universidade federal de santa maria curso de …coral.ufsm.br/engcivil/images/pdf/1_2018/tcc_ane...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Ane Priscila Diel

ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM

LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA DE GRELHA E TABELAS

Santa Maria, RS

2018

Ane Priscila Diel

ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES

MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA

DE GRELHA E TABELAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM – RS), como requisito parcial para obtenção do título de Engenheira Civil.

Orientador: Prof.º Dr.º Almir Barros da Silva Santos Neto

Santa Maria, RS 2018

Ane Priscila Diel

ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA

DE GRELHA E TABELAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM – RS), como requisito parcial para obtenção do título de Engenheira Civil.

Aprovado em 12 de Julho de 2018:

__________________________________________________ Almir Barros da Silva Santos Neto, Prof. Dr. (UFSM)

(Presidente/Orientador)

__________________________________________________ André Lübeck, Prof. Dr. (UFSM)

__________________________________________________ Larissa Degliuomini Kirchhof, Prof. Dra. (UFSM)

Santa Maria, RS 2018

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, Sandra e Adilson, pelo incondicional apoio durante toda a

graduação. Respeitando e entendendo minhas decisões durante esse período,

sempre me incentivando a buscar a realização dos meus sonhos e sendo sempre

minhas grandes inspirações e exemplos de vida. A vocês, meu muito obrigada!

Aos meus irmãos, Sara, Lauren, Igor, Gabriel e Andressa, e demais familiares

por todo apoio e momentos especiais compartilhados.

Aos meus colegas e amigos do curso, por todo companheirismo durante essa

caminhada, compartilhando além das preocupações da faculdade uma forte amizade.

Em especial à Carine, Ticiana, Larissa, Paola, Thaís, Criziéli, Caroline, Manoela,

Henrique e Fernanda, com certeza a companhia de vocês foi fundamentl durante essa

trajetória.

Às minhas amigas de infância e do coração, Ana, Stephanie, Gabriela, Júlia,

Bianca, Marina, Juliane e Camila, por toda parceria de sempre. Obrigada pela

amizade, apoio, carinho e pelos momentos de descontração. Ao meu namorado Bruno

pela parceria, carinho e pela paciência durante os momentos de angústia e estresse

desse final de graduação.

A todos os professores que contribuíram para minha formação acadêmica, em

especial ao orientador Almir Barros da Silva Santos Neto, por todos os conhecimentos

compartilhados, pela paciência e ajuda durante a realização desse trabalho.

Aos colegas da Sarkis Engenharia Estrutural Luciana, Thiago, Mateus, Paulo,

Cássio, por todos ensinamentos compartilhados e por estarem sempre dispostos a

me ajudar.

Enfim, a todos que de alguma maneira participaram da realização desse

trabalho e para minha formação.

RESUMO

ANÁLISE COMPARATIVA DE ESFORÇOS E DESLOCAMENTOS EM LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ATRAVÉS DOS MÉTODOS DE ANALOGIA

DE GRELHA E TABELAS

AUTORA: Ane Priscila Diel ORIENTADOR: Almir Barros da Silva Santos Neto

O presente trabalho visa analisar e comparar os esforços e deslocamentos em lajes

maciças de concreto armado por meio de tabelas e do método da analogia de grelha.

Foi analisada a planta do pavimento de um edifício e determinados os momentos

fletores e flechas máximos utilizando as tabelas propostas por Bares, Czerny, Araújo,

Montoya e Marcus, além de realizada a modelagem do pavimento no software SAP

2000. A modelagem foi feita para dois diferentes casos: o primeiro considerando

apoios indeformáveis, a fim de simular as condições estabelecidas pelas tabelas, e o

segundo com apoios deformáveis, com o intuito de verificar uma situação mais

próxima da realidade. Através da análise dos resultados percebeu-se que, tanto para

os momentos quanto para os deslocamentos, não houve grandes variações nos

valores obtidos entre as tabelas. No entanto, quando comparadas com os modelos

baseados na analogia de grelha, a divergência dos resultados mostrou-se mais

considerável. De maneira geral, os momentos positivos obtidos considerando apoios

indeformáveis foram inferiores aos obtidos através das tabelas, enquanto que o

modelo com apoios deformáveis apresentou valores superiores na direção do maior

vão. Para os momentos negativos, ambas as modelagens apresentaram valores

inferiores que os encontrados a partir da utilização das tabelas. Já a análise dos

deslocamentos mostrou que considerando apoios deformáveis obtém-se valores

consideravelmente superiores aos indeformáveis. Dessa forma, os resultados

mostraram que, apesar de viável a utilização das tabelas para casos isolados, é

importante a utilização de métodos que considerem a interação dos diferentes

elementos de um pavimento para melhor determinação dos esforços e flechas.

Palavras-chave: Lajes. Momentos fletores. Flechas. Tabelas. Analogia de grelha.

ABSTRACT

COMPARATIVE ANALYSIS OF EFFORTS AND DISPLACEMENTS IN

REINFORCED CONCRETE SLABS BY GRILLAGE ANALOGY AND TABLES

AUTHOR: Ane Priscila Diel ADVISER: Almir Barros da Silva Santos Neto

The present work aims to analyze and compare the efforts and displacements in

reinforced concrete slabs using tables and grillage analogy method. A building floor

was analyzed and determined the maximum bending moments and deflections using

the tables compiled by Bares, Czerny, Araújo, Montoya and Marcus, in addition to the

pavement modelling in SAP 2000 software. The modelling was done for two different

cases: the first considering indeformable supports, in order to simulate the conditions

stablished by the tables, and the second one with deformable supports, to verify a

situation closer to reality. Through the analysis of the results it was noticed that both

for the moments and the displacements, there were not great variations in the values

obtained by the tables. However, when compared to the modellings based on grillage

analogy the results showed a more considerable divergence. In general, the positive

moments obtained by the indeformable supports modelling were lower than the ones

by the tables, while the deformable supports modelling presented higher values for the

long direction. For the negative moments, both modellings presented lower results than

the ones from the tables. The displacements analysis showed that considering

deformable supports the results are considerably superior to the indeformable ones.

Therefore, the results showed that although the using of the tables is viable, it is

important to use methods that considerate the complete interaction of the different

elements in the pavement in order to obtain better results to efforts and displacements

in slabs.

Keywords: Slabs. Bending moments. Displacements. Tables. Grillage analogy.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Elemento linear ......................................................................................... 16

Figura 2 - Elemento de superfície ............................................................................. 16

Figura 3 - Elemento tridimensional ............................................................................ 17

Figura 4 - Laje armada em uma direção ................................................................... 20

Figura 5 - Laje armada em duas direções ................................................................. 20

Figura 6 - Convenção da representação das condições de apoio das lajes ............. 21

Figura 7 - Lajes adjacentes com espessuras diferentes ........................................... 23

Figura 8 - Lajes adjacentes com descontinuidade no apoio comum ......................... 23

Figura 9 - Lajes adjacentes com momentos negativos diferentes ............................. 24

Figura 10 - Classe de agressividade ambiental (Tabela 6.1 da NBR 6118:2014) ...... 26

Figura 11 - Cobrimento nominal relacionado a classe de agressividade ambiental

(Tabela 7.2 da NBR 6118:2014) ................................................................................ 27

Figura 12 - Altura útil para lajes maciças ................................................................... 27

Figura 13 - Lajes armadas em uma direção .............................................................. 30

Figura 14 – a) Elemento de placa; b) Deformada da placa; c) Equilíbrio dos esforços

internos. .................................................................................................................... 34

Figura 15 - Aproximação de função para malha unidimensional ............................... 38

Figura 16 - Malha de diferenças finitas - caso bidimensional .................................... 39

Figura 17 - Ponto (m,n) malha de diferenças finitas .................................................. 40

Figura 18 - Laje simplesmente apoiada .................................................................... 41

Figura 19 - Possibilidades de vinculação das lajes ................................................... 45

Figura 20 - Malha de grelha equivalente ................................................................... 47

Figura 21 - Pavimento modelo .................................................................................. 52

Figura 22 - Vinculação das lajes ............................................................................... 54

Figura 23 - Deformada do pavimento – Apoios indeformáveis .................................. 56

Figura 24 - Deformada do pavimento – Apoios deformáveis .................................... 56

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 - Momentos positivos L1 ............................................................................ 57







Gráfico 8 - Momentos positivos L10 .......................................................................... 59

Gráfico 9 - Momentos positivos L11 .......................................................................... 60

Gráfico 10 - Momentos positivos L12 ........................................................................ 60

Gráfico 11 - Momentos positivos L13 ........................................................................ 60

Gráfico 12 - Momentos negativos L1 ......................................................................... 62







Gráfico 19 - Momentos negativos L10 ....................................................................... 64




Gráfico 23 - Flechas L1 ............................................................................................. 66







Gráfico 30 - Flechas L10 ........................................................................................... 68




LISTA DE QUADROS

Quadro 1 - Classificação das lajes do pavimento. ..................................................... 52

Quadro 2 – Carregamentos ....................................................................................... 53

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 12 1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................... 12 1.2. JUSTIFICATIVA ............................................................................................ 13

1.3. OBJETIVOS ................................................................................................. 14 1.3.1. Objetivo geral ............................................................................................. 14 1.3.2. Objetivos específicos ................................................................................ 14 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ........................................................................ 15 2.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS ..................................................................... 15

2.1.1. Elementos Lineares ................................................................................... 15

2.1.2. Elementos de Superfície ............................................................................ 16

2.1.3. Elementos de volume ................................................................................ 17 2.2. LAJES .......................................................................................................... 17 2.2.1. Tipos de lajes quanto à natureza .............................................................. 18 2.2.2. Classificação quanto ao tipo de apoio ..................................................... 19

2.2.3. Classificação quanto à armação ............................................................... 19 2.2.4. Vinculação nas bordas .............................................................................. 21

2.2.4.1. Bordos simplesmente apoiados .................................................................... 22

2.2.4.2. Bordos perfeitamente engastados ................................................................ 22

2.2.5. Vãos efetivos .............................................................................................. 24

2.2.6. Espessura ................................................................................................... 25 2.2.7. Cobrimento e altura útil ............................................................................. 25 2.2.8. Estudo das cargas ..................................................................................... 28

2.2.8.1. Cargas permanentes .................................................................................... 28

2.2.8.2. Cargas acidentais ......................................................................................... 29

2.2.8.3. Cargas excepcionais .................................................................................... 29

2.3. MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO DE LAJES ....................................... 29 2.3.1. Método plástico .......................................................................................... 30 2.3.2. Método elástico .......................................................................................... 31

2.4. TEORIA DE FLEXÃO DAS PLACAS............................................................ 32 2.4.1. Equação fundamental ................................................................................ 32

2.4.2. Condições de contorno ............................................................................. 35 2.4.3. Restrições da teoria ................................................................................... 35 2.5. MÉTODOS ELÁSTICOS DE CÁLCULO DE LAJES .................................... 36

2.5.1. Resolução por meio de séries .................................................................. 36 2.5.2. Método das diferenças finitas ................................................................... 38

2.5.3. Teoria das grelhas e método de Marcus .................................................. 41

2.5.3.1. Tabelas de Marcus ........................................................................................ 43

2.5.4. Método dos elementos finitos ................................................................... 43

2.5.5. Utilização de tabelas .................................................................................. 44

2.5.5.1. Tabelas de Bares .......................................................................................... 46

2.5.5.2. Tabelas de Araújo ......................................................................................... 46

2.5.5.3. Tabelas de Czerny ........................................................................................ 46

2.5.5.4. Tabelas de Montoya ...................................................................................... 46

2.5.6. Analogia de grelha ..................................................................................... 47

2.5.6.1. Rigidez à flexão ............................................................................................ 48

2.5.6.2. Rigidez à torção ............................................................................................ 49

2.5.6.3. Disposição da malha adotada ...................................................................... 50

3. METODOLOGIA ........................................................................................... 51

3.1. CARACTERÍSTICAS DA ESTRUTURA ....................................................... 51 3.2. PARÂMETROS ADOTADOS ........................................................................ 53 3.3. CARREGAMENTOS .................................................................................... 53 3.4. UTILIZAÇÃO DAS TABELAS ....................................................................... 54 3.5. MODELAGEM DO PAVIMENTO .................................................................. 55

4. ANÁLISE DOS RESULTADOS .................................................................... 56 4.1. MOMENTOS POSITIVOS ............................................................................ 57 4.2. MOMENTOS NEGATIVOS ........................................................................... 61 4.3. FLECHAS ..................................................................................................... 66 5. CONCLUSÃO............................................................................................... 71

REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 73

ANEXO A – TABELAS DE MARCUS ....................................................................... 75

ANEXO B – TABELAS DE BARES .......................................................................... 77

ANEXO C – TABELAS DE ARAÚJO ....................................................................... 82

ANEXO D – TABELAS DE CZERNY ........................................................................ 86

ANEXO E – TABELAS DE MONTOYA ..................................................................... 90

12

1. INTRODUÇÃO

1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Um dos maiores desafios no dimensionamento de um edifício é a elaboração

de um projeto eficiente, seguro e econômico. Para isso, é necessário que o

profissional possua um bom entendimento do comportamento da estrutura e da

interação entre os elementos estruturais que a compõem. Dentre esses elementos

principais, a análise das lajes é de fundamental importância para a obtenção de um

bom projeto, visto que essas são responsáveis pela distribuição primária das cargas

de utilização atuantes no pavimento e apresentam alto consumo de concreto,

impactando de forma significativa no custo da edificação.

A teoria fundamental desenvolvida para a análise das lajes, conhecida como

teoria das placas, baseia-se em princípios da teoria da elasticidade e possibilita

determinar os esforços e deslocamentos em pontos no interior da laje através de uma

equação fundamental. No entanto, o cálculo por esse método torna-se mais

trabalhoso de realizar para execução de um projeto devido a sua complexidade e ao

grande tempo demandado para sua resolução. Com o intuito de facilitar o

dimensionamento e tornar viável essa análise, foram desenvolvidos métodos

aproximados de cálculo que permitem a obtenção dos momentos fletores, reações de

apoio e flechas de forma mais objetiva e simplificada (ARAÚJO, 2014).

Embora permitam o cálculo de forma mais direta, esses métodos apresentam

diferentes limitações na sua aplicação. Uma vez que a análise das lajes é feita de

forma isolada, são restritas as opções de consideração das vinculações dessas com

os elementos adjacentes. Com isso, é ignorada a influência da flexibilidade dos

apoios, ocasionando na obtenção de esforços e deslocamentos que não coincidem

com os reais da estrutura (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015).

Contando com a evolução de recursos tecnológicos, foram desenvolvidos

algoritmos computacionais que possibilitam uma análise mais completa da estrutura

e das interações entre os elementos, possibilitando o melhor entendimento do real

comportamento estrutural e a otimização do processo de cálculo. Esses programas,

geralmente, baseiam-se sua análise no método dos elementos finitos e na analogia

de grelha.

13

Os programas de análise estrutural desenvolvidos permitem, além da análise

integral do pavimento, maior rapidez no dimensionamento. Também proporcionam

melhor tomada de decisões em relação a composição estrutural de uma edificação,

uma vez que é possível a verificação de diferentes situações de projeto em um mesmo

conjunto de dados com pequenas alterações. Com isso, o projetista é capaz de decidir

a melhor configuração do sistema estrutural da edificação em questão, conforme

especificações arquitetônicas, questões de segurança e economia (CARVALHO;

FIGUEIREDO FILHO, 2015).

Embora já estejam disponíveis esses recursos computacionais, os métodos

simplificados de dimensionamento das lajes permitem, de maneira geral, a obtenção

de uma estrutura segura e satisfatória (WHITE; GERGELY; SEXSMITH, 1972). Dessa

forma, esses métodos ainda são utilizados como recursos didáticos em escolas de

engenharia. Além disso, a sua resolução permite que o profissional obtenha uma

melhor compreensão do comportamento das placas, possibilitando que sejam

detectados possíveis erros gerados no modelo do programa utilizado.

Dessa forma, torna-se válido o estudo comparativo dos valores de esforços, e

deslocamentos obtidos por esses diferentes métodos de cálculo. Podendo assim,

analisar e compreender as possíveis diferenças geradas em cada método disponível,

visando a possibilidade de execução de projetos com melhor desempenho e que

correspondam com a realidade do comportamento da estrutura projetada.

Com esse intuito, o presente trabalho visa estabelecer os valores de reações

de apoio, momentos fletores e flechas através de diferentes métodos aproximados no

dimensionamento de um pavimento com lajes maciças de concreto armado. Serão

utilizadas diferentes tabelas baseadas na teoria fundamental das placas em regime

elástico bem como o cálculo por analogia de grelha, que será realizado com o auxílio

do software SAP2000. Além disso, será feita a análise e comparação dos resultados

obtidos a partir das diferentes metodologias de cálculo.

1.2. JUSTIFICATIVA

Visto que as lajes são elementos fundamentais numa estrutura, além de

apresentarem alto consumo de concreto, é necessário a obtenção dos esforços da

melhor maneira possível para elaboração de um projeto seguro e econômico. Com os

14

diferentes recursos e métodos aproximados disponíveis atualmente para o

dimensionamento de lajes maciças de concreto armado, torna-se fundamental a

análise e comparação dos resultados obtidos quando aplicados diferentes métodos

de dimensionamento, justificando a escolha do tema.

1.3. OBJETIVOS

1.3.1. Objetivo geral

Este trabalho tem como objetivo geral determinar e comparar os esforços e

deslocamentos verticais obtidos nas lajes do pavimento de um edifício através da

utilização de diferentes tabelas de cálculo e por analogia de grelha.

1.3.2. Objetivos específicos

a) Determinar os momentos fletores e flechas das lajes maciças de concreto armado

de um pavimento com a utilização das tabelas propostas por Marcus, Bares,

Czerny, Araújo e Montoya;

b) modelar o pavimento de um edifício com base no método da analogia de grelha e

determinar os momentos fletores e flechas das lajes;

c) analisar e comparar os resultados obtidos por cada método.

15

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1. ELEMENTOS ESTRUTURAIS

Uma edificação é composta por um sistema estrutural, que corresponde a

determinada disposição dos elementos estruturais que a compõem. Essa disposição

deve ser definida pelo projetista de forma a atender os requisitos de projeto

arquitetônico. Os elementos estruturais têm a função de receber e transmitir as

solicitações da estrutura.

A classificação dos elementos estruturais básicos é feita baseada em sua

geometria e função estrutural, de acordo com a ABNT NBR 6118:2014. Tendo em

vista essas características, podem ser classificados como elementos lineares,

elementos de superfície ou elementos de volume.

2.1.1. Elementos Lineares

Os elementos lineares, também chamados de barras, são aqueles que

apresentam comprimento linear pelo menos três vezes maior que a maior dimensão

da seção transversal (Figura 1) (BASTOS, 2015).

As vigas e os pilares são os exemplos mais utilizados desse tipo de elemento.

As vigas são barras posicionadas horizontalmente ou inclinadas em que o principal

esforço solicitante é a flexão, podendo ser executadas de diferentes materiais, como

concreto, madeira ou metálicas e com diferentes seções. Já os pilares são elementos

dispostos na vertical nos quais o esforço principal atuante são forças normais de

compressão. Assim como as vigas, podem ser projetados com diferentes seções e

diferentes materiais, dependendo das determinações do projeto arquitetônico e de

questões de economia de material (NBR 6118:2014; BASTOS, 2015).

Outros exemplos de elementos lineares são os tirantes e os arcos. Os tirantes

atuam principalmente sob forças normais de tração, enquanto os arcos são elementos

curvos que apresentam forças normais de compressão preponderantes, “agindo ou

não simultaneamente com esforços solicitantes de flexão, cujas ações estão contidas

em seu plano” (NBR 6118:2014, p. 84).

16

Figura 1 - Elemento linear

Fonte: Bastos, 2015.

2.1.2. Elementos de Superfície

A NBR 6118:2014, item 14.4.2, define os elementos de superfície como aqueles

onde a espessura é pequena comparada às duas outras dimensões (comprimento e

largura), também podendo ser chamados de elementos bidimensionais.

Os elementos de superfície, quando planos, são chamados de placas ou

chapas, e quando curvos são nomeados de cascas. As placas e as chapas se diferem

pelo sentido do carregamento atuante. Nas placas, o carregamento é disposto

perpendicularmente ao seu plano (Figura 2), sendo a laje exemplo mais frequente

presente nas edificações. Por outro lado, nas chapas, as ações encontram-se contidas

no plano, ou seja, atuando paralelamente ao plano. Estas são bastante utilizadas em

paredes de reservatórios e em paredes de arrimo. Um caso especial de chapas são

as vigas-parede, que recebem essa denominação quando apresentam vão menor que

três vezes a maior dimensão da seção transversal (BASTOS, 2006).

Figura 2 - Elemento de superfície


17

2.1.3. Elementos de volume

Bastos (2015) apresenta, além dos elementos lineares e bidimensionais, a

classificação em elementos tridimensionais, ou elementos de bloco ou volume. Nesse

caso, as três dimensões possuem a mesma ordem de grandeza (Figura 3). Os

elementos mais frequentes nas edificações são blocos de fundações e sapatas.

Figura 3 - Elemento tridimensional


2.2. LAJES

Assim como os pilares e as vigas, as lajes são componentes básicos das estruturas

convencionais, sendo também chamadas de placas de concreto, como visto

anteriormente. As lajes desempenham função principal de receber e transmitir as

cargas de utilização para as vigas de apoio, estas transmitem as cargas para os

pilares que, por fim, transmitem para a fundação. Elas também atuam distribuindo as

ações horizontais nos elementos de contraventamento e, no caso de vigas T,

funcionando como mesa de compressão da seção (SOUZA; CUNHA, 1998).

Segundo Araújo (2014), as lajes apresentam carregamento predominantemente

transversal e são elementos planos bidimensionais possuindo a espessura h

relativamente inferior à largura e ao comprimento.

As lajes podem ser classificadas com base em diferentes critérios, conforme Souza

e Cunha (1998), de forma que um pavimento de edifício pode apresentar diferentes

tipos de laje, dependendo das considerações e escolha do projetista, como a mais

adequada para a situação. Dentre os critérios de classificação, encontram-se a forma

da estrutura, podendo esta ser poligonal ou elíptica e a natureza da laje, podendo

18

variar, assim, entre laje maciça, nervurada, lisa ou laje-cogumelo, como previsto na

NBR 6118:2014.

Também podem ser classificadas quanto ao tipo de armação. Essa classificação

depende da relação entre o menor e o maior vão da laje, podendo ser armada em

uma ou em duas direções. Por fim, as lajes são classificadas com base nas estruturas

em que elas se encontram apoiadas, podendo ser com apoio contínuo (sobre vigas,

paredes de alvenaria) ou com apoio discreto (diretamente sobre pilares).

2.2.1. Tipos de lajes quanto à natureza

Quando analisadas quanto à natureza, as lajes podem ser classificadas como

laje maciça, nervurada, lisa ou laje-cogumelo, conforme previsto na NBR 6118:2014.

A escolha da laje mais adequada a ser utilizada em uma determinada edificação é de

responsabilidade do projetista. Este deve garantir que a estrutura atenda ao projeto

arquitetônico, bem como a questões de segurança (ELU), conforto ao usuário (ELS)

e economia, podendo a decisão variar de acordo com a experiência do profissional

(SOUZA; CUNHA, 1998).

As lajes maciças são as mais utilizadas nas edificações que apresentam vãos

relativamente pequenos. Estas caracterizam-se por apresentar espessura uniforme e

existência de apoios ao longo do seu contorno (ARAÚJO, 2014).

As lajes nervuradas são compostas por uma mesa de concreto, localizada na

região comprimida, e nervuras na região tracionada. As nervuras devem obedecer ao

espaçamento recomendado pela NBR 6118:2014 e nelas são posicionadas as

armaduras de tração. Esse tipo de laje possibilita a redução do peso próprio da

estrutura quando comparadas com lajes maciças, uma vez que ocorre a retirada de

material da região tracionada. Por questões estéticas pode-se preencher o espaço

entre as nervuras com material inerte de baixo peso especifico ou ser feito

revestimento com forro. Esse tipo de laje é normalmente utilizado na existência de

grandes vãos, em geral superiores a oito metros.

Souza e Cunha (1998) apresentam dois outros tipos de lajes que, conforme

apresentado pelos autores, podem ser considerados casos especiais de lajes

nervuradas: as lajes em grelha e as lajes duplas. As lajes em grelha possuem

espaçamento entre as nervuras superior a um metro, sendo utilizadas em prédios

19

comerciais, como edifícios garagem, ou industriais. Já as lajes duplas são

caracterizadas pelo posicionamento das nervuras dar-se entre dois painéis de laje.

Por fim, quando as lajes se encontram apoiadas diretamente sobre pilares

podem ser classificadas como lajes lisas ou lajes-cogumelo. Essas diferem entre si

pela existência ou não de alargamento de seção na proximidade da ligação entre a

laje e o pilar. Esse engrossamento é chamado de capitel, e encontra-se presente nas

lajes-cogumelo, enquanto nas lajes lisas, o apoio dá-se diretamente sobre o pilar sem

o alargamento na seção. (HENNRICHS, 2003)

2.2.2. Classificação quanto ao tipo de apoio

As lajes podem apresentar dois principais tipos de apoio: contínuo e discreto.

Apoios contínuos ocorrem quando essas possuem vigas, alvenaria ou paredes de

concreto no seu contorno, enquanto apoio discreto ocorre quando estão apoiadas

diretamente sobre pilares. Se apoiadas sobre vigas, estas podem ser de concreto

armado, protendido, de madeira ou metálicas. Quando uma lateral da laje não está

sobre nenhum tipo de apoio, essa extremidade é chamada de bordo livre.

Um caso especial de apoio de lajes são aquelas em que o apoio é

“proporcionado por determinado trecho de sua área, que esteja em contato com o

solo” (SOUZA; CUNHA, 1998, p.23). Esse caso é utilizado em radiers, pistas de

aeroportos e de rodovias.

2.2.3. Classificação quanto à armação

Embora possam apresentar diferentes formas geométricas, as lajes

retangulares são mais frequentemente utilizadas nas edificações. Dentro desse tipo,

pode-se facilmente classificar as lajes quanto ao tipo de armação. Segundo Bastos

(2015, p.1), “uma classificação muito importante das lajes maciças é aquela referente

à direção ou direções da armadura principal. Existem dois casos: laje armada em uma

direção ou laje armada em duas direções”.

As lajes armadas em uma só direção apresentam uma das dimensões maior

que o dobro da outra, ou seja, a relação entre vãos é superior a 2, conforme mostrado

na Figura 4. Nesse tipo, a menor direção, também chamada de direção principal, é

responsável por suportar a maioria do carregamento, apresentando esforços

20

solicitantes importantes apenas na direção do vão menor. Seu dimensionamento é

feito supondo-se uma viga com largura de 1m na direção principal da laje (BOTELHO;

MARCHETTI, 2010).

Entretanto, embora sejam denominadas como armadas em uma só direção,

também apresentam armadura na direção secundária (maior vão). Em virtude de os

esforços solicitantes nessa direção serem desprezados no cálculo, adota-se armadura

de distribuição de acordo com as orientações previstas na NBR 6118:2014.

Figura 4 - Laje armada em uma direção

Fonte: Autora, 2018 (baseado em Araújo, 2014).

As lajes armadas em duas direções, ou armadas em cruz, apresentam relação

entre vãos menor ou igual a 2 (Figura 5). Por apresentarem solicitações importantes

nas duas direções, o dimensionamento de armadura é feito para os momentos

positivos do meio do vão em ambas as direções (SOUZA; CUNHA, 1998). O cálculo

dos esforços solicitantes e das flechas desse tipo de laje pode ser feito com o auxílio

de tabelas, como as propostas por Czerny e Bares (BOTELHO; MARCHETTI, 2010).

Figura 5 - Laje armada em duas direções

Fonte: Autora, 2018 (baseado em Araújo, 2014).

21

2.2.4. Vinculação nas bordas

Quando analisado o comportamento de uma estrutura de edificação de

concreto verifica-se que esta possui comportamento monolítico, ou seja, trata-se de

uma estrutura única e contínua. Entretanto, devido à complexidade de cálculo, para

realizar a análise da estrutura com essas condições, é necessário dispor de recursos

computacionais adequados (ARAÚJO, 2014).

Embora atualmente encontrem-se disponíveis esses recursos, determinadas

situações exigem a utilização de procedimentos tradicionais de cálculo, nos quais os

elementos de laje de um pavimento são analisados de forma isolada. Nessa situação,

torna-se necessário a utilização de simplificações para determinar a vinculação dos

elementos de placa com os elementos adjacentes. Dessa forma, os bordos das lajes

de um pavimento podem ser considerados como perfeitamente engastados,

simplesmente apoiados ou como bordo livre (ARAÚJO, 2014). São adotadas as

representações da Figura 6 para representar as condições de apoio das lajes.

Figura 6 - Convenção da representação das condições de apoio das lajes


Essas simplificações causam divergências entre os valores calculados dos

esforços e os valores reais, uma vez que a probabilidade de ocorrência das condições

consideradas é baixa. Souza e Cunha (1998) ressaltam a importância da análise do

grau desse erro, a qual deve ser feita pelo projetista de modo que não sejam

comprometidas a segurança e economia da edificação. Segundo os autores, quando

considerados bordos externos como simplesmente apoiados, o erro cometido é da

ordem de 10%, enquanto na consideração de bordos internos como engastamento

perfeito esse erro é de 5%.

Quando analisados bordos livres, não há ocorrência de erro quando feita a

simplificação. Isso ocorre devido ao fato de que, não havendo ligação com estruturas

22

adjacentes, não há ocorrência de esforços (momentos fletores, torçores e esforços

cortantes) naquele bordo. Consequentemente, o que é adotado na simplificação está

de acordo com o que acontece na realidade. Dessa forma, como os erros não

ultrapassam a ordem de 10%, é viável a utilização das aproximações na vinculação

das lajes sem que haja comprometimento da eficiência da estrutura (SOUZA E

CUNHA, 1998).

2.2.4.1. Bordos simplesmente apoiados

São considerados bordos com apoio simples aqueles que não possuem laje

adjacente. Nesse caso, é desprezado o engastamento existente entre a viga e a laje.

Com isso, admite-se que a viga não impede a deformação da laje, considerando o

bordo com rotação livre (BOTELHO, MARCHETTI, 2010).

2.2.4.2. Bordos perfeitamente engastados

O engaste perfeito é adotado quando ocorre a existência de continuidade com

lajes vizinhas ou no caso de lajes em balanço, frequentemente utilizadas em

marquises e sacadas (BASTOS, 2015).

Conforme apresentado por Carvalho e Figueiredo Filho (2015), é necessário

cuidado no emprego dessa condição, uma vez que a laje adjacente pode não possuir

condições adequadas, como rigidez ou espessura, para impedir a rotação da laje em

questão, conforme ilustrado na Figura 7. Isso pode ocorrer também quando há

descontinuidade no apoio na borda comum (Figura 8).

Em geral, cabe ao projetista avaliar qual a escolha de vinculação mais

adequada para cada caso. Carvalho e Figueiredo Filho (2015) recomendam que seja

feita a análise de ambas as situações, ou seja, considerando o bordo como

simplesmente apoiado e engastado, adotando-se os valores de esforços menos

favoráveis para os momentos negativos e positivos obtidos.

23

Figura 7 - Lajes adjacentes com espessuras diferentes


Figura 8 - Lajes adjacentes com descontinuidade no apoio comum


Para o caso de descontinuidade no apoio, Bastos (2015) aponta as seguintes

simplificações que podem ser adotadas na determinação da vinculação:

- se 𝑎 ≥2

3𝐿 : laje L1 pode ser considerada engastada na laje L2;

- se 𝑎 <2

3𝐿 : laje L1 apresenta borda simplesmente apoiada.

Em ambos os casos, considera-se a laje L2 engastada na laje L1.

Além disso, no caso de lajes contínuas, como a análise de cada elemento é

feita de forma isolada, quando considerado perfeitamente engastado o bordo comum

entre duas lajes apresentará valores diferentes para o momento negativo (Figura 9).

Diante disso, é necessário fazer a compatibilização dos momentos naquele bordo,

uma vez que não é possível determinar o valor real do momento no apoio em questão.

24

Para a compatibilização, recomenda-se adotar o maior valor entre a média dos

momentos negativos e 80% do maior momento (ARAÚJO, 2014).

Quando feita essa compatibilização dos momentos negativos é necessário

analisar o valor do momento positivo na respectiva direção. Recomenda-se que seja

feita a correção do valor nos casos em que a compatibilização provoca aumento no

momento positivo. Quando ocorre a diminuição do momento, por questões de

segurança ignora-se tal alteração (PINHEIRO, 2007).

Figura 9 - Lajes adjacentes com momentos negativos diferentes


2.2.5. Vãos efetivos

De acordo com a NBR 6118:2014, os vãos efetivos das lajes, quando

considerados apoios suficientemente rígidos quanto à translação vertical, devem ser

calculados pela Equação (1):

𝑙𝑒𝑓 = 𝑙𝑜 + 𝑎1 + 𝑎2 (1)

Para os valores de 𝑎1 e 𝑎2 deve ser adotado o menor valor entre a distância até

o centro do apoio correspondente e 30% da espessura da laje. Desse modo, torna-se

desnecessário a utilização de valor maior que o vão livre (𝑙𝑜 ) acrescido de 60% da

espessura da laje, onde vão livre equivale à distância entre as faces internas dos

apoios. No caso de lajes contínuas, deve-se considerar a espessura do painel de laje

em questão.

25

2.2.6. Espessura

A NBR 6118:2014, item 13.2.4.1, prevê os seguintes valores como mínimos

para a espessura das lajes:

a) 7 cm para cobertura não em balanço;

b) 8 cm para lajes de piso não em balanço;

c) 10 cm para lajes em balanço;

d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30

kN;

e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;

f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de 𝑙/42

para lajes de piso biapoiadas e 𝑙/42 para lajes de piso continuas;

g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.

Além disso, deve-se considerar um coeficiente adicional 𝛾𝑛 para os esforços

solicitantes no cálculo de lajes em balanço, definido pela Equação (2) conforme a

espessura ℎ da laje (expressa em centímetros).

𝛾𝑛 = 1,95 − 0,05. ℎ (2)

Segundo Campos Filho (2014), “as lajes devem ter uma espessura tal que

atendam a verificação do estado limite de serviço de deformações excessivas”. Desse

modo, caso a verificação não seja atendida com a espessura inicialmente

estabelecida, deve-se adotar espessura maior até que atenda a mesma.

2.2.7. Cobrimento e altura útil

Para garantia de boa durabilidade da edificação é imprescindível boa qualidade

do concreto a ser utilizado, bem como adequada espessura de cobrimento das

armaduras, conforme ressaltado na NBR 6118:2014. Com o intuito de garantir essa

durabilidade, a referida norma estabelece valores recomendados para o cobrimento

nominal, os quais variam conforme a classe de agressividade ambiental (Figura 10)

do local.

26

Figura 10 - Classe de agressividade ambiental (Tabela 6.1 da NBR 6118:2014)

Fonte: NBR 6118:2014.

O cobrimento nominal (𝑐𝑛𝑜𝑚) é equivalente ao cobrimento mínimo (𝑐𝑚𝑖𝑛)

necessário para boas condições da estrutura acrescentado de um valor de tolerância

construtiva (∆𝑐), conforme Equação (3):

𝑐𝑛𝑜𝑚 = 𝑐𝑚𝑖𝑛 + ∆𝑐 (3)

O valor de tolerância ∆𝑐 recomendado é de 10 mm, podendo este ser reduzido

para 5 mm quando utilizado concreto com resistência maior que a exigência mínima.

Os valores mínimos recomendados para o cobrimento nominal em função da

classe de agressividade ambiental, conforme a NBR 6118:2014 estão apresentados

na Figura 11.

27

Figura 11 - Cobrimento nominal relacionado à classe de agressividade ambiental

(Tabela 7.2 da NBR 6118:2014)

Fonte: NBR 6118:2014

A partir do valor estabelecido para a espessura da laje (ℎ), do cobrimento

nominal (𝑐𝑛𝑜𝑚) e do diâmetro da armadura tracionada (Φ𝑙), pode-se determinar a

altura útil da laje conforme Equação (4). Entende-se como altura útil (𝑑), a distância

entre a face comprimida e o eixo da armadura tracionada, conforme representado na

Figura 12. Como no processo de dimensionamento essa armadura ainda é

desconhecida, costuma-se considerar barra com 10 mm de diâmetro.

𝑑 = ℎ − 𝑐 −

Φ𝑙

2

(4)

Figura 12 - Altura útil para lajes maciças


28

2.2.8. Estudo das cargas

Souza e Cunha (1998) apontam que devem ser consideradas no cálculo de

uma edificação quaisquer ações que possam produzir esforços significativos na

estrutura. Essas ações são apresentadas na NBR 6118:2014, bem como na NBR

8681:2004 e NBR 6120:1980.

Segundo a NBR 6120:1980, as ações em determinada estrutura podem ser

classificadas como permanentes e acidentais. Souza e Cunha (1998) ressaltam a

incompatibilidade de uma classificação tão simplista para as cargas atuantes em uma

edificação, dado a complexidade dos projetos estruturais. Defendem, ainda, uma

classificação de forma mais específica, como pode ser vista na NBR 6118:2014 e na

NBR 8681:2004.

Essas normas também dividem as cargas em permanente e acidental, no

entanto, apresentam subdivisões nas mesmas, além de introduzir a possibilidade de

ocorrência de cargas excepcionais. Segundo a NBR 6118:2014, as ações

permanentes podem ser subdivididas em ações diretas, as quais abrangem o peso

próprio da estrutura, de elementos construtivos e de instalações permanentes; e

ações indiretas, que incluem efeitos de retração e fluência do concreto, imperfeições,

entre outras. As ações acidentais, chamadas na referida norma de ações variáveis,

também se subdividem em diretas e indiretas. As diretas referem-se as cargas móveis,

ação do vento e ação da água (no caso de reservatórios, tanques, etc.), enquanto as

ações indiretas ocorrem devido a variações térmicas e dinâmicas.

No presente trabalho, serão adotadas as denominações de carga permanente,

carga acidental e carga total atuantes, conforme definições previstas na NBR

6120:1980.

Dessa forma, entende-se como carga atuante a ser utilizada no cálculo da

estrutura, chamada carga total (p), o resultado da soma das cargas permanentes e

acidentais consideradas, conforme Equação (5).

𝑝 = 𝑔 + 𝑞 (5)

2.2.8.1. Cargas permanentes

Entendem-se como cargas permanentes (g) de uma edificação aquelas que

sofrem pouca variação ao longo da vida útil da estrutura. Estão compreendidas nessa

29

classificação as cargas devido ao peso próprio da edificação, e sobrecargas fixas, tais

como paredes divisórias, revestimentos e enchimentos (SOUZA; CUNHA, 1998). A

NBR 6120:1980 apresenta tabela com o peso específico a ser considerado dos

materiais de construção mais utilizados.

2.2.8.2. Cargas acidentais

As cargas acidentais (q), também chamadas de cargas de utilização, possuem

ação variável ao longo da vida da estrutura e seu valor a ser considerado depende da

finalidade da edificação. Nessa classificação, estão previstos carregamentos devido

ao peso de móveis, pessoas, veículos e demais equipamentos existentes ao longo da

vida útil da estrutura. A NBR 6120:1980 apresenta os valores mínimos de referência

que devem ser utilizados como carga acidental nas edificações.

2.2.8.3. Cargas excepcionais

As cargas excepcionais são consideradas apenas em determinadas situações.

Esse tipo de carregamento apresenta baixa probabilidade de ocorrência e, quando

ocorrem, possuem curta duração. Essas cargas são ocasionadas por incêndios,

sismos, explosões ou choques de veículos, e sua consideração deve ser feita com

base nas normativas brasileiras específicas para cada situação, conforme orientado

pela NBR 6118:2014.

2.3. MÉTODOS DE DIMENSIONAMENTO DE LAJES

O cálculo de lajes se difere para cada tipo. No caso de lajes maciças, o

dimensionamento depende da classificação da laje quanto ao tipo de armação.

Nas lajes armadas em uma só direção, é necessário determinar o valor dos

esforços apenas na direção principal (menor vão), conforme visto anteriormente.

Nesse caso, a análise é feita considerando a laje como uma viga com largura de um

metro (ARAÚJO, 2014). Devem ser analisadas as vinculações das lajes nas estruturas

adjacentes e determinados os carregamentos (permanente e acidental) atuantes na

laje. A Figura 13 mostra um exemplo de laje armada em uma só direção, com as

30

diferentes possibilidades de vinculação, bem como a viga equivalente considerada

para o cálculo dos esforços.

Figura 13 - Lajes armadas em uma direção

Fonte: Araújo, 2014, p. 14.

No caso de lajes armadas em duas direções essa analise torna-se mais

complexa, conforme ressalta Araújo (2014). Para estas, devem ser analisados os

momentos em ambas as direções. Devido a essa maior complexidade, foram

desenvolvidos métodos de cálculo simplificados para facilitar o processo de

dimensionamento.

A NBR 6118:2014 prevê a possibilidade de análise de placas de concreto por

métodos elásticos (com ou sem aproximação) e método plástico. Embora cada

método apresente suas limitações e deficiências, Araújo (2014) ressalta que ambos

têm se mostrados eficientes, visto a boa qualidade de estruturas antigas, cujos

projetos foram desenvolvidos com base em métodos simplificados, quando inexistiam

recursos computacionais que permitissem analise da estrutura de forma mais

completa.

2.3.1. Método plástico

O método plástico, também conhecido como método das linhas de ruptura,

baseia sua análise em um comportamento rígido-plástico do material,

desconsiderando suas deformações elásticas, buscando identificar a maneira com

31

que a laje chega ao colapso (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015). Para isso, é

utilizada a teoria das charneiras plásticas.

Na teoria das charneiras plásticas são determinados os momentos de

plastificação da laje, que corresponde ao valor do início do escoamento da armadura

de tração. Considera-se esse valor como sendo constante durante a deformação

plástica da peça. As chamadas ‘charneiras’ são formadas de acordo com ‘linhas’ de

plastificação, correspondendo aos locais onde o momento de plastificação é atingido.

Configurando-se, assim, a ruina da laje (LANGENDONCK, 1970). A configuração

dessas linhas depende da vinculação no bordo da laje e do formato geométrico da

mesma, tornando complexo sua determinação quando se trata de laje que não possui

formato retangular. A variedade de configurações possíveis para os diferentes

formatos de lajes pode ser encontrada na bibliografia de Langendonck (1970).

A fim de facilitar os cálculos e tornar possível a utilização da teoria, a NBR

6118:2014 estabelece as seguintes aproximações permitidas para o posicionamento

das linhas de ruptura:

a) 45º entre dois apoios do mesmo tipo;

b) 60º a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado

simplesmente apoiado;

c) 90º a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.

2.3.2. Método elástico

O método elástico, denominado na NBR 6118:2014 como método linear,

considera o material em estado não fissurado e com comportamento elástico-linear.

Esse método baseia-se nas “equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de

placa e nas relações de compatibilidade das deformações do mesmo”, conforme

definido por Carvalho e Figueiredo Filho (2015, p. 321). Essas equações e relações

fundamentam-se em conceitos e determinações da teoria da elasticidade.

Na utilização desse método de análise, são feitas considerações em relação ao

material, a fim de permitir a aplicação de simplificações de cálculo. Embora o concreto

armado seja um material heterogêneo (constituído de aço e concreto), deve-se

considerá-lo como material homogêneo. Também deve ser considerado como

fisicamente linear, ou seja, admitindo-se relação linear entre tensões e deformações;

e isótropo, apresentando mesmas propriedades em todas as direções.

32

Outra consideração é em relação à elasticidade do material, admitindo que

esse retorne ao estado inicial quando não mais aplicadas cargas sobre ele. Além

disso, para possibilitar a aplicação da teoria de superposição de efeitos, considera-se

a placa com pequenas deformações (CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO, 2015).

Diferentes processos para a determinação dos esforços e deslocamentos em

placas de concreto foram desenvolvidos a partir da análise elástica da estrutura.

Dentre eles podem-se destacar a teoria das grelhas, teoria de flexão das placas,

analogia de grelha equivalente, método das diferenças finitas e método dos elementos

finitos (ARAÚJO, 2014).

2.4. TEORIA DE FLEXÃO DAS PLACAS

A teoria de flexão das placas finas foi desenvolvida com base em

considerações da teoria da elasticidade para um corpo tridimensional quando

submetido a ações externas. Também, para o desenvolvimento da teoria, são

admitidas as seguintes hipóteses para placas finas com pequenas deflexões da Teoria

de Kirchhoff, conforme Araújo (2014):

a) o material de placa é elástico linear, homogêneo e isotrópico;

b) a espessura da placa é pequena em relação às outras dimensões;

c) as deflexões são pequenas em relação à espessura da placa;

d) as rotações da superfície média transformada são pequenas em relação à

unidade;

e) linhas retas, inicialmente normais à superfície média, permanecem retas e

normais à superfície média após as deformações;

f) as deflexões da placa são normais ao plano indeformado inicial;

g) as tensões normais à superfície média são desprezíveis.

2.4.1. Equação fundamental

Considera-se um elemento de placa submetido a uma carga distribuída 𝑝 (𝑥, 𝑦),

aplicada transversalmente ao plano médio, conforme Figura 14a.

Admitindo-se a deformada da placa em uma seção paralela ao eixo x (Figura

14b), é possível representar a relação entre as deformações e os deslocamentos

verticais 𝑤, conforme as equações a seguir (PINHEIRO, 1988).

33

𝑚𝑥 = −𝐷(

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+ 𝜈.

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2)

(6)

𝑚𝑦 = −𝐷(

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2+ 𝜈.

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2)

(7)

𝑚𝑥𝑦 = −𝐷(1 − 𝜈)

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑦

(8)

𝑣𝑥 = −𝐷

𝜕

𝜕𝑥(𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2)

(9)

𝑣𝑦 = −𝐷

𝜕

𝜕𝑦(𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2)

(10)

Onde:

𝑚𝑥 = momento fletor na direção x (em torno de y);

𝑚𝑦 = momento fletor na direção y (em torno de x);

𝑚𝑥𝑦 = momento torçor;

𝑣𝑥 = esforço cortante na direção x;

𝑣𝑦 = esforço cortante na direção y.

𝐷 = rigidez à flexão da placa, dada por 𝐷 = 𝐸.ℎ³

12.(1−𝜈2)

Com base nas hipóteses anteriormente citadas, o equilíbrio de um elemento

infinitesimal de placa é determinado a partir dos esforços internos atuantes -

momentos fletores 𝑚𝑥 e 𝑚𝑦, momentos torçores 𝑚𝑥𝑦 e 𝑚𝑦𝑥 e esforços cortantes 𝑣𝑥 e

𝑣𝑦, conforme representado na Figura 14c.

34

Figura 14 – a) Elemento de placa; b) Deformada da placa; c) Equilíbrio dos esforços

internos.

Fonte: Madureira, Medeiros e Silva, 2017.

A partir do equilíbrio dos esforços e das relações das equações (6) a (10), é

possível determinar a equação fundamental das placas delgadas (Equação (11)).

𝜕4𝑤

𝜕𝑥4+ 2.

𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2+

𝜕4𝑤

𝜕𝑦4=

𝑝(𝑥, 𝑦)

𝐷

(11)

Onde:

𝑤 = deslocamento vertical

𝑥, 𝑦 = coordenadas de um ponto da placa

𝑝 = carga distribuída atuante

𝐷 = rigidez à flexão da placa

𝐸 = módulo de elasticidade do material

𝜈 = coeficiente de Poisson

A Equação (11), diferencial de quarta ordem, não-homogênea, é conhecida

como equação de Lagrange, sendo válida para placas com rigidez à flexão constante

(ARAÚJO, 2014). É possível observar, a partir dessa equação, que os deslocamentos

da placa dependem das dimensões da mesma, do carregamento, do módulo de

elasticidade, da espessura da placa, do coeficiente de Poisson e das condições de

contorno.

A solução da equação de Lagrange pode ser obtida através do método de

Navier ou método de Lévy, ambos baseados em expansões em série de Fourier,

permitindo a determinação dos esforços e deslocamentos de um elemento de placa.

No entanto, trata-se de um processo de cálculo trabalhoso e complexo, além de sua

35

aplicação ser bastante restrita, uma vez que as soluções só podem ser utilizadas para

poucos casos de formas e condições de contorno da placa. Em vista disso, diversos

autores apresentaram em suas bibliografias tabelas com cálculos aproximados que

possibilitam essa determinação de forma mais rápida e simples.

2.4.2. Condições de contorno

É necessário estabelecer duas condições de contorno para a resolução da

equação diferencial já que esta é de quarta ordem. Essas condições dependem dos

tipos de apoio da placa. Para exemplificar as condições, será considerada uma borda

reta paralela ao eixo y (PINHEIRO, 1988).

No caso de borda simplesmente apoiada consideram-se nulos o deslocamento

e o momento, ou seja:

𝑤 = 0 ; 𝑚𝑥 = −𝐷 (

𝜕2𝑤

𝜕𝑥2+ 𝜈.

𝜕2𝑤

𝜕𝑦2) = 0

(12)

Para bordo engastado, a flecha e a rotação são consideradas nulas, portanto:

𝑤 = 0 ;

𝜕𝑤

𝜕𝑥= 0

(13)

Por fim, no caso de bordo livre, os esforços solicitantes (o momento 𝑚𝑥 e a

reação) no bordo são nulos:

𝑚𝑥 = 0 ; 𝑣𝑥 −

𝜕𝑚𝑥𝑦

𝜕𝑦= 0

(14)

2.4.3. Restrições da teoria

Conforme citado por Araújo (2014), torna-se necessário a aplicação de algumas

condições para que sejam válidas as soluções da teoria das placas. Dentre essas

condições, destacam-se a consideração de apoios rígidos, emprego de armaduras de

canto e consideração de cargas parcialmente distribuídas para o cálculo das vigas de

apoio.

A necessidade de considerar apoios rígidos deve-se ao fato de que, na teoria

das placas, é considerado deslocamento vertical nulo no contorno. Na prática, essa

consideração só é verificada quando as lajes estão apoiadas em paredes de alvenaria,

não se adequando à maioria dos casos, nos quais as lajes apoiam-se em vigas pouco

rígidas. Com isso, os valores reais das flechas e momentos fletores positivos da laje

36

são maiores que os calculados pela teoria das placas, enquanto os momentos fletores

negativos e momentos torçores são menores.

Quanto à necessidade de armaduras de canto, esta deve-se ao fato de que,

quando considerados apoios rígidos, se considera a integralidade da rigidez à torção

da placa. Dessa forma, são importantes os momentos torçores nos cantos

simplesmente apoiados (ARAÚJO, 2014).

2.5. MÉTODOS ELÁSTICOS DE CÁLCULO DE LAJES

A partir das equações fornecidas pela teoria das placas é possível determinar

os valores de esforços, tensões, deformações e deslocamentos em qualquer ponto no

interior da placa. No entanto, o processo de desenvolvimento desse cálculo para a

obtenção dos resultados é bastante trabalhoso, tornando praticamente inviável sua

utilização para a análise das lajes de um edifício (SOUZA; CUNHA, 1998).

Os métodos aproximados desenvolvidos para o cálculo de lajes têm como base

os fundamentos da teoria das placas. Embora os métodos simplificados apresentem

a desvantagem de determinação apenas dos valores máximos de esforços e

deslocamentos, enquanto as equações propostas pela teoria fundamental permitem

determinar os valores em qualquer ponto no interior da placa, os métodos

simplificados tornam-se bastante viáveis devido à sua simplicidade de aplicação.

Segundo a NBR 6118:2014, o cálculo de elementos de placa pela análise linear

pode ser feito utilizando os métodos aproximados baseados na teoria da elasticidade

desde que seja utilizado coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,2.

2.5.1. Resolução por meio de séries

A solução da equação fundamental das placas, ou equação de Lagrange, pode

ser feita através de séries duplas trigonométricas, conforme desenvolvido por Navier

e apresentado em Timoshenko e Woinowsky-Krieger (1959). Nessa solução, a carga

𝑝(𝑥, 𝑦) é considerada por superposição de carregamentos com forma bissenoidal,

conforme Equação (15).

𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑦) = ∑ ∑ 𝑃𝑚𝑛. 𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥

𝑎𝑠𝑒𝑛

𝑛𝜋𝑦

𝑏𝑛𝑚 (15)

Onde:

𝑎, 𝑏 = dimensões da placa;

37

𝑚, 𝑛 = número de retângulos em que a placa é dividida;

𝑝𝑚𝑛 = 4

𝑎𝑏∫ ∫ 𝑝(𝑥, 𝑦)𝑠𝑒𝑛

𝑚𝜋𝑥

𝑎𝑠𝑒𝑛

𝑛𝜋𝑦

𝑏𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑏

0

𝑎

0= carregamento máximo no centro

do retângulo.

Considerando laje retangular com os quatro bordos simplesmente apoiados,

satisfazendo-se as condições de contorno, obtêm-se o deslocamento 𝑤 por:

𝑤 =𝑝𝑚𝑛

𝜋4. 𝐷. (𝑚²𝑎²

+𝑛2

𝑏²) ²

. 𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥

𝑎𝑠𝑒𝑛

𝑛𝜋𝑦

𝑏 (16)

Para placas com carregamento uniformemente distribuído 𝑝 o valor de 𝑝𝑚𝑛

resulta em:

𝑝𝑚𝑛 =

16𝑝

𝜋²𝑚𝑛

(17)

Onde 𝑚 e 𝑛 apresentam valores impares, uma vez que, quando pares, a

integral se anula.

Dessa forma, substituindo-se a Equação (17) na equação do deslocamento 𝑤,

obtêm-se a função 𝑤(𝑥, 𝑦) para o deslocamento considerando carga uniforme:

𝑤 =16𝑝

𝜋6𝐷∑ ∑

𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥

𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜋𝑦

𝑏

𝑚. 𝑛(𝑚2

𝑎2 +𝑛2

𝑏2)𝑛𝑚

(18)

Com isso, é possível determinar os momentos fletores (𝑚𝑥 e 𝑚𝑦) pelas

equações a seguir.

𝑚𝑥 =16𝑝

𝜋4∑ ∑

(𝑚2

𝑎2 + 𝜈.𝑛2

𝑏2)

𝑚. 𝑛(𝑚2

𝑎2 +𝑛2

𝑏2)𝑛𝑚


𝑎𝑠𝑒𝑛

𝑛𝜋𝑦

𝑏

(19)

𝑚𝑦 =16𝑝

𝜋4∑ ∑

(𝑛2

𝑏2 + 𝜈.𝑚2

𝑎2 )

𝑚. 𝑛(𝑚2

𝑎2 +𝑛2

𝑏2)𝑛𝑚


𝑎𝑠𝑒𝑛

𝑛𝜋𝑦

𝑏

(20)

A partir dessas equações, se conhecido o valor de 𝑝 é possível determinar os

momentos fletores na placa. Observa-se que os valores de momentos são máximos

no centro da laje. Além disso, utilizando-se dessa solução, é possível determinar as

expressões para o cálculo das reações de apoio da laje nas vigas de bordo. (ARAÚJO,

2014)

38

2.5.2. Método das diferenças finitas

Através do método das diferenças finitas, obtêm-se uma solução aproximada

para a equação diferencial da placa. Nesse método, é considerada uma malha,

chamada de malha de diferenças finitas, podendo essa ser retangular, triangular ou

de outra forma. Essa malha é composta de pontos igualmente espaçados

denominados pontos nodais que se localizam nos nós da mesma.

Com base nisso, substituem-se as derivadas da equação de Lagrange por

aproximações de diferenças de valores correspondentes aos deslocamentos em

pontos nodais da malha. O erro obtido com as aproximações é inversamente

proporcional ao refinamento da malha, ou seja, quanto maior o número de pontos

nodais, menor o erro (CASTRO, 2001).

Para melhor compreensão do método, considera-se, primeiramente, um caso

unidimensional, representado na Figura 15.

Figura 15 - Aproximação de função para malha unidimensional


Nesse caso, a função 𝑓(𝑥) pode ser determinada a partir da Equação (21), onde

𝑎𝑖 é determinado obedecendo a igualdade 𝜑(𝑥) = 𝑓(𝑥) nos pontos em que 𝑓(𝑥) é

conhecida.

𝜑(𝑥) = ∑ 𝑎𝑖𝑥

𝑖

𝑘

𝑖=0

(21)

39

Dessa forma, considerando-se 𝑘 = 1, a função é definida por segmentos de

reta. Quando 𝑘 = 2, a aproximação é feita por parábolas do segundo grau, conforme

Equação (22) (ARAÚJO, 2014).

𝜑(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥² (22)

Assim, quando considerados pontos nodais 𝑥𝑚−1, 𝑥𝑚, 𝑥𝑚+1, é possível obter

uma equação adequada para a função 𝑓(𝑥) e, a partir dessa, determinar as derivadas

correspondentes.

De forma análoga, considerando malha bidimensional, conforme Figura 16,

pode-se representar a equação de Lagrange aplicada ao ponto (𝑚, 𝑛), pela Equação

(23).

Figura 16 - Malha de diferenças finitas - caso bidimensional


(

𝜕4𝑤

𝜕𝑥4)

𝑚,𝑛

+ 2. (𝜕4𝑤

𝜕𝑥2𝜕𝑦2)

𝑚,𝑛

+ (𝜕4𝑤

𝜕𝑦4)

𝑚,𝑛

= (𝑝

𝐷)

𝑚,𝑛

(23)

Aplicando-se as aproximações das derivadas, obtêm-se a seguinte Equação

de equilíbrio:

∑ 𝐾𝑖,𝑗𝑤𝑖,𝑗 = (𝑝

𝐷)

𝑚,𝑛 (24)

onde 𝑖 varia de 𝑚 − 2 a 𝑚 + 2 e 𝑗 varia de 𝑛 − 2 a 𝑛 + 2.

Com isso, considerando um ponto (𝑚, 𝑛) de uma malha com ∆𝑥 = ∆𝑦, os

valores correspondentes ao coeficiente 𝐾𝑖,𝑗 estão representados na Figura 17.

40

Figura 17 - Ponto (m,n) malha de diferenças finitas

Fonte: Araújo, 2014, p.128.

A partir da Equação (24), é possível determinar um sistema de equações

algébricas simultâneas, que pode ser representado por:

𝐾𝑊 = 𝑃 (25)

onde:

𝐾 = matriz de rigidez da placa

𝑊 = vetor com flechas nodais a serem determinadas

𝑃 = vetor de cargas nodais

Resolvendo-se o sistema representado pela Equação (25), com base em

determinações das condições de contorno, é possível obter os valores dos

deslocamentos em cada ponto nodal da malha. A partir dos deslocamentos, pode-se

determinar os valores dos momentos fletores, torçores e esforços cortantes.

Dependendo do formato e tamanho da placa, pode ser necessário considerar

pontos fictícios fora do domínio da mesma, uma vez que os pontos nodais devem

apresentar mesmo espaçamento (PINHEIRO, 1988). Além disso, é válido observar

que o número de equações que compõem o sistema corresponde ao número de

pontos nodais da mesma, permitindo-se obter o deslocamento em cada nó.

Araújo (2014) ressalta que, embora simples de ser aplicado, o método das

diferenças finitas apresenta inconvenientes que ocasionaram o abandono da

utilização desse método nos dias atuais. Dentre esses inconvenientes, pode-se citar

a dificuldade de desenvolvimento de algoritmo que corresponda às diferentes

41

condições de contorno existentes, bem como a necessidade de utilização de uma

malha consideravelmente refinada para que seja obtido um erro aceitável.

2.5.3. Teoria das grelhas e método de Marcus

A teoria das grelhas foi inicialmente desenvolvida considerando lajes sobre

apoios rígidos, ou seja, desconsiderando possíveis efeitos de torção. O método

desenvolvido por Marcus baseou-se nessa teoria, adaptando as equações já

existentes para incluir o efeito da torção nas lajes (ARAÚJO, 2014).

Para compreensão da teoria das grelhas, analisa-se uma laje retangular com

os bordos simplesmente apoiados, submetida a uma carga uniformemente distribuída

𝑝 e com apoios indeformáveis. Dessa placa, consideram-se duas faixas centrais, com

largura unitária e que se cruzam no centro da mesma (Figura 18).

Figura 18 - Laje simplesmente apoiada


O carregamento atuante pode ser dividido conforme a direção da faixa, sendo

denominados de 𝑝𝑥 e 𝑝𝑦, conforme mostrado na Figura 18, e devem obedecer a

relação:

𝑝 = 𝑝𝑥 + 𝑝𝑦 (26)

42

A flecha no centro da faixa na direção 𝑥 é dada pela Equação (27), onde 𝐷 é a

rigidez à flexão da faixa, e 𝑙𝑥 e 𝑝𝑥 correspondem ao vão e ao carregamento na direção

𝑥, respectivamente.

𝑊𝑥 =

5

384

𝑝𝑥𝑙𝑥4

𝐷

(27)

De forma análoga, a flecha na direção 𝑦 é dada por:

𝑊𝑦 =

5

384

𝑝𝑦𝑙𝑦4

𝐷

(28)

A flecha no centro da laje possui um valor único, portanto considera-se que

𝑊𝑥 = 𝑊𝑦, obtendo-se, assim, a seguinte relação:

𝑝𝑥𝑙𝑥4 = 𝑝𝑦𝑙𝑦

4 (29)

Substituindo-se a relação 𝑝𝑦 = 𝑝 − 𝑝𝑥, proveniente da Equação (26), tem-se:

𝑝𝑥 = (

𝑙𝑦4

𝑙𝑥4 + 𝑙𝑦

4) 𝑝

(30)

A partir da relação 𝜆 entre vãos definida por:

𝜆 =

𝑙𝑦

𝑙𝑥

(31)

Pode-se determinar os valores de 𝑝𝑥 e 𝑝𝑦 pelas equações a seguir.

𝑝𝑥 = 𝑘𝑥𝑝 ; 𝑝𝑦 = 𝑘𝑦𝑝 (32)

Onde

𝑘𝑥 =𝜆4

1+𝜆4 ; 𝑘𝑦 = 1 − 𝑘𝑥 (33)

A partir da Equação (32) é possível concluir que os carregamentos

correspondentes às direções 𝑥 e 𝑦 dependem apenas dos vãos da laje. Também a

partir dessa equação, pode-se determinar os momentos fletores em ambas direções.

𝑀𝑥 = 𝑚𝑥𝑝𝑙𝑥2 ; 𝑚𝑥 = 𝑘𝑥/8 (34)

𝑀𝑦 = 𝑚𝑦𝑝𝑙𝑦2 ; 𝑚𝑦 = 𝑘𝑦/8 (35)

Sendo 𝑀𝑥 o momento máximo na direção 𝑥 e 𝑀𝑦 o momento máximo na direção

𝑦.

No método desenvolvido por Marcus, as equações de momentos fletores

positivos apresentam coeficientes 𝐶𝑥 e 𝐶𝑦, que dependem das condições de contorno

e da relação entre os vãos da laje. Os momentos são, então, reduzidos quando

comparados aos calculados pela teoria das grelhas, uma vez que os coeficientes

43

apresentam valores inferiores a 1. Dessa forma, os momentos são definidos pela

equação a seguir.

𝑀𝑥𝑜 = 𝐶𝑥𝑀𝑥 ; 𝑀𝑦𝑜 = 𝐶𝑦𝑀𝑦 (36)

Os coeficientes 𝐶𝑥 e 𝐶𝑦 podem ser calculados por:

𝐶𝑥 = 1 −20𝑘𝑥

3𝛼𝑥𝜆² ; 𝐶𝑥 = 1 −

20𝑘𝑥

3𝛼𝑥𝜆2 (37)

Onde 𝛼𝑥 e 𝛼𝑦 dependem das condições de apoio, sendo 𝛼 = 8 para faixa

biapoiada; 𝛼 = 14,22 para faixa engastada e apoiada; e 𝛼 = 24 para faixa

biengastada.

Esses coeficientes surgem devido a consideração de que as deformações no

centro das faixas na direção 𝑥 e 𝑦 não apresentam o mesmo valor. Isso ocorre devido

a diferentes condições de continuidade nos bordos da laje. Com isso, surgem

momentos volventes nas extremidades da placa, responsáveis pela diminuição do

momento máximo positivo definido pelo método das grelhas (SOUZA; CUNHA, 1998).

2.5.3.1. Tabelas de Marcus

Com base nesse método, Marcus desenvolveu tabelas que permitem o cálculo

dos momentos fletores e das reações de apoio para diferentes configurações das

condições de apoio das lajes.

As tabelas de Marcus utilizadas para a realização desse trabalho são as

disponibilizadas por Souza e Cunha (1998) e podem ser encontradas no Anexo A.

2.5.4. Método dos elementos finitos

A ampla aplicabilidade do método dos elementos finitos permite sua utilização

para a análise do comportamento de diferentes elementos, bem como fluxo de fluidos,

condução de calor e análise estrutural. Conforme defende Araújo (2014, p. 132), “o

grande atrativo do método é a generalidade da formulação, o que permite que um

conjunto de rotinas de cálculo possa ser utilizado para resolver problemas diferentes”.

O método consiste na subdivisão da placa em um conjunto de pequenos

elementos, denominados elementos finitos. Esses elementos estão conectados por

nós e seu conjunto forma uma malha de elementos finitos. Essa malha pode ser

composta por elementos triangulares, retangulares ou isoparamétricos.

44

Ao contrário dos outros métodos, o método dos elementos finitos considera os

elementos ou regiões de forma isolada, permitindo variar as dimensões e

características elásticas de um elemento para outro. Além disso, essa análise

separada dos elementos origina polinômios mais simples para descrever a solução

aproximada quando comparados aos métodos baseados na teoria da elasticidade

(REIS, 2007).

De maneira geral, embora o método apresente resultados aproximados, o

refinamento da malha e aumento do número de nós permite a obtenção de resultados

mais próximos aos obtidos pela teoria da elasticidade (REGGIANI, 2016).

2.5.5. Utilização de tabelas

Devido à considerável complexidade de resolução da equação diferencial das

placas apresentada anteriormente e à falta de recursos computacionais disponíveis

para a análise da estrutura por elementos finitos ou analogia de grelha equivalente,

diversos autores desenvolveram tabelas para o cálculo dos momentos fletores,

flechas e reações de apoio em lajes maciças. Essas diferentes tabelas foram

elaboradas com base na resolução por meio de séries e podem apresentar

divergências entre si devido a aproximações das séries de Fourier ou devido a adoção

de valores distintos para o coeficiente de Poisson (ARAÚJO, 2014).

Nesse método, mesmo no caso de lajes contínuas, a análise é feita com a

discretização do pavimento, desconsiderando a existência de comportamento

monolítico na estrutura e considerando as lajes de forma isolada. Para isso, são

considerados apenas dois tipos de vinculação: bordos simplesmente apoiados ou

engastados. As diferentes possibilidades de vinculação das lajes nas estruturas

adjacentes estão ilustradas na Figura 19 (CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015).

45

Figura 19 - Possibilidades de vinculação das lajes


Essa análise pode gerar divergências nos resultados quando comparados com

os obtidos através de métodos que analisam as lajes de um pavimento de forma

contínua. Isso ocorre devido ao fato de que, quando consideradas contínuas, o painel

de lajes apresenta resistência maior que quando analisadas de forma isolada,

originando, no último caso, valores maiores para as solicitações atuantes (BOTELHO;

MARCHETTI, 2010).

No presente trabalho, serão utilizados os quadros desenvolvidos por Bares,

Czerny, Montoya, Marcus e Araújo. As tabelas apresentam valores de coeficientes a

serem utilizados na determinação dos momentos fletores, reações de apoio e flechas,

conforme as equações correspondentes. Para obtenção desses coeficientes, devem

ser consideradas as vinculações da laje e o valor de 𝜆, equivalente à relação entre o

maior e o menor vão da mesma.

46

2.5.5.1. Tabelas de Bares

As tabelas desenvolvidas por Bares (1972) foram baseadas na resolução por

meio de séries. Serão utilizadas nesse trabalho as tabelas disponibilizadas por

Carvalho e Figueiredo Filho (2015) adaptando as tabelas de Bares para o coeficiente

de Poisson 𝜈 = 0,20, conforme recomendação da NBR 6118:2014. As tabelas

utilizadas podem ser encontradas no Anexo B.

2.5.5.2. Tabelas de Araújo

As tabelas disponibilizadas por Araújo (2014) para cálculo dos esforços e

flechas em lajes retangulares armadas em duas direções foram baseadas nas tabelas

de Kalmanok (1961) e adaptadas para Coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,20. As tabelas

utilizadas nesse trabalho encontram-se no Anexo C.

2.5.5.3. Tabelas de Czerny

As tabelas desenvolvidas por Czerny foram baseadas na teoria da elasticidade

considerando Coeficiente de Poisson nulo (𝜈 = 0). Para a realização desse trabalho,

foram utilizadas as tabelas de Czerny devidamente adaptadas para Coeficiente de

Poisson 𝜈 = 0,20, disponibilizadas em Beton-Kalender (1976). As tabelas utilizadas

permitem a determinação dos momentos fletores e flechas máximas para as lajes, e

encontram-se no Anexo D.

2.5.5.4. Tabelas de Montoya

As tabelas disponibilizadas em Montoya, Meseguer e Cabré (2000) foram

desenvolvidas a partir da teoria da elasticidade para Coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,15

e podem ser encontradas no Anexo E. A partir dessas tabelas, é possível determinar

os momentos fletores e flechas máximas nas lajes de concreto armado.

47

2.5.6. Analogia de grelha

De maneira semelhante ao método desenvolvido por Marcus, o processo de

analogia de grelha consiste na substituição da laje por uma malha de vigas

equivalentes, chamada de grelha equivalente.

A possibilidade de utilização desse método em programação computacional

permite o dimensionamento de uma estrutura de maneira rápida e prática. Devido a

isso, é possível realizar modificações no sistema estrutural de forma bastante fácil,

permitindo simulação de diferentes situações estruturais para um mesmo projeto,

facilitando a análise e decisão da situação mais adequada ao projeto em questão

(CARVALHO; FIGUEIREDO FILHO, 2015).

Nesse método, os elementos estruturais do pavimento – vigas e lajes – são

substituídos por uma malha de barras, configurando a grelha equivalente, conforme

ilustrado na Figura 20. Isso permite a reprodução de elementos com diferentes

geometrias. A disposição e espaçamentos dessas barras deve ser definida com base

na situação mais adequada para o pavimento.

Figura 20 - Malha de grelha equivalente

Fonte: Carvalho e Figueiredo Filho, 2015, p. 327.

48

Os carregamentos são analisados com base na área de influência de cada

barra, podendo ser dispostos de maneira distribuída ao longo do comprimento das

barras ou de forma concentrada nos nós.

Na configuração de grelha, a rigidez à flexão e torção da laje encontra-se

considerada no elemento de grelha mais próximo. E, conforme citado por Neves

(2010, p. 21),

O ideal seria a rigidez das vigas ser tal que, quando a laje e a respectiva grelha estivessem sujeitas a carregamentos idênticos, as duas estruturas fletissem de igual forma e os esforços em cada elemento de grelha igualassem os esforços na seção de laje que o elemento de grelha pretende simular. No entanto, devido às diferentes características da laje e da grelha equivalente, este ideal pode apenas ser aproximado.

Apesar disso, é possível obter resultados satisfatórios a partir desse método,

desde que aplicado de maneira apropriada, com espaçamento e rigidezes adequados.

Nesse trabalho, o método da analogia de grelha será utilizado através do

software comercial SAP 2000. Na representação do pavimento no programa, serão

seguidas as recomendações a respeito dos parâmetros de rigidez e espaçamento de

malha conforme indicados a seguir.

2.5.6.1. Rigidez à flexão

A malha da grelha, como citado anteriormente, é composta de barras

longitudinais e transversais. A largura dessas barras varia conforme o espaçamento

considerado para a malha em questão, e a altura da barra corresponde à espessura

da laje. Dessa forma, a rigidez à flexão (𝐼𝑓) das barras pode ser calculada pela

Equação (38).

𝐼𝑓 =

𝑏ℎ3

12

(38)

Onde,

𝑏 = largura (soma da metade dos espaços entre os elementos vizinhos);

ℎ = espessura da laje.

49

2.5.6.2. Rigidez à torção

A rigidez à torção da barra depende do módulo de elasticidade transversal (𝐺)

do material e do momento de inércia à torção ( 𝐼𝑡) da barra, e corresponde a 𝐺. 𝐼𝑡.

O módulo de elasticidade transversal (𝐺) pode ser calculado pela Equação

(39), onde 𝐸𝑐𝑠 é o módulo de elasticidade longitudinal do material e 𝜈 é o Coeficiente

de Poisson. Conforme já citado, a NBR 6118:2014 estabelece o uso de 𝜈 = 0,2.

𝐺 =

𝐸

2(1 + 𝜈)

(39)

A NBR 6118:2014 recomenda utilizar a relação 𝐺 = 𝐸𝑐𝑠/2,4.

Segundo Carvalho e Figueiredo Filho (2015), a inércia à flexão e à torção varia

para elementos de placa e elementos compostos de viga e placa. Quando analisados

elementos de placa, ou lajes, pode-se considerar a rigidez à torção como sendo o

dobro da rigidez à flexão, quando no estádio I. Dessa forma, a inércia à torção

(𝐼𝑡) pode ser definida por:

𝐼𝑡 = 2𝐼𝑓 =

𝑏ℎ3

6

(40)

Coelho (2000) realizou a análise de diferentes relações 𝐼𝑡/𝐼 e concluiu que,

para obtenção dos esforços e flechas, a relação que obtém valores mais próximos aos

obtidos pela teoria da elasticidade correspondem a 𝐼𝑡/𝐼 entre 2 e 2,5. Entretanto,

conforme estudos realizados por Stramandinoli (2003), a relação mais adequada para

determinação dos deslocamentos corresponde a 𝐼𝑡/𝐼 = 3.

Com base nas considerações apresentadas, nesse trabalho será utilizada

relação 𝐼𝑡 = 2𝐼 para obtenção dos esforços e deslocamentos.

No caso de elemento viga-placa, a viga pode ser considerada como de seção

“T” ou “L”, de modo que parte da laje atue como mesa da viga, para isso deve-se

calcular a largura colaborante. Então, quando no estádio I, a inércia a torção da viga

pode ser calculada por:

𝐼𝑡 =

ℎ𝑏3

3

(41)

Quando trabalhando no estádio II, a inércia pode ser considerada equivalente

a 10% da inércia da viga, conforme apresentado na Equação (42).

𝐼𝑡 =

ℎ𝑏3

30

(42)

50

A NBR 6118:2014 (item 14.6.6.2) permite que em modelos de grelhas e pórticos

a rigidez a torção das vigas de apoio sejam reduzidas em 85% do seu valor. Além

disso, nesses modelos, a norma também possibilita a consideração de rigidez a torção

nula das vigas para a verificação do estado limite último. Nesse trabalho serão

analisados modelos considerando a inércia à torção equivalente a 0,15. 𝐼𝑡.

2.5.6.3. Disposição da malha adotada

Carvalho (1994) apresenta algumas recomendações a serem consideradas na

definição da grelha equivalente. Dentre elas, pode-se destacar:

a) O espaçamento adotado para as barras não deve ser superior a 25% do

vão;

b) As vigas ou regiões rígidas devem ser consideradas como elementos;

c) Deve ser feito refinamento da malha em regiões nas quais interessa saber

os efeitos localizados.

51

3. METODOLOGIA

Inicialmente, esse estudo abordou a apresentação de conceitos fundamentais

para a compreensão dos procedimentos e da análise realizada no trabalho, através

de uma revisão bibliográfica. Nesta, foram apresentados assuntos como elementos

estruturais, lajes de concreto armado, métodos de análise estrutural, teoria de flexão

das placas e métodos elásticos de cálculo das lajes. Dentro desses conceitos, foram

apresentadas as recomendações da NBR 6118:2014 correspondentes.

Em seguida, foram calculados os esforços e flechas atuantes nas lajes de um

pavimento através das tabelas baseadas na teoria da elasticidade propostas por

Marcus, Bares, Czérny, Araújo (adaptadas de Kalmanok) e Montoya. Após, foi

realizada a análise e comparação dos resultados obtidos através dos coeficientes e

equações apresentados em cada uma das tabelas citadas.

Além disso, foi realizada a modelagem do pavimento, com o auxílio do software

SAP 2000, com base na teoria da analogia de grelha. Nessa modelagem, foram

analisadas diferentes situações e considerações dos elementos constituintes da

estrutura, configurando dois diferentes casos que serão apresentados no item 3.5

desse trabalho. Para cada caso, foram determinados os esforços e deslocamentos

das barras.

3.1. CARACTERÍSTICAS DA ESTRUTURA

Para a obtenção dos resultados e comparação dos métodos foi utilizado o

projeto de um pavimento, conforme apresentado na Figura 21. O pavimento é

composto por 13 lajes retangulares, com as dimensões e espessuras representadas

na figura.

Foram calculados os vãos teóricos e efetivos das lajes e determinada a relação

𝜆 entre o maior e o menor vão (𝜆 = 𝑙𝑦/𝑙𝑥). Com isso, as lajes foram classificadas como

armadas em uma ou duas direções. Os valores obtidos são apresentados no Quadro

1. Neste trabalho, foram analisadas apenas as lajes que apresentam armação nas

duas direções, portanto, não foram consideradas as lajes L8 e L9 na análise.

52

Figura 21 - Pavimento modelo

Fonte: Autora, 2018.

Quadro 1 - Classificação das lajes do pavimento.

LAJE h

(cm) d

(cm) 0,3*h

Vão livre horizontal

(cm)

Vão livre

vertical (cm)

Vão efetivo

horizontal (cm)

Vão efetivo vertical

(cm)

lx (m) ly (m)

λ Armação (menor dim.)

(maior dim.)

L1 11 8 3,3 684,5 587,5 691,1 594,1 5,94 6,91 1,16 2

L2 10 7 3 250 422,5 256 428,5 2,56 4,29 1,67 2

L3 8 5 2,4 356 422,5 360,8 427,3 3,61 4,27 1,18 2

L4 8 5 2,4 250 422,5 254,8 427,3 2,55 4,27 1,68 2

L5 8 5 2,4 409 422,5 413,8 427,3 4,14 4,27 1,03 2

L6 8 5 2,4 303 422,5 307,8 427,3 3,08 4,27 1,39 2

L7 8 5 2,4 247,5 422,5 252,3 427,3 2,52 4,27 1,69 2

L8 8 5 2,4 886 150 890,8 154,8 1,55 8,91 5,75 1

L9 8 5 2,4 989,5 150 994,3 154,8 1,55 9,94 6,42 1

L10 11 8 3,3 684,5 459,5 691,1 466,1 4,66 6,91 1,48 2

L11 10 7 3 886 459,5 892 465,5 4,66 8,92 1,92 2

L12 10 7 3 621 459,5 627 465,5 4,66 6,27 1,35 2

L13 8 5 2,4 353,5 459,5 358,3 464,3 3,58 4,64 1,30 2


53

3.2. PARÂMETROS ADOTADOS

Para a escolha dos parâmetros foram seguidas as recomendações da NBR

6118:2014. Dessa forma, foi considerada edificação em ambiente urbano com

pequeno risco de deterioração, caracterizando classe de agressividade ambiental II,

conforme Tabela 6.1 da referida norma. Adotou-se concreto da classe C25 e para o

módulo de elasticidade transversal do concreto foi considerado o valor estimado

apresentado na Tabela 8.1 da Norma para concreto C25, sendo 𝐸𝑐𝑠 = 24 𝐺𝑃𝑎.

3.3. CARREGAMENTOS

Conforme apresentado anteriormente, os carregamentos atuantes podem ser

classificados em permanentes e acidentais. Para a carga permanente do pavimento

foi considerado o peso próprio das lajes, correspondendo ao produto do peso

específico do concreto armado (𝛾𝑐 = 25 𝑘𝑁/𝑚³) pela espessura da laje. Também

foram considerados os revestimentos (piso e forro) e a camada de regularização da

laje, totalizando um carregamento de 1,5 kN/m². Para a carga acidental foi

considerado edifício residencial com 2,0 kN/m². O total do carregamento considerado

para cada laje está apresentado no Quadro 2, sendo considerada combinação em

serviço.

Quadro 2 – Carregamentos

LAJE h PP Revestimentos Permanente (g) Acidental (q) Total (p)

(cm) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²) (kN/m²)

L1 11 2,75 1,50 4,25 2,00 6,25

L2 10 2,50 1,50 4,00 2,00 6,00

L3 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50

L4 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50

L5 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50

L6 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50

L7 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50

L10 11 2,75 1,50 4,25 2,00 6,25

L11 10 2,50 1,50 4,00 2,00 6,00

L12 10 2,50 1,50 4,00 2,00 6,00

L13 8 2,00 1,50 3,50 2,00 5,50


54

Nas tabelas baseadas na teoria de flexão das placas, o carregamento total foi

aplicado de maneira distribuída na área da laje. Enquanto na modelagem pelo método

da analogia de grelha esse foi distribuído linearmente nos elementos de barra da

malha equivalente. Para obtenção da carga linear foram consideradas as áreas de

influência de cada barra. Para não ocorrer a duplicação dos carregamentos em cada

barra, a carga linear a ser aplicada nas barras foi multiplicada por 0,5.

3.4. UTILIZAÇÃO DAS TABELAS

Na análise através das tabelas de Bares, Czérny, Araújo, Montoya e Marcus

foram consideradas as lajes do pavimento de forma isolada. Para isso, foi

estabelecida a vinculação de cada placa nas estruturas adjacentes, conforme

apresentado na Figura 22. A representação das vinculações foi feita de acordo com

as convenções apresentadas no item 2.2.4 desse trabalho. Com base nessa

determinação, as lajes foram classificadas conforme os casos apresentados por cada

tabela para, em seguida, serem obtidos os coeficientes para cálculo dos esforços e

das flechas.

Figura 22 - Vinculação das lajes


55

3.5. MODELAGEM DO PAVIMENTO

Na modelagem do pavimento no software SAP 2000 foram considerados

diferentes parâmetros e características das seções e do material. Adotou-se módulo

de elasticidade (𝐸) do concreto para as vigas de apoio igual a 24 GPa e com valor

multiplicado por 10000, a fim de simular a situação de apoios indeformáveis que é

considerada na análise por meio das tabelas. Além disso, para a rigidez à torção das

vigas foi considerado valor reduzido a 15% da rigidez elástica, ou seja, com 𝐼𝑡1 =

0,15. 𝐼𝑡, conforme recomendado no item 14.6.6.2 da NBR 6118:2014. Por fim, para a

rigidez à torção das barras da malha de grelha equivalente das lajes, foi considerada

a relação 𝐽 = 2𝐼.

56

4. ANÁLISE DOS RESULTADOS

Na modelagem do pavimento no software SAP 2000 foi possível obter a

estrutura deformada do pavimento. As Figuras 23 e 24 ilustram essa deformada para

os casos de apoios indeformáveis e deformáveis, respectivamente.

Figura 23 - Deformada do pavimento – Apoios indeformáveis


Figura 24 - Deformada do pavimento – Apoios deformáveis


57

4.1. MOMENTOS POSITIVOS

Os valores obtidos para os momentos positivos máximos das lajes do

pavimento pelos diferentes métodos utilizados estão apresentados nos Gráficos 1 a

11. Para a análise dos resultados, foi adotado o menor vão como direção x e o maior

como direção y.

Gráfico 1 - Momentos positivos L1




0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

Direção X Direção Y

Mo

men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L1

BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYA

MARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

Direção X Direção YMo

men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L2



58







0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50


LAJE L3



0,00

0,50

1,00

1,50

2,00


men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L4



0,00

1,00

2,00

3,00

4,00


Mo

men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L5



59







0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00


men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L6



0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50


Mo

men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L7



0,00

2,00

4,00

6,00

8,00


Mo

men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L10



60







0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00


Mo

men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L11



0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00


Mo

men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L12



0,00

1,00

2,00

3,00

4,00


Mo

men

tos

po

siti

vos

(kN

.m)

LAJE L13



61

A partir da análise dos gráficos, é possível observar que os resultados obtidos

para os momentos fletores positivos a partir das tabelas de Bares, Czerny, Araújo,

Montoya e Marcus possuem pequena variação, sendo a diferença inferior a 5%.

Dentre as tabelas, na maioria das lajes as tabelas propostas por Marcus apresentaram

os menores valores para os esforços (Mx e My).

Além disso, ao comparar os valores de momentos fletores obtidos pelas tabelas

com os da modelagem considerando modelo com apoios indeformáveis, nota-se que

este apresentou resultados inferiores, correspondendo a uma redução média de 20%

para os momentos positivos na direção x e 15% na direção y.

Por fim, analisando os valores das tabelas e da modelagem considerando

apoios deformáveis, nota-se que na modelagem se obteve resultados com uma

redução média de apenas 10% na direção x. Já na direção do maior vão, os valores

da modelagem foram consideravelmente superiores aos das tabelas.

Além disso, é interessante observar que a modelagem considerando apoios

deformáveis não apresentou momentos positivos para a laje L2 na direção do menor

vão. Isso pode ter ocorrido devido à existência e a influência de uma laje adjacente

com dimensões consideravelmente maiores que esta, como a laje L1.

4.2. MOMENTOS NEGATIVOS

Os valores dos momentos negativos máximos das lajes do pavimento

determinados pelos diferentes métodos utilizados estão apresentados nos Gráficos

12 a 22. Da mesma forma que nos momentos positivos, para a análise dos resultados

foi considerado o menor vão como direção x e o maior como direção y. Na análise,

não foi realizada compatibilização dos momentos negativos, a fim de permitir a

comparação dos resultados obtidos diretamente das tabelas.

62

Gráfico 12 - Momentos negativos L1






0,00

20,00

40,00

Direção X

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L1

BARES CZERNY ARAÚJO MONTOYAMARCUS SAP INDEFORMÁVEIS SAP DEFORMÁVEIS

2,80

3,00

3,20

3,40

3,60

3,80

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L2



0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L3



63







0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

Direção X

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L4



0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

Direção X

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L5



0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

Direção X

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L6



64







0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

Direção X

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L7



0,00

5,00

10,00

15,00

20,00


Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L10



0,00

2,50

5,00

7,50

10,00

12,50

15,00

17,50

Direção Y

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L11



65





Pela análise dos resultados, percebe-se que os valores dos momentos fletores

negativos obtidos através das tabelas de Bares, Czerny, Araújo, Montoya e Marcus

apresentaram pequena variação em ambas as direções. Na direção x os resultados

variaram em um valor médio inferior a 1%, e na direção y aproximadamente 10%.

Assim como nos momentos positivos, as tabelas de Marcus forneceram os menores

valores para os momentos negativos das lajes.

Além disso, observa-se que os momentos negativos da modelagem foram, de

maneira geral, inferiores aos das tabelas. A modelagem com apoios indeformáveis

apresentou uma redução média em torno de 8% na direção do menor vão. No entanto,

na direção do maior vão essa redução foi consideravelmente maior, apresentando

0,00

5,00

10,00

15,00

Direção Y

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L12



0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

Direção Y

Mo

men

tos

neg

ativ

os

(kN

.m)

LAJE L13



66

valor médio de 35%. Já a modelagem com apoios deformáveis apresentou uma

redução média de 18% para os valores na direção x, e de 25% na direção y.

4.3. FLECHAS

Os valores dos deslocamentos verticais máximos das lajes do pavimento

determinados pelos diferentes métodos utilizados estão apresentados nos Gráficos

23 a 33. Para a obtenção dos valores das flechas do modelo considerando apoios

deformáveis foi descontado o valor do deslocamento das vigas. Além disso, não foram

consideradas as tabelas de Marcus nessa análise, visto que essas não disponibilizam

equações para o cálculo das flechas.

Gráfico 23 - Flechas L1




0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,0016,0018,00

Flec

has

(m

m)

LAJE L1

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

Flec

has

(m

m)

LAJE L2

67







0,000,501,001,502,002,503,003,504,004,50

Flec

has

(m

m)

LAJE L3

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

Flec

has

(m

m)

LAJE L4

0,000,501,001,502,002,503,003,504,004,505,00

Flec

has

(m

m)

LAJE L5

68







0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

Flec

has

(m

m)

LAJE L6

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

Flec

has

(m

m)

LAJE L7

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

Flec

has

(m

m)

LAJE L10

69







9,5

10,0

10,5

11,0

11,5

12,0

12,5

Flec

has

(m

m)

LAJE L11

0,001,002,003,004,005,006,007,008,009,00

Flec

has

(m

m)

LAJE L12

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

8,00

Flec

has

(m

m)

LAJE L13

70

A partir dos resultados apresentados nos gráficos, é possível observar que, de

maneira semelhante aos momentos positivos e negativos, as tabelas forneceram

valores bastante próximos para as flechas máximas das lajes, apresentando uma

variação média de apenas 2%.

No entanto, os deslocamentos obtidos pelas tabelas e na modelagem

apresentam uma divergência maior. Mesmo considerando apoios indeformáveis,

simulando condições e aproximações feitas pelas tabelas, o modelo apresentou

resultados superiores, sendo a variação média dos resultados de aproximadamente

40%. No modelo com apoios deformáveis, os valores das flechas foram

consideravelmente superiores aos das tabelas.

71

5. CONCLUSÃO

Este trabalho apresentou uma análise dos esforços e deslocamentos verticais

em lajes maciças de concreto armado para o pavimento de um edifício obtidos por

diferentes métodos de cálculo a fim de verificar as diferenças dos resultados. Para

isso, foram utilizadas as tabelas de Bares, Czerny, Araújo, Montoya e Marcus,

desenvolvidas com base na teoria de flexão das placas. Sendo também realizada a

modelagem das lajes do pavimento com base no processo de analogia de grelha. Este

foi realizado com o auxílio do software comercial SAP 2000, no qual foram utilizados

dois modelos diferentes do pavimento: um considerando apoios indeformáveis, a fim

de simular as condições estabelecidas pelas tabelas, e o outro com apoios

deformáveis, com o intuito de considerar a interação do pavimento como um todo.

A partir dos resultados obtidos, foi possível verificar que para os valores dos

momentos positivos na direção do menor vão das lajes não houve grandes variações.

Apesar disso, observou-se que ambos os modelos baseados na analogia de grelha

apresentaram valores inferiores aos das tabelas. No entanto, quando analisado o

maior vão, o modelo com apoios deformáveis apresentou valores consideravelmente

superiores aos das tabelas enquanto o modelo com apoios indeformáveis apresentou

resultados inferiores.

Para os momentos negativos observou-se que os resultados por analogia de

grelha foram inferiores aos das tabelas. Dentre eles, o modelo que apresentou

diferença mais significativa nos esforços foi o que considerava apoios deformáveis.

Essa diferença foi observada, principalmente, nos momentos na direção do maior vão

das lajes. De maneira geral, comparando os resultados das tabelas entre si, tanto para

os momentos negativos e positivos, as tabelas de Marcus apresentaram os menores

valores.

Por fim, a análise dos deslocamentos permitiu verificar a variação mais

considerável nos resultados. Os valores das flechas pelo processo de analogia de

grelha apresentaram valores notavelmente superiores aos das tabelas, sendo o

modelo de apoios deformáveis aquele que apresentou os maiores valores dentre

todos.

Essas divergências nos resultados podem estar relacionadas com as diferentes

considerações dos métodos utilizados, como a rigidez a torção e flexão das barras na

modelagem. Possivelmente, ao considerar parâmetros diferentes dos que foram

72

adotados nesse trabalho, os resultados obtidos não seriam os mesmos. Além disso,

como os modelos baseados na analogia de grelha consideram o pavimento como um

todo, a influência dos elementos adjacentes pode ocasionar em valores diferentes

para os momentos fletores e flechas do que os obtidos através da utilização das

tabelas.

73

REFERÊNCIAS

ARAÚJO, J. M. Curso de Concreto Armado. 4. ed. Rio Grande: Dunas, 2014. 421 p. v. 2.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. _____. NBR 6120: Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. _____. NBR 8681: Ações e segurança nas estruturas. Rio de Janeiro: ABNT, 2004.

BASTOS, P. S. S. Notas de aula da disciplina de Estruturas de Concreto I – Lajes de concreto. Curso de graduação em Engenharia Civil. Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2015. _____. Notas de aula da disciplina de Sistemas Estruturais I – Histórico e principais elementos estruturais de concreto armado. Curso de graduação em Engenharia Civil. Universidade Estadual Paulista. Bauru, 2006. BOTELHO, M. H. C.; MARCHETTI, O. Concreto armado eu te amo. 6. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2010. v. 1. CARVALHO, R. C. Análise não – linear de pavimentos de edifícios de concreto através da analogia de grelha. 1994. 203 p. Tese (Doutorado em Engenharia Civil) - Universidade de São Paulo, São Carlos, 1994. CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. Cálculo e Dimensionamento de Estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118:2014. 3. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2010. CASTRO, L. M. S. Análise de Lajes com o Método das Diferenças Finitas. IST, Lisboa, 2001. Disponível em: <http://www.civil.ist.utl.pt/~luis/textos/lajesdf.pdf> COELHO, J. A. Modelagem de lajes de concreto armado por analogia de grelha. 2000. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2000. FILHO, A. C. Projeto de lajes maciças de concreto armado. 2014. 45 p. Disciplina de concreto armado II. Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Disponível em: <https://chasqueweb.ufrgs.br/~americo/eng01112/lajes.pdf>. HENNRICHS, C. A. Estudos sobre a modelagem de lajes planas de concreto armado. 2003. 201 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003. LANGENDONCK, T. V. Teoria elementar das charneiras plásticas. 1. ed. São Paulo: ABCP, 1970. v. 1.

http://www.civil.ist.utl.pt/~luis/textos/lajesdf.pdf

74

MONTOYA, P.J.; MESEGUER, A.; CABRE, M. Hormigon Armado 14.a Edición Basada em EHE ajustada al Código Modelo y AL Eurocódig. Barcelona, Gustavo Gili, 2000. NEVES, L. F. C. S. Comparação de modelos de grelha e de elementos finitos de laje na modelação de estruturas de edifícios de betão armado. 2010. 86 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Militar) – Universidade Técnica de Lisboa, 2010. PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projeto de edifícios. 2007. 380 p. São Carlos: Universidade de São Paulo. Disponível em: <http://coral.ufsm.br/decc/ECC1006/Downloads/Apost_EESC_USP_Libanio.pdf>. REGGIANI, R. F. P. Verificação de lajes de concreto armado no estado limite de serviço de deformação excessiva. 2016. 151 p. TCC (Graduação) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2016. REIS, E. M. Análise de pavimentos de edifícios utilizando a analogia de grelha. 2007. 127 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2007. SOUZA, V. C. M.; CUNHA, A. J. P. Lajes em Concreto armado e protendido. 2. ed. Niterói: EDUFF, 1998. 580 p. STRAMANDINOLI, J. S. B. Contribuições à análise de lajes nervuradas por analogia de grelha. 2003. 199 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2003. TIMOSHENKO, S. P.; WOINOWSKY-KRIEGER, S. Theory of plates and shells. 2. ed. United States of America: MacGraw-Hill Book Company, 1959. WHITE, R. N.; GERGELY, P.; SEXSMITH, R. G. Structural engineeging: behavior of members and systems. 1. ed. Nova York: John Wiley & Sons, 1972. v. 3.

75

ANEXO A – TABELAS DE MARCUS

77

ANEXO B – TABELAS DE BARES

82

ANEXO C – TABELAS DE ARAÚJO

86

ANEXO D – TABELAS DE CZERNY

90

ANEXO E – TABELAS DE MONTOYA

universidade federal de santa maria curso de …coral.ufsm.br/engcivil/images/pdf/1_2018/tcc_ane...

Documents