diagrama de blocos das equações (3.21)

e (3.22) que representam, respectivamente, as equações das vazões mássicas pelos orifícios de

passagem de ar A e B da válvula. A entrada neste subsistema é o sinal de controle, mas

também possuiu a realimentação das pressões nas câmaras A e B do cilindro, ap e bp ,

respectivamente, resultando num acoplamento dinâmico do subsistema da válvula com o

subsistema da equação da continuidade nas câmaras do cilindro. As variáveis de saída são as

vazões nas câmaras do cilindro maq e mbq .


Além das não linearidades presentes na equação da vazão da válvula, a zona morta

está presente em válvulas proporcionais de controle direcional. A não linearidade de zona

morta é uma imperfeição causada pela sobreposição do ressalto do carretel da servoválvula

em relação ao orifício de passagem do ar sob pressão, uma vez que a largura do ressalto do

carretel é maior que a largura do orifício (VALDIERO et al. 2008). Este tipo de imperfeição é

bastante comum em sistemas mecânicos principalmente em servoválvulas mecânicas e

principalmente em válvulas de centro (BAVARESCO et al. 2006), sendo desconsiderada no

diagrama de bloco da Figura 4.2.

Figura 4.2 – Diagrama de blocos da equação da vazão mássica.

A Figura 4.3 mostra o subsistema do diagrama de blocos da equação da continuidade

do cilindro, dada pelas expressões (2.3) e (2.4). Tendo como variáveis de entrada as vazões

maq e mbq nas câmaras A e B do cilindro, respectivamente. A variação da posição do êmbolo

do cilindro em função do tempo é realimentada e provém do subsistema seguinte, acarretando

mais um acoplamento dinâmico no atuador pneumático. As variáveis de saída são as pressões

nas câmaras do cilindro ap e bp . Considerando que as pressões iniciais nas câmaras, aip e

bip não são nulas, é necessário determiná-las para que a simulação numérica apresente

resultados adequados de previsão do comportamento dinâmico.

Os valores das pressões iniciais são obtidos a partir da equação do movimento para

aceleração, velocidade e posição iniciais, e devem ser configurados como condição inicial nos


respectivos blocos de integração. Deve ser observado que a força de atrito estático deve ser

nula.

No caso de parte experimental, para melhor precisão, devem-se usar as pressões

iniciais obtidas através de ensaios em bancada de testes.

Considerando a posição, a velocidade e aceleração inicial nulas, tem-se a equação do

equilíbrio:

atmba pppp −=−sup (4.1)

Logo:

atmba pppp +−= sup (4.2)

atmab pppp +−= sup (4.3)

Considerando que para equação do movimento a posição, velocidade e aceleração

são nulas, têm-se:

ab pp = (4.4)

Substituindo a equação (4.3) em (4.1) obtêm-se:

2

)( sup atm

a

ppp

+=

(4.5)

Pelo fato do sistema estar na posição inicial zero, tem-se que aia pp = e bib pp = ,

portanto:

2

)( sup atm

ai

ppp

+=

(4.6)


aiatmbi pppp −+= sup (4.7)

A seguir é apresentado o diagrama do subsistema da equação da continuidade no

cilindro:

Figura 4.3 – Diagrama de blocos da equação das pressões nas câmaras.

A Figura 4.4 representa o diagrama de blocos do subsistema da equação do

movimento do êmbolo do cilindro (2.6). A entrada é a força pneumática que resulta das

equações das pressões ap e bp e a saída é a velocidade y& (representada no diagrama de

blocos por dy) e a posição y do êmbolo do cilindro pneumático. As condições iniciais para

posição e velocidade geralmente configuram-se como nulas, ou seja, quando o êmbolo está

parado, como foi representado na Figura 4.3, pois tal configuração facilita a determinação das

condições iniciais para as pressões.


Figura 4.4 – Diagrama de blocos da equação do movimento.

4.3 Descrição da bancada de testes usada na validação experimental

A bancada de testes usada para obter as curvas para validar o modelo proposto é

composta de um cilindro pneumático e sem haste, um transdutor de posição, uma

servoválvula pneumática e um sistema de aquisição de dados. A servoválvula pneumática e o

sistema de aquisição foram relatados na Seção 3.2.

O cilindro atuador usado possui um êmbolo conectado a um cursor que movimenta a

carga acoplada. O atuador é o elemento que aplica a força sobre a carga para levá-lo a posição

desejada. O deslocamento do cilindro e as posições assumidas pelo mesmo são medidas por

intermédio de um transdutor de posição. Este transdutor é acoplado ao cursor do atuador.

Cada posição que o transdutor assume equivale a um sinal em tensão que é enviado ao

controlador. A Figura 4.5 mostra uma foto do transdutor de posição e do cilindro pneumático

usado.


Figura 4.5 – Foto do transdutor de posição e do cilindro pneumático

Um esquema da bancada experimental utilizada para testes do sistema de

posicionamento servo-pneumático é mostrada na Figura 4.6, onde o sistema de controle e

aquisição de dados mostrado na Seção 3.2 é montado em um microcomputador PC.

Figura 4.6 – Desenho esquemático da bancada de testes usada na validação experimental.

Cilindro pneumático sem haste

Transdutor de posição


A Tabela 4.1 mostra os principais componentes e parâmetros da bancada

experimental usada nos testes da validação:

Tabela 4.1 - Principais componentes e parâmetros da bancada de testes.

Componente Fabricante Código/catálogo Especificações

Servoválvula de

Controle Direcional Festo MPYE-5-1/8

5 vias e 3 posições

vazão = 700 l/min.

Transdutor de

Posição Festo MLO-POT-1000-TLF Curso = 1000 mm

Cilindro pneumático

sem haste Rexroth

43.98

520 602 020 0

Curso = 1000 mm

Diâmetro = 25 mm

4.4 Determinação dos parâmetros do servoposicionador

Os parâmetros das simulações numéricas foram obtidos através de medições feitas na

bancada de testes já citada anteriormente, disposta no Laboratório de Automação do Campus

Panambi da UNIJUÍ, e consulta de catálogos dos fabricantes ou literatura estudada. Os

parâmetros estão apresentados na Tabela 4.2.


Tabela 4.2 - Principais parâmetros do sistema não linear.

Parâmetros do sistema Descrição

Pap 5sup 106 ×= Pressão de suprimento

Papatm

5101×= Pressão atmosférica

241091.4 mA−×= Área do êmbolo

340 105.2 mVA

−×= Volume morto na câmara A

340 105.2 mVB

−×= Volume morto na câmara B

KJkgR /287= Constante universal dos gases

KT 293= Temperatura do ar de suprimento

mL 1= Curso útil do cilindro

mNsB / 90= Coeficiente de atrito viscoso

4.1=γ Adimensional Relação entre os calores específicos do ar

KgM 125.10= Massa inercial do cilindro

4.5 Validação experimental do modelo em malha aberta

Para realização da simulação numérica do modelo proposto usada na validação como

já citado anteriormente utilizou-se a ferramenta computacional Matlab/Simulink, utilizando-se

do método de integração Runge-kutta com o passo de 0,001 s.

A metodologia usada nos testes experimentais consistiu em posicionar o êmbolo do

cilindro em uma das extremidades do curso (posição recuado m 48,0−=y e posição de

avançado m 31,0=y , devido a batentes nos finais de curso) e aplicar um sinal de controle em

degrau variando entre 2± V em malha aberta e realizar a aquisição das variáveis tempo e

posição.

A Figura 4.7 refere-se à comparação entre a posição obtida experimentalmente, a

obtida através da simulação numérica do modelo com a vazão mássica teórica dada pelas

equações (2.7) e (2.8) e o modelo com a vazão proposta neste trabalho para o movimento de


recuo, validando o modelo para os parâmetros mostrados na Tabela 4.2. A validação para o

movimento de avanço é mostrado na Figura 4.8:

Figura 4.7 – Gráfico comparativo do teste experimental com o da simulação para o movimento de recuo.


Figura 4.8 – Gráfico comparativo do teste experimental com o da simulação para o movimento de avanço.

Um problema na vazão mássica teórica, além da dificuldade em isolar o sinal de

controle, está na dificuldade em estimar a área efetiva do orifício de passagem do ar da

servoválvula, pois varia com a tensão aplicada à servoválvula. A área do orifício utilizada nas

simulações numéricas do modelo com a vazão teórica foi de 60 102 −×=A .

A simulação numérica completa do modelo teórico para vazão pode ser encontrada

em Endler et a.l (2008a) e Endler et al. (2008b).

4.6 Resultados da simulação em malha aberta

Nesta seção apresenta-se o resultado das simulações computacionais do modelo

matemático de 4ª ordem proposto neste trabalho. Os parâmetros usados nas simulações foram

detalhados na Tabela 4.2. O diagrama de blocos utilizado está representado na Figura 4.1,


onde foram comentadas as condições de simulação. Realizaram-se simulações com entrada

senoidal e com entrada em degrau, cujos resultados são mostrados a seguir.

4.6.1 Simulação com entrada senoidal

O sinal de controle senoidal permite observar os efeitos nas variáveis de estado

causados por uma variação contínua da entrada. Além disso, permite a análise do

comportamento do sistema nas inversões de movimento do atuador pneumático. Para o sinal

de entrada senoidal, recomenda-se a escolha de uma amplitude e uma freqüência tal que a

variável de estado não ultrapasse os limites físicos de fim de curso. Neste trabalho utilizou-se

uma senoide de amplitude 5 V e freqüência de π2 rad/s, regulada de modo que durante a

simulação o deslocamento do êmbolo do cilindro não ultrapassasse o fim do curso definido.

A Figura 4.9 mostra o comportamento do sinal de controle senoidal e da posição do

êmbolo do cilindro atuador ao longo do tempo.

Figura 4.9 – Entrada senoidal e posição do êmbolo do cilindro.


Na Figura 4.10 apresenta-se o comportamento da velocidade e aceleração do êmbolo

do cilindro ao longo do tempo.

Figura 4.10 – Velocidade e aceleração do êmbolo do cilindro para entrada senoidal.

A Figura 4.11 refere-se à dinâmica das pressões câmaras do cilindro pneumático e as

vazões pelos orifícios de passagem de ar. Note que vazão positiva significa ar entrando e

vazão negativa ar saindo da câmara. As pressões partem de valores iniciais pré-estabelecidos

através da condição inicial, pode-se observar que justamente enquanto a pressão na câmara A

está aumentando até a pressão de suprimento a pressão na câmara B está diminuindo até a

pressão atmosférica e vice e versa.

Acele

ração [m

/s 2

] V

elo

cid

ad

e [

m/s

]

Tempo [s]


Figura 4.11 – Pressões e vazões nas câmaras do cilindro para entrada senoidal.

4.6.2 Simulação com entrada em degrau

O sinal de controle em degrau permite a análise do comportamento das variáveis de

estado do atuador pneumático em partidas rápidas que são muito comuns em diversas de suas

aplicações. Para realizar as simulações, recomenda-se que para cada valor de degrau utilizado

seja regulado um tempo de simulação tal que sejam respeitados os limites de fim de curso

comentado anteriormente. Pelo fato do equacionamento utilizado na simulação não considerar

os limites de curso do atuador, para uma entrada de 2 V foi regulado o tempo de simulação de

1 s.

A Figura 4.12 mostra a dinâmica da entrada em degrau e a posição gerada regulando

o tempo de simulação para não ultrapassar o fim de curso.


Figura 4.12 – Entrada em degrau e posição do êmbolo do cilindro.

A Figura 4.13 representa a velocidade e aceleração do êmbolo do cilindro do atuador

pneumático ao longo do tempo de simulação


Figura 4.13 – Velocidade e aceleração do atuador ao longo do tempo para entrada em degrau.

A Figura 4.14 mostra a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro e as vazões

pelos orifícios de passagem do ar da servoválvula. Observa-se que há vazão entrando na

câmara A, e consequentemente, vazão saindo da câmara B. Verifica-se que após alguns

décimos de segundos de simulação, tanto as vazões quanto as pressões se estabilizam em

torno do ponto de equilíbrio.

Acele

ração [

m/s

2]

Velo

cid

ad

e [

m/s

]

Tempo [s]


Figura 4.14 – Dinâmica das pressões e vazões nas câmaras do cilindro para entrada em degrau.

Os resultados de simulação apresentados nesta seção ilustram a eficiência da

metodologia proposta para a implementação dos diagramas de blocos e permitem observar o

comportamento dinâmico do atuador pneumático. Deve-se precaver da limitação física dos

fins de curso e estabelecer adequadamente as condições inicias para que seja garantida a

convergência do método numérico utilizado nas simulações, seguindo as recomendações da

Seção 4.

4.7 Discussões

Este capítulo apresentou inicialmente a implementação computacional do modelo

não linear de 4ª ordem. Na seqüência apresentou-se a descrição da bancada de testes e a dos

parâmetros do atuador pneumático, bem como a validação do modelo em malha aberta. Por


fim foi apresentada a simulação numérica do modelo em malha aberta, importante para

analisar o comportamento das variáveis de estado do sistema.

Os diagramas de blocos do modelo do atuador pneumático podem ser usados para

elaboração de estratégias de controle e também para realização da melhoria e modificações

nos protótipos experimentais

A validação do modelo se faz importante, pois reproduz numericamente o processo

físico que está acontecendo num devido instante de tempo, sendo assim o modelo proposto

possibilita a implementação de um controle preciso que faz parte do objetivo deste trabalho.

Os resultados apresentados na validação garantem a eficiência da metodologia

proposta para a simulação numérica através da implementação dos diagramas de blocos.

Os resultados da simulação numérica em malha aberta utilizando o equacionamento

teórico da vazão foram publicados em Endler et al. (2008a) e Endler et al. (2008b).

74

5 CONTROLE DE SERVOPOSICIONADORES PNEUMÁTICOS

5.1 Introdução

Este capítulo apresenta a estratégia de controle em cascata para o servoposicionador

pneumático. O controle em cascata visa superar as limitações impostas pelos controladores

clássicos e conseguir um bom desempenho no posicionamento preciso e no segmento de

trajetória. Esta estratégia consiste em interpretar o sistema em dois subsistemas

interconectados, ou seja, um subsistema mecânico e um subsistema pneumático. O subsistema

mecânico é dado pela equação do movimento do êmbolo do cilindro, enquanto que o

subsistema pneumático consiste na equação dada pela dinâmica das pressões nas câmaras do

cilindro e a equação da vazão mássica nos orifícios da servoválvula.

Sistemas de automação e controle são de extrema importância para o mundo atual.

Em praticamente todas as atividades humanas encontram-se exemplos de sistemas de

controle. Estes sistemas apresentam-se de maneira mais notável em processos industriais e de

fabricação automatizados.

Na engenharia de controle, dois sistemas de controles são utilizados: o controle em

malha aberta e o controle em malha fechada. O sistema de controle em malha aberta consiste

em aplicar um sinal de controle pré-definido esperando-se que o sistema tenha um

comportamento adequado ao sinal dado. A Figura 5.1 mostra um esquema do funcionamento

de um controle em malha aberta.

Figura 5.1 – Sistema de controle em malha aberta.

Capítulo 5 – Controle de servoposicionadores pneumáticos 75

No controle em malha fechada o sinal é determinado a partir da avaliação dos

desvios entre o sinal de saída e o sinal de entrada tendo por objetivo corrigir estes desvios.

Um diagrama básico de um controle em malha fechada é mostrado na Figura 5.2.

Figura 5.2 – Sinal de controle em malha fechada.

Ogata (1998), ao comparar os dois sistemas de controle, destaca vantagens do

controle em malha fechada pelo fato de que o uso da realimentação torna a resposta do

sistema relativamente insensível a perturbações externas e a variações internas dos parâmetros

do sistema, sendo assim um controle robusto. Pelo ponto de vista da estabilidade, o sistema

em malha aberta é menos problemático, ao contrário do sistema em malha fechada, que, ao

tentar corrigir erros, pode ocasionar oscilações de amplitude constantes ou crescentes em

relação ao tempo.

A Seção 5.2 apresenta uma breve descrição de controladores clássicos usados em

servoposicionadores pneumáticos e também a técnica de controle ótimo por realimentação

para sistemas não lineares. O projeto de controle do servoposicionador pneumático é

apresentado na Seção 5.3. Na Seção 5.4 apresenta-se a análise da estabilidade do controle. A

implementação computacional da lei de controle é apresentada na Seção 5.5. O planejamento

das trajetórias, os resultados das simulações numéricas do modelo com controle em cascata e

o resultado estão apresentados respectivamente nas seções 5.6, 5.7 e 5.8. Finalmente a Seção

5.9 apresenta as discussões sobre os resultados alcançados nesta fase do trabalho.


5.2 Breve descrição de controle de servoposicionadores pneumáticos

Em Perondi (2002) e Bavaresco (2007) encontra-se uma ampla revisão sobre

controle de servoposicionadores pneumáticos e também como superar as limitações

encontradas no sistema de posicionamento.

Existem diversas técnicas de controle de sistemas dinâmicos, algumas baseadas no

modelo que descreve o comportamento dinâmico do sistema, e outras não. Apresenta-se aqui

uma breve descrição dos controladores clássicos, proporcional (P), proporcional-derivativo

(PD), proporcional-integral (PI), proporcional-integral-derivativo (PID) e controlador de

estados.

O projeto de controladores clássicos baseia-se na teoria de controle linear e o

desempenho do atuador é limitado. Os ganhos desses controladores ficam restritos a pequenos

valores, pois para valores altos podem levar a instabilidade do sistema.

No controle proporcional (P), a saída (u) do controlador é um sinal diretamente

proporcional ao erro de posição (y − yd). Este erro é considerado a diferença algébrica entre a

posição medida e a posição desejada. Portanto, a saída do controlador depende apenas da

amplitude do erro no instante de tempo. Assim

)( dprop yyku −= (5.1)

onde propk é o ganho proporcional.

No controle proporcional derivativo (PD), a saída (u) do controlador é um sinal

diretamente proporcional ao erro de posição somado com uma parcela diretamente

proporcional ao erro de velocidade, ou seja:

)()( dddprop yykyyku && −+−= (5.2)

onde dk é um ganho proporcional a velocidade chamado de ganho derivativo e )( dyy && − é a

derivada do erro em relação ao tempo.

Com o controlador (PD) conseguem-se respostas mais rápidas para o sistema, pois a

parcela derivativa amortece a parte oscilatória podendo-se aumentar o ganho proporcional


sem causar oscilações no sistema. Porém, o ganho proporcional continua limitado e, também,

para que se utilize o controlador PD, é necessária a medição da velocidade ou sua obtenção de

forma numérica.

No controle proporcional-integral, a saída é a soma de um sinal diretamente

proporcional ao erro de posição com um sinal proporcional a integral a esse erro. Sendo

assim:

dtyykyyku

t

ddprop ∫ −+−=0

i )()( (5.3)

onde ik é o ganho integral.

O controle proporcional-integral-derivativo (PID) é a união das parcelas

proporcional, integral e derivativa. Dessa forma, a saída u é:

)( )( )( 0

dd

t

didprop yykdtyykyyku && −+−+−= ∫ (5.4)

O controlador de estados leva em conta a realimentação das variáveis de estados do

sistema. No caso do sistema em estudo pode-se realimentar a posição, velocidade e a

aceleração. Sendo assim a saída de um controlador de estados com realimentação da posição,

velocidade e aceleração, pode ser escrita da seguinte forma:

ykykyyku avdprop&&& )( −−−= (5.5)

onde vk e ak são respectivamente os ganhos da velocidade e da aceleração.

Com intuito de superar as limitações impostas pelos controladores clássicos e obter

um bom desempenho no posicionamento preciso e seguimento de trajetória pode-se optar por

um controlador em cascata. Tal metodologia já foi implementada com sucesso no controle de

sistemas de posicionamento hidráulico (VALDIERO 2005, DILDA 2008) e no controle de

servoposicionadores pneumáticos (GUENTHER et al. (2006), PERONDI 2002). Como já

citado na Seção 5.1, essa metodologia baseia-se na redução de ordem do sistema dividindo


um sistema em dois subsistemas, possibilitando a aplicação de diferentes estratégias de

controle para cada subsistema.

Neste trabalho adota-se a metodologia de controle em cascata. Para o cálculo da lei

do subsistema mecânico utiliza-se a metodologia de controle ótimo linear por realimentação

proposta por Rafikov e Balthazar (2005), já utilizada com sucesso em Bavaresco (2007) e

para o subsistema pneumático propõem-se uma lei de controle com linearização por

realimentação (SLOTINE e LI 1991). Na seqüência mostra-se o desenvolvimento deste

trabalho.

5.2.1 Controle ótimo por realimentação para sistemas não lineares

Nesta metodologia, proposta por Rafikov e Balthazar (2005), o sistema não linear

deve ser escrito na forma de variáveis de estado, conforme a Equação (5.6).

)( 1 xgxAx +=& (5.6)

onde nRx ∈ é o vetor de estados, nxnRA 1 ∈ é a matriz dos coeficientes da parte linear do

sistema, )(yg é formado de funções não lineares e contínuas do sistema.

O sistema controlado tem a seguinte forma:

UxgxAx ++= )( 1& (5.7)

onde U é o vetor controle e é composto de duas parcelas,

td uuU += (5.8)

onde du é a parcela feedforward, ou seja a parcela que mantém o sistema na trajetória

desejada e tu a parcela feedback que estabiliza o sistema em torno da trajetória desejada.

A parcela feedforward pode ser escrita da seguinte forma:


)( dddd xgxAxu −−= & (5.9)

A parcela feedback é definida pela equação (5.10):

uBut 1= (5.10)

onde nxmRB 1 ∈ é uma matriz constante e u é o vetor controle.

Definindo o desvio da trajetória em torno da trajetória desejada, tem-se:

dxxx −=~ (5.11)

Substituindo as equações (5.9) e (5.10) na equação (5.8) tem-se:

uBxgxAxU ddd )( 11 +−−= & (5.12)

Usando (5.12) em (5.7) chega-se à seguinte equação escrita na forma de desvios:

uBxgxAxxgxAx ddd )( )( 111 +−−++= &&

uBxgxgxxAxx ddd )()()( 11 +−+−=− &&

uBxgxgxAx d )()(~ ~11 +−+=& (5.13)

A parte não linear do sistema pode ser escrita como:

xxxGxgxg dd

~ ),()()( =− (5.14)

onde a matriz ),( dxxG deve ser limitada e seus elementos funções de x e dx . Admitindo

(5.14), o sistema (5.13) tem a forma:

uBxxxGxAx d ~ ),(~ ~11 ++=& (5.15)


sendo o controle linear por realimentação de estados

xPBRuT ~ 1

1−−= (5.16)

ótimo para transferir o sistema não linear (5.15) de um estado inicial para um estado final

0)(~ =∞x (5.17)

minimizando o funcional

∫∞

+=0

) ~ ~~( dtuRuxQxJ

TT (5.18)

onde nxnRP ∈ é matriz simétrica e satisfaz a Equação de Riccati

0 11

111 =+−+ −QPBRBPPAAP

TT (5.19)

onde as matrizes nxnRQ ∈ e nxnRR ∈ são constantes, definidas positivas, sendo Q simétrica,

tais que a matriz

),( ),(~

dd

T xxGPPxxGQQ −−= (5.20)

seja definida positiva para a matriz G .

A prova de estabilidade é mostrada nas seções (5.5) e (5.6).


5.3 Projeto de controle do servoposicionador pneumático

O controle em cascata baseia-se basicamente na interpretação do sistema em dois

subsistemas interconectados, ou seja, um subsistema mecânico acionado por um subsistema

pneumático. A Figura 5.3 mostra um esquema do atuador pneumático dividido em dois

subsistemas.

Figura 5.3 – Interpretação do sistema do atuador pneumático com dois subsistemas

interconectados.

A idéia é projetar uma lei de controle para pdf (força pneumática desejada), para o

subsistema mecânico, de maneira que a saída y siga a trajetória desejada dy o mais próximo

possível e então projetar uma lei de controle para o subsistema pneumático de modo que este

gere uma força pneumática necessária pf .

Inicialmente, define-se a força pneumática:

)( bap ppAf −= (5.21)


Derivando a equação (5.21) tem-se

)( bap ppAf &&& −= (5.22)

Substituindo as equações (2.3) e (2.4) na equação (5.22), tem-se:

)),(( ) 2( )),(( )2(

2211

22

12

ba

bap

pusigguarctgfTRApusigguarctgfTRA

pyfApyfAf

+

+−−= &&&

(5.23)

Sendo que 1f e 2f são definidos pelas equações (5.24) e (5.25):

yAVyf

A )(

01

+=

γ (5.24)

yAVyf

B )(

02

−=

γ (5.25)

Dessa forma pode-se reescrever o modelo do atuador:

pfyByM +−= &&& (5.26)

),,,(),,,( uyppûppyyhf babap += && (5.27)

onde ),,,( ba ppyyh & é definida pela equação (5.28) e ),,,( uyppû ba pela equação (5.29):

) (),,,( 22

12

baba pyfApyfAppyyh &&& +−= (5.28)

)),(( ) 2(

)),(( ) 2( ),,,(

22

11

b

aba

pusigguarctgfTRA

pusigguarctgfTRAuyppû += (5.29)


Define-se o vetor erro de segmento da força pneumática como:

pdpp fff −=~

(5.30)

assim,

ppdp fff~

+= (5.31)

Substituindo a equação (5.31) na equação (5.26) tem-se:

ppd ffyByM~

++−= &&& (5.32)

),,,(),,,( uyppûppyyhf babap += && (5.33)

As equações (5.32) e (5.33) são as equações que descrevem o modelo do

servoposicionador pneumático. A equação (5.32) descreve o subsistema mecânico e a (5.33) o

subsistema pneumático. O projeto de controle pode ser descrito como:

(i)-Projetar uma lei de controle para o subsistema mecânico de modo que a saída

)(ty siga uma trajetória )(tyd o mais próximo possível, mesmo na presença da perturbação

pf~

e então

(ii)-Projetar uma lei de controle )(tu para que o subsistema pneumático tal que pf

siga o vetor de forças pneumáticas desejadas pdf tão próximo quanto possível

A estratégia de controle em cascata em malha fechada, resultante da lei de controle

do subsistema mecânico e do subsistema pneumático está apresentado na Figura 5.4.


Figura 5.4 – Interpretação do sistema pneumático com dois subsistemas interconectados e o

controle em cascata.

5.3.1 Controle do subsistema mecânico

Para o subsistema mecânico utiliza-se a lei de controle ótimo proposta por Rafikov e

Balthazar (2005).

O subsistema mecânico pode ser escrito na forma de variáveis de estado como

descrito abaixo:

21 yy =& (5.34)

M

f

M

fy

M

By

pdp++−=

~

22& (5.35)

onde 1y é a posição e 2y a velocidade.

Para o modelo adotado a lei de controle é:


M

fU

pd= (5.36)

Dessa forma a parcela feedforward é a seguinte:

M

fy

M

Byu

p

ddd

~

22 −+= & (5.37)

O desvio da trajetória pode ser definido como:

=

−

−=

2

1

22

11

~

~~

y

y

yy

yyx

d

d (5.38)

Para calcular a parcela feedback usa-se a equação (5.39).

uBxgxgxAx d )()(~ ~11 +−+=& (5.39)

onde:

−=

M

BA0

10

1 (5.40)

=

M

B 1

0

1 (5.41)

A escolha das matrizes Q e R é feita por tentativa e erro e sua escolha influencia

diretamente na estabilidade do controle. No caso da matriz Q geralmente a escolha é por uma

matriz diagonal. Segundo Ogata (1998) a resposta do sistema se dá pela escolha do elemento

11q e, quanto maior for este elemento em relação aos outros elementos da diagonal e aos de


R , mais rápida será a resposta. Deve-se tomar cuidado que a escolha da matriz Q não

ultrapasse as limitações físicas do sistema, como, por exemplo, a saturação do sinal de

controle da servoválvula, que está entre 10± V.

=

22

11

0

0

q

qQ (5.42)

][ 11rR = (5.43)

A escolha da matriz Q e R é feita através da simulação numérica do controle.

Resolvendo a equação algébrica de Riccati através da função LQR do Matlab

encontramos a matriz P , e os elementos da matriz U são calculados pela equação

xPBRUT ~][ 1

1−−= .

=

2221

1211

pp

ppP (5.44)

xuuU ~][ 1211−= (5.45)

Dessa forma tem-se:

212111~ ~ yuyuut −−= (5.46)

Somando a parcela feedforward com a parcela feedback tem-se a lei de controle do

subsistema mecânico:

21211122~ ~

~

yuyuM

fy

M

ByU

p

dd −−−+= & (5.47)

Substituindo (5.47) em (5.36), tem-se:


)( )( ~

2212111122 ddpddpd yyuMyyuMfyByMf −−−−−+= & (5.48)

Assim, a força pneumática necessária para controlar o sistema é dada pela Equação

(5.48).

Considere a seguinte função de Lyapunov

xPxV T ~ ~1 = (5.49)

definida positiva, cuja derivada temporal é dada por

uRuxQxV TT ~ ~~

1 −−=& (5.50)

onde Q~

e R são definidas positivas.

Há dificuldade de calcular Q~

analiticamente, para isso leva-se a formulação de uma

função )(th mostrada na Equação (5.50)

xQxth T ~ ~~)( = (5.51)

a qual caracteriza a soma dos desvios quadrados do sistema da trajetória desejada. Se )(th é

definida positiva, então Q~

também é definida positiva e desta forma o controle é estável. A

positividade da função )(th é mostrada através de simulação numérica na seção 5.7.

As condições que garantem a estabilidade do subsistema mecânico controlado

através do controle ótimo linear por realimentação estão apresentadas em Rafikov e Balthazar

(2005).


5.3.2 Controle do subsistema pneumático

Para subsistema pneumático propõe-se a lei de controle por realimentação proposta

pela seguinte equação:

pppdbaba fkfppyyhuyppû~

),,,(),,,( −+−= && (5.52)

onde ),,,( ba ppyyh & é dado pela equação (5.28), pdf& é a derivada da equação (5.48), pk é o

ganho de pressão na válvula e pf~

é dado pela equação (5.30). Usando a equação (5.29) que

define a ),,,( uyppû ba é possível encontrar o sinal de controle u , ou seja, a lei de controle do

subsistema pneumático:

+

−++=

))(,( ))(,(

~

5,02211

22

21

usigpgTRAfusigpgTRAf

fkfpyAfpyAftgu

ba

pppdba&&&

(5.53)

Observa-se que a função u depende da função sinal, sendo assim, deve-se usar uma

função auxiliar para o caso ideal *u (PERONDI 2002) que é dada pela Equação (5.54), e não

depende da função sinal.

),,,(*bapd ppyyhfu && −= (5.54)

Combinando as equações (5.30), (5.33), (5.48) e (5.52) obtém-se a expressão que

representa a dinâmica dos erros de seguimento de trajetória da força pneumática em malha

fechada, dada por:

ppp fkf~~

−=& (5.55)

Considere a seguinte função positiva


22

~

2

1pfV = (5.56)

Empregando (5.55) obtém-se a derivada de (5.56) em relação ao tempo:

22

~pp fkV −=& (5.57)

Esta expressão é utilizada na análise de estabilidade apresentada na Seção 5.4.

5.4 Análise da estabilidade

Ao se projetar um sistema de controle, a característica mais importante é a

estabilidade global deste sistema a partir do conhecimento de seus componentes. Considere o

sistema hidráulico em malha fechada decorrente da aplicação do controle cascata:

)52.5)(48.5)(33.5)(32.5(=Ω Admitindo o vetor de erros dados por:

]~

~[ p

TTfx=ρ (5.58)

Para provar a estabilidade exponencial é utilizado o seguinte lema de convergência:

Lema 1 – Se uma função real 0)( ≥tV satisfaz a desigualdade 0)()( ≤+ tVtV α& onde α é um

número real, então teVtV α−≤ )0()( (SLOTINE e LI, 1991).

Prova: Considere a função candidata a Lyapunov dada por:

21 VVV += (5.59)

Esta expressão pode ser escrita como:

ρρ NV T= (5.60)


Onde ρ é dado por (5.58) e N é definida como:

=

0,5 0 0

0

0

2221

1211

pp

pp

N (5.61)

onde N é uma matriz definida positiva, e os elementos 11p , 12p , 21p e 22p são os elementos

da matriz P .

A derivada temporal de )( 21 VVVV &&& += é obtida a partir de (5.50) e (5.57).

2~ ~

~~pp

TTfkuRuxQxV −−−=& (5.62)

Pelo método direto de Lyapunov tem-se que o sistema Ω é assintóticamente estável

com relação ao vetor de estados ρ , se V é definida positiva e V& é definida negativa.

Os resultados que mostram que V& é definida negativa são apresentados na Seção 5.8,

e feito através de simulação numérica do controle para o sistema direcionado às trajetórias

desejadas, uma vez que, há dificuldade em encontrar algebricamente a matriz Q~

.

5.5 Implementação computacional do modelo com controle em cascata

Nesta seção apresenta-se as simulações computacionais do modelo com o controle

em cascata. As simulações numéricas do modelo controlado foram realizadas direcionando o

sistema a um ponto fixo, para a trajetória senoidal desejada e para a trajetória polinomial de 7ª

ordem. Para as simulações numéricas, como já citado na Seção 3.4 utilizou-se o software

Matlab/Simulink. Foi configurado o método de integração Runge-Kutta de 4ª ordem com

passo de 0,001 s usando o comando ODE4 do Matlab. Os parâmetros são os apresentados no

Capítulo 4.

A implementação do diagrama de blocos do controlador em cascata está dividida em

dois subsistemas, ou seja, a lei de controle do subsistema mecânico e a lei de controle do


subsistema pneumático. Os diagramas de blocos referentes ao modelo matemático são os

mesmos da Seção 4.2. A Figura 5.5 mostra o diagrama de blocos do sistema com o

controlador em cascata.

Figura 5.5 – Diagrama de blocos do controle do sistema controlado.

Na lei de controle do subsistema mecânico tem-se como entrada a trajetória desejada

e a realizada e a saída é a força pneumática desejada e a sua derivada, como já mostrado na

Seção 5.3. A Figura 5.6 mostra o diagrama de blocos da lei de controle do subsistema

mecânico.

Figura 5.6 – Diagrama de blocos do controle do subsistema mecânico.


Na lei de controle do subsistema mecânico tem-se como entrada a força pneumática

desejada e a sua derivada, gerada pela lei do subsistema mecânico e como saída o sinal de

controle u, como já mostrado na Seção 5.3. Na Figura 5.7 é apresentado o diagrama de blocos

da lei do subsistema pneumático.

Figura 5.7 – Diagrama de blocos do controle do subsistema pneumático.

Para fins de comparação também se utiliza o controlador proporcional. A Figura 5.8

mostra o diagrama de blocos utilizado na simulação.

Figura 5.8 – Diagrama de blocos do controlador proporcional.


Para implementação do controle proporcional, o ganho proporcional, propk , foi

regulado quando se leva o sistema para um ponto fixo, sendo este ganho de 1. Caso for usado

um ganho maior a convergência será mais rápida, mas isso pode levar à instabilidade do

sistema. A Figura 5.9 mostra a trajetória quando é aplicado um ganho de 3.

Figura 5.9 – Posição com controle proporcional usando ganho 3.

5.6 Planejamento das trajetórias

As simulações computacionais do modelo matemático controlado foram realizadas

direcionando o sistema a um ponto fixo e para as trajetórias desejadas, senoidal e polinomial

de 7ª ordem.

Para direcionar o sistema a um ponto fixo desejado configuram-se as condições

iniciais 0=y , 0=dy e 02 =yd . Sendo que o ponto escolhido foi o seguinte:


=

0

0

2,0

y (5.63)

O objetivo dessa trajetória é analisar o comportamento quando o sistema desloca-se a

uma posição com um deslocamento desejado.

A trajetória desejada senoidal é descrita pela equação (5.64) em que a amplitude é de

0,4 m e o período é st . Foi testada uma trajetória senoidal com períodos de 4 s, tendo por

objetivo avaliar o desempenho do controlador nos trechos de inversão de movimento.

= t

ty

s

d

πcos4,0 (5.64)

Na Figura 5.10 observa-se o gráfico da trajetória desejada senoidal regulado com um

tempo de simulação de 20 s com período de 4 s e amplitude de 0,4 m

Figura 5.10 – Trajetória desejada senoidal.


Para a segunda trajetória utiliza-se um polinômio de sétima ordem com trechos de

parada próximo das extremidades. Optou-se por esse polinômio, pois possui uma

característica fundamental que é a existência da derivada da primeira, segunda e terceira

ordem, utilizadas no controlador proposto. Para que esta trajetória apresente suavidade é

preciso que sejam reguladas condições iniciais e finais compatíveis para a trajetória e suas

derivadas até terceira ordem.

Para a equação polinomial de sétima ordem (5.65),

762

53

44

35

26

17

0)( atatatatatatataty +++++++= (5.65)

têm-se as seguintes condições iniciais:

0)0()0()0(,)0( ==== yyyPiy &&&&&& (5.66)

e

0)()()(,)( ==== eeee tytytyDeslty &&&&&& (5.67)

onde et é o tempo de deslocamento da trajetória polinomial , Desl é a distância percorrida

sobre a trajetória polinomial e Pi a posição inicial do atuador.

Para os testes realizados foram escolhidos trechos de parada py de 5 s e trechos de

deslocamento através da trajetória dy também de 5 s. O início da trajetória se dá com um

trecho de parada na posição -0,4 m do cilindro, seguido de um trecho de deslocamento até a

posição 0,4 m. Após o período de parada retorna a posição inicial através da função dy− . A

trajetória desejada com duas repetições pode ser descrita pela Equação (5.68), os trechos de

subida e descida são caracterizados pelo polinômio de sétima ordem dpy dado pela Equação

(5.69).


≥−

<<−−−

≤≤

<<−−

≤≤−

<<−−−

≤≤

<<−−

≤−

=

;40,4.0

4035,4.0)35(

3530,4.0

3025,4.0)20(

2520,4.0

2015,4.0)15(

1510,4.0

105,4.0)5(

;5,4.0

)(

t

tty

t

tty

t

tty

t

tty

t

ty

dp

dp

dp

dp

d (5.68)

4252637-4 1048.41015.2106.3102.0480- ttttydp

−−− ×+×−×+×= (5.69)

Na Figura 5.11 observa-se o gráfico da trajetória desejada polinomial com tempo de

parada e deslocamento de 5 s.

Figura 5.11 – Trajetória polinomial de sétima ordem.


5.7 Resultados da simulação em malha fechada

Como já citado na Seção 5.5, deve-se determinar os elementos da matriz Q e R

observando as limitações do sistema. As matrizes usadas nas simulações estão mostradas

abaixo:

×=

1 0

0 101 4

Q (5.70)

[ ] 1 =R (5.71)

Primeiramente foi simulada a trajetória levando o sistema ao ponto fixo desejado

obedecendo a Equação (5.63). Para fins de comparação utiliza-se o controlador proporcional

citado na Seção 5.5. A Figura 5.12 mostra a posição e o erro de posição quando o sistema é

direcionado ao ponto fixo desejado.

Figura 5.12 – Trajetória levando o sistema a um ponto fixo.


Observa-se que com o controle em cascata o sistema atinge mais rapidamente o

ponto desejado e que o erro de posição converge mais rápido para zero

A Figura 5.13 mostra o sinal de controle quando o sistema é conduzido para um

ponto fixo desejado. Observa-se que o sinal de controle não ultrapassa os limites físicos da

servoválvula.

Figura 5.13 – Sinal de controle do sistema levado a um ponto fixo.

A Figura 5.14 mostra a velocidade atingida pelo sistema e o respectivo erro de

velocidade. Observa-se que quando é aplicado o controle em cascata, a velocidade estabiliza

mais rapidamente e também tem um comportamento uniforme o que não ocorre com o

controlador proporcional.


Figura 5.14 – Velocidade e erro de velocidade direcionando o sistema para um ponto fixo.

A Figura 5.15 mostra a força pneumática e o erro de seguimento da força pneumática

e a Figura 5.16 apresenta as vazões pelos orifícios A e B e as pressões nas câmaras do

cilindro.


Figura 5.15 – Força pneumática e erro de seguimento da força pneumática direcionando o

sistema para um ponto fixo.

Figura 5.16 – Vazões e pressões direcionando o sistema para um ponto fixo.


A escolha das matrizes Q e R foi feita através de simulações numéricas do sistema

observando as limitações físicas do sistema. A escolha de um elemento 11q maior irá acarretar

em um sinal de controle que ultrapasse os limites físicos da servoválvula. A Figura 5.17

mostra que o sinal de controle direcionando o sistema para um ponto fixo quando se configura

um ganho 411 1045.1 ×=q ultrapassa os limites de saturação da servoválvula.

Figura 5.17 – Sinal de controle do sistema levado a um ponto fixo.

Com intuito de avaliar o controlador nos trechos de inversão do movimento foi

simulada a trajetória senoidal com período de 4 s e amplitude 0,4 m, o tempo de simulação foi

de 10 s. A Figura 5.18 mostra que o erro de posicionamento com o controle em cascata é

menor que com o controlador proporcional.

A Figura 5.19 mostra que o sinal de controle fica em torno de 5,0± V e que no

controlador proporcional a um atraso no sinal de controle em comparação em cascata.


Figura 5.18 – Posição e erro do sistema para trajetória senoidal.

Figura 5.19 – Sinal de controle do sistema para trajetória senoidal.


Na Figura 5.20 apresentam-se os resultados referentes à velocidade e o erro de

velocidade. Observa-se que no controle proporciona o erro de velocidade é maior que no

controle em cascata. A Figura 5.21 mostra o segmento da força pneumática e o erro de

segmento da força pneumática. As dinâmicas das pressões e das vazões são apresentadas na

Figura 5.22.

Figura 5.20 – Velocidade e erro de velocidade do sistema com trajetória senoidal.


Figura 5.21 – Força pneumática e erro de segmento da força para trajetória senoidal.

Figura 5.22 – Vazão e pressão do sistema para trajetória senoidal com controle cascata.


Com objetivo de analisar o comportamento do sistema nos trechos de parada,

realizou-se simulação com trajetória polinomial de 7ª ordem, a qual obedece a Equação

(5.68), tendo como trecho de parada de 5 s e tempo de simulação de 45 s.

A Figura 5.23 mostra a posição e o erro de posição para a trajetória polinomial de

7ª ordem comparando o controle em cascata com o controle proporcional. O erro de

seguimento posição com o controle proposto é menor que o com controle proporcional. Na

Figura 5.24 apresenta-se o sinal de controle do sistema.

Figura 5.23 – Posição e erro do sistema para trajetória polinomial.


Figura 5.24 – Sinal de controle do sistema para trajetória polinomial.

Na Figura 5.25 apresenta-se a velocidade e erro de velocidade, observa-se que o erro

de velocidade com controle em cascata é menor que com o controle proporcional. A Figura

5.26 mostra o segmento da força pneumática e o erro de segmento da força pneumática. A

dinâmica das pressões e das vazões é mostrada na Figura 5.27.


Figura 5.25 – Velocidade e erro de velocidade para trajetória polinomial.

Figura 5.26 – Força pneumática e erro de segmento da força para trajetória polinomial.


Figura 5.27 – Dinâmica das pressões e das vazões para trajetória polinomial.

5.8 Resultados de simulação da análise da estabilidade

Conforme mencionado na Seção 5.7, para garantir a estabilidade do subsistema

mecânico deve-se garantir a positividade da matriz Q~

através da função )(th a partir do seu

estado inicial )0(~y . Para obter a matriz Q~

é necessário conhecer a matriz G que é composta

da parte não linear do subsistema mecânico que neste caso é linear, portanto a matriz G é

uma matriz nula.

Os gráficos que ilustram o comportamento da função h(t) mostram que esta é

positiva e tende a zero, já os gráficos referentes à função V& ilustram a sua negatividade e

tendência a estabilizar no ponto zero, satisfazendo a condição de estabilidade do controle. As

figuras 5.28 e 5.29, apresentam respectivamente, o gráfico da função h(t) e o da negatividade

de V& , quando direcionado o sistema para um ponto fixo desejado.


Figura 5.28 – Valor de h(t) para o sistema direcionado para um ponto fixo.

Figura 5.29 – Valor de V& para o sistema direcionado para um ponto fixo.


Os resultados apresentados na seqüência são para a trajetória desejada senoidal. A

Figura 5.30 apresenta os valores de h(t), os valores de V& são apresentados na Figura 5.31.

Figura 5.30 – Valor de h(t) para o sistema direcionado a uma trajetória senoidal.


Figura 5.31 – Valor de V& para o sistema direcionado a uma trajetória senoidal.

O comportamento da função h(t) e da função V& para o seguimento da trajetória

polinomial de 7ª ordem está apresentado nas Figuras 5.32 e 5.33 respectivamente. Pode-se

constatar a positividade da função h(t) e a negatividade de V& .


Figura 5.32 – Valor de h(t) para o sistema direcionado a uma trajetória polinomial.

Figura 5.33 – Valor de V& para o sistema direcionado a uma trajetória polinomial.


5.9 Discussões

Neste capítulo apresentou-se inicialmente uma breve descrição sobre controle de

servoposicionadores pneumáticos, enfatizando a técnica de controle ótimo linear para

sistemas não lineares. Logo após foi elaborado o projeto de controle em cascata para o

modelo de 4ª ordem.

Após, realizou-se a implementação computacional e o planejamento das trajetórias

desejadas utilizadas nas simulações do modelo não linear de 4ª ordem, tendo como sinal de

entrada o sinal enviado pelo controlador proporcional e o controlador em cascata. Os

resultados de simulações ilustram a eficiência da técnica de implementação através dos

diagramas de blocos e garantem a validade do controle proposto. O controle proporcional foi

utilizado para fins de comparação.

O planejamento das trajetórias foi feito a fim de que fosse possível analisar o

desempenho do controlador no seguimento de uma trajetória e também de um posicionamento

preciso.

Os resultados obtidos nas simulações computacionais do controle cascata, devido ao

fato de apresentar erros muito pequenos e também estabilidade durante as simulações,

garantem a sua eficiência. Os resultados obtidos na simulação computacional da derivada

temporal da função de Lyapunov adotada na análise de estabilidade comprovam que o sistema

em malha fechada é assintoticamente estável, o que garante a utilização do controle cascata

proposto nesta dissertação.

Alguns resultados sobre o controle proporcional foram publicados em Endler et al.

(2008c).

114

6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS

Apresentou-se a proposta de uma nova equação matemática para a vazão mássica nos

orifícios de uma servoválvula e a implementação desta equação no modelo não linear de 4ª

ordem de um atuador pneumático. Tal modelo, além da equação da vazão nos orifícios da

servoválvula, prevê a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro e também a equação do

movimento do êmbolo do cilindro. Para a força do atrito, considerou-se somente a parcela

correspondente ao atrito viscoso. Utilizou-se este modelo para fazer a validação em um

servoposicionador pneumático e a comparação do o modelo com a vazão clássica.

Essa nova equação tem como ponto positivo a facilidade de obter a derivada analítica

da pressão em função do tempo, uma vez que a derivada numérica é de difícil obtenção. Pode-

se citar também a facilidade de inversão da função da tensão u, dessa forma, a resolução de

todo o sistema requer menos recursos computacionais.

Os resultados em malha aberta mostram a validade da equação proposta para a

dinâmica da vazão mássica. Foi proposto um controlador em cascata para o servoposicionador

pneumático, onde para o subsistema mecânico utilizou-se a metodologia de controle ótimo

por realimentação para sistemas não lineares, que é de fácil implementação e apresenta bons

resultados. Foi feita também a análise da estabilidade que mostrou que o controle tende a

estabilidade no ponto zero.

Os resultados das simulações do controle em comparação com o controle

proporcional mostram as limitações do controle proporcional e a eficiência do controle em

cascata proposto.

Como principais contribuições apresentadas neste trabalho, têm-se:

• Uma nova equação para vazão mássica que facilita a implementação do

controle não linear.

• Uma nova proposta de um controle em cascata para o servoposicionador

pneumático na qual usa para o subsistema mecânico a metodologia de

controle ótimo.

• A validação experimental do modelo em malha aberta e a simulação

computacional da estratégia de controle proposta.

Para o prosseguimento futuro deste trabalho, sugere-se:

• A validação experimental do controlador proposto em bancada de testes.


• A inclusão da dinâmica do atrito em servoposicionadores pneumáticos e a

implementação do controle em cascata com a compensação do atrito.

116

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