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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE FÍSICA POLO BARRA DO GARÇAS
ESTUDO DE ÓRBITAS PLANETÁRIAS UTILIZANDO SIMULAÇÕES NUMÉRICAS COM PYTHON
DISCENTE: LUZINÊS NOVAIS DE ALMEIDA
ORIENTADOR: GEORGE BARBOSA DA SILVA
Barra do Garças
2016
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE FÍSICA POLO BARRA DO GARÇAS
ESTUDO DE ÓRBITAS PLANETÁRIAS UTILIZANDO SIMULAÇÕES NUMÉRICAS SIMPLES COM PYTHON
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós Graduação para obtenção do Grau de Mestre em Ensino de Física. Campus Universitário do Araguaia, Universidade Federal de Mato Grosso. Linha de Pesquisa: Ensino de Física Orientador: Dr. GEORGE BARBOSA DA SILVA
Barra do Garças
2016
Dados Internacionais de Catalogação na Fonte.
N935e Novais de Almeida, Luzinês.
ESTUDO DE ÓRBITAS PLANETÁRIAS UTILIZANDO
SIMULAÇÕES NUMÉRICAS SIMPLES COM PYTHON /
Luzinês Novais de Almeida. -- 2016
65 f. : il. color. ; 30 cm.
Orientador: George Barbosa da Silva. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Mato
Grosso, Instituto de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física em Rede Nacional PROFIS - Mestrado, Pontal do Araguaia, 2016. Inclui bibliografia.
1 . Leis de Kepler.. 2. Gravitação universal.. 3.
Aprendizagem significativa.. 4. Órbitas planetárias.. 5.
Ficha catalográfica elaborada automaticamente de acordo com os dados fornecidos pelo(a)
autor(a).
Permitida a reprodução parcial ou total, desde que citada a fonte.
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho a todos os professores e profissionais da educação
que, lançando mão de novos recursos tecnológicos, tornarão o ensino de Física
mais significativo, contribuindo, de forma concreta, para a formação de jovens
motivados e preparados para o futuro.
AGRADECIMENTO
Agradeço a Deus pela Vida, fonte inesgotável de aprendizado e oportunidades
de crescimento humano.
Agradeço, com estima, ao meu orientador GEORGE BARBOSA DA SILVA, pelo
profissionalismo e dedicação conferidos a mim nesse período de formação.
Agradeço aos demais professores que compartilharam conosco os saberes
teóricos e suas experiências profissionais e pessoais.
Agradeço aos colegas de pós, poucos, mas insubstituíveis.
Agradeço a minha mãe pelo exemplo de vida e aos meus filhos: Lucas, Júlia,
Luiza e Maria Carolina por compreenderem as minhas longas ausências.
RESUMO
O uso de recursos tecnológicos aplicados à educação vem sendo
apontado como grande aliado ao processo didático de ensino-aprendizagem e,
nesse sentido, o uso de computadores em sala de aula vem corroborar para que
aconteça a aprendizagem significativa. Dentro deste contexto, realizamos
animações computacionais de órbitas keplerianas, isto é, simulações de
trajetórias de corpos sob a ação de uma força central, usando a linguagem de
programação Python. As soluções das trajetórias foram feitas com o método
numérico de Euler e as animações foram realizadas usando o módulo visual do
Python (Vpython). As simulações de movimentos de corpos em torno do Sol
facilitaram a compreensão das Leis de Kepler para os alunos. Além disso, com
os códigos, foi possível construir e discutir diversos conceitos importantes para
o entendimento de órbitas keplerinas, tais como momento angular, aceleração
gravitacional, e energia.
Palavras-chave: Leis de Kepler, gravitação universal, cálculo
numérico, Python, órbitas planetárias, aprendizagem
significativa.
SUMÁRIO
1.INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 8
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................................................. 10
2.1. Aprendizagem Significativa: Um olhar crítico nas lacunas da educação .........................10
2.1.1 O uso de ferramentas computacionais como meio facilitador no processo Ensino-
Aprendizagem ........................................................................................................................... 14
2.2 Softwares de alto nível para o Ensino da Física ................................................................... 17
2.3 Linguagens de Programações ............................................................................................... 20
2.4 O uso de simulações como recursos na Transposição Didática ......................................... 22
2.5 Teorias físicas das órbitas planetárias .................................................................................. 23
2.5.1Osprimeiros modelos cósmicos....................................................................................23
2.5.2O modelo coperniano....................................................................................................24
2.5.3TychoBrahe e Johannes Kepler......................................................................................25
2.6Segunda Lei de epler..........................................................................................................30
2.7Solução analítica de órbitas clássicas.................................................................................31
2.8 Método de Euler...............................................................................................................33
3. METODOLOGIA ...................................................................................................................... 36
3.1 Rotinas de programação em Python .................................................................................... 36
3.2 Aplicação do produto........................................................................................................45
3.3 Plano de aula.....................................................................................................................46
4.RESULTADOS ........................................................................................................................... 48
4.1 Analise em Python (x,y) ........................................................................................................ 48
4.2Analise da animação em Vpython ......................................................................................... 51
4.3 Aplicação do produto na escola. .......................................................................................... 54
5. CONCLUSÃO ........................................................................................................................... 57
6.REFERÊNCIAS.........................................................................................................................58
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INTRODUÇÃO
Trabalhar conteúdos de física com jovens estudantes do ensino médio
não é tarefa fácil, pois a parte teórica na disciplina de Física comporta muitos
conceitos, teorias e Leis que parecem fugir da lógica humana. É preciso criar
condições e meios para a construção de uma aprendizagem significativa logo no
primeiro ano de ensino dessa disciplina curricular.
Tais conteúdos, quando apresentados com o uso exclusivo de
metodologias tradicionais, podem gerar desmotivação e desinteresse por parte
dos alunos, bloqueando o processo cognitivo no ensino-aprendizado, e
prejudicando, dessa forma, a construção de novos conhecimentos. Portanto,
cabe ao professor, no papel de mediatizador, lançar mão de novos recursos
pedagógicos para tornar o ensino mais atrativo e interativo.
Dentre os diversos recursos de ensino, o computador vem se mostrando
uma ferramenta indispensável nas escolas, podendo ser utilizado no estudo de
inúmeros fenômenos da natureza por meio de simulações. Normalmente as
simulações voltadas para o ensino são inflexíveis e dão destaques somente a
um número limitado de detalhes do fenômeno estudado.
As simulações numéricas simples feitas em linguagem de alto nível, tal
como Python, merecem atenção especial dentro desse contexto por causa de
sua facilidade de aplicação, operação e modificação.
A proposta deste trabalho é construir códigos documentados em Python
que simulem trajetórias de corpos sob a ação da força gravitacional. Os códigos
e a documentação poderão ser utilizados por estudantes e educadores do ensino
médio conforme o interesse de investigação.
Ao longo do segundo capítulo são apresentadas e discutidas
problemáticas para possíveis soluções no ensino de Física em orbitas
planetárias, por meio do uso de programações e simulações gráficas, para
queajude professores a trabalhar e desenvolver conteúdos de física de modo
que estes ganhem significado para o estudante. As teorias físicas das órbitas
planetárias estão descritas e baseadas nos estudos das leis de Kepler e das
equações do movimento. O método de Euler, usado para resolver equações,
vem descrito e trabalhado na seção 2.8. É apresentada também a solução
10
analítica para o cálculo de trajetórias. No capítulo de metodologia são
apresentados os detalhes dos códigos de programação em Python, bem como
a explicação das rotinas com o módulo Vpython. Este módulo possibilitou a
animação das órbitas.
O capítulo quatro contém os resultados oriundos da interação entre
professores e estudantes no uso das simulações com o Python para órbitas
planetárias.
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2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. Aprendizagem Significativa: Um olhar crítico nas lacunas da educação
Quando, em meados dos anos 60, o psicólogo norte-americano David
Paul Ausubel, pensou no processo de ensino e aprendizagem, descobriu e
propôs um novo caminho para a construção do conhecimento. Suas propostas
para a aprendizagem revolucionaram os pensamentos e metodologias da época,
dentro e fora das escolas, causando, ainda hoje, discussões e debates no meio
acadêmico. Pode-se dizer que a suas formulações encontram-se, à mesmo
distância de décadas, entre as primeiras propostas psico-educativas que
procuram estudar a problemática da aprendizagem escolar. Como havia dito o
próprio Piaget.
Ausubel propôs um novo conceito na aprendizagem, saindo das velhas
concepções de ensino, em que o papel do aluno era descrever o que
memorizava durante as aulas ministradas e o papel do professor era ensinar o
que já existia pronto e acabado.
A Aprendizagem Significativa, como já dizia Moreira (2006), ocorre
quando […] “o novo conhecimento adquire significado para o aprendiz e o
conhecimento prévio fica mais rico [...] e adquire mais estabilidade”. É neste
processo que ocorre uma real aprendizagem e essa interação dá-se de forma
não arbitrária e não literal à estrutura cognitiva do indivíduo.
Partindo dessa concepção, é inútil a transmissão de um novo
conhecimento sem que esse baseia-se em um conhecimento prévio, pois
estaríamos tentando incorporar no sujeito algo que não faz parte de suas
experiências cotidianas ou que não desperte nele algum interesse e, portanto a
aquisição do “novo” será bloqueada por ele, mesmo que de forma inconsciente.
É por meio do arcabouço teórico-prático dos métodos intuitivos
e ativo que a concepção de ensino deixa de ser compreendida
como uma via de mão única, em que a transmissão de
conhecimentos navegava sem a necessidade da aprendizagem,
aqui entendida como polo que propicia a razão de ser do ensino.
(VEIGA, 2011, p. 22)
12
Se nós professores não repensarmos a nossa didática e metodologias de
ensino, estaremos fingindo que ensinamos e fracassaremos, é indiscutível. A
aprendizagem mecânica não pode mais ter vez em nossa linha de pensamento
enquanto mediatizador dos dias atuais. Pois:
O cérebro humano não aprende de uma única maneira, por esse
motivo o professor necessita empregar em todas as
oportunidades a aprendizagem significativa, eliminando
atividades que conduzam a uma aprendizagem mecânica.
(ANTUNES, 2013, p.29)
Para Ausubel é indispensável que os alunos estejam predispostos ao
novo conhecimento para que aconteça a aprendizagem significativa. Pois
somente se acontecer a aprendizagem com “significado” esse aluno será capaz
de construir novos subsunçores cada vez mais claros, estáveis e esses
passarão a fazer parte dele, sendo utilizados nas novas interações entre os
novos conhecimentos e o conhecimento prévio e assim avançar num
desenvolvimento cognitivo maduro e capaz de gerar novas “ideias-ancoras”,
citada pelo autor como um ponto de apoio para que o novo conhecimento se
encaixe aos já existentes e ambos ganhem novos significados e um
redimensionamento linguístico.
Façamos da preocupação de Ausubel a nossa, como despertar nesse
sujeito o desejo de predispor-se ao novo? Para Antunes (2013), se olhássemos
para o papel do professor a anos atrás diríamos que a este bastava a função de:
[…] “levar a seus alunos as informações especializadas de sua disciplina,
aprendida em seus estudos, e aos seus alunos cabia assimila-las de maneira
significativa ou mecânica”.
Ser professor é ser mediatizador entre o conhecimento e o sujeito ou,
como foi definido por Piaget (1973):
[...] “o professor, enquanto organizador, se faz
indispensável como criador de situações que introduzam
problemas significativos ao sujeito e fornecendo, a cada nova
experiência, contra exemplos que forcem a reflexão e a
reconsideração das soluções rápidas”.
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Vygotsky ao trabalhar a teoria do desenvolvimento enfatiza que a
intervenção pedagógica deve ocorrer numa perspectiva que conduz o sujeito a
ir além do obvio, ou seja, deve estimular nele o desejo de interagir com o objeto
de estudo para assim se posicionar criticamente sobre ele.
Inúmeras propostas e subsídios estão disponíveis para que os
professores consigam transpor a barreira do desinteresse dos alunos. Por esse
motivo não podemos desprezar nenhum recurso didático, pois desde que bem
empregados, estes conseguissem despertar nos alunos o interesse e propiciam
uma pré-disposição ao novo conhecimento, ampliando, como dito acima, a sua
visão sobre o conteúdo ministrado em sala.
[…] a mudança corajosa e ousada dos repetitivos planejamentos
pedagógicos que nada dizem, embora muito fale por outros
“vivos”, atentados com a verdadeira construção do
conhecimento, estabelecimento de princípios para a
aprendizagem significativa, claras normas disciplinares,
exploração das habilidades operatórias, aberturas para
desenvolvimento de todas as inteligências as centenas de
linguagens com que o saber pode se manifestar e a escola o
explorar. (ANTUNES, 2012, p.235)
Do escrito por Antunes, devemos nos ater ao fato claro de que a escola,
na perspectiva humana, é chamada a abrir-se e explorar todas as manifestações
de linguagens e de diversificados saberes que os alunos trazem consigo e que
dissemina - se por todo o complexo escolar fazendo acontecer um conhecimento
não sistematizado dado pela interação social e trocas de experiências, tão
debatida por Vygotsky e outros estudiosos da educação, fazendo-se, essa
interação, presente em sala de aula quando se dará o conhecimento sistemático.
Negar que o professor seja sujeito nesse processo é absurdo
[…] transferir a condição de sujeito apenas ao aluno, como
pretendem as formas mais exacerbadas do chamado “ensino
ativo”, é outro absurdo. Creio que a saída seja o “ensino
participativo”, em que professor e aluno são sujeitos de um
processo que envolve ambos. (VEIGA, 2011, p. 24)
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Quando a escola é concebida como espaço social, onde todos os
indivíduos que ali estão se fazem partícipes desse processo, tão intrínseco na
construção do sujeito enquanto um ser social, o mundo do conhecimento se
abre… E a nós professores cabe o papel de mediar esse processo e de despertar
esse aluno para que ele mesmo se torne o protagonista dessa aprendizagem e
que ao conhecer o “novo” esse o transforme ao ponto de torná-lo crítico e capaz
de avançar nas suas percepções de mundo.
Agora, se redimensionarmos a nossa discussão para o componente
curricular de Física, veremos quão se faz necessária uma mudança urgente de
direção no processo de ensino-aprendizagem.
Estudos e estatísticas apresentam que o fracasso escolar no ensino de
física é apontado pelos estudantes como fator de grande reprovação no ensino
médio. Não é difícil, para nós, professores dessa área, descobrirmos que muitos
alunos “se chocam” com os conteúdos apresentados nessa área do
conhecimento. É aqui que se encontra um dos pontos fracos de nosso sistema
educacional: a falta de multidisciplinaridade entre as diversas áreas de
conhecimento.
Talvez esse novo olhar esteja voltado para o uso das tecnologias
disponíveis no mercado e que podem ser aplicadas à educação para torná-la
capaz de construir de um novo conhecimento didático, ou seja, um novo jeito de
ensinar usando as ferramentas computacionais. Dentre todas as opções
podemos citar o uso das simulações prontas e também daquelas que permitem
ao professor programa-las. Exemplo a ser citado é a linguagem Python, a qual
permite ao professor programar as suas próprias simulações tornando-as
compreensíveis aos seus alunos.
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2.1.1 O uso de ferramentas computacionais como meio facilitador no
processo de Ensino e Aprendizagem
O uso das Tecnologias de Informação e Comunicação vem sendo
apontado como grande aliado no processo de ensino-aprendizagem e, mais
importante, vem corroborar para uma verdadeira aprendizagem significativa.
Para Tajra (2007), a tecnologia computacional na área educacional é necessária,
seja no sentido pedagógico, seja no sentido social.
O uso do computador como recurso didático, apresentado inclusive nos
PCNs(Brasil, 2002), é descrito como um instrumento de aprendizagem escolar,
tornando-se indispensável para o processo de ensino-aprendizagem.
É indiscutível a necessidade crescente do uso de computadores
pelos alunos como instrumento de aprendizagem escolar, para
que possam estar atualizados em relação às novas tecnologias
da informação e se instrumentalizarem para as demandas
sociais presentes e futuras. (BRASIL, PCN+ 2002)
Um aluno que passa o final de semana conectado ao computador,
smartphone e videogame, mandando e recebendo mensagens, certamente não
se sentirá atraído, quando, na segunda-feira, estiver sentado na cadeira da
escola entre cadernos e livros, copiando da lousa conteúdos desconexos da sua
realidade. Essa insistência no uso de uma metodologia não funcional, como se
fosse o único recurso disponível para o ensino aprendizagem daquele
conhecimento, precisa dar espaço à novos recursos didáticos.
Tomemos como base o pensamento:
[…] “O rádio, a televisão, os vídeos, porém ainda muito mais
expressivamente a internet, fizeram com que as informações
ganhassem uma nova dimensão e incomensurável volume,
alterando de forma substancial o papel da escola e a função do
professor”. (ANTUNES, 2013, p.27)
16
Questionamos: para esse aluno ir à escola não será um enorme desafio?
Não se criará dentro dele um sentimento de estar amarrado em um lugar alheio
à sua realidade?
Pensar em estratégias de implementação de projetos multi, inter
e transdisciplinares com o apoio de computadores tem sido uma
das alternativas mais viáveis, práticas e com melhores
resultados para atrair e motivar os alunos em ambientes
educativos. (TAJRA, 2007, p.12)
Portanto, se não mudarmos o nosso modo de conceber e dar aulas, a
visão, para esse aluno, seria como se ele tivesse dois mundos dissociados: um
mundo interessante, dinâmico, cheio de novidades e coisas a apreender; e o
mundo da escola onde ele é obrigado a estar por longas horas, de tédio e
inutilidades.
Aqui não se condena o giz e o apagador. Devemos, tão somente, dar
sentido real a esses recursos didáticos. Como diz Tajra (2007) […] sabemos que
mudanças dessa ordem são complexas, lentas e acima de tudo não existe uma
receita a ser aplicada com uma resposta pré-definida”. É preciso, então, que
lancemos mão do que nos é oferecido em termos de tecnologias e apliquemos
esses recursos como meios didáticos para despertar em nossos alunos a
vontade de estar na escola e se sentir parte integrante desse espaço de
crescimento intelectual e humano.
Para os dias de hoje, esse papel do pronto e acabado não serve mais. É
necessária uma mudança de paradigmas. Ou ainda, são necessárias a
construção de novos paradigmas e a conscientização da popularização de
informações, as quais ocorrem de maneira contínua e de várias formas. Em
outros termos, é importante atingir a massa da juventude, com informações e
novas ideias.
Ainda sobre a interação entre alunos e computadores, podemos citar:
Quando o aluno usa o computador para construir o seu
conhecimento, o computador passa a ser uma máquina para ser
ensinada, propiciando condições para o aluno descrever a
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resolução de problemas, usando linguagem de programação,
refletir sobre os resultados obtidos e depurar suas ideias por
intermédio da busca de novos conteúdos e novas estratégias.
(VALENTE, 1999, p. 02)
Esse Interagir constante de novas ideias e descobertas colocam nossos alunos
em patamares mais altos, transformando-os em sujeitos com uma carga de
conhecimento prévio amplo, porém não sistematizados.
O extraordinário avanço dos meios de comunicação e
popularização dos saberes, associados ao que hoje se sabe
sobre como a mente humana aprende, reclamam por um novo
professor que oriente seus alunos sobre como colher
informações, de que forma organiza-las mentalmente, como
definir sua hierarquia e, sobretudo, de que maneira transformá-
la em conhecimento e, dessa maneira, ampliar suas
inteligências. (ANTUNES, 2013, p. 28)
Nesse mundo contemporâneo, onde as notícias são instantâneas e a
internet está ao alcance de todos, nós professores nos deparamos com um aluno
sedento de novos conhecimentos, porém ele não consegue ficar quieto e não
ser protagonista da sua construção de conhecimento. E é aí que entram as novas
tecnologias, as quais terão um papel fundamental nessa nova educação,
levando o processo ensino-aprendizagem a um nível mais satisfatório. Alguns
pontos nesse processo devem ser tomados em consideração:
[…] a necessidade de formação e atualização dos educadores,
a tecnologia atrai mais a atenção dos alunos, o computador torna
mais fácil o aprendizado de disciplinas consideradas difíceis,
como a física e a química, e aumenta o desempenho escolar.
(TAJRA 2007, p. 52)
É importante argumentar sobre a necessidade da preparação dos
educadores para trabalhar as novas tecnologias como recursos pedagógicos.
Como esclarece a autora Tajra (2007)[…] “Promover condições para que os
docentes possam ser capacitados nos aspectos que irão afetar diretamente a
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implantação da informática na área educacional”. Essa capacitação dever ter
participação ativa, tanto da escola quanto do próprio professor que deverá
buscar ampliar seu mundo de conhecimentos tecnológicos, rompendo, também
ele, a resistência ao “novo”.
O professor deve estar aberto para às mudanças, principalmente
em relação à sua nova postura: o de facilitador e coordenador
do processo de ensino-aprendizagem; ele precisa aprender a
aprender, a lidar com as rápidas mudanças, ser dinâmico e
flexível […]. (TAJRA 2007, p.114)
Um professor comprometido com seu papel de formador social sabe que
passar por uma turma e não propiciar aos alunos a oportunidade de ampliar seus
conhecimentos é o mesmo que contribuir para um futuro de jovens incapazes de
transformar a própria sociedade, é assumir para si a responsabilidade de ver seu
país sem perspectiva de crescimento humano, cultural, social e tecnológico.
2.2 Softwares de alto nível para o Ensino da Física
Para Valente(1999), a introdução da informática na educação, de acordo
com as propostas de mudança pedagógica, exige uma formação bastante ampla
e profunda do professor, não somente criando condições para que ele domine o
computador ou o software, mas auxiliando-o no desenvolvimento do conteúdo
que será aplicado aos alunos com o auxílio do computador.
Dentre os diversos recursos tecnológicos, o computador vem se
destacando nas escolas como um valioso aliado para o ensino de várias
disciplinas, principalmente na área das ciências, onde a Física encontra um
respaldo significativo, pois muitos programas e softwares vêm como facilitador
levando o aluno à compreensão de conteúdo específicos e que aparentemente
não pertencem ao seu cotidiano.
A Tecnologia Educacional fundamenta-se em uma opção
filosófica, centrada no desenvolvimento integral do homem,
inserido na dinâmica da transformação social; concretizam-se
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pela aplicação de novas teorias, princípios, conceitos e técnicas
num esforço permanente de renovação da educação. (LEITE,
2014, p. 9)
Façamos uma ressalva: estudar fenômenos da natureza como, por
exemplo, trajetórias de partículas em um campo de força utilizando um programa
que permita ao aluno uma visão real do que está acontecendo é
indiscutivelmente um meio de levar para a sala de aula um universo de
descobertas e possibilidades, onde o conhecimento se dará de forma
significativa e interessante.
É necessário citar e comentar sobre alguns softwares e programas, que
são de grande valia para o professor concretizar teorias apresentadas na
disciplina de Física e que muitas vezes foge da realidade do aluno.
Atualmente no mercado existe uma grande variedade de Softwares,
inclusive software educacional. O professor que decide lançar mão desse
recurso poderá optar por softwares gratuitos desenvolvidos em especial para o
uso no ensino de física. Cito como exemplo: Modellus, PhET, PHUN, Show
atômico, e Profi-1. Poderá também utilizar programas mais comuns como, por
exemplo, Editores de Texto, Planilha Eletrônica, entre outros, para assim, atingir
os resultados esperados para um conteúdo especifico.
Vejamos de forma sucinta algumas características positivas e negativas
de alguns dos programas acima citados.
Modellus é um software fabricado pela Faculdade de Ciências e
Tecnologia da Universidade de Lisboa, Portugal. Tem classificação livre, é
gratuito e é disponibilizado em três idiomas, incluindo o Português. Os sistemas
operacionais para esse software são Windows XP, Windows Vista e Linux. Esse
software possibilita o estudo, por meio de simulações, de vários conceitos da
física como por exemplo: movimento uniforme e uniformemente variado,
problemas de dinâmica e outros conceitos e problemas de cinemática. Os
fenômenos podem ser facilmente exemplificados por meio de uma expressão ou
equação.
Modellus é uma ferramenta cognitiva para auxiliar a
internalização de conhecimento simbólico, preferencialmente
20
em contexto de atividades de grupo e de classe, em que a
discussão, a conjetura e o teste de ideias são atividades
dominantes, em oposição ao ensino direto por parte do
professor. (VEIT & TEODORO, 2002, p. 90)
Phun, criado pela empresa Vrlab, é um programa que trabalha a física de
forma lúdica, oferecendo a possibilidade para o aluno criar suas próprias
experiências. É um software simples e fácil para ser usado no ensino da
mecânica, pois simula vários fenômenos físicos. O professor pode usá-lo no
ensino dos seguintes conteúdos: as três leis de Newton, gravidade, colisões,
movimentação de fluidos e resistência ao ar. É um programa de classificação
livre, é gratuito e disponibilizado em português. É compatível com Windows
95,98 e 2000, XP e 7. De acordo com Souza (2012, p. 16) “Com relação ao
conteúdo, o software disponibiliza os seguintes tópicos: gravidade, colisões,
resistência do ar, movimentação de fluidos e as três leis de Newton. Onde todos
podem ser trabalhados de maneira dinâmica e prática”.
Criado nos EUA pela University of Colorado AT Boulder, o PhET é um
interativo gratuito de simulações, disponível em 7 línguas, incluindo o português.
Esse software é compatível com qualquer sistema operacional desde que o
computador tenha instalado Java ou flash. O PhET tem várias simulações, umas
fáceis e outras difíceis que devem ser executadas sob a orientação do
professor.Segundo Souza (2012, p.7)“O objetivo desse programa é despertar o
interesse nos alunos de tal forma que eles venham a interagir em sala de aula”.
O software show atômico foi desenvolvido por Labvirt-USP, é de
classificação livre e gratuito, o idioma é o português e os sistemas operacionais
são: Windows 2000 e Windows7, Vista, XP, Server 2003 e 2008. Ainda, segundo
Souza (2012, p.18), “O show atômico é um software que simula uma descrição
dos modelos atômicos de: Demócrito, Dalton, Thompson, Rutherford e Niels
Bohr.
Os softwares prontos, no entanto, apresentam algumas desvantagens.
Por exemplo, os códigos não podem ser alterados com tanta facilidade, limitando
as situações-problemas que podem ser exploradas tanto pelo professor
mediador quanto pelo aluno. Um fator dessa limitação dá-se pelo fato que tais
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softwaresnão são apoiados por uma comunidade que os melhorem com
aperfeiçoamentos e atualizações. Além disso, a biblioteca é limitada e restrita.
Entendemos que o código livre facilita a adaptação para as práticas
pedagógicas. Os softwares livres permitem que os professores desenvolvam
cada modelagem correspondente para cada situação problema. O software
pronto, por outro lado, não tem essa mesma flexibilidade.
Nesse aspecto, é importante que os professores adquiram a formação
adequada para utilização desses softwares, pois:
[…] este domínio se traduz em uma percepção global do papel
das tecnologias na organização do mundo atual e na capacidade
do professor em lidar com as novas tecnologias, interpretando
sua linguagem e criando novas formas de expressão, além de
distinguir como, quando e por que são importantes e devem ser
utilizadas no processo educativo. (SAMPAIO & LEITE,1999
p.25)
2.3 Linguagens de Programações
Dentre as linguagens de programação mais usadas hoje em dia está a
linguagem JAVA. Essa, como todas as linguagens, facilita a programação, ou
seja, cria meios de comunicar aos computadores uma tarefa a executar,
cumprindo sua missão com os algoritmos.
A linguagem JAVA foi criada dentro de um projeto chamado GREEN
PROJECT em 1991. Um dos membros, Patrick Naughton, acreditava em uma
convergência entre computadores e eletrodomésticos. No entanto, com o
advento da internet, a linguagem JAVA foi incorporada pelos computadores para
o desenvolvimento de softwares. Em 1995, foi lançada a plataforma JAVA, e a
partir daí a comunidade vem desenvolvendo e atualizando esta linguagem que
está sendo usada amplamente nos computadores, Smartphone, Tablets.
Python é outra linguagem de programação bastante interessante. A
linguagem Python foi criada em 1989 no Centrumvoor Wiskunde en Informática
(CWI), em Amsterdã, Holanda, por Guido Van Rossum. Novas versões foram
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aprimoradas. A primeira deu-se em 26 de janeiro de 1994 – versão 1.0. Novas
versões dessa linguagem já foram desenvolvidas.
A linguagem Python tem uma programação de alto nível. Seus conceitos
fundamentais são apresentados de forma simples em um código curto. Se o
mesmo código fosse realizado em JAVA, seriam necessárias muitas linhas de
programação, isto é, um código fonte mais extenso. Como a linguagem JAVA,
Python tem uma vasta comunidade, a qual realiza e desenvolve a linguagem,
atuando em diversas áreas. Usando sua biblioteca Pylab, por exemplo, o
professor de física terá muitas vantagens na modelagem de problemas.
Na educação, a programação em Python vem tendo um avanço
significativo no desenvolvimento de simulações. Para o aluno, essa linguagem
apresenta um entendimento fácil, o que nos permite trabalhar em sala de aula.
A vantagem de dispor dessa linguagem na educação é que ela é
extremamente portável, podendo ser usada em Linux, Windows, Mac-OS,
Palmus, WindowsCE, Riscos, Vxworks, Qnx, Os/2 e outros.
Lançando mão desse recurso didático, é possível haver mais interação do
aluno com os problemas estudados, e o professor assume o papel de mediador
entre o conhecimento e o aluno. Por exemplo, no estudo de cinemática, o aluno
interage com o problema, mudando apenas os parâmetros iniciais para verificar
o que acontece com algumas grandezas física tais como energia, velocidade e
momento angular. Quando o aluno altera os dados iniciais, percebe que a
trajetória da partícula também pode ser alterada, e o professor pode associar
cada situação distinta de acordo com o que se deseja trabalhar.
Nessa interação do aluno, ao objeto de estudo dá-se a aprendizagem
significativa, pois o mesmo interage de forma concreta com o conhecimento
tornando-se sujeito critico capaz de construir novos conceitos e de modificar a
realidade preexistente.
23
2.4 O uso de simulações como recursos na Transposição
Didática
As simulações contribuem para a modelagem dos sistemas físicos,
facilitando a compreensão do aluno e possibilitando a construção do processo
de ensinoeaprendizagem. Se essa simulação é usada para representar um
sistema físico não observável em um laboratório da escola, como, por exemplo,
a órbita de um planeta, então ela poderá destruir conceitos prévios que foram
construídos de forma errônea.
Segundo Leite (2014),“a presença inegável da tecnologia em nossa
sociedade constitui a justificativa para que haja necessidade de sua presença na
escola”. O uso de tais recursos possibilita ao jovem estudante preencher as
lacunas entre a teoria e o concreto-visual, pois apresenta um conceito com
significado lógico. Os fenômenos físicos ganham, com o uso dos simuladores,
sentido e desmistificam alguns conceitos errôneos que o aluno traz consigo.
É notório que entre as disciplinas curriculares, a física sempre foi a de
maior reprovação entre os alunos do ensino médio com uma variável muito
ampla de motivos. O principal motivo sempre foi o distanciamento entre a
realidade do aluno e a teoria, pois a física trabalha com inúmeros conceitos, em
sua grande maioria, marcados por uma dose de abstração que escapam dos
sentidos do ser humano tais como a lei da gravitação universal.
Fica assim evidente que os saberes não se acumulam, não
constitui estoque que se agrega à mente, e sim a interação,
modificação, estabelecimento de relações e coordenação entre
esquemas de conhecimento que já possuímos em novos
vínculos e relações a cada nova aprendizagem conquistada.
(ANTUNES, 2012, p. 295)
Segundo Leite (2014)“assim como a tecnologia para o uso do homem
expande suas capacidades, a presença dela na sala de aula amplia seus
horizontes e seu alcance em direção à realidade”. Não por acaso muitos
estudiosos defendem que o uso do computador e seus benefícios no ensino são
24
inquestionáveis, em todas as áreas da educação, e mais ainda se faz útil para o
desenvolvimento do pensamento lógico da Física.
Na problemática da sala de aula podemos citar, por exemplo, quão útil
seria se todos os alunos tivessem a seu dispor um programa de simulação para
entender melhor como ocorre realmente a lei da gravitação newtoniana, pois
algumas gravuras, presentes em livros, dão a impressão que os planetas giram
na forma circular ao redor do sol, outros livros trazem um movimento em elipse
mas, com excentricidades exageradas. Dando a entender que quanto maior o
tamanho da órbita maior seria sua excentricidade, no entanto, temos mercúrio
com a maior excentricidade dentre todos os planetas no sistema solar.
Com o auxílio de simulações, como as produzidasemPython, por
exemplo, o professor poderá apresentar como realmente se dá esse movimento,
sendo possível entender as situações que as excentricidades são aumentas,
contribuindo assim, para reconfigurar possíveis imagens errôneas que o aluno
adquiriu no Ensino Fundamental, ou do censo comum.
2.5 Teorias físicas das órbitas planetárias
O estudo das órbitas planetárias, por parte de Kepler,muda
definitivamente o conceito do geocentrismo, pois o mesmo perceber, após
longas observações, que o trabalho deTychoBrahe, não condizia com o modelo
geocêntrico. Foi então que ele mudou a base para a forma elíptica, colocando o
sol em um dos seus focos. Kleper não tinha os dogmas religiosos dos seus
antecessores, isso facilitou a sua visão heliocêntrica.
2.5.1 Os primeiros modelos cosmológicos.
O homem desde da antiguidade mostrou grande interesse pelo céu,
conseguintemente pelos astros e ao observa-los notavam um certo padrão e
repetição, como, por exemploo nascer e o pôr do sol, os eclipses, as estações
do ano e vários outros fenômenos. Desta forma, a humanidade começava a
25
observar o céu e fazer anotações, nascendo assim a cosmologia (do grego
Kórmos, “ordem do universo”.)
Foram os gregos os primeiros a elaborar os modelos cosmológicos,
dentre eles, Aristóteles, que afirmava que a terra estaria completamente imóvel,
no centro do universo, por esse motivo o modelo foi chamado de geocêntrico.
Ptolomeu é responsável pelo modelo geocêntrico mais bem sucedido. Ele
acrescentou os epiciclos e um ponto chamado de deferente, os planetas giravam
em torno desse ponto, pois para ele a terra ainda estaria fixa.
Moysés (2002, p. 189):
Ptolomeu ainda teve de introduzir outras modificações
nesse esquema para explicar anomalias adicionais em alguns
casos: a velocidade angular do centro do epiciclo em torno da
Terra sofre pequenas variações, e o movimento retrógrado não
tem sempre o mesmo aspecto e duração.
2.5.2 O modelo copernicano.
O modelo de Aristóteles e sua concepção de universo perdurou por mais
de 16 séculos, porém vários astrônomos da idade média acrescentaram
observações. A separação do divino e do mundo terreno agradou muito a igreja
católica e com isto o modelo ganhou vida longa.
Somente o monge polonês, Nicolau Copérnico (1473 – 1543), ousou a
contrapor a ideia de geocentrismo, retomando uma ideia do grego Aristarcoque,
conforme citadopor Moysés (2002, p. 190), descreve: [...] “a rotação diurna
aparente da esfera celeste em torno da Terra se explicará pela rotação da Terra
em sentido oposto, em torno de seu eixo”.Com essa afirmação ele colocava o
sol no centro do universo, esse modelo foi chamado de heliocêntrico. Tirando a
terra do centro do universo, agora era o sol o centro do universo. Isso contrariou
muito a igreja. O modelo de Copérnico era muito parecido com o de Ptolomeu,
embora a terra não ocupasse o centro, Copérnico considerou alguns epiciclos e
definiu planetas dentro da órbita da terra, chamando-os de planetas interiores e
os planetas fora da órbita da terra de planetas exteriores.
26
Depois da morte de Copérnico se passaram quase cem anos para o seu
modelo começar a triunfar sobre a visão geocêntrica. Galileu Galilei(1564-1642),
italiano nascido em Pisa, publicou em 1610, Siderusnuncius (“mensageiro das
estrelas”), nesta publicação Galilei contraria várias concepções aristotélicas,
dando razão ao modelo heliocêntrico, mais tarde chamado de revolução
copernicana. Mesmo com o aval de Galileu Galilei, as ideias de Nicolau
Copérnico não foram aceitas na época.
2.5.3 TychoBrahe e Johannes Kepler
Como pontuado por Moysés (2002, p. 190). “A obra de Copérnico, que se
havia baseado em dados obtidos na antiguidade, trouxe novo impulso à
astronomia de observação[...]”.Abrindo caminho para novas possibilidades e
também um jeito novo de olhar o universo.
O dinamarquês Tychobrahe(1546-1601),fez estudos e observações do
céu durante anos, no observatório construído por ele, mas 1600 chamou o jovem
Johanneskleper, o qual tinha fama de um bom matemático, para se juntar a ele,
em seus estudos. Essa parceria durou pouco,TychoBrahe morreu em 1601,
deixando um conjunto de dados astronômicos precisos, com isso kleper começar
a trabalhar na órbita de marte.
Kepler não tinha convicções religiosas como as de Copérnico, logo
percebeu que órbitas circulares não condiziam com os dados de TychoBrahe,
por isso adotou órbitas elípticas. Colocando o sol em um dos focos.
Somente com a matemática precisa de kleper, as quais estão baseadas
nos dados de TychoBrahe e nas ideias de Copérnico, o modelo heliocêntrico
suplanta o modelo geocêntrico. A posteriori Newton introduz a ideia de força.
De acordo com Moysés (2002 p. 194)
Depois de quase dois anos de trabalho, o resultado
obtido foi uma órbita oval em lugar de circular; com o sol no eixo,
mas não no centro. Após inúmeras tentativas infrutíferas de
identificação da curva, Kepler acabou descobrindo que a órbita
27
de Marte era elíptica, com o Sol situado num dos focos – e o
mesmo valia para os demais planetas.
Assim Johanneskeplerformulou as suas três leis:
1. Lei das órbitas elípticas: os planetas viajam em órbitas elípticas com foco
no centro de massa do sistema formado pelo planeta e pelo Sol.
2. Lei das áreas: o raio vetor do Sol até o planeta varre áreas iguais em
tempos iguais.
3. Lei harmônica ou lei dos períodos: o quadrado do período da órbita é
proporcional ao cubo do comprimento do semieixo maior da órbita elíptica.
Ou simplesmente, o período T e o semieixo principal da órbita estão
relacionados pela equação:
𝑇2 = (4𝜋2
𝐺𝑀) 𝑎3
Em que, G é a constante gravitacional, M é a massa do sol e 𝑎 é o semieixo
maior da elipse que representa a orbita do planeta.
Em termos mais gerais, um corpo que orbita o Sol possui uma trajetória
que tem o formato de uma seção cônica com um foco próximo do Sol. Objetos
que seguem órbitas fechadas formam uma elipse na sua trajetória. Enquanto
que nas órbitas abertas, as trajetórias formam hipérboles ou parábolas, e o
planeta em questão escaparia da força gravitacional do Sol.
Classificação das orbitas: Se E < 0, o sistema é ligado e a orbita
é elíptica (ou um círculo, que é um caso particular de elipse). Se
E ≥ 0, o sistema não é ligado e a orbita é uma hipérbole (ou uma
parábola para E = 0). (TIPLER, 2004, p.413)
Newton explica e introduz a ideia de força, com sua Lei da Gravitação
Universal, a qual está baseada nas leis formuladas por ele mesmo, cujas raízes
(1)
28
encontram-se nos trabalhos de Galileu e Kepler. As leis do movimento
elaboradas por Newton sustentaram a aceitação das ideias de Galileu.
As Leis de Newton para o movimento são:
1. Princípio da inércia: Todo corpo continua em seu estado de repouso
ou de movimento uniforme em uma linha reta, a menos que seja
forçado a mudar aquele estado por forças aplicadas sobre ele.
2. Princípio da dinâmica: A força é sempre diretamente proporcional ao
produto da aceleração de um corpo pela sua massa.
3. Princípio da ação e reação: A toda ação há sempre uma reação oposta
de igual intensidade, provenientes de ações mutuas de dois corpos,
um sobre o outro, são sempre iguais e dirigidas em sentidos opostos.
Com base nessas leis, Newton conseguiu substituir a formulação
geométrica de Kepler pela formulação física da lei da gravitação universal.
A teoria da gravitação mostra que os corpos se atraem mutuamente, isto
é, um corpo cria em torno de si um campo gravitacional que é sentido por todos
os outros corpos. A força gravitacional é mais intensa quanto maior a massa dos
corpos, sendo inversamente proporcional ao quadrado da distância. A força de
atração entre os corpos é definida como:
𝑭 = −𝐺𝑀𝑚
𝑟2�̂� (2)
Onde, M é a massa do Sol, m a massa do planeta, r a distância entre o planeta
e o Sol, G é a constante gravitacional e �̂� é o vetor radial unitário. O sinal negativo
indica que a força é atrativa. Essa lei é considerada universal porque explica o
movimento de um planeta em torno do Sol, da Lua ou de um satélite artificial em
torno da Terra ou a queda de uma maçã. Implícito nas leis de Newton está o fato
de que o movimento de um corpo é medido em um sistema de coordenadas
desacelerado ou inercial.
Uma das observações fundamentais da física newtoniana é o fato de que
as propriedades físicas dos objetos são as mesmas quando são medidas em um
sistema de coordenadas inercial.
29
A força de atração gravitacional entre um planeta e seu astro é central.
Como os vetores F e r são paralelos, o torque da força gravitacional, 𝝉 = 𝑭 × 𝒓,
é sempre nulo. Quando aplicamos a segunda lei de Newton para o torque, isto
é, 𝝉 =𝑑𝑳
𝑑𝑡 = 0, onde L é momento angular, encontramos que este precisa ser
conservado (HALLIDAY, 1996, pag. 276).
O momento angular L de um corpo é o vetor resultado do produto vetorial
r x mv, cuja direção é perpendicular ao plano determinado pelo vetor posição r
e o vetor velocidade v. No caso do movimento devido a ação da força
gravitacional, o momento angular L é constante, assim o plano formado pela
trajetória do planeta também não se altera. A implicação direta deste resultado
é a possibilidade de escrever a trajetória do planeta em um sistema de apenas
duas coordenadas. Um caso muito especial ocorre quando os vetores r e v são
paralelos, pois o momento angular L = 0, e a direção do movimento passa pela
origem. Nesse caso, o corpo descreve um movimento retilíneo, cuja aceleração
não é constante (HALLIDAY 1996, pag. 279).
As equações de movimento, aqui representadas em coordenadas
polares, são, segundo SYMON (1986), as que regem o movimento dos planetas.
�̈� =𝐿2
𝑚2𝑟3−
𝐺𝑀
𝑟2 (3)
�̇� =𝐿
𝑚𝑟2 (4)
Onde, r e são, respectivamente, as posições radial e angular do planeta
e L é o módulo do momento angular. Ressaltamos que, em estudos de dois
corpos, o centro de coordenadas é normalmente colocado no centro de massa
do sistema. Porém, no presente estudo, e em boa aproximação, o centro de
massa do sistema é muito próximo ao da estrela, cuja massa é bem maior do
que a de outros corpos. Dentro do nosso propósito, não há problema algum em
fixar a origem do sistema na estrela.
30
Sabemos do estudo de mecânica (NUSSENZVEIG 2002) que a força
central é conservativa e dessa maneira pode ser derivada de um potencial. Isso
ocorre porque o trabalho realizado pela força gravitacional, entre dois pontos
quaisquer, por qualquer caminho, deve ser igual à variação de energia potencial
entre estes pontos. De acordo com o teorema do trabalho e energia cinética, o
trabalho realizado sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da
partícula entre as posições inicial e final. Assim, temos também a conservação
de energia mecânica.
A energia mecânica do sistema é dada por:
𝐸 = 1
2𝑚�̇�2 +
𝐿2
2𝑚𝑟2−
𝐺𝑀𝑚
𝑟 (5)
O primeiro e o segundo termo referem-se à energia cinética, enquanto
que o terceiro termo é a energia potencial. A energia cinética está associada ao
corpo em movimento, já a energia potencial está relacionada com
armazenamento de energia, que poderá se transformar em energia cinética, ou
vice-versa.
Como já descrito, a energia cinética é dada pela soma do primeiro com o
segundo termo da Eq.(5). Contudo, o segundo termo, apesar de fazer parte da
energia cinética, não é uma função explícita das velocidades �̇� ou�̇�. Na verdade,
a velocidade angular�̇� está implícita no segundo termo por causa do momento
angular, conforme mostra a Eq. 3. Assim sendo, convém definir um potencial
efetivo dado por:
O primeiro termo do potencial efetivo é comumente associado à energia
potencial centrífuga, ou seja, o potencial de uma força fictícia.Aenergia potencial
centrífuga é pequena para distâncias grandes, porém cresce rapidamente
𝑉𝑒𝑓𝑓 =𝐿2
2𝑚𝑟2−
𝐺𝑀𝑚
𝑟
(6)
31
quando os corpos se aproximam entre si, tornando-se predominante em relação
ao potencial gravitacional em curtas distâncias.
2.6A Segunda Lei de Kepler em termos do momento angular
De acordo com a Fig. 1, a segunda lei de Kepler, como é conhecida,
afirma que o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais, ou em outros termos
𝑑𝐴
𝑑𝑡 é constante, onde 𝑑𝐴 é o elemento de área varrido por 𝑟. O elemento 𝑑𝐴
pode ser calculado como:
𝑑𝐴 =𝑟𝑑𝑠
2,
onde 𝑑𝑠, é o comprimento de arco percorrido por um intervalo de tempo 𝑑𝑡. O
comprimento de arco ds, por sua vez, é dado por 𝑟𝑑𝜃, de modo que o
elemento 𝑑𝐴 passa a ser:
𝑑𝐴 = 𝑟2 𝑑𝜃21
Fig.1: Representação da área 𝑑𝐴, a qual varrida por 𝑟 pelo vetor em um intervalo de
tempo 𝑑𝑡. O elemento de área em questão está demarcado com a cor vermelha.
(7)
(8)
32
Assim, a segunda lei de Kepler simplesmente estabelece que:
𝑑𝐴
𝑑𝑡=
1
2𝑟2𝜔,
a qual é uma constante, onde ω é a velocidade angular 𝑑𝜃
𝑑𝑡. De um modo
equivalente, o momento angular (mr2) é constante em um campo de força
central. Vemos então que a segunda Lei de Kepler contempla a conservação de
momento angular. Evidentemente Kepler não utilizou este conceito, porém o
usaremos para explorar o problema de órbitas clássicas.
Em nosso trabalho, usamos as constantes iniciais para determinar o
momento angular e a energia mecânica, isto é, as duas constantes de
movimento para definir as órbitas.
2.7 Solução analítica de órbitas clássicas
A solução analítica é encontrada, com abordagens diferentes, em
diversos livros de mecânica clássica. Alguns autores dão ênfase nas equações
diferencias da cinemática, enquanto outros priorizam a abordagem vetorial. Ao
se resolver analiticamente obtém-se o seguinte resultado:
𝑟(𝜃) =
𝐿2
𝑘𝑚
1 + 𝜀𝑐𝑜𝑠𝜃
onde𝜀 representa a excentricidade da seção cônica. Dependendo de seu valor,
a seção cônica é uma hipérbole, parábola, elipse, ou círculo. Por exemplo: uma
(9)
(10)
33
trajetória com 𝜀 = 0 representa um círculo. A excentricidade é facilmente
determinada em termos da constante de movimento:
𝜀 = [1 +2𝐿𝐸
𝑚𝑘2]
1
2
onde E é a energia mecânica.
Em princípio, poderíamos ter optado pela solução analítica, mas optamos
pelo método numérico que é descrito na próxima seção. A pergunta que se faz
então é: por que não usar a solução analítica invés da numérica para traçar as
trajetórias clássicas? A opção pelo método numérico se apoia em um conjunto
de justificativas que são listadas a seguir:
Primeiro
O método numérico de Euler pode ser aplicado em muitos problemas de
cinemática e com muita boa aproximação. Uma vez que entendemos o método,
basta replica-lo em outros sistemas reconsiderando apenas as forças
envolvidas.
Segundo
As equações cinemáticas de primeira ordem, as quais são aplicadas no
método de Euler, estão diretamente relacionadas com as equações que os
alunos comumente aprendem no estudo de movimentos simples, tal como o
movimento retilíneo uniformemente variado.
Terceiro
Em nenhum momento houve a preocupação de mostrar a eficácia do
método numérico, comparando-o com a solução analítica. O objetivo do trabalho
é puramente didático, isto é, o trabalho envolve aplicação de uma ferramenta
computacional para criar animações numéricas para explorar alguns conceitos
de Física juntamente com os alunos.
(11)
34
Quarto
A solução analítica é muito útil para mostrar as seções cônicas, mas para
as animações de movimento é necessário considerar a seguinte parametrização:
𝜃(𝑡) = ∫ 𝜔(𝑡)𝑡
0
𝑑𝑡 + 𝜃(0)
o que requer um tratamento numérico.
Sobre o quarto argumento apresentado acima, é interessante notar
novamente a importância do momento angular, dada pela Eq. 4, que poderia ser
usada na parametrização, pois:
𝜔(𝑡) = [𝐿
𝑚𝑟2](13)
Como já discutido anteriormente, a equação acima é uma aplicação direta
da segunda lei de Kepler. A velocidade angular ω é inversamente proporcional
ao quadrado da distância r.
2.8 Método de Euler
O método de Euler, desenvolvido no ano de 1768, é fácil de ser utilizado
por sua simplicidade. É um procedimento numérico de primeira ordem para
solucionar equações diferenciais.
Para o cálculo das trajetórias, é necessário resolver as equações da
cinemática, velocidade e aceleração. No presente trabalho resolvemos as Eq. 3
e 4 para encontrarmos r(t) e (t). Contudo, para entendermos o método, vamos
utilizar o caso simples em uma dimensão.
Em uma dimensão, as equações de velocidade e aceleração precisam ser
resolvidas para encontrarmos a posição em função do tempo. Consideremos
então que a velocidade e aceleração sejam dadas por:
(12)
35
𝑣(𝑡) =𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡= lim
∆𝑡→0
𝑥(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑥(𝑡)
∆𝑡
(14)
O método de Euler é usado para resolver as equações acima, isto é, para
encontrar as funções x(t) e v(t), que definem a trajetória de uma partícula. O
processo consiste em expandir a função x(t)ev(t) em série de Taylor, em torno
de um instante t0, considerando somente a primeira ordem da expansão.
Devemos tão somente assumir que t é pequeno o suficiente para garantir uma
boa aproximação, ou seja:
𝑣(𝑡0 + ∆𝑡) = 𝑣(𝑡0) + 𝑎(𝑡0)∆𝑡
(16)
𝑥(𝑡0 + ∆𝑡) = 𝑥(𝑡0) + 𝑣(𝑡0)∆𝑡 (17)
Numericamente, a trajetória é obtida fazendo sucessivas expansões,
ponto a ponto, a partir do instante t0 = 0. Nesse método, a aceleração deve ser
conhecida previamente em qualquer instante. Dada a aceleração e a velocidade
em um dado instante t0, a velocidade no instante t0+t pode ser estimada usando
a Eq. 16. Em seguida, partindo da posição x(t0), podemos estimar x(t0 + t)
usando a Eq. 17. A aceleração a(t0 + t) é facilmente obtida mesmo quando a
força é uma função da posição ou velocidade. Dessa forma, repete-se o ciclo
para o instante t0 + 2T, e assim sucessivamente. Temos então uma recorrência
de sucessivas aproximações de primeira ordem.
𝑎(𝑡) =𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡= lim
∆𝑡→0
𝑣(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑣(𝑡)
∆𝑡
(15)
36
Em se tratando do cálculo das trajetórias de planetas, pode-se aplicar o
método para cada uma das coordenadas r(t) e (t) separadamente. No caso da
função (t), o método é ainda mais simples por causa da relação direta entre a
velocidade angular e o momento angular.
37
3. METODOLOGIA
Os estudos iniciaram-se com as soluções numéricas das Eq. 3 e 4 que
regem o movimento do planeta sob a ação da força gravitacional. As soluções
numéricas foram obtidas com o método de Euler usando rotinas de programação
em Python(x,y) e Vpython.
O método escolhido para desenvolver o nosso trabalho foi o método
numérico de primeira ordem. Resolvemos as equações e fizemos uma análise
relacionando diversas grandezas físicas: posição, velocidade, aceleração,
energia cinética, energia potencial, energia mecânica e momento angular. Nosso
estudo está relacionado à cinemática, todavia, fizemos um balanço energético e
um estudo com potencial gravitacional.
Colocamos para nossos alunos alguns conceitos físicos e algumas
definições matemáticas sobre trajetória e representações contidos em livros
didáticos de Ensino Médio. Isso foi feito para fundamentar as discussões
posteriores com gráficos em Python. Foram feitas também animações de
trajetórias de planetas em torno do Sol com o módulo Vpython. Ambas as
representações, gráficos e animações, facilitaram a compreensão do modelo
planetário.
3.1 Rotinas de programação em Python
Construímos códigos em Python para resolver a cinemática dos planetas
com o objetivo de ajudar a compreensão dos alunos nos estudos de órbitas
planetárias. Além disso, com os códigos, foi possível construir e discutir alguns
conceitos, tais como: momento angular, aceleração gravitacional, interação entre
os corpos, energia cinética e potencial gravitacional. Algumas linhas do código
foram explicitadas para os estudantes daEscola Estadual Major Otávio Pitaluga,
em Rondonópolis-MT, para que pudessem ter uma compreensão, mesmo que
elementar, sobre o funcionamento das rotinas de programação. Basicamente, os
alunos eram motivados a alterar as posições e velocidades iniciais e verificar
como as trajetórias eram alteradas.
38
A seguir, são mostradas as instruções em Python que usamos para o
nosso cálculo. Os códigos completos de programação em Python referente ao
estudo estão no Apêndice A.
A programação começa com as seguintes linhas:
>>>frompylabimportplot, show, ylim, xlim, xlabel, ylabel, grid, scatter,
legend
>>>frommathimportcos, sin, pi
As duas linhas acima são comandos para importar os módulos das
bibliotecas pylab e math. A biblioteca pylab contém os módulos essenciais para
a construção de gráficos, enquanto que a biblioteca math contém os módulos
essenciais de cálculos científicos, tais como seno, cosseno, tangente, etc. Na
Tabela 1 mostramos a aplicação de cada um dos módulos da biblioteca pylab
usados no programa.
Tabela 1 – Módulos da biblioteca pylab usados na programação.
Módulos Aplicação Linha de comando
Python
Plot Esboça gráficos na figura a partir de duas listas de números de mesmo tamanho
plot(x,y, label = "Energia A")
Show Mostra a figura do gráfico em tela
show()
ylim, xlim Estabelece limite nos eixos y e x
ylim(-2.1, 2.1) xlim(-2.1, 2.1)
xlabel, ylabel
Estabelece a nomeclatura dos eixos
xlabel("x (UA)") ylabel("y (UA)")
Grid
Cria uma grade de linhas horizontais e verticais na figura para facilitar a leitura dos gráficos
grid()
39
Scatter Esboça pontos na figura scatter(0,0, s = 200, c = 'yellow', alpha = 0.8)
Legend Escreve a legenda dos gráficos na figura em uma posição determinada
legend(loc = 2)
Para o cálculo de trajetórias, usamos a constante gravitacional
heliocêntrica, que é produto da constante gravitacional universal pela massa do
Sol. Esta constante foi colocada em termos da constante gravitacional de Gauss
(k), sendo que GM = k2 ou k**2, como se escreve em linguagem de
programação.
>>>k= 0.01720209395
>>>GM = k**2
Usamos a unidade astronômica (UA) para distâncias, e dias para a
unidade de tempo. Uma unidade astronômica é a distância média entre a Terra
e Sol, isto é, aproximadamente 150 milhões de Km.
Em seguida atribuímos valores às posições inicias, isto é, no instante t =
0. As posições iniciais r(0), (0),�̇�(0)e �̇�(0), são representas nesta parte do
código por r, theta, v e omega, como é mostrado a seguir:
>>>r = 1.0
>>>theta = -pi/2
>>>v = 0.008
>>>omega= 2*pi/365.25
No código, as posições angulares são dadas em radianos. O valor acima
que foi atribuído para para �̇�(0) correponde ao valor médio da velocidade angular
da Terra, que gasta em torno de 365,25 dias para dar uma volta completa em
torno do Sol. Como a elipcidade da órbita da Terra é muito pequena, as
mudanças na velocidade angular são sutis.
40
Em seguida definimos as constantes do momento angular e energia
mecânica:
>>>L= omega*r*r
>>>Energia = 0.5*(v**2 + (L/r)**2) - GM/r
No cálculo, consideramos o momento angular e a energia mecânica como
constantes do movimento.
Para o gráfico em coordenadas cartesianas, criamos as listas:
>>>x= [ ]
>>>y= [ ]
Semelhantemente ao MATLAB, as listas x[ ] e y[ ], ou vetores na
linguagem de programação, são necessárias para criar os pares ordenados e
para esboçar os gráficos em coordenadas cartesianas. Elas são inicialmente,
criadas sem elementos, isto é, vazias. Apenas dentro do laço ocorrerá o seu
preenchimento, o que ocorrerá ponto a ponto. É bom lembrar que os cálculos
são feitos em coordenadas polares (r, theta), contudo, dentro do próprio laço,
que será explicado mais a frente, fizemos a transformação das coordenadas
para as cartesianas (x,y).
O intervalo de tempo precisa ser pequeno para que as aproximações pelo
método númerico de Euler sejam válidas. Assim atribuímos para t o valor de
0,01 dias.
>>>dt= 0.01
Valores menores que 0,01 dias poderiam dar maior precisão ao cálculo,
porém exigiria mais tempo de computação.
Limitamos o cálculo para a trajetória do planeta em uma volta completa.
Assim, determinamos que os ângulos variassem de 0 a 2𝜋 rad, dando limites às
posições angulares da seguinte forma:
>>>theta_inicial= theta
41
>>>theta_final= theta_inicial + 2*pi
Como desejamos fazer o cálculo somente de órbitas fechadas,
condicionamos a execução do cálculo à energia negativa da seguinte maneira:
>>>if(Energia < 0):
A função if impõe a condição para executar um comando posterior. O
bloco de comando que se encontra logo após o sinal de dois pontos será
executado somente se a energia mecânica for negativa. Esse critério é suficiente
para termos órbitas fechadas. É importante observar que os blocos de comandos
são marcados pela indentação.
Se a energia for negativa, então o cálculo de alguns pontos discretos de
r(t) e (t) ao longo da trajetória são realizados pelo seguinte laço de
programação:
>>> while(theta < theta_final):
>>> a= (L**2)/(r**3) - GM/(r**2)
>>> v= v + a*dt
>>> r= r + v*dt
>>> omega = L/r**2
>>> theta = theta + omega*dt
O laço serve para executar um conjunto de instruções, e continuará se
repetindo enquanto a condição dentro do comando while for verdadeira. Como
se observa, o cálculo por ele feito é o da trajetória do planeta em torno do Sol,
segundo o método de Euler, em aproximações sucessivas de primeira ordem.
Em instantes multiplos de t, isto é, para cada repetição do laço, o programa
realizará o cálculo de �̈�, �̇�, 𝑟, �̇�, e , os quais são representados pelas variáveis
a, v, r, omega e theta.
Ainda dentro do laço, preenchemos as listas x[ ] e y[ ] com o comando
append à medida que r e são calculados.
42
>>> x.append(r*cos(theta))
>>> y.append(r*sin(theta))
As transformações do par ordenado (r,) para as coordenadas
cartesianas são feitas diretamente dentro do comando append. Ao final de todas
as repetições do laço, isto é, quando a condição da função while deixar de ser
verdadeira, teremos os conjuntos de dados para as coordenadas x e y ao longo
de toda órbita do planeta.
As listas de dados x e y podem ser colocadas em forma de tabela que
pode ser armazenada em um arquivo. Assim o arquivo poderia ser utilizado por
qualquer outro programa especializado em gráficos científicos para a
representação da trajetória do planeta. No entanto, optamos por usar os recursos
do próprio Python por meio da biblioteca pylab para a confecção do gráfico. A
configuração do gráfico foi feita de acordo com os módulos apresentados na
Tabela 1. Uma vez configurados os limites do gráficos e legendas, o gráfico final
é obtido da seguinte maneira:
>>>plot(x,y,label = "Energia A")
>>>show()
O nosso primeiro estudo, a título de exemplo, envolveu a comparação de
trajetórias em duas energias diferentes, denominadas por energia A e B, porém
mantendo o mesmo potencial efetivo. Para aumentar a energia mecânica do
sistema, sem alterar o potecial efetivo, deve-se alterar somente a velocidade
radial no instante inicial.
Mostraremos algumas instruções em Vpython usadas para a nossa
animação. Não detalharemos todo o código, uma vez que isso já foi feito no
código A, apenas mostraremos a detalhes entre os códigos em python (x,y) e
Vpython. Os códigos completos de programação em Vpython referente ao
estudo estão no Apêndice B. Em Vpython iniciamos assim:
>>>fromvisual.graphimport*
>>>fromvisual import*
43
Para iniciarmos a programação em Vpython, faz-se necessário
importar da biblioteca visual os objetos e assim fazer rodar as animações.
Já para desenhar os gráficos, importamos a biblioteca Visual Graph.
Em Vpython é necessário definir os objetos. Na animação temos duas
esferas representando o Sol e a Terra (ou qualquer outro corpo celeste que
possui uma órbita kepleriana). Estabelecemos as posições, as cores, os raios e
a emissividade do material como segue:
>>>Sun = sphere (pos= (0,0,0), color = color.yellow, radius = 0.3, material =
materials.emissive)
>>>Earth = sphere (pos=(r*cos (theta), r*sin (theta), 0), color = color.black, radius
= 0.1, make_trail = True)
Definimos o afélio, isto é, o ponto mais longe possível do planeta em
relação ao Sol, cuidando para que a animação não saia do campo visual e nem
aconteça um auto zoom. Isso por sua vez pode diminuir o tamanho proporcional
da imagem do Sol em nossa animação.
>>>defafelio(E, L):
>>> delta = GM*GM + 2*E*L*L
>>>return (-sqrt(delta) - GM)/(2*E)
Uma vez definido o afélio, é possível definir os limites do quadro que irá
contemplar a animação da órbita. Nesta animação, o Sol é colocado no centro
do quadro. Tanto o tamanho vertical do quadro, quanto o horizontal, são
determinados pelo afélio.
>>>if(Energia < 0):
r_max = afelio(Energia, L)
Earth.pos.x = r_max
Earth.pos.x = -r_max
Earth.pos.y = r_max
44
Earth.pos.y = -r_max
>>>else:
print()
exit ()
Assim que o tamanho do quadro é estabelecido, é necessário que a
função de auto escala seja desligada para que possamos visualizar toda a
animação nas proporções definidas.
>>>scene.autoscale = False
Definimos também a cor do planeta Terra e de seu rastro.
>>>Earth.color = color.blue
>>>Earth.trail = curve(color = color.green)
Em seguida, definimos os vetores força e velocidade. O vetor força estará
na direção radial, apontando sempre para o Sol. A sua intensidade varia em
proporção a aceleração do planeta.
>>>Force = arrow(pos = Earth.pos, axis = (-0.6*Earth.pos/(r*r)), color =
color.red)
O vetor velocidade será sempre tangente à trajetória.
>>>vx = v* cos (theta) – ômega * r * sin (theta)
>>>vy = v* sin (theta) + ômega * r * cos (theta)
>>>Velocidade = arrow( pos = Earth.pos, axis = ( 50* vy, 0) , color = color.white)
O vetor velocidade é colocada sobre o planeta e é atualizado ao longo da
trajetória, ou seja, o vetor é atualizado dentro do laço de programação em que
se calcula a trajetória. Este cálculo é feito com muita semelhança ao que foi feito
anteriormente. Por se tratar de uma animação, o cálculo não é limitado à
trajetória de uma volta apenas.
45
>>>while 1:
rate(10000)
a= (L**2)/(r**3) - GM/(r**2)
v = v + a*dt
r = r + v*dt
omega= L/r**2
theta = theta + omega*dt
O rastro do planeta é definido com a seguinte função:
>>> Earth.trail.append(pos=Earth.pos)
Para o estudo da energia mecânica, construímos os gráficos de energia
total, cinética e potencial em função do tempo. Os atributos das linhas foram
definidas antes do laço.
>>> t+= dt
>>> K = 0.5*(v*v + r*r*omega*omega)
>>> U = Energia - K
>>> f1.plot(pos = (t, K), label = "Cinetica")
>>> f2.plot(pos = (t, U), label = "Potencial")
>>> f3.plot(pos = (t, Energia), label = "Total")
Há muito outros detalhes que podem ser contemplados no código completo que
se encontra no apêndice B.
3.2 APLICAÇÃO DO PRODUTO
46
Nosso trabalho foi desenvolvido na Escola Estadual Major Otavio Pitaluga
e foram ofertadas vagas aos alunos do segundo ano do ensino médio para que
participassem. Fizemos o trabalho em dois momentos: o primeiro na sala de
informática e o segundo nas salas de aula. Na sala de informática tivemos
somente alunos do segundo ano, mas de turmas diferentes. Para eles colocamos
a ideia do projeto, a qual era debater órbitas planetárias com o auxílio de uma
ferramenta computacional.Explicamos os conceitos físicos envolvidos e como as
simulação numérica em Python e animação em Vpython poderiam ajudar na
compreensão das órbitas planetárias, a qual foidiscutida na seção 2.5.
No laboratório de informática trabalhamos com um computador por aluno.
Trabalhamos inicialmente com dezenove alunos, que receberam o código fonte
já pronto, como objetivo de aprender a rodar o programa e, em seguida, realizar
mudanças nas variáveis de velocidade inicial e posição. Com essas alterações
foi possível órbitas des diferentes elipticidades, além de visualizar as trajetórias
em Python (x,y).
As animações em Vpython foram usadas em um segundo momento, em
sala de aula, envolvendo as turmas B, C, E e F do segundo ano, totalizando 115
alunos. Com esses,usamos as animações e explicamos os conceitos físicos
envolvidos. O foco principal do nosso trabalho foia mudança na velocidade do
planeta relacionada com a energia cinética e a potencial gravitacional,
mostrando como os pontos do periélio e afélio estão associadas com energia
potencial mínima e máxima, respectivamente.
47
3.3Plano de Aula
Órbitas Planetárias
A seguir é apresentado o planejamento das aulas ministradas. As mesmas
foram realizadas na Escola Estadual Major Otávio Pitaluga com os alunos do 2º
ano do ensino médio.
Objetivos
Conceituar órbitas planetárias;
Definir os pontos afélio e periélio;
Enunciar as leis de Kepler;
Relacionar as Leis de Kepler com a Lei da Gravitação Universal;
Mostrar balanço energético ao longo da trajetória do planeta;
Mostrar o comportamento de velocidade ao longo da trajetória do planeta,
partindo de análises no simulador em VPython.
Recursos Didáticos
Computador
Rotinas de programa em Python
Desenvolvimento
As aulas realizadas em sala retomarão os conteúdos de movimentos de
translação, indagando sobre questões como: O que é órbita de um planeta?
Como um computar poderia nos auxiliar? Satélites artificiais possibilitam as
comunicações e seus benefícios são claros no nosso dia a dia? Além da nossa
Lua quem tem sua órbita atendendo a lei da gravitação universal? Relacionando
a Leis de Kepler mostraremos que as órbitas planetárias descrevem uma elipse.
As aulas realizadas no laboratório de informática mostrarão os benefícios do
simulador para explicar os pontos afélio e periélio.Utilizaremos a programação
em Python que permite observar as órbitas e as velocidades, bem como
relacionar a energia cinética (velocidade) com o potencial gravitacional. Na
programação testaremos as velocidades na órbita mudando apenas a
velocidade inicial levando-os a observar o que acontecerá com as trajetórias.
48
Durante as aulas os alunos serão estimulados com perguntas e repostas que
agucem a curiosidade deles. Por exemplo: a mudança da velocidade inicial
influencia na trajetória? Qual é a relação entre energia cinética e potencial
gravitacional? Como podemos explicar isso observando a Lei da Gravitação
Universal?
Explicaremos que há um ponto na órbita chamado de afélio e outro de
periélio.Iremos relacionar alguns destes detalhes com os estudos de Kepler.
Discutiremos essas questões com os alunos enquanto exploramos as
animações emVPython.
Avaliação
A avaliação terá caráter diagnóstico e formativo, pois com o auxílio de
questionários e conversas será possível compreender os subsunçores
(conhecimento prévio) que cada aluno possui sobre o conteúdo e, no decorrer
de cada aula, através da participação dos alunos e dos relatos escritos, avaliar
o que foi de fato assimilado durante as aulas. Outro indicador de conhecimento
adquirido será o desempenho de cada um nas olimpíadas de astronomia OBA
Referênciasbibliográficas
PYTHON. Disponível em: https://www.python.org/> Consultado em 2015. STEFANOVTS, Angelo. Ser protagonista: Física:1° ano ensino médio. 2. ed. São Paulo: Edições SM, 2013. VPYTHON Disponível em: http://vpython.org/contents/download_windows.html> consultado 2014.
49
4 . RESULTADOS
Os resultados apresentados a seguir são dedois momentos distintos. O
primeiro refere-se à parte em quetrabalhamos com as trajetórias em duas
energias, A e B, usando os gráficos feitos com Python(x,y). O segundo momento
refere-se aos encontros em que utilizamos animaçãoem Vpython. Optamos por
uma única energia para mostrar e configurar os pontos do afélio e periélio, bem
como as energias cinética e potencial ao longo da trajetória.
4.1 Analise de trajetórias usando Python (x,y)
Estudamos as trajetórias para energias diferentes, porém para o mesmo
potencial efetivo. Trabalhamos no código visando estabelecer uma relação entre
as energias e as trajetórias elípticas com excentricidades diferentes. O resultado
das trajetórias em energias distintas está representado na Fig. 2.
Fig. 2- Gráfico de trajetórias de planetas em duas condições de energias
distintas, porém com o mesmo potencial efetivo.
Para o cálculo das trajetórias desenhadas na Fig. 2, usamos as seguintes
velocidades iniciais: v = 0,0 UA/dia para a energia A e v = 0,008 UA/dia para a
50
energia B. Como se observa, a energia A é menor do que a energia B. Os demais
parâmetros iniciais foram os mesmos para as duas situações. Usamos r = 1.0
UA, theta = -/2 e omega = 2/365.25 rad/dia para ambas as energias.
Como observado na Fig. 2, a trajetória do planeta com energia menor
apresenta uma forma mais circular. Por outro lado, a trajetória do planeta com
energia B apresenta uma excentricidade que é fácil de ser notada. Isto foi
explicado aos alunos no final das aulas, deixando explícito que existe uma
relação direta entre energia e a trajetória do planeta.
O código fonte (em Python) está definido de modo que as mudanças dos
parâmetros possam ser feitas de acordo com a necessidade de investigação.
Essa característica da programação de ser única e ter sido feita para aquela aula
facilitou a discussão com os alunos de maneira que cada um, em seu
computador, pudesse ver trajetórias em situações diferentes, analisar seus
parâmetros e tirar as suas próprias conclusões.
Dentro dessa dinâmica de ensino houve muitas perguntas por parte dos
alunos e todas elas propiciaram uma maior interação professor-aluno nas aulas.
O fato de visualizarem os gráficos e as rotinas de programação permitiu a
construção de um conhecimento prévio.
Dando sequência ao nosso estudo, fizemos um gráfico do potencial
efetivo e marcamos no mesmo gráfico as duas energias A e B, conforme mostra
a Fig. 2. Veremos a seguir que é possível tirar muitas informações a partir deste
gráfico. As discussões foram feitas levando em conta o nível de formação dos
alunos, isto é, ancorar esse novo conhecimento em subsunçores já existentes.
Analisando as Eq. 3 e 4, vemos que �̇� deve ser igual a zero quando o
potencial efetivo e a energia mecânica são iguais. Assim, na Fig.2, os pontos
marcados pela intersecção entre o potencial efetivo e a energia mecânica
representam os pontos de retorno com�̇� = 0. Esses pontos especiais são
chamados de afélio e periélio. O afélio é o ponto mais distante do Sol, enquanto
que o periélio é o ponto em que o planeta mais se aproxima da estrela. Como a
energia potencial muda com a distância, especificamente a -1/r, temos que, ao
longo de toda a trajetória, a energia potencial atinge o valor máximo no afélio.
No periélio, ocorre justamente o contrário, ou seja, a energia potencial atinge o
seu menor valor. Podemos fazer uma análise semelhante à energia cinética,
levando em consideração a conservação da energia mecânica. Se em algum
51
ponto da trajetória, a energia potencial é máxima, tal como ocorre no afélio, então
energia cinética é mínima. Semelhantemente, no periélio, a energia cinética é
máxima. Isso também explica o aumento de velocidade dos corpos quando se
aproximam do Sol.
Considerando a situação de menor energia, vemos na Fig.2 que os pontos
de retorno são praticamente indistinguíveis e estão em torno de r = 1,0 UA. Esta
é uma característica de uma órbita circular, a qual é justamente obtida na
condição de energia mínima permitida para um poço de potencial efetivo. Para
um determinado potencial efetivo, a energia mínima permitida é aquela em que
a velocidade radial no instante inicial é igual a zero, exatamente como foi no
presente caso. Na situação de uma energia maior, conforme mostra o gráfico da
Fig. 3, os pontos de retorno são bem distintos. Vemos que o periélio é algo em
torno de 0,7 UA, enquanto que o afélio é aproximadamente 1,8 UA.
É fácil de ver que, para energias não negativas (E > 0), há apenas um
ponto de retorno, o que configura uma órbita aberta.
Fig. 3- Gráfico potencial efetivo, gerado pela junção potencial gravitacional e energia
centrípeta.
52
4.2 Analise da animação em Vpython
O uso das animações, nas aulas de física, contribuiu para o professor
inserir a discussão sobre os pontos afélio e periélio, energia cinética, energia
potencial gravitacional, força e velocidade. Serviu também para discutir
grandezas escalares e vetoriais. As animações facilitaram a demonstração da
modelagem do sistema terra-sol.
Segundo os relatos dos alunos, é como se o uso da simulação trouxesse
significado a teoria. Para o professor, unir computação aos conceitos físicos
tornou o processo de ensino mais dinâmicos.
As Fig. 4 e 5 mostram fotos das animações em dois pontos importantes
de uma órbita planetária: afélio e periélio.
Fig. 4– Afigura a cima representa um corpo passado próximo ao periélio de sua órbita. A seta em vermelho (apontando para o Sol) representa a força, enquanto que a seta
em branco (tangente à trajetória) representa a velocidade do planeta.
53
.
Fig.- 5 A figura acima representa um corpo passando próximo ao seu afélio
O gráficoda Fig. 6mostra o aumento da energia cinética contrapondo com
a energia potencial. Como temos uma animação, a visualização do fenômeno
estudado é facilitada. A energia total permanece sempre constante como
representado na linha amarela.
54
Fig. 6 - Gráficos de energia cinética, potencial e mecânica. A linha na cor azul
corresponde à energia cinética. A linha na cor vermelha corresponde a energia potencial
e a linha na cor amarela, representa a energia total.
55
4.3Relato da aplicação do produto na Escola
Aplicamos o produto na Escola Estadual Major Otávio Pitaluga para
dezenove alunos da 2ª série do ensino médio. Foram 30 horas de aplicação do
produto. O trabalho desenvolvido na escola teve como principal objetivo propor
aos alunos uma nova metodologia para o estudo da cinemática utilizando como
recurso didático o universo da programação em Python, escolhido por possuir
uma linguagem simples e de fácil acesso.
Trabalhamos o conteúdo de órbitas planetárias expondo as leis de Kepler
e a teoria da gravitação universal. Colocamos também alguns conhecimentos
prévios com o objetivo de organizar todos esses subsunçores. Como foi discutido
no capítulo de Fundamentação Teórica.
Realizamos um total de dez encontros no laboratório para tirar dúvidas
sobre o código e finalizar as aulas. Nas primeiras aulas, no laboratório de
informática, apresentamos a linguagem Python e seus benefícios. Mostramos
aos alunos a página na web em que seobtém o programa e, a partir daí,
efetuamos a instalação nos devidos computadores. Depois de instalados os
programas, apresentamos os editores de texto, Spyder e Vidle. Explicamos aos
alunos que nesse ambiente é o lugar onde usamos os códigos fontes. Levamos
alguns códigos prontos para ensinar como operar e criar possíveis gráficos.
Nas aulas seguintes, no laboratório, introduzimos todos os comandos que
iríamos usar, deixando claro que a linguagem era extensa e que o número de
comandos e funções não seriam discutidos e aprendidos naquele momento.
Nosso objetivo principal, para aquelas aulas, era os estudos de órbitas
planetárias e a compreensão do código fonte específico do cálculo. Neste
momento, discutimos as grandezas físicas que iriam variar com o tempo.
Esse foi um momento especialem que passamos do abstrato, teoria de
órbitas planetárias, para o concreto. Aqui colocamos as equações do movimento
no programa. Explicamos que cada vez que o programa fizesse um cálculo de
uma interação do laço do programa, nós encontraríamos uma nova posição, isto
56
é, uma nova posição radial, consequentemente uma nova velocidade radial, e o
processo se repetiria sucessivamente. Foi então colocado aos alunos que esse
processo é chamado método numérico de Euler(procedimento numérico de
primeira ordem para solucionar equações diferenciais). Fizemos um breve relato
sobre este método levando em conta o nível escolar da turma. Relacionamos as
equações do laço (loop) com uma função de primeiro grau simples, na qual, a
cada valor de x é encontro uma imagem em y, ficando fácil associar com a função
de primeiro grau, já vistas em matemática no primeiro ano do Ensino Médio, e
em cinemática com as equações horárias do movimento retilíneo uniformemente
variável (MRUV). O fato de relacionar as aproximações numérica de primeira
ordem com as equações de MRUV atendeu, em princípio, a nossa
fundamentação teórica.
Além de colocar as equações horárias do código, relacionamos o conceito
físico explicando que o momento angular é conservado, que temos uma força
central e que existe uma interdependência entre ambos. Explicamos que a
variação da posição radial implica também na variação da posição angular.
Neste momento a simulação em Python contribuiu e evidenciou o seu uso,
mostrando uma aplicação simples das equações da cinemática.
O gráfico da Fig.6 demonstra o aumento da energia cinética contrapondo
com a energia potencial. A energia total permanece sempre constante como
representado na linha amarela.Ao observarem o gráfico os alunos pontuaram
que a volta da Terra em tornodo sol não condizia com a órbita de um cometa, ou
seja, não é circular. Então explicamos que, de fato o movimento do objeto em
torno do sol ou planeta vistos nas animações do nosso programa Python é muito
elíptica, assimilando-se a trajetória de um cometa devido a sua excentricidade,
mas que o movimento real da Terra em volta do Sol é mais próximo ao
movimento circular.Neste momento debatemos que a velocidade de translação
do planeta ao redor do sol sofre mudanças, diminuindo à medida em que se
aproxima do afélio (ponto mais distante do sol)e aumenta à medida que se
aproxima do periélio (ponto mais próximo do sol),relacionamos esse evento à
segunda lei de Kepler. Foi gratificante perceber o espanto dos alunos ao
visualizarem o Python em movimento. Segundo um aluno: “A simulação
construiu para a melhor compreensão do conteúdo (sic), achei muito bom e ficou
57
mais nítido os pontos afélio e periélio”. Outro aluno comentou: “O uso do
computador sempre facilita a visualização dos fenômenos físicos”.
As aulas foram bastante dinâmicas e participativas. Entre uma aula e outra
observou-se que os alunos formavam grupinhos de conversas sobre o programa
Python e discutiam entre si.
58
5.CONCLUSÃO
A aplicação da simulação ajudou na contextualização das órbitas
planetárias. O método didático usado mostrou que lançar mão de recursos da
computação nas aulas facilita a visualização do fenômeno em questão. No
entanto, enquanto educadores, precisamos evoluir no processo ensino e
aprendizagem e na construção dos conceitos físicos inerente a órbitas
planetárias. Porém cada professor é dono do seu método de ensino. Lógico que,
cada um poderá fazer as mudanças necessárias nesse produto para adapta-lo
a sua metodologia de ensino.
O ensino de física tem muitos desafios, um deles é introduzir a tecnologia
no processo ensino e aprendizagem. Esse trabalho teve como objetivo criar uma
ferramenta para auxiliar o professor no conteúdo de órbitas planetárias, uma vez
que a visualização e modelagem é facilitada com o uso animações.
Buscando uma nova metodologia para o estudo da cinemática,
direcionamos o olhar para o uso das tecnologias disponíveis no mercado.Dentre
todas as opções, incluindo os pacotes educacionais prontos, optamos por aquela
em que professor e aluno tivessem mais liberdade de trabalho. Especificamente,
escolhemos trabalhar com códigos abertos na linguagem Python, assim o
professor pode criar ou modificar os seus próprios códigos para estudo de
modelos de fenômenos físicos para que estes fiquem mais claros aos seus
alunos, atendendo a uma demanda específica e fornecendo soluções didáticas
próprias.
O estudo realizado com órbitas, usando a programação Python, mostrou
que podemos trabalhar com a cinemática de um modo diferenciado, contribuindo
para concretizar os conceitos descritos nos livros didáticos. Como professor de
física, observei que, utilizando tal recurso como ferramenta didática foi possível
fazer ponte entre as aulas expositivas e as práticas e dessa forma tornar as aulas
mais dinâmicas.
É interessante esclarecer que a programação em Python, poderá ser
aplicada no estudo de outros fenômenos como, por exemplo, força de arrasto,
lançamento oblíquo, queda livre, lançamento de foguetes, entre outros tantos
conteúdos presentes na grade curricular do Ensino Médio
59
6. REFERÊNCIAS
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Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: Ministério da
Educação, 2002.
DUARTE, Newton. Vygotsky e o “aprender a aprender”: crítica às
apropriações neoliberais e pós-modernas da teoria vigotskiana. 2. ed.
Campinas: Autores Associados, 2001.
E, A. Veit.& V, D. Teodoro. Modelagem no Ensino/Aprendizagem de Física e
os Novos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Instituto
de Física, Universidade Federal do Rio Grande do Sul.Revista Brasileira de
Ensino de Física, vol. 24, n. 2, p. 87-96, Junho 2002.
LABVIRT. Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br> Consultado em 2015. LEITE, Lígia Silva et al. Tecnologia Educacional: Descubra suas
possibilidades na sala de aula. 8. ed. Rio de Janeiro: Vozes, 2014.
MEDEIROS, Alexandre. & MEDEIROS, C.F. Possibilidades e limitações das
simulações computacionais no ensino de física. Revista Brasileira de Ensino
de Física, Recife, v. 24, n. 2, p. 77-86, junho 2002.
MODELUS. Disponível em: http://modellus.fct.unl.pt/> Consultado em 2015. MOREIRA, M.A. A teoria da aprendizagem significativa e sua
implementação em sala de aula. Brasília: Editora Universidade de Brasília,
2006.
MOREIRA, M.A. & MASINI, E.A.F. Aprendizagem Significativa: a teoria de
David Ausubel. 2. ed. São Paulo: Centauro Editora, 2006.
60
NUSSENZVEIG, H. M. Mecânica 1 Curso de física básica. 4.ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. PHUN. Disponível em: www.baixaki.com.br/download/phun.htm> Consultado em 2015. PYTHON. Disponível em: https://www.python.org/> Consultado em 2014. PYTHON(X,Y).Disponível em:https://python-xy.github.io/downloads.html> Consultado em 2014. SAMPAIO, M.N. & LEITE L.S. Alfabetização tecnológica do professor. 5. ed.
Petrópolis: Vozes, 2005.
SCHERER, Claudio. Métodos computacionais da Física. 1. ed. São Paulo:
Livraria da Física, 2005.
SOUZA, Fabrício Araújo de. Levantamento e análise de softwares livres de
Física para o Ensino Médio. Porto Velho, 2012.
SYMON, K. R. Mecânica. Rio de Janeiro: Campus,1982.
STEFANOVTS, Angelo. Ser protagonista: Física: 1° ano ensino médio. 2. ed. São Paulo: Edições SM, 2013. TAJRA, Sanmya Feitosa. Informática na educação. 7. ed. São Paulo: Érica, 2007. VALENTE, José Armando (org.) O computador na sociedade do conhecimento. São Paulo: Nied, 1999. VEIGA, Ilma. Passos Alencastro (org.) Técnicas de ensino: Novos tempos, Novas tecnologias. 3. ed. São Paulo: Papirus, 2011. VPYTHON Disponível em: http://vpython.org/contents/download_windows.html> consultado 2014.
61
Apêndice A
#!/usr/bin/python # -*- coding: utf-8 -*- ##################################################################### # Nesta versão, o resultado final no gráfico # # será dado em coordenadas cartesianas (x,y). # # # # # # Note que o cálculo é feito em coordenadas polares, # # mas o resultado é transformado para coordenadas cartesianas. # ##################################################################### # Primeiro, precisamos carregar os módulos frompylabimportplot, show, ylim, xlim, xlabel, ylabel, grid, scatter, legend # Para converter os dados de coordenadas polares para cartesianas, # vamos precisar das funções seno e cosseno from math import cos, sin, pi # Vamos precisar da constante universal de gravitação. # Vamos usar a constante gravitacional heliocêntrica. k = 0.01720209395 GM = k**2 # Precisamos definir as condições iniciais. # As distâncias são dadas em UA e o tempo em dias. r = 1.0 theta = -pi/2 v = 0.008 omega = 2*pi/365.25 # O momento angular é uma constante de movimento L = omega*r*r # Podemos calcular também a energia mecânica total # Se E > 0, então a orbita será aberta # Se E < 0, a orbita será fechada Energia = 0.5*(v**2 + (L/r)**2) - GM/r # Para os gráficos em coordenadas cartesianas (x,y), # temos que preparar as listas x e y, # as quais são inicialmente vazias. x = [ ] y = [ ] # Definimos o passo de integração. dt = 0.01
62
# Para órbitas fechadas, basta percorrer uma volta. theta_inicial = theta theta_final = theta_inicial + 2*pi # Por enquanto, o cálculo é para órbitas fechadas. if (Energia< 0): while(theta <theta_final): a = (L**2)/(r**3) - GM/(r**2) v = v + a*dt r = r + v*dt omega = L/r**2 theta = theta + omega*dt # Transformamos (r, theta) para (x,y) # e preenchemos as listas x e y. x.append(r*cos(theta)) y.append(r*sin(theta)) #Preparativos para o gráficos lim_max = max([max(x), max(y)]) lim_max = 1.10*lim_max # Para que a curva não toque a borda lim_min = -1*lim_max # Para que os eixos x e y tenham o mesmo tamanho ylim(lim_min, lim_max) xlim(lim_min, lim_max) xlabel("x (UA)") ylabel("y (UA)") plot(x,y, label = "Energia B") # Calculo analítico x = [] y = [] theta = 0 A = 1.0 epsilon = 0.01 print epsilon if (Energia< 0): while (theta < 2*pi): r = A/(1 + epsilon*cos(theta)) theta += 0.01 x.append(r*cos(theta)) y.append(r*sin(theta)) plot(x,y) # Podemos repetir os cálculos acima, porém com outros parâmetros iniciais # Condições iniciais (distâncias em UA e tempo em dias) # Para preservar Veff, muda-se somente a velocidade radial inicial. r = 1.0
63
theta = -pi/2 v = 0.0 omega = 2*pi/365.25 # Devemos cálcular L novamente se Veff for modificado. L = omega*r*r # Calculamos a energia mecânica novamente. Energia = 0.5*(v**2 + (L/r)**2) - GM/r # Preparamos as listas inicialmente vazias para as coordenadas x e y. x = [] y = [] # Passo de integração dt = 0.01 # E repetimos o cálculo percorrendo a trajetória fechada theta_inicial = theta theta_final = theta_inicial + 2*pi # Precisamos verificar se a órbita é fechada antes do loop. if (Energia< 0): while(theta <theta_final): a = (L**2)/(r**3) - GM/(r**2) v = v + a*dt r = r + v*dt omega = L/r**2 theta = theta + omega*dt # A seguir, transfomamos os dados em coordenas cartesianas # e acrescentamos as novas posições em x e e y. x.append(r*cos(theta)) y.append(r*sin(theta)) plot(x,y, label = "Energia A") # Colocamos o Sol no posição x = 0 e y = 0. scatter(0,0, s = 200, c = 'yellow', alpha = 0.8) legend(loc = 2) grid() show()
64
Apêndice B
fromvisual.graphimport *
from visual import *
# Para converter os dados de coordenadas polares para cartesianas
from math import sqrt, cos, sin, pi
# Vamos precisar da constante universal de gravitacao
# Vamos usar a constante gravitacional heliocentrica.
GM = 0.000295912036265
# Importante para o tamanho da tela da animacao
# Se nao definir o tamanho da tela, poderah haver atuozoon
defafelio(E, L):
delta = GM*GM + 2*E*L*L
return (-sqrt(delta) - GM)/(2*E)
# Precisamos definir as condicoes iniciais.
# As distancias sao dadas em UA e o tempo em dias.
r = 1.0
theta = -pi/2
v = 0.012
omega = 2*pi/365.25
# O momento angular eh uma constante de movimento
L = omega*r*r
# Podemos calcular tambem a energia mecanica total
# Se E > 0, entao a orbita serah aberta
# Se E < 0, a orbita serah fechada
Energia = 0.5*(v**2 + (L/r)**2) - GM/r
scene.y = 450
scene.x = 20
#scene.width = 1024
#scene.width = 760
#scene.center = (0,0,0)
f1 = gcurve(color = color.cyan)
f2 = gcurve(color = color.red)
f3 = gcurve(color = color.orange)
myWindow1 = gdisplay(xtitle = "tempo (dias)", ytitle = "Energia")
scene.title = "Orbitas de planetas"
# Colocamos o Sol no posicao x =0, y =0, e z = 0.
Sun = sphere(pos=(0,0,0), color = color.yellow, radius = 0.3,
material = materials.emissive)
Earth = sphere(pos=(r*cos(theta), r*sin(theta), 0), color =
color.black, radius = 0.1, make_trail = True)
65
# Definimos o passo de integracao.
dt = 0.01
# Por enquanto, o calculoeh para orbitas fechadas.
# Se a orbita eh fechada, entao pode-se calcular o afelio
# r_maxeh usado para determinar o tamanho maximo da tela
# Evitando assim o autozoon
if (Energia < 0):
r_max = afelio(Energia, L)
# Vamos garantir que o tamanho da tela contenha a orbita
completa
Earth.pos.x = r_max
Earth.pos.x = -r_max
Earth.pos.y = r_max
Earth.pos.y = -r_max
else:
print "Verifique os valores iniciais para condicionar o calculo
para orbitas fechadas!"
exit()
scene.autoscaling = False
Earth.color = color.blue
Earth.trail = curve(color = color.green)
# O fator 0.6 que multiplica o tamanho do vetor eh arbitrario
Force = arrow(pos = Earth.pos, axis = (-0.6*Earth.pos/(r*r)), color
= color.red)
vx = v*cos(theta) - omega*r*sin(theta)
vy = v*sin(theta) + omega*r*cos(theta)
Velocidade = arrow(pos = Earth.pos, axis = (50*vx,50*vy,0), color =
color.white)
t = 0
while 1:
rate(1000)
a = (L**2)/(r**3) - GM/(r**2)
v = v + a*dt
r = r + v*dt
omega = L/r**2
theta = theta + omega*dt
#As posicoes do planeta sao atualizadas em cada iteracao
Earth.pos.x = r*cos(theta)
Earth.pos.y = r*sin(theta)
# O planeta deixa um rastro na animacao
Earth.trail.append(pos=Earth.pos)
# A seguir as coordenadas do vetor Force
Force.pos = Earth.pos
vx = v*cos(theta) - omega*r*sin(theta)
vy = v*sin(theta) + omega*r*cos(theta)
Velocidade.pos = Earth.pos
Velocidade.axis = (50*vx,50*vy,0)
Force.axis = -0.6*Earth.pos/(r*r)
#A seguir os graficos de energia sao atualizados
t += dt
K = 0.5*(v*v + r*r*omega*omega)
U = Energia - K
f1.plot(pos = (t, K), label = "Cinetica")
f2.plot(pos = (t, U), label = "Potencial")
66
f3.plot(pos = (t, Energia), label = "Total")