universidade federal do ceara´ centro de .universidade estadual do cear´a (uece) ... agradec¸o

Download UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´ CENTRO DE .Universidade Estadual do Cear´a (UECE) ... Agradec¸o

Post on 13-Dec-2018

213 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARACENTRO DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAPROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

EM REDE NACIONAL

DIEGO CUNHA NERY

CONJUNTOS CONVEXOS E SUAS APLICACOES NOENSINO MEDIO

FORTALEZA2013

2

DIEGO CUNHA NERY

CONJUNTOS CONVEXOS E SUAS APLICACOES NOENSINO MEDIO

Dissertacao de Mestrado apresentada aoPrograma de Pos-Graduacao em Matematicaem Rede Nacional, do Departamento deMatematica da Universidade Federal doCeara, como requisito parcial para obtencaodo grau de Mestre em Matematica. Area deconcentracao: Ensino de Matematica.

Orientador:Prof. Dr. Marcelo Ferreira de Melo.

FORTALEZA2013

Dados Internacionais de Catalogacao na PublicacaoUniversidade Federal do Ceara

Biblioteca do Curso de Matematica

N369c Nery, Diego CunhaConjuntos convexos e suas aplicacoes no ensino medio - 2013.

37 f. : enc. ; 31 cm

Dissertacao(mestrado) - Universidade Federal do Ceara, Centro de Ciencias,Departamento de Matematica, Programa de Pos-Graduacao em Matematica emRede Nacional, Fortaleza, 2013.Area de concentracao: Ensino de Matematica.Orientacao: Prof. Dr. Marcelo Ferreira de Melo.

1. Conjuntos convexos. 2. Algebra linear. I. Ttulo.

CDD 516.08

DIEGO CUNHA NERY

CONJUNTOS CONVEXOS E SUAS APLICACOES NO ENSINO MEDIO

Dissertacao de Mestrado apresentada aoPrograma de Pos-Graduacao em Matematicaem Rede Nacional, do Departamento deMatematica da Universidade Federal doCeara, como requisito parcial para obtencaodo ttulo de Mestre em Matematica. Area deconcentracao: Ensino de Matematica

Aprovada em 23/03/2013

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Marcelo Ferreira de Melo (Orientador)Universidade Federal do Ceara (UFC)

Prof. Dr. Marcos Ferreira de MeloUniversidade Federal do Ceara (UFC)

Prof. Dr. Joao Montenegro de MirandaUniversidade Estadual do Ceara (UECE)

Dedico a minha avo Braulia Costa Flores.

AGRADECIMENTOS

Agradeco primeiramente a Deus por me guiar nessa longa jornada da vida.

Agradeco aos meus pais, Antonio Ribeiro Nery e Maria Aparecida da Cunha Nery por todoapoio que me deram durante minha vida.

Agradeco ao meu irmao Raimundo Antonio Cunha Nery e as minhas irmas Eridan Cunha Nerye Dalila Cunha Nery por sempre acreditarem em mim.

Agradeco a todos os professores que contribuiram para que eu chegasse onde eu cheguei.

Agradeco ao meu orientador Marcelo Melo, pelo excelente trabalho de orientacao que propor-cionou a realizacao dessa dissertacao de mestrado.

Agradeco aos professores Marcos Melo, Afonso, Roberio, Othon, Fabio e Cleon por conta doexcelente trabalho durante esses dois anos de PROFMAT.

Agradeco aos 29 colegas do PROFMAT, em especial para os amigos Franze, Fernando, Ricardo,Thiago, Diego, Eduvanio e Rafael pelo companheirismo nesses dois anos de mestrado.

Agradeco a CAPES pelo apoio financeiro.

O temor do Senhor e o princpio do conhe-cimento; mas os insensatos desprezam a sa-bedoria e a instrucao.

Proverbios 1:7

RESUMO

Neste trabalho, consideramos o conceito de segmento de reta como uma introducao ao con-ceito de conjunto convexo e suas aplicacoes no R2 e R3, conceito esse reforcado com a provado baricentro do triangulo. Calculamos a relacao de posicao entre um ponto e um segmentode reta. Definimos o conceito de cone e mostramos os diferentes tipos de cone com algunsexemplos. Definimos a envoltoria convexa no plano e no espaco podendo assim estabelecer arelacao entre um ponto e um triangulo e a relacao entre um ponto e um tetraedro. Apresentamoso conceito de hiperplano e finalizamos relacionando a convexidade com a simetria.

ABSTRACT

In this paper, we consider the concept of line segment as an introduction to the concept of convexset and its applications, this concept reinforced by the evidence of centroid of the triangle. Wecalculate the relative position between a point and a line segment. We define the cone conceptand show the different types of cone with some examples. We define the convex envelope inthe plane and in space can then estabilish the relationship between a point and a triangle andthe relationship between a point and a tetrahedron. Introducing the concept of hyperplane andfinished relating the convexity with symmetry.

Sumario

Introducao 7

1 Conjuntos Convexos 111.1 Segmento de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 A convexidade no R2 e R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Envoltoria Convexa 192.1 Combinacao Convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 A envoltoria convexa no R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 A envoltoria convexa no R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Sistemas Lineares 273.1 Hiperplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Simetria e convexidade 31

Referencias 34

8 SUMARIO

INTRODUCAO

A introducao de conceitos de Algebra Linear e Geometria Analtica no ensino medio tem sidopouco aproveitada, tendo-se em vista que e uma area muito rica e que, se usada da maneiracorreta, e uma excelente ferramenta para o aluno compreender melhor determinados assuntosde Algebra e Geometria Analtica.

No ensino medio atualmente nao e abordado o conceito de que todo ponto pertencente a umsegmento de reta pode ser escrito como uma combinacao convexa dos extremos do segmento.E esse conceito e de suma importancia para que se possa calcular a localizacao de pontos emum segmento dadas as suas proporcoes.

O conceito de conjunto convexo e visto no ensino medio de forma superficial, onde apenasa parte geometrica e abordada. E sabemos que convexidade e muito mais abrangente do queapenas uma mera comparacao entre conjunto convexo e conjunto nao-convexo. Como no ensinomedio nao e trabalhado o Rn, nesse TCC apenas sao utilizados o R2 e o R3, ou seja, explorandoretas, planos, semiplanos e figuras espaciais.

A envoltoria convexa e uma importante ferramenta para podermos relacionar um ponto eum triangulo, e relacionar um tetraedro e um ponto, enriquecendo assim o aprendizado do alunoajudando o mesmo a entender melhor a Geometria Analtica no plano e no espaco oferecendoassim mais subsdios ao entendimento de Algebra e Geometria.

Desde o seculo I A.C., quando os chineses deram os primeiros passos no estudo de sistemaslineares ate hoje, o avanco nesse campo de estudo vem sendo bastante utilizado em muitosramos do ensino. Praticamente todo o trabalho utiliza o assunto de sistemas lineares em suaresolucao, fato que mostra a importancia dessa area na matematica. Dentre esses assuntos, oconceito de hiperplano vem a colaborar com o aprendizado de Algebra Linear e GeometriaAnaltica.

9

10 SUMARIO

Captulo 1

Conjuntos Convexos

1.1 Segmento de retaSejam E um espaco vetorial e u, v E. O segmento de reta de extremidades u, v e o conjunto

[u, v] = {(1 t)u+ tv; 0 t 1}.

De fato, dado um segmento de reta PQ, um ponto A PQ e t R, 0 t 1, temos que:PA = t

PQ

A P = t(Q P )A = tQ+ P tPA = (1 t)P + tQ

mostrando assim que todo ponto A PQ e localizado pela formula (1 t)P + tQ, para todot R, 0 t 1. Em particular, dado um segmento de reta com extremidades nos pontosA,B R2 onde A = (x1, y1), B = (x2, y2) qualquer ponto P AB e da forma

P = (x3, y3) = ((1 t)x1 + tx2, (1 t)y1 + ty2),

para todo 0 t 1.

Figura 1.1: Segmento de reta no R2

Proposicao 1.1 Dado um triangulo qualquer com vertices nos pontos A,B,C R2 e os pon-tos medios M ,N e P dos lados BC, AB e AC respectivamente, o ponto G em seu interior,interseccao das 3 medianas AM , CN e BP e dado por:

G =A+B + C

3

.

11

12 CAPITULO 1. CONJUNTOS CONVEXOS

Figura 1.2: Baricentro G do triangulo ABC

Prova. Sabemos que

M =B + C

2,

N =A+B

2e

P =A+ C

2

e pela definicao de segmento de reta temos que:

G = (1 t)A+ tM = (1 t)A+ t(B + C

2

)G = (1 t)B + tP = (1 t)B + t

(A+ C

2

)G = (1 t)C + tN = (1 t)C + t

(A+B

2

)

G = A tA+ tB2

+tC

2

G = B tB + tA2

+tC

2

G = C tC + tA2

+tB

2

3G = A+B + C tA tB tC + tA+ tB + tC

3G = A+B + C

G =A+B + C

3

Exemplo 1.1 Em um segmento de reta PQ R2 com extremidades em P = (2, 1) e Q =(6, 9) foram marcados os pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2) de tal modo que PA =

1

4PQ e

AB =2

3AQ. Determine as coordenadas do ponto B:

Resolucao. Primeiro devemos encontrar as coordenadas do ponto A.

A = (1 t)P + tQ, t R, 0 t 1

1.2. A CONVEXIDADE NO R2 E R3 13

(x1, y1) = (1 t)(2, 1) + t(6, 9), t =1

4

x1 = (11

4)(2) + 1

46 = 0

y1 = (11

4)1 +

1

49 = 3

A = (0, 3)

E finalmente encontramos as coordenadas do ponto B.

B = (1 t)A+ tQ, t R, 0 t 1

x2 = (12

3)0 +

2

36 = 4

y2 = (12

3)3 +

2

39 = 7

B = (4, 7)

Exemplo 1.2 Dado o segmento de reta AB R2, onde A = (1,7) e B = (6, 7), quaisdevem ser os valores de m e n para que os pontos C = (m,n) e D = (2m, 3) pertencam aosegmento de reta AB.

Resolucao. Se D pertence a AB, entao:

D = (1 t)A+ tB

(2m, 3) = (1 t)(1,7) + t(6, 7)

(1 t)(7) + t7 = 3 t = 57

(1 t)(1) +