UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETOINSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS E BIOLOGICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Quarta Lista de Exercıcios de Geometria Analıtica e Calculo Vetorial - MTM 131 (2018/II)

Professor: Vinıcius V. P. de Almeida

1. Prove que os pontos A = (a− 1, a), B = (−a, 1− a), C = (a− 2, a− 1) estao alinhados para todo a ∈ R.

2. Determine k de modo que as retas de equacoes y = (3k− 1)x+1 e y = (k2− 4k+9)x+7 sejam paralelas.

3. Suponhamos que

{x = x0 + at,

y = y0 + btt ∈ R, seja um par de equacoes parametricas de uma reta r, tal que

a = 0. Mostre que:

a) A reta passa pelo ponto (x0, y0).

b) O coeficiente angular m desta reta e m = b/a.

4. Considere duas retas paralelas r e s cujas equacoes sao: r : ax+ by+ c1 = 0 e s : ax+ by+ c2 = 0. Mostre

que neste caso, a distancia entre as retas r e s e dada por d(r, s) =|c2 − c1|√a2 + b2

.

5. Utilizando o sistema de coordenadas, mostre que:

a) O ponto medio da hipotenusa de um triangulo retangulo e equidistante dos tres vertices (ou seja, a

mediana relativa a hipotenusa e exatamente a metade da hipotenusa).

b) As diagonais de um retangulo tem mesma medida.

c) A soma dos quadrados das medidas dos lados de um paralelogramo e igual a soma dos quadrados das

medidas de suas diagonais.

d) Sendo D o baricentro de um triangulo △ABC qualquer, os triangulos △ABD, △ACD e △BCD tem

a mesma area.

6. Escreva cada uma das equacoes abaixo na forma (x− x0)2 + (y − y0)

2 = r2, dizendo qual o valor do raio

e as coordenadas do Centro.a) x2 + y2 − 4x− 6y − 3 = 0 b) x2 + y2 + 3x+ 9y + 10 = 0

c) x2 + y2 − 2ax− 2ay + a2 = 0 d) x2 + y2 − 7x− 3y + 2 = 0

7. Construa a regiao definida pelo sistema de desigualdades abaixo:

a) x < 1, x2 + y2 − 4x ≤ 0 b) x < 0, x+ y > 0, x2 + y2 < 4

c) x ≤ 0, y ≥ 0, 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 d) x2 + y2 − 8x− 4y + 16 < 0, x2 + y2 − 14x− 4y + 49 ≤ 0

e) 4− x2 − y2 ≥ 0, x2 + y2 − 1 > 0 f) y ≥ 0, 25− x2 − y2 ≥ 0.

8. Determine para quais valores de m e k a equacao mx2+y2+4x−6y+k = 0 representa uma circunferencia.

9. Sendo A = (3, 10) e B = (−6,−5), encontre a equacao segmentaria da reta que passa por estes pontos.

10. Dadas as equacoes parametricas de uma reta r :

{x = −3 + 5t,

y = 4 + 2tt ∈ R, obtenha a sua equacao seg-

mentaria.

11. Encontre a equacao da reta r em cada caso:

a) Passa por A = (2,−3) e forma com o eixo Ox angulo π/4.

b) Passa por A = (−3, 5) e por B = (4, 1).

2

c) Passa por A = (2,−1) e corta a reta de equacao y = 4x− 2 no ponto desta cuja abscissa e 1.

d) E horizontal e passa por A = (−1, 3).

e) E vertical e passa por A = (−2, 5).

12. Sabendo que a x2 + y2 + 2x +my − n = 0, em que m e n sao constantes, representa uma circunferencia

no plano cartesiano. Sabe-se que a reta de equacao y = −x + 1 contem o centro da circunferencia e a

intersecta no ponto P0 = (−3, 4). Sendo assim, determine os valores das constantes m e n.

13. Determine a equacao da parabola com vertice V (0, 0), concavidade para cima e que contenha o ponto

(5, 6).

14. Determine a equacao da parabola cujo foco e F

(−1

2, 0

)e a diretriz e a reta 2x− 1 = 0.

15. Determine o vertice, o foco e a diretriz da parabola x2 + 4x− 4y = 0.

16. Determine o foco e a equacao da diretriz das parabolas x2 = 8y e y2 = −2x.

17. Os vertices de um triangulo estao sobre a parabola de equacao y = x2 + x − 12. Sabendo que dois dos

vertices estao sobre o eixo dos x e que o terceiro vertice tem coordenadas (x, y), em que x e o ponto de

mınimo de y = x2 + x− 12. Calcule a area do triangulo.

18. Conduza por P (0, 0) as tangentes a parabola λ : x =y2 + 3

3e calcule o angulo θ entre elas.

19. Obtenha a equacao da mediatriz do segmento cujas extremidades sao vertices das parabolas y = x2+6x+4

e y = x2 − 6x+ 2.

20. As retas r : x = 1 e s : y = −2 sao, respectivamente, as diretrizes das parabolas p1 e p2 que possuem

vertice na origem. Determine o ponto de intersecao entre p1 e p2.

21. Determine a equacao da parabola P de vertice V = (3, 4) e foco F = (3, 2). Determine tambem a equacao

de sua diretriz.

22. Sejam V = (−2,−1) o vertice de uma parabola P e a equacao de sua diretriz d : x+ 2y = 1. Encontre a

equacao da parabola e seu foco.

23. Determine o foco e a diretriz da parabola y2 = 6x.

24. Determine o foco e a equacao da diretriz das parabolas x2 = 8y e y2 = −2x. Construa o grafico.

25. Determine a equacao da parabola de foco em F = (1, 2), sendo x = 5 a equacao da diretriz.

26. Obtenha o vertice, foco e diretriz das parabolas (y − 2)2 = 8(x+ 1) e y = 2x2 − 6x+ 4.

27. Determine a equacao da parabola com vertices em (−4, 2), eixo paralelo ao eixo x e que contem o ponto

(−5, 12).

28. Encontre a medida dos semi-eixos, os focos, a excentricidade e esboce o grafico da funcao 9x2+25y2 = 225.

29. Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3, 0) e a medida do eixo maior e 8. Determine a

sua equacao.

3

30. Uma elipse, cujo eixo maior e paralelo ao eixo dos y, tem centro C(4,−2), excentricidade e =1

2e eixo

menor de medida 6. Qual a equacao desta elipse?

31. Determine o centro, os vertices, os focos e a excentricidade da elipse de equacao 4x2+9y2−8x−36y+4 = 0.

32. Mostre que 9x2+4y2 = 36 representa uma elipse e determine seus vertices, focos, excentricidade e diretrizes.

33. Determine a excentricidade da elipse de equacao 16x2 + 25y2 − 400 = 0.

34. Obtenha as tangentes a elipse λ : 4x2 + 9y2 = 36 que passam por P (7, 2).

35. Considere a elipse que passa por

(3√2

2,−1

)e que possui eixo menor com extremos em (0, 2) e (0,−2).

Determine a equacao, os focos e o eixo maior dessa elipse.

36. Encontre a equacao da elipse que tem como eixo maior a distancia entre as raızes da parabola de equacao

y = x2 − 25 e excentricidade e =3

5.

37. Determine os focos, vertices e medidas dos eixos da elipsex2

16+

y2

9= 1.

38. Determine os focos, vertices, excentricidade e medidas dos eixos de(x− 1)2

16+

(y + 2)2

25= 1.

39. Determine a equacao reduzida da elipse 2x2 + 3y2 − 8x+ 6y − 7 = 0, depois que a origem foi transladada

para o ponto O1 = (2,−1).

40. Uma elipse possui como focos os pontos F1 = (−2, 0), F2 = (2, 0) e o eixo maior 12. Determine uma de

suas equacoes.

41. Tangenciando externamente uma elipse E1 tal que E1 : 9x2+4y2− 72x− 24y = 144, considere uma elipse

menor, de eixo maior sobre a reta que suporta o eixo menor de E1 e cujos eixos tem a mesma medida que

os eixos de E1. Sabendo que E2 esta internamente contida no primeiro quadrante, qual o centro de E2?

42. Um arco e uma semi-elipse e o eixo maior e o vao. Se este tiver 40m e a flecha 10m, calcular a altura do

arco a 10m do centro da base.

43. Determine a equacao da hiperbole de vertices A1(1,−2) e A2(5,−2) sabendo que F (6,−2) e um de seus

focos.

44. Determine o centro, um esboco do grafico, os vertices e os focos da hiperbole de equacao 9x2−4y2−54x+

9y + 113 = 0.

45. Considere a reta r de equacao 2x− 2ky − 1 = 0 e a hiperbole H de equacao(y − 1)2

2− x2 = 1. Para que

valores de k real a reta r e tangente a hiperbole H?

46. De a equacao da assıntota a hiperbolex2

16− y2

64= 1 que forma angulo agudo com o eixo x.

47. Determine a equacao da hiperbole de vertices V1 = (1,−2) e V2 = (5,−2), sabendo que F = (6,−2) e um

de seus focos.

48. Encontre a equacao cartesiana de duas hiperboles que tem assıntotas nas retas 2y = x, 2y + x = 0 e cuja

distancia focal e 2c =√5.

4

49. Determine a medida dos semi-eixos, os vertices, focos e faca um esboco do grafico da hiperbole x2 − 4y2 +

16 = 0.

50. Determine a excentricidade da hiperbole de equacao 25x2 − 16y2 − 400 = 0. Determine as equacoes das

assıntotas e represente-as graficamente para toda assıntota real.

51. Determine a equacao da hiperbole de excentricidade 2 e focos iguais aos focos da elipsex2

25+

y2

9= 1.

52. Encontre a medida dos semi-eixos, os vertices, focos, excentricidade e as equacoes das assıntotas da

hiperbole 9x2 − 7y2 − 63 = 0. Faco um esboco do grafico.

53. Determine a equacao da hiperbole de vertices A1 = (1,−2) e A2 = (5,−2) sabendo que F1 = (6,−2) e um

de seus focos.

54. Determine a equacao reduzida da hiperbole com eixo real 6, focos F1 = (−5, 0), F2 = (5, 0). Faca um

esboco do grafico.

55. Encontre a equacao da hiperbole cujos focos sao F1 = (0, 4), F2 = (0,−4) e a diferenca dos raios focais e

6. Faca um esboco do grafico.

56. Qual a conica que representada pela equacao 9x2 + 16y2 − 90x− 160y + 481 = 0?

57. Usando uma rotacao de eixos convenientes transforme a equacao 4x2 + y2 +4xy+ x− 2y = 0 em uma que

nao contenha o termo em xy.

58. Determine o angulo segundo o qual os eixos devem ser rotacionados para eliminar o termo xy na equacao

7x2 − 6√3xy + 13y2 = 16.

59. Usando uma rotacao de eixos convenientes, transforme a equacao 5x2 + 5y2 − 26xy + 72 = 0 em uma que

nao contenha o termo em xy. Faca um esboco do grafico com todas informacoes pertinentes, inclusive os

eixos anteriores e os obtidos apos a rotacao.

60. Encontre a medida dos semi-eixos, os vertices, focos, excentricidade e as equacoes das assıntotas da

hiperbole 9x2 − 7y2 − 63 = 0. Faca um esboco do grafico com todas informacoes pertinentes.

61. Considere a conica de equacao 4y2 + x2 + 8x+ 16y + 28 = 0. Determine:

a) As coordenadas dos vertices, focos e extremos do eixo menor.

b) As equacoes do eixo focal e eixo normal.

c) Esboce a conica com todos os elementos determinados.

62. Determine a equacao da hiperbole que passa pelo ponto P = (0, 2+2√2) e que tem como assıntotas y = x

e y = −x+ 4.

63. Em relacao a um sistema XoY , onde o eixo dos X e uma reta que passa pelo ponto (2, 1) do sistema xOy,

uma parabola tem a equacao Y 2 + 4X + 12 = 0. Em relacao ao sistema xOy, determine:

a) As coordenadas do vertice e do foco.

b) Uma equacao da reta diretriz e do eixo focal.

c) Esboce a parabola destacando o vertice, foco e diretriz.

64. Detemine uma equacao da conica que tem vertices V1 = (−√3, 3), V2 = (

√3, −3) e excentricidade e = 1/2.