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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II'

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Título do Projeto:

PARÂMETROS CONCENTRADOS NO ESTUDO DATRANSFERÊNCIA DE CALOR TRANSIENTE EM

FLUIDOS SUPERCRÍTICOS

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Autor(es):

PEDRO PERRONI REZENDE MACHADO

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Orientador(es):

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

Data: 26 de Janeiro de 2017

PEDRO PERRONI REZENDE MACHADO

PARÂMETROS CONCENTRADOS NO ESTUDO DATRANSFERÊNCIA DE CALOR TRANSIENTE EM FLUIDOS

SUPERCRÍTICOS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado aoCurso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau deEngenheiro Mecânico.

Orientador(es):

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

Niterói

26 de Janeiro de 2017

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

M149 Machado, Pedro Perroni Rezende

Parâmetros concentrados no estudo da transferência de calor transiente em fluidos supercríticos / Pedro Perroni Rezende Machado. – Niterói, RJ : [s.n.], 2017. 44 f.

Projeto Final (Bacharelado em Engenharia Mecânica) –

Universidade Federal Fluminense, 2017. Orientador: Leonardo Santos de Brito Alves. 1. Transferência de calor. 2. Fluido supercrítico. 3. Método

numérico. 4. Transformada integral. I. Título.

CDD 621.4022

Agradecimentos

Em primeiro lugar gostaria de agradecer a todos os professores e orientadores quede alguma forma me ajudaram ou guiaram ao longo dessa graduação. Muitos se tornaramexemplos claros daquilo que eu espero poder ser um dia. Um agradecimento muito especialao professor Leonardo Alves por toda a disponibilidade, dedicação e paciência com oqual me orientou nesses últimos meses. Um grande obrigado também aos professoresRoney Thompson, Luiz Eduardo Sampaio e João Felipe Mitre, que foram extremamenteimportantes na minha iniciação à vida acadêmica e me fizeram tomar gosto por ela. Semvocês, nada disso seria possível.

Agradeço à minha família por todo o companheirismo, suporte e todo o apoiodedicado independente das minhas escolhas. Um agradecimento especial à minha mãe,por ser sempre meu maior exemplo de dedicação e esforço. Sem vocês, nada disso seriapossível.

Agradeço também aos meus amigos, que estiveram comigo por todas as fases, e queespero que ainda estejam durante muitas mais. Um abraço grande pros queridos RodrigoFontes e Paulo Mann, os melhores amigos que alguém poderia escolher, e um obrigadoespecial à Geovanna Costa, que sempre me ajudou e com o seu misto de carinho e grosserianunca me deixou sair da linha. Sem vocês, nada disso seria possível.

Agradeço aos meus grandes colegas e amigos Bernardo Ribeiro, Daniel Madeira,Lucas Bragança, Lucas Firmino e Matheus Altomare, por toda a ajuda durante esses anosde graduação e por toda a companhia durante os dias de aulas intermináveis. A experiênciada faculdade sem dúvidas não seria a mesma sem o nosso pequeno cluster. Sem vocês,nada disso seria possível.

Por fim, agradeço a Deus, à Deusa, ao Universo, Destino, Acaso, como preferir; porter me dado todas as oportunidades para que eu pudesse hoje estar aqui, que infelizmentenão são dadas a todos. Sem isso, nada disso seria possível.

ResumoO estudo dos fluidos supercríticos é de grande interesse por conta de suas variadas aplicações.Esses fluidos apresentam um comportamento diferenciado por conta da grande variação emsuas propriedades físicas. O presente trabalho tem como objetivo a utilização do métododos Parâmetros Concentrados para aproximação das integrais e simplificação do problemade transferência de calor transiente em fluidos supercriticos, e a comparação dessassoluções com resultados obtidos pela Técnica da Transformada Integral Generalizada(GITT). Mostra-se que, para certas combinações de condições de contorno existe umsuperaquecimento transiente no fluido até acima da temperatura de regime permanente. Ométodos dos Parâmetros concentrados de ordem 0 e 1 possui bons resultados na ausênciado superaquecimento, porém não conseguem captar o perfil da temperatura média com otempo apresentado na sua presença. As aproximações de ordem 2 conseguem capturaresse crescimento transiente e apresentam grande semelhança com a solução obtida pelaGITT. Uma análise de não-normalidade é feita para as equações simplificadas obtidaspelo método de segunda ordem na tentativa de justificar essa capacidade de reproduçãodo superaquecimento não observada para ordems inferiores.

Palavras-chave: Fluidos supercríticos. Efeito pistão. Parâmetros Concentrados. CIEA.

AbstractThe field of study of supercritical fluids is very important because of its wide range ofapplications. These fluids present a di�erent behavior since their physical properties havegreat variation. This work aims to use the improved lumped parameters formulationto simplify the transient heat transfer problem in supercritical fluids, and to comparethese solutions with results obtained by the Generalized Integral Transform Technique(GITT). It is shown that for certain combinations of boundary conditions there exists atransient overheating in the fluid, which raises the bulk temperature above the steady statetemperature. The lumped parameters formulations of order 0 and 1 present good resultsin the absence of overheating, but is unable to capture the bulk temperature profile thatexists on its presence. On the other hand, the solutions using order 2 of approximationshow the transient overheating and present good results with respect to the the solutionsobtained by the GITT. A non-orthogonality analysis is done for the simplified equationsobtained by the second order formulation in an attempt to justify this ability of capturingthe overheating, which is not present in the lower order formulations.

Keywords: Supercritical fluids. Piston e�ect. Lumped parameters formulation. CIEA.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Efeito Pistão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Figura 2 – Comparação entre a solução por GITT e Parâmetros Concentrados de

ordem 0 e 1 para a temperatura média em função do tempo . . . . . . 13Figura 3 – Solução de GITT para diferentes valores de “ do caso Dirichlet-Neumann

com Bi = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 4 – Solução de GITT para diferentes valores de “ do caso Dirichlet-Robin

com Bi = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 5 – Solução de GITT para diferentes valor de “ do caso Dirichlet-Robin

com Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 6 – Solução das aproximações de ordem 0 e 1 para temperatura média para

“ = 1 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 7 – Solução das aproximações de ordem 2 para temperatura média para

“ = 1 e Bi = 1. k1

= 17.8, k2

= 9.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Figura 8 – Solução das aproximações de ordem 0 e 1 para temperatura média para

“ = 10 e Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Figura 9 – Solução das aproximações de ordem 2 para temperatura média para

“ = 10 e Bi = 1. k1

= 5.3, k2



“ = 20 e Bi = 1. k1

= 2.9, k2



“ = 40 e Bi = 1. k1

= 1.5, k2



“ = 60 e Bi = 1. k1

= 1.0, k2

= 5.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Figura 16 – Variação de k

1

e k2

com “. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Figura 17 – Relação entre os autovalores e “ nos modelos H

2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

.Bi = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Figura 18 – Relação entre o número de condicionamento ao quadrado e “ nos modelosH

2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

. Bi = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Figura 19 – Relação entre os autovalores e “ nos modelos H

2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

.Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 20 – Relação entre os autovalores e “ no modelo H2,2

≠ H0,0

. Bi = 1. . . . . 34Figura 21 – Relação entre o número de condicionamento ao quadrado e “ nos modelos

H2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

. Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 22 – Relação entre o número de condicionamento ao quadrado e “ no modelo

H2,2

≠ H0,0

. Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Figura 23 – Solução de GITT para altos valor de “. Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . 36Figura 24 – Relação entre os autovalores e “ nos modelos H

2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

.Bi = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


≠ H0,0

. Bi = 50. . . . 38Figura 26 – Relação entre o número de condicionamento ao quadrado e “ nos modelos

H2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

. Bi = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Figura 27 – Relação entre o número de condicionamento ao quadrado e “ no modelo

H2,2

≠ H0,0

. Bi = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Figura 28 – Relação entre o número de condicionamento e Bi nos modelos H

2,2

≠H2,2

e H2,2

≠ H1,1

. “ = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 29 – Relação entre o número de condicionamento e Bi nos modelos H

2,2

≠H2,2

e H2,2

≠ H1,1

. “ = 60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 30 – Relação entre o número de condicionamento e Bi nos modelos H

2,2

≠H2,2

e H2,2

≠ H1,1

. “ = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Lista de tabelas

Tabela 1 – Condições de contorno para a parede da esquerda . . . . . . . . . . . . 15Tabela 2 – Condições de contorno para a parede da direita . . . . . . . . . . . . . 15Tabela 3 – Expressão para Biú para as combinações de ordens 0 e 1 de aproximação. 17Tabela 4 – Expressões para Biú para aproximação de ordem 2 para o fluxo de calor

e ordens 0 e 1 para temperatura média . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Tabela 5 – Número de condicionamento e autovalores em função de “ para o modelo

H2,2

≠ H2,2

. Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Tabela 6 – Número de condicionamento e autovalores em função de “ para o modelo

H2,2

≠ H1,1

. Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Tabela 7 – Número de condicionamento e autovalores em função de “ para o modelo

H2,2

≠ H0,0

. Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Tabela 8 – Estimativa dos tempos até os quais ocorre o crescimento transiente.

Bi = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Efeito Pistão Térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Parâmetros Concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3 Análise de estabilidade e não-normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1 Modelo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Parâmetros Concentrados de ordem 0 e 1 . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Parâmetros Concentrados de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.1 Aproximação para o fluxo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Aproximação para temperatura média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.3 Não-normalidade e superaquecimento transiente . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1 Dirichlet-Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Análise modal e não-modal das soluções . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.1 Bi = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2 Bi = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.3 Bi = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2.4 Análise da variação de Bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8

1 Introdução

1.1 MotivaçãoO estudo dos fluidos supercríticos é de grande interesse tanto para a Física quanto

para a Engenharia. A possibilidade de aplicação dos estudos sobre fluidos supercríticosé bastante ampla. (LORENTZEN; PETTERSEN, 1993) mostram que CO

2

em estadoquase crítico pode ser utilizado em sistemas de condicionadores de ar substituindo osfluorcarbonos, numa alternativa que poderia eliminar os problemas ambientais relacionadoscom tais sistemas. (HOENIG; MONTGOMERY, 1975) desenvolvem um modelo de umsupercondutor cujo resfriamento é realizado por hélio em estado supercritico. Segundo(BRUNO, 1994), o estudo dos fluidos supercriticos é de grande interesse no projeto de certostipos de aeronaves cujos combustíveis podem operar em condições supercríticas. Outrasaplicações incluem também a utilização de fluidos supercríticos em extração de petróleodo pré-sal, produção de nanopartículas, e extração supercrítica (BORGES; ALVES, 2012).

Sendo assim, é necessário o estudo das propriedades e do comportamento de fluidossupercriticos. Sabe-se que muitas propriedades físicas dos fluidos divergem quando osmesmos se encontram próximos dos seus pontos críticos, um comportamento conhecidocomo fenômeno crítico. Essa mudança rápida nas propriedades modifica o comportamentodos fluidos e possui grande influência na transferência de calor dos mesmos.

1.2 Revisão Bibliográfica

1.2.1 Efeito Pistão Térmico

A difusividade térmica – de um fluido é dada por

– = k

flCp

, (1.1)

onde k é a condutividade térmica, fl a massa específica e Cp

o calor específico à pressãoconstante. Ao contrário da maioria das propriedades físicas, a difusividade térmica éreduzida significativamente quando um fluido se aproxima do ponto crítico, já que C

p

diverge mais rapidamente do que k (ALVES, 2012). Por isso, é esperado que o equilíbriotérmico demore um tempo longo para ser atingido em uma troca de calor num fluidosupercrítico.

Porém, experimentos realizados na década de 70 (DAHL; MOLDOVER, 1972)revelaram que a transferência de calor ocorria de uma maneira muito mais rápida do queaquela esperada pela baixa difusividade térmica. Foi-se então atribuída a responsibilidade

Capítulo 1. Introdução 9

por esse acontecimento ao surgimento de convecção natural. Alguns anos depois foramrealizados novos experimentos, em baixa gravidade, a fim de minimizar a convecçãonatural. Porém os resultados foram bastante semelhantes aos anteriores, indicando que aconvecção natural não era a responsável por essa aceleração no equilíbro térmico (NITSCHE;STRAUB, 1987).

Hoje, o fenômeno causador dessa aceleração na troca de calor em fluidos supercríticosé conhecido como efeito pistão térmico. Por conta da divergência das propriedades físicaspróximo ao ponto crítico, a compressibilidade de fluidos super críticos é alta. Sendo assim,para um fluido numa cavidade fechada, pequenas perturbações na sua temperatura fazemcom que a camada limite térmica se expanda rapidamente, comprimindo o resto do fluidoe gerando ondas termo-acústicas. A propagação e reflexão dessas ondas resulta em umaquecimento rápido do fluido (PINHEIRO; ALVES, 2015). A visualização do efeito pistãopode ser feita através da figura 1.

Figura 1 – Efeito Pistão. Fonte: (CARLÈS, 2010)

O modelo termodinâmico para transferência de calor em fluidos supercríticos foiinicialmente desenvolvido por (BOUKARI et al., 1990) e (ONUKI; HAO; FERREL,1990). Esse modelo se assemelha à equação de difusão térmica clássica, porém possui umtermo adicional, proporcional à derivada temporal da temperatura média. Esse termo é o


responsável por modelar o comportamento gerado pelo efeito pistão térmico. A soluçãoinicialmente proposta utiliza um método de Fourier aproximado.

(NIKOYALEV et al., 2003) demonstram que esse modelo reproduz bem o compor-tamento da transferência de calor na presença do efeito pistão, ao resolvê-lo se utilizandode métodos numéricos e comparar os resultados com aqueles obtidos através de umasimulação numérica direta da equação de Navier-Stokes compressível juntamente com aequação de conservação de energia. Mostrou-se que os resultados obtidos em minutos poresse modelo eram equivalentes àqueles que necessitavam de semanas de simulação.

(TEIXEIRA; ALVES, 2014) utilizam a Técnica da Transformada Integral Gene-ralizada (GITT) para obter uma solução analítica para esse problema, além de mostrarque o modelo pode reproduzir os resultados exatos obtidos pela equação de Navier-Stokescompressível ao se utilizar uma equação de estado exata. (ALVES, 2016) calcula, a partirde uma solução por GITT, uma nova expressão analítica para o tempo de relaxaçãodo efeito pistão, ou seja, o tempo levado até que a temperatura média entre em regimepermanente.

Uma solução para o problema utilizando o método dos Parâmetros Concentradospara resolver o modelo termodinâmico, foi utilizada por (PINHEIRO, 2016). Esse métodopossibilita a obtenção da evolução da temperatura média com o tempo. Soluções foramgeradas para diversas combinações de condições de contorno e comparadas com resultadosobtidos por GITT.

1.2.2 Parâmetros Concentrados

O método dos Parâmetros Concentrados possui diversas aplicações em Engenharia,sendo utilizado para propor formulações simplificadas para sistemas de equações diferen-ciais (ALVES; SPHAIER; COTTA, 2000). Esse método consiste na utilização de umaaproximação para a integral de uma função como uma combinação linear dos valores dafunção e de suas derivadas nos limites do intervalo de integração.

Seja y(x) e suas derivadas até ordem ‹ funções definidas para todo x œ (x0

, x1

) .(MENNIG; AUERBACH; HALG, 1983) demonstram que a integral de y(x) nesse intervalopode ser aproximada como

⁄x

1

x

0

y(x)dx ¥–ÿ

‹=0

c‹

(–, —)h‹+1y(‹)(x0

) +—ÿ

‹=0

c‹

(—, –)(≠1)‹h‹+1y(‹)(x1

), (1.2)

onde h = x1

≠ x0

, e – e — determinam a ordem de aproximação, com

c‹

(–, —) = (– + 1)!(≠‹ + – + — + 1)!(‹ + 1)!(– ≠ ‹)!(– + — + 2)! . (1.3)

Essa aproximação é dita uma aproximação H–,—

. Ainda de acordo com (MENNIG;AUERBACH; HALG, 1983), uma aproximação H

–,—

com – = — necessita de derivadas de


ordem até metade do que aquelas necessárias para uma aproximação por série de Taylorde precisão semelhante. No presente trabalho, todas as aproximações utilizando o métododos Parâmetros Concentrados serão do tipo H

–,—

com – = —.

(COTTA; CORRÊA, 1998) propõem a utilização desse tipo de aproximação parasimplificação da formulação de problemas de difusão, utilizando duas aproximações pelométodo proposto acima: uma para a temperatura média e uma para o fluxo de calor. Essametodologia será utilizada no presente trabalho e é conhecida como Coupled IntegralEquations Approach (CIEA).

1.2.3 Análise de estabilidade e não-normalidade

Tradicionalmente, o estudo da análise de estabilidade é feito a partir da linearizaçãodas equações que regem um sistema dinâmico, e da introdução de pequenas perturbações,a fim de verificar a expansão ou o decaimento das mesmas. Essa análise é feita a partir datransformação do problema original em um problema de autovalores correspondente.

Essa análise permite com que se obtenha parâmetros críticos a partir dos quaisqualquer perturbação, ainda que infinitesimal, cresça exponencialmente, tornando o sistemaem questão instável. Porém, os resultados obtidos por esse tipo de análise não estão deacordo com experimentos em muitos casos, onde se observa comportamentos instáveismesmo abaixo desses parâmetros críticos. Isso acontece pois a análise dos autovaloresdescreve o comportamento assintótico da evolução dessas perturbações, para tempos muitograndes. Sendo assim, comportamentos observados no início do desenvolvimento do sistemanão podem ser descritos dessa forma. Segundo (TREFETHEN et al., 1993), perturbaçõesem um sistema podem ser amplificadas ainda que todos os modos ditados pelos autovaloresdecaiam monotonicamente.

Seja um problema de valor inicial descrito pord

dtq = L · q, (1.4)

cuja solução é da forma exponencial:

q = exp (Lt) · q0, (1.5)

onde q0 = q(t = 0).

Define-se o ganho de energia G(t) como a amplificação da energia de uma pertur-bação, escolhendo o máximo dentre todas as condições iniciais. Então

G(t) = maxq0

Îexp (Lt) · q0Î2

Îq0Î2

= Îexp (Lt)Î2 (1.6)

A matriz L pode ser decomposta como

L = S�S

≠1, (1.7)


onde S e � são a matriz de autovetores e matriz de autovalores de L, respectivamente.Sendo assim, pode-se escrever a equação (1.6) como

G(t) = Îexp1S�S

≠1t2Î2. (1.8)

De acordo com (SCHMID, 2007) o ganho de energia pode ainda ser reescrito como

G(t) = ÎS exp (�t) S

≠1Î2, (1.9)

o que implica na seguinte inequação:

e2t⁄

max Æ Îexp (Lt)Î2 Æ ÎSÎ2ÎS

≠1Î2e2t⁄

max , (1.10)

onde ⁄max

é o autovalor menos estável do problema.

Da inequação (1.10) percebe-se a motivação por trás da metodologia tradicio-nalmente utilizada na análise de estabilidade. Mostra-se que o ganho de energia nãopode decair mais rapidamente do que um valor estabelecido pelos autovalores de L epercebe-se que quando t æ Œ o termo exponencial se sobrepõe na segunda metade dainequação, o que justifica o fato dessa análise descrever bem o comportamento assintóticodas perturbações.

Porém, para instantes onde pouco tempo foi decorrido, se faz necessária a con-tabilização do termo ÎSÎ2ÎS

≠1Î2, o qual é conhecido como o quadrado do número decondicionamento da matriz de autovetores de L, uma grandeza que mede a não-normalidadeentre os autovetores. Percebe-se que quando o número de condicionamento é grande, oganho de energia das perturbações pode ser grande nos instantes iniciais, antes do termoexponencial, ditado pelos autovalores, se tornar dominante. Esse fato pode ocasionar umcrescimento transiente no sistema mesmo que a solução assintótica seja estável.

1.3 Objetivos(PINHEIRO, 2016) mostra que, para certas combinações de condições de contorno

a solução do problema gerada pela GITT demonstra um aumento rápido na temperaturamédia até acima daquela de regime permanente, enquanto que o método dos ParâmetrosConcentrados de ordem 0 e 1 utilizados não consegue captar esse superaquecimentotransiente, o que pode ser visualizado na figura 2.

Portanto, o presente trabalho tem como objetivo a utilização de ordens superioresde aproximação para o método dos Parâmetros Concentrados, a fim de oferecer um métodode solução para o problema que seja simples, com baixo custo computacional, mas queconsiga captar o superaquecimento transiente que ocorre para certas condições de contorno.

No presente trabalho, as condições de contorno utilizadas são ligeiramente diferentesdaquelas utilizadas por (PINHEIRO, 2016). Serão utilizadas condições de contorno homo-gêneas, numa tentativa de melhorar a precisão do método dos Parâmetros Concentrados.


Figura 2 – Comparação entre a solução por GITT e Parâmetros Concentrados de ordem 0e 1 para a temperatura média em função do tempo. Fonte: (PINHEIRO, 2016)

Por isso, as combinações de condições de contorno que apresentam o superaquecimentotransiente são diferentes daquelas observadas anteriormente. Esse detalhe será melhordesenvolvido no capítulo seguinte.

Além disso, o comportamento de superaquecimento observado para essas condiçõesde contorno se assemelha àquele descrito quando há não-normalidade entre os autovetoresdas equações, com um crescimento transiente nos instantes iniciais e comportamentoassintótico após um longo tempo decorrido. Portanto, espera-se observar esse fenômenonas soluções obtidas pelo métodos dos Parâmetros Concentrados de ordem 2, através deuma análise de não-normalidade dos autovetores.

14

2 Metodologia

A solução do problema apresentado utilizando técnicas como a GITT possui umcusto computacional alto que a tornaria indesejável ao se tratar de problemas maiscomplexos. O método dos Parâmetros Concentrados com ordem 0 e 1 já demonstrou serefetivo para se obter a temperatura média em função do tempo para algumas combinaçõesde condições de contorno, porém não capta o superaquecimento presente para outrasdessas combinações. Portanto, nessa seção será demonstrada a metodologia de solução doproblema utilizando o método dos Parâmetros Concentrados de ordem 2.

2.1 Modelo MatemáticoO modelo termodinâmico proposto por (BOUKARI et al., 1990) e (ONUKI; HAO;

FERREL, 1990) pode ser descrito pela equação adimensionalizada

ˆT

ˆ·≠

A

1 ≠ 1“

BdT

b

d·= ˆ2T

ˆ›2

. (2.1)

O parâmetro “ é responsável por determinar o quão importante é a influência doefeito pistão no problema. Nota-se que quando “ = 1, no limite incompressível, recupera-sea equação clássica de difusão térmica. A temperatura média T

b

presente na equação degoverno é definida como

Tb

(·) =⁄

1

0

T (›, ·)d›. (2.2)

As condições iniciais e as condições de contorno para a parede da esquerda e direitasão respectivamente

T (›, 0) = 0, (2.3)

≠ ˆT

ˆ›

-----›=0

+ BiL

T (0, ·) = 1 + BiL

, (2.4)

ˆT

ˆ›

-----›=l

+ BiR

T (1, ·) = 0. (2.5)

Os parâmetros BiL

e BiR

são o número de Biot nas paredes da esquerda e direita,respectivamente. Ele é utilizado para definir as combinações possíveis de condições decontorno, como pode-se observar nas tabelas 1 e 2.

A combinação de condições de contorno que apresentou o superaquecimento transi-ente foi aquela com condição de Dirichlet na parede da esquerda e condição de Robin na

Capítulo 2. Metodologia 15

Tabela 1 – Condições de contorno para a parede da esquerda

Condição de contorno geral (Robin) Condição de Dirichlet Condição de Neumann- Bi

L

æ Œ BiL

= 0≠ ˆT

ˆ›

---›=0

+ BiL

T (0, ·) = 1 + BiL

T (0, ·) = 1 ≠ ˆT

ˆ›

---›=0

= 1

Tabela 2 – Condições de contorno para a parede da direita

Condição de contorno geral (Robin) Condição de Dirichlet Condição de Neumann- Bi

R

æ Œ BiR

= 0ˆT

ˆ›

---›=1

+ BiR

T (1, ·) = 0 T (1, ·) = 0 ˆT

ˆ›

---›=1

= 0

parede da direita. Quando BiR

é muito pequeno (BiR

< 0.3 aproximadamente) a condiçãoda parede da direita se aproxima da condição de Neumann, levando ao desaparecimento dosuperaquecimento. O mesmo acontece quando Bi

R

cresce indefinidamente, se aproximandoda condição de Dirichlet. Portanto, o foco principal do presente trabalho será em resolvero problema para essa combinação de condições de contorno utilizando a segunda ordem deaproximação do método dos Parâmetros Concentrados, uma vez que as aproximações deordem 0 e 1 já se mostraram eficazes para os casos onde o superaquecimento não acontece.

Note que no regime permanente, para t æ Œ, o problema se reduz a

ˆ2T

ˆ›2

= 0, (2.6)

cuja solução é do tipoT (›, Œ) = C

1

+ C2

›. (2.7)

A solução de regime permanente depende então das condições de contorno escolhidas.Para o caso Dirichlet-Robin, por exemplo, temos que

T (›, Œ) = 1 + BiR

≠ BiR

›

1 + BiR

. (2.8)

Ao utilizarmos a formulação dos Parâmetros Concentrados, em alguns momentosserá mais interessante escrever a equação de governo do problema para T

b

. Podemos obtê-laintegrando a equação de governo adimensional por todo o domínio.

⁄1

0

AˆT

ˆ·≠

A

1 ≠ 1“

BdT

b

d·

B

d› =⁄

1

0

ˆ2T

ˆ›2

d› (2.9)

d

d·

⁄1

0

Td› ≠A

1 ≠ 1“

BdT

b

d·

⁄1

0

d› =⁄

1

0

ˆ2T

ˆ›2

d› (2.10)

1“

dTb

d·= ˆT

ˆ›

-----›=1

≠ ˆT

ˆ›

-----›=0

(2.11)


2.2 Parâmetros Concentrados de ordem 0 e 1Conforme já mencionado, o método dos Parâmetros Concentrados é uma ferramenta

utilizada para a aproximação de integrais. Utilizando a metodologia CIEA proposta por(COTTA; CORRÊA, 1998), serão aproximadas a temperatura média como definida naequação (2.2), e o fluxo de calor como definido abaixo.

T (1, ·) ≠ T (0, ·) =⁄

1

0

ˆT (›, ·)ˆ›

d› (2.12)

Utilizando a formulação na equação (1.2) para o dominio x œ [0, 1] obtemos paraH

0,0

e H1,1

, respectivamente⁄

1

0

y(x)dx ¥ 12 (y(0) + y(1)) , (2.13)

⁄1

0

y(x)dx ¥ 12 (y(0) + y(1)) + 1

121y(1)(0) ≠ y(1)(1)

2. (2.14)

Sendo assim, utilizando a aproximação H0,0

para a temperatura média e o fluxo decalor obtém-se

Tb

(·) ¥ 12 (T (0, ·) + T (1, ·)) , (2.15)

T (1, ·) ≠ T (0, ·) ¥ 12

Q

a ˆT

ˆ›

-----›=0

+ ˆT

ˆ›

-----›=1

R

b . (2.16)

De maneira semelhante, utilizando a aproximação H1,1

para ambos tem-se respecti-vamente que

Tb

(·) ¥ 12 (T (0, ·) + T (1, ·)) + 1

12

Q

a ˆT

ˆ›

-----›=0

≠ ˆT

ˆ›

-----›=1

R

b (2.17)

T (1, ·) ≠ T (0, ·) ¥ 12

Q

a ˆT

ˆ›

-----›=0

+ ˆT

ˆ›

-----›=1

R

b + 112

Q

a ˆ2T

ˆ›2

-----›=0

≠ ˆ2T

ˆ›2

-----›=1

R

b (2.18)

Utilizando uma das aproximações para a temperatura média e uma das aproxi-mações para o fluxo de calor, somadas às condições de contorno, obtém-se um sistema

de 4 equações e 4 variáveis, T (0, ·), T (1, ·), ˆT

ˆ›

-----›=0

e ˆT

ˆ›

-----›=1

, que podem ser resolvidas

em função de Bi e da temperatura média Tb

. Resolvendo esse sistema e substituindo naequação de governo para a temperatura média (2.11), (PINHEIRO, 2016) demonstra quepode-se escrever essa equação como uma equação diferencial simples.

1“

dTb

d·+ Biú (T

b

≠ Tb

(Œ)) = 0 (2.19)


Tabela 3 – Expressão para Biú para as combinações de ordens 0 e 1 de aproximação.

Aproximação Biú

H0,0

≠ H0,0

4(1 + Bi)

H0,0

≠ H1,1

12(1+Bi)

3+“

H1,1

≠ H0,0

12(1+Bi)

4+Bi

H1,1

≠ H1,1

12(6+7Bi+Bi

2

)

10Bi+Bi

2

+6(4+“)

O termo Tb

(Œ) é a temperatura média de regime permanente. Ela pode serencontrada integrando sobre o domínio a solução de regime permanente obtida através daequação (2.7) para cada combinação de condição de contorno desejada. Isso é,

Tb

(Œ) =⁄

1

0

T (›, Œ)d›. (2.20)

A equação (2.19) pode ser escrita para todas as combinações de aproximações H0,0

e H1,1

com alteração somente no parâmetro Biú. Encontra-se o mesmo valor de Biú paraa condição de contorno Dirichlet-Robin ou de Robin-Dirichlet. A condição de contorno deNeumann é obtida através da condição de Robin quando Bi = 0. É importante ressaltarque o problema não pode ser resolvido com o método dos Parâmetros Concentrados para acondição Dirichlet-Dirichlet, pois não há informações sobre a derivada de T em nenhumadas paredes.

A temperatura média como função do tempo pode ser então escrita como

Tb

(·) = Tb

(Œ) (1 ≠ exp(≠Biú“·)) . (2.21)

A expressão para Biú para todas as combinações das ordens de aproximação podeser encontrada na tabela 3. A combinação entre uma aproximação de ordem 1 para atemperatura média e de ordem 0 para o fluxo de calor encontra-se representada comoH

1,1

≠ H0,0

, por exemplo.

É interessante ressaltar que os valores encontrados para Biú para todas as com-binações de aproximações são os mesmos obtidos por (PINHEIRO, 2016), mesmo comas diferenças nas condições de contorno, que se refletem somente no termo T

b

(Œ). Essadiferença se dá pelo fato das condições de contorno do trabalho anterior serem escolhidasde forma que a solução de regime permanente fosse sempre a mesma, o que não é o casodo presente trabalho.

Nas soluções para esse problema obtidas utilizando a GITT, observou-se a presençado superaquecimento transiente somente quando havia uma condição de temperaturaprescrita na parede da esquerda. Portanto, o fato da solução utilizando o método dosParâmetros Concentrados de ordem 0 e 1 não fazer distinção entre o parâmetro Biú


encontrado para as condições Dirichlet-Robin e Robin-Dirichlet indica que essas ordens deaproximação não conseguem captar o comportamento desejado para uma solução precisa.

Outro indício de que a utilização do método dos Parâmetros Concentrados comessas ordens de aproximação não é adequado para captar esse superaquecimento é o fatodas soluções se comportarem como exponenciais simples, que claramente não podemreproduzir o comportamento observado através das soluções utilizando a GITT.

2.3 Parâmetros Concentrados de ordem 2De forma similar à seção anterior, utilizaremos o método de Parâmetros Concen-

trados para aproximar a temperatura média e o fluxo de calor. Utilizando novamente aformulação em 1.2 para x œ [0, 1] a aproximação de segunda ordem H

2,2

é escrita como⁄

1

0

y(x)dx ¥ 12 (y(0) + y(1)) + 1

101y(1)(0) ≠ y(1)(1)

2+ 1

1201y(2)(0) + y(2)(1)

2. (2.22)

2.3.1 Aproximação para o fluxo de calor

A aproximação H2,2

para o fluxo de calor é portanto

T (1, ·) ≠ T (0, ·) ¥12

Q

a ˆT

ˆ›

-----›=0

+ ˆT

ˆ›

-----›=1

R

b + 110

Q

a ˆ2T

ˆ›2

-----›=0

≠ ˆ2T

ˆ›2

-----›=1

R

b +

+ 1120

Q

a ˆ3T

ˆ›3

-----›=0

+ ˆ3T

ˆ›3

-----›=1

R

b .

(2.23)

É necessária a utilização das equações de governo e das condições de contorno deforma a escrever essa aproximação de uma maneira em que ela possa ser utilizada nasimplificação do problema. Para isso precisa-se eliminar os termos de derivada de segundae terceira ordem da mesma. Utilizando a equação de governo (2.1) em › = 0 e › = 1, temosque

ˆ2T

ˆ›2

-----›=0

≠ ˆ2T

ˆ›2

-----›=1

= ˆT

ˆ·

-----›=0

≠ ˆT

ˆ·

-----›=1

. (2.24)

Em seguida pode-se utilizar a derivada em relação a › dessa mesma equação degoverno para se obter

ˆ3T

ˆ›3

-----›=0

+ ˆ3T

ˆ›3

-----›=1

= ˆ2T

ˆ›ˆ·

-----›=0

+ ˆT

ˆ›ˆ·

-----›=1

. (2.25)

Porém derivando-se no tempo as condições de contorno gerais nas duas paredes esubtraindo-as, tem-se que

ˆ2T

ˆ›ˆ·

-----›=0

+ ˆ2T

ˆ›ˆ·

-----›=1

= BiL

ˆT

ˆ·

-----›=0

≠ BiR

ˆT

ˆ·

-----›=1

. (2.26)


Tabela 4 – Expressões para Biú para aproximação de ordem 2 para o fluxo de calor eordens 0 e 1 para temperatura média

Aproximação Biú

H0,0

≠ H2,2

120(1+Bi)

30+(12+Bi)“

H1,1

≠ H2,2

60(6+7Bi+Bi

2

)

120+5Bi

2

+36“+Bi(50+3“)

Dessa maneira, podemos reescrever a aproximação de segunda ordem do fluxo decalor como

T (1, ·) ≠ T (0, ·) ¥12

Q

a ˆT

ˆ›

-----›=0

+ ˆT

ˆ›

-----›=1

R

b +

+ 1120

Q

a(12 + BiL

) ˆT

ˆ·

-----›=0

≠ (12 + BiR

) ˆT

ˆ·

-----›=1

R

b .

(2.27)

Para modificarmos essa aproximação para a condição de Dirichlet em uma dasparedes, basta deixarmos que ˆT

ˆ·= 0 para a mesma.

De forma similar à metodologia de solução para as aproximações de ordem 0 e 1, énecessário obter um sistema de 4 equações e 4 variáveis, e resolvê-lo em função de Bi eT

b

. Isso pode ser feito utilizando-se esta aproximação, em conjunto com as condições decontorno e uma aproximação de ordem 0 ou 1 para a temperatura média. Porém, mesmoapós a aplicação da condição de Dirichlet para uma das paredes, ainda existe um termode derivada no tempo na fronteira na equação do fluxo de calor.

Portanto deve se obter outra equação diferencial a fim de que o sistema de equaçõesdiferenciais seja resolvido. Essa segunda equação pode ser obtida derivando no tempo aaproximação para a temperatura média de ordem 0 ou 1 escolhida. Porém, para ambos oscasos, a segunda equação pode ser substituída na primeira, obtendo-se assim uma equaçãodiferencial simples na mesma forma da representada na equação (2.19), cuja solução énovamente do tipo visto na equação (2.21). Mais uma vez, a solução para as condições decontorno Dirichlet-Robin e Robin-Dirichlet são as mesmas, o que indica que essas soluçõestambém não serão adequadas para captar o superaquecimento transiente observado. Osvalores de Biú para a utilização de aproximações de ordem 0 e 1 para temperatura médiase encontram na tabela 4.


2.3.2 Aproximação para temperatura média

Utilizando a aproximação H2,2

da equação (2.22) para a temperatura média, obte-mos então

Tb

(·) ¥12 (T (0, ·) + T (1, ·)) + 1

10

Q

a ˆT

ˆ›

-----›=0

≠ ˆT

ˆ›

-----›=1

R

b +

+ 1120

Q

a ˆ2T

ˆ›2

-----›=0

+ ˆ2T

ˆ›2

-----›=1

R

b .

(2.28)

De maneira similar à seção anterior, pode-se utilizar a equação de governo (2.1) afim de eliminar os termos de derivada segunda da equação. Aplicando-a em › = 0 e › = 1obtém-se que

ˆ2T

ˆ›2

-----›=0

+ ˆ2T

ˆ›2

-----›=1

= ˆT

ˆ·

-----›=0

+ ˆT

ˆ·

-----›=1

≠ 2A

1 ≠ 1“

BdT

b

d·(2.29)

Observa-se que, diferente da situação onde se utiliza a aproximação de ordem2 somente para o fluxo de calor, há um termo proporcional à derivada temporal datemperatura média que aparece na equação. Além disso, como na seção anterior, existeuma derivada no tempo da temperatura em pelo menos uma das fronteiras, mesmo após aaplicação da condição de Dirichlet.

Sendo assim, utilizando uma aproximação para o fluxo de calor (de ordem 0, 1 ou2) e as condições de contorno, e resolvendo o sistema de 4 equações e 4 variáveis, nãoserá possível escrever uma equação diferencial unicamente para T

b

, devido à presença dotermo de derivada no tempo da temperatura na fronteira. Portanto, será necessária umaoutra equação para a formação de um sistema de equações diferenciais para ser resolvido.De forma similar aos casos anteriores, essa equação é obtida ao se derivar no tempo aaproximação de segunda ordem para a temperatura média:

dTb

d·=1

2

Q

a dT

d·

-----›=0

+ dT

d·

-----›=1

R

b + 110

Q

a ˆ2T

ˆ·ˆ›

-----›=0

≠ ˆ2T

ˆ·ˆ›

-----›=1

R

b +

+ 1120

Q

a ˆ3T

ˆ·ˆ›2

-----›=0

+ ˆ3T

ˆ·ˆ›2

-----›=1

R

b .

(2.30)

De maneira semelhante à equação (2.26) deriva-se no tempo as condições decontorno gerais para se obter

ˆ2T

ˆ›ˆ·

-----›=0

≠ ˆ2T

ˆ›ˆ·

-----›=1

= BiL

ˆT

ˆ·

-----›=0

+ BiR

ˆT

ˆ·

-----›=1

. (2.31)

Derivando-se no tempo a equação de governo (2.1) e aplicando-a em › = 0 e › = 1


temosˆ3T

ˆ·ˆ›2

-----›=0

+ ˆ3T

ˆ·ˆ›2

-----›=1

= ˆ2T

ˆ· 2

-----›=0

+ ˆ2T

ˆ· 2

-----›=1

≠ 2A

1 ≠ 1“

Bd2T

b

d· 2

(2.32)

Substituindo as equações (2.31) e (2.32) em (2.30) obtemos finalmente que

dTb

d·= 1

120

Q

aA

≠2 + 2“

Bd2T

b

d· 2

+ ˆ2T

ˆ· 2

-----›=0

+ ˆ2T

ˆ· 2

-----›=1

R

b +

+ 1120

Q

a12(5 + BiL

) ˆT

ˆ·

-----›=0

+ 12(5 + BiR

) ˆT

ˆ·

-----›=1

R

b .

(2.33)

Para se aplicar a condição de Dirichlet em uma das paredes basta que se façaˆT

ˆ·= ˆ2T

ˆ· 2

= 0 nessa parede.

A equação (2.33) pode ser substituída naquela obtida pelo sistema que inclui asaproximações para o fluxo de calor, a temperatura média e as condições de contorno,obtendo-se assim uma equação diferencial linear de segunda ordem para T

b

. Portanto,essa equação necessita de condições iniciais não somente para T

b

como também para suaprimeira derivada. Pela equação de governo (2.11) aplicada em · = 0, sabemos que

dTb

d·

-----·=0

= “

Q

caˆT

ˆ›

-----›=1

·=0

≠ ˆT

ˆ›

-----›=0

·=0

R

db . (2.34)

Utilizando condições de contorno gerais nas duas paredes, pode-se escrever aequação acima como

dTb

d·

-----·=0

= “ ( ≠BiR

T (1, 0) ≠ BiL

(1 ≠ T (0, 0))) . (2.35)

Porém, ao aplicarmos a condição de Dirichlet na parede da esquerda, temos queBi æ Œ ao mesmo tempo que T (0, 0) æ 1, uma indeterminação. Não há outra maneira,a partir das equações de governo, de se encontrar informações sobre a condição inicial daderivada da temperatura média. No entanto, podemos escrever pelas informações obtidasacima que

dTb

d·

-----·=0

= “k, (2.36)

onde k Ø 0. A partir das soluções obtidas pelo método da GITT, podemos encontrar ovalor de k que mais se aproxima da solução desejada como visto a seguir.

Seja T P C

b

a solução obtida pelo método dos Parâmetros Concentrados para valoresfixos de “ e Bi, e T GIT T

b

a solução obtida pela GITT para os mesmos parâmetros. Assim,definimos um erro como sendo

E(k) =⁄

1

0

ÎT P C

b

≠ T GIT T

b

Îd·. (2.37)


Esse erro foi calculado numericamente para valores de k variando em passos de 0.1,e o k que o minimizava foi selecionado para aqueles valores de “ e Bi.

2.3.3 Não-normalidade e superaquecimento transiente

Conforme dito anteriormente, ao se utilizar uma aproximação de segunda ordempara a temperatura média, a equação obtida ao fim do desenvolvimento é uma equaçãodiferencial linear de segunda ordem para T

b

. Podemos representar genericamente umaequação desse tipo como

ad2T

b

d· 2

+ bdT

b

d·+ cT

b

(·) = d. (2.38)

Em uma análise de estabilidade, estamos interessados em analisar o comportamentode perturbações. Podemos fazer isso escrevendo a função estudada como a soma de umestado base de regime permanente e uma perturbação. Assim, escrevemos que

Tb

(·) = Tbb

+ ‘Tbp

(·). (2.39)

A equação diferencial de segunda ordem pode ser reescrita então como

cTbb

+ ‘

A

ad2T

bp

d· 2

+ bdT

bp

d·+ cT

bp

(·)B

= d. (2.40)

Note que a solução de regime permanente da equação (2.38) é Tbb

= d

c. Obtemos

então a equaçãoa

d2Tbp

d· 2

+ bdT

bp

d·+ cT

bp

(·) = 0 (2.41)

Deseja-se fazer uma análise como aquela apresentada na seção 1.2.3. Portanto,é necessário reescrever essa equação como um sistema de equações de primeira ordem.Pode-se fazer isso escrevendo

dTbp

d·= y(·). (2.42)

Dessa maneira, nossa equação diferencial de segunda ordem pode ser reescrita como osistema Y

_]

_[

dTbp

d·

= y(·)

ady

d·

+ by(·) + cTbp

(·) = 0(2.43)

Para obtermos uma equação da forma apresentada na equação (1.4) fazemos

d

d·

Q

a y(·)T

bp

(·)

R

b = L ·Q

a y(·)T

bp

(·)

R

b (2.44)

onde L é a matriz

L =S

U≠ b

a

≠ c

a

1 0

T

V . (2.45)


Basta então que se encontre a matriz de autovetores de L e em seguida o seunúmero de condicionamento. Se espera que o número de condicionamento obtido a partirde uma análise desse tipo, feita com a equação diferencial obtida através do método dosParâmetros Concentrados de ordem 2 aumente conforme o aumento de “. Isso apontariana direção de que de fato o superaquecimento transiente observado é decorrente de umanão-normalidade, como esperado.

24

3 Resultados e Discussão

Nesse capítulo encontram-se os resultados das soluções para o problema de transfe-rência de calor em fluidos supercríticos utilizando o método dos Parâmetros Concentradosde ordem 0, 1 e 2, e sua comparação com o resultado obtido pelo método da GITT. Todosos gráficos foram traçados utilizando o software Wolfram Mathematica 10.

3.1 Dirichlet-RobinAs figuras apresentados a seguir são representações da evolução da temperatura

média com o tempo, para o caso de condição de contorno de Dirichlet na parede da esquerdae Robin na parede da direita, visto que é o único que apresenta o superaquecimentotransiente. Além disso, utilizaremos a condição de Robin na parede da direita com Bi = 1uma vez que, com o aumento de Bi, nos aproximamos cada vez mais da condição deDirichlet na parede da direita, desaparecendo assim o superaquecimento transiente. Podese observar que de fato não há superaquecimento para valores muito altos ou pequenos deBi a partir das figuras 3 e 4.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tb

γ=1γ=10γ = 20γ=40γ=60

Figura 3 – Solução de GITT para diferentes valores de “ do caso Dirichlet-Neumann comBi = 0.

O parâmetro k, relacionado às condições iniciais da derivada da temperatura média,foi obtido a partir do critério da equação (2.37) para cada caso a fim de se obter a soluçãoque mais se aproxima daquela obtida pela GITT. Em todos os casos o valor de k encontradofoi o mesmo para as soluções H

2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

, o qual chamaremos de k1

. Ao valorde k encontrado para otimizar a solução H

2,2

≠ H0,0

chamaremos de k2

.

Capítulo 3. Resultados e Discussão 25

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Tb

γ=1γ=10γ = 20γ=40γ=60

Figura 4 – Solução de GITT para diferentes valores de “ do caso Dirichlet-Robin comBi = 50.

Pode-se observar na figura 5 que o superaquecimento se torna mais aparente quantomaior o valor de “. A fim de melhor visualização, para cada caso serão apresentados doisgráficos, um com todos os métodos de ordem 0 e 1 para a temperatura média, e um paraos métodos que utilizam aproximação de ordem 2 para a temperatura média.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

0.8

Tb

γ=1γ = 10γ=20γ=40γ=60

Figura 5 – Solução de GITT para diferentes valor de “ do caso Dirichlet-Robin com Bi = 1.

Nota-se que mesmo quando “ = 1, nas figuras 6 e 7, apesar de todas as soluçõesserem bastante semelhantes, as soluções utilizando de ordem 2 para a temperatura médiasão as mais próximas da solução por GITT. Para “ = 10 pode se observar na figura 8que a maioria das soluções de ordem 0 e 1 já se afastam da solução obtida por GITT,embora algumas soluções ainda se aproximem bem do resultado esperado. Porém, para


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

Tb

H0,0-H0,0H0,0-H1,1H1,1 -H0,0H1,1 -H1,1H0,0 -H2,2H1,1 -H2,2GITT

Figura 6 – Solução das aproximações de ordem 0 e 1 para temperatura média para “ = 1e Bi = 1.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

Tb

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1H2,2 -H0,0GITT

Figura 7 – Solução das aproximações de ordem 2 para temperatura média para “ = 1 eBi = 1. k

1

= 17.8, k2

= 9.7.

“ Ø 10, onde já pode se observar o superaquecimento, as únicas soluções que conseguemreproduzir o perfil esperado são aquelas que utilizam ordem 2 para a temperatura média.

Para “ Ø 20, pode-se notar uma visível diferença entre os resultados obtidos pelomodelo H

2,2

≠ H0,0

em relação às outras soluções de ordem 2. As soluções H2,2

≠ H2,2

eH

2,2

≠ H1,1

reproduzem mais fielmente o perfil de superaquecimento, porém ligeiramentedefasado no tempo. Já a solução H

2,2

≠ H0,0

apresenta o pico máximo em um tempo maispróximo daquele visto na solução por GITT, porém com um resfriamento muito maisrápido.

Em todos os casos onde há o superaquecimento, as soluções de ordem 0 e 1


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

Tb



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

Tb

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1H2,2 -H0,0GITT


1

= 5.3, k2

= 6.3.

não conseguem capturar o perfil, como pode ser visto nas figuras 10, 12 e 14. Essecomportamento era esperado por se tratarem de funções exponenciais simples, além dapresença de simetria em relação às condições de Dirichlet-Robin e Robin-Dirichlet, como jácitado nos capítulos anteriores. Porém, as soluções utilizando aproximação de ordem 2 paratemperatura média acompanham a solução de GITT e apresentam o crescimento esperadocom o aumento do parâmetro “. Esse fato pode ser observado nas figuras 11, 13 e 15. Assoluções H

2,2

≠ H1,1

e H2,2

≠ H2,2

são bastante semelhantes entre si para todos os casos, esão as que mais se aproximam da solução por GITT na presença do superaquecimentotransiente.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

0.8

Tb



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

0.8

Tb

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1H2,2 -H0,0GITT


1

= 2.9, k2

= 5.9.

Os parâmetros k1

e k2

que tornam a solução pelo métodos dos Parâmetros Concen-trados a mais próxima possível da solução por GITT diminuem conforme o aumento de “.Porém, o parâmetro k

2

para a solução H2,2

≠ H0,0

aparenta ser menos sensível à variaçãode “, apresentando uma queda menor. Isso pode ser visualizado na figura 16.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

0.8

Tb



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

0.8

Tb

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1H2,2 -H0,0GITT


1

= 1.5, k2

= 5.6.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

0.8

Tb



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

0.8

Tb

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1H2,2 -H0,0GITT


1

= 1.0, k2

= 5.5.


●

●

●

● ●

●

● ● ● ●

10 20 30 40 50 60γ

5

10

15

k

● k1● k2

Figura 16 – Variação de k1

e k2

com “.


3.2 Análise modal e não-modal das soluçõesA partir da análise de não-normalidade podemos aferir a importância dos parâmetros

do problema no aparecimento do superaquecimento. Utilizando da metodologia descritana seção 2.3.3, podemos encontrar o número de condicionamento da matriz de autovetorespara o sistema que soluciona o problema para todas as aproximações que utilizam ordem2 para a temperatura média.

3.2.1 Bi = 0

Como visto anteriormente na figura 3, o caso Dirichlet-Neumann não apresentasuperaquecimento mesmo com o aumento de “. Portanto, o que se espera é que a análisepara as soluções desse caso não apresente crescimento da não-normalidade com “. Defato, os modelos H

2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

não apresentam crescimento do número decondicionamento com “, como pode ser observado na figura 18. Para o modelo H

2,2

≠ H0,0

observa-se que quando Bi = 0 existe uma faixa de valores para “ para os quais as equaçõesapresentam tanto número de condicionamento quanto autovalores complexos. Essa faixa éreduzida à medida que Bi aumenta, desaparecendo para Bi = 0.3 aproximadamente. Esseé o mesmo valor aproximado a partir do qual se começa a ver crescimento do número decondicionamento com “ para os modelos H

2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

.

Pode se observar a partir da figura 17 que os autovalores para as soluções H2,2

≠H2,2

e H2,2

≠ H1,1

são sempre negativos, o que condiz com o comportamento assintótico datemperatura média em direção àquela de regime permanente.

10 20 30 40 50 60γ

-60

-40

-20

λ

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1

Figura 17 – Relação entre os autovalores e “ nos modelos H2,2

≠H2,2

e H2,2

≠H1,1

. Bi = 0.


10 20 30 40 50 60γ

20

40

60

80

S 2 S-1 2

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1


2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

. Bi = 0.

3.2.2 Bi = 1

Em primeiro lugar, uma análise do autovalores do sistema de equações para assoluções mostra que os autovalores para cada um dos modelos é sempre negativo. Issopode ser observado nas figuras 20 e 19. Isso demonstra que eles são estáveis, ou seja, nãosão responsáveis por nenhum tipo de crescimento de perturbações e são os responsáveispelo comportamento assintótico das soluções em direção à temperatura média de regimepermanente.

Conforme dito anteriormente, para Bi > 0.3 aproximadamente, o número decondicionamento começa a apresentar crescimento com “. Esse comportamento apontana direção de que de fato o crescimento transiente observado se deve a um aumento nanão-normalidade dos autovetores do sistema. As figuras 21 e 22 mostram a dependênciado número de condicionamento com “ para Bi = 1.

Nos modelos H2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

percebe-se um comportamento assintóticopara o número de condicionamento em relação a “. Isso sugere que o superaquecimentonão cresce indefinidamente com “. Esse fato pode ser confirmado através da figura 23 quemostra a solução por GITT para altos valores de “. O modelo H

2,2

≠ H0,0

apresenta umcrescimento constante do número de condicionamento com “. Isso indica que, para altosvalores de “, esse modelo obtém soluções com um superaquecimento mais intenso do que oesperado. Pode se confirmar isso através da análise das soluções obtidas na seção anterior,nas figuras 13 e 15.

As expressões analíticas para os autovalores e para o número de condicionamentoem função de “ para cada um dos modelos podem ser encontradas nas tabelas 5, 6 e 7.


50 100 150 200γ

-80

-60

-40

-20

λ

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1


≠H2,2

e H2,2

≠H1,1

. Bi = 1.

50 100 150 200γ

-1000

-800

-600

-400

-200

λ

H2,2 -H0,0


≠ H0,0

. Bi = 1.


50 100 150 200γ

20

40

60

80

100

120

140

S 2 S-1 2

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1


2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

. Bi = 1.

50 100 150 200γ

200

400

600

800

1000

1200S 2 S-1 2

H2,2 -H0,0

Figura 22 – Relação entre o número de condicionamento ao quadrado e “ no modeloH

2,2

≠ H0,0

. Bi = 1.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0τ

0.2

0.4

0.6

0.8

Tb

γ=20γ=40γ = 60γ=100γ=200

Figura 23 – Solução de GITT para altos valor de “. Bi = 1.


Tabela 5 – Número de condicionamento e autovalores em função de “ para o modeloH

2,2

≠ H2,2

. Bi = 1.

ÎSÎ2ÎS≠1Î2

6481681+3137386“+345841“

2

+

Ô41990402825761+40649092693652“+14318679685974“

2

+2168994773108“

3

+119565088465“

4

(492+156“)

Ô90000+33720“+1681“

2

⁄1

≠6

1300+89“+

Ô90000+33720“+1681“

2

2

41+13“

⁄2

≠6

1300+89“≠

Ô90000+33720“+1681“

2

2

41+13“


2,2

≠ H1,1

. Bi = 1.

ÎSÎ2ÎS≠1Î2

1620484+609340“+55393“

2

+

Ô2624400234256+1973733010400“+550545019800“

2

+67480035320“

3

+3067776049“

4

(264+60“)

Ô22500+5820“+169“

2

⁄1

≠6

1150+37“+

Ô22500+5820“+169“

2

2

22+5“

⁄2

≠6

1150+37“≠

Ô22500+5820“+169“

2

2

22+5“


2,2

≠ H0,0

. Bi = 1.

ÎSÎ2ÎS≠1Î2

20009+320“+128“

2

+

Ô400000081+12851840“+5222400“

2

+81920“

3

+16384“

4

24

Ô625≠80“+4“

2

⁄1

≠4

125+2“+

Ô625≠80“+4“

2

2

3

⁄2

≠4

125+2“≠

Ô625≠80“+4“

2

2

3

Através de uma aproximação por série de Taylor das soluções analíticas obtidaspelos modelos em torno do tempo · = 0 podemos estimar até qual momento ocorre ocrescimento transiente observado. Os resultados encontram-se na tabela 8.

Tabela 8 – Estimativa dos tempos até os quais ocorre o crescimento transiente. Bi = 1.

Aproximação ·

H2,2

≠ H2,2

k

1

(41+13“)

6(≠1080+300k

1

+89k

1

“)

H2,2

≠ H1,1

k

1

(22+5“)

6(≠540+150k

1

+37k

1

“)

H2,2

≠ H0,0

3k

2

4(≠90+25k

2

+2k

2

“)

3.2.3 Bi = 50

Para altos valores de Bi pode se observar a partir dos resultados da seção anterior,na figura 4, que novamente não há a presença do superaquecimento. Porém, ao contráriodo esperado, o número de condicionamento da matriz de autovetores aumenta com “ paratodos os modelos. Isso pode ser observado nas figuras 26 e 27. Acredita-se que isso se dá


ao fato do método dos Parâmetros Concentrados perder precisão para casos com Bi muitoelevado. Para se capturar o verdadeiro comportamento de ausência de superaquecimentoprovavelmente seriam necessárias ordens de aproximação superiores para o método.

Mais uma vez, os autovalores dos sistemas são sempre negativos para todos osmodelos, como pode se ver nas figuras 24 e 25.

10 20 30 40 50 60γ

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

λ

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1


≠H2,2

e H2,2

≠H1,1

. Bi = 50.

10 20 30 40 50 60γ

-7000

-6000

-5000

-4000

-3000

-2000

-1000

λ

H2,2 -H0,0


≠ H0,0

. Bi = 50.


10 20 30 40 50 60γ

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

S 2 S-1 2

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1


2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

. Bi = 50.

10 20 30 40 50 60γ

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

S 2 S-1 2

H2,2 -H0,0

Figura 27 – Relação entre o número de condicionamento ao quadrado e “ no modeloH

2,2

≠ H0,0

. Bi = 50.

3.2.4 Análise da variação de Bi

Conforme mostrado nas seções anteriores, a variação de Bi representa mudançasno comportamento do número de condicionamento. Além disso, sabe-se que o superaqueci-mento não existe quando Bi se aproxima de 0 nem quando Bi é grande demais. Portanto,deve haver um valor de Bi intermediário para o qual o superquecimento seja máximo. Asfiguras 28, 29 e 30 mostram a variação do número de condicionamento do sistema com Bi

dos modelos H2,2

≠ H2,2

e H2,2

≠ H1,1

para valores crescentes de “. Percebe-se que quando“ = 20, uma vez que o superaquecimento é pequeno, não é possível observar esse fenômenoclaramente. Porém, nas figuras 29 e 30 é possível observar um pico de não-normalidade


máxima para Bi = 4 e Bi = 2.5 aproximadamente, para os diferentes modelos. Issoindica que um valor de Bi nessa faixa é aquele que leva ao máximo de superaquecimento.Acredita-se que o crescimento para altos valores de Bi visto nas figuras é mais uma vezconsequência do fato do método dos Parâmetros Concentrados ter resultados ruins paraaltos valores de Bi, não capturando assim o comportamento correto.

0 2 4 6 8 10Bi

100

200

300

400�S�2 �S-1�2

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1

Figura 28 – Relação entre o número de condicionamento e Bi nos modelos H2,2

≠ H2,2

eH

2,2

≠ H1,1

. “ = 20.

0 2 4 6 8 10Bi

100

200

300

400�S�2 �S-1�2

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1


≠ H2,2

eH

2,2

≠ H1,1

. “ = 60.


0 2 4 6 8 10Bi

100

200

300

400�S�2 �S-1�2

H2,2 -H2,2H2,2 -H1,1


≠ H2,2

eH

2,2

≠ H1,1

. “ = 100.

42

4 Conclusão

Este estudo analisou a possibilidade da utilização do método dos ParâmetrosConcentrados para se resolver um problema de transferência de calor transiente em umfluido supercrítico, para condições de contorno que apresentam um superaquecimentotransiente acima da temperatura de regime permanente.

Foi observado que esse fenômeno do superaquecimento é mais importante quantomaior for o parâmetro “. Mostrou-se também que a utilização da aproximação de Parâ-metros Concentrados de ordem 0 e 1 para a temperatura média não são suficientes parasolucionar o problema na presença das condições de contorno de Dirichlet-Robin uma vezque não possibilitam a reprodução do perfil de temperatura média com o tempo observadonas soluções de GITT.

Observou-se também que a utilização da segunda ordem de aproximação parao fluxo de calor também não é suficiente, e que as soluções assim obtidas também nãoconseguem captar o superaquecimento transiente. Porém, a utilização da aproximação deParâmetros Concentrados de ordem 2 ao se aproximar a integral da temperatura médiapossibilita a solução obtida a reproduzir esse perfil esperado.

Todas as soluções utilizando segunda ordem de aproximação para a temperaturamédia foram capazes de captar o superaquecimento. As soluções H

2,2

≠ H1,1

e H2,2

≠ H2,2

obtiveram resultados extremamente parecidos para todos os casos, apresentando inclusiveo mesmo parâmetro k

1

que controla suas condições iniciais, o que indica que a utilização deordem 2 para o fluxo de calor de fato não representa ganho de precisão para o método. Asolução H

2,2

≠ H0,0

, apesar de também capturar o superaquecimento, apresenta diferençasconsideráveis em relação às outras duas soluções.

A análise de não-normalidade das equações resultantes da utilização do método,para ordem 2 de aproximação na temperatura média, apresentaram uma não-normalidadecrescente e assintótica com “ para os modelos H

2,2

≠ H1,1

e H2,2

≠ H2,2

, o mesmo padrãoobservado no comportamento do superaquecimento. Isso aponta na direção de que ocrescimento transiente apresentado por essas soluções de fato é devido à possibilidade decapturar uma não-normalidade que não é possível nos modelos de ordem mais baixas.

Por fim conclui-se que os modelos de segunda ordem para temperatura médiaapresentam a capacidade de representação de uma solução para o problema do efeitopistão na transferência de calor transiente em fluidos supercríticos.

43

Referências

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