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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ- UESC
Lista de exercıcios - Algebra Linear- 2005.2
Prof.a Claudia Santana
1. Ache os autovalores e autovetores das matrizes em R:
(a) A =
[
1 20 −1
]
(b) A =
[
1 11 1
]
(c) A =
3 −3 −40 3 50 0 −1
(d) A =
2 0 1 00 2 0 112 0 3 00 −1 0 0
2. Calcule o polinomio e minimal da seguinte matriz:
A =
−5 4 −6 3 8−2 3 −2 1 24 −3 4 −1 −64 −2 4 0 −41 0 −2 1 2
3. Calcule o polinomio mınimo das matrizes do exercıcio 1.
4. Se A e B sao matrizes de ordem n.
(a) Mostre que 0 e autovalor de A se e somente se A e singular.
(b) AB e BA tem os mesmos autovalores.
(c) Se A e nao singular e λ um autovalor de A, mostre que λ−1 e um autovalor de A−1.
5. Mostre que as raızes de uma matriz idempotente sao 0 ou 1, e que o posto deA e o numero de raızes caracterısticas iguais a 1.
1
6. Se A satisfaz a equacao x2 − 5x − 2I = 0. Mostre que:
(a) A−1 = (A−5I)2
(b) A4 = 145A + 54A
(c) A5 = 779A + 290I
7. Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformacoes linearessobre R:
(a) T : R2 −→ R2 tal que T (x, y) = (2x, y)
(b) T : R3 −→ R3 tal que T (x, y, z) = (x + y, x − y + 2z, 2x + y − z)
(c) T : M2X2 −→ M2X2 tal que T (A) = At
8. Sejam A e B matrtizes semelhantes. Mostre que A e B tem o mesmo polinomiocaracterıstico, logo os mesmos autovalores.
9. (a) Verifique que < u, v >= x1y1 +5x2y2 +2x3y3 e um produto interno em R3,onde u = (x1, x2, x3) e v = (y1, y2, y3).
(b) A partir da base { (0, 0, 1); (1, 0, 1); (0, 1, 1 )} obtenha uam base ortogonalde R3.
(c) Se W = [(1,−1, 2)] determine uma base de w⊥ e interprete o resultadogeometricamente.
(d) Determine uma transformacao linear T : R3 −→ R3 tal que Im(T ) = W enucleo (T ) = W⊥.
10. Seja T (x, y, z) = (2x+y, x+y+z, y) de R3 em R3 linear com o produto internocanonico.
(a) Escreva T na forma matricial.
(b) Mostre que existe uma base ortonormal α tal que [T ]αα e diagonal. Deter-mine a mudanca de coordenadas x = Px
′
que diagonaliza T .
11. Classifique e trace um esboco do grafico da quadrica −5y2+2xy−8xz+2yz = 0.
12. Mostre que a matriz [aij]4x4 tal que aij = −12
se i = j e aij = 12
se i 6= j eortogonal.
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