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Universidade Federal do ABC Bases Epistemológicas da Ciência Moderna

Prof. Valter Alnis Bezerra

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Crédito da imagem: http://www.theresilientearth.com/?q=content/estimated-co2-warming-cut-65

Modelos em ciência

Bases Epistemológicas da Ciência Moderna — UFABC — Prof. Valter Alnis Bezerra 2

Parte IParte IParte IParte I

“Modelo” — Acepção 1 Modelo Modelo Modelo Modelo RepreseRepreseRepreseRepresentacionalntacionalntacionalntacional

Acepção mais corrente — Usada nas ciências naturais , puras ou aplicadas Modelo de um fenômeno ou de um domínio de fenômenos

Um modelo, neste sentido, é um construto teórico que visa descrever o comportamento de um sistema existente no mundo. O modelo se compõe de um conjunto de variáveis e um conjunto de relações entre essas variáveis. Neste registro, o termo “modelo” é usado no sentido de: (a) prototeoria , teoria preliminar ou parcialmente desenvolvida; (b) teoria simplificada, idealizada ou aproximada ; (c) que faz certas suposições restritivas ou que ignora provisoriamente algumas variáveis (seletividade ); (d) ou na qual a condição de coerência interna é relaxada.

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Exemplos de modelos representacionais:

• Modelo de condução de calor nos sólidos • Modelo de escoamento de fluidos, com ou sem turbulência • Modelo da supercondutividade • Modelo standard em física de partículas e campos • Modelo meteorológico numérico para previsão de tempo • Modelo de planetogênese em sistemas solares • Modelo de dinâmica de populações em ecologia (tipo predador-presa, e outros mais sofisticados) • Modelos do mecanismo de hipertensão arterial • Modelos para o surgimento de células cancerosas • Modelos de atividade coletiva dos neurônios para a descrição de processos cerebrais • Modelos em embriologia e morfogênese • Modelos epidemiológicos • Modelos de percepção visual ou auditiva • Modelo financeiro para o funcionamento do mercado de ações • Modelo de tributação e receita pública • Modelo de comportamento racional do consumidor (maximização da utilidade) • Modelo de alianças políticas e adesão do eleitorado • Modelo estatístico em sociologia, correlacionando grau de escolaridade, nível de informação

política, renda familiar e região geográfica. • Modelo de equilíbrio de Nash em jogos não-cooperativos

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Fonte da imagem na página anterior: Berkeley Center for Cosmological Physics

http://bccp.lbl.gov/Academy/workshop08/08%20PDFs/chart_2006_4.jpg

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Os modelos representacionais — Alguns sub-tipos:

(A) Modelos físicos e modelos tipo-réplica: Procuram reproduzir a geometria e as proporções do objeto de estudo original. • Maquete arquitetônica

• Modelo de uma represa, ponte, eclusa, etc • Modelo em escala para túnel de vento

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• Protótipo (fora da linha de produção), “carro-conceito”

O veículo experimental FEI-X-16.

Foto: V. A. Bezerra, SP, 2011

• Apartamento decorado aberto à visitação em um prédio à venda

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• Planetário, esfera armilar

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(B) Modelos icônicos: Procuram reproduzir certas relações simbólicas que são importantes para descrever o sistema. • Mapas

(Exemplos: compare: • planta de São Paulo + Grande ABC, • mapa do metrô + CPTM mantendo as

distâncias relativas entre estações, • mapa do metrô + CPTM sem escala

nenhuma, só ilustrando as relações de sucessão entre estações e as interligações entre linhas)

Problema da escolha de uma projeção.

• Carta náutica • Carta celeste • Curvas de nível

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• Diagrama de circuito elétrico (= também modelo estrutural)

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(C) Modelos estruturais: Procuram descrever as relações estruturais do objeto de estudo original (de forma matemática ou não). Exemplos: • Modelo de uma molécula em termos de bolinhas e palitos (= também tipo-réplica)

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• Modelo de Bohr-Sommerfeld do átomo (= também matemático)

Fonte: H. Semat, Fundamentals of Physics, 4a. ed.

• Modelos de Rutherford e Thomson do átomo • Modelo de Ising para transições de fase em materiais ferromagnéticos (= também matemático)

• Modelos aproximados em química quântica para macromoléculas (= também matemáticos)

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(D) Modelos analógicos: Procuram descrever um sistema em termos de outro sistema que seja mais simples de descrever. • Modelo de circuito elétrico em termos de fluidos em canos • Modelo hidrológico em termos de capacitores e resistências

Fonte: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/watcir2.html

• Modelo de Maxwell do eletromagnetismo em termos de fluidos em tubos

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ANALOGIA = Tradução ou similaridade formal entre teorias ou modelos que se referem a domínios distintos de fenômenos — com o objetivo de solucionar os problemas sobre os quais se sabe menos baseando-se naqueles sobre os quais já se conhece mais.

Fonte: V. A. Bezerra, http://www.uesc.br/eventos/ivseminariohfc/resumos/estruturas-conceituais-estrategiascognitivas.pdf

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(E) Modelos conceituais: Descrevem relações entre conceitos, ações, procedimentos, atitudes, valores, sintomas, influências, etc (alguns desses modelos podem vir a assumir forma matemática). • Modelo de Freud da histeria • Modelos de diagnóstico médico

Fonte: http://hcv.org.nz/wordpress/?p=162

http://www.hearthealthywomen.org/tests-

diagnosis/featured/pad-diagnosis-overview.html

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• Modelos de campanhas eleitoriais • Modelo de Lacan da “topologia da linguagem” • Fluxograma de um processo administrativo ou computacional

Acima: H.J. Schellnhuber, Nature 402 suppl. (1999) p. C21, baseado em Arthur Fisher, Mosaic 19 (1988), pp. 56-57.

http://www.aip.org/history/climate/xwiring-big.htm À direita: http://www.millermizeprecast.com/MMPIPPFDiagram.html

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(F) Modelos abstratos / matemáticos: Servem para fazer previsões quantitativas.

• Modelo de predador-presa em ecologia (Lotka-Volterra) • Modelos meteorológicos numéricos de previsão do tempo

Fonte: http://4029weather.files.wordpress.com/2011/01/model3.jpg

• Modelo padrão em física de partículas (= também estrutural) • Regressão quadrática • Programação linear

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Exemplo: O modelo atômico de Bohr-Sommerfeld (1913-.. .)

Niels Bohr (1885-1962)

Emilio Segrè Visual Archives American Institute of Physics

Arnold Sommerfeld (1868-1951) Emilio Segrè Visual Archives American Institute of Physics

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Fatos experimentais conhecidos na época: As fórmulas empíricas para as séries espectrais. Para a série de Balmer, por exemplo, vale: ν = Rc(1/4 – 1/n²), onde R é a constante de Rydberg (valor atualmente conhecido R = 10967757,6 ± 1,2 m-1).

Exemplo: a série espectral de Lyman.

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O modelo de Bohr — Seus postulados:

Postulado Zero: (L0) Os sistemas atômicos são análogos a sistemas planetários. (Na verdade, a expressão “sistemas saturnianos” já havia sido empregada por H. Nagaoka em 1903-1904.) Postulados originais de Bohr: «(L1) A energia irradiada não é emitida (ou absorvida) da maneira contínua admitida pela eletrodinâmica clássica, mas apenas durante a passagem dos sistemas de um estado “estacionário” para outro diferente. (L2) O equilíbrio dinâmico dos sistemas nos estados estacionários é governado pelas leis da mecânica clássica, não se verificando estas leis nas transições dos sistemas entre diferentes estados estacionários. (L3) É homogênea a radiação emitida durante a transição do sistema de um estado estacionário para outro, e a relação entre a freqüência ν e a quantidade total de energia emitida é dada por E = hν, sendo h a constante de Planck. (L4) Os diferentes estados estacionários de um sistema simples constituído por um elétron que gira ao redor de um núcleo positivo são determinados pela condição de ser igual a um múltiplo inteiro de h/2 a razão entre a energia total emitida durante a formação da configuração e a freqüência de revolução do elétron. Admitindo que a órbita do elétron seja circular, essa hipótese equivale a supor que o momento angular do elétron em torno do núcleo seja igual a um múltiplo inteiro de h/2π. (L5) O estado “permanente” de um sistema atômico — isto é, o estado no qual a energia emitida é máxima — é determinado pela condição de ser igual a h/2π o momento angular de cada elétron em torno do centro da sua órbita.»

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[Para os postulados L1—L5, ver N. Bohr, Sobre a constituição de átomos e moléculas (Lisboa: Gulbenkian, s/d), pp. 195-196 — Obra originalmente publicada em três partes em 1913.]


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(B) Outras hipóteses necessárias: (L6) As linhas espectrais são causadas pelas transições dos elétrons entre os diferentes níveis de energia. (L7) Nos estados estacionários, vale a atração coulombiana entre o núcleo positivamente carregado e o elétron. (L8) Nos estados estacionários, valem os princípios da mecânica clássica, como: (a) A energia total é dada pela soma das energias cinética e potencial: E = EC + EP (neste caso, a energia potencial é – eQ/r). (b) A energia de ligação é a energia que precisa ser fornecida para remover o elétron para uma distância infinita do núcleo, W = –E (neste caso, igual a eQ/2r). (c) O estado mais estável será aquele para o qual W for máximo, isto é, E for mínimo.

(C) Condições iniciais: (C1) O átomo em questão é de apenas um elétron, p. ex. o Hidrogênio. (C2) O elétron tem carga igual a –e e massa m, e o núcleo tem carga igual a +Q. (C3) O núcleo é suposto imóvel (i.e. Mnúcleo >> m). (C4) Valor da constante de Planck: h = 6,626 × 10-34 J-s.

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Com base nos postulados do modelo, pode-se

mostrar que a frequência da radiação emitida numa transição do elétron entre dois níveis diferentes é

dada por:

ν = (2π²m e4 / h3) (1/nf² – 1/ni²)

Para a demonstração original de Bohr, e também para referências às demonstrações encontradas em livros-texto atuais, ver o Apêndice I de V. A. Bezerra, “Schola quantorum: Progresso, racionalidade e inconsistência na antiga teoria atômica. Parte I: desenvolvimento histórico, 1913-1925”, em: Scientiae Studia, v. 1, n. 4, pp. 463-517, 2003, disponível em http://www.scientiaestudia.org.br

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Fonte: Wikimedia Commons

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Previsões adicionais obtidas pelo modelo de Bohr: (a) A fórmula engloba todas as séries espectrais do Hidrogênio: as séries Balmer e de Paschen, já conhecidas então (descobertas resp. em 1885 e 1908), mais as séries de Lyman, Brackett e Pfund, que só depois viriam a ser descobertas (resp. em 1914, 1922 e 1924). Basta tomar nf = 1 (Lyman), 2 (Balmer), 3 (Paschen), 4 (Brackett) ou 5 (Pfund), sempre com ni > nf. Para simplificar a notação, chamemos nf de p e ni de n. A fórmula então fica:

ν = (2π²me4/h³) (1/p² – 1/n²). A série de Lyman (no ultravioleta) é obtida fazendo p = 1 e n = 2, 3, 4, ... A série de Balmer (no ultravioleta próximo e no vísivel) é obtida fazendo p = 2 e n = 3, 4, 5, ... A série de Paschen (no infravermelho) é obtida com p = 3 e n = 4, 5, 6, ... A série de Brackett (infravermelho) é obtida com p = 4 e n = 5, 6, 7, ... Finalmente, a série de Pfund (infravermelho) é obtida tomando p = 5 e n = 6, 7, 8, ... (b) Expressão para o raio da órbita em função de n, a saber: r = n²h² / 4π²m e²Q². (c) Expressão para a energia do elétron em um nível n dado, E = –2π²m e²Q² / n²h². (d) O estado fundamental (mais estável) é o de n =1, onde temos E = –13,6 eV.

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(e) A explicação de Bohr não se limita ao átomo de hidrogênio , onde a carga do núcleo é Q = e, mas produz a fórmula mais geral ν = (2π²m Z²e4 / h3) (1/nf² – 1/ni²), que se aplica a outros átomos de um elétron, com cargas Q iguais a Ze (Z = número atômico). Dessa forma, a fórmula se aplica, por exemplo, às séries espectrais de íons como o He+ e o Li++. (f) Acrescentando mais algumas considerações sobre a estabilidade eletrodinâmica de anéis eletrônicos com vários elétrons, Bohr chega a construir a distribuição eletrônica dos elementos Hélio, Lítio e Berílio (Bohr, op. cit., pp. 148-157), e depois, também dos elementos 5 (Boro) a 24 (Cromo) (Bohr, op. cit., pp. 160-162). Bohr consegue identificar “uma periodicidade marcada, com período igual a 8” (op. cit., p. 162), e também mais uma periodicidade igual a 18 — as quais, como hoje se sabe, são típicas da tabela periódica.

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(g) O modelo de Bohr contribuiu para a previsão do elemento Háfnio (Z = 72), que seria descoberto em 1923 por Coster e Hevesy. (h) O resultado do experimento de Franck-Hertz (1914) — Quedas periódicas na corrente transmitida através de uma amostra de gás, à medida que o potencial acelerador aplicado aumenta.

Fonte: F. Tipler, Física moderna (RJ: Guanabara Dois, 1981)

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Sommerfeld: Correções relativísticas e órbitas elíp ticas Atombau und Spektrallinen (Estrutura atômica e linhas espectrais) (Edições em alemão: 1919, 1921, 1922, 1924, 1931 — algumas com traduções para o inglês)

(a) Números quânticos secundários O número quântico k = 1, 2, ..., n corresponde à excentricidade das órbitas elípticas, e assim define os subníveis (s, p, d, f, ...) do nível principal. (Hoje se utiliza l = 0,1,...,n -1 em vez de k .)

Fonte: D. Ter Haar, The Old Quantum Theory, p. 52.

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(b) Primeira previsão da estrutura fina dos espectros.

Fonte: Woodgate, Elementary Atomic Structure, 2nd ed, Oxford UP, 1980, p. 64.

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ParteParteParteParte IIIIIIII

“Modelo” — Acepção 2 Modelo LModelo LModelo LModelo Lógicógicógicógicoooo ou Instancialou Instancialou Instancialou Instancial

Acepção usada na lógica e nas ciências formais Modelo de um sistema formal Um modelo no sentido lógico é uma interpretação de um sistema de axiomas na qual os axiomas são verdadeiros. Uma estrutura A é modelo de um conjunto de fórmulas Γ se todas as fórmulas do conjunto são verdadeiros nessa estrutura, o que indicamos simbolicamente da seguinte maneira: A ╞ Γ.

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Exemplos: Sistema formal Modelos Axiomas de grupo (conjunto não-vazio dotado de uma operação binária que obedece à propriedade associativa, existência de elemento identidade e existência de elemento inverso)

- Números inteiros (..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...) com a operação de adição (grupo comutativo) - Números racionais não-nulos com a operação de multiplicação (grupo comutativo) - Rotações de um corpo rígido no espaço 3D que mantêm a origem fixa (i.e. um “canto” do objeto fixo, sem “escorregar”), com a operação de composição (i.e. sucessão) de rotações.

OBS.: NÃO constituem grupos: - Números naturais com adição. (Falta o elemento inverso.) - Números inteiros com multiplicação. (Falta o elemento inverso.) - Números racionais, incluindo o zero, com multiplicação. (O zero não tem inverso.)

Os quatro primeiros postulados de Euclides (mais as definições, os axiomas ou “noções comuns” e pressupostos suplementares)

- Geometria euclidiana - Geometria hiperbólica - Geometria esférica / elíptica

Os cinco postulados de Euclides (mais as definições, os axiomas ou “noções comuns” e pressupostos suplementares)

- Geometria euclidiana

Axiomas de Hilbert (Fundamentos da geometria, 1899) - Geometria euclidiana Mecânica clássica (com os termos teóricos) - Mecânica newtoniana

- Mecânica de Lagrange - Mecânica de Hamilton

Mecânica clássica (sem os termos teóricos) (representações dos seguintes sistemas:) - Sistema Terra-Lua - Sistema Sol-Terra - Sistema Terra-projétil balístico

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- Sistema Terra-pêndulo oscilante - Sistema Terra-Lua-Sol-marés

Leis de Kepler (representações dos seguintes sistemas:) - Sistema Sol-Terra - Sistema Sol-Marte - Sistema Terra-Lua - Sistema Júpiter-satélites galileanos - Átomo de Bohr-Sommerfeld

Axiomas de Peano (com a operação de “sucessor”) - Números naturais Axiomas de espaço vetorial - Vetores no espaço tridimensional (objetos com magnitude,

direção e sentido) - Matrizes-coluna

Mecânica quântica - Formulação de Schrödinger - Formulação de Heisenberg

Sistema P: Conjunto não-vazio A dotado de uma relação binária P que obedece às seguintes propriedades: (1) para todo elemento x de A, x não pode estar na relação P consigo mesmo: ∀x∈A (¬xPx) (2) se um elemento x está na relação P com outro elemento y, não pode acontecer de y também estar na relação P com x: ∀xy∈A (xPy ⇒ ¬yPx) (3) para todo elemento x de A, existem exatamente dois elementos que estão na relação P com x (estes elementos são únicos): ∀x∈A ∃yz∈A (y≠z & yPx & zPx & ∀u∈A (uPx ⇒ u=y ∨ u=z))

- Classe dos animais com geração biparental com a relação P = “ser genitor de” - Conjunto dos números inteiros Z com a relação P = “x é 1 ou 3 unidades maior que y”: P = {(x,y)∈Z² | x=y+1 ∨ x=y+3}

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