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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

JOÃO PAULO LEMOS LEITE

ANÁLISE DE VIGAS SUBMETIDAS A SOLICITAÇÕES TÉRMICAS PELO

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

NATAL - RN

2019


Análise de vigas submetidas a solicitações térmicas pelo Método dos Elementos Finitos

Trabalho de Conclusão de Curso, submetido ao

Departamento de Engenharia Civil da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

como parte dos requisitos necessários para

obtenção do Título de Bacharel em Engenharia

Civil.

Orientadora: Profª. Drª. Fernanda Rodrigues

Mittelbach

Natal-RN

2019

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN

Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Leite, João Paulo Lemos.

Análise de vigas submetidas a solicitações térmicas pelo

Método dos Elementos Finitos / Joao Paulo Lemos Leite. - 2019. 61 f.: il.

Monografia (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Curso de Engenharia Civil, Natal,

2019.

Orientadora: Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach.

1. Análise estática de vigas - Monografia. 2. Variação de

temperatura - Monografia. 3. Métodos numéricos - Monografia. 4.

Código computacional - Monografia. 5. Fortran - Monografia. I.

Mittelbach, Fernanda Rodrigues. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 624

Elaborado por Raimundo Muniz de Oliveira - CRB-15/429


Análise de vigas submetidas a solicitações térmicas pelo Método dos Elementos Finitos

Trabalho de Conclusão de Curso, submetido ao

Departamento de Engenharia Civil da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

como parte dos requisitos necessários para

obtenção do Título de Bacharel em Engenharia

Civil.

Aprovado em de 2019:

_______________________________________________

Prof.ª Dr.ª Fernanda Rodrigues Mittelbach – Orientadora

_______________________________________________

Prof. Dr. José Neres da Silva Filho – Examinador interno

_______________________________________________

Eng. Daniel Alves de Lima – Examinador externo

Natal-RN

2019

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho a meus pais,

Flávio e Patrícia.

AGRADECIMENTOS

Sou extremamente grato, primeiramente, aos meus pais, Flávio e Patrícia, pelo amor e

pela educação proporcionada, e por terem fornecido todo o apoio necessário em todos os

momentos da minha vida.

Gostaria de agradecer também à minha irmã, Ana Flávia, por sempre estar ao meu lado

me incentivando com muito amor e alegria.

A toda minha família, em especial à minhas avós Zildete, Regina e Zélia, e a meu avô

Afrânio, que admiro pois desde pequeno me educou e entreteve, e sou grato por ter me

incentivado a ser a pessoa que sou hoje.

A todos os meus amigos que sempre me apoiaram, tornando essa jornada mais

agradável.

Finalmente, agradeço a todos os professores do curso que participaram do meu

aprendizado, especialmente à minha orientadora Fernanda Mittelbach, pelo empenho,

dedicação e por todos os ensinamentos como professora e como orientadora.

RESUMO

Este trabalho trata da análise estática do comportamento estrutural de vigas submetidas

a solicitações mecânicas e térmicas, através do Método dos Elementos Finitos (MEF). A análise

foi realizada numericamente com a utilização deste método e do Princípio dos Trabalhos

Virtuais, para desenvolver um código computacional, na linguagem FORTRAN, capaz de

simular o comportamento dessas vigas. O código contempla entrada das propriedades

geométricas, mecânicas e físicas da viga, e gera os valores de deslocamentos e rotações da peça

estrutural. Foram apresentados exemplos para cada situação abordada, variando-se as

propriedades, vinculações e solicitações externas, incluindo as térmicas. Em seguida, os

resultados obtidos no modelo numérico foram analisados e comparados com as soluções

analíticas e com os resultados obtidos por meio de programa comercial, verificando a eficácia

e precisão do código desenvolvido.

Palavras-chave: Análise estática de vigas. Variação de temperatura. Métodos numéricos.

Código computacional. Fortran.

ABSTRACT

Title: Analysis of beams subjected to thermal stresses by the Finite Element Method

This work deals with the static analysis of the structural behavior of beams subjected to

mechanical and thermal loads through the Finite Element Method (FEM). The analysis was

performed numerically using this method and the Principle of Virtual Works, to develop a

computational code, in the FORTRAN language, capable of simulating the behavior of these

beams. The code includes input of the geometric, mechanical and physical properties of the

beam, and generates the values of deflections and rotations of the structural element. Examples

were presented for different situations, varying the properties, bindings and external loads,

including thermal ones. The results obtained in the numerical model were then analyzed and

compared with the analytical solutions and with the results obtained through a commercial

program, verifying the effectiveness and precision of the developed code.

Keywords: Static analysis of beams. Temperature variation. Numerical Methods.

Computational code. Fortran.

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1 – Viga em balanço com carregamento genérico. ................................................... 5

Figura 2 – Elemento infinitesimal com esforços atuantes. ................................................... 6

Figura 3 – Elemento finito com deslocamentos. ................................................................ 7

Figura 4 – Viga com cinco elementos e nós numerados. ..................................................... 8

Figura 5 – Sistema de numeração local dos deslocamentos nodais do elemento. ................... 8

Figura 6 – Sistema de numeração global dos deslocamentos nodais da viga. ........................ 9

Figura 7 – Sistema de eixos da viga. ................................................................................ 9

Figura 8 – Viga com carregamento distribuído linearmente. ............................................. 15

Figura 9 – Fluxograma do processo de compilação do código. .......................................... 21

Figura 10 – Representação do arquivo de entrada. ........................................................... 22

Figura 11 – Representação do arquivo de saída. .............................................................. 23

Figura 12 – Representação esquemática do sistema de equações lineares montado para o cálculo

dos deslocamentos nodais. ............................................................................................ 25

Figura 13 – Viga em balanço. ........................................................................................ 27

Figura 14 – Configuração deformada da viga do Exemplo 1. ............................................ 27

Figura 15 – Viga biapoiada. .......................................................................................... 30


Figura 17 – Viga hiperestática biengastada. .................................................................... 34


Figura 19 – Viga hiperestática engastada e com apoio elástico. ......................................... 37


Figura 21 – Viga hiperestática contínua com um apoio de segundo gênero e dois de primeiro

gênero. ........................................................................................................................ 39


Figura 23 – Viga hiperestática contínua com um engaste, um apoio de primeiro gênero e um

apoio elástico. .............................................................................................................. 42


ÍNDICE DE TABELAS

Tabela 1 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do

Exemplo 1. .................................................................................................................. 29


Exemplo 2. .................................................................................................................. 33


Exemplo 3. .................................................................................................................. 36


Exemplo 4. .................................................................................................................. 39


Exemplo 5. .................................................................................................................. 41


Exemplo 6. .................................................................................................................. 44

ÍNDICE DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 1. ........................................ 28

Gráfico 2 – Rotações da viga do Exemplo 1. ................................................................... 29








Gráfico 10 – Rotações da viga do Exemplo 5. ................................................................. 41

Gráfico 11 – Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 6. ...................................... 43

Gráfico 12 – Rotações da viga do Exemplo 6. ................................................................. 44

LISTA DE SÍMBOLOS

V – Força transversal

M – Momento fletor

q – Carga distribuída

A – Área da seção transversal

L – Comprimento da viga

E – Módulo de elasticidade longitudinal

𝐈𝐳 – Inércia da seção transversal em relação ao eixo z

𝛂 – Coeficiente de dilatação térmica

𝛌 – Comprimento do elemento

[k] – Matriz de rigidez do elemento

[f] – Vetor de cargas nodais

n – Quantidade de elementos

nno – Quantidade de pontos nodais

∆𝐭 – Variação de temperatura

𝐝 – Quantidade de deslocamentos nodais

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 1

1.1 JUSTIFICATIVA ......................................................................................................................... 2

1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................................... 2

1.2.1 Objetivo geral .................................................................................................................. 2

1.2.2 Objetivos específicos ....................................................................................................... 3

2. METODOLOGIA ................................................................................................................................ 4

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................................................... 5

3.1 Vigas ........................................................................................................................................ 5

3.2 Método dos Elementos Finitos ............................................................................................... 6

3.2.1 Aspectos gerais ................................................................................................................ 6

3.2.2 Sistema de numeração .................................................................................................... 7

3.2 Matriz de Rigidez do Elemento ............................................................................................... 9

3.3 Vetor de Cargas Nodais do Elemento ................................................................................... 15

3.4 Solicitações térmicas ............................................................................................................. 17

4. CÓDIGO COMPUTACIONAL ........................................................................................................... 20

4.1 Aspectos gerais ...................................................................................................................... 20

4.2 Sub-rotinas ............................................................................................................................ 22

4.2.1 Declaração de variáveis ................................................................................................. 22

4.2.2 Abertura de arquivos..................................................................................................... 22

4.2.3 Leitura de dados ............................................................................................................ 22

4.2.4 Propriedades geométricas ............................................................................................ 23

4.2.5 Matriz de rigidez ............................................................................................................ 23

4.2.6 Vetor de cargas.............................................................................................................. 23

4.2.7 Condições de contorno ................................................................................................. 24

4.2.8 Resolução do sistema .................................................................................................... 24

4.2.9 Saída de dados .............................................................................................................. 25

5. ANÁLISE NUMÉRICA ...................................................................................................................... 26

5.1 Exemplo 1 .............................................................................................................................. 26

5.2 Exemplo 2 .............................................................................................................................. 30

5.3 Exemplo 3 .............................................................................................................................. 33

5.4 Exemplo 4 .............................................................................................................................. 36

5.5 Exemplo 5 .............................................................................................................................. 39

5.6 Exemplo 6 .............................................................................................................................. 42

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................................ 45

7. REFERÊNCIAS ................................................................................................................................. 46

1

1. INTRODUÇÃO

O engenheiro estrutural deve se preocupar com diversos fatores que podem afetar a

segurança e o conforto dos usuários, desta forma deve-se ter atenção redobrada com a análise

estrutural, pois erros cometidos durante o desenvolvimento do projeto podem provocar

retrabalho em etapas futuras da obra.

Na análise de um elemento estrutural, devido à complexidade do comportamento do

material, da geometria, das cargas ou das condições do ambiente cujo elemento se encontra

inserido, há muitos problemas para os quais não são conhecidas soluções analíticas para as

equações diferenciais dos seus determinados domínios. Nestes casos recorre-se, então, a

métodos numéricos que permitem a obtenção de soluções aproximadas para esses problemas

(RIBEIRO, 2004).

Um desses métodos numéricos é o Método dos Elementos Finitos (MEF), que “consiste

em um método numérico aproximado para análise de diversos fenômenos físicos que ocorrem

em meios contínuos, e que são descritos através de equações diferenciais parciais” (SOUZA,

2003). Este método é bastante genérico e pode ser utilizado em diversas áreas, como engenharia

de estruturas, mecânica dos solos, eletroestática, hidráulica e transferência de calor.

A influência das variações de temperatura nos elementos estruturais precisa ser

analisada e o MEF, assim como outros métodos numéricos, analíticos e experimentais, podem

ser utilizados para esse fim.

Com relação ao tipo de análise, apesar das ações atuantes sobre as estruturas serem em

sua maioria dinâmicas, devendo ser consideradas as acelerações relacionadas a cada elemento,

em diversos casos é razoável realizar a análise estática, em que as ações são aplicadas

lentamente, permitindo que as forças de inércia sejam desprezadas e facilitando os cálculos

(AZEVEDO, 2003).

Nesse sentido, o presente trabalho visa desenvolver a análise estática de vigas em regime

elástico linear, submetidas a solicitações mecânicas e térmicas, com o auxílio do MEF. O

código computacional será desenvolvido na linguagem FORTRAN utilizando o FTN95

Personal Edition, e seus resultados serão analisados e comparados com os resultados obtidos

pelo método analítico e pelo programa comercial Ftool.

2

1.1 JUSTIFICATIVA

A viga constitui um dos elementos estruturais mais utilizados na Engenharia Civil,

sendo assim de extrema importância a compreensão do seu comportamento quando

consideradas as diversas solicitações a que pode estar submetida, como cargas concentradas,

cargas distribuídas, momentos e solicitações térmicas. No dimensionamento de uma estrutura,

o conhecimento das deformações ocasionadas por essas solicitações é essencial.

O estudo da resistência dos materiais apresenta soluções analíticas para se obter essas

deformações, mas essas soluções se tornam inviáveis a partir de certo grau de complexidade

nos cálculos, que envolvem equações diferenciais longas e complexas. Desse modo, o auxílio

de métodos computacionais é bastante adequado, simplificando e acelerando o

desenvolvimento dos cálculos.

No que se refere às situações que envolvem transferência de calor e solicitações

térmicas, como em casos de incêndio e variações climáticas, precisam ser analisadas com

atenção, uma vez que essas solicitações podem alterar características físicas e mecânicas dos

materiais, afetando a estrutura como um todo.

Além disso, o trabalho envolve temas de estudo não frequentemente contemplados na

graduação de Engenharia Civil, como o próprio MEF, possibilitando seu estudo mais

aprofundado, assim como o aperfeiçoamento do conhecimento em temas já estudados, como o

Princípio dos trabalhos Virtuais (PTV) e a consideração da variação de temperatura nos

elementos estruturais.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo geral

Este trabalho tem como objetivo geral analisar, numericamente e com auxílio de código

computacional, o comportamento de vigas submetidas a solicitações térmicas a partir do

Método dos Elementos Finitos.

3

1.2.2 Objetivos específicos

Os objetivos específicos deste trabalho são:

Desenvolver formulação numérica de vigas estruturais considerando as solicitações

térmicas;

Desenvolver código computacional para a obtenção dos resultados, a partir da

formulação do Método dos Elementos Finitos (MEF);

Comparar os resultados obtidos pelos modelos analítico e numérico.

4

2. METODOLOGIA

Para a confecção deste trabalho realizou-se, primeiramente, uma revisão bibliográfica

com o objetivo de garantir o domínio dos conceitos relacionados ao Método dos Elementos

Finitos e aos efeitos de solicitações térmicas atuantes em vigas.

Dessa forma, verificou-se os modelos de cálculo do MEF para as vigas de modo a

possibilitar sua análise estática, numericamente. Para isso, foram estudadas seis vigas com

diferentes carregamentos e vinculações.

Em seguida, desenvolveu-se um código computacional na linguagem FORTRAN de

modo a simular a ação dos carregamentos na viga e gerar os valores de suas deformações. O

código foi desenvolvido utilizando o FTN95 Personal Edition.

Os resultados obtidos pelo método numérico foram então analisados e comparados com

as soluções relativas ao método analítico e ao programa comercial, verificando-se a validez e

precisão do código desenvolvido.

5

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

3.1 Vigas

Vigas são elementos estruturais projetados para suportar cargas aplicadas

perpendicularmente a seus eixos longitudinais (HIBBELER, 2010). São elementos lineares, ou

seja, nos quais uma de suas dimensões (comprimento) é consideravelmente maior do que as

outras duas (largura e a altura).

As vigas estão sujeitas predominantemente à flexão, sendo assim pensadas e projetadas

para trabalhar especialmente com essa deformação. Podem ser dispostas horizontalmente ou

inclinadas, com uma ou mais vinculações, de tal forma a garantir que as peças sejam no mínimo

isostáticas. Podem ser confeccionadas de madeira, aço, ferro fundido, concreto (armado ou

protendido) e alumínio, com aplicações nos mais diversos tipos de construções (SOUZA e

RODRIGUES, 2008).

Os principais tipos de vigas são as vigas simplesmente apoiadas, as vigas em balanço,

as vigas biengastadas, as vigas contínuas e as vigas Gerber.

Como todo elemento estrutural, é importante entender o comportamento estrutural das

vigas, especialmente por serem um dos elementos mais comumente utilizados na Engenharia

Civil. Dessa forma, seu dimensionamento deve ser realizado apenas por engenheiros registrados

e qualificados e, para realizar esse dimensionamento, é essencial o levantamento dos esforços

internos e deformações de tais elementos.

Seja, por exemplo, a viga em balanço com carregamento genérico representada na

Figura 1:

Figura 1 – Viga em balanço com carregamento genérico.

Fonte: Gaspar (2005).

6

Tem-se, então, a representação do elemento infinitesimal e os respectivos esforços

atuantes:

Figura 2 – Elemento infinitesimal com esforços atuantes.

Fonte: Gaspar (2005).

3.2 Método dos Elementos Finitos

3.2.1 Aspectos gerais

A ideia básica do Método dos Elementos Finitos consiste em subdividir o domínio (meio

contínuo) que será analisado em subdomínios, denominados elementos, de dimensões finitas e

conectados entre si em pontos chamados nós (ALVES, 2007). Cada elemento apresenta as

mesmas propriedades do meio contínuo e é analisado separadamente, sendo seus resultados

combinados para se obter o resultado do domínio global.

O método pode ser bastante preciso, de acordo com a dimensão do domínio e com a

quantidade de nós e elementos. Quanto menor o tamanho do domínio, e quanto maior o número

de elementos existentes na sua subdivisão, mais precisos serão os resultados. Além disso, outro

conceito bastante importante diz respeito ao grau de liberdade, que se refere aos possíveis

movimentos de translação e rotação referentes ao ponto ou corpo rígido. A quantidade de graus

de liberdade em cada nó influencia no comportamento de cada elemento. (SOUZA, 2003)

Além dos aspectos relacionados ao MEF, também serão utilizados conceitos advindos

do Princípio dos Trabalhos Virtuais. O PTV estabelece o equilíbrio de um sistema em termos

7

de seus deslocamentos, de modo que o trabalho virtual das forças externas equivale ao trabalho

virtual das forças internas.

Para o presente trabalho, a viga abordada será analisada estaticamente e subdividida em

elementos finitos de comprimento uniforme conectados em nós com dois graus de liberdade,

sendo analisados assim os movimentos de translação e rotação de cada um dos nós de cada

elemento, de acordo com as solicitações à que a peça está submetida. A Figura 1 representa um

elemento genérico de comprimento λ.

Figura 3 – Elemento finito com deslocamentos.

Fonte: Autor (2019).

Na realização da análise proposta serão desenvolvidas integrais relacionadas aos

trabalhos virtuais interno e externo. O Princípio dos Trabalhos Virtuais será então aplicado,

igualando-se ambas as expressões dos trabalhos virtuais interno e externo, o que permite a

determinação da matriz de rigidez e do vetor de cargas da estrutura. Em seguida, após a

aplicação das condições de contorno, constrói-se um sistema de equações lineares, cujas

incógnitas são os deslocamentos nos nós da estrutura.

3.2.2 Sistema de numeração

Para o desenvolvimento da análise numérica e do código computacional foram

determinados sistemas de numeração para os nós, elementos e deslocamentos nodais da viga,

de forma a facilitar a confecção e o entendimento dos cálculos e a aplicação dos conceitos

relacionados ao MEF.

A divisão da viga foi feita uniformemente, ocasionando em um número “n” de

elementos finitos com o mesmo comprimento. Foram aplicados nós não apenas entre os

8

elementos, mas também nas extremidades da viga resultando, assim, em um número de nós

(nno) igual à quantidade de elementos mais um:

𝑛𝑛𝑜 = 𝑛 + 1 (1)

A numeração dos nós, assim como a numeração dos elementos, foi realizada em

sequência do extremo esquerdo para o extremo direito da viga.

Figura 4 – Viga com cinco elementos e nós numerados.


No que se refere à numeração dos deslocamentos nodais, considera-se dois sistemas de

numeração, local e global. O sistema de numeração local representa a numeração dos

deslocamentos translacionais e rotacionais de cada elemento finito, sendo assim associados

quatro componentes de deslocamentos a cada um desses elementos, dois de translação e dois

de rotação. Cada nó do elemento está relacionado com uma componente de deslocamento

translacional e outra rotacional, e a numeração é ordenada iniciando na translação do nó inicial

e finalizando na rotação do nó final, como representado a seguir:

Figura 5 – Sistema de numeração local dos deslocamentos nodais do elemento.


O sistema de numeração global, assim como o local, segue a sequência da esquerda para

a direita com os números ímpares representando as translações e os números pares

representando as rotações. Além disso, a numeração global de cada componente de

deslocamento é relacionada com a numeração do respectivo elemento, conforme figura abaixo:

9

Figura 6 – Sistema de numeração global dos deslocamentos nodais da viga.


A partir da Figura 6 chega-se à conclusão de que a quantidade total de deslocamentos

(translacionais e rotacionais) na viga pode ser representado por 2n+2, que corresponde à

rotação no último nó da estrutura.

3.2 Matriz de Rigidez do Elemento

Para o desenvolvimento da Matriz de Rigidez do Elemento, o sistema de eixos

considerado será o seguinte:

Figura 7 – Sistema de eixos da viga.


Na obtenção da matriz analisa-se o seu trabalho virtual interno. Tendo como base o

Princípio dos Trabalhos Virtuais, temos que o trabalho interno de deformação é igual ao

trabalho externo das forças aplicadas. O trabalho virtual interno, considerando o sistema de

coordenadas da Figura 7, é representado pela seguinte expressão:

𝛿𝜔𝑖 = ∫ 𝜎𝑥𝛿휀𝑥𝑑𝑉

𝑉

(2)

10

Onde:

𝜎𝑥: Tensão normal ao longo do eixo x;

휀𝑥: Deformação no eixo x.

Da resistência dos materiais, a tensão normal no eixo x pode ser calculada multiplicando

o módulo de elasticidade longitudinal pela deformação total, sendo representada por:

𝜎𝑥 = 𝐸휀𝑥 (3)

A expressão da deformação total 휀𝑥 = 휀𝑇, que é caracterizada pela soma das

deformações referentes aos esforços causados pelas cargas externas com as deformações

referentes apenas à variação de temperatura, é a seguinte:

휀𝑇 = 휀𝑒 + 휀∆𝑡 → 휀𝑒 = 휀𝑇 − 휀∆𝑡 (4)

Onde a deformação associada a uma variação de temperatura ∆𝑡 pode ser expressa por:

휀∆𝑡 = 𝛼∆𝑡 (5)

Assim, introduzindo (5) em (4) e, em seguida, (4) em (3):

𝜎𝑥 = 𝐸(휀𝑥 − 𝛼∆𝑡) (6)

que corresponde à expressão da tensão que desconsidera as tensões relativas à variação

de temperatura.

As parcelas de tensão relacionadas às deformações totais serão analisadas

separadamente das parcelas correspondentes à variação de temperatura. O trabalho virtual

interno total será então a soma dos trabalhos virtuais relativos a estas duas parcelas.

A partir da equação (2) e considerando uma viga com seção transversal genérica de área

A e comprimento L, tem-se:

𝛿𝜔𝑖 = ∫ ∫ 𝜎𝑥𝛿휀𝑥𝑑𝐴𝑑𝑥

𝐴

𝑙

0

(7)

A tensão normal ao longo do comprimento longitudinal da viga pode ser representada

por:

𝜎𝑥 =𝑀𝑧

𝐼𝑧𝑦

(8)

Para a deformação em x, organizando (3) e introduzindo (8) tem-se:

11

휀𝑥 =𝜎𝑥𝐸=𝑀𝑧

𝐸𝐼𝑧𝑦

(9)

Substituindo (8) e (9) em (7):

𝛿𝜔𝑖 = ∫ ∫𝑀𝑧

𝐼𝑧𝑦𝛿 (

𝑀𝑧

𝐸𝐼𝑧𝑦)𝑑𝐴𝑑𝑥

𝐴

𝑙

0

→ ∫𝑀𝑧𝛿𝑀𝑧

𝐸(𝐼𝑧)²∫𝑦²𝑑𝐴𝑑𝑥

𝑙

0

(10)

Considerando a expressão do momento de inércia em relação ao eixo z:

𝐼𝑧 = ∫𝑦²𝑑𝐴 (11)

Chega-se em:

𝛿𝜔𝑖 = ∫𝑀𝑧𝛿𝑀𝑧

𝐸𝐼𝑧𝑑𝑥

𝑙

0

(12)

Para representar o momento fletor que causa rotação em torno do eixo z, tem-se:

𝑀𝑧 = −𝐸𝐼𝑧𝑑²𝜈

𝑑𝑥² (13)

Por fim, substituindo (13) em (12), encontra-se a expressão do trabalho virtual interno:

𝛿𝜔𝑖 = ∫ 𝐸𝐼𝑧𝑑²𝜈

𝑑𝑥²𝛿𝑑²𝜈

𝑑𝑥²𝑑𝑥

𝑙

0

(14)

Onde:

E: Módulo de elasticidade longitudinal do material da peça estrutural;

𝐼𝑧: Momento de inércia da seção da viga em torno do eixo z;

𝑙: Extensão longitudinal da viga;

𝜈: Polinômio aproximador dos deslocamentos transversais e rotacionais da viga;

𝑑𝑥: Valor do comprimento do elemento infinitesimal.

Para cada elemento de comprimento 𝜆, considerando o material e as dimensões da viga

constantes, temos:

𝛿𝑤𝑖𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐸𝐼𝑧∫

𝑑²𝜈

𝑑𝑥²𝛿𝑑²𝜈

𝑑𝑥²𝑑𝑥

𝜆

0

(15)

Para determinar o polinômio aproximador dos deslocamentos da viga é necessário

calcular as funções de interpolação 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), 𝑓3(𝑥) e 𝑓4(𝑥), todas equações de terceiro grau.

12

Para isso, consideram-se os resultados da função de acordo com o deslocamento (linear ou

rotacional) do respectivo nó do elemento genérico. Para a função 𝑓1(𝑥), referente ao

deslocamento linear do nó localizado no ponto x=0 do elemento, tem-se:

𝑓1(0) = 1 (16)

𝑑𝑓1(0)

𝑑𝑥= 0 (17)

𝑓1(𝜆) = 0 (18)

𝑑𝑓1(𝜆)

𝑑𝑥= 0 (19)

Como 𝑓1(𝑥) consiste em uma equação de terceiro grau:

𝑓1(𝑥) = 𝑎1𝑥3 + 𝑏1𝑥

2 + 𝑐1𝑥 + 𝑑1 (20)

Derivando (20):

𝑑𝑓1(𝑥)

𝑑𝑥= 3𝑎1𝑥

2 + 2𝑏1𝑥 + 𝑐1 (21)

Considerando (16), temos:

𝑓1(0) = 𝑎103 + 𝑏10

2 + 𝑐10 + 𝑑1 = 1 → 𝑑1 = 1 (22)

Com o valor de 𝑑1 e considerando a equação (17):

𝑑𝑓1(0)

𝑑𝑥= 3𝑎10

2 + 2𝑏10 + 𝑐1 = 0 → 𝑐1 = 0 (23)

Possuindo, agora, os valores de 𝑐1 e 𝑑1, é possível encontrar 𝑎1 e 𝑏1. Para encontrar 𝑏1,

aplicamos (19) e (23) em (21):

𝑑𝑓1(𝜆)

𝑑𝑥= 3𝑎1𝜆

2 + 2𝑏1𝜆 = 0 → 𝑎1 =−2𝑏1𝜆

3𝜆2 → 𝑎1 =

−2𝑏13𝜆

(24)

Em seguida, aplicamos (18), (22) e (23) e (24) em (20):

𝑓1(𝜆) = 𝑎1𝜆3 + 𝑏1𝜆

2 + 1 = 0 → −2𝑏1𝜆

3

3𝜆+ 𝑏1𝜆

2 + 1 = 0 (25)

Multiplicando ambos os lados da equação (25) por 3, tem-se:

13

−2𝑏1𝜆2 + 3𝑏1𝜆

2 + 3 = 0 → 𝑏1 =−3

𝜆2 (26)

Substituindo, agora, (26) em (24):

𝑎1 =2

𝜆³ (27)

Por fim, substituindo (22), (23), (26) e (27) em (20) obtém-se a primeira função de

interpolação, 𝑓1(𝑥):

𝑓1(𝑥) =2𝑥³

𝜆³−3𝑥2

𝜆2+ 1 (28)

O mesmo raciocínio foi desenvolvido para chegar às outras três funções de interpolação,

representadas a seguir:

𝑓2(𝑥) =𝑥³

𝜆²−2𝑥2

𝜆+ 𝑥 (29)

𝑓3(𝑥) = −2𝑥3

𝜆3+3𝑥2

𝜆2 (30)

𝑓4(𝑥) =𝑥³

𝜆²−𝑥2

𝜆 (31)

Temos que o polinômio aproximador dos deslocamentos transversais e rotacionais do

elemento finito da viga é:

𝜈 = 𝑓1(𝑥)𝜈1 + 𝑓2(𝑥)𝜃1 + 𝑓3(𝑥)𝜈2 + 𝑓4(𝑥)𝜃2 (32)

Então, substituindo (28), (29), (30) e (31) em (32):

𝜈 = (2𝑥³

𝜆³−3𝑥2

𝜆2+ 1) 𝜈1 + (

𝑥³

𝜆²−2𝑥2

𝜆+ 𝑥) 𝜃1 + (−

2𝑥3

𝜆3+3𝑥2

𝜆2) 𝜈2

+ (𝑥³

𝜆²−𝑥2

𝜆)𝜃2

(33)

Considerando a equação (33) referente aos deslocamentos dos elementos finitos da viga,

é possível chegar à função relacionada aos deslocamentos virtuais da peça:

14

𝛿𝜈 = (2𝑥³

𝜆³−3𝑥2

𝜆2+ 1) 𝛿𝜈1 + (

𝑥³

𝜆²−2𝑥2

𝜆+ 𝑥) 𝛿𝜃1 + (−

2𝑥3

𝜆3+3𝑥2

𝜆2)𝛿𝜈2

+ (𝑥³

𝜆²−𝑥2

𝜆) 𝛿𝜃2

(34)

Derivando (33):

𝑑𝜈

𝑑𝑥= (

6𝑥²

𝜆³−6𝑥

𝜆2) 𝜈1 + (

3𝑥²

𝜆²−4𝑥

𝜆+ 1) 𝜃1 + (−

6𝑥2

𝜆3+6𝑥

𝜆2)𝜈2 + (

3𝑥²

𝜆²−2𝑥

𝜆)𝜃2 (35)

Derivando (35) para encontrar a derivada segunda:

𝑑²𝜈

𝑑𝑥²= (

12𝑥

𝜆³−6

𝜆2) 𝜈1 + (

6𝑥

𝜆²−4

𝜆) 𝜃1 + (−

12𝑥

𝜆3+6

𝜆2) 𝜈2 + (

6𝑥

𝜆²−2

𝜆) 𝜃2 (36)

Aplicando, agora, (36) em (15):

𝛿𝑤𝑖𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐸𝐼𝑧∫ [(

12𝑥

𝜆³−6

𝜆2) 𝜈1 + (

6𝑥

𝜆²−4

𝜆) 𝜃1 + (−

12𝑥

𝜆3+6

𝜆2) 𝜈2

𝜆

0

+ (6𝑥

𝜆²−2

𝜆) 𝜃2]

∗ [(12𝑥

𝜆³−6

𝜆2) 𝛿𝜈1 + (

6𝑥

𝜆²−4

𝜆) 𝛿𝜃1 + (−

12𝑥

𝜆3+6

𝜆2) 𝛿𝜈2

+ (6𝑥

𝜆²−2

𝜆) 𝛿𝜃2] 𝑑𝑥

(37)

Integrando e resolvendo a equação (37), para encontrar cada termo da matriz de rigidez,

tem-se:

15

𝛿𝑤𝑖𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝐸𝐼𝑧 [(

12

𝜆³) 𝜈1𝛿𝜈1 + (

6

𝜆²) 𝜈1𝛿𝜃1 + (−

12

𝜆3) 𝜈1𝛿𝜈2 + (

6

𝜆²) 𝜈1𝛿𝜃2

+ (6

𝜆²) 𝜃1𝛿𝜈1 + (

4

𝜆) 𝜃1𝛿𝜃1 + (−

6

𝜆²)𝜃1𝛿𝜈2 + (

2

𝜆) 𝜃1𝛿𝜃2

+ (−12

𝜆3) 𝜈2𝛿𝜈1 + (−

6

𝜆²) 𝜈2𝛿𝜃1 + (

12

𝜆³) 𝜈2𝛿𝜈2 + (−

6

𝜆²) 𝜈2𝛿𝜃2

+ (6

𝜆²) 𝜃2𝛿𝜈1 + (

2

𝜆) 𝜃2𝛿𝜃1 + (−

6

𝜆²) 𝜃2𝛿𝜈2 + (

4

𝜆) 𝜃2𝛿𝜃2] 𝑑𝑥

(38)

Por fim, constrói-se a matriz de rigidez do elemento, [k], a partir da organização da

equação (38):

[k] =

{

12𝐸𝐼𝑧𝜆3

6𝐸𝐼𝑧𝜆2

−12𝐸𝐼𝑧𝜆3

6𝐸𝐼𝑧𝜆2

6𝐸𝐼𝑧𝜆2

4𝐸𝐼𝑧𝜆 −

6𝐸𝐼𝑧𝜆2

2𝐸𝐼𝑧𝜆



12𝐸𝐼𝑧𝜆3


6𝐸𝐼𝑧𝜆2

2𝐸𝐼𝑧𝜆 −

6𝐸𝐼𝑧𝜆2

4𝐸𝐼𝑧𝜆 }

3.3 Vetor de Cargas Nodais do Elemento

No que se refere ao vetor de cargas nodais dos elementos, ele está diretamente

relacionado com as cargas externas aplicadas na viga. Desse modo, no desenvolvimento das

expressões para formulação do vetor serão considerados carregamentos distribuídos

linearmente com valores conhecidos nos extremos da viga, conforme a Erro! Fonte de

referência não encontrada..

Figura 8 – Viga com carregamento distribuído linearmente.

16


Em que L é o comprimento da viga e 𝑞1 e 𝑞2 são valores conhecidos do carregamento

distribuído nas extremidades.

A equação que rege a função do carregamento distribuído é chamada de q(x) e

corresponde a seguinte expressão:

𝑞(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 (39)

Onde a e b são constantes.

Nos nós das extremidades, em x=0 e x=L, sabemos que 𝑞 = 𝑞1 e 𝑞 = 𝑞2,

respectivamente. Dessa forma:

𝑎 =𝑞2 − 𝑞1𝐿

(40)

𝑏 = 𝑞1 (41)

Substituindo (40) e (41) em (39), tem-se:

𝑞(𝑥) =𝑞2 − 𝑞1𝐿

𝑥 + 𝑞1 (42)

Para obter as parcelas do vetor de cargas nodais, tem-se que a expressão do trabalho

virtual externo é:

𝛿𝜔𝑒 = ∫ 𝑞(𝑥)𝛿𝜈𝑑𝑥𝐿

0

(43)

Que corresponde a integral da função do carregamento distribuído previamente

estabelecida pela função dos respectivos deslocamentos virtuais.

Assim, substituindo (42) e (34) em (43):

𝛿𝜔𝑒 = ∫ [𝑞2 − 𝑞1𝜆

𝑥 + 𝑞1] [(2𝑥³

𝜆³−3𝑥2

𝜆2+ 1)𝛿𝜈1 + (

𝑥³

𝜆²−2𝑥2

𝜆+ 𝑥)𝛿𝜃1

𝜆

0

+ (−2𝑥3

𝜆3+3𝑥2

𝜆2)𝛿𝜈2 + (

𝑥³

𝜆²−𝑥2


(44)

Resolvendo a integral, tem-se:

17

𝛿𝜔𝑒 = ∫ (7𝑞1𝜆

20+3𝑞2𝜆

20) 𝛿𝜈1 + (

𝑞1𝜆²

20+𝑞2𝜆²

30) 𝛿𝜃1 + (

3𝑞1𝜆

20+7𝑞2𝜆

20) 𝛿𝜈2

𝜆

0

+ (−𝑞1𝜆

2

30−𝑞2𝜆²

20)𝛿𝜃2𝑑𝑥

(45)

Dessa forma, encontra-se o vetor de cargas nodais do elemento, [f]:

[f] =

{

7𝑞1𝜆

20+3𝑞2𝜆

20𝑞1𝜆

2

20+𝑞2𝜆

2

303𝑞1𝜆

20+7𝑞2𝜆

20

−𝑞1𝜆

2

30−𝑞2𝜆

2

20 }

3.4 Solicitações térmicas

Como especificado anteriormente, na verificação do trabalho virtual interno a parcela

de tensão referente à variação de temperatura será analisada separadamente da parcela associada

às deformações totais. Em seguida, ambas as parcelas serão somadas para se obter o trabalho

virtual interno total.

A partir da equação (6), percebe-se que a parcela da tensão relacionada à variação de

temperatura é:

𝜎𝑥 = −𝐸𝛼∆𝑡 (46)

Considerando a variação de temperatura como uma função linear ao longo altura da viga

e levando em conta que não há deslocamento axial, tem-se:

∆𝑡 =𝑦

ℎ(∆𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑒) (47)

Onde ∆𝑡𝑖 e ∆𝑡𝑒 correspondem à variação de temperatura nas superfícies interna e externa

da viga, respectivamente.

Com relação ao momento fletor decorrente das tensões térmicas, pode ser definido por:

𝑀𝑧 = ∫𝜎𝑥𝑦𝑑𝐴 (48)

18

Introduzindo (46) e (47) em (48) e substituindo o valor do momento de inércia de acordo

com a equação (11):

𝑀𝑧 = ∫−𝐸𝛼𝑦²

ℎ(∆𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑒)𝑑𝐴 → 𝑀𝑧 = −

𝐸𝐼𝑧ℎ𝛼(∆𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑒) (49)

Substituindo, agora, (49) no primeiro termo da equação (12) do trabalho virtual interno

e (13) no termo virtual desta mesma equação, tem-se a expressão do trabalho virtual interno

correspondente à variação de temperatura:

𝛿𝜔𝑖∆𝑡 = ∫

𝐸𝐼𝑧𝛼(∆𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑒)

ℎ𝛿 (𝑑²𝜈

𝑑𝑥²)𝑑𝑥

𝑙

0

(50)

O Princípio dos Trabalhos Virtuais estabelece que o trabalho virtual interno produzido

pelas tensões internas será igual ao trabalho virtual produzido pelas cargas externas. Dessa

forma, tem-se:

𝛿𝜔𝑒 = 𝛿𝜔𝑖 = 𝛿𝜔𝑖𝑒 + 𝛿𝜔𝑖

∆𝑡 → 𝛿𝜔𝑒 − 𝛿𝜔𝑖∆𝑡 = 𝛿𝜔𝑖

𝑒 (51)

onde o termo (𝛿𝜔𝑒 − 𝛿𝜔𝑖∆𝑡) corresponde ao vetor independente e 𝛿𝜔𝑖

𝑒 corresponde à matriz de

rigidez.

Para encontrar o vetor local referente à variação de temperatura, que será somado aos

vetores de cargas dos elementos para a obtenção do vetor de cargas global, é necessário resolver

a expressão (50). Desse modo, aplicando (36) em (50), temos:

𝛿𝜔𝑖∆𝑡 =


ℎ∫ [(

12𝑥

𝜆³−6

𝜆2) 𝛿𝜈1 + (

6𝑥

𝜆²−4

𝜆) 𝛿𝜃1 + (−

12𝑥

𝜆3+6

𝜆2) 𝛿𝜈2

𝑙

0

+ (6𝑥

𝜆²−2


(52)

Resolvendo a integral:

𝛿𝜔𝑖∆𝑡 =


ℎ[(0)𝛿𝜈1 + (−1)𝛿𝜃1 + (0)𝛿𝜈2 + (1)𝛿𝜃2] (53)

Chega-se, então, ao vetor relacionado à variação de temperatura para cada elemento:

19

𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎∆𝑡 =

{

0

−𝐸𝐼𝑧𝛼(∆𝑡𝑖 − ∆𝑡𝑒)

ℎ0


ℎ }

Este vetor será somado ao vetor de cargas nodais de cada elemento para a obtenção do

vetor de cargas nodal global.

20

4. CÓDIGO COMPUTACIONAL

4.1 Aspectos gerais

O código computacional confeccionado neste trabalho foi desenvolvido em linguagem

FORTRAN e é capaz de realizar a análise estática linear de vigas a partir da formulação do

Método dos Elementos Finitos. Este funciona através da leitura inicial e processamento de

dados provenientes de um arquivo de entrada em formato de texto (.txt), e resulta em um arquivo

de saída também em formato de texto com os valores dos deslocamentos nodais na viga

estudada.

O usuário do código é responsável por inserir no arquivo de entrada os valores das

dimensões geométricas da seção transversal da viga e das propriedades físicas do seu material,

bem como a discretização a ser utilizada, e a caracterização da sua vinculação e do carregamento

aplicado na estrutura.

No desenvolvimento do programa foram criadas sub-rotinas referentes a cada etapa do

código, para simplificar e facilitar a interpretação e utilização do mesmo. O código principal

funciona chamando essas sub-rotinas em sequência. As sub-rotinas utilizadas são “Declaração

de variáveis”, “Abertura de arquivos”, “Leitura de dados”, “Propriedades geométricas”, “Matriz

de rigidez”, “Vetor de cargas”, “Condições de contorno”, “Resolução do sistema” e “Saída de

dados”.

A fluxograma a seguir representa o processo de compilação do código, com a sequência

de suas etapas, incluindo os arquivos de entrada e de saída. Cada etapa indicada no fluxograma

representa uma sub-rotina de cálculo.

21

Figura 9 – Fluxograma do processo de compilação do código.


22

4.2 Sub-rotinas

4.2.1 Declaração de variáveis

Corresponde a um módulo onde são declaradas todas as variáveis principais

utilizadas no código computacional. É utilizado na maioria das outras sub-rotinas.

4.2.2 Abertura de arquivos

Esta sub-rotina determina os nomes dos arquivos de entrada e de saída e abre

ambos os arquivos, preparando o arquivo de entrada para a leitura de seus dados.

4.2.3 Leitura de dados

Aqui é executada a interpretação do arquivo de entrada, que contém as

características geométricas, físicas e mecânicas da estrutura analisada. Após a leitura de

parte das variáveis declaradas no arquivo de entrada a sub-rotina Propriedades

Geométricas é chamada para, em seguida, realizar-se a leitura do restante das variáveis

do arquivo a partir das variáveis obtidas desta sub-rotina.

A seguir se encontram exemplos do arquivo de entrada e do arquivo de saída:

Figura 10 – Representação do arquivo de entrada.


23

Figura 11 – Representação do arquivo de saída.


4.2.4 Propriedades geométricas

Nesta etapa são calculadas características como o comprimento de cada

elemento, o momento de inércia da seção da viga, a quantidade de nós e a quantidade

de componentes de deslocamentos. Não é chamada no código principal, mas sim na sub-

rotina Leitura de Dados, como já especificado.

4.2.5 Matriz de rigidez

Nesta sub-rotina constrói-se a matriz de rigidez local de cada elemento da viga

considerando os cálculos desenvolvidos no tópico 3.2, a partir dos sistemas de

numeração determinados para os deslocamentos nodais. Em seguida, considerando os

mesmos sistemas de numeração, é realizada a montagem da matriz de rigidez global da

estrutura.

4.2.6 Vetor de cargas

Esta sub-rotina é responsável pela criação dos vetores de cargas nodais locais de

cada elemento referentes ao carregamento transversal e térmico. Em seguida, é criado o

vetor de cargas global parcial e, por fim, pela soma das cargas concentradas aplicadas

nos nós, monta-se o vetor de cargas global.

O vetor de cargas global, como já visto, considera a influência dos

carregamentos concentrados (forças e momentos), dos carregamentos distribuídos, bem

como das tensões térmicas.

24

4.2.7 Condições de contorno

Esta etapa do código modifica os termos do vetor de cargas global e da matriz

de rigidez global através da aplicação das condições de contorno, alterando a matriz e o

vetor e possibilitando a posterior resolução do sistema de equações.

A aplicação das condições de contorno se dá por meio da utilização da técnica

dos zeros e uns. Esta técnica consiste na identificação dos nós que apresentam ao menos

uma deslocabilidade prescrita relacionada ao deslocamento translacional ou rotacional.

A partir desta identificação, zera-se todos os termos da linha e da coluna referente a

posição com deslocamento prescrito na matriz de rigidez global e, em seguida, atribui-

se o número um aos termos que fazem parte da diagonal principal. As posições das

deslocabilidades prescritas no vetor de cargas global recebem o valor prescrito,

enquanto os outros elementos do vetor são corrigidos através da seguinte expressão:

𝑓𝑖 = 𝑓𝑖 − ∑𝐾𝑖𝑚∆𝑚 (54)

Onde:

K corresponde à matriz de rigidez global;

∆ representa o valor da deslocabilidade prescrita;

i corresponde a uma variável que passa pela quantidade “d” de deslocamentos

da viga e é responsável pela identificação das posições a serem corrigidas no

vetor, sendo d=2n+2.

m é uma variável que também passa pela quantidade “d” de deslocamentos da

viga, e determina os termos da matriz e do vetor que serão alterados pela

deslocabilidade prescrita.

Além disso, esta sub-rotina também considera os apoios elásticos, somando o

valor da rigidez da mola ao respectivo termo diagonal da matriz de rigidez global

modificada relativo ao nó que apresenta o apoio elástico.

4.2.8 Resolução do sistema

Nesta sub-rotina resolve-se o sistema linear de equações e obtém-se a solução

deste sistema, a partir do método de escalonamento de Gauss, com pivoteamento parcial.

25

A Figura 12 representa esquematicamente o sistema de equações montado com

a matriz de rigidez global modificada, o vetor de cargas global modificado e o vetor dos

deslocamentos, que são as incógnitas do sistema.

Figura 12 – Representação esquemática do sistema de equações lineares montado para o cálculo dos

deslocamentos nodais.


4.2.9 Saída de dados

Por fim, aqui o código gera o arquivo de saída no formato de texto com os valores

de todos os deslocamentos nodais obtidos no processamento.

26

5. ANÁLISE NUMÉRICA

Para a realização da análise numérica das vigas, foram utilizados refinamentos de malha

de 2, 4 e 10 elementos. Os resultados obtidos numericamente foram comparados com os

modelos analíticos e com as soluções obtidas pelo programa comercial Ftool, de acordo com os

diferentes tipos de apoios e carregamentos presentes em todos os exemplos estudados.

No desenvolvimento de todos os seis exemplos analisados foram consideradas vigas

com seção transversal retangular constante medindo 0,20m x 0,50m (área igual a 0,10m²).

Assim, o momento de inércia em torno de z é igual a 2,08333x10−3m4. Além disso,

considerou-se também para todos os exemplos E = 2x108KN/m², e para os exemplos com

solicitações térmicas α = 1x10−5/°C.

Na verificação do estudo, nos casos em que foram calculadas soluções analíticas

considerou-se aceitável uma diferença percentual de até 2,0% entre os resultados obtidos da

análise numérica e analítica para os deslocamentos transversais. Esta diferença percentual foi

calculada da seguinte maneira:

𝐷𝑝𝑒𝑟𝑐 =𝑅𝑛 − 𝑅𝑐𝑅𝑐

𝑥100

(55)

Onde:

𝐷𝑝𝑒𝑟𝑐 = Diferença percentual;

𝑅𝑛 = resultado numérico;

𝑅𝑐 = Resultado comparativo.

5.1 Exemplo 1

Para este primeiro exemplo, verificou-se o comportamento de uma viga isostática do

tipo engastada e livre, submetida a uma carga transversal concentrada de valor igual a 20 KN

na sua extremidade em balanço. A estrutura apresenta cinco metros de comprimento e não está

submetida a solicitações térmicas. A figura seguinte ilustra a viga em questão:

27

Figura 13 – Viga em balanço.


Com a aplicação das características e carregamentos da viga no Ftool, chega-se a

configuração deformada da viga fornecida pelo próprio programa:

Figura 14 – Configuração deformada da viga do Exemplo 1.

Fonte: Ftool (2019).

A configuração deformada fornecida pelo Ftool indicou um deslocamento transversal

máximo igual a −2x10−3m e uma rotação máxima igual a −6x10−4 rad, valores esses que

conferem com os resultados obtidos na análise numérica.

Para a obtenção da solução analítica, foram utilizadas tabelas de deslocamento elástico

em vigas fornecidas por Timoshenko (1983). A fórmula nas tabelas utilizada para o

deslocamento transversal máximo na viga deste exemplo é a seguinte:

𝑣𝑚á𝑥 =𝑃𝑙3

3𝐸𝐼 (56)

Onde, neste caso, “P” corresponde à força concentrada de 20KN e “l” é o comprimento

da viga, igual a 5,00m. Dessa forma, tem-se:

𝑣𝑚á𝑥 = 0,0020000032𝑚

28

A equação da linha elástica verificada para esta viga é a seguinte:

𝑣 =𝑃𝑙3

6𝐸𝐼(𝑥³

𝑙³−3𝑥

𝑙+ 2)

(57)

Para a obtenção dos valores das rotações, derivou-se a equação da linha elástica.

𝜃 =𝑃𝑙3

6𝐸𝐼(3𝑥²

𝑙³−3

𝑙)

(58)

Os valores obtidos para os deslocamentos transversais e rotações da viga pela análise

analítica foram comparados com os resultados verificados na análise numérica com a utilização

do código desenvolvido, para cada refinamento de malha estabelecido.

Apenas para este exemplo, considerou-se não apenas as malhas de 2, 4 e 10 elementos

já citadas, mas também uma malha de 50 elementos para demonstrar a maior aproximação dos

resultados com a configuração deformada da viga. Os gráficos seguintes mostram os resultados

obtidos para os deslocamentos translacionais e rotacionais com relação a estes refinamentos de

malha e para a solução analítica obtida para 100 pontos ao longo da viga:

Gráfico 1 – Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 1.


-0,0025

-0,002

-0,0015

-0,001

-0,0005

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

De

slo

cam

en

to (

m)

Comprimento (m)

Deslocamentos transversais da viga do Exemplo 1

2 4 10 50 Analítico

29

Gráfico 2 – Rotações da viga do Exemplo 1.


A partir da análise dos gráficos é perceptível que, com o aumento da quantidade de

elementos, há um aumento da precisão dos deslocamentos obtidos. Como esperado, um

refinamento mais preciso faz com que sua linha representada no gráfico dos deslocamentos

transversais se aproxime mais à configuração deformada da viga.

A comparação entre os resultados obtidos para as malhas consideradas e para o cálculo

analítico e realizado pelo Ftool considerando sua diferença percentual está indicada na Tabela

1 a seguir:

Tabela 1 – Diferenças percentuais dos deslocamentos transversais e rotações da viga do Exemplo 1.

Deslocamentos máximos em metros

Numérico Diferença Percentual

Analítico -0,0020000032 -0,0020000000

0,00016%

Programa comercial -0,0020000000 0,00%

Rotações máximas em radianos

Programa comercial -0,0006000000 -0,0006000000 0,00%


-0,0007

-0,0006

-0,0005

-0,0004

-0,0003

-0,0002

-0,0001

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Ro

taçã

o (

rad

)

Comprimento (m)

Rotações da viga do Exemplo 1

2 4 10 50 Analítico

30

Por esta tabela, percebe-se que os resultados obtidos neste exemplo se mostraram

suficientemente precisos (abaixo de 2,0%).

5.2 Exemplo 2

Neste segundo exemplo, verificou-se o comportamento de uma viga isostática do tipo

simplesmente apoiada, submetida a uma carga uniformemente distribuída em seu comprimento,

com valor igual a 50 KN/m. A estrutura apresenta o mesmo comprimento do exemplo anterior

e também não está submetida a solicitações térmicas. A figura seguinte ilustra esta viga:

Figura 15 – Viga biapoiada.



configuração deformada da viga:



Esta configuração deformada apresentou um deslocamento transversal máximo no

centro da viga igual a −9,766x10−4m, e rotações iguais a −6,25x10−4rad no apoio de segundo

gênero e 6,25x10−4rad no apoio de primeiro gênero.

31

Utilizando-se novamente as tabelas de deslocamento elástico em vigas fornecidas por

Timoshenko (1983), calcula-se a solução analítica da viga, verificando o deslocamento

transversal máximo através da seguinte expressão:

𝑣𝑚á𝑥 =5pl4

384EI (59)

Em que “p” corresponde à carga distribuída de 50KN/m e “l” é o comprimento da viga.

Assim, tem-se:

𝑣𝑚á𝑥 = −0,0009765641𝑚

A equação da linha elástica verificada para esta viga é a seguinte:

𝑣 =𝑃𝑙4

24𝐸𝐼(𝑥4

𝑙4−2𝑥3

𝑙3+𝑥

𝑙)

(60)

Para a obtenção dos valores das rotações, derivou-se a equação da linha elástica.

𝜃 =𝑃𝑙4

24𝐸𝐼(4𝑥³

𝑙4−6𝑥2

𝑙3+1

𝑙)

(61)

Os valores obtidos para os deslocamentos transversais e rotações da viga pela análise

analítica foram mais uma vez comparados com os resultados verificados na análise numérica

para cada refinamento de malha (2, 4 e 10 elementos). Estes resultados estão indicados nos

gráficos seguintes, considerando as soluções analíticas obtidas para 20 pontos ao longo da viga:

32





Percebe-se que, mesmo com carga distribuída ao longo da viga, o código é válido e

novamente a linha da malha com mais elementos é a que mais se aproxima a configuração

deformada da viga.

-0,0012

-0,001

-0,0008

-0,0006

-0,0004

-0,0002

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5D

esl

oca

me

nto

(m

)

Comprimento (m)


2 4 10 Analítico

-0,0008

-0,0006

-0,0004

-0,0002

0

0,0002

0,0004

0,0006

0,0008

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Ro

taçã

o (

rad

)

Comprimento (m)


2 4 10 Analítico

33

A tabela seguinte mostra a diferença percentual entre o resultado numérico e o resultado

analítico e obtido do Ftool, para o deslocamento transversal máximo na viga e para a rotação

do seu último nó.



Numérico Diferença Percentual

Analítico -0,0009765641 -0,0009765625

-0,0001638%

Programa comercial -0,0009766 -0,0038399%

Rotações no nó final em radianos

Programa comercial 0,0006250000 0,0006250000 0,00%


Neste exemplo, os resultados obtidos também se mostraram suficientemente precisos

(abaixo de 2,0%).

5.3 Exemplo 3

Neste exemplo analisou-se o comportamento de uma viga isostática do tipo biengastada,

submetida a uma carga uniformemente distribuída similar à do exemplo anterior, ao longo de

seu comprimento, também com valor igual a 50KN/m. Além disso, a viga também possui uma

carga de momento aplicada no seu centro, ou seja, a 2,50m dos engastes e com valor de 10KNm.

O fato da viga apresentar dois engastes, um em cada extremo, torna-a uma viga

hiperestática, pois está em equilíbrio, mas o número de equações da estática é insuficiente para

determinar todas as incógnitas.

A viga mantém o mesmo comprimento de cinco metros dos exemplos anteriores, assim

como mantém a ausência de solicitações térmicas. A figura seguinte ilustra esta viga:

34

Figura 17 – Viga hiperestática biengastada.


Com a aplicação das características e carregamentos da viga no Ftool, tem-se:



Esta configuração deformada apresentou um deslocamento transversal e uma rotação

iguais a −1,953x10−4m e 7,5x10−6rad no centro da viga, respectivamente.

A falta de casos de vinculação e carregamento abordados nas tabelas fornecidas por

Pinheiro faz com que estas não possam ser utilizadas na resolução deste problema. Desse modo,

o resultado obtido numericamente foi verificado através de sua comparação exclusivamente

com o resultado obtido no Ftool. Os gráficos seguintes expressam os resultados numéricos:

35





Os gráficos confirmam novamente a aproximação da precisão da malha mais refinada

com a configuração deformada da viga.

-0,00025

-0,0002

-0,00015

-0,0001

-0,00005

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

De

slo

cam

en

to (

m)

Comprimento (m)


2 4 10

-0,00015

-0,0001

-0,00005

0

0,00005

0,0001

0,00015

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Ro

taçã

o (

rad

)

Comprimento (m)


2 4 10

36

O ponto de deslocamento máximo na configuração deformada não coincide com

nenhum ponto nodal dos refinamentos de malha estabelecidos, dessa forma apenas para este

exemplo a comparação será realizada entre os deslocamentos do nó central da viga.

A tabela seguinte mostra a diferença percentual entre o resultado numérico e o advindo

do programa comercial.


Deslocamentos no centro da viga em metros

Programa comercial Numérico Diferença Percentual

-0,0001953000 -0,0001953125 0,0064004%

Rotações no centro da viga em radianos

0,0000075000 0,0000075000 0,00%


Como indicado na tabela, os resultados obtidos se mostraram suficientemente precisos

(abaixo de 2,0%) comprovando, assim, a validez do código para a resolução de problemas

hiperestáticos.

5.4 Exemplo 4

A viga considerada neste exemplo, diferentemente das vigas vistas anteriormente, não

apresenta cargas externas distribuídas ou concentradas, sendo submetida apenas a uma

solicitação térmica devido à variação de temperatura na sua superfície interna igual a -5°C e à

variação de temperatura na sua superfície externa igual a +5°C.

A estrutura é hiperestática devido á existência de um apoio elástico na sua extremidade

direita, em conjunto com o engaste na outra extremidade. O coeficiente de rigidez k da mola

deste apoio elástico corresponde a 1000 KN/m.

O comprimento da viga é de cinco metros e sua representação se encontra a seguir:

37

Figura 19 – Viga hiperestática engastada e com apoio elástico.


A configuração deformada da viga obtida no Ftool está expressa na Figura 20:



Esta configuração deformada apresentou um deslocamento transversal igual a

−2,273x10−3m na extremidade com o apoio elástico, assim como uma rotação de

−9,318x10−4rad.

Os resultados numéricos estão representados nos gráficos seguintes:

38





Similarmente ao Exemplo 3, o resultado numérico foi comparado exclusivamente com

o resultado obtido no programa comercial. A diferença percentual entre estes resultados está

indicada na Tabela 4.

-0,0025

-0,002

-0,0015

-0,001

-0,0005

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5D

esl

oca

me

nto

(m

)

Comprimento (m)


2 4 10

-0,001

-0,0009

-0,0008

-0,0007

-0,0006

-0,0005

-0,0004

-0,0003

-0,0002

-0,0001

0

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

Ro

taçã

o (

rad

)

Comprimento (m)


2 4 10

39




-0,002273 -0,0022727270 -0,0120106%


-0,0009318000 -0,0009318000 0,00%


Com esta diferença percentual, verifica-se que os resultados são suficientemente

precisos. Dessa forma, este exemplo valida a utilização do código para resolução de problemas

apenas com carregamentos térmicos, assim como para a resolução de problemas que envolvam

apoios elásticos.

5.5 Exemplo 5

Neste exemplo considerou-se uma viga hiperestática contínua com um apoio de segundo

gênero e dois apoios de primeiro gênero. A viga está submetida a um carregamento linearmente

distribuído ao longo do seu comprimento longitudinal, com valores de 35KN/m e 15KN/m nas

extremidades, bem como a um carregamento térmico de +10°C na superfície interna e -10°C

na superfície externa.

A viga apresenta um comprimento de dez metros e encontra-se representada na Figura

21:

Figura 21 – Viga hiperestática contínua com um apoio de segundo gênero e dois de primeiro gênero.


40

Utilizando-se o Ftool, a configuração deformada da viga é:



Os resultados numéricos para cada malha estão representados nos gráficos:



-0,0001

-0,00005

0

0,00005

0,0001

0,00015

0,0002

0,00025

0,0003

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

De

slo

cam

en

to (

m)

Comprimento (m)


2 4 10

41



Os gráficos deste exemplo demonstram claramente a diferença de aproximação e

precisão à medida em que há o aumento da quantidade de elementos da malha. No Gráfico 9 a

linha referente à malha de dois elementos consiste em uma reta que não fornece informações

precisas em relação aos deslocamentos na viga, enquanto a linha relativa à malha de dez

elementos começa a apresentar semelhanças com a configuração deformada.

Assim como no Exemplo 3, o ponto de deslocamento máximo na configuração

deformada não coincide com nenhum ponto nodal dos refinamentos de malha considerados,

então a comparação será realizada entre os deslocamentos transversais e rotações do décimo

ponto nodal.

A tabela seguinte mostra a diferença percentual entre os resultados:


Deslocamentos no décimo ponto nodal em metros


-0,000241 -0,00024096 -0,01659751%

Rotações no décimo ponto nodal em radianos

-0,0001005000 -0,0001005000 0,00%


-5,00E-04

-4,00E-04

-3,00E-04

-2,00E-04

-1,00E-04

0,00E+00

1,00E-04

2,00E-04

3,00E-04

4,00E-04

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ro

taçã

o (

rad

)

Comprimento (m)


2 4 10

42

Mais uma vez, os resultados obtidos foram suficientemente precisos (abaixo de 2,0%).

Assim, este exemplo valida a utilização do código para resolução de problemas que envolvam

forças distribuídas e cargas térmicas atuando em conjunto, ao invés de separadamente como

nos exemplos anteriores.

5.6 Exemplo 6

Neste exemplo considerou-se uma viga hiperestática contínua engastada na sua

extremidade esquerda, com um apoio de primeiro gênero no seu centro e um apoio elástico na

sua outra extremidade. O coeficiente de rigidez k da mola deste apoio elástico corresponde a

1000 KN/m.

A viga em questão está submetida a uma carga concentrada de momento no seu centro

com valor igual a 10KNm, a uma força concentrada de 50KN no ponto nodal da extremidade

direita, e a um carregamento linearmente distribuído com valores de 30KN/m e 10KN/m nas

extremidades. Além disso, há um carregamento térmico de +15°C na superfície interna e -15°C

na superfície externa.

Figura 23 – Viga hiperestática contínua com um engaste, um apoio de primeiro gênero e um apoio

elástico.



configuração deformada:

43



Os resultados numéricos para cada refinamento de malha estão representados nos

gráficos seguintes:



-0,025

-0,02

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

De

slo

cam

en

to (

m)

Comprimento (m)


2 4 10

44



Os gráficos mais uma vez comprovam a aproximação da precisão da malha mais

refinada com a configuração deformada da viga.

A tabela seguinte mostra a diferença percentual entre o resultado numérico e o do

programa comercial:




-0,0204 -0,02040426 0,02088235%


-0,0060270000 -0,0060270000 0,00%


Os resultados obtidos foram novamente suficientemente precisos. Com isto, a validação

do código é realizada para situações que envolvem os mais variados tipos de solicitação atuantes

em conjunto ou não, desde carregamentos distribuídos e cargas concentradas (forças e

momentos) até carregamentos térmicos. Também se confirma a possibilidade de utilização do

código desenvolvido na resolução de problemas tanto isostáticos como hiperestáticos, com

diferentes vinculações.

-0,007

-0,006

-0,005

-0,004

-0,003

-0,002

-0,001

0

0,001

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ro

taçã

o (

rad

)

Comprimento (m)


2 4 10

45

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

O presente trabalho teve como objetivo realizar a análise do processo de cálculo dos

deslocamentos de uma viga para, em conjunto com a formulação e os conceitos do Método dos

Elementos Finitos, desenvolver um código computacional em linguagem FORTRAN capaz de

interpretar e simular o comportamento linear desta viga quando sujeita a cargas externas, como

forças, momentos e solicitações térmicas.

Foi perceptível a contribuição de conceitos não apenas do MEF, mas também de outros

temas como o Princípio dos Trabalhos Virtuais para a elaboração do trabalho, possibilitando o

desenvolvimento da análise numérica. Além disso, verificou-se a importância da utilização

destes métodos numéricos para solucionar problemas que envolvam equações diferenciais

complexas, dificilmente resolvidas analiticamente.

A validação do código desenvolvido foi realizada através da comparação dos resultados

numéricos com os valores resultantes da análise analítica e valores obtidos através do programa

comercial Ftool. Como a diferença percentual na comparação dos resultados para todos os seis

exemplos abordados foi inferior a 2%, conclui-se que o código é válido para ser utilizado,

atentando-se às discretizações e ajustes adequados.

É importante notar que todos os resultados obtidos do código desenvolvido coincidiram

com os do programa Ftool, uma vez que as diferenças percentuais calculadas foram advindas,

na realidade, do número de casas decimais consideradas nos resultados ser distinto.

Como sugestão para trabalhos futuros, é possível implementar o cálculo dos esforços

internos e das reações de apoio da viga no código desenvolvido, assim como a possibilidade de

discretizações não uniformes nas estruturas. Além disso, sugere-se também o emprego de

cargas dinâmicas na análise e o estudo do comportamento de outras estruturas relevantes na

Engenharia Estrutural, como cascas e grelhas.

46

7. REFERÊNCIAS

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Métodos Numéricos) – Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal do Paraná,

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<https://www.academia.edu/15457512/M%C3%A9todo_dos_Elementos_Finitos>. Acesso

em: 2 Jun, 2019.

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f. Disponível em: <http://arquivoescolar.org/bitstream/arquivo-e/117/1/Livro_MEF.pdf>.

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(Graduação) – Departamento Acadêmico de Construção Civil, Universidade Tecnológica

Federal do Paraná, Campo Mourão. 2015. Disponível em: <

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GASPAR, Ricardo. Mecânica dos Materiais. Notas de aula da disciplina Resistência dos

Materiais. São Paulo, 2005. 107 f. Disponível em: <

https://www.passeidireto.com/arquivo/36105186/mecanica-dos-materiais-ricardo-gaspar>.

Acesso em: 5 Set, 2019.

HIBBELER, Russel C. Resistência dos Materiais. 7 Ed. São Paulo: Pearson, 2010. 637 f.

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Universidade de São Paulo, São Carlos. 2010. Disponível em: <

http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/22%20Tabelas%20de%20vigas.pdf>.

Acesso em: 15 Ago, 2019.

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f. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia, Universidade

47

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Engenharia Civil, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal. 2019. Disponível em:

< https://monografias.ufrn.br/jspui/handle/123456789/8674>. Acesso em: 8 Ago, 2019.

SOUZA, Marta F. S. M. de; RODRIGUES, Rafael B. Sistemas Estruturais de Edificações e

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http://www.fec.unicamp.br/~nilson/apostilas/sistemas_estruturais_grad.pdf>. Acesso em: 5

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SOUZA, Remo M.; O Método dos Elementos Finitos Aplicado ao Problema de Condução

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<https://www.researchgate.net/publication/326331671_O_Metodo_dos_Elementos_Finitos_A

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