UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

DISCIPLINA: Matematica B

PROFESSOR: Gilson Carvalho

4a LISTA DE EXERCICIOS

1. Em cada um dos itens abaixo calcule as derivadas parciais de primeira ordem da funcao.

a)f(x, y) = ex2y. b)f(x, y) = xcos(y − x).

c)f(x, y) = xy2 + xy + x2y. d)f(x, y) = y2ln(x2 + y2).

e)f(x, y) =√a2 − x2 − y2. f)f(x, y) =

√x2 + y2.

g)f(x, y) = 2xy + sen2(xy). h)f(x, y) =√x2 + y2 − 1.

i)f(x, y) =√xy − xy. j)f(w, t) = w2t− 1

t.

k)f(x, y) = ex2

(x2 + y2). l)f(x, y) =

xy

x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0).

m)f(x, y, z) = x2y + xyz2 + x2z. n)f(x, y, z) =1

zln(x2 + y2).

o)f(x, y, z) =x2 + y2

z. p)f(x, y, z) = xsen(yz) + ysen(xz).

2. Encontre a inclinacao da reta tangente a curva resultante da intersecao de z = f(x, y) com o plano

x = x0 no ponto P = (x0, y0, z0).

a) z = 5x− 2y; P = (3,−1, 17).b) z =

√x2 + y2 − 1; p = (1,−1, 1).

3. Encontre a inclinacao da reta tangente a curva resultante da intersecao de z = 3x2 − 2y2 − 5x+ 2y + 3

com o plano y = x2 no ponto P = (1, 2,−3).

4. Use a definicao para mostrar se as funcoes f(x, y) = 2x2 − y2 e g(x, y) = 2xy sao diferenciaveis em R2.

5. Use a definicao para verificar se as funcoes abaixo sao diferenciaveis na origem.

a) f(x, y) = x+ y. b) f(x, y) =

2x5

x2 + y2; (x, y) 6= (0, 0)

0;(x, y) = (0, 0).

6. Indique as regioes de R2 onde f e diferenciavel.

a)f(x, y) = x2y + xy2. b)f(x, y) = exy2

.

c)f(x, y) =x2y

x2 + y2. d)f(x, y) = ln(xy).

1

2

7. Considere

f(x, y) =

2x+ y − 3; se x = 1 ou y = 1

3; se x 6= 1 e y 6= 1.

Calcule∂f

∂x(1, 1) e

∂f

∂y(1, 1). f e diferenciavel em (1, 1)?

8. Se possıvel, determine a equacao do plano tangente ao grafico das funcoes dadas, nos pontos indicados:

a) f(x, y) =√

1− x2 − y2; P1 = (0, 0, 1) e P2 =(

12 ,

12 ,√22

).

b) f(x, y) = xy; P1 = (0, 0, 0) e P2 = (1, 1, 1).

c) f(x, y) =√(x− 1)2 + (y − 1)2 P1 = (1, 1, 0) e P2 = (1, 2, 1)

d) f(x, y) = 2x2 − 3y2 P1 = (0, 0, 0) e P2 = (1, 1,−1)

9. Determine o vetor gradiente das funcoes dadas nos pontos indicados. Em seguida, determine a taxa de

variacao de f em P na direcao do vetor u.

a)z = x√x2 + y2; P = (1, 1); u(1, 1). b)z = x2y + 3xy + y2, P = (0, 3); u = (1, 0).

c)z = sen(3x+ y);P = (0, π/2); u = (0π/3). d)z =√4− x2 − y2; P = (0, 0); u = (1/2,−2).

10. Determine a derivada direcional das funcoes nos pontos indicados na direcao do vetor u.

a)f(x, y) = 1 + 2x√y; P = (3, 4); u = (4,−3). b)f(x, y) = ln(x2 + y2); P = (2, 1); u = (−1, 2).

11. Determine a taxa de variacao maxima de fno ponto P e a direcao em que isso ocorre.

a)f(x, y) =y2

x; P = (2, 4). b)f(x, y) = ye−x + xe−y; P = (0, 0).

12. Em cada um dos itens abaixo, use a regra da cadeia para determinardz

dt.

a)z = tg(x2 + y); x(t) = 2t e y(t) = t2. b)z = xcos(y); x(t) = sen(t) e y(t) = t.

c)z = ex(cosx+ cosy); x(t) = t3 e y(t) = t2. d)z =x

y; x(t) = e−t e y(t) = ln(t).

13. Considere f(x, y) = (x/y) + exy, onde x(t) = 1/t e y(t) =√t, determine

df

dt.

14. Seja h(t) = f(e2t, cost), onde f : R2 → R e uma funcao diferenciavel.

a) Determinar h′(t) em funcao das derivadas parciais de f .

b) Sabendo que∂f

∂x(e2π,−1) = 1

e2π, determine h′(π).

15. Use a Regra da Cadeia para determinar∂z

∂ue∂z

∂v, nos casos abaixo.

a)z =√x3 + y2; x = u2 e v =

3√v2. b)z = ln(x2 + y2); x = cos(u)cos(v) e y = sen(u)cos(v).

c)z = xey; x = uv e y = u− v. d)z = x2 − y2; x = u− 3v e y = u+ 2v.

16. Se z = f(x, y), x = rcos(θ) e y = rsen(θ), onde f e uma funcao diferenciavel. Expresse∂z

∂xe∂z

∂ycomo

funcoes de r e θ.

Bons Estudos!!!