universidade federal fluminense escola de engenharia departamento de engenharia...

i

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO

CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE FLUXOS EM RESERVATÓRIOS DE PE TRÓLEO

MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PETRÓLEO

FELIPE OLIVEIRA DE FARIAS

Niterói, 2011

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA E DE PETRÓLEO

CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO

FELIPE OLIVEIRA DE FARIAS

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE FLUXOS EM RESERVATÓRIOS DE PE TRÓLEO

Monografia apresentada ao Curso de

Engenharia de Petróleo da Universidade

Federal Fluminense, como requisito parcial

para a obtenção do título de Engenheiro de

Petróleo.

Orientadores: Claudia Ossanai Ourique,

Arturo Rodrigo Ferreira Pardo

Niterói

2011

iii

AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus orientadores Claudia Ossanai e Arturo Pardo pelo equilíbrio que me

proporcionaram.

Agradeço à Universidade Federal Fluminense por ter dado os irmãos que minha mãe

não gerou.

Agradeço à minha mãe e minha avó pelo amor que eu não sei se seria capaz de retribuir.

Agradeço aos meus amigos, Leonardo Moura e Lucas Macedo pelo apoio durante esses

anos.

iv

Resumo

Esse trabalho é o estudo no qual é baseado a implementação do algoritmo

IMPES, utilizando o método das diferenças finitas e a linguagem de programação

Visual Basic.Net, para a resolução das equações diferenciais parciais que regem o fluxo

multifásico em meios porosos. Para resolver as equações parciais o algoritmo, todas as

propriedades dos fluidos relevantes para a resolução das equações parciais devem ser

calculadas em cada ponto da malha.

PALAVRAS -CHAVE: IMPES; Diferenças Finitas; Fluxo Multifásico;

Propriedades dos Fluidos.

v

Abstract

This work is the study which is based IMPES the implementation of the IMPES

algorithm, using the finite difference method and the programming language Visual

Basic.Net to solve partial differential equations witch govern multiphase flow in porous

media. To solve the partial equations algorithm, all the relevant fluid properties to the

resolution of partial equations must be calculated at each grid point.

KEYWORDS : IMPES; Finite Differences; Multiphase Flow; Fluid Properties.

vi

Sumário Lista de Gráficos ......................................................................................................................... viii

Lista de Tabelas ............................................................................................................................. ix

1. Introdução ............................................................................................................................. 1

2. Fundamentos Teóricos .......................................................................................................... 2

2.1. Reservatório de Petróleo: .............................................................................................. 2

2.2. Porosidade: .................................................................................................................... 2

2.3. Permeabilidade: ............................................................................................................. 3

2.4. Saturações: .................................................................................................................... 3

2.5. Fluidos de Petróleo: ....................................................................................................... 4

2.6. Métodos finitos: ............................................................................................................ 5

2.7. Malhas ........................................................................................................................... 7

3. Modelagem .......................................................................................................................... 12

3.1. Escoamento em meios porosos – Lei de Darcy ........................................................... 12

3.2. Utilização do método das diferenças finitas para modelar um reservatório ................ 20

3.3. IMPES ......................................................................................................................... 43

3.4. Cálculo das propriedades dos fluidos .......................................................................... 44

3.3.1. Fator volume formação da água ��: .................................................................. 44

3.3.2. Razão de solubilidade da água ��: .................................................................. 45

3.3.3. Compressibilidade isotérmica da água ��: ......................................................... 46

3.3.4. Viscosidade da água ��: .................................................................................... 47

3.3.5. Razão de solubilidade gás- óleo ��: ................................................................. 47

3.3.6. Compressibilidade isotérmica do óleo ��: .......................................................... 49

3.3.7. Fator volume de formação do óleo ��: ............................................................... 50

3.3.8. Viscosidade do óleo ��:...................................................................................... 51

3.3.9. Fator volume de formação do gás ��: ................................................................ 52

3.3.10. Viscosidade do Gás ��: ..................................................................................... 55

3.5. Modelos de permeabilidade relativa............................................................................ 57

3.6. Compressibilidade da rocha �: .................................................................................. 60

4. Simulação e discussão de resultados ................................................................................... 61

5. Conclusões e Sugestões ....................................................................................................... 76

6. Referências Bibliográficas .................................................................................................. 77

vii

Lista de Figuras

Figura 2.1 -Curvas de permeabilidade relativa em um sistema trifásico . .................................... 3

Figura 2.2 - Malha não estruturada ............................................................................................... 8

Figura 2.3 - Malha não estruturada. .............................................................................................. 8

Figura 2.4 - Malha não estruturada com as células numeradas ..................................................... 9

Figura 2.5- Domínio discretizado por uma malha tetraédrica ....................................................... 9

Figura 2.6 – Malha com estruturada numerada ........................................................................... 10

Figura 3.1 - Volume de controle ................................................................................................. 13

Figura 3.2 - Reservatório representado por uma malha 3x3x3 ................................................... 20

Figura 3.3 - Algoritmo IMPES .................................................................................................... 43

Figura 3.4 - Curvas de permeabilidade relativa nos sistemas bifásicos ...................................... 57

Figura 4.1 - Tela do programa com o resultado das pressões na 1ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório C .............................................................................................................................. 72

Figura 4.2 - Tela do programa com o resultado das pressões na 7ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório C .............................................................................................................................. 73

Figura 4.3 - Tela do programa com o resultado das pressões na 7ª camada no tempo 0.018 dias do reservatório D ......................................................................................................................... 74

Figura 4.4 - Tela do programa com o resultado das pressões na 1ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório D .............................................................................................................................. 74

Figura 4.5- Tela do programa com o resultado das saturações na 1ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório D ......................................................................................................................... 75

viii

Lista de Gráficos Gráfico 4.1- Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório A ......... 62

Gráfico 4.2 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório A .................................................................................................................................................. 62

Gráfico 4.3 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório A .................................................................................................................................................. 63

Gráfico 4.4 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório A ........ 63

Gráfico 4.5 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias segunda rodada do reservatório A ..................................................................................................................................................... 64

Gráfico 4.6 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório A .................................................................................................................................................. 64

Gráfico 4.7 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da terceira rodada do reservatório A ......... 65

Gráfico 4.8 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias terceira rodada do reservatório A ..................................................................................................................................................... 65

Gráfico 4.9 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da terceira rodada do reservatório A .................................................................................................................................................. 65

Gráfico 4.10 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da quarta rodada do reservatório A ......... 66

Gráfico 4.11 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias quarta rodada do reservatório A ..................................................................................................................................................... 66

Gráfico 4.12 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da quarta rodada do reservatório A .................................................................................................................................................. 67

Gráfico 4.13 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório B ...... 68

Gráfico 4.14 - Perfil de saturações de óleo no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório B .............................................................................................................................. 68

Gráfico 4.15 - Perfil de permeabilidade do reservatório B ......................................................... 69

Gráfico 4.16 - Perfil de saturações de água no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório B .............................................................................................................................. 70

Gráfico 4.17 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório B ...... 70

Gráfico 4.18 - Perfil de saturações de óleo no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório B .............................................................................................................................. 71

Gráfico 4.19 - Perfil de saturações de água no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório B .............................................................................................................................. 71

ix

Lista de Tabelas Tabela 3.1 - Tabela de coeficientes para a correlação do fator volume formação com pressão abaixo da pressão de bolha .......................................................................................................... 44

Tabela 3.2 - Tabela de coeficientes para a correlação do fator volume formação com pressão acima da pressão de bolha ........................................................................................................... 45

Tabela 3.3 - Coeficientes utilizados no cálculo de ��: ............................................................. 48

Tabela 3.4 – Coeficientes para o cálculo de �� quando a pressão está abaixo da pressão de bolha ............................................................................................................................................ 50

Tabela 3.5 – Coeficientes utilizados no cálculo do ��: .............................................................. 53

Tabela 3.6 - Tabela Coeficientes utilizados na correlação de Lee-Gonzalez .............................. 56

1

1. Introdução “Se, a princípio, a ideia não é absurda, então não há esperança para ela.”

Albert Einstein

A necessidade de energia e matérias-primas cresceu no século XX de forma

vertiginosa, principalmente a necessidade por petróleo fonte tanto energética quanto de

matérias-primas. Para acompanhar tal demanda a indústria de petróleo evoluiu de uma

atividade artesanal em meados do século XIX para uma das indústrias mais

tecnologicamente desenvolvidas e com grande peso na economia global, no final do

século XX.

Devido à grande demanda por petróleo, o estudo de todas as etapas das

operações para a obtenção desse recurso é de grande interesse para a sociedade.

O estudo dos reservatórios de petróleo teve grande desenvolvimento com o

avanço da capacidade computacional, mas o uso de softwares como ferramenta de

ensino no meio acadêmico tem sido alvo de duras críticas por serem considerados

caixas pretas, onde são inseridos valores, são expelidos resultados e o usuário não

precisa saber o que aconteceu dentro dessa caixa mágica ou acaba perdendo o interesse

por saber como acontece.

Em resposta às criticas à utilização de simuladores, esse trabalho foi feito para

desenvolver uma solução computacional para as equações que regem o fluxo de fluido

em meios porosos e que possuísse características didáticas, permitindo o maior controle

possível ao usuário e ao mesmo tempo fornecendo informações com bases teóricas para

a tomada de decisões durante a criação do modelo e de como ele deve ser executado.

Acredito que o desenvolvimento de uma solução de alto nível não seja algo

trivial a ser realizado ou que possa ser realizado sozinho, mas sim que um bom trabalho

possa ser o início talvez não da solução idealizada inicialmente, mas de uma cadeia de

bons trabalhos que culminem em um resultado satisfatório para os indivíduos que

participaram e para a instituição de ensino.

2

2. Fundamentos Teóricos “Nenhum homem realmente produtivo pensa como se estivesse escrevendo uma

dissertação”

Albert Einstein

2.1. Reservatório de Petróleo:

Para a formação de reservas de petróleo existem três tipos de rochas, a rocha

geradora, onde o petróleo é formado, a rocha-reservatório, onde o petróleo é

armazenado e a rocha selante, que impede a dispersão do fluido.

As rochas-reservatório são rochas dotadas de permeabilidade possibilitando o

fluxo e armazenamento do petróleo. A permeabilidade dessas rochas pode ser conferida

pela presença de poros interconectados formando canais entre as rochas, como é o caso

de rochas sedimentares que possuem porosidade intergranular, como os arenitos, ou

ainda pela presença de fraturas na rocha possibilitando o fluxo de fluidos por esses

canais.

2.2. Porosidade:

A porosidade pode ser classificada em quatro tipos1: absoluta, efetiva, primária

e secundaria.

A porosidade absoluta é definida como a razão entre o volume ocupado pelos

poros, volume poroso, e o volume total da rocha2. A porosidade efetiva é a porosidade

de interesse para a simulação de reservatórios, já que é a razão entre o volume de poros

interconectados e o volume total. A porosidade efetiva sofre influência da existência de

material entre os grãos que formam a rocha. Porosidade primária é a porosidade causada

1 ROSA, A. J. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIO DE PETRÓLEO. Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. EDITORA

INTERCIÊNCIA. 2006. 2 THOMAS, J. E. FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO. Rio de Janeiro, Rio de Janeiro.

EDITORA INTERCIÊNCIA. 2001.

3

pelo modo como foi formada a rocha sedimentar. A porosidade secundária é a

porosidade ocasionada após a formação da rocha sedimentar, seja por uma fratura

sofrida pela rocha ou por um agente químico.

2.3. Permeabilidade:

Da mesma forma que em outros fenômenos de transporte, o fluxo é dado, de

forma simplificada, pelo produto entre a capacidade que o meio possui de conduzir pelo

diferencial de potencial que gera o fluxo. A permeabilidade é a capacidade que o meio

possui para que haja deslocamento de fluido3.

A permeabilidade ainda pode ser dividida em absoluta e relativa. A

permeabilidade absoluta é um valor medido através de um teste realizado com uma

amostra da rocha reservatório e é medida em miliDarcy, (md). A permeabilidade

relativa é uma função das saturações de água, óleo e gás e das interações da rocha com

os fluidos.

Figura 2.1 -Curvas de permeabilidade relativa em um sistema trifásico4 .

2.4. Saturações:


INTERCIÊNCIA. 2006. 4 CHEN, Z. COMPUTATIONAL METHODS FOR MULTIPHASE FLOWS IN POROUS MEDIA. Dallas, Texas.

SIAM. 2006

4

A saturação de um fluido é a razão entre o volume ocupado por ele e o volume

de poroso5.

� = � � (2.1)

Dessa forma podemos concluir que a soma das saturações de todos os fluidos

do mesmo sistema seja um.

� + � + � = 1 (2.2)

2.5. Fluidos de Petróleo:

Os fluidos que formam a mistura chamada petróleo podem ser divididos em

três grandes grupos: Água, Óleo e Gás.

Fator volume de formação é a razão entre o volume que o fluido ocupa em

condições de diferentes das condições padrão (60 °F e 14,7 psia) e o volume de fluido

no tanque, que está nas condições padrão6.

�� = ��í�� + á"��""��#�$��í��%&"'�%��çõ�"#&�*ã� (2.3)

Razão de solubilidade é a razão, em uma determinada pressão e temperatura,

entre o volume de gás dissolvido medido nas condições padrão e o volume de líquido

medido nas condições padrão.

,"� = ��í�� + á"��""��#�$��í��%&"'�%��çõ�"#&�*ã� (2.4)


INTERCIÊNCIA. 2006. 6 ROSA, A. J. ENGENHARIA DE RESERVATÓRIO DE PETRÓLEO. Rio de Janeiro, Rio de Janeiro. EDITORA

INTERCIÊNCIA., 2006.

5

Compressibilidade é a característica que a matéria possui de alterar o seu

volume de acordo com as alterações dos esforços aos quais ela está submetida.

Viscosidade é a capacidade que o fluido possui para resistir ao cisalhamento.

- = . /�/0 (2.5)

2.6. Métodos finitos:

Primeiramente devemos estabelecer a diferença entre os “métodos finitos” que

por causa da nomenclatura são geralmente confundidos. Existem os métodos das

diferenças finitas, os métodos dos volumes finitos e os métodos dos elementos finitos.

Os métodos das diferenças finitas

Os métodos das diferenças finitas são considerados os métodos mais simples e

mais antigos utilizado na resolução de EDPs (Equações Diferencias Parciais) e são os

mais utilizados na resolução de problemas com geometrias simples.

Nos MDF (métodos das diferenças finitas) a equação é mantida na sua forma

diferencial e o domínio é discretizado por uma malha, nos pontos da malha é feita uma

aproximação, substituindo as derivadas parciais por valores das equações nos nós da

malha, resultando em sistema algébrico com uma equação por nó da malha7.

Teoricamente, o MDF pode ser utilizado com todos os tipos de malhas, mas o

MDF é preferencialmente usado com malhas estruturadas, onde as linhas das malhas

estão alinhadas com as coordenadas espaciais.

7 Mattiussi, C. A Reference Discretization Strategy for the Numerical Solution of Physical Field Problems.

Clampco Sistemi-NIRLAB. AREA Science Park. Padriciano 99. 34012 Trieste. Itália

6

Séries de Taylor e/ou regressões polinomiais são utilizadas para obter

aproximações para a primeira e segunda derivadas da variável em função das

coordenadas, e também em pontos que não estejam localizados sobre os nós da malha,

utilizando para isso uma interpolação8.

Em geometrias relativamente simples que utilizem malhas estruturadas, o MDF

é um método eficiente. As desvantagens do MDF são: a simplicidade da geometria do

domínio que está sendo estudado, a necessidade de inserir controles (para que a

conservação seja mantida) e a falta de associação das grandezas físicas e a geometria, a

não ser nos pontos.

Os métodos dos volumes finitos

Enquanto o MDF utiliza a equação em sua forma diferencial, o MVF (método

dos volumes finitos) utiliza como ponto de partida a forma integral da equação da

conservação. É aplicada uma malha sobre o domínio estudado, que divide esse espaço

os volumes de controle são justapostos, e nesses volumes de controle é aplicada a

equação de conservação. Os valores das variáveis são calculados no centróide de cada

VC (volume de controle) e os valores das propriedades nas superfícies do VC são

calculadas por interpolação, assim como no MDF.

Diferente do MDF, o MVF é mais flexível na adaptação a geometrias mais

complexas, pois a malha representa apenas as fronteiras do VC e não necessita estar

relacionada com um sistema de coordenadas. Esse método não necessita de um controle

externo para que seja garantida a conservação, se as integrais de superfície sejam as

integrais das faces do VC.

A desvantagem do MVF é que existe a necessidade de três níveis de

aproximação: interpolação, diferenciabilidade e integração.

Os métodos dos elementos finitos

8 Gonçalves, N. D. F. Método dos Volumes Finitos em Malhas Não-Estruturadas. 2007.

Dissertação(Mestrado em Engenharia Matemática) - Departamento de Matemática Aplicada/Departamento de Matemática Pura Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugal. 2007

7

Os MEF (métodos dos elementos finitos) foram inicialmente utilizados para

resolver problemas relacionados à mecânica dos sólidos, mas devido a sua flexibilidade,

especialmente pela possibilidade de uso de mais variáveis, e os bons resultados

alcançados têm sido empregado em vários outros áreas9. A mais notável desvantagem

apresentada tanto por esse método quanto pelos MVF é o fato das equações linearizadas

não serem tão bem estruturadas como os métodos que utilizam malhas estruturadas, essa

característica torna mais difícil encontrar algoritmos eficientes para a resolução das

equações10.

2.7. Malhas

A malha é o objeto que divide o domínio, que pode ser um reservatório, uma

barra metálica, ou um avião, em um número finito de subdomínios onde serão

calculadas as variáveis do problema. No caso do método dos volumes finitos, as

variáveis são calculadas no baricentro dos subdomínios, também chamados de células.

Existem diferentes tipos de malhas classificadas com relação a sua geometria,

mas as malhas podem ser divididas em dois grandes grupos: malhas estruturadas e não

estruturadas.

As malhas não estruturadas são malhas que utilizam uma geometria variada,

Figura 2.2, se dispondo em quadriláteros e/ou triângulos de tamanhos e formas diversos

para poder representar o domínio com maior precisão, Figura 2.3.

9 Mattiussi, C. A Reference Discretization Strategy for the Numerical Solution of Physical Field Problems.

Clampco Sistemi-NIRLAB. AREA Science Park. Padriciano 99. 34012 Trieste. Itália 10

Gonçalves, N. D. F. Método dos Volumes Finitos em Malhas Não-Estruturadas. 2007. Dissertação(Mestrado em Engenharia Matemática) - Departamento de Matemática Aplicada/Departamento de Matemática Pura Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, Portugal. 2007

8

Figura 2.2 - Malha não estruturada11

Figura 2.3 - Malha não estruturada.

Por usarem uma geometria variada, as células de uma malha não estruturada

nem sempre são localizadas de forma simples, e é essa complexidade na localização

relativa que caracteriza uma malha não estruturada.

Não é possível criar uma lei que nos permita localizar uma célula em relação à

outra, pois as posições relativas das células são variáveis (Figura 2.4).

11

MALISKA, C. R. Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional. 2ª Edição. Rio de Janeiro: LTC Editora S.A., 2004, Janeiro: LTC Editora S.A., 2004

9

Figura 2.4 - Malha não estruturada com as células numeradas

Apesar de serem capazes de uma representação com alta precisão Figura 2.5, as

malhas não estruturadas podem acabar gerando situações onde não existe

ortogonalidade entre as células, o que torna o gasto computacional muito maior.

Figura 2.5- Domínio discretizado por uma malha tetraédrica

As malhas estruturadas são malhas que apresentam vantagem computacional

sobre as malhas não estruturadas pela sua simplicidade, porém podem não conseguir

representar o domínio a ser estudado com tanta precisão quanto a anterior. A Figura 2.6

mostra um exemplo de malha estruturada. Todas as células podem ser localizadas

sabendo quem são as suas vizinhas.

10

Figura 2.6 – Malha com estruturada numerada

Na Figura 2.6 todas as células são sempre, simultaneamente, uma unidade a mais

que a anterior da mesma linha, caso haja célula anterior, uma unidade a menos da

próxima célula da mesma linha, caso haja uma próxima célula na mesma linha, sete

unidades a mais da célula inferior, caso haja célula inferior e sete unidades a menos da

célula superior.

Diferenças Finitas:

Pela definição de derivada temos que12:

�1�2 = ��∆4→6 172 + ∆28 9 1728∆2 (2.6)

Pela série de Taylor truncada no primeiro termo temos que:

172 + ∆28 = 1728 + 1:728 ∗ ∆21! (2.7)

12

PEACEMAN, D. W. FUNDAMENTALS OF NUMERICAL RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas. ELSEVIER SCIENTIFIC PUBLISHING COMPANY. January, 1977. Volume 6.

11

1:728 = 172 + ∆28 − 1728∆2 (2.8)

Em um domínio que foi discretizado podemos dizer que:

1:72�8 = 172�=>8 − 172�8∆2 (2.9)

Onde ∆2 é a distância entre 2�=> e 2�. Para a derivada segunda basta seguir o mesmo procedimento já descrito, mas

agora truncando a série no segundo termo:

1::728 = 172 − ∆28 − 21728 + 172 + ∆28∆2@ (2.10)

De forma análoga à primeira derivada em um domínio discretizado, temos a

segunda derivada:

1::72�8 = 172�A>8 − 2172�8 + 172�=>8∆2@ (2.11)

12

3. Modelagem “Uma vida sem desafios não vale a pena ser vivida.”

Sócrates

Neste capítulo será apresentada de forma sucinta a teoria que é utilizada como

base para a confecção do algoritmo que será pedra angular do simulador de reservatório.

3.1. Escoamento em meios porosos – Lei de Darcy

A lei de Darcy, publicada em 1856, é uma equação constitutiva, pois utiliza

relações entre as propriedades mecânicas, e fenomenológicas, por ser baseada em

experimentos. A equação da lei de Darcy para um fluxo monofásico, horizontal,

incompressível, com vazão constante em um meio poroso de comprimento L e área

transversal A é dada por13:

Q = AKΔpμL (3.1)

Onde ∆p é a perda de pressão no meio poroso, K é a permeabilidade absoluta e µ

é a viscosidade do fluido.

A lei de Darcy ainda pode ser escrita na sua forma diferencial:

u = QA = 9Kμ δpδx (3.2)

13

PEACEMAN, D. W. FUNDAMENTALS OF NUMERICAL RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas. ELSEVIER SCIENTIFIC PUBLISHING COMPANY. January, 1977. Volume 6.

13

Inserindo a componente gravitacional podemos generalizar a fórmula para:

u = −Kμ 7δpδx − ρg

δDδx8 (3.3)

v = −Kμ 7δpδy − ρg

δDδy8

(3.4)

w = −Kμ 7δpδz − ρg

δDδz8

(3.5)

Onde D é a profundidade e u, v e w são as componentes da velocidade em x, y e

z, respectivamente.

Considerando um volume de controle com uma área transversal ao fluxo A e um

comprimento ∆p, conforme a Figura 3.1.

Figura 3.1 - Volume de controle

Respeitando a lei da conservação temos:

ST&2&��%T*&U − ST&2&��"&�U + ST&2&�%V�T&�&U= ST&2&��&'ú��U (3.6)

14

Como a massa de um fluido, em um determinado ponto, pode ser escrita como o

produto entre a sua massa específica e o volume que o mesmo ocupa em uma determina

posição, a taxa de massa que entra em um volume de contorno pode ser dada por:

V7x8 = u7x8 × A7x8 (3.7)

�.7x8 = ρ7x8 × u7x8 × A7x8 (3.8)

Da mesma forma a taxa de massa que sai de um volume de controle pode ser

escrita como:

�.7x + Δx8 = ρ7x + Δx8 × u7x + Δx8 × A7x + Δx8 (3.9)

A taxa de massa acumulada dentro da mídia porosa pode ser expressa pela

variação do produto do volume de poros e a massa especifica de um fluido.

[[T 7ϕρ8 × A × Δx (3.10)

A taxa de massa injetada é definida pela multiplicação da vazão pelo volume do

meio poroso:

� × ] × ∆2 (3.11)

Com os termos definidos temos:

�.7x8 9 �.7x + Δx8 + � × ] × ∆2 = [[T 7ϕρ8 × A × Δx (3.12)

÷ Δx

15

�.7x8 9 �.7x + Δx8∆2 + � × ] = [

[T 7ϕρ8 × A (3.13)

9 [[2 7�.8 + � × ] = [[T 7ϕρ8 × A (3.14)

Ou

9 [[T 7A × ρ × u8 + � × ] = [[T 7ϕρ8 × A (3.15)

Para o estudo de um reservatório tridimensional seguiremos a mesma ideia.

Primeiro veremos como é representada a taxa de massa que entra no volume de

contorno.

�. _x, y + 12 y, z + 12 za= ρ _x, y + 12 y, z + 12 za × u _x, y + 12 y, z + 12 za × Δy× Δz

(3.16)

Onde7x, y + >@ y, z + >

@ z8 é o centro da face transversal ao fluxo de massa em

qualquer ponto no eixo x.

Para as direções y e z as taxas de massa que entram são respectivamente:

�. _x + 12 x, y, z + 12 za= ρ _x + 12 x, y, z + 12 za × v _x + 12 x, y, z + 12 za × Δx× Δz

(3.17)

16

�. _x + 12 x, y + 12 y, za= ρ _x + 12 x, y + 12 y, za × w_x + 12 x, y + 12 y, za× Δx × Δy

(3.18)

As taxas mássicas de saída, em x, y e z, respectivamente, são:

�. _x + Δx, y + 12 y, z + 12 za= ρ _x + Δx, y + 12 y, z + 12 za× u _x + Δx, y + 12 y, z + 12 za × Δy × Δz

(3.19)

�. _x + 12 x, y + Δy, z + 12 za= ρ _x + 12 x, y + Δy, z + 12 za× v _x + 12 x, y + Δy, z + 12 za × Δx × Δz

(3.20)

�. _x + 12 x, y + 12 y, z + Δza= ρ _x + 12 x, y + 12 y, z + Δza× w_x + 12 x, y + 12 y, z + Δza × Δx × Δy

(3.21)

A taxa mássica acumulada é dada por:

[[T 7ϕρ8 × Δx × Δy × Δz (3.22)

17

A taxa de injeção em três dimensões fica:

� × Δx × Δy × Δz (3.23)

A equação da conservação da massa, então, pode ser expressa por:

�. _x, y + 12 y, z + 12 za + �. _x + 12 x, y, z + 12 za+ �. _x + 12 x, y + 12 y, za9 �. _x + Δx, y + 12 y, z + 12 za9 �. _x + 12 x, y + Δy, z + 12 za9 �. _x + 12 x, y + 12 y, z + Δza + � × Δx× Δy × Δz = [[T 7ϕρ8 × Δx × Δy × Δz

(3.24)

÷ 7Δx × Δy × Δz8

�. bx, y + 12 y, z + 12 zc 9 �. bx + Δx, y + 12 y, z + 12 zc∆2+�

. bx + 12 x, y, z + 12 zc 9 �. bx + 12 x, y + Δy, z + 12 zc∆0

+�. bx + 12 x, y + 12 y, zc 9 �. bx + 12 x, y + 12 y, z + Δzc

∆d+ � = [

[T 7ϕρ8

(3.25)

18

9 [[2 7�.7x, y, z88 9 [[0 7�.7x, y, z88 9 [[d 7�.7x, y, z88 + �= [[T 7ϕρ8

(3.26)

Ou

9 [[2 7ρu8 9 [[0 7ρv8 9 [[d 7ρw8 + � = [[T 7ϕρ8 (3.27)

Definindo u como o vetor 7u, v, w8 teremos:

e = 79Kμ _δpδx 9 ρg δDδxa ,9Kμ _δpδy 9 ρg δDδya ,9Kμ 7δpδz9 ρg δDδz88

(3.28)

E podemos reescrever a equação (3.27) da seguinte forma:

9∇ ∙ 7ρe8 + q = [[T 7ϕρ8 (3.29)

Substituindo (3.3) em (3.29) temos:

9∇ ∙ _ρ × 79Kμ 7∇p 9 ρg × ∇D88a + q = [[T 7ϕρ8 (3.30)

∇ ∙ _ρ × Kμ 7∇p 9 ρg × ∇D88a + q = [[T 7ϕρ8 (3.31)

19

Para um fluido incompressível teremos iij 7ϕρ8 = 0. Então a equação de conservação da

massa fica:

∇ ∙ lρ × Kμ 7∇p 9 ρg × ∇D8m + qρ = 0 (3.32)

Definindo Φ = # 9 o × p:

∇ ∙ _Kμ × ∇Φ8a + qρ = 0 (3.33)

Em um reservatório isotrópico e com viscosidade constante, a equação da massa é

simplificada para a equação de Poisson:

∇ ∙ 7∇Φ8 + qμρK = 0 (3.34)

No volume de controle onde o termo fonte é zero, a equação de Laplace:

∇@Φ = 0 (3.35)

20

3.2. Utilização do método das diferenças finitas para modelar um

reservatório

Inicialmente o reservatório a ser modelado será um reservatório isotrópico,

selado e com um fluido incompressível e viscosidade constante. Para isso serão

utilizadas as equações de Poisson e Laplace já vistas.

Figura 3.2 - Reservatório representado por uma malha 3x3x3

O reservatório representado na Figura 2.1 é um cubo dividido em 27 partes por

uma malha quadrada. No bloco 7 existe um poço injetor e no bloco 27 existe um poço

produtor.

Para todos os blocos, com exceção dos blocos 7 e 27, serão usadas a equações:

∇@Φ = 0 (3.36)

21

q q q∇@Φdxdydz = 0s

tuv

wx (3.37)

q q qδ@Φδx@ dxdydzs

tuv

wx +q q qδ@Φδy@ dydxdz

u

vst

wx

+q q q δ@Φδz@ dzdydx = 0w

xuv

st

(3.38)

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz = 0

(3.39)

As derivadas de Φ, quando não são conhecidas, podem ser aproximadas por:

δΦδx |z = Φs 9Φ�Δxs (3.40)

δΦδx |, = Φ� 9ΦtΔxt (3.41)

δΦδy |{ = Φu 9Φ�Δyu (3.42)

δΦδy || = Φ� 9ΦvΔyv (3.43)

δΦδz |} = Φw 9Φ�Δzw (3.44)

δΦδz | = Φ� 9ΦxΔzx (3.45)

22

Para os blocos internos, que não possuem faces no contorno, teremos:

_Φs 9Φ�Δxs 9Φ� 9ΦtΔxt a × ΔyΔz + _Φu 9Φ�Δyu 9Φ� 9ΦvΔyv a× ΔxΔz + _Φw 9Φ�Δzw 9Φ� 9ΦxΔzx a × ΔxΔz= 0

(3.46)

Φ� �_ 1Δxs +1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu +

1Δyva × ΔxΔz+ _ 1Δzw +

1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu+Φv ΔxΔzΔyv +Φw ΔxΔzΔzw +Φx ΔxΔzΔzx

(3.47)

Definindo:

]� = _ 1Δxs +1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu +


1Δzxa × ΔxΔz (3.48)

Onde c são todos os blocos que não possuem faces no contorno:

]s = ΔyΔzΔxs (3.49)

]t = ΔyΔzΔxt (3.50)

23

]u = ΔxΔzΔyu (3.51)

]� = ΔxΔzΔyv (3.52)

]w = ΔxΔzΔzw (3.53)

]x = ΔxΔzΔzx (3.54)

Podemos reescrever a equação (3.48) como:

Φ�]� = Φs]s +Φt]t +Φu]u +Φv]� +Φw]w +Φx]x (3.55)

Φ�]� = Φ�A�]s +Φ�=�]t +Φ�=>]u +Φ�A>]� +Φ�=�]w+Φ�A�]x (3.56)

Φ>�]>� = Φ�]s +Φ@�]t +Φ>�]u +Φ>�]� +Φ>�]w+Φ>>]x (3.57)

Para os blocos que possuem apenas uma face no contorno:

Bloco 5:

_0 9 δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz = 0

(3.58)

24

Φ� �_0 + 1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu +1Δyva × ΔxΔz

+ _ 1Δzw +1Δzxa × ΔxΔz�

= 0 + Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu +Φv ΔxΔzΔyv+Φw ΔxΔzΔzw +Φx ΔxΔzΔzx

(3.59)

Φ�]� = 0 + Φ>�]t +Φ�]u +Φ�]� +Φ�]w +Φ@]x (3.60)

Bloco 11:

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0

(3.61)

Φ>> �_ 1Δxs +1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu +

1Δyva × ΔxΔz+ _ 1Δzw + 0a × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu+Φv ΔxΔzΔyv +Φw ΔxΔzΔzw + 0

(3.62)

Φ>>]>> = Φ@]s +Φ@6]t +Φ>@]u +Φ>6]� +Φ>�]w+ 0

(3.63)

25

Bloco 13:

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz = 0

(3.64)

Φ� �_ 1Δxs +1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu + 0a × ΔxΔz+ _ 1Δzw +

1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu + 0+ Φw ΔxΔzΔzw +Φx ΔxΔzΔzx

(3.65)

Φ>�]>� = Φ�]s +Φ@@]t +Φ>�]u + 0 + Φ>�]w +Φ>6]x (3.66)

Bloco 15:

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _0 9 δΦδy ||a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz = 0

(3.67)

26

Φ� �_ 1Δxs +1Δxta × ΔyΔz + _0 + 1Δyva × ΔxΔz+ _ 1Δzw +

1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt + 0 + Φv ΔxΔzΔyv+Φw ΔxΔzΔzw +Φx ΔxΔzΔzx

(3.68)

Φ>�]>� = Φ�]s +Φ@�]t + 0 + Φ>�]� +Φ>�]w +Φ>@]x (3.69)

Bloco 17:

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _0 9 δΦδz |a × ΔxΔz = 0

(3.70)


1Δyva × ΔxΔz+ _0 + 1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu+Φv ΔxΔzΔyv + 0 + Φx ΔxΔzΔzx

(3.71)

Φ>�]>� = Φ�]s +Φ@�]t +Φ>�]u +Φ>�]� + 0 +Φ>�]x (3.72)

27

Bloco 23:

_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz = 0

(3.73)

Φ� �_ 1Δxs + 0a × ΔyΔz + _ 1Δyu +1Δyva × ΔxΔz

+ _ 1Δzw +1Δzxa × ΔxΔz�

= Φs ΔyΔzΔxs + 0 + Φu ΔxΔzΔyu +Φv ΔxΔzΔyv+Φw ΔxΔzΔzw +Φx ΔxΔzΔzx

(3.74)

Φ@�]@� = Φ>�]s + 0 + Φ@�]u +Φ@@]� +Φ@�]w+Φ@6]x

(3.75)

Para os blocos que possuem duas faces no contorno:

Bloco 2:

_0 9 δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0

(3.76)

28


+ _ 1Δzw + 0a × ΔxΔz�= 0 + Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu +Φv ΔxΔzΔyv+Φw ΔxΔzΔzw + 0

(3.77)

Φ@]@ = 0 + Φ>>]t +Φ�]u +Φ>]� +Φ�]w + 0 (3.78)

Bloco 4:

_0 9 δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz = 0

(3.79)

Φ� �_0 + 1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu + 0a × ΔxΔz+ _ 1Δzw +

1Δzxa × ΔxΔz�= 0 + Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu + 0 + Φw ΔxΔzΔzw+Φx ΔxΔzΔzx

(3.80)

Φ�]� = 0 + Φ>�]t +Φ�]u + 0 + Φ�]w +Φ>]x (3.81)

29

Bloco 6:

_0 9 δΦδx |,a × ΔyΔz + _0 9 δΦδy ||a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz = 0

(3.82)

Φ� �_0 + 1Δxta × ΔyΔz + _0 + 1Δyva × ΔxΔz+ _ 1Δzw +

1Δzxa × ΔxΔz�= 0 + Φt ΔyΔzΔxt + 0 + Φv ΔxΔzΔyv +Φw ΔxΔzΔzw+Φx ΔxΔzΔzx

(3.83)

Φ�]� = 0 + Φ>�]t + 0 + Φ�]� +Φ�]w +Φ�]x (3.84)

Bloco 8:

_0 9 δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _0 9 δΦδz |a × ΔxΔz = 0

(3.85)


+ _0 + 1Δzxa × ΔxΔz�= 0 + Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu +Φv ΔxΔzΔyv + 0+Φx ΔxΔzΔzx

(3.86)

30

Φ�]� = 0 + Φ>�]t +Φ�]u +Φ�]� + 0 + Φ�]x (3.87)

Bloco 10:

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz+ _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0

(3.88)

Φ� �_ 1Δxs +1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu + 0a × ΔxΔz+ _ 1Δzw + 0a × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu + 0+ Φw ΔxΔzΔzw + 0

(3.89)

Φ>6]>6 = Φ>]s +Φ>�]t +Φ>@]u + 0 + Φ>�]w + 0 (3.90)

Bloco 12:

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _0 9 δΦδy ||a × ΔxΔz+ _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0

(3.91)

31

Φ� �_ 1Δxs +1Δxta × ΔyΔz + _0 + 1Δyva × ΔxΔz+ _ 1Δzw + 0a × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt + 0 + Φv ΔxΔzΔyv+Φw ΔxΔzΔzw + 0

(3.92)

Φ>@]>@ = Φ�]s +Φ@>]t + 0 + Φ>>]� +Φ>�]w + 0 (3.93)

Bloco 16:

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz+ _0 9 δΦδz |a × ΔxΔz = 0

(3.94)

Φ� �_ 1Δxs +1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu + 0a × ΔxΔz+ _0 + 1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu + 0 + 0+Φx ΔxΔzΔzx

(3.95)

Φ>�]>� = Φ�]s +Φ@�]t +Φ>�]u + 0 + 0 + Φ>�]x (3.96)

32

Bloco 18:

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _0 9 δΦδy ||a × ΔxΔz+ _0 9 δΦδz |a × ΔxΔz = 0

(3.97)

Φ� �_ 1Δxs +1Δxta × ΔyΔz + _0 + 1Δyva × ΔxΔz+ _0 + 1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt + 0 + Φv ΔxΔzΔyv + 0+ Φx ΔxΔzΔzx

(3.98)

Φ>�]>� = Φ�]s +Φ@�]t + 0 + Φ>�]� + 0 + Φ>�]x (3.99)

Bloco 20:

_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0

(3.100)


+ _ 1Δzw + 0a × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs + 0 + Φu ΔxΔzΔyu +Φv ΔxΔzΔyv+Φw ΔxΔzΔzw + 0

(3.101)

33

Φ@6]@6 = Φ>>]s + 0 + Φ@>]u +Φ>�]� +Φ@�]w + 0 (3.102)

Bloco 22:

_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz = 0

(3.103)

Φ� �_ 1Δxs + 0a × ΔyΔz + _ 1Δyu + 0a × ΔxΔz+ _ 1Δzw +

1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs + 0 + Φu ΔxΔzΔyu + 0 + Φw ΔxΔzΔzw+Φx ΔxΔzΔzx

(3.104)

Φ@@]@@ = Φ>�]s + 0 + Φ@�]u + 0 + Φ@�]w +Φ>�]x (3.105)

Bloco 24:

_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _0 9 δΦδy ||a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz = 0

(3.106)

34

Φ� �_ 1Δxs + 0a × ΔyΔz + _0 + 1Δyva × ΔxΔz+ _ 1Δzw +

1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs + 0 + 0 + Φv ΔxΔzΔyv +Φw ΔxΔzΔzw+Φx ΔxΔzΔzx

(3.107)

Φ@�]@� = Φ>�]s + 0 + 0 + Φ@�]� +Φ@�]w +Φ@>]x (3.108)

Bloco 26:

_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _0 9 δΦδz |a × ΔxΔz = 0

(3.109)


+ _0 + 1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs + 0 + Φu ΔxΔzΔyu +Φv ΔxΔzΔyv + 0+ Φx ΔxΔzΔzx

(3.110)

Φ@�]@� = Φ>�]s + 0 + Φ@�]u +Φ@�]� + 0 +Φ@�]x (3.111)

35

Para os blocos que possuem três faces no contorno

Bloco 1:

_0 9 δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz+ _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0

(3.112)

Φ� �_0 + 1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu + 0a × ΔxΔz + _ 1Δzw + 0a× ΔxΔz�= 0 + Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu + 0 + Φw ΔxΔzΔzw+ 0

(3.113)

Φ>]> = 0 + Φ>6]t +Φ@]u + 0 + Φ�]w + 0 (3.114)

Bloco 3:

_0 9 δΦδx |,a × ΔyΔz + _0 9 δΦδy ||a × ΔxΔz+ _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0

(3.115)

Φ� �_0 + 1Δxta × ΔyΔz + _0 + 1Δyva × ΔxΔz + _ 1Δzw + 0a× ΔxΔz�= 0 + Φt ΔyΔzΔxt + 0 + Φv ΔxΔzΔyv +Φw ΔxΔzΔzw+ 0

(3.116)

36

Φ�]� = 0 + Φ>@]t + 0 + Φ@]� +Φ�]w + 0 (3.117)

Bloco 9:

_0 9 δΦδx |,a × ΔyΔz + _0 9 δΦδy ||a × ΔxΔz+ _0 9 δΦδz |a × ΔxΔz = 0

(3.118)

Φ� �_0 + 1Δxta × ΔyΔz + _0 + 1Δyva × ΔxΔz + _0 + 1Δzxa× ΔxΔz�= 0 + Φt ΔyΔzΔxt + 0 + Φv ΔxΔzΔyv + 0+ Φx ΔxΔzΔzx

(3.119)

Φ�]� = 0 + Φ>�]t + 0 + Φ�]� + 0 + Φ�]x (3.120)

Bloco 19:

_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz+ _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0

(3.121)

37

Φ� �_ 1Δxs + 0a × ΔyΔz + _ 1Δyu + 0a × ΔxΔz + _ 1Δzw + 0a× ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs + 0 +Φu ΔxΔzΔyu + 0 +Φw ΔxΔzΔzw+ 0

(3.122)

Φ>�]>� = Φ>6]s + 0 + Φ@6]u + 0 + Φ@@]w + 0 (3.123)

Bloco 21:

_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _0 9 δΦδy ||a × ΔxΔz+ _δΦδz |} 9 0a × ΔxΔz = 0

(3.124)

Φ� �_ 1Δxs + 0a × ΔyΔz + _0 + 1Δyva × ΔxΔz + _ 1Δzw + 0a× ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs + 0 + 0 + Φv ΔxΔzΔyv +Φw ΔxΔzΔzw+ 0

(3.125)

Φ@>]@> = Φ>@]s + 0 + 0 + Φ@6]� +Φ@�]w + 0 (3.126)

38

Bloco 25:

_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _0 9 δΦδz |a× ΔxΔz = 0

(3.127)

Φ� �_ 1Δxs + 0a × ΔyΔz + _ 1Δyu + 0a × ΔxΔz + _0 + 1Δzxa× ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs + 0 + Φu ΔxΔzΔyu + 0 + 0+ Φx ΔxΔzΔzx

(3.128)

Φ@�]@� = Φ>�]s + 0 + Φ@�]u + 0 + 0 + Φ@@]x (3.129)

Para os blocos 7 e 27 será usada a equação:

∇@Φ+ qμρK = 0 (3.130)

_δΦδx yz 9 δΦδx y ,a × ΔyΔz + _δΦδy y{ 9 δΦδy y|a × ΔxΔz+ _δΦδz y} 9 δΦδz y a × ΔxΔz + qμρK = 0

(3.131)

39



1Δzxa × ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs +Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu+Φv ΔxΔzΔyv +Φw ΔxΔzΔzw +Φx ΔxΔzΔzx 9 qμρK

(3.132)

Para o bloco 7:

_0 9 δΦδx |,a × ΔyΔz + _δΦδy |{ 9 0a × ΔxΔz + _0 9 δΦδz |a× ΔxΔz + qμρK = 0

(3.133)

Φ� �_0 + 1Δxta × ΔyΔz + _ 1Δyu + 0a × ΔxΔz + _0 + 1Δzxa× ΔxΔz�= 0 + Φt ΔyΔzΔxt +Φu ΔxΔzΔyu + 0 + 0+ Φx ΔxΔzΔzx 9 qμρK

(3.134)

Φ�]� = 0 + Φ>�]t +Φ�]u + 0 + 0 + Φ�]x 9 q�μρK (3.135)

Para o bloco 27:

_δΦδx |z 9 0a × ΔyΔz + _0 9 δΦδy ||a × ΔxΔz+ _0 9 δΦδz |a × ΔxΔz + qμρK = 0

(3.136)

40

Φ� �_ 1Δxs + 0a × ΔyΔz + _0 + 1Δyva × ΔxΔz + _0 + 1Δzxa× ΔxΔz�= Φs ΔyΔzΔxs + 0 + 0 + Φv ΔxΔzΔyv + 0+Φx ΔxΔzΔzx 9 qμρK

(3.137)

Φ@�]@� = Φ>�]s + 0 + 0 + Φ@�]� + 0 + Φ@�]x 9 q@�μρK (3.138)

Com as equações encontradas é montado um sistema que poderá prever a

distribuição das pressões dentro do reservatório.

A demonstração feita foi para um caso muito específico e consequentemente

com aplicação reduzida no estudo de reservatórios reais, pois leva em conta a presença

de uma fase, com o fluido incompressível e com viscosidade constante. Pensando em

fluxos teríamos, para três fases14.

J� = ρ��u�� (3.139)

J� = ρ��u�� (3.140)

J� = ρ��u�� + ,��ρ��u�� + ,��ρ��u�� (3.141)

14

FANCHI J. R. PRINCIPLES OF APPLIED RESERVOIR SIMULATION. Houston, Texas. ELSEVIER SCIENTIFIC PUBLISHING COMPANY. 2001 2ª edição

41

Onde o�� é a massa específica nas condições padrão da fase “i”, �� é o fator

volume formação da fase “i”, ,�� é a razão de solubilidade da fase “i” e �� é o vetor

velocidade da fase “i”, A divisão da massa específica nas condições padrão pelo fator

volume de formação concede ao modelo a variação da massa específica com as

condições do reservatório utilizando propriedades e correlações conhecidas. A razão de

solubilidade indica que existe uma parcela da fase gasosa dissolvida dentro das outras

fases. A razão de solubilidade, da mesma forma que o fator volume formação, pode ser

obtida através de dados de amostras do fluido do reservatório aplicados sobre

correlações em conjunto com as condições do reservatório.

Por causa da influência de outros fluidos a equação da velocidade é alterada

para levar em conta essa influência.

u� = K ∗ k��.� ∗ ∇7Φ8 (3.142)

Onde K é o tensor permeabilidade e �� é a permeabilidade relativa na fase “i”

Definindo:

λ� = k�.� (3.143)

Somando os três fluxos, ficamos com15:

�� 9 ,�� _∇ ∗ � ∗ λ�� ∇�� + �� −��o��a

+ �� − ,�� _∇ ∗ � ∗ λ�� ∇�� + �� −��o��a

+ �� l∇ ∗ � ∗ lλ�� + ,��λ�� ,��

λ��m∇�� + �� −��o��m

= �'j /��/T

(3.144)

15


42

Onde �� é a contribuição gravitacional e capilar de cada fase e pode ser

definida para óleo, água e gás, respectivamente como:

�� = 9∇ ∗ � ∗ 7λ��8∇7o�d1448 (3.145)

�� = 9∇ ∗ � ∗ 7λ��8∇7o�d144 + ��8 (3.146)

�� = ∇ ∗ � ∗ 7λ��8∇7�� −o�d1448 (3.147)

Os termos �� e �� são as diferenças entre a pressão de óleo e água e óleo e

gás respectivamente. Com a utilização desses termos é possível escrevermos o

somatório dos fluxos com apenas a pressão do óleo.

A equação anterior é uma das equações que deve ser resolvida para

descobrirmos a pressão em um ponto e as saturações no mesmo. As outras equações são

as equações para as saturações:

//T 7� ��8 = ∇ ∗ � ∗ λ�� ∇�� + �� −��o�� (3.148)

//T 7�

��8 = ∇ ∗ � ∗ λ�� ∇�� + �� −��o�� (3.149)

� + � + � = 1 (3.150)

43

Utilizando o método das diferenças finitas de forma implícita para a pressão e

de forma explícita para as saturações o sistema pode ser facilmente resolvido. Este

método é chamado de IMPES, Implicit Pressure Explicit Saturation16.

3.3. IMPES

Como foi dito anteriormente, o IMPES é um método híbrido, ele é implícito na

pressão e explícito na saturação.

As pressões são calculadas iterativamente. As propriedades dos fluidos são

calculadas em T�A> e as pressões e propriedades dos fluidos em T6 são utilizadas como

estimativa inicial da iteração do instante T�. Após o cálculo ter sido realizado é

verificada se a diferença entre a estimativa inicial e o valor calculado é menor que a

tolerância. Se o erro entre os dois valores for menor que a tolerância, o passo convergiu

e o último valor calculado é utilizado como estimativa inicial do passo seguinte, caso

contrário o último valor calculado é utilizado como estimativa do mesmo passo. Após o

passo ter convergido as saturações são calculadas explicitamente (Figura 3.3).

Figura 3.3 - Algoritmo IMPES

16


44

3.4. Cálculo das propriedades dos fluidos

Como foi visto as propriedades do fluido variam dentro do reservatório de

acordo com a posição e o tempo e para calculá-las usaremos as seguintes correlações17.

3.3.1. Fator volume formação da água ��:

Fx� = �5.1 ∗ 10A�# � 75.47 ∗ 10A� 9 1.95 ∗ 10A>6#87$s 9 6089 73.23 ∗ 10A� 9 8.5 ∗ 10A>�#87$s 9 608

@ ¡¢£ � 1 (3.151)

Onde ¡¢£ é a salinidade da água que pode variar de 0 até 25. $s é a

temperatura do reservatório em Fahrenheit e pode variar de 100 ate 250 ¤. # é a

pressão do reservatório, que no nosso caso será igual a ��, pressão do óleo, e pode variar

de 1000 psi até 5000 psi.

Caso a pressão do reservatório esteja abaixo da pressão de bolha, empregam-se

os valores da Tabela 3.1 para os coeficeientes A, B e C das equações (3.152), (3.153) e

(3.154), obtendo-se B¦ pela realação (3.155).

Tabela 3.1 - Tabela de coeficientes para a correlação do fator volume formação com pressão abaixo da pressão

de bolha

1

0.9911

−1.093 × 10A�

−5 × 10A>>

2 6.35 × 10A� −3.497 × 10A� 6.429 × 10A>�

3 8.5 × 10A� 4.57 × 10A>@ −1.43 × 10A>�

17

CHEN, Z. COMPUTATIONAL METHODS FOR MULTIPHASE FLOWS IN POROUS MEDIA. Dallas, Texas. SIAM. 2006

45

Caso a pressão do reservatório esteja acima da pressão de bolha, os valores

empregados para A, B e C são dados pela Tabela 3.2.

Tabela 3.2 - Tabela de coeficientes para a correlação do fator volume formação com pressão acima da pressão

de bolha

1

0.9947

−4.228 × 10A�

1.3 × 10A>6 2 5.8× 10A� 1.8376× 10A� −1.3855× 10A>@ 3 1.02 × 10A� −6.77× 10A>> 4.285 × 10A>�

A = ]> + ]@$s + ]�$s@ (3.152)

B = �> + �@$s + ��$s@ (3.153)

C = �> + �@$s + ��$s@ (3.154)

B� = 7] + � ∗ # + � ∗ #@8Fx� (3.155)

3.3.2. Razão de solubilidade da água ��:

Caso a pressão do reservatório esteja acima da pressão de bolha a razão de

solubilidade da água é zero. Caso contrário ela pode ser calculada pela seguinte

correlação:

Rx� = �]t©ª + �t©ª# + �t©ª#@� ∗ �1 − 70.0753 9 1.73∗ 10A�$s8¡¢£

(3.156)

46

Onde:

]t©ª = 2.12 + 3.45 ∗ 10A�$s 9 3.59 ∗ 10A�$s@ (3.157)

�t©ª = 0.0107 9 5.26 ∗ 10A�$s + 1.48 ∗ 10A�$s@ (3.158)

�t©ª = 98.75 ∗ 10A� + 3.9 ∗ 10A�$s 9 1.02 ∗ 10A>>$s@ (3.159)

3.3.3. Compressibilidade isotérmica da água ��:

Fx« = ¬−0.52 + 2.7 ∗ 10A�$s 9 1.14 ∗ 10A�$s@ + 1.121∗ 10A�$s�¡¢£6.� + 1

(3.160)

AA = 3.8546 − 1.34 ∗ 10A�# (3.161)

�� = 90.01052 + 4.77 ∗ 10A�# (3.162)

CC = 3.9267 ∗ 10A� − 8.8 ∗ 10A>6# (3.163)

c� = �]] + �� ∗ $s + �� ∗ $s@�10A�(1 + 0.0089,��)Fx« (3.164)

Para a correlação ser válida a pressão deve estar entre 1000 e 6000 psi, a

temperatura entre 80 e 250℉ e a salinidade entre 0 e 25.

47

3.3.4. Viscosidade da água ��:

Fx¯ = 1 − 1.87 ∗ 10A�¡¢£> @° + 2.18 ∗ 10A�¡¢£@.� + ($s> @°− 0.0135$s)(2.76 ∗ 10A�¡¢£ − 3.44 ∗ 10A� ∗ ¡¢£>.�)

(3.165)

Fx¯ = 1 + 3.5 ∗ 10A>@#@($s − 40) (3.166)

μ� = 0.02414 ∗ 10@��.� (±²A>�6)° Fx¯F³¯ (3.167)

A correlação para a viscosidade da água utiliza temperaturas em Fahrenheit e

Kelvin. Como padrão, usaremos a temperatura em Fahrenheit.

$́ = 273.15 + ($s − 32)/1.8 (3.168)

A correlação usada para o cálculo da viscosidade da água é valida se a

temperatura estiver entre 32 e 572 ℉ e a salinidade entre 0 e 25. Não foi encontrado

limite para a temperatura.

Verificando as correlações para as propriedades da água como um todo,

podemos dizer que a temperatura deve estar entre 100 e 250 ℉, a pressão deve estar

entre 1000 psi e 5000 psi e a salinidade entre 0 e 25.

Correlações para o óleo:

3.3.5. Razão de solubilidade gás- óleo ��:

Υ·x = Υ· ∗ (1 + 5.912 ∗ 10A�]³£ ∗ $�¸� ∗ log(#�¸�114.7)) (3.169)

48

Onde Υ· é a densidade do gás em condições padrão, Υ·x é a densidade

corrigida do gás,T�¸� é a temperatura do separador em Fahrenheit, p�¸� é a pressão em

psi e A³£ é o grau API que é definido como:

]³£ = 141.5o� − 131.5 (3.170)

Caso o grau API seja maior ou igual a 30, a relação

R�� = ]6 ∗ Υ·x ∗ #¼�½ ∗ �(«¾¡¿À±Á )

(3.171)

é utilizada, com os coeficientes da Tabela 3.3.

Tabela 3.3 - Coeficientes utilizados no cálculo de ��:

]³£ < 30 ]³£ ≥ 30

]6

0.0178

0.0362

�6 1.1870 1.0937

�6 23.931 25.724

Para determinarmos a razão de solubilidade do gás no óleo precisamos entrar

com o valor de pressão no ponto de bolha p¼ em psi. Nesse caso como a temperatura

aparece sozinha no denominador, para evitarmos uma divisão por 0 está sendo utilizada

a escala absoluta, Rankine.

$t = 459.67 + $s (3.172)

49

3.3.6. Compressibilidade isotérmica do óleo ��:

A compressibilidade pode ser obtida a partir das fórmulas empíricas,

c� = −1,433 + 5,�� + 17.2$s − 1,180Υ·x + 12.61]³£100,000#¼ (3.173)

c� = 6.8257 ∗ 10A� ∗ ,¸Ä6.�66@ ∗ # ∗ $6.��6� ∗Υ·xA6.��6� 18

(3.174)

Ou pela sua definição19:

c� = −[ 1��/��/�� −

��/,��/�� ] (3.175)

Podemos verificar que a compressibilidade isotérmica do óleo depende do fator

volume formação do gás, ��, o que implica na necessidade da fase gás presente e que o

fator volume formação do gás seja calculado antes da compressibilidade isotérmica do

óleo, o que poderia gerar redundâncias no código, acarretando maior tempo

computacional. Em contra partida não foi encontrada na literatura limites para a

correlação para '�. A correlação será usada e serão usados os limites do fator volume

formação do óleo, que serão logo descritos.

18

TRIJANA KARTOATMODJO, New Correlations for Crude Oil Physical Properties.SPE Techinical Publications, Tulsa, junho, 1991. 19


50

3.3.7. Fator volume de formação do óleo ��:

Caso o reservatório esteja a uma pressão acima da pressão de bolha:

B�(#, #¼) = B�(#¼) ∗ �A�½∗(�A�Å) (3.176)

Caso contrário,

B�(#¼) = 1 + Aa ∗ (Ts − 60) ∗ ]³£Υ·x + _�Ç + �' ∗ (Ts − 60) ∗]³£Υ·xa

∗ R��

(3.177)

Os coeficientes da equação (1.77) são apresentados na Tabela 3.4.

Tabela 3.4 – Coeficientes para o cálculo de �� quando a pressão está abaixo da pressão de bolha

]³£ ≤ 30 ]³£ > 30

]&

1.1 ∗ 10A�

1.751 ∗ 10A� �Ç 4.67 ∗ 10A� 4.677 ∗ 10A� �' 1.337 ∗ 10A� −1.811 ∗ 10A�

As correlações (3.176) e (3.177) são validas somente se a pressão e a

temperatura do separador estiverem respectivamente entre 30 e 535 psi e 76 e 150 ℉ e o

grau API estiver entre 15.3 e 59.5. Caso a pressão do reservatório for superior à pressão

de bolha, a densidade do gás deve estar entre 0.511 e 1.351 e a pressão do reservatório

entre 111 e 9485 psi. Caso a pressão do reservatório esteja abaixo da pressão de bolha,

deve-se verificar o grau API: se o grau API for igual ou menor que 30, a densidade do

51

gás deve estar entre 0.511 e 1.351 e a pressão do reservatório entre 14.7 e 4542 psi.

Caso contrário, a densidade do gás deve estar entre 0.53 e 1.259 e a pressão do

reservatório entre 14.7 e 6025 psi, para um valor limite do grau API de até 59.5.

Viscosidade do óleo ��:

3.3.8. Viscosidade do óleo ��:

A viscosidade pode ser obtida pela correlação de Beggs-Robinson:

Caso a pressão do reservatório esteja acima da pressão de bolha,

aA = 10.715 ∗ (R�� + 100)A6.�>� (3.178)

bB = 5.44 ∗ (R�� + 150)A6.�� (3.179)

cc = 3.0324 − 0.02023]³£ (3.180)

cC = 10�� ∗ $sA>.>�� (3.181)

μË� = 10�« − 1 (3.182)

μ�(p�) = aA ∗ μË�¼� (3.183)

Caso contrário, a viscosidade pode ser calculada levando em consideração ou

não a compressibilidade viscosa 'Ì.

52

Não levando em consideração a compressibilidade viscosa, temos que:

aa = 2.6#>.>�� ∗ �(A�.��∗>6ÍÎ�A>>.�>�) (3.184)

μ�(#, #¼) = μ�(p�) ∗ ( ##¼)ÏÏ (3.185)

A correlação é válida para grau API entre 15.3 e 59.5, densidade do gás entre

0.511 e 1.351 e pressão do reservatório entre 111 e 9485 psi.

Utilizando a informação da compressibilidade viscosa, temos que:

bb = 2.6 ∗ (1 + #¼)>.>�� ∗ �(A�.��∗>6ÍÎ(>=�Å)A>>.�>�) (3.186)

cÌ = (1 + #¼A>)¼¼ − 1 (3.187)

μ�(#, #¼) = μ�(#¼) ∗ (1 + cÌ ∗ (# − #¼)) (3.188)

Correlações do gás

3.3.9. Fator volume de formação do gás ��:

p��6 = ]�� + �� ∗ Υ· + �� ∗ Υ·@ (3.189)

T��6 = ]&�� + �Ç�� ∗ Υ· + �'�� ∗ Υ·@ (3.190)

Os valores para os coeficientes das expressões (3.189) e (3.190) são

apresentados na Tabela 3.5, para gás condensado e gás de superfície.

53

Tabela 3.5 – Coeficientes utilizados no cálculo do ��:

Gás condensado Gás

de superfície

]��

706

677

�� -51.7 15

�� -11.1 -37.5

]&�� 187 168

�Ç�� 330 325

�'�� -71.5 -12.5

W¡ = 120 ∗ b�Y«ÒÓ + YÔÓx�6.� − �Y«ÒÓ + YÔÓx�

>.�c − 15∗ �YÔÓx6.� + YÔÓx��

(3.191)

Onde Õ«ÒÓ e ÕÔÓx são respectivamente as frações de �Ö@ e ×@ presentes no

gás. Para o cálculo das pressões pseudo-críticas devemos primeiro calcular as pressões

pseudo-reduzidas.

T�� = T��6 −|¡ (3.192)

p�� =p��6 ∗ ($��6 −|¡)

$��6 + YÔÓx ∗ �1 − YÔÓx� ∗ |¡ (3.193)

p�¸Ë = p#�� (3.194)

T�¸Ë = Tt$�� (3.195)

54

As correlações para as propriedades reduzidas são validas quando o gás for um

gás condensado com densidade entre 0.36 e 1.3 ou for um gás com impurezas, com

densidade entre 0.56 e 1.71 e o somatório das frações de �Ö@ e ×@ não chegar a 0.8.

Caso #�¸Ë e $�¸Ë estejam respectivamente entre 0 e 30 e 1.05 e 3 então

podemos utilizar a seguinte correlação para o desvio da idealidade do gás,

Z = 0.27 ∗ p�¸Ëo�� ∗ T�¸Ë (3.196)

A correlação não é linear, mas podemos obter o desvio da idealidade do gás

utilizando um método iterativo, como por exemplo, Newton-Raphson.

A� = 0.06423 (3.197)

B� = 0.5353 ∗ T�¸Ë − 0.6123 (3.198)

C� = 0.3151 ∗ T�¸Ë − 1.0467 − 0.5783T�¸Ë@ (3.199)

E� = T�¸Ë (3.200)

F� = 0.6816T�¸Ë@ (3.201)

G� = 0.6845 (3.202)

H� = 0.27 ∗ p�¸Ë (3.203)

55

ρ��6 = 0.27 ∗ p�¸ËT�¸Ë (3.204)

ρ��=> = ρ�� − ℱ(ρ��) ℱ:(ρ��)° (3.205)

ℱ�ρ�� = A� ∗ �ρ�� + �� ∗ �ρ�� + �� ∗ �ρ��@ + {� ∗ �ρ��+ z� ∗ �ρ�� ∗ b1 + �� ∗ �ρ��@c ∗ �A·Ý∗�ÞßÝà�

Ó − H� (3.206)

ℱ:�ρ�� = 6A� ∗ �ρ�� + 3�� ∗ �ρ��@ + 2�� ∗ �ρ�� + {� + z�∗ �ρ��@ ∗ b3 + �� ∗ �ρ��@ ∗ (3 − 2�� ∗ �ρ��@)c

∗ �A·Ý∗�ÞßÝà�Ó

(3.207)

Finalmente temos que o fator volume formação do gás é:

B� = 0.00504 ∗ Z ∗ Tt# (3.208)

3.3.10. Viscosidade do Gás ��:

A viscosidade do gás pode ser calculada utilizando a correlação de Lee-

Gonzalez.

μ� = (1.709 ∗ 10A� − 2.062 ∗ 10A� ∗ Õ·) ∗ $s + 8.188 ∗ 10A� − 6.15∗ 10A� ∗ log(Õ·) + ÕwÓ∗ (9.59 ∗ 10A� + 8.48 ∗ 10A� ∗ log(Õ·)) + Õ«ÒÓ∗ (6.24 ∗ 10A� + 9.08 ∗ 10A� ∗ log(Õ·)) + ÕÔÓx∗ (3.73 ∗ 10A� + 8.48 ∗ 10A� ∗ log(Õ·))

(3.209)

56

Empregando-se os valores para as constantes apresentadas na Tabela 3.6.

Tabela 3.6 - Tabela Coeficientes utilizados na correlação de Lee-Gonzalez

Ad Bd Cd Dd

0

−2.4621182

2.80860949

−0.793385684

0.0839387178

1 2.97054714 −3.49803305 1.39643306 0.186408848

2 −0.286264054 0.36037302 −0.149144925 0.0203367881

3 8.05420522 × 10A� −1.04432413 × 10A@ 4.41015512 × 10A� 6.09579263 × 10A�

Na equação (3.209) ÕwÓ é a fração de }@ na mistura gasosa.

]� = ]�6 + ]�> ∗ p�¸Ë + ]�@ ∗ p�¸Ë@ + ]�� ∗ p�¸Ë� (3.210)

�� = ��6 + ��> ∗ p�¸Ë + ��@ ∗ p�¸Ë@ + �� ∗ p�¸Ë� (3.211)

�� = ��6 + ��> ∗ p�¸Ë + ��@ ∗ p�¸Ë@ + �� ∗ p�¸Ë� (3.212)

p� = p�6 + p�> ∗ p�¸Ë + p�@ ∗ p�¸Ë@ + p�� ∗ p�¸Ë� (3.213)

F = ]� + �� ∗ T�¸Ë + �� ∗ T�¸Ë@ + p� ∗ T�¸Ë� (3.214)

μ� = �s ∗ μ�$�¸Ë (3.215)

Para aperfeiçoar o cálculo podemos dividir as propriedades em 3 blocos, água,

óleo e gás e utilizar a tecnologia de multithreding, do Visual Basic, recurso que permite

57

processamento paralelo, para calcular simultaneamente os três blocos, o que nos gera

um ganho em relação a um algoritmo linear.

3.5. Modelos de permeabilidade relativa

A permeabilidade relativa em fluxos trifásicos apresenta grande dificuldade de

medição e gastos elevados para a sua medição por isso são utilizados modelos que

acoplam as permeabilidades relativas nos sistemas bifásicos, óleo-água e óleo-gás.

Figura 3.4 - Curvas de permeabilidade relativa nos sistemas bifásicos

Para estimar o valor da permeabilidade relativa do óleo �� podemos

simplesmente considerar a permeabilidade relativa do óleo como o produto das suas

permeabilidades relativas nos sistemas bifásicos20.

�� = �� ∗ �� (3.216)

20


58

Além dessa hipótese existem outros modelos como o modelo de Stone21:

Modelo I:

Esse modelo utiliza dados de saturação irredutível do óleo �� e saturação de

água conata ��.

Sâ� = �−S��1 − ��−S�� (3.217)

Sâ� = �−S��1 − ��−S�� (3.218)

Sâ� =�

1 − ��−S�� (3.219)

Somando as três equações, podemos verificar que o resultado é um.

Deve se tomar o cuidado de lembra que � deve ser maior ou igual ��, assim

como � deve ser maior ou igual a ��.

β� =k��(S�)1 − â� (3.220)

β� =k��(S�)1 − â� (3.221)

k�� = â� ∗ β� ∗ β� (3.222)

21


59

Como pode ser observado, é necessário conhecer o valor de �� e �� em

função das saturações, respectivamente, de � e �. Para isso, se possuirmos dados de

permeabilidade relativa contra a saturação, podemos utilizar um ajuste de curvas

utilizando o método dos mínimos quadrados para a expressão:

�� = Ç ∗ ��Ï (3.223)

A única crítica à utilização desse método é que para utilizá-lo é necessário

linearizar a equação, o que resulta em:

ln(��) = �%(Ç) + & ∗ ln(��) (3.224)

Se em um dos dados de entrada o valor da permeabilidade relativa for zero,

então o logaritmo da permeabilidade tende para −∞, impossibilitando o cálculo. Além

disso, esse modelo só é valido para saturações muito baixas.

Modelo II:

k�� = (k�� + k��) ∗ �k�� + k�� − �k�� + k�� (3.225)

Ainda podemos citar um dos modelos de Dietrich and Bonder22, baseado no

modelo de Stone.

k�� =(k�� + k��) ∗ �k�� + k��

k��∗ − �k�� + k�� (3.226)

22


60

Onde ��∗ é o valor da permeabilidade relativa do óleo no sistema óleo e

água quando a saturação de água é mínima.

3.6. Compressibilidade da rocha �:

A compressibilidade da rocha é a propriedade que a rocha possui de alterar o

seu volume de acordo com os esforços sobre ela exercidos. Pela definição, æç é23:

'� = 1�/�/�� (3.227)

Resolvendo a equação diferencial temos:

'� ∗ ��4,â − �4,â=>� = ln��4,â − �4,â=>� (3.228)

Onde �> é a pressão no tempo 1 e �@ é a pressão no tempo 2, da mesma forma

que �> é a porosidade no tempo 1 e �@ é a porosidade no tempo 2. Os dois pares de

medida devem ser tomadas na mesma posição x. Da mesma forma que foi feita para a

permeabilidade relativa, deve ser feito um ajuste de curvas com dados experimentais.

23


61

4. Simulação e discussão de resultados

“O sucesso é ir de fracasso em fracasso sem perder entusiasmo.”

Winston Churchill

Reservatório A

O reservatório que será utilizado como teste para o algoritmo é um reservatório

hipotético, unidimensional, 100 pés (30.48 metros) de comprimento e isotérmico. A

permeabilidade, porosidade e compressibilidade da rocha reservatório foram consideradas

constantes. K=500 md, Φ=0.4, '�=0, ��=0.2, ��=0.16, T=230°F. Sistema bifásico óleo-

água, �,6=0.8, �,6=0.2, grau API 36 e ¡¢£=1. Pressão inicial do reservatório 1200 psi,

pressão de bolha 1000 psi. Na extremidade 1, x= 0, foi colocado um poço com pressão de

1100 psi e a extremidade 2, x=100 foi mantida isolada, simulando uma rocha selante.

Primeira rodada

A rodada foi feita para um espaço de tempo 0.02 dias, com o tempo discretizado

em uma malha com 20 pontos. O reservatório também foi discretizado com uma malha de

20 pontos. Os Gráficos 4.1, 4.2 e 4.3 mostram os resultados para á célula que tem como

condição de contorno a extremidade 1, que será chamada de célula 1.

Verificando os resultados, podemos observar que a partir do passo 8 as quedas de

saturação de óleo são mais acentuadas, chegando rapidamente à saturação de óleo

residual (Gráfico 4.2). Gráfico 4.1 mostra o perfil de pressões da primeira rodada no

tempo 0.02 dias.

62

Gráfico 4.1- Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório A

Gráfico 4.2 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório A

P(psi)

x(ft)

So

x(ft)

63

Gráfico 4.3 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório A

Segunda rodada

A segunda rodada foi realizada com os mesmos dados da primeira rodada, porém

para essa rodada foi utilizada uma malha de 40 passos em um espaço de tempo de 0.02

dias. Os Gráficos 4.4, 4.5, 4.6 mostram os resultados da segunda rodada. O Gráfico 4.4

mostra o perfil de pressões da segunda rodada no tempo 0.02 dias.

Gráfico 4.4 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório A

Sw

x(ft)

P(psi)

x(ft)

64

Gráfico 4.5 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias segunda rodada do reservatório A

Gráfico 4.6 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório A

Terceira rodada

Para essa rodada foram utilizados os mesmos dados da primeira rodada, mas uma

malha espacial mais refinada, utilizando 40 pontos e uma malha temporal de 20 pontos.

Os resultados para os perfis de pressão e saturações de óleo e água estão apresentados nos

Gráficos 4.7, 4.8 e 4.9.

So

x(ft)

Sw

x(ft)

65

Gráfico 4.7 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da terceira rodada do reservatório A

Gráfico 4.8 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias terceira rodada do reservatório A

Gráfico 4.9 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da terceira rodada do reservatório A

So

x(ft)

Sw

x(ft)

P(psi)

x(ft)

66

Comparando os resultados obtidos na primeira e na terceira rodada, ambas

possuem a mesma malha temporal, verificamos que as curvas formadas tendem a ficar

cada vez mais suaves, com o refinamento da malha espacial.

Quarta rodada

A quarta rodada foi realizada com os mesmos parâmetros anteriores com exceção

da malha espacial. Nesta rodada a malha espacial possui 100 pontos. Os resultados para

os perfis de pressão e saturações de óleo e água estão apresentados nos Gráficos 4.10,

4.11e 4.12.

Gráfico 4.10 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da quarta rodada do reservatório A

Gráfico 4.11 - Perfil de Saturações de óleo no tempo 0.02 dias quarta rodada do reservatório A

P(psi)

x(ft)

So

x(ft)

67

Gráfico 4.12 - Perfil de Saturações de água no tempo 0.02 dias da quarta rodada do reservatório A

Reservatório B

O reservatório B é idêntico ao reservatório A com exceção da permeabilidade

que não é constante. A permeabilidade é definida, arbitrariamente, pela lei de abaixo:

è = è> ∗ � + 12

%2 9 1 �12

(4.1)

Onde è> é um valor fixo de permeabilidade, no caso desse reservatório 500 md, �

é número do bloco onde a permeabilidade está sendo calculada e %2 é o número de

blocos no eixo x. A lei que descreve a permeabilidade do reservatório pode ser alterada

para uma lei que descreva a alteração na permeabilidade causada pelos danos que a

formação rochosa sofreu durante a perfuração do poço.

Primeira rodada

Essa rodada possui a mesma configuração da primeira rodada do reservatório A,

um espaço de tempo de 0.02 dias, com o tempo discretizado em uma malha com vinte

pontos e reservatório também discretizado com uma malha de 20 pontos.

Sw

x(ft)

68

Gráfico 4.13 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório B

Comparando os resultados do Gráfico 4.13 com os apresentados no gráfico de

pressões da primeira rodada do reservatório A, Gráfico 4.1, verificamos que a queda de

pressão é muito menor na primeira rodada do reservatório B.

Gráfico 4.14 - Perfil de saturações de óleo no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório B

O perfil da saturação de óleo no reservatório, Gráfico 4.14, é quase uma reta

paralela ao eixo x. Se pudesse ser visto o comportamento ao longo do tempo desse

perfil, poderíamos constatar que esse comportamento se mantém, a curva do perfil

translada perpendicularmente Esse fato pode ser explicado pela lei que define a

permeabilidade do reservatório B.

P(psi)

x(ft)

So

x(ft)

69

A permeabilidade no reservatório B é uma função linear da posição, quanto mais

longe do poço, maior é a permeabilidade (Gráfico 4.15).

Gráfico 4.15 - Perfil de permeabilidade do reservatório B

Esse perfil de permeabilidade faz com que as perturbações provocadas pelo poço

sejam rapidamente estabilizadas pelo reservatório. A perturbação causada pelo poço

possui pouca influência no reservatório já que próximo ao poço a permeabilidade do

reservatório é baixa. Ao se afastar do reservatório, a permeabilidade vai aumentando,

fazendo com que as perturbações no meio sejam rapidamente estabilizadas.

Comportamento análogo é observado no perfil de saturações da água Gráfico 4.16.

K(md)

70

Gráfico 4.16 - Perfil de saturações de água no tempo 0.02 dias da primeira rodada do reservatório B

Segunda rodada

Essa rodada possui a mesma configuração da primeira rodada do reservatório B,

um espaço de tempo de 0.02 dias, com o tempo discretizado em uma malha com vinte

pontos, porém o reservatório está discretizado com uma malha de 100 pontos. Os

Gráficos 4.17, 4.18 e 4.19 apresentam os resultados obtidos.

Gráfico 4.17 - Perfil de pressões no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório B

Sw

x(ft)

P(psi)

x(ft)

71

Gráfico 4.18 - Perfil de saturações de óleo no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório B

Gráfico 4.19 - Perfil de saturações de água no tempo 0.02 dias da segunda rodada do reservatório B

Nessa rodada, apesar de terem sido utilizados os mesmos números de pontos da

quarta rodada do reservatório A, e ter sido inserida a equação para povoar a matriz de

permeabilidades, a simulação foi mais rápida do que a quarta rodada do reservatório A.

A diferença na velocidade de processamento pode ser explicada pelos valores baixos

do perfil de permeabilidade próximos ao poço. Como um valor baixo de

permeabilidade faz com que a alteração no meio seja baixa, o valor calculado será

próximo ao valor inicial, que é utilizado como chute inicial da iteração.

So

x(ft)

Sw

x(ft)

72

Reservatório C

O reservatório C é um reservatório hipotético tridimensional 100 pés (30.48

metros) x 100 pés x 100 pés e isotérmico. A permeabilidade, porosidade e

compressibilidade da rocha reservatório foram consideradas constantes. Os parâmetros

empregados foram: K=500 md, Φ=0.4, '�=0, ��=0.2, ��=0.16, T=230°F. Sistema

bifásico óleo-água, �,6=0.8, �,6=0.2, grau API 36 e ¡¢£=1. Pressão inicial do

reservatório 1200 psi, pressão de bolha 1000 psi. Adjacente ao bloco (0, 0, 0, t), foi

instalado um poço com pressão de 1100 psi e o restante do reservatório foi mantido

isolado, simulando uma rocha selante.

Primeira rodada


em uma malha com vinte pontos. O reservatório foi discretizado por uma malha

10x10x10. As Figuras 4.1 e 4.2 apresentam as telas geradas no programa desenvolvido

para o cálculo dos perfis.

Figura 4.1 - Tela do programa com o resultado das pressões na 1ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório C

73

Figura 4.2 - Tela do programa com o resultado das pressões na 7ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório C

As telas contendo os resultados das saturações foram omitidas, pois são análogas

as já obtidas em rodadas anteriores.

Reservatório D

O reservatório D possui as mesmas características do reservatório C, porém

possui uma região com permeabilidade zero, a região vermelha, compreendida entre

(20,20,z) e (40,40,z).

Primeira rodada


em uma malha com vinte pontos. O reservatório foi discretizado por uma malha

10x10x10. As Figuras 4.3, 4.4 e 4.5 são saídas do programa confeccionado para este

caso.

74

Figura 4.3 - Tela do programa com o resultado das pressões na 7ª camada no tempo 0.018 dias do reservatório D

Figura 4.4 - Tela do programa com o resultado das pressões na 1ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório D

Mesmo com a permeabilidade nula, percebemos que a pressão pode sofrer

pequenas variações, causadas pelo método numérico.

75

Figura 4.5- Tela do programa com o resultado das saturações na 1ª camada no tempo 0.02 dias do reservatório

D

O IMPES, método implícito na pressão e explícito na saturação, é mais rápido do

que um método totalmente implícito, mas pode gerar conclusões erradas caso seja

avaliada apenas a saturação. Como não houve mudança de fase e houve alteração nas

saturações, poderia se concluir que houve deslocamento de fluido, mas verificando o

histórico de pressões podemos ver que não houve variação da pressão na região

vermelha ao longo do tempo. Essa informação em conjunto com as condições de

contorno do reservatório, selado, nos permitem concluir que não há fluxo naquela

região.

76

5. Conclusões e Sugestões “Quanto mais um homem se aproxima de suas metas, tanto mais crescem as

dificuldades.”

Goethe

O algoritmo gerado atende as expectativas e gera resultados que podem

ratificados com fundamentos teóricos, porém ainda é uma simplificação grosseira da

realidade. Usar o algoritmo na sua forma atual para simular um fluxo trifásico só

funcionaria em casos muito específicos.

A continuidade do projeto deverá visar à implantação de outras correlações para

que o software possa trabalhar com diferentes tipos de óleo. Deverá ser inserido um

novo módulo com um método de resolução totalmente implícito.

Com base nos gráficos da primeira rodada do reservatório A e a quarta rodada

do reservatório A, podemos ver que o refinamento da malha só se faz necessário

próximo à perturbação, no caso o poço produtor, então deve ser desenvolvido um

módulo que permita o refinamento local da malha em regiões mais críticas.

Pode-se ainda continuar o desenvolvimento do módulo de lapidação do

reservatório, para que o mesmo possa representar um reservatório mais próximo da

realidade, atualmente, o reservatório é um paralelepípedo.

Outra sugestão para trabalhos futuros é o aumento o número de tipos de

condições de contorno, para possibilitar que haja influxo de um ou outro fluido.

77

6. Referências Bibliográficas

CHEN, Z. (2006). Computational Methods For Multiphase Flows In Porous Media.

Dallas: SIAM.

GONÇALVES, N. D. (2007). Método Dos Volumes Finitos Em Malhas Não-Estruturadas. Portugal: Departamento de Matemática Pura Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

KARTOATMODJO, T. (1991). New Correlation For Crude Oil Physical Properties. SPE Technical Publications, 38.

MALISKA, C. R. (2004). Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional (2ª Edição ed.). Rio de Janeiro: LTC Editora.

MATTIUSSI, C. (2000). The Finite Volume, Finite Difference, and Finite Elements Methods as Numerical Methods for Physical Field Problems, in Advances in Imaging and Electron Physics. Padriciano: P. Hawkes.

PEACEMAN, D. W. (1977). Fundamentals Of Numerical Reservoir Simulation (Vol. 6). Houston: ELSEVIER SCIENTIFIC PUBLISHING COMPANY.

R., F. J. (2001). Principles Of Applied Reservoir Simulation (2ª ed.). Houston: ELSEVIER SCIENTIFIC PUBLISHING COMPANY.

ROSA, A. J. (2006). Engenharia De Reservatório De Petróleo. Rio de Janeiro: EDITORA INTERCIÊNCIA.

THOMAS, J. E. (2001). Fundamentos De Engenharia De Petróleo. Rio de Janeiro: EDITORA INTERCIÊNCIA.

universidade federal fluminense escola de engenharia departamento de engenharia...

Documents