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RICARDO GABRIEL BRITO PANTOJA
ANÁLISE DA FÓRMULA EMPÍRICA DE HAZEN
PARA DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE
PERMEABILIDADE
Natal-RN
2019
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Ricardo Gabriel Brito Pantoja
ANÁLISE DA FÓRMULA EMPÍRICA DE HAZEN
PARA DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE
Trabalho de Conclusão do Curso na
modalidade Artigo Científico, submetido ao
Departamento de Engenharia Civil da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
como parte dos requisitos necessários para
obtenção do Título de Bacharel em Engenharia
Civil.
Orientador: Prof. Dr. Fagner Alexandre de
Nunes França
Natal-RN
2019
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Pantoja, Ricardo Gabriel Brito.
Análise da fórmula empírica de Hazen para determinação do coeficiente de permeabilidade / Ricardo Gabriel Brito Pantoja. -
2019.
22 f.: il.
Artigo científico (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia
Civil. Natal, RN, 2019.
Orientador: Prof. Dr. Fagner Alexandre Nunes de França.
1. Condutividade hidráulica - TCC. 2. Fórmula de Hazen - TCC.
3. Métodos indiretos - TCC. I. França, Fagner Alexandre Nunes de.
II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 631.432.3
Elaborado por FERNANDA DE MEDEIROS FERREIRA AQUINO - CRB-15/301
Ricardo Gabriel Brito Pantoja
Análise da fórmula empírica de Hazen para determinação do coeficiente de
permeabilidade
Trabalho de conclusão de curso na modalidade
Artigo Científico, submetido ao Departamento
de Engenharia Civil da Universidade Federal
do Rio Grande do Norte como parte dos
requisitos necessários para obtenção do título
de Bacharel em Engenharia Civil.
___________________________________________________
Prof. Dr. Fagner Alexandre Nunes de França – Orientador
___________________________________________________
Profa. Ma. Cibele Gouveia Costa Chianca – Examinador interno
___________________________________________________
Eng. Marcio Avelino de Medeiros – Examinador externo
Natal-RN
2019
4
RESUMO
A permeabilidade, ou condutividade hidráulica, de um solo é uma das
propriedades mais importantes no estudo da geotecnia, seu conceito se dá como a
facilidade de passagem de um fluido por um meio poroso. A determinação desta
propriedade pode ser feita de várias maneiras diferentes, como por ensaios de
laboratório, ensaios de campo e pelos métodos indiretos. Este trabalho buscou
encontrar, por meio de pesquisa bibliográfica, um coeficiente empírico pelo qual fosse
possível determinar o coeficiente de permeabilidade de um solo arenoso utilizando
apenas a curva granulométrica, como proposto pelo cientista inglês Allen Hazen. A
partir da pesquisa realizada foi atingido um coeficiente condizente com boa parte da
literatura consultada, no valor de 106.
Palavras-chave: Condutividade hidráulica, Fórmula de Hazen, métodos indiretos.
ABSTRACT
Permeability, or hydraulic conductivity, of a soil is one of the most important
properties in the study of geotechnics, its concept is given as the ease of passage of a
fluid through a porous medium. The determination of this property can be done in
several different ways, such as through laboratory tests, field trials and indirect
methods. This work sought to find, by means of bibliographical research, an empirical
coefficient by which it was possible to determine the permeability coefficient of a sandy
soil using only the granulometric curve, as proposed by the English scientist Allen
Hazen. From the research carried out, a coefficient corresponding to a good part of the
literature was reached, in the value of 106.
Keywords: Hydraulic conductivity, Hazen’s Equation, indirect methods.
5
1. INTRODUÇÃO
De acordo com Das (2008) as massas de solo consistem em partículas sólidas
de variados tamanhos com interconexão por meio de espaços vazios. Esses espaços
vazios contínuos em um solo permitem a água fluir de um ponto de alta energia
potencial para um ponto de baixa energia potencial.
A permeabilidade dos solos tem um efeito decisivo no custo e dificuldade de
muitas operações construtivas (TERZAGHI ET AL. 1996). A necessidade de se
conhecer o coeficiente de permeabilidade dos solos é abundante, pois sua aplicação
acontece em diversos problemas como a construção de estradas e barragens, sistemas de
drenagem, irrigação, etc.
Para a determinação da permeabilidade de um solo existem três formas: Os
métodos experimentais, os métodos de campo e os métodos indiretos. Este trabalho se
dedica ao estudo do método indireto mais utilizado na atualidade, a fórmula empírica de
Hazen. A determinação da permeabilidade a partir dessa fórmula é feita por meio do
diâmetro efetivo através de uma análise da curva granulométrica. Para tanto, é feito o
ensaio de determinação da composição granulométrica, que é regido no Brasil pela
Norma NBR 7217.
Segundo Rahimi (1977), o problema da permeação de um fluido através de um
meio poroso e, consequentemente, o conceito de permeabilidade já tem um lugar
significativo na pesquisa científica desde o início do século XIX, embora já havia sido
discutido antes mesmo disso. Em 1856, Darcy descobriu a existência de uma
proporcionalidade da vazão de um fluido através de um meio poroso para o produto da
área da seção transversal do meio e o gradiente hidráulico do sistema, desde então
vários engenheiros e cientistas têm investigado as variáveis que influenciam o
coeficiente de permeabilidade e os seus métodos de determinação.
Devido à recente e rápida evolução dos recursos hídricos subterrâneos nos
últimos anos, existe uma necessidade crescente de um método simplificado
para determinar a permeabilidade e o bom rendimento de uma formação de
areia e cascalho quando apenas uma análise log e peneira da formação está
disponível. (ROSE; SMITH 1957, p.2)
6
No século XIX, o inglês Allen Hazen desenvolveu uma fórmula empírica para
estimar a permeabilidade (ou hidráulica condutividade) de areias saturadas. O presente
trabalho tem como objetivo principal a obtenção de um coeficiente empírico para essa
fórmula por meio de dados obtidos experimentalmente por vários pesquisadores,
realizados em solos arenosos de diferentes áreas do mundo. Além disso, foiverificada a
aplicação da fórmula com o coeficente obtido em cada um dos solos pesquisados e foi
feito o comparativo desse coeficiente com aqueles da literatura existente.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. GRANULOMETRIA
A análise granulométrica tem como objetivo determinar o tamanho dos grãos
que compõem um determinado solo e a distribuição relativa ao peso do material
passante ou retido em peneiras graduadas de acordo com a norma regente, no caso do
Brasil a NBR 7217. A representação gráfica dessas proporções de peso se dá por meio
da curva granulométrica, essa curva é esquematizada através dos pontos obtidos de
forma semi-logarítmica, onde o eixo das abscissas representa as dimensões dos grãos
em escala logarítmica e o eixo das ordenadas representa a porcentagem passante ou
retida dos material em escala aritmética.
Dentro dos parâmetros que podem ser obtidos a partir da curva granulométrica,
o mais importante para este estudo é o diâmetro efetivo (Def ou D10) que corresponde ao
valor no qual 10% de todo o peso do material passante é formado de partículas menores
que ele. Outro parâmetro a ser observado é o coeficiente de não uniformidade (CNU),
ou coeficiente de uniformidade (CU), que é conceituado como a razão entre os
diâmetros correspondentes às proporções de 60% e 10% de material passante,
observados na curva granulométrica, conforme exposto na Figura 2. Essa relação entre
os diâmetros é expressa na equação a seguir:
Através dessa razão os solos podem ser classificados da seguinte forma:
CNU < 5 Solos muitos uniformes;
5 < CNU < 15 Solos medianamente uniformes;
CNU > 15 Solos desuniformes;
7
Figura 2 – Diâmetros D10 e D60 na curva
granulométrica.
Fonte: CAPUTO (1967).
2.2. PERMEABILIDADE
Segundo Caputo (2008), a permeabilidade é a propriedade que o solo apresenta
de permitir o escoamento da água através dele, sendo o seu grau de permeabilidade
expresso numericamente pelo coeficiente de permeabilidade.
O coeficiente de permeabilidade é feito considerando que o fluxo de água no
solo é regido pela Lei de Darcy, estabelecida em 1856 pelo engenheiro francês Henry
Darcy. Essa lei, bastante conhecida, define que a velocidade de percolação da água é
diretamente proporcional ao gradiente hidráulico , este sendo a relação entre e variação
da carga na percolação pelo comprimento ao longo do qual a carga se dissipa . A Lei
de Darcy é expressa da seguinte forma:
Onde:
= vazão
= Área do permeâmetro
8
= uma constante para cada solo, que recebe o nome de coeficiente de
permeabilidade.
A vazão dividida pela área indica a velocidade com que a água sai da areia. A
velocidade é chamada de velocidade de percolação. Em função dela, a Lei de Darcy
passa a ser:
Esse parâmetro é expresso geralmente em cm/s ou m/s.
2.2.1. DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE
A determinação do coeficiente de permeabilidade dos solos é feita por meio
dos seguintes procedimentos:
a) Permeâmetro de carga constante
Esse procedimento é aplicado mais comumente em solos arenosos e ocorre de
maneira análoga ao experimento de Darcy, cuja configuração é apresentada na figura 3.
Para a realização do ensaio é mantida a carga constante h, durante um certo período de
tempo t e mede-se a quantidade de água Q que passa por um volume de solo de
dimensões (Área da seção “A” e altura “L”) conhecidas.
Figura 3 – Esquema de permeâmetro de
carga constante
Fonte: PINTO (2006).
9
Após medida a vazão, é possível se obter o coeficiente de permeabilidade do
solo por correlação direta com a Lei de Darcy:
b) Permeâmetro de carga variável
É empregado geralmente em ensaios com solos finos de baixa permeabilidade,
uma vez que a determinação do k pelo permeâmetro de carga constante tem baixa
precisão. A montagem deste experimento segue conforme a Figura 4:
Figura 4 – Esquema de um
permeâmetro de carga variável
Fonte: PINTO (2006).
È medida a vazão Q que passa pela bureta superior de área transversal a e o
intervalo de tempo dt para o qual o nível da água sofre uma variação dh. Essa relação é
expressa pela equação:
Tendo em vista que a vazão que transcorre na bureta é igual a vazão que passa
pelo solo e a aplicação da Lei de Darcy:
10
Logo, tem-se que:
Em seguida essa equação é integrada sob os limites convenientes (h=hi; t=ti e
h=hf e t=tf), resultando em:
E por fim:
c) Ensaios de campo
Os ensaios in situ são classificados a partir do diferencial da carga aplicada e
dos procedimentos de execução. Os ensaios de nível constante são o ensaio de
infiltração e o ensaio de bombeamento, já os de nível variável são o ensaio de
rebaixamento e o ensaio de recuperação. Esses procedimentos consistem na carga ou
descarga d’água através de sondagens, poços ou cavas e na medição do tempo e da taxa
de variação do nível d’água.
Um método prático e rápido para determinação in situ da condutividade
hidráulica é o permeâmetro de Guelph, no qual é aplicada uma carga constante em um
furo de sondagem. Seu uso foi projetado para medição de solos com condutividade
hidráulica entre 10-2
e 10-6
e fora desse limite as medições podem ser consideradas
imprecisas (AGUIAR, 2001).
d) Métodos indiretos
Os métodos indiretos têm como base a curva granulométrica e o ensaio de
adensamento.
11
2.2.2. VALORES TÍPICOS DO COEFICIENTE DE PERMEABILIDADE
O coeficiente de permeabilidade dos solos é diretamente proporcional ao
tamanho de suas partículas, isso ocorre devido ao menor número de vazios que
permitem a passagem da água por ele. A tabela a seguir mostra uma ordem de grandeza
para solos sedimentares:
Tabela 1 – Valores típicos do coeficiente de permeabilidade
Tipo de solo Coeficiente de permeabilidade
Argilas <10-9
m/s
Siltes 10-5
a 10-9
m/s
Areias argilosas 10-7
m/s
Areias finas 10-5
m/s
Areias médias 10-4
m/s
Areias grossas 10-3
m/s
Fonte: Adaptado de PINTO (2006).
2.3. FÓRMULA EMPÍRICA DE HAZEN
A permeabilidade pode ser estimada empiricamente a partir de índices de
distribuição granulométrica. A fórmula de Hazen é, dentre os métodos empíricos, o
mais freqüentemente encontrado na literatura e o mais utilizado para determinação do
coeficiente de permeabilidade do solo (Onur, 2014). Essa equação foi concebida em
1892 por Allen Hazen, proveniente de sua investigação sobre filtros de areia.
A fórmula de Hazen é empregada preferencialmente para areias fofas e
uniformes, e escreve -se:
Onde k é obtido em cm/s, sendo D10 dado em centímetros.
Segundo Onur (2014), a vantagem da fórmula de Hazen é a rapidez e
praticidade pelo qual um grande número de amostras em um certo local pode ser
12
determinado em comparação com a realização de ensaios com permeâmetros ou in
loco.
A tabela abaixo indica intervalos para o coeficiente C procedentes de alguns
autores:
Tabela 2: Comparativo do coeficiente de diversos
autores.
Limites do coeficiente C Referência (ano)
Inferior Superior -
41 146 Taylor (1948)
100 150 Leonards (1962)
100 1000 Mansur e Kaufman
(1962)
100 150 Terzaghi e Peck (1964)
90 120 Cedergren (1967)
1 42 Lambe e Whitman
(1969)
40 120 Holtz e Kovacs (1981)
50 200 Terzaghi et al. (1996)
100 150 Das (1997)
80 120 Coduto (1999)
Fonte: Adaptado de Carrier (2003).
3. MATERIAIS E MÉTODOS
Para a elaboração do trabalho foi feita a coleta de resultados experimentais de
ensaios granulométricos e de permeabilidade feitos por diversos autores e em
localidades distintas do mundo utilizando a rede mundial de computadores. Os critérios
de entrada para busca dos dados requeridos foram: solos arenosos, sua distribuição
granulométrica e o valor do seu coeficiente de permeabilidade.
Utilizando o software Excel, foi produzido o gráfico de dispersão dos pontos
obtidos pelos eixos representativos dos valores do quadrado do diâmetro efetivo (em
13
cm) e da permeabilidade (em cm/s), com a conversão dos valores dos diâmetros efetivos
de milímetros para centímetros para obter-se uma correlação entre os eixos que encaixa-
se na configuração da Fórmula de Hazen [ ]. Em seguida foi
criada uma linha de tendência gerada por meio de regressão linear, tal qual a equação
desta reta representa a fórmula de Hazen com o coeficiente C que melhor reproduz os
dados obtidos. Além disso foi gerado o coeficiente de correlação da determinação da
reta ajustada.
4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Gráfico 1 – Coeficiente de Permeabilidade (k) X diâmetro efetivo ao quadrado
(D10²).
Fonte: AUTORIA PRÓPRIA.
A partir da linha de tendência gerada é possível identificar o coeficiente C, com
um valor de 105,95. Para uso mais adequado o coeficiente adotado é 106, sendo
dispensável o emprego de duas casas decimais, sobretudo para determinação dos baixos
valores dos coeficientes de permeabilidade de solos arenosos. Portanto, a fórmula de
Hazen obtida é expressa como:
(Equação 1)
y = 105,95x R² = 0,9406
1,00E-08
1,00E-04
2,00E-04
3,00E-04
4,00E-04
5,00E-04
6,00E-04
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006
k (c
m/s
)
D10² (cm²)
14
Esse resultado é condizente com os limites de valores indicados na Tabela 2,
apresentada na seção 2.3. Tal valor também se aproxima do estipulado pelo próprio
Hazen, que o indicava entre 50 e 200 (Pinto, 2006) e é frequentemente assumido como
100. Além disso foi obtido um coeficiente de correlação (R²) de 0,9406, indicando um
grau de confiabilidade de 94,06% para a relação na variação do coeficiente de
permeabilidade com a variação do diâmetro efetivo ao quadrado.
A Tabela 3, a seguir, mostra as informações dos dados coletados relativos ao
diâmetro efetivo, permeabilidade obtida através de ensaio, permeabilidade obtida
através da fórmula de Hazen, método de ensaio e região da qual a areia foi amostrada.
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Tabela 3 – Resultados da pesquisa e coeficiente de permeabilidade estimado.
Solo D10 (mm)
k (cm/s) k estimado a partir do C
obtido Método de ensaio Região D60
U = D60/D10
01 0,015 1,00E-03 2,39E-04 Permeâmetro de carga constante Rio Danúbio, próximo à
Ráckeve (Hungria) 0,4 26,7
02 0,18 5,70E-04 3,43E-02 Permeâmetro de carga constante Quinta da Portela (Portugal) 0,3 1,7
03 0,24 2,68E-02 6,11E-02 Permeâmetro de carga constante Rio Tocantins, próximo à
Tucuruí - PA 0,38 1,6
04 0,25 1,00E-02 6,63E-02 Permeâmetro de carga constante Próximo à Nova Canaã do
Norte - MT 0,42 1,7
05 0,004 9,73E-04 1,70E-05 Permeâmetro de
Guelph do modelo 2800K1 Nova Friburgo - RJ 0,36 90,0
06 0,7 5,23E-01 5,19E-01 Permeâmetro de carga constante Maricá - RJ 1,2 1,7
07 0,14 2,20E-02 2,08E-02 Permeâmetro de carga constante - 0,2 1,4
08 0,15 2,65E-02 2,39E-02 - - 1,1 7,3
09 0,16 1,20E-04 2,71E-02 Permâametro de carga variável Região Metropolitana de
Salvador - BA 0,3 1,9
10 0,18 2,00E-02 3,43E-02 - Osasco - SP 0,55 3,1
11 0,06 1,19E-04 3,82E-03 Permeâmetro de Guelph Campo Grande - RJ 0,6 10,0
12 0,05 1,00E-03 2,65E-03 Permeâmetro de Guelph Costa Brava - RJ 0,8 16,0
13 0,01 3,50E-05 1,06E-04 Permeâmetro de Guelph Rio Bonito - RJ 0,95 95,0
Fonte: AUTORIA PRÓPRIA.
16
Tabela 3 – Resultados da pesquisa e coeficiente de permeabilidade estimado.
14 0,2 8,00E-02 4,24E-02 Permeâmetro de carga constante Região oeste do estado do Rio
Grande do Sul 0,33 1,7
15 0,23 5,90E-03 5,61E-02 Permeâmetro de carga constante São Carlos - SP 0,85 3,7
16 0,13 1,70E-02 1,79E-02 Permeâmetro de carga constante Nanjing (China) 0,36 2,8
17 0,14 2,00E-02 2,08E-02 Permeâmetro de carga constante Bushehr (Irã) 0,31 2,2
18 0,12 3,50E-02 1,53E-02 Permeâmetro de carga constante
Laore (Paquistão)
0,25 2,1
19 0,28 1,38E-01 8,31E-02 Permeâmetro de carga constante 0,68 2,4
20 0,21 8,30E-02 4,67E-02 Permeâmetro de carga constante 0,47 2,2
21 0,21 6,40E-02 4,67E-02 Permeâmetro de carga constante 0,52 2,5
Fonte: AUTORIA PRÓPRIA.
17
Como se pode observar, os resultados dos ensaios de permeabilidade
encontram-se na ordem de 10-5
até 10-1
. De acordo com Pinto (2006), os valores da
Tabela 1 representam apenas uma ordem de grandeza, pois o que determina o
coeficiente de permeabilidade são os finos do solo e não a predominância de um
tamanho de grãos. Terzaghi (1996) constata, a partir de estudos de laboratório
realizados por Kenney (1984), indicativos de que o coeficiente de não uniformidade
uniformidade (CNU) entre 1.04 e 12 têm pouca influência na permeabilidade do solo.
Outros fatores que influenciam na permeabilidade dos solos são a temperatura, o grau
de saturação, a estrutura e a anisotropia.
Os resultados com maior variação entre os coeficientes de permeabilidade
obtidos a partir da fórmula encontradas e aqueles extraidos da bibliografia ocorreram
nos solos 01, 02, 05, 09, 11, 13 e 15.
Dentre esses estão os três solos com maior CNU (01, 05 e 13), o que
indica como verdadeira a proposição de que a fórmula empírica de
Hazen é menos eficaz quando utilizada em solos não uniformes.
No solo 02 foi identificada a presença de mica. Essas partículas
lamelares podem formar pontes entre as partículas granulares,
impedindo a passagem de água pelo meio (SANTOS, 2016).
O experimento utilizado para o solo 09 ocorreu à carga variável
incorrendo em um processo de drenagem que pode ter afetado o
coeficiente de permeabilidade.
Nos solos 11 foi empregado o permeâmetro de Guelph para a condução
do ensaio, por ser um ensaio realizado in situ as condições do solo são
mais propensas à variações.
Não puderam ser identificadas anormalidades no solo 05.
18
5. CONCLUSÃO
O presente trabalho teve como objetivo investigar a utilização da fórmula
empírica de Hazen em solos arenosos, obtendo um valor para o seu coeficiente empírico
C. A pesquisa bibliográfica resultou na coleta de dados de 21 solos, referentes à
distribuição granulométrica e coeficiente de permeabilidade dos mesmos.
O valor obtido para o coeficiente C foi 106, estando de acordo com os
seguintes autores: Taylor (1948), Leonards (1962), Mansur e Kaufman (1962), Terzaghi
e Peck (1964), Cedergren (1967), Holtz e Kovacs (1981), Terzaghi et al. (1996), Das
(1997), Coduto (1999). A partir do valor alcançado foi atingida uma boa estimativa do
coeficiente de permeabilidade para os solos 03, 04, 06, 07, 08, 10,12, 14, 16, 17, 18, 19,
20 e 21, representando 66,7% dos solos analisados. O trabalho deixa ainda espaço para
uma análise mais minuciosa do tema, no qual seriam desmembrados os vários fatores
como o método de ensaio, a calssificação do solo, um limite superior e inferior para o
coeficiente C, etc.
19
6. REFERÊNCIAS
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NA DETERMINAÇÃO DA PERMEABILIDADE DO SOLO, DE CAMADAS DE
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Influência da variabilidade das propriedades físicas da areia de Coimbra na sua
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