universidade federal do rio de janeiro circuitos elétricos ... · 5 capacitores e indutores...

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Circuitos Elétricos I - EEL420

Módulo 5

Faraday Lenz Henry

Weber Maxwell Oersted

http://pt.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_%C3%98rsted

http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell

http://pt.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Eduard_Weber

http://pt.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henry

http://pt.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Lenz

http://pt.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday

Conteúdo

5 – Capacitores e Indutores...................................................................................................................1

5.1 – Capacitores..............................................................................................................................1

5.2 – Capacitor linear e invariante com o tempo.............................................................................2

5.2.1 – Modelo Thévenin e Norton.............................................................................................4

5.3 – Capacitor linear variável com o tempo...................................................................................6

5.4 – Capacitor não linear................................................................................................................7

5.5 – Energia acumulada no capacitor.............................................................................................8

5.6 – Associação de capacitores.......................................................................................................9

5.6.1 – Associação série............................................................................................................10

5.6.2 – Associação paralela.......................................................................................................10

5.6.3 – Redistribuição de cargas................................................................................................11

5.7 – Indutores...............................................................................................................................13

5.8 – Indutor linear e invariante.....................................................................................................14

5.8.1 – Modelo de Thévenin e Norton......................................................................................16

5.9 – Indutor variável com o tempo...............................................................................................17

5.10 – Indutor não linear................................................................................................................17

5.11 – Energia armazenada no indutor..........................................................................................19

5.12 – Associação de indutores......................................................................................................20

5.12.1 – Associação série..........................................................................................................20

5.12.2 – Associação paralela.....................................................................................................21

5.12.3 – Redistribuição de fluxo...............................................................................................21

5.13 – Componentes reais..............................................................................................................22

5.14 – Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC...................................................23

5.15 – Considerações sobre condições iniciais..............................................................................26

5.16 – Exercícios............................................................................................................................27

5.17 – Soluções..............................................................................................................................32

5 Capacitores e Indutores

Capacitores e indutores são elementos passivos, como os resistores, porém em vez de

dissipar energia estes elementos são capazes de absorver e fornecer energia. Isto ocorre porque

a energia absorvida fica armazenada na forma de campo elétrico ou magnético. Capacitores e

indutores podem ser lineares ou não lineares, variantes ou invariantes e também podem ser

associados como as resistências. A eles também se estendem todos os conceitos de análise

considerados anteriormente.

5.1 Capacitores

Capacitores são elementos capazes de armazenar energia sob a forma de campo

elétrico. O símbolo do capacitor pode ser visto na figura abaixo. Alguns capacitores, por

motivos meramente construtivos, podem ser polarizados e, nestes casos, utiliza-se um símbolo

ligeiramente diferente onde uma das barras aparece curva ou na forma de um retângulo que

pode estar pintado.

Circuitos Elétricos I – EEL420 – UFRJ – Apostila não é livro. Estude pelo livro! 1

https://archive.org/stream/FundamentalsOfElectricCircuits4thEdition/Fundamentals%20of%20Electric%20Circuits%20(Alexander%20and%20Sadiku),%204th%20Edition#page/n245/mode/2up

Os capacitores são formados por duas superfícies condutoras separadas por um

isolante de tal forma que não há contato elétrico entre os dois terminais do capacitor. Estas

superfícies, entretanto ficam muito próximas uma da outra de forma que cargas elétricas que

se deslocam para uma das superfícies repelem cargas da outra superfície permitindo a

circulação de corrente. Observe que a resistência entre os dois terminais do capacitor é

infinita, porém há circulação de corrente e ela respeita a lei das correntes de Kirchhoff,

mesmo assim há uma diferença líquida de cargas entre os dois terminais do capacitor de forma

que surge sobre seus terminais uma diferença de potencial que permanece no capacitor depois

que ele é desconectado do circuito. Esta característica definida pela razão entre cargas no

capacitor e tensão sobre seus terminais chama-se capacitância:

C=q t v t

, onde C é a capacitância (Farad – F)

5.2 Capacitor linear e invariante com o tempo

Um capacitor linear e invariante no tempo é definido como

q t =c⋅v t

de tal forma que

dq t dt

=C⋅dv t

dt

ou seja

i=C⋅dvdt

, (uma relação linear)

ou

v=1C

⋅∫0

t

i t ' ⋅dt ' v 0 , (uma relação linear apenas se v 0=0 )



Observa-se que a equação de v só pode ser obtida se for conhecido o valor de v 0 ,

ou seja, a condição inicial da integral e do capacitor. Por esta razão todas as equações que

envolvam capacitor só podem ser resolvidas se, tanto o valor de C como de v 0 forem

conhecidos (mesmo que se utilize a equação com diferencial, como veremos mais a frente).

Além disto, para que os circuitos envolvendo capacitores sejam lineares é necessário

que v 0 seja nulo, ou seja, as condições iniciais sejam nulas. Esta situação é chamada de

estado zero. Se v 0 não for nulo podemos representar o capacitor não linear por um modelo

que emprega um capacitor descarregado em série com uma fonte de tensão conforme indicado

na figura abaixo. Observe que esta associação (capacitor-fonte) é um equivalente ao capacitor

carregado.

Adicionalmente observa-se que a corrente no capacitor depende de uma derivada ao

passo que a tensão depende de uma integral. Isto significa que a corrente no capacitor pode

variar instantaneamente. Já a tensão sobre o capacitor só pode variar instantaneamente se i(t)

for infinita como uma função impulso. Alguns autores utilizam o termo inércia de tensão para

indicar que a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Destas observações

decorre que, em circuitos de corrente contínua (CC) e chaveados (com ondas de tensão ou

corrente pulsadas), o capacitor irá se comportar como um curto circuito para transições

rápidas (como degraus e impulsos) e como circuito aberto para corrente contínua. Entre o

chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua constante há um período

transitório onde o capacitor se carrega e não pode ser considerado como nenhuma das duas

situações acima.

As mesmas conclusões podem ser obtidas se considerarmos que vC(t)=A⋅cos (ω⋅t ) .

Neste caso iC (t)=−A⋅ω⋅sen (ω⋅t) . Destas expressões é possível observar que para corrente

contínua ( ω=0 ) não há corrente pelo capacitor (o capacitor é equivalente a um circuito



aberto), mas se a frequência for infinita ( ω=∞ ) a corrente será infinita (o capacitor é

equivalente a um curto circuito). Estas analogias servem apenas para os capacitores

descarregados.

Exemplo: No circuito abaixo a chave ch1 fecha em t=0. Calcular a corrente e a tensão

no capacitor para t=0+ e t=∞ .

t=0+ , (capacitor é um curto circuito)

vC1=0V

iC1=v1R1

=10A

t=∞ , (capacitor é um circuito aberto)

iC1=0A

vC1=v1

R1R2⋅R2=7,5V

5.2.1 Modelo Thévenin e Norton

Conforme apresentado na secção anterior um modelo para capacitor carregado é obtido

pela associação série de um capacitor descarregado com uma fonte de tensão formando um

equivalente Thévenin. Naturalmente este modelo Thévenin pode ser transformado em um

modelo Norton equivalente como apresentado na próxima figura.



Para o equivalente Thévenin

v=1C

⋅∫ i⋅dtvs

i=C⋅d v−vs

dt=C⋅

dvdt

– C⋅dvsdt

Para o equivalente Norton

v=1C

⋅∫ iis⋅dt=1C

⋅∫ i⋅dt1C

⋅∫ is⋅dt

i=C⋅dvdt

−is

Desta forma, para que as equações de v e i sejam iguais nos dois modelos temos que

vs t =1C

⋅∫0

t

ist ' ⋅dt e

ist =C⋅dvsdt

Desta forma, caso estejamos fazendo a transformação de uma fonte que representa a

condição inicial do capacitor, vs deve ser representado como uma função degrau (caso

contrário is seria zero) e is por uma função impulso. Por outro lado, é importante notar que na

maioria das vezes que estivermos resolvendo circuitos com capacitores esta transformação e

estes equivalentes ficarão apenas na nossa mente. Circuitos com capacitores resultam em

equações diferenciais cuja solução naturalmente depende das condições inicias do problema.



Então, na maioria das vezes a condição inicial do capacitor (vs ou is) pode ser calculada

separadamente e usada apenas para a determinação da solução do problema e não para o seu

completo equacionamento.

5.3 Capacitor linear variável com o tempo

Se um capacitor é linear então sua característica a qualquer instante de tempo é uma

reta que passa pela origem. Se este capacitor, por outro lado, é variante, então a inclinação

desta reta varia com o tempo. Consequentemente a carga no instante de tempo t pode ser

expressa em termos da tensão neste instante tal que

q t =C t ⋅v t .

A equação com corrente envolve a derivada da equação anterior

i t =dqdt

.

Esta derivada deve ser realizada pela regra do produto tal que

i t =C t⋅dvdt

v t ⋅dCdt

Assim sendo um capacitor variante com o tempo pode resultar em um equacionamento

ainda mais complicado que para os resistores variantes.

Exemplo: Seja um capacitor C t =C0C1⋅cos 3⋅⋅t alimentado por uma fonte de

tensão v t =A⋅cos ⋅t , calcular a corrente que circula pelo capacitor.

i t =C t⋅dvdt

v t ⋅dCdt

i t =[C0C1⋅cos3⋅⋅t ]⋅[−A⋅sen ⋅t ⋅][−C1⋅sen 3⋅⋅t ⋅3⋅]⋅[A⋅cos ⋅t ]



5.4 Capacitor não linear

Capacitores não lineares têm sua carga como uma função não linear da tensão. Alguns

exemplos práticos de capacitores não lineares encontram-se nas junções semicondutoras de

diodos e transistores. Nestes elementos dois semicondutores são unidos formando uma

barreira de potencial e uma capacitância parasita (não desejada) Cj. Algumas componentes,

entretanto, tentam aumentar esta capacitância, como é o caso do diodo de sintonia ou varactor.

Este diodo apresenta capacitância de junção, polarizada reversamente como sendo

aproximadamente

C j=C j0

2⋅V 1

Transistores e alguns tipos de sensores também apresentam capacitâncias não lineares

cujas funções costumam ser bastante complexas. Para facilitar o trabalho de análise e projeto

muitas vezes estas funções são linearizadas em torno de um ponto de operação do elemento.

Este procedimento pressupõe um capacitor operando com tensão v1 , correspondente a uma

carga q1 , e mais uma pequena variação em torno deste ponto de polarização. Isto corresponde

a uma variação de tensão de ±v2 tal que a carga varie de ± q conforme mostrado na figura

abaixo. Esta situação é muito comum em circuitos que misturam tensões de polarização com

pequenas tensões de sinais externos e que devem ser processados.



Então

q≈q1dq v

dv ∣v1

⋅v2

i t =dqdt

i t =dqv

dv ∣v1

⋅dv2

dt

i t =C v1⋅dv2

dt,

ou seja o capacitor pode ser considerado linear para pequenos sinais. O procedimento

apresentado aqui pode ser utilizado para qualquer outro elemento não linear.

5.5 Energia acumulada no capacitor

A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. Num capacitor

a energia não é dissipada, mas armazenada na forma de campo elétrico. Assim sendo, a

energia armazenada em um capacitor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte.

w t 0, t =∫t 0

t

v t ' ⋅i t ' ⋅dt '

w t 0, t=∫q t0

q t

v q1⋅dq1 (área entre o eixo q e a curva)

w t =∫0

q t

v q1⋅dq1 .



Para um capacitor linear invariante

w t =∫0

q t q1

C⋅dq1

w t =12⋅

q2t

C

w t =12⋅C⋅v2

Um capacitor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a

zero. Assim um capacitor linear invariante é passivo se sua capacitância é não negativa e ativo

se sua capacitância é negativa.

5.6 Associação de capacitores

Capacitores ligados em série ou paralelo podem ser substituídos por um capacitor

equivalente tal que a relação entre v e i nos terminais da associação seja igual à relação entre v

e i no equivalente.



5.6.1 Associação série

Capacitores associados em série são percorridos pela mesma corrente e dividem a

tensão total da associação.

Pela LTK e LCK

v=vC1vC2

v=1C1

⋅∫ i t ⋅dt1

C 2

⋅∫ i t ⋅dt

v= 1C1

1

C2 ⋅∫ i t ⋅dt

v=1

C EQ

⋅∫ i t ⋅dt

onde 1

C EQ

= 1C1

1

C2 .

Genericamente 1

C EQ

=∑ 1Cn

5.6.2 Associação paralela

Na associação paralela de capacitores todos estão sujeitos a mesma tensão e dividem a

corrente da associação.



Utilizando a LTK e a LCK

i=iC1iC2

i=C 1⋅dvdt

C 2⋅dvdt

i=C1C2⋅dvdt

i=C EQ⋅dvdt

onde C EQ=C1C2

Genericamente C EQ=∑C n

5.6.3 Redistribuição de cargas

Suponha que dois capacitores C1 e C2 de 1F carregados com 10 e 5V

respectivamente sejam conectados em paralelo. Qual a tensão resultante sobre o capacitor

equivalente? Este é um problema interessante que merece ser analisado em separado. Neste

caso, não é possível utilizar a conservação da energia antes e depois da ligação para prever

a tensão final sobre os capacitores! Isto ocorre porque uma corrente impulsiva recarrega os

capacitores e esta função apresenta todas as frequências. Sendo assim, as leis de Kirchhoff não

se aplicam, pois o circuito deixa de ter parâmetros concentrados. Apesar disto, a conservação

de carga ocorre e é possível utilizá-la para resolver o problema.



QTOT=Q1Q2

QTOT=C1⋅V 1C2⋅V 2

QTOT=C EQ⋅V FINAL

C EQ=C1C 2 (capacitores em paralelo)

V FINAL=C1⋅V 1C2⋅V 2

C1C2

Calcule a carga total armazenada no problema acima. Confira se as tensões nos dois

capacitores ficou igual após a redistribuição de cargas. Calcule a energia total antes e depois

da redistribuição. Para onde foi o resto da energia?

Uma outra abordagem emprega apenas o equacionamento das correntes e das tensões

em cada capacitor. Esta abordagem pode ser utilizada sempre, mesmo se a malha apresenta

mais do que dois capacitores ou apresenta fontes de tensão. No nosso exemplo a equação da

malha seria

−vC 1(0–)+1C1

∫ i⋅dt+vC 2(0–)+1C2

∫ i⋅dt=0

∫ i⋅dt=vC 1(0

–)– vC 2(0–)

1C1

+1C2

⋅u(t )

derivando a equação anterior temos que

i(t)=C1⋅C2C1+C2

⋅[vC 1(0–)−vC 2(0

–)]⋅δ(t)



Desta forma a tensão em cada capacitor será

vC 1(0+)=

1C1

⋅∫−i⋅dt+vC 1(0–)=−

C 2

C1+C 2

⋅[vC 1(0–)−vC 2(0–

)]⋅u( t)+vC 1(0–) e

vC 2(0+)=

1C2

⋅∫ i⋅dt+vC 2(0–)=

C1

C1+C 2

⋅[vC 1(0–)−vC 2(0–

)]⋅u( t)+vC 2(0–) .

5.7 Indutores

Indutores são elementos armazenadores de energia na forma de campo magnético. O

símbolo do indutor é apresentado na figura abaixo. Algumas vezes o símbolo do indutor

apresenta alguma marcação como um círculo próximo a um de seus terminais ou vem

acompanhado de outro indutor. Estes símbolos representam indutores acoplados que serão

estudados separadamente em outros capítulos.



O indutor é formado por um fio enrolado de tal forma a concentrar o campo magnético

produzido quando o condutor é percorrido por corrente elétrica. O resultado é que a corrente

que percorre o indutor torna-se dependente do fluxo magnético gerado. A característica de

indutância é dada pela razão entre o enlace de fluxo magnético e a corrente

L=t i t

onde é o enlace de fluxo magnético (Weber – Wb), L é indutância (Henry – H).

O enlace de fluxo é determinado pelo produto entre o fluxo magnético (Weber) e o

número de espiras da bobina que forma o indutor.

5.8 Indutor linear e invariante

O indutor linear e invariante apresenta a seguinte característica

t =L⋅i t .

Pela lei da indução de Faraday temos que

v t =d

dt.

Esta lei, associada aos sentidos estabelecidos para corrente e tensão estão em acordo

com a lei de Lenz que estabelece que a força eletromotriz induzida por uma variação de fluxo

tem polaridade tal que se opõe à causa desta variação. Supondo que a derivada da corrente

aumente, então a derivada do fluxo e a tensão sobre o indutor também aumentarão. Neste caso

a polaridade da tensão é tal que tende a impedir novos aumentos da corrente.

Utilizando as duas relações acima é possível determinar uma forma mais útil para

caracterizar o indutor em termos de tensão e corrente em seus terminais.

v t =L⋅di t

dt (uma relação linear)



ou

i t =1L⋅∫

0

t

v t ' ⋅dt 'i 0 (uma relação linear apenas se i 0=0 )

Assim como ocorre com o capacitor o indutor também só pode ser perfeitamente

caracterizado se conhecermos sua indutância L e sua condição inicial i 0 , ou seja, a corrente

que circulava por ele antes da análise começar. O indutor também só pode ser considerado

linear se a sua condição inicial for nula e caso não seja, pode ser modelado por um indutor

descarregado em paralelo com uma fonte de corrente, como mostrado na figura abaixo.

Observa-se que a corrente no indutor é obtida por uma integral e que a tensão é obtida

por uma derivada. Isto significa que a tensão no indutor pode mudar instantaneamente ao

passo que a corrente só pode mudar instantaneamente se a tensão sobre o indutor assumir

valores infinitos (função impulso). Alguns autores denominam este efeito de inércia de

corrente. Também resulta, desta observação, que em circuitos de corrente contínua ou

pulsados o indutor se comporta como um circuito aberto para transições rápidas (degraus e

impulsos) e como um curto circuito para corrente contínua (quando não há mais variações de

tensão ou corrente). Entre o chaveamento e o estabelecimento de uma corrente contínua

constante há um período transitório onde o indutor se carrega e não pode ser considerado

como nenhuma das situações acima.

As mesmas conclusões podem ser obtidas se considerarmos que iL( t)=A⋅cos(ω⋅t) .

Neste caso v L(t)=−A⋅ω⋅sen(ω⋅t) . Destas expressões é possível observar que para corrente

contínua ( ω=0 ) não há tensão sobre o indutor (o indutor é equivalente a um curto circuito),

mas se a frequência for infinita ( ω=∞ ) a tensão sobre ele será infinita (o indutor é



equivalente a um circuito aberto). Estas analogias servem apenas para os capacitores

descarregados.

Exemplo: Calcular as tensões e correntes no indutor para t=0+ e t=∞ .

Para t=0+

v L1=v1=10V

iL1=0A

Para t=∞

v L1=0V

iL1=v1R1

=10A

5.8.1 Modelo de Thévenin e Norton

O modelo que representa o indutor carregado, apresentado acima, é semelhante ao

modelo de Norton o que significa que ele também poderia ser representado por um modelo

Thévenin equivalente. Os dois modelos estão apresentados na figura abaixo



Para que ambos os modelos sejam equivalentes é necessário que

vs t =L⋅dist

dt e

ist =1L⋅∫

0

t

vs t ' ⋅dt '

Observe que aqui também é necessário considerar is como um degrau de corrente e vs

como uma função impulso, caso a transformação diga respeito a condição inicial do indutor.

5.9 Indutor variável com o tempo

O indutor linear variante com o tempo tem como característica uma reta passando pela

origem mas sua inclinação muda a cada instante de tempo. O fluxo é expresso em função da

corrente

φ(t)=L(t)⋅i( t)

e como

v (t)=d φ

dt

v t =Lt ⋅didt

it ⋅dLdt

5.10 Indutor não linear

Muitos indutores físicos têm característica não linear. Somente para uma pequena

faixa de valores de corrente, em torno da origem, o indutor costuma ser linear. Para correntes

de valor mais elevado o fluxo satura (apresenta pouca variação para uma mesma variação de

corrente), principalmente em núcleos ferromagnéticos. Um dos efeitos não lineares mais

comuns se chama histerese e é apresentada no gráfico da figura a seguir. Quando a corrente

aumenta o fluxo aumenta por uma curva 1 porém quando a corrente diminui o fluxo



diminui por uma curva 2 diferente da primeira. Este comportamento é ilustrado na próxima

figura.

Para o caso típico do indutor com fluxo =tanh i excitado por uma corrente

i t =A⋅cos ⋅t a tensão sobre o indutor pode ser obtido como segue. Como

t =tanh [A⋅cos ⋅t ]

e, como

v t =d

dt,

então

v t =d

di⋅

didt

.

Assim

v t =d [ tanh i ]

dt⋅

d [ A⋅cos ⋅t ]dt

v t =1

cosh 2[ A⋅cos ⋅t ]

⋅[−A⋅⋅sen ⋅t ]



5.11 Energia armazenada no indutor

A energia pode ser obtida pela integral da potência ao longo do tempo. O indutor, da

mesma forma que o capacitor, é capaz de armazenar energia ao invés de dissipá-la. Esta

energia fica armazenada no campo magnético criado no entorno do indutor. Assim sendo, a

energia armazenada em um indutor é igual a energia fornecida a ele por uma fonte.

w t 0, t =∫t 0

t

v t ' ⋅i t ' ⋅dt '

w t 0, t =∫t0

t

i 1⋅d 1 (área entre o eixo e a curva)

w t =∫0

t

i 1⋅d 1

Para um indutor linear e invariante

w t =∫0

t 1

L⋅d 1

w t =12⋅

2t

L

w t =12⋅L⋅i2

t

A área entre as duas curvas 1 e 2 , no gráfico da histerese, representa perda de

energia gasta para magnetizar o indutor. Quando maior a curva de histerese maiores as perdas

no indutor. Um indutor passivo é aquele que apresenta energia armazenada maior ou igual a

zero. Assim um indutor linear invariante é passivo se sua indutância é não negativa e ativo se

sua indutância é negativa.



5.12 Associação de indutores

Indutores ligados em série ou em paralelo também podem ser substituídos por um

indutor equivalente do ponto de vista da tensão e da corrente nos terminais da associação.

5.12.1 Associação série

Uma associação série típica, mostrada na figura abaixo, tem a mesma corrente

passando por todos os indutores. A tensão total também é dividade sobre cada indutor.

Usando a LTK e LCK

v=vL1v L2

v L=L1⋅didt

L2⋅didt

v=L1L2⋅didt

v=LEQ⋅didt

onde

LEQ=L1L2 .

Genericamente LEQ=∑ Ln



5.12.2 Associação paralela

Na associação paralela a tensão sobre todos os indutores é a mesma e a corrente total é

dividida entre cada um dos indutores.

Usando a LCK e a LTK

i=iL1iL2

i=1L1

⋅∫ v t ⋅dt1L2

⋅∫ v t ⋅dt

i= 1L1

1L2 ⋅∫v t ⋅dt

i=1

LEQ

⋅∫v t ⋅dt

onde

1LEQ

=1L1

1L2

Genericamente 1

LEQ

=∑ 1Ln

5.12.3 Redistribuição de fluxo

De forma semelhante ao que ocorre com os capacitores, se dois indutores com

condições iniciais diferentes forem conectados em série haverá uma redistribuição instantânea

de fluxo magnético entre eles de modo que a corrente resultante seja a mesma para ambos os



indutores. Esta situação está ilustrada na sequência e, da mesma forma que para a

redistribuição de cargas nos capacitores, não pode ser calculada pela conservação da energia

no sistema.

TOT=12

TOT=L1⋅I 1L2⋅I 2

TOT=LEQ⋅I FINAL

LEQ=L1L2

I FINAL=L1⋅I 1L2⋅I 2

L1L2

Você consegue equacionar este circuito sem calcular o fluxo total?

5.13 Componentes reais

Os resistores, capacitores e indutores, conforme apresentados neste texto, não existem.

Aqui descrevemos modelos ideais de elementos reais. Na prática todos os condutores

apresentam resistência não nula e todos os isolantes apresentam resistência não infinita. Além

disto, todo caminho elétrico apresenta indutância, entre espiras de um indutor existe

capacitância, e alguns resistores são construídos a partir de elementos enrolados (indutivos).

Desta forma, todo elemento, seja ele um resistor, um capacitor ou um indutor, pode ser

modelado por um conjunto de elementos que incluem resistências, capacitâncias e

indutâncias.



Outros parâmetros importantes são a temperatura e a faixa de operação. A temperatura

costuma afetar todos os elementos, passivos e ativos sejam eles descritos aqui ou não. A faixa

de operação dos elementos (valores nominais de tensão, corrente, potência, temperatura,...)

também define se estão operando em condições normais e próximos da linearidade. A

potência máxima de operação e uma informação importante para definir o tamanho de

resistores reais, a tensão de operação de capacitores e a corrente de operação dos indutores

limita o uso destes elementos.

Para finalizar vale a pena salientar que na prática os valores de resistores variam desde

alguns Ohms até alguns mega Ohms, sendo os mais comuns aqueles no centro desta faixa

(centenas até dezenas de kilo Ohms). A faixa de valores para capacitores variam de alguns

pico Farads até alguns milhares de micro Farads sendo os valores mais comuns os de alguns

nano Farads. Para indutor é comum encontrar valores na faixa de alguns micro Henrys até

alguns Henrys sendo que os valores mais comuns situam-se na faixa de alguns mili ou micro

Henrys (em eletrônica).

5.14 Lei dos nós e das malhas para equacionar circuitos RLC

As leis de Kirchhoff são válidas para circuitos com capacitores, indutores e resistores

que incluam fontes dependentes ou não. Por esta razão as sistematizações apresentadas para a

LCK e LTK também são válidas.

No circuito a seguir equacionaremos as tensões nos nós, com objetivo de obter uma

equação para determinar a tensão sobre R2.

para o nó A (na fonte de corrente)



C⋅dv A

dt

v A

R1

1L⋅∫

0

t '

v A−v B⋅dtI 0= I1

para o nó B (no resistor R2)

1L⋅∫

0

t '

v B−vA⋅dt−I 0vB

R2

=0

a condição inicial do problema é

v A0=V 0

Com estas equações já temos o sistema de equações diferenciais que resolvem o

problema. Se a solução particular é a tensão sobre o resistor R2 então podemos obter esta

equação somando as duas equações

C⋅dv A

dt

v A

R1

vB

R2

=I1

e a tensão vA pode ser obtida derivando a segunda equação duas vezes

1L⋅v B−

1L⋅v A

1R2

⋅dvB

dt=0

assim

v A=vBLR2

⋅dv B

dt

dv A

dt=

dv B

dt

LR2

⋅d 2 vB

dt2

substituindo vA temos

L⋅C⋅d 2 vB

dt 2 R2⋅CLR1 ⋅

dvB

dt1 R2

R1 ⋅vB=R2⋅I1

as condições iniciais são



v A0=V 0=R2⋅I 0

e

dvB 0

dt=

R2

L⋅[v A0−vB 0]=

R2

L⋅[V 0−R2⋅I 0 ]

O método de análise de malhas também pode ser utilizado. Neste caso a fonte de

corrente em paralela com um resistor pode ser substituída pelo seu equivalente Thevenin.

para a primeira malha

R1⋅i1V 01C

⋅∫0

t

i1−i2⋅dt ' =V1

para a segunda malha

L⋅diL2

dtR2⋅i2−V 0

1C⋅∫

0

t

i2−i 1⋅dt '=0

a condição inicial do problema é

i20=I 0

As equações acima garantem o sistema capaz de resolver o problema. Se estivermos

interessados em uma resposta particular como a tensão sobre R2 então podemos manipular as

equações para obter a resposta desejada. Para isso podemos somar as duas equações acima

R1⋅i1L⋅di2

dtR2⋅i 2=V1



i1=−LR1

⋅di 2

dt−

R2

R1

⋅i2V1R1

Derivando a segunda equação obtemos

L⋅d 2i 2

dt2 R2⋅di2

dt

i2

C−

i1

C=0

e substituindo i1

L⋅C⋅d 2 i2

dt 2 R2⋅CLR1 ⋅

di2

dt1

R2

R1 ⋅i2=V1R1

i20=I 0

di2 0

dt=

1L⋅V 0−R2⋅I 0

L⋅C⋅d 2 v2

dt2 R2⋅CLR1 ⋅

dv2

dt1

R2

R1 ⋅v2=R2⋅I1

v20=R2⋅I 0

dv20

dt=

R2

L⋅V 0 – R2⋅I 0

5.15 Considerações sobre condições iniciais

No exemplo resolvido pelos métodos das tensões de nós e correntes de malha as

condições iniciais do capacitor e do indutor foram consideradas constantes, como na maioria

dos livros de circuitos. Este procedimento utiliza as equações básicas do capacitor e do

indutor conforme foram apresentadas no início deste capítulo. O mesmo problema poderia ter

sido resolvido substituindo o capacitor e o indutor carregado pelos respectivos circuitos

equivalentes. Neste caso a corrente I 0 e a tensão V 0 apareceriam multiplicados pela função

degrau e ao serem derivadas se tornariam funções impulsivas. Com este procedimento todas

as fontes deveriam ser multiplicada por funções u(t). Normalmente, em circuitos, estuda-se



redes de primeira e segunda ordem com excitação polinomial (impulso ou degrau),

exponencial ou senoidal cuja solução é obtida pelo método dos coeficientes a determinar para

t>0. Nestes casos não há necessidade de considerar I 0 e V 0 multiplicando a função degrau.

Cuidado para não misturar dois métodos diferentes de análise!

5.16 Exercícios

Os exercícios deste módulo tratam da determinação de condições especiais como

condições iniciais dos capacitores ou indutores e seus valores para infinito. Esta habilidade,

ora treinada indiscriminadamente, será importante para a solução dos problemas apresentados

nos módulos subsequentes. Apesar disto, nem todas as informações calculadas nestes

problemas serão utilizadas na solução das equações diferenciais dos módulos 6 e 7. Assim,

quando for resolver problemas dos módulos 6 e 7 deixe para calcular as condições especiais

apenas depois de ter as equações diferenciais. Isto ajuda a diminuir a quantidade de cálculo.

1) Os circuitos das figuras abaixo estão operando em regime permanente, quando em

t=0s, a chave S1 fecha ou troca de posição. Determinar as correntes e tensões nos capacitores

e indutores para os instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para

tempo infinito: iL(0–), iL(0+), iL(), iC(0–), iC(0+), iC(), vC(0–), vC(0+), vC(), vL(0–), vL(0+),

vL(), diL(0–)/dt, diL(0+)/dt, dvC(0–)/dt, dvC(0+)/dt.

a) Considere I S1t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.

b) Considere I 1t uma fonte constante e independente.



c) Considere V 1t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.

d) V 1t é uma fonte constante e independente.

e) V 1t é uma fonte constante e independente

f) V1t =ut

g) V1t =ut



h) Considere que V 1t é uma fonte constante e independente e que as chaves S1 e S2

trocam de posição simultaneamente calcule vL(0+) (atenção com as correntes impulsivas e a

redistribuição de cargas nos capacitores)

2) Determine iL1(), iL1(0+), vC(), vC(0+). Escreva as equações diferenciais para iL1(t) e

vC(t).

3) Para o circuito abaixo determine vC(0–), vC(0+), iC(0–), iC(0+), vC(), iC().



4) Supondo v1(t) e i1(t) fontes independentes e iguais a um degrau unitário de tensão e

corrente respectivamente, determine a tensão sobre a fonte i1(t) e as expressões para vL2(t) e

iv(t).

5) Escreva a equação diferencial de vo(t). Considere que o amplificador operacional é

ideal.

6) Escreva a equação diferencial para a determinação de v2(t) em função de v1(t).

Considere que o amplificador operacional é ideal.



7) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tensões e

correntes são constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posição. Calcule iL1(0–), iL1(0+),

iC1(0–), iC1(0+), iL1(), iC1(), vC1(0–), vC1(0+), vC1(), vL1(0–), vL1(0+), vL1(), diL1(0–)/dt,

diL1(0+)/dt, dvC1(0–)/dt, dvC1(0+)/dt. Determine a equação diferencial para obtenção de vc(t).

8) Para t=0– o circuito abaixo esta em regime permanente. Determinar as correntes e

tensões nos capacitores e indutores para t=0– , t=0+ e t=∞ . As fontes V2 e V3 são

impulsivas ( d t =t ).



5.17 Soluções

1) Os circuitos das figuras abaixo estão operando em regime permanente, quando em

t=0s, a chave S1 fecha ou troca de posição. Determinar as correntes e tensões nos capacitores

e indutores para os instantes imediatamente antes e depois do fechamento da chave e para

tempo infinito: iL(0–), iL(0+), iL(), iC(0–), iC(0+), iC(), vC(0–), vC(0+), vC(), vL(0–), vL(0+),

vL(), diL(0–)/dt, diL(0+)/dt, dvC(0–)/dt, dvC(0+)/dt.

a) Considere I S1t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.

Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita:

vC1 0-=0V , iC10

-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+=vC10

- , iC10

+=

Is1G1G 1

⋅G 1 , dvC10

+

dt=

iC10+

C 1

vC1 ∞=Is1⋅R1 , iC1∞=0A

b) Considere I 1t uma fonte constante e independente.


iL10-=

I1G1G2

⋅G2 , v L10-=0V ,

diL10-

dt=

v L10-

L1



iL10+=

I1G1G 2

⋅G2 , v L10+= I1⋅R1 ,

diL10+

dt=

vL1 0+

L1

iL1∞=I1 , v L1∞=0V .

c) Considere V 1t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado.


iL10-=

V1R1

, v L10-=0V ,

diL10-

dt=

v L10-

L1

iL10+=

V1R1

, v L10+=V1 ,

diL10+

dt=

vL1 0+

L1

iL1∞=V1R1

, v L1∞=0V .

vC1 0-=0V , iC10-

=0A , dvC10

+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+=0V , iC10+ =

V1R1

, dvC10

+

dt=

iC10+

C 1

vC1 ∞=V1 , iC1∞=0A .

d) V 1t é uma fonte constante e independente.



Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:

iL10-=

V1R1

, v L10-=0V ,

diL10-

dt=

v L10-

L1

iL10+=

V1R1

, v L10+=0V ,

diL10+

dt=

vL1 0+

L1

iL1∞=V1R1

, v L1∞=0V .

vC1 0-=V1 , iC10

-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+=V1 , iC10+

=−V1R2

, dvC10

+

dt=

iC10+

C 1

vC1 ∞=0V , iC1∞=0A .

e) V 1t é uma fonte constante e independente

Fazendo um Thévenin sem incluir C1 nem o ramo de R2.

Em circuito aberto: vCA=v2=−R3⋅i1=−R3⋅V1−2⋅v2

R1

, logo vCA=−R3⋅V1

R12⋅R3



Em curto circuito: iCC=I =i1=V1−2⋅v 2

R1

=V1R1

.

V TH=vCA , RTH=−vCA

I CC

vC1 0-=V TH , iC10

-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+=V TH , iC10+

=−V TH

R2

, dvC10

+

dt=

iC10+

C 1

vC1 ∞=V TH

RTHR2

⋅R2 , iC1∞=0A .

f) V1t =ut

Como Vot =vC1t , iC1 será determinado da direita para a esquerda.

vC1 0-=0V , iC10-

=0A , dvC10

+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+=0V , iC10

+=−i R2=−

V1R2

, dvC10

+

dt=

iC10+

C 1

vC1 ∞=−V1R2

⋅R1 , iC1∞=0A .



g) V1t =ut

vC1 0-=0V , iC10-

=0A , dvC10

+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+=0V , iC10+

=V1R1

, dvC10

+

dt=

iC10+

C 1

vC1 ∞=V1 , iC1∞=0A .

h) Considere que V 1t é uma fonte constante e independente e que as chaves S1 e S2

trocam de posição simultaneamente calcule vL(0+) (atenção com as correntes impulsivas e a

redistribuição de cargas nos capacitores)

Solução:

V C1 0–=V 1

V C2 0–=

V 1

R3R1

⋅R3



I L 0–=

V 1

R3R1

Após a troca de posição das chaves

V C1(0+)=I L(0

–)⋅R1+V L (0

+)

V L(0+)=V C1(0

+)−I L(0

+)⋅R1

V C1(0+)≠V C1(0

–) pois

V 10+=V C1 0

+V C2 0

+ (1)

Há uma redistribuição de carga nos capacitores. Isso ocorre com a circulação de uma

corrente impulsiva pela malha da equação (1). A corrente da malha é IC, tal que

I C=C 1⋅d [V C1 0

–−V C10

+]⋅u t

dt=C 2⋅

d [V C2 0–−V C2 0

+]⋅u t

dt

I C=C1⋅[V C10–⋅t −V C10

+⋅t ]=C2⋅[V C2 0

–⋅ t −V C2 0

+⋅t ]

C1⋅[V C10–−V C1 0

+]=C2⋅[V C20–

−V C20+]

V 10+=V C1 0

+V C2 0

+

V C2 0+=V 10

+−V C10

+

C1⋅[V C10–−V C1 0

+]=C2⋅[V C20–

−V 1V C1 0+]

−(C1+C2)⋅V C1(0+)=C2⋅V C2(0

–)−C1⋅V C1(0

–)−C 2⋅V 1

V C1 0+ =

−C 2⋅V C2 0–C1⋅V C10

–C 2⋅V 1

C1C2

Substituindo os valores de V C2 e V C1 em 0–



V C1 0+=

−C2⋅V 1⋅R3

R3R1C1⋅V 1C 2⋅V 1

C1C 2

V C1 0+=

C1⋅R3R1⋅V 1C 2⋅R1⋅V 1

R3R1⋅C 1C 2

−V L 0+=−V C10

+V R10

+

−V L 0+=

−C1⋅R3R1⋅V 1 –C 2⋅R1⋅V 1

R3R1⋅C1C 2

C1C 2⋅R1⋅V 1

R3R1⋅C1C 2

V L 0+=

C1⋅R3⋅V 1

R3R1⋅C1C2

2) Determine iL1(), iL1(0+), vC(), vC(0+). Escreva as equações diferenciais para iL1(t) e

vC(t).

Este são dois circuitos paralelos independentes: 1) I1, L1, R1; 2) I1, C2, R2.

3) Para o circuito abaixo determine vC(0–), vC(0+), iC(0–), iC(0+), vC(), iC().



Calculando o Thévenin do circuito sem o capacitor:

RTH= R1R2 // R3 onde // indica “em paralelo com”

V TH t =I1− I2

G1GSERIE

⋅GSERIE⋅R3

onde G SERIE=G 2⋅G3

G 2G3

vC 0-=V TH 0-

, iC 0-=0A

vC 0+=V TH 0-

, iC 0+ =V TH 0+

−V TH 0 -

RTH

vC ∞=V TH 0+ , iC ∞=0A .

4) Supondo v1(t) e i1(t) fontes independentes e iguais a um degrau unitário de tensão e

corrente respectivamente, determine a tensão sobre a fonte i1(t) e as expressões para vL2(t) e

iv(t).

v L2=L2⋅ t

v i1−v1vL2v R2=0

v i1=u t −L2⋅ t – i1⋅R2



iv – i1 – iL1−iC1=0

iv=i11L⋅∫u t ⋅dtC⋅ t

5) Escreva a equação diferencial de vo(t). Considere que o amplificador operacional é

ideal.

C1⋅dvo t

dt

vot R1

=V1R2

6) Escreva a equação diferencial para a determinação de v2(t) em função de v1(t).

Considere que o amplificador operacional é ideal.

C1⋅dv2t

dt

v2 t R1

=V1R1

⋅R2

R3

17) Na figura abaixo o circuito se apresenta em regime permanente (todas as tensões e

correntes são constantes) quando, em t=0 a chave S1 troca de posição. Calcule iL1(0–), iL1(0+),



iC1(0–), iC1(0+), iL1(), iC1(), vC1(0–), vC1(0+), vC1(), vL1(0–), vL1(0+), vL1(), diL1(0–)/dt,

diL1(0+)/dt, dvC1(0–)/dt, dvC1(0+)/dt. Determine a equação diferencial para obtenção de vc(t).

Considerando a corrente fluindo da esquerda para a direita e de cima para baixo:

iL10-=

V2R1R2

, v L10-=0V ,

diL10-

dt=

v L10-

L1

iL10+=

V2R1R2

, v L10+=0V ,

diL10+

dt=

vL1 0+

L1

iL1∞=V1

R1R2, v L1∞=0V .

vC1 0-=

V2R1R2

⋅R2 , iC10-=0A ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 0+=

V2R1R2

⋅R2 , iC10+ =V1−vC1 0

+

R1

−iL1 0+ ,

dvC10+

dt=

iC10+

C 1

vC1 ∞=V1

R1R2

⋅R2 , iC1∞=0A .

8) Para t=0– o circuito abaixo esta em regime permanente. Determinar as correntes e

tensões nos capacitores e indutores para t=0– , t=0+ e t=∞ . As fontes V2 e V3 são

impulsivas ( d t =t ).



Solução: Por superposição:

Fonte V1

iL 0–=

V 1

R2

=2

0,5=4A

vC1 0–=vC20

–=V 1=2V

Fontes impulsivas (considerando estado zero)

V2

5delta

V3

10delta

R21/2ohm

i*(t)

V2

5delta

V3

10delta

R21/2ohm

i*(t)i*(t)

i R20=V 3

R2

=10⋅t

0,5=20⋅t

vCEQ 0=1

CEQ

⋅∫ iR2t ⋅dt=1

C1C2

⋅∫ 20⋅t ⋅dt=15⋅20⋅u t =4⋅ut V

vC1 0=vC20 =vCEQ 0=4⋅u t V



iC1 0=C1⋅dvC

dt=3⋅4⋅t =12⋅t

iC2 0=C2⋅dvC

dt=2⋅4⋅t =8⋅t

v L 0=V 2=5⋅ t

iL 0=1L⋅∫ vL t ⋅dt=

15⋅5⋅ut =1⋅u t A

As condições iniciais totais podem ser obtidas pela soma das condições iniciais

parciais.

iL 0+=i 0–

i 0=41=5⋅u t A

vC1 0+=vC10

–vC1 0=24=6⋅ut V

vC2 0+=vC2 0

–vC20=24=6⋅u t V

Estas condições iniciais, entretanto, geram um problema. O somatório das tensões na

malha formada pelos capacitores e as fontes V4 e V5 não é nula. Isto implica,

obrigatoriamente, em uma redistribuição de cargas nos capacitores.

A corrente impulsiva que percorre esta malha é

C EQ=C 1⋅C2

C1C2

=65

F

i=C EQ⋅dvdt

=C EQ⋅d [V 4V 5vC2−vC1⋅u t ]

dt=

65⋅10⋅t =12⋅ t

Assim as tensões sobre cada capacitor são

vC10=1C1

⋅∫ i⋅dtvC1 0–=

13⋅12⋅ut 6⋅u t =10⋅u t



vC2 0=1

C2

⋅∫ i⋅dt – vC20–=

12⋅12⋅u t −6⋅u t =0⋅ut



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