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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ- UESC Lista de exerc´ ıcios - ´ Algebra Linear- 2005.2 Prof. a Cl´ audia Santana 1. Ache os autovalores e autovetores das matrizes em R: (a) A = 1 2 0 -1 (b) A = 1 1 1 1 (c) A = 3 -3 -4 0 3 5 0 0 -1 (d) A = 2 0 1 0 0 2 0 1 12 0 3 0 0 -1 0 0 2. Calcule o polinˆ omio e minimal da seguinte matriz: A = -5 4 -6 3 8 -2 3 -2 1 2 4 -3 4 -1 -6 4 -2 4 0 -4 1 0 -2 1 2 3. Calcule o polinˆ omio m´ ınimo das matrizes do exerc´ ıcio 1. 4. Se A e B s˜ ao matrizes de ordem n. (a) Mostre que 0 ´ e autovalor de A se e somente se A ´ e singular. (b) AB e BA em os mesmos autovalores. (c) Se A ´ e n˜ ao singular e λ um autovalor de A, mostre que λ -1 ´ e um auto valor de A -1 . 5. Mostre que as ra´ ızes de uma matriz idempotente s˜ ao 0 ou 1, e que o posto de A ´ e o n´ umero de ra´ ızes caracter´ ısticas iguais a 1. 1

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ- UESC

Lista de exercıcios - Algebra Linear- 2005.2

Prof.a Claudia Santana

1. Ache os autovalores e autovetores das matrizes em R:

(a) A =

[

1 20 −1

]

(b) A =

[

1 11 1

]

(c) A =

3 −3 −40 3 50 0 −1

(d) A =

2 0 1 00 2 0 112 0 3 00 −1 0 0

2. Calcule o polinomio e minimal da seguinte matriz:

A =

−5 4 −6 3 8−2 3 −2 1 24 −3 4 −1 −64 −2 4 0 −41 0 −2 1 2

3. Calcule o polinomio mınimo das matrizes do exercıcio 1.

4. Se A e B sao matrizes de ordem n.

(a) Mostre que 0 e autovalor de A se e somente se A e singular.

(b) AB e BA tem os mesmos autovalores.

(c) Se A e nao singular e λ um autovalor de A, mostre que λ−1 e um autovalor de A−1.

5. Mostre que as raızes de uma matriz idempotente sao 0 ou 1, e que o posto deA e o numero de raızes caracterısticas iguais a 1.

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6. Se A satisfaz a equacao x2 − 5x − 2I = 0. Mostre que:

(a) A−1 = (A−5I)2

(b) A4 = 145A + 54A

(c) A5 = 779A + 290I

7. Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformacoes linearessobre R:

(a) T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (2x, y)

(b) T : R3 −→ R3 tal que T (x, y, z) = (x + y, x − y + 2z, 2x + y − z)

(c) T : M2X2 −→ M2X2 tal que T (A) = At

8. Sejam A e B matrtizes semelhantes. Mostre que A e B tem o mesmo polinomiocaracterıstico, logo os mesmos autovalores.

9. (a) Verifique que < u, v >= x1y1 +5x2y2 +2x3y3 e um produto interno em R3,onde u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3).

(b) A partir da base { (0, 0, 1); (1, 0, 1); (0, 1, 1 )} obtenha uam base ortogonalde R3.

(c) Se W = [(1,−1, 2)] determine uma base de w⊥ e interprete o resultadogeometricamente.

(d) Determine uma transformacao linear T : R3 −→ R3 tal que Im(T ) = W enucleo (T ) = W⊥.

10. Seja T (x, y, z) = (2x+y, x+y+z, y) de R3 em R3 linear com o produto internocanonico.

(a) Escreva T na forma matricial.

(b) Mostre que existe uma base ortonormal α tal que [T ]αα e diagonal. Deter-mine a mudanca de coordenadas x = Px

que diagonaliza T .

11. Classifique e trace um esboco do grafico da quadrica −5y2+2xy−8xz+2yz = 0.

12. Mostre que a matriz [aij]4x4 tal que aij = −12

se i = j e aij = 12

se i 6= j eortogonal.

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